Fraksi yang tidak tepat

perempat

1. Ketertiban. sebuah dan b ada aturan yang memungkinkan Anda untuk mengidentifikasi secara unik di antara mereka satu dan hanya satu dari tiga hubungan: “< », « >' atau ' = '. Aturan ini disebut aturan pemesanan dan dirumuskan sebagai berikut: dua bilangan non-negatif dan terkait dengan hubungan yang sama sebagai dua bilangan bulat dan ; dua bilangan bukan positif sebuah dan b terkait dengan hubungan yang sama sebagai dua angka non-negatif dan ; jika tiba-tiba sebuah non-negatif, dan b- negatif, maka sebuah > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   penjumlahan pecahan

2. operasi penambahan. Untuk sembarang bilangan rasional sebuah dan b ada yang disebut aturan penjumlahan c. Namun, nomor itu sendiri c ditelepon jumlah angka sebuah dan b dan dilambangkan , dan proses menemukan bilangan tersebut disebut penjumlahan. Aturan penjumlahan memiliki tampilan berikutnya: .
3. operasi perkalian. Untuk sembarang bilangan rasional sebuah dan b ada yang disebut aturan perkalian, yang menempatkan mereka dalam korespondensi dengan beberapa bilangan rasional c. Namun, nomor itu sendiri c ditelepon kerja angka sebuah dan b dan dilambangkan , dan proses menemukan bilangan tersebut juga disebut perkalian. Aturan perkaliannya adalah sebagai berikut: .
4. Transitivitas relasi orde. Untuk setiap rangkap tiga bilangan rasional sebuah , b dan c jika sebuah lebih kecil b dan b lebih kecil c, kemudian sebuah lebih kecil c, dan jika sebuah sama dengan b dan b sama dengan c, kemudian sebuah sama dengan c. 6435">Komutatifitas penjumlahan. Jumlahnya tidak berubah dari perubahan tempat suku-suku rasional.
5. Asosiatif penjumlahan. Memesan menambahkan tiga bilangan rasional tidak mempengaruhi hasil.
6. Kehadiran nol. Ada bilangan rasional 0 yang mempertahankan setiap bilangan rasional lainnya ketika dijumlahkan.
7. Kehadiran angka yang berlawanan. Setiap bilangan rasional memiliki bilangan rasional yang berlawanan, yang jika dijumlahkan menghasilkan 0.
8. Komutatifitas perkalian. Dengan mengubah tempat faktor rasional, produk tidak berubah.
9. Asosiatif perkalian. Urutan perkalian tiga bilangan rasional tidak mempengaruhi hasil.
10. Kehadiran satu kesatuan. Ada bilangan rasional 1 yang mempertahankan setiap bilangan rasional lainnya ketika dikalikan.
11. Kehadiran timbal balik. Setiap bilangan rasional memiliki bilangan rasional terbalik, yang, ketika dikalikan, menghasilkan 1.
12. Distribusi perkalian terhadap penjumlahan. Operasi perkalian konsisten dengan operasi penjumlahan melalui hukum distribusi:
13. Koneksi relasi order dengan operasi penjumlahan. ke kiri dan bagian kanan ketidaksetaraan rasional Anda dapat menambahkan bilangan rasional yang sama. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Aksioma Archimedes. Berapapun bilangan rasionalnya sebuah, Anda dapat mengambil begitu banyak unit sehingga jumlahnya akan melebihi sebuah. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Properti tambahan

Semua sifat-sifat lain yang melekat pada bilangan rasional tidak dipilih sebagai sifat dasar, karena, secara umum, mereka tidak lagi didasarkan secara langsung pada sifat-sifat bilangan bulat, tetapi dapat dibuktikan berdasarkan sifat-sifat dasar yang diberikan atau langsung dengan definisi dari beberapa objek matematika. Seperti properti tambahan banyak. Masuk akal di sini untuk mengutip hanya beberapa dari mereka.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Setel keterhitungan

Penomoran bilangan rasional

Untuk memperkirakan jumlah bilangan rasional, Anda perlu menemukan kardinalitas himpunannya. Sangat mudah untuk membuktikan bahwa himpunan bilangan rasional dapat dihitung. Untuk melakukan ini, cukup memberikan algoritma yang menghitung bilangan rasional, yaitu, menetapkan bijeksi antara himpunan bilangan rasional dan bilangan asli.

Yang paling sederhana dari algoritma ini adalah sebagai berikut. Sebuah tabel tak terbatas dari pecahan biasa dikompilasi, pada masing-masing saya-baris ke-th di masing-masing j kolom ke- merupakan pecahan. Untuk kepastian, diasumsikan bahwa baris dan kolom tabel ini diberi nomor dari satu. Sel tabel dilambangkan , di mana saya- nomor baris tabel tempat sel berada, dan j- nomor kolom.

Tabel yang dihasilkan dikelola oleh "ular" sesuai dengan algoritma formal berikut.

Aturan-aturan ini dicari dari atas ke bawah dan posisi berikutnya dipilih oleh pertandingan pertama.

Dalam proses bypass seperti itu, setiap bilangan rasional baru ditetapkan ke bilangan asli berikutnya. Artinya, pecahan 1/1 diberi nomor 1, pecahan 2/1 - nomor 2, dll. Perlu dicatat bahwa hanya pecahan yang tidak dapat direduksi. Tanda formal tak dapat direduksi adalah persamaan dengan kesatuan dari pembagi persekutuan terbesar dari pembilang dan penyebut pecahan.

Mengikuti algoritma ini, seseorang dapat menghitung semua bilangan rasional positif. Ini berarti himpunan bilangan rasional positif dapat dihitung. Sangat mudah untuk menetapkan bijeksi antara himpunan bilangan rasional positif dan negatif, cukup dengan menetapkan lawannya pada setiap bilangan rasional. Itu. himpunan bilangan rasional negatif juga dapat dihitung. Persatuan mereka juga dapat dihitung oleh properti set yang dapat dihitung. Himpunan bilangan rasional juga dapat dihitung sebagai gabungan dari himpunan yang dapat dihitung dengan yang terbatas.

Pernyataan tentang keterhitungan himpunan bilangan rasional dapat menyebabkan beberapa kebingungan, karena pada pandangan pertama orang mendapat kesan bahwa itu jauh lebih besar daripada himpunan bilangan asli. Faktanya, ini bukan masalahnya, dan ada cukup banyak bilangan asli untuk menghitung semua bilangan rasional.

Ketidakcukupan bilangan rasional

Hipotenusa segitiga seperti itu tidak dinyatakan oleh sembarang bilangan rasional

Bilangan rasional bentuk 1 / n pada umumnya n jumlah kecil yang sewenang-wenang dapat diukur. Fakta ini menciptakan kesan menyesatkan bahwa bilangan rasional dapat mengukur jarak geometris apa pun secara umum. Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa ini tidak benar.

Diketahui dari teorema Pythagoras bahwa sisi miring segitiga siku-siku dinyatakan sebagai akar kuadrat dari jumlah kuadrat kaki-kakinya. Itu. panjang sisi miring sama kaki segitiga siku-siku dengan satu kaki sama dengan, yaitu, angka yang kuadratnya 2.

Jika kita berasumsi bahwa bilangan tersebut diwakili oleh beberapa bilangan rasional, maka ada bilangan bulat seperti itu m dan bilangan asli seperti itu n, yang, apalagi, pecahan tidak dapat direduksi, yaitu, angka m dan n adalah koprima.

Pada kata "pecahan" banyak yang merinding. Karena saya ingat sekolah dan tugas-tugas yang diselesaikan dalam matematika. Ini adalah kewajiban yang harus dipenuhi. Tapi bagaimana jika kita memperlakukan tugas yang mengandung pecahan wajar dan pecahan biasa sebagai teka-teki? Lagi pula, banyak orang dewasa memecahkan teka-teki silang digital dan Jepang. Pahami aturannya dan hanya itu. Sama disini. Seseorang hanya perlu mempelajari teorinya - dan semuanya akan jatuh pada tempatnya. Dan contoh akan berubah menjadi cara untuk melatih otak.

Apa saja jenis pecahan yang ada?

Mari kita mulai dengan apa itu. Pecahan adalah bilangan yang memiliki pecahan satu. Itu dapat ditulis dalam dua bentuk. Yang pertama disebut biasa. Artinya, salah satu yang memiliki stroke horizontal atau miring. Ini sama dengan tanda pembagian.

Dalam notasi seperti itu, angka di atas tanda pisah disebut pembilang, dan di bawahnya disebut penyebut.

Di antara pecahan biasa, pecahan benar dan salah dibedakan. Modulo pembilang pertama selalu lebih kecil dari penyebutnya. Yang salah disebut demikian karena memiliki kebalikannya. Berarti pecahan biasa selalu kurang dari satu. Sedangkan yang salah selalu lebih besar dari angka ini.

Ada juga bilangan campuran, yaitu yang memiliki bilangan bulat dan bagian pecahan.

Jenis notasi kedua adalah desimal. Tentang percakapannya yang terpisah.

Apa perbedaan antara pecahan biasa dan pecahan campuran?

Pada dasarnya, tidak ada. Ini hanya notasi yang berbeda dari nomor yang sama. Pecahan tak wajar setelah operasi sederhana, mereka dengan mudah menjadi angka campuran. Dan sebaliknya.

Itu semua tergantung pada situasi tertentu. Terkadang dalam tugas lebih mudah menggunakan pecahan yang tidak tepat. Dan terkadang perlu untuk menerjemahkannya ke dalam angka campuran, dan kemudian contoh akan diselesaikan dengan sangat mudah. Karena itu, apa yang harus digunakan: pecahan yang tidak tepat, bilangan campuran - tergantung pada pengamatan pemecah masalah.

Bilangan campuran juga dibandingkan dengan jumlah bagian bilangan bulat dan bagian pecahan. Apalagi yang kedua selalu kurang dari satu.

Bagaimana cara menyatakan bilangan campuran sebagai pecahan biasa?

Jika Anda ingin melakukan beberapa tindakan dengan beberapa angka yang tertulis di jenis yang berbeda, maka Anda harus membuatnya sama. Salah satu caranya adalah dengan merepresentasikan bilangan sebagai pecahan biasa.

Untuk tujuan ini, Anda harus mengikuti algoritma berikut:

• kalikan penyebut dengan bagian bilangan bulat;
• tambahkan nilai pembilang ke hasil;
• tulis jawabannya di atas baris;
• biarkan penyebutnya sama.

Berikut adalah contoh cara menulis pecahan biasa dari pecahan campuran:

• 17 \u003d (17 x 4 + 1): 4 \u003d 69/4;
• 39 \u003d (39 x 2 + 1): 2 \u003d 79/2.

Bagaimana cara menulis pecahan biasa sebagai bilangan campuran?

Metode selanjutnya adalah kebalikan dari yang dibahas di atas. Yaitu, ketika semua bilangan campuran diganti dengan pecahan biasa. Algoritma tindakan akan menjadi sebagai berikut:

• membagi pembilang dengan penyebut untuk mendapatkan sisanya;
• tulis hasil bagi di tempat bagian bilangan bulat dari campuran;
• sisanya harus ditempatkan di atas garis;
• pembagi akan menjadi penyebut.

Contoh transformasi seperti itu:

76/14; 76:14 = 5 dengan sisa 6; jawabannya adalah 5 bilangan bulat dan 6/14; bagian pecahan dalam contoh ini perlu dikurangi dengan 2, Anda mendapatkan 3/7; jawaban akhirnya adalah 5 bilangan bulat 3/7.

108/54; setelah pembagian, hasil bagi 2 diperoleh tanpa sisa; ini berarti bahwa tidak semua pecahan biasa dapat direpresentasikan dalam bentuk nomor campuran; jawabannya adalah bilangan bulat - 2.

Bagaimana cara mengubah bilangan bulat menjadi pecahan biasa?

Ada situasi di mana tindakan seperti itu diperlukan. Untuk mendapatkan pecahan biasa dengan penyebut yang telah ditentukan, Anda perlu melakukan algoritme berikut:

• kalikan bilangan bulat dengan penyebut yang diinginkan;
• tulis nilai ini di atas garis;
• letakkan penyebut di bawahnya.

Pilihan paling sederhana adalah ketika penyebutnya sama dengan satu. Maka tidak perlu berlipat ganda. Cukup dengan menulis bilangan bulat, yang diberikan dalam contoh, dan menempatkan unit di bawah garis.

Contoh: Buatlah 5 pecahan biasa dengan penyebut 3. Setelah mengalikan 5 dengan 3, Anda mendapatkan 15. Angka ini akan menjadi penyebutnya. Jawaban dari tugas tersebut adalah pecahan: 15/3.

Dua pendekatan untuk menyelesaikan tugas dengan angka yang berbeda

Dalam contoh, diperlukan untuk menghitung jumlah dan selisih, serta produk dan hasil bagi dua angka: 2 bilangan bulat 3/5 dan 14/11.

Dalam pendekatan pertama bilangan campuran akan direpresentasikan sebagai pecahan biasa.

Setelah melakukan langkah-langkah yang dijelaskan di atas, Anda mendapatkan nilai berikut: 13/5.

Untuk mencari jumlah, Anda perlu mengubah pecahan menjadi penyebut yang sama. 13/5 dikalikan 11 menjadi 143/55. Dan 14/11 setelah dikalikan 5 akan berbentuk: 70/55. Untuk menghitung jumlahnya, Anda hanya perlu menjumlahkan pembilangnya: 143 dan 70, lalu tuliskan jawabannya dengan satu penyebut. 213/55 - pecahan tak wajar ini adalah jawaban dari soal.

Saat mencari selisihnya, bilangan yang sama ini dikurangi: 143 - 70 = 73. Jawabannya adalah pecahan: 73/55.

Saat mengalikan 13/5 dan 14/11, Anda tidak perlu mengurangi ke penyebut yang sama. Cukup kalikan pembilang dan penyebutnya secara berpasangan. Jawabannya adalah: 182/55.

Begitu juga dengan divisi. Untuk keputusan tepat anda perlu mengganti pembagian dengan perkalian dan membalik pembagi: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70.

Dalam pendekatan kedua Pecahan tak wajar menjadi bilangan campuran.

Setelah melakukan tindakan algoritme, 14/11 akan berubah menjadi bilangan campuran dengan bagian bilangan bulat 1 dan bagian pecahan 3/11.

Saat menghitung jumlah, Anda perlu menambahkan bagian bilangan bulat dan pecahan secara terpisah. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Jawaban akhirnya adalah 3 bulat 48/55. Pada pendekatan pertama ada pecahan 213/55. Anda dapat memeriksa kebenarannya dengan mengubahnya menjadi angka campuran. Setelah membagi 213 dengan 55, hasil bagi adalah 3 dan sisanya adalah 48. Sangat mudah untuk melihat bahwa jawabannya benar.

Saat mengurangkan, tanda "+" diganti dengan "-". 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Untuk memeriksa jawaban dari pendekatan sebelumnya, Anda perlu mengubahnya menjadi bilangan campuran: 73 dibagi 55 dan Anda mendapatkan hasil bagi 1 dan sisa 18.

Untuk menemukan produk dan hasil bagi, tidak nyaman menggunakan angka campuran. Di sini selalu disarankan untuk beralih ke pecahan biasa.

Kami menemukan pecahan dalam kehidupan jauh lebih awal daripada mereka mulai belajar di sekolah. Jika Anda memotong seluruh apel menjadi dua, maka kami mendapatkan sepotong buah - . Potong lagi - itu akan menjadi . Demikianlah apa yang dimaksud dengan pecahan. Dan semuanya, tampaknya, sederhana. Untuk orang dewasa. Untuk anak (dan topik ini mulai belajar di akhir sekolah dasar) abstrak konsep matematika masih sangat tidak dapat dipahami, dan guru harus menjelaskan dengan cara yang dapat diakses apa itu pecahan yang tepat dan yang tidak tepat, biasa dan desimal, operasi apa yang dapat dilakukan dengan mereka dan, yang paling penting, untuk apa semua ini.

Apa itu pecahan?

Kenalan dengan topik baru di sekolah dimulai dengan pecahan biasa. Mereka mudah dikenali dengan garis horizontal yang memisahkan dua angka - di atas dan di bawah. Bagian atas disebut pembilang, bagian bawah disebut penyebut. Ada juga ejaan huruf kecil dari pecahan biasa yang tidak tepat dan tepat - melalui garis miring, misalnya: , 4/9, 384/183. Opsi ini digunakan ketika tinggi garis dibatasi dan tidak memungkinkan untuk menerapkan bentuk entri "dua lantai". Mengapa? Ya, karena lebih nyaman. Beberapa saat kemudian kami akan memverifikasi ini.

Selain biasa, ada juga pecahan desimal. Sangat mudah untuk membedakan di antara mereka: jika dalam satu kasus digunakan garis horizontal atau garis miring, maka yang lain - koma yang memisahkan urutan angka. Mari kita lihat contohnya: 2.9; 163.34; 1.953. Kami sengaja menggunakan titik koma sebagai pembatas untuk membatasi angka. Yang pertama akan dibaca seperti ini: "dua utuh, sembilan persepuluh."

Konsep baru

Mari kembali ke pecahan biasa. Mereka terdiri dari dua jenis.

Definisi pecahan biasa adalah sebagai berikut: itu adalah pecahan yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya. Mengapa itu penting? Sekarang kita lihat!

Anda memiliki beberapa apel yang dipotong menjadi dua. Total - 5 bagian. Bagaimana Anda mengatakan: Anda memiliki apel "dua setengah" atau "lima detik"? Tentu saja, opsi pertama terdengar lebih alami, dan ketika berbicara dengan teman, kami akan menggunakannya. Tetapi jika Anda perlu menghitung berapa banyak buah yang akan diperoleh masing-masing, jika ada lima orang di perusahaan, kami akan menuliskan angka 5/2 dan membaginya dengan 5 - dari sudut pandang matematika, ini akan lebih jelas.

Jadi, untuk penamaan pecahan biasa dan pecahan biasa, aturannya adalah sebagai berikut: jika bagian bilangan bulat (14/5, 2/1, 173/16, 3/3) dapat dibedakan menjadi pecahan, maka itu salah. Jika ini tidak dapat dilakukan, seperti dalam kasus , 13/16, 9/10, itu akan menjadi benar.

Sifat dasar pecahan

Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama secara bersamaan, nilainya tidak akan berubah. Bayangkan: kue itu dipotong menjadi 4 bagian yang sama dan mereka memberi Anda satu. Kue yang sama dipotong menjadi delapan bagian dan diberikan kepada Anda dua. Bukankah semuanya sama? Bagaimanapun, dan 2/8 adalah hal yang sama!

Pengurangan

Penulis soal dan contoh dalam buku teks matematika sering mencoba membingungkan siswa dengan menawarkan pecahan yang sulit untuk ditulis dan sebenarnya dapat direduksi. Berikut adalah contoh pecahan biasa: 167/334, yang tampaknya terlihat sangat "menakutkan". Tapi sebenarnya, kita bisa menulisnya sebagai . Angka 334 habis dibagi 167 tanpa sisa - setelah melakukan operasi ini, kita mendapatkan 2.

angka campuran

Pecahan tak wajar dapat direpresentasikan sebagai bilangan campuran. Saat itu seluruh bagian dibawa ke depan dan ditulis pada tingkat garis horizontal. Faktanya, ekspresi mengambil bentuk penjumlahan: 11/2 = 5 + ; 13/6 = 2 + 1/6 dan seterusnya.

Untuk menghilangkan seluruh bagian, Anda perlu membagi pembilang dengan penyebut. Tulis sisa pembagian di atas, di atas garis, dan seluruh bagian sebelum ekspresi. Jadi, kita mendapatkan dua bagian struktural: seluruh unit + fraksi yang tepat.

Anda juga dapat melakukan operasi terbalik - untuk ini Anda perlu mengalikan bagian bilangan bulat dengan penyebut dan menambahkan nilai yang dihasilkan ke pembilang. Tidak ada yang rumit.

Perkalian dan pembagian

Anehnya, mengalikan pecahan lebih mudah daripada menjumlahkannya. Yang diperlukan hanyalah memperpanjang garis horizontal: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Dengan pembagian, semuanya juga sederhana: Anda perlu mengalikan pecahan secara melintang: (7/8) / (14/15) \u003d 7 * 15 / 8 * 14 \u003d 15/16.

Penjumlahan pecahan

Apa yang harus dilakukan jika Anda perlu melakukan penjumlahan atau dan dalam penyebutnya nomor yang berbeda? Ini tidak akan bekerja dengan cara yang sama seperti perkalian - di sini orang harus memahami definisi pecahan biasa dan esensinya. Penting untuk membawa suku ke penyebut yang sama, yaitu, angka yang sama akan muncul di bagian bawah kedua pecahan.

Untuk melakukan ini, Anda harus menggunakan sifat dasar pecahan: kalikan kedua bagian dengan angka yang sama. Misalnya, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = .

Bagaimana cara memilih penyebut mana yang akan digunakan untuk membawa istilah? Ini harus menjadi kelipatan terkecil dari kedua penyebut: untuk 1/3 dan 1/9 akan menjadi 9; untuk dan 1/7 - 14, karena tidak ada nilai yang lebih kecil yang habis dibagi 2 dan 7 tanpa sisa.

Penggunaan

Untuk apa pecahan biasa? Lagi pula, jauh lebih nyaman untuk segera memilih seluruh bagian, mendapatkan nomor campuran - dan hanya itu! Ternyata jika Anda perlu mengalikan atau membagi dua pecahan, lebih baik menggunakan yang salah.

Mari kita ambil contoh berikutnya: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Tampaknya tidak ada yang perlu dipotong sama sekali. Tetapi bagaimana jika kita menulis hasil penjumlahan dalam kurung pertama sebagai pecahan biasa? Lihat: (37/17) / (37/68)

Sekarang semuanya jatuh ke tempatnya! Mari kita tulis contoh sedemikian rupa sehingga semuanya menjadi jelas: (37 * 68) / (17 * 37).

Mari kita kurangi angka 37 dalam pembilang dan penyebut, dan akhirnya bagi bagian atas dan bawah dengan 17. Apakah Anda ingat aturan dasar untuk pecahan biasa dan pecahan biasa? Kita bisa mengalikan dan membaginya dengan bilangan apa saja, asalkan pembilang dan penyebutnya dilakukan bersamaan.

Jadi, kita mendapatkan jawabannya: 4. Contoh terlihat rumit, dan jawabannya hanya berisi satu angka. Hal ini sering terjadi dalam matematika. Hal utama adalah jangan takut dan ikuti aturan sederhana.

Kesalahan Umum

Saat berolahraga, siswa dapat dengan mudah membuat salah satu kesalahan populer. Biasanya mereka terjadi karena kurangnya perhatian, dan kadang-kadang karena fakta bahwa materi yang dipelajari belum disimpan dengan benar di kepala.

Seringkali jumlah angka dalam pembilang menyebabkan keinginan untuk mengurangi komponen individualnya. Misalkan, pada contoh: (13 + 2) / 13, ditulis tanpa tanda kurung (dengan garis horizontal), banyak siswa, karena tidak berpengalaman, mencoret 13 dari atas dan bawah. Tetapi ini tidak boleh dilakukan dalam hal apa pun, karena ini adalah kesalahan besar! Jika alih-alih penambahan ada tanda perkalian, kita akan mendapatkan angka 2. Tapi saat melakukan penjumlahan, tidak ada operasi dengan salah satu istilah yang diperbolehkan, hanya dengan jumlah keseluruhan.

Anak-anak sering melakukan kesalahan saat membagi pecahan. Mari kita ambil dua pecahan biasa yang tidak dapat disederhanakan dan dibagi satu sama lain: (5/6) / (25/33). Siswa dapat membingungkan dan menulis ekspresi yang dihasilkan sebagai (5*25) / (6*33). Tetapi ini akan terjadi dengan perkalian, dan dalam kasus kami semuanya akan sedikit berbeda: (5 * 33) / (6 * 25). Kami mengurangi apa yang mungkin, dan dalam jawabannya kita akan melihat 11/10. Kami menulis pecahan tidak wajar yang dihasilkan sebagai desimal - 1.1.

Tanda kurung

Ingatlah bahwa dalam setiap ekspresi matematika urutan tindakan ditentukan oleh prioritas tanda operasi dan adanya tanda kurung. Hal-hal lain dianggap sama, urutan tindakan dihitung dari kiri ke kanan. Ini juga berlaku untuk pecahan - ekspresi dalam pembilang atau penyebut dihitung secara ketat menurut aturan ini.

Ini adalah hasil dari membagi satu nomor dengan yang lain. Jika mereka tidak membagi sepenuhnya, ternyata pecahan - itu saja.

Cara menulis pecahan di komputer

Karena alat standar tidak selalu memungkinkan Anda untuk membuat pecahan yang terdiri dari dua "tingkatan", siswa terkadang melakukan berbagai trik. Misalnya, salin pembilang dan penyebut di editor grafis"Cat" dan rekatkan, gambar garis horizontal di antara keduanya. Tentu saja, ada opsi yang lebih sederhana, yang, omong-omong, menyediakan banyak hal fitur tambahan yang akan berguna bagi Anda di masa depan.

Buka Microsoft Word. Salah satu panel di bagian atas layar disebut "Sisipkan" - klik. Di sebelah kanan, di sisi tempat ikon untuk menutup dan meminimalkan jendela, ada tombol Formula. Inilah yang kami butuhkan!

Jika Anda menggunakan fungsi ini, area persegi panjang akan muncul di layar yang dapat Anda gunakan tanda matematika hilang pada keyboard, serta menulis pecahan di bentuk klasik. Yaitu memisahkan pembilang dan penyebut dengan garis horizontal. Anda bahkan mungkin terkejut bahwa pecahan biasa seperti itu sangat mudah untuk ditulis.

Belajar Matematika

Jika Anda berada di kelas 5-6, maka pengetahuan matematika segera (termasuk kemampuan untuk bekerja dengan pecahan!) Akan dibutuhkan di banyak mata pelajaran sekolah. Dalam hampir semua masalah dalam fisika, ketika mengukur massa zat dalam kimia, dalam geometri dan trigonometri, pecahan tidak dapat diabaikan. Segera Anda akan belajar menghitung semua yang ada di pikiran Anda, bahkan tanpa menulis ekspresi di atas kertas, tetapi semakin banyak contoh kompleks. Oleh karena itu, pelajari apa itu pecahan biasa dan bagaimana cara mengerjakannya, ikuti terus kurikulum kerjakan pekerjaan rumah Anda tepat waktu, dan kemudian Anda akan berhasil.

Mempelajari ratu semua ilmu - matematika, di momen tertentu semua orang berurusan dengan pecahan. Meskipun konsep ini (seperti jenis-jenis pecahan itu sendiri atau operasi matematika dengan mereka) cukup sederhana, itu harus diperlakukan dengan hati-hati, karena dalam kehidupan nyata di luar sekolah akan sangat berguna. Jadi, mari segarkan kembali pengetahuan kita tentang pecahan: apa itu, untuk apa, apa jenis pecahan dan bagaimana cara membuat berbagai operasi aritmatika.

Yang Mulia pecahan: apa itu

Pecahan dalam matematika adalah bilangan yang masing-masing terdiri dari satu atau lebih bagian satuan. Pecahan seperti ini disebut juga biasa, atau sederhana. Sebagai aturan, mereka ditulis sebagai dua angka, yang dipisahkan oleh garis horizontal atau garis miring, itu disebut "pecahan". Misalnya: , .

Bagian atas, atau yang pertama dari angka-angka ini adalah pembilangnya (menunjukkan berapa banyak pecahan dari angka yang diambil), dan bagian bawah, atau kedua, adalah penyebutnya (menunjukkan berapa banyak bagian yang dibagi).

Bilah pecahan sebenarnya berfungsi sebagai tanda pembagian. Misalnya, 7:9=7/9

Secara tradisional, pecahan biasa kurang dari satu. Sedangkan desimal bisa lebih besar dari itu.

Untuk apa pecahan? Ya, untuk semuanya, karena di dunia nyata tidak semua bilangan adalah bilangan bulat. Misalnya, dua siswi di kafetaria membeli satu batang cokelat yang lezat. Ketika mereka akan berbagi makanan penutup, mereka bertemu dengan seorang teman dan memutuskan untuk mentraktirnya juga. Namun, sekarang perlu untuk membagi batang cokelat dengan benar, mengingat itu terdiri dari 12 kotak.

Pada awalnya, gadis-gadis itu ingin berbagi semuanya secara merata, dan kemudian masing-masing akan mendapatkan empat bagian. Tapi, setelah dipikir-pikir, mereka memutuskan untuk mentraktir pacarnya, bukan 1/3, tapi 1/4 cokelat. Dan karena siswi tidak belajar pecahan dengan baik, mereka tidak memperhitungkan bahwa dalam skenario seperti itu, sebagai akibatnya, mereka akan memiliki 9 bagian yang sangat buruk dibagi menjadi dua. Contoh yang agak sederhana ini menunjukkan betapa pentingnya untuk dapat menemukan bagian suatu bilangan dengan benar. Tapi dalam hidup kasus serupa lebih banyak.

Jenis pecahan: biasa dan desimal

Semua pecahan matematika dibagi menjadi dua digit besar: biasa dan desimal. Fitur-fitur yang pertama telah dijelaskan di paragraf sebelumnya, jadi sekarang perlu memperhatikan yang kedua.

Desimal adalah notasi posisi dari pecahan angka, yang ditetapkan dalam huruf yang dipisahkan oleh koma, tanpa tanda hubung atau garis miring. Misalnya: 0,75, 0,5.

Faktanya, pecahan desimal identik dengan pecahan biasa, namun penyebutnya selalu satu diikuti oleh nol - itulah namanya.

Angka sebelum titik desimal adalah bagian bilangan bulat, dan segala sesuatu setelah titik desimal adalah bagian pecahan. Setiap pecahan sederhana dapat diubah ke desimal. Jadi, pecahan desimal yang ditunjukkan pada contoh sebelumnya dapat ditulis sebagai pecahan biasa: dan .

Perlu dicatat bahwa pecahan desimal dan biasa bisa positif dan negatif. Jika diawali dengan tanda "-", maka pecahan ini negatif, jika "+" - maka positif.

Subspesies pecahan biasa

Ada jenis-jenis pecahan sederhana.

Subspesies pecahan desimal

Tidak seperti pecahan sederhana, pecahan desimal hanya dibagi menjadi 2 jenis.

• Final - mendapatkan namanya karena fakta bahwa setelah titik desimal memiliki jumlah digit (final) terbatas: 19,25.
• Pecahan tak hingga adalah bilangan dengan jumlah digit tak hingga setelah koma. Misalnya, ketika membagi 10 dengan 3, hasilnya adalah pecahan tak terbatas 3,333…

Penjumlahan pecahan

Melakukan berbagai manipulasi aritmatika dengan pecahan sedikit lebih sulit daripada dengan bilangan biasa. Namun, jika Anda mempelajari aturan dasar, menyelesaikan contoh apa pun dengannya tidak akan sulit.

Contoh: 2/3+3/4. Kelipatan persekutuan terkecil untuk mereka adalah 12, oleh karena itu, angka ini harus ada di setiap penyebut. Untuk melakukan ini, kami mengalikan pembilang dan penyebut pecahan pertama dengan 4, ternyata 8/12, kami melakukan hal yang sama dengan suku kedua, tetapi hanya mengalikan dengan 3 - 9/12. Sekarang Anda dapat dengan mudah menyelesaikan contoh: 8/12+9/12= 17/12. Pecahan yang dihasilkan adalah nilai yang salah karena pembilangnya lebih besar dari penyebutnya. Itu dapat dan harus diubah menjadi campuran yang benar dengan membagi 17:12 = 1 dan 5/12.

Jika pecahan campuran ditambahkan, pertama tindakan dilakukan dengan bilangan bulat, dan kemudian dengan pecahan.

Jika contoh berisi pecahan desimal dan pecahan biasa, keduanya perlu menjadi sederhana, kemudian bawa ke penyebut yang sama dan tambahkan. Misalnya 3.1+1/2. Bilangan 3.1 dapat ditulis sebagai pecahan campuran 3 dan 1/10 atau salah - 31/10. faktor persekutuan untuk sukunya adalah 10, jadi pembilang dan penyebutnya harus dikalikan 1/2 dengan 5 secara bergantian, menjadi 5/10. Maka Anda dapat dengan mudah menghitung semuanya: 31/10+5/10=35/10. Hasil yang diperoleh adalah fraksi kontraktil yang tidak tepat, kami membawanya ke bentuk normal, menguranginya dengan 5: 7/2=3 dan 1/2, atau desimal - 3,5.

Saat menambahkan 2 desimal, penting bahwa ada jumlah digit yang sama setelah titik desimal. Jika ini bukan masalahnya, Anda hanya perlu menambahkan jumlah yang dibutuhkan nol, karena pecahan desimal itu bisa dilakukan tanpa rasa sakit. Misalnya, 3,5+3,005. Untuk menyelesaikan tugas ini, Anda perlu menambahkan 2 angka nol ke angka pertama dan kemudian menambahkan secara bergantian: 3,500 + 3,005 = 3,505.

Pengurangan pecahan

Saat mengurangkan pecahan, ada baiknya melakukan hal yang sama seperti saat menambahkan: kurangi ke penyebut yang sama, kurangi satu pembilang dari yang lain, jika perlu, ubah hasilnya menjadi pecahan campuran.

Misalnya: 16/20-5/10. Penyebutnya adalah 20. Anda perlu membawa pecahan kedua ke penyebut ini, mengalikan kedua bagiannya dengan 2, Anda mendapatkan 10/20. Sekarang Anda dapat memecahkan contoh: 16/20-10/20= 6/20. Namun, hasil ini berlaku untuk pecahan yang dapat direduksi, jadi perlu membagi kedua bagian dengan 2 dan hasilnya adalah 3/10.

Perkalian pecahan

Pembagian dan perkalian pecahan - lebih banyak lagi langkah sederhana daripada penjumlahan dan pengurangan. Faktanya adalah bahwa ketika melakukan tugas-tugas ini, tidak perlu mencari penyebut yang sama.

Untuk mengalikan pecahan, Anda hanya perlu mengalikan kedua pembilang secara bergantian, lalu kedua penyebutnya. Kurangi hasil yang dihasilkan jika pecahan tersebut merupakan nilai yang dikurangi.

Misalnya: 4/9x5/8. Setelah perkalian bergantian, hasilnya adalah 4x5/9x8=20/72. Pecahan seperti itu dapat dikurangi dengan 4, jadi jawaban akhir dalam contoh adalah 5/18.

Cara membagi pecahan

Membagi pecahan juga merupakan tindakan sederhana, sebenarnya masih bermuara pada mengalikannya. Untuk membagi satu pecahan dengan pecahan lainnya, Anda perlu membalik pecahan kedua dan mengalikannya dengan yang pertama.

Misalnya, pembagian pecahan 5/19 dan 5/7. Untuk menyelesaikan contoh, Anda perlu menukar penyebut dan pembilang dari pecahan kedua dan mengalikannya: 5/19x7/5=35/95. Hasilnya bisa dikurangi 5 - ternyata 19/7.

Jika Anda perlu membagi pecahan dengan bilangan prima, tekniknya sedikit berbeda. Awalnya, ada baiknya menulis angka ini sebagai pecahan yang tidak wajar, dan kemudian membaginya sesuai dengan skema yang sama. Misalnya, 2/13:5 harus ditulis sebagai 2/13:5/1. Sekarang Anda perlu membalik 5/1 dan mengalikan pecahan yang dihasilkan: 2/13x1/5= 2/65.

Terkadang Anda harus membagi pecahan campuran. Anda perlu menanganinya, seperti halnya bilangan bulat: ubah menjadi pecahan yang tidak wajar, balikkan pembagi dan kalikan semuanya. Misalnya, 8 : 3. Mengubah semuanya menjadi pecahan biasa: 17/2: 3/1. Ini diikuti dengan flip 3/1 dan perkalian: 17/2x1/3= 17/6. Sekarang Anda harus menerjemahkan pecahan yang salah menjadi pecahan yang benar - 2 bilangan bulat dan 5/6.

Jadi, setelah mengetahui apa itu pecahan dan bagaimana Anda dapat melakukan berbagai operasi aritmatika dengannya, Anda perlu mencoba untuk tidak melupakannya. Lagi pula, orang selalu lebih cenderung membagi sesuatu menjadi beberapa bagian daripada menambahkan, jadi Anda harus bisa melakukannya dengan benar.

Pecahan biasa dibagi menjadi pecahan \textit (benar) dan \textit (tidak wajar). Pembagian ini didasarkan pada perbandingan pembilang dan penyebut.

pecahan biasa

pecahan biasa ditelepon pecahan biasa$\frac(m)(n)$, yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya, mis. $m

Contoh 1

Misalnya, pecahan $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ beraturan , jadi bagaimana masing-masing pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya, yang sesuai dengan definisi pecahan biasa.

Ada definisi pecahan biasa, yang didasarkan pada perbandingan pecahan dengan satuan.

benar jika kurang dari satu:

Contoh 2

Misalnya, pecahan biasa $\frac(6)(13)$ benar karena kondisi $\frac(6)(13)

Pecahan tak wajar

Fraksi yang tidak tepat adalah pecahan biasa $\frac(m)(n)$ yang pembilangnya lebih besar dari atau sama dengan penyebutnya, mis. $m\ge n$.

Contoh 3

Misalnya, pecahan $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ tidak tepat , jadi bagaimana masing-masing pembilangnya lebih besar dari atau sama dengan penyebutnya, yang sesuai dengan definisi pecahan biasa.

Mari kita berikan definisi pecahan biasa, yang didasarkan pada perbandingannya dengan satuannya.

Pecahan biasa $\frac(m)(n)$ adalah salah jika sama dengan atau lebih besar dari satu:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

Contoh 4

Misalnya, pecahan biasa $\frac(21)(4)$ tidak tepat karena kondisi $\frac(21)(4) >1$ terpenuhi;

pecahan biasa $\frac(8)(8)$ tidak tepat karena kondisi $\frac(8)(8)=1$ terpenuhi.

Mari kita pertimbangkan secara lebih rinci konsep pecahan biasa.

Mari kita ambil $\frac(7)(7)$ sebagai contoh. Nilai pecahan ini diambil sebagai tujuh bagian dari suatu benda, yang dibagi menjadi tujuh bagian yang sama. Jadi, dari tujuh saham yang tersedia, Anda dapat membuat seluruh subjek. Itu. pecahan tak wajar $\frac(7)(7)$ menjelaskan keseluruhan objek dan $\frac(7)(7)=1$. Jadi, pecahan biasa, di mana pembilangnya sama dengan penyebutnya, menggambarkan satu benda utuh, dan pecahan seperti itu dapat diganti dengan bilangan asli $1$.

$\frac(5)(2)$ -- cukup jelas bahwa lima bagian kedua ini dapat menghasilkan $2$ keseluruhan item (satu item utuh akan menghasilkan $2$ bagian, dan untuk membuat dua item utuh, Anda memerlukan $2+2=4$ share) dan satu share detik tersisa. Yaitu, pecahan tak wajar $\frac(5)(2)$ menjelaskan $2$ dari suatu item dan $\frac(1)(2)$ dari item tersebut.

$\frac(21)(7)$ -- dua puluh satu per tujuh dapat menghasilkan $3$ seluruh item ($3$ item dengan $7$ saham masing-masing). Itu. pecahan $\frac(21)(7)$ menjelaskan $3$ bilangan bulat.

Dari contoh yang dipertimbangkan, kesimpulan berikut dapat ditarik: pecahan biasa dapat diganti dengan bilangan asli jika pembilangnya habis dibagi penyebutnya (misalnya, $\frac(7)(7)=1$ dan $\ frac(21)(7)=3$) , atau jumlah bilangan asli dan pecahan biasa jika pembilangnya tidak habis dibagi dengan penyebutnya (misalnya, $\ \frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$). Oleh karena itu, pecahan seperti itu disebut salah.

Definisi 1

Proses menyatakan pecahan biasa sebagai jumlah bilangan asli dan pecahan biasa (misalnya, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) disebut mengekstraksi bagian bilangan bulat dari pecahan biasa.

Saat bekerja dengan pecahan yang tidak tepat, itu dilacak hubungan dekat antara mereka dan nomor campuran.

Pecahan tak wajar sering ditulis sebagai bilangan campuran, bilangan yang terdiri dari bilangan bulat dan bagian pecahan.

Untuk menulis pecahan biasa sebagai bilangan campuran, Anda harus membagi pembilang dengan penyebut dengan sisa. Hasil bagi akan menjadi bagian bilangan bulat dari bilangan campuran, sisanya akan menjadi pembilang bagian pecahan, dan pembagi akan menjadi penyebut bagian pecahan.

Contoh 5

Tulis pecahan biasa $\frac(37)(12)$ sebagai bilangan campuran.

Keputusan.

Bagi pembilang dengan penyebut dengan sisa:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (sisa\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

Menjawab.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

Untuk menulis angka campuran sebagai pecahan biasa, Anda perlu mengalikan penyebut dengan bagian bilangan bulat dari angka tersebut, menambahkan pembilang bagian pecahan ke produk yang dihasilkan, dan menulis jumlah yang dihasilkan ke dalam pembilang pecahan. Penyebut pecahan biasa akan sama dengan penyebut pecahan campuran.

Contoh 6

Tulis bilangan campuran $5\frac(3)(7)$ sebagai pecahan biasa.

Keputusan.

Menjawab.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

Menjumlahkan bilangan campuran dan pecahan biasa

Menambahkan nomor campuran$a\frac(b)(c)$ dan pecahan wajar$\frac(d)(e)$ dilakukan dengan menambahkan bagian pecahan dari bilangan campuran yang diberikan ke pecahan yang diberikan:

Contoh 7

Tambahkan pecahan wajar $\frac(4)(15)$ dan bilangan campuran $3\frac(2)(5)$.

Keputusan.

Mari kita gunakan rumus untuk menjumlahkan bilangan campuran dan pecahan biasa:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\kanan)=3+\ kiri(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\kanan)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( limabelas)\]

Dengan kriteria pembagian dengan bilangan \textit(5 ) seseorang dapat menentukan bahwa pecahan $\frac(10)(15)$ dapat direduksi. Lakukan pengurangan dan temukan hasil penjumlahan:

Jadi, hasil penjumlahan pecahan biasa $\frac(4)(15)$ dan pecahan campuran $3\frac(2)(5)$ adalah $3\frac(2)(3)$.

Menjawab:$3\frac(2)(3)$

Menjumlahkan bilangan campuran dan pecahan biasa

Menjumlahkan pecahan biasa dan bilangan campuran kurangi menjadi penambahan dua angka campuran, yang cukup untuk memilih seluruh bagian dari pecahan yang tidak tepat.

Contoh 8

Hitung jumlah bilangan campuran $6\frac(2)(15)$ dan pecahan biasa $\frac(13)(5)$.

Keputusan.

Pertama, kita ekstrak bagian bilangan bulat dari pecahan biasa $\frac(13)(5)$:

Menjawab:$8\frac(11)(15)$.