TUJUAN KULIAH: untuk memperkenalkan informasi dasar dari teori himpunan; merumuskan aksioma teori probabilitas, konsekuensinya dan aturan untuk menambahkan probabilitas.

Informasi dasar dari teori himpunan

banyak kumpulan objek apa pun yang bersifat arbitrer disebut, yang masing-masing disebut mengatur elemen.

Contoh himpunan: banyak mahasiswa dalam satu kuliah; himpunan titik-titik pada bidang yang terletak di dalam lingkaran berjari-jari r; banyak poin di sumbu numerik, jarak dari mana ke titik b dengan absis sebuah kurang dari d; sekelompok bilangan asli.

Himpunan dilambangkan dengan cara yang berbeda. Sekelompok M bilangan asli dari 1 sampai 100 dapat ditulis sebagai

Himpunan titik pada sumbu angka, jarak dari mana ke titik b dengan absis sebuah kurang dari d, dapat ditulis sebagai

di mana x- absis titik.

Himpunan titik-titik bidang yang terletak di dalam atau pada batas lingkaran berjari-jari r berpusat pada asal,

di mana x, kamu – Koordinat Cartesius poin.

Entri lain dari set ini

di mana adalah salah satu koordinat kutub dari titik tersebut.

Menurut jumlah elemen, himpunan dibagi menjadi: terakhir dan tak berujung. Himpunan berhingga dan terdiri dari 100 elemen. Tetapi suatu himpunan juga dapat terdiri dari satu elemen dan bahkan tidak mengandung elemen sama sekali.

Himpunan semua bilangan asli tidak terbatas, seperti halnya himpunan bilangan genap tidak terbatas.

himpunan tak terbatas Disebut dapat dihitung jika semua elemennya dapat diatur dalam beberapa urutan dan diberi nomor (baik himpunan, dan , dapat dihitung).

Set S dan C tidak terbatas dan tidak terhitung (elemennya tidak dapat diberi nomor).

Dua set A dan B cocok, jika terdiri dari elemen yang sama: dan . Kebetulan himpunan dilambangkan dengan tanda sama dengan: A=B. Notasi tersebut berarti benda sebuah adalah elemen himpunan TETAPI atau " sebuah milik TETAPI". Entri lain berarti bahwa " sebuah bukan milik TETAPI".

Himpunan yang tidak mengandung unsur disebut kosong dan dilambangkan dengan simbol .

Sekelompok PADA disebut himpunan bagian (bagian) dari himpunan TETAPI jika semua elemen PADA juga terkandung dalam TETAPI, dan dilambangkan sebagai atau . Sebagai contoh, .

Suatu himpunan bagian dapat sama dengan himpunan itu sendiri. Secara grafis, Anda dapat menggambarkan hubungan antara himpunan dan subset, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 2.1, di mana setiap titik pada gambar PADA milik sosok itu TETAPI, yaitu .

Gabungan (jumlah) himpunan TETAPI dan PADA disebut himpunan yang terdiri dari semua elemen TETAPI dan semua elemen PADA. Jadi, serikat pekerja adalah kumpulan elemen yang dimiliki setidaknya satu dari himpunan gabungan.

Sebagai contoh: .

Interpretasi geometris gabungan dua himpunan TETAPI dan PADA ditunjukkan pada gambar. 2.2.

Gabungan (jumlah) dari beberapa set didefinisikan dengan cara yang sama

di mana himpunan yang dihasilkan adalah himpunan semua elemen yang termasuk dalam setidaknya salah satu himpunan: .

Persimpangan (produk) dari set TETAPI dan PADA disebut himpunan D, terdiri dari unsur-unsur yang termasuk secara bersamaan dan dalam TETAPI, dan masuk :

Interpretasi geometris dari persimpangan ditunjukkan pada gambar. 2.3.

Perpotongan beberapa himpunan didefinisikan dengan cara yang sama

sebagai satu set yang terdiri dari elemen-elemen yang termasuk secara bersamaan di semua set.

Operasi penyatuan (penjumlahan) dan irisan (perkalian) himpunan memiliki sejumlah sifat yang mirip dengan sifat penjumlahan dan perkalian bilangan:

1. Properti perpindahan:

2. Sifat asosiatif:

3. properti distribusi:

Menjumlahkan himpunan kosong dan mengalikan dengan himpunan kosong mirip dengan operasi yang sesuai pada bilangan, jika Anda menganggap nol sebagai himpunan kosong:

Beberapa operasi pada himpunan tidak memiliki analog dengan operasi biasa pada bilangan, khususnya

Aksioma teori probabilitas dan konsekuensinya.

Aturan penjumlahan probabilitas

Dengan menggunakan informasi dasar tentang teori himpunan, seseorang dapat memberikan skema teori himpunan untuk membangun teori probabilitas dan aksiomatiknya.

Dalam percobaan dengan hasil acak, ada himpunan semua hasil yang mungkin dari percobaan. Setiap elemen dari himpunan ini disebut acara dasar, himpunan itu sendiri adalah ruang acara dasar. Ada acara TETAPI dalam interpretasi teori himpunan ada beberapa himpunan bagian dari himpunan : . Jika, pada gilirannya, himpunan TETAPI terpecah menjadi beberapa himpunan bagian yang tidak berpotongan ( at ), maka kejadian tersebut disebut “varian” dari kejadian tersebut TETAPI. pada gambar. 2.4 acara TETAPI terbagi menjadi tiga pilihan: .

Misalnya, saat melempar dadu ruang acara dasar. Jika acara , maka opsi acara TETAPI: ,

Subset dari himpunan itu sendiri juga dapat dipertimbangkan - dalam hal ini adalah dapat diandalkan peristiwa. Satu set kosong ditambahkan ke seluruh ruang peristiwa dasar; set ini juga dianggap sebagai event, tapi mustahil.

Interpretasi teoretis himpunan dari sifat-sifat peristiwa yang dipertimbangkan sebelumnya adalah sebagai berikut:

1. Bentuk beberapa acara grup penuh , jika , yaitu jumlah mereka (kombinasi) adalah peristiwa yang dapat diandalkan.

2. Dua acara TETAPI dan PADA ditelepon tidak cocok, jika himpunan yang bersesuaian dengannya tidak berpotongan, yaitu . Beberapa acara disebut berpasangan tidak kompatibel, jika penampilan salah satu dari mereka mengecualikan penampilan masing-masing yang lain: di .

3. Jumlah dua kejadian TETAPI dan PADA disebut peristiwa Dengan, yang terdiri dari pelaksanaan acara TETAPI atau acara PADA, atau kedua peristiwa bersama-sama. Jumlah dari beberapa peristiwa adalah suatu peristiwa yang terdiri dari pelaksanaan setidaknya satu dari mereka.

4. Produk dari dua peristiwa TETAPI dan PADA disebut peristiwa D, yang terdiri dari pelaksanaan acara bersama TETAPI dan acara PADA. Produk dari beberapa peristiwa adalah peristiwa yang terdiri dari eksekusi bersama dari semua peristiwa ini.

5. Di depan sehubungan dengan acara tersebut TETAPI disebut peristiwa yang terdiri dari non-penampilan TETAPI dan acara pelengkap yang sesuai TETAPI untuk (lihat Gambar 2.5).

Berdasarkan interpretasi di atas peristiwa sebagai set, aksioma teori probabilitas dirumuskan.

Setiap acara TETAPI sejumlah tertentu ditetapkan, yang disebut peluang kejadian. Karena setiap kejadian adalah himpunan, maka peluang suatu kejadian adalah mengatur fungsi.

Peluang kejadian ini harus memenuhi aksioma berikut:

1. Probabilitas suatu kejadian antara nol dan satu:

2. Jika TETAPI dan PADA adalah peristiwa yang tidak kompatibel, yaitu, maka

Aksioma ini dapat dengan mudah digeneralisasikan dengan sifat asosiatif tambahan untuk sejumlah acara. Jika pada , maka

yaitu peluang jumlah acara yang tidak kompatibel sama dengan jumlah peluang kejadian-kejadian tersebut.

Aksioma ini disebut tambahan "teorema"(untuk skema kasus bisa dibuktikan), atau aturan penjumlahan peluang.

3. Jika tersedia set yang dapat dihitung peristiwa yang tidak sesuai ( at ), maka

Aksioma ini tidak diturunkan dari aksioma sebelumnya dan oleh karena itu diformulasikan sebagai aksioma tersendiri.

Untuk skema kasus (skema guci), yaitu, untuk kejadian yang memiliki sifat kelengkapan, ketidakcocokan, dan ekuipotensial, seseorang dapat menurunkan rumus klasik (1.1) untuk menghitung peluang secara langsung dari aturan penjumlahan (2.1).

Biarkan hasil percobaan disajikan dalam bentuk n kasus yang tidak kompatibel. Kesempatan mendukung acara TETAPI jika itu mewakili subset TETAPI(), atau, dengan kata lain, ini adalah varian dari acara TETAPI. Karena mereka membentuk kelompok yang lengkap, maka

Menurut aturan penjumlahan

di mana kita mendapatkan

Setelah mensubstitusi ekspresi yang diperoleh ke dalam (2.3), kami memiliki

Q.E.D.

Rumus (2.3) juga dapat diturunkan untuk lebih dari dua kejadian bersama.

Selama beberapa abad setelah awal studi sistematisnya, konsep dasar teori probabilitas belum didefinisikan dengan jelas. Ketidakjelasan definisi dasar sering membawa peneliti ke kesimpulan yang bertentangan, dan aplikasi probabilistik praktis kurang didukung. Pengembangan lebih lanjut ilmu alam memerlukan studi sistematis tentang konsep dasar teori probabilitas dan penentuan kondisi di mana dimungkinkan untuk menggunakan hasilnya. Yang paling penting adalah pembuktian logis formal dari teori probabilitas, yang, khususnya, pada tahun 1900 D. Hilbert diklasifikasikan sebagai masalah kritis matematika.

Prinsip konstruksi logis-formal mensyaratkan bahwa dasar teori probabilitas adalah beberapa premis aksiomatik, yang merupakan generalisasi dari teori-teori yang telah berusia berabad-abad. pengalaman manusia. Pengembangan lebih lanjut dari konsep probabilistik harus dibangun dengan cara deduksi dari posisi aksiomatik tanpa menggunakan ide-ide kabur dan intuitif. Sudut pandang ini pertama kali dikembangkan pada tahun 1917. Matematikawan Soviet S.N. berstein. Pada saat yang sama, S.N. Bershtein berasal dari perbandingan kualitatif peristiwa acak menurut probabilitasnya yang lebih besar atau lebih kecil. Sebuah konstruksi matematis yang ketat dari teori probabilitas aksiomatik diusulkan oleh A.N. Kolmogorov pada tahun 1933, menghubungkan erat teori probabilitas dengan teori himpunan dan teori ukuran. Definisi aksiomatik probabilitas sebagai kasus khusus mencakup klasik dan definisi statistik dan mengatasi kekurangan masing-masing.

Titik awal A.N. Kolmogorov adalah himpunan kejadian dasar , in sastra khusus disebut ruang fase dan secara tradisional dilambangkan dengan . Setiap peristiwa yang dapat diamati yang probabilitasnya perlu ditentukan dapat direpresentasikan sebagai beberapa subset dari ruang fase. Oleh karena itu, bersama dengan himpunan , himpunan dari himpunan bagian dari peristiwa elementer dipertimbangkan, yang penunjukan simbolisnya bisa sewenang-wenang. Sebuah peristiwa tertentu diwakili oleh seluruh ruang fase. Himpunan disebut aljabar himpunan jika memenuhi persyaratan berikut:
1) , ;
2) fakta bahwa A menyiratkan bahwa $\bar A \in \Theta $ juga;
3) fakta bahwa A dan B menyiratkan bahwa A B dan A B∈ .

Jika, selain yang di atas, persyaratan berikut terpenuhi:
4) fakta bahwa A n ∈ (untuk n = 1,2...) menyiratkan bahwa $\mathop \cup \limits_n (A_n) \in \Theta $ and $\mathop \cap \limits_n (A_n ) \in \Theta $, maka himpunan disebut -aljabar. Unsur-unsur disebut kejadian acak.

Operasi pada peristiwa acak dalam teori probabilitas aksiomatik dipahami sebagai operasi pada himpunan yang sesuai. Akibatnya, dimungkinkan untuk membangun korespondensi timbal balik antara istilah bahasa teori himpunan dan bahasa teori probabilitas.

Sebagai aksioma yang mendefinisikan probabilitas, A.N. Kolmogorov menerima pernyataan berikut:

Aksioma 1. Untuk masing-masing kejadian acak Dan selaras bilangan non-negatif P (A) , disebut probabilitasnya.
Aksioma 2. P(Ω)=1.
Aksioma 3 (aksioma penjumlahan). Jika kejadian A 1 , A 2 ,...,A n tidak berpasangan, maka

P(A 1 + A 2 +...+ A n) = P(A 1) + P(A 2) +...+ P(A n).

Pernyataan berikut adalah konsekuensi dari aksioma yang dirumuskan.

1. Probabilitas suatu kejadian yang tidak mungkin adalah nol: P(∅) = 0.
2. Untuk kejadian apapun A $P(\bar A) = 1 - P(A)$.
3. Apapun kejadian acak A, 0 P(A) 1.
4. Jika kejadian A melibatkan kejadian B, maka P(A) P(B).

Ruang peluang biasanya disebut rangkap tiga simbol (Ω, , P), di mana adalah himpunan kejadian elementer , – adalah aljabar dari himpunan bagian dari , disebut kejadian acak, dan P(A) adalah probabilitas didefinisikan pada , aljabar .

Jadi, menurut aksioma A.N. Kolmogorov, setiap peristiwa yang diamati diberi nomor non-negatif tertentu, yang disebut peluang peristiwa ini, sehingga peluang seluruh ruang fase sama dengan 1, dan properti aditif sigma. Properti terakhir berarti bahwa dalam kasus peristiwa berpasangan yang saling eksklusif, probabilitas terjadinya menurut paling sedikit dari satu (dan karena ketidakcocokan berpasangan, tepat satu) peristiwa yang diamati bertepatan dengan jumlah probabilitas peristiwa yang diamati dari himpunan terbatas atau terhitung dari peristiwa yang diamati.

Dalam kasus definisi probabilitas pada - aljabar yang terdiri dari beberapa himpunan bagian dari , yang pertama tidak dapat diperluas ke himpunan bagian lain dari sedemikian rupa sehingga sifat aditif sigma dipertahankan, kecuali terdiri dari a jumlah elemen yang terbatas atau dapat dihitung. Pengenalan sigma-aditifitas juga telah menyebabkan sejumlah paradoks. Oleh karena itu, bersama dengan sigma-aditivitas, properti aditif, yang dipahami sebagai ekuivalensi ukuran penyatuan dua peristiwa yang tidak sesuai dengan jumlah ukuran peristiwa-peristiwa ini. Namun, segera ditunjukkan bahwa mengganti aditif sigma dengan aditif tidak hanya tidak menyelesaikan semua masalah, tetapi juga mengarah pada hasil paradoks lainnya.

Sistem aksioma Kolmogorov relatif konsisten dan tidak lengkap, memungkinkan Anda untuk membangun teori probabilitas sebagai bagian dari teori ukuran, dan mempertimbangkan probabilitas sebagai fungsi himpunan aditif ternormalisasi non-negatif. Meskipun dalam teori probabilitas A.N. Probabilitas Kolmogorov selalu non-negatif, beberapa teorema dalam teori probabilitas dapat digeneralisasi untuk kasus ketika angka negatif bertindak sebagai probabilitas, dan juga memperoleh generalisasi probabilitas lainnya.

Beberapa fundamental teori matematika mewarisi konsep dasar, konstruksi dan terminologi teori probabilitas. Seperti, khususnya, adalah teori kemungkinan, yang juga mempertimbangkan ruang kemungkinan dan peristiwa dasar, - aljabar.

Aksiomatik Teori Probabilitas

Disarankan di atas definisi klasik probabilitas bersama dengan manfaat yang jelas, terutama kesederhanaan dan kejelasan intuitif, memiliki sejumlah kelemahan signifikan: ia hanya menyediakan serangkaian peristiwa dasar yang terbatas atau dapat dihitung dan pengetahuan tentang probabilitasnya adalah wajib. Semua ini tidak selalu demikian, dan oleh karena itu definisi yang diperkenalkan tidak cukup umum. Saat ini, konstruksi aksiomatik teori probabilitas telah diterima secara umum.

Dalam matematika, aksioma adalah proposisi yang diterima sebagai kebenaran dan tidak terbukti dalam kerangka teori yang diberikan. Semua ketentuan lain dari teori ini harus diturunkan secara murni cara yang logis dari aksioma yang diterima. Rumusan aksioma bukanlah tahap awal perkembangan ilmu matematika, tetapi merupakan hasil dari akumulasi panjang fakta dan analisis logis diperoleh hasil guna mengungkap fakta primer yang benar-benar mendasar. Ini adalah bagaimana aksioma geometri terbentuk. Teori probabilitas telah melewati jalan yang sama, di mana konstruksi aksiomatik dari fondasinya adalah masalah masa lalu yang relatif baru. Untuk pertama kalinya, masalah konstruksi aksiomatik teori probabilitas diselesaikan pada tahun 1917 oleh ahli matematika Soviet S.N. Bernstein.

Saat ini aksiomatika Akademisi A.N. Kolmogorov (1933), yang menghubungkan teori probabilitas dengan teori himpunan dan teori fungsi metrik.

Dalam aksioma A.N. Kolmogorov, ruang (set) dari hasil dasar adalah yang utama. Untuk apa elemen dari himpunan ini? perkembangan logis teori probabilitas tidak relevan. Selanjutnya, kita pertimbangkan beberapa sistem F dari himpunan bagian dari himpunan ; elemen dari sistem F disebut kejadian acak. Mengenai struktur sistem F, tiga persyaratan berikut diasumsikan terpenuhi:

1. Subset F berisi kejadian tertentu sebagai elemen.

2. Jika A dan B adalah dua kejadian yang didefinisikan pada , termasuk dalam himpunan bagian F sebagai elemen, maka himpunan bagian F juga mengandung A + B, A B sebagai elemen,

3. Jika kejadian 1 , 2 , …, yang didefinisikan pada , adalah anggota dari himpunan bagian F, maka jumlah mereka dan bekerja juga merupakan elemen dari himpunan bagian F.

Himpunan F yang terbentuk dengan cara yang dijelaskan di atas disebut "-aljabar peristiwa".

Sekarang kita beralih ke rumusan aksioma yang mendefinisikan probabilitas.

Aksioma 1.(aksioma keberadaan probabilitas). Setiap kejadian acak A dari aljabar kejadian F dikaitkan dengan bilangan tak negatif p(A), yang disebut probabilitasnya.

Aksioma 2.(probabilitas kejadian tertentu). Peluang suatu kejadian tertentu sama dengan 1: (Ω)=1. (1.15)

Aksioma 3.(aksioma penjumlahan). Jika kejadian A dan B tidak kompatibel, maka

P(A+B) = P(A)+P(B). (1.16)

Aksioma 4.(aksioma penjumlahan yang diperluas). Jika kejadian A ekuivalen dengan kemunculan paling sedikit satu dari kejadian tidak kompatibel berpasangan A 1 , A 2 , …, yaitu , maka peluang kejadian A sama dengan

TUJUAN KULIAH: untuk memperkenalkan informasi dasar dari teori himpunan; merumuskan aksioma teori probabilitas, konsekuensinya dan aturan untuk menambahkan probabilitas.

Informasi dasar dari teori himpunan

banyak kumpulan objek apa pun yang bersifat arbitrer disebut, yang masing-masing disebut mengatur elemen.

Contoh himpunan: banyak mahasiswa dalam satu kuliah; himpunan titik-titik pada bidang yang terletak di dalam lingkaran berjari-jari r; himpunan titik pada sumbu nyata, jarak dari mana ke titik b dengan absis sebuah kurang dari d; himpunan bilangan asli.

Himpunan dilambangkan dengan cara yang berbeda. Sekelompok M bilangan asli dari 1 sampai 100 dapat ditulis sebagai

Himpunan titik pada sumbu angka, jarak dari mana ke titik b dengan absis sebuah kurang dari d, dapat ditulis sebagai

di mana x- absis titik.

Himpunan titik-titik bidang yang terletak di dalam atau pada batas lingkaran berjari-jari r berpusat pada asal,

di mana x, kamu adalah koordinat Cartesian dari titik tersebut.

Entri lain dari set ini

di mana adalah salah satu koordinat kutub dari titik tersebut.

Menurut jumlah elemen, himpunan dibagi menjadi: terakhir dan tak berujung. Himpunan berhingga dan terdiri dari 100 elemen. Tetapi suatu himpunan juga dapat terdiri dari satu elemen dan bahkan tidak mengandung elemen sama sekali.

Himpunan semua bilangan asli tidak terbatas, seperti halnya himpunan bilangan genap tidak terbatas.

Himpunan tak hingga disebut dapat dihitung jika semua elemennya dapat diatur dalam beberapa urutan dan diberi nomor (baik himpunan, dan , dapat dihitung).

Set S dan C tidak terbatas dan tidak terhitung (elemennya tidak dapat diberi nomor).

Dua set A dan B cocok, jika terdiri dari elemen yang sama: dan . Kebetulan himpunan dilambangkan dengan tanda sama dengan: A=B. Notasi tersebut berarti benda sebuah adalah elemen himpunan TETAPI atau " sebuah milik TETAPI". Entri lain berarti bahwa " sebuah bukan milik TETAPI".

Himpunan yang tidak mengandung unsur disebut kosong dan dilambangkan dengan simbol .

Sekelompok PADA disebut himpunan bagian (bagian) dari himpunan TETAPI jika semua elemen PADA juga terkandung dalam TETAPI, dan dilambangkan sebagai atau . Sebagai contoh, .

Suatu himpunan bagian dapat sama dengan himpunan itu sendiri. Secara grafis, Anda dapat menggambarkan hubungan antara himpunan dan subset, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 2.1, di mana setiap titik pada gambar PADA milik sosok itu TETAPI, yaitu .

Gabungan (jumlah) himpunan TETAPI dan PADA disebut himpunan yang terdiri dari semua elemen TETAPI dan semua elemen PADA. Jadi, serikat pekerja adalah kumpulan elemen yang dimiliki setidaknya satu dari himpunan gabungan.

Sebagai contoh: .

Interpretasi geometris dari penyatuan dua himpunan TETAPI dan PADA ditunjukkan pada gambar. 2.2.

Gabungan (jumlah) dari beberapa set didefinisikan dengan cara yang sama

di mana himpunan yang dihasilkan adalah himpunan semua elemen yang termasuk dalam setidaknya salah satu himpunan: .

Persimpangan (produk) dari set TETAPI dan PADA disebut himpunan D, terdiri dari unsur-unsur yang termasuk secara bersamaan dan dalam TETAPI, dan masuk :

.

Interpretasi geometris dari persimpangan ditunjukkan pada gambar. 2.3.

Perpotongan beberapa himpunan didefinisikan dengan cara yang sama

sebagai satu set yang terdiri dari elemen-elemen yang termasuk secara bersamaan di semua set.

Operasi penyatuan (penjumlahan) dan irisan (perkalian) himpunan memiliki sejumlah sifat yang mirip dengan sifat penjumlahan dan perkalian bilangan:

1. Properti perpindahan:

2. Sifat asosiatif:

3. Properti distribusi:

Menjumlahkan himpunan kosong dan mengalikan dengan himpunan kosong mirip dengan operasi yang sesuai pada bilangan, jika Anda menganggap nol sebagai himpunan kosong:

Beberapa operasi pada himpunan tidak memiliki analog dengan operasi biasa pada bilangan, khususnya

Aksioma teori probabilitas dan konsekuensinya.

Aturan penjumlahan probabilitas

Dengan menggunakan informasi dasar tentang teori himpunan, seseorang dapat memberikan skema teori himpunan untuk membangun teori probabilitas dan aksiomatiknya.

Dalam percobaan dengan hasil acak, ada himpunan semua hasil yang mungkin dari percobaan. Setiap elemen dari himpunan ini disebut acara dasar, himpunan itu sendiri adalah ruang acara dasar. Ada acara TETAPI dalam interpretasi teori himpunan ada beberapa himpunan bagian dari himpunan : . Jika, pada gilirannya, himpunan TETAPI terpecah menjadi beberapa himpunan bagian yang tidak berpotongan ( at ), maka kejadian tersebut disebut “varian” dari kejadian tersebut TETAPI. pada gambar. 2.4 acara TETAPI terbagi menjadi tiga pilihan: .

Misalnya, saat melempar dadu, ruang kejadian dasar . Jika acara , maka opsi acara TETAPI: ,

Subset dari himpunan itu sendiri juga dapat dipertimbangkan - dalam hal ini adalah dapat diandalkan peristiwa. Satu set kosong ditambahkan ke seluruh ruang peristiwa dasar; set ini juga dianggap sebagai event, tapi mustahil.

Interpretasi teoretis himpunan dari sifat-sifat peristiwa yang dipertimbangkan sebelumnya adalah sebagai berikut:

1. Bentuk beberapa acara grup penuh, jika , yaitu jumlah mereka (kombinasi) adalah peristiwa yang dapat diandalkan.

2. Dua acara TETAPI dan PADA ditelepon tidak cocok, jika himpunan yang bersesuaian dengannya tidak berpotongan, yaitu . Beberapa acara disebut berpasangan tidak kompatibel, jika penampilan salah satu dari mereka mengecualikan penampilan masing-masing yang lain: di .

3. Jumlah dua kejadian TETAPI dan PADA disebut peristiwa Dengan, yang terdiri dari pelaksanaan acara TETAPI atau acara PADA, atau kedua peristiwa bersama-sama. Jumlah dari beberapa peristiwa adalah suatu peristiwa yang terdiri dari pelaksanaan setidaknya satu dari mereka.

4. Produk dari dua peristiwa TETAPI dan PADA disebut peristiwa D, yang terdiri dari pelaksanaan acara bersama TETAPI dan acara PADA. Produk dari beberapa peristiwa adalah peristiwa yang terdiri dari eksekusi bersama dari semua peristiwa ini.

5. Di depan sehubungan dengan acara tersebut TETAPI disebut peristiwa yang terdiri dari non-penampilan TETAPI dan acara pelengkap yang sesuai TETAPI untuk (lihat Gambar 2.5).

Berdasarkan interpretasi di atas peristiwa sebagai set, aksioma teori probabilitas dirumuskan.

Setiap acara TETAPI sejumlah tertentu ditetapkan, yang disebut peluang kejadian. Karena setiap kejadian adalah himpunan, maka peluang suatu kejadian adalah mengatur fungsi.

Peluang kejadian ini harus memenuhi aksioma berikut:

1. Probabilitas suatu kejadian antara nol dan satu:

2. Jika TETAPI dan PADA adalah peristiwa yang tidak kompatibel, yaitu, maka

Aksioma ini dapat dengan mudah digeneralisasikan menggunakan sifat asosiatif penjumlahan sejumlah kejadian. Jika pada , maka

yaitu, probabilitas jumlah kejadian yang tidak sesuai sama dengan jumlah probabilitas kejadian ini.

Aksioma ini disebut tambahan "teorema"(untuk skema kasus bisa dibuktikan), atau aturan penjumlahan peluang.

3. Jika tersedia set yang dapat dihitung peristiwa yang tidak sesuai ( at ), maka

Aksioma ini tidak diturunkan dari aksioma sebelumnya dan oleh karena itu diformulasikan sebagai aksioma tersendiri.

Untuk skema kasus (skema guci), yaitu, untuk kejadian yang memiliki sifat kelengkapan, ketidakcocokan, dan ekuipotensial, seseorang dapat menurunkan rumus klasik (1.1) untuk menghitung peluang secara langsung dari aturan penjumlahan (2.1).

Biarkan hasil percobaan disajikan dalam bentuk n kasus yang tidak kompatibel. Kesempatan mendukung acara TETAPI jika itu mewakili subset TETAPI(), atau, dengan kata lain, ini adalah varian dari acara TETAPI. Karena mereka membentuk kelompok yang lengkap, maka

Tetapi semua kasus tidak cocok, dan aturan penambahan probabilitas berlaku untuk mereka

Selain itu, karena semua kejadian sama-sama mungkin, maka

Kasus-kasus yang menguntungkan suatu peristiwa membentuk variannya, dan karena probabilitas masing-masingnya adalah , maka dengan aturan penjumlahan kita dapatkan

Tapi ini adalah rumus klasik (1.1).

Konsekuensi dari aturan penjumlahan probabilitas

1. Jumlah probabilitas dari sekelompok lengkap peristiwa yang tidak kompatibel sama dengan satu, yaitu jika

Bukti. Karena acara tidak kompatibel, aturan penambahan berlaku untuk mereka

2. Jumlah peluang kejadian yang berlawanan sama dengan satu:

sebagai acara TETAPI dan membentuk kelompok yang utuh.

Aturan ini banyak digunakan dalam masalah di mana lebih mudah untuk menghitung probabilitas dari kejadian yang berlawanan.

3. Jika peristiwa TETAPI dan PADA kompatibel, yaitu, maka

Bukti. Direpresentasikan sebagai jumlah opsi yang tidak kompatibel (tidak tumpang tindih) (lihat Gambar 2.6)

Menurut aturan penjumlahan

di mana kita mendapatkan

Setelah mensubstitusi ekspresi yang diperoleh ke dalam (2.3), kami memiliki

Q.E.D.

Rumus (2.3) juga dapat diturunkan untuk lebih dari dua kejadian bersama.

Membiarkan menjadi ruang peristiwa dasar, menjadi aljabar peristiwa (aljabar himpunan bagian dari himpunan). Lima aksioma berikut mendasari teori probabilitas.

1. Aljabar kejadian adalah – aljabar kejadian.

Sistem peristiwa disebut - aljabar, jika untuk setiap urutan peristiwa, penyatuan, persimpangan, dan penambahannya juga termasuk, mis. , juga peristiwa. Jadi, - aljabar adalah sistem kejadian tertutup di bawah operasi komplemen, serikat yang dapat dihitung dan persimpangan yang dapat dihitung.

2. Pada - aljabar kejadian, untuk sembarang, sebuah fungsi didefinisikan, yang disebut probabilitas dan pengambilan nilai numerik dari selang : .

Aksioma ini adalah aksioma keberadaan probabilitas - sebagai fungsi dari dengan nilai-nilai dari interval. Tiga aksioma berikutnya mendefinisikan sifat-sifat suatu fungsi.

3. Untuk setiap dua kejadian sedemikian sehingga

Aksioma penjumlahan peluang.

Oleh karena itu, untuk sejumlah terbatas peristiwa yang tidak kompatibel

4. Biarkan, - peristiwa yang tidak kompatibel berpasangan: dan biarkan. Kemudian

Relasi (15.3) disebut aksioma peluang yang dapat dihitung atau aksioma kontinuitas peluang. Yang kedua terkait dengan interpretasi kesetaraan berikut (15.3). Acara harus dipahami sebagai batas urutan

Dalam hal ini, persamaan (15.3) dapat dipahami sebagai sifat kontinuitas fungsi: atau

Yang memungkinkan operasi batas dikeluarkan dari fungsi. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa kondisi (15.5) menyiratkan (15.3):

Aksioma kelima menunjukkan bahwa ruang peristiwa dasar adalah peristiwa tertentu. Dengan demikian, ini berisi semua peristiwa yang dapat dipertimbangkan dalam masalah ini.

Ruang peristiwa dasar, - aljabar peristiwa dan peluang, memenuhi aksioma 1-5, membentuk apa yang disebut ruang peluang, yang biasanya dilambangkan.

Perhatikan bahwa sistem aksioma 1-5 tidak bertentangan, karena ada yang memenuhi aksioma ini dan tidak lengkap, karena probabilitas dapat didefinisikan dalam banyak cara dalam kerangka aksioma 2-5. Konsep ruang probabilitas (atau sistem aksioma 1-5) hanya berisi sebagian besar Persyaratan Umum dikirim ke model matematika fenomena acak, dan tidak secara unik menentukan probabilitas. Yang terakhir hanya mungkin jika kondisi tambahan diberikan dalam perumusan masalah yang sedang dibahas.

Ruang probabilitas diskrit

Sebuah ruang probabilitas disebut diskrit jika terbatas atau dapat dihitung, - - aljabar dari semua himpunan bagian (termasuk), probabilitas didefinisikan untuk setiap himpunan bagian satu titik dari ruang peristiwa elementer:

Untuk setiap peristiwa, probabilitasnya ditentukan oleh kesetaraan

Contoh - aljabar

17.1. Membiarkan menjadi ruang sewenang-wenang dari peristiwa dasar di mana tidak ada peristiwa yang ditentukan. Untuk membangun aljabar, menurut definisi (item 15), perlu untuk mempertimbangkan semua penambahan, penyatuan, dan persimpangan mengatur acara dan memasukkannya ke dalam - aljabar. Karena di kasus ini ada satu peristiwa, adalah mungkin untuk membangun hanya pelengkapnya. Sekarang ada sistem dua peristiwa ( ). Penerapan lebih lanjut dari operasi penjumlahan, penyatuan, persimpangan tidak memberikan kejadian baru. Jadi, dalam contoh ini- aljabar.

17.2. Membiarkan menjadi ruang peristiwa dasar dan menjadi beberapa peristiwa yang tidak bertepatan dengan, mis. . Jadi, ada sistem dua peristiwa. Sistem ini dapat diperluas untuk memasukkan kejadian baru yang diperoleh sebagai hasil penjumlahan, penyatuan, operasi perpotongan pada kejadian. Masuk akal untuk melanjutkan prosedur perluasan sistem peristiwa secara berulang sampai munculnya peristiwa baru berhenti. Sistem pembatas kejadian disebut aljabar yang dihasilkan oleh sistem kejadian.

Pertimbangkan operasi penambahan pada peristiwa sistem. Hasilnya adalah peristiwa baru yang tidak terkandung dalam sistem asli, penyertaan yang memberikan sistem baru acara

Jelas, operasi penjumlahan, penyatuan, persimpangan selanjutnya tidak memberikan kejadian baru yang tidak terkandung dalam (17.1). Dengan demikian, sistem kejadian (17.1) adalah aljabar yang dihasilkan oleh sistem.

17.3. Mari kita memperumit contoh. Membiarkan menjadi ruang peristiwa dasar, menjadi dua peristiwa yang tidak kompatibel, sehingga. Jadi, ada sistem tiga peristiwa. Operasi serikat pada peristiwa sistem ini menghasilkan munculnya satu peristiwa baru. Sistem yang dihasilkan dari empat peristiwa diperluas menjadi delapan dengan memasukkan penambahannya. Sangat mudah untuk melihat bahwa penerapan operasi penjumlahan, penyatuan, persimpangan ke delapan peristiwa ini tidak menghasilkan peristiwa baru. Jadi sistem delapan peristiwa

adalah aljabar yang dihasilkan oleh sistem kejadian.

17.4. Pertimbangkan - ruang peristiwa dasar dan dua peristiwa sewenang-wenang, gbr. 17.1. Untuk menyusun aljabar yang dihasilkan oleh sistem kejadian tertentu, dalam banyak kasus akan lebih mudah untuk menerapkan metode berikut.

Kami memilih semua peristiwa yang tidak kompatibel, Gambar. 17.1. Pada saat yang sama, dll. - aljabar akan berisi semua peristiwa, semua gabungan peristiwa, dan juga peristiwa yang tidak mungkin. Memang, operasi perpotongan setiap peristiwa dari himpunan menghasilkan satu peristiwa. Operasi penjumlahan pada kejadian dari himpunan menghasilkan kejadian, yang diekspresikan melalui penyatuan kejadian. Akibatnya, cukup untuk mempertimbangkan hanya operasi penyatuan atas peristiwa, alih-alih tiga operasi - penambahan, persimpangan, penyatuan untuk sistem peristiwa asli.

Sekarang, untuk membangun - aljabar, pertimbangkan peristiwa, semua kombinasinya dan ekspresikan peristiwa yang dihasilkan melalui yang asli. Jelas sekali: , . Serikat berpasangan memberikan peristiwa berikut: , ; , ; . Serikat rangkap tiga: , .

Jadi, - aljabar berisi kejadian: , ; , ; , serta dan - total 16 acara.

Perhatikan bahwa ketika mendefinisikan - aljabar, sistem pembangkit peristiwa, sebagai aturan, terdiri dari peristiwa yang diamati dalam percobaan.

Kami mencatat bahwa peristiwa bertepatan dengan peristiwa (8.1), yang dipertimbangkan ketika menurunkan rumus penambahan untuk frekuensi. Memang, dan akhirnya, dengan rumus (6.1) .

17.5. Pertimbangkan generalisasi Contoh 4. Biarkan sistem asli peristiwa - berisi peristiwa sewenang-wenang. Untuk menyusun aljabar, seperti contoh 4, kami memperkenalkan peristiwa-peristiwa dalam bentuk

dimana masing-masing atau, dan dan. Karena masing-masing dapat mengambil dua nilai 0 atau 1, jumlah semua kejadian dalam bentuk adalah sama. Peristiwa ini membentuk kelompok lengkap peristiwa yang tidak kompatibel. Dengan demikian, peristiwa pada aljabar - memainkan peran basis ortogonal, yang memungkinkan untuk mewakili acara sewenang-wenang melalui peristiwa yang tidak kompatibel (ortogonal dalam arti operasi persimpangan). Dalam teori himpunan, himpunan sejenis disebut konstituen. Aparat konstituen memungkinkan kita untuk menunjukkan bahwa dalam contoh ini jumlah semua peristiwa - aljabar tidak melebihi (termasuk dan), dan jumlah peristiwa mencapai nilai maksimum ketika semua berbeda dari (seperti dalam contoh 4). Hasil ini memungkinkan untuk menilai tingkat pertumbuhan yang tinggi dari jumlah peristiwa di - aljabar tergantung pada - jumlah peristiwa dalam sistem asli. Misalnya 4, jumlah, oleh karena itu, jumlah kejadian di - aljabar adalah sama.