Arithmetische und geometrische Progressionen
Theoretische Informationen
Theoretische Informationen
Arithmetische Progression |
Geometrischer Verlauf |
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Definition |
Arithmetische Progression ein Es wird eine Sequenz aufgerufen, bei der jedes Mitglied, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen Mitglied ist, das mit derselben Nummer hinzugefügt wird d (d- Progressionsdifferenz) |
geometrischer Verlauf b n Es wird eine Folge von Nicht-Null-Zahlen aufgerufen, von denen jeder Term, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen Term ist, multipliziert mit derselben Zahl q (q- Nenner der Progression) |
Wiederkehrende Formel |
Für alle natürlichen n |
Für alle natürlichen n |
n-te Termformel |
ein n = ein 1 + d (n - 1) |
b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| charakteristische Eigenschaft |  |
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| Summe der ersten n Terme |  |
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Beispiele für Aufgaben mit Kommentaren
Übung 1
In arithmetischer Folge ( ein) eine 1 = -6, eine 2
Nach der Formel des n-ten Terms:
eine 22 = eine 1+ d (22 - 1) = eine 1+ 21d
Nach Bedingung:
eine 1= -6, also eine 22= -6 + 21d.
Es ist notwendig, den Unterschied der Progressionen zu finden:
d= eine 2 – eine 1 = -8 – (-6) = -2
eine 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Antworten : eine 22 = -48.
Aufgabe 2
Finden Sie den fünften Term der geometrischen Folge: -3; 6; ....
1. Weg (unter Verwendung der n-Term-Formel)
Nach der Formel des n-ten Gliedes einer geometrischen Folge:
b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Als b 1 = -3,
2. Weg (mit rekursiver Formel)
Da der Nenner der Progression -2 ist (q = -2), dann:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Antworten : b 5 = -48.
Aufgabe 3
In arithmetischer Folge ( ein n) ein 74 = 34; eine 76= 156. Finde den fünfundsiebzigsten Term dieser Progression.
Für eine arithmetische Folge hat die charakteristische Eigenschaft die Form 
.
Deswegen:
.
Ersetzen Sie die Daten in der Formel:
Antwort: 95.
Aufgabe 4
In arithmetischer Folge ( ein n) ein n= 3n - 4. Finde die Summe der ersten siebzehn Terme.
Um die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge zu finden, werden zwei Formeln verwendet:
.
Welches drin dieser Fall bequemer zu bedienen?
Durch die Bedingung ist die Formel des n-ten Mitglieds der ursprünglichen Progression bekannt ( ein) ein= 3n - 4. Kann sofort gefunden werden und eine 1, und eine 16 ohne d zu finden. Daher verwenden wir die erste Formel.
Antwort: 368.
Aufgabe 5
In arithmetischer Progression ein) eine 1 = -6; eine 2= -8. Finden Sie den zweiundzwanzigsten Term der Progression.
Nach der Formel des n-ten Terms:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = eine 1+ 21d.
Nach Bedingung, wenn eine 1= -6, dann eine 22= -6 + 21d. Es ist notwendig, den Unterschied der Progressionen zu finden:
d= eine 2 – eine 1 = -8 – (-6) = -2
eine 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Antworten : eine 22 = -48.
Aufgabe 6
Mehrere aufeinanderfolgende Terme einer geometrischen Progression werden aufgezeichnet:
Finden Sie den Term der Progression, gekennzeichnet durch den Buchstaben x .
Beim Lösen verwenden wir die Formel für den n-ten Term b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 für geometrische Verläufe. Das erste Mitglied der Progression. Um den Nenner der Progression q zu finden, müssen Sie einen dieser Terme der Progression nehmen und durch den vorherigen dividieren. In unserem Beispiel kannst du nehmen und durch dividieren. Wir erhalten das q \u003d 3. Anstelle von n ersetzen wir 3 in der Formel, da der dritte Term einer bestimmten geometrischen Folge gefunden werden muss.
Setzen wir die gefundenen Werte in die Formel ein, erhalten wir:
.
Antworten : .
Aufgabe 7
Aus arithmetischen Progressionen, durch die Formel gegeben n-ten Begriff, wählen Sie denjenigen aus, für den die Bedingung erfüllt ist eine 27 > 9:
Da die angegebene Bedingung für den 27. Term der Progression erfüllt sein muss, setzen wir in jeder der vier Progressionen 27 anstelle von n ein. In der 4. Progression erhalten wir:
.
Antwort: 4.
Aufgabe 8
In arithmetischer Progression eine 1= 3, d = -1,5. Angeben Höchster Wert n , für die die Ungleichung ein > -6.
Viele haben von einer arithmetischen Folge gehört, aber nicht jeder weiß genau, was das ist. In diesem Artikel geben wir eine angemessene Definition, gehen auch auf die Frage ein, wie man den Unterschied einer arithmetischen Folge findet, und geben eine Reihe von Beispielen.
Mathematische Definition
Also wenn wir redenüber eine arithmetische oder algebraische Folge (diese Begriffe definieren dasselbe), dann bedeutet dies, dass es welche gibt Zahlenreihe befriedigend nächstes Gesetz: Alle zwei benachbarten Zahlen in der Reihe unterscheiden sich um den gleichen Betrag. Mathematisch schreibt man das so:
Hier bedeutet n die Nummer des Elements a n in der Folge, und die Nummer d ist die Differenz der Progression (ihr Name folgt aus der vorgestellten Formel).
Was bedeutet es, den Unterschied d zu kennen? Darüber, wie weit benachbarte Zahlen voneinander entfernt sind. Allerdings ist die Kenntnis von d notwendig, aber nicht ausreichender Zustand um den gesamten Verlauf zu bestimmen (wiederherzustellen). Sie müssen eine weitere Zahl kennen, die absolut jedes Element der betrachteten Reihe sein kann, zum Beispiel eine 4, a10, aber in der Regel wird die erste Zahl verwendet, dh eine 1.
Formeln zur Bestimmung der Elemente der Progression
Im Allgemeinen reichen die obigen Informationen bereits aus, um zur Lösung zu gelangen spezifische Aufgaben. Bevor jedoch eine arithmetische Progression angegeben wird und es notwendig sein wird, ihren Unterschied zu finden, stellen wir ein Paar vor nützliche Formeln, wodurch der nachfolgende Prozess der Problemlösung erleichtert wird.
Es ist leicht zu zeigen, dass jedes Element der Folge mit der Nummer n wie folgt gefunden werden kann:
ein n \u003d ein 1 + (n - 1) * d
Tatsächlich kann jeder diese Formel mit einer einfachen Aufzählung überprüfen: Setzt man n = 1 ein, erhält man das erste Element, setzt man n = 2 ein, ergibt der Ausdruck die Summe aus der ersten Zahl und der Differenz, und so weiter .
Die Bedingungen vieler Probleme sind so zusammengestellt, dass für ein bekanntes Zahlenpaar, dessen Zahlen auch in der Folge angegeben sind, die Wiederherstellung der gesamten Zahlenreihe (Finden der Differenz und des ersten Elements) erforderlich ist. Jetzt werden wir dieses Problem allgemein lösen.
Nehmen wir also an, wir bekommen zwei Elemente mit den Nummern n und m. Mit der oben erhaltenen Formel können wir ein System aus zwei Gleichungen zusammenstellen:
ein n \u003d ein 1 + (n - 1) * d;
ein m = ein 1 + (m - 1) * d
Zur Findung unbekannte Mengen verwenden wir das altbekannte einfacher Trick Lösungen eines solchen Systems: Wir subtrahieren paarweise den linken und den rechten Teil, während die Gleichheit gilt. Wir haben:
ein n \u003d ein 1 + (n - 1) * d;
ein n - ein m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)
Somit haben wir eine Unbekannte (a 1) eliminiert. Jetzt können wir den letzten Ausdruck zur Bestimmung von d schreiben:
d = (a n - a m) / (n - m), wobei n > m
Wir haben sehr erhalten eine einfache Formel: Um die Differenz d gemäß den Bedingungen des Problems zu berechnen, muss nur das Verhältnis der Differenzen der Elemente selbst und ihrer Seriennummern genommen werden. Sollte sich auf einen konzentrieren wichtiger Punkt Achtung: die Unterschiede werden zwischen den "Senior"- und "Junior"-Mitgliedern genommen, das heißt, n > m ("Senior" - was weiter vom Anfang der Sequenz steht, sein absoluter Wert kann entweder größer oder kleiner als das "jüngere" Element sein).
Der Ausdruck für die Differenz d der Progression sollte zu Beginn der Lösung des Problems in eine der Gleichungen eingesetzt werden, um den Wert des ersten Terms zu erhalten.
In unserem Zeitalter der Entwicklung Computertechnologie viele schüler versuchen im internet lösungen für ihre aufgaben zu finden, daher stellen sich oft fragen dieser art: den unterschied einer arithmetischen fortfolge online finden. Bei einer solchen Anfrage zeigt die Suchmaschine eine Reihe von Webseiten an, auf denen Sie die aus der Bedingung bekannten Daten eingeben müssen (es können entweder zwei Mitglieder der Progression oder die Summe einiger von ihnen sein). und sofort eine Antwort bekommen. Dennoch ist ein solcher Ansatz zur Lösung des Problems im Hinblick auf die Entwicklung des Schülers und das Verständnis des Wesens der ihm übertragenen Aufgabe unproduktiv.
Lösung ohne Formeln
Lassen Sie uns das erste Problem lösen, wobei wir keine der obigen Formeln verwenden werden. Seien die Elemente der Reihe gegeben: a6 = 3, a9 = 18. Finde die Differenz der arithmetischen Folge.
Bekannte Elemente stehen dicht nebeneinander in einer Reihe. Wie oft muss die Differenz d zur kleinsten addiert werden, um die größte zu erhalten? Dreimal (beim ersten Hinzufügen von d erhalten wir das 7. Element, beim zweiten Mal - das achte, schließlich beim dritten Mal - das neunte). Welche Zahl muss dreimal zu drei addiert werden, um 18 zu erhalten? Das ist die Nummer fünf. Wirklich:
Somit ist die unbekannte Differenz d = 5.
Natürlich könnte die Lösung mit der entsprechenden Formel erfolgen, aber dies wurde nicht absichtlich getan. Ausführliche Erklärung Problemlösung sollte klar sein und ein Paradebeispiel, was arithmetische Progression.
Eine ähnliche Aufgabe wie die vorherige
Jetzt entscheiden wir uns ähnliche Aufgabe, aber ändern Sie die Eingabedaten. Sie sollten also finden, wenn a3 = 2, a9 = 19.
Natürlich können Sie wieder auf die Lösungsmethode "auf der Stirn" zurückgreifen. Da aber die Elemente der Reihe gegeben sind, die relativ weit voneinander entfernt sind, wird ein solches Verfahren nicht sehr bequem. Aber die Verwendung der resultierenden Formel führt uns schnell zur Antwort:
d \u003d (ein 9 - ein 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2,83
Hier haben wir die Endzahl gerundet. Wie sehr diese Rundung zu einem Fehler geführt hat, lässt sich anhand des Ergebnisses beurteilen:
ein 9 \u003d ein 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98
Dieses Ergebnis weicht nur um 0,1 % von dem in der Bedingung angegebenen Wert ab. Daher kann die gewohnte Rundung auf Hundertstel berücksichtigt werden erfolgreiche Wahl.
Aufgaben zur Anwendung der Formel für ein Mitglied
In Betracht ziehen klassisches Beispiel Aufgaben zur Bestimmung der Unbekannten d: Finden Sie die Differenz der arithmetischen Folge, wenn a1 = 12, a5 = 40.
Wenn zwei unbekannte Nummern angegeben werden algebraische Folge, und eines davon ist das Element a 1 , dann brauchen Sie nicht lange zu überlegen, sondern sollten gleich die Formel für das Element a n anwenden. In diesem Fall haben wir:
a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7
Wir haben bekommen genaue Anzahl B. bei der Division, daher macht es keinen Sinn, die Genauigkeit des berechneten Ergebnisses zu überprüfen, wie dies im vorherigen Absatz geschehen ist.
Lassen Sie uns ein anderes ähnliches Problem lösen: Wir sollten die Differenz der arithmetischen Folge finden, wenn a1 = 16, a8 = 37.
Wir verwenden einen ähnlichen Ansatz wie der vorherige und erhalten:
a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3
Was Sie sonst noch über arithmetische Progression wissen sollten
Neben der Aufgabe des Findens unbekannter Unterschied oder einzelner Elemente ist es oft notwendig, Probleme der Summe der ersten Terme einer Folge zu lösen. Die Betrachtung dieser Probleme würde den Rahmen des Artikelthemas sprengen, dennoch stellen wir der Vollständigkeit halber Informationen vor allgemeine Formel für die Summe von n Zahlen der Reihe:
∑ n ich = 1 (a ich) = n * (a 1 + ein n) / 2
Wenn jede natürliche Zahl n in Reihe stellen reelle Zahl ein , dann sagen sie das gegeben Zahlenfolge :
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , ein , . . . .
So, Zahlenfolge ist eine Funktion des natürlichen Arguments.
Nummer a 1 genannt das erste Glied der Folge , Nummer a 2 — das zweite Glied der Folge , Nummer a 3 — dritte usw. Nummer ein genannt ntes Mitglied Sequenzen , und die natürliche Zahl n — seine Nummer .
Von zwei benachbarten Mitgliedern ein und ein +1 Mitgliedssequenzen ein +1 genannt anschließend (gegenüber ein ), a ein — früher (gegenüber ein +1 ).
Um eine Sequenz anzugeben, müssen Sie eine Methode angeben, mit der Sie ein Sequenzmitglied mit einer beliebigen Nummer finden können.
Oft wird die Reihenfolge mit angegeben n-te Termformeln , also eine Formel, mit der Sie ein Sequenzmitglied anhand seiner Nummer bestimmen können.
Zum Beispiel,
Folge von positiv ungerade Zahlen kann durch die Formel gegeben werden
ein= 2n- 1,
und die Reihenfolge des Wechselns 1 und -1 - Formel
b n = (-1)n +1 . ◄
Die Reihenfolge kann bestimmt werden wiederkehrende Formel, das heißt, eine Formel, die jedes Glied der Folge ausdrückt, beginnend mit einigen, durch die vorherigen (ein oder mehrere) Glieder.
Zum Beispiel,
wenn a 1 = 1 , a ein +1 = ein + 5
a 1 = 1,
a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Wenn ein eine 1= 1, eine 2 = 1, ein +2 = ein + ein +1 , dann werden die ersten sieben Glieder der Zahlenfolge wie folgt gesetzt:
eine 1 = 1,
eine 2 = 1,
eine 3 = eine 1 + eine 2 = 1 + 1 = 2,
eine 4 = eine 2 + eine 3 = 1 + 2 = 3,
eine 5 = eine 3 + eine 4 = 2 + 3 = 5,
a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,
a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Sequenzen können sein Finale und endlos .
Die Sequenz wird aufgerufen ultimative wenn es eine endliche Anzahl von Mitgliedern hat. Die Sequenz wird aufgerufen endlos wenn es unendlich viele Mitglieder hat.
Zum Beispiel,
Folge zweistelliger natürlicher Zahlen:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
Finale.
Primzahlenfolge:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
endlos. ◄
Die Sequenz wird aufgerufen zunehmend , wenn jedes seiner Mitglieder, beginnend mit dem zweiten, größer ist als das vorherige.
Die Sequenz wird aufgerufen abnehmend , wenn jedes seiner Mitglieder, beginnend mit dem zweiten, kleiner ist als das vorherige.
Zum Beispiel,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . ist eine aufsteigende Folge;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . ist eine absteigende Folge. ◄
Eine Folge, deren Elemente mit zunehmender Zahl nicht abnehmen oder umgekehrt nicht zunehmen, heißt monotone Folge .
Monotone Folgen sind insbesondere steigende Folgen und fallende Folgen.
Arithmetische Progression
Arithmetische Progression Es wird eine Sequenz aufgerufen, deren jedes Mitglied, beginnend mit dem zweiten, gleich der vorherigen ist, zu der dieselbe Nummer hinzugefügt wird.
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , ein, . . .
ist eine arithmetische Folge, wenn überhaupt natürliche Zahl n Bedingung ist erfüllt:
ein +1 = ein + d,
wo d - irgendeine Zahl.
Somit ist die Differenz zwischen dem nächsten und dem vorherigen Mitglied einer gegebenen arithmetischen Folge immer konstant:
eine 2 - a 1 = eine 3 - a 2 = . . . = ein +1 - ein = d.
Nummer d genannt die Differenz einer arithmetischen Progression.
Um eine arithmetische Progression festzulegen, genügt es, ihren ersten Term und ihre Differenz anzugeben.
Zum Beispiel,
wenn a 1 = 3, d = 4 , dann werden die ersten fünf Terme der Folge wie folgt gefunden:
eine 1 =3,
eine 2 = eine 1 + d = 3 + 4 = 7,
eine 3 = eine 2 + d= 7 + 4 = 11,
eine 4 = eine 3 + d= 11 + 4 = 15,
a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄
Für eine arithmetische Progression mit dem ersten Term a 1 und Unterschied d Sie n
ein = eine 1 + (n- 1)d.
Zum Beispiel,
Finde den dreißigsten Term einer arithmetischen Folge
1, 4, 7, 10, . . .
eine 1 =1, d = 3,
eine 30 = eine 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄
ein n-1 = eine 1 + (n- 2)d,
ein= eine 1 + (n- 1)d,
ein +1 = a 1 + nd,
dann offensichtlich
| ein=
| ein n-1 + ein n+1
|
| 2
|
jedes Glied der arithmetischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich dem arithmetischen Mittel der vorhergehenden und nachfolgenden Glieder.
Die Zahlen a, b und c sind genau dann aufeinanderfolgende Mitglieder einer arithmetischen Folge, wenn eine von ihnen gleich dem arithmetischen Mittel der beiden anderen ist.
Zum Beispiel,
ein = 2n- 7 , ist eine arithmetische Folge.
Nehmen wir die obige Aussage. Wir haben:
ein = 2n- 7,
ein n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,
ein n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.
Folglich,
| ein n+1 + ein n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = ein,
|
| 2
| 2
|
◄
Beachten Sie, dass n -ten Glied einer arithmetischen Folge kann nicht nur durch gefunden werden a 1 , aber auch alle vorherigen ein k
ein = ein k + (n- k)d.
Zum Beispiel,
zum a 5 kann geschrieben werden
eine 5 = eine 1 + 4d,
eine 5 = eine 2 + 3d,
eine 5 = eine 3 + 2d,
eine 5 = eine 4 + d. ◄
ein = ein n-k + kd,
ein = ein n+k - kd,
dann offensichtlich
| ein=
| a n-k
+a n+k
|
| 2
|
jedes Glied einer arithmetischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich der Hälfte der Summe der Glieder dieser arithmetischen Folge, die gleich weit davon entfernt sind.
Außerdem gilt für jede arithmetische Progression die Gleichheit:
ein m + ein n = ein k + ein l,
m + n = k + l.
Zum Beispiel,
in arithmetischer Folge
1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;
2) 28 = eine 10 = eine 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) eine 10= 28 = (19 + 37)/2 = (eine 7 + eine 13)/2;
4) eine 2 + eine 12 = eine 5 + eine 9, als
eine 2 + eine 12= 4 + 34 = 38,
eine 5 + eine 9 = 13 + 25 = 38. ◄
Sn= ein 1 + ein 2 + ein 3 + . . .+ ein,
Erste n Mitglieder einer arithmetischen Folge ist gleich dem Produkt aus der Hälfte der Summe der Extremglieder mal der Anzahl der Glieder:
Daraus folgt insbesondere, dass wenn es notwendig ist, die Terme zu summieren
ein k, ein k +1 , . . . , ein,
dann behält die vorherige Formel ihre Struktur:
Zum Beispiel,
in arithmetischer Folge 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Wenn eine arithmetische Progression angegeben ist, dann die Mengen a 1 , ein, d, n undS n durch zwei Formeln verknüpft:
Daher, wenn drei dieser Größen gegeben sind, dann werden die entsprechenden Werte der anderen beiden Größen aus diesen Formeln bestimmt, die zu einem System von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten kombiniert werden.
Eine arithmetische Folge ist eine monotone Folge. Dabei:
- wenn d > 0 , dann nimmt es zu;
- wenn d < 0 , dann nimmt er ab;
- wenn d = 0 , dann ist die Folge stationär.
Geometrischer Verlauf
geometrischer Verlauf Es wird eine Folge aufgerufen, deren jedes Glied, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen ist, multipliziert mit derselben Zahl.
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .
ist eine geometrische Folge, wenn für jede natürliche Zahl n Bedingung ist erfüllt:
b n +1 = b n · q,
wo q ≠ 0 - irgendeine Zahl.
Somit ist das Verhältnis des nächsten Glieds dieser geometrischen Folge zum vorherigen eine konstante Zahl:
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.
Nummer q genannt Nenner einer geometrischen Folge.
Um eine geometrische Folge festzulegen, genügt es, ihren ersten Term und Nenner anzugeben.
Zum Beispiel,
wenn b 1 = 1, q = -3 , dann werden die ersten fünf Terme der Folge wie folgt gefunden:
b 1 = 1,
b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,
b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,
b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 und Nenner q Sie n -ten Term kann durch die Formel gefunden werden:
b n = b 1 · q n -1 .
Zum Beispiel,
Finden Sie den siebten Term einer geometrischen Folge 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, q = 2,
b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
Mrd.-1 = b 1 · q n -2 ,
b n = b 1 · q n -1 ,
b n +1 = b 1 · q n,
dann offensichtlich
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
jedes Mitglied der geometrischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich dem geometrischen Mittel (proportional) der vorherigen und nachfolgenden Mitglieder.
Da auch die Umkehrung gilt, gilt folgende Behauptung:
Die Zahlen a, b und c sind aufeinanderfolgende Mitglieder einer geometrischen Reihe genau dann, wenn das Quadrat einer von ihnen ist ist gleich dem Produkt die anderen beiden, das heißt, eine der Zahlen ist das geometrische Mittel der anderen beiden.
Zum Beispiel,
Lassen Sie uns beweisen, dass die durch die Formel gegebene Folge b n= -3 2 n , ist eine geometrische Progression. Nehmen wir die obige Aussage. Wir haben:
b n= -3 2 n,
b n -1 = -3 2 n -1 ,
b n +1 = -3 2 n +1 .
Folglich,
b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
was die geforderte Behauptung beweist. ◄
Beachten Sie, dass n ter Term einer geometrischen Folge kann nicht nur durch gefunden werden b 1 , sondern auch alle vorherigen Terme b k , wofür es genügt, die Formel zu verwenden
b n = b k · q n - k.
Zum Beispiel,
zum b 5 kann geschrieben werden
b 5 = b 1 · q 4 ,
b 5 = b 2 · q3,
b 5 = b 3 · q2,
b 5 = b 4 · q. ◄
b n = b k · q n - k,
b n = b n - k · q k,
dann offensichtlich
b n 2 = b n - k· b n + k
das Quadrat jedes Gliedes einer geometrischen Folge, beginnend mit der zweiten, ist gleich dem Produkt der Glieder dieser Folge, die gleich weit davon entfernt sind.
Außerdem gilt für jede geometrische Folge die Gleichheit:
b m· b n= b k· b l,
m+ n= k+ l.
Zum Beispiel,
exponentiell
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , als
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
Sn= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n
Erste n Mitglieder einer geometrischen Folge mit einem Nenner q ≠ 0 berechnet nach der Formel:
Und wann q = 1 - laut Formel
Sn= nb 1
Beachten Sie, dass, wenn wir die Terme summieren müssen
b k, b k +1 , . . . , b n,
dann wird die Formel verwendet:
| Sn- Sk -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k · | 1 - q n -
k +1
| . |
| 1 - q
|
Zum Beispiel,
exponentiell 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Falls gegeben geometrischer Verlauf, dann die Mengen b 1 , b n, q, n und Sn durch zwei Formeln verknüpft:
Wenn also die Werte von drei beliebigen dieser Größen angegeben sind, werden die entsprechenden Werte der anderen beiden Größen aus diesen Formeln bestimmt, die zu einem System von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten kombiniert werden.
Für eine geometrische Progression mit dem ersten Term b 1 und Nenner q folgendes passiert Monotonieeigenschaften :
- die Progression steigt, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
b 1 > 0 und q> 1;
b 1 < 0 und 0 < q< 1;
- Eine Progression ist abnehmend, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
b 1 > 0 und 0 < q< 1;
b 1 < 0 und q> 1.
Wenn ein q< 0 , dann ist die geometrische Folge vorzeichenwechselnd: Ihre ungeradzahligen Terme haben dasselbe Vorzeichen wie ihr erster Term, und geradzahlige Terme haben das entgegengesetzte Vorzeichen. Es ist klar, dass ein alternierender geometrischer Verlauf nicht monoton ist.
Produkt der ersten n Terme einer geometrischen Folge können durch die Formel berechnet werden:
Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .
Zum Beispiel,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Stufenlos abnehmender geometrischer Verlauf
Stufenlos abnehmender geometrischer Verlauf heißt eine unendliche geometrische Folge, deren Nennermodul kleiner als ist 1 , also
|q| < 1 .
Beachten Sie, dass eine unendlich abnehmende geometrische Folge keine abnehmende Sequenz sein muss. Das passt zum Fall
1 < q< 0 .
Bei einem solchen Nenner ist die Folge vorzeichenwechselnd. Zum Beispiel,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression Nennen Sie die Zahl, zu der die Summe der ersten ist n Bedingungen der Progression mit unbegrenzter Erhöhung der Anzahl n . Diese Zahl ist immer endlich und wird durch die Formel ausgedrückt
| S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - q
|
Zum Beispiel,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Beziehung zwischen arithmetischen und geometrischen Progressionen
Arithmetische und geometrische Progressionen sind eng miteinander verbunden. Betrachten wir nur zwei Beispiele.
a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , dann
b ein 1 , b ein 2 , b ein 3 , . . . b d .
Zum Beispiel,
1, 3, 5, . . . — Arithmetische Progression mit Differenz 2 und
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . ist eine geometrische Folge mit einem Nenner 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . ist eine geometrische Folge mit einem Nenner q , dann
log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — Arithmetische Progression mit Differenz log aq .
Zum Beispiel,
2, 12, 72, . . . ist eine geometrische Folge mit einem Nenner 6 und
lg 2, lg 12, lg 72, . . . — Arithmetische Progression mit Differenz lg 6 . ◄
Ja, ja: Arithmetische Progression ist kein Spielzeug für dich :) Nun, Freunde, wenn Sie diesen Text lesen, dann sagt mir der interne Cap-Beweis, dass Sie immer noch nicht wissen, was eine arithmetische Progression ist, aber Sie wollen es wirklich (nein, so: SOOOOO!) wissen. Daher werde ich Sie nicht mit langen Vorstellungsgesprächen quälen und gleich zur Sache kommen.
Zu Beginn ein paar Beispiele. Betrachten Sie mehrere Sätze von Zahlen:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Was haben all diese Sets gemeinsam? Auf den ersten Blick nichts. Aber tatsächlich gibt es etwas. Nämlich: jedes nächste Element unterscheidet sich vom vorherigen durch die gleiche Zahl.
Urteile selbst. Der erste Satz besteht nur aus fortlaufenden Nummern, jede mehr als die vorherige. Im zweiten Fall ist der Unterschied zw stehende Zahlen ist bereits gleich fünf, aber diese Differenz ist immer noch konstant. Im dritten Fall gibt es im Allgemeinen Wurzeln. Allerdings ist $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, während $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, also in diesem Fall erhöht sich jedes nächste Element einfach um $\sqrt(2)$ (und haben Sie keine Angst, dass diese Zahl irrational ist).
Also: alle solche Folgen nennt man einfach arithmetische Progressionen. Lassen Sie uns eine strenge Definition geben:
Definition. Eine Folge von Zahlen, bei der sich jede nächste um genau den gleichen Betrag von der vorherigen unterscheidet, wird als arithmetische Progression bezeichnet. Der genaue Betrag, um den sich die Zahlen unterscheiden, wird als Progressionsdifferenz bezeichnet und wird meistens mit dem Buchstaben $d$ bezeichnet.
Notation: $\left(((a)_(n)) \right)$ ist die Progression selbst, $d$ ist ihre Differenz.
Und nur ein paar wichtige Notizen. Zunächst wird nur die Progression betrachtet ordentlich Zahlenfolge: Sie dürfen streng in der Reihenfolge gelesen werden, in der sie geschrieben wurden - und sonst nichts. Sie können Nummern nicht neu anordnen oder vertauschen.
Zweitens kann die Folge selbst entweder endlich oder unendlich sein. Beispielsweise ist die Menge (1; 2; 3) offensichtlich eine endliche arithmetische Folge. Aber wenn Sie etwas im Geiste schreiben (1; 2; 3; 4; ...) - das ist schon unendliche Weiterentwicklung. Die Auslassungspunkte hinter der Vier deuten sozusagen darauf hin, dass ziemlich viele Zahlen weiter gehen. Unendlich viele zum Beispiel. :)
Ich möchte auch darauf hinweisen, dass die Progressionen zunehmen und abnehmen. Wir haben bereits zunehmende gesehen - die gleiche Menge (1; 2; 3; 4; ...). Hier sind Beispiele für abnehmende Progressionen:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
OK OK: letztes Beispiel mag zu kompliziert erscheinen. Aber den Rest, denke ich, verstehst du. Daher führen wir neue Definitionen ein:
Definition. Eine arithmetische Folge heißt:
- Erhöhen, wenn jedes nächste Element größer als das vorherige ist;
- abnehmend, wenn im Gegenteil jedes nachfolgende Element kleiner als das vorherige ist.
Darüber hinaus gibt es sogenannte "stationäre" Sequenzen - sie bestehen aus der gleichen sich wiederholenden Nummer. Zum Beispiel (3; 3; 3; ...).
Bleibt nur noch eine Frage: Wie kann man eine zunehmende Progression von einer abnehmenden unterscheiden? Zum Glück hängt hier alles nur vom Vorzeichen der Zahl $d$ ab, also Progressionsunterschiede:
- Wenn $d \gt 0$, dann steigt die Progression;
- Wenn $d \lt 0$, dann ist die Progression offensichtlich abnehmend;
- Schließlich gibt es noch den Fall $d=0$, in dem sich der gesamte Verlauf auf die stationäre Folge reduziert gleichen Nummern: (1; 1; 1; 1; ...) usw.
Versuchen wir, die Differenz $d$ für die drei abnehmenden Progressionen oben zu berechnen. Dazu reicht es aus, zwei benachbarte Elemente (z. B. das erste und das zweite) zu nehmen und von der rechten Zahl die linke Zahl zu subtrahieren. Es wird so aussehen:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Wie Sie sehen, fiel die Differenz in allen drei Fällen wirklich negativ aus. Und jetzt, da wir die Definitionen mehr oder weniger herausgefunden haben, ist es an der Zeit herauszufinden, wie Progressionen beschrieben werden und welche Eigenschaften sie haben.
Mitglieder der Progression und der wiederkehrenden Formel
Da die Elemente unserer Sequenzen nicht vertauscht werden können, können sie nummeriert werden:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \Rechts\)\]
Einzelne Elemente dieser Menge werden Mitglieder der Progression genannt. Sie werden auf diese Weise mit Hilfe einer Nummer angegeben: das erste Mitglied, das zweite Mitglied und so weiter.
Darüber hinaus sind, wie wir bereits wissen, benachbarte Mitglieder der Progression durch die Formel miteinander verbunden:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Kurz gesagt, um den $n$ten Term der Progression zu finden, müssen Sie den $n-1$ten Term und die Differenz $d$ kennen. Eine solche Formel wird als rekurrent bezeichnet, da Sie mit ihrer Hilfe jede Zahl finden können, wobei Sie nur die vorherige (und tatsächlich alle vorherigen) kennen. Das ist sehr umständlich, daher gibt es eine kniffligere Formel, die jede Berechnung auf den ersten Term und die Differenz reduziert:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]
Wahrscheinlich ist Ihnen diese Formel schon einmal begegnet. Sie geben es gerne in allen möglichen Nachschlagewerken und Reshebniks. Und in jedem vernünftigen Lehrbuch der Mathematik ist es eines der ersten.
Ich empfehle Ihnen jedoch, ein wenig zu üben.
Aufgabe Nummer 1. Schreiben Sie die ersten drei Glieder der arithmetischen Folge $\left(((a)_(n)) \right)$ auf, wenn $((a)_(1))=8,d=-5$.
Lösung. Wir kennen also den ersten Term $((a)_(1))=8$ und die Progressionsdifferenz $d=-5$. Lassen Sie uns die gerade gegebene Formel verwenden und $n=1$, $n=2$ und $n=3$ ersetzen:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]
Antwort: (8; 3; -2)
Das ist alles! Beachten Sie, dass unser Fortschritt abnimmt.
Natürlich hätte $n=1$ nicht ersetzt werden können - den ersten Term kennen wir bereits. Durch das Ersetzen der Einheit haben wir jedoch dafür gesorgt, dass unsere Formel auch für den ersten Term funktioniert. In anderen Fällen lief alles auf banale Arithmetik hinaus.
Aufgabe Nummer 2. Schreiben Sie die ersten drei Glieder einer arithmetischen Folge auf, wenn ihr siebtes Glied −40 und ihr siebzehntes Glied −50 ist.
Lösung. Wir schreiben den Zustand des Problems in den üblichen Begriffen:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Rechts.\]
Ich setze das Zeichen des Systems, weil diese Anforderungen gleichzeitig erfüllt werden müssen. Und jetzt stellen wir fest, dass wir, wenn wir die erste Gleichung von der zweiten Gleichung subtrahieren (wir haben das Recht dazu, weil wir ein System haben), Folgendes erhalten:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]
Einfach so haben wir den Fortschrittsunterschied gefunden! Es bleibt, die gefundene Zahl in einer der Gleichungen des Systems zu ersetzen. Zum Beispiel im ersten:
\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrix)\]
Nun, da wir den ersten Term und den Unterschied kennen, müssen wir noch den zweiten und dritten Term finden:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]
Bereit! Problem gelöst.
Antwort: (-34; -35; -36)
beachten merkwürdiges Eigentum Progression, die wir entdeckt haben: Wenn wir die $n$ten und $m$ten Terme nehmen und sie voneinander subtrahieren, erhalten wir die Differenz der Progression multipliziert mit der Zahl $n-m$:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
Einfach aber sehr nützliche Eigenschaft, die Sie unbedingt kennen sollten - mit ihrer Hilfe können Sie die Lösung vieler Probleme im Verlauf erheblich beschleunigen. Hier hell dazu Beispiel:
Aufgabe Nummer 3. Das fünfte Glied der arithmetischen Folge ist 8,4 und ihr zehntes Glied ist 14,4. Finden Sie den fünfzehnten Term dieser Progression.
Lösung. Da $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, und wir $((a)_(15))$ finden müssen, notieren wir Folgendes:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]
Aber nach Bedingung $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, also $5d=6$, woraus wir haben:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]
Antwort: 20.4
Das ist alles! Wir mussten keine Gleichungssysteme aufstellen und den ersten Term und die Differenz berechnen – alles war in nur wenigen Zeilen entschieden.
Betrachten wir nun einen anderen Problemtyp – die Suche nach negativen und positiven Gliedern der Progression. Es ist kein Geheimnis, dass, wenn die Progression zunimmt, während ihr erster Term negativ ist, früher oder später positive Terme darin erscheinen. Und umgekehrt: Die Terme einer abnehmenden Progression werden früher oder später negativ.
Gleichzeitig ist es bei weitem nicht immer möglich, diesen Moment „auf der Stirn“ zu finden und die Elemente der Reihe nach zu sortieren. Oft sind Aufgaben so angelegt, dass ohne Kenntnis der Formeln Berechnungen mehrere Blätter dauern würden – wir würden einfach einschlafen, bis wir die Antwort gefunden hätten. Daher werden wir versuchen, diese Probleme schneller zu lösen.
Aufgabe Nummer 4. Wie viele negative Terme in einer arithmetischen Folge -38,5; -35,8; …?
Lösung. Also $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, woraus wir sofort die Differenz finden:
Beachten Sie, dass die Differenz positiv ist, die Progression also zunimmt. Der erste Term ist negativ, also werden wir tatsächlich irgendwann auf positive Zahlen stoßen. Die Frage ist nur, wann dies geschehen wird.
Versuchen wir herauszufinden, wie lange (also bis zu welcher natürlichen Zahl $n$) die Negativität der Terme erhalten bleibt:
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]
Die letzte Zeile ist erklärungsbedürftig. Wir wissen also, dass $n \lt 15\frac(7)(27)$. Auf der anderen Seite passen uns nur ganzzahlige Werte der Zahl (im Übrigen: $n\in \mathbb(N)$), also ist die größte zulässige Zahl genau $n=15$ und auf keinen Fall 16.
Aufgabe Nummer 5. In arithmetischer Folge $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Finde die Nummer des ersten positiven Terms dieser Progression.
Dies wäre genau das gleiche Problem wie das vorherige, aber wir kennen $((a)_(1))$ nicht. Aber die benachbarten Terme sind bekannt: $((a)_(5))$ und $((a)_(6))$, sodass wir den Progressionsunterschied leicht finden können:
Versuchen wir außerdem, den fünften Term in Bezug auf den ersten und die Differenz mit der Standardformel auszudrücken:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]
Nun gehen wir analog zum vorigen Problem vor. Wir finden heraus, an welcher Stelle in unserer Folge positive Zahlen erscheinen:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rechtspfeil ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]
Minimum ganzzahlige Lösung gegebene Ungleichheit ist die Zahl 56.
Bitte beachten: im letzter Auftrag alles kam auf strikte Ungleichheit, also passt die Option $n=55$ nicht zu uns.
Nachdem wir nun gelernt haben, einfache Probleme zu lösen, gehen wir zu komplexeren über. Aber zuerst lernen wir eine weitere sehr nützliche Eigenschaft arithmetischer Progressionen kennen, die uns in Zukunft viel Zeit und ungleiche Zellen ersparen wird. :)
Arithmetisches Mittel und gleiche Einzüge
Betrachten Sie mehrere aufeinanderfolgende Terme der aufsteigenden arithmetischen Folge $\left(((a)_(n)) \right)$. Versuchen wir, sie auf einem Zahlenstrahl zu markieren:
Arithmetische Progressionsmitglieder auf dem ZahlenstrahlIch habe ausdrücklich die willkürlichen Elemente $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ und nicht irgendwelche $((a)_(1)) notiert, \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ usw. Denn die Regel, die ich Ihnen jetzt verrate, funktioniert für alle "Segmente" gleich.
Und die Regel ist ganz einfach. Merken wir uns die rekursive Formel und schreiben sie für alle markierten Mitglieder auf:
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]
Diese Gleichheiten können jedoch anders umgeschrieben werden:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]
Na so was? Aber die Tatsache, dass die Terme $((a)_(n-1))$ und $((a)_(n+1))$ den gleichen Abstand von $((a)_(n)) $ haben . Und dieser Abstand ist gleich $d$. Das gleiche gilt für die Terme $((a)_(n-2))$ und $((a)_(n+2))$ - sie werden auch aus $((a)_(n) entfernt )$ um die gleiche Distanz gleich $2d$. Sie können endlos fortfahren, aber das Bild veranschaulicht die Bedeutung gut
Die Glieder der Progression liegen im gleichen Abstand vom Zentrum Was bedeutet das für uns? Das bedeutet, dass Sie $((a)_(n))$ finden können, wenn die Nachbarzahlen bekannt sind:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Wir haben eine großartige Aussage abgeleitet: Jedes Glied einer arithmetischen Folge ist gleich dem arithmetischen Mittel der benachbarten Glieder! Außerdem können wir von unserem $((a)_(n))$ nach links und rechts nicht um einen Schritt, sondern um $k$ Schritte abweichen — und trotzdem stimmt die Formel:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Diese. wir können leicht $((a)_(150))$ finden, wenn wir $((a)_(100))$ und $((a)_(200))$ kennen, weil $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Auf den ersten Blick mag es scheinen, dass uns diese Tatsache nichts Nützliches bringt. In der Praxis werden jedoch viele Aufgaben speziell für die Verwendung des arithmetischen Mittels „geschärft“. Schau mal:
Aufgabe Nummer 6. Finde alle Werte von $x$, sodass die Zahlen $-6((x)^(2))$, $x+1$ und $14+4((x)^(2))$ aufeinanderfolgende Mitglieder sind eine arithmetische Progression (in festgelegter Reihenfolge).
Lösung. Weil die angegebenen Nummern Mitglieder der Progression sind, erfüllen sie die Bedingung des arithmetischen Mittels: Das zentrale Element $x+1$ kann durch benachbarte Elemente ausgedrückt werden:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]
Es ist klassisch geworden quadratische Gleichung. Seine Wurzeln: $x=2$ und $x=-3$ sind die Antworten.
Antwort: -3; 2.
Aufgabe Nummer 7. Finde die Werte von $$ so, dass die Zahlen $-1;4-3;(()^(2))+1$ eine arithmetische Folge bilden (in dieser Reihenfolge).
Lösung. Lassen Sie uns noch einmal ausdrücken mittleres Glied durch das arithmetische Mittel benachbarter Stäbe:
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]
Noch eine quadratische Gleichung. Und wieder zwei Wurzeln: $x=6$ und $x=1$.
Antwort 1; 6.
Wenn Sie beim Lösen eines Problems brutale Zahlen erhalten oder sich der Richtigkeit der gefundenen Antworten nicht ganz sicher sind, gibt es einen wunderbaren Trick, mit dem Sie überprüfen können: Haben wir das Problem richtig gelöst?
Nehmen wir an, in Aufgabe 6 haben wir die Antworten -3 und 2 bekommen. Wie können wir überprüfen, ob diese Antworten richtig sind? Stecken wir sie einfach in den Originalzustand und sehen was passiert. Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir drei Zahlen haben ($-6(()^(2))$, $+1$ und $14+4(()^(2))$), die eine arithmetische Folge bilden sollten. $x=-3$ ersetzen:
\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &#x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]
Wir haben die Zahlen -54; –2; 50, die sich um 52 unterscheiden, ist zweifellos eine arithmetische Folge. Dasselbe passiert für $x=2$:
\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &#x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]
Wieder eine Progression, aber mit einer Differenz von 27. Damit ist das Problem richtig gelöst. Wer möchte, kann die zweite Aufgabe selbst prüfen, aber ich sage gleich: Auch da stimmt alles.
Im Allgemeinen sind wir beim Lösen der letzten Aufgaben auf eine andere gestoßen interessante Tatsache, an die auch erinnert werden muss:
Wenn drei Zahlen so sind, dass die zweite der Durchschnitt der ersten und letzten ist, dann bilden diese Zahlen eine arithmetische Folge.
In Zukunft wird es uns das Verständnis dieser Aussage ermöglichen, die notwendigen Progressionen basierend auf dem Zustand des Problems buchstäblich zu „konstruieren“. Aber bevor wir uns auf eine solche "Konstruktion" einlassen, sollten wir noch eine Tatsache beachten, die sich direkt aus dem bisher Besprochenen ergibt.
Gruppierung und Summe von Elementen
Gehen wir zurück zu numerische Achse. Wir stellen dort mehrere Mitglieder der Progression fest, zwischen denen vielleicht. viele andere Mitglieder wert:
6 Elemente auf dem Zahlenstrahl markiertVersuchen wir, den "linken Schwanz" in Form von $((a)_(n))$ und $d$ auszudrücken, und den "rechten Schwanz" in Form von $((a)_(k))$ und $ d$. Es ist sehr einfach:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]
Beachten Sie nun, dass die folgenden Summen gleich sind:
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]
Einfach ausgedrückt, wenn wir als Anfang zwei Elemente der Progression betrachten, die insgesamt einer Zahl $S$ entsprechen, und dann beginnen, von diesen Elementen aus zu gehen gegenüberliegende Seiten(zueinander oder umgekehrt zu entfernen), dann die Summen der Elemente, auf die wir stoßen werden, werden ebenfalls gleich sein$S$. Dies lässt sich am besten grafisch darstellen:
Gleiche Einrückungen ergeben gleiche Summen Verständnis dieser Fakt wird es uns ermöglichen, Probleme grundlegend mehr zu lösen hohes Level Komplexität als die oben diskutierten. Zum Beispiel diese:
Aufgabe Nummer 8. Bestimmen Sie die Differenz einer arithmetischen Folge, bei der der erste Term 66 ist und das Produkt aus dem zweiten und dem zwölften Term das kleinstmögliche ist.
Lösung. Schreiben wir alles auf, was wir wissen:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]
Wir kennen also den Unterschied der Progression $d$ nicht. Eigentlich wird die ganze Lösung um den Unterschied herum aufgebaut, da das Produkt $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ wie folgt umgeschrieben werden kann:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]
Für die im Tank: Ich habe herausgenommen gemeinsamer Faktor 11 aus der zweiten Klammer. Das gesuchte Produkt ist also eine quadratische Funktion bezüglich der Variablen $d$. Betrachten Sie daher die Funktion $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - ihr Graph ist eine Parabel mit Zweigen nach oben, weil Wenn wir die Klammern öffnen, erhalten wir:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
Wie Sie sehen können, ist der Koeffizient beim höchsten Begriff 11 - das ist positive Zahl, wir haben es also wirklich mit einer Parabel mit Ästen nach oben zu tun:
zeitlicher Ablauf quadratische Funktion- Parabel
Beachten Sie: Mindestwert diese Parabel nimmt $((d)_(0))$ an ihrem Scheitelpunkt mit Abszisse. Natürlich können wir diese Abszisse nach dem Standardschema berechnen (es gibt eine Formel $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), aber es wäre viel sinnvoller Beachten Sie, dass der gewünschte Scheitelpunkt auf der Achsensymmetrie der Parabel liegt, sodass der Punkt $((d)_(0))$ gleich weit von den Wurzeln der Gleichung $f\left(d \right)=0$ entfernt ist:
\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]
Deshalb hatte ich es nicht eilig, die Klammern zu öffnen: In der ursprünglichen Form waren die Wurzeln sehr, sehr leicht zu finden. Daher ist die Abszisse gleich dem Mittelwert arithmetische Zahlen-66 und -6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Was gibt uns die entdeckte Zahl? Mit ihm nimmt das benötigte Produkt auf kleinster Wert(Übrigens haben wir $((y)_(\min ))$ nicht berechnet - wir müssen das nicht tun). Gleichzeitig ist diese Zahl die Differenz der Anfangsprogression, d.h. Wir haben die Antwort gefunden. :)
Antwort: -36
Aufgabe Nummer 9. Füge zwischen den Zahlen $-\frac(1)(2)$ und $-\frac(1)(6)$ drei Zahlen ein, sodass sie zusammen mit den gegebenen Zahlen eine arithmetische Folge bilden.
Lösung. Tatsächlich müssen wir eine Folge von fünf Zahlen bilden, mit dem ersten und letzte Zahl bereits bekannt. Kennzeichnen Sie die fehlenden Zahlen durch die Variablen $x$, $y$ und $z$:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
Beachten Sie, dass die Zahl $y$ die "Mitte" unserer Sequenz ist - sie ist gleich weit entfernt von den Zahlen $x$ und $z$ und von den Zahlen $-\frac(1)(2)$ und $-\frac (1)(6)$. Und wenn wir von den Nummern $x$ und $z$ drin sind dieser Moment wir können $y$ nicht bekommen, dann ist die Situation mit den Enden der Progression anders. Denken Sie an das arithmetische Mittel:
Nun, da wir $y$ kennen, werden wir die verbleibenden Zahlen finden. Beachten Sie, dass $x$ zwischen $-\frac(1)(2)$ und $y=-\frac(1)(3)$ liegt, die gerade gefunden wurden. Deshalb
Ähnlich argumentierend finden wir die verbleibende Zahl:
Bereit! Wir haben alle drei Nummern gefunden. Wir schreiben sie in der Antwort in der Reihenfolge, in der sie zwischen die ursprünglichen Zahlen eingefügt werden sollen.
Antwort: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Aufgabe Nummer 10. Füge zwischen den Zahlen 2 und 42 mehrere Zahlen ein, die zusammen mit den gegebenen Zahlen eine arithmetische Folge bilden, wenn bekannt ist, dass die Summe der ersten, zweiten und letzten der eingefügten Zahlen 56 ist.
Lösung. Sogar mehr schwierige Aufgabe, die jedoch auf die gleiche Weise wie die vorherigen gelöst wird - durch das arithmetische Mittel. Das Problem ist, dass wir nicht genau wissen, wie viele Zahlen wir einfügen müssen. Daher nehmen wir zur Sicherheit an, dass es nach dem Einfügen genau $n$ Zahlen geben wird, und die erste davon ist 2 und die letzte 42. In diesem Fall kann die gewünschte arithmetische Folge wie folgt dargestellt werden:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Beachten Sie jedoch, dass die Zahlen $((a)_(2))$ und $((a)_(n-1))$ aus den Zahlen 2 und 42 erhalten werden, die an den Rändern um einen Schritt zueinander stehen , d. h. in die Mitte der Sequenz. Und das bedeutet das
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Aber dann kann der obige Ausdruck wie folgt umgeschrieben werden:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]
Wenn wir $((a)_(3))$ und $((a)_(1))$ kennen, können wir den Fortschrittsunterschied leicht finden:
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rechtspfeil d=5. \\ \end(align)\]
Es bleibt nur, die verbleibenden Mitglieder zu finden:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]
Somit kommen wir bereits beim 9. Schritt zum linken Ende der Sequenz - der Zahl 42. Insgesamt mussten nur 7 Zahlen eingefügt werden: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Antwort: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Textaufgaben mit Progressionen
Abschließend möchte ich ein paar betrachten einfache Aufgaben. Nun, so einfach: Für die meisten Schüler, die in der Schule Mathematik lernen und das oben Geschriebene nicht gelesen haben, mögen diese Aufgaben wie eine Geste erscheinen. Dennoch sind es gerade solche Aufgaben, die in der OGE und der USE in der Mathematik vorkommen, daher empfehle ich Ihnen, sich damit vertraut zu machen.
Aufgabe Nummer 11. Das Team produzierte im Januar 62 Teile, und zwar in jedem nächsten Monat produzierte 14 Teile mehr als im vorherigen. Wie viele Teile hat die Brigade im November produziert?
Lösung. Offensichtlich wird die Anzahl der Teile, die von Monat zu Monat gemalt werden, eine zunehmende arithmetische Progression sein. Und:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]
November ist der 11. Monat des Jahres, also müssen wir $((a)_(11))$ finden:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Daher werden im November 202 Teile gefertigt.
Aufgabe Nummer 12. Die Buchbinderei hat im Januar 216 Bücher gebunden und jeden Monat 4 Bücher mehr als im Vormonat. Wie viele Bücher hat der Workshop im Dezember gebunden?
Lösung. Alles das selbe:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$
Dezember ist der letzte, 12. Monat des Jahres, also suchen wir nach $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Das ist die Antwort – 260 Bücher werden im Dezember gebunden.
Nun, wenn Sie bis hierher gelesen haben, beeile ich mich, Ihnen zu gratulieren: „Natürlich junger Kämpfer» durch arithmetische Progressionen haben Sie erfolgreich bestanden. Sie können sicher mit der nächsten Lektion fortfahren, in der wir die Progressionssummenformel sowie wichtig und sehr studieren werden nützliche Konsequenzen von ihr.
Jemand behandelt das Wort „Fortschritt“ mit Vorsicht, als sehr komplexer Begriff aus Abschnitten höhere Mathematik. In der Zwischenzeit ist die einfachste arithmetische Progression die Arbeit des Taxischalters (wo sie immer noch bleiben). Und das Wesentliche verstehen (und in der Mathematik gibt es nichts Wichtigeres, als „das Wesentliche zu verstehen“) Arithmetische Sequenz Es ist nicht so schwer, sobald Sie ein paar grundlegende Konzepte verstehen.
Mathematische Zahlenfolge
Eine Zahlenfolge wird normalerweise als eine Reihe von Zahlen bezeichnet, von denen jede ihre eigene Nummer hat.
und 1 das erste Mitglied der Sequenz ist;
und 2 das zweite Mitglied der Sequenz ist;
und 7 ist das siebte Glied der Folge;
und n das n-te Mitglied der Sequenz ist;
Uns interessiert jedoch nicht irgendein beliebiges Zahlen- und Zahlenwerk. Wir werden unsere Aufmerksamkeit auf eine Zahlenfolge richten, bei der der Wert des n-ten Gliedes durch eine mathematisch eindeutig formulierbare Abhängigkeit von seiner Ordnungszahl abhängt. Mit anderen Worten: numerischer Wert Die n-te Zahl ist eine Funktion von n.
a - Wert eines Mitglieds der Zahlenfolge;
n - sein Ordnungsnummer;
f(n) ist eine Funktion, bei der die Ordnungszahl in der Zahlenfolge n das Argument ist.
Definition
Eine arithmetische Folge wird normalerweise als Zahlenfolge bezeichnet, bei der jeder nachfolgende Term um die gleiche Zahl größer (kleiner) als der vorherige ist. Die Formel für das n-te Glied einer arithmetischen Folge lautet wie folgt:
a n - der Wert des aktuellen Mitglieds der arithmetischen Folge;
a n+1 - die Formel der nächsten Zahl;
d - Unterschied (eine bestimmte Zahl).
Es ist leicht festzustellen, dass, wenn die Differenz positiv ist (d > 0), jedes nachfolgende Mitglied der betrachteten Reihe größer sein wird als das vorherige, und eine solche arithmetische Progression zunehmen wird.
In der folgenden Grafik ist leicht zu erkennen, warum die Zahlenfolge "steigend" genannt wird.
In Fällen, in denen die Differenz negativ ist (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Der Wert des angegebenen Members
Manchmal ist es notwendig, den Wert eines beliebigen Gliedes an einer arithmetischen Folge zu bestimmen. Sie können dies tun, indem Sie nacheinander die Werte aller Mitglieder der arithmetischen Folge berechnen, vom ersten bis zum gewünschten. Dieser Weg ist jedoch nicht immer akzeptabel, wenn es beispielsweise darum geht, den Wert des fünftausendsten oder des achtmillionsten Terms zu finden. Die traditionelle Berechnung wird lange dauern. Mit bestimmten Formeln kann jedoch ein bestimmter arithmetischer Verlauf untersucht werden. Auch für den n-ten Term gibt es eine Formel: Der Wert eines beliebigen Gliedes einer arithmetischen Folge lässt sich ermitteln als Summe des ersten Gliedes der Folge mit der Differenz der Folge, multipliziert mit der Nummer des gewünschten Gliedes minus eins .
Die Formel ist universell für zunehmende und abnehmende Progression.
Ein Beispiel für die Berechnung des Werts eines bestimmten Mitglieds
Lassen Sie uns das folgende Problem lösen, um den Wert des n-ten Glieds einer arithmetischen Folge zu finden.
Bedingung: Es gibt eine arithmetische Folge mit Parametern:
Das erste Mitglied der Sequenz ist 3;
Die Differenz in der Zahlenreihe beträgt 1,2.
Aufgabe: Es ist notwendig, den Wert von 214 Termen zu finden
Lösung: Um den Wert eines bestimmten Mitglieds zu bestimmen, verwenden wir die Formel:
a(n) = a1 + d(n-1)
Wenn wir die Daten aus der Problemstellung in den Ausdruck einsetzen, haben wir:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Antwort: Das 214. Glied der Folge ist gleich 258,6.
Die Vorteile dieser Berechnungsmethode liegen auf der Hand - die gesamte Lösung dauert nicht länger als 2 Zeilen.
Summe einer gegebenen Anzahl von Termen
Sehr oft ist es in einer bestimmten arithmetischen Reihe erforderlich, die Summe der Werte einiger ihrer Segmente zu bestimmen. Es muss auch nicht die Werte der einzelnen Terme berechnen und dann aufsummieren. Dieses Verfahren ist anwendbar, wenn die Anzahl der Terme, deren Summe gefunden werden muss, klein ist. In anderen Fällen ist es bequemer, die folgende Formel zu verwenden.
Die Summe der Glieder einer arithmetischen Folge von 1 bis n ist gleich der Summe der ersten und n-ten Glieder, multipliziert mit der Gliednummer n und dividiert durch zwei. Wenn in der Formel der Wert des n-ten Elements durch den Ausdruck aus dem vorherigen Absatz des Artikels ersetzt wird, erhalten wir:
Rechenbeispiel
Lassen Sie uns beispielsweise ein Problem mit den folgenden Bedingungen lösen:
Der erste Term der Folge ist Null;
Der Unterschied beträgt 0,5.
In der Aufgabe ist es erforderlich, die Summe der Terme der Reihe von 56 bis 101 zu bestimmen.
Lösung. Verwenden wir die Formel zur Bestimmung der Summe der Progression:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Zuerst bestimmen wir die Summe der Werte von 101 Mitgliedern der Progression, indem wir die gegebenen Bedingungen unseres Problems in die Formel einsetzen:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525
Um die Summe der Terme der Progression vom 56. zum 101. zu ermitteln, ist es offensichtlich notwendig, S 55 von S 101 zu subtrahieren.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Die Summe der arithmetischen Progression für dieses Beispiel ist also:
s 101 - s 55 \u003d 2.525 - 742,5 \u003d 1.782,5
Beispiel für die praktische Anwendung der arithmetischen Progression
Kehren wir am Ende des Artikels zum Beispiel der arithmetischen Folge aus dem ersten Absatz zurück - einem Taxameter (Taxiautozähler). Betrachten wir ein solches Beispiel.
Das Einsteigen in ein Taxi (das 3 km umfasst) kostet 50 Rubel. Jeder weitere Kilometer wird mit 22 Rubel / km bezahlt. Fahrstrecke 30 km. Berechnen Sie die Reisekosten.
1. Lassen Sie uns die ersten 3 km verwerfen, deren Preis in den Landekosten enthalten ist.
30 - 3 = 27 Kilometer.
2. Weiterrechnen ist nichts anderes als das Parsen einer arithmetischen Zahlenreihe.
Die Mitgliedsnummer ist die Anzahl der gefahrenen Kilometer (abzüglich der ersten drei).
Der Wert des Mitglieds ist die Summe.
Der erste Term in diesem Problem entspricht einer 1 = 50 Rubel.
Progressionsdifferenz d = 22 p.
die uns interessierende Zahl - der Wert des (27 + 1)-ten Gliedes der arithmetischen Folge - der Zählerstand am Ende des 27. Kilometers - 27,999 ... = 28 km.
a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644
Berechnungen von Kalenderdaten für einen beliebig langen Zeitraum basieren auf Formeln, die bestimmte Zahlenfolgen beschreiben. In der Astronomie ist die Länge der Umlaufbahn geometrisch abhängig vom Abstand des Himmelskörpers zum Leuchtkörper. Darüber hinaus werden verschiedene Zahlenreihen erfolgreich in der Statistik und anderen angewandten Teilgebieten der Mathematik eingesetzt.
Eine andere Art von Zahlenfolge ist geometrisch
Eine geometrische Progression ist durch eine große, verglichen mit einer arithmetischen, Änderungsrate gekennzeichnet. Es ist kein Zufall, dass in Politik, Soziologie und Medizin oft gesagt wird, dass sich der Prozess exponentiell entwickelt, um die hohe Ausbreitungsgeschwindigkeit eines bestimmten Phänomens, beispielsweise einer Krankheit während einer Epidemie, zu zeigen.
Das N-te Mitglied der geometrischen Zahlenreihe unterscheidet sich von der vorherigen dadurch, dass es mit einer konstanten Zahl multipliziert wird - der Nenner, zum Beispiel, das erste Mitglied ist 1, der Nenner ist jeweils 2, dann:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - der Wert des aktuellen Mitglieds der geometrischen Folge;
b n+1 - die Formel des nächsten Mitglieds der geometrischen Folge;
q ist der Nenner einer geometrischen Folge (konstante Zahl).
Wenn der Graph einer arithmetischen Progression eine Gerade ist, dann zeichnet die geometrische ein etwas anderes Bild:
Wie bei der Arithmetik hat eine geometrische Folge eine Formel für den Wert eines beliebigen Mitglieds. Jeder n-te Term einer geometrischen Progression ist gleich dem Produkt aus dem ersten Term und dem Nenner der Progression hoch n reduziert um eins:
Beispiel. Wir haben eine geometrische Progression mit dem ersten Term gleich 3 und dem Nenner der Progression gleich 1,5. Finden Sie das 5. Glied der Progression
b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875
Die Summe einer bestimmten Anzahl von Mitgliedern wird ebenfalls nach einer speziellen Formel berechnet. Die Summe der ersten n Glieder einer geometrischen Folge ist gleich der Differenz zwischen dem Produkt des n-ten Glieds der Folge und ihrem Nenner und dem ersten Glied der Folge, dividiert durch den um eins reduzierten Nenner:
Wenn b n mit der oben diskutierten Formel ersetzt wird, nimmt der Wert der Summe der ersten n Mitglieder der betrachteten Zahlenreihe die Form an:
Beispiel. Die geometrische Progression beginnt mit dem ersten Term gleich 1. Der Nenner wird gleich 3 gesetzt. Lassen Sie uns die Summe der ersten acht Terme finden.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
