Sa kontekstong ito, ang multiplication sign ay isang binary operator. Ang multiplication sign ay walang espesyal na pangalan, tulad ng addition sign, na tinatawag na "plus".

Ang pinakalumang simbolo na ginagamit ay ang diagonal na krus (×). Ito ay unang ginamit ng English mathematician na si William Oughtred sa kanyang Clavis Mathematicae noong 1631. Mas gusto ng German mathematician na si Leibniz ang nakataas na tuldok na sign (∙) Ginamit niya ang simbolong ito sa isang liham noong 1698. Ito ay lumitaw sa kanyang Teutsche Algebra ng 1659.

Sa mga aklat-aralin sa matematika ng Russia, ang sign sa anyo ng isang nakataas na tuldok (∙) ay pangunahing ginagamit. Ang asterisk (∗) ay ginagamit sa computer notation. Ang resulta ay isinulat gamit ang katumbas na tanda " $=$", Halimbawa:

$a\; \backslash cdot\; b\; =\; c$ ; $6\; \backslash cdot\; 3\; =\; 18$(“anim na beses na tatlo ay katumbas ng labing-walo” o “anim na beses na tatlo ay katumbas ng labing-walo”).

talaan ng multiplikasyon sistemang desimal pagtutuos

*	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	0	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	0	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	0	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	0	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	0	9	18	27	36	45	54	63	72	81

Ang pamamaraang ito ay naaangkop sa pagpaparami ng natural at integer (napapailalim sa pag-sign) na mga numero. Para sa iba pang mga numero, mas kumplikadong mga algorithm ang ginagamit.

Pagpaparami ng numero

Mga integer

Gamitin natin ang kahulugan ng natural na mga numero $\backslash mathbb(N)$ bilang equivalence classes ng finite sets. Tukuyin ang mga equivalence classes ng finite sets $C,\; A,\; B$ nabuo ng bijections , gamit ang mga bracket: $[C],\; [A],\; [B]$. Pagkatapos ang aritmetika na operasyon na "multiplikasyon" ay tinukoy bilang mga sumusunod:

$[C]=[A]\; \backslash cdot\; [B]\; =\; ;$

saan: $A\; \backslash times\; B=\backslash ((a,b)\; \backslash mid\; a\; \backslash in\; A\; ,\; b\; \backslash in\; B\; \backslash )$ direktang produkto ng mga set - set $C$, na ang mga elemento ay nakaayos na mga pares $(a,b)$ para sa lahat ng uri $a\; \backslash in\; A\; ,\; b\; \backslash in\; B$. Ang operasyong ito sa mga klase ay ipinakilala nang tama, iyon ay, hindi ito nakasalalay sa pagpili ng mga elemento ng klase, at nag-tutugma sa inductive na kahulugan.

Isa-sa-isang pagmamapa ng isang may hangganang hanay $A$ para sa isang segment $N\_a$ ay maaaring maunawaan bilang ang pagnunumero ng mga elemento ng isang set $A:\; \backslash quad\; A\; \backslash sim\; N\_a$. Ang proseso ng pagnunumero na ito ay tinatawag na "COUNT". Kaya, ang "account" ay ang pagtatatag ng isa-sa-isang pagsusulatan sa pagitan ng mga elemento ng isang set at isang segment ng natural na serye ng mga numero.

Para sa pagpaparami natural na mga numero sa positional notation ng mga numero, ginagamit ang isang bitwise multiplication algorithm. Ibinigay ang dalawang natural na numero $a$ at $b$ tulad na:

$a=a\_(n-1)\; a\_(n-2)\backslash dots\; a\_0,\; \backslash quad\; b=b\_(n-1)\; b\_(n-2)\backslash dots\; b\_0,\; \backslash quad\; \backslash forall\; a\_(k),b\_(k\; )\; \backslash in\; \backslash (P\; \backslash ),\; \backslash quad\; \backslash forall\; a\_(n-1),\; b\_(n-1)\; \backslash ne\; 0,\; \backslash quad\backslash exists\; 0\backslash in\; \backslash N;$

saan $a\_(0\; \backslash dots\; n-1)=a\_k\; P^k,\; \backslash quad\; b\_(0\; \backslash dots\; n-1)=b\_k\; P^k$; $n$- ang bilang ng mga digit sa numero $n\; \backslash in\; \backslash (1,\; 2,\; \backslash dots\; ,n\; \backslash )$; $k$ - serial number discharge (posisyon), $k\; \backslash in\; \backslash (0,\; 1,\; \backslash dots\; ,n-1\; \backslash )$; $P$- base ng sistema ng numero; $\backslash (P\backslash )$ isang set ng mga numerical character (digit), isang tiyak na sistema ng numero: $\backslash (P\_2\; \backslash )=\; \backslash (0,1\; \backslash )$, $\backslash (P\_(10)\; \backslash )=\; \backslash (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\; \backslash )$, $\backslash (P\_(16)\; \backslash )=\; \backslash (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,F\; \backslash )$; pagkatapos:

$c=a\; \backslash sdot\; b;\; \backslash quad\; c\_(n-1)\; c\_(n-2)\backslash dots\; c\_0=a\_(n-1)\; a\_(n-2)\backslash dots\; a\_0\; \backslash sdot\; b\_(n-1)\; b\_(n-2)\backslash dots\; b\_0\; ;$

multiply bit by bit, nakukuha natin $n$ mga intermediate na resulta:

• $t\_(n-1,~0)\; =\; mod(a\_(n-1)\; \backslash cdot\; b\_0\; +\; r\_(n-1),P),\; \backslash quad\; r\_(n)=div(a\_(n-1)\; \backslash cdot\; b\_0\; +\; r\_(n-1),P)~,~~\; t\_0\; \backslash sdot~\; P^k;$
• $t\_(n-1,~1)\; =\; mod(a\_(n-1)\; \backslash cdot\; b\_1\; +\; r\_(n-1),P),\; \backslash quad\; r\_(n)=div(a\_(n-1)\; \backslash cdot\; b\_1\; +\; r\_(n-1),P)~,~~\; t\_1\; \backslash sdot~\; P^k;$
• $...\; \backslash qquad\; \backslash qquad...\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; \backslash qquad...\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; \backslash qquad...$
• $t\_(n-1,~k)\; =\; mod(a\_(n-1)\; \backslash cdot\; b\_(k)\; +\; r\_(n-1),P),\; \backslash quad\; r\_(n)=div(a\_(n-1)\; \backslash cdot\; b\_(k)\; +\; r\_(n-1),P)~,~~\; t\_(k)\; \backslash sdot~\; P^k;$

kung saan ang: r ay ang carry value, ang mod() ay ang function ng paghahanap ng natitirang bahagi ng division, ang div() ay ang function ng paghahanap ng partial quotient.

Pagkatapos ay natanggap $n$ idinagdag namin ang mga intermediate na resulta: $c=t\_0+t\_1+...+t\_(k).$

Kaya, ang pagpapatakbo ng multiplikasyon ay nabawasan sa pamamaraan ng sequential simpleng pagpaparami solong digit na mga numero $a\_(k)\backslash sdot\; b\_(k)$, na may pagbuo ng paglilipat kung kinakailangan, na kung saan ay isinasagawa alinman sa pamamagitan ng tabular na paraan o sa pamamagitan ng sunud-sunod na karagdagan. At pagkatapos ay sa karagdagan.

Ang mga pagpapatakbo ng aritmetika sa mga numero sa anumang sistema ng positional na numero ay ginagawa ayon sa parehong mga patakaran tulad ng sa sistema ng decimal, dahil lahat sila ay batay sa mga patakaran para sa pagsasagawa ng mga operasyon sa mga katumbas na polynomial. Sa kasong ito, kailangan mong gamitin ang multiplication table na naaayon sa base na ito. $P$ mga sistema ng numero.

Isang halimbawa ng pagpaparami ng mga natural na numero sa binary, decimal at hexadecimal na mga sistema ng numero, para sa kaginhawahan, ang mga numero ay nakasulat sa ibaba ng isa ayon sa mga digit, ang paglipat ay nakasulat sa itaas:

$\backslash begin(array)(cccccccccc)$

& & & & & & & & \\ & & & & &1&1&0&1&1&0 \\ & & &*& & &1&1&0&1 \\ \hline & & & &1&1&0&1&1&0 \\ & & & &0&0&0&0&0&0&(\color(Gray)0) \\ & &1&1&0&1 color(Gray)0) &(\color(Gray)0) \\ +&1&1&0&1&1&0&(\color(Gray)0) &(\color(Gray)0) &(\color(Gray)0) \\ \hline 1&0&1&0&1&1&1&1&0 \end(array); \quad \quad \begin(array)(cccccccccc) & & & & &_2&_2&_3&_3& \\ & & & &_1&_2&_2&_2& \\ & & & &8&4&5&6&7 \\ & & &*& & &5&4&1 \\ \hline & &&0&3&4&4 color(Gray)0) \\ +&4&2&2&8&3&5&(\color(Gray)0)&(\color(Gray)0) \\ \hline &4&5&7&5&0&7&4&7 \end(array); \quad \quad

\begin(array)(cccccccccc) &&&&_8&_8&_2 \\ &&&&_D&_D&_3 \\ &&&&6&D&E&4 \\ &&&(*)&&A&1&F \\ \hline &&&6&7&0&5&C \\ &&0&6&E&E&4(color) &&0&6(\&E&4) \color(Gray)0) \\ \hline &4&5&8&3&6&9&C

\end(array)~~.

Buong mga numero

$\backslash alpha\; =\; \backslash pm\; a\_0,\; a\_1\; a\_2\; \backslash ldots\; a\_n\; \backslash ldots\; =\; \backslash (a\_n\backslash )$, $\backslash beta\; =\; \backslash pm\; b\_0,\; b\_1\; b\_2\; \backslash ldots\; b\_n\; \backslash ldots\; =\; \backslash (b\_n\backslash )$

tinukoy ayon sa pagkakabanggit sa pamamagitan ng mga pangunahing pagkakasunud-sunod ng mga makatwirang numero (kasiya-siya sa kondisyon ng Cauchy), na tinukoy bilang: $\backslash alpha=$ at $\backslash beta=$, kung gayon ang kanilang produkto ay tinatawag na numero $\backslash gamma=$, na tinukoy ng produkto ng mga sequence $\backslash (a\_n\backslash )$ at $\backslash (b\_n\backslash )$:

$\backslash gamma\; =\; \backslash alpha\; \backslash cdot\; \backslash beta\; \backslash overset(\backslash text(def))(=)\; \backslash cdot\; =$;

totoong numero $\backslash gamma\; =\; \backslash alpha\; \backslash cdot\; \backslash beta$, natutugunan ang sumusunod na kondisyon:

\para sa lahat a", a ,b",b\in \mathbb(Q); ~~~~ (a" \leqslant \alpha \leqslant a ) \at (b" \leqslant \beta \leqslant b) \Rightarrow (a" \cdot b" ​​​​\leqslant \alpha \times \beta \leqslant a \cdot b) \Rightarrow (a" \cdot b" ​​​​\leqslant \gamma \leqslant a \cdot b)

.

Kaya, ang produkto ng dalawang tunay na numero $\backslash alpha$ at $\backslash beta$ ay totoong numero $\backslash gamma$ na nakapaloob sa pagitan ng lahat ng mga produkto ng anyo $a"\; \backslash cdot\; b"$ sa isang banda at lahat ng mga produkto ng anyo $a$\cdot b sa kabila .

Sa pagsasagawa, upang i-multiply ang dalawang numero $\backslash alpha$ at $\backslash beta$, kinakailangang palitan ang mga ito ng kinakailangang katumpakan sa pamamagitan ng tinatayang mga makatwirang numero $a$ at $b$. Para sa tinatayang halaga ng produkto ng mga numero $\backslash alpha\; \backslash cdot\; \backslash beta$ kunin ang produkto ng ipinahiwatig na mga rational na numero $a\backslash cdot\; b$. Kasabay nito, hindi mahalaga kung aling panig (sa pamamagitan ng kakulangan o labis) ang kinuha mga rational na numero ilapit $\backslash alpha$ at $\backslash beta$. Isinasagawa ang multiplikasyon ayon sa bitwise multiplication algorithm.

Upang i-multiply ang dalawang kumplikadong numero sa trigonometrikong anyo records, kailangan mong i-multiply ang kanilang mga module, at idagdag ang mga argumento:

$c=a\; \backslash cdot\; b=r\_1\; (Cos\; \backslash varphi\; \_1+\; iSin\; \backslash varphi\; \_1)\; ~\backslash cdot~\; r\_2\; (Cos\; \backslash varphi\; \_2+\; iSin\backslash varphi\; \_2)\; =r\_1\; \backslash cdot\; r\_2\; (Cos\; (\backslash varphi\; \_1+\backslash varphi\; \_2)+\; iSin\; (\backslash varphi\_1+\backslash varphi\_2)),$ saan: $r=|z|=|a+ib|=\backslash sqrt(a^2+b^2);~~~\backslash varphi\; =\; Arg(z)=arctg\; \backslash biggl(\backslash frac(b)(a)\; \backslash biggr)\; ,$ modulus at argumento ng isang kumplikadong numero.

Pagpaparami ng isang kumplikadong numero $a\; =\; r\_1\; e^\; (i\backslash varphi\; \_1)$ sa indicative form, sa isang kumplikadong numero $b\; =\; r\_2\; e^\; (i\backslash varphi\; \_2)$ bumababa sa pag-ikot ng vector na naaayon sa numero $a$, sa kanto $Arg(b)$ at binabago ang haba nito sa $|b|$ minsan. Para sa trabaho kumplikadong mga numero sa exponential form, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

$c=re^\; (i\backslash varphi)=a\; \backslash cdot\; b\; =\; r\_1\; e^\; (i\backslash varphi\; \_1)\; \backslash cdot\; r\_2\; e^\; (i\backslash varphi\; \_2)=\; r\_1\backslash cdot\; r\_2\backslash cdot\; e^\; (i(\backslash varphi\; \_1+\; \backslash varphi\_2)),$

saan: $e=2.718281828...$- numero e .

Exponential notation

Halimbawa, kung i-multiply mo ang bilis $V=4~m/s$ sa isang saglit $T=2~s$ naaayon sa isang pisikal na proseso, pagkatapos ay makakakuha ka ng pinangalanang numero (pisikal na dami) na tumutugma sa parehong pisikal na proseso, na tinatawag na "haba" at sinusukat sa metro: $L=8~m$.

$L=V\; \backslash cdot\; T\; =\; 4~\backslash frac(m)(s)\; \backslash cdot\; 2~s\; =8\; ~\backslash frac(m\; \backslash cdot\; s)(s)=\; 8\; ~m.$

Kapag naglalarawan ibig sabihin ng matematika mga pisikal na proseso isang mahalagang papel ang ginagampanan ng konsepto ng homogeneity, na nangangahulugang, halimbawa, na ang "1 kg ng harina" at "1 kg ng tanso" ay nabibilang sa iba't ibang set(harina) at (tanso) ayon sa pagkakabanggit. Gayundin, ang konsepto ng homogeneity ay nagmumungkahi na ang mga multiply na dami ay nabibilang sa parehong pisikal na proseso.

Tingnan din

Sumulat ng pagsusuri sa artikulong "Pagpaparami"

Mga Tala

Panitikan

• Ilyin V.A. at iba pa.. - Moscow State University, 1985. - T. 1. - 662 p.
• Enderton G. Mga Elemento ng Set Theory = Mga Elemento ng Set Theory. - Gulf Professional Publishing, 1977. - 279 p. - ISBN 0-12-238440-7.
• Barsukov A.N.. - Enlightenment, 1966. - 296 p.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G.. - Enlightenment, 1988. - 416 p.
• Istomina N.B.. - Association XXI century, 2005. - 272 p. - ISBN 5-89308-193-5.
• Vygodsky M. Ya. Handbook ng elementarya na matematika. - M .: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6.
• SA AT. Igoshin(Russian): artikulo. - Saratov Pambansang Unibersidad ipinangalan kay N.G. Chernyshevsky, 2010.
• Kononyuk A.E.. - Edukasyon ng Ukraine, 2012. - Tomo 2. - 548 p. - ISBN 978-966-7599-50-8.
• : [Agosto 24, 2011] // Pamumuno / Artemy Lebedev. - Enero 15, 2003 - § 97.

Isang sipi na nagpapakilala sa Multiplikasyon

"Kung gusto mo, magpalit ka ng damit, please," sabi niya at naglakad paalis.

- Ito ay darating! sigaw ng machinist nung mga oras na yun.
Ang komandante ng regimental, namumula, ay tumakbo papunta sa kabayo, na may nanginginig na mga kamay na humawak sa estribo, inihagis ang katawan, nabawi ang kanyang sarili, bumunot ng kanyang espada, at may masaya, determinadong mukha, na nakabuka ang kanyang bibig sa isang tabi, naghanda. para sumigaw. Nagsimula ang rehimyento na parang nagpapagaling na ibon at nanlamig.
- Smir r r na! - ang komandante ng regimental ay sumigaw sa isang boses na nanginginig sa kaluluwa, natutuwa para sa kanyang sarili, mahigpit na may kaugnayan sa rehimyento at palakaibigan na may kaugnayan sa papalapit na pinuno.
Sa kahabaan ng isang malawak, nababalutan ng puno, mataas, walang highway na kalsada, bahagyang dumadagundong sa mga bukal nito, isang matangkad na asul na karwahe ng Viennese ang sumakay sa isang tren sa mabilis na pagtakbo. Isang retinue at isang convoy ng Croats ang sumugod sa likod ng karwahe. Malapit sa Kutuzov ay nakaupo ang isang Austrian general sa isang kakaiba, sa mga itim na Ruso, puting uniporme. Huminto ang karwahe sa rehimyento. Si Kutuzov at ang Austrian general ay tahimik na nag-uusap tungkol sa isang bagay, at bahagyang ngumiti si Kutuzov, habang, sa paghakbang ng mabigat, ibinaba niya ang kanyang paa mula sa footboard, na parang walang 2,000 tao na nakatingin sa kanya at sa kanya nang hindi humihinga. kumander ng regimental.
May sumigaw ng utos, muli ang rehimyento, nagri-ring, nanginginig, nagbabantay. Sa patay na katahimikan narinig ko mahinang boses commander in chief. Ang rehimyento ay sumigaw: "Inaasahan namin ang iyong kalusugan, ang iyong panginoon!" At muling nagyelo ang lahat. Noong una, nakatayo si Kutuzov sa isang lugar habang gumagalaw ang rehimyento; pagkatapos Kutuzov, sa tabi ng puting heneral, sa paglalakad, sinamahan ng kanyang retinue, nagsimulang maglakad sa mga ranggo.
Mula sa paraan ng pagsaludo ng regimental commander sa commander-in-chief, pinandilatan siya, pag-unat at pagbangon, kung paano siya yumuko ay sumunod sa mga heneral sa mga hanay, halos hindi nagpipigil sa kanyang nanginginig na paggalaw, kung paano siya tumatalon sa bawat salita at galaw. ng commander-in-chief, malinaw na ginagampanan niya ang kanyang mga tungkuling nasasakupan nang may higit na kasiyahan kaysa sa mga tungkulin ng isang amo. Ang regiment, salamat sa kalubhaan at kasipagan ng regimental commander, ay nasa mahusay na kondisyon kumpara sa iba na dumating sa parehong oras sa Braunau. Mayroon lamang 217 na may kapansanan at may sakit. Maayos ang lahat, maliban sa sapatos.
Naglakad si Kutuzov sa mga hilera, paminsan-minsan ay humihinto at nagsasalita ng ilan mabait na salita mga opisyal na kilala niya digmaang Turko at minsan mga sundalo. Sinulyapan niya ang sapatos, malungkot niyang ipinilig ang kanyang ulo ng ilang beses at itinuro ang mga ito sa Austrian general na may ganoong ekspresyon na tila hindi niya sinisisi ang sinuman para dito, ngunit hindi niya maiwasang makita kung gaano ito kasama. Ang kumander ng regimental ay tumatakbo sa unahan, natatakot na makaligtaan ang salita ng pinuno ng komandante tungkol sa rehimyento. Sa likod ni Kutuzov, sa ganoong kalayuan na maaaring marinig ang anumang mahinang salita, naglakad ang isang lalaki na may 20 retinue. Ang mga ginoo ng mga retinue ay nag-uusap sa kanilang mga sarili at kung minsan ay nagtatawanan. Ang pinakamalapit sa likod ng commander-in-chief ay isang gwapong adjutant. Ito ay si Prinsipe Bolkonsky. Sa tabi niya ay lumakad ang kanyang kasamang si Nesvitsky, isang matangkad na opisyal ng kawani, sobrang matipuno, na may mabait at nakangiting makisig na mukha at mamasa-masa na mga mata; Halos hindi napigilan ni Nesvitsky ang kanyang sarili na tumawa, napukaw ng maitim na opisyal ng hussar na naglalakad sa tabi niya. Ang opisyal ng hussar, nang hindi ngumingiti, nang hindi nagbabago ang ekspresyon ng kanyang nakapirming mga mata, ay tumingin nang may seryosong mukha sa likuran ng komandante ng regimental at ginagaya ang bawat galaw niya. Sa bawat oras na nanginginig at nakasandal ang regimental commander, sa parehong paraan, eksakto sa parehong paraan, ang hussar officer ay nanginginig at nakasandal. Tumawa si Nesvitsky at itinulak ang iba na tumingin sa nakakatawang lalaki.
Mabagal at walang pagod na lumakad si Kutuzov na lumampas sa isang libong mata na lumabas sa kanilang mga saksakan, sinusundan ang amo. Naka-level na siya sa 3rd company, bigla siyang tumigil. Ang retinue, na hindi nakikita ang paghinto na ito, ay hindi sinasadyang sumulong sa kanya.
- Ah, Timokhin! - sabi ng commander-in-chief, na kinikilala ang kapitan na may pulang ilong, na nagdusa para sa isang asul na kapote.
Tila imposibleng mag-inat nang higit pa sa pag-unat ni Timokhin, habang sinaway siya ng komandante ng regimental. Ngunit sa pagkakataong iyon ay hinarap siya ng punong-komandante, itinaas ng kapitan ang kanyang sarili upang tila kung tumingin pa sa kanya ang punong-komandante ng kaunting panahon, hindi na ito makakayanan ng kapitan. ; at samakatuwid si Kutuzov, tila nauunawaan ang kanyang posisyon at nagnanais, sa kabilang banda, ang lahat ng pinakamahusay para sa kapitan, ay dali-daling tumalikod. Isang bahagyang ngiti ang bumungad sa matambok at sugatang mukha ni Kutuzov.
"Isa pang kasamang Izmaylovsky," sabi niya. "Matapang na opisyal!" Masaya ka ba dito? Tinanong ni Kutuzov ang regimental commander.
At ang kumander ng regimental, na parang sumasalamin sa isang salamin, na hindi nakikita sa kanyang sarili, sa opisyal ng hussar, nanginginig, pumunta pasulong at sumagot:
“Sobrang nasisiyahan, Kamahalan.
"Lahat tayo ay walang mga kahinaan," sabi ni Kutuzov, nakangiti at lumayo sa kanya. “May attachment siya kay Bacchus.
Ang komandante ng regimental ay natakot na hindi siya masisi para dito, at hindi sumagot. Napansin ng opisyal sa sandaling iyon ang mukha ng kapitan na may pulang ilong at may nakasukbit na tiyan, at ginaya niya ang kanyang mukha at postura nang ganoon din kaya hindi napigilan ni Nesvitsky ang pagtawa.
Lumingon si Kutuzov. Ito ay maliwanag na ang opisyal ay maaaring kontrolin ang kanyang mukha ayon sa gusto niya: sa sandaling si Kutuzov ay tumalikod, ang opisyal ay pinamamahalaang gumawa ng isang pagngiwi, at pagkatapos ay kinuha ang pinakaseryoso, magalang at inosenteng ekspresyon.
Ang pangatlong kumpanya ay ang huli, at naisip ni Kutuzov, tila may naaalala. Lumabas si Prinsipe Andrei mula sa retinue at tahimik na sinabi sa Pranses:
- Inutusan mong ipaalala ang na-demote na Dolokhov sa rehimyento na ito.
- Nasaan si Dolokhov? tanong ni Kutuzov.
Si Dolokhov, na nakasuot ng kulay abong kapote ng sundalo, ay hindi na hinintay na tawagin. Ang payat na pigura ng isang blond na may malinaw asul na mata lumabas ang sundalo sa harapan. Lumapit siya sa commander-in-chief at gumawa ng bantay.
– Claim? - Bahagyang nakasimangot, tinanong ni Kutuzov.
"Ito si Dolokhov," sabi ni Prinsipe Andrei.
– A! Sabi ni Kutuzov. – Sana ay maitama ka ng araling ito, maglingkod nang mabuti. Ang Emperador ay maawain. At hindi kita makakalimutan kung karapatdapat ka.
Ang maaliwalas na asul na mga mata ay tumingin sa commander-in-chief nang buong tapang gaya ng ginawa nila sa regimental commander, na para bang sa kanilang ekspresyon ay pinupunit nila ang belo ng conventionality na naghihiwalay sa commander-in-chief na napakalayo sa sundalo.
"Isang bagay ang hinihiling ko sa iyo, Your Excellency," sabi niya sa kanyang matunog, matatag, at hindi nagmamadaling boses. “Hinihiling ko sa iyo na bigyan mo ako ng pagkakataong mabawi ang aking pagkakasala at patunayan ang aking debosyon sa emperador at Russia.
Tumalikod si Kutuzov. Ang parehong ngiti ng kanyang mga mata ay sumilay sa kanyang mukha tulad ng sa oras na siya ay tumalikod kay Kapitan Timokhin. Tumalikod siya at ngumisi, na parang gusto niyang ipahayag dito na lahat ng sinabi sa kanya ni Dolokhov, at lahat ng masasabi niya sa kanya, matagal na niyang alam na ang lahat ng ito ay naiinip na sa kanya at lahat ng ito ay hindi lahat ng kailangan niya.. Tumalikod siya at naglakad patungo sa karwahe.
Ang rehimyento ay inayos sa mga kumpanya at nagtungo sa mga nakatalagang apartment na hindi kalayuan sa Braunau, kung saan inaasahan nilang magsuot ng sapatos, magbihis at magpahinga pagkatapos ng mahihirap na paglipat.
- Hindi ka nagpapanggap sa akin, Prokhor Ignatich? - sabi ng regimental commander, umikot sa 3rd company na patungo sa lugar at nagmamaneho papunta kay Captain Timokhin, na naglalakad sa harap nito. Ang mukha ng komandante ng regimental, pagkatapos ng isang masayang pag-alis na pagsusuri, ay nagpahayag ng hindi mapigilan na kagalakan. - The royal service ... you can't ... another time you'll cut off at the front ... Ako ang unang hihingi ng tawad, kilala mo ako ... Maraming salamat! At inilahad niya ang kanyang kamay sa kumander.
"Excuse me, General, maglakas-loob ba ako!" - sagot ng kapitan, namumula ang kanyang ilong, nakangiti at inilalantad sa isang ngiti ang kakulangan ng dalawang ngipin sa harapan, na nalaglag ng isang puwit malapit kay Ismael.
- Oo, sabihin kay G. Dolokhov na hindi ko siya malilimutan, upang siya ay kalmado. Oo, pakisabi, gusto ko tuloy magtanong, ano ba siya, kumusta siya? At ang lahat...
"Siya ay napakahusay sa kanyang serbisyo, Kamahalan ... ngunit ang carakhter ..." sabi ni Timokhin.
- At ano, ano ang karakter? tanong ng regimental commander.
"Nahanap niya, Kamahalan, sa loob ng ilang araw," sabi ng kapitan, "siya ay matalino, at may aral, at mabait. At halimaw iyon. Sa Poland, pinatay niya ang isang Hudyo, kung alam mo ...
- Buweno, oo, oo, oo, - sabi ng kumander ng regimen, - kailangan mo pa ring maawa sa binata sa kasawian. Kung tutuusin malalaking koneksyon… Kaya ikaw…
"Nakikinig ako, Your Excellency," sabi ni Timokhin, na may ngiti na nagpaparamdam na naiintindihan niya ang gusto ng amo.
- Oo Oo.
Natagpuan ng komandante ng regimental si Dolokhov sa mga ranggo at pinigilan ang kanyang kabayo.
"Bago ang unang kaso, epaulettes," sabi niya sa kanya.
Tumingin si Dolokhov sa paligid, walang sinabi at hindi binago ang ekspresyon ng kanyang mapanuksong nakangiting bibig.
“Well, that’s good,” pagpapatuloy ng regimental commander. "Ang mga tao ay nakakakuha ng isang baso ng vodka mula sa akin," dagdag niya, upang marinig ng mga sundalo. - Salamat sa lahat! Salamat sa Diyos! - At siya, nang maabutan ang isang kumpanya, ay sumakay sa isa pa.
“Well, siya ay talagang isang mabuting tao; You can serve with him,” sabi ni Timokhin subaltern sa opisyal na naglalakad sa tabi niya.
- Isang salita, pula! ... (ang regimental commander ay binansagan na pulang hari) - sabi ng subaltern officer, tumatawa.
Ang masayang kalooban ng mga awtoridad pagkatapos ng pagsusuri ay ipinasa sa mga sundalo. Nagsasaya si Rota. Ang mga boses ng mga sundalo ay nagsasalita mula sa lahat ng panig.
- Paano nila sinabi, Kutuzov baluktot, tungkol sa isang mata?
- Pero hindi! Ganap na baluktot.
- Hindi ... kapatid, mas malaki ang mata kaysa sa iyo. Mga bota at kwelyo - tumingin sa paligid ng lahat ...
- Paano siya, aking kapatid, tumingin sa aking mga paa ... mabuti! isipin mo...
- At ang isa ay isang Austrian, kasama niya, na parang pinahiran ng chalk. Parang harina, puti. Ako ay tsaa, kung gaano sila naglinis ng mga bala!
- Ano, Fedeshow! ... sinabi niya, marahil, kapag nagsimula ang mga guwardiya, tumayo ka ba nang mas malapit? Sinabi nila ang lahat, si Bunaparte mismo ay nakatayo sa Brunov.
- Bunaparte nakatayo! sinungaling ka, tanga! Anong hindi alam! Ngayon ang Prussian ay nag-aalsa. Ang Austrian, samakatuwid, ay nagpapatahimik sa kanya. Sa sandaling makipagkasundo siya, pagkatapos ay magbubukas ang digmaan sa Bounaparte. At pagkatapos, sabi niya, sa Brunov, nakatayo si Bunaparte! Obvious naman na tulala siya. Mas makinig ka.
“Tingnan mo, maldita na mga nangungupahan! Ang ikalimang kumpanya, tingnan mo, lumiliko na sa nayon, magluluto sila ng lugaw, at hindi pa kami makakarating sa lugar.
- Bigyan mo ako ng cracker, damn it.
"Nagbigay ka ba ng tabako kahapon?" Ayan, kuya. Aba, kasama mo ang Diyos.
- Kung huminto lang sila, kung hindi, hindi ka kakain ng isa pang limang milya ng proprem.
- Maganda kung paano kami binigyan ng mga German ng mga stroller. Pumunta ka, alam mo: ito ay mahalaga!
- At narito, kapatid, ang mga tao ay naging ganap na galit na galit. Doon ang lahat ay tila isang Pole, ang lahat ay sa korona ng Russia; at ngayon, kapatid, isang solidong Aleman ang nawala.
- Mga songwriter sa unahan! - Narinig ko ang sigaw ng kapitan.
At dalawampung tao ang tumakbo palabas sa harap ng kumpanya mula sa iba't ibang ranggo. Ang kumakanta ng drummer ay tumalikod upang harapin ang mga aklat ng awit, at, iwinagayway ang kanyang kamay, kumanta ng isang nakabunot na awit ng sundalo, simula: "Hindi ba madaling araw, sumisikat na ang araw ..." at nagtatapos sa mga salitang: "Iyon, mga kapatid, ay magiging kaluwalhatian sa amin kasama si Kamensky ama ..." Ang awit na ito ay binubuo sa Turkey at ngayon ay inaawit sa Austria, tanging sa pagbabago na kapalit ng "Kamensky father" ay ipinasok ang mga salita: "Ang ama ni Kutuzov ."
Pinunit ang mga sundalong ito huling salita at winawagayway ang kanyang mga braso na parang may ibinabato sa lupa, ang drummer, tuyo at guwapong sundalo mga apatnapung taong gulang, ang sundalong manunulat ng kanta ay tumingin nang mahigpit at pinikit ang kanyang mga mata. Pagkatapos, tinitiyak na ang lahat ng mga mata ay nakatutok sa kanya, tila maingat niyang itinaas gamit ang magkabilang kamay ang ilang hindi nakikita, mahalagang bagay sa itaas ng kanyang ulo, hinawakan ito ng ganoon nang ilang segundo, at biglang itinapon ito ng desperadong:
Oh, ikaw, ang aking canopy, ang aking canopy!
“Canopy my new…”, dalawampung boses ang narinig, at ang kutsara, sa kabila ng bigat ng bala, ay mabilis na tumalon pasulong at naglakad paatras sa harap ng kumpanya, iginalaw ang kanyang mga balikat at pinagbantaan ang isang tao na may mga kutsara. Ang mga sundalo, na ikinakaway ang kanilang mga braso sa beat ng kanta, lumakad na may maluwang na hakbang, na hindi sinasadyang tinamaan ang binti. Sa likod ng kumpanya ay dumating ang mga tunog ng mga gulong, ang langutngot ng mga bukal at ang mga kalansing ng mga kabayo.
Si Kutuzov kasama ang kanyang mga kasama ay bumalik sa lungsod. Sumenyas ang pinunong-komandante na ang mga tao ay dapat magpatuloy sa paglalakad nang malaya, at ang kanyang mukha at lahat ng mga mukha ng kanyang kasama ay nagpahayag ng kasiyahan sa tunog ng kanta, nang makita ang sumasayaw na kawal at ang masayang-masaya at matulin na nagmamartsa na mga kawal ng ang kompanya. Sa pangalawang hilera, mula sa kanang gilid, kung saan naabutan ng karwahe ang mga kumpanya, isang asul na mata na sundalo, si Dolokhov, ang hindi sinasadyang nakakuha ng mata, na lumakad nang masigla at matikas sa kumpas ng kanta at tumingin sa mga mukha ng mga dumaraan na may ganoong ekspresyon na para bang naaawa siya sa lahat ng hindi pumunta sa oras na ito sa isang kumpanya. Isang hussar cornet mula sa retinue ni Kutuzov, na ginagaya ang regimental commander, ay nahuli sa likod ng karwahe at nagmaneho hanggang sa Dolokhov.
Ang hussar cornet na si Zherkov noong isang panahon sa St. Petersburg ay kabilang sa marahas na lipunang iyon na pinamumunuan ni Dolokhov. Nakilala ni Zherkov si Dolokhov sa ibang bansa bilang isang sundalo, ngunit hindi niya itinuturing na kinakailangan na kilalanin siya. Ngayon, pagkatapos ng pakikipag-usap ni Kutuzov sa na-demote, lumingon siya sa kanya na may kagalakan ng isang matandang kaibigan:
- Mahal na kaibigan, kumusta ka? - sabi niya sa tunog ng kanta, pinapantayan niya ang hakbang ng kabayo niya sa hakbang ng kumpanya.
- Parang ako? - malamig na sagot ni Dolokhov, - tulad ng nakikita mo.
Nagbigay ang masiglang kanta espesyal na kahulugan ang tono ng bastos na kagalakan kung saan nagsalita si Zherkov, at ang sadyang lamig ng mga sagot ni Dolokhov.
- Kaya, paano ka makisama sa mga awtoridad? tanong ni Zherkov.
- Wala, mabubuting tao. Paano ka nakapasok sa headquarters?
- Seconded, naka-duty ako.
Natahimik sila.
"I let the falcon out of my right sleeve," sabi ng kanta, na hindi sinasadyang pumukaw ng masaya at masayang pakiramdam. Malamang iba ang usapan nila kung hindi sila nagsalita sa tunog ng kanta.
- Ano ang totoo, ang mga Austrian ay binugbog? tanong ni Dolokhov.
“Alam ng diyablo, sabi nila.
"Natutuwa ako," maikling at malinaw na sagot ni Dolokhov, tulad ng hinihiling ng kanta.
- Buweno, pumunta sa amin kapag sa gabi, ang pharaoh ay magsangla, - sabi ni Zherkov.
O marami ka bang pera?
- Halika.
- Ito ay ipinagbabawal. Siya ay nagbigay ng isang panata. Hindi ako umiinom o naglalaro hangga't hindi ito natatapos.
Well, bago ang unang bagay...
- Makikita mo ito doon.
Muli silang natahimik.
"Pumasok ka, kung kailangan mo ng anuman, lahat ng nasa punong tanggapan ay tutulong..." sabi ni Zherkov.
Humalakhak si Dolokhov.
“Mabuti pang huwag kang mag-alala. Ang kailangan ko, hindi ko itatanong, ako na mismo ang kukuha.
"Oo, kaya ako...
- Well, ako rin.
- Paalam.
- Maging malusog…
... at mataas at malayo,
Sa home side...
Hinawakan ni Zherkov ang kanyang kabayo gamit ang kanyang mga spurs, na tatlong beses, nasasabik, sinipa, hindi alam kung saan magsisimula, pinamamahalaan at tumakbo, naabutan ang kumpanya at nakahabol sa karwahe, sa oras din sa kanta.

Pagbalik mula sa pagsusuri, si Kutuzov, na sinamahan ng isang Austrian general, ay pumunta sa kanyang opisina at, tinawag ang adjutant, inutusan na bigyan ang kanyang sarili ng ilang mga papeles na may kaugnayan sa estado ng mga papasok na hukbo, at mga liham na natanggap mula kay Archduke Ferdinand, na namamahala. advanced na hukbo. Si Prince Andrei Bolkonsky kasama ang mga kinakailangang papel ay pumasok sa opisina ng punong kumander. Sa harap ng planong inilatag sa mesa ay nakaupo si Kutuzov at isang Austrian na miyembro ng Hofkriegsrat.
"Ah ..." sabi ni Kutuzov, tumingin pabalik kay Bolkonsky, na parang sa salitang ito ay nag-aanyaya sa adjutant na maghintay, at ipinagpatuloy ang pag-uusap na nagsimula sa Pranses.
"Isa lang ang sasabihin ko, Heneral," sabi ni Kutuzov na may kaaya-ayang kagandahan ng pagpapahayag at intonasyon, na pinipilit ang isa na makinig sa bawat nakakalibang na salita. Maliwanag na nakinig si Kutuzov sa kanyang sarili nang may kasiyahan. - Isa lamang ang sinasabi ko, Heneral, na kung ang bagay ay nakasalalay sa aking personal na pagnanais, kung gayon ang kalooban ng Kanyang Kamahalan na Emperador Franz ay matagal nang natupad. Matagal na sana akong sumali sa Archduke. At maniwala ka sa aking karangalan, na para sa akin na personal na ilipat ang mas mataas na utos ng hukbo nang higit pa kaysa sa akin sa isang may kaalaman at bihasang heneral, tulad ng Austria ay napakarami, at ang ibigay ang lahat ng mabigat na responsibilidad na ito para sa akin ng personal ay magiging isang kagalakan. . Ngunit ang mga pangyayari ay mas malakas kaysa sa amin, Heneral.
At ngumiti si Kutuzov na may ekspresyon na parang sinasabi niya: "May karapatan kang huwag maniwala sa akin, at kahit na wala akong pakialam kung maniwala ka sa akin o hindi, ngunit wala kang dahilan para sabihin ito sa akin. At iyon ang buong punto."
Ang Austrian general ay mukhang hindi nasisiyahan, ngunit hindi makasagot kay Kutuzov sa parehong tono.
"Sa kabaligtaran," sabi niya sa isang pag-ungol at galit na tono, na salungat sa nakakapuri na kahulugan ng mga salitang binibitawan niya, "sa kabaligtaran, ang pakikilahok ng Kamahalan sa parehong dahilan mataas na iginagalang ng kanyang kamahalan; ngunit naniniwala kami na ang isang tunay na paghina ay nag-aalis sa maluwalhating mga tropang Ruso at sa kanilang mga kumander ng mga tagumpay na nakasanayan nilang anihin sa labanan, "tinapos niya ang tila handa na parirala.
Yumuko si Kutuzov nang hindi nagbabago ang kanyang ngiti.
- At lubos akong kumbinsido at, batay sa huling liham na pinarangalan ako ng Kanyang Kataas-taasang Arkduke Ferdinand, ipinapalagay ko na ang mga hukbong Austrian, sa ilalim ng utos ng isang bihasang katulong bilang Heneral Mack, ay nanalo na ngayon ng isang mapagpasyang tagumpay at hindi na. kailangan ang aming tulong, - sabi ni Kutuzov.
Kumunot ang noo ng heneral. Bagama't walang positibong balita tungkol sa pagkatalo ng mga Austriano, napakaraming mga pangyayari na nagpapatunay sa pangkalahatang hindi kanais-nais na mga alingawngaw; at samakatuwid ang palagay ni Kutuzov tungkol sa tagumpay ng mga Austriano ay halos kapareho sa isang panunuya. Ngunit si Kutuzov ay ngumiti ng maamo, na may parehong ekspresyon na nagsasabing siya ay may karapatan na ipalagay ito. Talaga, huling sulat, na natanggap niya mula sa hukbo ni Mack, ipinaalam sa kanya ang tagumpay at ang pinaka-kapaki-pakinabang na madiskarteng posisyon ng hukbo.
"Ibigay mo sa akin ang liham na ito," sabi ni Kutuzov, lumingon kay Prinsipe Andrei. - Narito ka, kung gusto mong makita ito. - At si Kutuzov, na may mapanuksong ngiti sa mga dulo ng kanyang mga labi, ay binasa ang sumusunod na sipi mula sa liham ni Archduke Ferdinand mula sa German-Austrian general: “Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70,000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirte mit seine Abbent vertell. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereiten, so er verdient.” [We have a fully concentrated force, about 70,000 people, para maatake at talunin natin ang kalaban kung tatawid siya sa Lech. Dahil pagmamay-ari na natin ang Ulm, maaari nating mapanatili ang kalamangan ng pag-uutos sa magkabilang pampang ng Danube, samakatuwid, bawat minuto, kung ang kaaway ay hindi tumawid sa Lech, tumawid sa Danube, sumugod sa kanyang linya ng komunikasyon, tumawid sa Danube sa ibaba at ang kaaway , kung magpasya siyang ibigay ang lahat ng kanyang lakas sa ating mga tapat na kaalyado, upang pigilan ang kanyang intensyon na matupad. Kaya, masayang aasahan natin ang panahon kung kailan ang imperyal hukbong Ruso ganap na handa, at pagkatapos ay magkasama madali kaming makahanap ng isang pagkakataon upang ihanda ang kapalaran ng kaaway, na nararapat sa kanya.
Mabigat na buntong-hininga si Kutuzov, matapos ang panahong ito, at maingat at magiliw na tiningnan ang miyembro ng Hofkriegsrat.
“Ngunit alam mo, Kamahalan, matalinong tuntunin nagrereseta upang ipagpalagay ang pinakamasama, "sabi ng heneral ng Austrian, tila nais na wakasan ang mga biro at bumaba sa negosyo.
Kusa niyang sinulyapan ang adjutant.
"Excuse me, General," pinutol siya ni Kutuzov at lumingon din kay Prinsipe Andrei. - Iyan ang, aking mahal, kunin mo ang lahat ng mga ulat mula sa aming mga tagamanman mula sa Kozlovsky. Narito ang dalawang liham mula kay Count Nostitz, narito ang isang liham mula sa Kanyang Kataas-taasang Archduke Ferdinand, narito ang isa pa,” aniya, sabay abot sa kanya ng ilang papel. - At mula sa lahat ng ito nang malinis, sa Pranses, gumuhit ng isang memorandum, isang tala, para sa visibility ng lahat ng mga balita na mayroon kami tungkol sa mga aksyon hukbo ng Austrian nagkaroon. Well, pagkatapos, at ipakita sa kanyang Kamahalan.
Iniyuko ni Prinsipe Andrei ang kanyang ulo bilang tanda na naiintindihan niya mula sa mga unang salita hindi lamang kung ano ang sinabi, kundi pati na rin kung ano ang nais sabihin sa kanya ni Kutuzov. Kinolekta niya ang mga papel, at, nagbigay ng pangkalahatang busog, tahimik na naglalakad sa karpet, lumabas sa waiting room.
Sa kabila ng katotohanan na hindi gaanong oras ang lumipas mula noong umalis si Prince Andrei sa Russia, marami siyang nagbago sa panahong ito. Sa ekspresyon ng kanyang mukha, sa kanyang mga galaw, sa kanyang lakad, halos walang kapansin-pansing dating pagkukunwari, pagod at katamaran; siya ay may hitsura ng isang tao na walang oras upang isipin ang impresyon na ginagawa niya sa iba, at abala sa kaaya-aya at kawili-wiling negosyo. Ang kanyang mukha ay nagpahayag ng higit na kasiyahan sa kanyang sarili at sa mga nakapaligid sa kanya; ang kanyang ngiti at hitsura ay mas masayahin at kaakit-akit.
Si Kutuzov, na naabutan niya pabalik sa Poland, ay tinanggap siya nang buong pagmamahal, nangako sa kanya na hindi siya kalilimutan, nakikilala siya sa iba pang mga adjutant, dinala siya sa Vienna at binigyan siya ng mas seryosong mga tungkulin. Mula sa Vienna, sumulat si Kutuzov sa kanyang matandang kasama, ang ama ni Prinsipe Andrei:
"Ang iyong anak," isinulat niya, "ay nagbibigay ng pag-asa na maging isang opisyal na mahusay sa kanyang pag-aaral, katatagan at kasipagan. Itinuturing ko ang aking sarili na masuwerte na magkaroon ng ganoong subordinate sa kamay.
Sa punong-tanggapan ni Kutuzov, kasama ng kanyang mga kasama, at sa hukbo sa pangkalahatan, si Prince Andrei, gayundin sa lipunan ng St. Petersburg, ay may dalawang ganap na magkasalungat na reputasyon.
Mag-isa minorya, kinilala si Prinsipe Andrei bilang isang bagay na espesyal mula sa kanilang sarili at mula sa lahat ng iba pang mga tao, inaasahan ang mahusay na tagumpay mula sa kanya, nakinig sa kanya, hinangaan siya at ginaya siya; at sa mga taong ito, si Prinsipe Andrei ay simple at kaaya-aya. Ang iba, ang karamihan, ay hindi nagustuhan si Prinsipe Andrei, itinuturing siyang napalaki, malamig at hindi kanais-nais na tao. Ngunit sa mga taong ito, alam ni Prinsipe Andrei kung paano iposisyon ang kanyang sarili sa paraang iginagalang at kinatatakutan pa siya.
Paglabas ng opisina ni Kutuzov papunta sa waiting room, si Prince Andrei na may mga papel ay lumapit sa kanyang kasama, adjutant on duty na si Kozlovsky, na nakaupo sa tabi ng bintana na may hawak na libro.
- Well, ano, prinsipe? tanong ni Kozlovsky.
- Inutusang gumuhit ng isang tala, bakit hindi tayo magpatuloy.
- At bakit?
Nagkibit balikat si Prince Andrew.
- Walang salita mula kay Mac? tanong ni Kozlovsky.
- Hindi.
- Kung totoo na natalo siya, darating ang balita.
"Malamang," sabi ni Prinsipe Andrei at pumunta sa exit door; ngunit kasabay nito, ang pagsara ng pinto para salubungin siya, isang matangkad, halatang bagong dating, Austrian general na naka-frock coat, nakatali ang ulo ng itim na panyo at may Order of Maria Theresa sa leeg, mabilis na pumasok sa waiting room. . Huminto si Prinsipe Andrew.
- Heneral Anshef Kutuzov? - mabilis na sabi ng bumibisitang heneral na may matalas na German accent, tumitingin sa magkabilang gilid at walang tigil sa paglalakad papunta sa pintuan ng opisina.
"Ang heneral ay abala," sabi ni Kozlovsky, nagmamadaling lumapit sa hindi kilalang heneral at humarang sa kanyang pintuan. - Paano mo gustong mag-ulat?
Ang hindi kilalang heneral ay tumingin nang masama sa maikling Kozlovsky, na parang nagulat na maaaring hindi siya kilala.
"Abala ang heneral na pinuno," mahinahon na ulit ni Kozlovsky.
Sumimangot ang mukha ng heneral, kumibot at nanginginig ang mga labi. Naglabas siya ng notebook, mabilis na nagdrawing ng kung ano gamit ang lapis, nagpunit ng papel, binigay, mabilis na humakbang papunta sa bintana, ibinagsak ang katawan sa upuan at luminga-linga sa mga nasa kwarto, na parang nagtatanong. : bakit sila nakatingin sa kanya? Pagkatapos ay itinaas ng heneral ang kanyang ulo, iniunat ang kanyang leeg, na parang may balak na sabihin, ngunit kaagad, na parang walang ingat na nagsisimulang umungol sa kanyang sarili, ginawa. kakaibang tunog, na agad namang huminto. Bumukas ang pinto ng opisina, at lumitaw si Kutuzov sa threshold. Ang heneral na may benda ang ulo, na parang tumatakbo palayo sa panganib, nakayuko, na may malalaking, mabilis na hakbang ng manipis na mga binti, ay lumapit kay Kutuzov.
- Vous voyez le malheureux Mack, [Nakikita mo ang kapus-palad na si Mack.] - aniya sa basag na boses.
Ang mukha ni Kutuzov, na nakatayo sa pintuan ng opisina, ay nanatiling ganap na hindi gumagalaw nang ilang sandali. Pagkatapos, tulad ng isang alon, isang kulubot ang dumaan sa kanyang mukha, ang kanyang noo ay makinis; iniyuko niya ang kanyang ulo nang may paggalang, ipinikit ang kanyang mga mata, tahimik na pinalampas siya ni Mack, at isinara ang pinto sa likod niya.
Ang alingawngaw, na kumalat na noon, tungkol sa pagkatalo ng mga Austrian at ang pagsuko ng buong hukbo sa Ulm, ay naging totoo. Makalipas ang kalahating oras iba't ibang direksyon Ang mga adjutant ay ipinadala na may mga utos na nagpapatunay na sa lalong madaling panahon ang mga tropang Ruso, na hindi pa rin aktibo, ay kailangang makipagkita sa kaaway.
Si Prince Andrei ay isa sa mga bihirang opisyal sa mga tauhan na isinasaalang-alang ang kanyang pangunahing interes pangkalahatang kurso negosyong militar. Nang makita si Mack at marinig ang mga detalye ng kanyang pagkamatay, napagtanto niya na nawala ang kalahati ng kampanya, natanto ang kahirapan ng posisyon ng mga tropang Ruso at malinaw na naisip kung ano ang naghihintay sa hukbo, at ang papel na dapat niyang gampanan dito.
Nang hindi sinasadya, nakaranas siya ng isang kapana-panabik na kagalakan na pakiramdam sa pag-iisip na hiyain ang mapangahas na Austria at na sa isang linggo, marahil, kailangan niyang makita at makibahagi sa isang sagupaan sa pagitan ng mga Ruso at Pranses, sa unang pagkakataon pagkatapos ng Suvorov.
Ngunit natatakot siya sa henyo ni Bonaparte, na maaaring maging mas malakas kaysa sa lahat ng katapangan ng mga tropang Ruso, at sa parehong oras ay hindi niya pinapayagan ang kahihiyan para sa kanyang bayani.
Nasasabik at naiirita sa mga kaisipang ito, pumunta si Prinsipe Andrei sa kanyang silid upang sumulat sa kanyang ama, kung kanino niya sinusulatan araw-araw. Nakilala niya sa koridor ang kanyang kasama sa silid na si Nesvitsky at ang taong mapagbiro na si Zherkov; sila, gaya ng dati, may pinagtatawanan.

At pagpaparami. Tungkol lamang sa operasyon ng multiplikasyon at tatalakayin sa artikulong ito.

Pagpaparami ng numero

Ang pagpaparami ng mga numero ay pinagkadalubhasaan ng mga bata sa ikalawang baitang, at walang kumplikado tungkol dito. Ngayon ay titingnan natin ang pagpaparami sa pamamagitan ng mga halimbawa.

Halimbawa 2*5. Nangangahulugan ito ng alinman sa 2+2+2+2+2 o 5+5. Kumuha kami ng 5 dalawang beses o 2 limang beses. Ang sagot ay 10 ayon sa pagkakabanggit.

Halimbawa 4*3. Katulad nito, 4+4+4 o 3+3+3+3. Tatlong beses 4 o apat na beses 3. Sagot 12.

Halimbawa 5*3. Ginagawa namin ang parehong tulad ng mga nakaraang halimbawa. 5+5+5 o 3+3+3+3+3. Sagot 15.

Mga formula ng pagpaparami

Ang pagpaparami ay ang kabuuan parehong mga numero, halimbawa, 2 * 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 o 2 * 5 = 5 + 5. Formula ng pagpaparami:

Kung saan, ang a ay anumang numero, n ay ang bilang ng mga termino a. Sabihin nating a=2, pagkatapos ay 2+2+2=6, pagkatapos n=3 pag-multiply ng 3 sa 2, makakakuha tayo ng 6. Isaalang-alang sa baligtarin ang pagkakasunod-sunod. Halimbawa, ibinigay: 3 * 3, iyon ay. 3 na pinarami ng 3 - nangangahulugan ito na ang tatlo ay dapat kunin ng 3 beses: 3 + 3 + 3 \u003d 9. 3 * 3 \u003d 9.

Pinaikling multiplikasyon

Ang pinaikling multiplikasyon ay isang pagdadaglat ng operasyon ng pagpaparami sa ilang partikular na kaso, at ang mga formula para sa pinaikling multiplikasyon ay partikular na binuo para dito. Alin ang makakatulong upang gawin ang mga kalkulasyon na pinaka makatuwiran at mabilis:

Mga pinaikling pormula ng pagpaparami

Hayaan ang a, b ay kabilang sa R, kung gayon:

Ang parisukat ng kabuuan ng dalawang expression ay ang parisukat ng unang expression kasama ang dalawang beses ang produkto ng unang expression at ang pangalawa kasama ang parisukat ng pangalawang expression. Formula: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Ang parisukat ng pagkakaiba ng dalawang expression ay ang parisukat ng unang expression na binawasan ng dalawang beses ang produkto ng unang expression at ang pangalawa kasama ang parisukat ng pangalawang expression. Formula: (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Pagkakaiba ng mga parisukat dalawang expression ay katumbas ng produkto ng pagkakaiba ng mga expression na ito at ang kanilang kabuuan. Formula: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

sum cube dalawang expression katumbas ng isang kubo ng unang expression plus triple ang produkto ng square ng unang expression ng pangalawa plus triple ang product ng unang expression ng square ng second plus ang cube ng pangalawang expression. Formula: (a + b)^3 = a^3 + 3a(^2)b + 3ab^2 + b^3

pagkakaiba cube ng dalawang expression ay katumbas ng kubo ng unang expression na binawasan ng tatlong beses ang produkto ng parisukat ng unang expression at ang pangalawa plus tatlong beses ang produkto ng unang expression at ang parisukat ng pangalawang minus ang cube ng pangalawang expression. Formula: (a-b)^3 = a^3 - 3a(^2)b + 3ab^2 - b^3

Kabuuan ng mga cube a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Pagkakaiba ng mga cube dalawang expression ay katumbas ng produkto ng kabuuan ng una at pangalawang expression ng hindi kumpletong parisukat ng pagkakaiba ng mga expression na ito. Formula: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Mag-sign up para sa kursong "Pinabilis namin ang pagkalkula ng kaisipan, HINDI mental aritmetika"upang malaman kung paano mabilis at tama ang pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, paghahati, mga parisukat na numero at kahit na mag-ugat. Sa loob ng 30 araw, matututunan mo kung paano gumamit ng mga madaling trick upang pasimplehin ang mga pagpapatakbo ng aritmetika. Ang bawat aralin ay may mga bagong trick, malinaw na mga halimbawa at kapaki-pakinabang mga gawain.

Pagpaparami ng mga fraction

Isinasaalang-alang ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction, ang panuntunan ay tumunog, na nagdadala ng mga fraction sa karaniwang denominador upang maisagawa ang pagkalkula. Kapag nagpaparami ito gawin hindi na kailangan! Kapag nagpaparami ng dalawang fraction, ang denominator ay pinarami ng denominator at ang numerator sa numerator.

Halimbawa, (2/5) * (3 * 4). Multiply two thirds by one quarter. Pina-multiply namin ang denominator sa denominator, at ang numerator sa numerator: (2 * 3) / (5 * 4), pagkatapos ay 6/20, gumawa kami ng pagbawas, nakakakuha kami ng 3/10.

Pagpaparami Baitang 2

Ang ikalawang baitang ay simula pa lamang ng pag-aaral ng multiplikasyon, kaya't ang mga pangalawang baitang ay nilulutas ang pinakasimpleng mga gawain upang palitan ang pagdaragdag ng pagpaparami, pagpaparami ng mga numero, pag-aralan ang talahanayan ng pagpaparami. Tingnan natin ang mga gawain sa pagpaparami sa ikalawang antas ng baitang:

Nakatira si Oleg sa isang limang palapag na gusali, sa itaas na palapag. Ang taas ng isang palapag ay 2 metro. Ano ang taas ng bahay?

Ang kahon ay naglalaman ng 10 pakete ng biskwit. Ang bawat pakete ay naglalaman ng 7 piraso. Ilang cookies ang nasa kahon?

Inayos ni Misha ang kanyang mga laruang sasakyan sa isang hilera. Mayroong 7 sa bawat hanay, at mayroon lamang 8 na hanay. Ilang sasakyan ang mayroon si Misha?

Mayroong 6 na mesa sa dining room, at 5 upuan ang itinutulak sa likod ng bawat mesa. Ilang upuan ang nasa silid-kainan?

Nagdala si Nanay ng 3 bag ng dalandan mula sa tindahan. Ang mga pakete ay naglalaman ng 22 dalandan. Ilang dalandan ang dinala ni nanay?

Mayroong 9 na strawberry bushes na tumutubo sa hardin, at 11 berries ang lumalaki sa bawat bush. Gaano karaming mga berry ang lumalaki sa lahat ng mga palumpong?

Ang Roma ay naglagay ng 8 bahagi ng tubo nang sunud-sunod, ang parehong sukat na 2 metro. Ano ang haba ng buong tubo?

Dinala ng mga magulang ang kanilang mga anak sa paaralan noong una ng Setyembre. 12 sasakyan ang dumating, bawat isa ay may 2 anak. Ilang anak ang dinala ng kanilang mga magulang sa mga sasakyang ito?

Pagpaparami Baitang 3

Sa ikatlong baitang, mas mabibigat na gawain ang ibinibigay. Bukod sa multiplication, ipapasa din ang division.

Kabilang sa mga gawain para sa multiplikasyon ay: multiplikasyon ng dalawang-digit na numero, multiplikasyon sa isang hanay, pagpapalit ng karagdagan sa multiplikasyon at vice versa.

Pagpaparami ng column:

Ang pagpaparami ng column ay ang pinakamadaling paraan upang magparami ng malalaking numero. Isipin mo ang pamamaraang ito sa halimbawa ng dalawang numero 427 * 36.

1 hakbang. Isulat natin ang mga numero sa ilalim ng isa, upang ang 427 ay nasa itaas at ang 36 ay nasa ibaba, iyon ay, 6 sa ilalim ng 7, 3 sa ilalim ng 2.

2 hakbang. Nagsisimula kami ng multiplikasyon gamit ang pinakakanang digit ng ibabang numero. Iyon ay, ang pagkakasunud-sunod ng pagpaparami ay: 6 * 7, 6 * 2, 6 * 4, pagkatapos ay pareho sa triple: 3 * 7, 3 * 2, 3 * 4.

Kaya, i-multiply muna ang 6 sa 7, ang sagot ay: 42. Isinulat namin ito tulad nito: dahil naging 42, pagkatapos ay 4 ay sampu, at 2 ay isa, ang pag-record ay katulad ng karagdagan, na nangangahulugang isinulat namin ang 2 sa ilalim ng anim, at ang 4 ay idinagdag sa dalawa sa bilang na 427 .

3 hakbang. Pagkatapos ay ginagawa namin ang parehong sa 6 * 2. Sagot: 12. Ang unang sampu, na idinagdag sa apat sa bilang na 427, at ang pangalawa - mga yunit. Idinaragdag namin ang nagresultang dalawa sa apat mula sa nakaraang multiplikasyon.

4 na hakbang. Multiply 6 by 4. Ang sagot ay 24 at magdagdag ng 1 mula sa nakaraang multiplication. Kumuha kami ng 25.

Kaya, ang pagpaparami ng 427 sa 6, ang sagot ay 2562

TANDAAN! Ang resulta ng pangalawang multiplikasyon ay dapat isulat sa ilalim PANGALAWA bilang ng unang resulta!

5 hakbang. Nagsasagawa kami ng mga katulad na aksyon na may numero 3. Nakukuha namin ang multiplication na sagot na 427 * 3 = 1281

6 na hakbang. Pagkatapos ay idinagdag namin ang mga natanggap na sagot kapag nagpaparami at makuha ang huling sagot ng multiplikasyon 427 * 36. Sagot: 15372.

Pagpaparami Baitang 4

Ang ikaapat na klase ay multiplication na lang malalaking numero. Ang pagkalkula ay ginagawa sa pamamagitan ng multiplication method sa isang column. Ang pamamaraan ay inilarawan sa itaas sa isang naa-access na wika.

Halimbawa, hanapin ang produkto ng mga sumusunod na pares ng mga numero:

1. 988 * 98 =
2. 99 * 114 =
3. 17 * 174 =
4. 164 * 19 =

Pagtatanghal ng Multiplikasyon

Mag-download ng presentasyon sa multiplikasyon na may pinakasimpleng gawain para sa ikalawang baitang. Ang pagtatanghal ay makakatulong sa mga bata na mas mahusay na mag-navigate sa operasyong ito dahil ito ay makulay at nasa estilo ng laro- ang pinakamahusay na pagpipilian para sa pagtuturo sa isang bata!

Talaan ng multiplikasyon

Ang multiplication table ay pinag-aaralan ng bawat mag-aaral sa ikalawang baitang. Dapat alam ito ng lahat!

Mag-sign up para sa kursong "Pabilisin ang pagbibilang ng kaisipan, HINDI ang mental na arithmetic" upang matutunan kung paano mabilis at tama ang pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, paghahati, mga parisukat na numero at kahit na mag-ugat. Sa loob ng 30 araw, matututunan mo kung paano gumamit ng mga madaling trick upang pasimplehin ang mga pagpapatakbo ng aritmetika. Ang bawat aralin ay naglalaman ng mga bagong pamamaraan, malinaw na mga halimbawa at kapaki-pakinabang na mga gawain.

Mga Halimbawa ng Multiplikasyon

Multiplikasyon sa pamamagitan ng hindi malabo

1. 9 * 5 =
2. 9 * 8 =
3. 8 * 4 =
4. 3 * 9 =
5. 7 * 4 =
6. 9 * 5 =
7. 8 * 8 =
8. 6 * 9 =
9. 6 * 7 =
10. 9 * 2 =
11. 8 * 5 =
12. 3 * 6 =

Pagpaparami ng dalawang digit

1. 4 * 16 =
2. 11 * 6 =
3. 24 * 3 =
4. 9 * 19 =
5. 16 * 8 =
6. 27 * 5 =
7. 4 * 31 =
8. 17 * 5 =
9. 28 * 2 =
10. 12 * 9 =

Dalawang-digit na pagpaparami ng dalawang-digit

1. 24 * 16 =
2. 14 * 17 =
3. 19 * 31 =
4. 18 * 18 =
5. 10 * 15 =
6. 15 * 40 =
7. 31 * 27 =
8. 23 * 25 =
9. 17 * 13 =

Pagpaparami ng tatlong-digit na numero

1. 630 * 50 =
2. 123 * 8 =
3. 201 * 18 =
4. 282 * 72 =
5. 96 * 660 =
6. 910 * 7 =
7. 428 * 37 =
8. 920 * 14 =

Mga laro para sa pagbuo ng pagbibilang ng kaisipan

Ang mga espesyal na larong pang-edukasyon na binuo kasama ang pakikilahok ng mga siyentipikong Ruso mula sa Skolkovo ay makakatulong na mapabuti ang mga kasanayan sa pagbibilang ng bibig sa isang kawili-wiling anyo ng laro.

Larong "Mabilis na Marka"

Ang larong "mabilis na bilang" ay makakatulong sa iyo na mapabuti ang iyong iniisip. Ang kakanyahan ng laro ay na sa larawang ipinakita sa iyo, kakailanganin mong piliin ang sagot na "oo" o "hindi" sa tanong na "mayroon bang 5 magkatulad na prutas?". Sundin ang iyong layunin, at ang larong ito ay makakatulong sa iyo dito.

Larong "Mathematical matrices"

"Mathematical Matrices" mahusay ehersisyo sa utak para sa mga bata, na tutulong sa iyo na bumuo ng kanyang mental na gawain, pagbibilang ng kaisipan, mabilis na paghahanap para sa mga tamang bahagi, pagkaasikaso. Ang kakanyahan ng laro ay ang manlalaro ay kailangang maghanap ng isang pares mula sa iminungkahing 16 na numero, na sa kabuuan ay magbibigay binigay na numero, halimbawa, sa larawan sa ibaba, ang ibinigay na numero ay "29", at ang gustong pares ay "5" at "24".

Larong "Numerical coverage"

Ang larong "number coverage" ay maglo-load ng iyong memorya habang nagsasanay sa pagsasanay na ito.

Ang kakanyahan ng laro ay tandaan ang numero, na tumatagal ng halos tatlong segundo upang kabisaduhin. Pagkatapos ay kailangan mong laruin ito. Habang sumusulong ka sa mga yugto ng laro, lumalaki ang bilang ng mga numero, magsimula sa dalawa at magpatuloy.

Laro "Hulaan ang operasyon"

Ang larong "Hulaan ang operasyon" ay bubuo ng pag-iisip at memorya. Pangunahing kakanyahan mga larong pipiliin tanda ng matematika para maging totoo ang pagkakapantay-pantay. Ang mga halimbawa ay ibinigay sa screen, tingnang mabuti at ilagay nais na tanda"+" o "-", upang ang pagkakapantay-pantay ay totoo. Ang sign na "+" at "-" ay matatagpuan sa ibaba ng larawan, piliin ang nais na sign at mag-click sa nais na pindutan. Kung sumagot ka ng tama, makakakuha ka ng mga puntos at magpatuloy sa paglalaro.

Larong "Simplify"

Ang larong "Simplify" ay nagpapaunlad ng pag-iisip at memorya. Ang pangunahing kakanyahan ng laro ay upang mabilis na magsagawa ng isang mathematical na operasyon. Ang isang mag-aaral ay iginuhit sa screen sa pisara, at ibinigay aksyong matematikal, kailangang kalkulahin ng mag-aaral ang halimbawang ito at isulat ang sagot. Nasa ibaba ang tatlong sagot, bilangin at i-click ang numerong kailangan mo gamit ang mouse. Kung sumagot ka ng tama, makakakuha ka ng mga puntos at magpatuloy sa paglalaro.

Laro "Mabilis na Pagdaragdag"

Isang laro " Mabilis na karagdagan» nagkakaroon ng pag-iisip at memorya. Ang pangunahing diwa ng laro ay ang pumili ng mga numero, ang kabuuan nito ay katumbas ng isang naibigay na numero. Ang larong ito ay binibigyan ng matrix mula isa hanggang labing-anim. Ang isang naibigay na numero ay nakasulat sa itaas ng matrix, kailangan mong piliin ang mga numero sa matrix upang ang kabuuan ng mga numerong ito ay katumbas ng ibinigay na numero. Kung sumagot ka ng tama, makakakuha ka ng mga puntos at magpatuloy sa paglalaro.

Laro "Visual Geometry"

Isang laro " visual na geometry» nagkakaroon ng pag-iisip at memorya. Ang pangunahing kakanyahan ng laro ay upang mabilis na mabilang ang bilang ng mga may kulay na bagay at piliin ito mula sa listahan ng mga sagot. Sa larong ito, ang mga asul na parisukat ay ipinapakita sa screen sa loob ng ilang segundo, dapat silang mabilis na mabilang, pagkatapos ay isara ang mga ito. Apat na numero ang nakasulat sa ibaba ng talahanayan, kailangan mong pumili ng isang tamang numero at i-click ito gamit ang mouse. Kung sumagot ka ng tama, makakakuha ka ng mga puntos at magpatuloy sa paglalaro.

Larong "Mga Paghahambing sa Matematika"

Ang larong "Mathematical Comparisons" ay nagpapaunlad ng pag-iisip at memorya. Ang pangunahing kakanyahan ng laro ay upang ihambing ang mga numero at mga operasyong matematikal. Sa larong ito, kailangan mong paghambingin ang dalawang numero. Sa itaas, may nakasulat na tanong, basahin ito at sagutin ng tama ang tanong na ibinigay. Maaari kang sumagot gamit ang mga pindutan sa ibaba. Mayroong tatlong mga pindutan na "kaliwa", "pantay" at "kanan". Kung sumagot ka ng tama, makakakuha ka ng mga puntos at magpatuloy sa paglalaro.

Pag-unlad ng phenomenal mental arithmetic

Isinaalang-alang lamang namin ang dulo ng malaking bato ng yelo, upang mas maunawaan ang matematika - mag-sign up para sa aming kurso: Pabilisin ang pagbibilang ng isip.

Mula sa kurso, hindi ka lamang matututo ng dose-dosenang mga trick para sa pinasimple at mabilis na pagpaparami, karagdagan, multiplikasyon, paghahati, pagkalkula ng mga porsyento, ngunit gawin din ang mga ito mga espesyal na takdang-aralin at mga larong pang-edukasyon! Ang pagbibilang ng isip ay nangangailangan din ng maraming atensyon at konsentrasyon, na aktibong sinanay sa paglutas ng mga problema. mga kawili-wiling gawain.

Bilis ng pagbabasa sa loob ng 30 araw

Palakihin ang iyong bilis ng pagbabasa ng 2-3 beses sa loob ng 30 araw. Mula 150-200 hanggang 300-600 wpm o mula 400 hanggang 800-1200 wpm. Ang kurso ay gumagamit ng mga tradisyonal na pagsasanay para sa pag-unlad ng mabilis na pagbabasa, mga pamamaraan na nagpapabilis sa gawain ng utak, isang paraan para sa unti-unting pagtaas ng bilis ng pagbabasa, nauunawaan ang sikolohiya ng mabilis na pagbasa at ang mga tanong ng mga kalahok sa kurso. Angkop para sa mga bata at matatanda na nagbabasa ng hanggang 5,000 salita kada minuto.

Pag-unlad ng memorya at atensyon sa isang bata 5-10 taong gulang

Kasama sa kurso ang 30 mga aralin na may mga kapaki-pakinabang na tip at pagsasanay para sa pagpapaunlad ng mga bata. Sa bawat aralin kapaki-pakinabang na payo, ilan kawili-wiling mga pagsasanay, gawain para sa aralin at isang karagdagang bonus sa dulo: isang pang-edukasyon na mini-game mula sa aming kasosyo. Tagal ng kurso: 30 araw. Ang kurso ay kapaki-pakinabang hindi lamang para sa mga bata, kundi pati na rin para sa kanilang mga magulang.

Super memory sa loob ng 30 araw

Tandaan kinakailangang impormasyon mabilis at permanente. Nag-iisip kung paano buksan ang pinto o hugasan ang iyong buhok? Sigurado akong hindi, dahil parte na ito ng ating buhay. Liwanag at mga simpleng pagsasanay para sa pagsasanay sa memorya, maaari mong gawin itong bahagi ng buhay at gumawa ng kaunti sa araw. Kung kumain pang-araw-araw na allowance pagkain sa isang pagkakataon, o maaari kang kumain sa mga bahagi sa buong araw.

Ang mga lihim ng fitness sa utak, sinasanay namin ang memorya, atensyon, pag-iisip, pagbibilang

Ang utak, tulad ng katawan, ay nangangailangan ng ehersisyo. Ang pisikal na ehersisyo ay nagpapalakas sa katawan, ang mental na ehersisyo ay nagpapaunlad sa utak. 30 araw kapaki-pakinabang na pagsasanay at mga larong pang-edukasyon para sa pagpapaunlad ng memorya, konsentrasyon, katalinuhan at bilis ng pagbabasa ay magpapalakas sa utak, na gagawin itong isang matigas na mani na pumutok.

Pera at ang pag-iisip ng isang milyonaryo

Bakit may problema sa pera? Sa kursong ito, sasagutin namin ang tanong na ito nang detalyado, titingnan nang malalim ang problema, isaalang-alang ang aming relasyon sa pera mula sa sikolohikal, pang-ekonomiya at emosyonal na puntos pangitain. Mula sa kurso, matututunan mo kung ano ang kailangan mong gawin upang malutas ang lahat ng iyong mga problema sa pananalapi, magsimulang mag-ipon ng pera at mamuhunan ito sa hinaharap.

Ang pag-alam sa sikolohiya ng pera at kung paano magtrabaho sa kanila ay nagiging isang milyonaryo. 80% ng mga taong may pagtaas ng kita ay kumukuha ng mas maraming pautang, na nagiging mas mahirap. Ang mga self-made na milyonaryo, sa kabilang banda, ay kikita muli ng milyun-milyon sa loob ng 3-5 taon kung magsisimula sila sa simula. Itinuturo ng kursong ito ang wastong pamamahagi ng kita at pagbabawas ng gastos, nag-uudyok sa iyo na matuto at makamit ang mga layunin, nagtuturo sa iyo na mamuhunan ng pera at makilala ang isang scam.

Upang i-multiply ang isang integer sa isa pang paraan upang ulitin ang isang numero nang maraming beses habang ang isa ay naglalaman ng mga yunit. Upang ulitin ang isang numero ay nangangahulugan na kunin ang summand nito ng ilang beses at tukuyin ang kabuuan.

Kahulugan ng multiplikasyon

Ang multiplikasyon ng mga integer ay isang operasyon kung saan kailangan mong kunin ang isang numero bilang mga termino kasing dami ng iba pang naglalaman ng mga yunit, at hanapin ang kabuuan ng mga terminong ito.

Ang pagpaparami ng 7 sa 3 ay nangangahulugan ng pagkuha ng numerong 7 summand ng tatlong beses at paghahanap ng kabuuan. Ang nais na halaga ay 21.

Ang multiplikasyon ay ang pagdaragdag ng pantay na termino.

Ang data sa pagpaparami ay tinatawag multiplier at multiplier, at ang ninanais - trabaho.

Sa iminungkahing halimbawa, ang data ay ang multiplier 7, ang multiplier 3, at ang gustong produkto 21.

Multiplicand. Ang multiplicand ay ang bilang na pinarami o inuulit ng summand. Ang multiplier ay nagpapahayag ng magnitude ng mga katumbas na termino.

Salik. Ang multiplier ay nagpapakita kung gaano karaming beses ang multiplicand ay inuulit ng termino. Ipinapakita ng multiplier ang bilang ng mga katumbas na termino.

Trabaho. Ang produkto ay ang bilang na nagreresulta mula sa pagpaparami. Ito ay ang kabuuan ng mga katumbas na termino.

Ang multiplier at multiplier na magkasama ay tinatawag mga tagagawa.

Kapag nagpaparami ng mga integer, ang isang numero ay tataas nang maraming beses habang ang isa ay naglalaman ng mga yunit.

tanda ng pagpaparami. Ang operasyon ng multiplikasyon ay tinutukoy ng sign × (indirect cross) o. (tuldok). Ang multiplication sign ay inilalagay sa pagitan ng multiplicand at ng multiplier.

Ulitin ang bilang na 7 ng tatlong beses bilang isang kabuuan at hanapin ang kabuuan ay nangangahulugang 7 beses 3. Sa halip na isulat

sumulat gamit ang multiplication sign sa maikling salita:

7 × 3 o 7 3

Ang multiplikasyon ay isang pinaikling pagdaragdag ng mga katumbas na termino.

Tanda ( × ) ay ipinakilala ni Oughtred (1631), at ang tanda. Christian Wolff (1752).

Ang relasyon sa pagitan ng data at ang nais na numero ay ipinahayag sa multiplikasyon

sa pagsusulat:

7 × 3 = 21 o 7 3 = 21

sa salita:

pitong beses tatlo ay 21.

Upang makagawa ng isang produkto ng 21, kailangan mong ulitin ng 7 tatlong beses

Upang makagawa ng isang kadahilanan ng 3, kailangan mong ulitin ang yunit ng tatlong beses

Kaya mayroon kami isa pang kahulugan ng multiplikasyon: Ang multiplikasyon ay isang operasyon kung saan ang produkto ay binubuo ng multiplicand sa eksaktong parehong paraan kung paano ang multiplier ay binubuo ng pagkakaisa.

Ang pangunahing pag-aari ng trabaho

Ang produkto ay hindi nagbabago mula sa isang pagbabago sa pagkakasunud-sunod ng mga producer.

Patunay. Ang pagpaparami ng 7 sa 3 ay nangangahulugan ng pag-uulit ng 7 nang tatlong beses. Ang pagpapalit ng 7 sa kabuuan ng 7 mga yunit at ilagay ang mga ito nang patayo, mayroon kaming:

Kaya, kapag nagpaparami ng dalawang numero, maaari nating isaalang-alang ang alinman sa dalawang producer bilang isang multiplier. Sa batayan na ito, tinawag ang mga tagagawa mga kadahilanan o simple lang mga multiplier.

Karamihan pangkalahatang pagtanggap ang multiplikasyon ay binubuo sa pagdaragdag ng mga katumbas na termino; ngunit kung ang mga producer ay malaki, ang trick na ito ay humahantong sa mahabang kalkulasyon, kaya ang pagkalkula mismo ay nakaayos nang iba.

Pagpaparami ng isang digit na numero. Pythagorean table

Upang i-multiply ang dalawang single-digit na numero, kailangan mong ulitin ang isang numero na may mga termino nang kasing dami ng iba pang naglalaman ng mga unit, at hanapin ang kanilang kabuuan. Dahil ang multiplikasyon ng mga integer ay nababawasan sa multiplikasyon ng mga single-digit na numero, bumubuo sila ng isang talahanayan ng mga produkto ng lahat ng mga single-digit na numero sa mga pares. Ang nasabing talahanayan ng lahat ng mga produkto ng mga single-digit na numero sa mga pares ay tinatawag talaan ng multiplikasyon.

Ang pag-imbento nito ay iniuugnay sa pilosopong Griyego na si Pythagoras, kung kanino ito tinawag. Pythagorean table. (Si Pythagoras ay ipinanganak noong mga 569 B.C.).

Upang i-compile ang talahanayang ito, kailangan mong isulat ang unang 9 na numero sa isang pahalang na hilera:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Pagkatapos, sa ilalim ng linyang ito, kailangan mong lagdaan ang isang serye ng mga numero na nagpapahayag ng produkto ng mga numerong ito sa pamamagitan ng 2. Ang serye ng mga numerong ito ay lalabas kapag idinagdag namin ang bawat numero sa sarili nito sa unang linya. Mula sa pangalawang linya ng mga numero ay sunud-sunod kaming pumunta sa 3, 4, atbp. Ang bawat kasunod na linya ay nakuha mula sa nauna sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga numero ng unang linya dito.

Patuloy na gawin ito hanggang sa linya 9, nakukuha namin ang talahanayan ng Pythagorean sa sumusunod na form

Upang mahanap ang produkto ng dalawang single-digit na numero mula sa talahanayang ito, kailangan mong hanapin ang isang tagagawa sa unang pahalang na hilera, at ang isa pa sa unang patayong column; pagkatapos ang gustong produkto ay nasa intersection ng kaukulang column at row. Kaya, ang produkto 6 × 7 = 42 ay nasa intersection ng ika-6 na hanay at ang ika-7 haligi. Ang produkto ng zero times a number at number times zero ay palaging nagbibigay ng zero.

Dahil ang produkto ng isang numero sa pamamagitan ng 1 ay nagbibigay ng numero mismo, at ang pagbabalikwas sa pagkakasunud-sunod ng mga kadahilanan ay hindi nagbabago sa produkto, kung gayon ang lahat ng iba't ibang mga produkto ng dalawang solong-digit na numero na dapat mong bigyang pansin ay nasa sumusunod na talahanayan:

Ang mga produkto ng mga single-digit na numero na hindi nakapaloob sa talahanayang ito ay nakuha mula sa data, kung ang pagkakasunud-sunod lamang ng multiplier ay binago sa kanila; kaya 9 x 4 = 4 x 9 = 36.

Multiplikasyon ng isang multi-digit na numero sa isang solong-digit na numero

Ang multiplikasyon ng numerong 8094 sa 3 ay ipinahiwatig sa pamamagitan ng pagpirma sa multiplier sa ilalim ng multiplicand, paglalagay ng multiplication sign sa kaliwa at pagguhit ng linya upang paghiwalayin ang produkto.

Ang pag-multiply ng multi-digit na numero 8094 sa 3 ay nangangahulugan ng paghahanap ng kabuuan ng tatlong pantay na termino

samakatuwid, para sa pagpaparami, kailangan mong ulitin ang lahat ng mga order ng isang multi-digit na numero ng tatlong beses, iyon ay, i-multiply sa 3 mga yunit, sampu, daan-daan, atbp. Ang pagdaragdag ay nagsisimula sa isa, samakatuwid, ang pagpaparami ay dapat ding magsimula sa isa, at pagkatapos pumunta mula sa kanang kamay sa kaliwa sa mas matataas na order unit.

Sa kasong ito, ang kurso ng mga kalkulasyon ay ipinahayag sa salita:

Nagsisimula kami ng multiplikasyon sa mga yunit: Ang 3 × 4 ay 12, pumirma kami sa ilalim ng mga yunit 2, at inilalapat namin ang yunit (1 sampu) sa produkto ng susunod na pagkakasunud-sunod ayon sa kadahilanan (o tandaan ito sa iyong isip).

Pagpaparami ng Sampu: 3 × 9 ay 27, oo 1 sa isip ay 28; pumirma kami sa ilalim ng tens 8 at 2 sa isip.

Pagpaparami ng daan-daan: Zero multiplied sa 3 ay nagbibigay ng zero, oo 2 sa isip ay magiging 2, kami ay pumipirma sa ilalim ng daan-daan 2.

Pagpaparami ng libu-libo: 3 × 8 = 24, ganap kaming pumirma sa 24, dahil wala kaming mga sumusunod na order.

Ang aksyon na ito ay ipahahayag sa pamamagitan ng pagsulat:

Mula sa nakaraang halimbawa, hinuhusgahan natin susunod na tuntunin. Upang i-multiply ang isang multi-digit na numero sa isang solong-digit na numero, kailangan mo:

Lagdaan ang multiplier sa ilalim ng mga unit ng multiplicand, ilagay ang multiplication sign sa kaliwa at gumuhit ng linya.

Nagsisimula ang multiplikasyon sa mga simpleng unit, pagkatapos, gumagalaw mula sa kanang kamay patungo sa kaliwa, sila ay sunud-sunod na nagpaparami ng sampu, daan-daan, libo-libo, atbp.

Kung sa panahon ng pagpaparami ang produkto ay ipinahayag bilang isang solong-digit na numero, pagkatapos ito ay nilagdaan sa ilalim ng multiplied na digit ng multiplicand.

Kung ang produkto ay ipinahayag bilang isang dalawang-digit na numero, pagkatapos ay ang mga yunit ng digit ay nilagdaan sa ilalim ng parehong hanay, at ang sampu-sampung digit ay idinagdag sa produkto ng susunod na order ng kadahilanan.

Ang pagpaparami ay nagpapatuloy hanggang sa makuha ang buong produkto.

Pagpaparami ng mga numero sa 10, 100, 1000...

Ang pagpaparami ng mga numero sa pamamagitan ng 10 ay nangangahulugan ng paggawa ng mga simpleng unit sa sampu, sampu sa daan-daan, atbp., iyon ay, pagdaragdag ng pagkakasunud-sunod ng lahat ng mga numero ng isa. Ito ay nakakamit sa pamamagitan ng pagdaragdag ng isang zero sa kanan. Ang pag-multiply ng 100 ay nangangahulugan ng pagtaas ng lahat ng order ng multiplier ng dalawang unit, ibig sabihin, gawing daan-daan, sampu-sampu, atbp.

Ito ay nakakamit sa pamamagitan ng paglalagay ng dalawang zero sa numero.

Kaya't nagtatapos kami:

Upang i-multiply ang isang integer sa pamamagitan ng 10, 100, 1000, at sa pangkalahatan sa pamamagitan ng 1 na may mga zero, kailangan mong magtalaga ng maraming mga zero sa kanan gaya ng mayroon sa multiplier.

Ang pagpaparami ng bilang na 6035 sa 1000 ay ihahayag sa pamamagitan ng pagsulat:

Kapag ang multiplier ay isang numero na nagtatapos sa mga zero, ang mga makabuluhang digit lamang ang nilagdaan sa ilalim ng multiplicand, at ang mga zero ng multiplier ay iniuugnay sa kanan.

Upang i-multiply ang 2039 sa 300, kailangan mong kunin ang numerong 2029 sa mga tuntunin ng 300 beses. Ang pagkuha ng 300 termino ay kapareho ng pagkuha ng tatlong beses ng 100 termino o 100 beses ng tatlong termino. Upang gawin ito, i-multiply namin ang numero sa 3, at pagkatapos ay sa 100, o una naming i-multiply sa 3, at pagkatapos ay i-attribute namin ang dalawang zero sa kanan.

Ang kurso ng pagkalkula ay ihahayag sa pamamagitan ng pagsulat:

tuntunin. Upang i-multiply ang isang numero sa isa pa, na kinakatawan ng isang digit na may mga zero, kailangan mo munang i-multiply ang multiplicand sa pamamagitan ng numerong ipinahayag ng isang makabuluhang digit, at pagkatapos ay magtalaga ng kasing dami ng mga zero sa factor.

Multiplikasyon ng isang multi-digit na numero sa isang multi-digit na numero

Upang i-multiply ang multi-digit na numero 3029 sa multi-digit na numero 429, o hanapin ang produkto na 3029 * 429, kailangan mong ulitin ang 3029 terms nang 429 beses at hanapin ang kabuuan. Upang ulitin ang 3029 na termino ng 429 na beses ay nangangahulugang ulitin ang mga termino nito muna ng 9, pagkatapos ay 20 at sa wakas ay 400 beses. Samakatuwid, upang i-multiply ang 3029 sa 429, kailangan mong i-multiply muna ang 3029 sa 9, pagkatapos ay sa 20, at sa wakas sa 400 at hanapin ang kabuuan ng tatlong produktong ito.

Tatlong gawa

tinawag mga pribadong gawa.

Ang buong produkto ng 3029 × 429 ay katumbas ng kabuuan ng tatlong quotient:

3029 x 429 = 3029 x 9 + 3029 x 20 + 3029 x 400.

Hanapin natin ang mga halaga ng tatlong bahagyang produktong ito.

Ang pagpaparami ng 3029 sa 9, makikita natin:

3029 ×9 27261 unang pribadong trabaho

Ang pagpaparami ng 3029 sa 20, makikita natin ang:

3029 × 20 60580 segundo pribadong trabaho

Ang pagpaparami ng 3026 sa 400, makikita natin ang:

3029 ×400 1211600 ikatlong pribadong trabaho

Idinaragdag ang mga bahagyang produktong ito, nakukuha namin ang produkto 3029 × 429:

Hindi mahirap makita na ang lahat ng mga bahagyang produktong ito ay mga produkto ng numerong 3029 by iisang digit 9, 2, 4, at isang zero ang itinalaga sa pangalawang produkto, na nagmumula sa multiplikasyon sa sampu, at dalawang zero sa ikatlo.

Ang mga zero na nauugnay sa mga bahagyang produkto ay tinanggal sa panahon ng pagpaparami at ang proseso ng pagkalkula ay ipinahayag sa pamamagitan ng pagsulat:

Sa kasong ito, kapag nagpaparami ng 2 (ang digit ng sampu ng multiplier), pumirma sila ng 8 sa ilalim ng sampu, o umatras sa kaliwa ng isang digit; kapag na-multiply sa daan-daang digit 4, lagdaan ang 6 sa ikatlong column, o umatras na naiwan ng 2 digit. Sa pangkalahatan, ang bawat pribadong gawain ay nagsisimulang pirmahan mula sa kanang kamay hanggang sa kaliwa sa ilalim ng pagkakasunud-sunod kung saan nabibilang ang multiplier digit.

Hinahanap ang produkto ng 3247 by 209, mayroon kaming:

Dito nagsisimula kaming pirmahan ang pangalawang bahagyang produkto sa ilalim ng ikatlong hanay, dahil ipinapahayag nito ang produkto ng 3247 by 2, ang ikatlong digit ng multiplier.

Inalis namin dito ang dalawang zero lamang na dapat na lumitaw sa pangalawang bahagyang produkto, dahil ipinapahayag nito ang produkto ng isang numero ng 2 daan o ng 200.

Mula sa sinabi, hinuhusgahan natin ang tuntunin. Upang i-multiply ang isang multi-digit na numero sa isang multi-digit na numero,

kailangan mong pirmahan ang multiplier sa ilalim ng multiplier upang ang mga numero ng parehong pagkakasunud-sunod ay nasa parehong vertical column, ilagay ang multiplication sign sa kaliwa at gumuhit ng linya.

Nagsisimula ang multiplikasyon sa mga simpleng unit, pagkatapos ay lumipat sila mula sa kanang kamay patungo sa kaliwa, i-multiply ang magkakasunod na multiplier sa digit ng sampu, daan-daan, atbp. at bumubuo ng kasing dami ng mga partial na produkto makabuluhang numero sa multiplier.

Ang mga unit ng bawat pribadong produkto ay nilagdaan sa ilalim ng column kung saan kabilang ang multiplier digit.

Lahat ng mga pribadong gawa na makikita sa ganitong paraan ay idinaragdag nang sama-sama at tumatanggap ng isang produkto sa kabuuan.

Upang i-multiply ang isang multi-digit na numero sa isang factor na nagtatapos sa mga zero, kailangan mong itapon ang mga zero sa factor, i-multiply sa natitirang numero, at pagkatapos ay magdagdag ng maraming mga zero sa produkto gaya ng mayroon sa factor.

Halimbawa. Hanapin ang produkto ng 342 by 2700.

Kung ang multiplicand at ang multiplier ay parehong nagtatapos sa mga zero, ang mga ito ay itatapon sa panahon ng multiplikasyon at pagkatapos ay kasing dami ng mga zero ang idinaragdag sa produkto gaya ng mayroon sa parehong mga producer.

Halimbawa. Ang pag-compute ng produkto ng 2700 sa 35000, i-multiply namin ang 27 sa 35

Ang pagtatalaga ng limang zero sa 945, makuha namin ang gustong produkto:

2700 × 35000 = 94500000.

Bilang ng mga digit ng produkto. Ang bilang ng mga digit ng produkto 3728 × 496 ay maaaring matukoy bilang mga sumusunod. Ang produktong ito ay higit sa 3728 × 100 at mas mababa sa 3728 × 1000. Ang bilang ng mga digit ng unang produkto 6 ay katumbas ng bilang ng mga digit sa multiplier 3728 at sa multiplier 496 na walang pagkakaisa. Ang bilang ng mga digit ng pangalawang produkto 7 ay katumbas ng bilang ng mga digit sa multiplicand at sa multiplier. Ang isang naibigay na produkto na 3728 × 496 ay hindi maaaring magkaroon ng mas mababa sa 6 na digit (ang bilang ng mga digit ng produkto ay 3728 × 100, at higit sa 7 (ang bilang ng mga digit ng produkto ay 3728 × 1000).

Saan tayo maghihinuha: ang bilang ng mga digit ng anumang produkto ay maaaring katumbas ng bilang ng mga digit sa multiplicand at sa factor, o katumbas ng numerong ito nang walang pagkakaisa.

Ang aming produkto ay maaaring maglaman ng alinman sa 7 o 6 na numero.

Degrees

Sa pagitan ng iba't ibang mga gawa ay nararapat espesyal na atensyon kung saan pantay ang mga producer. Halimbawa:

2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9.

mga parisukat. Ang produkto ng dalawang magkaparehong salik ay tinatawag na parisukat ng isang numero.

Sa aming mga halimbawa 4 ay parisukat 2, 9 ay parisukat 3.

Cuba. Ang produkto ng tatlong pantay na salik ay tinatawag na cube ng isang numero.

Kaya, sa mga halimbawa 2 × 2 × 2 = 8, 3 × 3 × 3 = 27, ang numero 8 ay ang kubo ng 2, ang 27 ay ang kubo ng 3.

Sa pangkalahatan ang produkto ng ilang pantay na salik ay tinatawagantas ng bilang . Nakuha ng mga degree ang kanilang mga pangalan mula sa bilang ng mga pantay na kadahilanan.

Ang mga produkto ng dalawang pantay na salik o mga parisukat tinawag ikalawang antas.

Ang mga produkto ng tatlong pantay na salik o mga cube tinawag ikatlong antas, atbp.