Thema:„Lösungsmethoden trigonometrische Gleichungen».

Unterrichtsziele:

lehrreich:

Fähigkeiten entwickeln, um Arten von trigonometrischen Gleichungen zu unterscheiden;

Vertiefung des Methodenverständnisses zur Lösung trigonometrischer Gleichungen;

lehrreich:

Erziehung kognitives Interesse zum Bildungsprozess;

Bildung der Fähigkeit, die Aufgabe zu analysieren;

Entwicklung:

Die Fähigkeit entwickeln, die Situation zu analysieren und anschließend den rationalsten Ausweg zu wählen.

Ausrüstung: Plakat mit trigonometrischen Grundformeln, Computer, Projektor, Leinwand.

Beginnen wir die Lektion, indem wir die grundlegende Technik zum Lösen einer beliebigen Gleichung wiederholen: Reduzieren auf Standard Ansicht. Durch Verwandlung lineare Gleichungen Reduzieren Sie auf die Form Axt \u003d in, quadratisch - auf die Form ax2+bx +c=0. Bei trigonometrischen Gleichungen müssen sie auf die einfachste Form reduziert werden: sinx \u003d a, cosx \u003d a, tgx \u003d a, die leicht gelöst werden kann.

Zuallererst ist es natürlich notwendig, die Basis zu verwenden trigonometrische Formeln die auf dem Poster dargestellt werden: Additionsformeln, Formeln doppelter Winkel, was die Multiplizität der Gleichung verringert. Wir wissen bereits, wie man solche Gleichungen löst. Wiederholen wir einige davon:

Gleichzeitig gibt es Gleichungen, deren Lösung die Kenntnis einiger spezieller Techniken erfordert.

Das Thema unserer Lektion ist die Betrachtung dieser Techniken und die Systematisierung von Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.

Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen.

1. Konvertieren in quadratische Gleichung in Bezug auf eine trigonometrische Funktion, gefolgt von einer Variablenänderung.

Betrachten wir jeden von aufgeführten Methoden auf Beispiele, aber wir werden uns ausführlicher mit den letzten beiden befassen, da wir die ersten beiden bereits beim Lösen von Gleichungen verwendet haben.

1. Transformation in eine quadratische Gleichung bezüglich einer beliebigen trigonometrischen Funktion.

2. Lösung von Gleichungen nach der Faktorisierungsmethode.

3. Lösung homogener Gleichungen.

Homogene Gleichungen ersten und zweiten Grades heißen Gleichungen der Form:

(a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0).

Beim Lösen homogener Gleichungen werden beide Teile der Gleichung Term für Term durch cosx für (1) der Gleichung und durch cos 2 x für (2) dividiert. Eine solche Division ist möglich, da sinx und cosx nicht gleichzeitig gleich Null sind - sie werden zu Null verschiedene Punkte. Betrachten Sie Beispiele zum Lösen homogener Gleichungen ersten und zweiten Grades.

Denken Sie an diese Gleichung: Wenn Sie die nächste Methode in Betracht ziehen - die Einführung eines Hilfsarguments -, werden wir sie auf andere Weise lösen.

4. Einführung eines Hilfsarguments.

Betrachten Sie die bereits durch die vorherige Methode gelöste Gleichung:

Wie Sie sehen können, wird das gleiche Ergebnis erzielt.

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an:

In den betrachteten Beispielen war im Allgemeinen klar, in was die ursprüngliche Gleichung zerlegt werden muss, um ein Hilfsargument einzuführen. Aber es kann vorkommen, dass es nicht offensichtlich ist, welchen Teiler man wählen soll. Dafür gibt es eine spezielle Technik, die wir uns jetzt anschauen werden Gesamtansicht. Gegeben sei die Gleichung:

Teilen Sie die Gleichung durch Quadratwurzel aus Ausdruck (3) erhalten wir:

asinx + bcosx = c ,

dann a 2 + b 2 = 1 und somit a = sinx und b = cosx . Unter Verwendung der Differenzkosinusformel erhalten wir die einfachste trigonometrische Gleichung:

was leicht zu lösen ist.

Lösen wir eine andere Gleichung:

Wir reduzieren die Gleichung auf ein Argument - 2 x, indem wir die Doppelwinkelformeln verwenden und den Grad verringern:

Ähnlich wie bei den vorherigen Gleichungen erhalten wir unter Verwendung der Sinusformel der Summe:

was auch einfach zu lösen ist.

Entscheiden Sie selbst, indem Sie den Lösungsweg vorgeben:

Das Ergebnis des Unterrichts ist die Überprüfung der Lösung und die Bewertung der Schüler.

Hausaufgaben: S. 11, Abstract, Nr. 164 (b, d), 167 (b, d), 169 (a, b), 174 (a, c).

Elementare trigonometrische Gleichungen sind Gleichungen der Form, wobei eine der trigonometrischen Funktionen ist: , .

Elementare trigonometrische Gleichungen haben unendlich viele Wurzeln. Beispielsweise ist die Gleichung erfüllt die folgenden Werte: , usw. Allgemeine Formel wodurch alle Wurzeln der Gleichung gefunden werden, wobei gilt:

Dabei kann es sich um beliebige ganzzahlige Werte handeln, von denen jeder einer bestimmten Wurzel der Gleichung entspricht; in dieser Formel (wie auch in anderen Formeln, mit denen elementare trigonometrische Gleichungen gelöst werden) heißt Parameter. Normalerweise schreiben sie es auf und betonen damit, dass der Parameter beliebige ganzzahlige Werte annehmen kann.

Die Lösungen der Gleichung, wo, werden durch die Formel gefunden

Die Gleichung wird durch Anwendung der Formel gelöst

und die Gleichung --- gemäß der Formel

Beachten wir besonders einige Sonderfälle elementarer trigonometrischer Gleichungen, bei denen die Lösung ohne Verwendung allgemeiner Formeln geschrieben werden kann:

Beim Lösen trigonometrischer Gleichungen wichtige Rolle spielt die Periode der trigonometrischen Funktionen. Daher präsentieren wir zwei nützliche Theoreme:

Satz Wenn ein --- Basic Periode der Funktion, dann ist die Zahl die Hauptperiode der Funktion.

Die Perioden der Funktionen und sollen, falls vorhanden, gleich sein ganze Zahlen Na und.

Satz Wenn ein periodische Funktionen und, haben entsprechende und, dann haben sie allgemeine Periode, das ist die Periode der Funktionen, .

Der Satz sagt, was die Periode der Funktion ist, und nicht unbedingt die Hauptperiode. Zum Beispiel ist die Hauptperiode der Funktionen und --- , und die Hauptperiode ihres Produkts ist --- .

Einführung eines Hilfsarguments

Der Standardweg, um Ausdrücke der Form umzuwandeln, ist der folgende Trick: let --- Ecke, gegeben durch die Gleichheiten, . Für jeden gibt es einen solchen Winkel. Auf diese Weise. Wenn oder in anderen Fällen.

Schema zum Lösen trigonometrischer Gleichungen

Das Hauptschema, von dem wir uns beim Lösen trigonometrischer Gleichungen leiten lassen, lautet wie folgt:

Lösung gegebene Gleichung kommt auf eine Entscheidung an elementare Gleichungen. Lösungswerkzeuge --- Transformationen, Faktorisierungen, Änderung von Unbekannten. Der Leitgedanke ist, die Wurzeln nicht zu verlieren. Das bedeutet, dass wir, wenn wir zur nächsten Gleichung (Gleichungen) übergehen, keine Angst vor dem Auftreten zusätzlicher (fremder) Wurzeln haben, sondern uns nur darum kümmern die folgende Gleichung unsere "Kette" (oder das Gleichungssystem im Falle einer Verzweigung) war eine Folge der vorherigen. Einer von mögliche Methoden Auswahl der Wurzeln ist eine Prüfung. Wir stellen gleich fest, dass bei trigonometrischen Gleichungen die mit der Wahl der Wurzeln verbundenen Schwierigkeiten bei der Überprüfung im Vergleich zu algebraischen Gleichungen in der Regel stark zunehmen. Schließlich ist es notwendig, die Serie bestehend aus zu überprüfen eine unendliche Zahl Mitglieder.

Besonders hervorzuheben ist die Änderung von Unbekannten beim Lösen trigonometrischer Gleichungen. In den meisten Fällen stellt sich nach dem notwendigen Austausch heraus algebraische Gleichung. Außerdem kommt es nicht selten vor, dass Gleichungen, obwohl sie trigonometrisch sind, in Aussehen Tatsächlich sind sie es nicht, denn schon nach dem ersten Schritt --- Ersatz Variablen --- werden zu algebraischen, und die Rückkehr zur Trigonometrie erfolgt erst auf der Stufe der Lösung elementarer trigonometrischer Gleichungen.

Wir erinnern Sie noch einmal daran: Das Ersetzen des Unbekannten sollte so schnell wie möglich erfolgen, die nach dem Ersetzen erhaltene Gleichung muss bis zum Ende gelöst werden, einschließlich der Phase der Auswahl der Wurzeln, und erst dann wird sie zum Original zurückkehren Unbekannt.

Eines der Merkmale trigonometrischer Gleichungen ist, dass die Antwort in vielen Fällen geschrieben werden kann verschiedene Wege. Selbst für das Lösen der Gleichung kann die Antwort so geschrieben werden:

1) in Form von zwei Reihen: , ;

2) in Standardform, die eine Vereinigung der obigen Reihen ist: , ;

3) da, dann kann die Antwort in der Form geschrieben werden, . (Ferner bedeutet das Vorhandensein eines Parameters oder im Antwortdatensatz automatisch, dass dieser Parameter alle möglichen ganzzahligen Werte annehmen kann. Ausnahmen werden angegeben.)

Offensichtlich schöpfen die drei aufgeführten Fälle nicht alle Möglichkeiten aus, um die Antwort auf die betrachtete Gleichung zu schreiben (es gibt unendlich viele davon).

Zum Beispiel, wenn Gleichheit wahr ist. Daher können wir in den ersten beiden Fällen if durch ersetzen.

Normalerweise wird die Antwort auf der Grundlage von Absatz 2 geschrieben. Es ist nützlich, sich an die folgende Empfehlung zu erinnern: Wenn die Arbeit nicht mit der Lösung der Gleichung endet, ist es dennoch erforderlich, eine Studie durchzuführen, die Auswahl der Wurzeln die bequemste Form der Aufzeichnung ist in Absatz 1 angegeben. (Eine ähnliche Empfehlung sollte für die Gleichung gegeben werden.)

Betrachten wir ein Beispiel, das das Gesagte veranschaulicht.

Beispiel Löse die Gleichung.

Lösung. Das offensichtlichste ist nächsten Weg. Diese Gleichung teilt sich in zwei: i. Wir lösen jeden von ihnen und kombinieren die erhaltenen Antworten.

Ein anderer Weg. Da wird dann und durch die Formeln der Absenkung des Grades ersetzt. Nach kleinen Transformationen kommen wir wo hin.

Auf den ersten Blick keine besondere Vorteile die zweite Formel hat keine im Vergleich zur ersten. Wenn wir jedoch zum Beispiel nehmen, stellt sich heraus, dass, d.h. die Gleichung hat eine Lösung, während uns der erste Weg zur Antwort führt. Gleichberechtigung zu „sehen“ und zu beweisen ist gar nicht so einfach.

Im Algebraunterricht sagen Lehrer, dass es eine kleine (eigentlich sehr große) Klasse trigonometrischer Gleichungen gibt, die nicht gelöst werden können auf Standardwege- weder durch Faktorisierung, noch durch Variablenänderung, noch durch homogene Terme. Hier kommt ein grundlegend anderer Ansatz ins Spiel – die Methode Hilfsecke.

Was ist diese Methode und wie wendet man sie an? Erinnern wir uns zunächst an die Formeln für den Summen-/Differenz-Sinus und den Summen-/Differenz-Cosinus:

\[\begin(align)& \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\& \cos \left(\ alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\\end(align)\]

Ich denke, diese Formeln sind Ihnen gut bekannt - Formeln werden von ihnen abgeleitet Doppeltes Argument, ohne die Trigonometrie überhaupt nirgendwo ist. Aber betrachten wir jetzt eine einfache Gleichung:

Teilen Sie beide Teile durch 5:

Beachten Sie, dass $((\left(\frac(3)(5) \right))^(2))+((\left(\frac(4)(5) \right))^(2))= 1 $, was bedeutet, dass es sicher einen Winkel $\alpha $ gibt, für den diese Zahlen Kosinus bzw. Sinus sind. Daher wird unsere Gleichung wie folgt umgeschrieben:

\[\begin(align)& \cos \alpha \sin x+\sin \alpha \cos x=1 \\& \sin \left(\alpha +x \right)=1 \\\end(align)\]

Und das ist bereits leicht zu lösen, danach bleibt nur noch herauszufinden, warum gleicht dem Winkel$\alpha$. Wie man das herausfindet und wie man die richtige Zahl wählt, um beide Seiten der Gleichung zu teilen (in this einfaches Beispiel wir dividieren durch 5) - dazu im heutigen Video-Tutorial:

Heute werden wir die Lösung trigonometrischer Gleichungen analysieren, oder besser gesagt, eine einzelne Technik, die als „Hilfswinkelmethode“ bezeichnet wird. Warum diese spezielle Methode? Einfach, weil ich in den letzten zwei, drei Tagen, als ich mit Studenten gearbeitet habe, mit denen ich über das Lösen trigonometrischer Gleichungen gesprochen habe, und wir unter anderem die Hilfswinkelmethode analysiert haben, und alle Studenten als einer den gleichen Fehler machen. Aber die Methode ist im Allgemeinen einfach und außerdem eine der Haupttechniken in der Trigonometrie. Daher viele trigonometrische Probleme anders als durch die Hilfswinkelmethode werden sie überhaupt nicht gelöst.

Deshalb werden wir uns jetzt zunächst ein paar einfache Aufgaben ansehen und dann zu ernsteren Aufgaben übergehen. All dies erfordert jedoch auf die eine oder andere Weise die Verwendung der Hilfswinkelmethode, deren Wesen ich bereits in der ersten Konstruktion beschreiben werde.

Lösen einfacher trigonometrischer Probleme

Beispiel 1

\[\cos 2x=\sqrt(3)\sin 2x-1\]

Ändern wir unseren Ausdruck ein wenig:

\[\cos 2x-\sqrt(3)\sin 2x=-1\left| \left(-1 \right) \right.\]

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=1\]

Wie werden wir es lösen? Standardempfang ist, $\sin 2x$ und $\cos 2x$ unter Verwendung der Doppelwinkelformeln zu erweitern und dann die Einheit als $((\sin )^(2))x((\cos )^(2))x $ umzuschreiben , erhalten homogene Gleichung, bringe es zur Tangente und löse es. Dies ist jedoch ein langer und mühsamer Weg, der viele Berechnungen erfordert.

Ich schlage vor, Sie denken darüber nach. Wir haben $\sin$ und $\cos$. Erinnere dich an die Formel für den Kosinus und den Sinus von Summe und Differenz:

\[\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \]

\[\cos \left(\alpha +\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \]

\[\cos \left(\alpha -\beta \right)=\cos a\cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \]

Kommen wir zurück zu unserem Beispiel. Reduzieren wir alles auf den Sinus der Differenz. Aber zuerst muss die Gleichung leicht transformiert werden. Finden wir den Koeffizienten:

$\sqrt(l)$ ist derselbe Koeffizient, durch den beide Teile der Gleichung dividiert werden müssen, damit Zahlen vor Sinus und Cosinus stehen, die selbst Sinus und Cosinus sind. Teilen wir uns auf:

\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]

Schauen wir uns an, was wir auf der linken Seite haben: Gibt es solche $\sin $ und $\cos $, so dass $\cos \alpha =\frac(\sqrt(3))(2)$ und $\sin \alpha =\frac(1)(2)$? Offensichtlich gibt es: $\alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$. Daher können wir unseren Ausdruck wie folgt umschreiben:

\[\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))\cdot \sin 2x-\sin \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\text( ))(\text(6))\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]

\[\sin 2x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))-\cos 2x\cdot \sin \frac(\ text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))=\frac(1)(2)\]

Jetzt haben wir die Formel für den Sinus der Differenz. Wir können so schreiben:

\[\sin \left(2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6)) \right)=\frac(1)(2) \]

Vor uns liegt die einfachste klassische trigonometrische Konstruktion. Lass mich dich errinnern:

Das schreiben wir für unseren spezifischen Ausdruck:

\[\left[ \begin(align)& 2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\text( ))(6)=2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\text( ))(\text(6))=\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\text( ))(\text(6))+2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(align) \right.\ ]

\[\left[ \begin(align)& 2x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\pi \!\!\text( )n \\& 2x=\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+2\text( )\!\!\pi\!\!\text ( )n \\\end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align)& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2)+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\\end(align) \right.\]

Nuancen der Lösung

Was sollten Sie also tun, wenn Sie auf ein ähnliches Beispiel stoßen:

1. Ändern Sie bei Bedarf das Design.
2. Finde den Korrekturfaktor, ziehe die Wurzel daraus und dividiere beide Teile des Beispiels durch ihn.
3. Wir schauen uns an, welche Werte von Sinus und Cosinus aus Zahlen gewonnen werden.
4. Wir zerlegen die Gleichung nach den Formeln des Sinus oder Cosinus der Differenz oder Summe.
5. Wir lösen die einfachste trigonometrische Gleichung.

In diesem Zusammenhang haben aufmerksame Schüler wahrscheinlich zwei Fragen.

Was hindert uns daran, beim Finden des Korrekturfaktors $\sin $ und $\cos $ zu schreiben? — Wir werden durch die grundlegende trigonometrische Identität behindert. Tatsache ist, dass die resultierenden $\sin $ und $\cos $, wie alle anderen mit demselben Argument, beim Quadrieren genau „eins“ ergeben sollten. Beim Lösen müssen Sie sehr darauf achten, dass Sie die „Zwei“ vor dem „X“ nicht verlieren.

Die Hilfswinkelmethode ist ein Werkzeug, das dabei hilft, eine „hässliche“ Gleichung auf eine vollkommen adäquate und „schöne“ Gleichung zu reduzieren.

Beispiel #2

\[\sqrt(3)\sin 2x+2((\sin )^(2))x-1=2\cos x\]

Wir sehen, dass wir $((\sin )^(2))x$ haben, also verwenden wir die Reduktionsberechnungen. Bevor wir sie jedoch verwenden, holen wir sie heraus. Denken Sie dazu daran, wie Sie den Kosinus eines Doppelwinkels finden:

\[\cos 2x=((\cos )^(2))x-((\sin )^(2))x=2((\cos )^(2))x-1=1-2(( \sin )^(2))x\]

Wenn wir in der dritten Variante $\cos 2x$ schreiben, erhalten wir:

\[\cos 2x=1-2((\sin )^(2))x\]

\[((\sin )^(2))x=\frac(1-((\cos )^(2))x)(x)\]

Ich schreibe separat:

\[((\sin )^(2))x=\frac(1-\cos 2x)(2)\]

Dasselbe kann für $((\cos )^(2))x$ gemacht werden:

\[((\cos )^(2))x=\frac(1+\cos 2x)(2)\]

Wir brauchen nur die ersten Berechnungen. Machen wir uns an die Aufgabe:

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+2\cdot \frac(1-\cos 2x)(2)-1=2\cos x\]

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+1-\cos 2x-1=2\cos x\]

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=2\cos x\]

Jetzt verwenden wir die Berechnungen des Kosinus der Differenz. Aber zuerst berechnen wir die Korrektur $l$:

Lassen Sie uns unter Berücksichtigung dieser Tatsache umschreiben:

\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\cos x\]

In diesem Fall können wir schreiben, dass $\frac(\sqrt(3))(2)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$, und $\frac(1)(2)=\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$. Schreiben wir um:

\[\sin \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))\cdot \sin 2x-\cos \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\text( ))(\text(3))\cdot \cos 2x=\cos x\]

\[-\cos \left(\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\cos x\]

Setzen wir das „Minus“ in die Klammer auf knifflige Weise. Beachten Sie dazu Folgendes:

\[\cos \left(\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\text( )\!\!\pi\!\!\text( +)\frac(\text( )\!\!\pi\! \!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\]

\[=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+2x \right)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+\varphi \right)=-\cos \varphi \]

Wir kehren zu unserem Ausdruck zurück und erinnern uns, dass wir in der Rolle von $\varphi $ den Ausdruck $-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x haben $. Daher schreiben wir:

\[-\left(-\cos \left(-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x \right) \right)=\cos x\]

\[\cos \left(2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3) \right)=\cos x\]

Um ein ähnliches Problem zu lösen, müssen Sie Folgendes beachten:

\[\cos \alpha =\cos \beta \]

\[\left[ \begin(align)& \alpha =\beta +2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& \alpha =-\beta +2\text ( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(align) \right.\]

Schauen wir uns unser Beispiel an:

\[\left[ \begin(align)& 2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)=x+2\text( )\!\ !\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)=-x+2\text ( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(align) \right.\]

Lassen Sie uns jede dieser Gleichungen berechnen:

Und der zweite:

Lassen Sie uns die endgültige Antwort schreiben:

\[\left[ \begin(align)& x=\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\ pi\!\!\text( )n \\& x=\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(9)+\frac(2\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )n)(3) \\\end(align) \right.\]

Nuancen der Lösung

Tatsächlich wird dieser Ausdruck auf viele verschiedene Arten gelöst, aber es ist die Hilfswinkelmethode, die angesagt ist dieser Fall optimal. Darüber hinaus möchte ich Sie am Beispiel dieses Designs auf einige weitere interessante Tricks und Fakten aufmerksam machen:

• Formeln zur Gradreduzierung. Diese Formeln müssen Sie sich nicht merken, aber Sie müssen wissen, wie man sie herleitet, wovon ich Ihnen heute erzählt habe.
• Lösung von Gleichungen der Form $\cos \alpha =\cos \beta $.
• Hinzufügen von "Null".

Aber das ist nicht alles. Bisher dachten wir, $\sin$ und $\cos$, die wir als zusätzliches Argument ausgeben, sollten positiv sein. Deshalb werden wir jetzt komplexere Probleme lösen.

Analyse komplexerer Aufgaben

Beispiel 1

\[\sin 3x+4((\sin )^(3))x+4\cos x=5\]

Transformieren wir den ersten Term:

\[\sin 3x=\sin \left(2x+x \right)=\sin 2x\cdot \cos x+\cos 2x\cdot \sin x\]

\[=2\left(1-\cos 2x \right)\cdot \sin x\]

Und jetzt setzen wir all dies in unsere ursprüngliche Konstruktion ein:

\[\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x+2\sin x-2\cos x\sin x+4\cos x=5\]

\[\sin 2x\cos x-\operatorname(cosx)-cos2\sin x+2\sin x+4\cos x=5\]

\[\sin \left(2x-x \right)+2\sin x+4\cos x=5\]

Lassen Sie uns unsere Korrektur einführen:

Wir schreiben auf:

\[\frac(3)(5)\sin x+\frac(4)(5)\cos x=1\]

$\alpha $, so dass $\sin $ oder $\cos $ gleich $\frac(3)(5)$ und $\frac(4)(5)$ in wäre trigonometrische Tabelle Nein. Schreiben wir also einfach und reduzieren den Ausdruck auf den Sinus der Summe:

\[\sin x\cdot \cos \varphi +\cos x\cdot \sin \varphi =1\]

\[\sin \left(x+\varphi \right)=1\]

Das besonderer Fall, die einfachste trigonometrische Konstruktion:

Es bleibt zu finden, was $\varphi $ gleich ist. Hier machen viele Schüler einen Fehler. Tatsache ist, dass $\varphi $ zwei Anforderungen gestellt werden:

\[\left\( \begin(align)& \cos \varphi =\frac(3)(5) \\& \sin \varphi =\frac(4)(5) \\\end(align) \right .\]

Lassen Sie uns ein Radar zeichnen und sehen, wo diese Werte auftreten:

Um zu unserem Ausdruck zurückzukehren, schreiben wir Folgendes:

Aber dieser Eintrag kann noch etwas verbessert werden. Denn wir wissen Folgendes:

\[\alpha:\arcsin \alpha +\arccos \alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(2)),\]

dann können wir es in unserem Fall so schreiben:

Beispiel #2

Dies erfordert ein noch tieferes Verständnis der Lösungsmethoden Standardaufgaben keine Trigonometrie. Aber um dieses Beispiel zu lösen, verwenden wir auch die Hilfswinkelmethode.\[\]

Als erstes fällt auf, dass es keine höheren Grade als den ersten gibt und daher nichts nach den Gradentwicklungsformeln zerlegt werden kann. Verwendet Umkehrungen:

Warum habe ich $5$ verteilt. Schau hier:

Einheit nach den wichtigsten trigonometrische Identität wir können schreiben als $((\sin )^(2))x+((\cos )^(2))x$:

Was gibt uns einen solchen Rekord? Tatsache ist, dass in der ersten Klammer ein exaktes Quadrat steht. Lassen Sie es uns aufrollen und erhalten:

Ich schlage vor, eine neue Variable einzuführen:

\[\sin x+\cos x=t\]

In diesem Fall erhalten wir den Ausdruck:

\[((t)_(1))=\frac(5+1)(4)=\frac(3)(2)\]

\[((t)_(2))=\frac(5-1)(4)=1\]

Insgesamt erhalten wir:

\[\left[ \begin(align)& \sin x+\cos x=\frac(3)(2) \\& \sin x+\cos x=1 \\\end(align) \right.\]

Natürlich werden sachkundige Studenten jetzt sagen, dass solche Konstruktionen leicht durch Reduktion auf eine homogene gelöst werden können. Wir werden jedoch jede Gleichung mit der Hilfswinkelmethode lösen. Dazu berechnen wir zunächst die Korrektur $l$:

\[\sqrt(l)=\sqrt(2)\]

Teile alles durch $\sqrt(2)$:

\[\left[ \begin(align)& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(3)(2\ sqrt(2)) \\& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(\sqrt(2))(2 ) \\\end(align) \right.\]

Reduzieren wir alles auf $\cos$:

\[\cos x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\sin x\sin \frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\text( ))(\text(4))\]

\[\left[ \begin(align)& \cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4)) \right) =\frac(3)(2\sqrt(2)) \\& \cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \ right)=\frac(\sqrt(2))(2) \\\end(align) \right.\]

Werfen wir einen Blick auf jeden dieser Ausdrücke.

Die erste Gleichung hat keine Wurzeln, und die Irrationalität im Nenner hilft uns, diese Tatsache zu beweisen. Beachte das Folgende:

\[\sqrt(2)<1,5\]

\[\frac(3)(2\sqrt(2))>\frac(3)(3\cdot 1,5)=\frac(3)(3)=1\]

Insgesamt haben wir eindeutig bewiesen, dass $\cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \right)$ sein muss ist gleich der Zahl, was größer als "eins" ist, und daher hat diese Konstruktion keine Wurzeln.

Kommen wir zum Zweiten:

Lassen Sie uns dieses Design lösen:

Im Prinzip können Sie die Antwort so belassen, oder Sie können sie malen:

Wichtige Punkte

Abschließend möchte ich Sie noch einmal darauf aufmerksam machen, mit „hässlichen“ Argumenten zu arbeiten, d.h. wenn $\sin$ und $\cos$ keine Tabellenwerte sind. Das Problem ist, dass, wenn wir sagen, dass in unserer Gleichung $\frac(3)(5)$ $\cos $ und $\frac(4)(5)$ $\sin $ ist, dann am Ende nach we über das Design entscheiden, müssen wir beide Anforderungen berücksichtigen. Wir erhalten ein System aus zwei Gleichungen. Wenn wir dies nicht berücksichtigen, erhalten wir die folgende Situation. In diesem Fall erhalten wir zwei Punkte und anstelle von $\varphi $ haben wir zwei Zahlen: $\arcsin \frac(4)(5)$ und $-\arcsin \frac(4)(5)$, aber der letzte in keiner Weise zufrieden. Das gleiche passiert mit dem Punkt $\frac(3)(5)$.

Dieses Problem tritt nur auf, wenn wir redenüber "hässliche" Argumente. Wenn wir haben Tabellenwerte, dann gibt es nichts.

Ich hoffe, die heutige Lektion hat Ihnen geholfen zu verstehen, was die Hilfswinkelmethode ist und wie Sie sie anhand von Beispielen anwenden. verschiedene Level Schwierigkeiten. Dies ist jedoch nicht die einzige Lektion, die der Lösung von Problemen mit der Hilfswinkelmethode gewidmet ist. Bleiben Sie also bei uns!

Zusammenfassung der Lektionen für die Klassen 10-11

Thema 1 : Eingabemethode für Hilfsargumente. Ableitung von Formeln.

Ziele:

Kenntnisbildung einer neuen Methode zur Lösung von Aufgaben in der Trigonometrie, bei der ihre Anwendung möglich oder notwendig ist;

Bildung von Fähigkeiten, um den Zustand des Problems zu analysieren, zu vergleichen und Unterschiede zu finden;

Entwicklung des Denkens, der Logik und Gültigkeit von Aussagen, der Fähigkeit, Schlussfolgerungen zu ziehen und zu verallgemeinern;

Sprachentwicklung, Bereicherung und Komplikation Wortschatz, Beherrschung der Ausdruckseigenschaften der Sprache durch die Schüler;

Einstellungsbildung zum Thema, Begeisterung für Wissen, Schaffung von Bedingungen für einen kreativen, nicht standardmäßigen Ansatz zur Beherrschung von Wissen.

Erforderliche Kenntnisse, Qualifikationen und Fähigkeiten:

Trigonometrische Formeln herleiten und anwenden können weitere Arbeit;

Lösen können oder eine Vorstellung davon haben, wie man es lösen kann trigonometrische Aufgaben;

Kenne grundlegende trigonometrische Formeln.

Der Grad der Bereitschaft der Schüler für die bewusste Wahrnehmung:

Ausrüstung: AWP, Präsentation mit Aufgabenstellungen, Lösungen u notwendige Formeln, Karten mit Aufgaben und Antworten.

Unterrichtsstruktur:

1. Festlegung des Unterrichtsziels (2

Vorbereitung auf das Studium neuen Materials (12 min).

Bekanntschaft mit neuem Material (15 min).

Primäres Verstehen und Anwenden des Gelernten (10 min).

Hausaufgaben machen (3 min).

Zusammenfassung der Lektion (3 Min.).

Während des Unterrichts.

1. Das Ziel der Lektion festlegen.

Überprüfen Sie die Bereitschaft der Schüler und der Ausrüstung für den Unterricht. Es ist ratsam, sich im Voraus vorzubereiten Hausaufgaben an der Tafel, um die Lösung zu diskutieren. Beachten Sie, dass der Zweck der Lektion darin besteht, das Wissen über die Methoden zur Lösung einiger Aufgaben in der Trigonometrie zu erweitern und zu versuchen, sie zu meistern.

2. Vorbereitung auf das Studium neuen Materials.

Besprechen Sie die Hausaufgaben: Merken Sie sich die grundlegenden trigonometrischen Formeln, die Werte der trigonometrischen Funktionen für die einfachsten Argumente. Überprüfen Sie die Hausaufgabe.

Formeln:

; ;

; ;

Eine Aufgabe: Drücken Sie den Ausdruck als Produkt aus.

Studenten werden wahrscheinlich anbieten nächste Lösung:

Da sie kennen die Formeln zur Umrechnung der Summe trigonometrischer Funktionen in ein Produkt.

Wir schlagen eine andere Lösung des Problems vor: . Hier wurde beim Lösen die Formel für den Kosinus der Differenz zweier Argumente verwendet, wobei Hilfsfunktion ist. Beachten Sie, dass bei jedem dieser Verfahren andere ähnliche Formeln verwendet werden könnten.

3. Bekanntschaft mit neuem Material.

Es stellt sich die Frage, woher kam das Hilfsargument?

Um eine Antwort zu erhalten, überlegen Sie gemeinsame Entscheidung Problem, wandeln wir den Ausdruck in ein Produkt um, wobei und beliebige Zahlen ungleich Null sind.

führen wir einen zusätzlichen Winkel (Hilfsargument) ein, wobei , , dann nimmt unser Ausdruck die Form an:

Damit haben wir die Formel: .

Wenn der Winkel gemäß den Formeln eingegeben wird, nimmt der Ausdruck die Form an und wir erhalten eine andere Form der Formel: .

Wir haben Formeln für den zusätzlichen Winkel hergeleitet, die als Formeln des Hilfsarguments bezeichnet werden:

Formeln können auch eine andere Form haben (darauf ist zu achten Besondere Aufmerksamkeit und mit Beispielen zeigen).

Beachten Sie, dass in den einfachsten Fällen die Methode zum Einführen eines Hilfsarguments auf das Ersetzen von Zahlen reduziert wird. ; ; ; eines; trigonometrische Funktionen entsprechende Ecken.

4. Primäres Verstehen und Anwenden des Gelernten .

Um das Material zu festigen, wird vorgeschlagen, einige weitere Beispiele für Aufgaben zu betrachten:

Als Produkt des Ausdrucks ausdrücken:

Es ist ratsam, die Aufgaben 3 und 4 im Unterricht zu analysieren (die Analyse der Aufgaben ist in den Materialien für den Unterricht enthalten). Die Aufgaben 1, 2 und 5 können übernommen werden unabhängige Entscheidung(Antworten gegeben).

Um die Merkmale der Bedingungen typischer Aufgabenstellungen zu analysieren, bei denen das betrachtete Lösungsverfahren eingesetzt werden kann, können verschiedene Verfahren eingesetzt werden. Beachten Sie, dass Aufgabe 1. auf verschiedene Arten ausgeführt werden kann, und um die Aufgaben 2 - 5 zu erledigen, ist es bequemer, die Methode der Einführung eines Hilfswinkels zu verwenden

In einem frontalen Gespräch sollte besprochen werden, inwiefern diese Aufgaben dem zu Beginn der Unterrichtseinheit betrachteten Beispiel ähneln, was die Unterschiede sind, ob die vorgeschlagene Methode zur Lösung angewendet werden kann und warum ihre Verwendung bequemer ist .

Ähnlichkeit: In allen vorgeschlagenen Beispielen ist es möglich, die Methode der Einführung eines Hilfsarguments anzuwenden, und dies ist eine bequemere Methode, die sofort zum Ergebnis führt.

Unterschied: Im ersten Beispiel ist ein anderer Ansatz möglich, und in allen anderen ist eine Methode zum Anwenden eines Hilfsarguments mit nicht einer, sondern mehreren Formeln möglich.

Nachdem Sie die Aufgaben besprochen haben, können Sie die Jungs einladen, den Rest alleine zu Hause zu lösen.

5. Erklärung der Hausaufgaben.

Zu Hause werden Sie eingeladen, die Zusammenfassung der Lektion sorgfältig zu studieren und zu versuchen, die folgenden Aufgaben zu lösen.

Unterrichtsthema: Ein Verfahren zum Einführen eines Hilfswinkels beim Lösen trigonometrischer Gleichungen.

Aktualisierung.

Lehrer.

Leute! Wir haben verschiedene Arten von trigonometrischen Gleichungen kennengelernt und gelernt, wie man sie löst. Heute werden wir das Wissen über Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen verallgemeinern verschiedene Sorten. Dazu bitte ich Sie, an der Klassifikation der Ihnen vorgeschlagenen Gleichungen zu arbeiten (siehe Gleichungen Nr. 1-10 im Anhang - am Ende des Abstracts in PDF-Form)

Füllen Sie die Tabelle aus: Geben Sie den Gleichungstyp und die Lösungsmethode an und ordnen Sie die Nummern der Gleichungen dem Typ zu, zu dem sie gehören.

Studenten. Füllen Sie die Tabelle aus.

Art der Gleichung	Lösungsmethode	Gleichungen
Protozoen	Wurzelformeln	№1
Reduzierbar auf Quadrat	Variablenersetzungsmethode	№2,3
Komplexe trigonometrische Ansicht	Vereinfachen Sie mithilfe von Trigonometrieformeln auf eine bekannte Form	№4,5
Homogener erster Grad	Teilen Sie die Gleichung Term für Term durch den Kosinus der Variablen	№6
Homogener zweiter Grad	Teilen Sie die Gleichung Term für Term durch das Quadrat des Kosinus der Variablen	№7

Problematisierung.

Beim Ausfüllen der Tabelle stehen die Schüler vor einem Problem. Sie können die Art und Methode der Lösung von drei Gleichungen nicht bestimmen: Nr. 8,9,10.

Lehrer. Hast du es geschafft, alle Gleichungen nach Form und Lösungsverfahren zu klassifizieren?

Antwort der Schüler. Nein, drei Gleichungen konnten nicht in die Tabelle eingefügt werden.

Lehrer. Wieso den?

Antwort der Schüler. Sie sehen nicht so aus berühmte Art. Der Lösungsweg ist nicht klar.

Ziele setzen.

Lehrer. Wie sollen wir dann den Zweck unserer Lektion formulieren?

Antworten Sie den Schülern. Definiere entdeckt neuer Typ Gleichungen und finden Sie eine Methode zu deren Lösung.

Lehrer. Ist es möglich, das Thema der Lektion zu formulieren, wenn wir die Art der entdeckten Gleichungen und die Methode zu ihrer Lösung nicht kennen?

Schülerantwort. Nein, aber wir können es später tun, wenn wir herausfinden, womit wir es zu tun haben.

Aktivitätsplanung.

Lehrer. Lassen Sie uns unsere Aktivitäten planen. Normalerweise definieren wir den Typ und suchen dann nach einer Methode zum Lösen trigonometrischer Gleichungen. Ist es in unserer gegenwärtigen Situation möglich, der Art der entdeckten Gleichungen einen bestimmten Namen zu geben? Und gehören sie im Allgemeinen zur selben Art?

Antwort der Schüler. Es ist schwer zu tun.

Lehrer. Dann denken Sie, vielleicht verbindet sie etwas, oder sind sie einem Typ ähnlich?

Antwort der Schüler. Die linke Seite dieser Gleichungen ist dieselbe wie die homogenen, aber ihre rechte Seite ist nicht gleich Null. Also wird die Division durch den Kosinus die Lösung nur verkomplizieren.

Lehrer. Vielleicht suchen wir zunächst nach einem Lösungsverfahren und bestimmen dann die Art der Gleichung? Welche der 3 Gleichungen ist deiner Meinung nach die einfachste?

Schüler antworten aber es gibt keinen Konsens. Vielleicht errät jemand, dass die Koeffizienten in Gleichung Nr. 8 als Sinus und Cosinus des Tischwinkels ausgedrückt werden sollten. Und dann bestimmt die Klasse die Gleichung, die zuerst gelöst werden kann. Wenn nicht, schlägt der Lehrer vor, darüber nachzudenken zusätzliche Gleichung (siehe Gleichung Nr. 11 im Anhang - am Ende des Abstracts in PDF-Form). Darin sind die Koeffizienten gleich dem Sinus und Cosinus eines bekannten Winkels, und die Schüler sollten dies bemerken.

Der Lehrer gibt die Reihenfolge der Aktivitäten vor. ( Sehen Gleichungen im Anhang - als PDF am Ende des Abstracts).

1. Löse die erste Gleichung (№11), indem Sie die Koeffizienten durch die Werte des Sinus und Kosinus des bekannten Winkels ersetzen und die Formel für den Sinus der Summe anwenden.
2. Versuchen Sie, andere Gleichungen in die Form der ersten umzuwandeln, und wenden Sie dieselbe Methode an. ( siehe Gleichung #8,9,12)
3. Verallgemeinern und erweitern Sie das Verfahren auf beliebige Koeffizienten und konstruieren Sie einen allgemeinen Aktionsalgorithmus (siehe Gleichung #10).
4. Wenden Sie die Methode an, um andere Gleichungen des gleichen Typs zu lösen. (siehe Gleichungen Nr. 12,13, 14).

Umsetzung des Plans.

Lehrer. Nun, wir haben einen Plan gemacht. Beginnen wir mit der Umsetzung.

An der Tafel löst der Schüler Gleichung Nr. 11.

Der zweite Schüler löst die folgende Gleichung Nr. 8, nachdem er sie durch dividiert hat konstante Zahl und dadurch die Situation auf eine bereits gefundene Lösung reduzieren.

Der Lehrer schlägt vor, die Gleichungen Nr. 9.12 selbst zu lösen. Überprüft die Korrektheit der Transformationen und der Lösungsmenge.

Lehrer. Leute, wie kann man den Winkel nennen, der anstelle der Koeffizienten der Gleichung erscheint und uns hilft, eine Lösung zu finden?

Antwort der Schüler. Zusätzlich. (Option: Zusatz).

Lehrer. Es ist nicht immer einfach, einen solchen Hilfswinkel zu finden. Ist es möglich, es zu finden, wenn die Koeffizienten nicht Sinus und Cosinus sind? bekannte Winkel? Welcher Identität müssen solche Koeffizienten genügen, wenn wir sie als Sinus und Cosinus des Hilfswinkels darstellen wollen?

Antworten. Grundlegende trigonometrische Identität.

Lehrer. Gut erledigt! Korrekt! Unsere Aufgabe ist es also, Koeffizienten zu erhalten, bei denen die Summe ihrer Quadrate gleich eins ist! Versuchen Sie, eine Zahl zu finden, durch die Sie die Gleichung teilen müssen, damit die von uns angegebene Bedingung erfüllt ist.

Die Schüler denken nach und bieten vielleicht an, alles durch die Quadratwurzel der Summe der Quadrate der Koeffizienten der Gleichung zu teilen. Wenn nicht, führt der Lehrer sie zu dieser Idee.

Lehrer. Es bleibt uns überlassen, welchen der neuen Koeffizienten wir als Sinus des Hilfswinkels und welchen als Cosinus bezeichnen wollen. Es gibt zwei Möglichkeiten. Der Übergang zur einfachsten Gleichung mit einem Sinus oder einem Cosinus hängt von der Wahl ab.

Studenten Sie bieten eine Lösung an, und der Lehrer vervollständigt sie, wobei er auf die Form der Aufzeichnung der Begründung und der Antwort achtet. Lösen Sie Gleichung 10.

Lehrer. Haben wir eine Methode entdeckt, um eine neue Art von Gleichung zu lösen? Wie nennen wir diesen Typ?

Antworten. Wir haben nach der Methode der Hilfswinkelfindung gearbeitet. Vielleicht sollten die Gleichungen Gleichungen genannt werden, die mit Hilfe von Hilfswinkeln gelöst werden?

Lehrer. Ja, das darfst du sicherlich. Können Sie sich eine Formel dafür vorstellen? Es wird kürzer.

Antworten. Ja. Gleichungen mit den Koeffizienten A, B und C.

Lehrer. Lassen Sie uns das Verfahren für beliebige Koeffizienten verallgemeinern.

Der Lehrer bespricht und schreibt die Formeln für den Sinus und Kosinus des Hilfswinkels für verallgemeinerte Koeffizienten an die Tafel. Dann löst er mit ihrer Hilfe die Gleichungen Nr. 13 und 14.

Lehrer. Beherrschen wir die Methode gut genug?

Antworten. Nein. Es ist notwendig, solche Gleichungen zu lösen und die Fähigkeit zur Verwendung der Hilfswinkelmethode zu festigen.

Lehrer. Woher wissen wir, dass die Methode gemeistert wurde?

Antworten. Wenn wir mehrere Gleichungen selbst lösen.

Lehrer. Lassen Sie uns eine qualitative Skala für die Beherrschung der Methode erstellen.

Machen Sie sich mit den Eigenschaften der Stufen vertraut und platzieren Sie sie auf einer Skala, die den Grad der Beherrschung dieser Fertigkeit widerspiegelt. Korrelieren Sie die Eigenschaft des Niveaus und die Punktzahl (von 0 bis 3)

• Ich kann Gleichungen mit verschiedenen Koeffizienten lösen
• Kann Gleichungen nicht lösen
• Ich kann komplexe Gleichungen lösen
• Ich kann Gleichungen mit tabellarischen Koeffizienten lösen

Lehrer.(Nachdem die Schüler geantwortet haben) Unsere Bewertungsskala lautet also wie folgt:

Nach dem gleichen Prinzip schätzen wir unabhängige Arbeit Thema in der nächsten Lektion.

Und jetzt lösen Sie bitte die Gleichungen Nr. 1148 g, 1149 g, 1150 g und bestimmen Sie Ihren Assimilationsgrad des Themas.

Vergessen Sie nicht, die Einträge in der Tabelle zu vervollständigen und das Thema zu benennen: "Einführung eines Hilfswinkels beim Lösen trigonometrischer Gleichungen".

Reflexion des Weges zum Ziel.

Lehrer. Leute, haben wir das Ziel der Lektion erreicht?

Antworten der Schüler. Ja, wir haben gelernt, einen neuen Gleichungstyp zu erkennen.

Wir haben eine Methode gefunden, sie mit Hilfe eines Hilfswinkels zu lösen.

Sie haben gelernt, die Methode in der Praxis anzuwenden.

Lehrer. Wie haben wir gehandelt? Wie haben wir verstanden, was wir tun müssen?

Antworten. Wir haben mehrere Sonderfälle von Gleichungen mit "erkennbaren" Koeffizienten betrachtet und diese Logik auf beliebige Werte von A, B und C erweitert.

Lehrer. Dies ist eine induktive Denkweise: Wir haben eine Methode aus mehreren Fällen abgeleitet und in ähnlichen Fällen angewendet.

Perspektive. Wo können wir diese Denkweise anwenden? (Schülerantworten)

Du hast heute im Unterricht gute Arbeit geleistet. Lesen Sie zu Hause die Beschreibung der Hilfswinkelmethode im Lehrbuch und lösen Sie Nr. 1148 (a, b, c), 1149 (a, b, c), 1150 (a, b, c). Ich hoffe, dass Sie in der nächsten Lektion alle diese Methode beim Lösen trigonometrischer Gleichungen hervorragend anwenden können.

Danke für die Lektion!