NOMOR e. Angka yang kira-kira sama dengan 2,718, yang sering ditemukan dalam matematika dan ilmu pengetahuan Alam. Misalnya saat berbuka zat radioaktif setelah waktu t dari jumlah awal zat tetap menjadi pecahan yang sama dengan e–kt, di mana k- angka yang mencirikan tingkat peluruhan zat yang diberikan. timbal balik 1/ k disebut masa hidup rata-rata atom dari zat tertentu, karena rata-rata atom ada untuk waktu 1/ k. Nilai 0,693/ k disebut waktu paruh zat radioaktif, yaitu waktu yang diperlukan untuk meluruhkan setengah dari jumlah asli zat; angka 0,693 kira-kira sama dengan log e 2, yaitu logaritma dasar 2 e. Demikian pula, jika bakteri dalam media nutrisi berkembang biak pada tingkat yang sebanding dengan jumlah mereka di saat ini, kemudian setelah waktu t jumlah awal bakteri N berubah menjadi tidak ada. redaman arus listrik Saya dalam rangkaian sederhana dengan koneksi serial, perlawanan R dan induktansi L terjadi menurut hukum saya = saya 0 e–kt, di mana k = R/L, Saya 0 - kekuatan saat ini pada saat itu t= 0. Rumus serupa menggambarkan relaksasi stres dalam cairan kental dan redaman Medan gaya. Nomor 1/ k sering disebut sebagai waktu relaksasi. Dalam statistik, nilai e–kt terjadi sebagai probabilitas bahwa dari waktu ke waktu t tidak ada peristiwa yang terjadi secara acak dengan frekuensi rata-rata k kejadian per satuan waktu. Jika sebuah S- jumlah uang yang diinvestasikan r bunga dengan akrual kontinu alih-alih akrual pada interval diskrit, kemudian pada saat t jumlah awal akan meningkat menjadi Setr/100.
Alasan "kemahahadiran" nomor tersebut e apakah itu rumusnya analisis matematis mengandung fungsi eksponensial atau logaritma, ditulis lebih mudah jika logaritma diambil dalam basis e, bukan 10 atau basis lainnya. Misalnya, turunan dari log 10 x sama (1/ x)log 10 e, sedangkan turunan dari log mantan hanya 1/ x. Demikian pula turunan dari 2 x sama dengan 2 x catatan e 2, sedangkan turunan dari mantan sama saja mantan. Ini berarti bahwa nomor e dapat didefinisikan sebagai dasar b, yang grafik fungsinya y= catatan b x memiliki pada intinya x= 1 garis singgung faktor kemiringan, sama dengan 1, atau di mana kurva y = bx sudah masuk x= 0 tangen dengan kemiringan sama dengan 1. Logaritma dasar e disebut "alami" dan dilambangkan dengan ln x. Kadang-kadang mereka juga disebut "non-Perian", yang tidak benar, karena pada kenyataannya J. Napier (1550-1617) menemukan logaritma dengan basis yang berbeda: logaritma non-Perian dari suatu bilangan x sama dengan 10 7 log 1/ e (x/10 7) .
Berbagai kombinasi derajat e begitu umum dalam matematika sehingga mereka memiliki nama khusus. Ini adalah, misalnya, fungsi hiperbolik
Grafik Fungsi kamu=ch x disebut catenary; benang atau rantai berat yang tidak dapat ditarik yang digantung di ujungnya memiliki bentuk seperti itu. Rumus Euler
di mana saya 2 = -1, nomor ikat e dengan trigonometri. kasus spesial x = p mengarah ke hubungan yang terkenal aku p+ 1 = 0, menghubungkan 5 angka paling terkenal dalam matematika.
Jumlah itu muncul relatif baru-baru ini. Kadang-kadang disebut "bukan-angka" untuk menghormati matematikawan Skotlandia John Napier (1550-1617), penemu logaritma, tetapi tidak berdasar, karena tidak ada dasar kuat untuk mengklaim bahwa Napier memiliki nomor. e representasi yang jelas" . Untuk pertama kalinya notasi " e"diperkenalkan oleh Leonhard Euler (1707-1783). Dia juga menghitung tepat 23 tempat desimal dari angka ini menggunakan representasi angka e dalam bentuk tak berujung seri nomor: diterima oleh Daniel Bernoulli (1700-1782). "Pada tahun 1873 Hermite membuktikan transendensi angka e.L Euler mendapat hasil yang luar biasa terkait angka-angka e, p, dan: . Dia juga memiliki kelebihan dalam mendefinisikan fungsi untuk nilai kompleks z, yang menandai awal dari analisis matematika di bidang kompleks - teori fungsi variabel kompleks ". Euler memperoleh rumus berikut: Pertimbangkan logaritma dalam basis e, disebut alami dan dilambangkan Lnx.
Metode untuk menentukan
Nomor e dapat didefinisikan dalam beberapa cara.
Melalui batas:
(kedua batas yang luar biasa) .
Sebagai jumlah dari seri:
bagaimana tunggal sebuah, untuk itu
Seperti satu-satunya nomor positif sebuah, yang benar
Properti
Properti ini memainkan peran penting dalam menyelesaikan persamaan diferensial. Sebagai contoh, satu-satunya solusi persamaan diferensial adalah fungsi dimana c adalah konstanta arbitrer.
Nomor e irasional dan bahkan transendental. Ini adalah angka pertama yang tidak secara khusus disimpulkan sebagai transenden, transendensinya baru dibuktikan pada tahun 1873 oleh Charles Hermite. Ini diasumsikan bahwa e- angka normal, yaitu, probabilitas munculnya angka yang berbeda dalam catatannya adalah sama.
Lihat rumus Euler khususnya
Rumus lain yang menghubungkan angka e dan R, disebut Integral Poisson atau Integral Gauss
Untuk siapa saja bilangan kompleks z persamaan berikut ini benar:
Nomor e berekspansi menjadi pecahan tak berhingga sebagai berikut:
Presentasi Katalan:
Cerita
Nomor ini kadang-kadang disebut non-Perov untuk menghormati ilmuwan Skotlandia Napier, penulis karya "Deskripsi tabel logaritma yang menakjubkan" (1614). Namun, nama ini tidak sepenuhnya benar, karena memiliki logaritma angka x adalah sama
Untuk pertama kalinya, konstanta secara diam-diam hadir dalam lampiran terjemahan ke bahasa Inggris karya Napier yang disebutkan di atas, diterbitkan pada tahun 1618. Di balik layar, karena hanya berisi tabel logaritma natural yang ditentukan dari pertimbangan kinematik, konstanta itu sendiri tidak ada (lihat: Napier).
Konstanta yang sama pertama kali dihitung oleh ahli matematika Swiss Bernoulli ketika menganalisis batas berikut:
Penggunaan pertama yang diketahui dari konstanta ini, di mana itu dilambangkan dengan huruf b, ditemukan dalam surat-surat Leibniz kepada Huygens, 1690-1691.
surat e Euler mulai menggunakannya pada tahun 1727, dan publikasi pertama dengan surat ini adalah karyanya "Mechanics, or the Science of Motion, Stated Analytical" pada tahun 1736. Masing-masing, e biasa dipanggil bilangan euler. Meskipun kemudian beberapa ulama menggunakan surat itu c, surat e lebih sering digunakan dan sekarang menjadi sebutan standar.
Mengapa surat itu dipilih? e, belum diketahui secara pasti. Mungkin ini karena fakta bahwa kata itu dimulai dengan itu eksponensial("eksponensial", "eksponensial"). Asumsi lain adalah bahwa huruf sebuah, b, c dan d sudah banyak digunakan untuk tujuan lain, dan e adalah surat "bebas" pertama. Tidak masuk akal jika Euler memilih e sebagai huruf pertama dari nama belakangmu Euler) [sumber tidak ditentukan 334 hari] .
e- konstanta matematika, basis logaritma natural, bilangan irasional dan transendental. e= 2,718281828459045… Terkadang angka e ditelepon bilangan euler atau nomor non-peer. Memainkan peran penting dalam kalkulus diferensial dan integral.
Metode untuk menentukan
Angka e dapat didefinisikan dalam beberapa cara.
Properti
Cerita
Nomor ini kadang-kadang disebut non-Perov untuk menghormati ilmuwan Skotlandia John Napier, penulis karya "Deskripsi tabel logaritma yang menakjubkan" (1614). Namun, nama ini tidak sepenuhnya benar, karena memiliki logaritma bilangan x adalah sama 
.
Untuk pertama kalinya, konstanta secara diam-diam hadir dalam lampiran terjemahan bahasa Inggris dari karya Napier yang disebutkan di atas, diterbitkan pada tahun 1618. Di balik layar, karena hanya berisi tabel logaritma natural, konstanta itu sendiri tidak didefinisikan. Diasumsikan bahwa penulis tabel adalah matematikawan Inggris William Oughtred. Konstanta yang sama pertama kali disimpulkan oleh ahli matematika Swiss Jacob Bernoulli ketika mencoba menghitung nilai limit berikut:
Penggunaan pertama yang diketahui dari konstanta ini, di mana itu dilambangkan dengan huruf b, ditemukan dalam surat-surat dari Gottfried Leibniz kepada Christian Huygens, 1690 dan 1691. surat e mulai digunakan oleh Leonhard Euler pada tahun 1727, dan publikasi pertama dengan surat ini adalah karyanya "Mechanics, or the Science of Motion, Stated Analytically" pada tahun 1736. Oleh karena itu, e kadang dipanggil bilangan euler. Meskipun kemudian beberapa ulama menggunakan surat itu c, surat e lebih sering digunakan dan sekarang menjadi sebutan standar.
Mengapa surat itu dipilih? e, belum diketahui secara pasti. Mungkin ini karena fakta bahwa kata itu dimulai dengan itu eksponensial("eksponensial", "eksponensial"). Asumsi lain adalah bahwa huruf sebuah,b,c dan d sudah banyak digunakan untuk tujuan lain, dan e adalah surat "bebas" pertama. Tidak masuk akal jika Euler memilih e sebagai huruf pertama dari nama belakangmu Euler), karena beliau adalah orang yang sangat sederhana dan selalu berusaha untuk menekankan pentingnya karya orang lain.
Metode menghafal
Nomor e dapat diingat sesuai dengan aturan mnemonik berikut: dua dan tujuh, lalu dua kali tahun kelahiran Leo Tolstoy (1828), lalu sudut segitiga siku-siku sama kaki ( 45 ,90 dan 45 derajat).
Dalam versi lain dari aturan e terkait dengan Presiden AS Andrew Jackson: 2 - berkali-kali terpilih, 7 - dia adalah presiden ketujuh Amerika Serikat, 1828 - tahun pemilihannya, diulang dua kali, sejak Jackson terpilih dua kali. Kemudian - lagi, segitiga siku-siku sama kaki.
Dengan cara lain yang menarik, diusulkan untuk mengingat nomornya e dengan akurasi tiga tempat desimal melalui "angka iblis": Anda perlu membagi 666 dengan angka yang terdiri dari angka 6 - 4, 6 - 2, 6 - 1 (tiga enam, di antaranya urutan terbalik tiga kekuatan pertama dari dua dihapus): 
.
Dalam metode keempat, disarankan untuk mengingat e sebagai 
.
Kasar (dengan akurasi 0,001), tetapi perkiraan yang indah mengasumsikan e setara. Perkiraan yang sangat kasar (dengan akurasi 0,01) diberikan oleh ekspresi.
"Boeing Rule": memberikan akurasi yang baik sebesar 0,0005.
"Verse": Kami berkibar dan bersinar, tetapi terjebak di celah; tidak mengenali reli kami yang dicuri.
93801 = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 5239563 07394 66146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74764 72306 96977 20931 01416 9512836 81902 30098 79312 77361 78215 42499 92295 76351 48220 82698 95193 66803 31825 28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 25094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 8048129 53118 67385 89422 87922 84998 92086 80582 57492 79610 48419 84443 63463 24496 84875 60233 62482 70419 78623 2090 0 21609 90235 30436 99418 49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016 76839 64243 78140 59271 45635 49061 30310 72085 10383 75051 01157 47704 17189 86106 87396 96552 123671 54068 957236
Pada abad kelima SM, filsuf Yunani kuno Zeno dari Elea merumuskan aporiasnya yang terkenal, yang paling terkenal adalah aporia "Achilles dan kura-kura". Begini bunyinya:Katakanlah Achilles berlari sepuluh kali lebih cepat dari kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Selama waktu di mana Achilles berlari sejauh ini, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Ketika Achilles telah berlari seratus langkah, kura-kura akan merangkak sepuluh langkah lagi, dan seterusnya. Prosesnya akan terus berlanjut tanpa batas waktu, Achilles tidak akan pernah bisa mengejar kura-kura.
Alasan ini menjadi kejutan logis bagi semua generasi berikutnya. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Semuanya, dalam satu atau lain cara, dianggap sebagai aporia Zeno. Guncangannya begitu kuat sehingga " ... diskusi berlanjut pada saat ini, untuk mencapai pendapat umum tentang esensi paradoks Komunitas ilmiah belum berhasil ... analisis matematis, teori himpunan, fisika baru dan pendekatan filosofis; tidak satupun dari mereka menjadi solusi yang diterima secara universal untuk masalah ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Semua orang mengerti bahwa mereka dibodohi, tetapi tidak ada yang mengerti apa penipuan itu.
Dari sudut pandang matematika, Zeno dalam aporianya dengan jelas menunjukkan transisi dari nilai ke. Transisi ini menyiratkan penerapan alih-alih konstanta. Sejauh yang saya pahami, perangkat matematika untuk menerapkan satuan pengukuran variabel belum dikembangkan, atau belum diterapkan pada aporia Zeno. Penerapan logika kita yang biasa membawa kita ke dalam jebakan. Kami, dengan kelembaman berpikir, menerapkan satuan waktu yang konstan untuk kebalikannya. Dengan titik fisik Di mata, sepertinya waktu melambat sampai berhenti total pada saat Achilles mengejar kura-kura. Jika waktu berhenti, Achilles tidak bisa lagi menyusul kura-kura.
Jika kita memutar logika yang biasa kita gunakan, semuanya menjadi pada tempatnya. Achilles berlari dengan kecepatan tetap. Setiap segmen berikutnya dari jalurnya sepuluh kali lebih pendek dari yang sebelumnya. Dengan demikian, waktu yang dihabiskan untuk mengatasinya sepuluh kali lebih sedikit dari yang sebelumnya. Jika kita menerapkan konsep "tak terhingga" dalam situasi ini, maka akan benar untuk mengatakan "Achilles akan dengan cepat menyalip kura-kura."
Bagaimana cara menghindari jebakan logis ini? Tetap dalam satuan waktu yang konstan dan jangan beralih ke timbal balik. Dalam bahasa Zeno, terlihat seperti ini:
Dalam waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Untuk selang waktu berikutnya, sama dengan yang pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Sekarang Achilles berada delapan ratus langkah di depan kura-kura.
Pendekatan ini cukup menggambarkan realitas tanpa paradoks logis. Tapi tidak solusi lengkap Masalah. Pernyataan Einstein tentang kecepatan cahaya yang tidak dapat diatasi sangat mirip dengan aporia Zeno "Achilles dan kura-kura". Kami belum mempelajari, memikirkan kembali, dan memecahkan masalah ini. Dan solusinya harus dicari bukan dalam jumlah besar yang tak terhingga, tetapi dalam satuan pengukuran.
Aporia menarik lainnya dari Zeno menceritakan tentang panah terbang:
Sebuah panah terbang tidak bergerak, karena pada setiap saat ia diam, dan karena ia diam pada setiap saat, ia selalu diam.
Di aporia ini paradoks logis itu diatasi dengan sangat sederhana - cukup untuk memperjelas bahwa pada setiap saat panah terbang terletak pada titik yang berbeda di ruang angkasa, yang sebenarnya adalah gerakan. Ada hal lain yang perlu diperhatikan di sini. Dari satu foto mobil di jalan, tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan fakta pergerakan mobil, diperlukan dua foto yang diambil dari titik yang sama pada titik waktu yang berbeda, tetapi foto tersebut tidak dapat digunakan untuk menentukan jarak. Untuk menentukan jarak ke mobil, Anda memerlukan dua foto yang diambil dari titik yang berbeda ruang pada satu titik waktu, tetapi tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakan dari mereka (tentu saja, data tambahan untuk perhitungan masih diperlukan, trigonometri akan membantu Anda). Apa yang ingin saya fokuskan? Perhatian khusus, adalah bahwa dua titik dalam waktu dan dua titik dalam ruang adalah hal yang berbeda yang tidak boleh dikacaukan, karena memberikan peluang eksplorasi yang berbeda.
Rabu, 4 Juli 2018
Sangat baik perbedaan antara set dan multiset dijelaskan di Wikipedia. Kami melihat.
Seperti yang Anda lihat, "kumpulan tidak dapat memiliki dua elemen yang identik", tetapi jika ada elemen yang identik di dalam himpunan, himpunan seperti itu disebut "multiset". Makhluk yang berakal tidak akan pernah mengerti logika absurditas seperti itu. Ini adalah tingkat burung beo yang bisa berbicara dan monyet yang terlatih, di mana pikiran absen dari kata "sepenuhnya". Matematikawan bertindak sebagai pelatih biasa, mengkhotbahkan ide-ide absurd mereka kepada kita.
Sekali waktu, para insinyur yang membangun jembatan berada di sebuah perahu di bawah jembatan selama pengujian jembatan. Jika jembatan runtuh, insinyur biasa-biasa saja mati di bawah puing-puing ciptaannya. Jika jembatan dapat menahan beban, insinyur berbakat membangun jembatan lain.
Tidak peduli bagaimana matematikawan bersembunyi di balik ungkapan "ingat aku, aku di rumah", atau lebih tepatnya "matematika mempelajari konsep abstrak", ada satu tali pusar yang menghubungkan mereka dengan kenyataan. Tali pusar ini adalah uang. Berlaku teori matematika set ke matematikawan itu sendiri.
Kami belajar matematika dengan sangat baik dan sekarang kami duduk di meja kas, membayar gaji. Di sini seorang ahli matematika datang kepada kita untuk mendapatkan uangnya. Kami menghitung seluruh jumlah kepadanya dan meletakkannya di atas meja kami ke dalam tumpukan yang berbeda, di mana kami meletakkan uang kertas dengan denominasi yang sama. Kemudian kami mengambil satu tagihan dari setiap tumpukan dan menyerahkannya ke matematika " himpunan matematika Kami menjelaskan matematika bahwa dia akan menerima sisa uang kertas hanya ketika dia membuktikan bahwa himpunan tanpa elemen identik tidak sama dengan himpunan dengan elemen yang sama. Di sinilah kesenangan dimulai.
Pertama-tama, logika para deputi akan berhasil: "Anda dapat menerapkannya pada orang lain, tetapi tidak pada saya!" Selanjutnya, jaminan akan dimulai bahwa ada nomor uang kertas yang berbeda pada uang kertas dari denominasi yang sama, yang berarti bahwa mereka tidak dapat dianggap sebagai elemen yang identik. Yah, kami menghitung gaji dalam koin - tidak ada angka di koin. Di sini ahli matematika akan mulai mengingat fisika dengan kejang: pada koin yang berbeda ada jumlah yang berbeda kotoran, struktur kristal dan susunan atom setiap koin adalah unik...
Dan sekarang saya memiliki yang paling banyak minat Tanyakan: di mana batas di mana elemen multiset berubah menjadi elemen himpunan dan sebaliknya? Garis seperti itu tidak ada - semuanya diputuskan oleh dukun, sains di sini bahkan tidak dekat.
Lihat disini. Kami memilih stadion sepak bola dengan daerah yang sama bidang. Luas bidangnya sama, artinya kita memiliki multiset. Tapi jika kita mempertimbangkan nama stadion yang sama, kita mendapatkan banyak, karena namanya berbeda. Seperti yang Anda lihat, himpunan elemen yang sama adalah himpunan dan multiset pada waktu yang sama. Bagaimana benar? Dan di sini matematikawan-dukun-shuller mengeluarkan kartu as dari lengan bajunya dan mulai memberi tahu kita tentang satu set atau multiset. Bagaimanapun, dia akan meyakinkan kita bahwa dia benar.
Untuk memahami bagaimana dukun modern beroperasi dengan teori himpunan, mengikatnya pada kenyataan, cukup menjawab satu pertanyaan: bagaimana elemen satu himpunan berbeda dari elemen himpunan lain? Saya akan menunjukkan kepada Anda, tanpa "dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan" atau "tidak dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan".
Minggu, 18 Maret 2018
Jumlah digit angka adalah tarian dukun dengan rebana, yang tidak ada hubungannya dengan matematika. Ya, dalam pelajaran matematika kita diajarkan untuk menemukan jumlah digit angka dan menggunakannya, tetapi mereka adalah dukun untuk itu, untuk mengajari keturunan mereka keterampilan dan kebijaksanaan mereka, jika tidak, dukun akan mati begitu saja.
Apakah Anda perlu bukti? Buka Wikipedia dan coba temukan halaman "Jumlah Digit Angka". Dia tidak ada. Tidak ada rumus dalam matematika yang dengannya Anda dapat menemukan jumlah digit dari angka apa pun. Bagaimanapun, angka adalah simbol grafis, dengan bantuan yang kami tulis angka dan dalam bahasa matematika tugas terdengar seperti ini: "Temukan jumlah simbol grafis yang mewakili angka apa pun." Matematikawan tidak dapat memecahkan masalah ini, tetapi dukun dapat melakukannya secara mendasar.
Mari kita cari tahu apa dan bagaimana kita lakukan untuk menemukan jumlah digit dari angka yang diberikan. Jadi, misalkan kita memiliki bilangan 12345. Apa yang perlu dilakukan untuk menemukan jumlah angka dari bilangan ini? Mari kita pertimbangkan semua langkah secara berurutan.
1. Tulis nomornya di secarik kertas. Apa yang telah kita lakukan? Kami telah mengonversi angka menjadi simbol grafik angka. Ini bukan operasi matematika.
2. Kami memotong satu gambar yang diterima menjadi beberapa gambar yang berisi nomor terpisah. Memotong gambar bukanlah operasi matematika.
3. Ubah karakter grafik individu menjadi angka. Ini bukan operasi matematika.
4. Jumlahkan angka yang dihasilkan. Sekarang itu matematika.
Jumlah angka dari angka 12345 adalah 15. Ini adalah "kursus memotong dan menjahit" dari dukun yang digunakan oleh ahli matematika. Tapi itu tidak semua.
Dari sudut pandang matematika, tidak masalah di sistem bilangan mana kita menulis bilangan. Jadi, di sistem yang berbeda perhitungannya, jumlah angka-angka dari bilangan yang sama akan berbeda. Dalam matematika, sistem bilangan ditunjukkan sebagai subskrip di sebelah kanan bilangan. Dengan jumlah yang besar 12345 Saya tidak ingin membodohi kepala saya, perhatikan nomor 26 dari artikel tentang. Mari kita tulis bilangan ini dalam sistem bilangan biner, oktal, desimal, dan heksadesimal. Kami tidak akan mempertimbangkan setiap langkah di bawah mikroskop, kami telah melakukannya. Mari kita lihat hasilnya.
Seperti yang Anda lihat, dalam sistem bilangan yang berbeda, jumlah digit dari nomor yang sama berbeda. Hasil serupa tidak ada hubungannya dengan matematika. Ini seperti menemukan luas persegi panjang dalam meter dan sentimeter akan memberikan hasil yang sama sekali berbeda.
Nol di semua sistem bilangan terlihat sama dan tidak memiliki jumlah digit. Ini adalah argumen lain yang mendukung fakta bahwa . Sebuah pertanyaan untuk matematikawan: bagaimana itu dilambangkan dalam matematika yang bukan angka? Apa, untuk ahli matematika, tidak ada yang lain selain angka? Untuk dukun, saya bisa mengizinkan ini, tetapi untuk ilmuwan, tidak. Realitas bukan hanya tentang angka.
Hasil yang diperoleh harus dianggap sebagai bukti bahwa sistem bilangan adalah satuan ukuran bilangan. Karena kita tidak bisa membandingkan angka dengan unit yang berbeda pengukuran. Jika tindakan yang sama dengan unit pengukuran yang berbeda dari kuantitas yang sama menyebabkan hasil yang berbeda setelah membandingkannya, maka ini tidak ada hubungannya dengan matematika.
Apa itu matematika sebenarnya? Ini hasilnya aksi matematika tidak bergantung pada nilai angka, satuan ukuran yang digunakan, dan siapa yang melakukan tindakan ini.
Aduh! Bukankah ini toilet wanita?
- Wanita muda! Ini adalah laboratorium untuk mempelajari kekudusan jiwa yang tidak terbatas saat naik ke surga! Nimbus di atas dan panah ke atas. Toilet apa lagi?
Betina... Lingkaran di atas dan panah ke bawah adalah jantan.
Jika Anda memiliki karya seni desain seperti itu yang muncul di depan mata Anda beberapa kali sehari,
Maka tidak mengherankan jika Anda tiba-tiba menemukan ikon aneh di mobil Anda:
Secara pribadi, saya berusaha sendiri untuk melihat minus empat derajat pada orang yang buang air besar (satu gambar) (susunan beberapa gambar: tanda minus, angka empat, penunjukan derajat). Dan saya tidak menganggap gadis ini bodoh yang tidak tahu fisika. Dia hanya memiliki stereotip busur persepsi gambar grafis. Dan matematikawan mengajari kita ini sepanjang waktu. Berikut adalah contoh.
1A bukan "minus empat derajat" atau "satu a". Ini adalah "orang buang air besar" atau angka "dua puluh enam" dalam sistem bilangan heksadesimal. Orang-orang yang terus-menerus bekerja dalam sistem angka ini secara otomatis menganggap angka dan huruf sebagai satu simbol grafis.
Angka "e" adalah salah satu konstanta matematika terpenting yang pernah didengar semua orang pelajaran sekolah matematika. Concepture menerbitkan esai populer yang ditulis oleh seorang humanis untuk humaniora, di mana: dalam bahasa sederhana menjelaskan mengapa dan mengapa nomor Euler ada.
Apa persamaan uang kita dan bilangan Euler?
Sedangkan nomor π (pi) cukup pasti pengertian geometris dan itu digunakan oleh matematikawan kuno, lalu nomornya e(Nomor Euler) telah mengambil tempat yang layak dalam sains relatif baru-baru ini dan akarnya langsung ... ke masalah keuangan.
Sangat sedikit waktu telah berlalu sejak penemuan uang, ketika orang menebak bahwa mata uang dapat dipinjam atau dipinjamkan di bawah persentase tertentu. Secara alami, para pengusaha "kuno" tidak menggunakan konsep "persentase" yang akrab bagi kita, tetapi peningkatan jumlah oleh beberapa orang. indikator tertentu untuk jangka waktu tertentu sudah tidak asing lagi bagi mereka.
Dalam foto: uang kertas senilai 10 franc dengan gambar Leonhard Euler (1707-1783).
Kami tidak akan masuk ke contoh APR 20% karena terlalu lama untuk sampai ke nomor Euler. Mari kita gunakan penjelasan yang paling umum dan ilustratif tentang arti konstanta ini, dan untuk ini kita harus sedikit bermimpi dan membayangkan bahwa beberapa bank menawarkan kita untuk menyetor uang sebesar 100% per tahun.
Eksperimen keuangan-pikiran
Untuk ini eksperimen pikiran Anda dapat mengambil jumlah berapa pun dan hasilnya akan selalu sama, tetapi mulai dari 1, kita dapat langsung ke nilai perkiraan pertama dari angka tersebut e. Karena, katakanlah kita menginvestasikan $1 di bank, dengan tingkat bunga 100% per tahun pada akhir tahun, kita akan mendapatkan $2.
Tapi ini hanya jika bunga dikapitalisasi (ditambah) setahun sekali. Bagaimana jika mereka dikapitalisasi dua kali setahun? Artinya, 50% akan dibebankan setiap enam bulan, dan 50% kedua akan dibebankan bukan dari jumlah awal, tetapi dari jumlah yang meningkat 50% pertama. Apakah akan lebih bermanfaat bagi kita?
Infografis visual yang menunjukkan arti geometris dari angka π .
Tentu saja. Dengan kapitalisasi dua kali setahun, enam bulan kemudian kita akan memiliki $1,50 di akun. Pada akhir tahun, 50% lagi dari $1,50 akan ditambahkan, yaitu. jumlah total akan menjadi $2,25. Apa jadinya jika kapitalisasi dilakukan setiap bulan?
Kami akan dikenakan biaya 100/12% (yaitu, sekitar 8.(3)%) setiap bulan, yang akan lebih menguntungkan - pada akhir tahun kami akan memiliki 2,61 dolar. Rumus umum untuk menghitung jumlah total untuk jumlah kapitalisasi yang berubah-ubah (n) per tahun terlihat seperti ini:
Jumlah total = 1(1+1/n) n
Ternyata dengan nilai n = 365 (yaitu, jika bunga kita dikapitalisasi setiap hari), kita mendapatkan rumus berikut: 1(1+1/365) 365 = $2,71. Dari buku teks dan buku referensi, kita tahu bahwa e kira-kira sama dengan 2,71828, yaitu, dengan mempertimbangkan kapitalisasi harian dari kontribusi luar biasa kita, kita telah sampai pada nilai perkiraan e, yang sudah cukup untuk banyak perhitungan.
Pertumbuhan n dapat dilanjutkan tanpa batas, dan semakin besar nilainya, semakin akurat kita dapat menghitung bilangan Euler, hingga titik desimal yang kita butuhkan, untuk alasan apa pun.
Aturan ini tentu saja tidak terbatas pada kepentingan finansial kita saja. Konstanta matematika jauh dari " spesialis sempit» - mereka bekerja sama baiknya terlepas dari aplikasinya. Karena itu, penggalian yang baik, Anda dapat menemukannya di hampir semua bidang kehidupan.
Ternyata angka e adalah sesuatu seperti ukuran semua perubahan dan "bahasa alami dari analisis matematis." Lagi pula, "matan" terkait erat dengan konsep diferensiasi dan integrasi, dan kedua operasi ini berurusan dengan perubahan yang sangat kecil, yang dicirikan oleh angka dengan sangat indah. e .
Sifat Unik Bilangan Euler
Setelah mempertimbangkan contoh yang paling masuk akal untuk menjelaskan konstruksi salah satu rumus untuk menghitung angka e, secara singkat pertimbangkan beberapa pertanyaan lagi yang berhubungan langsung dengannya. Dan salah satunya: apa yang unik dari bilangan Euler?
Secara teori, mutlak setiap konstanta matematika adalah unik dan masing-masing memiliki sejarahnya sendiri, tetapi, Anda lihat, klaim untuk judul bahasa alami analisis matematika adalah klaim yang cukup berat.
Seribu pertama nilai (n) untuk fungsi Euler.
Namun, nomor e ada alasan untuk itu. Saat memplot fungsi y = e x, ternyata fakta yang menakjubkan: tidak hanya y sama dengan e x , gradien kurva dan area di bawah kurva sama dengan indikator yang sama. Artinya, luas di bawah kurva dari nilai tertentu y hingga minus tak terhingga.
Tidak ada nomor lain yang bisa membanggakan ini. Bagi kami, humanis (baik, atau hanya BUKAN matematikawan), pernyataan seperti itu tidak banyak bicara, tetapi matematikawan sendiri mengatakan bahwa ini sangat penting. Mengapa itu penting? Kami akan mencoba menangani masalah ini lain kali.
Logaritma sebagai premis dari bilangan Euler
Mungkin ada yang ingat dari sekolah bahwa bilangan Euler juga merupakan dasar dari logaritma natural. Nah, ini sesuai dengan sifatnya, sebagai ukuran dari segala perubahan. Namun, apa hubungannya Euler dengan itu? Agar adil, e juga kadang-kadang disebut bilangan Napier, tetapi ceritanya tidak akan lengkap tanpa Euler, seperti halnya tanpa menyebutkan logaritma.
Penemuan logaritma pada abad ke-17 oleh matematikawan Skotlandia John Napier adalah salah satu dari peristiwa besar sejarah matematika. Pada perayaan untuk menghormati peringatan peristiwa ini, yang terjadi pada tahun 1914, Lord Moulton (Lord Moulton) berkata tentang dia:
"Penemuan logaritma adalah untuk dunia ilmiah seperti guntur di antara langit cerah. Tidak ada pekerjaan sebelumnya yang mengarah ke sana, meramalkan atau menjanjikan penemuan ini. Itu berdiri sendiri, menerobos pemikiran manusia tiba-tiba, tanpa meminjam apa pun dari karya pikiran orang lain dan tanpa mengikuti arah pemikiran matematika yang sudah diketahui.
Pierre-Simon Laplace, terkenal matematikawan Prancis dan seorang astronom, bahkan lebih dramatis mengungkapkan pentingnya penemuan ini: “Penemuan logaritma, dengan mereduksi jam pekerjaan yang melelahkan menggandakan kehidupan seorang astronom." Apa yang membuat Laplace sangat terkesan? Dan alasannya sangat sederhana - logaritma telah memungkinkan para ilmuwan untuk secara signifikan mengurangi waktu yang biasanya dihabiskan untuk perhitungan yang rumit.
Secara keseluruhan, logaritma membuat perhitungan menjadi lebih mudah—menurunkannya satu tingkat pada skala kompleksitas. Sederhananya, alih-alih mengalikan dan membagi, Anda harus melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan. Dan itu jauh lebih efisien.
e- basis logaritma natural
Mari kita terima kenyataan bahwa Napier adalah pelopor di bidang logaritma - penemu mereka. Oleh paling sedikit Dia adalah orang pertama yang mempublikasikan penemuannya. Dalam hal ini, muncul pertanyaan: apa kelebihan Euler?
Sederhana saja - dia dapat disebut sebagai pewaris ideologis Napier dan orang yang membawa karya kehidupan seorang ilmuwan Skotlandia ke kesimpulan logaritmik (baca logis). Apakah ini menarik?
Beberapa graf yang sangat penting dibangun menggunakan logaritma natural.
Lebih khusus lagi, Euler menurunkan basis logaritma natural, yang sekarang dikenal sebagai bilangan e atau bilangan Euler. Selain itu, ia memasukkan namanya dalam sejarah sains sebanyak yang tidak pernah diimpikan Vasya, yang, tampaknya, berhasil "mengunjungi" ke mana-mana.
Sayangnya, secara khusus prinsip-prinsip bekerja dengan logaritma adalah topik artikel besar yang terpisah. Jadi untuk saat ini, cukup untuk mengatakan bahwa berkat karya sejumlah ilmuwan berdedikasi yang benar-benar mengabdikan bertahun-tahun hidup mereka untuk menyusun tabel logaritma di masa ketika belum ada yang pernah mendengar tentang kalkulator, kemajuan sains telah meningkat pesat. .
Dalam foto: John Napier - matematikawan Skotlandia, penemu logaritma (1550-1617.)
Ini lucu, tetapi kemajuan ini, pada akhirnya, menyebabkan keusangan tabel ini, dan alasannya adalah munculnya kalkulator tangan, yang sepenuhnya mengambil alih tugas melakukan perhitungan semacam ini.
Anda mungkin pernah mendengar tentang aturan geser? Dahulu kala, para insinyur atau ahli matematika tidak dapat melakukannya tanpa mereka, tetapi sekarang ini hampir seperti astrolab - alat yang menarik, tetapi lebih dalam hal sejarah sains daripada praktik sehari-hari.
Mengapa penting untuk menjadi basis logaritma?
Ternyata basis logaritma dapat berupa angka apa saja (misalnya, 2 atau 10), tetapi, justru berkat properti unik logaritma basis bilangan euler e disebut alami. Itu, seolah-olah, dibangun ke dalam struktur realitas - tidak ada jalan keluar darinya, dan itu tidak perlu, karena itu sangat menyederhanakan kehidupan para ilmuwan yang bekerja di berbagai bidang.
Berikut adalah penjelasan yang masuk akal tentang sifat logaritma dari situs Pavel Berdov. logaritma dasar sebuah dari argumen x adalah pangkat dimana bilangan a harus dinaikkan untuk mendapatkan bilangan x. Secara grafis, ini ditunjukkan sebagai berikut:
log a x = b, di mana a adalah basis, x adalah argumen, b adalah apa yang sama dengan logaritma.
Misalnya, 2 3 = 8 log 2 8 = 3 (logaritma basis 2 dari 8 adalah 3 karena 2 3 = 8).
Di atas kita melihat angka 2 sebagai basis logaritma, tetapi ahli matematika mengatakan bahwa aktor paling berbakat untuk peran ini adalah angka Euler. Mari kita mengambil kata mereka untuk itu... Dan kemudian kita akan memeriksa untuk melihat sendiri.
temuan
Mungkin buruk itu di dalam pendidikan yang lebih tinggi jadi sangat terpisah alam dan ilmu kemanusiaan. Terkadang ini mengarah pada "kecondongan" yang terlalu kuat dan ternyata sama sekali tidak menarik untuk berbicara dengan orang yang berpengalaman, misalnya, dalam fisika dan matematika, tentang topik lain.
Dan sebaliknya, Anda bisa menjadi spesialis sastra kelas satu, tetapi, pada saat yang sama, sama sekali tidak berdaya dalam hal fisika dan matematika yang sama. Tapi semua ilmu menarik dengan caranya sendiri.
Kami berharap bahwa kami, mencoba mengatasi keterbatasan kami sendiri dalam kerangka program dadakan "Saya seorang humanis, tetapi saya sedang menjalani perawatan medis", telah membantu Anda untuk belajar dan, yang paling penting, memahami sesuatu yang baru dari bidang ilmiah yang tidak dikenal. .
Nah, bagi mereka yang ingin mempelajari lebih lanjut tentang bilangan Euler, kami dapat merekomendasikan beberapa sumber yang bahkan dapat dipahami oleh orang yang jauh dari matematika sekalipun: Eli Maor dalam bukunya “e: the story of a number” (“e: kisah suatu bilangan ”) menjelaskan secara rinci dan dengan cara yang mudah dipahami latar belakang dan sejarah bilangan Euler.
Juga, di bagian "Direkomendasikan" di bawah artikel ini, Anda dapat menemukan nama saluran youtube dan video yang diambil oleh matematikawan profesional yang mencoba menjelaskan dengan jelas nomor Euler sehingga bahkan non-spesialis dapat memahaminya, tersedia subtitle Rusia.
