Uma reta e um plano são chamados de paralelos se não tiverem pontos comuns. Se uma linha que não está em um determinado plano é paralela a uma linha nesse plano

1. Se um plano passa por uma dada reta paralela a outro plano e intercepta este plano, então a reta de interseção dos planos é paralela à reta dada.

2. Se uma das duas linhas paralelas for paralela a um determinado plano e a outra linha tiver um plano ponto comum, então esta linha está no plano dado. plano, então ele é paralelo ao próprio plano.

casos posição relativa reta e plana: a) a linha está em um plano;

b) uma reta e um plano têm apenas um ponto comum; c) uma reta e um plano não têm ponto comum.

2. Determinação do tamanho natural de um segmento de reta em posição geral pelo método de um triângulo retângulo.

O valor natural (n.v.) de um segmento de reta AB em posição geral é a hipotenusa de um triângulo retângulo ABK. Neste triângulo, o cateto AK é paralelo ao plano de projeções π1 e é igual à projeção horizontal do segmento A"B". A perna BK é igual à diferença entre as distâncias dos pontos A e B do plano π1.

No caso geral, para determinar o tamanho natural de um segmento de reta, é necessário construir a hipotenusa de um triângulo retângulo, um cateto do qual é a projeção horizontal (frontal) do segmento, o outro cateto é um segmento igual em magnitude à diferença algébrica das coordenadas Z (Y) dos pontos extremos do segmento.

O ângulo α é encontrado a partir de um triângulo retângulo - o ângulo de inclinação de uma linha reta para o plano horizontal de projeções.

Para determinar o ângulo de inclinação de uma reta em relação ao plano de projeção frontal, é necessário realizar construções semelhantes na projeção frontal do segmento.

3. As linhas principais do plano (horizontal, frontal).

A horizontal do plano P é uma linha reta que se encontra neste plano e é paralela ao plano horizontal. A horizontal como uma linha reta paralela ao plano horizontal tem uma projeção frontal ѓ paralela ao eixo x.

A frente do plano P é uma linha reta que se encontra neste plano e é paralela ao plano frontal.

A frontal é uma linha reta paralela ao plano frontal, e sua projeção horizontal f é paralela ao eixo x.

4. Posição mútua de linhas retas no espaço. Determinação da visibilidade por pontos concorrentes. Duas linhas retas no espaço podem ter uma localização diferente: A) se cruzam (se encontram no mesmo plano). Um caso especial de interseção - em ângulo reto; B) pode ser paralelo (estar no mesmo plano); C) coincidir - um caso especial de paralelismo; D) cruzar (estar em planos diferentes e não se cruzar).

Os pontos cujas projeções em P1 coincidem são chamados competindo em relação ao plano P1, e os pontos cujas projeções em P2 coincidem são chamados competindo em relação ao plano P2.

Os pontos K e L competem em relação ao plano P1, pois no plano P1 os pontos K e L são projetados em um ponto: K1 = L1.

O ponto K é mais alto que o ponto L, porque K2 é mais alto que o ponto L2, portanto K1 é visível em P1.

Teorema

Se direto, não pertencente ao avião, é paralelo a alguma linha neste plano, então também é paralelo ao próprio plano.

Prova

Seja α um plano, a uma linha que não está nele e a1 uma linha no plano α paralela à linha a. Tracemos o plano α1 pelas retas a e a1. Os planos α e α1 se cruzam ao longo da linha a1. Se a reta a cruzasse o plano α, então o ponto de interseção pertenceria à reta a1. Mas isso é impossível, pois as linhas a e a1 são paralelas. Portanto, a linha a não intercepta o plano α e, portanto, é paralela ao plano α. O teorema foi provado.

18. PLANOS

Se dois planos paralelos se cruzam com um terceiro, então as linhas de interseção são paralelas.(Fig. 333).

De fato, de acordo com a definição Retas paralelas são retas que estão no mesmo plano e não se cruzam. Nossas linhas estão no mesmo plano - o plano secante. Eles não se cruzam, pois os planos paralelos que os contêm não se cruzam.

Então as linhas são paralelas, que é o que queríamos provar.

Propriedades

§ Se o plano α é paralelo a cada uma das duas linhas de interseção situadas no outro plano β, então esses planos são paralelos

§ Se dois planos paralelos são interceptados por um terceiro, então as linhas de sua interseção são paralelas

§ Por um ponto fora de um plano dado, é possível traçar um plano paralelo a um plano dado e, além disso, apenas um

§ Segmentos de retas paralelas delimitados por dois planos paralelos são iguais

§ Dois ângulos com lados respectivamente paralelos e igualmente direcionados são iguais e estão em planos paralelos

19.

Se duas linhas estiverem no mesmo plano, o ângulo entre elas é fácil de medir - por exemplo, usando um transferidor. E como medir ângulo entre a linha e o plano?

Deixe a linha cruzar o plano, e não em um ângulo reto, mas em algum outro ângulo. Tal linha é chamada oblíquo.

Vamos soltar uma perpendicular de algum ponto inclinado ao nosso plano. Conecte a base da perpendicular ao ponto de interseção da inclinada e do plano. Obtemos projeção de um plano oblíquo.

O ângulo entre uma linha e um plano é o ângulo entre uma linha e sua projeção em um determinado plano..

Observe - escolhemos um ângulo agudo como o ângulo entre a linha e o plano.

Se a linha é paralela ao plano, então o ângulo entre a linha e o plano é zero.

Se uma linha é perpendicular a um plano, sua projeção no plano é um ponto. Obviamente, neste caso, o ângulo entre a linha e o plano é de 90°.

Uma reta é perpendicular a um plano se for perpendicular a qualquer reta desse plano..

Esta é a definição. Mas como trabalhar com ele? Como verificar se uma dada reta é perpendicular a todas as retas do plano? Afinal, há um número infinito deles.

Na prática, é aplicado sinal de perpendicularidade de uma linha e um plano:

Uma reta é perpendicular a um plano se for perpendicular a duas retas que se cruzam nesse plano.

21. Ângulo diedro- espacial figura geométrica, formado por dois semiplanos que emanam de uma linha reta, bem como uma parte do espaço delimitada por esses semiplanos.

Dois planos são ditos perpendiculares se o ângulo diedro entre eles é de 90 graus.

§ Se um plano passa por uma reta perpendicular a outro plano, então esses planos são perpendiculares.

§ Se de um ponto pertencente a um dos dois planos perpendiculares, desenhe uma perpendicular a outro plano, então esta perpendicular encontra-se completamente no primeiro plano.

§ Se em um dos dois planos perpendiculares traçarmos uma perpendicular à sua linha de interseção, então essa perpendicular será perpendicular ao segundo plano.

Dois planos que se cruzam formam quatro ângulos diedros com uma aresta comum: pares ângulos verticais são iguais e a soma de dois ângulos adjacentes é 180°. Se um dos quatro ângulos é reto, então os outros três também são iguais e retos. Dois planos são ditos perpendiculares se o ângulo entre eles for reto.

Teorema. Se um plano passa por uma linha perpendicular a outro plano, então esses planos são perpendiculares.

Sejam e dois planos tais que ele passa pela linha AB, perpendicular a ela e intersectando-se com ela no ponto A (Fig. 49). Vamos provar que _|_ . Os planos e se cruzam ao longo de alguma linha AC, e AB _|_ AC, porque AB _|_ . Tracemos uma linha AD no plano, perpendicular à linha AC.

Então o ângulo BAD é um ângulo linear ângulo diedro, educado e . Mas< ВАD - 90° (ибо AB _|_ ), а тогда, по определению, _|_ . Теорема доказана.

22. Um poliedro é um corpo cuja superfície consiste em um número finito de polígonos planos.

1. qualquer um dos polígonos que compõem o poliedro, você pode chegar a qualquer um deles indo para o adjacente a ele e deste, por sua vez, para o adjacente, etc.

Esses polígonos são chamados rostos, seus lados - costelas, e seus vértices são picos poliedro. Os exemplos mais simples de poliedros são poliedros convexos, ou seja, o limite de um subconjunto limitado do espaço euclidiano, que é a interseção de um número finito de meios-espaços.

A definição acima de um poliedro assume um significado diferente dependendo de como o polígono é definido, para o qual as duas opções a seguir são possíveis:

§ Linhas tracejadas fechadas planas (mesmo que se auto-intersectam);

§ Partes do plano delimitadas por linhas tracejadas.

No primeiro caso, temos o conceito de um poliedro estrelado. No segundo, um poliedro é uma superfície composta por peças poligonais. Se esta superfície não se cruza, então é a superfície completa de algum corpo geométrico, que também é chamado de poliedro. Daí surge a terceira definição do poliedro, como o próprio corpo geométrico.

prisma reto

O prisma é chamado Em linha reta Se isso costelas laterais perpendiculares às bases.
O prisma é chamado oblíquo se suas arestas laterais não forem perpendiculares às bases.
Um prisma reto tem faces que são retângulos.

O prisma é chamado correto se suas bases são polígonos regulares.
A área da superfície lateral do prismaé chamada de soma das áreas das faces laterais.
Superfície completa do prisma igual à soma da superfície lateral e as áreas das bases

Elementos de prisma:
Pontos - chamados vértices
Os segmentos são chamados de arestas laterais
Polígonos e - são chamados de bases. Os próprios planos também são chamados de bases.

24. Paralelepípedo(do grego παράλλος - paralelo e grego επιπεδον - plano) - um prisma, cuja base é um paralelogramo, ou (equivalentemente) um poliedro, que tem seis faces e cada uma delas é um paralelogramo.

§ O paralelepípedo é simétrico em relação ao ponto médio de sua diagonal.

§ Qualquer segmento com extremidades, pertencente à superfície um paralelepípedo e passando pelo meio de sua diagonal, divide-o ao meio; em particular, todas as diagonais do paralelepípedo se cruzam em um ponto e o cortam ao meio.

§ As faces opostas de um paralelepípedo são paralelas e iguais.

§ Quadrado de comprimento diagonal cubóide é igual à soma quadrados de suas três dimensões.

Área de superfície de um paralelepípedoé igual a duas vezes a soma das áreas das três faces deste paralelepípedo:

1.	S= 2(S a+Sb+S c)= 2(ab+bc+ac)

25 .Pirâmide e seus elementos

Considere um plano , um polígono que está nele e um ponto S que não está nele. Conecte S a todos os vértices do polígono. O poliedro resultante é chamado de pirâmide. Os segmentos são chamados de arestas laterais. O polígono é chamado de base e o ponto S é chamado de topo da pirâmide. Dependendo do número n, a pirâmide é chamada de triangular (n=3), quadrangular (n=4), pentagonal (n=5) e assim por diante. Nome alternativo para a pirâmide triangular - tetraedro. A altura de uma pirâmide é a perpendicular traçada de seu vértice ao plano de base.

Uma pirâmide é dita correta se polígono regular, e a base da altura da pirâmide (a base da perpendicular) é o seu centro.

O programa é projetado para calcular a área de superfície lateral pirâmide correta.
A pirâmide é um poliedro com uma base em forma de polígono, e as faces restantes são triângulos com um vértice comum.

A fórmula para calcular a área de superfície lateral de uma pirâmide regular é:

onde p é o perímetro da base (polígono ABCDE),
a - apótema (OS);

O apótema é a altura da face lateral de uma pirâmide regular, que é desenhada de seu topo.

Para encontrar a área de superfície lateral de uma pirâmide regular, insira os valores de perímetro e apótema da pirâmide e clique no botão "CALCULAR". O programa determinará a área de superfície lateral de uma pirâmide regular, cujo valor pode ser colocado na prancheta.

Pirâmide truncada

Uma pirâmide truncada é uma parte pirâmide completa fechado entre a base e uma seção paralela a ela.
A seção transversal é chamada base superior de uma pirâmide truncada, e a base da pirâmide completa é base inferior pirâmide truncada. (As bases são semelhantes.) Faces laterais pirâmide truncada - trapézio. Em uma pirâmide truncada 3 n costelas, 2 n picos, n+ 2 rostos, n(n- 3) diagonais. A distância entre as bases superior e inferior é a altura da pirâmide truncada (o segmento cortado da altura da pirâmide completa).
Quadrado superfície cheia pirâmide truncada é igual à soma das áreas de suas faces.
O volume da pirâmide truncada ( S e s- área de base, H- altura)

Corpo de rotação chamado de corpo formado como resultado da rotação de uma linha em torno de uma linha reta.

Um cilindro circular reto está inscrito em uma esfera se os círculos de suas bases estiverem sobre a esfera. As bases do cilindro são pequenos círculos da bola, o centro da bola coincide com o meio do eixo do cilindro. [ 2 ]

Um cilindro circular reto está inscrito em uma esfera se os círculos de suas bases estiverem sobre a esfera. Obviamente, o centro da esfera não está no meio do eixo do cilindro. [ 3 ]

Volume de qualquer cilindro é igual ao produtoárea da base em altura:

1.

V=π r 2 h

Área completa superfície do cilindro é igual à soma da superfície lateral do cilindro e quadrado duplo base do cilindro.

A fórmula para calcular a área total da superfície de um cilindro é:

27. Um cone redondo pode ser obtido girando um triângulo retângulo em torno de uma de suas pernas, razão pela qual um cone redondo também é chamado de cone de revolução. Veja também Volume de um cone redondo

Área total da superfície de um cone circularé igual à soma das áreas da superfície lateral do cone e sua base. A base de um cone é um círculo e sua área é calculada usando a fórmula para a área de um círculo:

2.	S=π rl+π r 2=π r(r+eu)

28. Tronco obtido traçando uma seção paralela à base de um cone. O corpo delimitado por esta seção, a base e a superfície lateral do cone é chamado de cone truncado. Veja também Volume de um cone truncado

Área total da superfície de um cone truncadoé igual à soma das áreas da superfície lateral do cone truncado e suas bases. As bases de um cone truncado são círculos e sua área é calculada usando a fórmula para a área de um círculo: S= π (r 1 2 + (r 1 + r 2)eu+ r 2 2)

29. Uma bola é um corpo geométrico limitado por uma superfície, todos os pontos dos quais estão sobre distância igual do centro. Essa distância é chamada de raio da esfera.

Esfera(grego σφαῖρα - bola) - uma superfície fechada, lugar geométrico pontos no espaço equidistantes de um dado ponto, chamado centro da esfera. Uma esfera é um caso especial de um elipsóide, no qual todos os três eixos (meios eixos, raios) são iguais. Uma esfera é a superfície de uma bola.

A área da superfície esférica do segmento esférico (setor esférico) e da camada esférica depende apenas de sua altura e do raio da bola e é igual à circunferência do grande círculo da bola, multiplicada pela altura

Volume da bola igual ao volume da pirâmide, cuja base tem a mesma área que a superfície da bola, e a altura é o raio da bola

O volume de uma esfera é uma vez e meia menor que o volume de um cilindro circunscrito ao seu redor.

elementos de bola

Segmento de bola O plano de corte divide a bola em dois segmentos de bola. H- altura do segmento, 0< H < 2 R, r- raio da base do segmento, Volume do segmento de bola A área da superfície esférica do segmento esférico
Camada esférica Uma camada esférica é uma parte de uma esfera encerrada entre duas seções paralelas. Distância ( H) entre as seções é chamado altura da camada, e as próprias seções - bases de camada. Área de superfície esférica ( volume) da camada esférica pode ser encontrado como a diferença de áreas superfícies esféricas(volumes) de segmentos esféricos.

 1. Multiplicando um vetor por um número(Fig. 56).

Produto vetorial MAS por número λ chamado vetor NO, cujo módulo é igual ao produto do módulo do vetor MAS por número de módulo λ :

A direção não muda se λ > 0 ; muda para o oposto se λ < 0 . Se um λ = -1, então o vetor

chamado de vetor, vetor oposto MAS, e é denotado

 2. Adição de vetores. Para encontrar a soma de dois vetores MAS e NO vetor

Então a soma será um vetor, cujo início coincide com o início do primeiro e o final - com o final do segundo. Esta regra de adição de vetores é chamada de “regra do triângulo” (Fig. 57). é necessário representar os vetores de soma de modo que o início do segundo vetor coincida com o final do primeiro.

É fácil provar que para vetores "a soma não muda a partir de uma mudança nas posições dos termos".
Vamos indicar mais uma regra para adição de vetores - a “regra do paralelogramo”. Se combinarmos os inícios dos vetores soma e construirmos um paralelogramo sobre eles, então a soma será um vetor que coincide com a diagonal desse paralelogramo (Fig. 58).

É claro que a adição de acordo com a “regra do paralelogramo” leva ao mesmo resultado que de acordo com a “regra do triângulo”.
A "regra do triângulo" é fácil de generalizar (para o caso de vários termos). A fim de encontrar soma de vetores

É necessário combinar o início do segundo vetor com o final do primeiro, o início do terceiro - com o final do segundo, etc. Com coincide com o início do primeiro, e o fim Com- com a extremidade deste último (Fig. 59).

 3. Subtração de vetores. A operação de subtração é reduzida às duas operações anteriores: a diferença de dois vetores é a soma do primeiro com o vetor oposto ao segundo:

Você também pode formular a "regra do triângulo" para subtrair vetores: é necessário combinar os inícios dos vetores MAS e NO, então sua diferença será o vetor

Desenhado a partir do final do vetor NO no final do vetor MAS(Fig. 60).

A seguir, falaremos sobre o vetor deslocamento ponto material, ou seja, um vetor conectando as posições inicial e final do ponto. Concordo que as regras de ação introduzidas em vetores são bastante óbvias para vetores de deslocamento.

 4. Produto escalar de vetores. resultado produto escalar dois vetores MAS e NOé o número c igual ao produto dos módulos dos vetores e o cosseno do ângulo α entre

O produto escalar de vetores é muito usado em física. No futuro, muitas vezes teremos que lidar com essa operação.

A definição de retas paralelas e suas propriedades no espaço são as mesmas do plano (ver item 11).

Ao mesmo tempo, mais um caso de arranjo de linhas é possível no espaço - linhas enviesadas. As linhas que não se cruzam e não estão no mesmo plano são chamadas de linhas de interseção.

A Figura 121 mostra o layout da sala de estar. Você vê que as linhas às quais os segmentos AB e BC pertencem são enviesadas.

O ângulo entre as linhas de interseção é o ângulo entre as linhas de interseção paralelas a elas. Este ângulo não depende de quais linhas de interseção são tomadas.

A medida em graus do ângulo entre linhas paralelas é assumida como sendo zero.

Uma perpendicular comum de duas linhas que se cruzam é ​​um segmento com extremidades nessas linhas, que é uma perpendicular a cada uma delas. Pode-se provar que duas linhas que se cruzam têm uma perpendicular comum e, além disso, apenas uma. É uma perpendicular comum dos planos paralelos que passam por essas linhas.

A distância entre as linhas que se cruzam é ​​o comprimento de sua perpendicular comum. É igual à distância entre os planos paralelos que passam por essas linhas.

Assim, para encontrar a distância entre as linhas de interseção aeb (Fig. 122), é necessário traçar planos paralelos a e através de cada uma dessas linhas. A distância entre esses planos será a distância entre as linhas de interseção a e b. Na figura 122, esta distância é, por exemplo, a distância AB.

Exemplo. As linhas a e b são paralelas e as linhas c e d se cruzam. Cada uma das linhas a e pode cruzar ambas as linhas

Decisão. As linhas a e b estão no mesmo plano e, portanto, qualquer linha que cruze cada uma delas está no mesmo plano. Portanto, se cada uma das linhas a, b intercepta ambas as linhas c e d, então as linhas estariam no mesmo plano com as linhas a e b, e isso não pode acontecer, pois as linhas se cruzam.

42. Paralelismo de uma reta e um plano.

Uma reta e um plano são chamados de paralelos se não se cruzam, ou seja, não possuem pontos em comum. Se a linha a é paralela ao plano a, então eles escrevem:.

A Figura 123 mostra uma linha reta a paralela ao plano a.

Se uma linha que não pertence a um plano é paralela a alguma linha neste plano, então também é paralela ao próprio plano (um sinal de paralelismo da linha e do plano).

Este teorema permite situação específica Prove que uma reta e um plano são paralelos. A Figura 124 mostra uma linha reta b paralela a uma linha reta a situada no plano a, isto é, ao longo da linha reta b paralela ao plano a, ou seja.

Exemplo. Através do topo ângulo certo De retangular triângulo ABC Traça-se um plano paralelo à hipotenusa a uma distância de 10 cm dela. As projeções dos catetos neste plano são 30 e 50 cm Encontre a projeção da hipotenusa no mesmo plano.

Decisão. A partir de triângulos retângulos BBVC e (Fig. 125) encontramos:

Do triângulo ABC encontramos:

A projeção da hipotenusa AB no plano a é . Como AB é paralelo ao plano a, então So,.

43. Planos paralelos.

Dois planos são chamados de paralelos. se eles não se cruzam.

Dois planos são paralelos" se um deles é paralelo a duas linhas que se cruzam em outro plano (um sinal de paralelismo de dois planos).

Na Figura 126, o plano a é paralelo às linhas de interseção a e b situadas no plano, então ao longo desses planos são paralelos.

Por um ponto fora de um plano dado, pode-se traçar um plano paralelo ao dado e, além disso, apenas um.

Se dois planos paralelos se cruzam com um terceiro, então as linhas de interseção são paralelas.

A Figura 127 mostra dois planos paralelos, e o plano y os intercepta ao longo das linhas retas a e b. Então, pelo Teorema 2.7, podemos afirmar que as retas a e b são paralelas.

Os segmentos de retas paralelas entre dois planos paralelos são iguais.

De acordo com T.2.8, os segmentos AB e mostrados na Figura 128 são iguais, pois

Deixe esses planos se cruzarem. Desenhe um plano perpendicular à linha de sua interseção. Ele cruza esses planos ao longo de duas linhas retas. O ângulo entre essas linhas é chamado de ângulo entre esses planos (Fig. 129). O ângulo entre os planos assim definidos não depende da escolha do plano secante.