რიცხვითი მიმდევრობის კონცეფცია გულისხმობს, რომ თითოეული ნატურალური რიცხვი შეესაბამება გარკვეულ რეალურ მნიშვნელობას. რიცხვების ასეთი სერია შეიძლება იყოს თვითნებურიც და ჰქონდეს გარკვეული თვისებები - პროგრესია. AT ბოლო შემთხვევათანმიმდევრობის ყოველი მომდევნო ელემენტი (წევრი) შეიძლება გამოითვალოს წინას გამოყენებით.

არითმეტიკული პროგრესია - თანმიმდევრობა რიცხვითი მნიშვნელობები, რომელშიც მისი მეზობელი წევრები ერთი და იგივე რაოდენობით განსხვავდებიან ერთმანეთისგან (სერიის ყველა ელემენტს, მე-2-დან დაწყებული, მსგავსი თვისება აქვს). მოცემული ნომერი- წინა და მომდევნო წევრებს შორის სხვაობა მუდმივია და მას პროგრესიის სხვაობა ეწოდება.

პროგრესის განსხვავება: განმარტება

განვიხილოთ თანმიმდევრობა, რომელიც შედგება j მნიშვნელობებისაგან A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j ეკუთვნის ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს N. არითმეტიკული პროგრესია, მისი განმარტების მიხედვით, არის თანმიმდევრობა, რომელშიც a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) - a(j-1) = d. d-ის მნიშვნელობა არის ამ პროგრესიის სასურველი განსხვავება.

d = a(j) - a(j-1).

გამოყოფა:

• მზარდი პროგრესია, ამ შემთხვევაში d > 0. მაგალითი: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• პროგრესირების შემცირება, შემდეგ დ< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

პროგრესირების განსხვავება და მისი თვითნებური ელემენტები

თუ ცნობილია პროგრესიის 2 თვითნებური წევრი (i-th, k-th), მაშინ ამ მიმდევრობის განსხვავება შეიძლება დადგინდეს მიმართების საფუძველზე:

a(i) = a(k) + (i - k)*d, ასე რომ d = (a(i) - a(k))/(i-k).

პროგრესირების განსხვავება და მისი პირველი ტერმინი

ეს გამოთქმა დაგეხმარებათ უცნობი მნიშვნელობის დადგენაში მხოლოდ იმ შემთხვევებში, როდესაც ცნობილია მიმდევრობის ელემენტის რაოდენობა.

პროგრესირების სხვაობა და მისი ჯამი

პროგრესიის ჯამი არის მისი წევრების ჯამი. მისი პირველი j ელემენტების ჯამური მნიშვნელობის გამოსათვლელად გამოიყენეთ შესაბამისი ფორმულა:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, მაგრამ მას შემდეგ a(j) = a(1) + d(j – 1), შემდეგ S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

პირველი დონე

არითმეტიკული პროგრესია. დეტალური თეორიამაგალითებით (2019)

რიცხვითი თანმიმდევრობა

მოდით დავსხდეთ და დავიწყოთ რამდენიმე რიცხვის წერა. Მაგალითად:
თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ნებისმიერი რიცხვი და შეიძლება იყოს რამდენიც გსურთ (ჩვენს შემთხვევაში, ისინი). რამდენი რიცხვიც არ უნდა დავწეროთ, ყოველთვის შეგვიძლია ვთქვათ, რომელია პირველი, რომელია მეორე და ასე შემდეგ ბოლომდე, ანუ შეგვიძლია მათი დათვლა. ეს არის რიცხვების თანმიმდევრობის მაგალითი:

რიცხვითი თანმიმდევრობა
მაგალითად, ჩვენი თანმიმდევრობისთვის:

მინიჭებული ნომერი სპეციფიკურია მხოლოდ ერთი რიგითი ნომრისთვის. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მიმდევრობაში არ არის სამი მეორე რიცხვი. მეორე რიცხვი (ისევე როგორც -ე რიცხვი) ყოველთვის იგივეა.
რიცხვის მქონე რიცხვს მიმდევრობის მე-მე წევრი ეწოდება.

ჩვენ ჩვეულებრივ მთელ მიმდევრობას ვუწოდებთ რაღაც ასოს (მაგალითად,), და ამ მიმდევრობის თითოეულ წევრს - იგივე ასო, ამ წევრის რაოდენობის ტოლი ინდექსით: .

ჩვენს შემთხვევაში:

ვთქვათ გვაქვს რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომელშიც მეზობელ რიცხვებს შორის სხვაობა ერთნაირი და ტოლია.
Მაგალითად:

და ა.შ.
ასეთ რიცხვობრივ მიმდევრობას არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება.
ტერმინი „პროგრესი“ შემოიღო რომაელმა ავტორმა ბოეტიუსმა ჯერ კიდევ მე-6 საუკუნეში და გაიგო უფრო ფართო გაგებით, როგორც უსასრულო რიცხვების მიმდევრობა. სახელწოდება "არითმეტიკა" გადავიდა უწყვეტი პროპორციების თეორიიდან, რომლითაც ძველი ბერძნები იყვნენ დაკავებულნი.

ეს არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის თითოეული წევრი უდრის წინას, დამატებული იგივე რიცხვით. ამ რიცხვს სხვაობა ჰქვია არითმეტიკული პროგრესიადა აღინიშნება.

შეეცადეთ დაადგინოთ, რომელი რიცხვების მიმდევრობაა არითმეტიკული პროგრესია და რომელი არა:

ა)
ბ)
გ)
დ)

Გავიგე? შეადარეთ ჩვენი პასუხები:
არისარითმეტიკული პროგრესია - b, c.
Არ არისარითმეტიკული პროგრესია - ა, დ.

დავუბრუნდეთ მოცემულ პროგრესიას () და ვეცადოთ ვიპოვოთ მისი th წევრის მნიშვნელობა. არსებობს ორიმისი პოვნის გზა.

1. მეთოდი

ჩვენ შეგვიძლია დავამატოთ პროგრესიის ნომრის წინა მნიშვნელობა, სანამ არ მივაღწევთ პროგრესიის მე-6 ტერმინს. კარგია, რომ შეჯამება ბევრი არ გვაქვს - მხოლოდ სამი მნიშვნელობა:

ასე რომ, აღწერილი არითმეტიკული პროგრესიის მე-მე წევრი უდრის.

2. მეთოდი

რა მოხდება, თუ გვჭირდებოდა პროგრესიის მე-ე ტერმინის მნიშვნელობის პოვნა? შეჯამება ერთ საათზე მეტს დაგვჭირდებოდა და ფაქტი არ არის, რომ რიცხვების შეკრებისას შეცდომას არ დავუშვებდით.
რა თქმა უნდა, მათემატიკოსებმა მოიგონეს გზა, რომლითაც არ დაგჭირდებათ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობის დამატება წინა მნიშვნელობაზე. დააკვირდით დახატულ სურათს... რა თქმა უნდა, თქვენ უკვე შენიშნეთ გარკვეული ნიმუში, კერძოდ:

მაგალითად, ვნახოთ, რა შეადგენს ამ არითმეტიკული პროგრესიის --ე წევრის მნიშვნელობას:


Სხვა სიტყვებით:

შეეცადეთ დამოუკიდებლად იპოვოთ ამ გზით ამ არითმეტიკული პროგრესიის წევრის მნიშვნელობა.

გათვლილი? შეადარეთ თქვენი ჩანაწერები პასუხთან:

მიაქციეთ ყურადღება, რომ ზუსტად იგივე რიცხვი მიიღეთ, რაც წინა მეთოდში, როდესაც ჩვენ თანმიმდევრულად ვამატებთ არითმეტიკული პროგრესიის წევრებს წინა მნიშვნელობას.
შევეცადოთ "დეპერსონალიზაცია" ეს ფორმულა- მოდი მივიყვანოთ ზოგად ფორმაში და მივიღოთ:

არითმეტიკული პროგრესიის განტოლება.

არითმეტიკული პროგრესიები იზრდება ან მცირდება.

მზარდი- პროგრესები, რომლებშიც ტერმინების ყოველი მომდევნო მნიშვნელობა წინაზე მეტია.
Მაგალითად:

Დაღმავალი- პროგრესები, რომლებშიც ტერმინების ყოველი მომდევნო მნიშვნელობა წინაზე ნაკლებია.
Მაგალითად:

მიღებული ფორმულა გამოიყენება არითმეტიკული პროგრესიის როგორც მზარდი, ისე კლებადი ტერმინების გამოთვლაში.
მოდით შევამოწმოთ პრაქტიკაში.
ჩვენ გვეძლევა არითმეტიკული პროგრესია, რომელიც შედგება შემდეგი რიცხვებისგან:

Მას შემდეგ:

ამრიგად, ჩვენ დავრწმუნდით, რომ ფორმულა მუშაობს როგორც შემცირებაში, ასევე არითმეტიკული პროგრესიის გაზრდისას.
ეცადეთ, დამოუკიდებლად იპოვოთ ამ არითმეტიკული პროგრესიის მე-მე-ე წევრები.

შევადაროთ შედეგები:

არითმეტიკული პროგრესიის თვისება

დავალება გავართულოთ – გამოვიყვანთ არითმეტიკული პროგრესიის თვისებას.
დავუშვათ, რომ გვაქვს შემდეგი პირობა:
- არითმეტიკული პროგრესია, იპოვნეთ მნიშვნელობა.
ადვილია, თქვენ ამბობთ, და დაიწყეთ დათვლა იმ ფორმულის მიხედვით, რომელიც უკვე იცით:

მოდით, ა, მაშინ:

Აბსოლუტურად სწორი. გამოდის, რომ ჯერ ვპოულობთ, შემდეგ ვამატებთ პირველ რიცხვს და ვიღებთ იმას, რასაც ვეძებთ. თუ პროგრესია წარმოდგენილია მცირე მნიშვნელობებით, მაშინ ამაში არაფერია რთული, მაგრამ რა მოხდება, თუ პირობით რიცხვებს მოგვცემენ? გეთანხმებით, არის გამოთვლებში შეცდომების დაშვების შესაძლებლობა.
ახლა დაფიქრდით, შესაძლებელია თუ არა ამ პრობლემის გადაჭრა რომელიმე ფორმულით ერთი ნაბიჯით? რა თქმა უნდა, დიახ, და ჩვენ შევეცდებით ახლავე გამოვიტანოთ.

მოდი აღვნიშნოთ არითმეტიკული პროგრესიის სასურველი ტერმინი, როგორც ვიცით მისი პოვნის ფორმულა - ეს არის იგივე ფორმულა, რომელიც გამოვიღეთ დასაწყისში:
, შემდეგ:

• პროგრესის წინა წევრია:
• პროგრესის შემდეგი ტერმინი არის:

მოდით შევაჯამოთ პროგრესის წინა და შემდეგი წევრები:

გამოდის, რომ პროგრესიის წინა და მომდევნო წევრების ჯამი ორჯერ აღემატება მათ შორის მდებარე პროგრესიის წევრის მნიშვნელობას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, იმისათვის, რომ იპოვოთ პროგრესიული წევრის მნიშვნელობა ცნობილი წინა და თანმიმდევრული მნიშვნელობებით, აუცილებელია მათი დამატება და გაყოფა.

მართალია, იგივე ნომერი მივიღეთ. გავასწოროთ მასალა. თავად გამოთვალეთ პროგრესის ღირებულება, რადგან ეს საერთოდ არ არის რთული.

კარგად გააკეთე! თქვენ თითქმის ყველაფერი იცით პროგრესის შესახებ! რჩება მხოლოდ ერთი ფორმულის გარკვევა, რომელიც, ლეგენდის თანახმად, ყველა დროის ერთ-ერთმა უდიდესმა მათემატიკოსმა, "მათემატიკოსთა მეფემ" - კარლ გაუსმა, თავისთვის ადვილად გამოიტანა...

როდესაც კარლ გაუსი 9 წლის იყო, მასწავლებელმა, რომელიც დაკავებული იყო სხვა კლასის მოსწავლეების მუშაობის შემოწმებით, გაკვეთილზე დაუსვა შემდეგი დავალება: „გამოთვალეთ ყველა ნატურალური რიცხვის ჯამი მდე (სხვა წყაროების მიხედვით) ჩათვლით. " რა იყო მასწავლებელს სიურპრიზი, როდესაც მისმა ერთ-ერთმა მოსწავლემ (ეს იყო კარლ გაუსმა) ერთი წუთის შემდეგ გასცა სწორი პასუხი დავალებას, მაშინ როცა გაბედულის თანაკლასელების უმეტესობამ გრძელი გამოთვლების შემდეგ არასწორი შედეგი მიიღო ...

ახალგაზრდა კარლ გაუსმა შენიშნა ნიმუში, რომელსაც ადვილად შეამჩნევთ.
ვთქვათ, გვაქვს არითმეტიკული პროგრესია, რომელიც შედგება -ti წევრებისაგან: უნდა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის მოცემული წევრების ჯამი. რა თქმა უნდა, ჩვენ შეგვიძლია ხელით შევაჯამოთ ყველა მნიშვნელობა, მაგრამ რა მოხდება, თუ დავალებაში უნდა ვიპოვოთ მისი ტერმინების ჯამი, როგორც ამას გაუსი ეძებდა?

მოდით გამოვსახოთ ჩვენთვის მოცემული პროგრესი. კარგად დააკვირდით მონიშნულ რიცხვებს და შეეცადეთ მათთან ერთად შეასრულოთ სხვადასხვა მათემატიკური მოქმედებები.


სცადე? რა შეამჩნიე? სწორად! მათი ჯამები ტოლია

ახლა უპასუხეთ, რამდენი ასეთი წყვილი იქნება ჩვენთვის მოცემულ პროგრესში? რა თქმა უნდა, ყველა რიცხვის ზუსტად ნახევარი, ანუ.
გამომდინარე იქიდან, რომ არითმეტიკული პროგრესიის ორი წევრის ჯამი ტოლია და მსგავსი ტოლი წყვილი, მივიღებთ, რომ მთლიანი რაოდენობაუდრის:
.
ამრიგად, ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრთა ჯამის ფორმულა იქნება:

ზოგიერთ პრობლემაში ჩვენ არ ვიცით ტერმინი, მაგრამ ვიცით პროგრესირების განსხვავება. შეეცადეთ ჯამის ფორმულაში ჩაანაცვლოთ მე-1 წევრის ფორმულა.
Რა მიიღე?

კარგად გააკეთე! ახლა დავუბრუნდეთ პრობლემას, რომელიც მიეცა კარლ გაუსს: თავად გამოთვალეთ რა არის -th-დან დაწყებული რიცხვების ჯამი და -th-დან დაწყებული რიცხვების ჯამი.

რამდენი მიიღეთ?
გაუსმა გაირკვა, რომ წევრთა ჯამი ტოლია და ტერმინთა ჯამი. ასე გადაწყვიტე?

სინამდვილეში, არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამის ფორმულა დაამტკიცა ძველმა ბერძენმა მეცნიერმა დიოფანტმა ჯერ კიდევ III საუკუნეში და მთელი ამ ხნის განმავლობაში. მახვილგონივრული ხალხიგამოიყენა არითმეტიკული პროგრესიის თვისებები ძლიერი და ძირითადი.
მაგალითად, წარმოიდგინეთ Უძველესი ეგვიპტედა უმეტესობა ფართომასშტაბიანი მშენებლობაიმდროინდელი - პირამიდის აგება... ფიგურაში ჩანს მისი ერთი მხარე.

სად არის აქ პროგრესი შენ ამბობ? დააკვირდით და იპოვეთ ნიმუში ქვიშის ბლოკების რაოდენობაში პირამიდის კედლის თითოეულ რიგში.


რატომ არა არითმეტიკული პროგრესია? დათვალეთ რამდენი ბლოკია საჭირო ერთი კედლის ასაშენებლად, თუ ბლოკის აგური მოთავსებულია ბაზაში. იმედია მონიტორზე თითის გადატანით არ ითვლით, გახსოვთ ბოლო ფორმულა და ყველაფერი რაც ვთქვით არითმეტიკული პროგრესიის შესახებ?

AT ამ საქმესპროგრესი ასე გამოიყურება:
არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.
არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა რაოდენობა.
მოდით ჩავანაცვლოთ ჩვენი მონაცემები ბოლო ფორმულებში (ჩვენ ვითვლით ბლოკების რაოდენობას 2 გზით).

მეთოდი 1.

მეთოდი 2.

ახლა თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოთვალოთ მონიტორზე: შეადარეთ მიღებული მნიშვნელობები ჩვენს პირამიდაში არსებული ბლოკების რაოდენობას. დათანხმდა? კარგად გააკეთეთ, თქვენ აითვისეთ არითმეტიკული პროგრესიის მე-6 წევრთა ჯამი.
რა თქმა უნდა, თქვენ არ შეგიძლიათ პირამიდის აშენება ბაზაზე არსებული ბლოკებიდან, მაგრამ? შეეცადეთ გამოთვალოთ რამდენი ქვიშის აგურია საჭირო ამ პირობით კედლის ასაშენებლად.
მოახერხე?
სწორი პასუხი არის ბლოკები:

Ვარჯიში

Დავალებები:

1. მაშა ზაფხულისთვის ფორმაში დგება. ყოველდღე ის ზრდის ჩაჯდომების რაოდენობას. რამდენჯერ დაიძვრება მაშა კვირებში, თუ პირველ ვარჯიშზე ჯდება.
2. რა არის ყველა კენტი რიცხვის ჯამი, რომელიც შეიცავს.
3. მორების შენახვისას, მეტყევეები აწყობენ მათ ისე, რომ ყოველი ზედა ფენა შეიცავს წინაზე ერთით ნაკლებ მორს. რამდენი მორი არის ერთ ქვისა, თუ ქვისა ძირი არის მორები.

პასუხები:

1. მოდით განვსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესიის პარამეტრები. Ამ შემთხვევაში
   (კვირები = დღეები).

   პასუხი:ორ კვირაში მაშა დღეში ერთხელ უნდა იჯდეს.

2. Პირველი კენტი რიცხვი, ბოლო ნომერი.
   არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.
   კენტი რიცხვების რაოდენობა ნახევარში, თუმცა, შეამოწმეთ ეს ფაქტი არითმეტიკული პროგრესიის მე-მე წევრის საპოვნელად ფორმულის გამოყენებით:

   რიცხვები შეიცავს კენტ რიცხვებს.
   ჩვენ ვცვლით არსებულ მონაცემებს ფორმულაში:

   პასუხი:ყველა კენტი რიცხვის ჯამი, რომელიც შეიცავს მას უდრის.

3. გაიხსენეთ პრობლემა პირამიდების შესახებ. ჩვენს შემთხვევაში, a, რადგან თითოეული ზედა ფენა მცირდება ერთი ჟურნალით, არის მხოლოდ რამდენიმე ფენა, ანუ.
   ჩაანაცვლეთ მონაცემები ფორმულაში:

   პასუხი:ქვისა არის მორები.

შეჯამება

1. - რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომელშიც სხვაობა მიმდებარე რიცხვებს შორის არის იგივე და ტოლი. ის იზრდება და მცირდება.
2. ფორმულის პოვნაარითმეტიკული პროგრესიის მე-1 წევრი იწერება ფორმულით - , სადაც არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესიაში.
3. არითმეტიკული პროგრესიის წევრების თვისება- - სადაც - რიცხვების რაოდენობა პროგრესიაში.
4. არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამიშეიძლება მოიძებნოს ორი გზით:
   
   , სადაც არის მნიშვნელობების რაოდენობა.

არითმეტიკული პროგრესია. შუა დონე

რიცხვითი თანმიმდევრობა

დავსხდეთ და დავიწყოთ რამდენიმე რიცხვის წერა. Მაგალითად:

შეგიძლიათ დაწეროთ ნებისმიერი რიცხვი და შეიძლება იყოს რამდენიც გსურთ. მაგრამ ყოველთვის შეგიძლიათ გაიგოთ, რომელი მათგანია პირველი, რომელია მეორე და ასე შემდეგ, ანუ შეგვიძლია მათი დათვლა. ეს არის რიცხვების მიმდევრობის მაგალითი.

რიცხვითი თანმიმდევრობაარის რიცხვების ნაკრები, რომელთაგან თითოეულს შეიძლება მიენიჭოს უნიკალური ნომერი.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თითოეული რიცხვი შეიძლება ასოცირებული იყოს გარკვეულ ნატურალურ რიცხვთან და მხოლოდ ერთთან. და ჩვენ არ მივანიჭებთ ამ ნომერს ამ ნაკრებიდან არცერთ სხვა ნომერს.

რიცხვის მქონე რიცხვს მიმდევრობის მე-მე წევრი ეწოდება.

ჩვენ ჩვეულებრივ მთელ მიმდევრობას ვუწოდებთ რაღაც ასოს (მაგალითად,), და ამ მიმდევრობის თითოეულ წევრს - იგივე ასო, ამ წევრის რაოდენობის ტოლი ინდექსით: .

ძალიან მოსახერხებელია, თუ მიმდევრობის მე-მე წევრი შეიძლება მიცემული იყოს რაიმე ფორმულით. მაგალითად, ფორმულა

ადგენს თანმიმდევრობას:

და ფორმულა არის შემდეგი თანმიმდევრობა:

მაგალითად, არითმეტიკული პროგრესია არის თანმიმდევრობა (პირველი წევრი აქ ტოლია და განსხვავება). ან (, განსხვავება).

n-ე ტერმინის ფორმულა

ჩვენ ვუწოდებთ მორეციდივე ფორმულას, რომლის დროსაც, იმისათვის, რომ გაიგოთ -ე ტერმინი, თქვენ უნდა იცოდეთ წინა ან რამდენიმე წინა:

ასეთი ფორმულის გამოყენებით, მაგალითად, პროგრესიის მეათე წევრის საპოვნელად, უნდა გამოვთვალოთ წინა ცხრა. მაგალითად, მოდით. შემდეგ:

აბა, ახლა გასაგებია, რა ფორმულაა?

თითოეულ სტრიქონში ვამატებთ, ვამრავლებთ რაღაც რიცხვზე. Რისთვის? ძალიან მარტივია: ეს არის ამჟამინდელი წევრის რიცხვი მინუს:

ახლა ბევრად უფრო კომფორტულია, არა? ჩვენ ვამოწმებთ:

თავად გადაწყვიტე:

არითმეტიკული პროგრესიის დროს იპოვეთ n-ე წევრის ფორმულა და იპოვეთ მეასე წევრი.

გადაწყვეტილება:

პირველი წევრი თანაბარია. და რა განსხვავებაა? და აი რა:

(მას ხომ განსხვავება ჰქვია, რადგან უდრის პროგრესიის თანმიმდევრული წევრების სხვაობას).

ასე რომ, ფორმულა არის:

მაშინ მეასე წევრია:

რა არის ყველა ნატურალური რიცხვის ჯამი დან?

ლეგენდის თანახმად, დიდი მათემატიკოსიკარლ გაუსმა, როგორც 9 წლის ბიჭი, ეს თანხა რამდენიმე წუთში გამოთვალა. მან შეამჩნია, რომ პირველი და ბოლო რიცხვის ჯამი ტოლია, მეორე და წინა უკანასკნელის ჯამი იგივეა, ბოლოდან მესამე და მე-3-ის ჯამი იგივეა და ა.შ. რამდენი ასეთი წყვილია? მართალია, ყველა რიცხვის ზუსტად ნახევარი, ანუ. Ისე,

ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრთა ჯამის ზოგადი ფორმულა იქნება:

მაგალითი:
იპოვეთ ყველას ჯამი ორნიშნა რიცხვები, მრავლობითი.

გადაწყვეტილება:

პირველი ასეთი რიცხვია. ყოველი შემდეგი მიიღება წინა რიცხვის მიმატებით. ამრიგად, ჩვენთვის საინტერესო რიცხვები ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას პირველი წევრით და სხვაობით.

ამ პროგრესირების ტერმინის ფორმულა არის:

რამდენი წევრია პროგრესიაში, თუ ისინი ყველა ორნიშნა უნდა იყოს?

ძალიან ადვილია:.

პროგრესირების ბოლო ვადა თანაბარი იქნება. შემდეგ ჯამი:

პასუხი:.

ახლა თავად გადაწყვიტე:

1. ყოველდღე სპორტსმენი დარბის 1 მეტრით მეტს, ვიდრე წინა დღეს. რამდენ კილომეტრს გაივლის ის კვირებში, თუ პირველ დღეს კმ მ გაირბინა?
2. ველოსიპედისტი ყოველდღიურად უფრო მეტ მილს ატარებს, ვიდრე წინა. პირველ დღეს მან გაიარა კმ. რამდენი დღე უნდა იაროს კილომეტრის დასაფარად? რამდენ კილომეტრს გაივლის ის მოგზაურობის ბოლო დღეს?
3. მაღაზიაში მაცივრის ფასი ყოველწლიურად ამდენივე მცირდება. დაადგინეთ, რამდენად იკლებს მაცივრის ფასი ყოველწლიურად, თუ გასაყიდად რუბლებში იყო გამოტანილი, ექვსი წლის შემდეგ ის გაიყიდა რუბლებში.

პასუხები:

1. აქ ყველაზე მნიშვნელოვანი არის არითმეტიკული პროგრესიის ამოცნობა და მისი პარამეტრების დადგენა. ამ შემთხვევაში, (კვირები = დღეები). თქვენ უნდა განსაზღვროთ ამ პროგრესიის პირველი პუნქტების ჯამი:
   .
   პასუხი:
2. აქ მოცემულია:, აუცილებელია იპოვოთ.
   ცხადია, თქვენ უნდა გამოიყენოთ იგივე ჯამის ფორმულა, როგორც წინა პრობლემაში:
   .
   შეცვალეთ მნიშვნელობები:

   ფესვი აშკარად არ ჯდება, ამიტომ პასუხი.
   გამოვთვალოთ ბოლო დღის მანძილზე გავლილი მანძილი --ე წევრის ფორმულით:
   (კმ).
   პასუხი:

3. მოცემული: . Პოვნა: .
   ეს არ არის ადვილი:
   (რუბში).
   პასუხი:

არითმეტიკული პროგრესია. მოკლედ მთავარის შესახებ

ეს არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომელშიც სხვაობა მიმდებარე რიცხვებს შორის იგივე და ტოლია.

არითმეტიკული პროგრესია იზრდება () და მცირდება ().

Მაგალითად:

არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის პოვნის ფორმულა

იწერება ფორმულის სახით, სადაც არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესიაში.

არითმეტიკული პროგრესიის წევრების თვისება

ეს აადვილებს პროგრესიის წევრის პოვნას, თუ ცნობილია მისი მეზობელი წევრები - სად არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესიაში.

არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამი

ჯამის პოვნის ორი გზა არსებობს:

სად არის მნიშვნელობების რაოდენობა.

სად არის მნიშვნელობების რაოდენობა.

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვების სერია, რომლებშიც თითოეული რიცხვი იგივე რაოდენობით მეტია (ან ნაკლები) ვიდრე წინა.

ეს თემა ხშირად რთული და გაუგებარია. ასოების ინდექსები, მე-n წევრიპროგრესიები, განსხვავება პროგრესირებაში - ეს ყველაფერი რაღაცნაირად დამაბნეველია, დიახ... მოდით გავარკვიოთ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობა და ყველაფერი მაშინვე გამოვა.)

არითმეტიკული პროგრესიის კონცეფცია.

არითმეტიკული პროგრესია ძალიან მარტივი და გასაგები ცნებაა. ეჭვი? ამაოდ.) თავად ნახეთ.

მე დავწერ რიცხვების დაუმთავრებელ სერიას:

1, 2, 3, 4, 5, ...

შეგიძლიათ გააგრძელოთ ეს ხაზი? რა რიცხვები წავა შემდეგი ხუთეულის შემდეგ? ყველა... უჰ... მოკლედ, ყველა მიხვდება, რომ რიცხვები 6, 7, 8, 9 და ა.შ. უფრო შორს წავა.

დავალება გავართულოთ. მე ვაძლევ რიცხვების დაუმთავრებელ სერიას:

2, 5, 8, 11, 14, ...

შეგიძლიათ დაიჭიროთ ნიმუში, გააგრძელოთ სერია და სახელი მეშვიდერიგის ნომერი?

თუ გაარკვიეთ, რომ ეს რიცხვი არის 20 - გილოცავთ! თქვენ არა მარტო გრძნობდით ძირითადი პუნქტებიარითმეტიკული პროგრესია,არამედ წარმატებით გამოიყენა ისინი ბიზნესში! თუ არ გესმით, წაიკითხეთ.

ახლა მოდით გადავთარგმნოთ ძირითადი პუნქტები შეგრძნებებიდან მათემატიკაში.)

პირველი საკვანძო წერტილი.

არითმეტიკული პროგრესია ეხება რიცხვების სერიას.ეს თავიდანვე დამაბნეველია. ჩვენ შეჩვეულები ვართ განტოლებების ამოხსნას, გრაფიკების აგებას და ამ ყველაფერს... და შემდეგ გავაგრძელოთ სერიები, ვიპოვოთ სერიების რიცხვი...

Ყველაფერი კარგადაა. უბრალოდ, პროგრესიები მათემატიკის ახალი დარგის პირველი გაცნობაა. განყოფილებას ეწოდება "სერიები" და მუშაობს რიცხვებისა და გამონათქვამების სერიებით. შეეგუე.)

მეორე საკვანძო წერტილი.

არითმეტიკული პროგრესიის დროს, ნებისმიერი რიცხვი განსხვავდება წინადან იმავე რაოდენობით.

პირველ მაგალითში ეს განსხვავება ერთია. რაც არ უნდა აიღოთ, ის ერთით მეტია წინაზე. მეორეში - სამი. ნებისმიერი რიცხვი სამჯერ მეტია წინაზე. სინამდვილეში, სწორედ ეს მომენტი გვაძლევს შესაძლებლობას დავიჭიროთ ნიმუში და გამოვთვალოთ შემდგომი რიცხვები.

მესამე საკვანძო წერტილი.

ეს მომენტი არ არის გასაოცარი, დიახ... მაგრამ ძალიან, ძალიან მნიშვნელოვანია. Აი ისიც: თითოეული პროგრესის ნომერითავის ადგილზე დგას.არის პირველი ნომერი, არის მეშვიდე, არის ორმოცდამეხუთე და ა.შ. თუ მათ შემთხვევით აურიეთ, ნიმუში გაქრება. არითმეტიკული პროგრესიაც გაქრება. ეს მხოლოდ რიცხვების სერიაა.

ამაშია მთელი აზრი.

რა თქმა უნდა, ში ახალი თემაგამოჩნდება ახალი ტერმინები და აღნიშვნა. მათ უნდა იცოდნენ. წინააღმდეგ შემთხვევაში, თქვენ ვერ გაიგებთ დავალებას. მაგალითად, თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ მსგავსი რამ:

ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი ექვსი წევრი (a n), თუ a 2 = 5, d = -2,5.

შთააგონებს?) წერილები, რაღაც ინდექსები... და დავალება, სხვათა შორის, ადვილი არ იქნებოდა. თქვენ უბრალოდ უნდა გესმოდეთ ტერმინების მნიშვნელობა და აღნიშვნა. ახლა ამ საკითხს დავეუფლებით და დავალებას დავუბრუნდებით.

პირობები და აღნიშვნები.

არითმეტიკული პროგრესიაარის რიცხვების სერია, რომელშიც თითოეული რიცხვი განსხვავდება წინადან იმავე რაოდენობით.

ეს მნიშვნელობა ე.წ . მოდით, უფრო დეტალურად განვიხილოთ ეს კონცეფცია.

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობაარის თანხა, რომლითაც ნებისმიერი პროგრესირების რიცხვი მეტიწინა.

ერთი მნიშვნელოვანი წერტილი. გთხოვთ ყურადღება მიაქციოთ სიტყვას "მეტი".მათემატიკურად, ეს ნიშნავს, რომ თითოეული პროგრესიის რიცხვი მიიღება დასძინაარითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა წინა რიცხვთან.

რომ გამოვთვალოთ, ვთქვათ მეორერიგის ნომრები, აუცილებელია პირველინომერი დაამატეთარითმეტიკული პროგრესიის სწორედ ეს განსხვავება. გაანგარიშებისთვის მეხუთე- განსხვავება აუცილებელია დაამატეთრომ მეოთხეკარგად და ა.შ.

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობაშესაძლოა დადებითიმაშინ სერიის თითოეული ნომერი რეალური აღმოჩნდება წინაზე მეტი.ამ პროგრესს ე.წ იზრდება.Მაგალითად:

8; 13; 18; 23; 28; .....

აქ არის თითოეული ნომერი დასძინადადებითი რიცხვი, +5 წინას.

განსხვავება შეიძლება იყოს უარყოფითიმაშინ სერიის თითოეული ნომერი იქნება წინაზე ნაკლები.ამ პროგრესს ჰქვია (არ დაიჯერებთ!) მცირდება.

Მაგალითად:

8; 3; -2; -7; -12; .....

აქაც ყველა რიცხვი მიიღება დასძინაწინასთან, მაგრამ უარყოფითი რიცხვი, -5.

სხვათა შორის, პროგრესირებასთან მუშაობისას ძალიან სასარგებლოა მისი ბუნების დაუყოვნებლად დადგენა - იზრდება თუ მცირდება. ეს ძალიან გვეხმარება გადაწყვეტილების მიღებისას, გამოავლინოს თქვენი შეცდომები და გამოასწოროს ისინი, სანამ გვიან არ არის.

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობაჩვეულებრივ აღინიშნება ასოებით დ.

როგორ მოვძებნოთ დ? Ძალიან მარტივი. აუცილებელია გამოვაკლოთ სერიების ნებისმიერი რიცხვი წინანომერი. გამოკლება. სხვათა შორის, გამოკლების შედეგს ეწოდება "სხვაობა".)

განვსაზღვროთ, მაგალითად, დმზარდი არითმეტიკული პროგრესიისთვის:

2, 5, 8, 11, 14, ...

ვიღებთ მწკრივის ნებისმიერ რიცხვს, რომელიც გვინდა, მაგალითად, 11. გამოვაკლოთ მას წინა ნომერი, იმათ. რვა:

ეს არის სწორი პასუხი. ამ არითმეტიკული პროგრესიისთვის განსხვავება სამია.

შეგიძლიათ უბრალოდ აიღოთ ნებისმიერი რაოდენობის პროგრესირება,რადგან კონკრეტული პროგრესისთვის დ-ყოველთვის იგივე.მაინც სადღაც რიგის დასაწყისში, შუაში მაინც, სადმე მაინც. თქვენ არ შეგიძლიათ მხოლოდ პირველივე ნომრის აღება. მხოლოდ იმიტომ, რომ პირველი ნომერი არა წინა.)

სხვათა შორის, ამის ცოდნა d=3, ამ პროგრესიის მეშვიდე რიცხვის პოვნა ძალიან მარტივია. მეხუთე რიცხვს ვამატებთ 3 - მივიღებთ მეექვსეს, იქნება 17. მეექვსე რიცხვს ვამატებთ სამს, ვიღებთ მეშვიდე რიცხვს - ოცს.

განვსაზღვროთ დკლებადი არითმეტიკული პროგრესიისთვის:

8; 3; -2; -7; -12; .....

შეგახსენებთ, რომ ნიშნების მიუხედავად, უნდა დადგინდეს დსაჭიროა ნებისმიერი ნომრიდან წაართვით წინა.ჩვენ ვირჩევთ პროგრესირების ნებისმიერ რაოდენობას, მაგალითად -7. მისი წინა რიცხვი არის -2. შემდეგ:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი: მთელი რიცხვი, წილადი, ირაციონალური, ნებისმიერი.

სხვა ტერმინები და აღნიშვნები.

სერიის თითოეულ რიცხვს ეძახიან არითმეტიკული პროგრესიის წევრი.

პროგრესის თითოეული წევრი აქვს თავისი ნომერი.ნომრები მკაცრად წესრიგშია, ყოველგვარი ხრიკების გარეშე. პირველი, მეორე, მესამე, მეოთხე და ა.შ. მაგალითად, პროგრესში 2, 5, 8, 11, 14, ... ორი არის პირველი წევრი, ხუთი არის მეორე, თერთმეტი არის მეოთხე, კარგად, გესმით ...) გთხოვთ, ნათლად გაიგოთ - თავად ნომრებიშეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი, მთლიანი, წილადი, უარყოფითი, რაც არ უნდა იყოს, მაგრამ ნუმერაცია- მკაცრად წესრიგში!

როგორ ჩაწეროთ პროგრესი ზოგადი ხედი? Არაა პრობლემა! სერიის თითოეული რიცხვი იწერება ასოს სახით. არითმეტიკული პროგრესიის აღსანიშნავად, როგორც წესი, გამოიყენება ასო ა. წევრის ნომერი მითითებულია ქვედა მარჯვენა ინდექსით. წევრები იწერება გამოყოფილი მძიმეებით (ან მძიმით), ასე:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1არის პირველი ნომერი a 3- მესამე და ა.შ. არაფერი სახიფათო. თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ეს სერია მოკლედ ასე: (n).

არის პროგრესები სასრული და უსასრულო.

საბოლოოპროგრესი აქვს შეზღუდული რაოდენობითწევრები. ხუთი, ოცდათვრამეტი, რაც არ უნდა იყოს. მაგრამ ეს სასრული რიცხვია.

დაუსრულებელიპროგრესია - ჰყავს წევრების უსასრულო რაოდენობა, როგორც თქვენ ალბათ მიხვდებით.)

თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ საბოლოო პროგრესი ასეთი სერიის მეშვეობით, ყველა წევრი და ბოლო წერტილი:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

ან ასე, თუ ბევრი წევრია:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

AT აბრევიატურათქვენ მოგიწევთ დამატებით მიუთითოთ წევრების რაოდენობა. მაგალითად (ოცი წევრისთვის), ასე:

(a n), n = 20

უსასრულო პროგრესია შეიძლება ამოიცნოს მწკრივის ბოლოს ელიფსისით, როგორც ამ გაკვეთილის მაგალითებში.

ახლა უკვე შეგიძლიათ ამოცანების გადაჭრა. ამოცანები მარტივია, მხოლოდ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობის გასაგებად.

არითმეტიკული პროგრესირების ამოცანების მაგალითები.

მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ზემოთ მოცემულ დავალებას:

1. ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი ექვსი წევრი (a n), თუ a 2 = 5, d = -2.5.

ჩვენ გადავცემთ დავალებას გასაგები ენა. მოცემულია უსასრულო არითმეტიკული პროგრესია. ამ პროგრესის მეორე რიცხვი ცნობილია: a 2 = 5.ცნობილი პროგრესირების განსხვავება: d = -2,5.ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ამ პროგრესიის პირველი, მესამე, მეოთხე, მეხუთე და მეექვსე წევრები.

სიცხადისთვის დავწერ სერიებს პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით. პირველი ექვსი წევრი, სადაც მეორე წევრი ხუთია:

a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....

a 3 = a 2 + დ

გამონათქვამში ვცვლით a 2 = 5და d=-2.5. ნუ დაგავიწყდებათ მინუსი!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

მესამე ტერმინი არის წამზე ნაკლები. ყველაფერი ლოგიკურია. თუ რიცხვი წინაზე მეტია უარყოფითიმნიშვნელობა, ამიტომ თავად რიცხვი წინაზე ნაკლები იქნება. პროგრესი მცირდება. კარგი, გავითვალისწინოთ.) განვიხილავთ ჩვენი სერიის მეოთხე წევრს:

a 4 = a 3 + დ

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + დ

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + დ

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

ასე რომ, მესამედან მეექვსემდე ვადები დათვლილია. ამან გამოიწვია სერია:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

რჩება პირველი ტერმინის პოვნა a 1 on ცნობილი მეორე. ეს არის ნაბიჯი სხვა მიმართულებით, მარცხნივ.) აქედან გამომდინარე, არითმეტიკული პროგრესიის განსხვავება დარ უნდა დაემატოს a 2, ა წაიღე:

a 1 = a 2 - დ

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

სულ ეს არის. დავალების პასუხი:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

გარდა ამისა, მე აღვნიშნავ, რომ ჩვენ გადავწყვიტეთ ეს ამოცანა განმეორებადიგზა. Ეს არის საშინელი სიტყვანიშნავს მხოლოდ პროგრესის ტერმინის ძიებას წინა (მიმდებარე) ნომრით.პროგრესირებასთან მუშაობის სხვა გზები მოგვიანებით იქნება განხილული.

Აქედან მარტივი დავალებაერთი მნიშვნელოვანი დასკვნის გაკეთება შეიძლება.

გახსოვდეთ:

თუ ჩვენ ვიცით მინიმუმ ერთი წევრი და არითმეტიკული პროგრესიის განსხვავება, შეგვიძლია ვიპოვოთ ამ პროგრესიის ნებისმიერი წევრი.

გახსოვს? ეს მარტივი წარმოშობა საშუალებას გვაძლევს გადავჭრათ პრობლემების უმეტესობა სკოლის კურსიამ თემაზე. ყველა დავალება ტრიალებს გარშემო სამი ძირითადიპარამეტრები: არითმეტიკული პროგრესიის წევრი, პროგრესიის სხვაობა, პროგრესიის წევრის რაოდენობა.ყველაფერი.

რა თქმა უნდა, ყველა წინა ალგებრა არ არის გაუქმებული.) პროგრესიას თან ერთვის უტოლობა, განტოლებები და სხვა. მაგრამ პროგრესის მიხედვით- ყველაფერი სამი პარამეტრის გარშემო ტრიალებს.

მაგალითად, განიხილეთ ზოგიერთი პოპულარული ამოცანებიამ თემაზე.

2. საბოლოო არითმეტიკული პროგრესია ჩაწერეთ რიგით თუ n=5, d=0.4 და a 1=3.6.

აქ ყველაფერი მარტივია. ყველაფერი უკვე მოცემულია. თქვენ უნდა გახსოვდეთ, როგორ გამოითვლება არითმეტიკული პროგრესიის წევრები, ითვლიან და ჩაწერენ. მიზანშეწონილია არ გამოტოვოთ სიტყვები ამოცანის პირობაში: "ფინალური" და " n=5იმისათვის, რომ არ დათვალოთ, სანამ სახეზე მთლიანად გალურჯდებით.) ამ პროგრესში მხოლოდ 5 (ხუთი) წევრია:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4

a 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

a 5 = a 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

რჩება პასუხის ჩაწერა:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

კიდევ ერთი დავალება:

3. დაადგინეთ, იქნება თუ არა რიცხვი 7 არითმეტიკული პროგრესიის წევრი (a n), თუ a 1 \u003d 4.1; d = 1.2.

ჰმ... ვინ იცის? როგორ განვსაზღვროთ რამე?

როგორ-როგ... კი, ჩაწერეთ პროგრესი სერიების სახით და ნახეთ, იქნება თუ არა შვიდი! Ჩვენ გვჯერა:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

a 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

ახლა აშკარად ჩანს, რომ ჩვენ მხოლოდ შვიდნი ვართ გაცურდა 6.5-დან 7.7-მდე! შვიდი არ მოხვდა ჩვენს რიცხვთა სერიაში და, შესაბამისად, შვიდი არ იქნება მოცემული პროგრესიის წევრი.

პასუხი: არა.

და აქ არის პრობლემა, რომელიც ეფუძნება რეალური ვერსია GIA:

4. არითმეტიკული პროგრესიის რამდენიმე თანმიმდევრული წევრი იწერება:

...; თხუთმეტი; X; ცხრა; 6; ...

აქ არის სერია დასასრულისა და დასაწყისის გარეშე. წევრების რიცხვი, არანაირი განსხვავება დ. Ყველაფერი კარგადაა. პრობლემის გადასაჭრელად საკმარისია გავიგოთ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობა. ვნახოთ და ვნახოთ რა შეგვიძლია აღმოჩენაამ ხაზიდან? რა არის სამი ძირითადი პარამეტრი?

წევრების ნომრები? აქ არც ერთი ნომერი არ არის.

მაგრამ არის სამი ნომერი და - ყურადღება! - სიტყვა "თანმიმდევრული"მდგომარეობაში. ეს ნიშნავს, რომ რიცხვები მკაცრად წესრიგშია, ხარვეზების გარეშე. ამ რიგში ორია? მეზობელი ცნობილი ნომრები? Დიახ მაქვს! ეს არის 9 და 6. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა! ექვსს ვაკლებთ წინანომერი, ე.ი. ცხრა:

დარჩენილია ცარიელი ადგილები. რომელი რიცხვი იქნება x-ის წინა? თხუთმეტი. ასე რომ X ადვილად მოიძებნება მარტივი დამატება. 15-ს დაამატეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა:

Სულ ეს არის. პასუხი: x=12

ჩვენ თვითონ ვაგვარებთ შემდეგ პრობლემებს. შენიშვნა: ეს თავსატეხები არ არის ფორმულებისთვის. მხოლოდ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობის გასაგებად.) ჩვენ უბრალოდ ვწერთ რიცხვ-ასოების სერიას, ვუყურებთ და ვფიქრობთ.

5. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი დადებითი წევრი, თუ a 5 = -3; d = 1.1.

6. ცნობილია, რომ რიცხვი 5.5 არის არითმეტიკული პროგრესიის წევრი (a n), სადაც a 1 = 1.6; d = 1.3. განსაზღვრეთ ამ წევრის ნომერი n.

7. ცნობილია, რომ არითმეტიკული პროგრესიით a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. იპოვეთ 3.

8. არითმეტიკული პროგრესიის ზედიზედ რამდენიმე წევრი იწერება:

...; 15.6; X; 3.4; ...

იპოვეთ პროგრესიის ტერმინი, რომელიც აღინიშნება ასო x.

9. მატარებელმა მოძრაობა დაიწყო სადგურიდან, თანდათან გაზარდა სიჩქარე წუთში 30 მეტრით. რა იქნება მატარებლის სიჩქარე ხუთ წუთში? გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.

10. ცნობილია, რომ არითმეტიკული პროგრესიით a 2 = 5; a 6 = -5. იპოვეთ 1.

პასუხები (არეულად): 7.7; 7.5; 9.5; ცხრა; 0.3; 4.

ყველაფერი გამოვიდა? საოცარი! თქვენ შეგიძლიათ ისწავლოთ არითმეტიკული პროგრესი უფრო მაღალ დონეზე შემდეგ გაკვეთილებზე.

ყველაფერი არ გამოვიდა? Არაა პრობლემა. სპეციალურ განყოფილებაში 555, ყველა ეს თავსატეხი დალაგებულია ძვლების მიხედვით.) და, რა თქმა უნდა, მარტივი პრაქტიკული ტექნიკა, რომელიც მაშინვე ხაზს უსვამს ასეთი ამოცანების გადაწყვეტას ნათლად, ნათლად, სრული ხედვით!

სხვათა შორის, მატარებლის შესახებ თავსატეხში არის ორი პრობლემა, რომლებზეც ადამიანები ხშირად აბრკოლებენ. ერთი - წმინდა პროგრესიით, და მეორე - საერთო ნებისმიერი ამოცანისთვის მათემატიკაში და ფიზიკაშიც. ეს არის ზომების თარგმანი ერთიდან მეორეზე. ეს გვიჩვენებს, თუ როგორ უნდა მოგვარდეს ეს პრობლემები.

ამ გაკვეთილზე ჩვენ განვიხილეთ არითმეტიკული პროგრესიის ელემენტარული მნიშვნელობა და მისი ძირითადი პარამეტრები. ეს საკმარისია ამ თემაზე თითქმის ყველა პრობლემის მოსაგვარებლად. დამატება დნომრებზე დაწერეთ სერია, ყველაფერი გადაწყდება.

თითის ხსნარი კარგად მუშაობს სერიის ძალიან მოკლე ნაწილებზე, როგორც ამ გაკვეთილის მაგალითებში. თუ სერია უფრო გრძელია, გამოთვლები უფრო რთული ხდება. მაგალითად, თუ შეკითხვაში მე-9 პრობლემაშია, შეცვალეთ "ხუთი წუთი"ზე "ოცდათხუთმეტი წუთი"პრობლემა კიდევ უფრო გაუარესდება.)

და ასევე არის ამოცანები, რომლებიც არსებითად მარტივია, მაგრამ სრულიად აბსურდული გამოთვლების თვალსაზრისით, მაგალითად:

მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია (a n). იპოვეთ 121, თუ a 1 =3 და d=1/6.

და რა, 1/6-ს ბევრ, ბევრჯერ დავამატებთ?! შესაძლებელია თუ არა თავის მოკვლა!?

შეგიძლია.) თუ არ იცი მარტივი ფორმულა, რომლის მიხედვითაც შეგიძლიათ ასეთი ამოცანების ამოხსნა ერთ წუთში. ეს ფორმულა იქნება მომდევნო გაკვეთილზე. და ეს პრობლემა მოგვარებულია იქ. Ერთ წუთში.)

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

დიახ, დიახ: არითმეტიკული პროგრესია თქვენთვის სათამაშო არ არის :)

აბა, მეგობრებო, თუ თქვენ კითხულობთ ამ ტექსტს, მაშინ შიდა ქუდის მტკიცებულება მეუბნება, რომ თქვენ ჯერ კიდევ არ იცით რა არის არითმეტიკული პროგრესია, მაგრამ ნამდვილად (არა, ასე: SOOOOO!) გსურთ იცოდეთ. ამიტომ, მე არ დაგტანჯავთ ხანგრძლივი შესავლებით და მაშინვე საქმეს გადავალ.

დასაწყისისთვის, რამდენიმე მაგალითი. განვიხილოთ რიცხვების რამდენიმე ნაკრები:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

რა საერთო აქვს ყველა ამ კომპლექტს? ერთი შეხედვით არაფერი. მაგრამ რეალურად არის რაღაც. კერძოდ: ყოველი შემდეგი ელემენტი წინადან ერთი და იგივე რაოდენობით განსხვავდება.

თავად განსაჯეთ. პირველი ნაკრები არის მხოლოდ თანმიმდევრული რიცხვები, თითოეული წინაზე მეტი. მეორე შემთხვევაში, განსხვავება მუდმივი ნომრებიუკვე უდრის ხუთს, მაგრამ ეს სხვაობა მაინც მუდმივია. მესამე შემთხვევაში ზოგადად ფესვებია. თუმცა, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ხოლო $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ე.ი. ამ შემთხვევაში ყოველი შემდეგი ელემენტი უბრალოდ იზრდება $\sqrt(2)$-ით (და არ შეგეშინდეთ, რომ ეს რიცხვი ირაციონალურია).

ასე რომ: ყველა ასეთ მიმდევრობას უბრალოდ არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება. მოდით მივცეთ მკაცრი განმარტება:

განმარტება. რიცხვების თანმიმდევრობას, რომლებშიც ყოველი შემდეგი განსხვავდება წინადან ზუსტად იმავე რაოდენობით, არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება. იმ რაოდენობას, რომლითაც რიცხვები განსხვავდება, ეწოდება პროგრესირების განსხვავება და ყველაზე ხშირად აღინიშნება ასო $d$-ით.

აღნიშვნა: $\left(((a)_(n)) \right)$ არის თავად პროგრესია, $d$ არის მისი განსხვავება.

და მხოლოდ წყვილი მნიშვნელოვანი შენიშვნები. პირველ რიგში, მხოლოდ პროგრესირება განიხილება მოწესრიგებულირიცხვების თანმიმდევრობა: ნებადართულია მათი წაკითხვა მკაცრად იმ თანმიმდევრობით, რომლითაც ისინი იწერება - და სხვა არაფერი. თქვენ არ შეგიძლიათ ნომრების გადაწყობა ან გაცვლა.

მეორეც, თანმიმდევრობა თავისთავად შეიძლება იყოს სასრული ან უსასრულო. მაგალითად, სიმრავლე (1; 2; 3) აშკარად სასრულ არითმეტიკული პროგრესიაა. მაგრამ თუ რამეს წერთ სულით (1; 2; 3; 4; ...) - ეს უკვე არის უსასრულო პროგრესი. ელიფსისი ოთხის შემდეგ, თითქოსდა, მიანიშნებს, რომ საკმაოდ ბევრი რიცხვი უფრო შორს მიდის. უსაზღვროდ ბევრი, მაგალითად. :)

ასევე მინდა აღვნიშნო, რომ პროგრესი იზრდება და კლებულობს. ჩვენ უკვე ვნახეთ მზარდი - იგივე ნაკრები (1; 2; 3; 4; ...). აქ მოცემულია პროგრესირების შემცირების მაგალითები:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

ᲙᲐᲠᲒᲘ ᲙᲐᲠᲒᲘ: ბოლო მაგალითიშეიძლება ზედმეტად რთული ჩანდეს. მაგრამ დანარჩენი, ვფიქრობ, გესმით. ამიტომ, ჩვენ შემოგთავაზებთ ახალ განმარტებებს:

განმარტება. არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება:

1. იზრდება, თუ ყოველი შემდეგი ელემენტი მეტია წინაზე;
2. მცირდება, თუ პირიქით, ყოველი მომდევნო ელემენტი წინაზე ნაკლებია.

გარდა ამისა, არსებობს ეგრეთ წოდებული "სტაციონარული" მიმდევრობები - ისინი შედგება ერთი და იგივე განმეორებადი რიცხვისგან. მაგალითად, (3; 3; 3; ...).

რჩება მხოლოდ ერთი კითხვა: როგორ განვასხვავოთ მზარდი პროგრესი კლებისგან? საბედნიეროდ, აქ ყველაფერი დამოკიდებულია მხოლოდ $d$ რიცხვის ნიშანზე, ე.ი. პროგრესირების განსხვავებები:

1. თუ $d \gt 0$, მაშინ პროგრესი იზრდება;
2. თუ $d \lt 0$, მაშინ პროგრესი აშკარად მცირდება;
3. და ბოლოს, არის შემთხვევა $d=0$, ამ შემთხვევაში მთელი პროგრესია მცირდება სტაციონარულ მიმდევრობამდე იგივე ნომრები: (1; 1; 1; 1; ...) და ა.შ.

შევეცადოთ გამოვთვალოთ სხვაობა $d$ ზემოთ სამი კლებადი პროგრესიისთვის. ამისათვის საკმარისია აიღოთ ნებისმიერი ორი მომიჯნავე ელემენტი (მაგალითად, პირველი და მეორე) და გამოვაკლოთ რიცხვს მარჯვნივ, რიცხვს მარცხნივ. ეს ასე გამოიყურება:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

როგორც ხედავთ, სამივე შემთხვევაში განსხვავება მართლაც უარყოფითი აღმოჩნდა. ახლა კი, როცა მეტ-ნაკლებად გავარკვიეთ განმარტებები, დროა გავიგოთ, როგორ არის აღწერილი პროგრესიები და რა თვისებები აქვთ მათ.

პროგრესიისა და განმეორებითი ფორმულის წევრები

ვინაიდან ჩვენი თანმიმდევრობის ელემენტების შეცვლა შეუძლებელია, მათი დანომრვა შესაძლებელია:

\[\left(((a)_(n)) \მარჯვნივ)=\მარცხნივ\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \მარჯვნივ\)\]

ამ ნაკრების ცალკეულ ელემენტებს პროგრესიის წევრებს უწოდებენ. ისინი ამ გზით მითითებულია რიცხვის დახმარებით: პირველი წევრი, მეორე წევრი და ა.შ.

გარდა ამისა, როგორც უკვე ვიცით, პროგრესიის მეზობელი წევრები დაკავშირებულია ფორმულით:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\მარჯვენა ისარი ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

მოკლედ, პროგრესიის $n$th ტერმინის საპოვნელად, თქვენ უნდა იცოდეთ $n-1$th წევრი და სხვაობა $d$. ასეთ ფორმულას ეწოდება განმეორებადი, რადგან მისი დახმარებით შეგიძლიათ იპოვოთ ნებისმიერი რიცხვი, მხოლოდ წინას (და სინამდვილეში, ყველა წინას) ცოდნა. ეს ძალიან მოუხერხებელია, ამიტომ არსებობს უფრო რთული ფორმულა, რომელიც ამცირებს ნებისმიერ გამოთვლას პირველ ტერმინამდე და განსხვავებას:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\მარცხნივ(n-1 \მარჯვნივ)d\]

თქვენ ალბათ ადრე შეგხვედრიათ ეს ფორმულა. მათ მოსწონთ მისი მიცემა ყველა სახის საცნობარო წიგნში და რეებნიკებში. და მათემატიკის ნებისმიერ გონივრული სახელმძღვანელოში ის ერთ-ერთი პირველია.

თუმცა, გირჩევთ, ცოტა ივარჯიშოთ.

დავალება ნომერი 1. ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი სამი წევრი $\left(((a)_(n)) \right)$ თუ $((a)_(1))=8,d=-5$.

გადაწყვეტილება. ასე რომ, ჩვენ ვიცით პირველი წევრი $((a)_(1))=8$ და პროგრესიის სხვაობა $d=-5$. მოდით გამოვიყენოთ მოცემული ფორმულა და ჩავანაცვლოთ $n=1$, $n=2$ და $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \მარჯვნივ)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \მარჯვნივ)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\მარცხნივ(2-1 \მარჯვნივ)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\მარცხნივ(3-1 \მარჯვნივ)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

პასუხი: (8; 3; -2)

Სულ ეს არის! გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენი პროგრესი მცირდება.

რა თქმა უნდა, $n=1$-ის ჩანაცვლება არ შეიძლებოდა - ჩვენ უკვე ვიცით პირველი ტერმინი. თუმცა, ერთეულის ჩანაცვლებით, ჩვენ დავრწმუნდით, რომ პირველი ტერმინისთვისაც კი ჩვენი ფორმულა მუშაობს. სხვა შემთხვევებში ყველაფერი ბანალურ არითმეტიკამდე მიდიოდა.

დავალება ნომერი 2. ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი სამი წევრი, თუ მისი მეშვიდე წევრია −40 და მეჩვიდმეტე წევრი არის −50.

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვწერთ პრობლემის მდგომარეობას ჩვეულებრივი პირობებით:

\[((a)_(7))=-40;\ quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=(a) _(1))+16d \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

\[\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

სისტემის ნიშანი იმიტომ დავდე, რომ ეს მოთხოვნები ერთდროულად უნდა დაკმაყოფილდეს. ახლა კი აღვნიშნავთ, რომ თუ პირველ განტოლებას გამოვაკლებთ მეორე განტოლებას (ჩვენ გვაქვს ამის უფლება, რადგან გვაქვს სისტემა), მივიღებთ ამას:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \მარჯვნივ); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

სწორედ ასე, ჩვენ აღმოვაჩინეთ პროგრესის განსხვავება! რჩება აღმოჩენილი რიცხვის ჩანაცვლება სისტემის რომელიმე განტოლებაში. მაგალითად, პირველში:

\[\ დასაწყისი(მატრიცა) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \ქვემოთ \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((ა)_(1))=-40+6=-34. \\ \დასრულება (მატრიცა)\]

ახლა, პირველი ტერმინისა და განსხვავების ცოდნით, რჩება მეორე და მესამე ტერმინების პოვნა:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

მზადაა! პრობლემა მოგვარებულია.

პასუხი: (-34; -35; -36)

მიაქციე ყურადღება ცნობისმოყვარე ქონებაპროგრესია, რომელიც აღმოვაჩინეთ: თუ ავიღებთ $n$th და $m$th წევრებს და გამოვაკლებთ ერთმანეთს, მაშინ მივიღებთ პროგრესიის სხვაობას გამრავლებული $n-m$ რიცხვზე:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \მარცხნივ(n-m \მარჯვნივ)\]

მარტივი, მაგრამ ძალიან სასარგებლო თვისება, რომელიც აუცილებლად უნდა იცოდეთ - მისი დახმარებით შეგიძლიათ მნიშვნელოვნად დააჩქაროთ მრავალი პრობლემის გადაჭრა პროგრესებში. Აქ ნათელი რომმაგალითი:

დავალება ნომერი 3. არითმეტიკული პროგრესიის მეხუთე წევრია 8,4, ხოლო მისი მეათე წევრი არის 14,4. იპოვეთ ამ პროგრესიის მეთხუთმეტე წევრი.

გადაწყვეტილება. ვინაიდან $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ და ჩვენ უნდა ვიპოვოთ $((a)_(15))$, აღვნიშნავთ შემდეგს:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5დ. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

მაგრამ პირობით $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, ანუ $5d=6$, საიდანაც გვაქვს:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

პასუხი: 20.4

Სულ ეს არის! ჩვენ არ დაგვჭირდა განტოლებათა სისტემის შედგენა და პირველი წევრისა და სხვაობის გამოთვლა - ყველაფერი რამდენიმე სტრიქონში გადაწყდა.

ახლა განვიხილოთ სხვა ტიპის პრობლემა - პროგრესის უარყოფითი და პოზიტიური წევრების ძიება. საიდუმლო არ არის, რომ თუ პროგრესი იზრდება, ხოლო მისი პირველი ტერმინი უარყოფითია, ადრე თუ გვიან მასში დადებითი ტერმინები გამოჩნდება. და პირიქით: კლებადი პროგრესირების პირობები ადრე თუ გვიან გახდება უარყოფითი.

ამავდროულად, ყოველთვის არ არის შესაძლებელი ამ მომენტის პოვნა "შუბლზე", ელემენტების თანმიმდევრულად დახარისხება. ხშირად, პრობლემები ისეა შექმნილი, რომ ფორმულების ცოდნის გარეშე, გამოთვლებს რამდენიმე ფურცელი დასჭირდება - ჩვენ უბრალოდ ვიძინებდით, სანამ პასუხს არ ვიპოვით. ამიტომ ვეცდებით ამ პრობლემების უფრო სწრაფად გადაჭრას.

დავალება ნომერი 4. რამდენი უარყოფითი წევრია არითმეტიკული პროგრესიაში -38,5; -35,8; …?

გადაწყვეტილება. ასე რომ, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, საიდანაც დაუყოვნებლივ ვპოულობთ განსხვავებას:

გაითვალისწინეთ, რომ განსხვავება დადებითია, ამიტომ პროგრესი იზრდება. პირველი წევრი უარყოფითია, ასე რომ, რაღაც მომენტში ჩვენ წავაწყდებით დადებით რიცხვებს. ერთადერთი საკითხია, როდის მოხდება ეს.

შევეცადოთ გავარკვიოთ: რომელ საათამდე (ე.ი. რამდენამდე ბუნებრივი რიცხვი$n$) ტერმინების ნეგატიურობა შენარჩუნებულია:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\მარცხნივ(n-1 \მარჯვნივ)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \მარჯვნივ. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ბოლო სტრიქონი დაზუსტებას საჭიროებს. ასე რომ, ჩვენ ვიცით, რომ $n \lt 15\frac(7)(27)$. მეორეს მხრივ, რიცხვის მხოლოდ მთელი მნიშვნელობები მოგვწონს (უფრო მეტიც: $n\in \mathbb(N)$), ამიტომ ყველაზე დიდი დასაშვები რიცხვია ზუსტად $n=15$ და არავითარ შემთხვევაში 16.

დავალება ნომერი 5. არითმეტიკული პროგრესიით $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. იპოვეთ ამ პროგრესიის პირველი დადებითი წევრის რიცხვი.

ეს იქნება ზუსტად იგივე პრობლემა, როგორც წინა, მაგრამ ჩვენ არ ვიცით $((a)_(1))$. მაგრამ მეზობელი ტერმინები ცნობილია: $((a)_(5))$ და $((a)_(6))$, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად ვიპოვოთ პროგრესიის განსხვავება:

გარდა ამისა, შევეცადოთ გამოვხატოთ მეხუთე ტერმინი პირველის და სხვაობის თვალსაზრისით სტანდარტული ფორმულის გამოყენებით:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ახლა ჩვენ გავაგრძელებთ წინა პრობლემის ანალოგიით. ჩვენ გავარკვიეთ, რომელ მომენტში გამოჩნდება ჩვენი მიმდევრობის დადებითი რიცხვები:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \მარჯვნივ)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

Მინიმალური მთელი რიცხვის ამოხსნამოცემული უტოლობა არის რიცხვი 56.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: in ბოლო დავალებაყველაფერი ჩამოვიდა მკაცრი უთანასწორობაასე რომ, ვარიანტი $n=55$ არ მოგვწონს.

ახლა, როდესაც ვისწავლეთ მარტივი პრობლემების გადაჭრა, მოდით გადავიდეთ უფრო რთულზე. მაგრამ ჯერ გავიგოთ არითმეტიკული პროგრესიების კიდევ ერთი ძალიან სასარგებლო თვისება, რომელიც დაგვიზოგავს უამრავ დროს და არათანაბარ უჯრედებს მომავალში. :)

საშუალო არითმეტიკული და ტოლი შეწევა

განვიხილოთ მზარდი არითმეტიკული პროგრესიის რამდენიმე თანმიმდევრული წევრი $\left(((a)_(n)) \right)$. შევეცადოთ აღვნიშნოთ ისინი რიცხვით ხაზზე:

არითმეტიკული პროგრესიის წევრები რიცხვთა წრფეზე

მე კონკრეტულად აღვნიშნე თვითნებური წევრები $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, და არა $((a)_(1)) , \ ((ა)_(2)),\ ((ა)_(3))$ და ა.შ. რადგან წესი, რომელსაც ახლა გეტყვით, ნებისმიერ „სეგმენტზე“ ერთნაირად მუშაობს.

და წესი ძალიან მარტივია. გავიხსენოთ რეკურსიული ფორმულა და ჩავწეროთ ყველა მონიშნული წევრისთვის:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \ბოლო (გასწორება)\]

თუმცა, ეს თანასწორობები შეიძლება სხვაგვარად გადაიწეროს:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \ბოლო (გასწორება)\]

აბა, მერე რა? მაგრამ ის ფაქტი, რომ ტერმინები $((a)_(n-1))$ და $((a)_(n+1))$ $((a)_(n)) $-დან ერთსა და იმავე მანძილზე მდებარეობს. . და ეს მანძილი $d$-ის ტოლია. იგივე შეიძლება ითქვას ტერმინებზე $((a)_(n-2))$ და $((a)_(n+2))$ - ისინი ასევე ამოღებულია $((a)_(n)-დან. )$ იგივე მანძილით უდრის $2d$-ს. შეგიძლიათ გააგრძელოთ განუსაზღვრელი ვადით, მაგრამ სურათი კარგად ასახავს მნიშვნელობას

პროგრესიის წევრები ცრუობენ ცენტრიდან იმავე მანძილზე

რას ნიშნავს ეს ჩვენთვის? ეს ნიშნავს, რომ თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ $((a)_(n))$, თუ ცნობილია მეზობელი ნომრები:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

ჩვენ გამოვიტანეთ შესანიშნავი განცხადება: არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი უდრის მეზობელი წევრების საშუალო არითმეტიკულს! უფრო მეტიც, ჩვენ შეგვიძლია გადავუხვიოთ $((a)_(n))$-დან მარცხნივ და მარჯვნივ არა ერთი ნაბიჯით, არამედ $k$ ნაბიჯებით - და მაინც ფორმულა სწორი იქნება:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

იმათ. ჩვენ მარტივად შეგვიძლია ვიპოვოთ $((a)_(150))$ თუ ვიცით $((a)_(100))$ და $((a)_(200))$, რადგან $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. ერთი შეხედვით შეიძლება მოგვეჩვენოს, რომ ეს ფაქტი არაფერს არ გვაძლევს სასარგებლო. თუმცა, პრაქტიკაში, არითმეტიკული საშუალო გამოსაყენებლად სპეციალურად „გამახვილებულია“ მრავალი დავალება. Შეხედე:

დავალება ნომერი 6. იპოვეთ $x$-ის ყველა მნიშვნელობები ისე, რომ რიცხვები $-6((x)^(2))$, $x+1$ და $14+4((x)^(2))$ იყოს თანმიმდევრული წევრები არითმეტიკული პროგრესია (მითითებული თანმიმდევრობით).

გადაწყვეტილება. Იმდენად, რამდენადაც მითითებული ნომრებიპროგრესიის წევრები არიან, ისინი აკმაყოფილებენ საშუალო არითმეტიკულ პირობას: ცენტრალური ელემენტი $x+1$ შეიძლება გამოისახოს მეზობელი ელემენტებით:

\[\begin(გასწორება) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

კლასიკური აღმოჩნდა კვადრატული განტოლება. მისი ფესვები: $x=2$ და $x=-3$ არის პასუხები.

პასუხი: -3; 2.

დავალება ნომერი 7. იპოვეთ $$-ის მნიშვნელობები ისე, რომ რიცხვებმა $-1;4-3;(()^(2))+1$ შექმნან არითმეტიკული პროგრესია (ამ თანმიმდევრობით).

გადაწყვეტილება. კიდევ ერთხელ გამოვხატოთ შუა წევრიმეზობელი წევრების საშუალო არითმეტიკული საშუალებით:

\[\begin(გასწორება) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \მარცხნივ| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

კიდევ ერთი კვადრატული განტოლება. და ისევ ორი ​​ფესვი: $x=6$ და $x=1$.

პასუხი: 1; 6.

თუ პრობლემის გადაჭრის პროცესში მიიღებთ რამდენიმე ბრუტალურ რიცხვს, ან ბოლომდე დარწმუნებული არ ხართ ნაპოვნი პასუხების სისწორეში, მაშინ არსებობს შესანიშნავი ხრიკი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ შეამოწმოთ: სწორად გადავჭრით პრობლემა?

ვთქვათ, მე-6 ამოცანაში მივიღეთ პასუხები -3 და 2. როგორ შევამოწმოთ, რომ ეს პასუხები სწორია? მოდით შევაერთოთ ისინი თავდაპირველ მდგომარეობაში და ვნახოთ რა მოხდება. შეგახსენებთ, რომ გვაქვს სამი რიცხვი ($-6(()^(2))$, $+1$ და $14+4(()^(2))$), რომლებიც არითმეტიკულ პროგრესიას უნდა ქმნიდნენ. ჩანაცვლება $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \ბოლო(გასწორება)\]

მივიღეთ ნომრები -54; −2; 50, რომელიც განსხვავდება 52-ით, უდავოდ არის არითმეტიკული პროგრესია. იგივე ხდება $x=2$-ზე:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & x=2\მარჯვენა ისარი \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \ბოლო(გასწორება)\]

ისევ პროგრესია, მაგრამ 27-ის სხვაობით. ამგვარად, პრობლემა სწორად მოგვარებულია. მსურველებს შეუძლიათ დამოუკიდებლად შეამოწმონ მეორე დავალება, მაგრამ მე მაშინვე ვიტყვი: იქაც ყველაფერი სწორია.

ზოგადად, ბოლო ამოცანების ამოხსნისას სხვას წავაწყდით საინტერესო ფაქტი, რომელიც ასევე უნდა გვახსოვდეს:

თუ სამი რიცხვი ისეთია, რომ მეორე არის საშუალო ჯერ არითმეტიკადა ბოლო, ეს რიცხვები ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას.

მომავალში, ამ განცხადების გაგება საშუალებას მოგვცემს ფაქტიურად „ავაშენოთ“ საჭირო პროგრესი პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე. მაგრამ სანამ ასეთ „მშენებლობას“ მივაქცევთ, ყურადღება უნდა მივაქციოთ კიდევ ერთ ფაქტს, რომელიც პირდაპირ გამომდინარეობს უკვე განხილულიდან.

ელემენტების დაჯგუფება და ჯამი

დავუბრუნდეთ რიცხვითი ღერძი. ჩვენ აღვნიშნავთ პროგრესის რამდენიმე წევრს, რომელთა შორის, შესაძლოა. ღირს ბევრი სხვა წევრი:

რიცხვთა ხაზზე მონიშნულია 6 ელემენტი

შევეცადოთ გამოვხატოთ "მარცხენა კუდი" $((a)_(n))$-ით და $d$-ით, ხოლო "მარჯვენა კუდი" $((a)_(k))$-ით და $-ით. d$. ძალიან მარტივია:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((ა)_(კ-1))=((ა)_(კ))-დ; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ახლა გაითვალისწინეთ, რომ შემდეგი ჯამები ტოლია:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((ა)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= ს. \ბოლო(გასწორება)\]

მარტივად რომ ვთქვათ, თუ საწყისად განვიხილავთ პროგრესიის ორ ელემენტს, რომლებიც მთლიანობაში უდრის რაღაც რიცხვს $S$ და შემდეგ დავიწყებთ ამ ელემენტებიდან ნაბიჯს მოპირდაპირე მხარეები(ერთმანეთის მიმართ ან პირიქით ამოღება), შემდეგ ტოლი იქნება ელემენტების ჯამებიც, რომლებსაც წავაწყდებით$S$. ეს შეიძლება იყოს საუკეთესოდ წარმოდგენილი გრაფიკულად:

იგივე აბზაცები იძლევა თანაბარ ჯამებს

გაგება ეს ფაქტისაშუალებას მოგვცემს პრობლემების ფუნდამენტურად მეტი გადაჭრა მაღალი დონესირთულის ვიდრე ზემოთ განხილული. მაგალითად, ესენი:

დავალება ნომერი 8. დაადგინეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა, რომელშიც პირველი წევრი არის 66, ხოლო მეორე და მეთორმეტე წევრის ნამრავლი არის უმცირესი.

გადაწყვეტილება. მოდით დავწეროთ ყველაფერი, რაც ვიცით:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\წთ. \ბოლო(გასწორება)\]

ასე რომ, ჩვენ არ ვიცით $d$ პროგრესიის განსხვავება. სინამდვილეში, მთელი გამოსავალი აგებული იქნება სხვაობის გარშემო, რადგან პროდუქტი $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\მარცხნივ(66+d \მარჯვნივ)\cdot \left(66+11d \მარჯვნივ)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \მარჯვნივ). \ბოლო(გასწორება)\]

ტანკში მყოფთათვის: ამოვიღე საერთო ფაქტორი 11 მეორე ფრჩხილიდან. ამრიგად, სასურველი პროდუქტი არის კვადრატული ფუნქცია $d$ ცვლადის მიმართ. ამიტომ, განიხილეთ ფუნქცია $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - მისი გრაფიკი იქნება პარაბოლა ტოტებით ზემოთ, რადგან თუ ფრჩხილებს გავხსნით, მივიღებთ:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & f\ მარცხნივ(d \მარჯვნივ)=11\მარცხნივ(((დ)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \მარჯვნივ)= \\ & =11(( დ)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end (გასწორება)\]

როგორც ხედავთ, კოეფიციენტი უმაღლეს ტერმინზე არის 11 - ეს არის დადებითი რიცხვიასე რომ, ჩვენ ნამდვილად გვაქვს საქმე პარაბოლასთან ტოტებით ზემოთ:

განრიგი კვადრატული ფუნქცია- პარაბოლა

Შენიშვნა: მინიმალური ღირებულებაეს პარაბოლა იღებს $((d)_(0))$ თავის წვეროზე აბსცისით. რა თქმა უნდა, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ეს აბსციზა სტანდარტული სქემის მიხედვით (არსებობს ფორმულა $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), მაგრამ ბევრად უფრო გონივრული იქნება გაითვალისწინეთ, რომ სასურველი წვერო დევს პარაბოლას ღერძის სიმეტრიაზე, ამიტომ წერტილი $((d)_(0))$ თანაბარი მანძილით არის დაშორებული $f\left(d \right)=0$ განტოლების ფესვებისგან:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((დ)_(1))=-66;\ოთხი ((დ)_(2))=-6. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ამიტომაც არ ვჩქარობდი ფრჩხილების გახსნას: თავდაპირველი სახით ფესვების პოვნა ძალიან, ძალიან ადვილი იყო. მაშასადამე, აბსციზა უდრის საშუალოს არითმეტიკული რიცხვები-66 და -6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

რა გვაძლევს აღმოჩენილ რიცხვს? მასთან ერთად, საჭირო პროდუქტი იღებს უმცირესი ღირებულება(სხვათა შორის, ჩვენ არ გამოვთვალეთ $((y)_(\min ))$ - ჩვენ არ ვართ საჭირო ამის გაკეთება). ამავდროულად, ეს რიცხვი არის საწყისი პროგრესიის სხვაობა, ე.ი. ვიპოვეთ პასუხი. :)

პასუხი: -36

დავალება ნომერი 9. ჩასვით სამი რიცხვი $-\frac(1)(2)$ და $-\frac(1)(6)$ რიცხვებს შორის ისე, რომ მოცემულ რიცხვებთან ერთად შექმნან არითმეტიკული პროგრესია.

გადაწყვეტილება. სინამდვილეში, ჩვენ უნდა შევქმნათ ხუთი რიცხვის მიმდევრობა, პირველი და ბოლო რიცხვი უკვე ცნობილია. გამოტოვებული რიცხვების აღნიშვნა $x$, $y$ და $z$ ცვლადებით:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \მარჯვნივ\ )\]

გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვი $y$ არის ჩვენი მიმდევრობის „შუა“ - ის თანაბარი მანძილით არის დაშორებული $x$ და $z$ რიცხვებისგან და $-\frac(1)(2)$ და $-\frac რიცხვებისგან. (1)(6)$. და თუ ჩვენ ვართ $x$ და $z$ რიცხვებიდან ამ მომენტშიჩვენ ვერ მივიღებთ $y$-ს, მაშინ სიტუაცია განსხვავებულია პროგრესიის ბოლოებით. გახსოვდეთ საშუალო არითმეტიკული:

ახლა, ვიცით $y$, ჩვენ ვიპოვით დარჩენილ ნომრებს. გაითვალისწინეთ, რომ $x$ დევს $-\frac(1)(2)$-სა და $y=-\frac(1)(3)$-ს შორის. Ისე

ანალოგიურად კამათით, ჩვენ ვპოულობთ დარჩენილ რიცხვს:

მზადაა! სამივე ნომერი ვიპოვეთ. ჩავწეროთ ისინი პასუხში იმ თანმიმდევრობით, რომლითაც ისინი უნდა იყოს ჩასმული თავდაპირველ რიცხვებს შორის.

პასუხი: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

დავალება ნომერი 10. 2 და 42 რიცხვებს შორის ჩასვით რამდენიმე რიცხვი, რომლებიც მოცემულ რიცხვებთან ერთად ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას, თუ ცნობილია, რომ ჩასმული რიცხვების პირველი, მეორე და ბოლო ჯამი არის 56.

გადაწყვეტილება. უფრო მეტიც რთული ამოცანა, რომელიც, თუმცა, იხსნება ისევე, როგორც წინაები - საშუალო არითმეტიკული საშუალებით. პრობლემა ის არის, რომ ზუსტად არ ვიცით რამდენი რიცხვის ჩასმა. მაშასადამე, განსაზღვრულობისთვის, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ ჩასმის შემდეგ იქნება ზუსტად $n$ რიცხვები და მათგან პირველი არის 2, ხოლო ბოლო არის 42. ამ შემთხვევაში, სასურველი არითმეტიკული პროგრესია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( ა)_(n-1));42 \მარჯვნივ\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

თუმცა გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვები $((a)_(2))$ და $((a)_(n-1))$ მიიღება კიდეებზე მდგომი რიცხვებიდან 2 და 42 ერთი ნაბიჯით ერთმანეთისკენ. , ე.ი. მიმდევრობის ცენტრამდე. და ეს იმას ნიშნავს

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

მაგრამ შემდეგ ზემოაღნიშნული გამოთქმა შეიძლება გადაიწეროს ასე:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \მარჯვნივ)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

თუ ვიცით $((a)_(3))$ და $((a)_(1))$, ჩვენ მარტივად შეგვიძლია ვიპოვოთ პროგრესირების განსხვავება:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\მარცხნივ(3-1 \მარჯვნივ)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\მარჯვენა ისარი d=5. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

რჩება მხოლოდ დარჩენილი წევრების პოვნა:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ამრიგად, უკვე მე-9 საფეხურზე მივალთ მიმდევრობის მარცხენა ბოლოში - რიცხვი 42. ჯამში მხოლოდ 7 რიცხვის ჩასმა იყო საჭირო: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

პასუხი: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

ტექსტური ამოცანები პროგრესიით

დასასრულს, მინდა განვიხილო რამდენიმე მარტივი დავალებები. ისე, როგორც მარტივი: სტუდენტების უმრავლესობისთვის, რომლებიც მათემატიკას სწავლობენ სკოლაში და არ წაკითხული აქვთ ზემოთ დაწერილი, ეს ამოცანები შეიძლება ჟესტივით ჩანდეს. მიუხედავად ამისა, სწორედ ასეთი ამოცანები გვხვდება OGE-ში და მათემატიკაში USE-ში, ამიტომ გირჩევთ გაეცნოთ მათ.

დავალება ნომერი 11. გუნდმა გამოუშვა 62 ნაწილი იანვარში და თითოეულში შემდეგი თვეწარმოებული 14 ნაწილით მეტი ვიდრე წინა. რამდენი ნაწილი გამოუშვა ბრიგადამ ნოემბერში?

გადაწყვეტილება. ცხადია, თვეების მიხედვით დახატული ნაწილების რაოდენობა მზარდი არითმეტიკული პროგრესია იქნება. და:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\მარცხნივ(n-1 \მარჯვნივ)\cdot 14. \\ \end (გასწორება)\]

ნოემბერი არის წლის მე-11 თვე, ამიტომ უნდა ვიპოვოთ $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

შესაბამისად, ნოემბერში 202 ნაწილის დამზადება მოხდება.

დავალება ნომერი 12. იანვარში წიგნების აკინძვის სახელოსნომ 216 წიგნი შეკრა და ყოველთვიურად წინა თვესთან შედარებით 4 წიგნით მეტი აკრა. რამდენი წიგნი შეიკრა სახელოსნომ დეკემბერში?

გადაწყვეტილება. Ერთი და იგივე:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\მარცხნივ(n-1 \მარჯვნივ)\cdot 4. \\ \end (გასწორება)$

დეკემბერი არის წლის ბოლო, მე-12 თვე, ამიტომ ჩვენ ვეძებთ $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

ეს არის პასუხი - დეკემბერში 260 წიგნი იკვრება.

აბა, თუ აქამდე წაიკითხეთ, მეჩქარება მოგილოცოთ: „რა თქმა უნდა ახალგაზრდა მებრძოლი» არითმეტიკული პროგრესიებით თქვენ წარმატებით გაიარეთ. შეგიძლიათ უსაფრთხოდ გადახვიდეთ შემდეგ გაკვეთილზე, სადაც შევისწავლით პროგრესირების ჯამის ფორმულას, ასევე მნიშვნელოვან და ძალიან სასარგებლო შედეგებიმისგან.

ბევრს სმენია არითმეტიკული პროგრესიის შესახებ, მაგრამ ყველამ კარგად არ იცის რა არის ეს. ამ სტატიაში ჩვენ მივცემთ შესაბამის განმარტებას და ასევე განვიხილავთ კითხვას, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა და მოვიყვანთ რამდენიმე მაგალითს.

მათემატიკური განმარტება

ასე რომ, თუ ჩვენ ვსაუბრობთარითმეტიკული ან ალგებრული პროგრესიის შესახებ (ეს ცნებები განსაზღვრავს იგივეს), მაშინ ეს ნიშნავს, რომ არსებობს გარკვეული რიცხვების სერიადამაკმაყოფილებელი შემდეგი კანონი: სერიების ყოველი ორი მიმდებარე რიცხვი ერთნაირი რაოდენობით განსხვავდება. მათემატიკურად ეს ასე წერია:

აქ n ნიშნავს a n ელემენტის რაოდენობას მიმდევრობაში, ხოლო რიცხვი d არის პროგრესიის სხვაობა (მისი სახელი გამომდინარეობს წარმოდგენილი ფორმულიდან).

რას ნიშნავს d განსხვავების ცოდნა? იმის შესახებ, თუ რამდენად დაშორებულია მიმდებარე ნომრები ერთმანეთისგან. თუმცა დ-ის ცოდნა აუცილებელია, მაგრამ არა საკმარისი მდგომარეობამთელი პროგრესის დადგენა (აღდგენა). თქვენ უნდა იცოდეთ კიდევ ერთი რიცხვი, რომელიც შეიძლება იყოს განხილული სერიის აბსოლუტურად ნებისმიერი ელემენტი, მაგალითად, 4, a10, მაგრამ, როგორც წესი, გამოიყენება პირველი რიცხვი, ანუ 1.

პროგრესირების ელემენტების განსაზღვრის ფორმულები

ზოგადად, ზემოთ მოყვანილი ინფორმაცია უკვე საკმარისია გადაწყვეტის გასაგრძელებლად კონკრეტული ამოცანები. მიუხედავად ამისა, სანამ არითმეტიკული პროგრესია იქნება მოცემული და საჭირო იქნება მისი განსხვავების პოვნა, წარმოგიდგენთ წყვილს სასარგებლო ფორმულები, რითაც ხელს უწყობს პრობლემების გადაჭრის შემდგომ პროცესს.

ადვილია იმის ჩვენება, რომ მიმდევრობის ნებისმიერი ელემენტი n ნომრით შეიძლება მოიძებნოს შემდეგნაირად:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

მართლაც, ყველას შეუძლია შეამოწმოს ეს ფორმულა მარტივი ჩამოთვლით: თუ ჩაანაცვლებთ n = 1-ს, მაშინ მიიღებთ პირველ ელემენტს, თუ ჩაანაცვლებთ n = 2-ს, მაშინ გამოხატულება იძლევა პირველი რიცხვისა და სხვაობის ჯამს და ა.შ. .

მრავალი ამოცანის პირობები ისეა შედგენილი, რომ რიცხვების ცნობილი წყვილისთვის, რომელთა რიცხვებიც თანმიმდევრობითაა მოცემული, საჭიროა მთელი რიცხვების სერიის აღდგენა (იპოვეთ განსხვავება და პირველი ელემენტი). ახლა ჩვენ ამ პრობლემას ზოგადი გზით მოვაგვარებთ.

ასე რომ, დავუშვათ, რომ გვაქვს ორი ელემენტი n და m რიცხვებით. ზემოთ მიღებული ფორმულის გამოყენებით შეგვიძლია შევადგინოთ ორი განტოლების სისტემა:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

საპოვნელად უცნობი რაოდენობითგამოვიყენოთ კარგად ცნობილი მარტივი ხრიკიასეთი სისტემის ამონახსნები: წყვილად ვაკლებთ მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს, თანასწორობა კი ძალაში რჩება. Ჩვენ გვაქვს:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

ამრიგად, ჩვენ აღმოვფხვრათ ერთი უცნობი (a 1). ახლა ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ საბოლოო გამოხატულება d-ის დასადგენად:

d = (a n - a m) / (n - m), სადაც n > m

ჩვენ მივიღეთ ძალიან მარტივი ფორმულა: იმისათვის, რომ გამოვთვალოთ სხვაობა d პრობლემის პირობების შესაბამისად, საჭიროა მხოლოდ ავიღოთ სხვაობათა თანაფარდობა თავად ელემენტებსა და მათ შორის. სერიული ნომრები. ყურადღება უნდა მიექცეს ერთ მნიშვნელოვან პუნქტს: განსხვავებები აღებულია "უფროს" და "უმცროს" წევრებს შორის, ანუ n\u003e m ("უფროსი" - ნიშნავს თანმიმდევრობის დასაწყისიდან შორს დგომას, მის აბსოლუტური მნიშვნელობაშეიძლება იყოს უფრო დიდი ან ნაკლები ვიდრე "უმცროსი" ელემენტი).

პროგრესიის d სხვაობის გამოხატულება უნდა შეიცვალოს რომელიმე განტოლებაში პრობლემის ამოხსნის დასაწყისში, რათა მივიღოთ პირველი წევრის მნიშვნელობა.

ჩვენი განვითარების ეპოქაში კომპიუტერული ტექნოლოგიაბევრი სკოლის მოსწავლე ცდილობს თავისი ამოცანების გადაწყვეტილებების მოძიებას ინტერნეტში, ამიტომ ხშირად ჩნდება ამ ტიპის კითხვები: იპოვნეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა ინტერნეტში. ასეთი მოთხოვნის შემთხვევაში საძიებო სისტემა გამოაჩენს უამრავ ვებ გვერდს, რომლებზედაც გადასვლით მოგიწევთ მდგომარეობიდან ცნობილი მონაცემების შეყვანა (ეს შეიძლება იყოს პროგრესირების ორი წევრი ან ზოგიერთი მათგანის ჯამი). და მყისიერად მიიღეთ პასუხი. მიუხედავად ამისა, პრობლემის გადაჭრისადმი ასეთი მიდგომა არაპროდუქტიულია მოსწავლის განვითარებისა და მისთვის დაკისრებული ამოცანის არსის გააზრების თვალსაზრისით.

გამოსავალი ფორმულების გამოყენების გარეშე

მოდით გადავწყვიტოთ პირველი პრობლემა, მაშინ როცა ზემოთ ჩამოთვლილ ფორმულებს არ გამოვიყენებთ. მიეცით სერიის ელემენტები: a6 = 3, a9 = 18. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.

ცნობილი ელემენტები ზედიზედ ახლოს არის ერთმანეთთან. რამდენჯერ უნდა დაემატოს განსხვავება d უმცირესს, რომ მივიღოთ უდიდესი? სამჯერ (პირველ ჯერზე d-ს მიმატებით ვიღებთ მე-7 ელემენტს, მეორედ - მერვეს, ბოლოს, მესამედ - მეცხრეს). რა რიცხვი უნდა დაემატოს სამს სამჯერ, რომ მივიღოთ 18? ეს არის ნომერი ხუთი. ნამდვილად:

ამრიგად, უცნობი განსხვავებაა d = 5.

რა თქმა უნდა, გამოსავალი შეიძლება გაკეთდეს შესაბამისი ფორმულის გამოყენებით, მაგრამ ეს არ გაკეთებულა განზრახ. დეტალური განმარტებაპრობლემის გადაჭრა უნდა იყოს ნათელი და მთავარი მაგალითირა არის არითმეტიკული პროგრესია.

წინა მსგავსი დავალება

ახლა გადავწყვიტოთ მსგავსი დავალება, მაგრამ შეცვალეთ შეყვანის მონაცემები. ასე რომ, თქვენ უნდა იპოვოთ, თუ a3 = 2, a9 = 19.

რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ კვლავ მიმართოთ „შუბლზე“ ამოხსნის მეთოდს. მაგრამ მას შემდეგ, რაც მოცემულია სერიის ელემენტები, რომლებიც შედარებით შორს არიან ერთმანეთისგან, ასეთი მეთოდი არც თუ ისე მოსახერხებელი ხდება. მაგრამ მიღებული ფორმულის გამოყენება სწრაფად მიგვიყვანს პასუხამდე:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2.83

აქ დავამრგვალეთ საბოლოო რიცხვი. რამდენად გამოიწვია ამ დამრგვალებამ შეცდომა, შეიძლება ვიმსჯელოთ შედეგის შემოწმებით:

a 9 \u003d a 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 \u003d 18.98

ეს შედეგი მხოლოდ 0.1%-ით განსხვავდება პირობით მოცემული მნიშვნელობიდან. აქედან გამომდინარე, შეიძლება ჩაითვალოს გამოყენებული დამრგვალება მეასედამდე წარმატებული არჩევანი.

წევრის ფორმულის გამოყენების ამოცანები

განიხილეთ კლასიკური მაგალითიამოცანები უცნობის d-ის დასადგენად: იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა, თუ a1 = 12, a5 = 40.

როდესაც მოცემულია ორი უცნობი რიცხვი ალგებრული თანმიმდევრობადა ერთ-ერთი მათგანია ელემენტი a 1, მაშინ არ გჭირდებათ დიდხანს ფიქრი, მაგრამ დაუყოვნებლივ უნდა გამოიყენოთ a n წევრის ფორმულა. ამ შემთხვევაში გვაქვს:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Მივიღეთ ზუსტი რიცხვიგაყოფისას, ამიტომ აზრი არ აქვს გამოთვლილი შედეგის სიზუსტის შემოწმებას, როგორც ეს გაკეთდა წინა აბზაცში.

გადავჭრათ კიდევ ერთი მსგავსი პრობლემა: უნდა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა, თუ a1 = 16, a8 = 37.

ჩვენ ვიყენებთ წინა მიდგომის მსგავს მიდგომას და ვიღებთ:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

კიდევ რა უნდა იცოდეთ არითმეტიკული პროგრესიის შესახებ

პოვნის ამოცანის გარდა უცნობი განსხვავებაან ცალკეულ ელემენტებს, ხშირად საჭიროა მიმდევრობის პირველი წევრთა ჯამის ამოცანების ამოხსნა. ამ პრობლემების განხილვა სცილდება სტატიის თემის ფარგლებს, თუმცა ინფორმაციის სისრულისთვის წარმოგიდგენთ ზოგადი ფორმულასერიის n რიცხვების ჯამისთვის:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2