Statics- Ito ay isang sangay ng teoretikal na mekanika, na pinag-aaralan ang mga kondisyon para sa balanse ng mga materyal na katawan sa ilalim ng impluwensya ng mga puwersa.

Sa ilalim ng estado ng equilibrium, sa statics, ay nauunawaan ang estado kung saan ang lahat ng bahagi mekanikal na sistema ay nasa pahinga (kamag-anak sa nakapirming coordinate system). Kahit na ang mga pamamaraan ng statics ay naaangkop din sa mga gumagalaw na katawan, at sa kanilang tulong posible na pag-aralan ang mga problema ng dynamics, ang mga pangunahing bagay ng pag-aaral ng statics ay hindi gumagalaw na mga mekanikal na katawan at mga sistema.

Puwersa ay ang sukatan ng epekto ng isang katawan sa isa pa. Ang puwersa ay isang vector na mayroong isang punto ng aplikasyon sa ibabaw ng katawan. Sa ilalim ng puwersa malayang katawan tumatanggap ng acceleration na proporsyonal sa force vector at inversely proportional sa masa ng katawan.

Ang batas ng pagkakapantay-pantay ng aksyon at reaksyon

Ang puwersa kung saan kumikilos ang unang katawan sa pangalawa ay ganap na halaga at kabaligtaran ng direksyon sa puwersa kung saan kumikilos ang pangalawang katawan sa una.

Prinsipyo ng paggamot

Kung ang deformable na katawan ay nasa ekwilibriyo, ang ekwilibriyo nito ay hindi maaabala kung ang katawan ay itinuturing na ganap na matibay.

Mga static na punto ng materyal

Isaalang-alang ang isang materyal na punto na nasa ekwilibriyo. At hayaang kumilos ang n pwersa dito, k = 1, 2, ..., n.

Kung ang punto ng materyal ay nasa equilibrium, kung gayon ang kabuuan ng vector ng mga puwersang kumikilos dito ay katumbas ng zero:
(1) .

Balanse geometric na kabuuan Ang mga puwersang kumikilos sa isang punto ay zero.

Geometric na interpretasyon . Kung ang simula ng pangalawang vector ay inilagay sa dulo ng unang vector, at ang simula ng pangatlo ay inilalagay sa dulo ng pangalawang vector, at pagkatapos ang prosesong ito ay ipagpapatuloy, pagkatapos ay ang dulo ng huling, nth vector ay isasama sa simula ng unang vector. Iyon ay, nakakakuha kami ng isang closed geometric figure, ang mga haba ng mga gilid na kung saan ay katumbas ng mga module ng mga vectors. Kung ang lahat ng mga vector ay namamalagi sa parehong eroplano, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang saradong polygon.

Ito ay madalas na maginhawa upang pumili hugis-parihaba na sistema mga coordinate Oxyz. Kung gayon ang mga kabuuan ng mga projection ng lahat ng mga vector ng puwersa sa mga coordinate axes ay katumbas ng zero:

Kung pipili ka ng anumang direksyon na tinukoy ng ilang vector , kung gayon ang kabuuan ng mga projection ng mga force vector sa direksyong ito ay katumbas ng zero:
.
Pina-multiply namin ang equation (1) nang scalar sa vector:
.
dito - produktong scalar mga vector at .
Tandaan na ang projection ng isang vector papunta sa direksyon ng vector ay tinutukoy ng formula:
.

Matibay na static ng katawan

Sandali ng puwersa tungkol sa isang punto

Pagtukoy sa sandali ng puwersa

Sandali ng puwersa, na inilapat sa katawan sa punto A, na nauugnay sa nakapirming sentro O, ay tinatawag na isang vector na katumbas ng produkto ng vector ng mga vector at:
(2) .

Geometric na interpretasyon

Sandali ng kapangyarihan ay katumbas ng produkto pilitin ang F sa braso OH.

Hayaan ang mga vectors at matatagpuan sa eroplano ng figure. Ayon sa ari-arian produkto ng vector, ang vector ay patayo sa mga vector at , iyon ay, ito ay patayo sa eroplano ng figure. Ang direksyon nito ay tinutukoy ng tamang panuntunan ng tornilyo. Sa figure, ang moment vector ay nakadirekta sa amin. Ang ganap na halaga ng sandali:
.
Simula noon
(3) .

Gamit ang geometry, ang isa ay maaaring magbigay ng isa pang interpretasyon ng sandali ng puwersa. Upang gawin ito, gumuhit ng isang tuwid na linya AH sa pamamagitan ng force vector . Mula sa gitna O ibinabagsak namin ang patayo OH sa linyang ito. Ang haba ng patayo na ito ay tinatawag balikat ng lakas. Pagkatapos
(4) .
Dahil , ang mga formula (3) at (4) ay katumbas.

kaya, ganap na halaga ng sandali ng puwersa kamag-anak sa gitnang O ay produkto ng puwersa sa balikat ang puwersang ito na may kaugnayan sa napiling sentro O .

Kapag kinakalkula ang sandali, kadalasan ay maginhawa upang mabulok ang puwersa sa dalawang bahagi:
,
saan . Ang puwersa ay dumadaan sa punto O. Kaya ang kanyang sandali sero. Pagkatapos
.
Ang ganap na halaga ng sandali:
.

Mga bahagi ng sandali sa mga parihaba na coordinate

Kung pipiliin natin ang isang hugis-parihaba na coordinate system na Oxyz na nakasentro sa puntong O, kung gayon ang sandali ng puwersa ay magkakaroon ng mga sumusunod na bahagi:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Narito ang mga coordinate ng point A sa napiling coordinate system:
.
Ang mga bahagi ay ang mga halaga ng sandali ng puwersa tungkol sa mga palakol, ayon sa pagkakabanggit.

Mga katangian ng sandali ng puwersa tungkol sa sentro

Ang sandali tungkol sa sentro O, mula sa puwersa na dumadaan sa sentrong ito, ay katumbas ng zero.

Kung ang punto ng aplikasyon ng puwersa ay inilipat sa isang linya na dumadaan sa vector ng puwersa, kung gayon ang sandali, sa panahon ng naturang paggalaw, ay hindi magbabago.

Ang sandali mula sa vector sum ng mga puwersa na inilapat sa isang punto ng katawan ay katumbas ng vector sum ng mga sandali mula sa bawat pwersang inilapat sa parehong punto:
.

Ang parehong naaangkop sa mga puwersa na ang mga linya ng extension ay nagsalubong sa isang punto. Sa kasong ito, ang kanilang punto ng intersection ay dapat kunin bilang punto ng aplikasyon ng mga puwersa.

Kung ang kabuuan ng vector ng mga puwersa ay zero:
,
kung gayon ang kabuuan ng mga sandali mula sa mga puwersang ito ay hindi nakasalalay sa posisyon ng sentro, na nauugnay kung saan kinakalkula ang mga sandali:
.

Power couple

Power couple ay dalawang puwersa na pantay sa ganap na halaga at mayroon magkasalungat na direksyon inilapat sa iba't ibang puntos katawan.

Ang isang pares ng mga puwersa ay nailalarawan sa pamamagitan ng sandaling lumikha sila. Dahil ang kabuuan ng vector ng mga puwersa na kasama sa pares ay zero, ang sandali na nilikha ng mag-asawa ay hindi nakasalalay sa punto na nauugnay sa kung saan ang sandali ay kinakalkula. Mula sa punto ng view ng static equilibrium, ang likas na katangian ng mga puwersa sa pares ay hindi nauugnay. Ang isang pares ng mga puwersa ay ginagamit upang ipahiwatig na ang isang sandali ng mga puwersa ay kumikilos sa katawan, pagkakaroon tiyak na halaga.

Sandali ng puwersa tungkol sa isang ibinigay na axis

Kadalasan mayroong mga kaso kung kailan hindi natin kailangang malaman ang lahat ng mga bahagi ng sandali ng puwersa tungkol sa isang napiling punto, ngunit kailangan lamang malaman ang sandali ng puwersa tungkol sa isang napiling axis.

Ang sandali ng puwersa tungkol sa axis na dumadaan sa punto O ay ang projection ng vector ng sandali ng puwersa, tungkol sa punto O, sa direksyon ng axis.

Mga katangian ng sandali ng puwersa tungkol sa axis

Ang sandali tungkol sa axis mula sa puwersa na dumadaan sa axis na ito ay katumbas ng zero.

Ang sandali tungkol sa isang axis mula sa isang puwersa na kahanay sa axis na ito ay zero.

Pagkalkula ng sandali ng puwersa tungkol sa isang axis

Hayaang kumilos ang puwersa sa katawan sa punto A. Hanapin natin ang sandali ng puwersang ito na may kaugnayan sa axis ng O′O′′.

Bumuo tayo ng rectangular coordinate system. Hayaang tumugma ang Oz axis sa O′O′′ . Mula sa puntong A ay ibinabagsak natin ang patayo na OH hanggang O′O′′. Sa pamamagitan ng mga puntos na O at A ay iginuhit namin ang axis na Ox. Iginuhit namin ang axis Oy patayo sa Ox at Oz. Binubulok namin ang puwersa sa mga bahagi kasama ang mga axes ng coordinate system:
.
Ang puwersa ay tumatawid sa O′O′′ axis. Samakatuwid, ang momentum nito ay zero. Ang puwersa ay parallel sa O′O′′ axis. Samakatuwid, ang sandali nito ay zero din. Sa pamamagitan ng formula (5.3) makikita natin:
.

Tandaan na ang bahagi ay nakadirekta nang tangential sa bilog na ang sentro ay ang puntong O . Ang direksyon ng vector ay tinutukoy ng tamang panuntunan ng turnilyo.

Mga kondisyon ng balanse para sa isang matibay na katawan

Sa equilibrium, ang vector sum ng lahat ng pwersang kumikilos sa katawan ay katumbas ng zero at ang vector sum ng mga sandali ng mga pwersang ito na nauugnay sa isang arbitrary na fixed center ay katumbas ng zero:
(6.1) ;
(6.2) .

Binibigyang-diin namin na ang sentro O , na nauugnay kung saan kinakalkula ang mga sandali ng mga puwersa, ay maaaring mapili nang arbitraryo. Ang punto O ay maaaring kabilang sa katawan o nasa labas nito. Karaniwan ang sentro O ay pinili upang gawing mas madali ang mga kalkulasyon.

Ang mga kondisyon ng ekwilibriyo ay maaaring mabuo sa ibang paraan.

Sa equilibrium, ang kabuuan ng mga projection ng mga puwersa sa anumang direksyon na ibinigay ng isang di-makatwirang vector ay katumbas ng zero:
.
Ang kabuuan ng mga sandali ng mga puwersa tungkol sa isang arbitrary axis O′O′′ ay katumbas din ng zero:
.

Minsan ang mga kundisyong ito ay mas maginhawa. May mga pagkakataon na, sa pamamagitan ng pagpili ng mga palakol, ang mga kalkulasyon ay maaaring gawing mas simple.

Sentro ng grabidad ng katawan

Isaalang-alang ang isa sa pinakamahalagang pwersa - gravity. Dito, ang mga puwersa ay hindi inilalapat sa ilang mga punto ng katawan, ngunit patuloy na ipinamamahagi sa dami nito. Para sa bawat bahagi ng katawan na may napakaliit na dami ∆V, kumikilos ang gravitational force. Narito ang ρ ay ang density ng body matter, ay ang acceleration libreng pagkahulog.

Hayaan ang masa ng isang walang katapusang maliit na bahagi ng katawan. At hayaan ang puntong A k na tukuyin ang posisyon ng seksyong ito. Hanapin natin ang mga dami na nauugnay sa puwersa ng grabidad, na kasama sa mga equation ng equilibrium (6).

Hanapin natin ang kabuuan ng mga puwersa ng grabidad na nabuo ng lahat ng bahagi ng katawan:
,
nasaan ang masa ng katawan. Kaya, ang kabuuan ng mga puwersa ng gravity ng mga indibidwal na infinitesimal na bahagi ng katawan ay maaaring mapalitan ng isang gravity vector ng buong katawan:
.

Hanapin natin ang kabuuan ng mga sandali ng mga puwersa ng grabidad, na nauugnay sa napiling sentro O sa isang arbitrary na paraan:

.
Dito namin ipinakilala ang point C na tinatawag sentro ng grabidad katawan. Ang posisyon ng sentro ng grabidad, sa isang sistema ng coordinate na nakasentro sa punto O, ay tinutukoy ng formula:
(7) .

Kaya, kapag tinutukoy ang static equilibrium, ang kabuuan ng gravity indibidwal na mga seksyon ang mga katawan ay maaaring palitan ng resulta
,
inilapat sa sentro ng masa ng katawan C , na ang posisyon ay tinutukoy ng formula (7).

Ang posisyon ng sentro ng grabidad para sa iba't ibang mga geometric na hugis ay matatagpuan sa mga nauugnay na gabay. Kung ang katawan ay may isang axis o eroplano ng mahusay na proporsyon, kung gayon ang sentro ng grabidad ay matatagpuan sa axis o eroplanong ito. Kaya, ang mga sentro ng grabidad ng isang globo, bilog o bilog ay matatagpuan sa mga sentro ng mga bilog ng mga figure na ito. Mga sentro ng grabidad kuboid, ang parihaba o parisukat ay matatagpuan din sa kanilang mga sentro - sa mga intersection point ng mga diagonal.

Uniformly (A) at linearly (B) na ibinahagi ng load.

Mayroon ding mga kaso na katulad ng puwersa ng grabidad, kapag ang mga puwersa ay hindi inilapat sa ilang mga punto ng katawan, ngunit patuloy na ipinamamahagi sa ibabaw o dami nito. Ang ganitong mga puwersa ay tinatawag ipinamahagi na pwersa o .

(Larawan A). Gayundin, tulad ng sa kaso ng gravity, maaari itong mapalitan ng resultang puwersa ng magnitude , na inilapat sa sentro ng grabidad ng diagram. Dahil ang diagram sa figure A ay isang parihaba, ang sentro ng grabidad ng diagram ay nasa gitna nito - punto C: | AC | = | CB |.

(larawan B). Maaari din itong palitan ng resulta. Ang halaga ng resulta ay katumbas ng lugar ng diagram:
.
Ang punto ng aplikasyon ay nasa gitna ng gravity ng balangkas. Ang sentro ng grabidad ng isang tatsulok, taas h, ay nasa layo mula sa base. Kaya .

Mga puwersa ng alitan

Sliding friction. Hayaang ang katawan ay nasa patag na ibabaw. At maging isang puwersa na patayo sa ibabaw kung saan kumikilos ang ibabaw sa katawan (pwersa ng presyon). Pagkatapos ay ang sliding friction force ay parallel sa ibabaw at nakadirekta sa gilid, na pumipigil sa katawan mula sa paggalaw. Ang kanyang pinakadakila ang halaga ay:
,
kung saan ang f ay ang koepisyent ng friction. Ang koepisyent ng friction ay isang walang sukat na dami.

lumiligid na alitan. Hayaang gumulong ang bilugan na katawan o maaaring gumulong sa ibabaw. At hayaan ang puwersa ng presyon na patayo sa ibabaw kung saan kumikilos ang ibabaw sa katawan. Pagkatapos sa katawan, sa punto ng pakikipag-ugnay sa ibabaw, ang sandali ng mga puwersa ng alitan ay kumikilos, na pumipigil sa paggalaw ng katawan. Ang pinakamalaking halaga ng friction moment ay:
,
kung saan ang δ ay ang coefficient ng rolling friction. Ito ay may sukat ng haba.

Mga sanggunian:
S. M. Targ, Maikling Kurso teoretikal na mekanika, graduate School", 2010.

1. Pangunahing konsepto ng theoretical mechanics.

2. Ang istruktura ng kurso sa theoretical mechanics.

1. Mechanics (sa malawak na kahulugan) ay ang agham ng paggalaw ng mga materyal na katawan sa espasyo at oras. Pinagsasama nito ang isang bilang ng mga disiplina, ang mga bagay na pinag-aaralan ay solid, likido at mga katawan ng gas. Teoretikal na mekanika , Teorya ng elasticity , Lakas ng mga materyales , Fluid mechanics , Gas dynamics at Aerodynamics- hindi ito kumpletong listahan ng iba't ibang seksyon ng mekanika.

Tulad ng makikita mula sa kanilang mga pangalan, sila ay naiiba sa bawat isa lalo na sa mga bagay ng pag-aaral. Ang pag-aaral ng paggalaw ng pinakasimpleng sa kanila - mga solido - ay nakikibahagi sa teoretikal na mekanika. Ang pagiging simple ay pinag-aralan sa teoretikal na mekanika pinapayagan ka ng mga bagay na makilala ang karamihan pangkalahatang batas mga mosyon na may bisa para sa lahat ng materyal na katawan, anuman ang kanilang partikular pisikal na katangian. Samakatuwid, ang teoretikal na mekanika ay maaaring isaalang-alang bilang batayan ng pangkalahatang mekanika.

2. Ang kurso ng theoretical mechanics ay binubuo ng tatlong seksyon: statics, kinematikaatmga nagsasalita .

AT isinasaalang-alang ang statics karaniwang doktrina tungkol sa mga puwersa at mga kondisyon ng ekwilibriyo para sa mga solido ay hinango.

Sa kinematics itinakda mga paraan ng matematika ang mga gawain ng paggalaw ng mga katawan at mga formula ay nagmula na tumutukoy sa mga pangunahing katangian ng paggalaw na ito (bilis, acceleration, atbp.).

Sa dynamics ayon sa isang naibigay na kilusan, ang mga puwersa na nagdudulot ng paggalaw na ito ay tinutukoy at, sa kabaligtaran, ayon sa ibinigay na mga puwersa, tinutukoy nila kung paano gumagalaw ang katawan.

materyal na punto tinatawag na geometric point na may mass.

Sistema ng mga materyal na puntos ang naturang set ng mga ito ay tinatawag kung saan ang posisyon at paggalaw ng bawat punto ay nakasalalay sa posisyon at paggalaw ng lahat ng iba pang mga punto ng ibinigay na sistema. Kadalasan ang isang sistema ng mga materyal na puntos ay tinatawag mekanikal na sistema . Ang isang espesyal na kaso ng isang mekanikal na sistema ay isang ganap na matibay na katawan.

Ganap na solid tinatawag ang isang katawan, kung saan ang distansya sa pagitan ng alinmang dalawang punto ay palaging nananatiling hindi nagbabago (ibig sabihin, ito ay isang ganap na malakas at hindi nababagong katawan).

Libre tinatawag na matibay na katawan, ang paggalaw nito ay hindi nalilimitahan ng ibang mga katawan.

hindi libre tinatawag na katawan, ang paggalaw nito, sa isang paraan o iba pa, ay nililimitahan ng ibang mga katawan. Ang huli sa mekanika ay tinatawag mga koneksyon .

Sa pamamagitan ng puwersa tawagan ang sukat mekanikal na pagkilos isang katawan sa isa pa. Dahil ang pakikipag-ugnayan ng mga katawan ay tinutukoy hindi lamang sa pamamagitan ng intensity nito, kundi pati na rin sa direksyon nito, ang puwersa ay isang dami ng vector at inilalarawan sa mga guhit bilang isang nakadirekta na segment (vector). Bawat yunit ng puwersa sa sistema SI pinagtibay newton (N) . Ipahiwatig ang lakas malaking titik alpabetong Latin(A, S, Z, Y ...). Mga numerong halaga(o mga module dami ng vector) ay ilalarawan ng parehong mga titik, ngunit walang itaas na mga arrow (F, S, P, Q...).

linya ng puwersa ay ang tuwid na linya kung saan nakadirekta ang force vector.

Sistema ng puwersa anumang may hangganan na hanay ng mga puwersa na kumikilos sa isang mekanikal na sistema ay tinatawag. Nakaugalian na hatiin ang mga sistema ng pwersa patag (lahat ng pwersa ay kumikilos sa parehong eroplano) at spatial . Ang bawat isa sa kanila, sa turn, ay maaaring maging arbitraryo o parallel (mga linya ng pagkilos ng lahat ng pwersa ay parallel) o converging force system (ang mga linya ng pagkilos ng lahat ng pwersa ay nagsalubong sa isang punto).

Ang dalawang sistema ng pwersa ay tinatawag katumbas , kung ang kanilang mga aksyon sa mekanikal na sistema ay pareho (ibig sabihin, ang pagpapalit ng isang sistema ng mga pwersa sa isa pa ay hindi nagbabago sa likas na katangian ng paggalaw ng mekanikal na sistema).

Kung ang ilang sistema ng pwersa ay katumbas ng isang puwersa, kung gayon ang puwersang ito ay tinatawag resulta itong sistema ng pwersa. Tandaan na hindi lahat ng sistema ng pwersa ay may resulta. Ang puwersa na katumbas ng resulta sa magnitude, kabaligtaran nito sa direksyon at kumikilos sa parehong tuwid na linya ay tinatawag pagbabalanse sa pamamagitan ng puwersa.

Ang sistema ng mga puwersa sa ilalim ng impluwensya kung saan ang isang malayang matibay na katawan ay nagpapahinga o gumagalaw nang pare-pareho at paikot-ikot ay tinatawag balanse o katumbas ng zero.

panloob na pwersa tinatawag na mga puwersa ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga materyal na punto ng isang mekanikal na sistema.

Mga pwersa sa labas- ito ang mga puwersa ng pakikipag-ugnayan ng mga punto ng isang ibinigay na mekanikal na sistema sa mga materyal na punto ng isa pang sistema.

Ang isang puwersa na inilapat sa isang katawan sa anumang isang punto ay tinatawag nakatutok .

Ang mga puwersang kumikilos sa lahat ng mga punto ng isang tiyak na dami o isang partikular na bahagi ng ibabaw ng isang katawan ay tinatawag ipinamahagi (sa dami at sa ibabaw, ayon sa pagkakabanggit).

Ang listahan sa itaas ng mga pangunahing konsepto ay hindi kumpleto. Ang natitira, walang mas kaunti mahahalagang konsepto ay ipakilala at pinuhin sa proseso ng paglalahad ng materyal ng kurso.

Point kinematics.

1. Ang paksa ng theoretical mechanics. Mga pangunahing abstraction.

Teoretikal na mekanikaay isang agham kung saan pinag-aaralan ang mga pangkalahatang batas mekanikal na paggalaw at mekanikal na interaksyon ng mga materyal na katawan

Kilusang mekanikaltinatawag na paggalaw ng isang katawan na may kaugnayan sa ibang katawan, na nagaganap sa espasyo at oras.

Mekanikal na pakikipag-ugnayan ay tinatawag na tulad ng isang pakikipag-ugnayan ng mga materyal na katawan, na nagbabago sa likas na katangian ng kanilang mekanikal na paggalaw.

Statics ay isang sangay ng theoretical mechanics na nag-aaral ng mga pamamaraan para sa pagbabago ng mga sistema ng pwersa sa mga katumbas na sistema at ang mga kondisyon para sa ekwilibriyo ng mga puwersa na inilapat sa matibay na katawan ay itinatag.

Kinematics - ay ang sangay ng theoretical mechanics na tumatalakay sa paggalaw ng mga materyal na katawan sa kalawakan na may geometric na punto paningin, anuman ang mga puwersang kumikilos sa kanila.

Dynamics - Ito ay isang sangay ng mekanika na nag-aaral sa paggalaw ng mga materyal na katawan sa kalawakan, depende sa mga puwersang kumikilos sa kanila.

Mga bagay ng pag-aaral sa theoretical mechanics:

materyal na punto,

sistema ng mga materyal na puntos,

Ganap na matigas na katawan.

Ang ganap na espasyo at ganap na oras ay independyente sa isa't isa. Ganap na espasyo - three-dimensional, homogenous, hindi gumagalaw na Euclidean space. Ganap na oras - patuloy na dumadaloy mula sa nakaraan hanggang sa hinaharap, ito ay homogenous, pareho sa lahat ng mga punto sa espasyo at hindi nakasalalay sa paggalaw ng bagay.

2. Ang paksa ng kinematics.

Kinematics - ay ang sangay ng mechanics na tumatalakay sa geometric na katangian paggalaw ng mga katawan nang hindi isinasaalang-alang ang kanilang inertia (i.e. masa) at ang mga puwersang kumikilos sa kanila

Upang matukoy ang posisyon ng isang gumagalaw na katawan (o punto) sa katawan na may kaugnayan sa kung saan ang paggalaw ay pinag-aaralan binigay na katawan, mahigpit, ikonekta ang ilang sistema ng coordinate, na kasama ng mga anyo ng katawan sistema ng sanggunian.

Ang pangunahing gawain ng kinematics ay upang, alamin ang batas ng paggalaw ng isang ibinigay na katawan (punto), upang matukoy ang lahat ng mga kinematic na dami na nagpapakilala sa paggalaw nito (bilis at acceleration).

3. Mga pamamaraan para sa pagtukoy ng paggalaw ng isang punto

· natural na paraan

Dapat malaman:

Point paggalaw tilapon;

Simula at direksyon ng pagbibilang;

Ang batas ng paggalaw ng isang punto kasama ang isang ibinigay na tilapon sa anyo (1.1)

· Pamamaraan ng coordinate

Ang mga equation (1.2) ay ang mga equation ng paggalaw ng point M.

Ang equation para sa trajectory ng point M ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pag-aalis ng parameter ng oras « t » mula sa mga equation (1.2)

· Paraan ng vector

(1.3) Relasyon sa pagitan ng coordinate at vector na pamamaraan para sa pagtukoy ng paggalaw ng isang punto (1.4)

Koneksyon sa pagitan ng coordinate at natural na paraan ng pagtukoy sa paggalaw ng isang punto

Tukuyin ang tilapon ng punto, hindi kasama ang oras mula sa mga equation (1.2);

-- hanapin ang batas ng paggalaw ng isang punto sa isang tilapon (gamitin ang expression para sa arc differential)

Pagkatapos ng pagsasama, nakukuha namin ang batas ng paggalaw ng isang punto sa isang ibinigay na tilapon:

Ang koneksyon sa pagitan ng coordinate at mga pamamaraan ng vector ng pagtukoy ng paggalaw ng isang punto ay tinutukoy ng equation (1.4)

4. Pagtukoy sa bilis ng isang punto gamit ang paraan ng vector ng pagtukoy sa paggalaw.

Hayaan sa sandaling itotang posisyon ng punto ay tinutukoy ng radius vector , at sa sandali ng orast 1 – radius-vector , pagkatapos ay para sa isang yugto ng panahon lilipat ang punto.

(1.5) point average na bilis, ang direksyon ng vector ay pareho sa vector

Bilis ng point in sa sandaling ito oras

Upang makuha ang bilis ng isang punto sa isang naibigay na oras, kailangan mong gumanap pagpasa sa limitasyon

(1.6)

(1.7)

Ang bilis ng vector ng isang punto sa isang partikular na oras ay katumbas ng unang derivative ng radius vector na may kinalaman sa oras at nakadirekta nang tangential sa trajectory sa isang naibigay na punto.

(unit¾ m/s, km/h)

Mean acceleration vector ay may parehong direksyon tulad ng vectorΔ v , iyon ay, nakadirekta patungo sa concavity ng trajectory.

Acceleration vector ng isang punto sa isang partikular na oras ay katumbas ng unang derivative ng velocity vector o ang pangalawang derivative ng radius vector ng punto na may paggalang sa oras.

(yunit - )

Paano matatagpuan ang vector na may kaugnayan sa tilapon ng punto?

Sa rectilinear na paggalaw ang vector ay nakadirekta sa tuwid na linya kung saan gumagalaw ang punto. Kung ang trajectory ng punto ay isang flat curve, kung gayon ang acceleration vector , pati na rin ang vector cp, ay namamalagi sa eroplano ng curve na ito at nakadirekta patungo sa concavity nito. Kung ang trajectory ay hindi isang plane curve, ang vector cp ay ididirekta patungo sa concavity ng trajectory at mahiga sa eroplano na dumadaan sa tangent patungo sa trajectory sa punto.M at isang linya na parallel sa padaplis sa isang katabing puntoM 1 . AT limitahan kapag ang puntoM 1 may posibilidad na M ang eroplanong ito ay sumasakop sa posisyon ng tinatawag na contiguous plane. Samakatuwid, sa pangkalahatang kaso ang acceleration vector ay namamalagi sa magkadikit na eroplano at nakadirekta patungo sa concavity ng curve.

Panimula

Ang teoretikal na mekanika ay isa sa pinakamahalagang pangunahing pangkalahatang siyentipikong disiplina. Naglalaro siya mahalagang papel sa pagsasanay ng mga inhinyero ng anumang mga espesyalidad. Ang mga pangkalahatang disiplina sa engineering ay batay sa mga resulta ng teoretikal na mekanika: lakas ng mga materyales, mga bahagi ng makina, teorya ng mga mekanismo at makina, at iba pa.

Ang pangunahing gawain ng teoretikal na mekanika ay ang pag-aaral ng paggalaw ng mga materyal na katawan sa ilalim ng pagkilos ng mga puwersa. Ang isang mahalagang partikular na problema ay ang pag-aaral ng ekwilibriyo ng mga katawan sa ilalim ng pagkilos ng mga puwersa.

Kurso ng lecture. Teoretikal na mekanika

Ang istraktura ng teoretikal na mekanika. Mga batayan ng statics

Mga kondisyon ng ekwilibriyo arbitraryong sistema pwersa.

Rigid Body Equilibrium Equation.

Flat na sistema ng pwersa.

Mga partikular na kaso ng equilibrium ng isang matibay na katawan.

Ang problema ng equilibrium ng isang sinag.

Pagpapasiya ng mga panloob na puwersa sa mga istruktura ng bar.

Mga pangunahing kaalaman ng point kinematics.

natural na mga coordinate.

Formula ng Euler.

Pamamahagi ng mga acceleration ng mga punto ng isang matibay na katawan.

Mga paggalaw ng pagsasalin at pag-ikot.

Plane-parallel na paggalaw.

Kumplikadong paggalaw ng punto.

Mga batayan ng point dynamics.

Differential equation ng paggalaw ng isang punto.

Mga partikular na uri ng force field.

Mga pangunahing kaalaman sa dinamika ng sistema ng mga puntos.

Pangkalahatang theorems ng dynamics ng isang sistema ng mga puntos.

Dynamics rotary motion katawan.

Dobronravov V.V., Nikitin N.N. Kurso ng teoretikal na mekanika. M., Mas Mataas na Paaralan, 1983.

Butenin N.V., Lunts Ya.L., Merkin D.R. Kurso ng Theoretical Mechanics, Parts 1 at 2. M., Higher School, 1971.

Petkevich V.V. Teoretikal na mekanika. M., Nauka, 1981.

Koleksyon ng mga gawain para sa mga term paper sa theoretical mechanics. Ed. A.A. Yablonsky. M., Mas Mataas na Paaralan, 1985.

Lektura 1 Ang istraktura ng teoretikal na mekanika. Mga batayan ng statics

Sa teoretikal na mekanika, ang paggalaw ng mga katawan na may kaugnayan sa ibang mga katawan, na mga pisikal na sistema ng sanggunian, ay pinag-aaralan.

Pinapayagan ng mga mekanika hindi lamang na ilarawan, kundi pati na rin upang mahulaan ang paggalaw ng mga katawan, na nagtatatag ng mga ugnayang sanhi sa isang tiyak, napakalawak na hanay ng mga phenomena.

Mga pangunahing abstract na modelo ng mga totoong katawan:

materyal na punto - may masa, ngunit walang sukat;

ganap solid - isang dami ng may hangganang sukat, ganap na puno ng bagay, at ang mga distansya sa pagitan ng alinmang dalawang punto ng daluyan na pumupuno sa volume ay hindi nagbabago sa panahon ng paggalaw;

tuloy-tuloy na deformable medium - pinupuno ang isang may hangganan na dami o walang limitasyong espasyo; ang mga distansya sa pagitan ng mga punto ng naturang medium ay maaaring mag-iba.

Sa mga ito, ang mga system:

Sistema ng mga libreng materyal na puntos;

Mga sistema na may mga koneksyon;

Isang ganap na solidong katawan na may isang lukab na puno ng likido, atbp.

"Degenerate" mga modelo:

Walang katapusang manipis na mga tungkod;

Walang katapusang manipis na mga plato;

Walang timbang na mga pamalo at sinulid na nagbubuklod materyal na puntos, atbp.

Mula sa karanasan: ang mekanikal na phenomena ay nagpapatuloy sa iba't ibang lugar ng pisikal na sistema ng sanggunian. Ang property na ito ay ang inhomogeneity ng espasyo, na tinutukoy ng physical reference system. Ang heterogeneity dito ay nauunawaan bilang ang pag-asa sa likas na katangian ng paglitaw ng isang phenomenon sa lugar kung saan natin inoobserbahan ang phenomenon na ito.

Ang isa pang pag-aari ay anisotropy (non-isotropy), ang paggalaw ng isang katawan na may kaugnayan sa pisikal na reference frame ay maaaring mag-iba depende sa direksyon. Mga halimbawa: ang kurso ng ilog sa kahabaan ng meridian (mula hilaga hanggang timog - ang Volga); paglipad ng projectile, Foucault pendulum.

Ang mga katangian ng reference system (heterogeneity at anisotropy) ay nagpapahirap sa pag-obserba ng galaw ng isang katawan.

Praktikal libre mula dito geocentric system: ang sentro ng system ay nasa gitna ng Earth at ang system ay hindi umiikot nang may kaugnayan sa "fixed" na mga bituin). Geocentric na sistema kapaki-pakinabang para sa pagkalkula ng mga paggalaw sa Earth.

Para sa celestial mechanics(para sa mga katawan ng solar system): isang heliocentric reference frame na gumagalaw sa gitna ng masa solar system at hindi umiikot na may kaugnayan sa "fixed" na mga bituin. Para sa sistemang ito hindi pa nahanap heterogeneity at anisotropy ng espasyo

kaugnay ng phenomena ng mechanics.

Kaya, ipinakilala namin ang isang abstract inertial reference frame kung saan ang espasyo ay homogenous at isotropic kaugnay ng phenomena ng mechanics.

inertial frame of reference- ganyan sariling kilusan na hindi matutuklasan ng anumang mekanikal na eksperimento. eksperimento sa pag-iisip: "ang punto na nag-iisa sa buong mundo" (nakahiwalay) ay alinman sa pahinga o gumagalaw sa isang tuwid na linya at pare-pareho.

Ang lahat ng mga frame ng reference na gumagalaw na may kaugnayan sa orihinal na rectilinearly ay magiging pare-parehong inertial. Ito ay nagpapahintulot sa iyo na magpasok ng isang solong Sistema ng Cartesian mga coordinate. Ang nasabing espasyo ay tinatawag Euclidean.

Kondisyon na kasunduan - kunin ang tamang sistema ng coordinate (Larawan 1).

AT oras– sa klasikal (di-relativistic) na mekanika ganap, na pareho para sa lahat ng mga sistema ng sanggunian, iyon ay, ang paunang sandali ay arbitrary. Kabaligtaran sa relativistic mechanics, kung saan inilalapat ang prinsipyo ng relativity.

Ang estado ng paggalaw ng system sa oras na t ay tinutukoy ng mga coordinate at bilis ng mga punto sa sandaling iyon.

Ang mga tunay na katawan ay nakikipag-ugnayan, at ang mga puwersa ay lumitaw na nagbabago sa estado ng paggalaw ng system. Ito ang kakanyahan ng theoretical mechanics.

Paano pinag-aaralan ang teoretikal na mekanika?

Ang doktrina ng equilibrium ng isang set ng mga katawan ng isang tiyak na reference frame - seksyon statics.

Kabanata kinematika: isang bahagi ng mekanika na nag-aaral ng mga ugnayan sa pagitan ng mga dami na nagpapakilala sa estado ng paggalaw ng mga sistema, ngunit hindi isinasaalang-alang ang mga sanhi na nagdudulot ng pagbabago sa estado ng paggalaw.

Pagkatapos nito, isaalang-alang ang impluwensya ng mga puwersa [PANGUNAHING BAHAGI].

Kabanata dynamics: bahagi ng mekanika, na isinasaalang-alang ang impluwensya ng mga puwersa sa estado ng paggalaw ng mga sistema ng mga materyal na bagay.

Mga prinsipyo ng pagbuo ng pangunahing kurso - dinamika:

1) batay sa isang sistema ng mga axiom (batay sa karanasan, mga obserbasyon);

Patuloy - walang awa na kontrol sa pagsasanay. Tanda ng eksaktong agham - ang pagkakaroon ng panloob na lohika (kung wala ito - hanay ng mga hindi nauugnay na mga recipe)!

static ang bahaging iyon ng mekanika ay tinatawag, kung saan ang mga kundisyon na dapat matugunan ng mga puwersang kumikilos sa isang sistema ng mga materyal na punto ay pinag-aaralan upang ang sistema ay nasa ekwilibriyo, at ang mga kundisyon para sa pagkakapantay-pantay ng mga sistema ng pwersa.

Ang mga problema ng equilibrium sa elementary statics ay isasaalang-alang gamit ang mga eksklusibong geometric na pamamaraan batay sa mga katangian ng mga vector. Ang diskarte na ito ay inilapat sa geometric statics(kumpara sa analytic statics, na hindi isinasaalang-alang dito).

Ang mga posisyon ng iba't ibang materyal na katawan ay ire-refer sa coordinate system, na aming kukunin bilang naayos.

Mga perpektong modelo ng materyal na katawan:

1) materyal na punto - isang geometric na punto na may masa.

2) ganap na matibay na katawan - isang hanay ng mga materyal na puntos, ang mga distansya sa pagitan na hindi mababago ng anumang mga aksyon.

Sa pamamagitan ng pwersa tatawagan natin layunin na mga dahilan, na resulta ng pakikipag-ugnayan ng mga materyal na bagay, na may kakayahang magdulot ng paggalaw ng mga katawan mula sa isang estado ng pahinga o pagbabago ng umiiral na paggalaw ng huli.

Dahil ang puwersa ay tinutukoy ng paggalaw na dulot nito, mayroon din itong kamag-anak na karakter, depende sa pagpili ng frame of reference.

Ang tanong ng kalikasan ng mga puwersa ay isinasaalang-alang sa pisika.

Ang isang sistema ng mga materyal na punto ay nasa ekwilibriyo kung, sa pamamahinga, hindi ito tumatanggap ng anumang paggalaw mula sa mga puwersang kumikilos dito.

Mula sa pang-araw-araw na karanasan: ang mga puwersa ay likas na vector, iyon ay, magnitude, direksyon, linya ng pagkilos, punto ng aplikasyon. Ang kondisyon para sa balanse ng mga puwersa na kumikilos sa isang matibay na katawan ay nabawasan sa mga katangian ng mga sistema ng mga vector.

Sa pagbubuod ng karanasan sa pag-aaral ng mga pisikal na batas ng kalikasan, sina Galileo at Newton ay bumalangkas ng mga pangunahing batas ng mekanika, na maaaring ituring bilang mga axiom ng mekanika, dahil mayroon silang batay sa mga eksperimentong katotohanan.

Axiom 1. Ang pagkilos ng ilang pwersa sa isang punto ng isang matibay na katawan ay katumbas ng pagkilos ng isa resultang puwersa, itinayo ayon sa panuntunan ng pagdaragdag ng mga vectors (Larawan 2).

Bunga. Ang mga puwersa na inilapat sa isang punto ng isang matibay na katawan ay idinagdag ayon sa paralelogram na tuntunin.

Axiom 2. Dalawang puwersa ang inilapat sa isang matibay na katawan kapwa balanse kung at kung sila ay pantay sa magnitude, nakadirekta sa magkasalungat na direksyon at nakahiga sa parehong tuwid na linya.

Axiom 3. Ang pagkilos ng isang sistema ng pwersa sa isang matibay na katawan ay hindi magbabago kung idagdag sa system na ito o i-drop mula dito dalawang puwersa na magkapareho ang magnitude na nakadirekta sa magkabilang panig at nakahiga sa parehong linya.

Bunga. Ang puwersa na kumikilos sa isang punto ng isang matibay na katawan ay maaaring ilipat kasama ang linya ng pagkilos ng puwersa nang hindi binabago ang balanse (iyon ay, ang puwersa ay isang sliding vector, Fig. 3)

1) Aktibo - lumikha o nakakalikha ng paggalaw ng isang matibay na katawan. Halimbawa, ang lakas ng timbang.

2) Passive - hindi lumilikha ng paggalaw, ngunit nililimitahan ang paggalaw ng isang matibay na katawan, na pumipigil sa paggalaw. Halimbawa, ang puwersa ng pag-igting ng isang hindi nababagong thread (Larawan 4).

Axiom 4. Ang pagkilos ng isang katawan sa pangalawa ay katumbas at kabaligtaran ng pagkilos ng pangalawang katawan na ito sa una ( aksyon ay katumbas ng reaksyon).

Ang mga geometric na kondisyon na naghihigpit sa paggalaw ng mga puntos ay tatawagin mga koneksyon.

Mga kondisyon ng komunikasyon: halimbawa,

- baras ng hindi direktang haba l.

- flexible inextensible thread ng haba l.

Ang mga puwersa dahil sa mga bono at pagpigil sa paggalaw ay tinatawag pwersa ng reaksyon.

Axiom 5. Ang mga bono na ipinataw sa sistema ng mga materyal na puntos ay maaaring mapalitan ng mga puwersa ng reaksyon, na ang pagkilos ay katumbas ng pagkilos ng mga bono.

Kapag hindi mabalanse ng mga passive force ang aksyon aktibong pwersa, nagsisimula ang paggalaw.

Dalawang partikular na problema ng statics

1. Sistema ng nagtatagpong pwersa na kumikilos sa isang matibay na katawan

Isang sistema ng nagtatagpong pwersa ang ganitong sistema ng pwersa ay tinatawag, ang mga linya ng pagkilos na kung saan ay bumalandra sa isang punto, na maaaring palaging kunin bilang pinagmulan (Larawan 5).

Mga projection ng resulta:

;

;

.

Kung , kung gayon ang puwersa ay nagiging sanhi ng paggalaw ng isang matibay na katawan.

Kondisyon ng ekwilibriyo para sa convergent system of forces:

2. Balanse tatlong kapangyarihan

Kung ang tatlong pwersa ay kumilos sa isang matibay na katawan, at ang mga linya ng pagkilos ng dalawang pwersa ay nagsalubong sa isang punto A, ang ekwilibriyo ay posible kung at kung ang linya ng pagkilos ng ikatlong puwersa ay dumaan din sa punto A, at ang puwersa mismo ay pantay. sa magnitude at kabaligtaran na nakadirekta sa kabuuan (Larawan 6).

Mga halimbawa:

Sandali ng puwersa na nauugnay sa punto O tukuyin bilang isang vector, sa laki katumbas ng dalawang beses ang lugar ng isang tatsulok, ang base nito ay isang force vector na may isang vertex sa isang naibigay na punto O; direksyon- orthogonal sa eroplano ng itinuturing na tatsulok sa direksyon kung saan nakikita ang pag-ikot na ginawa ng puwersa sa paligid ng punto O. counterclockwise. ay ang sandali ng sliding vector at ay libreng vector(Larawan 9).

Kaya: o

,

saan ;;.

Kung saan ang F ay ang modulus ng puwersa, ang h ay ang balikat (distansya mula sa punto hanggang sa direksyon ng puwersa).

Sandali ng puwersa tungkol sa axis ay tinatawag na algebraic value ng projection sa axis na ito ng vector ng moment of force na may kaugnayan sa isang arbitrary point O, na kinuha sa axis (Larawan 10).

Ito ay isang scalar na independyente sa pagpili ng punto. Sa katunayan, kami ay lumalawak :|| at sa eroplano.

Tungkol sa mga sandali: hayaan ang О 1 ang punto ng intersection sa eroplano. Pagkatapos:

a) mula sa - sandali => projection = 0.

b) mula sa - sandali kasama => ay isang projection.

Kaya, ang sandali tungkol sa axis ay ang sandali ng bahagi ng puwersa sa patayo sa eroplano sa axis na nauugnay sa punto ng intersection ng eroplano at ng axis.

Varignon's theorem para sa isang sistema ng nagtatagpong pwersa:

Sandali ng resultang puwersa para sa isang sistema ng nagtatagpong pwersa nauugnay sa isang di-makatwirang punto A ay katumbas ng kabuuan mga sandali ng lahat ng bahagi ng pwersa na may kaugnayan sa parehong punto A (Larawan 11).

Patunay sa teorya ng convergent vectors.

Paliwanag: pagdaragdag ng mga puwersa ayon sa parallelogram rule => ang nagresultang puwersa ay nagbibigay ng kabuuang sandali.

Mga tanong sa pagsubok:

1. Pangalanan ang mga pangunahing modelo ng mga tunay na katawan sa theoretical mechanics.

2. Bumuo ng mga axiom ng statics.

3. Ano ang tinatawag na sandali ng puwersa tungkol sa isang punto?

Lektura 2 Mga kondisyon ng ekwilibriyo para sa isang arbitraryong sistema ng pwersa

Mula sa mga pangunahing axiom ng statics, ang mga elementarya na operasyon sa mga puwersa ay sumusunod:

1) ang puwersa ay maaaring ilipat sa linya ng aksyon;

2) mga puwersa na ang mga linya ng aksyon ay bumalandra ay maaaring idagdag ayon sa parallelogram rule (ayon sa panuntunan ng vector karagdagan);

3) sa sistema ng mga puwersa na kumikilos sa isang matibay na katawan, ang isa ay palaging maaaring magdagdag ng dalawang puwersa, pantay sa magnitude, na nakahiga sa parehong tuwid na linya at nakadirekta sa magkasalungat na direksyon.

Ang mga pagpapatakbo sa elementarya ay hindi nagbabago sa mekanikal na estado ng system.

Pangalanan natin ang dalawang sistema ng pwersa katumbas kung ang isa mula sa isa ay maaaring makuha gamit ang elementarya na operasyon (tulad ng sa teorya ng sliding vectors).

Ang isang sistema ng dalawang magkatulad na puwersa, na katumbas ng magnitude at nakadirekta sa magkasalungat na direksyon, ay tinatawag na isang pares ng pwersa(Larawan 12).

Sandali ng isang pares ng pwersa- isang vector na katumbas ng laki sa lugar ng parallelogram na binuo sa mga vector ng pares, at nakadirekta nang orthogonal sa eroplano ng pares sa direksyon kung saan makikitang nagaganap ang pag-ikot na iniulat ng mga vector ng pares. counterclockwise.

, iyon ay, ang sandali ng puwersa tungkol sa punto B.

Ang isang pares ng mga puwersa ay ganap na nailalarawan sa pamamagitan ng sandali nito.

Ang isang pares ng pwersa ay maaaring ilipat sa pamamagitan ng elementarya na mga operasyon sa anumang eroplanong parallel sa eroplano ng pares; baguhin ang magnitude ng pwersa ng pares na inversely proportional sa mga balikat ng pares.

Ang mga pares ng pwersa ay maaaring idagdag, habang ang mga sandali ng mga pares ng pwersa ay idinagdag ayon sa tuntunin ng pagdaragdag ng (libre) na mga vector.

Dinadala ang sistema ng mga pwersang kumikilos sa isang matibay na katawan sa di-makatwirang punto(reference center)- nangangahulugan ng pagpapalit ng kasalukuyang sistema ng mas simple: sistema ng tatlo pwersa, ang isa ay dumaan nang maaga ibinigay na punto, at ang dalawa pa ay kumakatawan sa isang pares.

Ito ay pinatunayan sa tulong ng mga elementary operations (fig.13).

Ang sistema ng nagtatagpong pwersa at ang sistema ng mga pares ng pwersa.

- nagresultang puwersa.

Ang resultang pares

Alin ang kailangang ipakita.

Dalawang sistema ng pwersa kalooban ay katumbas kung at kung ang parehong mga sistema ay nabawasan sa isang resultang puwersa at isang resultang pares, iyon ay, sa ilalim ng mga sumusunod na kondisyon:

Pangkalahatang kaso ng equilibrium ng isang sistema ng mga puwersa na kumikilos sa isang matibay na katawan

Dinadala namin ang sistema ng mga puwersa sa (Larawan 14):

Nagreresultang puwersa sa pamamagitan ng pinagmulan;

Ang nagresultang pares, bukod dito, sa pamamagitan ng puntong O.

Iyon ay, humantong sila sa at - dalawang puwersa, ang isa ay dumaan sa isang naibigay na punto O.

Equilibrium, kung ang isa pang tuwid na linya, ay pantay, nakadirekta sa tapat (axiom 2).

Pagkatapos ay dumadaan sa puntong O, iyon ay.

Kaya, pangkalahatang tuntunin at Kundisyon ekwilibriyo ng isang matibay na katawan:

Ang mga kundisyong ito ay may bisa para sa isang arbitrary na punto sa espasyo.

Mga tanong sa pagsubok:

1. Maglista ng mga elementarya na operasyon sa mga pwersa.

2. Anong mga sistema ng pwersa ang tinatawag na katumbas?

3. Isulat ang mga pangkalahatang kondisyon para sa ekwilibriyo ng isang matibay na katawan.

Lektura 3 Rigid Body Equilibrium Equation

Hayaan ang O ang pinagmulan ng mga coordinate; ay ang nagresultang puwersa; ay ang sandali ng nagresultang pares. Hayaan ang puntong O1 bagong sentro cast (Larawan 15).

Bagong sistema ng puwersa:

Kapag nagbago ang punto ng cast, => nagbabago lamang (sa isang direksyon na may isang senyales, sa isa pa ay may isa pa). Iyon ang punto: tumugma sa mga linya

Analytical: (colinearity ng mga vectors)

; punto O1 coordinate.

Ito ang equation ng isang tuwid na linya, para sa lahat ng mga punto kung saan ang direksyon ng nagresultang vector ay tumutugma sa direksyon ng sandali ng nagresultang pares - ang tuwid na linya ay tinatawag dinamo.

Kung sa axis ng dynamas => , kung gayon ang sistema ay katumbas ng isang resultang puwersa, na tinatawag na ang resultang puwersa ng sistema. Sa kasong ito, palaging, iyon ay.

Apat na kaso ng pagdadala ng pwersa:

1.);- dinamo.

2.); - resulta.

3.);- pares.

4.);- balanse.

Dalawang vector equilibrium equation: ang pangunahing vector at pangunahing punto ay katumbas ng zero.

O anim na scalar equation sa mga projection sa Cartesian coordinate axes:

dito:

Ang pagiging kumplikado ng uri ng mga equation ay nakasalalay sa pagpili ng punto ng pagbabawas => ang sining ng calculator.

Paghahanap ng mga kondisyon ng equilibrium para sa isang sistema ng mga matibay na katawan sa pakikipag-ugnayan<=>ang problema ng balanse ng bawat katawan nang hiwalay, at ang katawan ay apektado ng mga panlabas na pwersa at panloob na pwersa (ang pakikipag-ugnayan ng mga katawan sa mga punto ng contact na may pantay at magkasalungat na direksyon na pwersa - axiom IV, Fig. 17).

Pinipili namin para sa lahat ng katawan ng system isang referral center. Pagkatapos para sa bawat katawan na may numero ng kondisyon ng balanse:

, , (= 1, 2, …, k)

kung saan , - ang nagresultang puwersa at ang sandali ng nagresultang pares ng lahat ng pwersa, maliban sa mga panloob na reaksyon.

Ang nagresultang puwersa at sandali ng nagresultang pares ng mga puwersa ng mga panloob na reaksyon.

Pormal na nagbubuod at isinasaalang-alang ang IV axiom

nakukuha natin mga kinakailangang kondisyon para sa balanse ng isang matibay na katawan:

,

Halimbawa.

Ekwilibriyo: = ?

Mga tanong sa pagsubok:

1. Pangalanan ang lahat ng kaso ng pagdadala ng sistema ng pwersa sa isang punto.

2. Ano ang dinamo?

3. Bumuo ng mga kinakailangang kondisyon para sa ekwilibriyo ng isang sistema ng mga matibay na katawan.

Lektura 4 Flat na sistema ng pwersa

Isang espesyal na kaso ng pangkalahatang paghahatid ng gawain.

Hayaan ang lahat aktibong pwersa humiga sa parehong eroplano - halimbawa, isang sheet. Piliin natin ang puntong O bilang sentro ng pagbabawas - sa parehong eroplano. Nakukuha namin ang nagresultang puwersa at ang nagresultang pares sa parehong eroplano, iyon ay (Larawan 19)

Magkomento.

Ang sistema ay maaaring mabawasan sa isang resultang puwersa.

Mga kondisyon ng balanse:

o mga scalar:

Napakakaraniwan sa mga aplikasyon tulad ng lakas ng mga materyales.

Halimbawa.

Sa alitan ng bola sa board at sa eroplano. Kondisyon ng ekwilibriyo: = ?

Ang problema ng ekwilibriyo ng isang di-libreng matibay na katawan.

Ang isang matibay na katawan ay tinatawag na di-malaya, ang paggalaw nito ay pinipigilan ng mga hadlang. Halimbawa, iba pang mga katawan, hinged fastenings.

Kapag tinutukoy ang mga kondisyon ng ekwilibriyo: ang isang di-libreng katawan ay maaaring ituring na libre, na pinapalitan ang mga bono ng hindi kilalang mga puwersa ng reaksyon.

Halimbawa.

Mga tanong sa pagsubok:

1. Ano ang tinatawag na flat system of forces?

2. Isulat ang mga kondisyon ng ekwilibriyo para sa isang patag na sistema ng mga puwersa.

3. Anong uri ng solidong katawan ang tinatawag na di-malaya?

Lektura 5 Mga espesyal na kaso ng matibay na balanse ng katawan

Teorama. Tatlong pwersa ang nagbabalanse sa isang matibay na katawan kung lahat sila ay nasa parehong eroplano.

Patunay.

Pinipili namin ang isang punto sa linya ng pagkilos ng ikatlong puwersa bilang punto ng pagbawas. Pagkatapos (fig.22)

Iyon ay, ang mga eroplano na S1 at S2 ay nag-tutugma, at para sa anumang punto sa axis ng puwersa, atbp. (Mas madali: sa eroplano para balanse lang).

Sa lahat ng kaluwalhatian at kagandahan nito. Sa tulong nito, minsang naghinuha si Newton sa batayan ng tatlo empirikal na batas Ang batas ni Kepler ng unibersal na grabitasyon. Ang paksa, sa pangkalahatan, ay hindi masyadong kumplikado, ito ay medyo madaling maunawaan. Ngunit mahirap makapasa, dahil ang mga guro ay kadalasang masyadong mapili (tulad ng Pavlova, halimbawa). Kapag nilulutas ang mga problema, kailangan mong malutas ang mga diffuse at kalkulahin ang mga integral.

Mga Pangunahing Ideya

Sa katunayan, ang teorya ng mekanika sa loob ng kursong ito ay ang aplikasyon ng variational na prinsipyo upang kalkulahin ang "galaw" ng iba't ibang pisikal na sistema. Ang calculus ng mga variation ay panandaliang sakop sa kursong Integral Equation at ang Calculus of Variations. Ang mga equation ni Lagrange ay ang mga equation ni Euler na siyang solusyon sa problema na may mga nakapirming dulo.

Ang isang gawain ay karaniwang malulutas ng 3 magkakaibang pamamaraan nang sabay-sabay:

• Paraan ng Lagrange (Lagrange function, Lagrange equation)
• Pamamaraang Hamilton (Hamilton function, Hamilton equation)
• Pamamaraang Hamilton-Jacobi (Hamilton-Jacobi equation)

Mahalagang piliin ang pinakasimple sa mga ito para sa isang partikular na gawain.

materyales

Unang semestre (pagsusulit)

Mga Pangunahing Formula

Panoorin sa malaking sukat!

Teorya

Mga pag-record ng video

Mga Lektura V.R. Khalilova - Pansin! hindi lahat ng lektura ay naitala

Ikalawang semestre (pagsusulit)

Kailangan mong magsimula sa kung ano iba't ibang grupo Iba ang pagsusulit. Karaniwan Ticket sa pagsusulit binubuo ng 2 teoretikal na tanong at 1 gawain. Ang mga tanong ay obligado para sa lahat, ngunit maaari mong parehong alisin ang gawain (para sa mahusay na trabaho sa semestre + mga nakasulat na kontrol), o kumuha ng dagdag (at higit sa isa). Dito sasabihin sa iyo ang tungkol sa mga patakaran ng laro sa mga seminar. Sa mga grupo ng Pavlova at Pimenov, ang theormin ay isinasagawa, na isang uri ng pagpasok sa pagsusulit. Ito ay sumusunod na ang teoryang ito ay dapat na ganap na kilala.

Pagsusulit sa mga grupo ni Pavlova ganito: Upang magsimula ng isang tiket na may 2 tanong ng termino. May kaunting oras upang magsulat, at ang susi dito ay isulat ito ng ganap na ganap. Kung gayon si Olga Serafimovna ay magiging mabait sa iyo at ang natitirang pagsusulit ay magiging kaaya-aya. Susunod ay isang tiket na may 2 tanong sa teorya + n gawain (depende sa iyong trabaho sa semestre). Ang teorya sa loob ng isang teorya ay maaaring iwaksi. Mga gawaing dapat lutasin. Maraming mga problema sa pagsusulit - hindi ito ang katapusan kung alam mo kung paano malutas ang mga ito nang perpekto. Maaari itong gawing isang kalamangan - para sa bawat punto ng pagsusulit na makukuha mo +, + -, -+ o -. Ang rating ay ibinibigay "sa pamamagitan ng pangkalahatang impression" => kung sa teorya ang lahat ay hindi perpekto para sa iyo, ngunit pagkatapos ay 3 + para sa mga gawain, kung gayon Pangkalahatang impresyon mabuti. Ngunit kung ikaw ay walang mga problema sa pagsusulit at ang teorya ay hindi perpekto, kung gayon walang anumang bagay upang pakinisin ito.

Teorya

• Julia. Mga tala sa panayam (2014, pdf) - parehong semestre, 2nd stream
• Pangalawang stream ticket bahagi 1 (mga tala sa lecture at bahagi para sa mga tiket) (pdf)
• Pangalawang stream ticket at talaan ng nilalaman para sa lahat ng bahaging ito (pdf)
• Mga sagot sa mga tiket ng 1st stream (2016, pdf) - sa naka-print na form, napaka-maginhawa
• Kinikilalang Theormin para sa Pimenov Group Exam (2016, pdf) - parehong semestre
• Mga sagot sa theormin para sa mga pangkat ng Pimenov (2016, pdf) - tumpak at tila walang mga error

Mga gawain

• Pavlova's seminars 2nd semester (2015, pdf) - maayos, maganda at malinaw na nakasulat
• Ang mga gawaing maaaring nasa pagsusulit (jpg) - minsan sa ilang mabahong taon ay nasa 2nd stream sila, maaari ding may kaugnayan para sa mga pangkat ng V.R. Khalilova ( mga katulad na gawain nagbibigay siya sa cr)
• Mga gawain para sa mga tiket (pdf)- para sa parehong stream (sa ika-2 stream, ang mga gawaing ito ay nasa mga grupo ng A.B. Pimenov)