Breve trecho desde o início do livro(reconhecimento de máquina)
M.L.KRASNOV
A.I. Kiselev
G.I.MAKARENKO
FUNÇÕES
INTEGRADO
VARIÁVEL
OPERATIVO
CÁLCULO
TEORIA
SUSTENTABILIDADE
CAPÍTULOS SELECIONADOS
MATEMÁTICA SUPERIOR
PARA ENGENHEIROS
E ALUNOS
TAREFAS E EXERCÍCIOS
M. L. KRASNOV
A.I. Kiselev
G.I.MAKARENKO
FUNÇÕES
INTEGRADO
VARIÁVEL
OPERATIVO
CÁLCULO
TEORIA
SUSTENTABILIDADE
SEGUNDA EDIÇÃO, REVISADA E ADICIONADA
Aprovado pelo Ministério do Ensino Superior e Secundário
educação especial da URSS
como auxiliar de ensino
para estudantes de instituições de ensino técnico superior
MOSCOU "NAUKA"
EDIÇÃO PRINCIPAL
FÍSICA E MATEMÁTICA L
1981
22.161.5
K 78
UDC 517.531
Kras n o v M.L., Kiselev A.I., Makarenko G.I.
Funções de uma variável complexa. cálculo operacional. Theo-
Teoria da sustentabilidade: Tutorial, 2ª ed., revisada. e adicional -M.:
A ciência. Edição principal da literatura física e matemática, 1981.
Assim como outros livros da série Capítulos selecionados Alto-
matemática superior para engenheiros e estudantes de universidades técnicas”, este livro
destinado principalmente a estudantes universidades técnicas, mas
também pode ser útil para um engenheiro que deseja restaurar
na memória seções de matemática indicadas no título do livro.
Nesta edição, comparada com a anterior, publicada em
1971, os parágrafos relacionados às funções harmônicas foram ampliados
funções, resíduos e suas aplicações para o cálculo de algumas integrais
integrais, mapeamentos conformes. Exercícios também foram adicionados.
caráter teórico.
No início de cada seção, as informações teóricas necessárias
informações teóricas (definições, teoremas, fórmulas), bem como
entenda em detalhes tarefas típicas e exemplos.
O livro contém mais de 1000 exemplos e tarefas para auto-
decisão independente. Quase todas as tarefas são fornecidas com respostas, e em vários
casos, são dadas instruções para a solução.
Arroz. 71. Bíblia. 19 títulos
„ 20203-107 ^ o_llll Glat:Tu.^^
K Aeo/loc Ql 23-81. 1702050000 física e matemática
053 @2)-81 Literatura, 1981
ÍNDICE
Prefácio 5
Capítulo I. Funções de uma variável complexa 7
§ PARA Números complexos e ações sobre eles 7
§ 2. Funções de uma variável complexa. ... # ...", dezoito
§ 3. Limite de uma sequência de números complexos. Limite
e continuidade de uma função de uma variável complexa. . 25
§ 4. Diferenciação de funções de uma variável complexa
variável. Condições de Cauchy-Riemann # . t. , 32
§ 5. Integração de funções de uma variável complexa. 0,42
§ 6. Fórmula integral de Cauchy 50
§ 7. Série no domínio complexo, 56
§ 8. Zeros de uma função. Pontos Singulares Isolados 72
| 9. Resíduos de funções 79
§ 10. Teorema do resíduo de Cauchy. Aplicação de deduções para você-
Cálculo integrais definidas. Soma de não
algumas séries com a ajuda de resíduos 85
§ 11. Resíduo logarítmico. princípio argumentativo. Teorema
Correr # . , # . 106
§ 12. Mapeamentos conformes 115
§ 13. Potencial complexo. Sua hidrodinâmica
significado 142
Capítulo II. Cálculo operacional 147
§ 14. Encontrar imagens e originais 147
§ 15. Solução do problema de Cauchy para lineares comuns
equações diferenciais com coeficientes constantes
probabilidades 173
§ 16. O integral de Duhamel 185
§ 17. Solução de sistemas de equações diferenciais lineares
equações pelo método operacional 188
§ 18. Solução de equações integrais de Volterra com kernels
tipo especial 192
§ 19. Equações diferenciais de atraso
argumento. . . . a#198
§ 20. Solução de alguns problemas física matemática. . , 201
Seção 21. Conversão Discreta Laplace 204
Capítulo III. Teoria da estabilidade. , . 218
§ 22. O conceito de estabilidade de uma solução para um sistema de diferencial
equações diferenciais. Os tipos mais simples de pontos de descanso 218
4 CONTEÚDOS
§ 23. Segundo método de Lyapunov 225
§ 24. Pesquisa sobre estabilidade na primeira aproximação
abordagem 229
§ 25. Estabilidade assintótica no grande. Sustentabilidade
de acordo com Lagrange 234
§ 26. Critério de Routh-Hurwitz. 237
§ 27. Critério de estabilidade geométrica (Mi-
Mikhailov), . . , 240
§ 28. D-partições 243
§ 29. Estabilidade de soluções de equações de diferenças 250
Respostas 259
Aplicação 300
Literatura 303
PREFÁCIO
Nesta edição, todo o texto foi revisado
e fez alguns acréscimos. Seção ampliada dedicada a
dedicado à teoria dos resíduos e suas aplicações (em particular,
introduziu o conceito de resíduo em relação a distâncias infinitamente
ponto remoto, a aplicação de resíduos à soma de alguns
algumas linhas). O número de tarefas para o uso de
cálculo operacional para o estudo de alguns
funções especiais (funções gama, funções de Bessel, etc.),
bem como o número de tarefas para a imagem de funções dadas
graficamente. O parágrafo dedicado a
dedicado a mapeamentos conformes. Quantidade aumentada
exemplos discutidos no texto. Corrigido notado
imprecisões e erros de digitação; algumas tarefas que
soluções complicadas são substituídas por outras mais simples.
Ao preparar a segunda edição do livro, um
assistência com seus conselhos e comentários foi fornecida a nós por
Chefe do Departamento de Matemática, Instituto de Moscou
aço e ligas Professor V. A. Trenogiy e professor associado deste
Departamento M.I. Orlov. Consideramos nosso dever agradável
expressar nossa profunda gratidão a eles.
Levamos em consideração os comentários e desejos do Departamento de
matemáticos do Instituto de Engenharia Civil de Kyiv
(chefe do departamento, professor associado A. E. Zhuravel), bem como
comentários dos camaradas B. Tkachev (Krasnodar) e
B. L. Tsavo (Sukhumi). A todos eles expressamos nossa
gratidão.
0 PREFÁCIO
Agradecemos aos professores M.I. Vishik,
F. I. Karpelevich, A. F. Leontiev e S. I. Pokhozhaev
por atenção constante e apoio ao nosso trabalho.
Todos os comentários e sugestões para melhorar o livro de problemas
será recebido com gratidão.
Os autores
CAPÍTULO I
FUNÇÕES DO INTEGRADO
VARIÁVEL
§ 1. Números complexos e ações sobre eles
O número complexo r é uma expressão da forma
(forma algébrica de um número complexo), onde x e y são quaisquer ações
números reais, a i é uma unidade imaginária que satisfaz a condição
12 \u003d -1, Os números x e y são chamados respectivamente reais e
partes imaginárias de um número complexo
os números r e são denotados
Número complexo z=zx - iy
chamado de complexo conjugado
número complexo r=n: + n/.
Números complexos ch = Xj + iy%
e r2*= #2 + 4/2 são considerados iguais
se e somente se xr = x21
Número complexo 2 =
representado no plano XOY
ponto M com coordenadas (dz, y)
ou um vetor, cujo início Fig* *
está no ponto O @, 0), e o final
no ponto M (x, y) (Fig. 1). O comprimento p do vetor OM é chamado de módulo
número complexo e é denotado por |r|, de modo que p = | r\=Vx"2+y2>
Ângulo f, formado por vetor OM com o eixo OX é chamado argumento-
argumento do número complexo r e é denotado
não exclusivamente, mas até um termo que é um múltiplo de 2n:
Arg2 = arg2 + 2bt (t = 0, ±1, ±2, ...),
onde arg2 é o valor principal de Arg2 determinado pelas condições
e
A)
arctg - se x *> 0,
jt -f *rctg - if x - i Jr arctg ■ if x i / 2, if x - 0, y > 0,
- i/2, se x r» 0, y 8 FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA [CH. EU
Ocorrem as seguintes relações:
ig (Arg z) - ^~, sin (Arg z)
cos(Arg g) a
Dois números complexos r e r2 são iguais se e somente se
quando seus módulos são iguais e seus argumentos são iguais ou diferentes
diferem por um múltiplo de 2n:
(«0, ±lt ±2t .«.)
Sejam dois números complexos zlwcl + ylt 22+y2
I. A soma zt + z2 dos números complexos r e r% é o complexo
número complexo
2. A diferença z^-z% dos números complexos zx e z2 é chamada de
número complexo
3. O produto ztz2 dos números complexos z1 e z2 é chamado de
número complexo
Da definição do produto de números complexos, em particular,
segue que
2
4. Privado ~ de dividir o número complexo 2i pelo complexo
complexo
Um número complexo rm > 0 é um número complexo r tal que
satisfaz a equação
Neste caso, a fórmula r^1 foi usada
Fórmula B) pode ser escrita como
V
A parte real de Re r e a parte imaginária do complexo
os números z são expressos em termos de números complexos conjugados como segue:
Da seguinte maneira:
Exemplo 1. Mostre que zx -\~z2 == -i + 2.2.
Prova. Por definição, temos
ij números complexos e operações sobre eles
1. Prove as seguintes relações:
"/ ^1 - ^2 = ^1 - 2:2" Oj Z\Z% == ^i^2" B; [ - - J == - , D)
Exemplo 2. Encontre soluções válidas equações
Solução. Vamos destacar o valor real no lado esquerdo da equação
e a parte imaginária: (Ax+Sy) + iBdg-3#)= 13-+-*. Daí, segundo
definição da igualdade de dois números complexos, obtemos
Resolvendo este sistema, encontramos
Encontre soluções reais para equações:
2. (Zlg-1)B + 0 + (*-*Ö1+20 = 5 + 6*.
3. (x - iy) (a - ib) \u003d Ca, onde i, b são dadas ações
números reais, \a\f\b\.
5. Represente o número complexo (aribp + (a _ .^t
na forma algébrica.
6. Prove que -- - ~*~iX = i (x é real).
x-iY 1 -\-x~
7. Expresse x e y em termos de "u, se + q fa \u003d
= 1(n:, y, u, v são números reais).
8. Encontre todos os números complexos que satisfaçam
condição 2 = z2.
Exemplo 3: Encontre o módulo e o argumento de um número complexo
g * \u003d - sin - -icos-g-.
Solução. Nós temos
= -sin-l o o
O valor principal do argumento de acordo com A) será
argz-- i + arctg/ctg-^j =. - i+ arctg J^tg \~ - -£jj -
, /. 3 \ ,3 5
\u003d - i + arctg i tg d \u003d - i + - i \u003d - l.
\OOO
10 FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA [CH. EU
Consequentemente,
Argz "-~ i + 2&1 (t = 0, ±1, ±2, ...),
9. Nas tarefas a seguir, localize o módulo e o valor principal
o valor do argumento dos números complexos:
a) r-4 + 3/; b) z^~2 + 2V3i",
c) r = - 7 - i\ d) r = - cos | + eu peco ?-;
e) d == 4 - 3/; e) g \u003d cos a - t sin a
Qualquer número complexo z - x + iy (r^FO) pode ser escrito em três
forma trigonométrica
Exemplo 4. Escreva na forma trigonométrica o complexo
número
Solução. Nós temos
Consequentemente,
Exemplo 5. Encontre raízes reais equações
cos; t ~ f / sin x r "- + x *
Solução. Esta equação não tem raízes. De fato,
esta equação é equivalente ao seguinte: cos*= 1/2, sin* = 3/4. Por-
As últimas equações são inconsistentes, pois cos2 x + sen2 x» 13/16, que
impossível para qualquer valor de x.
Qualquer número complexo g Ô 0 pode ser escrito em exponencial
Formato
*Ф onde р = |г|, cp=*Argz.
Exemplo 6. Encontre todos os números complexos z^O que satisfaçam
satisfazendo a condição 2n"" 1,
Solução. Seja r =* re*F. Então z "= re~(h>.
De acordo com a condição
ou
NÚMEROS COMPLEXOS E AÇÕES SOBRE ELES II
£ 2l
de onde pl-2=1, isto é, p=1, e tf = 2&i, isto é, 2, ..., l-1). Consequentemente,
.2nk
n
(jfe "0, I, 2, ..., f-!).
10. Os seguintes números complexos representam r três-
forma trigonométrica:
a) -2; b) 21; dentro) -
d) 1-sina + icosa
D> l + cosa-i desde \ e e) -2; g) e; h) -f; e) -1 -/
j) sin a - tcosa E Sejam os números complexos rx e r2 dados em trigonométricos
form r2 = px (cos f! + e sin fx), r2 = p2 (cos f2 + * sin f2).
Seu produto é encontrado pela fórmula
*i*2 ^ P1P2 Ic°s (Ф1 + Ф2) + i sin (Ф! + Ф2)],
ou seja, quando os números complexos são multiplicados, seus módulos são multiplicados,
e os argumentos se somam:
Arg (Z&) em Arg 2j + Arg r2.
O quociente de dois números complexos rx u2 ^ 0 é encontrado, mas a fórmula
Fórmula
m-^mm lcos (v" *~ ^*) + f*sen (f1 "~ f2I"
r3 ra
ou seja
Elevando um número complexo
r \u003d p (cos f + i sin f)
dentro grau natural n é produzido pela fórmula
Zn - p "(cos u Jf. i sjn / xf) ^
ou seja
É daí que vem a fórmula de De Moivre.
(cos f + i sin f)l \u003d\u003d cos Lf + i sin /gf.
12 FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA [CH. 1
Propriedades do módulo de número complexo
1. |*|H*|; 2- "-|z|";
3. |*Al-|*il!*ir." 4. \r*\^\r\"\
5.
H
6.
7.
8. H*il4*ilKI*i*f|.
Exemplo 7. Calcular (-■ 1 +1 Kz) §v.
Solução. Vamos representar o número r \u003d -1 -f - * Yb em trigonométrico
forma trigonométrica
-I _) - / Kz \u003d 2 (coe -§- n + | sin ~~ "V
Funções de uma variável complexa. Tarefas e exemplos com decisões detalhadas. Krasnov M.I., Kiselev A.I., Makarenko G.I.
3ª edição, rev. - M.: 2003. - 208 p.
Neste tutorial, os autores propõem tarefas sobre as principais seções da teoria das funções de uma variável complexa. No início de cada seção, são fornecidas as informações teóricas necessárias (definições, teoremas, fórmulas) e cerca de 150 problemas e exemplos típicos são analisados em detalhes.
O livro contém mais de 500 tarefas e exemplos para auto-resolução. Quase todas as tarefas são fornecidas com respostas e, em alguns casos, são dadas instruções para a resolução.
O livro destina-se principalmente a estudantes de universidades técnicas com fundo matemático, mas também pode ser útil para um engenheiro que deseja relembrar seções de matemática relacionadas à teoria das funções de uma variável complexa.
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ÍNDICE
Capítulo 1 Funções de Variáveis Complexas 3
§ 1. Números complexos e ações sobre eles 3
§ 2. Funções de uma variável complexa 14
§ 3. Limite de uma sequência de números complexos. Limite e continuidade de uma função de uma variável complexa 22
§ 4º, Diferenciação de funções de uma variável complexa. Condições de Cauchy-Riemann 29
Capítulo 2. Integração. Linhas. Trabalhos sem fim. 40
§ 5. Integração de funções de uma variável complexa .... 40
§ 6. Fórmula integral de Cauchy 48
§ 7. Série no domínio complexo 53
§ 8. Produtos infinitos e sua aplicação a funções analíticas 70
1°. Trabalhos sem fim 70
2°. Decomposição de algumas funções em produtos infinitos 75
Capítulo 3. Resíduos de funções. . 78
§ 9. Zeros de uma função. Pontos Singulares Isolados 78
1°. Função zeros 78
2°. Pontos singulares isolados 80
§ 10. Resíduos de funções 85
§ 11. Teorema do resíduo de Cauchy. Aplicação de resíduos ao cálculo de integrais definidas. Soma de alguns rads usando resíduos .... 92
1°. Teorema do resíduo de Cauchy 92
2°. Aplicação de resíduos ao cálculo de integrais definidas 98
3°. Soma de algumas séries com a ajuda de resíduos. . 109
§ 12. Resíduo logarítmico. princípio argumentativo. teorema de Rouche 113
Capítulo 4, Mapeamentos conformes. 123
§ 13. Mapeamentos conformes 123
1°. O conceito de um mapeamento conforme 123
1 2°. Teoremas gerais teoria de mapeamentos conformes... 125
3°. Mapeamentos conformes realizados Função linear w - az + b, função w - \ e função linear-fracionária w = ffjj . . 127
4°. Mapeamentos conformes realizados pelos principais funções elementares 138
§quatorze. Transformação de polígono. Integral de Christoffel-Schwarz. 150
Anexo 1 . . . . 159
§quinze. Potencial abrangente. Seu significado hidrodinâmico. . 159
Anexo 2 164
Respostas......... 186
| 1 | Cálculo operacional | ||
| § 1. | Encontrar imagens e originais | ||
| § 2. | Solução do problema de Cauchy para equações diferenciais lineares ordinárias com coeficientes constantes | ||
| § 3. | integral de Duhamel | ||
| § quatro. | Resolução de sistemas de equações diferenciais lineares pelo método operacional | ||
| § 5. | Solução de equações integrais de Volterra com kernels de uma forma especial | ||
| §6. | Equações diferenciais de atraso | ||
| § 7. | Solução de alguns problemas de física matemática | ||
| § oito. | Transformada de Laplace discreta | ||
| § 9. | transformada de Fourier | ||
| 1. Solução do problema de Cauchy para a equação do calor | |||
| 2. O problema de Cauchy para o unidimensional equação de onda | |||
| § dez. | Cosseno e seno transformadas de Fourier | ||
| § onze. | Funções generalizadas. Transformada de Fourier de funções generalizadas | ||
| 2 | Teoria da sustentabilidade | ||
| § 12. | O conceito de estabilidade da solução de um sistema de equações diferenciais. Os tipos mais simples de pontos de descanso | ||
| § 13. | O segundo método de Lyapunov | ||
| § quatorze. | Primeiro Estudo de Estabilidade de Aproximação | ||
| § quinze. | Estabilidade assintótica em geral. Estabilidade de Lagrange | ||
| § 16. | Critério de Routh-Hurwitz | ||
| § 17. | Critério de estabilidade geométrica (critério de Mikhailov) | ||
| § dezoito. | D-partições | ||
| O conceito de D- particionamento | |||
| § 19. | |||
| 1o. | Solução de equações de diferenças lineares homogêneas com coeficientes constantes | ||
| 2º. | Solução de equações de diferenças lineares não homogêneas com coeficientes constantes | ||
| 3o. | Estabilidade de Soluções para Equações Diferenciais | ||
| Respostas | |||
| Inscrição | |||
Área de interesse: equações diferenciais. Kiselev Alexander Ivanovich
Área de interesse: teoria das funções. Makarenko Grigory Ivanovich
Área de interesse: equações diferenciais. Shikin Evgeny Viktorovich
Região interesses científicos: métodos geométricos para estudar equações diferenciais, geometria computacional, computação gráfica.
Leia cursos de palestras Álgebra Linear e Geometria analítica", "Teoria das funções de uma variável complexa", "O problema da imersão isométrica e a equação de Monge-Ampere", " Splines geométricas", "Métodos geométricos em tarefas de pesquisa", "Gráficos de computador".
Krasnov Michail Leontievich
Kiselyov Alexander Ivanovich
Áreas de interesse: Teoria das Funções.
Makarenko Grigorij Ivanovich
Áreas de interesse: Equações Diferenciais.
Shikin Evgenij Viktorovich
Áreas de interesse: Geometria Diferencial.
Funções de uma variável complexa. Números complexos e ações Seção: Problemas e soluções para TViMS. Guia de estudos para. Seção M da teoria das funções de variável complexa. do vetor OM é chamado de módulo do número complexo e denotado por . variáveis w e y. Biblioteca > Livros de matemática > Funções de uma variável complexa M.: IL, 1963 (djvu); Krasnov M. L. Kiselev A.I. Makarenko G.I. Funções. Título: Funções de uma variável complexa: Problemas e exemplos com soluções detalhadas.
Krasnov M.L., Kiselev A.I., Makarenko G.I. Funções de uma variável complexa. Limite e continuidade de uma função de uma variável complexa. Respostas. Para baixar este arquivo, cadastre-se e/ou. Krasnov M.L., Kiselev A.I., Makarenko G.I. Funções de uma variável complexa. cálculo operacional. Teoria da estabilidade.
Funções de uma variável complexa. Diferenciação de funções de uma variável complexa. Condições de Cauchy-Riemann. Este artigo abre uma série de lições nas quais considerarei problemas típicos relacionados à teoria das funções de uma variável complexa. Para dominar com sucesso os exemplos, você deve ter conhecimento básico sobre números complexos. Para consolidar e repetir o material, basta acessar a página Números complexos para dummies.
Solução da função de uma variável complexa Krasnov Kiselev Makarenko
Você também precisará de habilidades para encontrar derivadas parciais de segunda ordem. Aqui estão elas, essas derivadas parciais... mesmo agora fiquei um pouco surpreso com a frequência com que elas ocorrem.... O tema que estamos começando a analisar não é particularmente difícil, e nas funções de uma variável complexa, em princípio, tudo é claro e acessível. O principal é aderir à regra básica, que é derivada por mim empiricamente. Leia.
Solução da função de uma variável complexa Krasnov Kiselev Makarenko 1981
O conceito de uma função de uma variável complexa. Primeiro, vamos atualizar nosso conhecimento sobre função escolar uma variável: Uma função de uma variável é uma regra segundo a qual cada valor da variável independente (do domínio de definição) corresponde a um e apenas um valor da função. Naturalmente, "x" e "y" são números reais. No caso complexo, a dependência funcional é dada da mesma forma: Uma função não ambígua de uma variável complexa é uma regra segundo a qual cada valor complexo da variável independente (do domínio de definição) corresponde a um e apenas um valor complexo da função.
Em teoria, funções multivaloradas e alguns outros tipos de funções também são consideradas, mas para simplificar, vou focar em uma definição. Qual é a função de uma variável complexa.
A principal diferença é que os números são complexos. Não estou sendo irônico. De tais perguntas muitas vezes caem em estupor, no final do artigo vou contar uma história legal. Na lição Números complexos para dummies, consideramos um número complexo no formulário. Porque agora a letra "Z" se tornou uma variável. então vamos denotar como segue: , enquanto "x" e "y" podem assumir valores reais diferentes.
Grosso modo, a função de uma variável complexa depende das variáveis e, que assumem valores "usuais". A partir de este fato segue logicamente próximo item:. Parte real e imaginária de uma função de uma variável complexa. A função de uma variável complexa pode ser escrita como:
Onde e são duas funções de duas variáveis reais. A função é chamada de parte real da função. A função é chamada de parte imaginária da função. Ou seja, a função de uma variável complexa depende de dois funções reais e.
Para finalmente esclarecer tudo, vejamos exemplos práticos: Encontre a parte real e imaginária da função. Solução: A variável independente "z", como você lembra, é escrita na forma, portanto:. (1) B função original emoldurado. (2) Para o primeiro termo, foi utilizada a fórmula de multiplicação abreviada.
No prazo, os colchetes foram abertos. (3) Cuidadosamente esquadrado, não esquecendo disso. (4) Rearranjo de termos: primeiro, reescrevemos os termos que não possuem unidade imaginária (o primeiro grupo), depois os termos onde existe (o segundo grupo). Deve-se notar que não é necessário embaralhar os termos, e este estágio pode ser ignorado (na verdade, fazendo isso verbalmente). (5) O segundo grupo é retirado dos parênteses.
Como resultado, nossa função foi apresentada no formulário. é a parte real da função. é a parte imaginária da função.
Quais são essas funções? As funções mais comuns de duas variáveis das quais tais derivadas parciais populares podem ser encontradas. Sem piedade - vamos encontrar. Mas um pouco mais tarde.
Resumidamente, o algoritmo do problema resolvido pode ser escrito da seguinte forma: substituímos na função original, realizamos simplificações e dividimos todos os termos em dois grupos - sem unidade imaginária (parte real) e com unidade imaginária (parte imaginária). Encontre a parte real e imaginária da função. Este é um exemplo de faça você mesmo.
Antes de você se jogar na batalha no plano complexo com rascunhos, deixe-me dar-lhe o máximo conselho importante neste tópico:. TOME CUIDADO! Você precisa ter cuidado, é claro, em todos os lugares, mas em números complexos você deve ter cuidado mais do que nunca! Lembre-se que, expanda cuidadosamente os colchetes, não perca nada. De acordo com minhas observações, o erro mais comum é a perda de sinal. Não se apresse.
Solução completa e resposta no final da lição. Para facilitar a vida, vamos prestar atenção a um casal fórmulas úteis. No Exemplo 1, verificou-se que. Agora cubo. Usando a fórmula de multiplicação abreviada, derivamos:
Condições de Cauchy-Riemann. Tenho duas notícias: boas e ruins. Vou começar com um bom. Para uma função de uma variável complexa, as regras de diferenciação e a tabela de derivadas de funções elementares são válidas.
Assim, a derivada é tomada exatamente da mesma forma que no caso de uma função de uma variável real. A má notícia é que para muitas funções de uma variável complexa não há nenhuma derivada, e é preciso descobrir se uma determinada função é diferenciável.
E “descobrir” como seu coração se sente está associado a problemas adicionais. Considere uma função de uma variável complexa. Para que esta função seja diferenciável, é necessário e suficiente que: 1) Que existem derivadas parciais de primeira ordem.
Esqueça essas notações imediatamente, pois na teoria da função de uma variável complexa, outra versão da notação é tradicionalmente usada:. 2) Para cumprir as chamadas condições de Cauchy-Riemann:. Somente neste caso a derivada existirá. Determine as partes real e imaginária da função. Verifique o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann.
Se as condições de Cauchy-Riemann forem atendidas, encontre a derivada da função. A solução é decomposta em três etapas sucessivas:. 1) Encontre as partes real e imaginária da função. Essa tarefa foi analisada em exemplos anteriores, então vou anotá-la sem comentários:
Nesse caminho:. é a parte real da função; é a parte imaginária da função. Vou me deter em mais um ponto técnico: em que ordem os termos devem ser escritos nas partes real e imaginária? Sim, basicamente não importa. Por exemplo, a parte real pode ser escrita assim: , e a parte imaginária assim:. 3) Vamos verificar o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann. Existem dois deles.
Vamos começar verificando a condição. Encontramos derivadas parciais:. Assim, a condição é cumprida. Sem dúvida, a boa notícia é que as derivadas parciais são quase sempre muito simples. Verificamos o cumprimento da segunda condição: Aconteceu o mesmo, mas com sinais opostos, ou seja, a condição também é satisfeita.
As condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas, portanto, a função é diferenciável. 3) Encontre a derivada da função. A derivada também é muito simples e pode ser encontrada em regras usuais:. A unidade imaginária em diferenciação é considerada uma constante. Resposta: - parte real, - parte imaginária. As condições de Cauchy-Riemann são atendidas. Existem mais duas maneiras de encontrar a derivada, elas são, obviamente, usadas com menos frequência, mas as informações serão úteis para entender a segunda lição - Como encontrar a função de uma variável complexa.
A derivada pode ser encontrada pela fórmula: NO este caso:. A ser decidido problema inverso- na expressão resultante, você precisa isolar.
Para fazer isso, é necessário nos termos e tirar dos colchetes:. ação reversa, como muitos notaram, é um pouco mais difícil de executar, para verificação é sempre melhor pegar uma expressão e em um rascunho ou abrir verbalmente os colchetes de volta, certificando-se de que saia exatamente. Fórmula de espelho para encontrar a derivada:. Neste caso: , então:. Determine as partes real e imaginária da função.
Verifique o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann. Se as condições de Cauchy-Riemann forem atendidas, encontre a derivada da função. Solução rápida e uma amostra aproximada de acabamento no final da lição. As condições de Cauchy-Riemann são sempre satisfeitas? Teoricamente, eles são mais frequentemente não cumpridos do que são. Mas em exemplos práticos Não me lembro de um caso em que eles não foram executados =) Assim, se suas derivadas parciais “não convergiram”, então com uma probabilidade muito alta podemos dizer que você cometeu um erro em algum lugar. Vamos complicar nossas funções: Determine as partes real e imaginária da função.
Verifique o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann. Calcular. Solução: O algoritmo de solução é completamente preservado, mas uma nova moda é adicionada ao final: encontrar a derivada em um ponto. para cubo fórmula desejada já lançado: Vamos definir as partes real e imaginária desta função: Atenção e novamente atenção. Nesse caminho:.
é a parte real da função; é a parte imaginária da função. Vamos verificar o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann:. Verificando a segunda condição:. Aconteceu a mesma coisa, mas com sinais opostos, ou seja, a condição também é cumprida. As condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas, portanto, a função é diferenciável:.
Calcule o valor da derivada no ponto requerido:. Resposta: , as condições de Cauchy-Riemann são atendidas. Funções com cubos são comuns, então um exemplo para fixação:. Determine as partes real e imaginária da função.
Verifique o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann. Calcular.
Decisão e finalização da amostra no final da aula. Na teoria da análise complexa, outras funções de um argumento complexo também são definidas: exponencial, seno, cosseno, etc. Essas funções têm propriedades inusitadas e até bizarras - e isso é realmente interessante! Eu realmente quero dizer a você, mas aqui, aconteceu, não um livro de referência ou um livro didático, mas uma solução, então considerarei a mesma tarefa com algumas funções comuns. Primeiro, sobre as chamadas fórmulas de Euler:
Fórmulas de Euler. Para qualquer um número real as seguintes fórmulas são válidas: Você também pode copiá-lo em seu caderno como referência.
A rigor, há apenas uma fórmula, mas geralmente, por conveniência, eles também escrevem caso especial com um indicador de menos. O parâmetro não precisa ser uma única letra, pode ser uma expressão complexa, uma função, só é importante que assumam apenas valores reais. Na verdade, veremos agora: Determine as partes real e imaginária da função. Verifique o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann. Encontrar derivada.
Solução: A linha geral da festa permanece inabalável - é necessário separar as partes reais e imaginárias da função. Darei uma solução detalhada e comentarei cada etapa abaixo: Desde então: (1) Substitua por "z". (2) Após a substituição, é necessário separar primeiro as partes real e imaginária no expoente. Para fazer isso, abra os colchetes. (3) Agrupamos a parte imaginária do indicador, colocando a unidade imaginária fora dos colchetes.
(4) Use ação escolar com poderes. (5) Para o multiplicador, usamos a fórmula de Euler, while. (6) Expanda os colchetes, como resultado:. é a parte real da função; é a parte imaginária da função. Ações futuras são padrão, verificamos o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann:. As derivadas parciais também não são muito complicadas, mas para cada bombeiro ele as pintou com o máximo de detalhes possível.
Vamos verificar a segunda condição: As condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas, encontramos a derivada:. Resposta: , as condições de Cauchy-Riemann são atendidas. Para a segunda fórmula de Euler, a tarefa para uma solução independente: Determine as partes real e imaginária da função. Verifique o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann, encontre a derivada.
Solução completa e resposta no final da lição. ! Atenção! O sinal de menos na fórmula de Euler refere-se à parte imaginária, ou seja. Você não pode perder menos. Diretamente das fórmulas de Euler, pode-se derivar a fórmula para a expansão do seno e do cosseno em partes reais e imaginárias. A conclusão em si é bastante chata, aqui está, a propósito, no meu livro diante dos meus olhos (Bohan, Analise matemática, volume 2). Por isso, vou imediatamente resultado final, que novamente é útil para reescrever em seu livro de referência:.
Os parâmetros "alpha" e "beta" assumem apenas valores reais, inclusive podem ser expressões complexas, funções de uma variável real. Além disso, a fórmula desenhou funções hiperbólicas, quando diferenciados, eles se transformam, não é por acaso que os incluí na tabela de derivativos. Determine as partes real e imaginária da função. Verifique o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann. Assim seja, não encontraremos a derivada.
Solução: O algoritmo de solução é muito semelhante aos dois exemplos anteriores, mas há pontos importantes, é por isso Primeira etapa Vou comentar novamente passo a passo: Desde então: 1) Substituímos em vez de "z". (2) Primeiro, selecione as partes real e imaginária dentro do seno. Para isso, abra os colchetes. (3) Usamos a fórmula, neste caso.
(4) Usamos a paridade do cosseno hiperbólico. e a estranheza do seno hiperbólico.
Hiperbólicos, embora não sejam deste mundo, mas de muitas maneiras se assemelham funções trigonométricas. é a parte real da função; é a parte imaginária da função.
Atenção! O sinal de menos refere-se à parte imaginária, e em nenhum caso devemos perdê-la! Para uma ilustração visual, o resultado obtido acima pode ser reescrito da seguinte forma: Vamos verificar o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann:. As condições de Cauchy-Riemann são atendidas. Resposta: , as condições de Cauchy-Riemann são atendidas.
Com cosseno, senhoras e senhores, nós mesmos lidamos com isso: Determine as partes real e imaginária da função. Verifique o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann. Eu deliberadamente peguei exemplos mais complicados, porque todo mundo pode lidar com algo como amendoim descascado. Ao mesmo tempo, treine sua atenção! Quebra-nozes no final da aula.
Bem, em conclusão, vou considerar mais uma exemplo interessante, quando argumento complexo está no denominador. Nos encontramos algumas vezes na prática, vamos analisar algo simples. Ah, estou ficando velho... Determine as partes real e imaginária da função.
Verifique o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann. Solução: Novamente, é necessário separar as partes real e imaginária da função. Surge a questão, o que fazer quando "Z" está no denominador. Tudo é simples - vai ajudar recepção padrão multiplicando o numerador e denominador pela expressão conjugada. já foi usado nos exemplos da lição Números Complexos para Leigos. Nós lembramos fórmula escolar. Já temos no denominador, então será uma expressão conjugada.
Assim, você precisa multiplicar o numerador e denominador por:. Isso é tudo, e você estava com medo: é a parte real da função; é a parte imaginária da função. Repito pela terceira vez - não perca o menos da parte imaginária. Vamos verificar o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann.
Devo dizer que as derivadas parciais aqui não são tão oh-hoo, mas não do mais simples:. As condições de Cauchy-Riemann são atendidas. Resposta: , as condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas. Como um epílogo história curta sobre estupor, ou sobre quais perguntas dos professores são as mais difíceis. A maioria perguntas difíceis Curiosamente, estas são perguntas com respostas óbvias.
E a história é esta: uma pessoa faz um exame de álgebra, o assunto do bilhete é “Corolário do teorema fundamental da álgebra”. O examinador escuta, escuta e, de repente, pergunta: “De onde vem isso?”. Aqui era um estupor, então um estupor. A plateia inteira já estava surtando, mas o aluno não disse a resposta correta: "do teorema fundamental da álgebra".
Lembro-me da história e experiência pessoal, passo em física, algo sobre a pressão de um líquido, que não me lembro mais, mas o desenho ficou para sempre na minha memória - um cano curvo por onde o líquido corria. Respondi ao ticket “excelente”, e até eu mesmo entendi o que havia respondido. E, por fim, o professor pergunta: “Onde está o tubo atual aqui?”.
Eu torci e virei esse desenho com um cano curvo por cerca de cinco minutos, expressei as versões mais selvagens, serrei o cano, desenhei algumas projeções. E a resposta foi simples, o tubo atual é o tubo inteiro. Descarregamos bem, nos vemos na lição Como encontrar a função de uma variável complexa? Há um problema inverso.
Às vezes o óbvio é o mais difícil, desejo a todos que não desacelerem. Soluções e respostas:.
Exemplo 2: Solução: porque, então:. Resposta: - parte real, - parte imaginária. Exemplo 4: Solução: Desde, então:. Nesse caminho:. é a parte real da função;
é a parte imaginária da função. Vamos verificar o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann:. A condição está satisfeita. A condição também é atendida. As condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas, encontramos a derivada:. Resposta: - parte real, - parte imaginária. As condições de Cauchy-Riemann são atendidas.
Exemplo 6: Solução: Determine as partes real e imaginária desta função. Nesse caminho:. é a parte real da função; é a parte imaginária da função. Vamos verificar o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann:. As condições de Cauchy-Riemann são atendidas. Resposta: , as condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas.
Exemplo 8: Solução: Desde, então:. Nesse caminho:. é a parte real da função;
é a parte imaginária da função. Vamos verificar o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann:. As condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas, encontramos a derivada:. Resposta: , as condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas. Exemplo 10: Solução: Desde, então:. Nesse caminho:. é a parte real da função;
é a parte imaginária da função. Vamos verificar o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann:. As condições de Cauchy-Riemann são atendidas. Resposta: , as condições de Cauchy-Riemann são atendidas.
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Funções de Variáveis Complexas
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