Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Progresie aritmetică- aceasta este o serie de numere în care fiecare număr este mai mare (sau mai mic) decât precedentul cu aceeași cantitate.

Acest subiect este adesea dificil și de neînțeles. Indici de litere, al-lea membru progresii, diferența de progresie - toate acestea sunt oarecum confuze, da ... Să ne dăm seama care este semnificația progresiei aritmetice și totul se va rezolva imediat.)

Conceptul de progresie aritmetică.

Progresia aritmetică este un concept foarte simplu și clar. Îndoială? Degeaba.) Vezi singur.

Voi scrie o serie neterminată de numere:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Poți extinde această linie? Ce numere vor urma, după cele cinci? Toată lumea... uh..., pe scurt, toată lumea își va da seama că numerele 6, 7, 8, 9 etc. vor merge mai departe.

Să complicăm sarcina. Dau o serie neterminată de numere:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Puteți să prindeți modelul, să extindeți seria și să denumiți al șaptelea numărul rândului?

Dacă v-ați dat seama că acest număr este 20 - vă felicit! Nu numai că ai simțit puncte cheie progresie aritmetica, dar și le-a folosit cu succes în afaceri! Dacă nu înțelegi, citește mai departe.

Acum să traducem punctele cheie din senzații în matematică.)

Primul punct cheie.

Progresia aritmetică se ocupă de serii de numere. Acest lucru este confuz la început. Suntem obișnuiți să rezolvăm ecuații, să construim grafice și toate astea... Și apoi extindem seria, găsim numărul seriei...

E bine. Doar că progresiile sunt prima cunoaștere cu o nouă ramură a matematicii. Secțiunea se numește „Serii” și funcționează cu serii de numere și expresii. Obisnuieste-te.)

Al doilea punct cheie.

Într-o progresie aritmetică, orice număr diferă de cel precedent cu aceeași sumă.

În primul exemplu, această diferență este una. Indiferent de numărul pe care îl luați, este cu unul mai mult decât cel anterior. În al doilea - trei. Orice număr este de trei ori mai mare decât cel precedent. De fapt, acest moment este cel care ne oferă posibilitatea de a surprinde tiparul și de a calcula numerele ulterioare.

Al treilea punct cheie.

Acest moment nu este izbitor, da... Dar foarte, foarte important. Iată-l: fiecare numărul de progresie stă la locul ei. Există primul număr, există al șaptelea, există al patruzeci și cincilea și așa mai departe. Dacă le încurci la întâmplare, modelul va dispărea. Va dispărea și progresia aritmetică. Este doar o serie de numere.

Asta e toată ideea.

Desigur, în subiect nou apar termeni și notații noi. Ei trebuie să știe. Altfel, nu vei înțelege sarcina. De exemplu, trebuie să decideți ceva de genul:

Notați primii șase termeni ai progresiei aritmetice (a n) dacă a 2 = 5, d = -2,5.

Inspiră?) Scrisori, niște indexuri... Și sarcina, de altfel, nu ar putea fi mai ușoară. Trebuie doar să înțelegeți semnificația termenilor și a notației. Acum vom stăpâni această chestiune și ne vom întoarce la sarcină.

Termeni și denumiri.

Progresie aritmetică este o serie de numere în care fiecare număr este diferit de cel precedent cu aceeași sumă.

Această valoare este numită . Să ne ocupăm de acest concept mai detaliat.

Diferența de progresie aritmetică.

Diferența de progresie aritmetică este valoarea cu care orice număr de progresie Mai mult cel precedent.

unu punct important. Vă rugăm să acordați atenție cuvântului "Mai mult". Din punct de vedere matematic, aceasta înseamnă că se obține fiecare număr de progresie adăugând diferența unei progresii aritmetice față de numărul anterior.

Pentru a calcula, să zicem al doilea numerele rândului, este necesar să primul număr adăuga tocmai această diferență a unei progresii aritmetice. Pentru calcul a cincea- este necesara diferenta adăuga la Al patrulea bine, etc.

Diferența de progresie aritmetică poate pozitiv atunci fiecare număr al seriei se va dovedi a fi real mai mult decât precedentul. Această progresie se numește crescând. De exemplu:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Aici este fiecare număr adăugând număr pozitiv, +5 la precedentul.

Diferența poate fi negativ atunci fiecare număr din serie va fi mai puțin decât precedentul. Această progresie se numește (nu o să crezi!) in scadere.

De exemplu:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Aici se obține și fiecare număr adăugând la numărul anterior, dar deja negativ, -5.

Apropo, atunci când lucrați cu o progresie, este foarte util să determinați imediat natura acesteia - dacă este în creștere sau în scădere. Ajută foarte mult să-ți găsești orientarea în decizie, să-ți detectezi greșelile și să le corectezi înainte de a fi prea târziu.

Diferența de progresie aritmetică notată de obicei prin literă d.

Cum să găsești d? Foarte simplu. Este necesar să se scadă din orice număr al seriei anterior număr. Scădea. Apropo, rezultatul scăderii se numește „diferență”.)

Să definim, de exemplu, d pentru o progresie aritmetică crescătoare:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Luăm orice număr din rând pe care îl dorim, de exemplu, 11. Scădem din el numărul anterior acestea. opt:

Acesta este răspunsul corect. Pentru această progresie aritmetică, diferența este de trei.

Poți doar să iei orice număr de progresii, deoarece pentru o anumită progresie d-întotdeauna la fel. Cel puțin undeva la începutul rândului, cel puțin la mijloc, cel puțin oriunde. Nu poți lua doar primul număr. Doar pentru că primul număr nici anterior.)

Apropo, știind asta d=3, găsirea celui de-al șaptelea număr al acestei progresii este foarte simplă. Adăugăm 3 la al cincilea număr - obținem al șaselea, va fi 17. Adăugăm trei la al șaselea număr, obținem al șaptelea număr - douăzeci.

Să definim d pentru o progresie aritmetică descrescătoare:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Vă reamintesc că, indiferent de semne, să se determine d necesare din orice număr ia-l pe cel precedent. Alegem orice număr de progresie, de exemplu -7. Numărul său anterior este -2. Apoi:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Diferența unei progresii aritmetice poate fi orice număr: întreg, fracțional, irațional, orice.

Alți termeni și denumiri.

Fiecare număr din serie este numit membru al unei progresii aritmetice.

Fiecare membru al progresiei are numărul lui. Cifrele sunt strict în ordine, fără trucuri. Primul, al doilea, al treilea, al patrulea etc. De exemplu, în progresia 2, 5, 8, 11, 14, ... doi este primul membru, cinci este al doilea, unsprezece este al patrulea, bine, înțelegeți ...) Vă rugăm să înțelegeți clar - numerele în sine poate fi absolut orice, întreg, fracționat, negativ, orice, dar numerotare- strict în ordine!

Cum să înregistrați o progresie în vedere generala? Nici o problema! Fiecare număr din serie este scris ca o literă. Pentru a desemna o progresie aritmetică, de regulă, se folosește litera A. Numărul membrului este indicat de indexul din dreapta jos. Membrii se scriu separați prin virgule (sau punct și virgulă), astfel:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1 este primul număr a 3- al treilea etc. Nimic complicat. Puteți scrie această serie pe scurt astfel: (un n).

Sunt progresii finit și infinit.

final progresia are cantitate limitata membrii. Cinci, treizeci și opt, orice. Dar este un număr finit.

Fără sfârşit progresie - are un număr infinit de membri, după cum ați putea ghici.)

Puteți scrie o progresie finală printr-o serie ca aceasta, toți membrii și un punct la sfârșit:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

Sau așa, dacă sunt mulți membri:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

LA abreviere va trebui să specificați suplimentar numărul de membri. De exemplu (pentru douăzeci de membri), astfel:

(a n), n = 20

O progresie infinită poate fi recunoscută prin punctele de suspensie de la sfârșitul rândului, ca în exemplele din această lecție.

Acum puteți rezolva deja sarcini. Sarcinile sunt simple, doar pentru înțelegerea sensului progresiei aritmetice.

Exemple de sarcini pentru progresia aritmetică.

Să aruncăm o privire mai atentă la sarcina de mai sus:

1. Notează primii șase membri ai progresiei aritmetice (a n), dacă a 2 = 5, d = -2,5.

Transferăm sarcina către limbaj inteligibil. Având în vedere o progresie aritmetică infinită. Al doilea număr al acestei progresii este cunoscut: a 2 = 5. Diferența de progresie cunoscută: d = -2,5. Trebuie să găsim primul, al treilea, al patrulea, al cincilea și al șaselea membru al acestei progresii.

Pentru claritate, voi scrie o serie în funcție de starea problemei. Primii șase membri, unde al doilea membru este de cinci:

a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....

a 3 = a 2 + d

Inlocuim in expresie a 2 = 5și d=-2,5. Nu uita de minus!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Al treilea termen este mai puțin de o secundă. Totul este logic. Dacă numărul este mai mare decât cel precedent negativ valoare, astfel încât numărul în sine va fi mai mic decât cel anterior. Progresia este în scădere. Bine, să luăm în considerare.) Considerăm al patrulea membru al seriei noastre:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

un 5 = a 4 + d

un 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = un 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Deci, termenii de la al treilea la al șaselea au fost calculati. Aceasta a rezultat într-o serie:

a 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....

Rămâne de găsit primul termen a 1 pe celebru secund. Acesta este un pas în cealaltă direcție, spre stânga.) De aici, diferența de progresie aritmetică d nu trebuie adăugată a 2, A la pachet:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Cam despre asta e. Răspuns la sarcină:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

În treacăt, observ că am rezolvat această sarcină recurent cale. Aceasta este cuvânt înfricoșătorînseamnă, numai, căutarea unui termen al progresiei după numărul anterior (adiacent). Alte modalități de a lucra cu progresia vor fi discutate mai târziu.

Din această sarcină simplă se poate trage o concluzie importantă.

Tine minte:

Dacă cunoaștem cel puțin un membru și diferența unei progresii aritmetice, putem găsi orice membru al acestei progresii.

Tine minte? Această derivare simplă ne permite să rezolvăm majoritatea problemelor curs şcolar pe această temă. Toate sarcinile se învârt în jurul trei principale parametri: membru al unei progresii aritmetice, diferență a unei progresii, număr al unui membru al unei progresii. Tot.

Desigur, toată algebra anterioară nu este anulată.) Inegalitățile, ecuațiile și alte lucruri sunt atașate progresiei. Dar conform progresiei- totul se învârte în jurul a trei parametri.

De exemplu, luați în considerare unele sarcini populare pe această temă.

2. Scrieți progresia aritmetică finală ca o serie dacă n=5, d=0,4 și a 1=3,6.

Totul este simplu aici. Totul este deja dat. Trebuie să vă amintiți cum sunt calculați, numărați și scrieți membrii unei progresii aritmetice. Este recomandabil să nu săriți peste cuvintele din condiția sarcinii: „final” și „ n=5". Pentru a nu număra până nu ești complet albastru la față.) Există doar 5 (cinci) membri în această progresie:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

un 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Rămâne de scris răspunsul:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

O altă sarcină:

3. Stabiliți dacă numărul 7 va fi membru al unei progresii aritmetice (a n) dacă a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.

Hmm... Cine știe? Cum să definești ceva?

Cum-cum... Da, notează progresia sub formă de serie și vezi dacă va fi un șapte sau nu! Noi credem:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Acum se vede clar că suntem doar șapte strecurat prin intre 6,5 si 7,7! Cei șapte nu au intrat în seria noastră de numere și, prin urmare, cei șapte nu vor fi membri ai progresiei date.

Raspuns: nu.

Și aici este o problemă bazată pe versiune reală GIA:

4. Se notează mai multe membri consecutivi ai progresiei aritmetice:

...; cincisprezece; X; nouă; 6; ...

Iată o serie fără sfârșit și fără început. Fără numere de membri, fără diferențe d. E bine. Pentru a rezolva problema, este suficient să înțelegeți semnificația unei progresii aritmetice. Să vedem și să vedem ce putem descoperi din linia asta? Care sunt parametrii celor trei principali?

Numerele membrilor? Nu există un singur număr aici.

Dar sunt trei numere și - atenție! - cuvânt "consecutiv" in conditie. Aceasta înseamnă că numerele sunt strict în ordine, fără lacune. Sunt două în acest rând? vecine numere cunoscute? Da, am! Acestea sunt 9 și 6. Deci putem calcula diferența unei progresii aritmetice! Scădem din cele șase anterior număr, adică nouă:

Au rămas spații goale. Ce număr va fi cel anterior pentru x? Cincisprezece. Deci X poate fi găsit cu ușurință simplă adăugare. La 15 adăugați diferența unei progresii aritmetice:

Asta e tot. Răspuns: x=12

Următoarele probleme le rezolvăm singuri. Notă: aceste puzzle-uri nu sunt pentru formule. Doar pentru înțelegerea semnificației unei progresii aritmetice.) Scriem doar o serie de cifre-litere, privim și gândim.

5. Aflați primul termen pozitiv al progresiei aritmetice dacă a 5 = -3; d = 1,1.

6. Se știe că numărul 5,5 este membru al progresiei aritmetice (a n), unde a 1 = 1,6; d = 1,3. Determinați numărul n al acestui membru.

7. Se știe că într-o progresie aritmetică a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Găsiți un 3.

8. Se notează mai multe membri consecutivi ai progresiei aritmetice:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Găsiți termenul progresiei, notat cu litera x.

9. Trenul a început să se deplaseze din gară, crescându-și treptat viteza cu 30 de metri pe minut. Care va fi viteza trenului în cinci minute? Dati raspunsul in km/h.

10. Se știe că într-o progresie aritmetică a 2 = 5; a 6 = -5. Găsiți un 1.

Răspunsuri (în dezordine): 7,7; 7,5; 9,5; nouă; 0,3; 4.

S-a rezolvat totul? Uimitor! Puteți stăpâni progresia aritmetică pentru mai multe nivel inalt, în lecțiile următoare.

Nu a mers totul? Nici o problema. În secțiunea specială 555, toate aceste puzzle-uri sunt sortate după oase.) Și, desigur, un simplu tehnica practica, care evidentiaza imediat rezolvarea unor astfel de sarcini clar, clar, la vedere!

Apropo, în puzzle-ul despre tren există două probleme de care oamenii se poticnesc adesea. Unul - pur prin progresie, iar al doilea - comun tuturor sarcinilor din matematică și fizică. Aceasta este o traducere a dimensiunilor de la una la alta. Acesta arată cum trebuie rezolvate aceste probleme.

În această lecție, am examinat semnificația elementară a unei progresii aritmetice și principalii ei parametri. Acest lucru este suficient pentru a rezolva aproape toate problemele pe această temă. Adăuga d la numere, scrie o serie, totul se va decide.

Soluția cu degetul funcționează bine pentru bucăți foarte scurte din serie, ca în exemplele din această lecție. Dacă seria este mai lungă, calculele devin mai dificile. De exemplu, dacă în problema 9 din întrebare, înlocuiți "cinci minute" pe „treizeci și cinci de minute” problema se va agrava.)

Și există și sarcini simple în esență, dar absolut absurde în ceea ce privește calculele, de exemplu:

Având în vedere o progresie aritmetică (a n). Găsiți un 121 dacă a 1 =3 și d=1/6.

Și ce, vom adăuga 1/6 de multe, de multe ori?! Este posibil să te sinucizi!?

Poţi.) Dacă nu ştii o formulă simplă, conform căruia puteți rezolva astfel de sarcini într-un minut. Această formulă va fi în lecția următoare. Și acea problemă este rezolvată acolo. Intr-un minut.)

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Primul nivel

Progresie aritmetică. Teorie detaliată cu exemple (2019)

Secvență numerică

Așa că hai să ne așezăm și să începem să scriem câteva numere. De exemplu:
Puteți scrie orice numere și pot fi câte doriți (în cazul nostru, ele). Indiferent câte numere am scrie, putem spune întotdeauna care dintre ele este primul, care este al doilea și tot așa până la ultimul, adică le putem numerota. Acesta este un exemplu de succesiune de numere:

Secvență numerică
De exemplu, pentru secvența noastră:

Numărul atribuit este specific unui singur număr de secvență. Cu alte cuvinte, nu există trei numere secunde în succesiune. Al doilea număr (ca și al-lea număr) este întotdeauna același.
Numărul cu numărul se numește --lea membru al secvenței.

De obicei, numim întreaga secvență o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe - aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .

În cazul nostru:

Să presupunem că avem o succesiune numerică în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală.
De exemplu:

etc.
O astfel de succesiune numerică se numește progresie aritmetică.
Termenul de „progresie” a fost introdus de autorul roman Boethius încă din secolul al VI-lea și a fost înțeles într-un în sens larg, ca șir infinit de numere. Numele „aritmetică” a fost transferat din teoria proporțiilor continue, în care s-au implicat grecii antici.

Aceasta este o succesiune numerică, fiecare membru al căruia este egal cu cel precedent, adăugat cu același număr. Acest număr se numește diferența unei progresii aritmetice și se notează.

Încercați să determinați ce secvențe de numere sunt o progresie aritmetică și care nu sunt:

A)
b)
c)
d)

Am înţeles? Comparați răspunsurile noastre:
Este un progresie aritmetică - b, c.
Nu este progresie aritmetică - a, d.

Să revenim la progresia dată () și să încercăm să găsim valoarea celui de-al-lea membru al acesteia. Exista Două mod de a o găsi.

1. Metoda

Putem adăuga la valoarea anterioară a numărului de progresie până ajungem la al treilea termen al progresiei. Este bine că nu avem multe de rezumat - doar trei valori:

Deci, al-lea membru al progresiei aritmetice descrise este egal cu.

2. Metoda

Ce se întâmplă dacă ar trebui să găsim valoarea celui de-al treilea termen al progresiei? Însumarea ne-ar fi luat mai mult de o oră și nu este un fapt că nu am fi greșit la adunarea numerelor.
Desigur, matematicienii au venit cu o modalitate prin care nu trebuie să adăugați diferența unei progresii aritmetice la valoarea anterioară. Privește cu atenție imaginea desenată... Cu siguranță ai observat deja un anumit model, și anume:

De exemplu, să vedem ce alcătuiește valoarea celui de-al-lea membru al acestei progresii aritmetice:


Cu alte cuvinte:

Încercați să găsiți în mod independent în acest fel valoarea unui membru al acestei progresii aritmetice.

Calculat? Comparați intrările dvs. cu răspunsul:

Atenție că ați obținut exact același număr ca în metoda anterioară, când am adăugat succesiv membrii unei progresii aritmetice la valoarea anterioară.
Să încercăm să „depersonalizăm” această formulă- să o aducem într-o formă generală și să obținem:

Ecuația de progresie aritmetică.

Progresiile aritmetice sunt fie în creștere, fie în scădere.

Crescând- progresii în care fiecare valoare ulterioară a termenilor este mai mare decât cea anterioară.
De exemplu:

Descendentă- progresii în care fiecare valoare ulterioară a termenilor este mai mică decât cea anterioară.
De exemplu:

Formula derivată este utilizată în calculul termenilor atât în ​​termeni crescanți, cât și în termeni descrescători ai unei progresii aritmetice.
Să verificăm în practică.
Ni se oferă o progresie aritmetică constând din următoarele numere:

De atunci:

Astfel, am fost convinși că formula funcționează atât în ​​progresie aritmetică descrescătoare, cât și în creștere.
Încercați să găsiți singuri membrii --lea și --lea din această progresie aritmetică.

Să comparăm rezultatele:

Proprietatea progresiei aritmetice

Să complicăm sarcina - derivăm proprietatea unei progresii aritmetice.
Să presupunem că ni se oferă următoarea condiție:
- progresie aritmetică, găsiți valoarea.
E ușor, zici tu, și începeți să numărați după formula pe care o cunoașteți deja:

Fie, a, atunci:

Absolut corect. Se pare că mai întâi găsim, apoi îl adăugăm la primul număr și obținem ceea ce căutăm. Dacă progresia este reprezentată de valori mici, atunci nu este nimic complicat, dar dacă ni se dau numere în stare? De acord, există posibilitatea de a face greșeli în calcule.
Acum gândiți-vă, este posibil să rezolvați această problemă într-un singur pas folosind orice formulă? Desigur, da, și vom încerca să-l scoatem acum.

Să notăm termenul dorit al progresiei aritmetice, deoarece știm formula pentru a-l găsi - aceasta este aceeași formulă pe care am derivat-o la început:
, apoi:

• membrul anterior al progresiei este:
• următorul termen al progresiei este:

Să însumăm membrii anteriori și următorii ai progresiei:

Rezultă că suma membrilor anteriori și următori ai progresiei este de două ori mai mare decât valoarea membrului progresiei situat între ei. Cu alte cuvinte, pentru a găsi valoarea unui membru de progresie cu valori anterioare și succesive cunoscute, este necesar să le adunăm și să le împărțim la.

Așa e, avem același număr. Să reparăm materialul. Calculați singur valoarea progresiei, pentru că nu este deloc dificil.

Foarte bine! Știi aproape totul despre progresie! Rămâne să aflăm o singură formulă, pe care, potrivit legendei, unul dintre cei mai mari matematicieni ai tuturor timpurilor, „regele matematicienilor” - Karl Gauss, a dedus-o cu ușurință pentru el însuși...

Când Carl Gauss avea 9 ani, profesorul, ocupat să verifice munca elevilor din alte clase, a cerut următoarea sarcină la lecție: „Calculează suma tuturor numere naturale de la la (după alte surse până la) inclusiv. Care a fost surpriza profesorului când unul dintre elevii săi (era Karl Gauss) după un minut a dat răspunsul corect la sarcină, în timp ce majoritatea colegilor de clasă ai temerului după calcule lungi au primit rezultatul greșit...

Tânărul Carl Gauss a observat un model pe care îl puteți observa cu ușurință.
Să presupunem că avem o progresie aritmetică formată din membri -ti: Trebuie să găsim suma membrilor dați ai progresiei aritmetice. Desigur, putem să însumăm manual toate valorile, dar ce se întâmplă dacă trebuie să găsim suma termenilor săi în sarcină, așa cum căuta Gauss?

Să descriem progresul care ni s-a dat. Priviți cu atenție numerele evidențiate și încercați să efectuați diverse operații matematice cu ele.


Încercat? Ce ai observat? Corect! Sumele lor sunt egale

Acum răspunde, câte astfel de perechi vor fi în progresia dată nouă? Desigur, exact jumătate din toate numerele, adică.
Pe baza faptului că suma a doi membri ai unei progresii aritmetice este egală și perechi similare egale, obținem că valoare totală este egal cu:
.
Astfel, formula pentru suma primilor termeni ai oricărei progresii aritmetice va fi:

În unele probleme, nu cunoaștem al treilea termen, dar cunoaștem diferența de progresie. Încercați să înlocuiți în formula sumei formula celui de-al-lea membru.
Ce ai primit?

Foarte bine! Acum să revenim la problema care i-a fost dată lui Carl Gauss: calculați singuri care este suma numerelor care încep de la -th și suma numerelor începând de la -th.

Cât ai primit?
Gauss a dovedit că suma termenilor este egală, iar suma termenilor. Asa te-ai hotarat?

De fapt, formula pentru suma membrilor unei progresii aritmetice a fost dovedită de omul de știință grec antic Diophantus încă din secolul al III-lea și în tot acest timp. oameni duhovnici a folosit proprietățile unei progresii aritmetice cu putere și principal.
De exemplu, imaginați-vă Egiptul antic si majoritatea construcție pe scară largă de atunci - construcția piramidei ... Figura arată o latură a acesteia.

Unde este progresia aici spui tu? Privește cu atenție și găsește un model în numărul de blocuri de nisip din fiecare rând al peretelui piramidei.


De ce nu o progresie aritmetică? Numărați câte blocuri sunt necesare pentru a construi un perete dacă cărămizi bloc sunt plasate în bază. Sper că nu vei număra mișcând degetul pe monitor, îți amintești ultima formulă și tot ce am spus despre progresia aritmetică?

LA acest caz progresia arata asa:
Diferența de progresie aritmetică.
Numărul de membri ai unei progresii aritmetice.
Să substituim datele noastre în ultimele formule (numărăm numărul de blocuri în 2 moduri).

Metoda 1.

Metoda 2.

Și acum puteți calcula și pe monitor: comparați valorile obținute cu numărul de blocuri care se află în piramida noastră. A fost de acord? Bravo, ai stăpânit suma celor trei termeni ai unei progresii aritmetice.
Desigur, nu poți construi o piramidă din blocurile de la bază, dar din? Încercați să calculați câte cărămizi de nisip sunt necesare pentru a construi un zid cu această condiție.
Ai reușit?
Răspunsul corect este blocurile:

A face exerciţii fizice

Sarcini:

1. Masha se pune în formă pentru vară. În fiecare zi crește numărul de genuflexiuni cu. De câte ori se va ghemui Masha în săptămâni dacă a făcut genuflexiuni la primul antrenament.
2. Care este suma tuturor numerelor impare conținute în.
3. Când depozitează buștenii, tăietorii de lemne le stivuiesc în așa fel încât fiecare strat superior să conțină un buștean mai puțin decât cel anterior. Câți bușteni sunt într-o zidărie, dacă baza zidăriei este bușteni.

Raspunsuri:

1. Să definim parametrii progresiei aritmetice. În acest caz
   (săptămâni = zile).

   Răspuns:În două săptămâni, Masha ar trebui să se ghemuiască o dată pe zi.

2. Primul numar impar, ultimul număr.
   Diferența de progresie aritmetică.
   Cu toate acestea, numărul de numere impare din - jumătate, verificați acest fapt folosind formula pentru găsirea celui de-al-lea membru al unei progresii aritmetice:

   Numerele conțin numere impare.
   Înlocuim datele disponibile în formula:

   Răspuns: Suma tuturor numerelor impare conținute în este egală cu.

3. Amintiți-vă problema despre piramide. Pentru cazul nostru, a , deoarece fiecare strat superior este redus cu un buștean, există doar o grămadă de straturi, adică.
   Înlocuiți datele din formula:

   Răspuns: Sunt bușteni în zidărie.

Rezumând

1. - o succesiune numerică în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală. Este în creștere și în scădere.
2. Găsirea formulei Al-lea membru al unei progresii aritmetice se scrie prin formula - , unde este numărul de numere din progresie.
3. Proprietatea membrilor unei progresii aritmetice- - unde - numărul de numere din progresie.
4. Suma membrilor unei progresii aritmetice poate fi găsit în două moduri:
   
   , unde este numărul de valori.

PROGRESIA ARITMETICĂ. NIVEL MIJLOCIU

Secvență numerică

Să ne așezăm și să începem să scriem niște numere. De exemplu:

Puteți scrie orice numere și pot fi câte doriți. Dar poți spune întotdeauna care dintre ele este primul, care este al doilea și așa mai departe, adică le putem număra. Acesta este un exemplu de succesiune de numere.

Secvență numerică este un set de numere, fiecăruia cărora li se poate atribui un număr unic.

Cu alte cuvinte, fiecare număr poate fi asociat cu un anumit număr natural și doar unul. Și nu vom atribui acest număr niciunui alt număr din acest set.

Numărul cu numărul se numește --lea membru al secvenței.

De obicei, numim întreaga secvență o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe - aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .

Este foarte convenabil dacă al-lea membru al secvenței poate fi dat printr-o formulă. De exemplu, formula

stabilește secvența:

Și formula este următoarea succesiune:

De exemplu, o progresie aritmetică este o secvență (primul termen aici este egal și diferența). Sau (, diferență).

al n-lea termen formulă

Numim o formulă recurentă o astfel de formulă în care, pentru a afla al treilea termen, trebuie să-l cunoașteți pe anterior sau pe mai multe anterioare:

Pentru a găsi, de exemplu, al treilea termen al progresiei folosind o astfel de formulă, trebuie să-i calculăm pe cei nouă anteriori. De exemplu, lasa. Apoi:

Ei bine, acum e clar care este formula?

În fiecare linie, adunăm la, înmulțit cu un anumit număr. Pentru ce? Foarte simplu: acesta este numărul membrului curent minus:

Mult mai confortabil acum, nu? Verificăm:

Decide pentru tine:

Într-o progresie aritmetică, găsiți formula pentru al n-lea termen și găsiți al sutelea termen.

Decizie:

Primul termen este egal. Și care este diferența? Și iată ce:

(la urma urmei, se numește diferență deoarece este egală cu diferența membrilor succesivi ai progresiei).

Deci formula este:

Atunci al sutelea termen este:

Care este suma tuturor numerelor naturale de la până la?

Potrivit legendei, mare matematician Carl Gauss, fiind un băiețel de 9 ani, a calculat această sumă în câteva minute. A observat că suma primelor şi ultima zi este egală, suma celui de-al doilea și penultim este aceeași, suma celui de-al treilea și a 3-a de la final este aceeași și așa mai departe. Câte astfel de perechi există? Așa este, exact jumătate din numărul tuturor numerelor, adică. Asa de,

Formula generală pentru suma primilor termeni ai oricărei progresii aritmetice va fi:

Exemplu:
Găsiți suma tuturor numere din două cifre, multipli.

Decizie:

Primul astfel de număr este acesta. Fiecare dintre următoarele se obține prin adăugarea la numărul anterior. Astfel, numerele care ne interesează formează o progresie aritmetică cu primul termen și diferența.

Formula pentru al treilea termen pentru această progresie este:

Câți termeni sunt în progresie dacă toți trebuie să fie de două cifre?

Foarte usor: .

Ultimul termen al progresiei va fi egal. Apoi suma:

Răspuns: .

Acum decideți singuri:

1. În fiecare zi, sportivul aleargă cu 1 m mai mult decât în ​​ziua precedentă. Câți kilometri va alerga în săptămâni dacă a alergat km m în prima zi?
2. Un biciclist parcurge mai multe mile în fiecare zi decât precedentul. În prima zi a parcurs km. Câte zile trebuie să conducă pentru a parcurge un kilometru? Câți kilometri va parcurge în ultima zi de călătorie?
3. Prețul unui frigider în magazin este redus cu aceeași sumă în fiecare an. Stabiliți cât de mult a scăzut prețul unui frigider în fiecare an dacă, scos la vânzare pentru ruble, șase ani mai târziu a fost vândut pentru ruble.

Raspunsuri:

1. Cel mai important lucru aici este să recunoașteți progresia aritmetică și să determinați parametrii acesteia. În acest caz, (săptămâni = zile). Trebuie să determinați suma primilor termeni ai acestei progresii:
   .
   Răspuns:
2. Aici este dat:, este necesar să se găsească.
   Evident, trebuie să utilizați aceeași formulă de sumă ca în problema anterioară:
   .
   Înlocuiți valorile:

   Rădăcina evident nu se potrivește, deci răspunsul.
   Să calculăm distanța parcursă în ultima zi folosind formula celui de-al treilea termen:
   (km).
   Răspuns:

3. Dat: . A găsi: .
   Nu devine mai ușor:
   (freca).
   Răspuns:

PROGRESIA ARITMETICĂ. SCURT DESPRE PRINCIPALA

Aceasta este o succesiune numerică în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală.

Progresia aritmetică este în creștere () și în scădere ().

De exemplu:

Formula pentru găsirea celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice

se scrie sub formă de formulă, unde este numărul de numere din progresie.

Proprietatea membrilor unei progresii aritmetice

Ușurează găsirea unui membru al progresiei dacă sunt cunoscuți membrii vecini - unde este numărul de numere din progresie.

Suma membrilor unei progresii aritmetice

Există două moduri de a găsi suma:

Unde este numărul de valori.

Unde este numărul de valori.

De exemplu, secvența \(2\); \(5\); \(opt\); \(unsprezece\); \(14\)... este o progresie aritmetică, deoarece fiecare element următor diferă de cel anterior cu trei (se poate obține de la precedentul prin adăugarea a trei):

În această progresie, diferența \(d\) este pozitivă (egală cu \(3\)) și, prin urmare, fiecare termen următor este mai mare decât cel anterior. Se numesc astfel de progresii crescând.

Totuși, \(d\) poate fi și număr negativ. de exemplu, în progresie aritmetică \(16\); \(zece\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... diferența de progresie \(d\) este egală cu minus șase.

Și în acest caz, fiecare element următor va fi mai mic decât cel anterior. Aceste progresii sunt numite in scadere.

Notarea progresiei aritmetice

Progresia este indicată de o literă latină mică.

Numerele care formează o progresie se numesc aceasta membrii(sau elemente).

Ele sunt notate cu aceeași literă ca și progresia aritmetică, dar cu un indice numeric egal cu numărul elementului în ordine.

De exemplu, progresia aritmetică \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) este formată din elementele \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) și așa mai departe.

Cu alte cuvinte, pentru progresia \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Rezolvarea problemelor pe o progresie aritmetică

În principiu, informațiile de mai sus sunt deja suficiente pentru a rezolva aproape orice problemă pe o progresie aritmetică (inclusiv cele oferite la OGE).

Exemplu (OGE). Progresia aritmetica este data de conditiile \(b_1=7; d=4\). Găsiți \(b_5\).
Decizie:

Răspuns: \(b_5=23\)

Exemplu (OGE). Primii trei termeni ai unei progresii aritmetice sunt dați: \(62; 49; 36…\) Aflați valoarea primului termen negativ al acestei progresii..
Decizie:

	Ni se dau primele elemente ale secvenței și știm că este o progresie aritmetică. Adică fiecare element diferă de cel vecin prin același număr. Aflați care dintre ele scăzând pe cel precedent din următorul element: \(d=49-62=-13\).
	Acum ne putem restabili progresul la elementul dorit (primul negativ).
	Gata. Puteți scrie un răspuns.

Răspuns: \(-3\)

Exemplu (OGE). Sunt date mai multe elemente succesive ale unei progresii aritmetice: \(...5; x; 10; 12,5...\) Aflați valoarea elementului notat cu litera \(x\).
Decizie:

	Pentru a găsi \(x\), trebuie să știm cât de mult diferă următorul element față de cel anterior, cu alte cuvinte, diferența de progresie. Să o găsim din două elemente învecinate cunoscute: \(d=12,5-10=2,5\).
	Și acum găsim fără probleme ceea ce căutăm: \(x=5+2.5=7.5\).
	Gata. Puteți scrie un răspuns.

Răspuns: \(7,5\).

Exemplu (OGE). Progresia aritmetica este data de urmatoarele conditii: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Aflați suma primilor șase termeni ai acestei progresii.
Decizie:

	Trebuie să găsim suma primilor șase termeni ai progresiei. Dar nu le cunoaștem semnificațiile, ni se dă doar primul element. Prin urmare, mai întâi calculăm valorile pe rând, folosind cele care ni se oferă: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Și după ce am calculat cele șase elemente de care avem nevoie, găsim suma lor.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	S-a găsit suma solicitată.

Răspuns: \(S_6=9\).

Exemplu (OGE). În progresie aritmetică \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Găsiți diferența acestei progresii.
Decizie:

Răspuns: \(d=7\).

Formule importante de progresie aritmetică

După cum puteți vedea, multe probleme de progresie aritmetică pot fi rezolvate pur și simplu prin înțelegerea principalului lucru - că o progresie aritmetică este un lanț de numere și fiecare element următor din acest lanț se obține prin adăugarea aceluiași număr la cel precedent (diferența a progresiei).

Cu toate acestea, uneori există situații când este foarte incomod să decizi „pe frunte”. De exemplu, imaginați-vă că în primul exemplu, trebuie să găsim nu al cincilea element \(b_5\), ci al trei sute optzeci și șase \(b_(386)\). Ce este, \ (385 \) ori să adunăm patru? Sau imaginați-vă că, în penultimul exemplu, trebuie să găsiți suma primelor șaptezeci și trei de elemente. Numărarea este confuză...

Prin urmare, în astfel de cazuri, ei nu rezolvă „pe frunte”, ci folosesc formule speciale derivate pentru progresia aritmetică. Iar cele principale sunt formula pentru al n-lea termen al progresiei și formula pentru suma \(n\) a primilor termeni.

Formula pentru \(n\)-lea membru: \(a_n=a_1+(n-1)d\), unde \(a_1\) este primul membru al progresiei;
\(n\) – numărul elementului solicitat;
\(a_n\) este un membru al progresiei cu numărul \(n\).

Această formulă ne permite să găsim rapid cel puțin elementul trei sute, chiar milionul, cunoscând doar primul și diferența de progresie.

Exemplu. Progresia aritmetica este data de conditiile: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Găsiți \(b_(246)\).
Decizie:

Răspuns: \(b_(246)=1850\).

Formula pentru suma primilor n termeni este: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), unde

\(a_n\) este ultimul termen însumat;

Exemplu (OGE). Progresia aritmetică este dată de condițiile \(a_n=3.4n-0.6\). Aflați suma primilor \(25\) termeni ai acestei progresii.
Decizie:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Pentru a calcula suma primelor douăzeci și cinci de elemente, trebuie să cunoaștem valoarea primului și a douăzeci și cinci de termeni. Progresia noastră este dată de formula celui de-al n-lea termen în funcție de numărul acestuia (vezi detalii). Să calculăm primul element înlocuind \(n\) cu unul.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Acum să găsim al douăzeci și cincilea termen înlocuind douăzeci și cinci în loc de \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Ei bine, acum calculăm suma necesară fără probleme.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Răspunsul este gata.

Răspuns: \(S_(25)=1090\).

Pentru suma \(n\) primilor termeni, puteți obține o altă formulă: trebuie doar să \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) în loc de \(a_n\) înlocuiți formula pentru aceasta \(a_n=a_1+(n-1)d\). Primim:

Formula pentru suma primilor n termeni este: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), unde

\(S_n\) – suma necesară \(n\) a primelor elemente;
\(a_1\) este primul termen care trebuie însumat;
\(d\) – diferență de progresie;
\(n\) - numărul de elemente din sumă.

Exemplu. Aflați suma primilor \(33\)-ex termeni ai progresiei aritmetice: \(17\); \(15,5\); \(paisprezece\)…
Decizie:

Răspuns: \(S_(33)=-231\).

Probleme de progresie aritmetică mai complexe

Acum le ai pe toate informatiile necesare pentru a rezolva aproape orice problemă pe o progresie aritmetică. Să încheiem subiectul luând în considerare problemele în care trebuie nu numai să aplici formule, ci și să te gândești puțin (la matematică, acest lucru poate fi util ☺)

Exemplu (OGE). Aflați suma tuturor termenilor negativi ai progresiei: \(-19,3\); \(-nouăsprezece\); \(-18,7\)…
Decizie:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Sarcina este foarte asemănătoare cu cea anterioară. Începem să rezolvăm la fel: mai întâi găsim \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Acum am înlocui \(d\) în formula pentru suma ... și aici apare o mică nuanță - nu știm \(n\). Cu alte cuvinte, nu știm câți termeni vor trebui adăugați. Cum să aflu? Să ne gândim. Vom înceta să mai adăugăm elemente când ajungem la primul element pozitiv. Adică, trebuie să aflați numărul acestui element. Cum? Să notăm formula pentru calcularea oricărui element al unei progresii aritmetice: \(a_n=a_1+(n-1)d\) pentru cazul nostru.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Avem nevoie ca \(a_n\) să fie mai mare decât zero. Să aflăm pentru ce \(n\) se va întâmpla asta.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Împărțim ambele părți ale inegalității la \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Transferăm minus unu, fără a uita să schimbăm semnele
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Tehnica de calcul...
\(n>65.333…\)		…și se dovedește că primul element pozitiv va avea numărul \(66\). În consecință, ultimul negativ are \(n=65\). Pentru orice eventualitate, hai să verificăm.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Astfel, trebuie să adăugăm primele \(65\) elemente.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Răspunsul este gata.

Răspuns: \(S_(65)=-630,5\).

Exemplu (OGE). Progresia aritmetica este data de conditiile: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Găsiți suma de la \(26\)-lea la \(42\) element inclusiv.
Decizie:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	În această problemă, trebuie să găsiți și suma elementelor, dar începând nu de la primul, ci de la \(26\)-lea. Nu avem o formulă pentru asta. Cum să decizi? Ușor - pentru a obține suma de la \(26\)th la \(42\)th, trebuie mai întâi să găsiți suma de la \(1\)th la \(42\)th, apoi scădeți din ea suma din primul la \ (25 \) al-lea (vezi poza).
	Pentru progresia noastră \(a_1=-33\) și diferența \(d=4\) (la urma urmei, adăugăm patru la elementul anterior pentru a-l găsi pe următorul). Știind acest lucru, găsim suma primelor elemente \(42\)-uh.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Acum suma primelor \(25\)-celele elemente.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Și, în sfârșit, calculăm răspunsul.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Răspuns: \(S=1683\).

Pentru o progresie aritmetică, există mai multe formule pe care nu le-am luat în considerare în acest articol din cauza utilităţii lor practice reduse. Cu toate acestea, le puteți găsi cu ușurință.

Când studiezi algebra în scoala de invatamant general(Clasa 9) unul dintre subiecte importante este studiul secvențe de numere, care includ progresii - geometrice și aritmetice. În acest articol, vom lua în considerare o progresie aritmetică și exemple cu soluții.

Ce este o progresie aritmetică?

Pentru a înțelege acest lucru, este necesar să se definească progresia în cauză, precum și formule de bază, care va fi folosit în continuare în rezolvarea problemelor.

Aritmetică sau este un astfel de set de numere raționale ordonate, fiecare membru al cărora diferă de cel precedent printr-o valoare constantă. Această valoare se numește diferență. Adică, cunoscând orice membru al unei serii ordonate de numere și diferența, puteți restabili întreaga progresie aritmetică.

Să luăm un exemplu. Următoarea succesiune de numere va fi o progresie aritmetică: 4, 8, 12, 16, ..., deoarece diferența în acest caz este 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Dar mulțimea numerelor 3, 5, 8, 12, 17 nu mai poate fi atribuită tipului de progresie luat în considerare, deoarece diferența pentru aceasta nu este o valoare constantă (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Formule importante

Vom oferi acum formulele de bază care vor fi necesare pentru a rezolva probleme folosind o progresie aritmetică. Fie un n să desemneze al n-lea membru al secvenței, unde n este un număr întreg. Să notăm diferența Literă latină d. Atunci următoarele expresii sunt adevărate:

1. Pentru a determina valoarea celui de-al n-lea termen, formula este potrivită: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Pentru a determina suma primilor n termeni: S n = (a n + a 1)*n/2.

Pentru a înțelege orice exemple de progresie aritmetică cu o soluție în clasa a 9-a, este suficient să ne amintim aceste două formule, deoarece orice probleme de tipul în cauză sunt construite pe utilizarea lor. De asemenea, nu uitați că diferența de progresie este determinată de formula: d = a n - a n-1 .

Exemplul #1: Găsirea unui membru necunoscut

Dăm un exemplu simplu de progresie aritmetică și formulele care trebuie folosite pentru rezolvare.

Să fie dată șirul 10, 8, 6, 4, ..., este necesar să găsim cinci termeni în ea.

Din condițiile problemei rezultă deja că primii 4 termeni sunt cunoscuți. Al cincilea poate fi definit în două moduri:

1. Să calculăm mai întâi diferența. Avem: d = 8 - 10 = -2. În mod similar, s-ar putea lua oricare alți doi termeni, stând în apropiereîmpreună. De exemplu, d = 4 - 6 = -2. Deoarece se știe că d \u003d a n - a n-1, apoi d \u003d a 5 - a 4, de unde obținem: a 5 \u003d a 4 + d. Substitui valori cunoscute: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. A doua metodă necesită, de asemenea, cunoașterea diferenței progresiei în cauză, așa că mai întâi trebuie să o determinați, așa cum se arată mai sus (d = -2). Știind că primul termen a 1 = 10, folosim formula pentru numărul n al șirului. Avem: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Înlocuind n = 5 în ultima expresie, obținem: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

După cum puteți vedea, ambele soluții duc la același rezultat. Rețineți că în acest exemplu diferența d a progresiei este valoare negativă. Astfel de secvențe se numesc descrescătoare deoarece fiecare termen următor este mai mic decât cel anterior.

Exemplul #2: diferența de progresie

Acum să complicăm puțin sarcina, să dăm un exemplu despre cum să găsim diferența unei progresii aritmetice.

Se știe că în unele progresii algebrice primul termen este egal cu 6, iar al 7-lea termen este egal cu 18. Este necesar să se găsească diferența și să se restabilească această secvență la al 7-lea termen.

Să folosim formula pentru a determina termenul necunoscut: a n = (n - 1) * d + a 1 . Înlocuim datele cunoscute din condiție, adică numerele a 1 și a 7, avem: 18 \u003d 6 + 6 * d. Din această expresie, puteți calcula cu ușurință diferența: d = (18 - 6) / 6 = 2. Astfel, s-a răspuns la prima parte a problemei.

Pentru a restabili o secvență de până la 7 termeni, ar trebui să folosiți definiția progresie algebrică, adică a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d și așa mai departe. Ca rezultat, restabilim întreaga secvență: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 și 7 = 18.

Exemplul #3: realizarea unei progresii

Să complicăm și mai mult starea problemei. Acum trebuie să răspundeți la întrebarea cum să găsiți o progresie aritmetică. poate conduce exemplul următor: se dau două numere, de exemplu, - 4 și 5. Este necesar să se facă o progresie algebrică astfel încât să se mai pună trei termeni între aceștia.

Înainte de a începe să rezolvați această problemă, este necesar să înțelegeți ce loc vor ocupa numerele date în progresia viitoare. Deoarece vor mai exista trei termeni între ei, apoi un 1 \u003d -4 și un 5 \u003d 5. După ce am stabilit acest lucru, trecem la o sarcină similară celei anterioare. Din nou, pentru al n-lea termen, folosim formula, obținem: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. De la: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Aici nu am primit o valoare întreagă a diferenței, dar este Numar rational, deci formulele pentru progresia algebrică rămân aceleași.

Acum să adăugăm diferența găsită la un 1 și să restabilim membrii lipsă ai progresiei. Obținem: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u, 50 care a coincis cu starea problemei.

Exemplul #4: primul membru al progresiei

Continuăm să dăm exemple de progresie aritmetică cu o soluție. În toate problemele anterioare, era cunoscut primul număr al progresiei algebrice. Acum luați în considerare o problemă de alt tip: să fie date două numere, unde a 15 = 50 și a 43 = 37. Este necesar să aflăm de la ce număr începe această succesiune.

Formulele care au fost folosite până acum presupun cunoașterea a 1 și d. Nu se știe nimic despre aceste cifre în starea problemei. Cu toate acestea, să scriem expresiile pentru fiecare termen despre care avem informații: a 15 = a 1 + 14 * d și a 43 = a 1 + 42 * d. Avem două ecuații în care 2 cantități necunoscute(a 1 și d). Aceasta înseamnă că problema se reduce la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare.

Sistemul specificat este cel mai ușor de rezolvat dacă exprimați un 1 în fiecare ecuație și apoi comparați expresiile rezultate. Prima ecuație: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; a doua ecuație: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Echivalând aceste expresii, obținem: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, de unde diferența d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (sunt date doar 3 zecimale).

Cunoscând d, puteți folosi oricare dintre cele 2 expresii de mai sus pentru a 1 . De exemplu, mai întâi: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Dacă există îndoieli cu privire la rezultat, îl puteți verifica, de exemplu, determinați al 43-lea membru al progresiei, care este specificat în condiție. Obținem: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. O mică eroare se datorează faptului că în calcule a fost utilizată rotunjirea la miimi.

Exemplul #5: Sumă

Acum să ne uităm la câteva exemple cu soluții pentru suma unei progresii aritmetice.

Să fie dat progresie numerică următorul fel: 1, 2, 3, 4, ...,. Cum se calculează suma a 100 dintre aceste numere?

Datorită dezvoltării tehnologia calculatoarelor puteți rezolva această problemă, adică adăugați secvențial toate numerele, care Mașină de calcul va face de îndată ce persoana apasă tasta Enter. Problema poate fi însă rezolvată mental dacă acordați atenție că seria de numere prezentată este o progresie algebrică, iar diferența ei este 1. Aplicând formula pentru sumă, obținem: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Este curios de observat că această problemă se numește „gaussian” deoarece în începutul XVIII al secolului, celebrul german, încă la vârsta de doar 10 ani, a putut să o rezolve în minte în câteva secunde. Băiatul nu știa formula sumei unei progresii algebrice, dar a observat că dacă adaugi perechi de numere situate la marginile șirului, obții întotdeauna același rezultat, adică 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ... și, deoarece aceste sume vor fi exact 50 (100 / 2), atunci pentru a obține răspunsul corect, este suficient să înmulțiți 50 cu 101.

Exemplul #6: suma termenilor de la n la m

O alta un exemplu tipic suma unei progresii aritmetice este următoarea: având în vedere o serie de numere: 3, 7, 11, 15, ..., trebuie să aflați care va fi suma membrilor săi de la 8 la 14.

Problema este rezolvată în două moduri. Primul dintre ei implică găsirea de termeni necunoscuți de la 8 la 14 și apoi însumarea lor secvențială. Deoarece există puțini termeni, această metodă nu este suficient de laborioasă. Cu toate acestea, se propune rezolvarea acestei probleme prin a doua metodă, care este mai universală.

Ideea este de a obține o formulă pentru suma unei progresii algebrice între termenii m și n, unde n > m sunt numere întregi. Pentru ambele cazuri, scriem două expresii pentru suma:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Deoarece n > m, este evident că suma 2 o include pe prima. Ultima concluzie înseamnă că dacă luăm diferența dintre aceste sume și îi adăugăm termenul a m (în cazul luării diferenței se scade din suma S n), atunci obținem răspunsul necesar la problemă. Avem: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Este necesar să se înlocuiască formule pentru a n și a m în această expresie. Atunci obținem: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Formula rezultată este oarecum greoaie, totuși, suma S mn depinde doar de n, m, a 1 și d. În cazul nostru, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Înlocuind aceste numere, obținem: S mn = 301.

După cum se poate observa din soluțiile de mai sus, toate problemele se bazează pe cunoașterea expresiei pentru al n-lea termen și a formulei pentru suma mulțimii primilor termeni. Înainte de a începe să rezolvați oricare dintre aceste probleme, este recomandat să citiți cu atenție condiția, să înțelegeți clar ce doriți să găsiți și abia apoi să continuați cu soluția.

Un alt sfat este să depuneți eforturi pentru simplitate, adică dacă puteți răspunde la întrebare fără a utiliza calcule matematice complexe, atunci trebuie să faceți exact asta, deoarece în acest caz probabilitatea de a greși este mai mică. De exemplu, în exemplul unei progresii aritmetice cu soluția nr. 6, se poate opri la formula S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, și despărțit sarcină comunăîn subprobleme separate (în acest caz, găsiți mai întâi termenii a n și a m).

Dacă există îndoieli cu privire la rezultatul obținut, se recomandă verificarea acestuia, așa cum s-a procedat în unele dintre exemplele date. Cum să găsești o progresie aritmetică, am aflat. Odată ce îți dai seama, nu este atât de greu.

Instruire

O progresie aritmetică este o succesiune de forma a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Pasul numărul d progresii.Evident, totalul unui n-lea termen arbitrar al aritmeticii progresii are forma: An = A1+(n-1)d. Apoi cunoașterea unuia dintre membri progresii, membru progresii si pas progresii, poate fi , adică numărul termenului de progresie. Evident, acesta va fi determinat prin formula n = (An-A1+d)/d.

Să fie cunoscut al-lea termen acum progresiiși un alt membru progresii- n-a, dar n , ca în cazul precedent, dar se știe că n și m nu se potrivesc.Pas progresii poate fi calculată prin formula: d = (An-Am)/(n-m). Atunci n = (An-Am+md)/d.

Dacă suma mai multor elemente ale unei aritmetici progresii, precum și primul și ultimul său , atunci se poate determina și numărul acestor elemente.Suma aritmeticii progresii va fi egal cu: S = ((A1+An)/2)n. Atunci n = 2S/(A1+An) sunt chdenov progresii. Folosind faptul că An = A1+(n-1)d, această formulă poate fi rescrisă ca: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Din aceasta se poate exprima n prin rezolvare ecuație pătratică.

O secvență aritmetică este un astfel de set ordonat de numere, fiecare membru al căruia, cu excepția primului, diferă de cel precedent cu aceeași cantitate. Acest constant se numește diferența progresiei sau pasul acesteia și poate fi calculată din membrii cunoscuți ai progresiei aritmetice.

Instruire

Dacă din condițiile problemei sunt cunoscute valorile primului și celui de-al doilea sau a oricărei alte perechi de termeni învecinați, pentru a calcula diferența (d), pur și simplu scădeți termenul anterior din termenul următor. Valoarea rezultată poate fi fie pozitivă, fie negativă - depinde dacă progresia este în creștere. LA forma generala scrieți soluția pentru o pereche arbitrară (aᵢ și aᵢ₊₁) de membri vecini ai progresiei astfel: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Pentru o pereche de membri ai unei astfel de progresii, dintre care unul este primul (a₁), iar celălalt este oricare altul ales arbitrar, se poate face și o formulă pentru găsirea diferenței (d). Cu toate acestea, în acest caz, numărul de serie (i) al unui membru arbitrar ales al secvenței trebuie să fie cunoscut. Pentru a calcula diferența, adăugați ambele numere și împărțiți rezultatul la numărul ordinal al unui termen arbitrar redus cu unu. În general, scrieți această formulă după cum urmează: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Dacă, pe lângă un membru arbitrar al progresiei aritmetice cu numărul ordinal i, se cunoaște un alt membru cu numărul ordinal u, modificați în mod corespunzător formula din pasul anterior. În acest caz, diferența (d) a progresiei va fi suma acestor doi termeni împărțită la diferența lor numere de serie: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Formula de calcul a diferenței (d) devine ceva mai complicată dacă, în condițiile problemei, se dă valoarea primului său membru (a₁) și suma (Sᵢ) unui număr dat (i) al primilor membri. succesiune aritmetică. Pentru a obține valoarea dorită, împărțiți suma la numărul de termeni care o compun, scădeți valoarea primului număr din succesiune și dublați rezultatul. Împărțiți valoarea rezultată la numărul de termeni care au alcătuit suma redusă cu unu. În general, notați formula de calcul a discriminantului după cum urmează: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).