ალგებრის შესწავლისას ზოგადსაგანმანათლებლო სკოლა(მე-9 კლასი) ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი თემებიარის შესწავლა რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელიც მოიცავს პროგრესიებს - გეომეტრიულ და არითმეტიკას. ამ სტატიაში განვიხილავთ არითმეტიკულ პროგრესიას და მაგალითებს ამონახსნებით.
რა არის არითმეტიკული პროგრესია?
ამის გასაგებად აუცილებელია განვსაზღვროთ განსახილველი პროგრესირება, ასევე ძირითადი ფორმულები, რომელიც შემდგომში იქნება გამოყენებული პრობლემების გადაჭრაში.
არითმეტიკა ანუ არის მოწესრიგებული რაციონალური რიცხვების ისეთი ნაკრები, რომლის თითოეული წევრი წინასგან განსხვავდება გარკვეული მუდმივი მნიშვნელობით. ამ მნიშვნელობას სხვაობა ეწოდება. ანუ, რიცხვების მოწესრიგებული სერიის ნებისმიერი წევრის და სხვაობის ცოდნით, შეგიძლიათ აღადგინოთ მთელი არითმეტიკული პროგრესია.
ავიღოთ მაგალითი. რიცხვების შემდეგი თანმიმდევრობა იქნება არითმეტიკული პროგრესია: 4, 8, 12, 16, ..., რადგან სხვაობა ამ შემთხვევაში არის 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). მაგრამ 3, 5, 8, 12, 17 რიცხვების სიმრავლე აღარ შეიძლება მიეკუთვნებოდეს პროგრესიის განხილულ ტიპს, რადგან სხვაობა მისთვის არ არის მუდმივი მნიშვნელობა (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
მნიშვნელოვანი ფორმულები
ახლა ჩვენ ვაძლევთ ძირითად ფორმულებს, რომლებიც საჭირო იქნება არითმეტიკული პროგრესიის გამოყენებით ამოცანების გადასაჭრელად. აღნიშნეთ a n სიმბოლოთი მე-n წევრიმიმდევრობები, სადაც n არის მთელი რიცხვი. მოდით აღვნიშნოთ განსხვავება ლათინური ასოდ. მაშინ შემდეგი გამონათქვამები მართალია:
- n-ე ტერმინის მნიშვნელობის დასადგენად, შესაფერისია ფორმულა: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
- პირველი n წევრის ჯამის დასადგენად: S n = (a n + a 1)*n/2.
არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი მაგალითის გასაგებად მე-9 კლასში ამონახსნით, საკმარისია გახსოვდეთ ეს ორი ფორმულა, რადგან მოცემული ტიპის ნებისმიერი პრობლემა აგებულია მათ გამოყენებაზე. ასევე, არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ პროგრესირების განსხვავება განისაზღვრება ფორმულით: d = a n - a n-1 .
მაგალითი #1: უცნობი წევრის პოვნა
ჩვენ ვაძლევთ არითმეტიკული პროგრესიის მარტივ მაგალითს და ფორმულებს, რომლებიც უნდა იქნას გამოყენებული ამოსახსნელად.
მიეცით 10, 8, 6, 4, ... თანმიმდევრობა, აუცილებელია მასში ხუთი წევრის პოვნა.
პრობლემის პირობებიდან უკვე გამომდინარეობს, რომ პირველი 4 ტერმინი ცნობილია. მეხუთე შეიძლება განისაზღვროს ორი გზით:
- ჯერ სხვაობა გამოვთვალოთ. გვაქვს: d = 8 - 10 = -2. ანალოგიურად შეიძლება ნებისმიერი ორი სხვა ტერმინის მიღება, ახლოს დგასერთად. მაგალითად, d = 4 - 6 = -2. ვინაიდან ცნობილია, რომ d \u003d a n - a n-1, შემდეგ d \u003d a 5 - a 4, საიდანაც ვიღებთ: a 5 \u003d a 4 + d. შემცვლელი ცნობილი ღირებულებები: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- მეორე მეთოდი ასევე მოითხოვს ცოდნას მოცემული პროგრესიის განსხვავების შესახებ, ასე რომ თქვენ ჯერ უნდა დაადგინოთ ის, როგორც ეს ნაჩვენებია ზემოთ (d = -2). იმის ცოდნა, რომ პირველი წევრი a 1 = 10, ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას მიმდევრობის n რიცხვისთვის. გვაქვს: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. ბოლო გამოსახულებაში n = 5 ჩანაცვლებით, მივიღებთ: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
როგორც ხედავთ, ორივე გამოსავალი იწვევს ერთსა და იმავე შედეგს. გაითვალისწინეთ, რომ ამ მაგალითში პროგრესიის d სხვაობა უარყოფითია. ასეთ თანმიმდევრობას კლებადი ეწოდება, რადგან ყოველი თანმიმდევრული წევრი წინაზე ნაკლებია.
მაგალითი #2: პროგრესირების განსხვავება
ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება, მოვიყვანოთ მაგალითი, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.
ცნობილია, რომ ზოგიერთ ალგებრულ პროგრესიაში 1 წევრი უდრის 6-ს, ხოლო მე-7 წევრი უდრის 18-ს. საჭიროა სხვაობის პოვნა და ამ თანმიმდევრობის აღდგენა მე-7 წევრამდე.
გამოვიყენოთ ფორმულა უცნობი ტერმინის დასადგენად: a n = (n - 1) * d + a 1 . ჩვენ ვცვლით ცნობილ მონაცემებს მდგომარეობიდან მასში, ანუ რიცხვები a 1 და a 7, გვაქვს: 18 \u003d 6 + 6 * d. ამ გამოთქმიდან შეგიძლიათ მარტივად გამოთვალოთ სხვაობა: d = (18 - 6) / 6 = 2. ამრიგად, ამოცანის პირველ ნაწილს გაეცა პასუხი.
7 ტერმინამდე თანმიმდევრობის აღსადგენად, უნდა გამოიყენოთ განმარტება ალგებრული პროგრესია, ანუ a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d და ასე შემდეგ. შედეგად, ჩვენ აღვადგენთ მთელ თანმიმდევრობას: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 და 7 = 18.
მაგალითი #3: პროგრესირება
მოდით კიდევ უფრო გავართულოთ პრობლემის მდგომარეობა. ახლა თქვენ უნდა უპასუხოთ კითხვას, თუ როგორ უნდა იპოვოთ არითმეტიკული პროგრესია. შეუძლია გაუძღვეს შემდეგი მაგალითი: მოცემულია ორი რიცხვი, მაგალითად, - 4 და 5. აუცილებელია ალგებრული პროგრესია ისე, რომ მათ შორის მოთავსდეს კიდევ სამი წევრი.
ამ პრობლემის გადაჭრის დაწყებამდე აუცილებელია იმის გაგება, თუ რა ადგილს დაიკავებენ მოცემული რიცხვები მომავალ პროგრესში. ვინაიდან მათ შორის იქნება კიდევ სამი ტერმინი, შემდეგ 1 \u003d -4 და 5 \u003d 5. ამის დადგენის შემდეგ, ჩვენ ვაგრძელებთ დავალებას, რომელიც მსგავსია წინა. ისევ, მე-n ტერმინისთვის, ვიყენებთ ფორმულას, ვიღებთ: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. მდებარეობა: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. აქ ჩვენ მივიღეთ არა სხვაობის მთელი რიცხვი, მაგრამ ის არის რაციონალური რიცხვიასე რომ, ალგებრული პროგრესიის ფორმულები იგივე რჩება.
ახლა დავამატოთ ნაპოვნი განსხვავება 1-ს და აღვადგინოთ პროგრესიის დაკარგული წევრები. ვიღებთ: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u რაც პრობლემის მდგომარეობას დაემთხვა.
მაგალითი #4: პროგრესიის პირველი წევრი
ჩვენ ვაგრძელებთ არითმეტიკული პროგრესიის მაგალითების მოყვანას ამონახსნით. ყველა წინა ამოცანაში ცნობილი იყო ალგებრული პროგრესიის პირველი რიცხვი. ახლა განიხილეთ სხვა ტიპის პრობლემა: მოდით, ორი რიცხვი იყოს მოცემული, სადაც 15 = 50 და 43 = 37. აუცილებელია გაიგოთ, რომელი რიცხვიდან იწყება ეს თანმიმდევრობა.
აქამდე გამოყენებული ფორმულები გულისხმობს 1 და დ-ის ცოდნას. ამ ციფრების შესახებ პრობლემის პირობებში არაფერია ცნობილი. მიუხედავად ამისა, მოდით დავწეროთ გამონათქვამები თითოეული ტერმინისთვის, რომლის შესახებაც გვაქვს ინფორმაცია: a 15 = a 1 + 14 * d და a 43 = a 1 + 42 * d. მივიღეთ ორი განტოლება, რომელშიც 2 უცნობი რაოდენობით(ა 1 და დ). ეს ნიშნავს, რომ პრობლემა მცირდება წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნით.
მითითებული სისტემა ყველაზე ადვილად ამოსახსნელია, თუ გამოვხატავთ 1-ს თითოეულ განტოლებაში და შემდეგ შეადარებთ მიღებულ გამონათქვამებს. პირველი განტოლება: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; მეორე განტოლება: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. ამ გამონათქვამების გათანაბრებისას მივიღებთ: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, საიდანაც განსხვავება d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (მოცემულია მხოლოდ 3 ათობითი ადგილი).
იცის d, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი ზემოთ მოცემული 2 გამოთქმა 1-ისთვის. მაგალითად, პირველი: 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.
თუ შედეგზე ეჭვი გეპარებათ, შეგიძლიათ შეამოწმოთ იგი, მაგალითად, განსაზღვროთ პროგრესის 43-ე წევრი, რომელიც მითითებულია პირობაში. ჩვენ ვიღებთ: 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. მცირე შეცდომა გამოწვეულია იმით, რომ გამოთვლებში გამოყენებული იყო დამრგვალება მეათასედამდე.
მაგალითი #5: ჯამი
ახლა მოდით გადავხედოთ რამდენიმე მაგალითს არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ამონახსნებით.
მიეცეს რიცხვითი პროგრესია შემდეგი სახის: 1, 2, 3, 4, ...,. როგორ გამოვთვალოთ ამ რიცხვებიდან 100-ის ჯამი?
განვითარების წყალობით კომპიუტერული ტექნოლოგიათქვენ შეგიძლიათ მოაგვაროთ ეს პრობლემა, ანუ თანმიმდევრულად დაამატოთ ყველა რიცხვი, რომელიც საანგარიშო მანქანაგააკეთებს, როგორც კი ადამიანი დააჭერს Enter ღილაკს. თუმცა, პრობლემის მოგვარება შესაძლებელია გონებრივად, თუ ყურადღებას მიაქცევთ, რომ რიცხვების წარმოდგენილი სერია არის ალგებრული პროგრესია, ხოლო განსხვავება არის 1. ჯამის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
საინტერესოა აღინიშნოს, რომ ამ პრობლემას "გაუსური" ეწოდება, რადგან XVIII დასაწყისშისაუკუნის ცნობილმა გერმანელმა, ჯერ კიდევ მხოლოდ 10 წლის ასაკში, გონებაში რამდენიმე წამში ამოხსნა. ბიჭმა არ იცოდა ალგებრული პროგრესიის ჯამის ფორმულა, მაგრამ მან შენიშნა, რომ თუ დაამატებთ რიცხვების წყვილებს, რომლებიც მდებარეობს მიმდევრობის კიდეებზე, ყოველთვის მიიღებთ ერთსა და იმავე შედეგს, ანუ 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ..., და რადგან ეს ჯამები იქნება ზუსტად 50 (100/2), მაშინ სწორი პასუხის მისაღებად საკმარისია 50 გავამრავლოთ 101-ზე.
მაგალითი #6: წევრთა ჯამი n-დან m-მდე
სხვა ტიპიური მაგალითიარითმეტიკული პროგრესიის ჯამი ასეთია: მოცემული რიცხვების სერია: 3, 7, 11, 15, ..., თქვენ უნდა იპოვოთ რა იქნება მისი წევრთა ჯამი 8-დან 14-მდე.
პრობლემა მოგვარებულია ორი გზით. პირველი მათგანი მოიცავს უცნობი ტერმინების მოძიებას 8-დან 14-მდე, შემდეგ კი მათი თანმიმდევრობით შეჯამებას. ვინაიდან რამდენიმე ტერმინია, ეს მეთოდი არ არის საკმარისად შრომატევადი. მიუხედავად ამისა, შემოთავაზებულია ამ პრობლემის გადაჭრა მეორე მეთოდით, რომელიც უფრო უნივერსალურია.
იდეა არის მივიღოთ ფორმულა ალგებრული პროგრესიის ჯამისთვის m და n ტერმინებს შორის, სადაც n > m არის მთელი რიცხვები. ორივე შემთხვევისთვის ჩვენ ვწერთ ორ გამონათქვამს ჯამისთვის:
- S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
- S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.
ვინაიდან n > m, აშკარაა, რომ 2 ჯამი მოიცავს პირველს. ბოლო დასკვნა ნიშნავს, რომ თუ ამ ჯამებს შორის განსხვავებას ავიღებთ და მას ტერმინს a m დავუმატებთ (განსხვავების აღების შემთხვევაში ის გამოვაკლდება S n ჯამს), მაშინ მივიღებთ ამოცანის აუცილებელ პასუხს. გვაქვს: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). ამ გამოსახულებაში აუცილებელია n და m ფორმულების ჩანაცვლება. შემდეგ მივიღებთ: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
მიღებული ფორმულა გარკვეულწილად რთულია, თუმცა S mn ჯამი დამოკიდებულია მხოლოდ n, m, a 1 და d-ზე. ჩვენს შემთხვევაში, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. ამ რიცხვების ჩანაცვლებით მივიღებთ: S mn = 301.
როგორც ზემოაღნიშნული ამონახსნებიდან ჩანს, ყველა პრობლემა ემყარება n-ე წევრის გამოხატვის ცოდნას და პირველი წევრთა სიმრავლის ჯამის ფორმულას. სანამ რომელიმე ამ პრობლემის გადაჭრას დაიწყებთ, რეკომენდებულია ყურადღებით წაიკითხოთ მდგომარეობა, ნათლად გაიგოთ რისი პოვნა გსურთ და მხოლოდ ამის შემდეგ გააგრძელოთ გამოსავალი.
კიდევ ერთი რჩევა არის სიმარტივისკენ სწრაფვა, ანუ თუ თქვენ შეგიძლიათ უპასუხოთ კითხვას რთული მათემატიკური გამოთვლების გარეშე, მაშინ სწორედ ეს უნდა გააკეთოთ, რადგან ამ შემთხვევაში შეცდომის დაშვების ალბათობა ნაკლებია. მაგალითად, არითმეტიკული პროგრესიის მაგალითში მე-6 ამონახსნით, შეიძლება შეჩერდეს ფორმულა S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, და გაყოფილი საერთო დავალებაცალკეულ ქვეამოცნებებად (in ამ საქმესჯერ იპოვეთ a n და a ტერმინები).
თუ არსებობს ეჭვი მიღებულ შედეგზე, რეკომენდებულია მისი შემოწმება, როგორც ეს გაკეთდა ზოგიერთ მოყვანილ მაგალითში. როგორ მოვძებნოთ არითმეტიკული პროგრესია, გაირკვა. როგორც კი გაარკვიე, არც ისე რთულია.
ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")
არითმეტიკული პროგრესია- ეს არის რიცხვების სერია, რომელშიც თითოეული რიცხვი უფრო მეტია (ან ნაკლები) ვიდრე წინა ერთი და იგივე ოდენობით.
ეს თემა ხშირად რთული და გაუგებარია. ასოების ინდექსები, პროგრესიის n-ე ტერმინი, პროგრესიის სხვაობა - ეს ყველაფერი რატომღაც დამაბნეველია, დიახ ... მოდით გავარკვიოთ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობა და ყველაფერი მაშინვე გამოვა.)
არითმეტიკული პროგრესიის კონცეფცია.
არითმეტიკული პროგრესია ძალიან მარტივი და გასაგები ცნებაა. ეჭვი? ამაოდ.) თავად ნახეთ.
მე დავწერ რიცხვების დაუმთავრებელ სერიას:
1, 2, 3, 4, 5, ...
შეგიძლიათ გააგრძელოთ ეს ხაზი? რა რიცხვები წავა შემდეგი ხუთეულის შემდეგ? ყველა... უჰ... მოკლედ, ყველა მიხვდება, რომ რიცხვები 6, 7, 8, 9 და ა.შ. უფრო შორს წავა.
დავალება გავართულოთ. მე ვაძლევ რიცხვების დაუმთავრებელ სერიას:
2, 5, 8, 11, 14, ...
შეგიძლიათ დაიჭიროთ ნიმუში, გააგრძელოთ სერია და სახელი მეშვიდერიგის ნომერი?
თუ გაარკვიეთ, რომ ეს რიცხვი არის 20 - გილოცავთ! თქვენ არა მარტო გრძნობდით ძირითადი პუნქტებიარითმეტიკული პროგრესია,არამედ წარმატებით გამოიყენა ისინი ბიზნესში! თუ არ გესმით, წაიკითხეთ.
ახლა მოდით გადავთარგმნოთ ძირითადი პუნქტები შეგრძნებებიდან მათემატიკაში.)
პირველი საკვანძო წერტილი.
არითმეტიკული პროგრესია ეხება რიცხვების სერიას.ეს თავიდანვე დამაბნეველია. ჩვენ მიჩვეულები ვართ განტოლებების ამოხსნას, გრაფიკების აგებას და ამ ყველაფერს... და შემდეგ გავაფართოვოთ სერიები, ვიპოვოთ სერიების რიცხვი...
Ყველაფერი კარგადაა. უბრალოდ, პროგრესიები მათემატიკის ახალი დარგის პირველი გაცნობაა. განყოფილებას ეწოდება "სერიები" და მუშაობს რიცხვებისა და გამონათქვამების სერიებით. შეეგუე.)
მეორე საკვანძო წერტილი.
არითმეტიკული პროგრესიის დროს, ნებისმიერი რიცხვი განსხვავდება წინადან იმავე რაოდენობით.
პირველ მაგალითში ეს განსხვავება ერთია. რაც არ უნდა აიღოთ, ის ერთით მეტია წინაზე. მეორეში - სამი. ნებისმიერი რიცხვი სამჯერ მეტია წინაზე. სინამდვილეში, სწორედ ეს მომენტი გვაძლევს შესაძლებლობას დავიჭიროთ ნიმუში და გამოვთვალოთ შემდგომი რიცხვები.
მესამე საკვანძო წერტილი.
ეს მომენტი არ არის გასაოცარი, დიახ... მაგრამ ძალიან, ძალიან მნიშვნელოვანია. Აი ისიც: თითოეული პროგრესის ნომერითავის ადგილზე დგას.არის პირველი ნომერი, არის მეშვიდე, არის ორმოცდამეხუთე და ა.შ. თუ მათ შემთხვევით აურიეთ, ნიმუში გაქრება. არითმეტიკული პროგრესიაც გაქრება. ეს მხოლოდ რიცხვების სერიაა.
ამაშია მთელი აზრი.
რა თქმა უნდა, ში ახალი თემაგამოჩნდება ახალი ტერმინები და აღნიშვნა. მათ უნდა იცოდნენ. წინააღმდეგ შემთხვევაში, თქვენ ვერ გაიგებთ დავალებას. მაგალითად, თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ მსგავსი რამ:
ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი ექვსი წევრი (a n), თუ a 2 = 5, d = -2,5.
შთააგონებს?) წერილები, რაღაც ინდექსები... და დავალება, სხვათა შორის, ადვილი არ იქნებოდა. თქვენ უბრალოდ უნდა გესმოდეთ ტერმინების მნიშვნელობა და აღნიშვნა. ახლა ამ საკითხს დავეუფლებით და დავალებას დავუბრუნდებით.
პირობები და აღნიშვნები.
არითმეტიკული პროგრესიაარის რიცხვების სერია, რომელშიც თითოეული რიცხვი განსხვავდება წინადან იმავე რაოდენობით.
ეს მნიშვნელობა ე.წ . მოდით, უფრო დეტალურად განვიხილოთ ეს კონცეფცია.
არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.
არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობაარის თანხა, რომლითაც ნებისმიერი პროგრესირების რიცხვი მეტიწინა.
ერთი მნიშვნელოვანი წერტილი. გთხოვთ ყურადღება მიაქციოთ სიტყვას "მეტი".მათემატიკურად, ეს ნიშნავს, რომ თითოეული პროგრესიის რიცხვი მიიღება დასძინაარითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა წინა რიცხვთან.
რომ გამოვთვალოთ, ვთქვათ მეორერიგის ნომრები, აუცილებელია პირველინომერი დაამატეთარითმეტიკული პროგრესიის სწორედ ეს განსხვავება. გაანგარიშებისთვის მეხუთე- განსხვავება აუცილებელია დაამატეთრომ მეოთხეკარგად და ა.შ.
არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობაშესაძლოა დადებითიმაშინ სერიის თითოეული ნომერი რეალური აღმოჩნდება წინაზე მეტი.ამ პროგრესს ე.წ იზრდება.Მაგალითად:
8; 13; 18; 23; 28; .....
აქ არის თითოეული ნომერი დასძინა დადებითი რიცხვი, +5 წინას.
განსხვავება შეიძლება იყოს უარყოფითიმაშინ სერიის თითოეული ნომერი იქნება წინაზე ნაკლები.ამ პროგრესს ჰქვია (არ დაიჯერებთ!) მცირდება.
Მაგალითად:
8; 3; -2; -7; -12; .....
აქაც ყველა რიცხვი მიიღება დასძინაწინა, მაგრამ უკვე უარყოფით რიცხვს -5.
სხვათა შორის, პროგრესირებასთან მუშაობისას ძალიან სასარგებლოა მისი ბუნების დაუყონებლივ დადგენა – იზრდება თუ მცირდება. ეს ძალიან გვეხმარება გადაწყვეტილების მიღებისას, გამოავლინოს თქვენი შეცდომები და გამოასწოროს ისინი, სანამ გვიან არ არის.
არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობაჩვეულებრივ აღინიშნება ასოებით დ.
როგორ მოვძებნოთ დ? Ძალიან მარტივი. აუცილებელია გამოვაკლოთ სერიების ნებისმიერი რიცხვი წინანომერი. გამოკლება. სხვათა შორის, გამოკლების შედეგს ეწოდება "სხვაობა".)
განვსაზღვროთ, მაგალითად, დმზარდი არითმეტიკული პროგრესიისთვის:
2, 5, 8, 11, 14, ...
ვიღებთ მწკრივის ნებისმიერ რიცხვს, რომელიც გვინდა, მაგალითად, 11. გამოვაკლოთ მას წინა ნომერი, იმათ. რვა:
ეს არის სწორი პასუხი. ამ არითმეტიკული პროგრესიისთვის, განსხვავება სამია.
შეგიძლიათ უბრალოდ აიღოთ ნებისმიერი რაოდენობის პროგრესირება,რადგან კონკრეტული პროგრესისთვის დ-ყოველთვის იგივე.მაინც სადღაც რიგის დასაწყისში, შუაში მაინც, სადმე მაინც. თქვენ არ შეგიძლიათ მხოლოდ პირველივე ნომრის აღება. მხოლოდ იმიტომ, რომ პირველი ნომერი არა წინა.)
სხვათა შორის, ამის ცოდნა d=3, ამ პროგრესიის მეშვიდე რიცხვის პოვნა ძალიან მარტივია. მეხუთე რიცხვს ვამატებთ 3 - მივიღებთ მეექვსეს, იქნება 17. მეექვსეს ვუმატებთ სამს, ვიღებთ მეშვიდე რიცხვს - ოცს.
განვსაზღვროთ დკლებადი არითმეტიკული პროგრესიისთვის:
8; 3; -2; -7; -12; .....
შეგახსენებთ, რომ ნიშნების მიუხედავად, უნდა დადგინდეს დსაჭიროა ნებისმიერი ნომრიდან წაართვით წინა.ჩვენ ვირჩევთ პროგრესირების ნებისმიერ რაოდენობას, მაგალითად -7. მისი წინა რიცხვი არის -2. შემდეგ:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი: მთელი რიცხვი, წილადი, ირაციონალური, ნებისმიერი.
სხვა ტერმინები და აღნიშვნები.
სერიის თითოეულ რიცხვს ეძახიან არითმეტიკული პროგრესიის წევრი.
პროგრესის თითოეული წევრი აქვს თავისი ნომერი.ნომრები მკაცრად წესრიგშია, ყოველგვარი ხრიკების გარეშე. პირველი, მეორე, მესამე, მეოთხე და ა.შ. მაგალითად, პროგრესში 2, 5, 8, 11, 14, ... ორი არის პირველი წევრი, ხუთი არის მეორე, თერთმეტი არის მეოთხე, კარგად, გესმით ...) გთხოვთ, ნათლად გაიგოთ - თავად ნომრებიშეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი, მთლიანი, წილადი, უარყოფითი, რაც არ უნდა იყოს, მაგრამ ნუმერაცია- მკაცრად წესრიგში!
როგორ ჩაწეროთ პროგრესი ზოგადი ხედი? Არაა პრობლემა! სერიის თითოეული რიცხვი იწერება ასოს სახით. არითმეტიკული პროგრესიის აღსანიშნავად, როგორც წესი, გამოიყენება ასო ა. წევრის ნომერი მითითებულია ქვედა მარჯვენა ინდექსით. წევრები იწერება გამოყოფილი მძიმეებით (ან მძიმით), ასე:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
a 1არის პირველი ნომერი a 3- მესამე და ა.შ. არაფერი სახიფათო. თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ეს სერია მოკლედ ასე: (n).
არის პროგრესები სასრული და უსასრულო.
საბოლოოპროგრესი აქვს შეზღუდული რაოდენობითწევრები. ხუთი, ოცდათვრამეტი, რაც არ უნდა იყოს. მაგრამ ეს სასრული რიცხვია.
დაუსრულებელიპროგრესია - ჰყავს წევრების უსასრულო რაოდენობა, როგორც თქვენ ალბათ მიხვდებით.)
თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ საბოლოო პროგრესი ასეთი სერიის მეშვეობით, ყველა წევრი და ბოლო წერტილი:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .
ან ასე, თუ ბევრი წევრია:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
AT აბრევიატურათქვენ მოგიწევთ დამატებით მიუთითოთ წევრების რაოდენობა. მაგალითად (ოცი წევრისთვის), ასე:
(a n), n = 20
უსასრულო პროგრესია შეიძლება ამოიცნოს მწკრივის ბოლოს ელიფსისით, როგორც ამ გაკვეთილის მაგალითებში.
ახლა უკვე შეგიძლიათ ამოცანების გადაჭრა. ამოცანები მარტივია, მხოლოდ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობის გასაგებად.
არითმეტიკული პროგრესირების ამოცანების მაგალითები.
მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ზემოთ მოცემულ დავალებას:
1. ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი ექვსი წევრი (a n), თუ a 2 = 5, d = -2.5.
ჩვენ გადავცემთ დავალებას გასაგები ენა. მოცემულია უსასრულო არითმეტიკული პროგრესია. ამ პროგრესის მეორე რიცხვი ცნობილია: a 2 = 5.ცნობილი პროგრესირების განსხვავება: d = -2,5.ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ამ პროგრესიის პირველი, მესამე, მეოთხე, მეხუთე და მეექვსე წევრები.
სიცხადისთვის დავწერ სერიებს პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით. პირველი ექვსი წევრი, სადაც მეორე წევრი ხუთია:
a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....
a 3 = a 2 + დ
გამონათქვამში ვცვლით a 2 = 5და d=-2.5. ნუ დაგავიწყდებათ მინუსი!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
მესამე ტერმინი არის წამზე ნაკლები. ყველაფერი ლოგიკურია. თუ რიცხვი წინაზე მეტია უარყოფითიმნიშვნელობა, ამიტომ თავად რიცხვი წინაზე ნაკლები იქნება. პროგრესი მცირდება. კარგი, გავითვალისწინოთ.) განვიხილავთ ჩვენი სერიის მეოთხე წევრს:
a 4 = a 3 + დ
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
a 5 = a 4 + დ
a 5=0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = a 5 + დ
a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
ასე რომ, მესამედან მეექვსემდე ვადები დათვლილია. ამან გამოიწვია სერია:
a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....
რჩება პირველი ტერმინის პოვნა a 1 on ცნობილი მეორე. ეს არის ნაბიჯი სხვა მიმართულებით, მარცხნივ.) აქედან გამომდინარე, არითმეტიკული პროგრესიის განსხვავება დარ უნდა დაემატოს a 2, ა წაიღე:
a 1 = a 2 - დ
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
სულ ეს არის. დავალების პასუხი:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
გარდა ამისა, მე აღვნიშნავ, რომ ჩვენ გადავწყვიტეთ ეს ამოცანა განმეორებადიგზა. ეს საშინელი სიტყვა ნიშნავს მხოლოდ პროგრესის წევრის ძიებას წინა (მიმდებარე) ნომრით.პროგრესირებასთან მუშაობის სხვა გზები მოგვიანებით იქნება განხილული.
Აქედან მარტივი დავალებაერთი მნიშვნელოვანი დასკვნის გაკეთება შეიძლება.
გახსოვდეთ:
თუ ჩვენ ვიცით მინიმუმ ერთი წევრი და არითმეტიკული პროგრესიის განსხვავება, შეგვიძლია ვიპოვოთ ამ პროგრესიის ნებისმიერი წევრი.
გახსოვს? ეს მარტივი წარმოშობა საშუალებას გვაძლევს გადავჭრათ პრობლემების უმეტესობა სკოლის კურსიამ თემაზე. ყველა დავალება ტრიალებს გარშემო სამი ძირითადიპარამეტრები: არითმეტიკული პროგრესიის წევრი, პროგრესიის სხვაობა, პროგრესიის წევრის რაოდენობა.ყველაფერი.
რა თქმა უნდა, ყველა წინა ალგებრა არ არის გაუქმებული.) პროგრესიას თან ერთვის უტოლობა, განტოლებები და სხვა. მაგრამ პროგრესის მიხედვით- ყველაფერი სამი პარამეტრის გარშემო ტრიალებს.
მაგალითად, განიხილეთ ზოგიერთი პოპულარული ამოცანებიამ თემაზე.
2. საბოლოო არითმეტიკული პროგრესია ჩაწერეთ რიგით თუ n=5, d=0.4 და a 1=3.6.
აქ ყველაფერი მარტივია. ყველაფერი უკვე მოცემულია. თქვენ უნდა გახსოვდეთ, როგორ გამოითვლება არითმეტიკული პროგრესიის წევრები, ითვლიან და ჩაწერენ. მიზანშეწონილია არ გამოტოვოთ სიტყვები ამოცანის პირობაში: "ფინალური" და " n=5იმისათვის, რომ არ დათვალოთ, სანამ სახეზე მთლიანად გალურჯდებით.) ამ პროგრესში მხოლოდ 5 (ხუთი) წევრია:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4
a 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8
a 5 = a 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2
რჩება პასუხის ჩაწერა:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
კიდევ ერთი დავალება:
3. დაადგინეთ, იქნება თუ არა რიცხვი 7 არითმეტიკული პროგრესიის წევრი (a n), თუ a 1 \u003d 4.1; d = 1.2.
ჰმ... ვინ იცის? როგორ განვსაზღვროთ რამე?
როგორ-როგ... კი, ჩაწერეთ პროგრესი სერიების სახით და ნახეთ, იქნება თუ არა შვიდი! Ჩვენ გვჯერა:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5
a 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
ახლა აშკარად ჩანს, რომ ჩვენ მხოლოდ შვიდნი ვართ გაცურდა 6.5-დან 7.7-მდე! შვიდი არ მოხვდა ჩვენს რიცხვთა სერიაში და, შესაბამისად, შვიდი არ იქნება მოცემული პროგრესიის წევრი.
პასუხი: არა.
და აქ არის პრობლემა, რომელიც ეფუძნება რეალური ვერსია GIA:
4. არითმეტიკული პროგრესიის რამდენიმე თანმიმდევრული წევრი იწერება:
...; თხუთმეტი; X; ცხრა; 6; ...
აქ არის სერია დასასრულისა და დასაწყისის გარეშე. წევრების რიცხვი, არანაირი განსხვავება დ. Ყველაფერი კარგადაა. პრობლემის გადასაჭრელად საკმარისია გავიგოთ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობა. ვნახოთ და ვნახოთ რა შეგვიძლია აღმოჩენაამ ხაზიდან? რა არის სამი ძირითადი პარამეტრი?
წევრების ნომრები? აქ არც ერთი ნომერი არ არის.
მაგრამ არის სამი ნომერი და - ყურადღება! - სიტყვა "თანმიმდევრული"მდგომარეობაში. ეს ნიშნავს, რომ რიცხვები მკაცრად წესრიგშია, ხარვეზების გარეშე. ამ რიგში ორია? მეზობელი ცნობილი ნომრები? Დიახ მაქვს! ეს არის 9 და 6. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა! ექვსს ვაკლებთ წინანომერი, ე.ი. ცხრა:
დარჩენილია ცარიელი ადგილები. რომელი რიცხვი იქნება x-ის წინა? თხუთმეტი. ასე რომ X ადვილად მოიძებნება მარტივი დამატება. 15-ს დაამატეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა:
Სულ ეს არის. პასუხი: x=12
ჩვენ თვითონ ვაგვარებთ შემდეგ პრობლემებს. შენიშვნა: ეს თავსატეხები არ არის ფორმულებისთვის. მხოლოდ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობის გასაგებად.) ჩვენ უბრალოდ ვწერთ რიცხვ-ასოების სერიას, ვუყურებთ და ვფიქრობთ.
5. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი დადებითი წევრი, თუ a 5 = -3; d = 1.1.
6. ცნობილია, რომ რიცხვი 5.5 არის არითმეტიკული პროგრესიის წევრი (a n), სადაც a 1 = 1.6; d = 1.3. განსაზღვრეთ ამ ტერმინის ნომერი n.
7. ცნობილია, რომ არითმეტიკული პროგრესიით a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. იპოვეთ 3.
8. არითმეტიკული პროგრესიის ზედიზედ რამდენიმე წევრი იწერება:
...; 15.6; X; 3.4; ...
იპოვეთ პროგრესიის ტერმინი, რომელიც აღინიშნება ასო x.
9. მატარებელმა მოძრაობა დაიწყო სადგურიდან, თანდათან გაზარდა სიჩქარე წუთში 30 მეტრით. რა იქნება მატარებლის სიჩქარე ხუთ წუთში? გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.
10. ცნობილია, რომ არითმეტიკული პროგრესიით a 2 = 5; a 6 = -5. იპოვეთ 1.
პასუხები (არეულად): 7.7; 7.5; 9.5; ცხრა; 0.3; 4.
ყველაფერი გამოვიდა? საოცარი! თქვენ შეგიძლიათ დაეუფლოთ არითმეტიკული პროგრესიას მეტისთვის მაღალი დონე, მომდევნო გაკვეთილებზე.
ყველაფერი არ გამოვიდა? Არაა პრობლემა. სპეციალურ განყოფილებაში 555, ყველა ეს თავსატეხი დალაგებულია ძვლების მიხედვით.) და, რა თქმა უნდა, მარტივი პრაქტიკული ტექნიკა, რომელიც მაშინვე ხაზს უსვამს ასეთი ამოცანების გადაწყვეტას ნათლად, ნათლად, სრული ხედვით!
სხვათა შორის, მატარებლის შესახებ თავსატეხში არის ორი პრობლემა, რომლებზეც ადამიანები ხშირად აბრკოლებენ. ერთი - წმინდა პროგრესიით, და მეორე - საერთო ნებისმიერი ამოცანისთვის მათემატიკაში და ფიზიკაშიც. ეს არის ზომების თარგმანი ერთიდან მეორეზე. ეს გვიჩვენებს, თუ როგორ უნდა მოგვარდეს ეს პრობლემები.
ამ გაკვეთილზე ჩვენ განვიხილეთ არითმეტიკული პროგრესიის ელემენტარული მნიშვნელობა და მისი ძირითადი პარამეტრები. ეს საკმარისია ამ თემაზე თითქმის ყველა პრობლემის მოსაგვარებლად. დამატება დნომრებზე დაწერეთ სერია, ყველაფერი გადაწყდება.
თითის ხსნარი კარგად მუშაობს სერიის ძალიან მოკლე ნაწილებზე, როგორც ამ გაკვეთილის მაგალითებში. თუ სერია უფრო გრძელია, გამოთვლები უფრო რთული ხდება. მაგალითად, თუ შეკითხვაში მე-9 პრობლემაშია, შეცვალეთ "ხუთი წუთი"ზე "ოცდათხუთმეტი წუთი"პრობლემა კიდევ უფრო გაუარესდება.)
და ასევე არის ამოცანები, რომლებიც არსებითად მარტივია, მაგრამ სრულიად აბსურდული გამოთვლების თვალსაზრისით, მაგალითად:
მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია (a n). იპოვეთ 121, თუ a 1 =3 და d=1/6.
და რა, 1/6-ს ბევრ, ბევრჯერ დავამატებთ?! შესაძლებელია თუ არა თავის მოკვლა!?
შეგიძლია.) თუ არ იცი მარტივი ფორმულა, რომლის მიხედვითაც შეგიძლიათ ასეთი ამოცანების ამოხსნა ერთ წუთში. ეს ფორმულა იქნება მომდევნო გაკვეთილზე. და ეს პრობლემა მოგვარებულია იქ. Ერთ წუთში.)
თუ მოგწონთ ეს საიტი...
სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)
შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)
შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.
ინსტრუქცია
არითმეტიკული პროგრესია არის a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d ფორმის მიმდევრობა. ნომერი d ნაბიჯი პროგრესიები.ცხადია, არითმეტიკის თვითნებური n-ე წევრის ჯამი პროგრესიებიაქვს ფორმა: An = A1+(n-1)d. მაშინ ერთ-ერთი წევრის გაცნობა პროგრესიები, წევრი პროგრესიებიდა ნაბიჯი პროგრესიები, შეიძლება იყოს , ანუ პროგრესირების ტერმინის რიცხვი. ცხადია, ის განისაზღვრება ფორმულით n = (An-A1+d)/d.
დაე, მთვარის ტერმინი ახლა იყოს ცნობილი პროგრესიებიდა კიდევ რამდენიმე წევრი პროგრესიები- n-th, მაგრამ n , როგორც წინა შემთხვევაში, მაგრამ ცნობილია, რომ n და m არ ემთხვევა. ნაბიჯი პროგრესიებიშეიძლება გამოითვალოს ფორმულით: d = (An-Am)/(n-m). შემდეგ n = (An-Am+md)/d.
თუ არითმეტიკის რამდენიმე ელემენტის ჯამი პროგრესიები, ისევე როგორც მისი პირველი და უკანასკნელი , შემდეგ ამ ელემენტების რაოდენობაც შეიძლება განისაზღვროს არითმეტიკის ჯამი პროგრესიებიტოლი იქნება: S = ((A1+An)/2)n. მაშინ n = 2S/(A1+An) არის chdenov პროგრესიები. იმ ფაქტის გამოყენებით, რომ An = A1+(n-1)d, ეს ფორმულა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად: n = 2S/(2A1+(n-1)d). აქედან შეიძლება გამოვხატოთ n ამოხსნით კვადრატული განტოლება.
არითმეტიკული თანმიმდევრობა არის რიცხვების ისეთი დალაგებული ნაკრები, რომლის თითოეული წევრი, გარდა პირველისა, იგივე რაოდენობით განსხვავდება წინადან. ეს მუდმივიეწოდება პროგრესიის განსხვავებას ან მის საფეხურს და შეიძლება გამოითვალოს არითმეტიკული პროგრესიის ცნობილი წევრებიდან.
ინსტრუქცია
თუ პირველი და მეორე ან მეზობელი ტერმინების სხვა წყვილის მნიშვნელობები ცნობილია ამოცანის პირობებიდან, სხვაობის გამოსათვლელად (დ), უბრალოდ გამოვაკლოთ წინა წევრი მომდევნო წევრს. შედეგად მიღებული მნიშვნელობა შეიძლება იყოს დადებითი ან უარყოფითი რიცხვი- ეს დამოკიდებულია იმაზე, იზრდება თუ არა პროგრესი. AT ზოგადი ფორმაჩაწერეთ პროგრესიის მეზობელი წევრების თვითნებური წყვილის (aᵢ და aᵢ₊1) ამონახსნი შემდეგნაირად: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.
ასეთი პროგრესიის წევრების წყვილისთვის, რომელთაგან ერთი არის პირველი (a1), ხოლო მეორე არის ნებისმიერი სხვა თვითნებურად არჩეული, შეიძლება ასევე შექმნას ფორმულა სხვაობის საპოვნელად (d). თუმცა, ამ შემთხვევაში, უნდა იყოს ცნობილი მიმდევრობის თვითნებურად არჩეული წევრის სერიული ნომერი (i). სხვაობის გამოსათვლელად, დაამატეთ ორივე რიცხვი და გაყავით შედეგი თვითნებური წევრის რიგით რიცხვზე, რომელიც შემცირებულია ერთით. ზოგადად, ჩაწერეთ ეს ფორმულა შემდეგნაირად: d = (a1+ aᵢ)/(i-1).
თუ არითმეტიკული პროგრესიის თვითნებური წევრის გარდა რიგითი რიცხვით i, ცნობილია სხვა წევრი რიგითი ნომრით, შეცვალეთ წინა საფეხურის ფორმულა შესაბამისად. ამ შემთხვევაში პროგრესიის სხვაობა (დ) იქნება ამ ორი წევრის ჯამი გაყოფილი მათ განსხვავებაზე სერიული ნომრები: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).
სხვაობის (d) გამოთვლის ფორმულა გარკვეულწილად უფრო რთული ხდება, თუ ამოცანის პირობებში მოცემულია მისი პირველი წევრის (a1) მნიშვნელობა და პირველი წევრების მოცემული რიცხვის (i) ჯამი (Sᵢ). არითმეტიკული თანმიმდევრობა. სასურველი მნიშვნელობის მისაღებად ჯამი გავყოთ მის შედგენილ ტერმინთა რაოდენობაზე, გამოვაკლოთ პირველი რიცხვის მნიშვნელობა მიმდევრობით და გავაორმაგოთ შედეგი. მიღებული მნიშვნელობა გაყავით ტერმინების რაოდენობაზე, რომლებიც შეადგენდნენ ჯამს შემცირებული ერთით. ზოგადად, ჩამოწერეთ დისკრიმინანტის გამოთვლის ფორმულა შემდეგნაირად: d = 2*(Sᵢ/i-a1)/(i-1).
Რა მთავარი აზრიფორმულები?
ეს ფორმულა საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ნებისმიერი მისი ნომრით" n" .
რა თქმა უნდა, თქვენ უნდა იცოდეთ პირველი ტერმინი a 1და პროგრესირების განსხვავება დკარგად, ამ პარამეტრების გარეშე, თქვენ არ შეგიძლიათ ჩამოწეროთ კონკრეტული პროგრესი.
ამ ფორმულის დამახსოვრება (ან მოტყუება) საკმარისი არ არის. საჭიროა მისი არსის ათვისება და ფორმულის გამოყენება სხვადასხვა პრობლემაში. და არ დაგავიწყდეთ შესაფერისი მომენტი, მაგრამ როგორ არ დაივიწყო- Მე არ ვიცი. Და აქ როგორ დაიმახსოვროთსაჭიროების შემთხვევაში, მინიშნებას მოგცემთ. მათთვის, ვინც ბოლომდე ითვისებს გაკვეთილს.)
მაშ ასე, მოდით გაუმკლავდეთ არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულას.
რა არის ფორმულა ზოგადად - წარმოვიდგენთ.) რა არის არითმეტიკული პროგრესია, წევრი რიცხვი, პროგრესიის სხვაობა - ნათლად არის ნათქვამი წინა გაკვეთილზე. გადახედე თუ არ გაქვს წაკითხული. იქ ყველაფერი მარტივია. რჩება იმის გარკვევა, თუ რა მე-n წევრი.
ზოგადად პროგრესია შეიძლება დაიწეროს რიცხვების სერიით:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
a 1- აღნიშნავს არითმეტიკული პროგრესიის პირველ წევრს, a 3- მესამე წევრი a 4- მეოთხე და ასე შემდეგ. თუ ჩვენ გვაინტერესებს მეხუთე ვადა, ვთქვათ, ვმუშაობთ a 5, თუ ას მეოცე - დან 120.
როგორ განვსაზღვროთ ზოგადად ნებისმიერიარითმეტიკული პროგრესიის წევრი, ს ნებისმიერინომერი? Ძალიან მარტივი! Ამგვარად:
a n
სწორედ ეს არის არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრი. n ასოს ქვეშ ყველა წევრის რიცხვი იმალება ერთდროულად: 1, 2, 3, 4 და ა.შ.
და რას გვაძლევს ასეთი ჩანაწერი? უბრალოდ იფიქრეთ, ნომრის ნაცვლად, მათ დაწერეს წერილი ...
ეს ჩანაწერი გვაძლევს ძლიერი ინსტრუმენტიარითმეტიკული პროგრესიით მუშაობა. ნოტაციის გამოყენებით a n, ჩვენ შეგვიძლია სწრაფად ვიპოვოთ ნებისმიერიწევრი ნებისმიერიარითმეტიკული პროგრესია. და მთელი რიგი ამოცანები გადასაჭრელად პროგრესირებაში. შემდგომში ნახავთ.
არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულაში:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრი;
ნ- წევრის ნომერი.
ფორმულა აკავშირებს ნებისმიერი პროგრესირების ძირითად პარამეტრებს: a n ; a 1; დდა ნ. ამ პარამეტრების ირგვლივ, ყველა თავსატეხი პროგრესირებს მოძრაობს.
n-ე ტერმინის ფორმულა ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პროგრესიის დასაწერად. მაგალითად, პრობლემაში შეიძლება ითქვას, რომ პროგრესი მოცემულია პირობით:
a n = 5 + (n-1) 2.
ასეთმა პრობლემამ შეიძლება დააბნიოს კიდეც... არ არსებობს სერია, არანაირი განსხვავება... მაგრამ, მდგომარეობის ფორმულასთან შედარებისას, ადვილი მისახვედრია, რომ ამ პროგრესირებაში a 1 \u003d 5 და d \u003d 2.
და ეს შეიძლება იყოს კიდევ უფრო გაბრაზებული!) თუ ავიღებთ იგივე პირობას: a n = 5 + (n-1) 2,დიახ, გახსენით ფრჩხილები და მიეცით მსგავსი? ჩვენ ვიღებთ ახალ ფორმულას:
an = 3 + 2n.
Ეს არის მხოლოდ არა ზოგადი, არამედ კონკრეტული პროგრესისთვის. სწორედ აქ დევს ხაფანგი. ზოგი ფიქრობს, რომ პირველი ტერმინი არის სამი. მიუხედავად იმისა, რომ სინამდვილეში პირველი წევრი არის ხუთი... ცოტა დაბლა, ჩვენ ვიმუშავებთ ასეთი შეცვლილი ფორმულით.
პროგრესირების ამოცანებში არის კიდევ ერთი აღნიშვნა - a n+1. ეს არის, თქვენ წარმოიდგინეთ, პროგრესიის "n პლუს პირველი" ტერმინი. მისი მნიშვნელობა მარტივი და უვნებელია.) ეს არის პროგრესიის წევრი, რომლის რიცხვი აღემატება n რიცხვს ერთით. მაგალითად, თუ რაიმე პრობლემაში ვიღებთ a nმერე მეხუთე ვადა a n+1მეექვსე წევრი იქნება. და ა.შ.
ყველაზე ხშირად აღნიშვნა a n+1ხდება რეკურსიულ ფორმულებში. ნუ გეშინია ამის საშინელი სიტყვა!) ეს მხოლოდ არითმეტიკული პროგრესიის ტერმინის გამოხატვის საშუალებაა წინას მეშვეობით.დავუშვათ, რომ ამ ფორმით მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია განმეორებითი ფორმულის გამოყენებით:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
მეოთხე - მესამემდე, მეხუთე - მეოთხემდე და ა.შ. და როგორ დავთვალოთ დაუყოვნებლივ, ვთქვათ მეოცე ტერმინი, 20? მაგრამ არავითარ შემთხვევაში!) მიუხედავად იმისა, რომ მე-19 ვადა არ არის ცნობილი, მე-20-ის დათვლა შეუძლებელია. ეს არის ფუნდამენტური განსხვავება რეკურსიულ ფორმულასა და n-ე ტერმინის ფორმულას შორის. რეკურსიული მუშაობს მხოლოდ მეშვეობით წინავადა, ხოლო n-ე ტერმინის ფორმულა - მეშვეობით პირველიდა იძლევა საშუალებას გასწვრივიპოვნეთ რომელიმე წევრი მისი ნომრით. არ ვითვლით რიცხვების მთელ სერიას თანმიმდევრობით.
არითმეტიკული პროგრესიის დროს, რეკურსიული ფორმულა ადვილად გადაიქცევა რეგულარულად. დათვალეთ თანმიმდევრული წყვილი, გამოთვალეთ განსხვავება დ,საჭიროების შემთხვევაში იპოვნეთ პირველი ტერმინი a 1დაწერეთ ფორმულა ჩვეულებრივი ფორმით და იმუშავეთ. GIA– ში ასეთი ამოცანები ხშირად გვხვდება.
არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულის გამოყენება.
დასაწყისისთვის, განიხილეთ პირდაპირი განაცხადიფორმულები. წინა გაკვეთილის ბოლოს იყო პრობლემა:
მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია (a n). იპოვეთ 121, თუ a 1 =3 და d=1/6.
ეს პრობლემა შეიძლება გადაწყდეს ყოველგვარი ფორმულების გარეშე, უბრალოდ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობიდან გამომდინარე. დაამატეთ, დიახ დაამატეთ ... ერთი ან ორი საათი.)
და ფორმულის მიხედვით, გამოსავალს წუთზე ნაკლები დასჭირდება. შეგიძლიათ დრო.) ჩვენ ვწყვეტთ.
პირობები იძლევა ყველა მონაცემს ფორმულის გამოყენებისთვის: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6.გასარკვევია რა ნ.Არაა პრობლემა! ჩვენ უნდა ვიპოვოთ 121. აქ ჩვენ ვწერთ:
Გთხოვთ მიაქციოთ ყურადღება! ინდექსის ნაცვლად ნგამოჩნდა კონკრეტული რიცხვი: 121. რაც სავსებით ლოგიკურია.) ჩვენ გვაინტერესებს არითმეტიკული პროგრესიის წევრი. ნომერი ას ოცდაერთი.ეს იქნება ჩვენი ნ.ეს არის ეს მნიშვნელობა ნ= 121 ჩვენ ჩავანაცვლებთ შემდგომ ფორმულაში, ფრჩხილებში. ჩაანაცვლეთ ყველა რიცხვი ფორმულაში და გამოთვალეთ:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
სულ ეს არის. ისევე სწრაფად შეიძლება იპოვო ხუთას მეათე წევრი და ათას მესამე, ნებისმიერი. ნაცვლად ჩვენ დავაყენებთ ნ სასურველი ნომერიასოს ინდექსში " ა"და ფრჩხილებში და განვიხილავთ.
ნება მომეცით შეგახსენოთ არსი: ეს ფორმულა საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ნებისმიერიარითმეტიკული პროგრესიის ვადა მისი ნომრით" n" .
მოდით, პრობლემა უფრო ჭკვიანურად მოვაგვაროთ. ვთქვათ, გვაქვს შემდეგი პრობლემა:
იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრი (a n), თუ a 17 =-2; d=-0.5.
თუ რაიმე სირთულე გაქვთ, მე შემოგთავაზებთ პირველ ნაბიჯს. ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა!Დიახ დიახ. ჩაწერეთ ხელით, პირდაპირ თქვენს ბლოკნოტში:
| a n = a 1 + (n-1)d |
ახლა კი, ფორმულის ასოებს რომ ვუყურებთ, ვხვდებით, რა მონაცემები გვაქვს და რა აკლია? ხელმისაწვდომია d=-0.5,არის მეჩვიდმეტე წევრი... ყველაფერი? თუ ფიქრობთ, რომ ეს ყველაფერია, მაშინ პრობლემას ვერ გადაჭრით, დიახ...
ნომერიც გვაქვს ნ! მდგომარეობაში a 17 =-2დამალული ორი ვარიანტი.ეს არის როგორც მეჩვიდმეტე წევრის მნიშვნელობა (-2) და მისი რიცხვი (17). იმათ. n=17.ეს „პატარა“ ხშირად სრიალდება თავში და მის გარეშე, („პატარა ნივთის“ გარეშე, არა თავის!) პრობლემის გადაჭრა შეუძლებელია. მიუხედავად იმისა, რომ ... და ასევე თავის გარეშე.)
ახლა ჩვენ შეგვიძლია სულელურად ჩავანაცვლოთ ჩვენი მონაცემები ფორმულაში:
a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)
Კი, a 17ჩვენ ვიცით, რომ ეს არის -2. კარგი, მოდი ჩავდოთ:
-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)
ეს, არსებითად, არის ყველაფერი. რჩება არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრის გამოხატვა ფორმულიდან და გამოთვლა. თქვენ მიიღებთ პასუხს: a 1 = 6.
ასეთი ტექნიკა - ფორმულის დაწერა და უბრალოდ ცნობილი მონაცემების ჩანაცვლება - ბევრს ეხმარება მარტივი დავალებები. რა თქმა უნდა, თქვენ უნდა შეძლოთ ცვლადის გამოხატვა ფორმულიდან, მაგრამ რა უნდა გააკეთოთ!? ამ უნარის გარეშე მათემატიკის შესწავლა საერთოდ არ შეიძლება ...
კიდევ ერთი პოპულარული პრობლემა:
იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა (a n), თუ a 1 =2; a 15 = 12.
Რას ვაკეთებთ? გაგიკვირდებათ, ჩვენ ვწერთ ფორმულას!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
განვიხილოთ ის, რაც ჩვენ ვიცით: a 1 =2; a 15 =12; და (განსაკუთრებული მომენტი!) n=15. თავისუფლად შეგიძლიათ ჩაანაცვლოთ ფორმულაში:
12=2 + (15-1)დ
მოდით გავაკეთოთ არითმეტიკა.)
12=2 + 14დ
დ=10/14 = 5/7
ეს არის სწორი პასუხი.
ასე რომ, ამოცანები a n, a 1და დგადაწყვიტა. რჩება ვისწავლოთ როგორ მოვძებნოთ ნომერი:
რიცხვი 99 არის არითმეტიკული პროგრესიის წევრი (a n), სადაც a 1 =12; d=3. იპოვეთ ამ წევრის ნომერი.
ჩვენ ვცვლით ცნობილ რაოდენობებს n-ე წევრის ფორმულაში:
a n = 12 + (n-1) 3
ერთი შეხედვით, აქ არის ორი უცნობი რაოდენობა: a n და n.მაგრამ a nარის პროგრესის ზოგიერთი წევრი რიცხვით ნ... და პროგრესის ეს წევრი ჩვენ ვიცით! ეს არის 99. ჩვენ არ ვიცით მისი ნომერი. n,ასე რომ, ეს რიცხვიც უნდა მოიძებნოს. ჩაანაცვლეთ პროგრესირების ტერმინი 99 ფორმულაში:
99 = 12 + (n-1) 3
გამოვხატავთ ფორმულიდან ნ, ჩვენ ვფიქრობთ. ვიღებთ პასუხს: n=30.
ახლა კი პრობლემა იმავე თემაზე, მაგრამ უფრო კრეატიული):
დაადგინეთ, იქნება თუ არა რიცხვი 117 არითმეტიკული პროგრესიის წევრი (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
მოდი ისევ დავწეროთ ფორმულა. რა, პარამეტრები არ არის? ჰმ... რატომ გვჭირდება თვალები?) ვხედავთ თუ არა პროგრესის პირველ წევრს? Ჩვენ ვხედავთ. ეს არის -3.6. შეგიძლიათ უსაფრთხოდ დაწეროთ: a 1 \u003d -3.6.განსხვავება დშეიძლება დადგინდეს სერიიდან? ადვილია, თუ იცით, რა განსხვავებაა არითმეტიკული პროგრესიის შორის:
d = -2.4 - (-3.6) = 1.2
დიახ, ჩვენ გავაკეთეთ უმარტივესი რამ. რჩება უცნობ რიცხვთან გამკლავება ნდა გაუგებარი რიცხვი 117. წინა პრობლემაში მაინც იყო ცნობილი, რომ სწორედ პროგრესიის ტერმინი იყო მოცემული. მაგრამ აქ ჩვენ არც კი ვიცით, რომ ... როგორ ვიყოთ!? აბა, როგორ ვიყო, როგორ ვიყო... ჩართე შემოქმედებითი უნარები!)
ჩვენ დავუშვათრომ 117 ბოლოს და ბოლოს ჩვენი პროგრესიის წევრია. უცნობი ნომრით ნ. და, ისევე როგორც წინა პრობლემაში, ვცადოთ ამ ნომრის პოვნა. იმათ. ჩვენ ვწერთ ფორმულას (დიახ-დიახ!)) და ვცვლით ჩვენს ნომრებს:
117 = -3.6 + (n-1) 1.2
ისევ გამოვხატავთ ფორმულიდანნ, ვითვლით და ვიღებთ:
უი! ნომერი აღმოჩნდა წილადი!ასთერთნახევარი. და წილადი რიცხვები პროგრესირებაში შეუძლებელია იყოს.რა დასკვნას ვაკეთებთ? დიახ! ნომერი 117 არ არისჩვენი პროგრესის წევრი. ის არის სადღაც 101-ე და 102-ე წევრებს შორის. თუ რიცხვი ბუნებრივი აღმოჩნდა, ე.ი. დადებითი მთელი რიცხვი, მაშინ რიცხვი იქნება პროგრესიის წევრი ნაპოვნი რიცხვით. და ჩვენს შემთხვევაში, პრობლემის პასუხი იქნება: არა.
დავალება GIA-ს რეალურ ვერსიაზე დაფუძნებული:
არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობით:
a n \u003d -4 + 6.8n
იპოვეთ პროგრესიის პირველი და მეათე წევრი.
აქ პროგრესი უჩვეულო გზით არის დაყენებული. რაღაცნაირი ფორმულა... ეს ხდება.) თუმცა ეს ფორმულა (როგორც ზემოთ დავწერე) - ასევე არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა!ის ასევე საშუალებას აძლევს იპოვნეთ პროგრესიის რომელიმე წევრი მისი რიცხვით.
ჩვენ ვეძებთ პირველ წევრს. ვინც ფიქრობს. რომ პირველი ტერმინი არის მინუს ოთხი, სასიკვდილოდ ცდება!) რადგან პრობლემაში ფორმულა შეცვლილია. მასში არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრი დამალული.არაფერი, ჩვენ ახლა ვიპოვით.)
ისევე, როგორც წინა ამოცანებში, ჩვენ ვანაცვლებთ n=1 in ეს ფორმულა:
a 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8
Აქ! პირველი წევრი არის 2.8 და არა -4!
ანალოგიურად, ჩვენ ვეძებთ მეათე ტერმინს:
a 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64
სულ ეს არის.
ახლა კი მათთვის, ვინც წაიკითხა ეს სტრიქონები, დაპირებული ბონუსი.)
დავუშვათ, რთულ საბრძოლო ვითარებაში, GIA ან ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა, დაგავიწყდათ სასარგებლო ფორმულაარითმეტიკული პროგრესიის მე-n წევრი. რაღაც მახსენდება, მაგრამ რატომღაც გაურკვეველია... თუ არა ნიქ, ან n+1, ან n-1...Როგორ უნდა იყოს!?
დამშვიდდი! ეს ფორმულა ადვილად გამოსაყვანია. არ არის ძალიან მკაცრი, მაგრამ დარწმუნებული უნდა იყოს და სწორი გადაწყვეტილებასაკმარისია!) დასკვნისთვის საკმარისია გავიხსენოთ არითმეტიკული პროგრესიის ელემენტარული მნიშვნელობა და გამოვყოთ დრო რამდენიმე წუთის განმავლობაში. თქვენ უბრალოდ უნდა დახატოთ სურათი. სიცხადისთვის.
ჩვენ ვხატავთ რიცხვითი ღერძიდა მონიშნეთ მასზე პირველი. მეორე, მესამე და ა.შ. წევრები. და გაითვალისწინეთ განსხვავება დწევრებს შორის. Ამგვარად:
ვუყურებთ სურათს და ვფიქრობთ: რის ტოლია მეორე წევრი? მეორე ერთი დ:
ა 2 =a 1 + 1 დ
რა არის მესამე ვადა? Მესამევადა უდრის პირველ ტერმინს პლუსს ორი დ.
ა 3 =a 1 + 2 დ
გესმის? ტყუილად არ გამოვყოფ ზოგიერთ სიტყვას თამამად. კარგი, კიდევ ერთი ნაბიჯი.)
რა არის მეოთხე ტერმინი? მეოთხევადა უდრის პირველ ტერმინს პლუსს სამი დ.
ა 4 =a 1 + 3 დ
დროა გავაცნობიეროთ, რომ ხარვეზების რაოდენობა, ე.ი. დ, ყოველთვის ერთით ნაკლები იმ წევრის რაოდენობაზე, რომელსაც ეძებთ ნ. ანუ რიცხვამდე n, ხარვეზების რაოდენობანება n-1.ასე რომ, ფორმულა იქნება (არჩევნები არ არის!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
ზოგადად, ვიზუალური სურათები ძალიან გვეხმარება მათემატიკაში მრავალი პრობლემის გადაჭრაში. ნუ უგულებელყოფთ სურათებს. მაგრამ თუ ძნელია სურათის დახატვა, მაშინ ... მხოლოდ ფორმულა!) გარდა ამისა, n-ე ტერმინის ფორმულა საშუალებას გაძლევთ დაუკავშიროთ მათემატიკის მთელი მძლავრი არსენალი ამოხსნას - განტოლებები, უტოლობა, სისტემები და ა.შ. სურათს განტოლებაში ვერ ჩასვამ...
ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების მისაღებად.
გასათბობად:
1. არითმეტიკული პროგრესიაში (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. იპოვეთ 3.
მინიშნება: სურათის მიხედვით პრობლემა წყდება 20 წამში... ფორმულის მიხედვით უფრო რთული გამოდის. მაგრამ ფორმულის დაუფლებისთვის ის უფრო გამოდგება.) 555-ე ნაწილში ეს პრობლემა მოგვარებულია როგორც სურათით, ასევე ფორმულით. Იგრძენი განსხვავება!)
და ეს აღარ არის დათბობა.)
2. არითმეტიკული პროგრესიით (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. იპოვე 3.
რა, უხალისობა ნახატის დახატვაზე?) მაინც! ფორმულაში ჯობია, კი...
3. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობით:a 1 \u003d -5.5; a n+1 = a n +0.5. იპოვეთ ამ პროგრესიის ას ოცდამეხუთე წევრი.
ამ ამოცანაში პროგრესი მოცემულია განმეორებითი გზით. ოღონდ ას ოცდამეხუთე ტერმინამდე დათვლა... ყველას არ შეუძლია ასეთი სიკეთის გაკეთება.) მაგრამ n-ე ტერმინის ფორმულა ყველას ძალაშია!
4. მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
იპოვეთ პროგრესიის უმცირესი დადებითი წევრის რიცხვი.
5. მე-4 დავალების პირობის მიხედვით იპოვეთ პროგრესიის უმცირესი დადებითი და უდიდესი უარყოფითი წევრების ჯამი.
6. მზარდი არითმეტიკული პროგრესიის მეხუთე და მეთორმეტე წევრთა ნამრავლი არის -2,5, ხოლო მესამე და მეთერთმეტე წევრთა ჯამი არის ნული. იპოვნეთ 14.
არ არის უმარტივესი ამოცანა, დიახ ...) აქ მეთოდი "თითებზე" არ იმუშავებს. თქვენ უნდა დაწეროთ ფორმულები და ამოხსნათ განტოლებები.
პასუხები (არეულად):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
მოხდა? Კარგია!)
ყველაფერი არ გამოდის? Ხდება ხოლმე. სხვათა შორის, ში ბოლო დავალებაარის ერთი დახვეწილი წერტილი. საჭიროა ყურადღება პრობლემის კითხვისას. და ლოგიკა.
ყველა ამ პრობლემის გადაწყვეტა დეტალურად არის განხილული 555-ე განყოფილებაში. მეოთხე ფენტეზის ელემენტი და მეექვსესთვის დახვეწილი მომენტი და ზოგადი მიდგომები ნებისმიერი ამოცანის გადაჭრისთვის მე-n ტერმინის ფორმულისთვის - ყველაფერი დახატულია. გირჩევთ.
თუ მოგწონთ ეს საიტი...
სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)
შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)
შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.
ჩვენი გაკვეთილის დევიზი იქნება რუსი მათემატიკოსის ვ.პ. ერმაკოვა: ”მათემატიკაში უნდა გვახსოვდეს არა ფორმულები, არამედ აზროვნების პროცესები.”
გაკვეთილების დროს
პრობლემის ფორმულირება
დაფაზე არის გაუსის პორტრეტი. მასწავლებელი ან მოსწავლე, რომელსაც წინასწარ დაევალა შეტყობინების მომზადება, ამბობს, რომ როდესაც გაუსი სკოლაში იყო, მასწავლებელმა სთხოვა მოსწავლეებს, დაემატებინათ ყველაფერი. მთელი რიცხვები 1-დან 100-მდე. პატარა გაუსმა ეს პრობლემა ერთ წუთში გადაჭრა.
Კითხვა . როგორ მიიღო გაუსმა პასუხი?
გადაწყვეტილებების ძიება
მოსწავლეები გამოთქვამენ თავიანთ ვარაუდებს, შემდეგ აჯამებენ: ხვდებიან, რომ ჯამები 1 + 100, 2 + 99 და ა.შ. ტოლია, გაუსმა გაამრავლა 101 50-ზე, ანუ ასეთი ჯამების რაოდენობაზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მან შენიშნა ნიმუში, რომელიც თანდაყოლილია არითმეტიკული პროგრესიისთვის.
ჯამის ფორმულის გამოყვანა ნარითმეტიკული პროგრესიის პირველი პირები
ჩაწერეთ გაკვეთილის თემა დაფაზე და რვეულებში. მოსწავლეები მასწავლებელთან ერთად წერენ ფორმულის წარმოშობას:
დაე იყოს ა 1 ; ა 2 ; ა 3 ; ა 4 ; ...; a n – 2 ; a n – 1 ; a n- არითმეტიკული პროგრესია.
პირველადი დამაგრება
1. ფორმულის გამოყენებით (1) ამოვხსნათ გაუსის პრობლემა:
2. (1) ფორმულით ამოცანების ამოხსნა ზეპირად (მათი პირობები იწერება დაფაზე ან კოდი დადებითი), ( a n) - არითმეტიკული პროგრესია:
ა) ა 1 = 2, ა 10 = 20. ს 10 - ?
ბ) ა 1 = –5, ა 7 = 1. ს 7 - ? [–14]
in) ა 1 = –2, ა 6 = –17. ს 6 - ? [–57]
გ) ა 1 = –5, ა 11 = 5. ს 11 - ?
3. დაასრულეთ დავალება.
მოცემულია :( a n) - არითმეტიკული პროგრესია;
ა 1 = 3, ა 60 = 57.
Პოვნა: ს 60 .
გადაწყვეტილება. გამოვიყენოთ ჯამის ფორმულა ნარითმეტიკული პროგრესიის პირველი პირები
უპასუხე: 1800.
დამატებითი კითხვა.რამდენი სახის სხვადასხვა პრობლემის გადაჭრა შეიძლება ამ ფორმულით?
უპასუხე. ოთხი ტიპის დავალება:
იპოვეთ თანხა S n;
იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრი ა 1 ;
Პოვნა ნ- არითმეტიკული პროგრესიის მე-ე წევრი a n;
იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის წევრების რაოდენობა.
4. დაასრულეთ დავალება: No369(ბ).
იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის სამოცდამეერთე წევრთა ჯამი ( a n), თუ ა 1 = –10,5, ა 60 = 51,5.
გადაწყვეტილება. 
უპასუხე: 1230.
დამატებითი კითხვა. ჩამოწერეთ ფორმულა ნარითმეტიკული პროგრესიის ე წევრი.
უპასუხე: a n = ა 1 + დ(ნ – 1).
5. გამოთვალეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი ცხრა წევრის ფორმულა ( ბ ნ),
თუ ბ 1 = –17, დ =
6.
შესაძლებელია თუ არა დაუყოვნებლივ გამოთვლა ფორმულის გამოყენებით?
არა, რადგან მეცხრე ტერმინი უცნობია.
როგორ მოვძებნოთ?
ფორმულის მიხედვით ნარითმეტიკული პროგრესიის ე წევრი.
გადაწყვეტილება. ბ 9 = ბ 1 + 8დ = –17 + 8∙6 = 31;
უპასუხე: 63.
Კითხვა. შესაძლებელია თუ არა ჯამის პოვნა პროგრესიის მეცხრე წევრის გამოთვლის გარეშე?
პრობლემის ფორმულირება
პრობლემა: მიიღეთ ჯამის ფორმულა ნარითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრები, მისი პირველი წევრის და სხვაობის ცოდნა დ.
(ფორმულის გამოტანა დაფაზე მოსწავლის მიერ.)
გადაწყვეტილება No371(ა) შესახებ ახალი ფორმულა (2):
ფორმულების სიტყვიერად გაერთიანება (2) ( დავალების პირობები იწერება დაფაზე).
(a n
1. ა 1 = 3, დ = 4. ს 4 - ?
2. ა 1 = 2, დ = –5. ს 3 - ? [–9]
დაუსვით მოსწავლეებს რა კითხვები არ ესმით.
დამოუკიდებელი მუშაობა
ვარიანტი 1
მოცემული: (a n) არის არითმეტიკული პროგრესია.1. ა 1 = –3, ა 6 = 21. ს 6 - ?
2. ა 1 = 6, დ = –3. ს 4 - ?
ვარიანტი 2
მოცემული: (a n) არის არითმეტიკული პროგრესია.
1.ა 1 = 2, ა 8 = –23. ს 8 - ? [–84]
2.ა 1 = –7, დ = 4. ს 5 - ?
მოსწავლეები ცვლიან რვეულებს და ამოწმებენ ერთმანეთის გადაწყვეტილებებს.
დამოუკიდებელი მუშაობის შედეგებზე დაყრდნობით მასალის ათვისების შეჯამება.
