Tieteellinen ja käytännön konferenssi

MOU "Keskimääräinen peruskoulu nro 23"

Vologdan kaupunki

osasto: luonnontieteellinen

suunnittelu- ja tutkimustyötä

SYMMETRIAN TYYPIT

Työn teki 8. "a" luokan oppilas

Krenevan Margarita

Päällikkö: korkeamman matematiikan opettaja

vuosi 2014

Hankkeen rakenne:

1. Esittely.

2. Hankkeen tavoitteet ja tavoitteet.

3. Symmetriatyypit:

3.1. Keski-symmetria;

3.2. Aksiaalinen symmetria;

3.3. Peilisymmetria (symmetria tasoon nähden);

3.4. Pyörimissymmetria;

3.5. Kannettava symmetria.

4. Johtopäätökset.

Symmetria on ajatus, jonka kautta ihminen on vuosisatojen ajan yrittänyt ymmärtää ja luoda järjestystä, kauneutta ja täydellisyyttä.

G. Weil

Johdanto.

Työni aihe valittiin opiskeltuani osion "Aksiaalinen ja keskussymmetria" kurssilla "Geometria Grade 8". Kiinnostuin kovasti tästä aiheesta. Halusin tietää: millaisia ​​symmetriatyyppejä on olemassa, miten ne eroavat toisistaan, mitkä ovat kunkin tyypin symmetristen kuvioiden rakentamisen periaatteet.

Tavoite : Johdatus erilaisiin symmetriatyyppeihin.

Tehtävät:

Tutki kirjallisuutta tästä aiheesta.

Tee yhteenveto ja systematisoi opiskelu materiaali.

Valmistele esitys.

Muinaisina aikoina sanaa "SYMMETRIA" käytettiin "harmonian", "kauneuden" merkityksessä. Kreikasta käännettynä tämä sana tarkoittaa "suhteellisuutta, suhteellisuutta, yhdenmukaisuutta jonkin osien järjestelyssä vastakkaiset puolet pisteestä, suorasta tai tasosta.

Symmetriaryhmiä on kaksi.

Ensimmäinen ryhmä sisältää asemien, muotojen, rakenteiden symmetrian. Tämä on symmetria, joka voidaan nähdä suoraan. Sitä voidaan kutsua geometriseksi symmetriaksi.

Toinen ryhmä luonnehtii symmetriaa fyysisiä ilmiöitä ja luonnonlakeja. Tämä symmetria on luonnontieteellisen maailmankuvan perusta: sitä voidaan kutsua fysikaaliseksi symmetriaksi.

Pysähdyn opiskelemaangeometrinen symmetria .

Toisaalta on myös useita geometrisen symmetrian tyyppejä: keskus, aksiaalinen, peili (symmetria suhteessa tasoon), radiaalinen (tai pyörivä), kannettava ja muut. Tarkastelen tänään viittä symmetriatyyppiä.

Keskimmäinen symmetria

Kaksi pistettä A ja A 1 kutsutaan symmetrisiksi pisteen O suhteen, jos ne sijaitsevat m O:n läpi kulkevalla suoralla ja sijaitsevat pitkin eri puolia hänestä samalla etäisyydellä. Pistettä O kutsutaan symmetriakeskukseksi.

Figuuria kutsutaan pisteen suhteen symmetriseksiO , jos kunkin kuvan pisteen piste on symmetrinen sille pisteen suhteenO kuuluu myös tähän hahmoon. PisteO jota kutsutaan kuvion symmetriakeskukseksi, hahmolla sanotaan olevan keskussymmetria.

Esimerkkejä kuvioista, joilla on keskussymmetria, ovat ympyrä ja suuntaviiva.

Dialla näkyvät luvut ovat symmetrisiä johonkin kohtaan

2. Aksiaalinen symmetria

Kaksi pistettäX ja Y kutsutaan symmetriseksi viivan suhteent , jos tämä suora kulkee janan XY keskipisteen läpi ja on kohtisuorassa sitä vastaan. On myös sanottava, että jokainen piste linjant pidetään symmetrisenä itselleen.

Suoraant on symmetria-akseli.

Kuvion sanotaan olevan symmetrinen suoran suhteen.t, jos jokaiselle kuvan pisteelle on sille symmetrinen piste suoran suhteent kuuluu myös tähän hahmoon.

Suoraantjota kutsutaan kuvion symmetria-akseliksi, kuvalla sanotaan olevan aksiaalinen symmetria.

Aksiaalisymmetriaa hallitsevat kehittymätön kulma, tasakylkiset ja tasasivuiset kolmiot, suorakulmio ja rombi,kirjaimet (katso esittely).

Peilisymmetria (symmetria tason suhteen)

Kaksi P-pistettä 1 ja P:tä kutsutaan symmetrisiksi tason suhteen, ja jos ne sijaitsevat suoralla, kohtisuorassa tasoon nähden a, ja ovat samalla etäisyydellä siitä

Peilin symmetria kaikille tuttu. Se yhdistää minkä tahansa kohteen ja sen heijastuksen litteä peili. Yhden hahmon sanotaan olevan peilisymmetrinen toiseen nähden.

Tasossa luku, jolla oli ääretön määrä symmetriaakseleita, oli ympyrä. Avaruudessa äärettömällä määrällä symmetriatasoja on pallo.

Mutta jos ympyrä on ainoa laatuaan, niin kolmiulotteisessa maailmassa on koko rivi kappaleita, joilla on ääretön määrä symmetriatasoja: suora sylinteri, jonka pohjassa on ympyrä, kartio pyöreällä pohjalla, pallo.

On helppo todeta, että jokainen on symmetrinen litteä figuuri voidaan yhdistää itsensä kanssa peilin avulla. On yllättävää, että sellainen monimutkaisia ​​hahmoja, kuten viisisakarainen tähti tai tasasivuinen viisikulmio ovat myös symmetrisiä. Kuten akselien lukumäärästä seuraa, ne erottuvat tarkasti niiden korkeasta symmetriasta. Ja päinvastoin: ei ole niin helppoa ymmärtää, miksi tällainen näennäisesti säännöllinen kuvio, kuten vino suuntaviiva, ei ole symmetrinen.

4. P pyörimissymmetria (tai säteittäinen symmetria)

Pyörimissymmetria on symmetriaa, joka säilyttää esineen muodonkun pyörii jonkin akselin ympäri kulmassa, joka on yhtä suuri kuin 360 ° /n(tai tämän arvon kerrannainen), missän= 2, 3, 4, … Ilmoitettua akselia kutsutaan pyöriväksi akseliksin- järjestys.

klon=2 kuvan kaikkia pisteitä on kierretty 180 kulman verran 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) akselin ympäri, samalla kun kuvion muoto säilyy, ts. jokainen kuvion piste menee saman kuvion pisteeseen (kuvio muunnetaan itsekseen). Akselia kutsutaan toisen asteen akseliksi.

Kuva 2 esittää kolmannen kertaluvun akselia, kuva 3 - 4. kertaluokkaa, kuva 4 - 5. kertaluokkaa.

Objektilla voi olla useampi kuin yksi pyörimisakseli: kuva 1 - 3 kiertoakselia, kuva 2 - 4 akselia, kuva 3 - 5 akselia, kuva 2. 4 - vain 1 akseli

Tunnetuilla kirjaimilla "I" ja "F" on kiertosymmetria. Jos käännät kirjainta "I" 180° akselin ympäri, joka on kohtisuorassa kirjaimen tasoon nähden ja kulkee sen keskustan läpi, kirjain on kohdistettu itse. Toisin sanoen kirjain "I" on symmetrinen suhteessa kiertoon 180°, 180°= 360°: 2,n=2, joten sillä on toisen asteen symmetria.

Huomaa, että kirjaimella "F" on myös toisen asteen pyörimissymmetria.

Lisäksi kirjaimella ja on symmetriakeskus ja kirjaimella Ф on symmetria-akseli

Palataanpa esimerkkeihin elämästä: lasi, kartion muotoinen jäätelökauna, langanpala, piippu.

Jos tarkastelemme näitä kappaleita tarkemmin, huomaamme, että ne kaikki, tavalla tai toisella, koostuvat ympyrästä, ääretön joukko jonka symmetria-akselit kulkevat äärettömän määrän symmetriatasoja. Suurimmalla osalla näistä kappaleista (niitä kutsutaan pyörimiskappaleiksi) on tietysti myös symmetriakeskus (ympyrän keskipiste), jonka läpi kulkee ainakin yksi pyörivä symmetria-akseli.

Selvästi näkyy esimerkiksi jäätelötärön akseli. Se kulkee ympyrän keskeltä (jäätelöstä työntyen ulos!) Funky-kartion terävään päähän. Havaitsemme kappaleen symmetriaelementtien joukon eräänlaisena symmetriamitana. Pallo on epäilemättä symmetrian suhteen vertaansa vailla oleva täydellisyyden ruumiillistuma, ihanne. Muinaiset kreikkalaiset pitivät sitä täydellisimpana kehona ja ympyrän tietysti täydellisimpana litteänä hahmona.

Tietyn kohteen symmetrian kuvaamiseksi on tarpeen määrittää kaikki kiertoakselit ja niiden järjestys sekä kaikki symmetriatasot.

Harkitse esim. geometrinen runko, joka koostuu kahdesta identtisestä säännöllisestä nelikulmaisesta pyramidista.

Siinä on yksi 4. kertaluvun pyörivä akseli (akseli AB), neljä toisen asteen pyörivää akselia (akselit CE,D.F., MP, NQ), viisi symmetriatasoa (tasotCDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ).

5 . Kannettava symmetria

Toinen symmetrian muoto onkannettava kanssa symmetria.

He puhuvat sellaisesta symmetriasta, kun kun kuviota siirretään suoraa viivaa pitkin jonkin matkan "a" tai etäisyyden, joka on tämän arvon kerrannainen, se yhdistetään itsensä kanssa. Suoraa linjaa, jota pitkin siirto tapahtuu, kutsutaan siirtoakseliksi ja etäisyyttä "a" kutsutaan perussiirroksi, jaksoksi tai symmetriaaskeleeksi.

a

Ajoittain toistuvaa kuviota pitkässä nauhassa kutsutaan reunaksi. Käytännössä reunuksia löytyy eri muodoissa (seinämaalaus, valurauta, kipsi bareljeefit tai keramiikka). Taidemaalarit ja taiteilijat käyttävät rajoja sisustaessaan huonetta. Näiden koristeiden suorittamiseksi tehdään stensiili. Siirrämme stensiiliä kääntämällä sitä ympäri tai jättämättä sitä ympäri, piirrämme ääriviivan toistaen kuviota ja saamme koristeen (visuaalinen esittely).

Reunus on helppo rakentaa käyttämällä stensiiliä (alkuperäinen elementti), siirtämällä tai kääntämällä sitä ja toistamalla kuviota. Kuvassa on viisi stensiilityyppiä:a ) epäsymmetrinen;b, c ) jolla on yksi symmetria-akseli: vaaka- tai pystysuora;G ) keskellä symmetrinen;d ) jolla on kaksi symmetria-akselia: pystysuora ja vaaka.

Seuraavia muunnoksia käytetään rajojen rakentamiseen:

a ) rinnakkaissiirto;b ) symmetria pystyakselin suhteen;sisään ) keskisymmetria;G ) symmetria vaaka-akselin suhteen.

Vastaavasti voit rakentaa pistorasiat. Tätä varten ympyrä on jaettun yhtä suuret sektorit, yhdessä niistä suoritetaan näytekuvio ja sitten jälkimmäinen toistetaan peräkkäin ympyrän muissa osissa kääntäen kuviota joka kerta 360 ° / kulmassa.n .

hyvä esimerkki aksiaalisen ja kuviollisen symmetrian soveltaminen voi toimia valokuvassa näkyvänä aitana.

Johtopäätös: On siis erilaisia symmetria, symmetrisiä pisteitä jokaisessa näistä symmetriatyypeistä rakennetaan tiettyjen lakien mukaan. Elämässä kohtaamme kaikkialla yhden tai toisen tyyppistä symmetriaa, ja usein meitä ympäröivissä esineissä voidaan havaita useita symmetriatyyppejä kerralla. Tämä luo järjestystä, kauneutta ja täydellisyyttä ympäröivään maailmaan.

KIRJALLISUUS:

Perusmatematiikan käsikirja. Minun a. Vygodski. - Kustantaja "Science". - Moskova 1971. – 416 s.

Nykyaikainen sanasto vieraita sanoja. - M.: Venäjän kieli, 1993.

Matematiikan historia koulussaIX - Xluokat. G.I. Glaser. - Kustantaja "Enlightenment". – Moskova 1983 – 351 s.

Visuaalinen geometria 5 - 6 luokkaa. JOS. Sharygin, L.N. Erganžiev. - Kustantaja "Drofa", Moskova, 2005. - 189p.

Tietosanakirja lapsille. Biologia. S. Ismailova. – Kustantaja "Avanta+". – Moskova 1997 – 704 s.

Urmantsev Yu.A. Luonnon symmetria ja symmetrian luonne - M.: Ajatus arkkitehtuuri / arhkomp2. htm, , fi.wikipedia.org/wiki/

Joten mitä tulee geometriaan: symmetriaa on kolme päätyyppiä.

Ensinnäkin, keskussymmetria (tai symmetria pisteen suhteen) - tämä on tason (tai avaruuden) muunnos, jossa ainoa piste (piste O - symmetriakeskus) pysyy paikallaan, kun taas muut pisteet muuttavat sijaintiaan: pisteen A sijasta saamme pisteen A1 siten, että piste O on janan AA1 keskipiste. Rakentaaksesi F1-hahmon, symmetrinen kuvioФ suhteessa pisteeseen O, on tarpeen piirtää pisteen O (symmetriakeskuksen) kautta kulkeva säde kuvan Ф jokaisen pisteen kautta, ja tälle säteelle on jätettävä syrjään piste, joka on symmetrinen pisteen suhteen valitun pisteen kanssa. piste O. Tällä tavalla muodostettu pistejoukko antaa kuvan Ф1.

Mielenkiintoisia ovat hahmot, joilla on symmetriakeskus: pisteen O symmetrialla mikä tahansa kuvion F piste muunnetaan jälleen joksikin pisteeksi kuviosta F. Tällaisia ​​kuvioita on monia geometriassa. Esimerkiksi: jana (janan keskikohta on symmetrian keskipiste), suora (jokin sen pisteistä on sen symmetrian keskipiste), ympyrä (ympyrän keskipiste on symmetrian keskipiste), suorakulmio (sen diagonaalien leikkauspiste on symmetrian keskipiste). Asumisessa ja asumisessa on monia keskeisesti symmetrisiä esineitä eloton luonto(opiskelijaposti). Usein ihmiset itse luovat esineitä, joissa on symmetriakeskusrii (esimerkkejä käsityöstä, esimerkkejä koneenrakennuksesta, esimerkkejä arkkitehtuurista ja monia muita esimerkkejä).

Toiseksi, aksiaalinen symmetria(tai symmetria viivan ympärillä) - tämä on tason (tai avaruuden) muunnos, jossa vain suoran p pisteet pysyvät paikoillaan (tämä suora on symmetria-akseli), kun taas muut pisteet muuttavat sijaintiaan: pisteen B sijasta , saadaan sellainen piste B1, että suora p on kohtisuorassa janan BB1 puolittaja. Kuvion Φ kanssa symmetrisen kuvion Φ1 muodostamiseksi suoran p suhteen on välttämätöntä, että kuvion Φ jokainen piste muodostaa sille symmetrisen pisteen suoran p suhteen. Kaikkien näiden konstruoitujen pisteiden joukko antaa vaaditun luvun Ф1. On monia geometrisia muotoja, joilla on symmetria-akseli.

Suorakulmiossa on kaksi, neliössä neljä, ympyrässä on mikä tahansa sen keskustan läpi kulkeva suora. Jos tarkastelet tarkasti aakkosten kirjaimia, niiden joukosta löydät ne, joilla on vaaka- tai pystysuora ja joskus molemmat symmetria-akselit. Objektit, joilla on symmetria-akseli, ovat melko yleisiä elo- ja elottomassa luonnossa (opiskelijaraportit). Toiminnassaan ihminen luo monia esineitä (esimerkiksi koristeita), joilla on useita symmetriaakseleita.

______________________________________________________________________________________________________

Kolmanneksi, taso (peili)symmetria (tai symmetria tason suhteen) - tämä on avaruuden muunnos, jossa vain yhden tason pisteet säilyttävät sijaintinsa (α-symmetriataso), muut avaruuden pisteet vaihtavat sijaintiaan: pisteen C sijasta saadaan sellainen piste C1, että taso α kulkee janan CC1 keskikohdan läpi kohtisuoraan siihen nähden.

Kuvan Ф1 muodostamiseksi, joka on symmetrinen kuvion Ф kanssa tason α suhteen, on välttämätöntä, että kuvion Ф jokainen piste rakentaa pisteet, jotka ovat symmetrisiä suhteessa α, ne muodostavat joukossaan kuvion Ф1.

Useimmiten ympärillämme olevien asioiden ja esineiden maailmassa kohtaamme kolmiulotteisia kappaleita. Ja joillakin näistä kappaleista on symmetriatasoja, joskus jopa useita. Ja ihminen itse toiminnassaan (rakentaminen, käsityö, mallinnus, ...) luo esineitä, joilla on symmetriatasot.

On syytä huomata, että kolmen luetellun symmetriatyypin lisäksi on (arkkitehtuurissa)kannettava ja kääntyvä, jotka geometriassa ovat useiden liikkeiden koostumuksia.

Symmetrian käsite löytyy monilta alueilta ihmiselämä, kulttuurin ja taiteen sekä alan tieteellinen tietämys. Mutta mitä on symmetria? Käännetty kielestä muinainen Kreikka se on suhteellisuutta, muuttumattomuutta, yhdenmukaisuutta. Symmetriasta puhuttaessa tarkoitamme usein suhteellisuutta, järjestystä, harmonista kauneutta tietyn ryhmän elementtien tai esineen komponenttien järjestelyssä.

Fysiikassa systeemin käyttäytymistä kuvaavien yhtälöiden symmetriat auttavat yksinkertaistamaan ratkaisua etsimällä säilyneitä suureita.

Kemiassa symmetria molekyylien järjestelyssä selittää joukon kristallografian, spektroskopian tai kvanttikemian ominaisuuksia.

Biologiassa symmetrialla tarkoitetaan elävän organismin muodon tai identtisten kehon osien säännöllistä sijaintia suhteessa keskustaan ​​tai symmetria-akseliin. Symmetria luonnossa ei ole absoluuttista, se sisältää välttämättä epäsymmetriaa, ts. tällaiset osat eivät välttämättä täsmää 100 %:n tarkkuudella.

Symmetria löytyy usein maailman uskontojen symboleista ja toistuvista sosiaalisen vuorovaikutuksen malleista.

Mitä on symmetria matematiikassa

Matematiikassa symmetriaa ja sen ominaisuuksia kuvataan ryhmäteorialla. Geometrian symmetria on kuvioiden kyky näyttää, säilyttäen samalla ominaisuudet ja muodon.

AT laajassa mielessä kuvalla F on symmetriaa, jos se on olemassa lineaarinen muunnos, joka kääntää tämän luvun itsestään.

Enemmässä suppea merkitys symmetriaa matematiikassa kutsutaan peilin heijastus suhteessa viivaan c tasossa tai suhteessa tasoon c avaruudessa.

Mikä on symmetria-akseli

Avaruuden muunnos suhteessa tasoon c tai suoraan c katsotaan symmetriseksi, jos lisäksi jokainen piste B menee pisteeseen B "niin että jana B B" on kohtisuorassa tätä tasoa tai suoraa vastaan ​​ja jakaa sen kahtia . Tässä tapauksessa tasoa c kutsutaan symmetriatasoksi, suoraa c:tä kutsutaan symmetria-akseliksi. Geometrisilla kuvioilla, kuten säännöllisillä monikulmioilla, voi olla useita symmetriaakseleita, ja ympyrällä ja pallolla on ääretön luku sellaiset kirveet.

Yksinkertaisimpia spatiaalisen symmetrian tyyppejä ovat:

• peili (heijastusten synnyttämä);
• aksiaalinen;
• Keski;
• siirtosymmetria.

Mikä on aksiaalinen symmetria

Symmetriaa tasojen akselin tai leikkausviivan suhteen kutsutaan aksiaaliksi. Siinä oletetaan, että jos symmetria-akselin jokaisen pisteen läpi piirretään kohtisuora, voit aina löytää siitä 2 symmetristä pistettä, jotka sijaitsevat samalla etäisyydellä akselista. AT säännöllisiä polygoneja symmetria-akselit voivat olla niiden lävistäjät tai keskiviivat. Symmetria-akselin ympyrässä - sen diagonaalit.

Mikä on keskussymmetria

Pistettä koskevaa symmetriaa kutsutaan keskeiseksi. Tässä tapauksessa päälle yhtä etäisyyttä pisteestä sen molemmilla puolilla on muita pisteitä, geometrisia kuvioita, suoria tai kaarevia linjoja. Kun symmetriset pisteet yhdistetään symmetriapisteen läpi kulkevaan suoraan, ne sijaitsevat tämän viivan päissä ja vain symmetriapiste on sen keskipiste. Ja jos käännät tätä suoraa kiinnittäen symmetriapisteen, symmetriset pisteet kuvaavat käyriä niin, että yhden kaarevan viivan jokainen piste on symmetrinen toisen kaarevan viivan samaan pisteeseen.

kreikasta symmetria - suhteellisuus) - jonkin keinotekoisen esineen muodon elementtien yhtenäinen, samanlainen järjestely; sanan laajassa merkityksessä - aineellisen esineen rakenteen, muodon (objektijärjestelmän) muuttumattomuus (muuttumattomuus) sen muuntamisen suhteen, minkä vuoksi symmetria liittyy tiettyjen ominaispiirteiden säilymiseen annettu esine(järjestelmä), esimerkiksi energia, liikemäärä jne. (Noetherin lause sisään teoreettinen fysiikka). (Katso myös syngoniat, kiteet, kristallografia).

Suuri määritelmä

Epätäydellinen määritelmä ↓

Symmetria

Kokonaisuuden järjestys on Platonin mukaan kokonaisuuden muuntamista harmoniaan, ja tietty harmonian rakenne on symmetria, mittasuhteet, rytmi.

a) Platon ei antanut riittävän selkeää ja kehitetty määritelmä symmetriaa, vaikka tämä käsite on estetiikan kannalta erittäin tärkeä. Hänen väitteensä symmetriasta (Fileb, 23c-27d) ovat valitettavasti liian yleisiä. He päätyvät johonkin tämän kaltaiseen: kuvittele jokin tyhjä tausta, jolle ei ole piirretty mitään. Piirretään tälle taustalle kuvio - ympyrä, neliö, kolmio, suorakulmio jne. Tällainen kuvio on merkitty suoralla tai kaarevalla viivalla. Oletetaan edelleen, että emme käsittele ottamamme taustaa ja piirrettyä hahmoa erillään toisistaan, vaan kokonaisuutena. Tämä esitys on oikea, koska hahmo jotenkin miehitti ja alistui tietty osa tausta. Mikä tämä luku on, mitä siinä on erityinen näkemys? Hänen ulkonäkönsä voi olla kaunis tai ruma, oikeasuhteinen tai epäsuhtainen, symmetrinen tai epäsymmetrinen. Annoimmeko figuurille juuri sellaisen ilmeen kuin halusimme, vai emme onnistuneet? On meidän esteettinen tunne se kertoo, onko tämä hahmo hyvä vai ei, onko se hoikka vai ei, kaunis vai ruma jne. Tämä on yksinkertaisin ja yleismaailmallinen päättely, joka on pidettävä mielessä vaikean platonin sisällön ymmärtämiseksi dialogi Philebus.

Taustasta puhumisen sijaan Platon esittelee äärettömän käsitteen. Eivät tietenkään heti tule ymmärrettäviä sanoja Platon, että ääretön "voi" olla mielivaltaisen suuri ja mielivaltaisen pieni, että se on tyhjä eikä sisällä mitään itsessään. Joten taustamme on platoninen äärettömyys. Seuraavaksi piirrämme taustallemme tietyn hahmon, eli rajoitamme jonkin osan taustasta. Platon kutsuu tätä lukua ei kovin selkeäksi termiksi - "raja". Raja on sisään Tämä tapaus vain tunnetun taustan osan rajoitus. Mutta piirustuksemme, joka rajoitti osan taustasta muusta taustasta, loi tarkasti tietty luku. Platon kutsuu tätä lukua ei täysin selväksi termiksi - äärettömän ja rajan "sekoitukseksi". Se ei ole mikään sekoitus minkään erilaisia ​​esineitä. Tätä termiä voidaan verrata siihen, miten hahmon piirustus nähdään, kun tämä taustaa vasten erottuva hahmo todella "sekoittuu" tähän taustaan, mutta on selvää, että tämä "sekoittamisen" käsite on erityinen. Vielä vaikeampi ja käsittämättömämpi on Platonin termi, jolla hän ilmaisee, millaisen hahmon saimme, eli millaisen idean halusimme ilmentää piirustukseen, olipa kyseessä idea esimerkiksi kolmiosta tai idea ympyrä tai yleensä jokin tietty idea. Platon kutsui tätä "sekaannuksen syyksi". Sana "syy" on joko valitettava tässä tai emme yksinkertaisesti pystyneet kääntämään vastaavaa Kreikan termi. On kuitenkin selvää, että tämä luku on melko selvä. Tämä ei ole ollenkaan kuvio, vaan kolmio, suorakulmio, ympyrä jne. Onko tämä se kuvio, jonka halusimme piirtää? Tässä syntyy uusi askel piirustuksen ymmärtämisessä, jota Platon kutsuu kolmeksi termiksi kerralla: "symmetria", "totuus" ja "kauneus". Tietenkin saamamme kuvio on joko symmetrinen tai epäsymmetrinen, tai se vastaa ideaamme ja on siten totta, tai teimme virheen piirtäessämme jotain, jolloin se ei ole totta, ja se on joko kaunis tai ruma. Tämä on myös selvää. Mutta myös yleinen luonne Näistä termeistä ja niiden keskinäisriippuvuuden perustelujen puuttumisesta ei ole täysin selvää, miksi antiikin kirjoittajien Platonin Filebuksen kommenteissa oli monia kiistoja tästä aiheesta. Siksi symmetria Platonin "Filebuksen" mukaan ehdottaa, mukaan vähintään, neljä erilaista käsitettä - ääretön, raja, molempien hämmennys ja tämän hämmennyksen syyt. Ja sitä paitsi, tässäkään tapauksessa symmetrian käsite ei ole vielä kovin selkeästi erotettu totuuden ja kauneuden käsitteestä. Jos pidämme mielessä Platonin rakkauden käsitteiden arkkitehtoniikkaa ja niiden kaavamaisuutta kohtaan, kauneuden, totuuden ja symmetrian erottaminen ei ole muuta kuin alkuperäisen äärettömän, rajan ja hämmennyksen dialektiikan toistoa. korkeampi taso. Mielenkiintoisin ja lähin lähestymistapa estetiikan ymmärtämiseen on keskustelu mielihyvyydestä tai nautinnosta ja rationaalisuudesta. Nautinto tai nautinto on jotain rajatonta, koska se itsessään on kyltymätön, ikuisesti pyrkivä ikään kuin sokeasti eikä sillä ole rajoja. Järki, mieli tai äly, päinvastoin, perustuu aina tiettyyn järjestelmään, tiettyihin tarkkoihin eroihin, nautinnoista pidättäytymiseen, ja on siksi luja ja määrätty periaate, "raja". Jos Platon kauneudella ymmärtää nautinnon ja rationaalisuuden synteesin, se on ikään kuin sisällä symmetrian suhteellisuus, silloin hän ilmiselvästi ennakoi myöhempiä eurooppalaisia ​​opetuksia nautinnon ja älyn yhdistämisestä kauneudessa, jotka levisivät myöhemmin hyvin laajalle. Todellinen konsepti kauneus sisältää aina paitsi nautinnon, myös järkevän ideologian. Platonin symmetriaoppi ei ole niin naiivi ja yleinen; jossain määrin se heijastaa sekä todellista esteettistä todellisuutta että sen todellista havaintoa.

b) Lähdimme siitä tosiasiasta, että Platon kehitti esteettisen ja kaiken muun terminologian asteittain, joskus suurella vaivalla, ja se otti usein epämääräisiä ja monimutkaisia ​​muotoja. Platonin estetiikkaa on kuitenkin mahdotonta tutkia vain joidenkin Filebuksen materiaalien perusteella. On tarpeen kiinnittää huomiota termin "symmetria" käyttöön muissa vuoropuheluissa.

Esimerkiksi Laeissa (Legg., II 668 a) on mielenkiintoista: totuus eikä mikään muu." Tässä tapauksessa "symmetria" merkitsee jo "totuutta", joten ainakin tässä kohtaa olimme oikeassa arvauksessamme "symmetrian" paikasta Philebusissa. "Philebus" liittyy tuomioon "Laeissa" (Legg., VI 773 a): "Tasa-arvoinen ja oikeasuhteinen hyveen suhteen on äärettömän korkeampi kuin liiallinen (akratoy)". Nämä esimerkit osoittavat myös, että Platon ei turhaan sijoittanut "symmetriaansa" sellaisiin yleinen alue, rajan ja äärettömän luovan sekoittumisen alueena. Nämä kaksi tekstiä korostavat hyvin heikosti rakenteellinen puoli symmetriaa, joten "suhteellisuus" voidaan tässä ymmärtää laajimmassa merkityksessä. Aivan kuten "totuudella" ja "kauneudella" on jonkinlainen vastaavuus (eli rajan ja äärettömän keskinäinen vastaavuus), symmetria on sama vastaavuus.

Luemme rakenteellisesta symmetriasta: "Poseidonin temppeli itse oli yhden vaiheen pituinen, leveydeltään kolme plethria ja suhteessa (symmetron) ulkonäön korkeuteen" (Critias, 116 d). Meille ei ole selvää, mitä symmetria tässä tarkoittaa. Mutta on selvää, että kyseessä on jonkinlainen rakenteellinen vastaavuus. Samanlainen rakenneperiaate voidaan kohdata Sofistissa, joka puhuu perspektiivin aiheuttamasta objektien vääristymisestä:

"Jos he [taiteilijat] luovat todellisen symmetrian kauniista esineistä, tiedät, että korkeampi näyttää pienemmältä kuin alempi ja alempi - enemmän, koska ensimmäiset näkyvät meille kaukaa, ja jälkimmäiset sulkevat... sellaisissa olosuhteissa taiteilijat totuudella, antaessaan kuville he eivät koristele kauniita ”mittoja” (tas oysas simmetrias), vaan sellaisilta näyttäviä” ​​(Soph., 235 e - 236 a). Tässä "symmetria" vain vihjaa rakenteellisuudesta, mutta itse asiassa se tarkoittaa (kuten se on käännetty) täsmälleen "ulottuvuuksia" tai (jos käännämme myös tämän sanan etuliitettä) "joukkoa ulottuvuuksia".

Tässä on teksti, joka viittaa pituusyksiköiden koostumukseen, mutta ilman näiden pituuksien rakenteellista suhdetta: "Ollessaan yhtä suuri, se on samansuuruinen [ts. e. "samasta mittayksiköiden määrästä"], millä se on yhtä suuri kuin ... Jos se on enemmän tai vähemmän kuin se, johon se on verrannollinen (xymmetron), niin suhteessa pienempään sillä on enemmän toimenpiteitä [ suurempi koko], ja suhteessa suurempiin sillä on vähemmän toimenpiteitä [ pienempi koko]... Sen kanssa, mihin se on suhteetonta (minu symmetria), siihen nähden sillä on kerran pienempiä mittoja, kerran suurempia” (Parm., 140 b). "Symmetrialla" tarkoitamme tässä tietysti yksinkertaisesti matemaattista vertailukelpoisuutta eli mahdollisuutta löytää yksittäinen mitta mitat.

c) Luonnehtia termiä "symmetria" on merkitys teksti Platonin dialogista "Theaetetus" (147d-148a). Tämä teksti aiheuttaa huomattavia vaikeuksia puhtaasti filologisesta näkökulmasta. Sen ajatus tiivistyy siihen tosiasiaan, että Platon tuo esille tutkiessaan symmetriasuorakulmioita, joissa sivut mitataan tietyllä rationaalinen luku, kun taas diagonaalit ovat irrationaalisia. Jokaisen tällaisen suorakulmion sivun ja lävistäjän suhde luo erityisen symmetrian, jonka perusteella nykyaikaisten arkkitehtuurin teoreetikot tutkivat muinaiset mestarit pystyttivät klassisen ajan temppelirakennuksia.

Theaitetuksen väittely symmetriasta ei jäänyt vastaamatta myös modernissa taidehistoriallisessa kirjallisuudessa. D. Hambidge nimittäin viittaa arkkitehtuurin dynaamisen symmetrian opissaan3 juuri tähän paikkaan Platonin Theaetetuksessa, vaikka hän ei alista sitä erityiselle analyysille. Se perustuu suureen määrään taidehistoriallista ja luonnontieteellistä materiaalia sekä muuten Parthenonin (sekä muiden kreikkalaisten temppelien) tärkeimpien arkkitehtonisten elementtien analyysiin. Jos pidämme mielessä "Theaetetuksen" terminologian, tämän kirjoittajan "dynaamisena" pitämän symmetrian nimeä tulisi pitää erittäin onnistuneena.

Theaitetuksen symmetria-argumentti ei pohjimmiltaan mene Filebuksen pidemmälle, vaan vain konkretisoi sitä. "Rajoituksen" ja "rajattoman" liitto taiteellinen kuva saavutettu Theaetetusissa geometrinen rakenne. Geometria dialogissa "Theaetetus" palvelee tässä niitä ruumiillisia ja käytännön aloitus, jonka avulla Platon tekee abstrakteja konstruktioitaan. Geometrian avulla Platon yrittää kääntää kieleksi tieteellinen kieli antiikkiharjoittelua Kuvataide(tässä tapauksessa arkkitehtuuri).

Symmetrian käsitteessä Platonilla on melko merkittävä poikkeama länsieurooppalaisessa estetiikassa tavanomaisesta ymmärryksestä. Tämä ristiriita on havaittavin, koska Platonin käsite on liian suuri. Nyt ne edustavat symmetriaa pääasiassa toisiaan vastaavien osien läsnäolona, ​​jotka sijaitsevat tietyn keskuksen tai akselin ympärillä. Platonin käsitys symmetriasta pelkistettiin toisiaan vastaavien osien läsnäoloon, joilla oli hyvin laaja käsitys "keskuksesta" tai "akselista". Täällä ei ajatella vain numeerisia ja geometrisia suhteita, vaan myös olemisen ja elämän suhteita yleensä.

Ennen kaikkea tietysti "symmetria" on (kuten kaikki muutkin esteettiset muodot) käsitetty Platonissa suhteessa sieluun ja kosmokseen. Kuten näemme, se on jo tyypillistä kaikille. alkeishahmot, josta Platon rakentaa kosmoksen (Tim., 69 b), mutta erityisesti se kiinnittyy elävään ruumiiseen ja sieluun sekä sielun ja ruumiin suhteeseen (Tim., 87 s). Voidaan sanoa, että symmetrialla on tässä sama laaja merkitys kuin esisokraattisessa estetiikassa, mutta vain siinä luova hetki, joka on täysin liuennut esisokratiikkojen esittämään maailman kosmologiseen ja fyysiseen esitykseen.

Suuri määritelmä

Epätäydellinen määritelmä ↓

konsepti symmetria kulkee läpi ihmiskunnan historian. Se löytyy jo ihmistiedon alkuperästä. Se syntyi elävän organismin, nimittäin ihmisen, tutkimuksen yhteydessä. Ja kuvanveistäjät käyttivät sitä jo 500-luvulla eKr. sana" symmetria "Kreikka, se tarkoittaa" suhteellisuus, suhteellisuus, samankaltaisuus osien järjestelyssä”.

Sitä käytetään laajasti kaikkiin suuntiin poikkeuksetta. moderni tiede. saksalainen matemaatikko Herman Weil sanoi: " Symmetria on ajatus, jonka kautta ihminen on vuosisatojen ajan yrittänyt ymmärtää ja luoda järjestystä, kauneutta ja täydellisyyttä.". Sen toiminta sijoittuu 1900-luvun ensimmäiselle puoliskolle. Hän muotoili symmetrian määritelmän, jonka perusteella symmetrian esiintyminen tai päinvastoin puuttuminen tietyssä tapauksessa on nähtävissä. Näin ollen matemaattisesti tiukka esitys muodostettiin suhteellisen äskettäin - 1900-luvun alussa.

1.1. Aksiaalinen symmetria

Kahta pistettä A ja A1 kutsutaan symmetrisiksi suoran a suhteen, jos tämä suora kulkee janan AA1 keskikohdan läpi ja on kohtisuorassa siihen nähden (kuva 2.1). Jokaisen suoran a pisteen katsotaan olevan symmetrinen itselleen.

Kuviota kutsutaan symmetriseksi suoran a suhteen, jos kuvion kullekin pisteelle sille symmetrinen piste suoran a suhteen kuuluu myös tähän kuvioon (kuva 2.2).

Suoraa a kutsutaan kuvion symmetria-akseliksi.


Figuurilla sanotaan olevan myös aksiaalinen symmetria.

Aksiaalinen symmetria on sellaisilla geometrisilla kuvioilla kuin kulma, tasakylkinen kolmio, suorakulmio, rombi (kuva 2.3).

Figuurilla voi olla useampi kuin yksi symmetria-akseli. Suorakulmiossa on kaksi, neliössä neljä ja tasasivuinen kolmio- kolme, ympyrässä - mikä tahansa suora viiva, joka kulkee sen keskustan läpi.

Jos tarkastelet tarkasti aakkosten kirjaimia (kuva 2.4), niiden joukosta löydät ne, joilla on vaaka- tai pystysuora ja joskus molemmat symmetria-akselit. Objektit, joilla on symmetria-akselit, ovat melko yleisiä elollisessa ja elottomassa luonnossa.

On kuvioita, joilla ei ole mitään symmetria-akselia. Tällaisia ​​kuvioita ovat muun muassa suunnikkaat kuin suorakulmio, mittakaavakolmio.

Toiminnassaan ihminen luo monia esineitä (mukaan lukien koristeita), joilla on useita symmetriaakseleita.

1.2 Keskisymmetria

Kahta pistettä A ja A1 kutsutaan symmetrisiksi pisteen O suhteen, jos O on janan AA1 keskipiste. Piste O katsotaan symmetriseksi itselleen (kuva 2.5).

Kuvaa kutsutaan symmetriseksi pisteen O suhteen, jos kuvion jokaisessa pisteessä sille pisteen O suhteen symmetrinen piste kuuluu myös tähän kuvioon.

Yksinkertaisimmat symmetriset hahmot ovat ympyrä ja suunnikas (kuva 2.6).

Pistettä O kutsutaan kuvion symmetriakeskukseksi. AT vastaavia tapauksia Figuurissa on keskeinen symmetria. Ympyrän symmetriakeskus on ympyrän keskipiste ja suunnikkaan symmetriakeskipiste on sen diagonaalien leikkauspiste.

Suoralla on myös keskisymmetria, mutta toisin kuin ympyrällä ja suunnikkaalla, joilla on vain yksi symmetriakeskus, suorassa on niitä ääretön määrä - mikä tahansa suoran piste on sen symmetriakeskus. Esimerkki kuviosta, jolla ei ole symmetriakeskusta, on kolmio.

1.3. Pyörimissymmetria

Oletetaan, että objekti on kohdistettu itsensä kanssa, kun sitä kierretään jonkin akselin ympäri kulmalla, joka on 360 ° / n (tai tämän arvon kerrannainen), missä n \u003d 2, 3, 4, ... Tässä tapauksessa noin kierto. symmetria, ja ilmoitettua akselia kutsutaan n:nnen kertaluvun pyörimisakseliksi.

Harkitse esimerkkejä kaikkien kanssa kuuluisia kirjeitä « Ja" ja " F". Mitä tulee kirjeeseen" Ja”, silloin sillä on ns. rotaatiosymmetria. Jos käännät kirjainta" Ja» 180° akselin ympäri, joka on kohtisuorassa kirjaimen tasoon nähden ja kulkee sen keskustan läpi, kirjain on kohdistettu itsensä kanssa.

Toisin sanoen kirje Ja» on symmetrinen 180°:n kiertoon nähden. Huomaa, että kirjain " F».

Kuva 2.7. annetaan esimerkkejä yksinkertaisista esineistä, joissa on eri järjestyksessä olevat pyörivät akselit - 2.-5.