6.11. Kurze Review Erforschung mathematischer Fähigkeiten
In Studien unter der Leitung von V.A. Krutetsky reflektiert verschiedene Ebenen des Studiums des Problems mathematischer, literarischer und konstruktiv-technischer Fähigkeiten. Alle Studien wurden jedoch nach dem allgemeinen Schema organisiert und durchgeführt:
1. Stufe - Studium der Essenz, Struktur spezifischer Fähigkeiten;
2. Stufe - Studie des Alters und individuelle Unterschiede in der Struktur spezifischer Fähigkeiten, Altersdynamik der Entwicklung der Struktur;
3. Stufe - das Studium der psychologischen Grundlagen der Bildung und Entwicklung von Fähigkeiten.
Die Arbeiten von V. A. Krutetsky, I. V. Dubrovina, S. I. Shapiro geben ein allgemeines Bild der altersbedingten Entwicklung der mathematischen Fähigkeiten von Schulkindern während der Schulzeit.
Eine spezielle Untersuchung der mathematischen Fähigkeiten von Schulkindern wurde durchgeführt von V.A. Krutetsky(1968). Unter Fähigkeit, Mathematik zu studieren er versteht individuelle psychologische Merkmale (in erster Linie die Merkmale geistige Aktivität), die den Anforderungen der pädagogischen mathematischen Tätigkeit entsprechen und mit anderen bestimmen gleiche Bedingungen Erfolg bei der kreativen Beherrschung der Mathematik als Gegenstand, insbesondere relativ schnelle, einfache und tiefe Beherrschung von Kenntnissen, Fertigkeiten und Fähigkeiten auf dem Gebiet der Mathematik. In der Struktur der mathematischen Fähigkeiten identifizierte er die folgenden Hauptkomponenten:
1) die Fähigkeit, die Wahrnehmung mathematischen Materials zu formalisieren, die formale Struktur des Problems zu erfassen;
2) die Fähigkeit, mathematische Objekte, Beziehungen und Aktionen schnell und umfassend zu verallgemeinern;
3) die Fähigkeit, den Prozess des mathematischen Denkens und das System der entsprechenden Aktionen zu falten - die Fähigkeit, in gefalteten Strukturen zu denken;
4) Flexibilität mentaler Prozesse bei mathematischer Tätigkeit;
5) die Fähigkeit, die Richtung des Denkprozesses schnell und frei umzustrukturieren, vom direkten zum umgekehrten Denken zu wechseln;
6) Streben nach Klarheit, Einfachheit, Ökonomie und Rationalität von Entscheidungen;
7) mathematisches Gedächtnis (allgemeines Gedächtnis für mathematische Beziehungen, Argumentations- und Beweisschemata, Methoden zur Lösung von Problemen und Prinzipien zu ihrer Herangehensweise). Die Methodik zum Erlernen von Fähigkeiten für Mathematik gehört zu V.A. Krutetsky (1968).
Dubrovina I.V. Eine Modifikation dieser Technik wurde in Bezug auf Schüler der Klassen 2-4 entwickelt.
Eine Analyse der in dieser Arbeit präsentierten Materialien erlaubt uns, die folgenden Schlussfolgerungen zu ziehen.
1. Mathematisch begabte Schüler im Grundschulalter weisen ganz deutlich solche Komponenten mathematischer Fähigkeiten auf, wie die Fähigkeit, Problembedingungen analytisch und synthetisch zu erfassen, die Fähigkeit, mathematisches Material zu verallgemeinern, und die Flexibilität von Denkprozessen. Weniger ausgeprägt sind in diesem Alter solche Komponenten mathematischer Fähigkeiten wie die Fähigkeit, das Denken und ein System angemessener Handlungen einzuschränken, der Wunsch, den rationalsten, wirtschaftlichsten (elegantesten) Weg zur Lösung von Problemen zu finden.
Am deutlichsten sind diese Komponenten nur bei den Studierenden der Gruppe „Sehr leistungsfähig“ (OS) vertreten. Gleiches gilt für die Besonderheiten des mathematischen Gedächtnisses jüngerer Schüler. Nur Studenten der OS-Gruppe können Anzeichen eines generalisierten mathematischen Gedächtnisses finden.
2. Alle oben genannten Komponenten mathematischer Fähigkeiten manifestieren sich auf dem mathematischen Material, das Schülern im Grundschulalter zugänglich ist, also in mehr oder weniger elementarer Form.
3. Die Entwicklung aller oben genannten Komponenten macht sich bei mathematikfähigen Schülern der Klassen 2 bis 4 bemerkbar: Im Laufe der Jahre nimmt die Tendenz zu einer relativ vollständigen analytisch-synthetischen Wahrnehmung der Problemlage zu; die Verallgemeinerung mathematischen Materials wird breiter, schneller und sicherer; es gibt eine ziemlich bemerkenswerte Entwicklung der Fähigkeit, das Denken und ein System angemessener Handlungen einzuschränken, das zunächst auf der Grundlage gleichartiger Übungen gebildet wird und sich im Laufe der Jahre immer häufiger „von der Stelle“ manifestiert; ab der 4. Klasse wechseln die Schüler viel leichter von einer Denkoperation zur anderen, qualitativ anders, sie sehen öfter mehrere Wege zur Lösung eines Problems gleichzeitig; Das Gedächtnis wird allmählich von der Speicherung spezifischen Privatmaterials befreit, das Auswendiglernen mathematischer Zusammenhänge gewinnt zunehmend an Bedeutung.
4. Bei den untersuchten leistungsschwachen (MS) Schülerinnen und Schülern im Grundschulalter sind alle oben genannten Komponenten mathematischer Fähigkeiten auf einem relativ niedrigen Entwicklungsstand (Fähigkeit zur Verallgemeinerung mathematischen Materials, Flexibilität des Denkprozesses) ausgeprägt bzw. vorhanden überhaupt nicht erkannt (die Fähigkeit, das Denken und das System entsprechender Aktionen zu reduzieren, verallgemeinertes mathematisches Gedächtnis).
5. Die Ausbildung der Hauptkomponenten mathematischer Fähigkeiten auf einem mehr oder weniger zufriedenstellenden Niveau im Prozess des experimentellen Trainings bei Kindern der MS-Gruppe war nur durch beharrliches, beharrliches, systematisches Arbeiten sowohl seitens des Experimentators möglich und die Studenten.
6. Altersunterschiede in der Entwicklung der Komponenten mathematischer Fähigkeiten bei mathematikunfähigen Grundschulkindern sind schwach und undeutlich ausgeprägt.
Im Artikel S.I. Schapiro„Psychologische Analyse der Struktur mathematischer Fähigkeiten im Oberstufenalter“ zeigt, dass im Gegensatz zu leistungsschwächeren Schülern, deren Informationen meist in eng spezifischer Form verstreut und undifferenziert im Gedächtnis gespeichert sind, mathematikfähige Schüler auswendig lernen, anwenden und reproduzieren Material in verallgemeinerter, "gefalteter" Form.
Von erheblichem Interesse ist das Studium mathematischer Fähigkeiten und ihrer natürlichen Voraussetzungen. I.A. Ljowotschkina, der glaubt, dass mathematische Fähigkeiten in den Werken von B. M. Teplov zwar nicht besonders berücksichtigt wurden, Antworten auf viele Fragen im Zusammenhang mit ihrem Studium jedoch in seinen Arbeiten zu finden sind, die sich den Problemen der Fähigkeiten widmen. Unter ihnen spezieller Ort belegen zwei monografische Werke – „Psychologie musikalische Fähigkeit“ und „Der Geist eines Kommandanten“, die zu klassischen Beispielen für das psychologische Studium von Fähigkeiten geworden sind und universelle Prinzipien zur Herangehensweise an dieses Problem enthalten, die beim Studium jeder Art von Fähigkeit verwendet werden können und sollten.
In beiden Werken gibt B. M. Teplov nicht nur einen Brillanten psychologische Analyse spezifischen Tätigkeitsfeldern, aber auch an den Beispielen herausragender Vertreter der Musik- und Militärkunst zeigt die notwendigen Komponenten auf, die glänzende Talente auf diesen Gebieten ausmachen. Besondere Aufmerksamkeit B. M. Teplov widmete sich der Frage des Verhältnisses von allgemeinen und besonderen Fähigkeiten und bewies, dass der Erfolg bei jeder Art von Aktivität, einschließlich Musik und Militärangelegenheiten, nicht nur von speziellen Komponenten abhängt (z. B. in Musik - Hören, Rhythmusgefühl). ), sondern auch von Gemeinsamkeiten Aufmerksamkeit, Gedächtnis, Intelligenz. Gleichzeitig sind allgemeine geistige Fähigkeiten untrennbar mit besonderen Fähigkeiten verbunden und beeinflussen maßgeblich deren Entwicklungsstand.
Die prominenteste Rolle allgemeine Fähigkeiten demonstriert in der Arbeit "The Mind of the Commander". Lassen Sie uns auf die wichtigsten Bestimmungen dieser Arbeit eingehen, da sie beim Studium anderer Arten von Fähigkeiten, die mit geistiger Aktivität verbunden sind, einschließlich mathematischer Fähigkeiten, verwendet werden können. Nach einem eingehenden Studium der Aktivitäten des Kommandanten B.M. Teplov zeigte, welchen Platz intellektuelle Funktionen darin einnehmen. Sie bieten eine Analyse komplexer militärischer Situationen, die Identifizierung einzelner signifikanter Details, die den Ausgang bevorstehender Schlachten beeinflussen können. Es ist die Fähigkeit zur Analyse, die den ersten notwendigen Schritt darstellt, um die richtige Entscheidung zu treffen und einen Schlachtplan aufzustellen. Nach der analytischen Arbeit beginnt die Stufe der Synthese, die es ermöglicht, die Vielfalt der Details zu einem Ganzen zu vereinen. Laut B.M. Teplov, die Tätigkeit eines Kommandanten erfordert ein Gleichgewicht zwischen den Prozessen der Analyse und Synthese mit dem Obligatorischen hohes Level ihre Entwicklung.
wichtiger Ort bei intellektuelle Tätigkeit Kommandant nimmt Speicher. Es muss nicht universell sein. Viel wichtiger ist, dass sie selektiv ist, das heißt, dass sie zunächst die notwendigen, wesentlichen Details beibehält. Als klassisches Beispiel eine solche Erinnerung an B.M. Teplov zitiert Aussagen über die Erinnerung an Napoleon, der sich buchstäblich an alles erinnerte, was in direktem Zusammenhang mit seinen militärischen Aktivitäten stand, von den Einheitennummern bis zu den Gesichtern der Soldaten. Gleichzeitig war Napoleon nicht in der Lage, sich bedeutungsloses Material zu merken, war aber besessen wichtiges Merkmal sofort assimilieren, was der Klassifizierung unterworfen war, ein bestimmtes logisches Gesetz.
BM Teplov kommt zu dem Schluss, dass „die Fähigkeit, die wesentliche und ständige Systematisierung des Materials zu finden und hervorzuheben, ist wesentliche Voraussetzungen die die Einheit von Analyse und Synthese sicherstellen, dann das Gleichgewicht zwischen diesen Aspekten der geistigen Aktivität, die die Arbeit des Geistes auszeichnen ein guter General» . Neben einem herausragenden Verstand muss der Kommandant über bestimmte persönliche Qualitäten verfügen. Das ist in erster Linie Mut, Entschlossenheit, Energie, also das, was in Bezug auf militärische Führung üblicherweise mit dem Begriff „Wille“ bezeichnet wird. Eine ebenso wichtige persönliche Eigenschaft ist die Stressresistenz. Die Emotionalität eines talentierten Kommandanten manifestiert sich in der Kombination der Emotion der Kampfspannung und der Fähigkeit, sich zu sammeln und zu konzentrieren.
Ein besonderer Platz in der intellektuellen Tätigkeit des Kommandanten B.M. Teplov ordnete das Vorhandensein einer solchen Qualität wie Intuition zu. Er analysierte diese Geisteshaltung des Kommandanten und verglich sie mit der Intuition eines Wissenschaftlers. Es gibt viele Gemeinsamkeiten zwischen ihnen. Der Hauptunterschied, so B.M. Teplov besteht darin, dass der Kommandant eine dringende Entscheidung treffen muss, von der der Erfolg der Operation abhängen kann, während der Wissenschaftler nicht durch Zeitrahmen begrenzt ist. Aber in beiden Fällen muss der "Einsicht" harte Arbeit vorausgehen, auf deren Grundlage die einzig wahre Lösung des Problems gefunden werden kann.
Bestätigung der von B.M. analysierten und verallgemeinerten Bestimmungen Teplov aus psychologischer Sicht ist in den Werken vieler prominenter Wissenschaftler zu finden, darunter Mathematiker. So beschreibt Henri Poincaré in der psychologischen Studie „Mathematical Creativity“ ausführlich die Situation, in der ihm eine der Entdeckungen gelang. Vorausgegangen war eine lange Vorarbeit, spezifisches Gewicht in dem er nach Ansicht des Wissenschaftlers den Prozess des Unbewussten konstituierte. Dem Stadium der „Einsicht“ folgte notwendigerweise das zweite Stadium – sorgfältige bewusste Arbeit, um den Beweis zu ordnen und zu überprüfen. A. Poincaré kam zu dem Schluss, dass wichtiger Platz in mathematischer Begabung die Fähigkeit, eine Operationskette logisch aufzubauen die zur Lösung des Problems führen. Es scheint, dass dies jeder Person, die zu logischem Denken fähig ist, zur Verfügung stehen sollte. Allerdings ist nicht jeder handlungsfähig mathematische Symbole mit der gleichen Leichtigkeit wie beim Lösen von Logikproblemen.
Es reicht für einen Mathematiker nicht aus, ein gutes Gedächtnis und Aufmerksamkeit zu haben. Laut Poincare zeichnen sich mathematisch begabte Menschen durch aus Fähigkeit, Ordnung zu fangen, in der sich die für den mathematischen Beweis notwendigen Elemente befinden sollten. Das Vorhandensein dieser Art von Intuition ist das Hauptelement mathematischer Kreativität. Manche Leute besitzen es nicht subtiles Gefühl und haben kein starkes Gedächtnis und Aufmerksamkeit, daher sind sie nicht in der Lage, Mathematik zu verstehen. Andere haben eine schwache Intuition, sind aber mit einem guten Gedächtnis und der Fähigkeit zur Aufmerksamkeit gesegnet, sodass sie Mathematik verstehen und anwenden können. Wieder andere haben eine so besondere Intuition und können selbst ohne ein hervorragendes Gedächtnis nicht nur Mathematik verstehen, sondern auch mathematische Entdeckungen machen.
Hier wir redenÜber mathematische Kreativität wenigen zugänglich. Aber, wie J. Hadamard schrieb, „zwischen der Arbeit eines Studenten, der ein Problem in Algebra oder Geometrie löst, und kreative Arbeit der Unterschied liegt nur im Niveau, in der Qualität, da beide Werke ähnlicher Natur sind. Um zu verstehen, welche Eigenschaften noch erforderlich sind, um in der Mathematik erfolgreich zu sein, analysierten die Forscher mathematische Aktivitäten: den Prozess der Problemlösung, Beweismethoden, logisches Denken und Merkmale des mathematischen Gedächtnisses. Diese Analyse führte zur Kreation Verschiedene Optionen Strukturen mathematischer Fähigkeiten, komplex in ihrer Komponentenzusammensetzung. Gleichzeitig waren sich die Meinungen der meisten Forscher in einer Sache einig - dass es nicht die einzige ausgeprägte mathematische Fähigkeit gibt und geben kann - dies ist ein kumulatives Merkmal, das die Merkmale verschiedener mentaler Prozesse widerspiegelt: Wahrnehmung, Denken, Gedächtnis, Vorstellungskraft.
Unter den meisten wichtige Komponenten mathematische Fähigkeiten fallen auf spezifische Fähigkeit zur Verallgemeinerung mathematischen Materials, Fähigkeit zur räumlichen Darstellung, Fähigkeit zum abstrakten Denken. Einige Forscher heben auch mathematische Fähigkeiten als eigenständige Komponente hervor mathematisches Gedächtnis für Argumentations- und Beweisschemata, Methoden zur Lösung von Problemen und Prinzipien zu ihrer Herangehensweise. Das Studium der mathematischen Fähigkeiten beinhaltet die Lösung eines der folgenden kritische Fragen- Suche nach natürlichen Voraussetzungen oder Neigungen für diese Art von Fähigkeit. Lange Zeit Neigungen wurden als ein Faktor angesehen, der das Niveau und die Richtung der Entwicklung von Fähigkeiten verhängnisvoll vorbestimmt. Klassiker der russischen Psychologie B.M. Teplow und S.L. Rubinshstein hat die Unrechtmäßigkeit eines solchen Verständnisses von Neigungen wissenschaftlich bewiesen und gezeigt, dass die Quelle der Entwicklung von Fähigkeiten das enge Zusammenspiel äußerer und innerer Bedingungen ist. Die Schwere der einen oder anderen physiologischen Qualität weist in keiner Weise auf die obligatorische Entwicklung hin bestimmten Typ Fähigkeiten. Es kann nur eine günstige Bedingung für diese Entwicklung sein. Die typologischen Eigenschaften, die die Neigungen ausmachen und ein wichtiger Bestandteil von ihnen sind, spiegeln solche individuellen Merkmale der Körperfunktion wider, wie die Grenze der Arbeitsfähigkeit, die Geschwindigkeitseigenschaften der Nervenreaktion, die Fähigkeit, die Reaktion als Reaktion auf Veränderungen umzustrukturieren bei äußeren Einflüssen.
Eigenschaften nervöses System, die eng mit den Eigenschaften des Temperaments verbunden sind, beeinflussen wiederum die Manifestation der charakterologischen Merkmale der Persönlichkeit (V.S. Merlin, 1986). B.G. Ananiev, der Ideen über den General entwickelt natürliche Grundlage Entwicklung von Charakter und Fähigkeiten, wies auf die Bildung von Verbindungen von Fähigkeiten und Charakter im Aktivitätsprozess hin, die zu neuen mentalen Formationen führten, die mit den Begriffen "Talent" und "Berufung" bezeichnet werden (Ananiev B.G., 1980). So bilden Temperament, Fähigkeiten und Charakter gleichsam eine Kette miteinander verbundener Unterstrukturen in der Persönlichkeits- und Individualitätsstruktur, die eine einzige natürliche Grundlage haben (EA Golubeva, 1993).
Die Grundprinzipien eines integrierten typologischen Ansatzes zur Untersuchung von Fähigkeiten und Individualität werden ausführlich von E.A. Golubev im entsprechenden Kapitel der Monographie. Einer der wichtigsten Grundsätze ist neben der qualitativen Analyse der Einsatz von Messverfahren zur Diagnostik verschiedener Persönlichkeitsmerkmale. Basierend auf, I.A. Ljowotschkin baute eine experimentelle Studie über mathematische Fähigkeiten auf. Die konkrete Aufgabe bestand darin, die Eigenschaften des Nervensystems zu diagnostizieren, die als Grundvoraussetzungen für mathematische Fähigkeiten galten, die Persönlichkeitsmerkmale mathematisch begabter Schüler und die Eigenschaften ihres Intellekts zu untersuchen. Die Experimente wurden auf der Grundlage der Schule Nr. 91 in Moskau durchgeführt, die über spezialisierte mathematische Klassen verfügt. In diese Klassen werden Gymnasiasten aus ganz Moskau aufgenommen, meist Gewinner von Regional- und Stadtolympiaden, die ein zusätzliches Vorstellungsgespräch bestanden haben. Mathematik wird hier nach einem vertieften Programm unterrichtet, und ein zusätzlicher Kurs der mathematischen Analyse wird gelehrt. Die Studie wurde gemeinsam mit E.P. Guseva und Lehrer-Experimentator V.M. Saposchnikow.
Alle Schüler, mit denen die Forscherin in den Klassen 8-10 zusammengearbeitet hat, haben ihre Interessen und Neigungen bereits festgelegt. Sie verbinden ihr weiteres Studium und ihre Arbeit mit der Mathematik. Ihr Erfolg in Mathematik übertrifft den Erfolg von Schülerinnen und Schülern in nicht-mathematischen Klassen deutlich. Doch trotz des insgesamt hohen Erfolgs innerhalb dieser Gruppe von Studierenden gibt es erhebliche individuelle Unterschiede. Die Studie war wie folgt aufgebaut: Die Schüler wurden während des Unterrichts beobachtet, ihre Kontrollarbeit wurde mit Hilfe von Experten analysiert, und es wurden experimentelle Aufgaben zur Lösung vorgeschlagen, die darauf abzielten, einige Komponenten mathematischer Fähigkeiten zu identifizieren. Außerdem wurden mit den Studierenden eine Reihe von psychologischen und psychophysiologischen Experimenten durchgeführt. Der Entwicklungsstand und die Originalität der intellektuellen Funktionen wurden untersucht, ihre persönlichen Merkmale und typologischen Merkmale des Nervensystems wurden aufgedeckt. Insgesamt wurden 57 Studierende mit ausgeprägten mathematischen Fähigkeiten über mehrere Jahre geprüft.
Ergebnisse
Eine objektive Messung des intellektuellen Entwicklungsstandes mit dem Wexler-Test bei mathematisch hochbegabten Kindern zeigte, dass die meisten von ihnen über eine sehr hohe allgemeine Intelligenz verfügen. Die Zahlenwerte der allgemeinen Intelligenz vieler von uns befragter Schüler überstiegen 130 Punkte. Nach einigen normativen Klassifikationen finden sich Werte dieser Größenordnung nur bei 2,2% der Bevölkerung. In den allermeisten Fällen gab es eine Überzahl verbale Intelligenzüber das Nonverbale. Die Tatsache, dass bei Kindern mit ausgeprägten mathematischen Fähigkeiten eine hoch entwickelte allgemeine und verbale Intelligenz vorhanden ist, ist an sich nicht unerwartet. Viele Forscher mathematischer Fähigkeiten stellten fest, dass ein hoher Entwicklungsgrad verbal-logischer Funktionen eine notwendige Voraussetzung für mathematische Fähigkeiten ist. I.A. Lyovochkina interessierte sich nicht nur für die quantitativen Merkmale der Intelligenz, sondern auch dafür, wie sie mit den psychophysiologischen, natürlichen Merkmalen der Schüler zusammenhängt. Individuelle Merkmale des Nervensystems wurden mit einer elektroenzephalographischen Technik diagnostiziert. Hintergrund und reaktive Eigenschaften des Elektroenzephalogramms, aufgezeichnet auf einem 17-Kanal-Enzephalographen, wurden als Indikatoren für die Eigenschaften des Nervensystems verwendet. Anhand dieser Indikatoren wurde die Diagnose von Kraft, Labilität und Aktivierung des Nervensystems durchgeführt.
I.A. Lyovochkina stellte mit statistischen Analysemethoden fest, dass das höhere Niveau der verbalen und allgemeinen Intelligenz in dieser Stichprobe die Besitzer eines stärkeren Nervensystems hatte. Sie hatten auch bessere Noten in den Fächern der natürlichen und humanitären Zyklen. Laut anderen Forschern, die an jugendlichen Gymnasiasten allgemeinbildender Schulen erhalten wurden, hatten die Besitzer eines schwachen Nervensystems ein höheres Maß an Intelligenz und bessere schulische Leistungen (Golubeva E.A. et al. 1974, Kadyrov B.R. 1977). Der Grund für diese Diskrepanz ist wohl zunächst in der Natur der Sache zu suchen Aktivitäten lernen. Schülerinnen und Schüler im Mathematikunterricht erfahren im Vergleich zu Schülerinnen und Schülern im Regelunterricht eine deutlich höhere Lernbelastung. Mit ihnen werden zusätzliche Wahlfächer abgehalten, außerdem lösen sie neben obligatorischen Haus- und Unterrichtsaufgaben viele Aufgaben der Hochschulvorbereitung. Die Interessen dieser Jungs verschieben sich in Richtung einer erhöhten mentalen Dauerbelastung. Solche Aktivitätsbedingungen stellen erhöhte Anforderungen an Ausdauer, Leistung, und da das Hauptmerkmal der Eigenschaft der Stärke des Nervensystems die Fähigkeit ist, einer längeren Erregung standzuhalten, ohne in einen Zustand transzendentaler Hemmung zu geraten, dann anscheinend. Daher zeigen diejenigen Studenten, die solche Eigenschaften des Nervensystems wie Ausdauer und Arbeitsfähigkeit haben, die größte Effektivität.
V.A. Krutetsky, der die mathematische Aktivität mathematisch befähigter Studenten untersuchte, machte auf ihr charakteristisches Merkmal aufmerksam - die Fähigkeit, Spannung lange aufrechtzuerhalten, wenn der Student lange und konzentriert lernen kann, ohne Müdigkeit zu zeigen. Diese Beobachtungen erlaubten ihm, darauf hinzuweisen, dass eine Eigenschaft wie die Stärke des Nervensystems eine der natürlichen Voraussetzungen sein könnte, die die Entwicklung mathematischer Fähigkeiten begünstigen. Die erhaltenen Beziehungen bestätigen teilweise diese Annahme. Warum nur teilweise? Eine geringere Ermüdung beim mathematischen Arbeiten wurde von vielen Forschern bei Schülern festgestellt, die mathematisch begabt waren, im Vergleich zu denen, die dazu nicht befähigt waren. I.A. Lyovochkina untersuchte eine Stichprobe, die nur aus fähigen Studenten bestand. Unter ihnen waren jedoch nicht nur Besitzer eines starken Nervensystems, sondern auch solche, die als Besitzer eines schwachen Nervensystems charakterisiert wurden. Das bedeutet, dass nicht nur eine hohe Gesamtleistung, die eine günstige natürliche Grundlage für den Erfolg bei dieser Art von Tätigkeit ist, die Entwicklung mathematischer Fähigkeiten sicherstellen kann.
Eine Analyse der Persönlichkeitsmerkmale zeigte, dass sich im Allgemeinen für eine Gruppe von Schülern mit einem schwächeren Nervensystem solche Persönlichkeitsmerkmale wie Vernunft, Besonnenheit, Ausdauer (J+-Faktor nach Cattell) sowie Unabhängigkeit, Unabhängigkeit (Q2+-Faktor) herausstellten charakteristischer sein. Personen mit hohen Werten beim Faktor J achten sehr auf das Planungsverhalten, analysieren ihre Fehler und zeigen „vorsichtigen Individualismus“. Hohe Werte beim Q2-Faktor sind Menschen, die zu unabhängigen Entscheidungen neigen und in der Lage sind, Verantwortung dafür zu tragen. Dieser Faktor wird als „denkende Introversion“ bezeichnet. Wahrscheinlich erzielen die Besitzer eines schwachen Nervensystems Erfolg bei dieser Art von Aktivität, auch durch die Bildung von Eigenschaften wie Aktionsplanung und Unabhängigkeit.
Es ist auch anzunehmen, dass unterschiedliche Pole dieser Eigenschaft des Nervensystems mit unterschiedlichen Komponenten mathematischer Fähigkeiten in Verbindung gebracht werden können. So ist bekannt, dass die Eigenschaft der Schwäche des Nervensystems durch erhöhte Empfindlichkeit gekennzeichnet ist. Sie ist es, die der Fähigkeit zum intuitiven, plötzlichen Erfassen der Wahrheit, "Einsicht" oder Vermutung zugrunde liegen kann, was eine der wichtigen Komponenten mathematischer Fähigkeiten ist. Und das ist zwar nur eine Vermutung, aber ihre Bestätigung findet sich an konkreten Beispielen bei mathematisch begabten Schülern. Hier zwei am hellsten Beispiel. Dima Aufgrund der Ergebnisse einer objektiven psychophysiologischen Diagnostik kann es Vertretern des starken Typs des Nervensystems zugeordnet werden. Er ist der „Star ersten Ranges“ im Matheunterricht. Es ist wichtig festzuhalten, dass er ohne sichtbare Anstrengung, mit Leichtigkeit, glänzende Erfolge erzielt. Beklagt sich nie über Müdigkeit. Unterricht, Mathematikunterricht sind für ihn eine notwendige ständige geistige Gymnastik. Besonders bevorzugt werden nicht standardmäßige, komplexe Aufgaben gelöst, die gedankliche Anspannung, tiefe Analyse und strikte logische Abfolge erfordern. Dima duldet keine Ungenauigkeiten bei der Präsentation des Materials. Wenn der Lehrer beim Erklären logische Auslassungen macht, wird Dima definitiv darauf achten. Es zeichnet sich durch eine hohe intellektuelle Kultur aus. Dies wird auch durch die Testergebnisse bestätigt. Dima hat den höchsten Indikator für allgemeine Intelligenz in der untersuchten Gruppe - 149 konventionelle Einheiten.
Anton- einer der klügsten Vertreter des schwachen Nervensystems, den wir zufällig bei mathematisch begabten Kindern beobachten konnten. Er wird im Unterricht sehr schnell müde, kann nicht lange und konzentriert arbeiten, lässt manches oft unüberlegt auf sich beruhen. Es kommt vor, dass er sich weigert, ein Problem zu lösen, wenn er voraussieht, dass es große Anstrengungen erfordern wird. Trotz dieser Eigenschaften schätzen die Lehrer seine mathematischen Fähigkeiten sehr. Tatsache ist, dass er eine ausgezeichnete mathematische Intuition hat. Es kommt oft vor, dass er die schwierigsten Aufgaben als Erster löst, das Endergebnis liefert und alle Zwischenschritte der Lösung auslässt. Es zeichnet sich durch die Fähigkeit zur „Erleuchtung“ aus. Er macht sich nicht die Mühe zu erklären, warum eine solche Lösung gewählt wurde, aber bei der Überprüfung stellt sich heraus, dass sie optimal und originell ist.
Mathematische Fähigkeiten sind sehr komplex und vielschichtig in ihrer Struktur. Und doch gibt es zwei Haupttypen von Menschen mit ihrer Manifestation - das sind "Geometer" und "Analytiker". In der Geschichte der Mathematik können Namen wie Pythagoras und Euklid (die größten Geometer), Kovalevskaya und Klein (Analytiker, Schöpfer der Funktionstheorie) anschauliche Beispiele dafür sein. Diese Einteilung basiert in erster Linie auf den individuellen Merkmalen der Realitätswahrnehmung, einschließlich mathematischen Materials. Sie wird nicht durch das Thema bestimmt, an dem der Mathematiker arbeitet: Analytiker bleiben Analytiker in der Geometrie, während Geometer jede mathematische Realität lieber im übertragenen Sinne wahrnehmen. In diesem Zusammenhang ist es angebracht, die Aussage von A. Poincaré zu zitieren: „Es ist keineswegs das von ihnen diskutierte Thema, das sie dazu bringt, die eine oder andere Methode anzuwenden. Wenn einige oft als Analytiker bezeichnet werden, während andere Geometer genannt werden, hindert dies die ersteren nicht daran, Analytiker zu bleiben, selbst wenn sie Geometrie studieren, während andere Geometer sind, selbst wenn sie Geometer studieren. Reine Analyse» .
In der Schulpraxis bei der Arbeit mit begabten Schülern äußern sich diese Unterschiede nicht nur in unterschiedlichen Erfolgen bei der Beherrschung verschiedener Teilbereiche der Mathematik, sondern auch in einer bevorzugten Einstellung zu den Prinzipien der Problemlösung. Einige Schüler bemühen sich, Probleme mit Hilfe von Formeln und logischem Denken zu lösen, während andere, wenn möglich, räumliche Darstellungen verwenden. Außerdem sind diese Unterschiede sehr stabil. Natürlich gibt es unter den Studenten solche, die eine gewisse Ausgewogenheit dieser Eigenschaften aufweisen. Sie beherrschen alle Bereiche der Mathematik gleichermaßen reibungslos und verwenden unterschiedliche Prinzipien Lösungsansätze für unterschiedliche Probleme. Individuelle Unterschiede zwischen Schülern in Herangehensweisen an Problemlösungen und Methoden zu deren Lösung wurden von I.A. Lyovochkina, nicht nur durch Beobachtung von Schülern während der Arbeit im Klassenzimmer, sondern auch experimentell. Um die einzelnen Komponenten mathematischer Fähigkeiten zu analysieren, hat der Lehrer-Experimentator V.M. Sapozhnikov entwickelte eine Reihe spezieller experimenteller Probleme. Eine Analyse der Ergebnisse der Problemlösung in dieser Reihe ermöglichte es, eine objektive Vorstellung von der Art der geistigen Aktivität von Schulkindern und von der Beziehung zwischen den figurativen und analytischen Komponenten des mathematischen Denkens zu erhalten.
Es wurden Schüler identifiziert, die besser darin waren, algebraische Probleme zu lösen, sowie diejenigen, die besser darin waren, geometrische Probleme zu lösen. Das Experiment zeigte, dass es unter den Schülern Vertreter des analytischen Typs des mathematischen Denkens gibt, die sich durch eine deutliche Dominanz der verbal-logischen Komponente auszeichnen. Sie brauchen keine visuellen Schemata, sie arbeiten lieber mit ikonischen Symbolen. Das Denken von Studierenden, die geometrische Aufgaben bevorzugen, ist durch eine stärkere Strenge der visuell-figurativen Komponente gekennzeichnet. Diese Schülerinnen und Schüler verspüren das Bedürfnis nach visueller Darstellung und Interpretation im Ausdruck mathematischer Zusammenhänge und Abhängigkeiten.
Aus der Gesamtzahl der mathematisch begabten Schüler, die an den Experimenten teilnahmen, wurden die klügsten „Analytiker“ und „Geometer“ herausgegriffen, die die beiden Extremgruppen bildeten. Die Gruppe der "Analytiker" umfasste 11 Personen, die prominentesten Vertreter des verbal-logischen Denkens. Die Gruppe der "Geometer" bestand aus 5 Personen mit einem hellen visuell-figurativen Denktyp. Dass deutlich weniger Studierende in die Gruppe der hellen Vertreter der „Geometrien“ gewählt wurden, erklärt sich unserer Meinung nach durch folgenden Umstand. Bei der Durchführung von mathematischen Wettbewerben und Olympiaden wird die Rolle visuell-figurativer Denkkomponenten nicht ausreichend berücksichtigt. Bei Wettbewerbsaufgaben ist der Anteil der Aufgaben in Geometrie gering - von 4 - 5 Aufgaben in I'm besten fall Eine zielt darauf ab, räumliche Repräsentationen bei Schülern zu identifizieren. Potenziell fähige Mathematiker-Geometer mit lebhafter visuell-figurativer Denkweise werden also im Zuge der Selektion gleichsam „abgeschnitten“. Die weitere Analyse erfolgte mit der statistischen Vergleichsmethode Gruppenunterschiede(Student's t-Test) für alle verfügbaren psychophysiologischen und psychologischen Indikatoren.
Es ist bekannt, dass das typologische Konzept von I.P. Pavlova enthielt neben der physiologischen Theorie der Eigenschaften des Nervensystems eine Klassifizierung speziell menschlicher Typen höherer Nervenaktivität, die sich im Verhältnis der Signalsysteme unterschieden. Dies sind „Künstler“ mit einer Dominanz des ersten Signalsystems, „Denker“ mit einer Dominanz des zweiten Signalsystems und mittlerer Typ, mit dem Gleichgewicht beider Systeme. Für "Denker" ist die abstrakt-logische Art der Informationsverarbeitung am charakteristischsten, während "Künstler" eine lebhafte figurative ganzheitliche Wahrnehmung der Realität haben. Diese Unterschiede sind natürlich nicht absolut, sondern spiegeln nur die vorherrschenden Reaktionsformen wider. Dieselben Prinzipien liegen den Unterschieden zwischen „Analytikern“ und „Geometern“ zugrunde. Erstere bevorzugen analytische Methoden zur Lösung mathematischer Probleme, dh sie nähern sich „Denkern“ nach Typ. „Geometer“ neigen dazu, figurative Komponenten in Aufgabenstellungen zu isolieren und agieren damit „künstlerisch“ typisch.
In letzter Zeit sind eine Reihe von Arbeiten erschienen, in denen versucht wurde, die Lehre von den grundlegenden Eigenschaften des Nervensystems mit Vorstellungen über spezielle menschliche Typen - "Künstler" und "Denker" - zu verbinden. Es wurde festgestellt, dass die Besitzer eines starken, labilen und aktivierten Nervensystems zum „künstlerischen“ Typ tendieren und diejenigen, die ein schwaches, träges und inaktiviertes Nervensystem haben, zum „denkenden“ Typ neigen (Pechenkov V.V., 1989). In der Arbeit von I.A. Lyovochkina von Indikatoren verschiedene Eigenschaften des Nervensystems erwies sich das aussagekräftigste psychophysiologische Merkmal bei der Diagnose mathematischer Denkweisen als das Merkmal der Stärke-Schwäche-Eigenschaft des Nervensystems. Die Gruppe der „Analytiker“ umfasste die Besitzer eines relativ schwächeren Nervensystems, im Vergleich zur Gruppe der „Geometer“, das heißt, die Unterschiede zwischen den Gruppen hinsichtlich der Stärke-Schwäche-Eigenschaft des Nervensystems stimmten überein zuvor erzielte Ergebnisse. Für zwei weitere Eigenschaften des Nervensystems (Labilität, Aktivierung) wurden keine statistisch signifikanten Unterschiede gefunden, und die sich abzeichnenden Trends widersprechen nicht den ursprünglichen Annahmen.
Auch gehalten vergleichende Analyse die Ergebnisse der Diagnose von Persönlichkeitsmerkmalen, die mit dem Cattell-Fragebogen erhalten wurden. Statistisch signifikante Unterschiede zwischen den Gruppen wurden durch zwei Faktoren – H und J – festgestellt. Gemäß dem Faktor H kann die Gruppe der „Analytiker“ allgemein als relativ zurückhaltender mit eingeschränktem Interessensspektrum (H-) charakterisiert werden. Normalerweise sind Menschen mit niedrigen Werten bei diesem Faktor geschlossen und suchen keine zusätzlichen Kontakte mit Menschen. Die Gruppe der "Geometer" hat große Werte für diesen persönlichen Faktor (H +) und unterscheidet sich darin durch eine gewisse Sorglosigkeit, Geselligkeit. Solche Menschen haben keine Kommunikationsschwierigkeiten, sie knüpfen viele und bereitwillige Kontakte, sie verlieren sich nicht in unerwarteten Umständen. Sie sind künstlerisch und in der Lage, erheblichen emotionalen Belastungen standzuhalten. Nach dem J-Faktor, der ein solches Persönlichkeitsmerkmal allgemein als Individualismus charakterisiert, weist die Gruppe der „Analytiker“ hohe durchschnittliche Gruppenwerte auf. Das heißt, sie zeichnen sich durch Vernunft, Besonnenheit, Beharrlichkeit aus. Menschen, die großen Wert auf diesen Faktor legen, achten sehr darauf, ihr Verhalten zu planen, bleiben dabei verschlossen und agieren individuell.
Im Gegensatz zu ihnen sind die Jungs der Gruppe der "Geometer" energisch und ausdrucksstark. Sie lieben gemeinsame Aktionen, sie sind bereit, sich Gruppeninteressen anzuschließen und gleichzeitig ihre Aktivität zu zeigen. Die sich abzeichnenden Unterschiede zeigen, dass sich die untersuchten Gruppen mathematisch begabter Schülerinnen und Schüler am stärksten in zwei Faktoren unterscheiden, die einerseits eine bestimmte emotionale Orientierung (Zurückhaltung, Besonnenheit - Leichtsinn, Ausdrucksstärke) charakterisieren, andererseits Merkmale in zwischenmenschlichen Beziehungen ( Isolation - Geselligkeit). Interessanterweise stimmt die Beschreibung dieser Merkmale weitgehend mit der Beschreibung der von Eysenck vorgeschlagenen Typen von Extrovertierten-Introvertierten überein. Diese Typen wiederum haben eine bestimmte psychophysiologische Deutung. Extrovertierte sind stark, labil, aktiviert; Introvertierte sind schwach, träge, inaktiviert. Die gleichen psychophysiologischen Merkmale wurden für besonders menschliche Typen mit höherer Nervenaktivität erhalten - "Künstler" und "Denker".
Die von I.A. Lyovochkina, erlauben Ihnen, bestimmte Syndrome der Beziehung von psychophysiologischen, psychologischen Zeichen und Arten des mathematischen Denkens aufzubauen.
"Analysten" "Geometer"
(abstrakt-logische (visuell-figurative Denkweise)
Denkweise)
Schwach n.s. Stark n.s. Klugheit Sorglosigkeit zurückgezogen Geselligkeit introvertiert extrovertiert
So durchgeführt von I.A. Lyovochkina, eine umfassende Studie an mathematisch begabten Schulkindern, ermöglichte es, experimentell das Vorhandensein einer bestimmten Kombination psychologischer und psychophysiologischer Faktoren zu bestätigen, die eine günstige Grundlage für die Entwicklung mathematischer Fähigkeiten bilden. Dies gilt sowohl für allgemeine als auch für besondere Momente in der Manifestation dieser Art von Fähigkeit.
Ein paar Worte über die Fähigkeit dazu lesen Zeichnungen.
In der Studie N. P. Linkova„Zeichnungskompetenz bei jüngeren Schülern“ bewies, dass die Fähigkeit zum Lesen und Ausführen von Zeichnungen eine der Voraussetzungen für den Erfolg von Tätigkeiten im Bereich Technik ist. Daher ist das Studium der Fähigkeit, Zeichnungen zu lesen, als integraler Bestandteil des Studiums zur technischen Kreativität enthalten.
Typischerweise verwendet ein Designer Zeichnungen, um Gedanken auszudrücken, die ihm beim Lösen eines Problems entstehen.
Der Designer benötigt ein solches Maß an Fähigkeiten beim Lesen von Zeichnungen, bei denen sich der eigentliche Prozess der Erstellung eines Bildes aus seinem flachen Bild von einem speziellen Zweck in ein Werkzeug verwandelt, das hilft, ein anderes Problem zu lösen.
Der Unterschied zwischen diesen beiden Kompetenzniveaus beim Lesen von Zeichnungen liegt nicht nur darin, welches Ziel dafür gesetzt wird - ein Objekt durch sein Bild darzustellen oder das resultierende Bild zur Lösung eines Problems zu verwenden, sondern auch in der eigentlichen Art der Aktivität.
Versuche mit durchgeführt jüngere Schüler bestätigte die in der Arbeit mit Gymnasiasten erzielten Ergebnisse.
Für die erfolgreiche Beherrschung des Lesens von Zeichnungen ist das Wichtigste die Fähigkeit des Schülers, bestimmte logische Operationen auszuführen. Dazu gehören zunächst die Fähigkeit, Bilder logisch zu analysieren und miteinander in Beziehung zu setzen, Hypothesen aufzustellen, die Entscheidungen vorwegnehmen, logische Schlussfolgerungen aus den verfügbaren Bildern zu ziehen und die notwendige Überprüfung der eigenen Annahmen durchzuführen.
Die Fähigkeit, diese Art von Operationen zu meistern, wird üblicherweise als Fähigkeit bezeichnet logisches Denken, kann als zentral unter den Komponenten angesehen werden, die eine erfolgreiche Beherrschung des Lesens von Zeichnungen gewährleisten.
Es muss mit Flexibilität des Denkens kombiniert werden, mit der Fähigkeit, den durch die Entscheidung eingeschlagenen falschen Weg oder sogar die bereits erhaltene Lösung abzulehnen.
Nur als Ergebnis einer solchen Analyse kann eine mentale Repräsentation des Bildes eines Objekts auf der Grundlage seines Bildes entstehen.
Das Erscheinen eines Bildes ist das Ergebnis bestimmter Aktionen. Wenn die Aufgabe für den Schüler zu einfach ist, werden diese Aktionen unauffällig gefaltet. Sie erscheinen jedoch sofort im Falle einer Komplikation der Aufgabe oder des Auftretens von Schwierigkeiten bei der Lösung.
Der Erfolg beim Lesen von Zeichnungen wird sowohl durch die logische Analyse des Bildes als auch durch die Aktivität der räumlichen Vorstellungskraft sichergestellt, ohne die das Erscheinen eines Bildes unmöglich ist. Allerdings spielt die logische Analyse eine führende Rolle in dieser Arbeit. Es bestimmt die Richtung der Suche nach einer Lösung - eine erfolglose oder unvollständige Analyse führt zum Erscheinen eines falschen Bildes.
Die Fähigkeit, in dieser Situation stabile und lebendige Bilder zu erstellen, wird die Situation nur verkomplizieren.
2. Experimente haben gezeigt, dass bei einigen Schülern im Grundschulalter die zur Beherrschung der Techniken des Zeichenlesens notwendigen Komponenten der Fähigkeiten ein solches Niveau erreicht haben, dass sie die unterschiedlichsten Aufgaben aus dem Schulzeichenkurs problemlos bewältigen können.
Für die Mehrheit der Schüler in diesem Alter bereitet die Notwendigkeit, eine logische Analyse von Bildern durchzuführen, Schlussfolgerungen zu ziehen und ihre Entscheidungen zu begründen, ernsthafte Schwierigkeiten. Wir sprechen über den Grad der Entwicklung der Fähigkeit zum logischen Denken.
Fazit: Mit der Ausbildung im Projektionszeichnen kann begonnen werden Grundschule. Die Möglichkeit, ein solches Training zu organisieren, wurde im Rahmen eines speziellen Experiments getestet, das gemeinsam mit E.A. durchgeführt wurde. Faraponova (Linkova, Faraponova, 1967).
Bei der Organisation solcher Schulungen müssen jedoch schwerwiegende Änderungen an der Methodik vorgenommen werden.
Diese Änderungen sollten zunächst darauf abzielen, die Anforderungen an die logische Analyse auf der ersten Lernstufe abzuschwächen. Ebenso wichtig ist es, wenn nicht zu entladen, so doch zumindest die Anforderungen an das räumliche Vorstellungsvermögen nicht zu verkomplizieren, indem man Methoden zur Erklärung des Materials wie das Entwerfen von Punkten auf einer Ebene einführt dreieckiger Winkel, mentale Rotation von Modellen oder deren Abbildern.
Dieses Erfordernis erklärt sich nicht so sehr aus der schwachen Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens bei Kindern in diesem Alter (zum größten Teil stellt es sich als recht entwickelt heraus), sondern aus ihrer mangelnden Vorbereitung auf die gleichzeitige Durchführung mehrerer Operationen.
Die Studie zeigte, dass es sehr große individuelle Unterschiede zwischen den Schülern im Grad der Entwicklung ihrer Fähigkeiten gibt, die erforderlich sind, um die Techniken des Lesens von Zeichnungen zu beherrschen, beginnend mit dem Moment, in dem sie in die Schule kommen. Die Frage nach den Ursachen dieser Unterschiede und den Wegen zur Entwicklung dieser Fähigkeiten wird in der Studie von N.P. Linkova.
Ansichten ausländischer Psychologen zu mathematischen Fähigkeiten
So hervorragende Vertreter bestimmter Richtungen in der Psychologie wie A. Binet, E. Trondike und G. Reves und so hervorragende Mathematiker wie A. Poincaré und J. Hadamard haben zum Studium der mathematischen Fähigkeiten beigetragen.
Eine Vielzahl von Richtungen bestimmt und große Vielfalt in der Herangehensweise an das Studium mathematischer Fähigkeiten, in methodologischen Werkzeugen und theoretischen Verallgemeinerungen.
Das einzige, worüber sich alle Forscher einig sind, ist vielleicht die Meinung, dass man zwischen gewöhnlichen, „schulischen“ Fähigkeiten zur Beherrschung mathematischer Kenntnisse, zu ihrer Reproduktion und selbstständigen Anwendung und damit verbundenen kreativen mathematischen Fähigkeiten unterscheiden sollte eigenständige Schöpfung originelles und soziales Wertprodukt.
Ausländische Forscher zeigen große Einigkeit in der Frage der angeborenen oder erworbenen mathematischen Fähigkeiten. Wenn wir hier zwei verschiedene Aspekte dieser Fähigkeiten unterscheiden - "Schule" und Kreative Fähigkeiten, dann besteht in Bezug auf die zweite völlige Einheit - die schöpferischen Fähigkeiten eines Mathematikers sind eine angeborene Bildung, ein günstiges Umfeld ist nur für ihre Manifestation und Entwicklung erforderlich. In Bezug auf „schulische“ (Bildungs-)Fähigkeiten ausländische Psychologen sind nicht so einig. Hier dominiert vielleicht die Theorie der parallelen Wirkung zweier Faktoren – des biologischen Potenzials und der Umwelt.
Das Hauptproblem beim Studium mathematischer Fähigkeiten (sowohl pädagogischer als auch kreativer) im Ausland war und ist die Frage nach dem Wesen dieses Komplexes psychologische Bildung. In diesem Zusammenhang lassen sich drei wichtige Themen identifizieren.
1. Das Problem der Spezifität mathematischer Fähigkeiten. Gibt es irgendwelche richtigen mathematischen Fähigkeiten als spezifische Bildung, anders als die Kategorie der allgemeinen Intelligenz? Oder ist mathematisches Können eine qualitative Spezialisierung des Allgemeinen mentale Prozesse und Persönlichkeitsmerkmale, das heißt allgemein intellektuelle Fähigkeit in Bezug auf mathematische Aktivitäten entwickelt? Mit anderen Worten, kann man argumentieren, dass mathematisches Talent nichts anderes ist als generelle Intelligenz plus ein Interesse an Mathematik und eine Vorliebe dafür?
2. Das Problem der Struktur mathematischer Fähigkeiten. Ist mathematische Begabung eine einheitliche (einzelne unzerlegbare) oder eine integrale (komplexe) Eigenschaft? Im letzteren Fall kann man die Frage nach der Struktur der mathematischen Fähigkeiten stellen, nach den Komponenten dieser komplexen mentalen Formation.
3. Das Problem typologischer Unterschiede in mathematischen Fähigkeiten. Gibt es Verschiedene Arten mathematische Begabung oder gibt es bei gleicher Basis Unterschiede nur in Interessen und Neigungen zu bestimmten Teilgebieten der Mathematik?
Die Ansichten von B.M. Teplov über mathematische Fähigkeiten
Obwohl mathematische Fähigkeiten in den Werken von B.M. Antworten auf viele Fragen im Zusammenhang mit ihrem Studium finden sich jedoch in Teplovs Werken, die sich den Problemen der Fähigkeiten widmen. Unter ihnen nehmen zwei monografische Werke „The Psychology of Musical Abilities“ und „The Mind of a Commander“ einen besonderen Platz ein, die zu klassischen Beispielen für das psychologische Studium von Fähigkeiten geworden sind und universelle Prinzipien der Herangehensweise an dieses Problem enthalten. die beim Studium jeglicher Art von Fähigkeiten verwendet werden können und sollten.
In beiden Werken gibt B. M. Teplov nicht nur eine brillante psychologische Analyse bestimmter Arten von Aktivitäten, sondern zeigt auch anhand der Beispiele herausragender Vertreter der Musik- und Militärkunst die notwendigen Komponenten auf, die glänzende Talente in diesen Bereichen ausmachen. B. M. Teplov widmete der Frage des Verhältnisses von allgemeinen und besonderen Fähigkeiten besondere Aufmerksamkeit und bewies, dass der Erfolg bei jeder Art von Aktivität, einschließlich Musik und Militärangelegenheiten, nicht nur von speziellen Komponenten abhängt (z. B. in der Musik - Hören, Sinn für Rhythmus ), sondern auch auf die allgemeinen Merkmale von Aufmerksamkeit, Gedächtnis und Intelligenz. Gleichzeitig sind allgemeine geistige Fähigkeiten untrennbar mit besonderen Fähigkeiten verbunden und beeinflussen maßgeblich deren Entwicklungsstand.
Die Rolle allgemeiner Fähigkeiten wird am deutlichsten in der Arbeit "The Mind of a Commander" demonstriert. Lassen Sie uns auf die wichtigsten Bestimmungen dieser Arbeit eingehen, da sie beim Studium anderer Arten von Fähigkeiten, die mit geistiger Aktivität verbunden sind, einschließlich mathematischer Fähigkeiten, verwendet werden können. Nach einem eingehenden Studium der Aktivitäten des Kommandanten B.M. Teplov zeigte, welchen Platz intellektuelle Funktionen darin einnehmen. Sie bieten eine Analyse komplexer militärischer Situationen, die Identifizierung einzelner signifikanter Details, die den Ausgang bevorstehender Schlachten beeinflussen können. Es ist die Fähigkeit zur Analyse, die den ersten notwendigen Schritt darstellt, um die richtige Entscheidung zu treffen und einen Schlachtplan aufzustellen. Nach der analytischen Arbeit beginnt die Stufe der Synthese, die es ermöglicht, die Vielfalt der Details zu einem Ganzen zu vereinen. Laut B.M. Teplov erfordert die Tätigkeit eines Kommandanten ein Gleichgewicht zwischen den Analyse- und Syntheseprozessen mit einem obligatorischen hohen Entwicklungsniveau.
Das Gedächtnis nimmt einen wichtigen Platz in der intellektuellen Aktivität eines Kommandanten ein. Es ist sehr selektiv, das heißt, es behält zunächst die notwendigen, wesentlichen Details bei. Als klassisches Beispiel für ein solches Gedächtnis hat B.M. Teplov zitiert Aussagen über die Erinnerung an Napoleon, der sich buchstäblich an alles erinnerte, was in direktem Zusammenhang mit ihm stand militärische Aktivitäten, beginnend mit den Nummern der Einheiten und endend mit den Gesichtern der Soldaten. Gleichzeitig war Napoleon nicht in der Lage, sich bedeutungsloses Material zu merken, hatte aber die wichtige Eigenschaft, das, was der Klassifizierung unterworfen war, sofort zu assimilieren, ein bestimmtes logisches Gesetz.
BM Teplov kommt zu dem Schluss, dass „die Fähigkeit, das Wesentliche zu finden und hervorzuheben, und die ständige Systematisierung des Materials die wichtigsten Bedingungen sind, die die Einheit von Analyse und Synthese und dann das Gleichgewicht zwischen diesen Seiten gewährleisten geistige Aktivität die die geistige Arbeit eines guten Kommandanten auszeichnen “(B. M. Teplov 1985, S. 249). Neben einem herausragenden Verstand muss der Kommandant über bestimmte persönliche Qualitäten verfügen. Das ist zunächst Mut, Entschlossenheit, Energie, also das, was in Bezug auf militärische Führung üblicherweise mit dem Begriff „Wille“ bezeichnet wird. Nicht weniger wichtig persönliche Qualität ist Stresstoleranz. Die Emotionalität eines talentierten Kommandanten manifestiert sich in der Kombination der Emotion der Kampfspannung und der Fähigkeit, sich zu sammeln und zu konzentrieren.
Ein besonderer Platz in der intellektuellen Tätigkeit des Kommandanten B.M. Teplov ordnete das Vorhandensein einer solchen Qualität wie Intuition zu. Er analysierte diese Geisteshaltung des Kommandanten und verglich sie mit der Intuition eines Wissenschaftlers. Es gibt viele Gemeinsamkeiten zwischen ihnen. Der Hauptunterschied besteht laut B. M. Teplov darin, dass der Kommandant eine dringende Entscheidung treffen muss, von der der Erfolg der Operation abhängen kann, während der Wissenschaftler nicht durch Zeitrahmen begrenzt ist. Aber in beiden Fällen muss der „Einsicht“ harte Arbeit vorausgehen, auf deren Grundlage die einzig wahre Lösung des Problems gefunden werden kann.
Bestätigung der von B.M. analysierten und verallgemeinerten Bestimmungen Teplov aus psychologischer Sicht findet sich in den Werken vieler prominenter Wissenschaftler, darunter Mathematiker. So beschreibt Henri Poincaré in der psychologischen Studie „Mathematical Creativity“ ausführlich die Situation, in der ihm eine der Entdeckungen gelang. Dem ging eine lange voraus Vorarbeit, von denen ein großer Teil nach Ansicht des Wissenschaftlers der Prozess des Unbewussten war. Dem Stadium der „Einsicht“ folgte notwendigerweise das zweite Stadium – sorgfältige bewusste Arbeit, um den Beweis zu ordnen und zu überprüfen. A. Poincare kam zu dem Schluss, dass der wichtigste Platz in mathematischen Fähigkeiten die Fähigkeit ist, eine Kette von Operationen logisch aufzubauen, die zur Lösung eines Problems führen. Es scheint, dass dies jeder Person, die zu logischem Denken fähig ist, zur Verfügung stehen sollte. Allerdings kann nicht jeder mit mathematischen Symbolen so leicht umgehen wie beim Lösen logischer Probleme.
Für einen Mathematiker reicht es nicht aus gutes Gedächtnis und Aufmerksamkeit. Laut Poincare zeichnen sich mathematisch befähigte Menschen dadurch aus, dass sie die Reihenfolge erfassen können, in der die für die Mathematik notwendigen Elemente vorliegen mathematischer Beweis. Das Vorhandensein dieser Art von Intuition ist das Hauptelement mathematischer Kreativität. Manche Menschen besitzen dieses subtile Gefühl nicht und haben kein starkes Gedächtnis und Aufmerksamkeit und sind daher nicht in der Lage, Mathematik zu verstehen. Andere haben wenig Intuition, sind aber mit einem guten Gedächtnis und einer Fähigkeit zur intensiven Aufmerksamkeit begabt und können daher Mathematik verstehen und anwenden. Wieder andere haben solch eine besondere Intuition und können selbst ohne ein hervorragendes Gedächtnis nicht nur Mathematik verstehen, sondern auch mathematische Entdeckungen machen.
Hier sprechen wir über mathematische Kreativität, die nur wenigen zugänglich ist. Aber, wie J. Hadamard schrieb, „zwischen der Arbeit des Studenten, Probleme lösen in der Algebra oder Geometrie und in der kreativen Arbeit, der Unterschied liegt nur im Niveau, in der Qualität, da beide Arbeiten ähnlicher Natur sind. Um zu verstehen, welche Eigenschaften noch erforderlich sind, um in der Mathematik erfolgreich zu sein, analysierten die Forscher mathematische Aktivitäten: den Prozess der Problemlösung, Beweismethoden, logisches Denken und Merkmale des mathematischen Gedächtnisses. Diese Analyse führte zur Schaffung verschiedener Varianten der Strukturen mathematischer Fähigkeiten, die in ihrer Komponentenzusammensetzung komplex sind. Gleichzeitig waren sich die Meinungen der meisten Forscher in einer Sache einig - dass es nicht die einzige ausgeprägte mathematische Fähigkeit gibt und geben kann - dies ist ein kumulatives Merkmal, das die Merkmale verschiedener mentaler Prozesse widerspiegelt: Wahrnehmung, Denken, Gedächtnis, Vorstellungskraft.
Zu den wichtigsten Komponenten mathematischer Fähigkeiten gehört die spezifische Fähigkeit, mathematisches Material zu verallgemeinern räumliche Darstellungen Fähigkeit zum abstrakten Denken. Einige Forscher unterscheiden auch das mathematische Gedächtnis für Argumentations- und Beweisschemata, Problemlösungsmethoden und Prinzipien der Herangehensweise an sie als eigenständige Komponente mathematischer Fähigkeiten. Sowjetischer Psychologe, der die mathematischen Fähigkeiten von Schulkindern untersuchte, V.A. Krutetsky gibt folgende Definition mathematischer Fähigkeiten: „Unter der Fähigkeit, Mathematik zu studieren, verstehen wir individuelle psychologische Eigenschaften (in erster Linie die Eigenschaften der geistigen Aktivität), die den Anforderungen der pädagogischen mathematischen Aktivität entsprechen und unter anderen gleichen Bedingungen den Erfolg des Schaffens bestimmen Beherrschung des Unterrichtsfachs Mathematik, insbesondere relativ schnelle, einfache und tiefe Beherrschung von Kenntnissen, Fertigkeiten und Fähigkeiten auf dem Gebiet der Mathematik.
Das Studium mathematischer Fähigkeiten beinhaltet auch die Lösung eines der wichtigsten Probleme - die Suche nach natürlichen Voraussetzungen oder Neigungen für diese Art von Fähigkeiten. Zu den Neigungen zählen die angeborenen anatomischen und physiologischen Eigenschaften des Individuums, die als günstige Voraussetzungen für die Entfaltung von Fähigkeiten angesehen werden. Neigungen galten lange Zeit als ein Faktor, der das Niveau und die Richtung der Entwicklung von Fähigkeiten verhängnisvoll vorbestimmt. Klassiker der russischen Psychologie B.M. Teplow und S.L. Rubinshstein hat die Unrechtmäßigkeit eines solchen Verständnisses von Neigungen wissenschaftlich bewiesen und gezeigt, dass die Quelle der Entwicklung von Fähigkeiten die enge Wechselwirkung von Außen und ist innere Verhältnisse. Die Schwere der einen oder anderen physiologischen Eigenschaft weist in keiner Weise auf die obligatorische Entwicklung einer bestimmten Art von Fähigkeit hin. Es kann nur sein günstiger Zustand für diese Entwicklung. Typologische Eigenschaften, die Teil der Neigungen sind und ein wichtiger Teil von ihnen sind, spiegeln solche individuellen Merkmale der Körperfunktion wider, wie die Grenze der Arbeitsfähigkeit, die Geschwindigkeitsmerkmale der Nervenreaktion und die Fähigkeit, die Reaktion als Reaktion auf Veränderungen umzustrukturieren bei äußeren Einflüssen.
Die Eigenschaften des Nervensystems, die eng mit den Eigenschaften des Temperaments verbunden sind, beeinflussen wiederum die Manifestation der charakterologischen Merkmale der Persönlichkeit (V.S. Merlin, 1986). B. G. Ananiev, der Ideen über die allgemeine natürliche Grundlage für die Entwicklung von Charakter und Fähigkeiten entwickelte, wies auf die Bildung von Verbindungen von Fähigkeiten und Charakter im Aktivitätsprozess hin, die zu neuen mentalen Formationen führten, die mit den Begriffen "Talent" und "Berufung" bezeichnet werden “ (Ananiev B. G., 1980). So bilden Temperament, Fähigkeiten und Charakter gleichsam eine Kette aufeinander bezogener Unterstrukturen in der Struktur von Persönlichkeit und Individualität, die eine einzige natürliche Basis haben.
Das allgemeine Schema der Struktur mathematischer Fähigkeiten im Schulalter nach V.A. Krutetsky
Das von V. A. Krutetsky gesammelte Material erlaubte ihm zu bauen allgemeines Schema Strukturen mathematischer Fähigkeiten im Schulalter.
1. Beschaffung mathematischer Informationen.
Die Fähigkeit, die Wahrnehmung mathematischen Materials zu formalisieren und die formale Struktur des Problems zu erfassen.
2. Verarbeitung mathematischer Informationen.
1) Die Fähigkeit zum logischen Denken auf dem Gebiet der quantitativen und räumlichen Beziehungen, der Zahlen- und Zeichensymbolik. Die Fähigkeit, in mathematischen Symbolen zu denken.
2) Die Fähigkeit, mathematische Objekte, Beziehungen und Handlungen schnell und umfassend zu verallgemeinern.
3) Die Fähigkeit, den Prozess des mathematischen Denkens und das System der entsprechenden Handlungen einzuschränken. Die Fähigkeit, in gefalteten Strukturen zu denken.
4) Flexibilität mentaler Prozesse bei mathematischer Tätigkeit.
5) Streben nach Klarheit, Einfachheit, Ökonomie und Rationalität von Entscheidungen.
6) Die Fähigkeit, schnell und frei die Richtung zu ändern Denkprozess, Umschalten vom direkten zum umgekehrten Gedankengang (Umkehrbarkeit des Denkvorgangs beim mathematischen Schlussfolgern).
3. Speicherung mathematischer Informationen.
1) mathematisches Gedächtnis(allgemeines Gedächtnis für mathematische Zusammenhänge, typische Eigenschaften, Argumentations- und Beweisschemata, Methoden zur Lösung von Problemen und Prinzipien der Herangehensweise an sie).
4. Allgemeine synthetische Komponente.
1) Mathematische Orientierung des Geistes. Die ausgewählten Komponenten sind eng miteinander verbunden, beeinflussen sich gegenseitig und bilden in ihrer Gesamtheit ein einziges System, eine integrale Struktur, eine Art mathematisches Talentsyndrom, eine mathematische Denkweise.
Nicht in der Struktur des mathematischen Talents enthalten sind diejenigen Komponenten, deren Anwesenheit in diesem System nicht notwendig (obwohl nützlich) ist. In diesem Sinne stehen sie der mathematischen Hochbegabung gegenüber neutral. Ihre Anwesenheit oder Abwesenheit in der Struktur (genauer gesagt der Grad ihrer Entwicklung) bestimmt jedoch den Typ mathematisches Lager Geist. Folgende Komponenten sind in der mathematischen Begabungsstruktur nicht zwingend erforderlich:
1. Die Geschwindigkeit von Denkprozessen als zeitliches Merkmal.
2. Rechenfähigkeiten (die Fähigkeit, schnell und genau zu rechnen, oft im Kopf).
3. Speicher für Zahlen, Zahlen, Formeln.
4. Fähigkeit zu räumlichen Darstellungen.
5. Die Fähigkeit, abstrakte mathematische Zusammenhänge und Abhängigkeiten zu visualisieren.
Sicherlich sind Sie schon Menschen begegnet, die wie angeboren schienen Rechenschieber in der Hand. Inwieweit sind mathematische Fähigkeiten von Natur aus vorgegeben?
Wir alle haben einen angeborenen mathematischen Sinn – dieser ermöglicht es uns, die Anzahl der Objekte grob abzuschätzen und zu vergleichen, ohne auf genaues Zählen zurückgreifen zu müssen. Mit diesem Gefühl wählen wir automatisch die kürzeste Schlange an der Supermarktkasse, ohne die Anzahl der Personen zu zählen.
Aber manche Menschen haben ein besseres mathematisches Gespür als andere. Mehrere im Jahr 2013 veröffentlichte Studien deuten darauf hin, dass diese angeborene Fähigkeit die Grundlage für weitere ist erfolgreiches Studium mathematische Wissenschaft kann durch Übung und Training stark verbessert werden.
Die Forscher fanden heraus strukturelle Eigenschaften in den Gehirnen von Kindern, die bei mathematischen Problemen am erfolgreichsten waren. Letztendlich könnten diese neuen Entdeckungen dabei helfen, die effektivsten Methoden für den Mathematikunterricht zu finden, sagt die Psychologin Elizabeth Brannon von der Duke University.
Wie wurde die Recherche durchgeführt?
Ist es möglich, einen mathematischen Sinn zu entwickeln?
Aber angeborene Fähigkeiten legen uns überhaupt keine Beschränkungen auf. Brannon und ihr Kollege Junku Park rekrutierten 52 erwachsene Freiwillige, um an einem kleinen Experiment teilzunehmen. Während des Experiments mussten die Teilnehmer mehrere Rechenaufgaben lösen zweistellig. Die Hälfte der Gruppe absolvierte dann 10 Trainingseinheiten, in denen sie die Anzahl der Punkte auf den Karten im Kopf schätzten. Kontrollgruppe eine solche Testreihe wurde nicht durchgeführt. Danach wurden beide Gruppen gebeten, erneut Rechenbeispiele zu lösen. Es zeigte sich, dass die Ergebnisse der Trainingsteilnehmer denen der Kontrollgruppe signifikant überlegen waren.
Diese zwei kleine Studien zeigen, dass angeborenes mathematisches Gefühl und erworbene mathematische Fähigkeiten untrennbar miteinander verbunden sind; Die Arbeit an einer Qualität führt unweigerlich zur Verbesserung einer anderen. Kinderspiele, die darauf abzielen, mathematische Fähigkeiten zu trainieren, spielen wirklich große Rolle im anschließenden Mathematikunterricht.
Eine andere veröffentlichte Studie hilft zu erklären, warum manche Kinder besser lernen als andere. Wissenschaftler der Stanford University unterrichteten 24 Drittklässler 8 Wochen lang in einem Special Lehrplan mit mathematische Voreingenommenheit. Das Niveau der Verbesserung der mathematischen Fähigkeiten dieser Gruppe von Kindern reichte von 8% bis 198% und hing nicht von den Ergebnissen der Tests für ab intellektuelle Entwicklung, das Niveau des Gedächtnisses und der kognitiven Fähigkeiten.
Taschenrechner können überraschend nützlich sein, aber sie sind nicht immer leicht verfügbar. Außerdem holt nicht jeder gerne Taschenrechner oder Telefone heraus, um zu berechnen, wie viel Sie in einem Restaurant bezahlen müssen, oder um die Höhe eines Trinkgelds zu berechnen. Hier sind zehn Tipps, die Ihnen bei all diesen mentalen Berechnungen helfen können. Tatsächlich ist es überhaupt nicht schwierig, besonders wenn Sie sich an ein paar einfache Regeln erinnern.
Addiere und subtrahiere von links nach rechts
Erinnerst du dich, wie uns in der Schule beigebracht wurde, in einer Spalte von rechts nach links zu addieren und zu subtrahieren? Dieses Addieren und Subtrahieren ist praktisch, wenn ein Bleistift und ein Blatt Papier zur Hand sind, aber denken Sie daran mathematische Operationen Am einfachsten ist es, von links nach rechts zu zählen. In der linken Zahl befindet sich eine Zahl, die große Werte definiert, z. B. Hunderter und Zehner, und rechts kleinere, dh Einheiten. Von links nach rechts ist das Zählen intuitiver. Wenn Sie also 58 und 26 addieren, beginnen Sie mit den ersten Ziffern, zuerst 50 + 20 = 70, dann 8 + 6 = 14, dann addieren Sie beide Ergebnisse und erhalten 84. Leicht und einfach.
Machen Sie es sich leicht
Wenn Sie mit einem komplexen Beispiel oder einer komplexen Aufgabe konfrontiert sind, versuchen Sie, sie zu vereinfachen, z. B. durch Addieren oder Subtrahieren bestimmte Nummer machen allgemeine Berechnung Einfacher. Wenn Sie beispielsweise berechnen müssen, wie viel 593 + 680 sind, addieren Sie zuerst 7 zu 593, um eine bequemere Zahl 600 zu erhalten. Berechnen Sie, wie viel 600 + 680 sein wird, und subtrahieren Sie dann dieselbe 7 vom Ergebnis 1280 bis erhalten Sie die richtige Antwort - 1273.
Dasselbe kannst du mit der Multiplikation machen. Um 89 x 6 zu multiplizieren, berechnen Sie, wie viel 90 x 6 sein wird, und subtrahieren Sie dann die verbleibenden 1 x 6. Also 540 - 6 = 534.
Denken Sie an Bausteine
Das Auswendiglernen von Einmaleins-Tabellen ist ein wichtiger und notwendiger Teil der Mathematik, der großartig ist, um Probleme im Kopf zu lösen.
Auswendiglernen der grundlegenden "Bausteine" der Mathematik, wie das Einmaleins, Quadratwurzeln, Prozente Dezimal und gewöhnliche Brüche, auf die wir sofort Antworten bekommen können einfache Aufgaben versteckt in den schwierigeren.
Erinnere dich an nützliche Tricks
Um schneller durch die Multiplikation zu kommen, ist es wichtig, sich an ein paar einfache Tricks zu erinnern. Eine der offensichtlichsten Regeln ist das Multiplizieren mit 10, d. h. einfach Null zu der zu multiplizierenden Zahl addieren oder das Komma um eine Dezimalstelle verschieben. Bei Multiplikation mit 5 endet die Antwort immer mit einer 0 oder 5.
Wenn Sie eine Zahl mit 12 multiplizieren, multiplizieren Sie sie zuerst mit 10 und dann mit 2 und addieren Sie dann die Ergebnisse. Um zum Beispiel 12 x 4 zu berechnen, multiplizieren Sie zuerst 4 x 10 = 40, dann 4 x 2 = 8 und addieren 40 + 8 = 48. Wenn Sie mit 15 multiplizieren, multiplizieren Sie einfach die Zahl mit 10 und addieren dann eine weitere Hälfte von das Ergebnis zum Beispiel 4 x 15 = 4 x 10 = 40 plus die Hälfte (20) ergibt 60.
Es gibt auch einen Trick, um mit 16 zu multiplizieren. Multiplizieren Sie zuerst die betreffende Zahl mit 10 und multiplizieren Sie dann die Hälfte der Zahl mit 10. Addieren Sie dann beide Ergebnisse zu der Zahl, um das endgültige Ergebnis zu erhalten. Also, um 16 x 24 zu berechnen, berechne zuerst 10 x 24 = 240, dann die Hälfte von 24, also 12, multipliziere mit 10 und erhalte 120. Und der letzte Schritt: 240 + 120 + 24 = 384.
Quadrate und ihre Wurzeln sind sehr nützlich
Fast wie ein Einmaleins. Und sie können bei der Multiplikation größerer Zahlen helfen. Ein Quadrat erhält man, indem man eine Zahl mit sich selbst multipliziert. So funktioniert die Multiplikation mit Quadraten.
Nehmen wir für einen Moment an, dass wir die Antwort auf 10 x 4 nicht kennen. Berechnen Sie zuerst den Durchschnitt zwischen diesen beiden Zahlen, der 7 ist (d. h. 10 - 3 = 7 und 4 + 3 = 7, mit der Differenz zwischen dem Durchschnitt ist die Zahl 3 - das ist wichtig).
Dann bestimmen wir das Quadrat von 7, das ist 49. Wir haben jetzt eine Zahl, die nahe an der endgültigen Antwort liegt, aber sie ist nicht nahe genug. Um die richtige Antwort zu erhalten, gehen Sie zurück zur Differenz zwischen dem Durchschnitt (in diesem Fall 3) und dem Quadrat, das ergibt 9. Der letzte Schritt beinhaltet eine einfache Subtraktion, 49 - 9 = 40, jetzt haben Sie die richtige Antwort.
Es ist wie hinterhältig und übertrieben harter Weg Berechnen Sie, wie viel 10 x 4 sein wird, aber die gleiche Technik funktioniert hervorragend für große Zahlen. Nehmen wir zum Beispiel 15 x 11. Zuerst müssen wir die mittlere Zahl zwischen diesen beiden finden (15 - 2 = 13, 11 + 2 = 13). Das Quadrat von 13 ist 169. Das Quadrat der Differenz der durchschnittlichen 2 ist 4. Wir erhalten 169 - 4 = 165, das ist die richtige Antwort.
Manchmal reicht eine ungefähre Antwort
Wenn Sie versuchen, sich zu entscheiden herausfordernde Aufgaben In Ihren Augen ist es kein Wunder, dass es viel Zeit und Mühe kostet. Wenn Sie keine absolut exakte Antwort benötigen, kann es ausreichen, eine ungefähre Zahl zu berechnen.
Gleiches gilt für Aufgaben, bei denen Sie nicht alle genauen Daten kennen. Beispielsweise wollte der Physiker Enrico Fermi während des Manhattan-Projekts die Kraft einer Atomexplosion grob berechnen, bevor die Wissenschaftler genaue Daten hatten. Dazu warf er Papierfetzen auf den Boden und beobachtete sie aus sicherer Entfernung in dem Moment, als er die Zettel erreichte. Druckwelle. Nachdem er die Entfernung gemessen hatte, über die sich die Fragmente bewegten, schlug er vor, dass die Kraft der Explosion ungefähr 10 Kilotonnen TNT betrug. Diese Schätzung erwies sich als ziemlich genau für spontanes Raten.
Glücklicherweise müssen wir die ungefähre Stärke nicht regelmäßig bewerten atomare Explosionen, aber eine grobe Schätzung schadet nicht, wenn Sie beispielsweise erraten müssen, wie viele Klavierstimmer es in der Stadt gibt. Dazu arbeitet man am einfachsten mit Zahlen, die sich leicht dividieren und multiplizieren lassen. Sie schätzen also zuerst die Bevölkerung Ihrer Stadt (sagen wir 100.000 Menschen), dann schätzen Sie die geschätzte Anzahl der Klaviere (sagen wir 10.000) und dann die Zahl der Klavierstimmer (sagen wir 100). Sie werden keine genaue Antwort erhalten, aber Sie können schnell eine Schätzung erraten.
Ordne die Beispiele neu
Die Grundregeln der Mathematik helfen dabei, komplexe Beispiele in einfachere umzubauen. Zum Beispiel scheint die mentale Berechnung eines Beispiels von 5 x (14 + 43) eine entmutigende und sogar überwältigende Aufgabe zu sein, aber das Beispiel kann in drei ziemlich einfache Berechnungen „zerlegt“ werden. Dieses überwältigende Problem kann beispielsweise wie folgt neu angeordnet werden: (5 x 14) + (5 x 40) + (5 x 3) = 285. Gar nicht so schwer, oder?
Vereinfachen Sie Ihre Aufgaben
Wenn eine Aufgabe schwierig erscheint, vereinfachen Sie sie. Es ist immer einfacher, mit mehreren umzugehen einfache Aufgaben als mit einem Komplex. Lösung von vielen schwierige Beispiele im Kopf liegt in der Fähigkeit, sie richtig in mehr zu unterteilen einfache Beispiele, deren Lösung nicht schwierig ist.
Beispielsweise ist die Multiplikation mit 8 am einfachsten, indem Sie die Zahl dreimal verdoppeln. Anstatt herauszufinden, wie viel 12 x 8 der traditionelle Weg wäre, verdoppeln Sie einfach 12 dreimal: 12 x 2 = 24, 24 x 2 = 48, 48 x 2 = 96.
Oder wenn Sie mit 5 multiplizieren, multiplizieren Sie zuerst mit 10, da das einfach ist, und teilen Sie dann das Ergebnis durch 2, da das auch ziemlich einfach ist. Um beispielsweise 5 x 18 zu lösen, berechnen Sie 10 x 18 und dividieren durch 2, wobei 180:2 = 90 ist.
Verwenden Sie die Potenzierung
Wenn Sie große Beträge im Kopf berechnen, denken Sie daran, dass Sie sie in kleinere Zahlen umwandeln können, die mit 10 zur gewünschten Potenz multipliziert werden. Wie viel wird es zum Beispiel sein, wenn 44 Milliarden durch 400.000 geteilt werden? Ein einfacher Weg, dieses Problem zu lösen, besteht darin, 44 Milliarden in die nächste Zahl – 44 x 10 9 – umzuwandeln und von 400.000 auf 4 x 10 5 zu kommen. Jetzt können wir das Problem so umformen: 44: 4 und 10 9: 10 5 . Nach den mathematischen Regeln sieht das alles so aus: 44: 4 x 10(9-5), also bekommen wir 11 x 10 4 = 110.000.
Der einfachste Weg, um benötigte Trinkgelder zu berechnen
Mathematik ist auch während des Abendessens in einem Restaurant notwendig, oder besser gesagt danach. Je nach Institution kann das Trinkgeld zwischen 10 % und 20 % des Rechnungswertes betragen. In den USA ist es beispielsweise üblich, Kellnern 15 % Trinkgeld zu geben. Und dort ist, wie in vielen europäischen Ländern, Trinkgeld gefragt.
Wenn wir 10% von berechnen Gesamtsumme relativ einfach (einfach durch 10 teilen), 15% und 20% scheinen schwieriger zu sein. Aber eigentlich ist alles genauso einfach und sehr logisch.
Wenn Sie ein 10-prozentiges Trinkgeld für ein Abendessen berechnen, das 112,23 $ kostet, verschieben Sie einfach das Dezimalkomma um eine Stelle nach links, und Sie erhalten 11,22 $. Wenn Sie das Trinkgeld von 20 % berechnen, machen Sie dasselbe und verdoppeln Sie einfach den Betrag (20 % sind nur das Doppelte von 10 %). In diesem Fall beträgt das Trinkgeld 22,44 $.
Für ein Trinkgeld von 15 % bestimmen Sie zunächst 10 % des Betrags und fügen dann die Hälfte des erhaltenen Betrags hinzu (zusätzliche 5 % sind die Hälfte des Betrags von 10 %). Machen Sie sich keine Sorgen, wenn Sie keine genaue Antwort auf den letzten Cent erhalten. Wenn wir uns nicht zu sehr mit Dezimalzahlen beschäftigen, können wir schnell herausfinden, dass ein 15-prozentiges Trinkgeld von 112,23 $ 11 $ + 5,50 $ ist, was uns 16,50 $ ergibt. Sehr genau. Wenn Sie den Kellner nicht beleidigen wollen, indem Sie ein paar Cent verpassen, runden Sie den Betrag auf die nächste ganze Zahl auf und zahlen Sie 17 Dollar.
Mathematische Fähigkeiten bieten direkten Einflussüber die geistige Entwicklung des Vorschulkindes. Das Kind ist viel mehr anschauen muss die Umwelt"mathematisches Auge" als ein Erwachsener. Der Grund dafür ist, dass das Gehirn des Kindes in kurzer Zeit die Formen und Größen herausfinden muss, geometrische Formen und räumliche Orientierung ihre Eigenschaften und Zusammenhänge verstehen.
Welche Fähigkeiten im Vorschulalter hängen mit Mathematik zusammen?
Viele Eltern denken, dass es zu früh ist, die mathematischen Fähigkeiten von Kindern im Vorschulalter zu entwickeln. Und mit diesem Konzept meinen sie einige spezielle Fähigkeiten, damit Kinder mit großen Zahlen operieren können, oder Leidenschaft für Formeln und Algorithmen.
Im ersten Fall werden Fähigkeiten mit natürlicher Begabung verwechselt, im anderen Fall hat ein erfreuliches Ergebnis vielleicht gar nichts mit Mathematik zu tun. Vielleicht mochte das Kind den Rhythmus des Zählens oder erinnerte sich an die Zahlenbilder in einem Rechenbeispiel.
Um dieses Missverständnis auszuräumen, ist es wichtig zu klären, welche Fähigkeiten als mathematisch bezeichnet werden.
Mathematische Fähigkeiten sind die Merkmale des Flusses des Denkprozesses mit der Strenge der Analyse und Synthese, der schnellen Abstraktion und Verallgemeinerung in Bezug auf mathematisches Material.
Es beruht auf den gleichen mentalen Operationen. Sie entwickeln sich bei allen Kindern mit unterschiedlicher Effizienz. Es ist möglich und notwendig, ihre Entwicklung zu fördern. Dies bedeutet keineswegs, dass das Kind mathematisches Talent wecken wird und zu einem echten Mathematiker heranwachsen wird. Wenn Sie jedoch die Fähigkeit entwickeln, zu analysieren, Zeichen hervorzuheben, zu verallgemeinern und eine logische Gedankenkette aufzubauen, wird dies zur Entwicklung der mathematischen und allgemeineren intellektuellen Fähigkeiten des Vorschulkindes beitragen.
Elementare mathematische Darstellungen von Vorschulkindern
Mathematische Fähigkeiten gehen also weit über das Rechnen hinaus und entwickeln sich auf der Grundlage gedanklicher Operationen. Aber so wie das Wort die Grundlage der Sprache ist, so gibt es in der Mathematik elementare Ideen, ohne die es sinnlos ist, über Entwicklung zu sprechen.
Kleinkinder müssen lernen zu zählen, quantitative Beziehungen einzuführen, ihr Wissen über geometrische Formen zu erweitern. Am Ende des Vorschulalters sollte das Kind über grundlegende mathematische Darstellungen verfügen:
- Kennen Sie alle Zahlen von 0 bis 9 und erkennen Sie sie in jeder Form der Schrift.
- Zählen Sie von 1 bis 10, sowohl vorwärts als auch umgekehrte Reihenfolge(beginnend mit einer beliebigen Zahl).
- Eine Vorstellung von einfachen Ordnungszahlen haben und mit ihnen operieren können.
- Führen Sie Additions- und Subtraktionsoperationen innerhalb von 10 aus.
- In der Lage sein, die Anzahl der Artikel in zwei Sätzen auszugleichen (In einem Korb sind 5 Äpfel, im anderen 7 Birnen. Was muss getan werden, um die Früchte in den Körben gleich zu machen?).
- Kennen Sie die geometrischen Grundformen und benennen Sie die Merkmale, die sie auszeichnen.
- Operieren Sie mit Mengenverhältnissen „mehr-weniger“, „weiter-näher“.
- einfach bedienen qualitative Verhältnisse: größte, kleinste, niedrigste usw.
- Verstehe komplizierte Beziehung: „größer als der Kleinste, aber kleiner als andere“, „voraus und über anderen“ usw.
- In der Lage sein, ein zusätzliches Objekt zu identifizieren, das für eine Gruppe von anderen nicht geeignet ist.
- ausrichten einfache Reihen in aufsteigender und absteigender Reihenfolge (Die Würfel zeigen Punkte in Höhe von 3, 5, 7, 8. Ordnen Sie die Würfel so an, dass die Anzahl der Punkte auf jedem weiteren abnimmt).
- Finden Sie den entsprechenden Ort des Objekts mit numerisches Zeichen(Am Beispiel der vorherigen Aufgabe: Würfel mit den Punkten 3, 5 und 8 werden platziert. Wohin mit dem Würfel mit den Punkten 7?).
Dieses mathematische „Gepäck“ ist vom Kind vor dem Schuleintritt anzusammeln. Die aufgeführten Darstellungen sind elementar. Ohne sie ist ein Mathematikstudium nicht möglich.
Unter Grundfertigkeiten es gibt ganz einfache, die gibt es schon in 3-4 jahren, aber es gibt auch solche (9-12 punkte), die verbrauchen einfachste Analyse, Vergleich, Verallgemeinerung. Sie müssen im Laufe des Spielunterrichts im Vorschulalter gebildet werden.
Die Liste der elementaren Darstellungen kann verwendet werden, um die mathematischen Fähigkeiten von Vorschulkindern zu identifizieren. Nachdem sie dem Kind angeboten haben, die jedem Gegenstand entsprechende Aufgabe zu erledigen, bestimmen sie, welche Fähigkeiten bereits ausgebildet wurden und an welchen gearbeitet werden muss.
Wir entwickeln die mathematischen Fähigkeiten des Kindes im Spiel
Das Erledigen von Aufgaben mit einem mathematischen Schwerpunkt ist besonders nützlich für Kinder, wenn sie sich entwickeln. Wert liegt nicht nur in der Akkumulation mathematische Darstellungen und Fähigkeiten, sondern auch in der allgemeinen geistigen Entwicklung eines Vorschulkindes.
BEIM Praktische Psychologie Es gibt drei Kategorien von Spielaktivitäten, die darauf abzielen, einzelne Komponenten mathematischer Fähigkeiten zu entwickeln.
- Übungen zur Bestimmung der Eigenschaften von Objekten, Identifizieren von Objekten nach einem bestimmten Merkmal (analytische und synthetische Fähigkeiten).
- Spiele zum Vergleichen verschiedener Eigenschaften, Identifizieren unerlässliche Eigenschaften, Abstraktion von Sekundär, Verallgemeinerung.
- Spiele zur Entwicklung logischer Schlussfolgerungen basierend auf mentalen Operationen.
Die Entwicklung mathematischer Fähigkeiten bei Vorschulkindern sollte ausschließlich spielerisch erfolgen.
Übungen zur Entwicklung von Analyse und Synthese
1.Ordnung schaffen! Ein Spiel, um Objekte nach Größe zu sortieren. Bereiten Sie 10 einfarbige Kartonstreifen gleicher Breite vor verschiedene Längen und ordnen Sie sie zufällig vor einem Vorschulkind an.
Anweisung: "Ordnen Sie die "Athleten" in der Höhe vom kürzesten bis zum größten an." Wenn das Kind bei der Wahl des Streifens ratlos ist, laden Sie die "Athleten" ein, ihre Größe zu messen.
Bitten Sie das Kind nach Abschluss der Aufgabe, sich abzuwenden und einige der Streifen auszutauschen. Der Vorschulkind muss die "Hooligans" an ihre Plätze zurückbringen.
2.Machen Sie ein Quadrat. Bereiten Sie zwei Sätze von Dreiecken vor. 1. - eins großes Dreieck und zwei kleine; 2. - 4 identische kleine. Bitten Sie das Kind, zuerst ein Quadrat aus drei Teilen, dann aus vier Teilen zu falten.
Bild 1.
Wenn ein Vorschulkind weniger Zeit damit verbringt, das zweite Quadrat zusammenzustellen, ist das Verständnis gekommen. Fähige Kinder erledigen Sie jede dieser Aufgaben in weniger als 20 Sekunden.
Abstraktions- und Generalisierungsübungen
1.Der vierte ist überflüssig. Sie benötigen einen Kartensatz mit vier Gegenständen. Auf jeder Karte sollten drei Objekte durch ein signifikantes Merkmal miteinander verbunden sein.
Anleitung: „Finde, was auf dem Bild seltsam ist. Was passt nicht zu allen anderen und warum?
Figur 2.
Mit solchen Übungen sollte man beginnen einfache Gruppen Objekte und allmählich erschweren. Beispielsweise kann eine Karte mit dem Bild eines Tisches, eines Stuhls, eines Wasserkochers und eines Sofas in Klassen mit 4-jährigen Kindern verwendet werden, und älteren Vorschulkindern können Sets mit geometrischen Formen angeboten werden.
2.Baue einen Zaun. Es müssen mindestens 20 Streifen gleicher Länge und Breite oder Zählstäbchen in zwei Farben vorbereitet werden. Beispielsweise: von blauer Farbe- S und rot - K.
Anleitung: „Lasst uns einen schönen Zaun bauen, bei dem sich die Farben abwechseln. Der erste wird ein blauer Stock sein, gefolgt von einem roten, dann ... (wir legen die Stöcke weiterhin in der Reihenfolge SKSSKKSK aus). Und jetzt baust du weiter einen Zaun, damit es das gleiche Muster gibt.
Achten Sie bei Schwierigkeiten auf den Rhythmus des Farbwechsels. Die Übung kann mehrmals mit einem anderen Rhythmus des Musters durchgeführt werden.
Logische und mathematische Spiele
1.Wir gehen, wir gehen, wir gehen. Es ist notwendig, 10-12 rechteckige Bilder auszuwählen, die dem Kind gut bekannte Gegenstände darstellen. Ein Kind spielt mit einem Erwachsenen.
Anweisung: „Jetzt machen wir einen Waggonzug, der durch ein wichtiges Merkmal fest miteinander verbunden wird. Es wird eine Tasse in meinem Anhänger geben (stellt das erste Bild ein), und damit Ihr Anhänger mitmachen kann, können Sie ein Bild mit einem Bild eines Löffels auswählen. Die Tasse und der Löffel sind miteinander verbunden, weil sie Geschirr sind. Ich werde unseren Zug mit einem Bild einer Schaufel vervollständigen, da Schaufel und Löffel eine ähnliche Form haben usw.“
Der Zug ist abfahrbereit, wenn alle Bilder ihren Platz gefunden haben. Sie können Bilder mischen und das Spiel erneut starten, um neue Beziehungen zu finden.
2. Aufgaben zum Finden eines geeigneten „Flickens“ für einen Teppich sind für Vorschulkinder von großem Interesse verschiedene Alter. Um das Spiel zu spielen, müssen Sie mehrere Bilder machen, die einen Teppich mit einem ausgeschnittenen Kreis oder Rechteck zeigen. Separat müssen Optionen für „Patches“ mit einem charakteristischen Muster dargestellt werden, unter denen das Kind einen passenden für den Teppich finden muss.
Sie müssen beginnen, Aufgaben mit den Farbtönen des Teppichs zu erledigen. Bieten Sie dann Karten mit einfachen Teppichmustern an und verkomplizieren Sie die Aufgaben nach dem Vorbild des Raven-Tests, wenn sich die Fähigkeiten der logischen Auswahl entwickeln.
Figur 3
Das „Reparieren“ des Teppichs entwickelt gleichzeitig eine Reihe wichtiger Aspekte: visuell-figurative Darstellungen, mentale Operationen, die Fähigkeit, das Ganze neu zu erstellen.
Empfehlungen für Eltern zur Entwicklung mathematischer Fähigkeiten des Kindes
Oft neigen Eltern im Bereich der freien Künste dazu, die Entwicklung der mathematischen Fähigkeiten ihrer Kinder zu ignorieren, und dies ist ein fehlgeleiteter Ansatz. Im Vorschulalter werden diese Fähigkeiten vom Kind genutzt, um etwas über die Welt um es herum zu lernen.
Ein Vorschulkind muss durch einen mathematischen Ansatz angeregt werden, um die Muster, die Ursache und Wirkung und die logische Art und Weise des wirklichen Lebens zu verstehen.
Mit frühe Kindheit sollte das Kind mit pädagogischem Spielzeug umgeben, das erfordert elementare Analyse und suchen Sie nach regelmäßigen Verbindungen. Dies sind verschiedene Pyramiden, Mosaike, Einsatzspielzeuge, Würfelsätze und andere. geometrische Körper, LEGO-Konstrukteure.
Ab dem dritten Lebensjahr ist eine Ergänzung erforderlich kognitive Aktivität Kind mit Spielen, die die Bildung mathematischer Fähigkeiten anregen. In diesem Fall sollten einige wichtige Punkte berücksichtigt werden:
- Lernspiele sollten kurz sein. Vorschulkinder mit den richtigen Neigungen zeigen Neugier auf solche Spiele, daher sollten sie so lange dauern, wie Interesse besteht. Andere Kinder müssen gekonnt angelockt werden, um die Aufgabe zu erfüllen.
- Spiele analytischer und logischer Natur sollten mit visuellem Material durchgeführt werden - Bilder, Spielzeug, geometrische Formen.
- Es ist einfach, selbst Stimulusmaterial für das Spiel vorzubereiten, indem Sie sich auf die Beispiele in diesem Artikel konzentrieren.
Wissenschaftler haben nachgewiesen, dass die Verwendung von geometrischem Material bei der Entwicklung mathematischer Fähigkeiten am effektivsten ist. Die Wahrnehmung von Figuren basiert auf sensorischen Fähigkeiten, die beim Kind früher als andere ausgebildet werden und es dem Baby ermöglichen, die Verbindungen und Beziehungen zwischen Objekten oder deren Details zu erfassen.
Die Entwicklung logischer und mathematischer Spiele und Übungen trägt zur Bildung des unabhängigen Denkens eines Vorschulkindes bei, seiner Fähigkeit, die Hauptsache in einer beträchtlichen Menge an Informationen hervorzuheben. Und das sind die Eigenschaften, die für erfolgreiches Lernen notwendig sind.
