Násobenie obyčajné zlomky

Zvážte príklad.

Nech je na tanieri $\frac(1)(3)$ časť jablka. Musíme nájsť jeho časť $\frac(1)(2)$. Požadovaná časť je výsledkom vynásobenia zlomkov $\frac(1)(3)$ a $\frac(1)(2)$. Výsledkom vynásobenia dvoch spoločných zlomkov je spoločný zlomok.

Násobenie dvoch bežných zlomkov

Pravidlo na násobenie obyčajných zlomkov:

Výsledkom vynásobenia zlomku zlomkom je zlomok, ktorého čitateľ je sa rovná produktučitateľov vynásobených zlomkov a menovateľ sa rovná súčinu menovateľov:

Príklad 1

Vynásobte obyčajné zlomky $\frac(3)(7)$ a $\frac(5)(11)$.

Riešenie.

Využime pravidlo násobenia obyčajných zlomkov:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

odpoveď:$\frac(15)(77)$

Ak sa v dôsledku násobenia zlomkov získa zrušiteľný alebo nesprávny zlomok, potom je potrebné ho zjednodušiť.

Príklad 2

Vynásobte zlomky $\frac(3)(8)$ a $\frac(1)(9)$.

Riešenie.

Na násobenie obyčajných zlomkov používame pravidlo:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

Výsledkom je, že sme dostali redukovateľný zlomok (na základe delenia 3 $. Vydelíme čitateľa a menovateľa zlomku 3 $, dostaneme:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Krátke riešenie:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

odpoveď:$\frac(1)(24).$

Pri násobení zlomkov môžete zmenšiť čitateľov a menovateľov, aby ste našli ich súčin. V tomto prípade sa čitateľ a menovateľ zlomku rozloží na hlavné faktory, po ktorom sa redukujú opakované faktory a nájde sa výsledok.

Príklad 3

Vypočítajte súčin zlomkov $\frac(6)(75)$ a $\frac(15)(24)$.

Riešenie.

Na násobenie obyčajných zlomkov použijeme vzorec:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Je zrejmé, že čitateľ a menovateľ obsahujú čísla, ktoré možno v pároch zmenšiť o čísla $2$, $3$ a $5$. Rozložíme čitateľa a menovateľa na jednoduché faktory a urobíme redukciu:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

odpoveď:$\frac(1)(20).$

Pri násobení zlomkov môžete použiť vysídľovací zákon:

Násobenie zlomku prirodzeným číslom

Pravidlo na násobenie obyčajného zlomku číslom prirodzené číslo:

Výsledkom vynásobenia zlomku prirodzeným číslom je zlomok, v ktorom sa čitateľ rovná súčinu čitateľa vynásobeného zlomku prirodzeným číslom a menovateľ sa rovná menovateľovi vynásobeného zlomku:

kde $\frac(a)(b)$ je bežný zlomok, $n$ je prirodzené číslo.

Príklad 4

Vynásobte zlomok $\frac(3)(17)$ hodnotou $4$.

Riešenie.

Využime pravidlo násobenia obyčajného zlomku prirodzeným číslom:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

odpoveď:$\frac(12)(17).$

Nezabudnite skontrolovať výsledok násobenia z hľadiska kontrahovateľnosti zlomku alebo nie správny zlomok.

Príklad 5

Vynásobte zlomok $\frac(7)(15)$ hodnotou $3$.

Riešenie.

Použime vzorec na násobenie zlomku prirodzeným číslom:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

Kritériom delenia číslom $3$) možno určiť, že výsledný zlomok možno zmenšiť:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

Výsledkom je nesprávny zlomok. Zoberme si celú časť:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Krátke riešenie:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

Zlomky bolo možné zmenšiť aj nahradením čísel v čitateli a menovateli ich rozšíreniami na prvočísla. V tomto prípade môže byť riešenie napísané takto:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

odpoveď:$1\frac(2)(5).$

Pri násobení zlomku prirodzeným číslom môžete použiť komutatívny zákon:

Delenie obyčajných zlomkov

Operácia delenia je inverzná k násobeniu a jej výsledkom je zlomok, ktorým musíte vynásobiť známy zlomok, aby ste dostali slávne dielo dva zlomky.

Delenie dvoch bežných zlomkov

Pravidlo delenia obyčajných zlomkov: Je zrejmé, že čitateľ a menovateľ výsledného zlomku možno rozložiť na jednoduché faktory a znížiť:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

V dôsledku toho sme dostali nesprávny zlomok, z ktorého vyberieme celú časť:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

odpoveď:$1\frac(5)(9).$

V priebehu priemernej a stredná školaŽiaci si prešli témou „Zlomky“. Tento pojem je však oveľa širší, ako sa uvádza v procese učenia. Dnes sa s pojmom zlomok stretávame pomerne často a nie každý vie vypočítať akýkoľvek výraz, napríklad násobenie zlomkov.

čo je zlomok?

Historicky sa stalo, že sa kvôli potrebe merania objavili zlomkové čísla. Ako ukazuje prax, často existujú príklady na určenie dĺžky segmentu, objemu obdĺžnikového obdĺžnika.

Spočiatku sú študenti oboznámení s takým konceptom ako podiel. Napríklad, ak rozdelíte melón na 8 častí, potom každá dostane jednu osminu melónu. Táto jedna časť z ôsmich sa nazýva podiel.

Podiel rovný ½ akejkoľvek hodnoty sa nazýva polovica; ⅓ - tretina; ¼ - štvrtina. Záznamy ako 5/8, 4/5, 2/4 sa nazývajú bežné zlomky. Obyčajný zlomok sa delí na čitateľa a menovateľa. Medzi nimi je zlomková čiara alebo zlomková čiara. Čiastočnú čiaru možno nakresliť ako vodorovnú alebo šikmú čiaru. IN tento prípad znamená deliaci znak.

Menovateľ predstavuje, na koľko rovnakých podielov je rozdelená hodnota, objekt; a čitateľ je počet rovnakých podielov. Čitateľ sa píše nad zlomkovú čiaru, menovateľ pod ňu.

Najvhodnejšie je zobraziť obyčajné zlomky na súradnicový lúč. Ak je jeden segment rozdelený na 4 rovnaké časti, označte každú akciu latinské písmeno, potom ako výsledok môžete získať vynikajúce vizuálny materiál. Takže bod A ukazuje podiel rovný 1/4 celého segmentu jednotky a bod B označuje 2/8 tohto segmentu.

Odrody zlomkov

Zlomky sú bežné, desatinné a zmiešané čísla. Okrem toho možno zlomky rozdeliť na správne a nesprávne. Táto klasifikácia je vhodnejšia pre obyčajné zlomky.

Vlastný zlomok je číslo, ktorého čitateľ menej ako menovateľ. Nevlastný zlomok je teda číslo, ktorého čitateľ je väčší ako menovateľ. Druhý druh sa zvyčajne zapisuje ako zmiešané číslo. Takýto výraz pozostáva z celočíselnej časti a zlomkovej časti. Napríklad 1½. 1 - celú časť, ½ - zlomkové. Ak však potrebujete vykonať nejaké manipulácie s výrazom (delenie alebo násobenie zlomkov, ich zmenšenie alebo prevod), zmiešané číslo sa prevedie na nesprávny zlomok.

Správny zlomkový výraz je vždy menej ako jeden a nesprávne - väčšie alebo rovné 1.

Týmto výrazom rozumejú záznam, v ktorom je zastúpené ľubovoľné číslo, ktorého menovateľ zlomkového vyjadrenia možno vyjadriť cez jednotku s niekoľkými nulami. Ak je zlomok správny, potom celá časť v desiatkový zápis sa bude rovnať nule.

Ak chcete napísať desatinné číslo, musíte najprv napísať celú časť, oddeliť ju od zlomku čiarkou a potom napísať zlomkový výraz. Treba mať na pamäti, že za čiarkou musí čitateľ obsahovať toľko číselných znakov, koľko núl je v menovateli.

Príklad. Predstavte zlomok 7 21 / 1000 v desiatkovom zápise.

Algoritmus na prevod nevlastného zlomku na zmiešané číslo a naopak

V odpovedi na úlohu je nesprávne zapísať nesprávny zlomok, preto ho treba previesť na zmiešané číslo:

• vydeľte čitateľa existujúcim menovateľom;
• V konkrétny príklad neúplný kvocient - celý;
• a zvyšok je čitateľ zlomkovej časti, pričom menovateľ zostáva nezmenený.

Príklad. Prevod nesprávneho zlomku na zmiešané číslo: 47/5 .

Riešenie. 47: 5. Neúplný kvocient je 9, zvyšok = 2. Preto 47 / 5 = 9 2 / 5.

Niekedy je potrebné reprezentovať zmiešané číslo ako nesprávny zlomok. Potom musíte použiť nasledujúci algoritmus:

• celočíselná časť sa vynásobí menovateľom zlomkového výrazu;
• výsledný produkt sa pridá do čitateľa;
• výsledok sa zapíše do čitateľa, menovateľ zostáva nezmenený.

Príklad. Predstavte číslo v zmiešaná forma ako nesprávny zlomok: 9 8/10 .

Riešenie. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 je čitateľ.

Odpoveď: 98 / 10.

Násobenie obyčajných zlomkov

S obyčajnými zlomkami môžete vykonávať rôzne algebraické operácie. Ak chcete vynásobiť dve čísla, musíte vynásobiť čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom. Navyše násobenie zlomkov s rôznych menovateľov sa nelíši od súčinu zlomkových čísel s rovnakých menovateľov.

Stáva sa, že po zistení výsledku musíte zlomok znížiť. IN celkom určite výsledný výraz by mal byť čo najviac zjednodušený. Samozrejme, nemožno povedať, že nesprávny zlomok v odpovedi je chyba, ale je tiež ťažké ho nazvať správnou odpoveďou.

Príklad. Nájdite súčin dvoch obyčajných zlomkov: ½ a 20/18.

Ako je zrejmé z príkladu, po nájdení produktu sa získa redukovateľný zlomkový zápis. Čitateľ aj menovateľ sú v tomto prípade deliteľné 4 a výsledkom je odpoveď 5/9.

Násobenie desatinných zlomkov

Súčin desatinných zlomkov je vo svojom princípe celkom odlišný od súčinu obyčajných zlomkov. Takže násobenie zlomkov je nasledovné:

• dva desatinné zlomky musia byť napísané pod sebou tak, aby boli číslice úplne vpravo jedna pod druhou;
• musíte vynásobiť zapísané čísla napriek čiarkam, teda ako prirodzené čísla;
• spočítajte počet číslic za čiarkou v každom z čísel;
• vo výsledku získanom po vynásobení musíte spočítať toľko číslicových znakov napravo, koľko je obsiahnutých v súčte oboch faktorov za desatinnou čiarkou, a dať oddeľovacie znamienko;
• ak je v súčine menej číslic, tak treba pred ne napísať toľko núl, aby toto číslo pokryli, dať čiarku a priradiť celú časť rovnajúcu sa nule.

Príklad. Vypočítajte súčin dvoch desatinných miest: 2,25 a 3,6.

Riešenie.

Násobenie zmiešaných frakcií

Na výpočet súčinu dvoch zmiešané frakcie, musíte použiť pravidlo na násobenie zlomkov:

• previesť zmiešané čísla na nesprávne zlomky;
• nájsť súčin čitateľov;
• nájsť súčin menovateľov;
• zapíšte výsledok;
• čo najviac zjednodušiť výraz.

Príklad. Nájdite súčin 4½ a 6 2/5.

Násobenie čísla zlomkom (zlomky číslom)

Okrem hľadania súčinu dvoch zlomkov, zmiešaných čísel, existujú úlohy, pri ktorých je potrebné násobiť zlomkom.

Takže nájsť prácu desatinný zlomok a prirodzené číslo, potrebujete:

• napíš číslo pod zlomok tak, aby číslice úplne vpravo boli nad sebou;
• nájsť prácu, napriek čiarke;
• v získanom výsledku oddeľte časť celého čísla od zlomkovej časti pomocou čiarky, pričom počítajte vpravo počet znakov, ktoré sú za desatinnou čiarkou v zlomku.

Ak chcete vynásobiť obyčajný zlomok číslom, mali by ste nájsť súčin čitateľa a prirodzeného faktora. Ak je odpoveďou redukovateľný zlomok, mal by sa previesť.

Príklad. Vypočítajte súčin 5/8 a 12.

Riešenie. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Odpoveď: 7 1 / 2.

Ako môžete vidieť z predchádzajúceho príkladu, bolo potrebné výsledný výsledok zmenšiť a previesť nesprávny zlomkový výraz na zmiešané číslo.

Násobenie zlomkov sa vzťahuje aj na hľadanie súčinu čísla v zmiešanej forme a prírodného faktora. Ak chcete vynásobiť tieto dve čísla, mali by ste vynásobiť celú časť zmiešaného faktora číslom, vynásobiť čitateľa rovnakou hodnotou a ponechať menovateľa nezmenený. Ak je to potrebné, musíte výsledok čo najviac zjednodušiť.

Príklad. Nájdite súčin 9 5 / 6 a 9.

Riešenie. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.

Odpoveď: 88 1 / 2.

Násobenie faktormi 10, 100, 1000 alebo 0,1; 0,01; 0,001

Vyplýva to z predchádzajúceho odseku ďalšie pravidlo. Ak chcete vynásobiť desatinný zlomok 10, 100, 1 000, 10 000 atď., musíte posunúť čiarku doprava o toľko číslic, koľko je núl v násobiteľi za jednotkou.

Príklad 1. Nájdite súčin 0,065 a 1000.

Riešenie. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Odpoveď: 65.

Príklad 2. Nájdite súčin 3,9 a 1000.

Riešenie. 3,9 x 1 000 = 3 900 x 1 000 = 3 900.

Odpoveď: 3900.

Ak potrebujete vynásobiť prirodzené číslo a 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 atď., mali by ste vo výslednom produkte posunúť čiarku doľava o toľko číslic, koľko je nuly pred jednotkou. V prípade potreby sa pred prirodzené číslo napíše dostatočný počet núl.

Príklad 1. Nájdite súčin 56 a 0,01.

Riešenie. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Odpoveď: 0,56.

Príklad 2. Nájdite súčin 4 a 0,001.

Riešenie. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Odpoveď: 0,004.

Takže nájsť produkt rôzne zlomky by nemali spôsobovať ťažkosti, s výnimkou výpočtu výsledku; V tomto prípade sa bez kalkulačky jednoducho nezaobídete.

§ 87. Sčítanie zlomkov.

Sčítanie zlomkov má veľa podobností so sčítaním celých čísel. Sčítanie zlomkov je akcia spočívajúca v tom, že niekoľko daných čísel (členov) sa spojí do jedného čísla (súčtu), ktoré obsahuje všetky jednotky a zlomky jednotiek členov.

Postupne zvážime tri prípady:

1. Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
2. Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
3. Sčítanie zmiešaných čísel.

1. Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.

Zvážte príklad: 1/5 + 2/5 .

Vezmite segment AB (obr. 17), vezmite ho ako jednotku a vydeľte 5 rovnakými dielmi, potom sa časť AC tohto segmentu bude rovnať 1/5 segmentu AB a časť toho istého segmentu CD sa bude rovnať 2/5 AB.

Z nákresu je zrejmé, že ak vezmeme segment AD, bude sa rovnať 3/5 AB; ale segment AD je presne súčtom segmentov AC a CD. Môžeme teda napísať:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Vzhľadom na tieto pojmy a výslednú sumu vidíme, že čitateľ súčtu bol získaný sčítaním čitateľov členov a menovateľ zostal nezmenený.

Z toho dostaneme nasledujúce pravidlo: Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a ponechať rovnaký menovateľ.

Zvážte príklad:

2. Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.

Pridajme zlomky: 3/4 + 3/8 Najprv ich treba zredukovať na najnižšieho spoločného menovateľa:

Stredne pokročilý 6 / 8 + 3 / 8 nebolo možné napísať; pre väčšiu prehľadnosť sme to napísali sem.

Ak teda chcete pridať zlomky s rôznymi menovateľmi, musíte ich najprv uviesť do najnižšieho spoločného menovateľa, pridať ich čitateľov a podpísať spoločný menovateľ.

Zvážte príklad ( dodatočné multiplikátory budeme písať cez zodpovedajúce zlomky):

3. Sčítanie zmiešaných čísel.

Sčítajme čísla: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

Najprv privedieme zlomkové časti našich čísel k spoločnému menovateľovi a znova ich prepíšeme:

Teraz postupne pridajte celé číslo a zlomkové časti:

§ 88. Odčítanie zlomkov.

Odčítanie zlomkov je definované rovnakým spôsobom ako odčítanie celých čísel. Ide o akciu, pri ktorej sa na základe súčtu dvoch výrazov a jedného z nich nájde ďalší výraz. Pozrime sa postupne na tri prípady:

1. Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
2. Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
3. Odčítanie zmiešaných čísel.

1. Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.

Zvážte príklad:

13 / 15 - 4 / 15

Zoberme si segment AB (obr. 18), vezmime ho ako jednotku a rozdeľme ho na 15 rovnakých častí; potom časť AC tohto segmentu bude 1/15 AB a časť AD toho istého segmentu bude zodpovedať 13/15 AB. Odložme ďalší segment ED, rovný 4/15 AB.

Musíme odpočítať 4/15 od 13/15. Na výkrese to znamená, že segment ED sa musí odpočítať od segmentu AD. V dôsledku toho zostane segment AE, čo je 9/15 segmentu AB. Môžeme teda napísať:

Príklad, ktorý sme urobili, ukazuje, že čitateľ rozdielu bol získaný odčítaním čitateľov a menovateľ zostal rovnaký.

Preto, aby ste odčítali zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte odčítať čitateľa podhodnoty od čitateľa menovateľa a ponechať rovnaký menovateľ.

2. Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.

Príklad. 3/4 - 5/8

Najprv zredukujme tieto zlomky na najmenšieho spoločného menovateľa:

Pre prehľadnosť je tu napísaný medzičlánok 6 / 8 - 5 / 8, ale v budúcnosti sa dá preskočiť.

Ak teda chcete odčítať zlomok od zlomku, musíte ich najprv priviesť k najmenšiemu spoločnému menovateľovi, potom odčítať čitateľa podradníka od čitateľa mínusu a podpísať spoločný menovateľ pod ich rozdiel.

Zvážte príklad:

3. Odčítanie zmiešaných čísel.

Príklad. 10 3/4 - 7 2/3.

Prinesme zlomkové časti minuendu a subtrahendu k najnižšiemu spoločnému menovateľovi:

Odčítali sme celok od celku a zlomok od zlomku. Existujú však prípady, keď je zlomková časť subtrahendu väčšia ako zlomková časť minuendu. V takýchto prípadoch musíte zobrať jednu jednotku z celočíselnej časti redukovaného, ​​rozdeliť ju na tie časti, v ktorých je vyjadrená zlomková časť, a pridať k zlomkovej časti redukovaného. A potom sa odčítanie vykoná rovnakým spôsobom ako v predchádzajúcom príklade:

§ 89. Násobenie zlomkov.

Pri štúdiu násobenia zlomkov zvážime ďalšie otázky:

1. Násobenie zlomku celým číslom.
2. Nájdenie zlomku daného čísla.
3. Násobenie celého čísla zlomkom.
4. Násobenie zlomku zlomkom.
5. Násobenie zmiešaných čísel.
6. Pojem úroku.
7. Nájdenie percent daného čísla. Uvažujme ich postupne.

1. Násobenie zlomku celým číslom.

Násobenie zlomku celým číslom má rovnaký význam ako násobenie celého čísla celým číslom. Násobenie zlomku (násobiteľa) celým číslom (násobiteľom) znamená zostavenie súčtu identických členov, pričom každý člen sa rovná násobiteľu a počet členov sa rovná násobiteľu.

Ak teda potrebujete vynásobiť 1/9 číslom 7, môžete to urobiť takto:

Výsledok sme získali ľahko, pretože akcia bola zredukovaná na sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi. teda

Zváženie tejto akcie ukazuje, že vynásobenie zlomku celým číslom sa rovná zvýšeniu tohto zlomku toľkokrát, koľko jednotiek obsahuje celé číslo. A keďže zvýšenie zlomku sa dosiahne buď zvýšením jeho čitateľa

alebo znížením jeho menovateľa , potom môžeme čitateľa buď vynásobiť celým číslom, alebo ním vydeliť menovateľa, ak je takéto delenie možné.

Odtiaľ dostaneme pravidlo:

Ak chcete vynásobiť zlomok celým číslom, musíte vynásobiť čitateľa týmto celým číslom a ponechať menovateľa rovnakého, alebo ak je to možné, vydeliť menovateľa týmto číslom, pričom čitateľ zostane nezmenený.

Pri násobení sú možné skratky, napríklad:

2. Nájdenie zlomku daného čísla. Existuje veľa úloh, v ktorých musíte nájsť alebo vypočítať časť daného čísla. Rozdiel medzi týmito úlohami a ostatnými je v tom, že udávajú počet niektorých predmetov alebo jednotiek merania a musíte nájsť časť tohto čísla, ktorá je tu tiež označená určitým zlomkom. Na uľahčenie pochopenia uvedieme najprv príklady takýchto problémov a potom predstavíme spôsob ich riešenia.

Úloha 1. Mal som 60 rubľov; 1/3 z týchto peňazí som minul na nákup kníh. Koľko stáli knihy?

Úloha 2. Vlak musí prekonať vzdialenosť medzi mestami A a B, ktorá sa rovná 300 km. Už prekonal 2/3 tejto vzdialenosti. Koľko je toto kilometrov?

Úloha 3. V obci je 400 domov, z toho 3/4 sú murované, ostatné sú drevené. Koľko je tam tehlových domov?

Tu sú niektoré z mnohých problémov, s ktorými sa musíme vysporiadať, aby sme našli zlomok daného čísla. Zvyčajne sa nazývajú problémy na nájdenie zlomku daného čísla.

Riešenie problému 1. Od 60 rubľov. 1/3 som minul na knihy; Ak chcete zistiť cenu kníh, musíte vydeliť číslo 60 tromi:

Riešenie problému 2. Význam problému je, že potrebujete nájsť 2/3 z 300 km. Vypočítajte prvú 1/3 z 300; to sa dosiahne vydelením 300 km tromi:

300: 3 = 100 (to je 1/3 z 300).

Ak chcete nájsť dve tretiny z 300, musíte zdvojnásobiť výsledný kvocient, to znamená vynásobiť 2:

100 x 2 = 200 (to sú 2/3 z 300).

Riešenie problému 3. Tu je potrebné určiť počet murovaných domov, ktorých sú 3/4 zo 400. Najprv nájdime 1/4 zo 400,

400 : 4 = 100 (to je 1/4 zo 400).

Pre výpočet trochštvrťroky od 400, výsledný kvocient sa musí strojnásobiť, to znamená vynásobiť 3:

100 x 3 = 300 (to sú 3/4 zo 400).

Na základe riešenia týchto problémov môžeme odvodiť nasledujúce pravidlo:

Ak chcete zistiť hodnotu zlomku daného čísla, musíte toto číslo vydeliť menovateľom zlomku a výsledný podiel vynásobiť jeho čitateľom.

3. Násobenie celého čísla zlomkom.

Skôr (§ 26) sa stanovilo, že násobenie celých čísel by sa malo chápať ako sčítanie rovnakých výrazov (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). V tomto odseku (odsek 1) bolo stanovené, že vynásobenie zlomku celým číslom znamená nájsť súčet identických členov rovný tomuto zlomku.

V oboch prípadoch násobenie spočívalo v nájdení súčtu identických členov.

Teraz prejdeme k vynásobeniu celého čísla zlomkom. Tu sa stretneme napríklad s násobením: 9 2 / 3. Je celkom zrejmé, že predchádzajúca definícia násobenia v tomto prípade neplatí. Je to zrejmé z toho, že takéto násobenie nemôžeme nahradiť sčítaním rovnakých čísel.

Kvôli tomu budeme musieť dať novú definíciu násobenia, t.j. inými slovami, odpovedať na otázku, čo treba rozumieť pod násobením zlomkom, ako treba chápať tento úkon.

Význam násobenia celého čísla zlomkom je jasný z nasledujúcej definície: vynásobiť celé číslo (násobiteľ) zlomkom (násobiteľom) znamená nájsť tento zlomok násobiteľa.

Totiž vynásobenie 9 2/3 znamená nájdenie 2/3 z deviatich jednotiek. V predchádzajúcom odseku boli takéto problémy vyriešené; takže je ľahké zistiť, že skončíme so 6.

Teraz je tu však zaujímavý a dôležitá otázka: prečo taký na prvý pohľad rôzne aktivity ako zistiť sumu rovnaké čísla a nájdenie zlomku čísla sa v aritmetike nazývajú rovnakým slovom "násobenie"?

Stáva sa to preto, lebo predchádzajúca akcia (niekoľkokrát zopakovanie čísla s výrazmi) a nová akcia (nájdenie zlomku čísla) dávajú odpoveď na homogénne otázky. To znamená, že tu vychádzame z úvah, že homogénne otázky alebo úlohy sa riešia jednou a tou istou akciou.

Aby ste to pochopili, zvážte nasledujúci problém: „1 m látky stojí 50 rubľov. Koľko budú stáť 4 m takejto látky?

Tento problém sa rieši vynásobením počtu rubľov (50) počtom metrov (4), t.j. 50 x 4 = 200 (rubľov).

Zoberme si rovnaký problém, ale v ňom bude množstvo látky vyjadrené ako zlomkové číslo: „1 m látky stojí 50 rubľov. Koľko bude stáť 3/4 m takejto látky?

Tento problém je tiež potrebné vyriešiť vynásobením počtu rubľov (50) počtom metrov (3/4).

Čísla v ňom môžete zmeniť aj niekoľkokrát bez toho, aby ste zmenili význam problému, napríklad zoberte 9/10 m alebo 2 3/10 m atď.

Keďže tieto úlohy majú rovnaký obsah a líšia sa len číslami, akcie použité pri ich riešení nazývame rovnakým slovom – násobenie.

Ako sa celé číslo vynásobí zlomkom?

Zoberme si čísla, s ktorými sme sa stretli v poslednom probléme:

Podľa definície musíme nájsť 3/4 z 50. Najprv nájdeme 1/4 z 50 a potom 3/4.

1/4 z 50 je 50/4;

3/4 z 50 je .

Preto.

Zvážte ďalší príklad: 12 5 / 8 = ?

1/8 z 12 je 12/8,

5/8 z čísla 12 je .

teda

Odtiaľ dostaneme pravidlo:

Ak chcete vynásobiť celé číslo zlomkom, musíte celé číslo vynásobiť čitateľom zlomku a urobiť z tohto súčinu čitateľa a menovateľa daného zlomku podpísať ako menovateľa.

Toto pravidlo napíšeme pomocou písmen:

Aby bolo toto pravidlo úplne jasné, treba pripomenúť, že zlomok možno považovať za podiel. Preto je užitočné zistené pravidlo porovnať s pravidlom pre násobenie čísla podielom, ktoré bolo ustanovené v § 38

Je potrebné mať na pamäti, že pred vykonaním násobenia by ste mali urobiť (ak je to možné) škrty, Napríklad:

4. Násobenie zlomku zlomkom. Násobenie zlomku zlomkom má rovnaký význam ako násobenie celého čísla zlomkom, to znamená, že pri násobení zlomku zlomkom je potrebné nájsť zlomok v násobilke z prvého zlomku (násobiteľa).

Totiž vynásobenie 3/4 1/2 (polovica) znamená nájdenie polovice 3/4.

Ako vynásobíte zlomok zlomkom?

Vezmime si príklad: 3/4 krát 5/7. To znamená, že musíte nájsť 5/7 z 3/4. Nájdite najprv 1/7 z 3/4 a potom 5/7

1/7 z 3/4 by bola vyjadrená takto:

5/7 číslic 3/4 budú vyjadrené takto:

teda

Ďalší príklad: 5/8 krát 4/9.

1/9 z 5/8 je ,

4/9 čísla 5/8 sú .

teda

Z týchto príkladov možno odvodiť nasledujúce pravidlo:

Ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom a urobiť prvý súčin čitateľom a druhý súčin menovateľom súčinu.

Toto je pravidlo v všeobecný pohľad dá sa napísať takto:

Pri násobení je potrebné robiť (ak je to možné) redukcie. Zvážte príklady:

5. Násobenie zmiešaných čísel. Keďže zmiešané čísla možno ľahko nahradiť nesprávnymi zlomkami, táto okolnosť sa zvyčajne používa pri násobení zmiešaných čísel. To znamená, že v tých prípadoch, kde je vyjadrený multiplikátor, alebo faktor, alebo oba faktory zmiešané čísla, potom sú nahradené nesprávnymi zlomkami. Vynásobte napríklad zmiešané čísla: 2 1/2 a 3 1/5. Každý z nich premeníme na nesprávny zlomok a výsledné zlomky potom vynásobíme podľa pravidla násobenia zlomku zlomkom:

Pravidlo. Ak chcete vynásobiť zmiešané čísla, musíte ich najskôr previesť na nesprávne zlomky a potom vynásobiť podľa pravidla násobenia zlomku zlomkom.

Poznámka. Ak je jedným z faktorov celé číslo, potom sa násobenie môže vykonať na základe distribučného zákona takto:

6. Pojem úroku. Pri riešení úloh a pri vykonávaní rôznych praktických výpočtov používame všetky druhy zlomkov. Treba však mať na pamäti, že mnohé veličiny nepripúšťajú žiadne, ale prirodzené členenia. Môžete si napríklad vziať jednu stotinu (1/100) rubľa, bude to cent, dve stotiny sú 2 kopejky, tri stotiny sú 3 kopejky. Môžete si vziať 1/10 rubľa, bude to "10 kopejok alebo desetník. Môžete si vziať štvrtinu rubľa, t. j. 25 kopejok, pol rubľa, t. j. 50 kopejok (päťdesiat kopejok). Neberte si napríklad 2/7 rubľov, pretože rubeľ nie je rozdelený na sedminy.

Jednotka merania hmotnosti, t.j. kilogram, umožňuje v prvom rade desatinné delenie, napríklad 1/10 kg alebo 100 g. A také zlomky kilogramu ako 1/6, 1/11, 1/ 13 sú zriedkavé.

Vo všeobecnosti sú naše (metrické) miery desatinné a umožňujú desiatkové delenie.

Treba však poznamenať, že je mimoriadne užitočné a vhodné v širokej škále prípadov použiť rovnakú (jednotnú) metódu delenia veličín. Dlhoročné skúsenosti ukázali, že takýmto opodstatneným delením je delenie na „stovky“. Uvažujme o niekoľkých príkladoch týkajúcich sa najrozmanitejších oblastí ľudskej praxe.

1. Cena kníh sa znížila o 12/100 z predchádzajúcej ceny.

Príklad. Predchádzajúca cena knihy je 10 rubľov. Klesla o 1 rubeľ. 20 kop.

2. Sporiteľne vyplácajú v priebehu roka vkladateľom 2/100 sumy, ktorá sa vloží do sporenia.

Príklad. Do pokladne sa vloží 500 rubľov, príjem z tejto sumy za rok je 10 rubľov.

3. Počet absolventov jednej školy bol 5/100 z celkového počtu žiakov.

PRÍKLAD Na škole študovalo len 1200 žiakov, z nich 60 školu ukončilo.

Stotina čísla sa nazýva percento..

Slovo „percento“ je prevzaté z latinčina a jeho koreň "cent" znamená sto. Spolu s predložkou (pro centum) toto slovo znamená „za sto“. Význam tohto výrazu vyplýva zo skutočnosti, že spočiatku v staroveký Rímúroky boli peniaze, ktoré dlžník zaplatil veriteľovi „za každú stovku“. Slovo "cent" je počuť v takých známych slovách: centner (sto kilogramov), centimeter (hovoria centimeter).

Napríklad, namiesto toho, aby sme povedali, že závod vyrobil 1/100 všetkých produktov, ktoré vyrobil za posledný mesiac, povieme toto: závod vyrobil za posledný mesiac jedno percento nepodarkov. Namiesto toho, aby sme povedali: závod vyrobil o 4/100 produktov viac ako bol stanovený plán, povieme: závod prekročil plán o 4 percentá.

Vyššie uvedené príklady môžu byť vyjadrené rôzne:

1. Cena kníh klesla o 12 percent z predchádzajúcej ceny.

2. Záložne vyplácajú vkladateľom 2 percentá ročne zo sumy vloženej do sporenia.

3. Počet absolventov jednej školy bol 5 percent z počtu všetkých žiakov školy.

Na skrátenie písmena je zvykom písať znak % namiesto slova „percento“.

Treba však pamätať na to, že znamienko % sa zvyčajne nezapisuje do výpočtov, môže sa zapísať do výkazu problému a do konečného výsledku. Pri výpočtoch musíte namiesto celého čísla s touto ikonou napísať zlomok s menovateľom 100.

Musíte byť schopní nahradiť celé číslo zadanou ikonou zlomkom s menovateľom 100:

Naopak, musíte si zvyknúť na písanie celého čísla s naznačenou ikonou namiesto zlomku s menovateľom 100:

7. Nájdenie percent daného čísla.

Úloha 1.Škola dostala 200 metrov kubických. m palivového dreva, pričom brezové palivové drevo predstavuje 30 %. Koľko tam bolo brezového dreva?

Význam tohto problému je, že brezové palivové drevo bolo len časťou palivového dreva, ktoré bolo dodané do školy a táto časť je vyjadrená ako zlomok 30/100. Stojíme teda pred úlohou nájsť zlomok čísla. Aby sme to vyriešili, musíme vynásobiť 200 30 / 100 (úlohy na nájdenie zlomku čísla riešime vynásobením čísla zlomkom.).

Takže 30% z 200 sa rovná 60.

Zlomok 30/100, ktorý sa vyskytuje v tomto probléme, môže byť znížený o 10. Toto zníženie by bolo možné vykonať od samého začiatku; riešenie problému by sa nezmenilo.

Úloha 2. V tábore bolo 300 detí rôzneho veku. Detí vo veku 11 rokov bolo 21 %, detí vo veku 12 rokov bolo 61 % a napokon 13-ročných 18 %. Koľko detí každého veku bolo v tábore?

V tomto probléme musíte vykonať tri výpočty, to znamená postupne nájsť počet detí vo veku 11 rokov, potom vo veku 12 rokov a nakoniec vo veku 13 rokov.

Takže tu bude potrebné nájsť zlomok čísla trikrát. Poďme na to:

1) Koľko detí malo 11 rokov?

2) Koľko detí malo 12 rokov?

3) Koľko detí malo 13 rokov?

Po vyriešení úlohy je užitočné doplniť nájdené čísla; ich súčet by mal byť 300:

63 + 183 + 54 = 300

Mali by ste tiež venovať pozornosť skutočnosti, že súčet percent uvedených v podmienke problému je 100:

21% + 61% + 18% = 100%

To naznačuje celkový počet deti, ktoré boli v tábore boli brané ako 100%.

3 a da cha 3. Pracovník dostal 1 200 rubľov mesačne. Z toho 65 % minul na stravu, 6 % na byt a kúrenie, 4 % na plyn, elektrinu a rozhlas, 10 % na kultúrne potreby a 15 % ušetril. Koľko peňazí bolo vynaložených na potreby uvedené v úlohe?

Ak chcete vyriešiť tento problém, musíte 5-krát nájsť zlomok čísla 1 200. Poďme na to.

1) Koľko peňazí sa minie na jedlo? Úloha hovorí, že tento výdavok je 65 % zo všetkých zárobkov, teda 65/100 z čísla 1 200. Urobme výpočet:

2) Koľko peňazí sa zaplatilo za byt s kúrením? Argumentujúc ako predchádzajúci, dospejeme k nasledujúcemu výpočtu:

3) Koľko peňazí ste zaplatili za plyn, elektrinu a rádio?

4) Koľko peňazí sa vynakladá na kultúrne potreby?

5) Koľko peňazí pracovník ušetril?

Pre overenie je užitočné pridať čísla nájdené v týchto 5 otázkach. Suma by mala byť 1 200 rubľov. Všetky zárobky sa berú ako 100 %, čo sa dá ľahko skontrolovať sčítaním percent uvedených vo vyhlásení o probléme.

Vyriešili sme tri problémy. Napriek tomu, že tieto úlohy boli o rôznych veciach (dodávka palivového dreva pre školu, počet detí rôzneho veku, výdavky pracovníka), riešili sa rovnako. Stalo sa tak preto, že vo všetkých úlohách bolo potrebné nájsť niekoľko percent z daných čísel.

§ 90. Delenie zlomkov.

Pri štúdiu rozdelenia zlomkov zvážime nasledujúce otázky:

1. Vydeľte celé číslo celým číslom.
2. Delenie zlomku celým číslom
3. Delenie celého čísla zlomkom.
4. Delenie zlomku zlomkom.
5. Delenie zmiešaných čísel.
6. Nájdenie čísla daného zlomkom.
7. Nájdenie čísla podľa jeho percent.

Uvažujme ich postupne.

1. Vydeľte celé číslo celým číslom.

Ako už bolo naznačené v časti celé čísla, delenie je dej spočívajúci v tom, že pri súčine dvoch faktorov (dividenda) a jedného z týchto faktorov (deliteľ) sa nájde ďalší faktor.

Delenie celého čísla celým číslom sme uvažovali v oddelení celých čísel. Stretli sme sa tam s dvomi prípadmi delenia: delenie bez zvyšku, alebo „úplne“ (150: 10 = 15) a delenie so zvyškom (100: 9 = 11 a 1 vo zvyšku). Môžeme teda povedať, že v oblasti celých čísel nie je presné delenie vždy možné, pretože dividenda nie je vždy súčinom deliteľa a celého čísla. Po zavedení násobenia zlomkom môžeme považovať za možný akýkoľvek prípad delenia celých čísel (vylúčené je len delenie nulou).

Napríklad delenie 7 číslom 12 znamená nájdenie čísla, ktorého súčin krát 12 by bol 7. Toto číslo je zlomok 7/12, pretože 7/12 12 = 7. Ďalší príklad: 14: 25 = 14/25, pretože 14/25 25 = 14.

Ak teda chcete deliť celé číslo celým číslom, musíte vytvoriť zlomok, ktorého čitateľ sa rovná dividende a menovateľ je deliteľ.

2. Delenie zlomku celým číslom.

Vydeľte zlomok 6 / 7 3. Podľa vyššie uvedenej definície delenia tu máme súčin (6 / 7) a jeden z faktorov (3); treba nájsť taký druhý faktor, ktorý by vynásobením 3 dal táto práca 6/7. Je zrejmé, že by mal byť trikrát menší ako tento produkt. To znamená, že úlohou, ktorá bola pred nami, bolo znížiť zlomok 6/7 3-krát.

Už vieme, že zlomok možno zmenšiť buď zmenšením jeho čitateľa, alebo zvýšením jeho menovateľa. Preto môžete napísať:

V tomto prípade je čitateľ 6 deliteľný 3, takže čitateľ by sa mal zmenšiť 3-krát.

Zoberme si ďalší príklad: 5 / 8 delené 2. Tu čitateľ 5 nie je deliteľný 2, čo znamená, že menovateľ bude musieť byť vynásobený týmto číslom:

Na základe toho môžeme stanoviť pravidlo: Ak chcete rozdeliť zlomok celým číslom, musíte vydeliť čitateľa zlomku týmto celým číslom(Ak je to možné), ponecháme rovnakého menovateľa, alebo vynásobíme menovateľa zlomku týmto číslom, pričom zostane rovnaký čitateľ.

3. Delenie celého čísla zlomkom.

Nech je potrebné deliť 5 1/2, t.j. nájsť číslo, ktoré po vynásobení 1/2 dostane súčin 5. Toto číslo musí byť samozrejme väčšie ako 5, keďže 1/2 je vlastný zlomok, a pri vynásobení čísla správnym zlomkom musí byť súčin menší ako násobiteľ. Aby to bolo jasnejšie, napíšme naše akcie takto: 5: 1 / 2 = X , takže x 1/2 \u003d 5.

Takéto číslo musíme nájsť X , čo po vynásobení 1/2 by dalo 5. Keďže vynásobenie určitého čísla 1/2 znamená nájsť 1/2 tohto čísla, potom teda 1/2 neznáme číslo X je 5 a celé číslo X dvakrát toľko, t.j. 5 2 \u003d 10.

Takže 5: 1/2 = 5 2 = 10

Skontrolujme to:

Uvažujme ešte o jednom príklade. Nech je potrebné deliť 6 2/3. Skúsme najprv nájsť požadovaný výsledok pomocou nákresu (obr. 19).

Obr.19

Nakreslite segment AB, ktorý sa rovná 6 z niektorých jednotiek, a rozdeľte každú jednotku na 3 rovnaké časti. V každej jednotke tri tretiny (3/3) v celom segmente AB v 6 krát viac, t. napríklad 18/3. Spájame pomocou malých zátvoriek 18 získaných segmentov po 2; Bude len 9 segmentov. To znamená, že zlomok 2/3 je obsiahnutý v b jednotkách 9-krát, alebo inými slovami, zlomok 2/3 je 9-krát menší ako 6 celých jednotiek. teda

Ako získať tento výsledok bez výkresu iba pomocou výpočtov? Budeme argumentovať nasledovne: je potrebné deliť 6 2/3, t.j. je potrebné odpovedať na otázku, koľkokrát je 2/3 obsiahnutých v 6. Najprv zistime: koľkokrát je 1/3 obsiahnuté v 6? V celej jednotke - 3 tretiny a v 6 jednotkách - 6 krát viac, t.j. 18 tretín; aby sme našli toto číslo, musíme 6 vynásobiť 3. Preto 1/3 je obsiahnutá v b jednotkách 18-krát a 2/3 je obsiahnutá v b jednotkách nie 18-krát, ale polovične, t.j. 18: 2 = 9 Preto pri delení 6 2/3 sme urobili nasledovné:

Odtiaľ dostaneme pravidlo na delenie celého čísla zlomkom. Ak chcete deliť celé číslo zlomkom, musíte toto celé číslo vynásobiť menovateľom daného zlomku a urobiť z tohto súčinu čitateľa a vydeliť ho čitateľom daného zlomku.

Pravidlo napíšeme pomocou písmen:

Aby bolo toto pravidlo úplne jasné, treba pripomenúť, že zlomok možno považovať za podiel. Preto je užitočné zistené pravidlo porovnať s pravidlom delenia čísla podielom, ktoré bolo uvedené v § 38. Všimnite si, že tam bol získaný rovnaký vzorec.

Pri delení sú možné skratky, napr.

4. Delenie zlomku zlomkom.

Nech je potrebné deliť 3/4 3/8. Čo bude označovať číslo, ktoré sa získa v dôsledku delenia? Odpovie na otázku, koľkokrát je zlomok 3/8 obsiahnutý v zlomku 3/4. Aby sme pochopili túto problematiku, urobme si nákres (obr. 20).

Vezmite segment AB, vezmite ho ako celok, rozdeľte ho na 4 rovnaké časti a označte 3 takéto časti. Segment AC sa bude rovnať 3/4 segmentu AB. Rozdeľme teraz každý zo štyroch počiatočných segmentov na polovicu, potom sa segment AB rozdelí na 8 rovnakých častí a každá takáto časť sa bude rovnať 1/8 segmentu AB. Spojíme 3 takéto segmenty s oblúkmi, potom sa každý zo segmentov AD a DC bude rovnať 3/8 segmentu AB. Na výkrese je znázornené, že segment rovnajúci sa 3/8 je obsiahnutý v segmente rovnajúcemu sa 3/4 presne 2-krát; Takže výsledok delenia možno zapísať takto:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Uvažujme ešte o jednom príklade. Nech je potrebné deliť 15/16 3/32:

Môžeme uvažovať takto: musíme nájsť číslo, ktoré po vynásobení 3/32 dostane súčin rovný 15/16. Zapíšme si výpočty takto:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 neznáme číslo X make up 15/16

1/32 neznáme číslo X je ,

32/32 čísel X makeup .

teda

Ak teda chcete rozdeliť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľa prvého zlomku menovateľom druhého a vynásobiť menovateľa prvého zlomku čitateľom druhého a urobiť z prvého súčinu čitateľa a druhý menovateľ.

Napíšme pravidlo pomocou písmen:

Pri delení sú možné skratky, napr.

5. Delenie zmiešaných čísel.

Pri delení zmiešaných čísel ich treba najskôr previesť na nesprávne zlomky, výsledné zlomky potom rozdeľte podľa pravidiel na delenie zlomkových čísel. Zvážte príklad:

Previesť zmiešané čísla na nesprávne zlomky:

Teraz sa rozdeľme:

Ak teda chcete rozdeliť zmiešané čísla, musíte ich previesť na nesprávne zlomky a potom rozdeliť podľa pravidla na delenie zlomkov.

6. Nájdenie čísla podľa jeho zlomku.

Medzi rôzne úlohy na zlomkoch, niekedy sú také, v ktorých je daná hodnota nejakého zlomku neznámeho čísla a je potrebné toto číslo nájsť. Tento typ problému bude inverzný k problému nájdenia zlomku daného čísla; tam bolo dané číslo a bolo potrebné nájsť nejaký zlomok tohto čísla, tu je daný zlomok čísla a je potrebné nájsť toto číslo samo. Táto myšlienka bude ešte jasnejšia, ak sa obrátime na riešenie tohto typu problému.

Úloha 1. V prvý deň sklenári zasklili 50 okien, čo je 1/3 všetkých okien postaveného domu. Koľko okien je v tomto dome?

Riešenie. Problém hovorí, že 50 zasklených okien tvorí 1/3 všetkých okien domu, čiže celkovo je okien 3x viac, t.j.

Dom mal 150 okien.

Úloha 2. Predajňa predala 1500 kg múky, čo sú 3/8 z celkových zásob múky v predajni. Aká bola počiatočná dodávka múky v obchode?

Riešenie. Zo stavu problému je vidieť, že predaných 1500 kg múky tvorí 3/8 celkových zásob; to znamená, že 1/8 tejto zásoby bude 3-krát menej, t.j. na jej výpočet je potrebné znížiť 1500 3-krát:

1 500: 3 = 500 (to je 1/8 zásob).

Je zrejmé, že celá zásoba bude 8-krát väčšia. teda

500 8 \u003d 4 000 (kg).

Počiatočná zásoba múky v obchode bola 4000 kg.

Z uvažovania o tomto probléme možno odvodiť nasledujúce pravidlo.

Ak chcete nájsť číslo zadanou hodnotou jeho zlomku, stačí túto hodnotu vydeliť čitateľom zlomku a výsledok vynásobiť menovateľom zlomku.

Vyriešili sme dva problémy s nájdením čísla daného zlomkom. Takéto problémy, ako je obzvlášť dobre vidieť z posledného, ​​sa riešia dvoma akciami: delením (keď sa nájde jedna časť) a násobením (keď sa nájde celé číslo).

Avšak potom, čo sme študovali delenie zlomkov, vyššie uvedené problémy môžu byť vyriešené v jednej akcii, a to: delenie zlomkom.

Napríklad posledná úloha môže byť vyriešená jednou akciou takto:

V budúcnosti vyriešime problém hľadania čísla jeho zlomkom v jednej akcii – delení.

7. Nájdenie čísla podľa jeho percent.

V týchto úlohách budete musieť nájsť číslo a poznať niekoľko percent tohto čísla.

Úloha 1. Najprv aktuálny rok Zo sporiteľne som dostal 60 rubľov. príjem zo sumy, ktorú som pred rokom vložil do sporenia. Koľko peňazí som vložil do sporiteľne? (Pokladne dávajú vkladateľom 2 % z príjmu ročne.)

Zmysel problému je v tom, že určitú sumu peňazí som vložil do sporiteľne a ležal tam rok. Po roku som od nej dostal 60 rubľov. príjem, čo sú 2/100 z peňazí, ktoré som vložil. Koľko peňazí som vložil?

Preto, keď poznáme časť týchto peňazí, vyjadrenú dvoma spôsobmi (v rubľoch a zlomkoch), musíme nájsť celú, zatiaľ neznámu sumu. Toto je bežný problém nájsť číslo vzhľadom na jeho zlomok. Nasledujúce úlohy sa riešia delením:

Do sporiteľne sa teda vložilo 3 000 rubľov.

Úloha 2. Za dva týždne rybári splnili mesačný plán na 64 %, keď pripravili 512 ton rýb. Aký mali plán?

Zo stavu problému je známe, že rybári dokončili časť plánu. Táto časť sa rovná 512 tonám, čo je 64 % plánu. Koľko ton rýb treba podľa plánu vyloviť, nevieme. Riešenie problému bude spočívať v nájdení tohto čísla.

Takéto úlohy sa riešia rozdelením:

Takže podľa plánu musíte pripraviť 800 ton rýb.

Úloha 3. Vlak išiel z Rigy do Moskvy. Keď prešiel 276. kilometer, jeden z cestujúcich sa spýtal okoloidúceho sprievodcu, koľko cesty už prešli. Na to sprievodca odpovedal: „Už sme prešli 30 % celej cesty. Aká je vzdialenosť z Rigy do Moskvy?

Zo stavu problému je vidieť, že 30% cesty z Rigy do Moskvy je 276 km. Musíme nájsť celú vzdialenosť medzi týmito mestami, t. j. pre túto časť nájsť celok:

§ 91. Vzájomné čísla. Nahradenie delenia násobením.

Vezmite zlomok 2/3 a preusporiadajte čitateľa na miesto menovateľa, dostaneme 3/2. Dostali sme zlomok, recipročný tento.

Aby ste dostali zlomok prevrátený k danému, musíte na miesto menovateľa umiestniť jeho čitateľa a na miesto čitateľa menovateľa. Týmto spôsobom môžeme získať zlomok, ktorý je prevrátený k ľubovoľnému zlomku. Napríklad:

3/4, spätný chod 4/3; 5/6, spätný chod 6/5

Dva zlomky, ktoré majú vlastnosť, že čitateľ prvého je menovateľom druhého a menovateľ prvého je čitateľom druhého, sa nazývajú vzájomne inverzné.

Teraz sa zamyslime nad tým, aký zlomok bude prevrátená 1/2. Je zrejmé, že to bude 2 / 1, alebo len 2. Ak hľadáme prevrátenú hodnotu, máme celé číslo. A tento prípad nie je izolovaný; naopak, pre všetky zlomky s čitateľom 1 (jedna) budú prevrátené celé čísla, napríklad:

1/3, prevrátená 3; 1/5, obrátene 5

Keďže pri hľadaní recipročných sme sa stretli aj s celými číslami, v budúcnosti nebudeme hovoriť o recipročných, ale o recipročné.

Poďme zistiť, ako napísať prevrátenú hodnotu celého čísla. V prípade zlomkov je to vyriešené jednoducho: namiesto čitateľa musíte umiestniť menovateľa. Rovnakým spôsobom môžete získať prevrátenú hodnotu celého čísla, pretože každé celé číslo môže mať menovateľa 1. Preto bude prevrátená hodnota 7 1/7, pretože 7 \u003d 7/1; pre číslo 10 je to naopak 1/10, pretože 10 = 10/1

Túto myšlienku možno vyjadriť aj inak: prevrátenú hodnotu daného čísla získame vydelením jedna číslom dané číslo . Toto tvrdenie platí nielen pre celé čísla, ale aj pre zlomky. Skutočne, ak chcete napísať číslo, ktoré je prevrátené k 5/9, potom môžeme vziať 1 a vydeliť ho 5/9, t.j.

Teraz poukážeme na jeden nehnuteľnosť vzájomne recipročné čísla, ktoré sa nám budú hodiť: súčin vzájomne recipročných čísel sa rovná jednej. Naozaj:

Pomocou tejto vlastnosti môžeme nájsť recipročné hodnoty nasledujúcim spôsobom. Nájdite prevrátenú hodnotu 8.

Označme to písmenom X , potom 8 X = 1, teda X = 1/8. Nájdime iné číslo, prevrátené číslo 7/12, označme ho písmenom X , potom 7/12 X = 1, teda X = 1:7 / 12 alebo X = 12 / 7 .

Zaviedli sme tu pojem reciproké čísla, aby sme mierne doplnili informácie o delení zlomkov.

Keď vydelíme číslo 6 3/5, urobíme nasledovné:

zaplatiť Osobitná pozornosť k výrazu a porovnajte ho s daným: .

Ak vezmeme výraz oddelene, bez spojenia s predchádzajúcim, potom nie je možné vyriešiť otázku, odkiaľ pochádza: z delenia 6 3/5 alebo z vynásobenia 6 5/3. V oboch prípadoch je výsledok rovnaký. Takže môžeme povedať že delenie jedného čísla druhým možno nahradiť vynásobením dividendy prevrátenou hodnotou deliteľa.

Príklady, ktoré uvádzame nižšie, plne potvrdzujú tento záver.

Násobenie a delenie zlomkov.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Táto operácia je oveľa krajšia ako sčítanie-odčítanie! Pretože je to jednoduchšie. Pripomínam vám: ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľov (toto bude čitateľ výsledku) a menovateľov (toto bude menovateľ). To je:

Napríklad:

Všetko je mimoriadne jednoduché. A prosím, nehľadajte spoločného menovateľa! Netreba to tu...

Ak chcete rozdeliť zlomok zlomkom, musíte prevrátiť druhý(to je dôležité!) zlomok a vynásobte ich, t.j.:

Napríklad:

Ak sa zachytí násobenie alebo delenie celými číslami a zlomkami, je to v poriadku. Rovnako ako pri sčítaní, aj tu urobíme zlomok z celého čísla s jednotkou v menovateli – a ideme! Napríklad:

Na strednej škole sa často musíte zaoberať trojposchodovými (alebo aj štvorposchodovými!) zlomkami. Napríklad:

Ako priviesť tento zlomok do slušnej podoby? Áno, veľmi jednoduché! Použite rozdelenie podľa dvoch bodov:

Nezabudnite však na poradie rozdelenia! Na rozdiel od násobenia je to tu veľmi dôležité! Samozrejme, nebudeme si mýliť 4:2 alebo 2:4. Ale v trojposchodovom zlomku je ľahké urobiť chybu. Všimnite si napríklad:

V prvom prípade (výraz vľavo):

V druhom (výraz vpravo):

Cítiť rozdiel? 4 a 1/9!

Aké je poradie delenia? Alebo zátvorky, alebo (ako tu) dĺžka vodorovných pomlčiek. Rozvíjajte oko. A ak neexistujú žiadne zátvorky alebo pomlčky, napríklad:

potom deliť-násobiť v poradí, zľava doprava!

A veľmi jednoduché a dôležitý trik. V akciách s grády sa vám to bude hodiť! Rozdeľme jednotku ľubovoľným zlomkom, napríklad 13/15:

Strela sa obrátila! A vždy sa to stane. Pri delení 1 ľubovoľným zlomkom je výsledkom rovnaký zlomok, len prevrátený.

To sú všetky akcie so zlomkami. Vec je celkom jednoduchá, ale poskytuje viac než dosť chýb. Poznámka praktické rady a bude ich (chýb) menej!

Praktické rady:

1. Najdôležitejšia vec pri práci so zlomkovými výrazmi je presnosť a pozornosť! Nie je bežné slová, nie dobré priania! Toto je vážna potreba! Všetky výpočty na skúške robte ako plnohodnotnú úlohu, sústredene a prehľadne. Je lepšie napísať dva riadky navyše do konceptu, ako sa pokaziť pri počítaní v hlave.

2. V príkladoch s odlišné typy zlomky - prejdite na obyčajné zlomky.

3. Všetky frakcie zredukujeme až na doraz.

4. Viacpodlažný zlomkové výrazy redukujeme na obyčajné pomocou delenia cez dva body (dodržiavame poradie delenia!).

5. Jednotku v mysli rozdelíme na zlomok, a to jednoduchým otočením zlomku.

Tu sú úlohy, ktoré musíte splniť. Odpovede sú uvedené po všetkých úlohách. Použite materiály tejto témy a praktické rady. Odhadnite, koľko príkladov by ste dokázali správne vyriešiť. Prvý krát! Bez kalkulačky! A vyvodiť správne závery...

Zapamätajte si správnu odpoveď získané z druhého (najmä tretieho) času - sa nepočíta! Taký je krutý život.

takže, riešiť v skúšobnom režime ! Mimochodom, toto je príprava na skúšku. Riešime príklad, kontrolujeme, riešime nasledovné. O všetkom sme rozhodli - znova sme kontrolovali od prvého do posledného. Ale len Potom pozri si odpovede.

Vypočítať:

Rozhodli ste sa?

Hľadáte odpovede, ktoré zodpovedajú vašim. Konkrétne som ich napísal v neporiadku, takpovediac ďaleko od pokušenia... Tu sú odpovede, zapísané bodkočiarkou.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

A teraz robíme závery. Ak všetko fungovalo - šťastný pre vás! Elementárne výpočty so zlomkami nie sú váš problém! Môžete robiť aj vážnejšie veci. Ak nie...

Takže máte jeden z dvoch problémov. Alebo oboje naraz.) Nedostatok vedomostí a (alebo) nepozornosť. Ale toto riešiteľný Problémy.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Obyčajné zlomkové čísla sa prvýkrát stretávajú so školákmi v 5. ročníku a sprevádzajú ich po celý život, pretože v každodennom živote je často potrebné zvážiť alebo použiť nejaký predmet nie úplne, ale oddelene. Začiatok štúdia tejto témy - zdieľanie. Akcie sú rovnaké diely do ktorých je objekt rozdelený. Koniec koncov, nie je vždy možné vyjadriť napríklad dĺžku alebo cenu produktu ako celé číslo, treba brať do úvahy časti alebo podiely akejkoľvek miery. Slovo "zlomok" sa v ruštine objavilo v 8. storočí zo slovesa "rozdrviť" - rozdeliť na časti a má arabské korene.

Zlomkové výrazy dlho považovaný za najťažší odbor matematiky. V 17. storočí, keď sa objavili prvé učebnice matematiky, sa im hovorilo „lomené čísla“, čo bolo veľmi ťažké zobraziť v chápaní ľudí.

moderný vzhľad jednoduchými zlomkovými zvyškami, ktorých časti sú presne oddelené vodorovnou čiarou, sa prvýkrát podieľal Fibonacci - Leonardo z Pisy. Jeho spisy pochádzajú z roku 1202. Účelom tohto článku je však jednoducho a jasne vysvetliť čitateľovi, ako dochádza k násobeniu zmiešaných zlomkov s rôznymi menovateľmi.

Násobenie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Spočiatku je potrebné určiť odrody frakcií:

• správne;
• nesprávne;
• zmiešané.

Ďalej si musíte pamätať, ako sa násobia zlomkové čísla s rovnakými menovateľmi. Samotné pravidlo tohto procesu je ľahké formulovať nezávisle: výsledok násobenia jednoduché zlomky s rovnakými menovateľmi je zlomkový výraz, ktorého čitateľ je súčinom čitateľov a menovateľ je súčinom menovateľov daných zlomkov. To znamená, že v skutočnosti je novým menovateľom druhá mocnina jedného z existujúcich.

Pri násobení jednoduché zlomky s rôznymi menovateľmi pre dva alebo viac faktorov sa pravidlo nemení:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Jediný rozdiel je v tom tvorené číslo pod zlomkovou čiarou bude súčin rôznych čísel a samozrejme druhá mocnina jednej číselný výraz nedá sa to pomenovať.

Stojí za to zvážiť násobenie zlomkov s rôznymi menovateľmi pomocou príkladov:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Príklady používajú spôsoby redukcie zlomkových výrazov. Čísla čitateľa môžete zrušiť iba číslami menovateľa vedľa stojace multiplikátory nad zlomkovou čiarou alebo pod ňou nemožno skrátiť.

Spolu s jednoduchým zlomkové čísla, existuje koncept zmiešaných zlomkov. Zmiešané číslo pozostáva z celého čísla a zlomkovej časti, to znamená, že je to súčet týchto čísel:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Ako funguje násobenie?

Na zváženie je uvedených niekoľko príkladov.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Príklad používa násobenie čísla číslom obyčajná zlomková časť, pravidlo pre túto akciu môžete zapísať podľa vzorca:

a * b/c = a*b /c.

V skutočnosti je takýto súčin súčtom rovnakých zlomkových zvyškov a počet členov označuje toto prirodzené číslo. špeciálny prípad:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Existuje ďalšia možnosť riešenia násobenia čísla zlomkovým zvyškom. Jednoducho vydeľte menovateľa týmto číslom:

d* e/f = e/f: d.

Je užitočné použiť túto techniku, keď je menovateľ delený prirodzeným číslom bezo zvyšku alebo, ako sa hovorí, úplne.

Preveďte zmiešané čísla na nesprávne zlomky a získajte produkt vyššie opísaným spôsobom:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Tento príklad zahŕňa spôsob, ako reprezentovať zmiešaný zlomok ako nesprávny zlomok, môže byť tiež reprezentovaný ako všeobecný vzorec:

a bc = a*b+ c / c, kde menovateľ nového zlomku vznikne vynásobením celočíselnej časti menovateľom a pripočítaním k čitateľovi pôvodného zlomkový zvyšok a menovateľ zostáva rovnaký.

Tento proces funguje aj v opačná strana. Ak chcete vybrať časť celého čísla a zlomkový zvyšok, musíte rozdeliť čitateľa nesprávneho zlomku jeho menovateľom pomocou „rohu“.

Násobenie nesprávne zlomky vyrábané bežným spôsobom. Kedy prebieha nahrávanie pod jednou zlomkovou čiarou, ak je to potrebné, musíte znížiť zlomky, aby ste pomocou tejto metódy znížili čísla a je jednoduchšie vypočítať výsledok.

Na internete je množstvo pomocníkov na riešenie aj zložitých problémov. matematické problémy v rôznych programoch. Dostatočný počet takýchto služieb ponúka svoju pomoc pri počítaní násobenia zlomkov s rôzne čísla v menovateľoch – takzvané online kalkulačky na výpočet zlomkov. Sú schopní nielen množiť, ale aj vyrábať všetky ostatné najjednoduchšie aritmetické operácie so spoločnými zlomkami a zmiešanými číslami. Je ľahké s ním pracovať, príslušné polia sú vyplnené na stránke webu, je vybraté znamenie matematická akcia a kliknite na "vypočítať". Program počíta automaticky.

Predmet aritmetické operácie so zlomkovými číslami je relevantné počas celého vzdelávania žiakov stredného a vyššieho veku. Na strednej škole už neuvažujú nad najjednoduchším druhom, ale celočíselné zlomkové výrazy, ale znalosti pravidiel pre transformáciu a výpočty, získané skôr, sa uplatňujú v pôvodnej podobe. dobre stráviteľné základné znalosti dať plnú dôveru V dobré rozhodnutie najviac náročné úlohy.

Na záver má zmysel citovať slová Leva Tolstého, ktorý napísal: „Človek je zlomok. Nie je v silách človeka zväčšovať svojho čitateľa – svoje zásluhy, ale ktokoľvek môže svojho menovateľa – svoj názor na seba zmenšiť, a týmto zmenšením sa priblížiť k svojej dokonalosti.