Foi necessário comparar valores e quantidades na resolução de problemas práticos desde os tempos antigos. Ao mesmo tempo, surgiram palavras como mais e menos, mais alto e mais baixo, mais leve e mais pesado, mais baixo e mais alto, mais barato e mais caro etc., denotando os resultados da comparação de quantidades homogêneas.

Os conceitos de mais e menos surgiram em conexão com a contagem de objetos, a medição e comparação de quantidades. Por exemplo, os matemáticos da Grécia antiga sabiam que o lado de qualquer triângulo é menor que a soma dos outros dois lados e que contra ângulo maior o maior lado está no triângulo. Arquimedes, ao calcular a circunferência de um círculo, descobriu que o perímetro de qualquer círculo é igual a três vezes o diâmetro com um excesso que é inferior a um sétimo do diâmetro, mas superior a dez setenta e um do diâmetro.

Escreva simbolicamente as relações entre números e quantidades usando os sinais > e b. Entradas em que dois números estão ligados por um dos sinais: > (maior que), Você também encontrou desigualdades numéricas em notas mais baixas. Você sabe que as desigualdades podem ou não ser verdadeiras. Por exemplo, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) está correto desigualdade numérica, 0,23 > 0,235 - desigualdade numérica incorreta.

Desigualdades que incluem incógnitas podem ser verdadeiras para alguns valores das incógnitas e falsas para outras. Por exemplo, a desigualdade 2x+1>5 é verdadeira para x = 3, mas falsa para x = -3. Para uma inequação com uma incógnita, você pode definir a tarefa: resolva a inequação. Problemas de resolução de desigualdades na prática são colocados e resolvidos com não menos frequência do que problemas de resolução de equações. Por exemplo, muitos problemas econômicos são reduzidos ao estudo e solução de sistemas de desigualdades lineares. Em muitos ramos da matemática, as desigualdades são mais comuns do que as equações.

Algumas desigualdades são as únicas meios auxiliares, que permite provar ou refutar a existência de um determinado objeto, por exemplo, a raiz de uma equação.

Desigualdades numéricas

Você pode comparar números inteiros? decimais. Conheça as regras de comparação frações ordinárias com os mesmos denominadores mas com numeradores diferentes; com os mesmos numeradores mas com denominadores diferentes. Aqui você aprenderá a comparar quaisquer dois números encontrando o sinal de sua diferença.

A comparação de números é amplamente utilizada na prática. Por exemplo, um economista compara indicadores planejados com os reais, um médico compara a temperatura de um paciente com a normal, um torneiro compara as dimensões de uma peça usinada com um padrão. Em todos esses casos, alguns números são comparados. Como resultado da comparação de números, surgem desigualdades numéricas.

Definição. O número a é maior que o número b se diferença a-b positivo. Número um menos do que o número b se a diferença a-b for negativa.

Se a for maior que b, então eles escrevem: a > b; se a é menor que b, então eles escrevem: a Assim, a desigualdade a > b significa que a diferença a - b é positiva, ou seja. a - b > 0. Desigualdade a Para quaisquer dois números a e b das seguintes três relações a > b, a = b, a Teorema. Se a > b e b > c, então a > c.

Teorema. Se o mesmo número for adicionado a ambos os lados da desigualdade, o sinal da desigualdade não muda.
Consequência. Qualquer termo pode ser transferido de uma parte da desigualdade para outra mudando o sinal desse termo para o oposto.

Teorema. Se ambos os lados da desigualdade são multiplicados pelo mesmo número positivo, então o sinal da desigualdade não muda. Se ambos os lados da desigualdade forem multiplicados pelo mesmo número negativo, o sinal da desigualdade mudará para o oposto.
Consequência. Se ambas as partes da desigualdade são divididas pelo mesmo número positivo, então o sinal da desigualdade não muda. Se ambas as partes da desigualdade forem divididas pelo mesmo número negativo, o sinal da desigualdade mudará para o oposto.

Você conhece isso igualdades numéricas Você pode adicionar e multiplicar termo por termo. A seguir, você aprenderá a realizar ações semelhantes com desigualdades. A capacidade de somar e multiplicar as desigualdades termo a termo é frequentemente usada na prática. Essas ações ajudam a resolver os problemas de avaliação e comparação de valores de expressão.

Ao decidir várias tarefas muitas vezes é preciso somar ou multiplicar termo por termo os lados esquerdo e direito das desigualdades. Às vezes se diz que as desigualdades são somadas ou multiplicadas. Por exemplo, se um turista andou mais de 20 km no primeiro dia e mais de 25 km no segundo dia, pode-se argumentar que em dois dias ele andou mais de 45 km. Da mesma forma, se o comprimento de um retângulo for menor que 13 cm e a largura for menor que 5 cm, pode-se argumentar que a área desse retângulo é menor que 65 cm2.

Ao considerar esses exemplos, o seguinte teoremas sobre adição e multiplicação de inequações:

Teorema. Ao adicionar desigualdades de mesmo sinal, obtemos uma desigualdade de mesmo sinal: se a > b e c > d, então a + c > b + d.

Teorema. Ao multiplicar desigualdades de mesmo sinal, para as quais as partes esquerda e direita são positivas, obtém-se uma desigualdade de mesmo sinal: se a > b, c > d e a, b, c, d são números positivos, então ac > bd.

Desigualdades com o sinal > (maior que) e 1/2, 3/4 b, c Junto com as desigualdades estritas > e Da mesma forma, a desigualdade \(a \geq b \) significa que o número a é maior que ou igual a b, ou seja, e não inferior a b.

As desigualdades que contêm o sinal \(\geq \) ou o sinal \(\leq \) são chamadas não estritas. Por exemplo, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) não são desigualdades estritas.

Todas as propriedades de desigualdades estritas também são válidas para desigualdades não estritas. Além disso, se para desigualdades estritas os sinais > forem considerados opostos e você sabe que para resolver a série tarefas aplicadas você tem que fazer um modelo matemático na forma de uma equação ou um sistema de equações. A seguir, você descobrirá que modelos matemáticos para resolver muitos problemas são as desigualdades com incógnitas. Introduziremos o conceito de resolução de uma inequação e mostraremos como verificar se determinado número solução de uma desigualdade particular.

Desigualdades da forma
\(ax > b, \quad ax onde a e b são números dados e x é desconhecido, é chamado desigualdades lineares com um desconhecido.

Definição. A solução de uma desigualdade com uma incógnita é o valor da incógnita para a qual essa desigualdade se transforma em uma verdadeira desigualdade numérica. Resolver uma desigualdade significa encontrar todas as suas soluções ou estabelecer que não há nenhuma.

Você resolveu as equações reduzindo-as às equações mais simples. Da mesma forma, ao resolver inequações, tende-se a reduzi-las com a ajuda de propriedades à forma das inequações mais simples.

Solução de desigualdades de segundo grau com uma variável

Desigualdades da forma
\(ax^2+bx+c >0 \) e \(ax^2+bx+c onde x é uma variável, a, b e c são alguns números e \(a \neq 0 \) são chamados desigualdades de segundo grau com uma variável.

Resolvendo a desigualdade
\(ax^2+bx+c >0 \) ou \(ax^2+bx+c \) pode ser pensado como encontrar lacunas onde a função \(y= ax^2+bx+c \) é positiva ou valores negativos Para fazer isso, basta analisar como o gráfico da função \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) está localizado no plano coordenado: onde os ramos da parábola são direcionados - para cima ou para baixo , se a parábola intercepta o eixo x e se intercepta, então em que pontos.

Algoritmo para resolver desigualdades de segundo grau com uma variável:
1) encontre o discriminante trinômio quadrado\(ax^2+bx+c \) e descubra se o trinômio tem raízes;
2) se o trinômio tem raízes, marque-as no eixo x e desenhe esquematicamente uma parábola através dos pontos marcados, cujos ramos são direcionados para cima em a > 0 ou para baixo em a 0 ou na parte inferior em a 3) encontre lacunas no eixo x para as quais as parábolas de pontos estão localizadas acima do eixo x (se resolverem a desigualdade \(ax^2+bx+c >0 \)) ou abaixo do eixo x (se resolverem a desigualdade
\(ax^2+bx+c Solução de inequações pelo método dos intervalos

Considere a função
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

O domínio desta função é o conjunto de todos os números. Os zeros da função são os números -2, 3, 5. Eles dividem o domínio da função em intervalos \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5 ) \) e \( (5; +\infty)\)

Vamos descobrir quais são os sinais dessa função em cada um dos intervalos indicados.

A expressão (x + 2)(x - 3)(x - 5) é o produto de três fatores. O sinal de cada um desses fatores nos intervalos considerados é indicado na tabela:

Em geral, seja a função dada pela fórmula
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
onde x é uma variável e x 1 , x 2 , ..., x n não são números iguais. Os números x 1 , x 2 , ..., x n são os zeros da função. Em cada um dos intervalos em que o domínio de definição é dividido pelos zeros da função, o sinal da função é preservado e, ao passar por zero, seu sinal muda.

Esta propriedade é usada para resolver inequações da forma
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) onde x 1 , x 2 , ..., x n não são números iguais

Método considerado resolver inequações é chamado de método dos intervalos.

Vamos dar exemplos de como resolver inequações pelo método intervalar.

Resolva a desigualdade:

\(x(0.5-x)(x+4) Obviamente, os zeros da função f(x) = x(0.5-x)(x+4) são os pontos \frac(1)(2) , \; x=-4\)

Aplicar a eixo numérico zeros da função e calcule o sinal em cada intervalo:

Selecionamos os intervalos em que a função é menor ou igual a zero e escrevemos a resposta.

Responda:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

conceito desigualdade matemática originado em tempos antigos. Isso aconteceu quando homem primitivo havia necessidade de contagem e ações com vários assuntos compare seu número e tamanho. Desde os tempos antigos, as desigualdades têm sido usadas em seu raciocínio por Arquimedes, Euclides e outros cientistas famosos: matemáticos, astrônomos, designers e filósofos.

Mas eles, via de regra, usavam terminologia verbal em seus trabalhos. Primeiro sinais modernos para denotar os conceitos de "mais" e "menos" na forma como todos os alunos os conhecem hoje, eles inventaram e colocaram em prática na Inglaterra. O matemático Thomas Harriot prestou tal serviço aos descendentes. E isso aconteceu cerca de quatro séculos atrás.

Existem muitos tipos de desigualdades. Entre elas estão as simples, contendo uma, duas ou mais variáveis, quadradas, fracionárias, razões complexas, e até representadas por um sistema de expressões. E para entender como resolver as desigualdades, é melhor usar vários exemplos.

Não perca o trem

Primeiro, imagine que um morador campo se apressa Estação Ferroviária, que fica a 20 km de sua aldeia. Para não perder o trem que sai às 11 horas, ele deve sair de casa no horário. A que horas isso deve ser feito se a velocidade de seu movimento for de 5 km/h? Solução para isso tarefa prática reduz-se ao cumprimento das condições da expressão: 5 (11 - X) ≥ 20, onde X é a hora de partida.

Isso é compreensível, porque a distância que um aldeão precisa percorrer até a estação é igual à velocidade do movimento multiplicada pelo número de horas na estrada. venha homem anterior talvez, mas ele não pode se atrasar. Sabendo como resolver as desigualdades e aplicando nossas habilidades na prática, eventualmente obteremos X ≤ 7, que é a resposta. Isso significa que o aldeão deve ir à estação ferroviária às sete da manhã ou um pouco mais cedo.

Espaços numéricos na linha de coordenadas

Agora vamos descobrir como mapear as relações descritas na desigualdade obtida acima não é estrita. Isso significa que a variável pode assumir valores menores que 7, podendo ser igual a este número. Vamos dar outros exemplos. Para fazer isso, considere cuidadosamente as quatro figuras abaixo.

No primeiro você pode ver imagem gráfica intervalo [-7; 7]. Consiste em um conjunto de números localizados na linha de coordenadas e localizados entre -7 e 7, incluindo os limites. Nesse caso, os pontos no gráfico são mostrados como círculos preenchidos e o intervalo é registrado usando

O segundo desenho é representação gráfica desigualdade estrita. Neste caso, os números de borda -7 e 7, mostrados por pontos perfurados (não preenchidos), não são incluídos no conjunto especificado. E o próprio intervalo é registrado em parênteses como segue: (-7; 7).

Ou seja, tendo descoberto como resolver inequações desse tipo, e tendo recebido uma resposta semelhante, podemos concluir que consiste em números que estão entre os limites considerados, exceto -7 e 7. Os próximos dois casos devem ser avaliados de maneira semelhante. A terceira figura mostra as imagens das lacunas (-∞; -7] U

Agora vamos complicar um pouco a tarefa e considerar não apenas polinômios, mas as chamadas frações racionais da forma:

onde $P\left(x \right)$ e $Q\left(x \right)$ são os mesmos polinômios da forma $((a)_(n))((x)^(n))+( (a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, ou o produto de tais polinômios.

Esta será uma desigualdade racional. O ponto fundamental é a presença da variável $x$ no denominador. Por exemplo, aqui está - desigualdades racionais:

\[\begin(alinhar) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(align)\]

E esta não é uma desigualdade racional, mas a mais comum, que é resolvida pelo método do intervalo:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Olhando para frente, direi imediatamente: há pelo menos duas maneiras de resolver desigualdades racionais, mas todas elas, de uma forma ou de outra, são reduzidas ao método dos intervalos já conhecido por nós. Portanto, antes de analisar esses métodos, vamos relembrar os fatos antigos, caso contrário não haverá sentido no novo material.

O que você já precisa saber

Não há muitos fatos importantes. Nós realmente só precisamos de quatro.

Fórmulas de multiplicação abreviadas

Sim, sim: eles nos seguirão por toda parte currículo escolar matemática. E na universidade também. Existem algumas dessas fórmulas, mas precisamos apenas do seguinte:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\direito); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\direito). \\ \end(alinhar)\]

Preste atenção às duas últimas fórmulas - esta é a soma e a diferença dos cubos (e não o cubo da soma ou diferença!). Eles são fáceis de lembrar se você notar que o sinal no primeiro colchete é o mesmo que o sinal na expressão original e no segundo colchete é oposto ao sinal na expressão original.

Equações lineares

Estes são os mais equações simples da forma $ax+b=0$, onde $a$ e $b$ são números regulares, e $a\ne 0$. Esta equação é fácil de resolver:

\[\begin(alinhar) & ax+b=0; \\ &ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(alinhar)\]

Observo que temos o direito de dividir pelo coeficiente $a$, pois $a\ne 0$. Este requisito é bastante lógico, pois com $a=0$ obtemos isso:

Primeiro, não há variável $x$ nesta equação. Isso, em geral, não deve nos confundir (isso acontece, digamos, na geometria, e com bastante frequência), mas ainda não somos mais uma equação linear.

Em segundo lugar, a solução desta equação depende apenas do coeficiente $b$. Se $b$ também for zero, então nossa equação será $0=0$. Essa igualdade é sempre verdadeira; portanto, $x$ é qualquer número (geralmente escrito como $x\in \mathbb(R)$). Se o coeficiente $b$ não for zero, então a igualdade $b=0$ nunca é satisfeita, ou seja, sem respostas (escrito $x\in \varnothing $ e lido "conjunto de soluções está vazio").

Para evitar todas essas complexidades, simplesmente assumimos $a\ne 0$, o que não nos restringe de forma alguma de outras reflexões.

Equações quadráticas

Deixe-me lembrá-lo que isso é chamado de equação quadrática:

Aqui à esquerda está um polinômio de segundo grau, e novamente $a\ne 0$ (caso contrário, em vez de Equação quadrática ficamos lineares). As seguintes equações são resolvidas através do discriminante:

1. Se $D \gt 0$, obtemos duas raízes diferentes;
2. Se $D=0$, então a raiz será uma, mas da segunda multiplicidade (que tipo de multiplicidade é e como levá-la em conta - mais sobre isso depois). Ou podemos dizer que a equação tem duas raízes idênticas;
3. Para $D \lt 0$ não existem raízes, e o sinal do polinômio $a((x)^(2))+bx+c$ para qualquer $x$ coincide com o sinal do coeficiente $a $. Aliás, isso é muito fato útil, que por algum motivo eles esquecem de falar nas aulas de álgebra.

As próprias raízes são calculadas de acordo com a fórmula bem conhecida:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Daí, aliás, as restrições ao discriminante. Afinal Raiz quadrada a partir de número negativo não existe. Em relação às raízes, muitos alunos têm uma confusão terrível em suas cabeças, então escrevi especificamente lição inteira: o que é uma raiz em álgebra e como calculá-la - recomendo a leitura. :)

Operações com frações racionais

Tudo o que foi escrito acima, você já sabe se estudou o método dos intervalos. Mas o que vamos analisar agora não tem análogos no passado - este é um fato completamente novo.

Definição. Uma fração racional é uma expressão da forma

\[\frac(P\esquerda(x \direita))(Q\esquerda(x \direita))\]

onde $P\left(x \right)$ e $Q\left(x \right)$ são polinômios.

É óbvio que é fácil obter uma desigualdade de tal fração - basta atribuir o sinal “maior que” ou “menor que” à direita. E um pouco mais adiante descobriremos que resolver esses problemas é um prazer, tudo é muito simples por lá.

Os problemas começam quando existem várias dessas frações em uma expressão. Eles têm que ser trazidos para denominador comum- e é neste momento que é permitido um grande número de erros embaraçosos.

Portanto, para solução de sucesso equações racionais Duas habilidades devem ser firmemente dominadas:

1. Fatoração do polinômio $P\left(x \right)$;
2. Na verdade, trazendo frações a um denominador comum.

Como fatorar um polinômio? Muito simples. Temos um polinômio da forma

Vamos igualar a zero. Obtemos a equação $n$-º grau:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Digamos que resolvemos esta equação e obtivemos as raízes $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (não se preocupe: na maioria dos casos não haverá mais de duas dessas raízes). Nesse caso, nosso polinômio original pode ser reescrito assim:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x) )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(align)\]

Isso é tudo! Observe: o coeficiente principal $((a)_(n))$ não desapareceu em nenhum lugar - será um fator separado na frente dos colchetes e, se necessário, pode ser inserido em qualquer um desses colchetes (a prática mostra que com $((a)_ (n))\ne \pm 1$ quase sempre há frações entre as raízes).

Uma tarefa. Simplifique a expressão:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Solução. Primeiro, vamos olhar para os denominadores: eles são todos binômios lineares, e não há nada para fatorar aqui. Então, vamos fatorar os numeradores:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3\direita)\esquerda(x-1\direita); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x +2 \direita)\esquerda(2-5x \direita). \\\end(alinhar)\]

Observe: no segundo polinômio, o coeficiente sênior "2", em total conformidade com nosso esquema, apareceu primeiro na frente do colchete e depois foi incluído no primeiro colchete, pois uma fração saiu.

A mesma coisa aconteceu no terceiro polinômio, só que aí a ordem dos termos também se confunde. No entanto, o coeficiente “−5” acabou sendo incluído no segundo colchete (lembre-se: você pode inserir um fator em um e apenas um colchete!), o que nos salvou do inconveniente associado às raízes fracionárias.

Quanto ao primeiro polinômio, tudo ali é simples: suas raízes são procuradas da maneira padrão através do discriminante, ou usando o teorema de Vieta.

Vamos voltar à expressão original e reescrevê-la com os numeradores decompostos em fatores:

\[\begin(matrix) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matriz)\]

Resposta: $ 5x + 4 $.

Como você pode ver, nada complicado. Um pouco de matemática do 7º ao 8º ano e pronto. O objetivo de todas as transformações é transformar uma expressão complexa e assustadora em algo simples e fácil de trabalhar.

No entanto, nem sempre será assim. Então agora vamos considerar um problema mais sério.

Mas primeiro, vamos descobrir como trazer duas frações para um denominador comum. O algoritmo é extremamente simples:

1. Fatorize ambos os denominadores;
2. Considere o primeiro denominador e adicione a ele os fatores presentes no segundo denominador, mas ausentes no primeiro. O produto resultante será o denominador comum;
3. Descubra quais fatores faltam em cada uma das frações originais para que os denominadores se tornem iguais ao comum.

Talvez esse algoritmo pareça para você apenas um texto no qual há “muitas letras”. Então, vamos dar uma olhada em um exemplo específico.

Uma tarefa. Simplifique a expressão:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \direito)\]

Solução. Essas tarefas volumosas são melhor resolvidas em partes. Vamos escrever o que está no primeiro colchete:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Ao contrário do problema anterior, aqui os denominadores não são tão simples. Vamos fatorar cada um deles.

O trinômio quadrado $((x)^(2))+2x+4$ não pode ser fatorado porque a equação $((x)^(2))+2x+4=0$ não tem raízes (o discriminante é negativo) . Deixamos inalterado.

O segundo denominador, o polinômio cúbico $((x)^(3))-8$, após um exame mais detalhado é a diferença de cubos e pode ser facilmente decomposto usando as fórmulas de multiplicação abreviadas:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \direita)\]

Nada mais pode ser fatorado, pois o primeiro colchete contém um binômio linear e o segundo contém uma construção já familiar para nós, que não possui raízes reais.

Finalmente, o terceiro denominador é um binômio linear que não pode ser decomposto. Assim, nossa equação terá a forma:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \direita))-\frac(1)(x-2)\]

É bastante óbvio que $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ será o denominador comum, e para reduzir todas as frações a ele, você precisa multiplicar a primeira fração para $\left(x-2 \right)$, e a última para $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Então resta apenas trazer o seguinte:

\[\begin(matrix) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ right))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x) )^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ left(((x)^(2))+2x+4 \right)). \\ \end(matriz)\]

Preste atenção na segunda linha: quando o denominador já é comum, ou seja, em vez de três frações separadas, escrevemos uma grande, você não deve se livrar imediatamente dos colchetes. É melhor escrever uma linha extra e observar que, digamos, havia um menos antes da terceira fração - e não vai a lugar nenhum, mas "trava" no numerador na frente do colchete. Isso vai lhe poupar muitos erros.

Bem, na última linha é útil fatorar o numerador. Além disso, este é um quadrado exato, e as fórmulas de multiplicação abreviadas novamente vêm em nosso auxílio. Nós temos:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Agora vamos lidar com o segundo colchete da mesma maneira. Aqui vou simplesmente escrever uma cadeia de igualdades:

\[\begin(matrix) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(matriz)\]

Voltamos ao problema original e olhamos para o produto:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \direita)\esquerda(x+2 \direita))=\frac(1)(x+2)\]

Resposta: \[\frac(1)(x+2)\].

O significado deste problema é o mesmo do anterior: mostrar o quanto pode ser simplificado expressões racionais, se você abordar sua transformação com sabedoria.

E agora, quando você sabe tudo isso, vamos passar para o tópico principal da lição de hoje - resolvendo desigualdades racionais fracionárias. Além disso, após essa preparação, as próprias desigualdades vão clicar como nozes. :)

A principal maneira de resolver desigualdades racionais

Há pelo menos duas abordagens para resolver desigualdades racionais. Agora vamos considerar um deles - aquele que é geralmente aceito em curso escolar matemática.

Mas primeiro, vamos notar detalhe importante. Todas as desigualdades são divididas em dois tipos:

1. Estrito: $f\left(x \right) \gt 0$ ou $f\left(x \right) \lt 0$;
2. Não restrito: $f\left(x \right)\ge 0$ ou $f\left(x \right)\le 0$.

As desigualdades do segundo tipo são facilmente reduzidas ao primeiro, assim como a equação:

Esta pequena "adição" $f\left(x \right)=0$ leva a uma coisa desagradável como pontos preenchidos - nós os encontramos de volta no método intervalado. Caso contrário, não há diferenças entre desigualdades estritas e não estritas, então vamos analisar o algoritmo universal:

1. Colete todos os elementos diferentes de zero em um lado do sinal de desigualdade. Por exemplo, à esquerda;
2. Traga todas as frações para um denominador comum (se houver várias dessas frações), traga as semelhantes. Então, se possível, fatorize no numerador e no denominador. De uma forma ou de outra, obtemos uma desigualdade da forma $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, onde a marca é o sinal de desigualdade.
3. Iguale o numerador a zero: $P\left(x \right)=0$. Resolvemos esta equação e obtemos as raízes $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... que o denominador não era igual a zero: $Q\left(x \right)\ne 0$. Claro, em essência, temos que resolver a equação $Q\left(x \right)=0$, e obtemos as raízes $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) $, $x_(3 )^(*)$, ... (em problemas reais dificilmente haverá mais de três dessas raízes).
4. Marcamos todas essas raízes (com e sem asteriscos) em uma única linha numérica, e as raízes sem estrelas são pintadas e aquelas com estrelas são perfuradas.
5. Colocamos os sinais de mais e menos, selecionamos os intervalos que precisamos. Se a inequação tiver a forma $f\left(x \right) \gt 0$, a resposta será os intervalos marcados com um "mais". Se $f\left(x \right) \lt 0$, então olhamos os intervalos com "menos".

A prática mostra que os pontos 2 e 4 causam as maiores dificuldades - transformações competentes e o arranjo correto dos números em ordem crescente. Bem, na última etapa, tenha muito cuidado: sempre colocamos placas com base em a última desigualdade escrita antes de passar para as equações. isto regra universal, herdado do método interval.

Então, existe um esquema. Vamos praticar.

Uma tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Solução. Antes de nós desigualdade estrita da forma $f\left(x \right) \lt 0$. Obviamente, os pontos 1 e 2 do nosso esquema já foram concluídos: todos os elementos da desigualdade estão reunidos à esquerda, nada precisa ser reduzido a um denominador comum. Então vamos para o terceiro ponto.

Defina o numerador para zero:

\[\begin(alinhar) & x-3=0; \\ &x=3. \end(alinhar)\]

E o denominador:

\[\begin(alinhar) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(alinhar)\]

Nesse lugar, muitas pessoas ficam presas, porque em teoria você precisa anotar $x+7\ne 0$, conforme exigido pela ODZ (você não pode dividir por zero, só isso). Mas afinal, no futuro, vamos destacar os pontos que vieram do denominador, então você não deve complicar seus cálculos mais uma vez - escreva um sinal de igual em todos os lugares e não se preocupe. Ninguém vai deduzir pontos por isso. :)

Quarto ponto. Marcamos as raízes obtidas na reta numérica:

Todos os pontos são perfurados porque a desigualdade é estrita

Observação: todos os pontos são perfurados porque a desigualdade original é estrita. E aqui não importa mais: esses pontos vieram do numerador ou do denominador.

Bem, olhe para os sinais. Pegue qualquer número $((x)_(0)) \gt 3$. Por exemplo, $((x)_(0))=100$ (mas você também poderia ter tomado $((x)_(0))=3.1$ ou $((x)_(0)) = 1\000\000$). Nós temos:

Então, à direita de todas as raízes temos uma área positiva. E ao passar por cada raiz, o sinal muda (isso nem sempre será o caso, mas falaremos mais sobre isso depois). Portanto, passamos ao quinto ponto: colocamos os sinais e escolhemos o certo:

Voltamos à última desigualdade, que era antes de resolver as equações. Na verdade, coincide com o original, pois não realizamos nenhuma transformação nesta tarefa.

Como é necessário resolver uma desigualdade da forma $f\left(x \right) \lt 0$, sombreei o intervalo $x\in \left(-7;3 \right)$ - é o único marcado com um sinal de menos. Esta é a resposta.

Resposta: $x\in \left(-7;3 \right)$

Isso é tudo! É difícil? Não, não é difícil. De fato, foi uma tarefa fácil. Agora vamos complicar um pouco a missão e considerar uma desigualdade mais "chique". Ao resolvê-lo, não darei mais cálculos tão detalhados - simplesmente indicarei pontos chave. Em geral, vamos organizá-lo da maneira que faríamos em trabalho independente ou exame. :)

Uma tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Solução. Esta é uma desigualdade não estrita da forma $f\left(x \right)\ge 0$. Todos os elementos diferentes de zero são coletados à esquerda, denominadores diferentes não. Vamos para as equações.

Numerador:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Rightarrow ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(alinhar)\]

Denominador:

\[\begin(alinhar) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(alinhar)\]

Não sei que tipo de pervertido compôs esse problema, mas as raízes não deram muito certo: será difícil organizá-las em uma reta numérica. E se tudo estiver mais ou menos claro com a raiz $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ (este é o único número positivo - estará à direita), então $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ e $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ requerem estudo adicional: qual é maior?

Você pode descobrir isso, por exemplo:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2) ))\]

Espero que não haja necessidade de explicar porque a fração numérica $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Se necessário, recomendo lembrar como realizar ações com frações.

E marcamos todas as três raízes na reta numérica:

Os pontos do numerador são sombreados, do denominador eles são cortados

Colocamos sinais. Por exemplo, você pode pegar $((x)_(0))=1$ e descobrir o sinal neste ponto:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

A última desigualdade antes das equações era $f\left(x \right)\ge 0$, então estamos interessados ​​no sinal de mais.

Temos dois conjuntos: um é um segmento comum e o outro é um raio aberto na reta numérica.

Resposta: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Uma observação importante sobre os números que substituímos para descobrir o sinal no intervalo mais à direita. Não é necessário substituir um número próximo à raiz mais à direita. Você pode levar bilhões ou até "mais infinito" - neste caso, o sinal do polinômio no colchete, numerador ou denominador é determinado apenas pelo sinal do coeficiente principal.

Vamos dar outra olhada na função $f\left(x \right)$ da última desigualdade:

Ele contém três polinômios:

\[\begin(alinhar) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \\ & Q\esquerda(x\direita)=13x-4. \end(alinhar)\]

Todos eles são binômios lineares, e todos eles têm coeficientes positivos (números 7, 11 e 13). Portanto, ao substituir muito grandes números os próprios polinômios também serão positivos. :)

Essa regra pode parecer complicada demais, mas apenas no início, quando analisamos tarefas muito fáceis. Em desigualdades sérias, a substituição "mais-infinito" nos permitirá descobrir os sinais muito mais rápido do que o padrão $((x)_(0))=100$.

Enfrentaremos esses desafios muito em breve. Mas primeiro, vamos ver uma forma alternativa de resolver desigualdades racionais fracionárias.

Caminho alternativo

Esta técnica foi-me sugerida por um dos meus alunos. Eu mesmo nunca usei, mas a prática mostrou que é realmente mais conveniente para muitos alunos resolver as desigualdades dessa maneira.

Portanto, os dados originais são os mesmos. Precisa decidir desigualdade racional fracionária:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

Vamos pensar: por que o polinômio $Q\left(x \right)$ é "pior" que o polinômio $P\left(x \right)$? Por que devemos considerar grupos individuais raízes (com e sem asterisco), pense em pontos perfurados, etc.? É simples: uma fração tem um domínio de definição, segundo o qual a fração só faz sentido quando seu denominador for diferente de zero.

Caso contrário, não há diferenças entre o numerador e o denominador: também o igualamos a zero, procuramos as raízes e as marcamos na linha numérica. Então, por que não substituir a barra fracionária (na verdade, o sinal de divisão) multiplicação comum, e escreva todos os requisitos da ODZ como uma desigualdade separada? Por exemplo, assim:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Observe: essa abordagem permitirá que você reduza o problema ao método de intervalos, mas não complicará a solução. Afinal, vamos igualar o polinômio $Q\left(x \right)$ a zero.

Vamos ver como funciona em tarefas reais.

Uma tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Solução. Então, vamos passar para o método interval:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

A primeira inequação é resolvida elementarmente. Basta definir cada parêntese para zero:

\[\begin(align) & x+8=0\Rightarrow ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Seta para a direita ((x)_(2))=11. \\ \end(alinhar)\]

Com a segunda desigualdade, tudo também é simples:

Marcamos os pontos $((x)_(1))$ e $((x)_(2))$ na linha real. Todos eles são puncionados porque a desigualdade é estrita:

O ponto certo acabou sendo perfurado duas vezes. Isto é bom.

Preste atenção ao ponto $x=11$. Acontece que é "duas vezes arrancado": por um lado, nós o arrancamos por causa da gravidade da desigualdade, por outro, por causa da Requerimento adicional ODZ.

Em qualquer caso, será apenas um ponto perfurado. Portanto, colocamos sinais para a desigualdade $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - a última que vimos antes de começarmos a resolver as equações:

Estamos interessados ​​em regiões positivas, pois estamos resolvendo uma inequação da forma $f\left(x \right) \gt 0$, e vamos colori-las. Resta apenas escrever a resposta.

Responda. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Usando esta solução como exemplo, gostaria de alertá-lo contra um erro comum entre alunos iniciantes. Ou seja: nunca abra parênteses em desigualdades! Pelo contrário, tente fatorar tudo - isso simplificará a solução e economizará muitos problemas.

Agora vamos tentar algo mais difícil.

Uma tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Solução. Esta é uma desigualdade não estrita da forma $f\left(x \right)\le 0$, então aqui você precisa monitorar cuidadosamente os pontos preenchidos.

Vamos passar para o método interval:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Vamos para a equação:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Seta para a direita ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Seta para a direita ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(alinhar)\]

Levamos em consideração o requisito adicional:

Marcamos todas as raízes obtidas na reta numérica:

Se um ponto for perfurado e preenchido ao mesmo tempo, ele será considerado perfurado.

Mais uma vez, dois pontos "se sobrepõem" - isso é normal, sempre será assim. É importante apenas entender que um ponto marcado como perfurado e preenchido é na verdade um ponto perfurado. Aqueles. "Gouging" é uma ação mais forte do que "pintar por cima".

Isso é absolutamente lógico, porque perfurando marcamos pontos que afetam o sinal da função, mas não participam da resposta. E se em algum momento o número deixar de nos agradar (por exemplo, não se enquadrar na ODZ), o excluímos da consideração até o final da tarefa.

Em geral, pare de filosofar. Organizamos os sinais e pintamos sobre os intervalos marcados com um sinal de menos:

Responda. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

E novamente eu queria chamar sua atenção para esta equação:

\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

Mais uma vez: nunca abra parênteses em tais equações! Você só está tornando as coisas mais difíceis para você. Lembre-se: o produto é zero quando pelo menos um dos fatores é zero. Consequentemente, dada equação ele simplesmente “se desfaz” em vários outros menores, que resolvemos no problema anterior.

Levando em conta a multiplicidade de raízes

Dos problemas anteriores é fácil ver que a maior dificuldade representam precisamente desigualdades não estritas, porque eles precisam acompanhar os pontos preenchidos.

Mas há um mal ainda maior no mundo - são múltiplas raízes nas desigualdades. Aqui já é necessário seguir não alguns pontos preenchidos lá - aqui o sinal de desigualdade pode não mudar repentinamente ao passar por esses mesmos pontos.

Ainda não consideramos nada parecido nesta lição (embora problema semelhante frequentemente encontrados no método de intervalos). Então, vamos introduzir uma nova definição:

Definição. A raiz da equação $((\left(x-a \right))^(n))=0$ é igual a $x=a$ e é chamada de raiz da $n$th multiplicidade.

Na verdade, não estamos particularmente interessados valor exato multiplicidade. A única coisa importante é se esse número $n$ é par ou ímpar. Porque:

1. Se $x=a$ for uma raiz de multiplicidade par, então o sinal da função não muda ao passar por ela;
2. E vice-versa, se $x=a$ for uma raiz de multiplicidade ímpar, o sinal da função mudará.

Um caso especial de uma raiz de multiplicidade ímpar são todos os problemas anteriores considerados nesta lição: aí a multiplicidade é igual a um em todos os lugares.

E mais. Antes de começarmos a resolver os problemas, gostaria de chamar sua atenção para uma sutileza que parece óbvia para um aluno experiente, mas leva muitos iniciantes ao estupor. Nomeadamente:

A raiz de multiplicidade $n$ ocorre apenas quando a expressão inteira é elevada a esta potência: $((\left(x-a \right))^(n))$, e não $\left(((x)^( n) )-a\right)$.

Mais uma vez: o colchete $((\left(x-a \right))^(n))$ nos dá a raiz $x=a$ da multiplicidade $n$, mas o colchete $\left(((x)^( n)) -a \right)$ ou, como muitas vezes acontece, $(a-((x)^(n)))$ nos dá uma raiz (ou duas raízes, se $n$ for par) da primeira multiplicidade , não importa o que seja igual a $n$.

Comparar:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]

Tudo está claro aqui: todo o suporte foi elevado à quinta potência, então na saída obtivemos a raiz do quinto grau. E agora:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

Temos duas raízes, mas ambas têm a primeira multiplicidade. Ou aqui está outro:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

E não se confunda com o décimo grau. O importante é que 10 é numero par, então temos duas raízes na saída, e ambas novamente têm a primeira multiplicidade.

Em geral, tenha cuidado: a multiplicidade ocorre apenas quando o grau se aplica a todo o parêntese, não apenas à variável.

Uma tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7) \right))^(5)))\ge 0\]

Solução. Vamos tentar resolver caminho alternativo- através da transição do particular para o produto:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\certo.\]

Lidamos com a primeira desigualdade usando o método intervalar:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \direita))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Rightarrow x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\Seta para a direita x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Rightarrow x=-7\left(5k \right). \\ \end(alinhar)\]

Além disso, resolvemos a segunda desigualdade. Na verdade, já resolvemos isso, mas para que os revisores não encontrem falhas na solução, é melhor resolvê-lo novamente:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

Observe que não há multiplicidades na última desigualdade. De fato: que diferença faz quantas vezes riscar o ponto $x=-7$ na reta numérica? Pelo menos uma vez, pelo menos cinco vezes - o resultado será o mesmo: um ponto perfurado.

Vamos anotar tudo o que temos na reta numérica:

Como eu disse, o ponto $x=-7$ acabará sendo eliminado. As multiplicidades são arranjadas com base na solução da inequação pelo método intervalar.

Resta colocar os sinais:

Como o ponto $x=0$ é raiz de multiplicidade par, o sinal não muda ao passar por ele. Os pontos restantes têm uma multiplicidade ímpar, e tudo é simples com eles.

Responda. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Preste atenção em $x=0$ novamente. Por causa da multiplicidade uniforme, surge um efeito interessante: tudo à esquerda é pintado, à direita - também, e o próprio ponto é completamente pintado.

Como consequência, ele não precisa ser isolado ao registrar uma resposta. Aqueles. você não precisa escrever algo como $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (embora formalmente tal resposta também seja correta). Em vez disso, escrevemos imediatamente $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Tais efeitos são possíveis apenas para raízes de mesmo multiplicidade. E na próxima tarefa, encontraremos a "manifestação" inversa desse efeito. Preparar?

Uma tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Solução. Desta vez, seguiremos o esquema padrão. Defina o numerador para zero:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Seta para a direita ((x)_(2))=4. \\ \end(alinhar)\]

E o denominador:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(alinhar)\]

Como estamos resolvendo uma desigualdade não estrita da forma $f\left(x \right)\ge 0$, as raízes do denominador (que têm asteriscos) serão cortadas e as do numerador serão pintadas por cima .

Organizamos os sinais e traçamos as áreas marcadas com um "mais":

O ponto $x=3$ é isolado. Isso é parte da resposta

Antes de escrever a resposta final, observe atentamente a imagem:

1. O ponto $x=1$ tem uma multiplicidade par, mas é ele próprio perfurado. Portanto, terá que ser isolado na resposta: você precisa escrever $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, e não $x\in \left(-\infty ;2\right)$.
2. O ponto $x=3$ também tem uma multiplicidade par e está sombreado. A disposição dos sinais indica que o ponto em si nos convém, mas um passo para a esquerda e para a direita - e nos encontramos em uma área que definitivamente não nos convém. Tais pontos são chamados de isolados e são escritos como $x\in \left\( 3 \right\)$.

Combinamos todas as peças obtidas em um conjunto comum e escrevemos a resposta.

Resposta: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Definição. Resolver a desigualdade significa encontre o conjunto de todas as suas soluções, ou prove que este conjunto é vazio.

Parece: o que pode ser incompreensível aqui? Sim, o fato é que os conjuntos podem ser especificados de diferentes maneiras. Vamos reescrever a resposta para o último problema:

Literalmente lemos o que está escrito. A variável "x" pertence a um determinado conjunto, que é obtido pela união (símbolo "U") de quatro conjuntos separados:

• O intervalo $\left(-\infty ;1 \right)$, que significa literalmente "todos os números menores que um, mas não um";
• O intervalo é $\left(1;2 \right)$, ou seja, "todos os números entre 1 e 2, mas não os próprios números 1 e 2";
• O conjunto $\left\( 3 \right\)$, consistindo em um único número - três;
• O intervalo $\left[ 4;5 \right)$ contendo todos os números entre 4 e 5, mais o próprio 4, mas não o 5.

O terceiro ponto é interessante aqui. Ao contrário dos intervalos, que definem conjuntos infinitos de números e denotam apenas os limites desses conjuntos, o conjunto $\left\( 3 \right\)$ define exatamente um número por enumeração.

Para entender que estamos listando os números específicos incluídos no conjunto (e não definindo limites ou qualquer outra coisa), chaves são usadas. Por exemplo, a notação $\left\( 1;2 \right\)$ significa exatamente “um conjunto formado por dois números: 1 e 2”, mas não um segmento de 1 a 2. Não confunda esses conceitos em nenhum caso .

Regra de adição de multiplicidade

Bem, no final da lição de hoje, uma pequena lata de Pavel Berdov. :)

Alunos atentos provavelmente já se fizeram a pergunta: o que acontecerá se as mesmas raízes forem encontradas no numerador e no denominador? Então a seguinte regra funciona:

Multiplicidades raízes idênticas adicionar. É sempre. Mesmo que essa raiz ocorra tanto no numerador quanto no denominador.

Às vezes é melhor decidir do que falar. Assim, resolvemos o seguinte problema:

Uma tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \direito))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -quatro. \\ \end(alinhar)\]

Até agora, nada de especial. Defina o denominador para zero:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Rightarrow x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Rightarrow x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(alinhar)\]

Duas raízes idênticas são encontradas: $((x)_(1))=-2$ e $x_(4)^(*)=-2$. Ambos têm a primeira multiplicidade. Portanto, nós os substituímos por uma raiz $x_(4)^(*)=-2$, mas com uma multiplicidade de 1+1=2.

Além disso, também existem raízes idênticas: $((x)_(2))=-4$ e $x_(2)^(*)=-4$. Eles também são da primeira multiplicidade, então apenas $x_(2)^(*)=-4$ da multiplicidade 1+1=2 permanece.

Observe: em ambos os casos, deixamos exatamente a raiz “cortada” e descartamos a “pintada por cima” da consideração. Porque, mesmo no início da aula, concordamos: se um ponto é perfurado e pintado ao mesmo tempo, ainda o consideramos perfurado.

Como resultado, temos quatro raízes, e todas elas foram arrancadas:

\[\begin(alinhar) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \right). \\ \end(alinhar)\]

Nós os marcamos na reta numérica, levando em consideração a multiplicidade:

Colocamos os sinais e pintamos sobre as áreas de interesse para nós:

Tudo. Sem pontos isolados e outras perversões. Você pode escrever a resposta.

Responda. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

regra de multiplicação

Às vezes ocorre uma situação ainda mais desagradável: uma equação que tem múltiplas raízes é elevada a uma certa potência. Isso altera as multiplicidades de todas as raízes originais.

Isso é raro, então a maioria dos alunos não tem experiência na resolução de tais problemas. E a regra aqui é:

Quando uma equação é elevada a uma potência $n$, a multiplicidade de todas as suas raízes também aumenta por um fator de $n$.

Em outras palavras, elevar a uma potência resulta na multiplicação de multiplicidades pela mesma potência. Vamos usar esta regra como exemplo:

Uma tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

Solução. Defina o numerador para zero:

O produto é igual a zero quando pelo menos um dos fatores é igual a zero. Tudo fica claro com o primeiro multiplicador: $x=0$. E é aqui que começam os problemas:

\[\begin(align) & ((\left((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \ & ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(align)\]

Como você pode ver, a equação $((x)^(2))-6x+9=0$ tem uma raiz única da segunda multiplicidade: $x=3$. A equação inteira é então elevada ao quadrado. Portanto, a multiplicidade da raiz será $2\cdot 2=4$, que finalmente anotamos.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]

Não há problema com o denominador também:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \end(alinhar)\]

No total, conseguimos cinco pontos: dois socados e três preenchidos. Não há raízes coincidentes no numerador e no denominador, então apenas as marcamos na reta numérica:

Dispomos os signos levando em conta as multiplicidades e pintamos sobre os intervalos que nos interessam:

Novamente um ponto isolado e um perfurado

Por causa das raízes da multiplicidade uniforme, recebemos novamente alguns elementos “não padronizados”. Este é $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, não $x\in \left[ 0;2 \right)$, e também um ponto isolado $ x\in \esquerda\( 3 \direita\)$.

Responda. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Como você pode ver, nem tudo é tão difícil. O principal é a atenção. Última seção desta lição é dedicada às transformações - as mesmas que discutimos no início.

Pré-conversões

As desigualdades que discutiremos nesta seção não são complexas. No entanto, ao contrário das tarefas anteriores, aqui você terá que aplicar habilidades da teoria das frações racionais - fatoração e redução a um denominador comum.

Discutimos esta questão em detalhes no início da lição de hoje. Se você não tem certeza de que entendeu do que se trata, eu recomendo fortemente que você volte e repita. Porque não adianta enfiar os métodos para resolver as desigualdades se você "nadar" na conversão de frações.

NO trabalho de casa By the way, também haverá muitas tarefas semelhantes. Eles são colocados em uma subseção separada. E lá você encontrará exemplos muito não triviais. Mas isso ficará na lição de casa, mas agora vamos analisar algumas dessas desigualdades.

Uma tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Solução. Movendo tudo para a esquerda:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Trazemos para um denominador comum, abrimos os colchetes, damos termos semelhantes no numerador:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ right))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Agora temos uma desigualdade racional fracionária clássica, cuja solução não é mais difícil. Proponho resolvê-lo por um método alternativo - através do método dos intervalos:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(alinhar)\]

Não se esqueça da restrição que vem do denominador:

Marcamos todos os números e restrições na reta numérica:

Todas as raízes têm primeira multiplicidade. Sem problemas. Nós apenas colocamos os sinais e pintamos sobre as áreas que precisamos:

É tudo. Você pode escrever a resposta.

Responda. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Claro, este foi um exemplo muito simples. Então agora vamos dar uma olhada no problema. E, a propósito, o nível desta tarefa é bastante consistente com independência e trabalho de controle sobre este tema na 8ª série.

Uma tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Solução. Movendo tudo para a esquerda:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Antes de trazer as duas frações para um denominador comum, decompomos esses denominadores em fatores. De repente os mesmos colchetes vão sair? Com o primeiro denominador é fácil:

\[((x)^(2))+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]

A segunda é um pouco mais difícil. Sinta-se à vontade para adicionar um multiplicador constante ao colchete onde a fração foi encontrada. Lembre-se: o polinômio original tinha coeficientes inteiros, então é muito provável que a fatoração também tenha coeficientes inteiros (na verdade, sempre terá, exceto quando o discriminante for irracional).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(align)\]

Como vemos, existe parêntese comum: $\esquerda(x-1\direita)$. Voltamos à desigualdade e trazemos as duas frações para um denominador comum:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ esquerda(3x-2\direita))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(alinhar)\]

Defina o denominador para zero:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( alinhar)\]

Sem multiplicidades e sem raízes coincidentes. Marcamos quatro números em uma linha reta:

Colocamos os sinais:

Nós anotamos a resposta.

Resposta: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ direito)$.

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>>Matemática: Desigualdades racionais

Uma desigualdade racional com uma variável x é uma desigualdade da forma - expressões racionais, ou seja, expressões algébricas, composto por números e a variável x usando as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e elevação a uma potência natural. Claro, a variável pode ser denotada por qualquer outra letra, mas em matemática, a letra x é mais frequentemente preferida.

Na resolução de desigualdades racionais, são usadas as três regras que foram formuladas acima no § 1. Com a ajuda dessas regras, uma dada desigualdade racional é geralmente convertida para a forma / (x) > 0, onde / (x) é uma equação algébrica fração (ou polinômio). Em seguida, decomponha o numerador e o denominador da fração f (x) em fatores da forma x - a (se, claro, isso for possível) e aplique o método intervalar, que já mencionamos acima (veja o exemplo 3 no anterior parágrafo).

Exemplo 1 Resolva a desigualdade (x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0.

Solução. Considere a expressão f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2).

Volta a 0 nos pontos 1,-1,2; marque esses pontos na reta numérica. A linha numérica é dividida pelos pontos indicados em quatro intervalos (Fig. 6), em cada um dos quais a expressão f (x) preserva marca permanente. Para verificar isso, realizaremos quatro argumentos (para cada um desses intervalos separadamente).

Pegue qualquer ponto x do intervalo (2, Este ponto está localizado na reta numérica à direita do ponto -1, à direita do ponto 1 e à direita do ponto 2. Isso significa que x> -1, x> 1, x> 2 (Fig. 7). Mas então x-1>0, x+1>0, x - 2> 0 e, portanto, f (x)> 0 (como um produto de uma desigualdade racional de três números positivos). Assim, a desigualdade f (x) > 0 vale para todo o intervalo.

Pegue qualquer ponto x do intervalo (1,2). Este ponto está localizado na linha numérica à direita do ponto-1, à direita do ponto 1, mas à esquerda do ponto 2. Portanto, x\u003e -1, x\u003e 1, mas x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1>0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

Pegue qualquer ponto x do intervalo (-1,1). Este ponto está localizado na reta numérica à direita do ponto -1, à esquerda do ponto 1 e à esquerda do ponto 2. Então x > -1, mas x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (como o produto de dois números negativos e um número positivo). Assim, no intervalo (-1,1) vale a desigualdade f (x)> 0.

Finalmente, pegue qualquer ponto x do raio aberto (-oo, -1). Este ponto está localizado na reta numérica à esquerda do ponto -1, à esquerda do ponto 1 e à esquerda do ponto 2. Isso significa que x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

Vamos resumir. Os sinais da expressão f(x) nos intervalos selecionados são mostrados na Fig. 11. Estamos interessados ​​naqueles em que é satisfeita a desigualdade f(x) > 0. Usando o modelo geométrico apresentado na fig. 11, estabelecemos que a desigualdade f (x) > 0 é satisfeita no intervalo (-1, 1) ou na viga aberta
Responda: -1 < х < 1; х > 2.

Exemplo 2 Resolva a desigualdade
Solução. Como no exemplo anterior, desenhamos informação necessária da fig. 11, mas com duas alterações em relação ao exemplo 1. Primeiro, já que estamos interessados ​​em quais valores de x satisfazem a desigualdade f(x)< 0, нам придется выбрать промежутки Em segundo lugar, também estamos satisfeitos com aqueles pontos em que a igualdade f(x) = 0. Estes são os pontos -1, 1, 2, nós os marcamos na figura com círculos escuros e os incluímos na resposta. Na fig. 12 mostra um modelo geométrico da resposta, do qual não é difícil passar para um registro analítico.
Responda:
EXEMPLO 3. Resolva a desigualdade
Solução. Fatoramos o numerador e o denominador da fração algébrica fx contida no lado esquerdo da desigualdade. No numerador temos x 2 - x \u003d x (x - 1).

Para fatorar o trinômio quadrado x 2 - bx ~ 6 contido no denominador da fração, encontramos suas raízes. Da equação x 2 - 5x - 6 \u003d 0, encontramos x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 6. Portanto, (usamos a fórmula para fatorar um trinômio quadrado: ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1 - x 2)).
Assim, transformamos a desigualdade dada na forma

Considere a expressão:

O numerador desta fração vira 0 nos pontos 0 e 1, e vira 0 nos pontos -1 e 6. Vamos marcar esses pontos na reta numérica (Fig. 13). A linha numérica é dividida pelos pontos indicados em cinco intervalos, e em cada intervalo a expressão fx) mantém um sinal constante. Argumentando da mesma forma que no Exemplo 1, chegamos à conclusão de que os sinais da expressão fx) nos intervalos selecionados são os mostrados na Fig. 13. Estamos interessados ​​em saber onde a desigualdade f (x)< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0 resposta: -1

Exemplo 4 Resolva a desigualdade

Solução. Ao resolver inequações racionais, via de regra, eles preferem deixar apenas o número 0 do lado direito da inequação. Portanto, transformamos a inequação na forma

Mais longe:

Como mostra a experiência, se o lado direito da desigualdade contém apenas o número 0, é mais conveniente raciocinar quando tanto o numerador quanto o denominador do lado esquerdo têm um coeficiente líder positivo. E o que temos? denominador da fração nesse sentido em ordem (o coeficiente principal, ou seja, o coeficiente em x 2, é 6 - um número positivo), mas nem tudo está em ordem no numerador - o coeficiente sênior (o coeficiente em x) é - 4 (número negativo) Multiplicando ambos os lados da desigualdade por -1 e mudando o sinal da desigualdade para o oposto, obtemos uma desigualdade equivalente

Vamos expandir o numerador e denominador fração algébrica para multiplicadores. No numerador, tudo é simples:
Para fatorar o trinômio quadrado contido no denominador de uma fração

(usamos novamente a fórmula para fatorar um trinômio quadrado).
Assim, reduzimos a desigualdade dada à forma

Considere a expressão

O numerador desta fração se transforma em 0 no ponto e o denominador - nos pontos. Notamos esses pontos na reta numérica (Fig. 14), que é dividida pelos pontos indicados em quatro intervalos, e em cada intervalo a expressão f (x) mantém um sinal constante (esses sinais são indicados na Fig. 14). Estamos interessados ​​naqueles intervalos nos quais a desigualdade fх< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

Em todos os exemplos considerados, transformamos a desigualdade dada em uma desigualdade equivalente da forma f (x) > 0 ou f (x)<0,где
Nesse caso, o número de fatores no numerador e denominador de uma fração pode ser qualquer um. Em seguida, os pontos a, b, c, e foram marcados na reta numérica. e determinou os sinais da expressão f(x) nos intervalos selecionados. Observamos que bem à direita dos intervalos selecionados, a desigualdade f(x) > 0 é satisfeita, e então os sinais da expressão f(x) se alternam ao longo dos intervalos (veja a Fig. 16a). Esta alternância é convenientemente ilustrada com a ajuda de uma curva ondulada, que é desenhada da direita para a esquerda e de cima para baixo (Fig. 166). Nos intervalos em que essa curva (às vezes é chamada de curva de sinais) está localizada acima do eixo x, a desigualdade f (x) > 0 é satisfeita; onde esta curva está localizada abaixo do eixo x, a desigualdade f (x)< 0.

Exemplo 5 Resolva a desigualdade

Solução. Nós temos

(ambas as partes da desigualdade anterior foram multiplicadas por 6).
Para usar o método de intervalo, marque os pontos na reta numérica (nestes pontos o numerador da fração contida no lado esquerdo da desigualdade se anula) e pontos (nestes pontos o denominador da fração indicada se anula). Normalmente, os pontos são marcados esquematicamente, levando em consideração a ordem em que seguem (que é à direita, que é à esquerda) e não prestando atenção especial à escala. Está claro que A situação é mais complicada com os números: a primeira estimativa mostra que ambos os números são ligeiramente maiores que 2,6, do qual é impossível concluir qual dos números indicados é maior e qual é menor. Suponha (ao acaso) que Então
Descobriu-se a desigualdade correta, o que significa que nosso palpite foi confirmado: na verdade
Então,

Marcamos os 5 pontos indicados na ordem indicada na linha numérica (Fig. 17a). Organize os sinais da expressão
nos intervalos obtidos: à direita - um sinal + e, em seguida, os sinais se alternam (Fig. 176). Desenhemos uma curva de sinais e selecionemos (sombreando) aqueles intervalos nos quais a desigualdade f (x) > 0 de nosso interesse é satisfeita (Fig. 17c). Vamos finalmente levar em conta que nós estamos falando sobre a desigualdade não estrita f (x) > 0, o que significa que também estamos interessados ​​naqueles pontos em que a expressão f (x) se anula. Estas são as raízes do numerador da fração f (x), ou seja, pontos nós os marcamos na Fig. 17 em círculos escuros (e, claro, incluir na resposta). Agora aqui está a foto. 17c fornece um modelo geométrico completo para soluções para a desigualdade dada.