O fato de muitos raízes quadradas estão números irracionais, não diminui seu significado, em particular, o número $\sqrt2$ é muito usado em vários cálculos científicos e de engenharia. Este número pode ser calculado com a precisão necessária em cada caso específico. Você pode obter esse número com quantas casas decimais você tiver paciência.
Por exemplo, o número $\sqrt2$ pode ser determinado com seis casas decimais: $\sqrt2=1.414214$. Este valor não é muito diferente do valor real, porque $ 1,414214 \times 1,414214=2,000001237796$. Esta resposta difere de 2 por pouco mais de um milionésimo. Portanto, o valor de $\sqrt2$, igual a $1,414214$, é considerado bastante aceitável para a solução da maioria tarefas práticas. No caso em que é necessária maior precisão, não é difícil obter tantos algarismos significativos após o ponto decimal, conforme necessário neste caso.
No entanto, se você mostrar rara teimosia e tentar extrair Raiz quadrada do número $\sqrt2$ até atingir o resultado exato, você nunca terminará seu trabalho. É um processo sem fim. Não importa quantas casas decimais você tenha, sempre haverá mais algumas.
Este fato pode surpreendê-lo tanto quanto transformar $\frac13$ em um decimal infinito $0,333333333…$ e assim por diante infinitamente ou transformar $\frac17$ em $0,142857142857142857…$ e assim por diante infinitamente. À primeira vista, pode parecer que essas raízes quadradas infinitas e irracionais são fenômenos da mesma ordem, mas não é bem assim. Afinal, essas frações infinitas têm um equivalente fracionário, enquanto $\sqrt2$ não tem tal equivalente. E por que, exatamente? A questão é que o equivalente decimal de $\frac13$ e $\frac17$, bem como um número infinito outras frações são periódicas frações finitas.
Ao mesmo tempo, o equivalente decimal de $\sqrt2$ é uma fração não periódica. Esta afirmação também é verdadeira para qualquer número racional.
O problema é que qualquer decimal que seja uma aproximação da raiz quadrada de 2 é não fração periódica . Não importa o quanto avancemos nos cálculos, qualquer fração que obtivermos será não periódica.
Imagina uma fração grande quantidade dígitos não periódicos após o ponto decimal. Se, de repente, após o milionésimo dígito, toda a sequência de casas decimais for repetida, então decimal- periódico e para ele existe um equivalente na forma de uma razão de números inteiros. Se uma fração com um grande número (bilhões ou milhões) de casas decimais não periódicas em algum ponto tiver uma série infinita de dígitos repetidos, por exemplo $…55555555555…$, isso também significa que essa fração é periódica e existe um equivalente para ele na forma de uma razão de números inteiros.
No entanto, no caso de seus equivalentes decimais são completamente não periódicos e não podem se tornar periódicos.
Claro, você pode perguntar próxima questão: “E quem pode saber e dizer com certeza o que acontece com uma fração, digamos, depois de um trilhão de sinais? Quem pode garantir que a fração não se tornará periódica? Existem maneiras de provar irrefutavelmente que os números irracionais não são periódicos, mas tais provas requerem um aparato matemático complexo. Mas se de repente descobrisse que Número irracional torna-se fração periódica, isso significaria um colapso completo das fundações ciências matemáticas. E, de fato, isso dificilmente é possível. Isso não é apenas para você jogar de um lado para o outro, há uma teoria matemática complexa aqui.
Que se eles conhecem a teoria das séries, então, sem ela, nenhum conceito metamático pode ser introduzido. Além disso, essas pessoas acreditam que quem não usa em todos os lugares é ignorante. Deixemos as opiniões dessas pessoas à sua consciência. Vamos entender melhor o que é uma fração periódica infinita e como lidar com ela para nós, pessoas incultas que não conhecem limites.
Divida 237 por 5. Não, você não precisa executar a Calculadora. Vamos lembrar melhor do ensino médio (ou mesmo fundamental?) e apenas dividir a coluna:
Bem, você se lembra? Então você pode começar a trabalhar.
O conceito de "fração" em matemática tem dois significados:
- Não inteiro.
- Forma de notação de um número não inteiro.
- Simples (ou vertical) frações como 1/2 ou 237/5.
- Decimais, como 0,5 ou 47,4.
Na matemática, em geral, desde tempos imemoriais, uma conta decimal é aceita e, portanto, as frações decimais são mais convenientes do que as simples, ou seja, uma fração com denominador decimal(Vladimir Dal. Dicionário vivo Grande idioma russo. "Dez").E se sim, então eu quero fazer qualquer fração vertical decimal (“horizontal”). E para isso você só precisa dividir o numerador pelo denominador. Tome, por exemplo, a fração 1/3 e tente torná-la um decimal.
Mesmo uma pessoa completamente sem instrução vai notar: não importa quanto tempo leve, eles não vão se separar: é assim que os triplos aparecerão indefinidamente. Então vamos anotar: 0,33... Queremos dizer "o número que se obtém quando você divide 1 por 3", ou, resumindo, "um terço". Naturalmente, um terço é uma fração no primeiro sentido da palavra, e "1/3" e "0,33 ..." são frações no segundo sentido da palavra, ou seja, formulários de registro um número que está na reta numérica a uma distância tal de zero que, se você adiar três vezes, obtém um.
Agora vamos tentar dividir 5 por 6:
Vamos anotar novamente: 0,833... Queremos dizer "o número que se obtém quando você divide 5 por 6", ou, resumindo, "cinco sextos". No entanto, a confusão surge aqui: significa 0,83333 (e então as triplas são repetidas), ou 0,833833 (e então 833 é repetido). Portanto, o registro com reticências não nos convém: não está claro de onde começa a parte repetitiva (é chamada de “período”). Portanto, tomaremos o período entre parênteses, assim: 0, (3); 0,8(3).
0,(3) não apenas é igual a um terço é há um terço, porque criamos especificamente essa notação para representar esse número na forma fração decimal.
Essa entrada é chamada uma fração periódica infinita, ou apenas uma fração periódica.
Sempre que dividimos um número por outro, se não obtivermos uma fração finita, obteremos uma fração periódica infinita, ou seja, em algum momento as sequências de números começarão a se repetir. Por que isso é assim pode ser entendido puramente especulativamente, observando cuidadosamente o algoritmo de divisão por uma coluna:
Em locais marcados com marcas de seleção, eles não podem ser obtidos o tempo todo casais diferentes números (porque há, em princípio, um conjunto finito de tais pares). E assim que esse par aparecer lá, que já existia, a diferença também será a mesma - e todo o processo começará a se repetir. Não há necessidade de verificar isso, porque é bastante óbvio que quando as mesmas ações são repetidas, os resultados serão os mesmos.
Agora que entendemos bem essência fração periódica, vamos tentar multiplicar um terço por três. Sim, é claro que será um, mas vamos escrever essa fração na forma decimal e multiplicar por uma coluna (a ambiguidade devido às reticências não surge aqui, pois todos os números após o ponto decimal são os mesmos):
E novamente notamos que noves, noves e noves aparecerão após o ponto decimal o tempo todo. Ou seja, usando, inversamente, a notação de colchetes, obtemos 0, (9). Como sabemos que o produto de um terço por três é uma unidade, então 0, (9) é uma forma tão bizarra de escrever uma unidade. No entanto, não é aconselhável usar esta forma de notação, pois a unidade é escrita perfeitamente sem usar um ponto, assim: 1.
Como você pode ver, 0,(9) é um daqueles casos em que um inteiro é escrito como uma fração, como 3/3 ou 7,0. Ou seja, 0, (9) é uma fração apenas no segundo sentido da palavra, mas não no primeiro.
Então, sem limites e linhas, descobrimos o que é 0, (9) e como lidar com isso.
Mas ainda lembre-se que na verdade somos análise inteligente e estudada. De fato, é difícil negar que:
Mas, talvez, ninguém discuta com o fato de que:
Tudo isso, é claro, é verdade. De fato, 0,(9) é a soma da série reduzida e o seno dobrado do ângulo indicado, e Logaritmo natural Números de Euler.
Mas nem um, nem outro, nem o terceiro é uma definição.
Dizer que 0,(9) é a soma da série infinita 9/(10 n), quando n é maior que um, é o mesmo que dizer que o seno é a soma da série infinita de Taylor:
Isso é muito bem, e isso é fato importante para matemática computacional, mas isso não é uma definição e, mais importante, não aproxima uma pessoa da compreensão essência seio. A essência do seno de um certo ângulo é que ele é apenas atitude canto oposto cateter para a hipotenusa.
Bem, a fração periódica é apenas fração decimal que resulta quando ao dividir por uma coluna o mesmo conjunto de números será repetido. Não há nenhuma análise aqui.
E aqui surge a pergunta: onde geralmente pegamos o número 0,(9)? O que dividimos por uma coluna para obtê-lo? De fato, não existem tais números, ao dividir um pelo outro em uma coluna, teríamos noves infinitamente aparecendo. Mas conseguimos obter esse número multiplicando a coluna 0, (3) por 3? Na verdade. Afinal, você precisa multiplicar da direita para a esquerda para levar em conta corretamente as transferências de dígitos, e fizemos isso da esquerda para a direita, aproveitando habilmente o fato de que as transferências não ocorrem em qualquer lugar. Portanto, a legitimidade de escrever 0,(9) depende de reconhecermos ou não a legitimidade de tal multiplicação por coluna.
Portanto, pode-se geralmente dizer que a notação 0,(9) está incorreta - e até certo ponto estar certa. No entanto, uma vez que a notação a ,(b ) é aceita, é feio descartá-la quando b = 9; é melhor decidir o que esse registro significa. Então, se aceitarmos a notação 0,(9), então essa notação, é claro, significa o número um.
Resta apenas acrescentar que, se usássemos, digamos, um sistema de numeração ternário, ao dividir uma coluna de unidade (1 3) por um triplo (10 3), obteríamos 0,1 3 (lemos “zero vírgula um terço”) , e ao dividir 1 por 2 seria 0,(1) 3 .
Assim, a periodicidade do registro fracionário não é uma característica objetiva do número fracionário, mas apenas por efeito usando um ou outro sistema de numeração.
Como se sabe, o conjunto dos números racionais (Q) inclui os conjuntos dos inteiros (Z), que por sua vez inclui o conjunto dos números naturais (N). Além dos números inteiros, os números racionais incluem frações.
Por que, então, todo o conjunto de números racionais às vezes é considerado como frações periódicas decimais infinitas? Afinal, além de frações, eles incluem números inteiros, bem como frações não periódicas.
O fato é que todos os inteiros, assim como qualquer fração, podem ser representados como uma fração decimal periódica infinita. Ou seja, para todos os números racionais, você pode usar a mesma notação.
Como um decimal periódico infinito é representado? Nele, um grupo repetido de números após o ponto decimal é colocado entre colchetes. Por exemplo, 1,56(12) é uma fração na qual o grupo de dígitos 12 é repetido, ou seja, a fração tem um valor de 1,561212121212... e assim por diante sem fim. Um grupo repetido de dígitos é chamado de ponto.
No entanto, nesta forma, podemos representar qualquer número se considerarmos o número 0 como seu período, que também se repete sem fim. Por exemplo, o número 2 é o mesmo que 2,00000.... Portanto, pode ser escrito como uma fração periódica infinita, ou seja, 2,(0).
O mesmo pode ser feito com qualquer fração finita. Por exemplo:
0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)
No entanto, na prática, a transformação de uma fração finita em uma fração periódica infinita não é utilizada. Portanto, frações finitas e frações periódicas infinitas são separadas. Assim, é mais correto dizer que os números racionais incluem
- todos os inteiros,
- frações finais,
- infinitas frações periódicas.
Ao mesmo tempo, eles simplesmente lembram que inteiros e frações finitas podem ser representados em teoria como frações periódicas infinitas.
Por outro lado, os conceitos de frações finitas e infinitas são aplicáveis às frações decimais. Se falamos de frações ordinárias, então frações decimais finitas e infinitas podem ser representadas exclusivamente como uma fração ordinária. Assim, do ponto de vista das frações ordinárias, frações periódicas e finitas são uma e a mesma. Além disso, os números inteiros também podem ser representados como uma fração comum se imaginarmos que dividimos esse número por 1.
Como representar uma fração periódica infinita decimal na forma de uma ordinária? O algoritmo mais utilizado é:
- Eles trazem a fração para a forma para que após a vírgula haja apenas um ponto.
- Multiplique uma fração periódica infinita por 10 ou 100 ou ... para que a vírgula se mova para a direita por um ponto (ou seja, um ponto está na parte inteira).
- A fração original (a) é igualada à variável x, e a fração (b) obtida pela multiplicação pelo número N é igual a Nx.
- Subtraia x de Nx. Subtraia a de b. Ou seja, eles compõem a equação Nx - x \u003d b - a.
- Ao resolver a equação, verifica-se fração comum.
Um exemplo de conversão de uma fração decimal periódica infinita em uma fração ordinária:
x = 1,13333...
10x = 11,3333...
10x * 10 = 11,33333... * 10
100x = 113,3333...
100x – 10x = 113,3333... – 11,3333...
90x=102
x=
Há outra representação do número racional 1/2, diferente das representações da forma 2/4, 3/6, 4/8, etc. Queremos dizer a representação como uma fração decimal de 0,5. Algumas frações têm representações decimais finitas, por exemplo,
enquanto as representações decimais de outras frações são infinitas:
Esses decimais infinitos podem ser obtidos a partir das frações racionais correspondentes, dividindo o numerador pelo denominador. Por exemplo, no caso da fração 5/11, dividindo 5.000... por 11 dá 0.454545...
Que frações racionais têm representações decimais finitas? Antes de responder a esta pergunta no caso geral, considere exemplo específico. Tome, digamos, a fração decimal final 0,8625. Nós sabemos isso
e que qualquer decimal finito pode ser escrito como um decimal racional com denominador igual a 10, 100, 1000 ou alguma outra potência de 10.
Reduzindo a fração à direita a uma fração irredutível, obtemos
O denominador 80 é obtido dividindo 10.000 por 125 - o maior divisor comum 10 000 e 8625. Assim, na expansão para fatores primos os números 80, como os números 10.000, incluem apenas dois fatores primos: 2 e 5. Se começarmos não com 0,8625, mas com qualquer outra fração decimal finita, então a fração racional irredutível resultante também teria essa propriedade. Em outras palavras, a decomposição do denominador b em fatores primos só poderia incluir números primos 2 e 5, pois b é um divisor de alguma potência de 10, e . Esta circunstância acaba por ser decisiva, a saber, vale a seguinte afirmação geral:
Uma fração racional irredutível tem uma representação decimal finita se e somente se o número b não tem divisores primos, pessoal de 2 e 5.
Observe que neste caso b não precisa ter 2 e 5 entre seus divisores primos: ele pode ser divisível por apenas um deles ou não divisível por eles. Por exemplo,
aqui b é igual a 25, 16 e 1, respectivamente. O essencial é que b não tenha outros divisores além de 2 e 5.
A frase acima contém uma expressão se e somente se. Até agora, provamos apenas a parte que se aplica ao volume de negócios só então. Fomos nós que mostramos que a expansão de um número racional em uma fração decimal só será finita se b não tiver divisores primos além de 2 e 5.
(Em outras palavras, se b é divisível por um número primo diferente de 2 e 5, então fração irredutível não tem uma expressão decimal à direita.)
A parte da sentença que se refere à palavra então afirma que se o inteiro b não tiver outros divisores primos f além de 2 e 5, então uma fração racional irredutível pode ser representada por uma fração decimal finita. Para provar isso, devemos tomar um irredutível arbitrário fração racional, para o qual b não tem outros divisores primos exceto 2 e 5, e certifique-se de que a fração decimal correspondente seja finita. Vamos considerar um exemplo primeiro. Deixe ser
Para obter uma expansão decimal, convertemos essa fração em uma fração cujo denominador é uma potência inteira de dez. Isso pode ser obtido multiplicando o numerador e o denominador por:
A discussão acima pode ser estendida para caso Geral Da seguinte maneira. Suponha que b é da forma , onde o tipo é inteiros não negativos (ou seja, números positivos ou zero). Dois casos são possíveis: menor ou igual (esta condição é escrita ), ou maior (que é escrita ). Quando multiplicamos o numerador e o denominador da fração por
Ja entrou escola primaria os alunos estão lidando com frações. E então eles aparecem em todos os tópicos. É impossível esquecer ações com esses números. Portanto, você precisa conhecer todas as informações sobre frações ordinárias e decimais. Esses conceitos são simples, o principal é entender tudo em ordem.
Por que as frações são necessárias?
O mundo ao nosso redor consiste em objetos inteiros. Portanto, não há necessidade de ações. Mas vida cotidiana constantemente empurra as pessoas para trabalhar com partes de objetos e coisas.
Por exemplo, o chocolate consiste em várias fatias. Considere a situação em que seu ladrilho é formado por doze retângulos. Se você dividi-lo em dois, você obtém 6 partes. Será bem dividido em três. Mas os cinco não poderão dar um número inteiro de fatias de chocolate.
A propósito, essas fatias já são frações. E sua divisão adicional leva ao aparecimento de números mais complexos.
O que é uma "fração"?
Este é um número que consiste em partes de um. Externamente, parece dois números separados por uma barra ou horizontal. Esse recurso é chamado de fracionário. O número escrito na parte superior (esquerda) é chamado de numerador. O que está na parte inferior (direita) é o denominador.
Na verdade, a barra fracionária acaba sendo um sinal de divisão. Ou seja, o numerador pode ser chamado de dividendo e o denominador pode ser chamado de divisor.
Quais são as frações?
Em matemática, existem apenas dois tipos deles: frações ordinárias e decimais. As crianças em idade escolar são apresentadas pela primeira vez escola primaria, chamando-os simplesmente de "frações". O segundo aprende na 5ª série. É quando esses nomes aparecem.
Frações comuns são todas aquelas que são escritas como dois números separados por uma barra. Por exemplo, 4/7. Decimal é um número em que a parte fracionária tem uma notação posicional e é separada do inteiro por uma vírgula. Por exemplo, 4.7. Os alunos precisam deixar claro que os dois exemplos dados são números completamente diferentes.
Cada fração simples pode ser escrito como um decimal. Esta afirmação é quase sempre verdadeira em direção oposta. Existem regras que permitem escrever uma fração decimal como uma fração ordinária.
Que subespécies esses tipos de frações têm?
Melhor começar em ordem cronológica como estão sendo estudados. As frações comuns vêm primeiro. Entre eles, 5 subespécies podem ser distinguidas.
Correto. Seu numerador é sempre menor que o denominador.
Errado. Seu numerador é maior ou igual ao denominador.
Redutível / irredutível. Pode ser certo ou errado. Outra coisa é importante, se o numerador e o denominador têm fatores comuns. Se houver, eles devem dividir ambas as partes da fração, ou seja, reduzi-la.
Misturado. Um inteiro é atribuído à sua parte fracionária correta (incorreta) usual. E sempre fica à esquerda.
Composto. É formado por duas frações divididas entre si. Ou seja, tem três características fracionárias ao mesmo tempo.
Decimais têm apenas duas subespécies:
final, ou seja, aquele em que a parte fracionária é limitada (tem fim);
infinito - um número cujos dígitos após o ponto decimal não terminam (eles podem ser escritos infinitamente).
Como converter decimal para ordinário?
Se este é um número finito, então uma associação baseada na regra é aplicada - como ouço, então escrevo. Ou seja, você precisa lê-lo corretamente e anotá-lo, mas sem vírgula, mas com uma linha fracionária.
Como uma dica sobre o denominador necessário, lembre-se de que é sempre um e alguns zeros. Este último precisa ser escrito tantos quanto os dígitos na parte fracionária do número em questão.
Como converter frações decimais em ordinárias se sua parte inteira estiver faltando, ou seja, igual a zero? Por exemplo, 0,9 ou 0,05. Depois de aplicar a regra especificada, você precisa escrever zero inteiros. Mas não é indicado. Resta escrever apenas as partes fracionárias. Para o primeiro número, o denominador será 10, para o segundo - 100. Ou seja, os exemplos indicados terão como respostas os números: 9/10, 5/100. Além disso, o último acaba sendo possível reduzir por 5. Portanto, o resultado para ele deve ser escrito 1/20.
Como fazer uma fração ordinária de um decimal se sua parte inteira for diferente de zero? Por exemplo, 5,23 ou 13,00108. Ambos os exemplos lêem a parte inteira e escrevem seu valor. No primeiro caso, isso é 5, no segundo, 13. Então você precisa passar para a parte fracionária. Com eles é necessário realizar a mesma operação. O primeiro número tem 23/100, o segundo tem 108/100000. O segundo valor precisa ser reduzido novamente. A resposta é assim frações mistas: 5 23/100 e 13 27/25000.
Como converter um decimal infinito em uma fração comum?
Se não for periódico, essa operação não poderá ser realizada. Este fato se deve ao fato de que cada fração decimal é sempre convertida em final ou periódica.
A única coisa que se pode fazer com essa fração é arredondá-la. Mas então o decimal será aproximadamente igual a esse infinito. Já pode ser transformado em um comum. Mas o processo inverso: converter para decimal - nunca dará o valor inicial. Ou seja, infinitas frações não periódicas não são traduzidas em frações ordinárias. Isso deve ser lembrado.
Como escrever uma fração periódica infinita na forma de uma ordinária?
Nesses números, sempre aparecem um ou mais dígitos após a vírgula, que se repetem. Eles são chamados de períodos. Por exemplo, 0,3(3). Aqui "3" no período. Eles são classificados como racionais, pois podem ser convertidos em frações ordinárias.
Quem já encontrou frações periódicas sabe que elas podem ser puras ou mistas. No primeiro caso, o ponto começa imediatamente a partir da vírgula. No segundo, a parte fracionária começa com qualquer número e, em seguida, começa a repetição.
A regra pela qual você precisa escrever um decimal infinito na forma de uma fração comum será diferente para esses dois tipos de números. É muito fácil escrever frações periódicas puras como frações ordinárias. Assim como os finais, eles precisam ser convertidos: escreva o ponto no numerador e o número 9 será o denominador, repetindo quantas vezes houver dígitos no ponto.
Por exemplo, 0,(5). O número não tem uma parte inteira, então você precisa prosseguir imediatamente para a parte fracionária. Escreva 5 no numerador e no denominador 9. Ou seja, a resposta será a fração 5/9.
Uma regra sobre como escrever uma fração decimal comum que é uma fração mista.
Veja a duração do período. Tanto 9 terá um denominador.
Anote o denominador: primeiros noves, depois zeros.
Para determinar o numerador, você precisa escrever a diferença de dois números. Todos os dígitos após o ponto decimal serão reduzidos, juntamente com o ponto. Subtraível - é sem período.
Por exemplo, 0,5(8) - escreva a fração decimal periódica como uma fração comum. A parte fracionária antes do período é um dígito. Então zero será um. Há também apenas um dígito no período - 8. Ou seja, há apenas um nove. Ou seja, você precisa escrever 90 no denominador.
Para determinar o numerador de 58, você precisa subtrair 5. Acontece 53. Por exemplo, você terá que escrever 53/90 como resposta.
Como as frações comuns são convertidas em decimais?
pelo mais opção simples verifica-se o número no denominador do qual é o número 10, 100 e assim por diante. Então o denominador é simplesmente descartado, e entre o fracionário e o partes inteiras uma vírgula é colocada.
Há situações em que o denominador facilmente se transforma em 10, 100, etc. Por exemplo, os números 5, 20, 25. Basta multiplicá-los por 2, 5 e 4, respectivamente. Só é necessário multiplicar não apenas o denominador, mas também o numerador pelo mesmo número.
Para todos os outros casos, uma regra simples será útil: divida o numerador pelo denominador. Nesse caso, você pode obter duas respostas: uma fração decimal final ou periódica.
Operações com frações comuns
Adição e subtração
Os alunos os conhecem mais cedo do que os outros. E primeiro com frações mesmos denominadores e depois diferente. Regras gerais pode ser reduzido a tal plano.
Encontre o mínimo múltiplo comum dos denominadores.
queimar multiplicadores adicionais a todas as frações ordinárias.
Multiplique os numeradores e denominadores pelos fatores definidos para eles.
Adicione (subtraia) os numeradores das frações e deixe o denominador comum inalterado.
Se o numerador do minuendo for menor que o subtraendo, você precisa descobrir se temos um número misto ou uma fração própria.
No primeiro caso, a parte inteira precisa receber um. Adicione um denominador ao numerador de uma fração. E então faça a subtração.
No segundo - é necessário aplicar a regra de subtração de um número menor para um maior. Ou seja, subtraia o módulo do minuendo do módulo do subtraendo e coloque o sinal “-” na resposta.
Observe atentamente o resultado da adição (subtração). Se você obtiver uma fração imprópria, deve selecionar a parte inteira. Ou seja, divida o numerador pelo denominador.
Multiplicação e divisão
Para sua implementação, as frações não precisam ser reduzidas a denominador comum. Isso facilita a ação. Mas eles ainda têm que seguir as regras.
Ao multiplicar frações ordinárias, é necessário considerar os números nos numeradores e denominadores. Se algum numerador e denominador fator comum, então eles podem ser reduzidos.
Multiplique os numeradores.
Multiplique os denominadores.
Se você obtiver uma fração redutível, ela deverá ser simplificada novamente.
Ao dividir, você deve primeiro substituir a divisão por multiplicação e o divisor (segunda fração) por recíproca(troque o numerador e o denominador).
Em seguida, proceda como na multiplicação (começando do ponto 1).
Nas tarefas em que você precisa multiplicar (dividir) por um inteiro, o último deve ser escrito na forma Fração imprópria. Ou seja, com denominador 1. Em seguida, proceda conforme descrito acima.
Operações com decimais
Adição e subtração
Claro, você sempre pode transformar um decimal em uma fração comum. E agir de acordo com o plano já descrito. Mas às vezes é mais conveniente agir sem essa tradução. Então as regras para sua adição e subtração serão exatamente as mesmas.
Equalize o número de dígitos na parte fracionária do número, ou seja, após o ponto decimal. Atribua o número ausente de zeros nele.
Escreva frações de modo que a vírgula fique sob a vírgula.
Adicione (subtraia) como números naturais.
Remova a vírgula.
Multiplicação e divisão
É importante que você não precise acrescentar zeros aqui. As frações devem ser deixadas como são dadas no exemplo. E então vá de acordo com o plano.
Para a multiplicação, você precisa escrever frações uma sob a outra, sem prestar atenção às vírgulas.
Multiplique como os números naturais.
Coloque uma vírgula na resposta, contando a partir da extremidade direita da resposta quantos dígitos houver nas partes fracionárias de ambos os fatores.
Para dividir, você deve primeiro converter o divisor: torná-lo número natural. Ou seja, multiplique por 10, 100, etc., dependendo de quantos dígitos estão na parte fracionária do divisor.
Multiplique o dividendo pelo mesmo número.
Divida um decimal por um número natural.
Coloque uma vírgula na resposta no momento em que a divisão de toda a parte terminar.
E se houver ambos os tipos de frações em um exemplo?
Sim, em matemática muitas vezes há exemplos em que você precisa realizar operações em frações ordinárias e decimais. Há duas soluções possíveis para esses problemas. Você precisa pesar objetivamente os números e escolher o melhor.
Primeira maneira: representar decimais comuns
É adequado se, ao dividir ou converter, forem obtidas frações finais. Se pelo menos um número fornecer uma parte periódica, essa técnica é proibida. Portanto, mesmo que você não goste de trabalhar com frações ordinárias, terá que contá-las.
A segunda maneira: escrever frações decimais como ordinárias
Esta técnica é conveniente se houver 1-2 dígitos na parte após o ponto decimal. Se houver mais deles, você pode obter uma fração ordinária muito grande e entradas decimais permitirá que você calcule a tarefa mais rápido e fácil. Portanto, é sempre necessário avaliar com sobriedade a tarefa e escolher o método de solução mais simples.
