Kurzer Auszug vom Anfang des Buches(Maschinenerkennung)
M.L.KRASNOV
A. I. Kiselew
G. I. MAKARENKO
FUNKTIONEN
INTEGRIERT
VARIABLE
BETRIEBS
INFINITESIMALRECHNUNG
THEORIE
NACHHALTIGKEIT
AUSGEWÄHLTE KAPITEL
HÖHERE MATHEMATIK
FÜR INGENIEURE
UND STUDENTEN
AUFGABEN UND ÜBUNGEN
M. L. KRASNOV
A. I. Kiselew
G. I. MAKARENKO
FUNKTIONEN
INTEGRIERT
VARIABLE
BETRIEBS
INFINITESIMALRECHNUNG
THEORIE
NACHHALTIGKEIT
ZWEITE AUFLAGE, ÜBERARBEITET UND HINZUGEFÜGT
Genehmigt vom Ministerium für Höhere und Sekundarstufe
Sonderpädagogik der UdSSR
als Lehrmittel
für Studierende höherer technischer Bildungseinrichtungen
MOSKAU "NAUKA"
HAUPTAUSGABE
PHYSIKALISCHE UND MATHEMATISCHE L
1981
22.161.5
K78
UDC 517.531
Kras n o v M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I.
Funktionen einer komplexen Variablen. operationelles Kalkül. Das Ö-
Theorie der Nachhaltigkeit: Lernprogramm, 2. Aufl., überarbeitet. und zusätzlich -M.:
Die Wissenschaft. Hauptausgabe der physikalischen und mathematischen Literatur, 1981.
Wie andere Bücher der Reihe Ausgewählte Kapitel hoch-
Höhere Mathematik für Ingenieure und Studierende technischer Hochschulen“, dieses Buch
hauptsächlich für Studenten gedacht technische Universitäten, sondern
Es kann auch für einen Ingenieur nützlich sein, der wiederherstellen möchte
im Gedächtnis Abschnitte der Mathematik, die im Titel des Buches angegeben sind.
In dieser Ausgabe, verglichen mit der vorherigen, veröffentlicht in
1971 wurden die Absätze zu harmonischen Funktionen erweitert
Funktionen, Residuen und ihre Anwendungen zur Berechnung einiger Integrale
Integrale, konforme Abbildungen. Übungen wurden ebenfalls hinzugefügt.
theoretischer Charakter.
Zu Beginn jedes Abschnitts die notwendige Theorie
theoretische Informationen (Definitionen, Theoreme, Formeln) sowie Unter-
im Detail verstehen typische Aufgaben und Beispiele.
Das Buch enthält über 1000 Beispiele und Aufgaben zum Selbststudium.
unabhängige Entscheidung. Fast alle Aufgaben sind mit Antworten versehen, und zwar in einer Reihe
Fällen werden Anleitungen zur Lösung gegeben.
Reis. 71. Bibel. 19 Titel
„ 20203-107 ^ o_llll Glat:Tu.^^
K Aeo/loc Ql 23-81. 1702050000 physikalisch und mathematisch
053 @2)-81 Literatur, 1981
INHALTSVERZEICHNIS
Vorwort 5
Kapitel I. Funktionen einer komplexen Variablen 7
§ ZU Komplexe Zahlen und Aktionen darauf 7
§ 2. Funktionen einer komplexen Variablen. ... # ...", achtzehn
§ 3. Grenzwert einer Folge komplexer Zahlen. Grenze
und Kontinuität einer Funktion einer komplexen Variablen. . 25
§ 4. Differentiation von Funktionen einer komplexen Variablen
Variable. Cauchy-Riemann-Bedingungen # . t . , 32
§ 5. Integration von Funktionen einer komplexen Variablen. .42
§ 6. Cauchys Integralformel 50
§ 7. Reihen im komplexen Bereich, 56
§ 8. Nullstellen einer Funktion. Isolierte singuläre Punkte 72
| 9. Reste der Funktionen 79
§ 10. Cauchys Residuensatz. Anwendung von Abzügen auf Sie-
Berechnung bestimmte Integrale. Summierung von Nicht-
einige Reihen mit Hilfe von Residuen 85
§ 11. Logarithmischer Rest. Argumentationsprinzip. Satz
Eilen # . , # . 106
§ 12. Konforme Abbildungen 115
§ 13. Komplexes Potential. Es ist hydrodynamisch
bedeutet 142
Kapitel II. Operationskalkül 147
§ 14. Auffinden von Bildern und Originalen 147
§ 15. Lösung des Cauchy-Problems für gewöhnlich linear
Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Chancen 173
§ 16. Das Duhamel-Integral 185
§ 17. Lösung linearer Differentialgleichungssysteme
Gleichungen nach der Operationsmethode 188
§ 18. Lösung von Volterra-Integralgleichungen mit Kernen
besondere Art 192
§ 19. Verzögerungsdifferentialgleichungen
Streit. . . . a#198
§ 20. Lösung einiger Probleme Mathematische Physik. . , 201
Abschnitt 21. Diskrete Umwandlung Platz 204
Kapitel III. Theorie der Stabilität. , . 218
§ 22. Der Stabilitätsbegriff einer Lösung eines Differentialsystems
Differentialgleichung. Die einfachsten Arten von Ruhepunkten 218
4 INHALT
§ 23. Ljapunows zweite Methode 225
§ 24. Stabilitätsforschung in erster Näherung
Ansatz 229
§ 25. Asymptotische Stabilität im Großen. Nachhaltigkeit
nach Lagrange234
§ 26. Routh-Hurwitz-Kriterium. 237
§ 27. Geometrisches Stabilitätskriterium (Mi-
Michailow), . . , 240
§ 28. D-Partitionen 243
§ 29. Stabilität von Lösungen von Differenzengleichungen 250
Antworten 259
Anlage 300
Literatur 303
VORWORT
In dieser Ausgabe wurde der gesamte Text überarbeitet
und einige Ergänzungen vorgenommen. Erweiterter Abschnitt gewidmet
der Rückstandstheorie und ihren Anwendungen gewidmet (insbesondere
führte das Konzept des Rests in Bezug auf unendlich weit entfernt ein
entfernter Punkt, die Anwendung von Resten auf die Summierung von einigen
einige Zeilen). Die Anzahl der Aufgaben für die Verwendung von betriebsbereit
Operationskalkül zum Studium einiger spezieller
Sonderfunktionen (Gamma-Funktionen, Bessel-Funktionen etc.),
sowie die Anzahl der Aufgaben für das gegebene Funktionsbild
grafisch. Der Absatz gewidmet
speziell für konforme Abbildungen. Erhöhte Menge
im Text besprochene Beispiele. Behoben bemerkt
Ungenauigkeiten und Tippfehler; einige Aufgaben, die haben
Umständliche Lösungen werden durch einfachere ersetzt.
Bei der Vorbereitung der zweiten Auflage des Buches ein wesentliches
Unterstützung mit ihren Ratschlägen und Kommentaren wurde uns zur Verfügung gestellt von
Leiter der Fakultät für Mathematik, Moskauer Institut
Stahl und Legierungen Professor V. A. Trenogiy und außerordentlicher Professor dieser
Abteilung M. I. Orlov. Wir betrachten es als unsere angenehme Pflicht
ihnen unsere tiefe Dankbarkeit aussprechen.
Wir haben die Anmerkungen und Wünsche des Fachbereichs Angewandte berücksichtigt
Mathematiker des Kiewer Instituts für Bauingenieurwesen
(Leiter der Abteilung, außerordentlicher Professor A. E. Zhuravel) sowie
Kommentare der Genossen B. Tkachev (Krasnodar) und
B. L. Tsavo (Suchumi). Ihnen allen sprechen wir unsere aus
Dankbarkeit.
0 VORWORT
Wir danken den Professoren M. I. Vishik,
F. I. Karpelevich, A. F. Leontiev und S. I. Pokhozhaev
hinter ständige Aufmerksamkeit und Unterstützung für unsere Arbeit.
Alle Kommentare und Vorschläge zur Verbesserung des Problembuchs
wird mit Dankbarkeit entgegengenommen.
Die Autoren
KAPITEL I
FUNKTIONEN DES INTEGRIERTEN
VARIABLE
§ 1. Komplexe Zahlen und Aktionen darauf
Die komplexe Zahl r ist ein Ausdruck der Form
(algebraische Form einer komplexen Zahl), wobei x und y beliebige Aktionen sind
reelle Zahlen, a i ist eine imaginäre Einheit, die die Bedingung erfüllt
12 \u003d -1, Die Zahlen x und y heißen jeweils reell und
Imaginäre Teile einer komplexen Zahl
mit den Zahlen r und bezeichnet
Komplexe Zahl z=zx - iy
Konjugatkomplex genannt
komplexe Zahl r=n: + n/.
Komplexe Zahlen ch = Xj + iy%
und r2*= #2 + 4/2 werden als gleich angesehen
genau dann, wenn xr = x21
Komplexe Zahl 2 =
dargestellt im XOY-Flugzeug
Punkt M mit Koordinaten (dz, y)
oder ein Vektor, dessen Anfang Fig* *
ist am Punkt O @, 0), und das Ende
am Punkt M (x, y) (Abb. 1). Die Länge p des Vektors OM wird Modul genannt
komplexe Zahl und wird mit |r| bezeichnet, so dass p = | r\=Vx"2+y2>
Winkel f, durch Vektor gebildet OM mit der OX-Achse heißt Argument-
Argument der komplexen Zahl r und wird bezeichnet
nicht eindeutig, aber bis zu einem Term, der ein Vielfaches von 2n ist:
Arg2 = arg2 + 2bt (t = 0, ±1, ±2, ...),
wobei arg2 der Hauptwert von Arg2 ist, der durch die Bedingungen bestimmt wird
und
EIN)
arctg - wenn x *> 0,
jt -f *rctg - wenn x - i Jr arctg ■ wenn x i / 2, wenn x - 0, y > 0,
- i/2, wenn x r» 0, y 8 FUNKTIONEN EINER KOMPLEXEN VARIABLEN [CH. ich
Es finden folgende Beziehungen statt:
ig (Arg z) - ^~, Sünde (Arg z)
cos(Ar g) a
Zwei komplexe Zahlen r und r2 sind genau dann gleich, wenn
wenn ihre Module gleich sind und ihre Argumente entweder gleich oder verschieden sind
sich um ein Vielfaches von 2n unterscheiden:
(ë«0, ±lt ±2t .«.)
Seien zwei komplexe Zahlen zlwcl + ylt 22+y2
I. Die Summe zt + z2 der komplexen Zahlen r und r% ist der Komplex
komplexe Zahl
2. Die Differenz z^-z% der komplexen Zahlen zx und z2 heißt com-
komplexe Zahl
3. Das Produkt ztz2 der komplexen Zahlen z1 und z2 heißt Kom-
komplexe Zahl
Aus der Definition des Produkts komplexer Zahlen insbesondere
folgt dem
2
4. Private ~ von der Division der komplexen Zahl 2i durch den Komplex
Komplex
Eine komplexe Zahl rm > 0 ist eine komplexe Zahl r so dass
erfüllt die Gleichung
In diesem Fall wurde die Formel r^1 verwendet
Formel B) kann geschrieben werden als
v
Der Realteil von Re r und der Imaginärteil des Komplexes
Die Zahlen z werden in Form von konjugiert komplexen Zahlen wie folgt ausgedrückt:
auf die folgende Weise:
Beispiel 1. Zeigen Sie, dass zx -\~z2 == -i + 2.2.
Nachweisen. Per Definition haben wir
ij komplexe Zahlen und Operationen auf ihnen
1. Beweisen Sie die folgenden Beziehungen:
"/ ^1 - ^2 = ^1 - 2:2" Oj Z\Z% == ^i^2" B; [ - - J == - , D)
Beispiel 2. Finden gültige Lösungen Gleichungen
Entscheidung. Lassen Sie uns den realen Wert auf der linken Seite der Gleichung herausgreifen
und der Imaginärteil: (Ax+Sy) + iBdg-3#)= 13-+-*. Daher gem
Definition der Gleichheit zweier komplexer Zahlen erhalten wir
Lösung dieses Systems, finden wir
Finden Sie reelle Lösungen für Gleichungen:
2. (Zlg-1)B + 0 + (*-*Æ1+20 = 5 + 6*.
3. (x - iy) (a - ib) \u003d Ca, wobei i, b gegebene Aktionen sind
reelle Zahlen, \a\f\b\.
5. Stellen Sie die komplexe Zahl dar (aribp + (a _ .^t
in algebraischer Form.
6. Beweisen Sie, dass -- - ~*~iX = i (x ist reell).
x-iY 1 -\-x~
7. Drücken Sie x und y in Form von "u, wenn + q fa \u003d
= 1(n:, y, u, v sind reelle Zahlen).
8. Finde alle komplexen Zahlen zufriedenstellend
Bedingung 2 = z2.
Beispiel 3: Finde Modul und Argument einer komplexen Zahl
g * \u003d - Sünde - -icos-g-.
Entscheidung. Wir haben
= -sin-l o o
Der Hauptwert des Arguments nach A) wird sein
argz-- i + arctg/ctg-^j =. - i+ arctg J^tg \~ - -£jj -
, /. 3 \ ,3 5
\u003d - i + arctg ich tg d \u003d - ich + - ich \u003d - l.
\ GMBH
10 FUNKTIONEN EINER KOMPLEXEN VARIABLEN [CH. ich
Somit,
Argz "-~ i + 2&1 (t = 0, ±1, ±2, ...),
9. Suchen Sie in den folgenden Aufgaben das Modul und den Hauptwert
der Wert des Arguments komplexer Zahlen:
a) r-4 + 3/; b) z^~2 + 2V3i",
c) r = - 7 - i\ d) r = - cos | + ich sündige?-;
e) d == 4 - 3/; e) g \u003d cos a - t sin a
Jede komplexe Zahl z - x + iy (r^FO) kann in drei geschrieben werden
trigonometrische Form
Beispiel 4. Schreiben Sie den Komplex in trigonometrischer Form
Anzahl
Entscheidung. Wir haben
Somit,
Beispiel 5. Finden echte Wurzeln Gleichungen
cos; t ~ f / sin x r "- + x *
Entscheidung. Diese Gleichung hat keine Wurzeln. Tatsächlich,
diese Gleichung entspricht der folgenden: cos* = 1/2, sin* = 3/4. Von-
Die letzten Gleichungen sind inkonsistent, da cos2 x + sin2 x» 13/16, was
unmöglich für jeden Wert von x.
Jede komplexe Zahl g Ä 0 kann exponentiell geschrieben werden
form
*Ô wobei ð = |Ó|, cp=*Argz.
Beispiel 6. Finde alle komplexen Zahlen z^O befriedigend
die Bedingung 2n"" 1 erfüllen,
Entscheidung. Sei r =* re*F. Dann z "= re~(h>.
Je nach Zustand
oder
KOMPLEXE ZAHLEN UND AKTIONEN DARAUF II
£2l
woher pl-2=1, d.h. p=1, und tf = 2&i, d.h. 2, ..., l-1). Somit,
.2nk
n
(jfe "0, I, 2, ..., f-!).
10. Die folgenden komplexen Zahlen repräsentieren r drei-
trigonometrische Form:
a) -2; b) 21; in) -
d) 1-sina + icosa
D> l + cosa-i seit \ und e) -2; g) ich; h)-f; i) -1 -/
j) sin a - tcosa E Die komplexen Zahlen rx und r2 seien trigonometrisch gegeben
bilden r2 = px (cos f! + e sin fx), r2 = p2 (cos f2 + * sin f2).
Ihr Produkt wird durch die Formel gefunden
*i*2 ^ P1P2 Ic°s (Ф1 + Ф2) + i sin (Ф! + Ф2)],
dh wenn komplexe Zahlen multipliziert werden, werden ihre Moduli multipliziert,
und die Argumente ergänzen sich:
Arg (Z&) in Arg 2j + Arg r2.
Den Quotienten zweier komplexer Zahlen rx u2 ^ 0 findet man aber in der Formel
Formel
m-^mm lcos (v" *~ ^*) + f*sin (f1 "~ f2I"
r3 ra
d.h.
Erhöhen einer komplexen Zahl
r \u003d p (cos f + ich sin f)
in natürlichen Grad n ergibt sich aus der Formel
Zn - p "(cos u Jf. i sjn / xf) ^
d.h.
Hier kommt die Formel von De Moivre her.
(cos f + ich sin f)l \u003d\u003d cos Lf + ich sin / gf.
12 FUNKTIONEN EINER KOMPLEXEN VARIABLEN [CH. ein
Eigenschaften des komplexen Zahlenmoduls
1. |*|H*|; 2- "-|z|";
3. |*Al-|*il!*ir." 4. \r*\^\r\"\
5.
H
6.
7.
8. H*il4*ilKI*i*f|.
Beispiel 7. Berechnen Sie (- 1 +1 Kz) §v.
Entscheidung. Lassen Sie uns die Zahl r \u003d -1 -f - * Yb trigonometrisch darstellen
trigonometrische Form
-I _) - / Kz \u003d 2 (coe -§- n + | sin ~~ "V
Funktionen einer komplexen Variablen. Aufgaben und Beispiele mit detaillierte Entscheidungen. Krasnov M.I., Kiselev A.I., Makarenko G.I.
3. Aufl., rev. - M.: 2003. - 208 S.
In diesem Tutorial schlagen die Autoren Aufgaben zu den Hauptabschnitten der Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen vor. Zu Beginn jedes Abschnitts werden die notwendigen theoretischen Informationen (Definitionen, Theoreme, Formeln) gegeben und etwa 150 typische Probleme und Beispiele ausführlich analysiert.
Das Buch enthält über 500 Aufgaben und Beispiele zur Selbstlösung. Fast alle Aufgaben sind mit Antworten versehen, teilweise werden Anleitungen zur Lösung gegeben.
Das Buch richtet sich vor allem an Studenten technischer Hochschulen mit mathematischer Hintergrund, aber es kann auch für einen Ingenieur nützlich sein, der sich an Abschnitte der Mathematik erinnern möchte, die sich auf die Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen beziehen.
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INHALTSVERZEICHNIS
Kapitel 1 Komplexe Variablenfunktionen 3
§ 1. Komplexe Zahlen und Aktionen darauf 3
§ 2. Funktionen einer komplexen Variablen 14
§ 3. Grenzwert einer Folge komplexer Zahlen. Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion einer komplexen Variablen 22
§ 4, Differentiation von Funktionen einer komplexen Variablen. Cauchy-Riemann-Bedingungen 29
Kapitel 2. Integration. Reihen. Endlose Werke. 40
§ 5. Integration von Funktionen einer komplexen Variablen .... 40
§ 6. Cauchy-Integralformel 48
§ 7. Reihen im komplexen Bereich 53
§ 8. Unendliche Produkte und ihre Anwendung auf analytische Funktionen 70
1°. Endlose Werke 70
2°. Zerlegung einiger Funktionen in unendliche Produkte 75
Kapitel 3. Funktionsreste. . 78
§ 9. Nullstellen einer Funktion. Isolierte singuläre Punkte 78
1°. Funktion Nullen 78
2°. Isolierte singuläre Punkte 80
§ 10. Funktionsreste 85
§ 11. Cauchys Residuensatz. Anwendung von Residuen auf die Berechnung bestimmter Integrale. Summierung einiger rads unter Verwendung von Residuen .... 92
1°. Cauchy-Residuensatz 92
2°. Anwendung von Residuen zur Berechnung bestimmter Integrale 98
3°. Summierung einiger Reihen mit Hilfe von Residuen. . 109
§ 12. Logarithmischer Rest. Argumentationsprinzip. Satz von Rouche 113
Kapitel 4, Konforme Abbildungen. 123
§ 13. Konforme Abbildungen 123
1°. Das Konzept einer konformen Abbildung 123
1 2°. Allgemeine Sätze Theorie der konformen Abbildungen...125
3°. Konforme Abbildungen durchgeführt lineare Funktion w - az + b, Funktion w - \ und lineare Bruchfunktion w = ffjj . . 127
4°. Konforme Abbildungen, die von der Hauptleitung durchgeführt werden elementare Funktionen 138
§vierzehn. Polygontransformation. Christoffel-Schwartz-Integral. 150
Anhang 1 . . . . 159
§fünfzehn. Umfassendes Potenzial. Seine hydrodynamische Bedeutung. . 159
Anlage 2 164
Antworten .......... 186
| 1 | Operationskalkül | ||
| § ein. | Suche nach Bildern und Originalen | ||
| § 2. | Lösung des Cauchy-Problems für gewöhnliche lineare Differentialgleichungen mit konstante Koeffizienten | ||
| § 3. | Duhamel-Integral | ||
| § 4. | Lösung linearer Differentialgleichungssysteme nach der Operationalmethode | ||
| § 5. | Lösung von Volterra-Integralgleichungen mit Kernen einer speziellen Form | ||
| §6. | Verzögerungsdifferentialgleichungen | ||
| § 7. | Lösung einiger Probleme der mathematischen Physik | ||
| § acht. | Diskrete Laplace-Transformation | ||
| § neun. | Fourier-Transformation | ||
| 1. Lösung des Cauchy-Problems für die Wärmegleichung | |||
| 2. Das Cauchy-Problem für das Eindimensionale Wellengleichung | |||
| § zehn. | Kosinus- und Sinus-Fourier-Transformationen | ||
| § elf. | Verallgemeinerte Funktionen. Fourier-Transformation verallgemeinerter Funktionen | ||
| 2 | Theorie der Nachhaltigkeit | ||
| § 12. | Der Begriff der Stabilität der Lösung eines Systems von Differentialgleichungen. Die einfachsten Arten von Ruhepunkten | ||
| § dreizehn. | Lyapunovs zweite Methode | ||
| § vierzehn. | Stabilitätsstudie in erster Näherung | ||
| § fünfzehn. | Asymptotische Stabilität im Allgemeinen. Lagrange-Stabilität | ||
| § Sechszehn. | Routh-Hurwitz-Kriterium | ||
| § 17. | Geometrisches Stabilitätskriterium (Mikhailov-Kriterium) | ||
| § achtzehn. | D-Partitionen | ||
| Das Konzept von D- Partitionierung | |||
| § neunzehn. | |||
| 1o. | Lösung homogener linearer Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten | ||
| 2o. | Lösung inhomogener linearer Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten | ||
| 3o. | Stabilität von Lösungen von Differenzgleichungen | ||
| Antworten | |||
| Anhang | |||
Interessengebiet: Differentialgleichungen. Kiselev Alexander Iwanowitsch
Interessengebiet: Theorie der Funktionen. Makarenko Grigori Iwanowitsch
Interessengebiet: Differentialgleichungen. Shikin Evgeny Viktorovich
Region wissenschaftliche Interessen: Geometrische Methoden zum Studium von Differentialgleichungen, Berechnungsgeometrie, Computergrafik.
Vorlesungen lesen Lineare Algebra und analytische Geometrie", "Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen", "Das Problem der isometrischen Immersion und der Monge-Ampere-Gleichung", " Geometrische Splines", "Geometrische Methoden in Suchaufgaben", "Computergrafik".
Krasnow Michail Leontjewitsch
Kisseljow Alexander Iwanowitsch
Interessengebiete: Theorie der Funktionen.
Makarenko Grigorij Iwanowitsch
Interessengebiete: Differentialgleichungen.
Shikin Evgenij Viktorovich
Interessengebiete: Differentialgeometrie.
Funktionen einer komplexen Variablen. Komplexe Zahlen und Aktionen Abschnitt: Probleme und Lösungen für TViMS. Studienführer für. Abschnitt M der Theorie der Funktionen komplex-variabel. des Vektors OM heißt Modul der komplexen Zahl und wird mit bezeichnet. Variablen w und y. Bibliothek > Bücher zur Mathematik > Funktionen einer komplexen Variablen M.: IL, 1963 (djvu); Krasnov M.L. Kiselev A.I. Makarenko G.I. Funktionen. Titel: Funktionen einer komplexen Variablen: Probleme und Beispiele mit ausführlichen Lösungen.
Krasnov M.L., Kiselev A.I., Makarenko G.I. Funktionen einer komplexen Variablen. Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion einer komplexen Variablen. Antworten. Um diese Datei herunterzuladen, registrieren Sie sich und / oder. Krasnov M.L., Kiselev A.I., Makarenko G.I. Funktionen einer komplexen Variablen. operationelles Kalkül. Theorie der Stabilität.
Funktionen einer komplexen Variablen. Differentiation von Funktionen einer komplexen Variablen. Cauchy-Riemann-Bedingungen. Dieser Artikel eröffnet eine Reihe von Lektionen, in denen ich typische Probleme im Zusammenhang mit der Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen betrachte. Um die Beispiele erfolgreich zu meistern, müssen Sie Grundwissenüber komplexe zahlen. Um den Stoff zu festigen und zu wiederholen, genügt es, die Seite Komplexe Zahlen für Dummies zu besuchen.
Lösung der Funktion einer komplexen Variablen Krasnov Kiselev Makarenko
Sie benötigen auch Fähigkeiten, um partielle Ableitungen zweiter Ordnung zu finden. Hier sind sie, diese partiellen Ableitungen ... selbst jetzt war ich ein wenig überrascht, wie oft sie vorkommen .... Das Thema, das wir zu analysieren beginnen, ist nicht besonders schwierig, und in den Funktionen einer komplexen Variablen ist im Prinzip alles klar und zugänglich. Hauptsache man hält sich an die von mir empirisch hergeleitete Grundregel. Weiter lesen.
Lösung der Funktion einer komplexen Variablen Krasnov Kiselev Makarenko 1981
Das Konzept einer Funktion einer komplexen Variablen. Frischen wir zunächst unser Wissen über auf Schulfunktion eine Variable: Eine Funktion einer Variablen ist eine Regel, nach der jeder Wert der unabhängigen Variablen (aus dem Definitionsbereich) genau einem Wert der Funktion entspricht. Natürlich sind "x" und "y" reelle Zahlen. Im komplexen Fall ist die funktionale Abhängigkeit genauso gegeben: Eine eindeutige Funktion einer komplexen Variablen ist eine Regel, nach der jeder komplexe Wert der unabhängigen Variablen (aus dem Definitionsbereich) genau einem komplexen Wert der Funktion entspricht.
Theoretisch werden auch mehrwertige und einige andere Arten von Funktionen betrachtet, aber der Einfachheit halber werde ich mich auf eine Definition konzentrieren. Welche Funktion hat eine komplexe Variable?
Der Hauptunterschied besteht darin, dass Zahlen komplex sind. Ich bin nicht ironisch. Von solchen Fragen fallen sie oft in eine Benommenheit, am Ende des Artikels werde ich eine coole Geschichte erzählen. In der Lektion Komplexe Zahlen für Dummies haben wir eine komplexe Zahl in der Form betrachtet. Denn nun ist aus dem Buchstaben „Z“ eine Variable geworden. dann bezeichnen wir es wie folgt: , während „x“ und „y“ unterschiedliche reelle Werte annehmen können.
Grob gesagt hängt die Funktion einer komplexen Variablen von den Variablen und ab, die "übliche" Werte annehmen. Aus dieser Fakt folgt logisch nächstes Objekt:. Real- und Imaginärteil einer Funktion einer komplexen Variablen. Die Funktion einer komplexen Variablen kann wie folgt geschrieben werden:
Wobei und zwei Funktionen zweier reeller Variablen sind. Die Funktion heißt Realteil der Funktion. Die Funktion heißt Imaginärteil der Funktion. Das heißt, die Funktion einer komplexen Variablen hängt von zweien ab echte Funktionen und.
Um alles abschließend zu verdeutlichen, schauen wir uns praktische Beispiele an: Finden Sie den Real- und Imaginärteil der Funktion. Lösung: Die unabhängige Variable "z" wird, wie Sie sich erinnern, in der Form geschrieben, also:. (1)B ursprüngliche Funktion gerahmt. (2) Für den ersten Term wurde die abgekürzte Multiplikationsformel verwendet.
Bei der Laufzeit wurden die Klammern geöffnet. (3) Sorgfältig quadriert, das nicht vergessen. (4) Umordnung von Termen: Zuerst schreiben wir Terme um, wo es keine imaginäre Einheit gibt (erste Gruppe), dann Terme, wo es eine gibt (zweite Gruppe). Es sollte beachtet werden, dass es nicht notwendig ist, die Begriffe und zu mischen diese Phase kann übersprungen werden (eigentlich macht man es verbal). (5) Die zweite Gruppe ist aus Klammern herausgenommen.
Als Ergebnis wurde unsere Funktion im Formular dargestellt. ist der Realteil der Funktion. ist der Imaginärteil der Funktion.
Was sind diese Funktionen? Die gewöhnlichsten Funktionen zweier Variablen, aus denen solche populären partiellen Ableitungen gefunden werden können. Ohne Gnade - wir werden finden. Aber etwas später.
Kurz gesagt lässt sich der Algorithmus des gelösten Problems wie folgt schreiben: Wir setzen in die ursprüngliche Funktion ein, führen Vereinfachungen durch und teilen alle Terme in zwei Gruppen – ohne imaginäre Einheit (Realteil) und mit imaginärer Einheit (Imaginärteil). Finden Sie den Real- und Imaginärteil der Funktion. Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel.
Bevor Sie sich in der komplexen Ebene mit Zugluft in die Schlacht stürzen, lassen Sie mich Ihnen das Beste geben wichtiger Rat Zu diesem Thema:. SEIEN SIE AUFMERKSAM! Sie müssen natürlich überall vorsichtig sein, aber bei komplexen Zahlen sollten Sie mehr denn je vorsichtig sein! Denken Sie daran, dass Sie die Klammern vorsichtig erweitern und nichts verlieren. Nach meinen Beobachtungen ist der häufigste Fehler der Zeichenverlust. Beeil dich nicht.
Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Um das Leben einfacher zu machen, achten wir auf ein Paar nützliche Formeln. In Beispiel 1 wurde festgestellt, dass. Jetzt Würfel. Unter Verwendung der abgekürzten Multiplikationsformel leiten wir ab:
Cauchy-Riemann-Bedingungen. Ich habe zwei Neuigkeiten: gute und schlechte. Ich beginne mit einem guten. Für eine Funktion einer komplexen Variablen gelten die Ableitungsregeln und die Ableitungstabelle elementarer Funktionen.
Die Ableitung erfolgt also genauso wie bei einer Funktion einer reellen Variablen. Die schlechte Nachricht ist, dass es für viele Funktionen einer komplexen Variablen überhaupt keine Ableitung gibt und man herausfinden muss, ob eine bestimmte Funktion differenzierbar ist.
Und „herauszufinden“, wie sich Ihr Herz anfühlt, ist mit zusätzlichen Problemen verbunden. Betrachten Sie eine Funktion einer komplexen Variablen. Damit diese Funktion differenzierbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass: 1) Dass es partielle Ableitungen erster Ordnung gibt.
Vergessen Sie diese Notationen sofort, da in der Theorie der Funktion einer komplexen Variablen traditionell eine andere Version der Notation verwendet wird:. 2) Zur Erfüllung der sogenannten Cauchy-Riemann-Bedingungen:. Nur in diesem Fall existiert die Ableitung. Bestimmen Sie den Real- und den Imaginärteil der Funktion. Überprüfen Sie die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen.
Wenn die Cauchy-Riemann-Bedingungen erfüllt sind, bestimmen Sie die Ableitung der Funktion. Die Lösung wird in drei Teile zerlegt aufeinanderfolgende Stufen:. 1) Finden Sie den Real- und Imaginärteil der Funktion. Diese Aufgabe wurde in den vorherigen Beispielen analysiert, daher schreibe ich sie kommentarlos auf:
Auf diese Weise:. ist der Realteil der Funktion; ist der Imaginärteil der Funktion. Ich werde auf einen weiteren technischen Punkt eingehen: In welcher Reihenfolge sollten die Terme im Real- und Imaginärteil geschrieben werden? Ja, im Grunde ist es egal. Der Realteil kann zum Beispiel so geschrieben werden: , und der Imaginärteil so:. 3) Prüfen wir die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen. Es gibt zwei davon.
Beginnen wir mit der Überprüfung des Zustands. Wir finden partielle Ableitungen:. Somit ist die Bedingung erfüllt. Die gute Nachricht ist zweifellos, dass partielle Ableitungen fast immer sehr einfach sind. Wir prüfen die Erfüllung der zweiten Bedingung: Es stellte sich heraus, das gleiche, aber mit entgegengesetzte Vorzeichen, das heißt, die Bedingung ist ebenfalls erfüllt.
Die Cauchy-Riemann-Bedingungen sind erfüllt, also ist die Funktion differenzierbar. 3) Finden Sie die Ableitung der Funktion. Die Ableitung ist auch sehr einfach und kann aus gefunden werden üblichen Regeln:. Die imaginäre Einheit beim Differenzieren wird als Konstante betrachtet. Antwort: - Realteil, - Imaginärteil. Die Cauchy-Riemann-Bedingungen sind erfüllt. Es gibt zwei weitere Möglichkeiten, die Ableitung zu finden, sie werden natürlich seltener verwendet, aber die Informationen werden für das Verständnis der zweiten Lektion nützlich sein - Wie man die Funktion einer komplexen Variablen findet.
Die Ableitung kann mit der Formel gefunden werden: BEIM dieser Fall:. Ausgewählt sein umgekehrtes Problem- im resultierenden Ausdruck müssen Sie isolieren.
Dazu ist es notwendig, in den Begriffen und aus den Klammern zu nehmen:. umgekehrte Aktion, wie viele bemerkt haben, ist es etwas schwieriger durchzuführen, zur Überprüfung ist es immer besser, einen Ausdruck zu nehmen und auf einem Entwurf oder mündlich die Klammern zu öffnen, um sicherzustellen, dass es genau ausfällt. Spiegelformel zum Auffinden der Ableitung:. In diesem Fall: , also:. Bestimmen Sie den Real- und den Imaginärteil der Funktion.
Überprüfen Sie die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen. Wenn die Cauchy-Riemann-Bedingungen erfüllt sind, bestimmen Sie die Ableitung der Funktion. Schnelle Lösung und ein ungefähres Beispiel für den Abschluss am Ende der Lektion. Sind die Cauchy-Riemann-Bedingungen immer erfüllt? Theoretisch werden sie häufiger nicht erfüllt als sie sind. Aber in praktische Beispiele Ich erinnere mich an keinen Fall, in dem sie nicht erfüllt waren =) Wenn also Ihre partiellen Ableitungen „nicht konvergiert haben“, können wir mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit sagen, dass Sie irgendwo einen Fehler gemacht haben. Lassen Sie uns unsere Funktionen verkomplizieren: Bestimmen Sie den Real- und den Imaginärteil der Funktion.
Überprüfen Sie die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen. Berechnung. Lösung: Der Lösungsalgorithmus bleibt vollständig erhalten, aber am Ende kommt eine neue Modeerscheinung hinzu: das Finden der Ableitung an einem Punkt. für Würfel gewünschte Formel bereits veröffentlicht: Lassen Sie uns den Real- und Imaginärteil dieser Funktion definieren: Achtung und nochmals Achtung. Auf diese Weise:.
ist der Realteil der Funktion; ist der Imaginärteil der Funktion. Überprüfen wir die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen:. Überprüfung der zweiten Bedingung:. Es stellte sich das gleiche heraus, aber mit entgegengesetzten Vorzeichen, das heißt, die Bedingung ist auch erfüllt. Die Cauchy-Riemann-Bedingungen sind erfüllt, also ist die Funktion differenzierbar:.
Berechnen Sie den Wert der Ableitung an der gewünschten Stelle:. Antwort: , die Cauchy-Riemann-Bedingungen sind erfüllt. Funktionen mit Würfeln sind üblich, also ein Beispiel zum Fixieren:. Bestimmen Sie den Real- und den Imaginärteil der Funktion.
Überprüfen Sie die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen. Berechnung.
Entscheidung und Musterabschluss am Ende der Unterrichtsstunde. In der Theorie der komplexen Analysis werden auch andere Funktionen eines komplexen Arguments definiert: Exponential, Sinus, Cosinus usw. Diese Funktionen haben ungewöhnliche und sogar bizarre Eigenschaften – und das ist wirklich interessant! Ich möchte es Ihnen wirklich sagen, aber hier ist es einfach so, kein Nachschlagewerk oder Lehrbuch, sondern eine Lösung, also werde ich dieselbe Aufgabe mit einigen gemeinsamen Funktionen betrachten. Zunächst zu den sogenannten Euler-Formeln:
Euler-Formeln. Für jeden reelle Zahl Es gelten folgende Formeln: Sie können es auch als Referenz in Ihr Notizbuch kopieren.
Genau genommen gibt es nur eine Formel, aber normalerweise schreiben sie der Einfachheit halber auch besonderer Fall mit Minuszeichen. Der Parameter muss kein einzelner Buchstabe sein, es kann ein komplexer Ausdruck oder eine Funktion sein, wichtig ist nur, dass sie nur echte Werte annehmen. Eigentlich werden wir es gleich sehen: Bestimmen Sie den Real- und den Imaginärteil der Funktion. Überprüfen Sie die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen. Derivat finden.
Lösung: Die Generallinie der Partei bleibt unerschütterlich – es ist notwendig, Real- und Imaginärteil der Funktion zu trennen. Ich werde eine detaillierte Lösung geben und jeden Schritt unten kommentieren: Seit damals: (1) Ersetzen Sie "z". (2) Nach der Substitution müssen Real- und Imaginärteil zunächst im Exponenten getrennt werden. Öffnen Sie dazu die Klammern. (3) Wir gruppieren den imaginären Teil des Indikators und setzen die imaginäre Einheit aus Klammern.
(4) Schulaktion mit Kräften nutzen. (5) Für den Multiplikator verwenden wir die Euler-Formel, während. (6) Erweitern Sie die Klammern, als Ergebnis:. ist der Realteil der Funktion; ist der Imaginärteil der Funktion. Weitere Maßnahmen Standard sind, prüfen wir die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen:. Teilableitungen sind wieder nicht sehr kompliziert, aber für jeden Feuerwehrmann malte er sie so detailliert wie möglich.
Prüfen wir die zweite Bedingung: Die Cauchy-Riemann-Bedingungen sind erfüllt, wir finden die Ableitung:. Antwort: , die Cauchy-Riemann-Bedingungen sind erfüllt. Für die zweite Euler-Formel lautet die Aufgabe für eine unabhängige Lösung: Bestimmen Sie den Real- und den Imaginärteil der Funktion. Überprüfen Sie die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen, finden Sie die Ableitung.
Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion. ! Beachtung! Das Minuszeichen in Eulers Formel bezieht sich also auf den Imaginärteil. Minus kann man nicht verlieren. Direkt aus den Eulerschen Formeln kann man die Formel für die Zerlegung von Sinus und Cosinus in Real- und Imaginärteil ableiten. Der Schluss selbst ist eher langweilig, hier steht er übrigens in meinem Lehrbuch vor meinen Augen (Bohan, Mathematische Analyse, Band 2). Daher werde ich sofort fertiges Ergebnis, was wiederum nützlich ist, um es in Ihr Nachschlagewerk umzuschreiben:.
Die Parameter „Alpha“ und „Beta“ nehmen nur reale Werte an, die sie auch sein können komplexe Ausdrücke, Funktionen einer reellen Variablen. Darüber hinaus zeichnete die Formel hyperbolische Funktionen, wenn sie differenziert werden, gehen sie ineinander über, es ist kein Zufall, dass ich sie in die Tabelle der Ableitungen aufgenommen habe. Bestimmen Sie den Real- und den Imaginärteil der Funktion. Überprüfen Sie die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen. Also sei es, wir werden die Ableitung nicht finden.
Lösung: Der Lösungsalgorithmus ist den beiden vorherigen Beispielen sehr ähnlich, aber es gibt sehr viele wichtige Punkte, Deshalb Erste Stufe Ich werde Schritt für Schritt noch einmal kommentieren: Seit damals: 1) Wir ersetzen statt "z". (2) Wählen Sie zuerst den Real- und den Imaginärteil innerhalb des Sinus aus. Öffnen Sie dazu die Klammern. (3) Wir verwenden in diesem Fall die Formel.
(4) Wir verwenden die Parität des hyperbolischen Kosinus. und die Seltsamkeit des hyperbolischen Sinus.
Übertreibungen sind zwar nicht von dieser Welt, aber in vielerlei Hinsicht ähnlich trigonometrische Funktionen. ist der Realteil der Funktion; ist der Imaginärteil der Funktion.
Beachtung! Das Minuszeichen bezieht sich auf den Imaginärteil, den wir auf keinen Fall verlieren sollten! Zur visuellen Veranschaulichung kann das oben erhaltene Ergebnis wie folgt umgeschrieben werden: Überprüfen wir die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen:. Die Cauchy-Riemann-Bedingungen sind erfüllt. Antwort: , die Cauchy-Riemann-Bedingungen sind erfüllt.
Mit Cosinus, meine Damen und Herren, beschäftigen wir uns selbst: Bestimmen Sie den Real- und den Imaginärteil der Funktion. Überprüfen Sie die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen. Ich habe bewusst kompliziertere Beispiele aufgegriffen, weil jeder mit so etwas wie geschälten Erdnüssen umgehen kann. Gleichzeitig trainieren Sie Ihre Aufmerksamkeit! Nussknacker am Ende der Lektion.
Nun, zum Schluss werde ich noch eins in Betracht ziehen interessantes Beispiel, Wenn komplexe Argumentation steht im Nenner. Wir haben uns ein paar Mal in der Praxis getroffen, lassen Sie uns etwas Einfaches analysieren. Ach ich werde alt... Bestimmen Sie den Real- und den Imaginärteil der Funktion.
Überprüfen Sie die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen. Lösung: Auch hier ist es notwendig, Real- und Imaginärteil der Funktion zu trennen. Es stellt sich die Frage, was zu tun ist, wenn „Z“ im Nenner steht. Alles ist einfach - es wird helfen Standard-Empfang Zähler und Nenner mit dem konjugierten Ausdruck multiplizieren. es wurde bereits in den Beispielen der Lektion Komplexe Zahlen für Dummies verwendet. Wir erinnern Schulformel. Wir haben bereits im Nenner, also wird es ein konjugierter Ausdruck sein.
Daher müssen Sie Zähler und Nenner multiplizieren mit:. Das ist alles, und du hattest Angst: ist der Realteil der Funktion; ist der Imaginärteil der Funktion. Ich wiederhole zum dritten Mal - verliere nicht das Minus des Imaginärteils. Überprüfen wir die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen.
Ich muss sagen, die partiellen Ableitungen hier sind nicht so oh-hoo, aber nicht vom einfachsten:. Die Cauchy-Riemann-Bedingungen sind erfüllt. Antwort: , die Cauchy-Riemann-Bedingungen sind erfüllt. Als Epilog Kurzgeschichteüber Benommenheit oder darüber, welche Lehrerfragen am schwierigsten sind. Die meisten Schwere Fragen Seltsamerweise sind dies Fragen mit offensichtlichen Antworten.
Und die Geschichte ist folgende: Eine Person macht eine Prüfung in Algebra, das Thema des Tickets lautet „Korollar zum Fundamentalsatz der Algebra“. Der Prüfer hört zu, hört zu und fragt dann plötzlich: „Woher kommt das?“. Hier war es ein Stupor, also ein Stupor. Das ganze Publikum flippte schon aus, aber der Student sagte nicht die richtige Antwort: „aus dem Fundamentalsatz der Algebra“.
Ich erinnere mich an Geschichte und persönliche Erfahrung, ich passiere Physik, etwas über den Druck einer Flüssigkeit, an das ich mich nicht mehr erinnere, aber die Zeichnung ist mir für immer in Erinnerung geblieben - ein gekrümmtes Rohr, durch das Flüssigkeit floss. Ich habe das Ticket mit „sehr gut“ beantwortet und auch ich selbst habe verstanden, was ich geantwortet habe. Und schließlich fragt der Lehrer: „Wo ist hier die Stromröhre?“.
Ich habe diese Zeichnung mit einem gebogenen Rohr etwa fünf Minuten lang gedreht und gewendet, die wildesten Versionen ausgedrückt, das Rohr gesägt, einige Vorsprünge gezeichnet. Und die Antwort war einfach, die aktuelle Röhre ist die ganze Röhre. Wir haben gut entladen, wir sehen uns in der Lektion Wie finde ich die Funktion einer komplexen Variablen? Es gibt ein umgekehrtes Problem.
Manchmal ist das Offensichtliche das Schwierigste, ich wünsche allen, dass sie nicht langsamer werden. Lösungen und Antworten:.
Beispiel 2: Lösung: weil, dann:. Antwort: - Realteil, - Imaginärteil. Beispiel 4: Lösung: Seitdem, dann:. Auf diese Weise:. ist der Realteil der Funktion;
ist der Imaginärteil der Funktion. Prüfen wir die Erfüllung der Cauchy-Riemannschen Bedingungen:. Die Bedingung ist erfüllt. Die Bedingung ist auch erfüllt. Die Cauchy-Riemann-Bedingungen sind erfüllt, wir finden die Ableitung:. Antwort: - Realteil, - Imaginärteil. Die Cauchy-Riemann-Bedingungen sind erfüllt.
Beispiel 6: Lösung: Bestimme Real- und Imaginärteil dieser Funktion. Auf diese Weise:. ist der Realteil der Funktion; ist der Imaginärteil der Funktion. Überprüfen wir die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen:. Die Cauchy-Riemann-Bedingungen sind erfüllt. Antwort: , die Cauchy-Riemann-Bedingungen sind erfüllt.
Beispiel 8: Lösung: Seitdem, dann:. Auf diese Weise:. ist der Realteil der Funktion;
ist der Imaginärteil der Funktion. Überprüfen wir die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen:. Die Cauchy-Riemann-Bedingungen sind erfüllt, wir finden die Ableitung:. Antwort: , die Cauchy-Riemann-Bedingungen sind erfüllt. Beispiel 10: Lösung: Seitdem, dann:. Auf diese Weise:. ist der Realteil der Funktion;
ist der Imaginärteil der Funktion. Überprüfen wir die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen:. Die Cauchy-Riemann-Bedingungen sind erfüllt. Antwort: , die Cauchy-Riemann-Bedingungen sind erfüllt.
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Komplexe Variablenfunktionen
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