Lektion 1

Thema: Klasse 11 (Vorbereitung auf die Prüfung)

Vereinfachung trigonometrische Ausdrücke.

Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen. (2 Stunden)

Ziele:

• Systematisieren, verallgemeinern, erweitern Sie das Wissen und die Fähigkeiten der Schüler in Bezug auf die Verwendung trigonometrischer Formeln und die Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen.

Ausrüstung für den Unterricht:

Unterrichtsstruktur:

1. OrgMoment
2. Testen auf Laptops. Die Diskussion der Ergebnisse.
3. Vereinfachung trigonometrischer Ausdrücke
4. Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen
5. Selbstständige Arbeit.
6. Zusammenfassung der Lektion. Erklärung der Hausaufgaben.

1. Organisierender Moment. (2 Minuten.)

Der Lehrer begrüßt das Publikum, gibt das Unterrichtsthema bekannt, erinnert daran, dass zuvor die Aufgabe gestellt wurde, die Trigonometrieformeln zu wiederholen, und bereitet die Schüler auf die Prüfung vor.

2. Testen. (15min + 3min Diskussion)

Ziel ist es, die Kenntnis trigonometrischer Formeln und die Fähigkeit, diese anzuwenden, zu testen. Jeder Student hat auf seinem Schreibtisch einen Laptop, in dem sich eine Testmöglichkeit befindet.

Es kann eine beliebige Anzahl von Optionen geben, ich werde ein Beispiel für eine davon geben:

Ich wähle.

Ausdrücke vereinfachen:

a) grundlegende trigonometrische Identitäten

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) Additionsformeln

3. sin5x - sin3x;

c) Umwandeln eines Produkts in eine Summe

6. 2sin8y cos3y;

d) Doppelwinkelformeln

7.2sin5x cos5x;

e) Halbwinkelformeln

f) Dreifachwinkelformeln

und) universelle Substitution

h) Herabsetzung des Grades

16. cos 2 (3x/7);

Schüler auf einem Laptop vor jeder Formel sehen ihre Antworten.

Die Arbeit wird sofort vom Computer überprüft. Die Ergebnisse werden auf angezeigt großer Bildschirm an die Öffentlichkeit.

Auch nach Abschluss der Arbeit werden die richtigen Antworten auf den Laptops der Schüler angezeigt. Jeder Schüler sieht, wo der Fehler gemacht wurde und welche Formeln er wiederholen muss.

3. Vereinfachung trigonometrischer Ausdrücke. (25 Minuten)

Ziel ist es, die Anwendung zu wiederholen, zu üben und zu festigen Grundformeln Trigonometrie. Aufgaben lösen B7 aus der Klausur.

Auf der diese Phase es empfiehlt sich, die Klasse in Gruppen von starken (selbstständiges Arbeiten mit anschließender Kontrolle) und schwachen Schülern, die mit dem Lehrer arbeiten, aufzuteilen.

Aufgabe für starke Schüler (im Voraus vorbereitet für gedruckte Grundlage). Der Schwerpunkt liegt auf Reduktionsformeln und doppelter Winkel, laut USE 2011.

Ausdrücke vereinfachen (für starke Lerner):

Parallel dazu arbeitet der Lehrer mit schwachen Schülern, diskutiert und löst Aufgaben auf dem Bildschirm unter dem Diktat der Schüler.

Berechnung:

5) sin(270º - α) + cos(270º + α)

6)

Vereinfachen:

Es war an der Reihe, die Ergebnisse der Arbeit der starken Gruppe zu diskutieren.

Die Antworten erscheinen auf dem Bildschirm, und mit Hilfe einer Videokamera wird auch die Arbeit von 5 verschiedenen Schülern angezeigt (jeweils eine Aufgabe).

Die schwache Gruppe sieht die Bedingung und den Lösungsweg. Es wird diskutiert und analysiert. Verwenden technische Mittel es passiert schnell.

4. Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen. (30 Minuten.)

Ziel ist es, die Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen zu wiederholen, zu systematisieren und zu verallgemeinern und dabei ihre Wurzeln aufzuzeichnen. Lösung von Problem B3.

Jede trigonometrische Gleichung, egal wie wir sie lösen, führt zur einfachsten.

Bei der Bewältigung der Aufgabe sollten die Schüler darauf achten, die Wurzeln der Gleichungen von Sonderfällen und zu schreiben Gesamtansicht und auf der Wahl der Wurzeln in der letzten Gleichung.

Gleichungen lösen:

Schreiben Sie die kleinste positive Wurzel der Antwort auf.

5. Selbständiges Arbeiten (10 Min.)

Ziel ist es, die erworbenen Fähigkeiten zu testen, Probleme, Fehler und Wege zu ihrer Beseitigung zu identifizieren.

Eine Vielzahl von Arbeiten wird nach Wahl des Studenten angeboten.

Option für "3"

1) Finden Sie den Wert des Ausdrucks

2) Vereinfachen Sie den Ausdruck 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Lösen Sie die Gleichung

Option für "4"

1) Finden Sie den Wert des Ausdrucks

2) Lösen Sie die Gleichung Notieren Sie die kleinste positive Wurzel Ihrer Antwort.

Option für "5"

1) Finde tgα wenn

2) Finden Sie die Wurzel der Gleichung Notieren Sie die kleinste positive Wurzel Ihrer Antwort.

6. Zusammenfassung der Lektion (5 Min.)

Der Lehrer fasst zusammen, was im Unterricht wiederholt und gefestigt wurde trigonometrische Formeln, Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen.

Hausaufgaben werden stichprobenartig in der nächsten Unterrichtsstunde vergeben (vorab auf gedruckter Basis vorbereitet).

Gleichungen lösen:

9)

10) Geben Sie Ihre Antwort als kleinste positive Wurzel an.

Lektion 2

Thema: Klasse 11 (Vorbereitung auf die Prüfung)

Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen. Root-Auswahl. (2 Stunden)

Ziele:

• Verallgemeinern und systematisieren Sie das Wissen zur Lösung trigonometrischer Gleichungen verschiedener Art.
• Entwicklung fördern mathematisches Denken Schüler, die Fähigkeit zu beobachten, zu vergleichen, zu verallgemeinern, zu klassifizieren.
• Ermutigen Sie die Schüler, Schwierigkeiten im Prozess zu überwinden geistige Aktivität zur Selbstkontrolle, Selbstanalyse ihrer Aktivitäten.

Ausrüstung für den Unterricht: KRMU, Laptops für jeden Schüler.

Unterrichtsstruktur:

1. OrgMoment
2. Diskussion d / s und samot. die Arbeit der letzten Stunde
3. Wiederholung von Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.
4. Lösen trigonometrischer Gleichungen
5. Auswahl von Wurzeln in trigonometrischen Gleichungen.
6. Selbstständige Arbeit.
7. Zusammenfassung der Lektion. Hausaufgaben.

1. Organisierender Moment (2 Min.)

Der Lehrer begrüßt das Publikum, gibt das Unterrichtsthema und den Arbeitsplan bekannt.

2. a) Analysieren Hausaufgaben(5 Minuten.)

Ziel ist es, die Leistung zu überprüfen. Eine Arbeit mit Hilfe einer Videokamera wird auf dem Bildschirm angezeigt, die restlichen werden selektiv zur Kontrolle durch den Lehrer gesammelt.

b) Analysieren unabhängige Arbeit(3 Minuten.)

Das Ziel ist es, die Fehler zu beseitigen und Wege aufzuzeigen, wie sie überwunden werden können.

Auf dem Bildschirm sind die Antworten und Lösungen, die die Schüler ihre Arbeit vorab ausgestellt haben. Die Analyse geht schnell voran.

3. Wiederholung von Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen (5 Min.)

Ziel ist es, Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen in Erinnerung zu rufen.

Fragen Sie die Schüler, welche Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen sie kennen. Betonen Sie, dass es sogenannte grundlegende (häufig verwendete) Methoden gibt:

• variable Substitution,
• Faktorisierung,
• homogene Gleichungen,

und Essen angewandte Methoden:

• nach den Formeln zur Umwandlung einer Summe in ein Produkt und eines Produkts in eine Summe,
• Formeln Herabstufung,
• universelle trigonometrische Substitution
• Einleitung Hilfsecke,
• Multiplikation mit einigen Trigonometrische Funktion.

Es sollte auch daran erinnert werden, dass eine Gleichung auf verschiedene Arten gelöst werden kann.

4. Lösen trigonometrischer Gleichungen (30 Min.)

Ziel ist es, Kenntnisse und Fähigkeiten zu diesem Thema zu verallgemeinern und zu festigen, um sich auf das Lösen von C1 aus dem USE vorzubereiten.

Ich halte es für sinnvoll, Gleichungen für jede Methode gemeinsam mit den Studierenden zu lösen.

Der Schüler diktiert die Lösung, der Lehrer notiert auf dem Tablet, der ganze Ablauf wird auf dem Bildschirm angezeigt. Auf diese Weise können Sie zuvor behandeltes Material schnell und effizient in Ihrem Gedächtnis wiederherstellen.

Gleichungen lösen:

1) Variablenänderung 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) Faktorisierung 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogene Gleichungen sin2x + 3cos2x - 2sin2x = 0

4) Umwandlung der Summe in das Produkt cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) Umwandlung des Produkts in die Summe 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) Verringerung des Sin2x - Sin 2 2x + Sin 2 3x \u003d 0,5

7) universelle trigonometrische Substitution sinx + 5cosx + 5 = 0.

Beim Lösen dieser Gleichung ist zu beachten, dass die Verwendung diese Methode führt zu einer Verengung des Definitionsbereichs, da Sinus und Cosinus durch tg(x/2) ersetzt werden. Bevor Sie die Antwort schreiben, müssen Sie daher prüfen, ob die Zahlen aus der Menge π + 2πn, n Z Pferde dieser Gleichung sind.

8) Einführung eines Hilfswinkels √3sinx + cosx - √2 = 0

9) Multiplikation mit einigen trigonometrischen cosx-Funktion cos2x cos4x = 1/8.

5. Auswahl von Wurzeln trigonometrischer Gleichungen (20 Min.)

Da unter den Bedingungen des harten Wettbewerbs beim Eintritt in die Universitäten die Lösung eines ersten Teils der Prüfung nicht ausreicht, sollten die meisten Studenten die Aufgaben des zweiten Teils (C1, C2, C3) beachten.

Daher besteht der Zweck dieser Unterrichtsphase darin, sich an das zuvor erlernte Material zu erinnern, um sich auf die Lösung des Problems C1 aus dem USE im Jahr 2011 vorzubereiten.

Existieren trigonometrische Gleichungen, in dem beim Extrahieren der Antwort die Wurzeln ausgewählt werden müssen. Dies liegt an einigen Einschränkungen, zum Beispiel: Der Nenner eines Bruchs ist es nicht Null, Ausdruck unter Wurzel sogar Grad nichtnegativ ist, ist der Ausdruck unter dem Logarithmus positiv usw.

Solche Gleichungen werden als Gleichungen betrachtet erhöhte Komplexität und in Version der Prüfung sind im zweiten Teil, nämlich C1.

Löse die Gleichung:

Der Bruch ist dann null mit Hilfe Einheitskreis Wir werden die Wurzeln auswählen (siehe Abbildung 1)

Bild 1.

erhalten wir x = π + 2πn, n Z

Antwort: π + 2πn, n Z

Auf dem Bildschirm wird die Auswahl der Wurzeln auf einem Kreis in einem Farbbild angezeigt.

Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist und der Bogen gleichzeitig seine Bedeutung nicht verliert. Dann

Wählen Sie mithilfe des Einheitskreises die Wurzeln aus (siehe Abbildung 2).

Die Videolektion "Vereinfachung trigonometrischer Ausdrücke" soll die Lösungsfähigkeiten der Schüler verbessern trigonometrische Probleme unter Verwendung grundlegender trigonometrischer Identitäten. Während der Videolektion werden Arten trigonometrischer Identitäten betrachtet, Beispiele für die Lösung von Problemen mit ihnen. Bewirbt sich Bildmaterial erleichtert es dem Lehrer, die Unterrichtsziele zu erreichen. Eine anschauliche Darstellung des Stoffes trägt zur Merkfähigkeit bei wichtige Punkte. Die Verwendung von Animationseffekten und Sprachausgabe ermöglicht es Ihnen, den Lehrer in der Phase der Erklärung des Materials vollständig zu ersetzen. Somit kann der Lehrer durch den Einsatz dieser Anschauungshilfe im Mathematikunterricht die Effektivität des Unterrichts steigern.

Zu Beginn der Videolektion wird das Thema bekannt gegeben. Dann werden die zuvor untersuchten trigonometrischen Identitäten wieder aufgerufen. Der Bildschirm zeigt die Gleichungen sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, wobei t≠π/2+πk für kϵZ, ctg t=cos t/sin t, wahr für t≠πk, wobei kϵZ, tan t · ctg t=1, bei t≠πk/2, wobei kϵZ, trigonometrische Grundidentitäten genannt. Es wird darauf hingewiesen, dass diese Identitäten häufig zur Lösung von Problemen verwendet werden, bei denen es notwendig ist, die Gleichheit zu beweisen oder den Ausdruck zu vereinfachen.

Ferner werden Beispiele für die Anwendung dieser Identitäten beim Lösen von Problemen betrachtet. Zunächst wird vorgeschlagen, die Lösung von Problemen der Vereinfachung von Ausdrücken in Betracht zu ziehen. In Beispiel 1 muss der Ausdruck cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t vereinfacht werden. Um ein Beispiel zu lösen, setzen Sie zuerst Klammern gemeinsamer Faktor kosten2t. Als Ergebnis einer solchen Transformation in Klammern erhält man den Ausdruck 1- cos 2 t, dessen Wert aus der Grundidentität der Trigonometrie gleich sin 2 t ist. Nach der Transformation des Ausdrucks ist es offensichtlich, dass ein weiterer gemeinsamer Faktor sin 2 t aus Klammern herausgenommen werden kann, wonach der Ausdruck die Form sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t) annimmt. Aus derselben Grundidentität leiten wir den Wert des Klammerausdrucks gleich 1 ab. Als Ergebnis der Vereinfachung erhalten wir cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

In Beispiel 2 muss auch der Ausdruck cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint) vereinfacht werden. Da der Ausdruck cost in den Zählern beider Brüche steht, kann er als gemeinsamer Teiler ausgeklammert werden. Die Brüche in Klammern werden dann zu gekürzt gemeinsamer Nenner Multiplikation (1- Sint)(1+ Sint). Nach der Besetzung ähnliche Begriffe 2 bleibt im Zähler und 1 - sin 2 t im Nenner. Auf der rechten Seite des Bildschirms die grundlegende trigonometrische Identität Sünde 2 t+cos 2 t=1. Damit finden wir den Nenner des Bruchs cos 2 t. Nach dem Reduzieren des Bruchs erhalten wir eine vereinfachte Form des Ausdrucks cost / (1- sint) + cost / (1 + sint) \u003d 2 / cost.

Als nächstes betrachten wir Beispiele für den Beweis von Identitäten, in denen das erworbene Wissen über die grundlegenden Identitäten der Trigonometrie angewendet wird. In Beispiel 3 muss die Identität (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t nachgewiesen werden. Auf der rechten Seite des Bildschirms werden drei Identitäten angezeigt, die für den Beweis benötigt werden - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t und tg t=sin t/cos t mit Einschränkungen. Zum Beweis der Identität werden zunächst die Klammern geöffnet, danach wird ein Produkt gebildet, das den Ausdruck der trigonometrischen Hauptidentität tg t·ctg t=1 widerspiegelt. Dann wird gemäß der Identität aus der Definition des Kotangens ctg 2 t transformiert. Als Ergebnis von Transformationen erhält man den Ausdruck 1-cos 2 t. Unter Verwendung der grundlegenden Identität finden wir den Wert des Ausdrucks. Somit ist bewiesen, dass (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

In Beispiel 4 müssen Sie den Wert des Ausdrucks tg 2 t+ctg 2 t finden, wenn tg t+ctg t=6. Um den Ausdruck auszuwerten, werden zunächst die rechte und die linke Seite der Gleichung (tg t+ctg t) 2 =6 2 quadriert. Die abgekürzte Multiplikationsformel wird auf der rechten Seite des Bildschirms angezeigt. Nach Öffnen der Klammern auf der linken Seite des Ausdrucks wird die Summe tg 2 t+2 tg t ctg t+ctg 2 t gebildet, für deren Transformation eine der trigonometrischen Identitäten tg t ctg t=1 verwendet werden kann, dessen Form auf der rechten Seite des Bildschirms abgerufen wird. Nach der Transformation erhält man die Gleichheit tg 2 t + ctg 2 t=34. Die linke Seite der Gleichheit stimmt mit der Bedingung des Problems überein, also lautet die Antwort 34. Das Problem ist gelöst.

Es wird empfohlen, das Video-Tutorial „Vereinfachen trigonometrischer Ausdrücke“ auf einem traditionellen zu verwenden Schulstunde Mathematik. Außerdem wird das Material für den Lehrer nützlich sein, indem er es ausführt Fernunterricht. Um eine Fähigkeit zur Lösung trigonometrischer Probleme zu entwickeln.

TEXTEINTERPRETATION:

"Vereinfachung trigonometrischer Ausdrücke".

Gleichberechtigung

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (Sinus zum Quadrat von te plus Kosinus zum Quadrat von te ist gleich eins)

2) tgt =, bei t ≠ + πk, kϵZ (der Tangens von te ist gleich dem Verhältnis des Sinus von te zum Kosinus von te, wenn te ungleich pi um zwei plus pi ka ist, ka gehört zu zet)

3) ctgt = , bei t ≠ πk, kϵZ (der Kotangens von te ist gleich dem Verhältnis des Kosinus von te zum Sinus von te, wenn te nicht gleich der Spitze von ka ist, die zu z gehört).

4) tgt ∙ ctgt = 1 bei t ≠ , kϵZ

werden trigonometrische Grundidentitäten genannt.

Oft werden sie zur Vereinfachung und zum Beweis trigonometrischer Ausdrücke verwendet.

Betrachten Sie Beispiele für die Verwendung dieser Formeln bei der Vereinfachung trigonometrischer Ausdrücke.

BEISPIEL 1. Vereinfachen Sie den Ausdruck: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (Ausdruck a Kosinus zum Quadrat te minus Kosinus vierten Grades von te plus Sinus vierten Grades von te).

Lösung. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = Sünde 2 t 1= Sünde 2 t

(Wir nehmen den gemeinsamen Faktor Cosinus Quadrat te heraus, in Klammern erhalten wir die Differenz zwischen Eins und dem Quadrat von Cosinus te, der gleich dem Quadrat von Sinus te durch die erste Identität ist. Wir erhalten die Summe des Sinus der vierten Grad te des Produkts aus Cosinusquadrat te und Sinusquadrat te. Wir nehmen den gemeinsamen Faktor Sinusquadrat te außerhalb der Klammern heraus, in Klammern erhalten wir die Summe der Quadrate von Cosinus und Sinus, die gemäß der Hauptsache trigonometrische Identität gleich eins. Als Ergebnis erhalten wir das Quadrat des Sinus von te).

BEISPIEL 2. Vereinfachen Sie den Ausdruck: + .

(Ausdruck ist die Summe zweier Brüche im Zähler des ersten Kosinus te im Nenner eins minus Sinus te, im Zähler des zweiten Kosinus te im Nenner des zweiten plus Sinus te).

(Lassen Sie uns den gemeinsamen Faktor Kosinus te aus Klammern nehmen und ihn in Klammern auf einen gemeinsamen Nenner bringen, der das Produkt von eins minus Sinus te mal eins plus Sinus te ist.

Im Zähler erhalten wir: eins plus Sinus te plus eins minus Sinus te, wir geben ähnliche, der Zähler ist gleich zwei, nachdem wir ähnliche gebracht haben.

Auf den Nenner kannst du die abgekürzte Multiplikationsformel (Differenz der Quadrate) anwenden und erhältst die Differenz zwischen der Einheit und dem Quadrat des Sinus te, was der trigonometrischen Grundidentität entspricht

ist gleich dem Quadrat des Kosinus te. Nach dem Reduzieren um den Kosinus te erhalten wir die endgültige Antwort: zwei geteilt durch den Kosinus te).

Betrachten Sie Beispiele für die Verwendung dieser Formeln beim Beweis trigonometrischer Ausdrücke.

BEISPIEL 3. Beweisen Sie die Identität (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (das Produkt der Differenz zwischen den Quadraten der Tangente von te und dem Sinus von te und dem Quadrat des Kotangens von te ist gleich dem Quadrat des Sinus von te).

Nachweisen.

Lassen Sie uns die linke Seite der Gleichheit transformieren:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = Sünde 2 t

(Lassen Sie uns die Klammern öffnen, aus der zuvor erhaltenen Beziehung ist bekannt, dass das Produkt der Quadrate der Tangente von te durch den Kotangens von te gleich eins ist. Erinnern Sie sich, dass der Kotangens von te ist gleich dem Verhältnis Cosinus te zu Sinus te, also ist das Quadrat des Kotangens das Verhältnis des Quadrats des Cosinus te zum Quadrat des Sinus te.

Nach Reduktion um das Sinusquadrat von te erhalten wir die Differenz zwischen Eins und dem Kosinus des Quadrats von te, der gleich dem Sinus des Quadrats von te ist). Q.E.D.

BEISPIEL 4. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks tg 2 t + ctg 2 t, wenn tgt + ctgt = 6.

(die Summe der Quadrate des Tangens von te und des Kotangens von te, wenn die Summe aus Tangens und Kotangens sechs ist).

Lösung. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Lassen Sie uns beide Teile der ursprünglichen Gleichheit quadrieren:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (das Quadrat der Summe des Tangens von te und des Kotangens von te ist sechs zum Quadrat). Erinnern Sie sich an die abgekürzte Multiplikationsformel: Das Quadrat der Summe zweier Größen ist gleich dem Quadrat das erste plus das Doppelte des Produkts aus dem ersten und das zweite plus das Quadrat des zweiten. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Wir erhalten tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 .

Da das Produkt aus dem Tangens von te und dem Kotangens von te gleich eins ist, ist tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (die Summe der Quadrate des Tangens von te und des Kotangens von te und zwei ist sechsunddreißig),

Auf deine Anfrage.

6. Den Ausdruck vereinfachen:

Als Kofunktionen von Winkeln, die sich bis zu 90° ergänzen, sind gleich, dann ersetzen wir sin50° im Zähler des Bruchs durch cos40° und wenden die Sinusformel auf den Zähler an Doppeltes Argument. Wir erhalten 5sin80° im Zähler. Lassen Sie uns sin80° durch cos10° ersetzen, wodurch wir den Bruch verkleinern können.

Angewendete Formeln: 1) sinα=cos(90°-α); 2) sin2α=2sinαcosα.

7. BEI arithmetische Progression, deren Differenz 12 beträgt, und der achte Term 54, finden Sie die Anzahl der negativen Terme.

Lösungsplan. Machen wir eine Formel gemeinsames Mitglied gegebenen Progression und finden Sie heraus, für welche Werte von n die negativen Terme erhalten werden. Dazu müssen wir den ersten Term der Progression finden.

Wir haben d=12, a 8 =54. Nach der Formel a n \u003d a 1 + (n-1) ∙ d schreiben wir:

a 8 = a 1 + 7d. Ersetzen Sie die verfügbaren Daten. 54=a 1 +7∙12;

ein 1 \u003d -30. Setzen Sie diesen Wert in die Formel a n =a 1 +(n-1)∙d ein

ein n =-30+(n-1)∙12 oder ein n =-30+12n-12. Vereinfachen: a n \u003d 12n-42.

Wir suchen nach der Anzahl der negativen Terme, also müssen wir die Ungleichung lösen:

ein<0, т.е. неравенство: 12n-42<0;

12n<42 ⇒ n<3,5. Из чего заключаем, что в данной прогрессии всего три отрицательных члена, т.е. n=3.

8. Finden Sie die Bereiche der folgenden Funktion: y=x-|x|.

Lassen Sie uns die modularen Halterungen erweitern. Wenn x≥0, dann y=x-x ⇒ y=0. Der Graph dient als x-Achse rechts vom Ursprung. Wenn x<0, то у=х+х ⇒ у=2х. Графиком будет та часть прямой у=2х, которая лежит ниже оси Ох. Таким образом, график данной функции y=x-|x| есть объединение полупрямых. Областью значений служат все неположительные числа, т.е. E(y)=(-∞; 0].

9. Finden Sie die Mantelfläche eines geraden Kreiskegels, wenn seine Erzeugende 18 cm und die Grundfläche 36 cm 2 beträgt.

Gegeben ist ein Kegel mit einem Axialschnitt MAB. Generieren BM=18, S main. =36π. Die Fläche der Mantelfläche des Kegels wird nach folgender Formel berechnet: S-Seite. \u003d πRl, wobei l die Erzeugende ist und bedingt gleich 18 cm ist, R der Radius der Basis ist, finden wir nach der Formel: S cr. = πR2. Wir haben S cr. = S Haupt. = 36π. Also πR 2 =36π ⇒ R=6.

Dann S-Seite. =π∙6∙18 ⇒ S-Seite. \u003d 108π cm 2.

12. Wir lösen die logarithmische Gleichung. Ein Bruch ist gleich 1, wenn sein Zähler gleich dem Nenner ist, d.h.

lg(x 2 +5x+4)=2lgx bei lgx≠0. Wir wenden die Eigenschaft des Grades der Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus auf die rechte Seite der Gleichheit an: lg (x 2 +5x+4) \u003d lgx 2, Diese Dezimallogarithmen sind gleich, daher die Zahlen unter den Vorzeichen der Logarithmen sind auch gleich, also:

x 2 +5x+4=x 2 , also 5x=-4; wir erhalten x=-0,8. Dieser Wert kann jedoch nicht genommen werden, da nur positive Zahlen unter dem Vorzeichen des Logarithmus stehen können, daher hat diese Gleichung keine Lösungen. Notiz. Es ist nicht notwendig, die ODZ am Anfang der Lösung zu finden (lassen Sie sich Zeit!), Es ist besser, eine Überprüfung (wie wir es jetzt tun) am Ende durchzuführen.

13. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks (x o - y o), wobei (x o; y o) die Lösung des Gleichungssystems ist:

14. Löse die Gleichung:

Wenn Sie durch teilen 2 und dem Zähler und Nenner eines Bruchs findest du die Formel für den Tangens eines Doppelwinkels. Sie erhalten eine einfache Gleichung: tg4x=1.

15. Finde die Ableitung der Funktion: f(x)=(6x 2 -4x) 5 .

Wir erhalten eine komplexe Funktion. Wir definieren es in einem Wort - es ist ein Abschluss. Daher finden wir gemäß der Ableitungsregel einer komplexen Funktion die Ableitung des Grades und multiplizieren sie mit der Ableitung der Basis dieses Grades gemäß der Formel:

(u n)' = n ∙ u n-1 ∙ du'.

f’(x)= 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (6x 2 -4x)' = 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (12x-4)=5(6x2-4x)4 ∙ 4(3x-1)=20(3x-1)(6x 2 -4x) 4 .

16. Es ist erforderlich, f ‘(1) zu finden, wenn die Funktion

17. In einem gleichseitigen Dreieck beträgt die Summe aller Winkelhalbierenden 33√3 cm. Ermitteln Sie die Fläche des Dreiecks.

Die Winkelhalbierende eines gleichseitigen Dreiecks ist sowohl der Median als auch die Höhe. Somit ist die Länge der Höhe BD dieses Dreiecks

Finden wir die Seite AB aus dem Rechteck Δ ABD. Da sin60° = BD : AB, dann AB = BD : sin60°.

18. Der Kreis ist in ein gleichseitiges Dreieck mit einer Höhe von 12 cm eingeschrieben. Finden Sie die Fläche des Kreises.

Der Kreis (O; OD) ist in das gleichseitige Δ ABC einbeschrieben. Die Höhe BD ist auch eine Winkelhalbierende und eine Seitenhalbierende, und der Mittelpunkt des Kreises, Punkt O, liegt auf BD.

O - der Schnittpunkt von Höhen, Winkelhalbierenden und Mittellinien teilt die Mittellinie BD im Verhältnis 2:1, von oben gezählt. Daher ist OD=(1/3)BD=12:3=4. Kreisradius R=OD=4 cm Kreisfläche S=πR 2 =π∙4 2 ⇒ S=16π cm 2.

19. Die Seitenkanten einer regelmäßigen viereckigen Pyramide sind 9 cm lang und die Seite der Basis 8 cm. Finde die Höhe der Pyramide.

Die Basis einer regelmäßigen viereckigen Pyramide ist das Quadrat ABCD, die Basis der MO-Höhe ist der Mittelpunkt des Quadrats.

20. Vereinfachen:

Im Zähler wird das Quadrat der Differenz gekürzt.

Wir faktorisieren den Nenner mit der Methode der Summandengruppierung.

21. Berechnung:

Um die arithmetische Quadratwurzel ziehen zu können, muss der Wurzelausdruck ein volles Quadrat sein. Den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen stellen wir als Quadrat der Differenz zweier Ausdrücke nach der Formel dar:

a 2 – 2ab + b 2 = (a – b) 2 , unter der Annahme, dass a 2 + b 2 = 10.

22. Lösen Sie die Ungleichung:

Wir stellen die linke Seite der Ungleichung als Produkt dar. Die Summe der Sinus zweier Winkel ist gleich dem doppelten Produkt aus dem Sinus der Halbsumme dieser Winkel und dem Kosinus der Halbdifferenz dieser Winkel:

Wir bekommen:

Lösen wir diese Ungleichung grafisch. Wir wählen diejenigen Punkte des Graphen y=Kosten aus, die über der Geraden liegen, und bestimmen die Abszissen dieser Punkte (dargestellt durch Schattierung).

23. Finden Sie alle Stammfunktionen für die Funktion: h(x)=cos 2 x.

Wir transformieren diese Funktion, indem wir ihren Grad mit der Formel verringern:

1+cos2α=2cos2α. Wir erhalten eine Funktion:

24. Finden Sie Vektorkoordinaten

25. Fügen Sie anstelle von Sternchen arithmetische Zeichen ein, damit die richtige Gleichheit erreicht wird: (3 * 3) * (4 * 4) \u003d 31 - 6.

Wir argumentieren: Die Nummer 25 sollte erhalten werden (31 - 6 \u003d 25). Wie erhalte ich diese Zahl aus zwei "Triples" und zwei "Vierern" mit Aktionszeichen?

Natürlich: 3 ∙ 3 + 4 ∙ 4 \u003d 9 + 16 \u003d 25. Antwort E).