Konsep himpunan adalah konsep asli yang tidak didefinisikan secara ketat. Berikut adalah pengertian himpunan (lebih tepatnya penjelasan tentang gagasan himpunan) milik G. Cantor: “Dengan ragam atau himpunan, maksud saya secara umum semua banyak hal yang dapat dianggap sebagai satu kesatuan. satu, yaitu kumpulan dari unsur-unsur tertentu yang dapat dihubungkan melalui satu hukum menjadi satu kesatuan.”

Himpunan, sebagai suatu peraturan, dilambangkan dengan huruf kapital dari alfabet Latin, dan elemen-elemennya dengan huruf kecil, meskipun kadang-kadang konvensi ini harus menyimpang dari, karena elemen dari suatu himpunan tertentu mungkin merupakan himpunan lain. Fakta bahwa suatu elemen a termasuk dalam himpunan A ditulis sebagai a\dalam A .

Dalam matematika, kita berurusan dengan berbagai macam himpunan. Untuk elemen himpunan ini, kami menggunakan dua jenis notasi utama: konstanta dan variabel.

Konstanta individu (atau hanya konstanta) dengan rentang A menunjukkan elemen tetap dari himpunan A . Seperti, misalnya, adalah sebutan (catatan dalam sistem bilangan tertentu) bilangan real: 0;\,2;\,7,\!34. Untuk dua konstanta b dan b dengan jangkauan A, kita akan menulis a=b , yang berarti dengan ini kebetulan elemen-elemen himpunan A dilambangkan dengan mereka.

Variabel individual (atau hanya variabel) dengan rentang A menunjukkan elemen himpunan A arbitrer, bukan yang ditentukan sebelumnya. Di sini kita katakan bahwa variabel x berjalan melalui himpunan A atau variabel x mengambil nilai arbitrer pada himpunan A . Anda dapat memperbaiki nilai variabel x dengan menulis x=a , di mana a adalah konstanta dengan rentang yang sama dengan x . Dalam hal ini, kita katakan bahwa alih-alih variabel x, nilai spesifiknya a diganti, atau a diganti dengan x, atau variabel x mengambil nilai a.

Persamaan variabel x=y dipahami sebagai berikut: setiap kali variabel x mengambil nilai arbitrer a , variabel y mengambil nilai yang sama a , dan sebaliknya. Dengan demikian, variabel yang sama "secara serempak" selalu mengambil nilai yang sama.

Biasanya konstanta dan variabel yang jangkauannya adalah beberapa himpunan numerik, yaitu salah satu himpunan \mathbb(N),\, \mathbb(Z),\, \mathbb(Q),\, \mathbb(R) dan \mathbb(C) masing-masing disebut natural, integer (atau integer), rasional, real, dan konstanta kompleks dan variabel. Dalam kursus matematika diskrit, kita akan menggunakan berbagai konstanta dan variabel, yang jangkauannya tidak selalu merupakan himpunan numerik.

Untuk mempersingkat catatan, kita akan menggunakan simbolisme logis, yang memungkinkan kita untuk menulis pernyataan secara singkat, seperti rumus. Konsep suatu ujaran tidak didefinisikan. Ini hanya menunjukkan bahwa pernyataan apa pun bisa benar atau salah (tentu saja, tidak keduanya sekaligus!).

Operasi logis (pengikatan) pada himpunan

Untuk membentuk pernyataan baru dari pernyataan yang ada, operasi logis berikut (atau penghubung logis) digunakan.

1. Disjungsi \lor : proposisi P\lor Q (baca: "P atau Q") benar jika dan hanya jika paling sedikit salah satu proposisi P dan Q benar.

2. \konjungsi tanah: P\land Q (baca: "P dan Q") benar jika dan hanya jika P dan Q keduanya benar.

3. \lbukan negasi: \lnot P (baca: "bukan P") benar jika dan hanya jika P salah.

4. Implikasi \Panah Kanan : proposisi P \Panah Kanan Q (baca: "jika P maka Q" atau "P menyiratkan Q") benar jika dan hanya jika proposisi benar atau kedua proposisi salah.

5. Ekivalensi (atau ekuivalensi) \Kiri kanan : suatu proposisi (baca: "P jika dan hanya jika Q") benar jika dan hanya jika kedua proposisi P dan Q keduanya benar atau keduanya salah. Setiap dua pernyataan P dan Q yang benar P \Panah kiri kanan Q, disebut setara secara logis atau setara.

Menulis kalimat dengan operasi logika, kami berasumsi bahwa urutan pelaksanaan semua operasi ditentukan oleh susunan tanda kurung. Untuk menyederhanakan notasi, tanda kurung sering dihilangkan, saat menerima urutan operasi tertentu ("konvensi prioritas").

Operasi negasi selalu dilakukan terlebih dahulu, dan karena itu tidak diapit dalam tanda kurung. Yang kedua melakukan operasi konjungsi, kemudian disjungsi, dan akhirnya implikasi dan ekivalensi. Misalnya, pernyataan (\lnot P)\lor Q ditulis sebagai \lnot P\lor Q . Proposisi ini merupakan disjungsi dari dua proposisi: yang pertama adalah negasi dari P dan yang kedua adalah negasi dari Q. Sebaliknya, proposisi \lnot (P\lor Q) adalah negasi dari disjungsi dari proposisi P dan Q .

Misalnya, pernyataan \lbukan P\land Q\lor\lbukan Q\land P \Rightarrow\lbukan Q setelah menempatkan tanda kurung sesuai dengan prioritas, maka akan berbentuk

\bigl(((\lbukan P)\land Q)\lor ((\lbukan Q)\land P)\bigr)\Panah kanan (\lbukan Q).

Mari kita membuat beberapa komentar tentang penghubung logis yang diperkenalkan di atas. Penafsiran makna disjungsi, konjungsi, dan negasi tidak memerlukan penjelasan khusus. Implikasi P \Panah Kanan Q benar, menurut definisi, bila Q benar (terlepas dari P benar) atau P dan Q keduanya salah. Jadi, jika implikasi P\Panah Kanan Q benar, maka ketika P benar, Q benar, tetapi kebalikannya mungkin tidak benar, mis. ketika P salah, Q bisa benar atau salah. Ini memotivasi pembacaan implikasi dalam bentuk "jika P , maka Q". Juga mudah dipahami bahwa pernyataan P\Panah Kanan Q ekuivalen dengan pernyataan \lnot P\lor Q dan dengan demikian, secara bermakna "jika P , maka Q " diidentifikasi dengan "bukan P atau Q".

Kesetaraan \Leftrightarrow tidak lain adalah "implikasi dua sisi", yaitu. P\Panah kiri-kanan Q sama dengan (P \Panah Kanan Q)\land (Q \Panah Kanan P). Artinya kebenaran P menyiratkan kebenaran Q, dan sebaliknya, kebenaran Q menyiratkan kebenaran P.

Contoh 1.1. Untuk menentukan benar atau salahnya suatu pernyataan kompleks, tergantung pada benar atau salahnya pernyataan-pernyataan yang ada di dalamnya, digunakan tabel kebenaran.

Dua kolom pertama dari tabel mencatat semua kemungkinan set nilai yang dapat diambil oleh pernyataan P dan Q. Kebenaran pernyataan itu ditunjukkan oleh huruf "I" atau angka 1, dan yang salah - dengan huruf "L" atau angka 0. Kolom yang tersisa diisi dari kiri ke kanan. Jadi untuk setiap set nilai P dan Q, nilai proposisional yang sesuai ditemukan.

Tabel kebenaran dari operasi logika memiliki bentuk yang paling sederhana (Tabel 1.1-1.5).

Pertimbangkan pernyataan majemuk (\lbukan P\land Q)\Panah kanan (\lbukan Q\land P). Untuk kemudahan komputasi, kami menyatakan pernyataan \lnot P\land Q oleh A , pernyataan \lnot Q\land P oleh B , dan menulis pernyataan asli sebagai A \Rightarrow B . Tabel kebenaran pernyataan ini terdiri dari kolom P,\,Q,\,A,\,B dan A \Panah Kanan B (Tabel 1.6).

Predikat dan quantifiers

Pernyataan majemuk dibentuk tidak hanya melalui penghubung logis, tetapi juga dengan bantuan predikat dan quantifier.

Predikat adalah pernyataan yang mengandung satu atau lebih variabel individual. Misalnya, "x adalah bilangan genap" atau "x adalah mahasiswa Universitas Teknik Negeri Moskow. Bauman, diterima tahun 1999". Pada predikat pertama x adalah variabel bilangan bulat, pada predikat kedua - variabel yang berjalan melalui himpunan "individu manusia". Contoh predikat yang mengandung beberapa variabel individu adalah: "x adalah putra dari y", "x, y dan z belajar dalam satu golongan", "x habis dibagi y", "x lebih kecil dari y", dll. Kita akan menulis predikat dalam bentuk P(x),\, Q(x,y),\, R(x,y,z), dengan asumsi bahwa semua variabel yang termasuk dalam predikat yang diberikan tercantum dalam tanda kurung.

Mengganti setiap variabel yang termasuk dalam predikat P(x_1,\ltitik,x_n), nilai spesifik, mis. memperbaiki nilai, di mana a_1,\ldots,a_n adalah beberapa konstanta dengan rentang nilai yang sesuai, kami memperoleh pernyataan yang tidak mengandung variabel. Misalnya, "2 adalah bilangan genap", "Isaac Newton adalah mahasiswa Universitas Teknik Negeri Moskow yang dinamai Bauman, yang masuk pada 1999", "Ivanov adalah putra Petrov", "5 habis dibagi 7", dll. Bergantung pada apakah pernyataan yang diperoleh benar atau salah, predikat P dikatakan puas atau tidak puas pada himpunan nilai-nilai variabel. x_1=a_1,\ldots,x_n=a_n. Predikat yang dipenuhi pada sembarang himpunan variabel yang termasuk di dalamnya disebut benar secara identik, dan predikat yang tidak terpenuhi pada himpunan nilai variabelnya disebut salah secara identik.

Suatu pernyataan dari suatu predikat dapat diperoleh tidak hanya dengan mensubstitusikan nilai-nilai variabelnya, tetapi juga dengan menggunakan quantifier. Dua quantifier diperkenalkan - keberadaan dan universalitas, masing-masing dilambangkan \ada dan \untuk semua.

penyataan (\untuk semua x\dalam A)P(x)("untuk setiap elemen x yang termasuk dalam himpunan A , P(x) benar ", atau, lebih singkatnya, "untuk semua x\dalam A, P(x) adalah benar ") benar, menurut definisi, jika dan hanya jika predikat P(x) dieksekusi untuk setiap nilai variabel x .

penyataan (\ada x\di A)P(x)("ada, atau ada, elemen x dari himpunan A sehingga P(x) benar ", juga "untuk beberapa x\dalam A P(x) benar ") benar, menurut definisi, jika dan hanya jika pada beberapa nilai variabel x, predikat P(x) terpenuhi.

Mengaitkan variabel predikat dengan quantifiers

Ketika suatu pernyataan dibentuk dari predikat melalui suatu quantifier, dikatakan bahwa variabel dari predikat tersebut terikat oleh quantifier. Demikian pula, variabel terikat dalam predikat yang mengandung beberapa variabel. Dalam kasus umum, ekspresi bentuk

(Q_1x_1\dalam A_1)(Q_2x_2\dalam A_2)\ldots (Q_nx_n\dalam A_n) P(x_1,x_2, \ldots, x_n),

di mana salah satu quantifier \forall atau \exists dapat diganti untuk setiap huruf Q dengan indeks.

Misalnya, pernyataan (\untuk semua x\di A)(\ada y\di B)P(x,y) berbunyi seperti ini: "untuk setiap x\di A terdapat y\di B sehingga P(x,y) benar ". Jika himpunan yang berjalan melalui variabel predikat adalah tetap (artinya "default"), maka quantifiers ditulis dalam bentuk singkatan: (\forall x)P(x) atau (\exists x)P(x) .

Perhatikan bahwa banyak teorema matematika dapat ditulis dalam bentuk yang mirip dengan pernyataan quantifier yang baru saja diberikan, misalnya: "untuk semua f dan untuk semua a benar: jika f adalah fungsi yang dapat diturunkan di a, maka fungsi f kontinu di a".

Cara menentukan set

Setelah membahas fitur penggunaan simbolisme logis, mari kita kembali ke pertimbangan himpunan.

Dua himpunan A dan B dianggap sama jika setiap elemen x dari himpunan A adalah anggota dari himpunan B dan sebaliknya. Dari definisi di atas tentang himpunan sama, maka himpunan sepenuhnya ditentukan oleh elemen-elemennya.

Mari kita pertimbangkan cara menentukan set beton. Untuk himpunan berhingga yang jumlah anggotanya relatif kecil, dapat digunakan metode pencacahan langsung. Elemen-elemen dari suatu himpunan hingga dicantumkan dalam kurung kurawal secara sembarang pesanan tetap\(1;3;5\) . Kami menekankan bahwa karena suatu himpunan sepenuhnya ditentukan oleh elemen-elemennya, maka ketika suatu himpunan hingga ditentukan, urutan di mana elemen-elemennya terdaftar tidak menjadi masalah. Oleh karena itu catatan \{1;3;5\},\, \{3;1;5\},\, \{5;3;1\} dll. semua mendefinisikan set yang sama. Selain itu, terkadang pengulangan elemen digunakan dalam notasi himpunan. Kita akan menganggap bahwa notasi \(1;3;3;5;5\) mendefinisikan himpunan yang sama dengan notasi \(1;3;5\) .

Dalam kasus umum, untuk himpunan berhingga, notasi digunakan. Sebagai aturan, pengulangan elemen dihindari. Maka himpunan hingga yang diberikan oleh notasi \(a_1,\ldots,a_n\), terdiri dari n elemen. Ini juga disebut himpunan n-elemen.

Akan tetapi, metode untuk menetapkan suatu himpunan dengan secara langsung menyebutkan elemen-elemennya dapat diterapkan pada suatu rentang yang sangat sempit dari himpunan hingga. Cara paling umum untuk menentukan himpunan beton adalah dengan menentukan beberapa properti yang harus dimiliki semua elemen himpunan yang dijelaskan, dan hanya mereka.

Ide ini diimplementasikan dengan cara berikut. Biarkan variabel x berjalan melalui beberapa himpunan U , yang disebut himpunan universal. Kita asumsikan bahwa hanya himpunan-himpunan seperti itu yang dipertimbangkan yang elemen-elemennya juga merupakan elemen-elemen dari himpunan U . Dalam kasus ini, sebuah properti yang hanya dimiliki oleh elemen dari himpunan A tertentu dapat dinyatakan dengan predikat P(x) , yang dieksekusi jika dan hanya jika variabel x mengambil nilai arbitrer dari himpunan A . Dengan kata lain, P(x) benar jika dan hanya jika konstanta individu a\dalam A disubstitusi untuk x.

Predikat P dalam hal ini disebut predikat karakteristik himpunan A , dan sifat yang diekspresikan menggunakan predikat ini disebut sifat karakteristik atau sifat kolektivisasi.

Himpunan yang didefinisikan melalui predikat karakteristik ditulis dalam bentuk berikut:

A=\bigl\(x\colon~ P(x)\bigr\).

Sebagai contoh, A=\(x\in\mathbb(N)\colon\, 2x\) berarti bahwa "A adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen x sedemikian rupa sehingga masing-masing adalah bilangan asli genap".

Istilah "properti kolektif" dimotivasi oleh fakta bahwa properti ini memungkinkan Anda untuk mengumpulkan elemen yang berbeda menjadi satu kesatuan. Jadi, sifat yang mendefinisikan himpunan G (lihat di bawah) secara harfiah membentuk semacam "kolektif":

Jika kita kembali ke definisi Cantor tentang suatu himpunan, maka predikat karakteristik suatu himpunan adalah hukum yang dengannya suatu himpunan elemen digabungkan menjadi satu kesatuan. Predikat yang menentukan properti kolektivisasi bisa salah secara identik. Himpunan yang didefinisikan dengan cara ini tidak akan memiliki elemen. Ini disebut himpunan kosong dan dilambangkan dengan \varnothing .

Sebaliknya, predikat karakteristik yang benar secara identik mendefinisikan himpunan universal.

Perhatikan bahwa tidak setiap predikat mengungkapkan beberapa properti kolektivisasi.

Catatan 1.1. Isi spesifik dari konsep himpunan semesta ditentukan oleh fakta konteks tertentu, di mana kita menerapkan ide-ide teori himpunan. Misalnya, jika kita hanya berurusan dengan berbagai himpunan numerik, maka himpunan \mathbb(R) dari semua bilangan real dapat muncul sebagai satu universal. Setiap cabang matematika berhubungan dengan himpunan himpunan yang relatif terbatas. Oleh karena itu, lebih mudah untuk mengasumsikan bahwa elemen dari masing-masing himpunan ini juga merupakan elemen dari beberapa himpunan universal yang "meliputi" mereka. Dengan memperbaiki himpunan universal, dengan demikian kami memperbaiki kisaran nilai semua variabel dan konstanta yang muncul dalam penalaran matematis kami. Dalam hal ini, sangat mungkin untuk tidak menunjukkan dalam quantifier himpunan yang berjalan melalui variabel yang terikat oleh quantifier. Berikut ini, kita akan bertemu dengan berbagai contoh himpunan universal yang konkret.

TEORI SET CANTOR. Kantor mengembangkan teknik tertentu untuk beroperasi dengan himpunan tak hingga dan membangun analogi tertentu dari konsep kuantitas untuk himpunan tak terbatas. Dasar dari teknik ini adalah konsep korespondensi satu-satu antara elemen-elemen dari dua himpunan. Mereka mengatakan bahwa elemen-elemen dari dua himpunan dapat berkorespondensi satu-satu jika setiap elemen dari himpunan pertama dapat dikaitkan dengan elemen dari himpunan kedua, berbeda – berbeda, dan pada saat yang sama, setiap elemen dari set kedua akan sesuai dengan beberapa elemen yang pertama. Himpunan tersebut dikatakan ekuivalen, bahwa mereka memiliki kardinalitas yang sama, atau bilangan kardinal yang sama. Jika dapat dibuktikan bahwa elemen-elemen himpunan A dapat berkorespondensi satu-satu dengan elemen-elemen himpunan bagian B1 dari himpunan B, dan elemen-elemen himpunan B tidak dapat berkorespondensi satu-ke -satu korespondensi dengan elemen A, maka mereka mengatakan bahwa kardinalitas himpunan B lebih besar dari kardinalitas himpunan A. Definisi ini berlaku untuk himpunan hingga juga. Dalam hal ini, daya dianalogikan dengan bilangan berhingga. Tetapi himpunan tak hingga memiliki sifat paradoks dalam pengertian ini. Himpunan tak hingga ternyata setara dengan bagiannya, misalnya. cara itu terjadi dalam apa yang disebut. Paradoks Galileo:

1, 2, 3, 4, ..., n, ...

2, 4, 6, 8, ..., 2n, ...

Paradoks-paradoks ini telah dikenal sejak lama, dan paradoks inilah, khususnya, yang menjadi penghalang bagi pertimbangan himpunan yang sebenarnya tak terbatas. Bolzano menjelaskan dalam Paradoxes of the Infinite bahwa kekhususan yang sebenarnya tak terbatas hanya mempengaruhi di sini. Dedekind menganggap properti himpunan tak terbatas ini sebagai karakteristik.

Cantor mengembangkan aritmatika bilangan kardinal. Jumlah dua bilangan kardinal adalah kardinalitas persatuan himpunan yang sesuai dengannya, produk adalah kardinalitas yang disebut. set-produk dari dua set yang diberikan, dan seterusnya. Yang paling penting adalah transisi dari himpunan yang diberikan ke derajat-set, yaitu, menurut definisi, ke himpunan semua himpunan bagian dari himpunan asli. Cantor membuktikan teorema dasar untuk teorinya: kardinalitas suatu himpunan-derajat lebih besar daripada kardinalitas himpunan aslinya. Jika pangkat dari himpunan asli ditulis dalam bentuk a, maka, sesuai dengan aritmatika bilangan kardinal, pangkat dari himpunan-derajat akan menjadi 2a, dan oleh karena itu, kita memiliki, 2a >a.

Jadi, lewat dari beberapa set tak terbatas, mis. dari sekian banyak bilangan asli dengan kardinalitas (notasi Cantor) ke himpunan semua himpunan bagian dari himpunan ini, ke himpunan semua himpunan bagian dari himpunan baru ini, dst., kita akan mendapatkan deret kardinalitas yang semakin meningkat. Apakah ada batasan untuk kenaikan ini? Pertanyaan ini hanya dapat dijawab dengan memperkenalkan beberapa konsep tambahan.

Secara umum, tidak mungkin untuk beroperasi dengan himpunan tak terbatas tanpa struktur tambahan apa pun. Oleh karena itu, Cantor memasukkan himpunan berurut ke dalam pertimbangan, yaitu. himpunan, untuk setiap dua elemen yang relasinya "lebih besar dari" > (atau "kurang dari"<). Это отношение должно быть транзитивным: из a < b и b < с следует: а < с. Собственно, наиболее продуктивным для теории множеств является еще более узкий класс множеств: вполне упорядоченные множества. Так называются упорядоченные множества, у которых каждое подмножество имеет наименьший элемент. Вполне упорядоченные множества легко сравнивать между собой: они отображаются одно на часть другого с сохранением порядка. Символы вполне упорядоченных множеств, или ординальные (порядковые) числа, также образуют вполне упорядоченное множество, и для них также можно определить арифметические действия: сложение (вычитание), умножение, возведение в степень. Ординальные числа играют для бесконечных множеств роль порядковых чисел, кардинальные – роль количественных. Множество (бесконечное) определенной мощности можно вполне упорядочить бесконечным числом способов, каждому из которых будет соответствовать свое ординальное число. Тем самым каждому кардиналу (Кантор ввел для обозначения кардиналов «алефы» – первую букву еврейского алфавита с индексами) ℵα будет соответствовать бесконечно много ординалов:

0 1 2 ... 0, 0 + 1 ... 1... 2 ... n ... 0 ... (ordinal)

0 1 2 ... 0 ... 1 ... 2 n …ℵ 0 … (“tau”-kardinal)

Menurut teorema teori himpunan, setiap "segmen" skala dari bilangan urut, sendiri sebagai himpunan yang terurut sepenuhnya, akan memiliki ordinal yang lebih besar daripada semua yang terdapat dalam segmen ini. Ini menyiratkan bahwa tidak mungkin untuk menganggap semua sebagai himpunan, karena jika tidak akan memiliki ordinalnya , yang lebih besar dari semua ordinal di , tetapi karena yang terakhir berisi semua ordinal, mis. dan , maka menjadi: > (paradoks Burali–Forti, 1897). Kantor berusaha untuk menghindari paradoks ini dengan memperkenalkan (sejak tahun 1880-an) konsep konsistensi. Tidak setiap pluralitas (Vielheit) adalah pluralitas (Menge). Sebuah pluralitas disebut konsisten, atau pluralitas jika dapat dianggap sebagai satu kesatuan yang utuh. Jika asumsi "keberadaan bersama" dari semua elemen multiplisitas mengarah pada kontradiksi, maka multiplisitas ternyata tidak konsisten, dan, pada kenyataannya, tidak dapat dipertimbangkan dalam teori himpunan. Himpunan yang tidak konsisten seperti itu, khususnya, , himpunan semua bilangan urut, dan (“tau”), himpunan semua kardinal (“alef”). Jadi, kita kembali ke tak terhingga sebagai sebuah proses. Seperti yang ditulis oleh ahli matematika abad ke-20, P. Vopenka: “Teori himpunan, yang upayanya diarahkan pada aktualisasi potensi tak terhingga, ternyata tidak dapat menghilangkan potensi, tetapi hanya berhasil memindahkannya ke lingkup yang lebih tinggi” (Vopenka P. Matematika dalam teori himpunan alternatif .- "Baru dalam ilmu asing. Matematika ", 1983, No. 31, hal. 124.) Namun, ini tidak mempermalukan Kantor sendiri. Dia percaya bahwa skala "alef" naik ke ketidakterbatasan Tuhan sendiri, dan oleh karena itu fakta bahwa yang terakhir ternyata tidak dapat diungkapkan secara matematis adalah untuknya terbukti dengan sendirinya: "Saya tidak pernah melanjutkan dari "Genus supremum" apa pun dari ketidakterbatasan aktual . Justru sebaliknya, saya telah dengan keras membuktikan ketidakberadaan mutlak "Genus supremum" untuk ketakterhinggaan yang sebenarnya. Yang melampaui segala sesuatu yang tak terbatas dan tak terbatas bukanlah "Genus"; itu adalah satu-satunya, kesatuan yang sangat individual di mana segala sesuatu termasuk, yang mencakup "Mutlak", yang tidak dapat dipahami oleh pemahaman manusia. Ini adalah "Actus Purissimus", yang disebut Tuhan oleh banyak orang" (Meschkowski H. Zwei unveroffentlichte Briefe Georg Cantors. - "Der Mathematilkuntemcht", 1971, No. 4, S. 30–34).

B.H. Katasonov

Ensiklopedia Filsafat Baru. Dalam empat volume. / Institut Filsafat RAS. edisi ilmiah saran: V.S. Stepin, A.A. Huseynov, G.Yu. Semigin. M., Thought, 2010, jilid I, A - D, hlm. 249-250.

Saya seorang fisikawan teoretis berdasarkan pendidikan, tetapi saya memiliki latar belakang matematika yang baik. Di magistrasi salah satu mata pelajarannya adalah filsafat, perlu untuk memilih topik dan mengirimkan makalah tentangnya. Karena sebagian besar opsi lebih dari sekali membosankan, saya memutuskan untuk memilih sesuatu yang lebih eksotis. Saya tidak berpura-pura baru, saya hanya berhasil mengumpulkan semua / hampir semua literatur yang tersedia tentang topik ini. Filsuf dan matematikawan dapat melempari saya dengan batu, saya hanya akan berterima kasih atas kritik yang membangun.

P.S. Sangat "bahasa kering", tetapi cukup mudah dibaca setelah program universitas. Sebagian besar, definisi paradoks diambil dari Wikipedia (kata-kata yang disederhanakan dan markup TeX yang sudah jadi).

pengantar

Baik teori himpunan itu sendiri maupun paradoks yang melekat di dalamnya muncul belum lama ini, lebih dari seratus tahun yang lalu. Namun, selama periode ini telah menempuh perjalanan yang panjang, teori himpunan, dengan satu atau lain cara, sebenarnya menjadi dasar dari sebagian besar bagian matematika. Paradoksnya, terkait dengan ketidakterbatasan Cantor, berhasil dijelaskan hanya dalam waktu setengah abad.

Anda harus mulai dengan definisi.

Apa itu banyak? Pertanyaannya cukup sederhana, jawabannya cukup intuitif. Himpunan adalah sekumpulan elemen yang diwakili oleh satu objek. Cantor dalam karyanya Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre memberikan definisi: dengan "set" yang kami maksud adalah kombinasi ke dalam keseluruhan tertentu M dari objek tertentu yang terdefinisi dengan baik m dari perenungan atau pemikiran kita (yang akan disebut "elemen" dari atur M). Seperti yang Anda lihat, esensinya tidak berubah, perbedaannya hanya pada bagian yang tergantung pada pandangan dunia determinan. Sejarah teori himpunan, baik dalam logika dan matematika, sangat kontroversial. Bahkan, Kantor meletakkan dasar untuk itu pada abad ke-19, kemudian Russell dan yang lainnya melanjutkan pekerjaan.

Paradoks (logika dan teori himpunan) - (Yunani - tak terduga) - kontradiksi logis formal yang muncul dalam teori himpunan yang bermakna dan logika formal sambil mempertahankan kebenaran penalaran yang logis. Paradoks muncul ketika dua proposisi yang saling eksklusif (bertentangan) sama-sama dapat dibuktikan. Paradoks dapat muncul baik dalam teori ilmiah maupun dalam penalaran biasa (misalnya, paradoks Russell tentang himpunan semua himpunan normal diberikan oleh Russell: "Pemangkas rambut desa mencukur semua dan hanya penduduk desanya yang tidak mencukur diri mereka sendiri. Seharusnya dia mencukur dirimu sendiri?"). Karena kontradiksi formal-logis menghancurkan penalaran sebagai sarana untuk menemukan dan membuktikan kebenaran (dalam teori di mana paradoks muncul, setiap kalimat, baik benar dan salah, dapat dibuktikan), masalah muncul dalam mengidentifikasi sumber kontradiksi tersebut dan menemukan cara untuk menghilangkannya. Masalah pemahaman filosofis tentang solusi khusus untuk paradoks adalah salah satu masalah metodologis yang penting logika formal dan dasar logika matematika.

Tujuan dari pekerjaan ini adalah untuk mempelajari paradoks teori himpunan sebagai pewaris antinomi kuno dan konsekuensi yang cukup logis dari transisi ke tingkat abstraksi baru - tak terhingga. Tugasnya adalah mempertimbangkan paradoks utama, interpretasi filosofisnya.

Paradoks dasar teori himpunan

Tukang cukur hanya mencukur orang yang tidak mencukur dirinya sendiri. Apakah dia mencukur dirinya sendiri?

Mari kita lanjutkan dengan perjalanan singkat ke dalam sejarah.

Beberapa paradoks logis telah dikenal sejak zaman kuno, tetapi karena fakta bahwa teori matematika terbatas pada aritmatika dan geometri saja, tidak mungkin untuk menghubungkannya dengan teori himpunan. Pada abad ke-19, situasi berubah secara radikal: Kantor mencapai tingkat abstraksi baru dalam karya-karyanya. Dia memperkenalkan konsep tak terhingga, sehingga menciptakan bagian baru matematika dan dengan demikian memungkinkan ketidakterbatasan yang berbeda untuk dibandingkan menggunakan konsep "kekuatan himpunan". Namun, dalam melakukannya, ia menciptakan banyak paradoks. Yang pertama adalah yang disebut Paradoks Burali-Forti. Dalam literatur matematika, ada berbagai formulasi berdasarkan terminologi yang berbeda dan asumsi set teorema terkenal. Berikut adalah salah satu definisi formal.

Dapat dibuktikan bahwa jika x adalah himpunan ordinal sembarang, maka himpunan jumlah tersebut adalah ordinal yang lebih besar atau sama dengan masing-masing elemen x. Misalkan sekarang itu adalah himpunan semua bilangan urut. Maka adalah bilangan urut yang lebih besar dari atau sama dengan salah satu bilangan di . Tetapi kemudian dan merupakan bilangan urut, terlebih lagi, ia sudah lebih besar, dan karena itu tidak sama dengan bilangan mana pun di . Tetapi ini bertentangan dengan kondisi yang merupakan himpunan semua bilangan urut.

Inti dari paradoks adalah bahwa ketika himpunan semua bilangan urut terbentuk, yang baru terbentuk. tipe ordinal, yang belum termasuk di antara "semua" bilangan urut transfinit yang ada sebelum pembentukan himpunan semua bilangan urut. Paradoks ini ditemukan oleh Cantor sendiri, ditemukan dan diterbitkan secara independen oleh ahli matematika Italia Burali-Forti, kesalahan yang terakhir dikoreksi oleh Russell, setelah itu formulasi memperoleh bentuk akhirnya.

Di antara semua upaya untuk menghindari paradoks semacam itu dan sampai batas tertentu mencoba menjelaskannya, gagasan Russell yang telah disebutkan paling layak mendapat perhatian. Dia mengusulkan untuk mengecualikan dari matematika dan logika kalimat impredikatif di mana definisi elemen himpunan tergantung pada yang terakhir, yang menyebabkan paradoks. Aturannya berbunyi seperti ini: "tidak ada himpunan C yang dapat berisi elemen m, yang didefinisikan hanya dalam istilah himpunan C, serta elemen n, dengan asumsi himpunan ini dalam definisinya" . Pembatasan seperti itu pada definisi himpunan memungkinkan kita untuk menghindari paradoks, tetapi pada saat yang sama secara signifikan mempersempit ruang lingkup penerapannya dalam matematika. Selain itu, ini tidak cukup untuk menjelaskan sifat dan alasan kemunculannya, yang berakar pada dikotomi pemikiran dan bahasa, dalam fitur logika formal. Sampai batas tertentu, pembatasan ini dapat dilacak analogi dengan apa yang pada periode kemudian psikolog kognitif dan ahli bahasa mulai menyebut "kategorisasi tingkat dasar": definisi direduksi menjadi konsep yang paling mudah dipahami dan dipelajari.

Asumsikan bahwa himpunan semua himpunan ada. Dalam hal ini, memang benar, yaitu, setiap himpunan t adalah himpunan bagian dari V. Tetapi dari sini dapat disimpulkan bahwa pangkat suatu himpunan tidak melebihi pangkat V. Tetapi berdasarkan aksioma himpunan semua himpunan bagian, untuk V, serta himpunan apa pun, ada himpunan semua himpunan bagian , dan dengan teorema Cantor, yang bertentangan dengan pernyataan sebelumnya. Oleh karena itu, V tidak mungkin ada, yang bertentangan dengan hipotesis "naif" yang secara sintaksis benar kondisi boolean mendefinisikan suatu himpunan, yaitu untuk sembarang rumus A yang tidak mengandung y secara bebas. Bukti luar biasa dari tidak adanya kontradiksi semacam itu berdasarkan teori himpunan Zermelo-Fraenkel yang telah diaksiomakan diberikan oleh Potter.

Dari sudut pandang logis, kedua paradoks di atas identik dengan "Pembohong" atau "Si Tukang Cukur": penilaian yang diungkapkan diarahkan tidak hanya pada sesuatu yang objektif dalam hubungannya dengan dia, tetapi juga pada dirinya sendiri. Namun, kita harus memperhatikan tidak hanya pada sisi logis, tetapi juga pada konsep tak terhingga, yang hadir di sini. Literatur mengacu pada karya Poincaré, di mana ia menulis: "keyakinan akan keberadaan tak terhingga yang sebenarnya ... membuat definisi non-predikatif ini diperlukan"" .
Secara umum, poin utama adalah:

• dalam paradoks ini, aturan dilanggar untuk secara jelas memisahkan "bidang" predikat dan subjek; tingkat kebingungan mendekati penggantian satu konsep dengan yang lain;
• biasanya dalam logika diasumsikan bahwa dalam proses penalaran subjek dan predikat mempertahankan ruang lingkup dan isinya, dalam hal ini
  transisi dari satu kategori ke kategori lain, yang mengakibatkan ketidakcocokan;
• kehadiran kata "semua" masuk akal untuk jumlah elemen yang terbatas, tetapi dalam kasus jumlah elemen yang tidak terbatas, dimungkinkan untuk memiliki satu elemen yang
  untuk mendefinisikan dirinya sendiri akan membutuhkan definisi himpunan;
• hukum logika dasar dilanggar:
  • hukum identitas dilanggar ketika non-identitas subjek dan predikat terungkap;
  • hukum kontradiksi - ketika dua penilaian yang bertentangan diturunkan dengan hak yang sama;
  • hukum ketiga yang dikecualikan - ketika yang ketiga ini harus diakui, dan tidak dikecualikan, karena baik yang pertama maupun yang kedua tidak dapat diakui satu tanpa yang lain, karena mereka sama-sama valid.

Paradoks ketiga menyandang nama Russell.. Satu definisi diberikan di bawah ini.
Misalkan K adalah himpunan semua himpunan yang tidak memuat dirinya sendiri sebagai elemennya Apakah K memuat dirinya sendiri sebagai suatu elemen? Jika ya, maka menurut definisi K, itu bukan merupakan unsur K - kontradiksi.Jika tidak - maka, menurut definisi K, itu harus menjadi unsur K - lagi-lagi kontradiksi. Pernyataan ini secara logis berasal dari paradoks Cantor, yang menunjukkan hubungan mereka. Namun, esensi filosofis memanifestasikan dirinya lebih jelas, karena "gerakan diri" konsep terjadi tepat "di depan mata kita".

Paradoks Tristram Shandy:
Dalam The Life and Opinions of Tristram Shandy, Gentleman, Stern, sang pahlawan menemukan bahwa dia membutuhkan sepanjang tahun untuk menggambarkan peristiwa hari pertama hidupnya, dan satu tahun lagi diperlukan untuk menggambarkan hari kedua. Dalam hal ini, sang pahlawan mengeluh bahwa materi biografinya akan terakumulasi lebih cepat daripada yang bisa dia proses, dan dia tidak akan pernah bisa menyelesaikannya. “Sekarang saya berpendapat,” Russell keberatan dengan ini, “bahwa jika dia hidup selamanya dan pekerjaannya tidak akan menjadi beban baginya, bahkan jika hidupnya terus menjadi penting seperti di awal, maka tidak satu bagian dari biografinya akan tidak tetap tidak tertulis.
Memang, Shandy bisa menggambarkan peristiwa hari ke-n untuk tahun ke-n dan, dengan demikian, dalam otobiografinya, setiap hari akan terekam.

Dengan kata lain, jika kehidupan berlangsung tanpa batas, maka ia akan memiliki tahun sebanyak hari.

Russell menarik analogi antara novel ini dan Zeno dengan kura-kuranya. Menurutnya, solusinya terletak pada kenyataan bahwa keseluruhan setara dengan bagiannya di tak terhingga. Itu. mengarah ke kontradiksi hanya "aksioma kewajaran» . Namun, solusi dari masalah tersebut terletak pada ranah matematika murni. Jelas, ada dua set - tahun dan hari, di antara elemen-elemen yang ada korespondensi satu-satu - sebuah bijeksi. Kemudian dengan syarat hidup tanpa akhir karakter utama memiliki dua set tak terbatas dari kekuatan yang sama, yang, jika kita menganggap kekuatan sebagai generalisasi dari konsep jumlah elemen dalam satu set, menyelesaikan paradoks.

Paradoks (teorema) Banach-Tarski atau menggandakan paradoks bola- teorema dalam teori himpunan yang menyatakan bahwa bola tiga dimensi terdiri dari dua salinannya.
Dua himpunan bagian dari ruang Euclidean disebut tersusun sama jika satu bagian dapat dibagi menjadi sejumlah bagian yang terbatas, memindahkannya, dan membentuk bagian kedua darinya.
Lebih tepatnya, dua himpunan A dan B tersusun sama jika mereka dapat direpresentasikan sebagai penyatuan berhingga dari himpunan bagian yang saling lepas sehingga untuk setiap i himpunan bagian tersebut kongruen.

Jika kita menggunakan teorema pilihan, maka definisinya terdengar seperti ini:
Aksioma pilihan menyiratkan bahwa ada pembagian permukaan unit bola menjadi sejumlah bagian yang terbatas, yang, dengan transformasi ruang Euclidean tiga dimensi yang tidak mengubah bentuk komponen ini, dapat dirakit menjadi dua bidang radius satuan.

Jelas, mengingat persyaratan agar bagian-bagian ini dapat diukur, pernyataan ini tidak layak. Fisikawan terkenal Richard Feynman dalam biografinya menceritakan bagaimana pada suatu waktu ia berhasil memenangkan perselisihan tentang membelah jeruk menjadi beberapa bagian yang terbatas dan menyusunnya kembali.

Pada titik-titik tertentu, paradoks ini digunakan untuk menolak aksioma pilihan, tetapi masalahnya adalah bahwa apa yang kita anggap geometri dasar tidak esensial. Konsep-konsep yang kita anggap intuitif harus diperluas ke tingkat sifat fungsi transendental.

Untuk lebih melemahkan kepercayaan mereka yang percaya bahwa aksioma pilihan salah, kita harus menyebutkan teorema Mazurkiewicz dan Sierpinski, yang menyatakan bahwa ada himpunan bagian E tak kosong dari bidang Euclidean yang memiliki dua himpunan bagian yang lepas, masing-masing yang dapat dibagi menjadi sejumlah bagian yang terbatas, sehingga dapat diterjemahkan oleh isometrik menjadi penutup himpunan E.
Pembuktian tidak memerlukan penggunaan aksioma pilihan.
Konstruksi lebih lanjut berdasarkan aksioma kepastian memberikan resolusi paradoks Banach-Tarski, tetapi tidak menarik seperti itu.

• Paradoks Richard: diperlukan untuk memberi nama " bilangan terkecil tidak disebutkan dalam buku ini. Kontradiksinya adalah bahwa di satu sisi, ini dapat dilakukan, karena ada bilangan terkecil yang disebutkan dalam buku ini. Berasal dari itu, orang juga dapat menyebutkan nama terkecil yang tidak disebutkan namanya. Tapi di sini muncul masalah: kontinum tidak terhitung, di antara dua angka mana pun Anda dapat memasukkan angka perantara dalam jumlah tak terbatas. Sebaliknya, jika kita dapat menyebutkan nomor ini, maka secara otomatis akan berpindah dari kelas yang tidak disebutkan dalam buku ke kelas yang disebutkan.
• Paradoks Grelling-Nilson: kata-kata atau tanda dapat menunjukkan suatu sifat dan pada saat yang sama memilikinya atau tidak. Rumusan yang paling sepele terdengar seperti ini: apakah kata "heterologis" (yang berarti "tidak berlaku untuk dirinya sendiri") heterologis?.. Ini sangat mirip dengan paradoks Russell karena adanya kontradiksi dialektis: dualitas bentuk dan isi dilanggar. Dalam kasus kata-kata yang memiliki tingkat abstraksi tinggi, tidak mungkin untuk memutuskan apakah kata-kata ini heterologis.
• Paradoks Skolem: dengan menggunakan teorema kelengkapan Godel dan teorema Löwenheim-Skolem, kita memperoleh bahwa teori himpunan aksiomatik tetap benar bahkan ketika hanya himpunan himpunan yang dapat dihitung yang diasumsikan (tersedia) untuk interpretasinya. Dalam waktu yang bersamaan
  teori aksiomatik mencakup teorema Cantor yang telah disebutkan, yang membawa kita ke himpunan tak terbatas yang tak terhitung.

Penyelesaian paradoks

Penciptaan teori himpunan memunculkan apa yang dianggap sebagai krisis ketiga matematika, yang belum diselesaikan secara memuaskan untuk semua orang.
Secara historis, pendekatan pertama adalah set-teoritis. Itu didasarkan pada penggunaan ketidakterbatasan aktual, ketika dianggap bahwa setiap urutan tak terbatas selesai dalam tak terhingga. Idenya adalah bahwa dalam teori himpunan seseorang sering kali harus beroperasi pada himpunan yang dapat menjadi bagian dari himpunan lain yang lebih besar. Tindakan yang berhasil dalam kasus ini hanya mungkin dalam satu kasus: set yang diberikan (terbatas dan tak terbatas) selesai. Keberhasilan tertentu terbukti: teori himpunan aksiomatik Zermelo-Fraenkel, seluruh sekolah matematika oleh Nicolas Bourbaki, yang telah ada selama lebih dari setengah abad dan masih menimbulkan banyak kritik.

Logika adalah upaya untuk mereduksi semua matematika yang diketahui menjadi suku-suku aritmatika, dan kemudian mereduksi suku-suku aritmatika menjadi konsep-konsep. logika matematika. Frege mengambil ini dengan cermat, tetapi setelah menyelesaikan pekerjaannya, dia terpaksa menunjukkan ketidakkonsistenannya, setelah Russell menunjukkan kontradiksi dalam teorinya. Russell yang sama, seperti yang disebutkan sebelumnya, mencoba menghilangkan penggunaan definisi impredikatif dengan bantuan "teori tipe". Namun, konsepnya tentang himpunan dan infinitas, serta aksioma reduksibilitas, ternyata tidak logis. Masalah utama adalah bahwa perbedaan kualitatif antara logika formal dan matematika tidak diperhitungkan, serta adanya konsep yang berlebihan, termasuk yang bersifat intuitif.
Akibatnya, teori logika tidak dapat menghilangkan kontradiksi dialektis dari paradoks yang terkait dengan ketidakterbatasan. Hanya ada prinsip dan metode yang memungkinkan untuk menyingkirkan setidaknya definisi non-predikatif. Dalam alasannya sendiri, Russell adalah pewaris Cantor.

Pada akhir XIX - awal abad XX. Penyebaran pandangan formalis tentang matematika dikaitkan dengan pengembangan metode aksiomatik dan program pembuktian matematika, yang dikemukakan oleh D. Hilbert. Pentingnya fakta ini ditunjukkan oleh fakta bahwa yang pertama dari dua puluh tiga masalah yang disajikan kepada komunitas matematika adalah masalah tak terhingga. Formalisasi diperlukan untuk membuktikan konsistensi matematika klasik, "sambil mengecualikan semua metafisika darinya." Mengingat sarana dan metode yang digunakan oleh Hilbert, tujuannya ternyata pada dasarnya tidak mungkin, tetapi programnya memiliki dampak besar pada seluruh perkembangan selanjutnya dari dasar-dasar matematika. Hilbert mengerjakan masalah ini untuk waktu yang lama, setelah pertama kali membangun aksiomatik geometri. Karena pemecahan masalahnya ternyata cukup berhasil, ia memutuskan untuk menerapkan metode aksiomatik pada teori bilangan asli. Inilah yang dia tulis sehubungan dengan ini: “Saya mengejar tujuan penting: sayalah yang ingin menangani pertanyaan-pertanyaan dasar matematika seperti itu, mengubah setiap pernyataan matematika menjadi formula yang dapat diturunkan secara ketat. Pada saat yang sama, direncanakan untuk menghilangkan ketidakterbatasan dengan menguranginya menjadi sejumlah operasi tertentu. Untuk melakukan ini, ia beralih ke fisika dengan atomismenya, untuk menunjukkan seluruh inkonsistensi jumlah tak terbatas. Bahkan, Hilbert mengajukan pertanyaan tentang hubungan antara teori dan realitas objektif.

Lebih atau kurang tampilan penuh Metode hingga diberikan oleh siswa Hilbert, J. Herbran. Dengan penalaran terbatas, ia memahami penalaran yang memenuhi kondisi berikut: paradoks logis"- hanya jumlah objek dan fungsi yang terbatas dan pasti yang selalu dipertimbangkan;

Fungsi memiliki definisi yang tepat, dan definisi ini memungkinkan kita menghitung nilainya;

Itu tidak pernah menyatakan "Objek ini ada" kecuali cara untuk membangunnya diketahui;

Himpunan semua objek X dari koleksi tak terhingga tidak pernah dipertimbangkan;

Jika diketahui bahwa suatu penalaran atau teorema benar untuk semua X ini, maka ini berarti bahwa penalaran umum ini dapat diulang untuk setiap X tertentu, dan penalaran umum ini sendiri harus dianggap hanya sebagai model untuk penalaran khusus tersebut.

Namun, pada saat publikasi terakhir di bidang ini, Gödel sudah menerima hasilnya, pada dasarnya ia kembali menemukan dan menyetujui kehadiran dialektika dalam proses kognisi. Pada intinya, perkembangan matematika lebih lanjut menunjukkan kegagalan program Hilbert.

Apa sebenarnya yang Godel buktikan? Ada tiga hasil utama:

1. Gödel menunjukkan ketidakmungkinan bukti matematis dari konsistensi sistem apa pun yang cukup besar untuk memasukkan semua aritmatika, bukti yang tidak akan menggunakan aturan inferensi selain yang ditemukan dalam sistem itu sendiri. Bukti seperti itu, yang menggunakan aturan inferensi yang lebih kuat, mungkin berguna. Tetapi jika aturan inferensi ini lebih kuat daripada cara logis kalkulus aritmatika, maka tidak akan ada kepercayaan pada konsistensi asumsi yang digunakan dalam pembuktian. Bagaimanapun, jika metode yang digunakan tidak terbatas, maka program Hilbert akan menjadi tidak praktis. Gödel hanya menunjukkan inkonsistensi perhitungan untuk menemukan bukti finit dari konsistensi aritmatika.
2. Godel menunjukkan keterbatasan mendasar dari kemungkinan metode aksiomatik: sistem Principia Mathematica, seperti sistem lain yang dengannya aritmatika dibangun, pada dasarnya tidak lengkap, yaitu untuk sistem aksioma aritmatika yang konsisten ada kalimat aritmatika yang benar. tidak diturunkan dari aksioma sistem ini.
3. Teorema Gödel menunjukkan bahwa tidak ada perluasan sistem aritmatika yang dapat menyelesaikannya, dan bahkan jika kita mengisinya dengan himpunan aksioma tak terhingga, maka dalam sistem baru akan selalu ada benar, tetapi tidak dapat dikurangkan melalui sistem ini, posisi. Pendekatan aksiomatik untuk aritmatika bilangan asli tidak dapat mencakup seluruh bidang proposisi aritmatika yang benar, dan apa yang kami maksud dengan proses pembuktian matematis tidak terbatas pada penggunaan metode aksiomatik. Setelah teorema Godel, menjadi tidak ada artinya untuk mengharapkan bahwa konsep bukti matematis yang meyakinkan dapat diberikan sekali dan untuk semua bentuk yang digambarkan.

Yang terbaru dalam rangkaian upaya untuk menjelaskan teori himpunan ini adalah intuisionisme.

Dia melewati sejumlah tahap dalam evolusinya - semi-intuitionism, intuisionisme yang tepat, ultra-intuitionism. Pada tahap yang berbeda, matematikawan khawatir tentang masalah yang berbeda, tetapi salah satu masalah utama matematika adalah masalah tak terhingga. Konsep matematika tak terhingga dan kontinuitas telah menjadi subjek analisis filosofis sejak awal (gagasan para atomis, aporias Zeno dari Elea, metode sangat kecil di zaman kuno, kalkulus sangat kecil di zaman modern, dll.). Kontroversi terbesar disebabkan oleh penggunaan berbagai jenis tak terhingga (potensial, aktual) sebagai objek matematika dan interpretasinya. Semua masalah ini, menurut pendapat kami, dihasilkan oleh masalah yang lebih dalam - peran subjek dalam pengetahuan ilmiah. Faktanya adalah bahwa keadaan krisis dalam matematika dihasilkan oleh ketidakpastian epistemologis dari perbandingan dunia objek (tak terhingga) dan dunia subjek. Matematikawan sebagai subjek memiliki kemungkinan untuk memilih sarana kognisi - baik potensi atau aktual tak terhingga. Penggunaan potensi tak terhingga sebagai menjadi satu memberinya kesempatan untuk melaksanakan, untuk membangun satu set konstruksi tak terbatas yang dapat dibangun di atas yang terbatas, tanpa langkah yang terbatas, tanpa menyelesaikan konstruksi, itu hanya mungkin. Penggunaan infinity aktual memberinya kesempatan untuk bekerja dengan infinity seperti yang sudah dapat direalisasikan, selesai dalam konstruksinya, seperti yang sebenarnya diberikan pada saat yang sama.

Pada tahap semi-intuitionism, masalah infinity belum mandiri, tetapi dijalin ke dalam masalah konstruksi objek matematika dan cara untuk membenarkannya. Semi-intuitionism A. Poincaré dan perwakilan dari sekolah Paris teori fungsi Baire, Lebesgue dan Borel diarahkan terhadap penerimaan aksioma pilihan bebas, dengan bantuan yang teorema Zermelo terbukti, menyatakan bahwa setiap himpunan dapat dibuat terurut secara lengkap, tetapi tanpa menunjukkan cara teoretis untuk menentukan elemen dari setiap himpunan bagian dari himpunan yang diinginkan. Tidak ada cara untuk membangun objek matematika, dan tidak ada objek matematika itu sendiri. Matematikawan percaya bahwa ada atau tidak adanya metode teoretis untuk membangun urutan objek studi dapat berfungsi sebagai dasar untuk mendukung atau menyangkal aksioma ini. Dalam versi Rusia, konsep semi-intuitionistic dalam landasan filosofis matematika dikembangkan sedemikian rupa sebagai efektivisme yang dikembangkan oleh N.N. Luzin. Efektivitas adalah oposisi terhadap abstraksi utama doktrin Cantor tentang ketidakterbatasan - aktualitas, pilihan, induksi transfinit, dll.

Untuk efektivisme, abstraksi kelayakan potensial secara epistemologis lebih berharga daripada abstraksi ketidakterbatasan yang sebenarnya. Berkat ini, menjadi mungkin untuk memperkenalkan konsep ordinal transfinite (bilangan ordinal tak hingga) berdasarkan konsep pertumbuhan fungsi yang efektif. Pengaturan epistemologis efektifisme untuk menampilkan kontinum (kontinuum) didasarkan pada sarana diskrit (aritmatika) dan teori deskriptif himpunan (fungsi) yang dibuat oleh N.N. Luzin. Intuisionisme orang Belanda L. E. Ya. Brouwer, G. Weyl, A. Heyting melihat urutan yang muncul secara bebas dari berbagai jenis sebagai objek studi tradisional. Pada tahap ini, memecahkan masalah matematika yang tepat, termasuk restrukturisasi semua matematika pada dasar baru, para ahli intuisi mengangkat pertanyaan filosofis tentang peran matematikawan sebagai subjek yang memahami. Apa posisinya, di mana dia lebih bebas dan aktif dalam memilih sarana kognisi? Intuitionists adalah yang pertama (dan pada tahap semi-intuitionism) untuk mengkritik konsep infinity aktual, teori himpunan Cantor, melihat di dalamnya pelanggaran kemampuan subjek untuk mempengaruhi proses pencarian ilmiah untuk solusi untuk masalah konstruktif . Dalam hal menggunakan potensi tak terhingga, subjek tidak menipu dirinya sendiri, karena baginya gagasan potensi tak terhingga secara intuitif jauh lebih jelas daripada gagasan tak terhingga yang sebenarnya. Bagi seorang ahli intuisi, suatu objek dianggap ada jika diberikan langsung kepada ahli matematika atau jika metode pembuatannya diketahui. Bagaimanapun, subjek dapat memulai proses penyelesaian konstruksi sejumlah elemen himpunannya. Objek yang tidak dibangun tidak ada untuk para intuisionis. Pada saat yang sama, subjek yang bekerja dengan ketidakterbatasan aktual akan kehilangan kesempatan ini dan akan merasakan kerentanan ganda dari posisi yang diadopsi:

1) tidak pernah mungkin untuk melakukan konstruksi tanpa batas ini;
2) ia memutuskan untuk beroperasi dengan infinity aktual seperti dengan objek yang terbatas, dan dalam hal ini kehilangan kekhususannya dari konsep infinity. Intuisionisme secara sadar membatasi kemungkinan seorang ahli matematika dengan fakta bahwa ia dapat membangun objek matematika secara eksklusif dengan cara yang, meskipun diperoleh dengan bantuan konsep-konsep abstrak, efektif, meyakinkan, dapat dibuktikan, secara fungsional konstruktif tepat secara praktis dan secara intuitif jelas sebagai konstruksi, konstruksi, yang keandalannya dalam praktiknya tidak diragukan lagi. Intuisionisme, mengandalkan konsep potensi tak terhingga dan metode penelitian konstruktif, berkaitan dengan matematika menjadi, teori himpunan mengacu pada matematika menjadi.

Untuk Brouwer intuisionis, sebagai perwakilan dari empirisme matematika, logika adalah yang kedua; dia mengkritiknya dan hukum tengah yang dikecualikan.

Dalam karya-karyanya yang sebagian mistik, ia tidak menyangkal adanya ketidakterbatasan, tetapi tidak membiarkan aktualisasinya, hanya potensiisasi. Hal utama baginya adalah interpretasi dan pembenaran dari cara-cara logis dan penalaran matematis yang digunakan secara praktis. Pembatasan yang diadopsi oleh para ahli intuisi mengatasi ketidakpastian penggunaan konsep tak terhingga dalam matematika dan mengungkapkan keinginan untuk mengatasi krisis dalam fondasi matematika.

Ultra-intuisionisme (A.N. Kolmogorov, A.A. Markov, dan lainnya) adalah tahap terakhir dalam pengembangan intuisionisme, di mana ide-ide utamanya dimodernisasi, ditambah dan diubah secara signifikan, tanpa mengubah esensinya, tetapi mengatasi kekurangan dan memperkuat aspek positif, dipandu oleh kriteria ketelitian matematika. Kelemahan pendekatan intuisionis adalah pemahaman yang sempit tentang peran intuisi sebagai satu-satunya sumber pembenaran untuk kebenaran dan efektivitas metode matematika. Mengambil "kejelasan intuitif" sebagai kriteria kebenaran dalam matematika, para ahli intuisi secara metodologis memiskinkan kemungkinan seorang ahli matematika sebagai subjek pengetahuan, mengurangi aktivitasnya hanya pada operasi mental berdasarkan intuisi dan tidak termasuk praktik dalam proses pengetahuan matematika. Program ultra-intuitionistic untuk membuktikan matematika adalah prioritas Rusia. Oleh karena itu, matematikawan domestik, mengatasi keterbatasan intuisionisme, mengadopsi metodologi dialektika materialistik yang efektif, mengakui praktik manusia sebagai sumber pembentukan konsep matematika dan metode matematika (kesimpulan, konstruksi). Para ultraintuisionis memecahkan masalah keberadaan objek matematika, tidak mengandalkan konsep subjektif intuisi yang tidak terdefinisi, tetapi pada praktik matematika dan mekanisme khusus untuk membangun objek matematika - sebuah algoritma yang diekspresikan oleh fungsi rekursif yang dapat dihitung.

Ultra-intuitionism meningkatkan keuntungan dari intuisionisme, yang terdiri dari kemungkinan memesan dan menggeneralisasi metode untuk memecahkan masalah konstruktif yang digunakan oleh matematikawan dari segala arah. Oleh karena itu, intuisionisme tahap terakhir (ultraintuitionism) dekat dengan konstruktivisme dalam matematika. Dalam aspek epistemologis, gagasan dan prinsip utama ultraintuitionisme adalah sebagai berikut: kritik terhadap aksiomatik logika klasik; penggunaan dan penguatan signifikan (atas instruksi eksplisit A.A. Markov) dari peran abstraksi identifikasi (abstraksi mental dari sifat-sifat objek yang berbeda dan isolasi simultan sifat umum objek) sebagai cara membangun dan pemahaman konstruktif konsep abstrak, penilaian matematis; bukti konsistensi teori yang konsisten. PADA aspek formal penggunaan abstraksi identifikasi dibenarkan oleh tiga sifat (aksioma) kesetaraannya - refleksivitas, transitivitas, dan simetri.

Untuk memecahkan kontradiksi utama dalam matematika pada masalah ketidakterbatasan, yang memunculkan krisis fondasinya, pada tahap ultra-intuisionisme dalam karya-karya A.N. Kolmogorov menyarankan jalan keluar dari krisis dengan memecahkan masalah hubungan antara logika klasik dan intuisionistik, matematika klasik dan intuisionistik. Intuitionisme Brouwer secara keseluruhan menyangkal logika, tetapi karena matematikawan mana pun tidak dapat melakukannya tanpa logika, praktik penalaran logis masih dipertahankan dalam intuisionisme, beberapa prinsip logika klasik diizinkan, yang memiliki aksioma sebagai dasarnya. S.K. Kleene, R. Wesley bahkan mencatat bahwa matematika intuitionistic dapat digambarkan sebagai semacam kalkulus, dan kalkulus adalah cara mengatur pengetahuan matematika berdasarkan logika, formalisasi dan bentuknya - algoritme. Versi baru dari hubungan antara logika dan matematika dalam kerangka persyaratan intuisionistik untuk kejelasan penilaian intuitif, terutama yang menyertakan negasi, A.N. Kolmogorov mengusulkan sebagai berikut: ia mempresentasikan logika intuisionistik, yang terkait erat dengan matematika intuisionistik, dalam bentuk kalkulus proposisi dan predikat minimal implikatif aksiomatik. Dengan demikian, ilmuwan menyajikan model baru pengetahuan matematika, mengatasi keterbatasan intuisionisme dalam mengenali hanya intuisi sebagai sarana kognisi dan keterbatasan logika, yang memutlakkan kemungkinan logika dalam matematika. Posisi ini memungkinkan untuk menunjukkan dalam bentuk matematis sintesis intuitif dan logis sebagai dasar rasionalitas fleksibel dan efektivitas konstruktifnya.

Temuan. Dengan demikian, aspek epistemologis pengetahuan matematika memungkinkan kita untuk mengevaluasi perubahan revolusioner pada tahap krisis dasar matematika di giliran XIX-XX abad dari posisi baru dalam memahami proses kognisi, sifat dan peran subjek di dalamnya. mata pelajaran gnoseologi teori tradisional pengetahuan, sesuai dengan periode dominasi pendekatan teori himpunan dalam matematika, adalah subjek yang abstrak, tidak lengkap, "sebagian", diwakili dalam hubungan subjek-objek, dirobek oleh abstraksi, logika, formalisme dari kenyataan, secara rasional, mengetahui secara teoritis objeknya dan dipahami sebagai cermin, mencerminkan dan mereplikasi realitas secara akurat. Bahkan, subjek dikeluarkan dari kognisi sebagai proses dan hasil nyata dari interaksi dengan objek. Masuknya intuisionisme ke dalam arena perjuangan tren filosofis dalam matematika menyebabkan pemahaman baru matematikawan sebagai subjek pengetahuan - orang yang tahu, yang abstraksi filosofisnya harus dibangun, seolah-olah, lagi. Matematikawan muncul sebagai subjek empiris, sudah dipahami sebagai pribadi nyata yang integral, termasuk semua properti yang diabstraksikan dari subjek epistemologis - konkret empiris, variabilitas, historisitas; itu adalah akting dan kognisi dalam kognisi nyata, subjek yang kreatif, intuitif, dan inventif. Filosofi matematika intuisionistik telah menjadi dasar, fondasi paradigma epistemologis modern, dibangun di atas konsep rasionalitas fleksibel, di mana seseorang adalah subjek kognisi integral (holistik), yang memiliki kualitas, metode, prosedur kognitif baru; ia mensintesis sifat dan bentuknya yang abstrak-epistemologis dan logis-metodologis, dan pada saat yang sama menerima pemahaman eksistensial-antropologis dan "historis-metafisik".

Poin penting juga adalah intuisi dalam kognisi dan, khususnya, dalam pembentukan konsep matematika. Sekali lagi, ada perjuangan dengan filsafat, upaya untuk mengecualikan hukum tengah yang dikecualikan, karena tidak memiliki makna dalam matematika dan masuk ke dalamnya dari filsafat. Namun, kehadiran penekanan yang berlebihan pada intuisi dan kurangnya pembenaran matematika yang jelas tidak memungkinkan mentransfer matematika ke dasar yang kokoh.

Namun, setelah kemunculannya di tahun 1930-an konsep yang ketat Tongkat algoritma dari intuisionisme diambil alih oleh konstruktivisme matematika, yang perwakilannya memberikan kontribusi signifikan pada teori komputabilitas modern. Selain itu, pada 1970-an dan 1980-an, hubungan signifikan ditemukan antara beberapa ide para intuisionis (bahkan yang sebelumnya tampak tidak masuk akal) dan teori matematika topos. Matematika yang ditemukan di beberapa topo sangat mirip dengan yang coba diciptakan oleh para ahli intuisi.

Akibatnya, seseorang dapat membuat pernyataan: sebagian besar paradoks di atas sama sekali tidak ada dalam teori himpunan dengan kepemilikan diri. Apakah pendekatan seperti itu final - isu kontroversial, pekerjaan selanjutnya di area ini akan ditampilkan.

Kesimpulan

Analisis dialektis-materialistik menunjukkan bahwa paradoks adalah konsekuensi dari dikotomi bahasa dan pemikiran, ekspresi dialektika yang mendalam (teorema Gödel memungkinkan untuk memanifestasikan dialektika dalam proses kognisi) dan kesulitan epistemologis yang terkait dengan konsep objek dan subjek area dalam logika formal, satu set (kelas) dalam logika dan teori himpunan, dengan penggunaan prinsip abstraksi, yang memungkinkan pengenalan objek (abstrak) baru (tak terhingga), dengan metode untuk mendefinisikan objek abstrak dalam sains, dll. Oleh karena itu, a cara universal untuk menghilangkan semua paradoks tidak dapat diberikan.

Apakah krisis matematika ketiga telah berakhir (karena ia berada dalam hubungan kausal dengan paradoks; sekarang paradoks adalah bagian integral) - pendapat berbeda di sini, meskipun paradoks yang diketahui secara formal dihilangkan pada tahun 1907. Namun, sekarang dalam matematika ada keadaan lain yang dapat dianggap sebagai krisis atau pertanda krisis (misalnya, tidak adanya pembenaran yang ketat untuk integral jalur).

Adapun paradoks, paradoks pembohong yang terkenal memainkan peran yang sangat penting dalam matematika, serta seluruh rangkaian paradoks dalam apa yang disebut teori himpunan naif (aksiomatik sebelumnya) yang menyebabkan krisis fondasi (salah satu dari paradoks ini dimainkan peran fatal dalam kehidupan G. Frege). Tapi, mungkin, salah satu fenomena yang paling diremehkan dalam matematika modern, yang bisa disebut paradoks dan krisis, adalah solusi Paul Cohen pada tahun 1963 dari masalah pertama Hilbert. Lebih tepatnya, bukan fakta dari keputusan itu, tetapi sifat dari keputusan ini.

literatur

1. Georg Cantor. Beiträge zur begründung der transfiniten mengenlehre. Mathematische Annalen, 46:481-512, 1895.
2. DI. Burova. Paradoks teori himpunan dan dialektika. Sains, 1976.
3. M.D. Tukang tembikar. Teori himpunan dan filosofinya: pengantar kritis. Oxford University Press, Incorporated, 2004.
4. Zhukov N.I. Dasar filosofis matematika. Minsk: Universitetskoe, 1990.
5. Feynman R.F., S.Ilyin. Tentu saja, Anda bercanda, Tuan Feynman!: petualangan pria yang luar biasa, yang diceritakan olehnya kepada R. Layton. Burung kolibri, 2008.
6. O.M.Mizhevich. Dua Cara Mengatasi Paradoks dalam Teori Himpunan G. Kantor. Kajian Logis dan Filsafat, (3):279--299, 2005.
7. S.I. Masalova. FILSAFAT MATEMATIKA INTUISI. Buletin DSTU, (4), 2006.
8. Chechulin V.L. Teori himpunan dengan kepemilikan diri (dasar dan beberapa aplikasi). Perm. negara un-t. – Perm, 2012.
9. S.N.Tronin. Abstrak singkat kuliah tentang disiplin ""Filsafat Matematika"". Kazan, 2012.
10. Grishin V.N., Bochvar D.A. Studi dalam teori himpunan dan logika non-klasik. Sains, 1976.
11. Hofstadter D. Gödel, Escher, Bach: karangan bunga tak berujung ini. Bahrakh-M, 2001.
12. Kabakov F.A., Mendelson E. Pengantar logika matematika. Rumah penerbitan "Nauka", 1976.
13. YA. Bochvar. Pada pertanyaan tentang paradoks logika matematika dan teori himpunan. Koleksi Matematika, 57(3):369--384, 1944.

Alih-alih anotasi:

"... Pembuktian diagonal Cantor adalah kegiatan untuk idiot yang tidak ada hubungannya dengan apa yang biasanya disebut deduksi dalam logika klasik."

L. Wittgenstein

“... Teori Cantor menyajikan insiden patologis dalam sejarah matematika, dari mana datangnya generasi hanya akan ngeri"

K. Bauer, pendiri topologi

1. Krisis pengetahuan matematika modern.

Matematika memainkan peran utama dalam proses transformasi nuka kuno dan abad pertengahan menjadi nuka Eropa modern, karena ilmu alam teoretis tidak mungkin tanpa matematika. Dalam ilmu alam Eropa modern, bukanlah kebetulan bahwa matematika disebut "ratu ilmu". Jika di zaman kuno itu dipisahkan dari ilmu-ilmu alam dan subjeknya adalah bidang ideal entitas matematika, kemudian di zaman modern keadaan berubah drastis. Matematika semakin dekat dengan ilmu alam dan mulai mendikte aturan koeksistensi mereka sendiri. Dalam hal ini, ilmu alam konseptual modern menerima definisi matematika. Ilmu alam modern berutang banyak keberhasilan mereka untuk matematika Eropa modern. Namun, krisis ketiga yang terakhir, yang telah berlangsung selama lebih dari seratus tahun, menunjukkan adanya masalah serius di fondasinya.

Ada sudut pandang tradisional bahwa pada pergantian abad XIX-XX. ada krisis ke-3 dalam dasar-dasar matematika, yang penyebabnya terkait dengan konvergensi matematika dengan logika, serta dengan kebutuhan untuk mengklarifikasi konsep matematika seperti bilangan, himpunan, limit, fungsi, dll.

Asal usul krisis ini kembali ke abad 17-18, ketika matematika mengembangkan metode untuk memecahkan masalah dalam ilmu pengetahuan alam. Para matematikawan pada waktu itu tidak terlalu peduli dengan alasan metode mereka sendiri [L.S. Freynman. Pencipta matematika yang lebih tinggi. M., 1968. S. 83-84]

Pada abad ke-19 ada revisi konsep dasar dan pembentukan teori matematika. Ini mengarah pada pembentukan teori himpunan dan aritmetisasi matematika.

Matematikawan terbesar abad kesembilan belas berusaha untuk mereduksi semua fakta matematika menjadi: nomor dan berkembang secara intensif, dimulai dengan Gauss' Arithmetical Investigations (1801), teori bilangan [F.A. Medvedev. Perkembangan teori himpunan pada abad ke-19. M., 1965. S. 35-36.]. Pertama-tama, itu diterapkan pada analisis matematis. Yang paling bermasalah adalah fondasi logisnya. Dalam hal ini, pada abad XIX. pengembangan dasar-dasar matematika dan metode yang lebih ketat untuk definisi dan pembuktiannya dimulai.

Dalam proses restrukturisasi analisis matematis, terdapat keyakinan bahwa teorema aljabar dan analisis matematis dapat dirumuskan sebagai teorema pada bilangan asli [Dedekind R. Apa itu bilangan dan apa fungsinya. Kazan: Ed. Universitas Kekaisaran, 1905. S.5].

Hasil dari proses ini adalah realisasi bilangan sebagai konsep dasar semua matematika dan konstruksi teori bilangan real oleh matematikawan seperti Bolzano, Weierstrass, Dedekind dan Kantor.

Pada paruh kedua abad ke-19, masalah pembuktian matematika sudah muncul. Peran luar biasa dalam solusinya dimainkan oleh konstruksi teori himpunan oleh G. Kantor. Akibatnya, konsep analisis dan teori fungsi dirumuskan dalam istilah teori himpunan. Konsep dasar untuk yang terakhir adalah konsep himpunan tak hingga.

Perkembangan teori himpunan dengan memasukkan konsep ketakterhinggaan yang sebenarnya berarti, pada kenyataannya, sebuah revolusi dalam sejarah matematika, sebanding dengan revolusi Copernicus, teori relativitas dan mekanika kuantum. Teori himpunan memberikan metode universal, yang menjadi dasarnya pengembangan lebih lanjut matematika.

Tahap selanjutnya dalam pengembangan matematika dikaitkan dengan konvergensi aljabar, logika dan teori himpunan. Matematika mengambil bentuk abstrak yang belum pernah terjadi sebelumnya. Ini berarti transisi ke dasar logis matematika. Kontribusi luar biasa untuk dasar-dasar matematika dibuat oleh G. Frege ("Dasar-dasar Aritmatika" dan "Hukum-Hukum Dasar Aritmatika yang Diperoleh dengan Kalkulus Konsep"). Ini melakukan konstruksi deduktif aksiomatik logika matematika (kalkulus proposisional, kalkulus predikat). Masalah pembuktian logis dari jumlah, kemandirian, konsistensi dan kelengkapan sistem aksioma sedang dipecahkan. “Logistik” muncul sebagai presentasi matematika dalam bahasa logika. Ada proses pengembangan yang kuat analisis logis dan formalisasi logika.

Gagasan pengurangan matematika dari logika mulai berkembang. Frege, setelah mendefinisikan konsep "bilangan" dan "kuantitas" dalam istilah logis "kelas" dan "hubungan", berhasil memformalkan teori himpunan, dan menyajikan matematika sebagai perpanjangan logika.

Proses ini berakhir dengan penciptaan karya tiga volume dasar Principia Mathematica (1910-1913) oleh Russell dan Whitehead.

Pada akhir abad ke-19, situasi dalam matematika sangat mirip dengan situasi dalam fisika pada awal 1990-an, ketika gagasan tentang kelengkapan fisika klasik ditetapkan. Dan kemudian mengikuti peristiwa dramatis, yang kita bahas sebelumnya.

Pada pergantian abad XIX-XX. matematika memasuki periode krisis akut yang disebabkan oleh munculnya serangkaian paradoks matematis, logis, dan semantik yang tidak terpecahkan yang meragukan teori himpunan Cantor dan dasar-dasar matematika klasik. Ini menjerumuskan bahkan matematikawan terkemuka seperti Cantor, Frege, dan lainnya ke dalam keputusasaan. G. Weil, bahkan setelah bertahun-tahun, menulis baris berikut tentang periode ini dalam sejarah pengetahuan matematika: " Kita sekarang semakin tidak yakin dengan dasar-dasar utama matematika dan logika. Kita mengalami "krisis" kita dengan cara yang sama seperti semua orang dan segala sesuatu di dunia modern mengalaminya. Krisis ini telah berlangsung selama lima puluh tahun (baris-baris ini ditulis pada tahun 1946). Sepintas, tampaknya tidak terlalu mengganggu pekerjaan kita sehari-hari. Namun, saya harus segera mengakui bahwa saya pekerjaan matematika krisis ini memiliki dampak praktis yang menonjol: ia mengarahkan minat saya ke bidang-bidang yang saya anggap relatif "aman", dan terus-menerus merusak antusiasme dan tekad yang saya gunakan untuk melakukan penelitian. Pengalaman saya mungkin dibagikan oleh matematikawan lain yang tidak peduli dengan tempat aktivitas ilmiah mereka sendiri di dunia ini dalam konteks umum menjadi orang yang tertarik, menderita, dan mencipta." [M. Klin. Matematika. Kehilangan kepastian. M.: Mir, 1984. S. 387]. "... Keadaan di mana kita sekarang berkaitan dengan paradoks," tulis D. Gilbert, "pada lama tak tertahankan. Pikirkan: dalam matematika - model kepastian dan kebenaran itu - pembentukan konsep dan arah kesimpulan, seperti yang dipelajari, diajarkan, dan diterapkan oleh siapa pun, mengarah pada absurditas. Di mana mencari keandalan dan kebenaran, jika pemikiran matematis itu sendiri gagal? [D.Gilbert. Fondasi geometri. M.-L., 1948. S.349].

Upaya yang gagal untuk menyelesaikan paradoks membuat ahli matematika percaya bahwa penyebab krisis terletak pada bidang konsep dasar dan metode penalaran. Ada kebutuhan untuk memikirkan kembali prinsip-prinsip matematika dan meninggalkan beberapa konsep lama. Dan ini, pertama-tama, berkaitan dengan restrukturisasi teori himpunan dan penyempurnaan konsep himpunan dengan basis yang sama sekali baru [S. Kleen. Pengantar metamatematika. M., 1957. S.42.]. Logika yang sangat ideal sebagai kriteria untuk ketelitian bukti matematis dihancurkan. Oleh karena itu, matematika menghadapi tugas untuk memulihkan keandalan dan keandalan pengetahuan matematika sebelumnya. Sifat intuitif dari penalaran logis dan bahasa yang sesuai tidak lagi cocok untuk para ilmuwan [Kh. Kari. Dasar logika matematika. M., 1969. S. 26.]. Tiga program penelitian muncul: logikaisme, formalisme dan intuisionisme.

Sebuah penyimpangan singkat ke dalam sejarah matematika modern menunjukkan bahwa pada dasarnya, dan, akibatnya, seluruh ilmu alam matematika terletak teori dasar Cantor ditetapkan dengan konsep ilmiah dasar tentang ketidakterbatasan yang sebenarnya. Dan matematika itu sendiri sangat erat hubungannya dengan konsep ketidakterbatasan sehingga sering didefinisikan sebagai ilmu tentang ketidakterbatasan.

Matematika, seperti ilmu-ilmu lain (dan filsafat), sangat ditentukan oleh paradigma spiritual dan historis yang mendasar. Keyakinan ini ditegaskan oleh karya-karya P.P. Gaidenko, yang dikhususkan untuk evolusi konsep sains dalam konteks sejarah filsafat [P.P. Gaidenko. Evolusi konsep sains (pembentukan dan pengembangan program ilmiah ilmiah pertama). M. "Ilmu", 1980. – (tanpa catatan kaki) – [ Sumber daya elektronik]. URL: http://www.philosophy.ru/library/gaid/pgaid_physics.html]. Dan meskipun dalam penelitiannya penulis berfokus pada interaksi pengetahuan ilmiah dan filosofis, namun dampak konteks keagamaan pada program ilmiah dapat ditelusuri di dalamnya tidak kurang jelas. Pengaruh premis-premis keagamaan dan teologis pada isi matematika modern juga secara meyakinkan disajikan dalam karya-karya V.N. Katasonova [V.N. Katasonov. Konsep ilmiah dan filosofis tentang ketidakterbatasan dan Kekristenan. - [Sumber daya elektronik]. URL: http://www.bestreferat.ru/referat-73817.html] dan A.A. Zenkin [A.A. Zenkin. Surga Transfinite oleh Georg Cantor: cerita Alkitab pada malam kiamat. - [Sumber daya elektronik]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/] dll.

Dengan demikian, gagasan bahwa matematika adalah ilmu yang bebas (independen) dan universal yang berkembang menurut hukumnya sendiri sangat dilebih-lebihkan.

2. Ringkasan teori himpunan G. Kantor.

G. Kantor menganggap program ilmiah Pythagoras-Platonis sebagai dasar teori himpunan, kritik yang diberikan oleh Aristoteles, tetapi yang dihidupkan kembali dalam filsafat Renaisans. Untuk memperkuatnya, digunakan argumen-argumen teologis dari ajaran Katolik. Pemikiran filosofis dan matematis, mulai dari abad ke-15, secara bertahap mempersiapkan penciptaan teori ini.

Georg Cantor adalah pencipta teori himpunan dan teori bilangan transfinit. Gagasan utama teorinya tentang himpunan tak terbatas terdiri dari penolakan tegas terhadap tesis Aristoteles tentang himpunan tak terbatas yang sebenarnya. Kantor mendasarkan studinya tentang himpunan tak hingga pada gagasan korespondensi satu-satu antara elemen-elemen himpunan yang dibandingkan. Jika korespondensi semacam itu dapat dibuat antara elemen-elemen dari dua himpunan, maka himpunan tersebut dikatakan memiliki kardinalitas yang sama, yaitu ekuivalen atau ekuivalen. "Dalam kasus himpunan hingga," tulis Kantor, "kardinalitasnya sama dengan jumlah elemennya." Itulah sebabnya pangkat juga disebut bilangan kardinal (kuantitatif) dari himpunan tertentu [P. Stakhov. Di bawah tanda "Bagian Emas": Pengakuan Putra seorang mahasiswa Bab 5. Teori pengukuran algoritme. 5.5. Masalah tak terhingga dalam matematika. - [Sumber daya elektronik]. URL: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm ].

Pada tahun 1874, ia menetapkan keberadaan non-ekuivalen, yaitu himpunan tak hingga dengan kardinalitas yang berbeda; pada tahun 1878, ia memperkenalkan konsep umum kardinalitas himpunan (dalam penunjukan kardinalitas himpunan yang diusulkan olehnya dan diterima dalam matematika oleh huruf-huruf alfabet Ibrani, asal Yahudinya, menurut ayahnya, mungkin terpengaruh). Dalam karya utama “Pada formasi titik linier tak hingga” (1879–84), Kantor secara sistematis menguraikan doktrin himpunan dan melengkapinya dengan membuat contoh himpunan sempurna (yang disebut himpunan Cantor) [Kantor G. Pada linier tak hingga formasi titik. // Ide-ide baru dalam matematika, 1994, No. 6, St. Petersburg].

Kantor memberikan konten matematika pada gagasan ketidakterbatasan yang sebenarnya. Kantor memikirkan teorinya sebagai kalkulus yang sama sekali baru dari matematika "transfinite" (yaitu, "superfinite") yang tak terhingga. Ketakterhinggaan yang sebenarnya adalah, seolah-olah, sebuah "wadah" di mana serangkaian potensi tak terhingga terungkap, dan wadah ini harus sudah menjadi data aktual.

Menurut idenya, penciptaan kalkulus seperti itu seharusnya merevolusi tidak hanya matematika, tetapi juga metafisika dan teologi, yang menarik Cantor hampir lebih dari penelitian ilmiah itu sendiri. Dia adalah satu-satunya ahli matematika dan filsuf yang percaya bahwa ketidakterbatasan yang sebenarnya tidak hanya ada, tetapi juga dapat dipahami oleh manusia dalam arti penuh, dan pemahaman ini akan mengangkat matematikawan, dan setelah mereka para teolog, lebih tinggi dan lebih dekat kepada Tuhan.. Dia mengabdikan hidupnya untuk tugas ini. Ilmuwan sangat percaya bahwa dia dipilih oleh Tuhan untuk membuat revolusi besar dalam sains, dan kepercayaan ini didukung oleh visi mistik.

Pendekatan ini membawa Cantor ke banyak penemuan paradoks yang sangat bertentangan dengan intuisi kita. Jadi, tidak seperti himpunan hingga, yang tunduk pada aksioma Euclidean "Keseluruhan lebih besar dari bagian", himpunan tak terbatas tidak mematuhi aksioma ini. Misalnya, mudah untuk menetapkan kesetaraan himpunan bilangan asli dan bagiannya - himpunan bilangan genap dengan menetapkan korespondensi satu-satu berikut: [P. Stakhov. Di bawah tanda "Bagian Emas": Pengakuan Putra seorang mahasiswa Bab 5. Teori pengukuran algoritme. 5.5. Masalah tak terhingga dalam matematika. - [Sumber daya elektronik]. URL: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm].

Suatu himpunan, menurut Cantor, disebut tak terhingga jika ekivalen dengan salah satu himpunan bagiannya. Suatu himpunan disebut berhingga jika tidak ekuivalen dengan salah satu himpunan bagiannya. Himpunan yang dapat dihitung adalah himpunan yang ekuivalen dengan himpunan bilangan asli, karena elemen-elemennya dapat dicacah [Ibid.].

Kantor percaya bahwa himpunan bilangan asli, rasional dan aljabar memiliki kardinalitas yang sama, yaitu dapat dihitung [Ibid.].

Cantor juga mencoba membuktikan bahwa himpunan N bilangan asli dapat dipetakan ke bagian dari himpunan R bilangan real, sedangkan kardinalitas bilangan real lebih besar daripada kardinalitas himpunan bilangan asli [Ibid.].

Pada tahun 1886 Kantor berusaha membuktikan bahwa tidak ada lebih banyak titik dalam satu satuan persegi daripada dalam satu ruas. Oleh karena itu, kekuatan kontinum dua dimensi sama dengan kekuatan kontinum satu dimensi [Ibid.].

Ide Cantor ternyata sangat tak terduga dan berlawanan dengan intuisi yang terkenal matematikawan Prancis Henri Poincaré menyebut teori bilangan transfinit sebagai "penyakit" dari mana matematika suatu hari nanti harus disembuhkan. Leopold Kronecker - guru Cantor dan salah satu matematikawan paling dihormati di Jerman - bahkan menyerang Cantor secara pribadi, menyebutnya "penipu", "pemberontak" dan "penganiaya pemuda" [Dalam dunia sains. Scientific American · Edisi Rusia No. 8 · Agustus 1983 · Hal. 76–86 / Georg Cantor dan Kelahiran Teori Himpunan Transfinit].

Teori himpunan juga membuka halaman baru dalam studi tentang dasar-dasar matematika - Karya Kantor memungkinkan untuk pertama kalinya merumuskan dengan jelas ide-ide umum modern tentang subjek matematika, struktur teori matematika, peran aksiomatik dan konsep. isomorfisme sistem objek, diberikan bersama-sama dengan hubungan yang menghubungkan mereka. Teori himpunannya adalah salah satu landasan matematika.

Dalam filsafat matematika, Kantor menganalisis masalah tak terhingga. Membedakan dua jenis matematika tak terbatas - tidak tepat (potensial) dan tepat (aktual, dipahami sebagai keseluruhan yang lengkap), - Kantor, tidak seperti pendahulunya, bersikeras legalitas operasi dalam matematika dengan konsep sebenarnya tak terbatas. Seorang pendukung Platonisme, Cantor melihat dalam matematika aktual-tak terbatas salah satu bentuk sebenarnya tak terbatas secara umum, memperoleh kelengkapan tertinggi dalam wujud Ilahi mutlak.

3. Konfrontasi hebat antara Cantorians dan anti-Cantorian.

Kritik oleh A.A. Zenkin terhadap teori himpunan abstrak

G. Kantor dan "Ajaran tentang Yang Transfinite".

Di antara banyak literatur kritis yang ditujukan untuk teori himpunan G. Kantor, studi matematikawan Rusia A. A. Zenkin patut mendapat perhatian khusus. Menurut ahli matematika terkenal A.P. Stakhov, mungkin dia (Zenkin) yang akan menempatkan poin terakhir dalam perselisihan dengan Kantor dan dalam menyelesaikan krisis matematika dalam matematika modern[ http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm].

Dalam artikel asli “Surga Transfinite George Kantor. Kisah-kisah alkitabiah di ambang Kiamat "Ilmuwan Rusia A.A. Zenkin menganalisis kelemahan epistemologis dalam logika bukti Cantor tentang tak terhitungnya kontinum, berdasarkan konsep ketakterhinggaan yang sebenarnya[A.A. Zenkin. Surga Transfinite Georg Kantor: Kisah-kisah Alkitab di ambang Kiamat. - [Sumber daya elektronik]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/].

Selama ribuan tahun, - catatan A.A. Zenkin, - ilmuwan dan filsuf terkemuka seperti Aristoteles, Euclid, Leibniz, Berkeley, Locke, Descartes, Kant, Spinoza, Lagrange, Gauss, Kronecker, Lobachevsky mendukung dan berbagi sikap negatif terhadap konsep AB , Cauchy, F. Klein, Hermite, Poincare, Baer, ​​​​Borel, Brouwer, Quine, Wittgenstein, Weil, Luzin, dan sudah hari ini - Erret Bishop, Solomon Feferman, Yaroslav Peregrin, Vladimir Turchin, Pyotr Vopenka, dan banyak lainnya.

Sejak tahun 70-an abad ke-19, telah terjadi sikap negatif yang tajam terhadap teori himpunan oleh Georg Cantor, berdasarkan konsep AB. A.A. Zenkin memberikan contoh pernyataan paling kategoris yang ditujukan kepadanya. Jadi, Henri Poincaré sampai pada kesimpulan bahwa “tidak ada ketidakterbatasan yang sebenarnya; para Cantorian melupakannya dan menjadi kontroversi. Generasi mendatang akan melihat teori himpunan Cantor sebagai penyakit yang akhirnya dapat disembuhkan."[A.Poincare, Tentang Sains. – M.: Nauka, 1983]. Pendiri topologi modern, L. Brouwer, tidak kalah radikal dalam pernyataannya: “ Teori Cantor secara keseluruhan adalah insiden patologis dalam sejarah matematika, yang darinya generasi mendatang akan merasa ngeri.[A.A. Frenkel, I. Bar-Hillel. Dasar-dasar teori himpunan. - M.: "Tuan"].

“Namun demikian, bahkan hari ini,” tulis ahli matematika Rusia, “seperti pada awal abad ke-20, ada “konfrontasi besar” antara logika meta-matematis Cantorians, yang mengakui legitimasi “Doktrin Transfinite" dalam bentuk "non-naif" (lihat. di bawah) versi "Pengajaran" ini, yaitu. dalam bentuk teori himpunan aksiomatik modern (selanjutnya - ATM), berdasarkan (diam-diam - lihat di bawah) penggunaan konsep AB, dan intuisi matematis anti-Cantorians yang menolak konsep AB dan G. "Doktrin Cantor" dari Yang Transfinisi" berdasarkan konsep ini" [ A.A. Zenkin. Surga Transfinite Georg Kantor: Kisah-kisah Alkitab di ambang Kiamat. - [Sumber daya elektronik]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/].

Penggunaan konsep AB menyebabkan paradoks logika dan matematika, mekanisme generasi yang masih belum ditemukan sampai sekarang. Dalam hal ini, pengungkapan sifat logis paradoks dan legitimasi penggunaan konsep AB dalam matematika relevan saat ini. Frenkel dan Bahr-Hillel menunjukkan bahwa sama sekali tidak ada dalam interpretasi tradisional logika dan matematika yang dapat menjadi dasar untuk menghilangkan antinomi Russell.<АЗ: а также парадокса «Лжец»>. Kami percaya bahwa setiap upaya untuk keluar dari situasi dengan bantuan ... cara berpikir tradisional, sejauh ini selalu gagal, jelas tidak cukup untuk tujuan ini. Beberapa penyimpangan dari cara berpikir yang biasa jelas diperlukan, meskipun tempat keberangkatan ini tidak jelas sebelumnya” [A.A. Frenkel, I. Bar-Hillel. Dasar-dasar teori himpunan. - M.: "Tuan"].

Teori himpunan abstrak dan penegasannya dalam sains modern, menurut A.A. Zenkin, adalah contoh nyata dari sains semu, kasus yang belum pernah terjadi sebelumnya dalam menciptakan mitos palsu dalam sains melalui penggunaan teknologi PR.

Terlebih lagi, A.A. Zenkin tanpa sadar mengungkapkan esensi sejati yang tidak memihak dari ilmu pengetahuan modern sebagai institusi sosial: “ATM - inisiatif tersebut memunculkan fenomena negatif berskala besar seperti bourbakisme, mis. formalisasi matematika dan pendidikan matematika yang berlebihan, tidak perlu, tidak berarti, mencengangkan, mencengangkan, dan zombifikasi.. Menggambarkan konsekuensi negatif dari burbakisasi semacam itu, seorang ahli matematika dan guru Rusia yang luar biasa, akademisi V.I. Arnold menulis: "Di pertengahan abad ke-20, mafia "ahli matematika belahan bumi kiri", yang memiliki pengaruh besar, berhasil mengecualikan geometri dari matematika pendidikan ... mengganti seluruh isi dari disiplin ini dengan pelatihan manipulasi formal konsep-konsep abstrak. Deskripsi matematika yang abstrak seperti itu tidak cocok untuk mengajar atau untuk aplikasi praktis apa pun. Pendidikan formal (burbakisasi) modern dalam matematika - kebalikannya mengajarkan kemampuan berpikir dan dasar-dasar ilmu pengetahuan. Ini berbahaya bagi seluruh umat manusia. Masa depan matematika yang terinfeksi penyakit ini terlihat agak suram” [A.A. Zenkin. Surga Transfinite Georg Kantor: Kisah-kisah Alkitab di ambang Kiamat. - [Sumber daya elektronik]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/].

Matematikawan Rusia merumuskan empat contoh “kebohongan untuk menyelamatkan ATM H. Kantor”:

Berbohong dulu. "Matematika adalah ratunya semua ilmu, dan ATM adalah ratunya matematika"! Pada kesempatan ini, A.A. Zenkin menulis bahwa ATM modern membodohi komunitas matematika profesional dan membuat zombifikasi generasi muda matematikawan. Cantorians berpendapat bahwa jika pada awal abad ke-20 banyak matematikawan terkemuka dengan tegas menolak ATM sebagai pseudo-sains, hari ini, "ahli matematika modern, akhirnya, tercerahkan tentang itu bahwa semua tak terhingga adalah relevan berubah pikiran pada subjek bahwa teori terakhir bilangan asli "diturunkan" dari teori transfinite bilangan, bahwa konsep himpunan kosong dideduksi dari konsep himpunan tak hingga, bahwa semua matematika modern dapat diturunkan dari ATM dan secara resmi mengakui bahwa "Matematika adalah Ratu dari semua ilmu pengetahuan, dan ATM adalah Ratunya Matematika"! Semua penentang ATM kemarin hari ini sepakat bahwa ATM adalah prestasi luar biasa matematika modern, sebuah prestasi yang mengubah wajah semua matematika di abad ke-20” [Ibid.].

"Ini adalah fakta empiris," Martin Davis dan Reuben Hersh sudah membuat zombifikasi komunitas ilmiah hari ini, " bahwa sekitar 90% matematikawan yang bekerja menerima teori himpunan Cantor, baik dalam teori maupun dalam praktik, sampai batas tertentu» [Ibid.].

Kemudian, seperti pada kenyataannya, A.A. Zenkin mencatat, Cantorians sengaja licik dan tidak membuat perbedaan yang signifikan antara bahasa teori himpunan abstrak dan doktrin Cantor tentang ordinal dan kardinal transfinit. Memang, bahasa teori himpunan telah menjadi bahasa matematika universal. Sementara doktrin ordinal dan kardinal transfinite, karena ketidakbergunaan mutlaknya, 90% ahli matematika yang benar-benar bekerja tidak berlaku di mana pun. Dari sisanya, 9% matematikawan dengan tegas tidak menerima doktrin ini, dan hanya 1% yang ahli ATM atau Bourbakist.

Kebohongan kedua. Dasar dari ATM modern adalah "metode penyelesaian" pseudo-ilmiah yang terang-terangan, semi-kriminal. pertanyaan ilmiah tentang sifat logis matematika tak terhingga . Esensinya terletak pada kenyataan bahwa teori himpunan Cantor, berdasarkan konsep AB, dinyatakan "naif", dan istilah AB sendiri dikeluarkan dari batas-batas ilmu meta-matematika yang terhormat. Itu adalah salah satu kampanye PR paling efektif yang pernah diterapkan dalam sejarah sains.

Namun demikian, teori ATM modern meminjam dari teori "naif" teorema tentang tak terhitungnya kontinum, yang pembuktiannya didasarkan pada penggunaan konsep AB yang jelas-jelas bertentangan. Dalam hal ini, A.A. Zenkin menganggap teori himpunan Cantor sebagai salah satu sumber utamaKrisis Besar Ketiga dari Fondasi Matematika, yang berlanjut hingga hari ini.

Kebohongan ketiga. Syarat pembuktian ATM tidak dirumuskan secara eksplisit, tetapi tersirat pada tataran ketentuan filosofis. Dari sudut pandang logika klasik dan matematika, "asumsi AB" adalah kondisi yang diperlukan untuk pengurangan sebagian besar teorema ATM.

Kebohongan keempat. Teori himpunan gagal, pada akhirnya, untuk menghilangkan potensi dengan metodologi ilmiah, yaitu membuktikan inkonsistensi konsep PB. ATM pergi ke arah lain. Dia menyatakan masalah legitimasi penggunaan AB sebagai salah satu filosofis. A.A. Zenkin melihat ini sebagai naluri mempertahankan diri dari pendukung ATM, karena upaya untuk memberikan definisi yang ketat tentang konsep AB akan mengarah pada pemahaman yang jelas tentang inkonsistensinya. Dan ini akan membahayakan yang didanai dengan baik dan kebiasaan kesejahteraan pelanggan tetap ATM di "surga abadi" Cantor. Dengan cara semi-kriminal dan pseudo-ilmiah, ATM - "klan", berurusan dengan lawan-lawannya.

Dan akhirnya, kebohongan kelima. Memaksakan "kisah horor" pada komunitas matematika bahwa bukti Teorema Kontinuum Tak Terhitung begitu sulit sehingga hanya tersedia untuk profesional terpilih . Banyak matematikawan percaya pada mitos ini dan mengakui ketidakmampuan mereka ketika membahas teorema dasar Cantor tentang tak terhitungnya kontinum. Sebagai bukti kepalsuan yang mencolok dari mitos ini, A.A. Zenkin mengusulkan untuk membandingkan metodologi pembuktian teorema Cantor dan teorema Pythagoras yang terkenal.

Dalam teorema Pythagoras, catat A.A. Zenkin, tiga (!) konsep dasar matematika (konsep segitiga siku-siku, konsep kesejajaran segitiga, konsep proporsi) dan tiga (!) operasi matematika dilakukan: dua perkalian dan satu penambahan ekspresi aljabar. Pembuktiannya sendiri (tanpa gambar) membutuhkan 5 (lima!) baris. Pembuktian Cantor menggunakan tiga (!) konsep dasar matematika (konsep bilangan asli, konsep bilangan real, dan konsep barisan tak hingga dari bilangan real tercacah) dan tidak satu (!) operasi matematika dilakukan. Pembuktiannya sendiri membutuhkan 5 (lima!) baris, ditulis dalam bahasa logika dasar paruh kedua abad ke-19.[Ibid].

Kebenaran bukti ini bertemu dengan keberatan serius dari ahli matematika, logika dan filsuf terkemuka. " Dalam implikasi paradigmanya bagi filsafat, logika, matematika, dan psikologi pengetahuan, teorema Cantor tak tertandingi. "Nasib" epistemologis yang berbeda dari teorema-teorema ini, yang begitu mirip dalam kriteria formal (dan dalam hal "menjerit" kesepelean bukti), dijelaskan oleh fakta bahwa pembuktian teorema Cantor menggunakan konsep kontradiktif (secara implisit) dari tak terhingga sebenarnya» [Ibid.].

A.A. Zenkin tidak berhenti pada argumen ini dan melanjutkan langsung ke analisis metode diagonal (DM) sebagai bukti teorema Cantor tentang tak terhitungnya kontinum.

Mempertimbangkan bentuk kanonik DM, ilmuwan Rusia sampai pada kesimpulan bahwa “bukti diagonalnya (Cantor) dari ketidakterbandingan kuantitatif dua himpunan tak hingga X dan N didasarkan pada fakta bahwa himpunan tak hingga X selalu berisi satu elemen tambahan ( new AD-d.h. x*), untuk pencacahan yang, "seperti biasa", ada satu elemen yang hilang dari himpunan tak hingga N, atau, secara formal, dari fakta bahwa himpunan tak hingga X memiliki satu elemen lebih banyak daripada himpunan tak hingga N. Saya pikir ini - justru tempat itu dalam pembuktian Cantor yang selalu menyebabkan penolakan kategoris (penolakan) oleh intuisi ilmiah para profesional matematika terkemuka (lihat Daftar-1)” [Ibid.]. A.A. Zenkin memberikan penilaian atas bukti semacam itu oleh Wittgenstein: “Seseorang bekerja hari demi hari dengan keringat di dahinya - dia membuat daftar semua bilangan real, dan sekarang, ketika daftar itu akhirnya selesai, seorang pesulap muncul, mengambil diagonal dari daftar ini dan di depan matanya penonton yang tercengang, dengan bantuan algoritme yang agak "esoteris", mengubahnya menjadi ... anti-diagonal, mis. ke nomor AD-real baru yang tidak terkandung dalam daftar asli . Dari jenis seperti ituPembuktian diagonal Cantor adalah kegiatan untuk idiot yang tidak ada hubungannya dengan apa yang disebut deduksi dalam logika klasik..

Terlebih lagi, matematikawan Rusia menemukan untuk pertama kalinya fakta unik dalam bukti Cantor. Poin kunci dari bukti Cantor adalah penggunaan eksplisit metode kontra-contoh. Dan "contoh tandingan itu sendiri tidak ditemukan dalam himpunan semua kemungkinan realisasi dari yang diberikan" umum pernyataan, tetapi secara algoritme menyimpulkan dari pernyataan umum bahwa contoh tandingan ini dimaksudkan untuk menyanggah (dalam bentuk deduktif output , di sini B= "daftar (1) berisi semua d.h. dari X")” [A.A. Zenkin. Surga Transfinite Georg Kantor: Kisah-kisah Alkitab di ambang Kiamat. - [Sumber daya elektronik]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/].

Sebagai hasil dari pengenalan profesional ATM dengan penemuan A.A. Zenkin, kontroversi tajam muncul, di mana “semua profesionalisme palsu dari sejumlah otoritas ATM yang diakui dimanifestasikan tepat di bidang logika dasar” [Ibid.].

Meringkas hasil kontroversi, A.A. Zenkin sampai pada kesimpulan tak terduga berikut: “Situasi yang memalukan muncul! – Selama lebih dari seratus tahun, para profesional terkemuka (dan tidak demikian) di bidang meta-matematika, logika matematika, teori himpunan aksiomatik, dan para Bourbakis lainnya telah mengajar (lebih tepatnya, membuat zombifikasi) generasi siswa baru setiap tahun, “bagaimana untuk membuktikan dengan benar" tak terhitungnya kontinum menggunakan metode diagonal terkenal Cantor, sama sekali tidak memahami sifat logis dari metode ini!

Sungguh, "insiden patologis yang menurut Brouwer, generasi mendatang akan ngeri"! - Atau, lebih tepatnya, mereka akan tertawa "dari lubuk jiwa mereka", tetapi ... "sampai aku benar-benar jatuh." - Atas siapa? - Saya berpikir tentang 90% matematikawan "bekerja" yang selama satu abad "sama sekali tidak tertarik" menyerahkan "ratu semua ilmu" mereka untuk "penggunaan yang tidak pantas" oleh "pasien otak kiri". Karena menertawakan orang sakit, bahkan yang berotak kiri, adalah dosa dan sia-sia.[Ibid].

Matematikawan Rusia melengkapi analisis kritis dari bukti DMC dengan kisah paradoks dramatis David Hilbert yang diusulkan sekitar 80 tahun yang lalu. Pada tahun 1920-an, D. Hilbert, untuk menunjukkan perbedaan mendasar antara himpunan hingga dan himpunan tak hingga dalam teori himpunan Cantor, mengajukan paradoks populer dengan nama "Grand Hotel". Penyajian paradoks itu sendiri agak rumit, jadi mari kita rumuskan esensinya. Paradoks “Grand Hotel” mendemonstrasikan sifat dasar dari himpunan tak hingga: “... jika sebuah himpunan berhingga atau tak hingga terhitung ditambahkan ke himpunan tak hingga, maka kardinalitas himpunan pertama tidak akan berubah” [Ibid.].

Membandingkan bukti DMC dengan paradoks D. Hilbert, A. A. Zenkin sampai pada kesimpulan yang luar biasa: bukti DMC tentang tak terhitungnya kontinum adalah model deduktif (dalam pengertian Tarski) dari paradoks "Grand Hotel" D. Hilbert.

Dalam paradoks D. Hilbert, kita berhadapan dengan proses yang berpotensi tak terbatas, yang memiliki sifat dasar berikut: sampai proses ini berakhir, “Tidak ada alasan (logis dan matematis) untuk menyatakan bahwa asumsi "X dapat dihitung" adalah salah. Oleh karena itu, jika himpunan Y 1 tak terhingga, pernyataan Teorema Cantor "X tak terhitung" tidak dapat dibuktikan"[Ibid].

Argumen di atas, A.A. Zenkin menyimpulkan, menunjukkan bahwa “Teorema Cantor tentang tak terhitungnya kontinum tidak dapat dibuktikan. Ini berarti bahwa perbedaan antara ketidakterbatasan dengan jumlah elemen adalah pembuatan mitos. Tetapi jika ketakterhitungan kontinum tidak dapat dibuktikan, maka teori himpunan transfinit G. Cantor bukan hanya "naif", tetapi pseudo-sains yang jujur, dan oleh karena itu "surga" transfinit G. Cantor dapat ditutup tanpa merusak apa pun untuk benar-benar "bekerja " matematika "[Ibid].

Mengakhiri presentasi studi kritis A.A. Zenkin tentang teori himpunan tak terbatas oleh Georg Kantor, saya ingin menekankan pentingnya kesimpulan berikut. Teorema Cantor tidak benar dari sudut pandang logika klasik Aristoteles.

4. Kritik terhadap pendekatan aksiomatik A.A. Zenkin

Pendekatan aksiomatik yang diusulkan oleh A. Zenkin untuk konsep AB dan PB, dari sudut pandang kami, secara metodologis tidak benar.

Aksioma Aristoteles dan aksioma Cantor dirumuskan melalui konsep tak terhingga, yang tidak didefinisikan secara ketat dan formal. Berdasarkan rumusan aksioma, maka PB dan AB adalah jenis tak hingga, yaitu. jenis.

Momen kedua. Konsep PB dan AB Aristoteles dianggap atas dasar doktrinnya sendiri tentang keberadaan dan esensi berdasarkan hukum-hukum logika klasik (tradisional). Sedangkan Cantor, dalam teori himpunannya, berangkat dari program penelitian Pythagoras-Platonis. Doktrin Plato tentang keberadaan dan esensi adalah alternatif dari filsafat bergerak dan konsisten dengan logika dialektis dan prinsip kebetulan yang berlawanan.

Aristoteles tidak menganggap konsep AB dan PB sebagai kontradiksi, terutama karena konsep tak terhingga sangat spesifik dan prinsip serta hukum logika tradisional tidak dapat diterapkan padanya. Aristoteles menyebutnya sebagai konsep yang tidak sah, yang umumnya tidak diberikan pada perasaan atau pemikiran kita. Yang Tak Terbatas hanya ada dalam kemungkinan, bukan dalam kenyataan. Karena jika itu ada dalam kenyataan, itu akan menjadi kuantitas (tertentu) tertentu, atau nilai yang terbatas. Oleh karena itu, yang tak terbatas ada sebagai properti.

Infinity, menurut Aristoteles, adalah di mana, mengambil jumlah tertentu, Anda selalu dapat mengambil sesuatu setelahnya. Dan di mana tidak ada apa-apa di luar, itu adalah keseluruhan. Yang tak terbatas adalah apa yang tidak ada dari sesuatu, berada di luarnya. “Keseluruhan dan terbatas (tak terbatas) tidak dalam dirinya sendiri, tetapi dalam kaitannya dengan yang lain; dan karena tidak terbatas, ia tidak merangkul, tetapi dirangkul. Oleh karena itu, ia tidak dapat dikenali sebagai tak terbatas, karena materi [seperti itu] memiliki tidak ada bentuk Jadi, jelas yang tak terbatas cocok dengan definisi bagian daripada keseluruhan, karena materi adalah bagian dari keseluruhan, seperti tembaga untuk patung tembaga. Jika mencakup objek yang masuk akal, maka di bidang "besar" dan "kecil" yang dapat dipahami harus merangkul [gagasan] yang dapat dipahami, tetapi tidak masuk akal dan tidak mungkin bagi yang tidak dapat diketahui dan tidak terbatas untuk mencakup dan menentukan" [Aristoteles. Kumpulan karya dalam 4 volume. V.3, Moskow, "Pemikiran ", 1981, hal.120 ].

Akibatnya, dalam Aristoteles, konsep ketidakterbatasan dianggap berhubungan erat dengan kategori kunci filsafatnya: bentuk - materi, kemungkinan - realitas, bagian - keseluruhan. Dalam konteks ini, konsep AB tidak bertentangan dengan PB, tetapi sama sekali tidak terpikirkan dari sudut pandang logika Aristoteles. PB kontradiktif lebih merupakan konsep yang terbatas, sebagai hubungan yang tidak terbatas dan yang pasti. Jika PB dianggap dalam konteks bagian – keseluruhan, maka definisi bagian lebih cocok untuk itu. Kemudian dalam kaitannya dengan itu, yang tak terbatas yang sebenarnya lebih sesuai dengan konsep keseluruhan. Dalam hal ini, PB merupakan konsep bawahan dari konsep AB. Ini adalah bagaimana G. Kantor sendiri menafsirkannya.

Jadi, bagi Aristoteles, seseorang hanya dapat berbicara tentang ketidakterbatasan dalam pengertian tunggal PB. Suatu konsep tidak dapat dikaitkan dengannya, yang tidak diakui sebagai konsep, mis. AB. Dan konsep PB itu sendiri tidak terbatas, tidak dapat diketahui dan tidak memiliki realitas.

Status khusus dari konsep ketidakterbatasan inilah, yang dibicarakan oleh Aristoteles, yang tidak memungkinkan kita untuk menerapkan operasi tradisional logika formal padanya. Konsep PB bukanlah objek matematika dalam arti kata yang sebenarnya.

Bahwa konsep tak terhingga tidak termasuk, dalam arti sempit, matematika mengikuti dari definisi bilangan dan besaran. Inilah, sekali lagi, definisi Aristoteles. “Kuantitas adalah apa yang dapat dibagi menjadi bagian-bagian komponen, yang masing-masing, apakah ada dua atau lebih, pada dasarnya adalah sesuatu yang satu dan sesuatu yang pasti. Setiap besaran adalah himpunan jika dapat dihitung, dan besaran jika dapat diukur. Himpunan adalah apa yang, dalam kemungkinan, dapat dibagi menjadi bagian-bagian yang tidak kontinu, suatu besaran - menjadi bagian-bagian yang kontinu ... Dari semua besaran ini terbatas himpunan adalah bilangan terbatas panjang garis, terbatas lebar - datar, terbatas kedalaman adalah tubuh” [Aristoteles. op. dalam 4 volume. Volume 1. M.: Pemikiran, 1976, hal.164]. Dari kutipan Aristoteles di atas dapat disimpulkan bahwa subjek utama matematika adalah konsep besaran dan bilangan. Bilangan adalah himpunan terbatas, nilainya adalah ruang geometris terbatas (garis, bidang, tubuh). Himpunan tak terbatas dan ruang tak terbatas adalah tak terhingga, sebagai dua bentuk kuantitas, tidak memiliki batas, akhir atau batas. Oleh karena itu, mereka tidak terbatas, dan karena itu tidak dapat diketahui.

Lebih-lebih lagi, tak terhingga bagi Aristoteles adalah sifat berpikir, pertama-tama, dan bukan subjek fisika atau matematika. « Mempercayai pemikiran dalam pertanyaan yang tak terbatas itu tidak masuk akal, karena kelebihan dan kekurangan (dalam hal ini) bukanlah pada objeknya, melainkan pada pemikirannya. Lagi pula, kita masing-masing dapat membayangkan secara mental berkali-kali lebih banyak daripada dia, meningkatkannya hingga tak terbatas, namun, bukan karena seseorang berada di luar kota atau memiliki ukuran tertentu karena seseorang berpikir seperti ini, tetapi karena memang demikian [sebenarnya] ; dan fakta [bahwa seseorang berpikir seperti ini] akan menjadi [baginya] suatu keadaan yang kebetulan” [Ibid.]. Jika yang tak terbatas tidak ada dalam objek, lalu apa yang kita aksiomatiskan - aktivitas berpikir? Dan apa hubungannya matematika dengan itu? Untuk materi pelajarannya adalah kuantitas murni: jumlah dan besaran?

Konsep konstruksi Cantor tak terhingga yang sebenarnya, mengikuti tradisi Pythagoras, yang, seperti kesaksian Aristoteles, "menyusun besaran dari angka." Kantor percaya bahwa kuantitas kontinu dapat diukur dengan angka sebagai satu set benar unit tak terpisahkan. Jelas bahwa pendekatan seperti itu sama sekali tidak dapat diterima oleh Aristoteles. Baginya, nilai hanya dibagi menjadi bagian-bagian yang dapat dibagi. Oleh karena itu, besaran tidak dapat terdiri dari yang tidak dapat dibagi. Jika tidak, aporia Zeno tentang kontradiksi gerakan tidak akan terpecahkan, dan juga tidak mungkin menjelaskan kemungkinan gerakan, kesinambungan ruang dan waktu.

Menurut aksioma Kantor, menurut Zenkin, maka ia menyangkal potensi tak terhingga. Kantor tidak hanya tidak menyangkal PB, tetapi sama sekali tidak menganggapnya sebagai sesuatu yang tidak terbatas. Baginya, PB adalah variabel kuantitas hingga. Selain itu, dia percaya bahwa jika Anda mengambil PB, maka Anda harus terlebih dahulu mengambil AB.

Kesimpulannya adalah sebagai berikut. Aksioma Aristoteles dan Cantor yang dirumuskan oleh Zenkin, tidak mencerminkan sikap yang sebenarnya terhadap konsep PB dan AB dari Aristoteles dan Cantor. Dalam kedua aksioma, dalam aksioma Aristoteles (abad ke-4 SM): "Semua himpunan tak hingga berpotensi himpunan tak terbatas", dan dalam lebih dari seratus tahun aksioma Cantor yang ada dan kontradiktif (abad XIX M): "Semua himpunan tak terbatas adalah himpunan aktual-tak terbatas" [lihat A.A. Zenkin. Surga Transfinite Georg Kantor: Kisah-kisah Alkitab di ambang Kiamat. - [Sumber daya elektronik]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/ ], konsep umum "set tak terbatas" didefinisikan melalui jenisnya. Dalam aksioma Aristoteles - melalui set yang berpotensi tak terbatas, dalam aksioma Cantor - melalui set yang sebenarnya tak terbatas. Baik konsep PB maupun AB bukanlah objek matematika dalam arti kata yang sebenarnya, karena mereka hanya ada dalam kemungkinan, tidak dapat diketahui dan tidak dapat ditentukan. Konsep AB dan PB bukanlah bilangan atau besaran, tetapi merupakan sifat pemikiran rasional abstrak kita.

Semua hal di atas tidak ada hubungannya dengan bagian karya Zenkin itu, di mana ia membuktikan, berdasarkan logika klasik, bahwa teorema Cantor tentang tak terhitungnya kontinum tidak dapat dibuktikan. Zenkin menunjukkan bahwa Metode Diagonal Cantor (DMC), yang mendasari bukti teorema, adalah versi spesifik dari contoh tandingan yang dikenal oleh Pythagoras dan Euclid. Dan paradoks terkenal "Grand Hotel" oleh D. Hilbert adalah model deduktif (dalam pengertian A. Tarsky) dari DMC-bukti tak terhitungnya kontinum oleh G. Kantor. Berdasarkan model ini, Zenkin menyimpulkan bahwa bukti DMC tidak benar dari sudut pandang logika klasik. Oleh karena itu, tidak ada himpunan tak terhitung, dan semua himpunan tak hingga memiliki kardinalitas yang sama. Dengan demikian, seluruh “Ajaran tentang Yang Transfinisi” yang megah oleh G. Kantor runtuh.

Jadi, kesimpulan utama yang menunjukkan dirinya setelah mempelajari teorema tentang tak terhitungnya kontinum dan teori bilangan transfinit Cantor berdasarkan itu, adalah bahwa kepalsuannya cukup mudah (seperti yang ditunjukkan A.A. Zenkin) disangkal atas dasar Aristoteles logika klasik.

Dan yang tidak kalah penting, kesimpulan terakhir. Teori Cantor bukanlah fenomena kebetulan dalam matematika Eropa, tetapi hasil alami dari identifikasi konsep bilangan dan besaran, yang mengarah pada aritmetisasi matematika secara bertahap, spekulatifnya, dan abstraksinya yang tidak moderat.

5. Misteri potensi tak terhingga

Pertanyaan yang sama pentingnya, yang diajukan Zenkin tanpa sadar ketika membuktikan inkonsistensi teorema Cantor tentang tak terhitungnya kontinum, secara langsung berkaitan dengan esensi potensi tak terhingga yang diakui dalam matematika.

Pada 1920-an, David Hilbert mengusulkan paradoks populer yang disebut "Grand Hotel" (selanjutnya, untuk singkatnya, GO), yang menggambarkan perbedaan mendasar antara himpunan hingga dan tak terbatas dalam teori himpunan Cantor (dan juga aksiomatik modern). Kami tidak akan menyajikan paradoks itu sendiri, karena agak rumit. Isinya adalah bahwa ia dengan sangat jelas menunjukkan sifat utama dari himpunan tak hingga: jika himpunan berhingga atau terhitung tak hingga ditambahkan ke himpunan tak hingga, maka kardinalitas himpunan pertama tidak akan berubah.

Zenkin menunjukkan bahwa bukti DMC dari kontinum yang tak terhitung adalah model deduktif (dalam arti Tarski) dari paradoks GO D. Hilbert [A.A. Zenkin. Surga Transfinite Georg Kantor: Kisah-kisah Alkitab di ambang Kiamat. - [Sumber daya elektronik]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/].

Setelah menetapkan bahwa dalam metode DNA Kantor tidak menggunakan proses AB, tetapi proses PB, Zenkin mencatat bahwa tidak ada yang akan mengetahui kebenaran penegasan teorema ini, karena proses tak hingga tidak memiliki elemen terakhir.

Zenkin menunjukkan ketidakterbatasan Cantor yang sebenarnya, adalah diperlukan kondisi bukti DMC dari kontinum yang tak terhitung, pada kenyataannya, adalah berpotensi- diskusi tanpa akhir. "Ini membuktikan bahwa" topikal" dan "tak terbatas" dalam kerangka pembuktian Cantor. Teorema tentang tak terhitungnya kontinum adalah (secara logis dan algoritmik) kontradiktif konsep, dan, akibatnya, konsep " topikal" dan " terakhir» secara algoritmik identik» [Ibid.]. Dan jika ini adalah pernyataan yang berpotensi tak terbatas, maka kebenarannya tidak dapat ditetapkan, karena proses tak terbatas tidak memiliki elemen terakhir. Kesimpulan Zenkin ini menegaskan asumsi kami bahwa gagasan terbatas, dan bukan AB, bertentangan dengan gagasan PB.

Jadi, Zenkin menulis, pertama terbukti pemeliharaan intuitif yang besar (dan peringatan!) dari Aristoteles, Euclid, Leibniz, dan banyak lainnya (lihat Daftar-1) ahli logika, matematikawan, dan filsuf luar biasa yang “ tak terhingga sebenarnya" adalah bertentangan secara internal konsep (sesuatu seperti " selesai(oleh penyanyi) ketakterbatasan”) dan oleh karena itu penggunaannya dalam matematika tidak dapat diterima” [Ibid.].

Sayangnya, untuk membuktikan inkonsistensi internal dari konsep ketidakterbatasan aktual (selesai, yaitu selesai, hingga) adalah, sampai batas tertentu, pekerjaan yang sia-sia, karena inkonsistensi langsungnya yang jelas. Dalam kerangka logika Aristotelian klasik, ini sama sekali tidak mungkin. Dalam konteks logika spekulatif (dialektis), yang mengingkari hukum kontradiksi, hal ini cukup dapat diterima.

Zenkin juga menemukan bahwa bentuk kanonik dari bukti "diagonal" Cantor dari teorema kontinum tak terhitung identik dengan bentuk tak terbatas kanonik (P2) dari paradoks "Pembohong":

"Seseorang berkata, "Saya pembohong". - Apakah dia pembohong? Jika dia pembohong, maka dia berbohong, mengklaim bahwa dia pembohong; oleh karena itu dia bukan pembohong. Tetapi jika dia bukan pembohong, maka dia mengatakan yang sebenarnya, mengklaim bahwa dia pembohong; oleh karena itu, dia adalah seorang knave, atau, singkatnya (di sini A = "Saya seorang knave"): dan [ØA ® A] (P1)" [Ibid.]

Zenkin juga mencatat, “Apa simulasi paradoks pembohong tidak membuktikan komputer analog. Bahwa paradoks ini tidak memiliki bentuk berhingga, tetapi tak hingga berikut A ® A ® A ® A ® A® A ® A ® ... (P2) dan tidak ada alasan, alasan, atau alasan logis dan matematis untuk menyelesaikan ini berpotensi-proses tanpa batas” [Ibid.].

Akibatnya, ahli matematika Rusia membuat kesimpulan yang menarik. “Harus ditekankan bahwa bentuk tak terhingga (P2)lah yang mengimplementasikan kebutuhan dan memadai kondisi (dalam arti logis dan matematis yang ketat) dari fenomena paradoksalitas. Dalam hal ini, "semantik" sebenarnya dari paradoks ini sama sekali bukan bahwa pernyataan "Saya pembohong" "tidak mungkin benar atau salah", tetapi pernyataan ini, sebaliknya, adalah keduanya. benar dan salah“pada waktu yang sama, di tempat yang sama dan dalam hal yang sama.” Dengan kata lain, dalam paradoks “Pembohong” dalam bentuk (P2), kebenaran dan kebatilan bercampur aduk, yang berarti bahwa kebenaran dan kebatilan menjadi tidak dapat dibedakan” [Ibid.].

Sulit untuk tidak setuju dengan ini. Menurut Plato, yang tak terbatas adalah yang memiliki karakteristik kuantitatif tanpa batas dan tidak memungkinkan definisi yang ketat. Dia menyebut yang tak terbatas "dualitas tak terbatas", selalu memiliki dua arti dan tidak dapat mengambil satu arti, tidak dapat ditentukan.“... yang tak terbatas dapat eksis sebagai hari yang ada atau sebagai kompetisi - dalam arti bahwa menjadi selalu berbeda dan berbeda» [P.P. Gaidenko. Sejarah filsafat Yunani dalam hubungannya dengan ilmu pengetahuan. - [Sumber daya elektronik]. URL: http://www.philosophy.ru/library/gaid/0.html].

Timbul pertanyaan, apa makna logis dari konsep Platonis tentang ketidakterbatasan sebagai proses "menjadi selalu berbeda dan berbeda"? Menurut pendapat kami, konsep potensi tak terhingga secara implisit mengandung prinsip yang menyangkal hukum kontradiksi. Ini "lain dan lainnya," bukannya "sesuatu yang lain," adalah prinsip ketidakpastian. Jika hukum kontradiksi dalam penafsiran Aristoteles dirumuskan sebagai berikut: “Tidak mungkin hal yang sama menjadi dan tidak melekat pada hal yang sama dan dalam pengertian yang sama,” maka, dalam kasus kita dengan definisi PB, "satu dan sama" identik artinya dengan konsep "lain" di Plato. Oleh karena itu, dalam definisi Plato, kita berhadapan dengan pernyataan yang menyangkal hukum kontradiksi. Misalnya, pertimbangkan serangkaian bilangan asli: 1, 2, 3, 4, 5… sebagai contoh potensi tak terhingga. Jika kita mengambil pasangan bilangan tetangga, maka tidak mungkin ketiga jenis rasionya benar dalam besaran: 3 > 4, 4 > 3, atau 3 = 4. Jika kita mengambil angka 4 yang terbatas, maka, misalnya, sehubungan dengan besarnya, itu tidak bisa lebih besar dari dirinya sendiri. Sedangkan pada deret bilangan tak hingga, nilai suatu bilangan selalu berubah, dan kita tidak dapat menerapkan hukum kontradiksi sebagai hukum kepastian padanya. Oleh karena itu, tak hingga potensial sama-sama melekat pada semua bilangan deret alami: 1, dan lainnya (2), dan lainnya (3), dan lainnya (4). Oleh karena itu, tanda disjungsi harus diganti dengan konjungsi. Dan pengenalan hukum kebetulan oppositorum bukannya hukum kontradiksi mengarah ke paradoks. Apa itu paradoks? Ini adalah pernyataan yang kontradiktif.

Dan akhirnya, contoh paradoks Pembohong. Seseorang berkata, "Aku berbohong." Jika dia berbohong, maka apa yang dia katakan adalah bohong, dan karena itu dia tidak berbohong. Jika dia tidak berbohong, apa yang dia katakan adalah kebenaran, dan karena itu dia berbohong. Bagaimanapun, ternyata dia berbohong dan tidak berbohong pada saat yang sama [Logical Dictionary-Referensi. N.I. Kondakov. Ilmu. M., 1976. S.433]. Dalam paradoks ini, kita berhadapan dengan pelanggaran yang disengaja terhadap hukum kontradiksi. Tidak mungkin seseorang berbohong dan tidak berbohong dalam hal yang sama. Dan pelanggaran ini melekat dalam struktur paradoks.

Jadi, seperti yang ditunjukkan Zenkin, dan ini mengikuti dari analisis paradoks ini berdasarkan logika klasik, pelanggaran hukum kontradiksi secara implisit melekat dalam isi konsep potensi tak terhingga, yang mengarah pada fenomena paradoks.. Jika kita berbicara tentang deret bilangan asli, maka setiap bilangan asli yang membentuk deret tersebut termasuk dan tidak termasuk dalam deret bilangan asli tak hingga. Pertama, sebuah angka, misalnya 5, masuk ketika kita mencapainya selama perhitungan, dan kemudian, angka 6 mengubahnya, dan seterusnya. Kepastian terus berubah, dan, oleh karena itu, mungkin tidak mungkin, munculnya paradoks.

Jika dalam konsep AB inkonsistensi dan sifat paradoks konsep ini terlihat jelas, maka dalam konsep PB tersembunyi.

Pemahaman sifat PB, seseorang tidak dapat mengabaikan konsep aritmatika dan geometri tak terhingga. Mari kita pertimbangkan konsep-konsep ini secara lebih rinci.

Barisan bilangan asli 1, 2, 3, ..., (1)

merupakan contoh pertama dan terpenting dari himpunan tak hingga. Sejak zaman Hegel, tak terhingga aritmatika dari deret alami 1 + 1 + 1 + ..., karena keputusasaannya, disebut tak terhingga "buruk" atau "buruk".

Tak terhingga geometris terdiri dari pembagian segmen yang tidak terbatas menjadi dua. Pascal menulis tentang geometri tak terhingga berikut ini: “Tidak ada ahli geometri yang tidak percaya bahwa ruang habis dibagi hingga tak terhingga. Dia tidak bisa melakukannya tanpanya, sama seperti manusia tidak bisa tanpa jiwa. Namun tidak ada orang yang memahami keterbagian yang tak terbatas…” [ A.P. Stakhov Di bawah tanda "Bagian Emas": Pengakuan putra batalion pelajar. Bab 5. Teori pengukuran algoritma. 5.5. Masalah tak terhingga dalam matematika. Tak terhingga potensial dan aktual. - [Sumber daya elektronik]. URL: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm].

Memang, ini adalah pertanyaan yang sangat penting yang tidak dapat diselesaikan dalam kerangka paradigma antroposentris yang dominan saat ini.

“Kesan naif pertama yang dihasilkan oleh fenomena alam dan materi,” tulis D. Gilbert, “adalah kesan tentang sesuatu yang terus-menerus, terus-menerus. Jika di depan kita ada sepotong logam atau volume cairan tertentu, maka kita dihadapkan pada gagasan bahwa mereka dapat dibagi tanpa batas, bahwa sepotong kecil yang sewenang-wenang lagi memiliki sifat yang sama. Tetapi di mana pun metode penyelidikan dalam fisika materi cukup ditingkatkan, kita menemukan batas-batas keterbagian ini, yang tidak terletak pada ketidaksempurnaan pengalaman kita, tetapi pada sifat benda itu sendiri, sehingga orang dapat secara langsung merasakan tren sains modern sebagai pembebasan dari yang tak terbatas kecil; sekarang adalah mungkin untuk melawan tesis lama “natura non facit saltus” (alam tidak membuat lompatan) dengan antitesis: “alam membuat lompatan” [Gilbert D. On the Infinite. Sumber pindaian: Gilbert D. On the Infinite // Him. Fondasi geometri. - M.-L., 1948. 491 hal. (ringkasan artikel dari Mathematischen Annalen, v. 95.) - [Sumber daya elektronik]. URL: http://www.fidel-kastro.ru/matematika/gilbert/hilbert2.htm].

“Pembagian tak terbatas hanya ada dalam matematika. Di alam, eksperimen fisika dan kimia tidak dapat ditemukan di mana pun - oleh karena itu, ini hanyalah ide matematika - produk dari pemikiran matematis! Ide alam semesta tak terbatas mendominasi untuk waktu yang lama sebelum dan sesudah Kant. Tapi ide ini adalah kebalikan dari keterbatasan pengalaman dan proses kognisi kita” [Ibid.].

Sifat ketakterhinggaan geometris sebagai keterbagian tak terbatas dari segmen menjadi dua tidak dapat dipecahkan dalam kerangka geometri, dan membutuhkan keterlibatan filsafat dan teologi.

Pertama, proses pembagian segmen mengungkapkan sifat dasar pemikiran rasional - penghancuran (pembagian) objek yang diteliti. Pemahaman bertindak dalam cara yang membagi dalam kaitannya dengan objeknya, berkat kepastian yang dicapai.

Kedua. Pembagian tak hingga suatu segmen disebabkan oleh fakta bahwa segmen geometris adalah bentuk kuantitas kontinu. Dan kuantitas itu sendiri adalah abstraksi dari hal-hal yang masuk akal, acuh tak acuh terhadap kualitas.

Di dunia material objektif tidak ada kuantitas murni, semua hal memiliki ukuran dan berkat itu mereka identik dengan diri mereka sendiri dan berbeda dari yang lain. Ukuran adalah kesatuan langsung dari kualitas dan kuantitas. Dalam segmen geometris, kita berhadapan dengan besarnya, yaitu. ukuran yang melampaui batas kepastian kualitatifnya. Setiap hal yang objektif memiliki batas-batas keberadaan kualitatifnya. Jika mereka dihancurkan, maka benda itu sendiri hancur. Oleh karena itu, hal yang masuk akal (terbatas) tidak dapat dibagi menjadi keadaan potensial (buruk) tak terhingga. Kepastian kualitatif sesuatu menentang proses pembagian ini. Misalnya, sepotong pohon dapat dibagi selama potongan-potongan dari pembagian mempertahankan sifat-sifat pohon ini, mis. dengan batas molekul molekul selulosa. Pembelahan lebih lanjut dari molekul selulosa adalah proses pembelahan hal lain, oleh karena itu, proses pembelahan kayu memiliki batas bawah - molekul selulosa. Pembagian molekul akan memiliki batas bawah pada tingkat atom. Divisi atom tertentu elemen akan menyebabkan pembagian ke tingkat bagian subatomik, dll. Akibatnya, setiap pembagian hal-hal objektif adalah terbatas. Jika kita mempertimbangkan proses pembagian tanpa memperhitungkan kualitas dan ukuran, maka proses pembagian benar-benar menjadi tak terbatas. Tapi apa yang kita ukur kemudian? Abstraksi hal-hal yang terbatas - materi. Materi sebagai hal yang masuk akal objektif (dalam realitas alami, asli, tidak berubah) tidak ada, itu adalah produk yang sama dari pemikiran abstrak sebagai segmen geometris itu sendiri.

Dengan demikian, baik segmen geometris maupun materi dapat dibagi hingga tak terhingga (potensial). Tetapi di sini kita tidak berurusan dengan hal-hal nyata yang masuk akal, tetapi dengan kuantitas murni, yang tidak memiliki ukuran dalam dirinya sendiri, dan karena itu terus-menerus melampaui batasnya. Bukan kebetulan bahwa Hegel menulis dalam Science of Logic bahwa konsep kuantitas mengandung kebutuhan untuk melampaui batas-batasnya.

Kembali ke definisi Aristoteles: "Kuantitas adalah apa yang dapat dibagi menjadi bagian-bagian komponennya, yang masing-masing, apakah ada dua atau lebih, pada dasarnya adalah satu hal dan sesuatu tertentu ..." [Aristoteles. op. dalam 4 volume. Volume 1. M.: Thought, 1976, p.164], jelas bahwa matematika berhubungan dengan kuantitas murni, yaitu. bukan dengan kuantitas yang masuk akal dari hal-hal terbatas yang dipelajari fisika, tetapi dengan kuantitas abstrak murni yang tak terukur - jumlah dan besarnya. Oleh karena itu, di alam yang masuk akal sebagai subjek fisika, tidak hanya ada ketidakterbatasan aktual atau potensial. Dunia ini terbatas baik dalam arti luas maupun dalam arti intensif. Tidak mengherankan, Aristoteles mencatat bahwa yang tak terbatas tidak diberikan pada perasaan atau pikiran, dan menyebutnya sebagai konsep ilegal. Tuhan mengatur segala sesuatu di dunia yang diciptakan menurut ukuran, jumlah dan ukuran (Kitab Suci).

Dalam hierarki bentuk pengetahuannya, Aristoteles, setelah metafisika (di mana ia dalam arti sempit memahami teologi sebagai ilmu yang abadi) sebagai filsafat pertama, menempatkan fisika, dan baru kemudian matematika. Dan ini sepenuhnya benar, karena subjek matematika - kuantitas murni, berakar pada sifat material yang masuk akal. Pokok bahasannya adalah bilangan dan besaran sebagai bentuk-bentuk besaran abstrak. Perkembangan sejarah bentuk abstrak dalam matematika mengarah pada fakta bahwa subjek utama studinya adalah bidang objek matematika yang ideal: bilangan, besaran, titik, garis, himpunan, dll., yang sebagian besar tidak sesuai dengan dunia objek fisik nyata. Konsep potensi tak terhingga adalah salah satunya. Oleh karena itu, kesimpulan yang muncul di sini adalah, pertama, perlu untuk mengenali dengan jelas ciri-ciri dan batas-batas matematika dan ilmu-ilmu alam. Dan, kedua, dalam studi tentang alam (fisika, biologi, dll.) perlu mengandalkan dan melanjutkan dari isi subjek langsung, dan bukan dari model matematika apriori. Dan meskipun sejarah matematika memiliki banyak contoh interaksi terbalik, namun praktik ini memiliki banyak pengecualian mendasar.

6. Teori bilangan dan teori himpunan G. Kantor

"Materi pelajaran teori bilangan bertepatan dengan

mata pelajaran (studi) semua matematika.

A.M. Vinogradov

Secara historis, pembentukan konsep bilangan terjadi atas dasar operasi formal generalisasi (perluasan) volume karena dimasukkannya jenis bilangan (set) baru ke dalam komposisinya.

Ide pertama tentang angka muncul dari menghitung orang, hewan, buah-buahan, berbagai produk, dll. Hasilnya adalah bilangan asli: 1, 2, 3, 4, ...

Saat menghitung objek individu, satu adalah angka terkecil, dan tidak perlu, dan terkadang tidak mungkin, untuk membaginya menjadi bagian, namun, bahkan dengan pengukuran kuantitas yang kasar, seseorang harus membagi 1 menjadi bagian. Secara historis, perluasan pertama dari konsep bilangan adalah penambahan bilangan pecahan ke bilangan asli. Pengenalan bilangan pecahan dikaitkan dengan kebutuhan untuk melakukan pengukuran. Pengukuran nilai apa pun terdiri dari membandingkannya dengan yang lain, secara kualitatif homogen dengannya dan diambil sebagai unit pengukuran. Perbandingan ini dilakukan dengan cara operasi khusus metode "mengesampingkan" satuan ukuran pada besaran dan menghitung jumlah kemunduran tersebut. Beginilah cara mengukur panjang dengan menyisihkan segmen yang diambil sebagai satuan ukuran, jumlah cairan diukur menggunakan bejana pengukur, dll.

Pecahan adalah bagian (bagian) dari suatu satuan atau beberapa bagian yang sama.

Ditunjuk: di mana m dan n adalah bilangan bulat; - pengurangan fraksi; - ekstensi. Pecahan dengan penyebut 10 n, di mana n adalah bilangan bulat, disebut desimal.

Antara pecahan desimal tempat spesial menempati pecahan periodik: - pecahan periodik murni, - pecahan periodik campuran

Perluasan lebih lanjut dari konsep bilangan sudah disebabkan oleh perkembangan matematika itu sendiri (aljabar). Descartes pada abad ke-17 memperkenalkan konsep angka negatif, yang memberikan interpretasi geometrisnya sebagai arah segmen. Penciptaan oleh Descartes geometri analitik, yang memungkinkan untuk mempertimbangkan akar persamaan sebagai koordinat titik perpotongan beberapa kurva dengan sumbu absis, akhirnya menghapus perbedaan mendasar antara akar positif dan negatif dari persamaan, interpretasi mereka ternyata pada dasarnya sama.

Bilangan bulat (positif dan negatif), pecahan (positif dan negatif) dan nol disebut angka rasional. Setiap bilangan rasional dapat ditulis sebagai pecahan berhingga dan periodik.

Himpunan bilangan rasional ternyata tidak cukup untuk mempelajari variabel yang terus berubah. Di sini, perluasan baru konsep bilangan ternyata diperlukan, yang terdiri dari transisi dari himpunan bilangan rasional ke himpunan bilangan real (riil). Pengenalan bilangan real terjadi dengan menambahkan bilangan irasional ke bilangan rasional: bilangan irasional adalah pecahan desimal non-periodik tak berujung.

Bilangan irasional muncul ketika mengukur segmen yang tidak dapat dibandingkan (sisi dan diagonal persegi), dalam aljabar - saat mengekstraksi akar, contoh bilangan irasional transendental adalah , e.

Definisi yang jelas tentang konsep bilangan real diberikan oleh salah satu pendiri analisis matematika, I. Newton, dalam "Aritmatika Umum": "Dengan bilangan, yang kami maksud bukanlah sekumpulan unit, tetapi rasio abstrak dari beberapa kuantitas ke kuantitas lain dari jenis yang sama, yang kita ambil sebagai satu kesatuan.” Rumusan ini memberikan definisi tunggal dari bilangan real, rasional atau irasional. Kemudian, di tahun 70-an. Abad ke-19, konsep bilangan real disempurnakan berdasarkan analisis mendalam terhadap konsep kontinuitas dalam karya R. Dedekind, G. Kantor dan K. Weierstrass.

Menurut Dedekind, sifat kontinuitas garis lurus adalah jika semua titik yang membentuk garis lurus dibagi menjadi dua kelas sehingga setiap titik kelas pertama terletak di sebelah kiri setiap titik kelas kedua (“break ” garis lurus menjadi dua bagian), maka di kelas pertama ada titik paling kanan, atau di kelas kedua - titik paling kiri, yaitu, titik di mana "putus" garis terjadi.

Himpunan semua bilangan rasional tidak memiliki sifat kontinuitas. Jika himpunan semua bilangan rasional dibagi menjadi dua kelas sehingga setiap bilangan dari kelas pertama lebih kecil dari setiap bilangan dari kelas kedua, maka dengan partisi seperti itu ("bagian" Dedekind dapat berubah menjadi kelas pertama tidak akan ada jumlah terbesar, dan yang kedua - paling sedikit. Jadi, misalnya, jika semua bilangan rasional negatif, nol dan semua bilangan positif yang kuadratnya kurang dari dua, dimasukkan ke kelas pertama, dan semua bilangan positif yang kuadratnya lebih besar dari dua dimasukkan ke kelas kedua. Pemotongan seperti itu disebut irasional. Kemudian definisi bilangan irasional berikut diberikan: setiap bagian irasional dalam himpunan bilangan rasional dikaitkan dengan bilangan irasional, yang dianggap lebih besar dari bilangan apa pun dari kelas pertama, dan kurang dari bilangan apa pun dari kelas atas. Totalitas semua bilangan real, rasional dan irasional, sudah memiliki sifat kontinuitas.

Alasan Cantor untuk konsep bilangan real berbeda dari Dedekind, tetapi juga didasarkan pada analisis konsep kontinuitas. Baik definisi Dedekind maupun definisi Cantor menggunakan abstraksi dari ketidakterbatasan yang sebenarnya. Jadi, dalam teori Dedekind, suatu bilangan irasional ditentukan melalui suatu bagian dalam totalitas semua bilangan rasional, yang dianggap sebagai suatu keseluruhan.

Semua bilangan asli dapat ditunjukkan pada garis bilangan. Sumbu numerik (garis bilangan):

a) garis lurus horizontal dengan arah yang dipilih di atasnya;

b) titik referensi - titik 0;

c) satuan skala

[Ensiklopedia Besar Soviet. - [Sumber daya elektronik]. URL: http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/150404/Number].

Sampai saat ini, ada tujuh tingkat generalisasi bilangan yang diterima secara umum: bilangan natural, rasional, real, kompleks, vektor, matriks, dan transfinite. Beberapa ilmuwan mengusulkan untuk mempertimbangkan fungsi sebagai bilangan fungsional dan memperluas derajat generalisasi bilangan menjadi dua belas tingkat.

[Anishchenko Evgeny Alexandrovich. “Bilangan Sebagai Konsep Dasar Matematika”. - [Sumber daya elektronik]. URL: http://www.referat.ru/referats/view/7401].

Ilmuwan Rusia Ozolin E.E. mengungkapkan pemikiran penting yang sangat akurat menyampaikan suasana intelektual modern dalam komunitas matematika. Semua orang tahu bahwa teori bilangan adalah cabang matematika yang paling kompleks dan penting. Namun demikian, teori bilangan tampaknya diabaikan. Sedangkan perubahan yang paling tidak signifikan dalam teori ini dapat menyebabkan "badai" di semua bagian matematika [Ozolin E.E. (Ozes) Oktober 2004. Konsep bilangan. - [Sumber daya elektronik]. URL: http://ozes-world.narod.ru/MtMetaMt/1_4/Mt1_4.htm].

Selain itu, - E.E. Ozolin menulis dengan terkejut, - terlepas dari kenyataan bahwa orang Yunani kuno tahu jauh dari segalanya tentang angka, yang lebih menyedihkan adalah kenyataan bahwa "ahli matematika modern (belum lagi yang lain) memiliki konsep dan pengetahuan bahwa angka terkadang lebih rendah ke Yunani kuno.

Ini, Anda lihat, sudah omong kosong” [Ibid.].

Sebagai konfirmasi dari pertimbangan ini, E.E. Ozolin melakukan analisis historis tentang prinsip-prinsip untuk membangun konsep bilangan dan sampai pada kesimpulan berikut. Matematika Eropa, terutama sejak abad ke-13, membangun konsep bilangan sesuai dengan prinsip bersarang bola Thales, “yaitu, himpunan bilangan asli diinvestasikan dalam himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan bulat diinvestasikan dalam himpunan. himpunan bilangan rasional, himpunan bilangan rasional diinvestasikan dalam himpunan bilangan real, himpunan bilangan real tertanam dalam himpunan bilangan kompleks, dll)” [Ibid.]. “Dan, terlepas dari kenyataan bahwa baik Kurt Gödel, dari sudut pandang logika formal (pada tahun 1931), dan saya sendiri, dari sudut pandang metamatematika, telah lama membuktikan dan membuktikan kembali bahwa struktur lima lapis bola bersarang tidak dapat lengkap dan benar secara logis, kita berulang kali dihadapkan pada "dogma sekolah" yang salah dalam bentuk pernyataan yang dianggap adil bahwa, misalnya, bilangan asli adalah himpunan bagian dari bilangan rasional.

Oleh karena itu, sekali lagi saya ingin menarik perhatian Anda pada fakta bahwa ini tidak mungkin terjadi. Misalnya, dalam kerangka matematika, kita hanya dapat berbicara tentang persamaan formal dari bilangan asli 1 (satu) dengan bilangan rasional 1.00(0) menjadi satu. Pada saat yang sama, makna logis, matematis (dan fisik!) dari angka-angka ini sama sekali berbeda. Misalnya, satuan alami adalah bilangan yang, jika ditambahkan ke bilangan yang sudah ada, menghasilkan bilangan berikutnya, satuan rasional adalah bilangan, jika dikalikan nomor yang diberikan tidak mengubah artinya! Bagaimana sebuah satuan bisa mengubah arti” [Ibid.] ???

“Selain itu, - lanjut E.E. Ozolin, - bilangan asli dan rasional termasuk dalam struktur metalogi yang sama sekali berbeda. Oleh karena itu, kita bahkan tidak dapat membicarakan hubungan matematis formal dari bilangan-bilangan ini.

Sepintas, mungkin tampak bahwa masalah perbedaan logis antara bilangan asli dan rasional yang saya tunjukkan adalah "tidak ada artinya". Dan sebagian besar ahli matematika, bahkan jika mereka setuju dengan saya, pasti akan mengatakan bahwa “satuan juga merupakan satuan di Afrika, dan apa bedanya arti matematis dan logis yang dimasukkan ke dalamnya, sama atau berbeda” [Ibid.] .

Tapi pandangan seperti itu adalah kesalahpahaman besar - sebuah "mitos berbahaya pendidikan sekolah", yang tidak memiliki dasar matematis dan logis. “Dan setelah dipertimbangkan lebih dekat dan lebih rinci, ternyata perbedaan pengertian logis bilangan asli dan rasional membawa konsekuensi yang cukup serius. aplikasi praktis matematika" [ibid.].

Dan sebagai kesimpulan, E.E. Ozolin membuat kesimpulan jujur ​​berikut: “ ... matematika adalah ilmu yang sangat bebas, dan ketelitian matematika hanya terlihat. Dalam matematika, Anda dapat membangun struktur aksiomatik apa pun yang paling luar biasa, dan menjelajahinya, tidak peduli seberapa tidak berarti dan abstraknya mereka dari kenyataan. Dengan kata lain, ciptakan dan coba sepuasnya. Dalam metamatematika, praktis tidak mungkin melakukan ini, dan semua struktur metamatematika, dengan satu atau lain cara, terhubung dengan kenyataan. Tampaknya paradoks, kenyataan ternyata jauh lebih kaya daripada "imajinasi kita".“[Ibid.].

Kembali ke topik langsung penelitian kami, kami dapat menarik kesimpulan berikut. Semua jenis angka (kumpulan numerik) memiliki sifat logis yang berbeda dan sifat matematika. Oleh karena itu, secara metodologis tidak tepat untuk membangun teori bilangan dengan generalisasi langsung. Hubungan terpenting dari kesimpulan ini menyangkut bilangan asli dan bilangan real. Satuan bilangan asli dan satuan bilangan real memiliki asal-usul yang sama sekali berbeda dan sifat matematika yang berbeda. Anda tidak dapat mengukur jumlah apel dengan penggaris; sama, tidak mungkin, hanya mengetahui cara menghitung dan tidak memiliki penggaris di tangan, untuk mengukur panjang meja. Yang satu tidak dapat direduksi menjadi yang lain. Unit yang pertama tidak dapat dibagi, sedangkan unit yang terakhir harus dapat dibagi. Bilangan bulat alami sebenarnya adalah bilangan dalam arti sempit, sedangkan bilangan real termasuk dalam bentuk besaran seperti besaran. Kebingungan bentuk bilangan dan besaran, yang kembali ke Pythagoras, adalah sumber utama krisis modern dalam matematika dan prasyarat terpenting untuk aritmetisasi geometri dan teori himpunan G. Kantor, sejak gagasan membangun objek matematika habis dibagi dari yang tak terbagi mendasari konstruksi konsep G. Kantor tak terhingga yang sebenarnya.

Satu catatan lagi. Matematikawan modern tidak hanya tidak memahami sifat suatu bilangan, seperti dicatat dengan benar oleh E. Ozolin, tetapi juga tidak memahami sifat logis dan matematis suatu besaran dan konsep dasar matematika lainnya (misalnya, himpunan).

Di sini, misalnya, adalah apa yang ditulis oleh matematikawan terkenal tentang nilai:

“Nilai adalah salah satu konsep matematika dasar, yang artinya, dengan perkembangan matematika, menjadi sasaran sejumlah generalisasi,” tulis A.N. Kolmogorov [Kolmogorov A.N. Nilai. -TSB. - T. 7. - M., 1951. C. 340]. "Ini ... teori - doktrin besarnya - hampir tidak dimainkan peran penting dalam hal membuktikan seluruh matematika,” tulis matematikawan terkemuka Soviet V.F. Kagan [Kagan V.F. Esai tentang Geometri. - M.: Universitas Moskow, 1963. S. 109].

Mari kita membahas yang terakhir, di mana makna konsep kuantitas adalah yang paling konsisten dan jelas. “... untuk seorang ahli matematika,” tulis V.F. Kagan, “nilainya sepenuhnya ditentukan ketika himpunan elemen dan kriteria perbandingan ditunjukkan” [Ibid., P. 107]. Dengan kata lain, kuantitas adalah sekumpulan objek homogen, perbandingan elemen-elemennya memungkinkan kita untuk menggunakan istilah "sama", "lebih besar", "kurang". Timbul pertanyaan tandingan, jika kita membandingkan suatu himpunan bilangan asli tertentu dengan himpunan tertentu lainnya dari bilangan asli yang sama, misalnya bilangan 5 dan bilangan 7, maka kita dapat menerapkan istilah di atas kepada mereka? Pertanyaannya retoris. Definisi yang diusulkan dari konsep besaran, pada kenyataannya, menunjukkan bahwa penulisnya tidak membedakan keduanya sama sekali. konsep dasar(angka dan besaran). Pendukung teori himpunan dan Cantor sendiri juga menyayangkan bahwa konsep dasar teori ini juga sulit untuk didefinisikan. E. Ozolin dalam artikelnya mencatat bahwa sangat sulit untuk mendefinisikan matematika sebagai mata pelajaran [Ozolin E.E. (Ozes) Oktober 2004. Konsep bilangan. - [Sumber daya elektronik]. URL: http://ozes-world.narod.ru/MtMetaMt/1_4/Mt1_4.htm].

Untuk memastikan bahwa semua keraguan ini tidak berdasar, perlu kembali lagi ke Aristoteles, yang, dalam beberapa definisi, memberikan jawaban lengkap atas pertanyaan kita.

“Kuantitas adalah apa yang dapat dibagi menjadi bagian-bagian komponen, yang masing-masing, apakah ada dua atau lebih, pada dasarnya adalah sesuatu yang satu dan sesuatu yang pasti. Setiap besaran adalah himpunan jika dapat dihitung, dan besaran adalah jika dapat diukur. Himpunan adalah apa yang habis dibagi menjadi bagian-bagian yang tidak kontinu, besaran - menjadi bagian-bagian yang kontinu ... Dari semua besaran ini, himpunan terbatas adalah bilangan, panjang terbatas adalah garis, lebar terbatas adalah bidang, kedalaman terbatas adalah tubuh ”[Aristoteles. op. dalam empat volume. T.1. Metafisika. H.164].

Dari fragmen Aristoteles ini. Kami memperoleh definisi ketat berikut.

Matematika adalah ilmu yang mata pelajarannya adalah besaran murni.

Kuantitas adalah apa yang dapat dibagi menjadi bagian-bagian komponennya, yang masing-masing, apakah ada dua atau lebih, pada dasarnya adalah sesuatu yang satu dan sesuatu yang pasti.

Himpunan adalah besaran yang dapat dihitung, yaitu dapat dibagi menjadi bagian-bagian yang tidak kontinu.

Besaran adalah besaran yang dapat diukur, yaitu membagi menjadi bagian-bagian terus menerus

Nomor adalah himpunan terbatas.

Garis dibatasi panjangnya.

Lebar pesawat terbatas.

Tubuh terbatas kedalaman.

Dari ketentuan tersebut berikut ini:

Satuan angka tidak memiliki dimensi, itu adalah unit akun, mis. tidak dapat dibagi, karena kita hanya menghitung bilangan bulat.

Satuan besaran selalu habis dibagi.

Satuan bilangan adalah bentuk paling murni dari besaran abstrak, mis. itu adalah bentuk yang acuh tak acuh terhadap ruang geometris.

Satuan besaran adalah besaran murni ditambah ruang geometri.

Ruang geometris adalah abstraksi dari realitas fisik. Realitas fisik memiliki kepastian dan perluasan kualitatif. Jika kita abstrak dari kepastian kualitatif realitas fisik, kita mendapatkan ruang geometris.

Secara formal, baik satuan bilangan maupun satuan besaran adalah bilangan, tetapi esensi dan sifat matematika dari bilangan-bilangan ini berbeda. Dari satuan bilangan tidak mungkin diperoleh satuan besaran. Sedangkan dari nilai Anda bisa mendapatkan angka murni. Untuk melakukan ini, perlu abstrak dari ruang geometris - dimensi. Poin-poin ini dianalisis dengan baik dalam Fisika Aristoteles.

Oleh karena itu, dari suatu bilangan (dalam arti sempit) tidak mungkin diperoleh suatu nilai. Dan karena subjek aritmatika adalah konsep bilangan, dan subjek geometri adalah besaran, maka geometri tidak dapat direduksi menjadi aritmatika. Ini adalah cara yang berbeda dari keberadaan kepastian kuantitatif dunia material.

Jadi, di jantung matematika modern terletak khayalan yang dalam - identifikasi ilegal dari bilangan dan besaran, aritmatika dan geometri. Konsep besaran lebih mendasar, karena dari situ kita dapat memperoleh konsep bilangan. Selain itu, konsep ini "menghubungkan" matematika dengan fisika, menciptakan hambatan untuk formalisasi yang tidak dapat dibenarkan dan konstruksi spekulatif. Oleh karena itu, aritmetisasi geometri menyebabkan degenerasi subjek matematika, formalisasinya (Bourbakization) dan teori bilangan transfinit. Aritmetisasi matematika, pada kenyataannya, proses mereduksi subjek matematika menjadi angka.