Trigonometria - seção ciência matemática, que estuda funções trigonométricas e seu uso em geometria. O desenvolvimento da trigonometria começou na época Grécia antiga. Durante a Idade Média, cientistas do Oriente Médio e da Índia deram uma importante contribuição para o desenvolvimento dessa ciência.

Esse artigo é sobre Conceitos Básicos e definições de trigonometria. Discute as definições dos principais funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente e cotangente. Seu significado no contexto da geometria é explicado e ilustrado.

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Inicialmente, as definições das funções trigonométricas, cujo argumento é um ângulo, eram expressas por meio da razão entre os lados de um triângulo retângulo.

Definições de funções trigonométricas

O seno de um ângulo (sin α) é a razão entre a perna oposta a esse ângulo e a hipotenusa.

O cosseno do ângulo (cos α) é a razão entre a perna adjacente e a hipotenusa.

A tangente do ângulo (t g α) é a razão entre a perna oposta e a adjacente.

A cotangente do ângulo (c t g α) é a razão entre a perna adjacente e a oposta.

Estas definições são dadas para um ângulo agudo de um triângulo retângulo!

Vamos dar uma ilustração.

NO triângulo ABC com ângulo reto C seno do ângulo A é igual à razão perna BC à hipotenusa AB.

As definições de seno, cosseno, tangente e cotangente permitem calcular os valores dessas funções a partir dos comprimentos conhecidos dos lados de um triângulo.

Importante lembrar!

A faixa de valores de seno e cosseno: de -1 a 1. Em outras palavras, seno e cosseno assumem valores de -1 a 1. A faixa de valores de tangente e cotangente é toda a linha numérica, ou seja, esses funções podem assumir qualquer valor.

As definições dadas acima referem-se a ângulos agudos. Na trigonometria, é introduzido o conceito de ângulo de rotação, cujo valor, ao contrário de um ângulo agudo, não é limitado por quadros de 0 a 90 graus. O ângulo de rotação em graus ou radianos é expresso por qualquer número real de - ∞ a + ∞.

Neste contexto, pode-se definir o seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo de magnitude arbitrária. Imagine um círculo unitário centrado na origem do sistema de coordenadas cartesianas.

O ponto inicial A com coordenadas (1 , 0) é girado em torno do centro círculo unitário através de algum ângulo α e vai para o ponto A 1 . A definição é dada através das coordenadas do ponto A 1 (x, y).

Seno (sin) do ângulo de rotação

O seno do ângulo de rotação α é a ordenada do ponto A 1 (x, y). sinα = y

Cosseno (cos) do ângulo de rotação

O cosseno do ângulo de rotação α é a abscissa do ponto A 1 (x, y). cos α = x

Tangente (tg) do ângulo de rotação

A tangente do ângulo de rotação α é a razão entre a ordenada do ponto A 1 (x, y) e sua abcissa. t g α = y x

Cotangente (ctg) do ângulo de rotação

A cotangente do ângulo de rotação α é a razão entre a abcissa do ponto A 1 (x, y) e sua ordenada. c t g α = x y

Seno e cosseno são definidos para qualquer ângulo de rotação. Isso é lógico, porque a abscissa e a ordenada do ponto após a rotação podem ser determinadas em qualquer ângulo. A situação é diferente com tangente e cotangente. A tangente não é definida quando o ponto após a rotação vai para o ponto com abcissa zero (0 , 1) e (0 , - 1). Nesses casos, a expressão para a tangente t g α = y x simplesmente não faz sentido, pois contém divisão por zero. A situação é semelhante com a cotangente. A diferença é que a cotangente não é definida nos casos em que a ordenada do ponto se anula.

Importante lembrar!

Seno e cosseno são definidos para quaisquer ângulos α.

A tangente é definida para todos os ângulos exceto α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

A cotangente é definida para todos os ângulos exceto α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Ao decidir exemplos práticos não diga "seno do ângulo de rotação α". As palavras "ângulo de rotação" são simplesmente omitidas, o que implica que, pelo contexto, já está claro o que está em jogo.

Números

E quanto à definição do seno, cosseno, tangente e cotangente de um número, e não do ângulo de rotação?

Seno, cosseno, tangente, cotangente de um número

Seno, cosseno, tangente e cotangente de um número t um número é chamado, que é respectivamente igual ao seno, cosseno, tangente e cotangente em t radiano.

Por exemplo, o seno de 10 π é igual ao seno do ângulo de rotação de 10 π rad.

Existe outra abordagem para a definição do seno, cosseno, tangente e cotangente de um número. Vamos considerá-lo com mais detalhes.

Qualquer número real t um ponto no círculo unitário é colocado em correspondência com o centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas retangulares. Seno, cosseno, tangente e cotangente são definidos em função das coordenadas deste ponto.

O ponto de partida no círculo é o ponto A com coordenadas (1 , 0).

número positivo t

Número negativo t corresponde ao ponto para o qual o ponto de partida se moverá se ele se mover no sentido anti-horário ao longo do círculo e vai passar pelo caminho t .

Agora que a conexão entre o número e o ponto no círculo foi estabelecida, passamos à definição de seno, cosseno, tangente e cotangente.

Seno (sin) do número t

Seno de um número t- ordenada do ponto do círculo unitário correspondente ao número t. sen t = y

Cosseno (cos) de t

Cosseno de um número t- abscissa do ponto do círculo unitário correspondente ao número t. custo t = x

Tangente (tg) de t

Tangente de um número t- a razão da ordenada para a abcissa do ponto do círculo unitário correspondente ao número t. t g t = y x = sin t custo t

As últimas definições são consistentes e não contradizem a definição dada no início desta seção. Ponto em um círculo correspondente a um número t, coincide com o ponto para o qual passa o ponto de partida depois de girar pelo ângulo t radiano.

Funções trigonométricas de argumentos angulares e numéricos

Cada valor do ângulo α corresponde a determinado valor seno e cosseno desse ângulo. Assim como todos os ângulos α exceto α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) corresponde a um determinado valor da tangente. A cotangente, como mencionado acima, é definida para todo α, exceto para α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Podemos dizer que sin α , cos α , t g α , c t g α são funções do ângulo alpha, ou funções do argumento angular.

Da mesma forma, podemos falar sobre seno, cosseno, tangente e cotangente como funções argumento numérico. Cada número real t corresponde a um valor específico do seno ou cosseno de um número t. Todos os números diferentes de π 2 + π · k , k ∈ Z, correspondem ao valor da tangente. A cotangente é definida de forma semelhante para todos os números, exceto π · k , k ∈ Z.

Funções básicas de trigonometria

Seno, cosseno, tangente e cotangente são as funções trigonométricas básicas.

Geralmente fica claro a partir do contexto com qual argumento da função trigonométrica (argumento angular ou argumento numérico) estamos lidando.

Vamos voltar aos dados logo no início das definições e do ângulo alfa, que fica na faixa de 0 a 90 graus. Definições trigonométricas seno, cosseno, tangente e cotangente são totalmente consistentes com as definições geométricas dadas usando as proporções dos lados de um triângulo retângulo. Vamos mostrar.

Tome um círculo unitário centrado em um retângulo sistema cartesiano coordenadas. Vamos girar o ponto inicial A (1, 0) em um ângulo de até 90 graus e desenhar a partir do ponto resultante A 1 (x, y) perpendicular ao eixo x. No triângulo retângulo resultante, o ângulo A 1 O H igual ao ângulo volta α, o comprimento da perna O H é igual à abcissa do ponto A 1 (x, y) . comprimento da perna, canto oposto, é igual à ordenada do ponto A 1 (x, y), e o comprimento da hipotenusa é igual a um, pois é o raio do círculo unitário.

De acordo com a definição da geometria, o seno do ângulo α é igual à razão entre a perna oposta e a hipotenusa.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Isso significa que a definição do seno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo por meio da razão de aspecto é equivalente à definição do seno do ângulo de rotação α, com alfa na faixa de 0 a 90 graus.

Da mesma forma, a correspondência de definições pode ser mostrada para cosseno, tangente e cotangente.

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Se construirmos um círculo unitário centrado na origem e definirmos um valor arbitrário do argumento x0 e contar a partir do eixo Boi canto x 0, então este ângulo no círculo unitário corresponde a algum ponto UMA(Figura 1) e sua projeção no eixo Oh haverá um ponto M. Comprimento do corte OMé igual a valor absoluto ponto abcissa UMA. dado valor argumento x0 valor da função mapeada y= cos x 0 como a abscissa de um ponto MAS. Consequentemente, o ponto NO(x 0 ;no 0) pertence ao gráfico da função no= cos x(Figura 2). Se ponto MAS localizado à direita do eixo OU, o tocoseno será positivo, se for para a esquerda será negativo. Mas de qualquer forma, o ponto MAS não pode sair do círculo. Portanto, o cosseno varia de -1 a 1:

-1 = cos x = 1.

Rotação adicional para qualquer ângulo, múltiplo de 2 p, retorna um ponto UMA para o mesmo lugar. Portanto, a função y= porque xp:

cos ( x+ 2p) = cos x.

Se tomarmos dois valores do argumento que são iguais em valor absoluto, mas opostos em sinal, x e - x, encontrar pontos correspondentes no círculo um x e Machado. Como visto na fig. 3 sua projeção no eixo Ohé o mesmo ponto M. É por isso

cos(- x) = cos ( x),

Essa. cosseno - função par, f(–x) = f(x).

Assim, podemos explorar as propriedades da função y= cos x no segmento , e então levar em consideração sua paridade e periodicidade.

No x= 0 ponto MAS encontra-se no eixo Oh, sua abscissa é 1 e, portanto, cos 0 = 1. Com um aumento x ponto MAS se move ao redor do círculo para cima e para a esquerda, sua projeção, é claro, apenas para a esquerda, e para x = p/2 cosseno torna-se 0. Ponto UMA neste momento sobe para altura máxima, e depois continua a se mover para a esquerda, mas já diminuindo. Sua abcissa vai diminuindo até atingir o menor valor, igual a –1 em x= p. Assim, no segmento, a função no= cos x diminui monotonicamente de 1 a –1 (Fig. 4, 5).

Segue-se da paridade do cosseno que no intervalo [– p, 0], a função aumenta monotonicamente de –1 a 1, assumindo valor zero em x =–p/2. Se você tirar vários períodos, obtém uma curva ondulada (Fig. 6).

então a função y= cos x assume valores zero em pontos x= p/2 + kp, Onde k- qualquer inteiro. Máximos iguais a 1 são alcançados em pontos x= 2kp, ou seja com passo 2 p, e os mínimos iguais a –1 nos pontos x= p + 2kp.

Função y \u003d sen x.

No círculo unitário x 0 corresponde ao ponto MAS(Fig. 7), e sua projeção no eixo OU haverá um ponto N.C valor da função y 0 = pecado x0 definida como a ordenada de um ponto MAS. Ponto NO(canto x 0 ,no 0) pertence ao gráfico da função y= pecado x(Fig. 8). É claro que a função y= pecado x periódica, seu período é 2 p:

pecado( x+ 2p) = pecado ( x).

Para dois valores de argumento, x e - , projeções de seus pontos correspondentes um x e Machado por eixo OU localizado simetricamente em relação ao ponto O. É por isso

pecado(- x) = –sin ( x),

Essa. seno é uma função ímpar, f(– x) = –f( x) (Fig. 9).

Se o ponto UMA girar sobre um ponto O na esquina p/2 no sentido anti-horário (ou seja, se o ângulo x aumentar em p/2), então sua ordenada na nova posição será igual à abcissa na antiga. Que significa

pecado( x+ p/2) = cos x.

Caso contrário, o seno é o cosseno, "atrasado" por p/2, já que qualquer valor de cosseno irá "repetir" no seno quando o argumento aumentar em p/2. E para construir um gráfico de seno, basta deslocar o gráfico de cosseno por p/2 para a direita (Fig. 10). Extremamente propriedade importante seno é expresso pela igualdade

O significado geométrico da igualdade pode ser visto na Fig. 11. Aqui X- isso é metade do arco AB, e pecado X- metade do acorde correspondente. Obviamente, à medida que os pontos se aproximam MAS e NO o comprimento da corda está se aproximando cada vez mais do comprimento do arco. Da mesma figura, é fácil extrair a desigualdade

| pecado x| x|, válido para qualquer x.

Fórmula (*) chamada de matemáticos limite maravilhoso. Dele, em particular, segue-se que o pecado x» x em pequeno x.

Funções no=tg x, y=ctg x. Duas outras funções trigonométricas - tangente e cotangente são mais fáceis de definir como razões do seno e cosseno já conhecidas por nós:

Como seno e cosseno, tangente e cotangente são funções periódicas, mas seus períodos são iguais p, ou seja eles são metade do seno e cosseno. A razão para isso é clara: se o seno e o cosseno mudarem de sinal, sua razão não mudará.

Como há um cosseno no denominador da tangente, a tangente não é definida nos pontos onde o cosseno é 0 - quando x= p/2 +kp. Em todos os outros pontos aumenta monotonicamente. direto x= p/2 + kp para a tangente são as assíntotas verticais. Em pontos kp tangente e declive são 0 e 1, respectivamente (Fig. 12).

A cotangente não é definida onde o seno é 0 (quando x = kp). Em outros pontos ela diminui monotonicamente, e as linhas x = kp – seu assíntotas verticais. Em pontos x = p/2 +kp a cotangente torna-se 0 e a inclinação nesses pontos é -1 (Fig. 13).

Paridade e periodicidade.

Uma função é chamada mesmo se f(–x) = f(x). As funções cosseno e secante são pares, e as funções seno, tangente, cotangente e cossecante são ímpares:

sin(-α) = -sinα	tg (–α) = –tg α
cos(-α) = cosα	ctg(-α) = -ctgα
sec(-α) = secα	cosec (–α) = – cosec α

As propriedades de paridade decorrem da simetria dos pontos P um e R- uma (Fig. 14) sobre o eixo x. Com tal simetria, a ordenada do ponto muda de sinal (( x;no) vai para ( x; -y)). Todas as funções - periódica, seno, cosseno, secante e cossecante têm um período de 2 p, e tangente e cotangente - p:

pecado (α + 2 kπ) = sinα	cos (α + 2 kπ) = cosα
tan (α + kπ) = tgα	ctg(α + kπ) = ctgα
seg (α + 2 kπ) = segundos	coseg (α + 2 kπ) = coseα

A periodicidade do seno e cosseno decorre do fato de que todos os pontos P a + 2 kp, Onde k= 0, ±1, ±2,…, coincidem, e a periodicidade da tangente e cotangente se deve ao fato de que os pontos P um + kp alternadamente caem em dois diametralmente pontos opostos círculos dando o mesmo ponto no eixo tangente.

As principais propriedades das funções trigonométricas podem ser resumidas em uma tabela:

Função	Domínio	muitos valores	Paridade	Áreas de monotonicidade ( k= 0, ± 1, ± 2,…)
pecado x	–Ґ x Ґ	[–1, +1]	ímpar	aumenta com x O((4 k – 1) p /2, (4k + 1) p/2), diminui à medida que x O((4 k + 1) p /2, (4k + 3) p/2)
porque x	–Ґ x Ґ	[–1, +1]	até	aumenta com x O((2 k – 1) p, 2kp), diminui em x oi (2 kp, (2k + 1) p)
tg x	x № p/2 + p k	(–Ґ , +Ґ )	ímpar	aumenta com x O((2 k – 1) p /2, (2k + 1) p /2)
ctg x	x № p k	(–Ґ , +Ґ )	ímpar	diminui em x O ( kp, (k + 1) p)
segundo x	x № p/2 + p k	(–Ґ , –1] E [+1, +Ґ )	até	aumenta com x oi (2 kp, (2k + 1) p), diminui em x O((2 k– 1) p , 2 kp)
causa x	x № p k	(–Ґ , –1] E [+1, +Ґ )	ímpar	aumenta com x O((4 k + 1) p /2, (4k + 3) p/2), diminui à medida que x O((4 k – 1) p /2, (4k + 1) p /2)

Fórmulas de fundição.

De acordo com essas fórmulas, o valor da função trigonométrica do argumento a, onde p/2 a p , pode ser reduzido ao valor da função do argumento a , onde 0 a p /2, ambos iguais e adicionais a ele.

Argumento b	- uma	+ um	p- uma	p+ um	+ um	+ um	2p- uma
pecado	porque um	porque um	pecar um	–pecar um	-porque um	-porque um	–pecar um
cosb	pecar um	–pecar um	-porque um	-porque um	–pecar um	pecar um	porque um

Portanto, nas tabelas de funções trigonométricas, os valores são dados apenas para ângulos agudos, bastando nos limitarmos, por exemplo, ao seno e à tangente. A tabela contém apenas as fórmulas mais usadas para seno e cosseno. A partir deles é fácil obter fórmulas para tangente e cotangente. Ao lançar uma função de um argumento da forma kp/2 ± a , onde ké um inteiro, para uma função do argumento a :

1) o nome da função é salvo se k par, e muda para "complementar" se kímpar;

2) o sinal do lado direito coincide com o sinal da função redutível no ponto kp/2 ± a se o ângulo a for agudo.

Por exemplo, ao lançar ctg (a - p/2) certifique-se de que a - p/2 em 0 a p /2 está no quarto quadrante, onde a cotangente é negativa, e, conforme regra 1, mudamos o nome da função: ctg (a - p/2) = –tg a .

Fórmulas de adição.

Fórmulas de múltiplos ângulos.

Estas fórmulas são derivadas diretamente das fórmulas de adição:

sin 2a \u003d 2 sin a cos a;

cos 2a \u003d cos 2 a - sen 2 a \u003d 2 cos 2 a - 1 \u003d 1 - 2 sen 2 a;

sin 3a \u003d 3 sin a - 4 sin 3 a;

cos 3a \u003d 4 cos 3 a - 3 cos a;

A fórmula para cos 3a foi usada por François Viet ao resolver equação cúbica. Ele foi o primeiro a encontrar expressões para cos n um e pecado n a , que posteriormente foram obtidos mais maneira simples da fórmula de De Moivre.

Se em fórmulas argumento duplo substitua a por /2, eles podem ser convertidos em fórmulas de meio ângulo:

Fórmulas universais de substituição.

Usando essas fórmulas, uma expressão envolvendo diferentes funções trigonométricas do mesmo argumento pode ser reescrita como expressão racional de uma função tg (a / 2), isso é útil ao resolver algumas equações:

Fórmulas para converter somas em produtos e produtos em somas.

Antes do advento dos computadores, essas fórmulas eram usadas para simplificar os cálculos. Os cálculos foram feitos usando tabelas logarítmicas e, posteriormente - régua de cálculo, Porque os logaritmos são mais adequados para multiplicar números, então todas as expressões originais foram reduzidas a uma forma conveniente para logaritmos, ou seja, para trabalhos como:

2 pecado uma sen b = cos ( a-b) – cos ( a+b);

2 cos uma porque b= cos( a-b) + cos( a+b);

2 pecado uma porque b= pecado ( a-b) + pecado ( a+b).

As fórmulas para as funções tangente e cotangente podem ser obtidas acima.

Fórmulas de redução de grau.

Das fórmulas de um argumento múltiplo, as fórmulas são derivadas:

sen 2a \u003d (1 - cos 2a) / 2;	cos2a = (1 + cos2a)/2;
pecado 3a \u003d (3 pecado a - pecado 3a) / 4;	cos 3 a = (3 cos a + cos3 a )/4.

Com essas fórmulas equações trigonométricas pode ser reduzido a equações graus baixos. Da mesma forma, fórmulas de redução para potências maiores de seno e cosseno podem ser derivadas.

Derivadas e integrais de funções trigonométricas
(pecado x)` = cos x;	(porque x)` = -sin x;
(tg x)` = ;	(ctg x)` = – ;
não pequei x dx= -cos x + C;	porque x dx= pecado x + C;
t tg x dx= –ln |cos x| + C;	t ctg xdx = ln|pecado x| + C;

Toda função trigonométrica em todo ponto de seu domínio de definição é contínua e infinitamente diferenciável. Além disso, as derivadas das funções trigonométricas são funções trigonométricas e, quando integradas, também são obtidas funções trigonométricas ou seus logaritmos. Integrais de combinações racionais de funções trigonométricas são sempre funções elementares.

Representação de funções trigonométricas na forma de séries de potências e produtos infinitos.

Todas as funções trigonométricas podem ser expandidas em série de potência. Neste caso, as funções pecam x b cos x aparecem em linhas. convergente para todos os valores x:

Essas séries podem ser usadas para obter expressões aproximadas para o pecado x e porque x para valores pequenos x:

em | x| p/2;

em 0x| p

(B n são números de Bernoulli).

funções sin x e porque x podem ser representados como produtos infinitos:

Sistema trigonométrico 1, cos x, pecado x, cos 2 x, pecado 2 x, ¼, cos nx, pecado nx, ¼, se forma no intervalo [– p, p] sistema ortogonal de funções, que permite representar funções na forma de séries trigonométricas.

são definidas como continuações analíticas das funções trigonométricas correspondentes de um argumento real em plano complexo. sim pecado z e porque z pode ser definido usando séries para o pecado x e porque x, se em vez de x colocar z:

Essas séries convergem em todo o plano, então sen z e porque z são funções inteiras.

A tangente e a cotangente são determinadas pelas fórmulas:

funções tg z e ctg z são funções meromorfas. pólos tg z e segundo z são simples (1ª ordem) e estão localizados em pontos z=p/2 + pn, pólos ctg z e cosec z também são simples e estão localizados em pontos z = p n, n = 0, ±1, ±2,…

Todas as fórmulas que são válidas para funções trigonométricas de um argumento real também são válidas para um argumento complexo. Em particular,

pecado(- z) = -sin z,

cos(- z) = cos z,

tg(- z) = –tg z,

ctg (- z) = -ctg z,

Essa. as paridades pares e ímpares são preservadas. As fórmulas também são salvas

pecado( z + 2p) = pecado z, (z + 2p) = cos z, (z + p) = tg z, (z + p) = ctg z,

Essa. a periodicidade também é preservada e os períodos são os mesmos das funções de um argumento real.

As funções trigonométricas podem ser expressas em termos de uma função exponencial de um argumento puramente imaginário:

De volta, e iz expresso em termos de cos z e pecado z de acordo com a fórmula:

e iz= cos z + eu pecado z

Essas fórmulas são chamadas de fórmulas de Euler. Leonhard Euler os apresentou em 1743.

As funções trigonométricas também podem ser expressas em termos de funções hiperbólicas:

z = –eu sh iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.

onde sh, ch e th são seno, cosseno e tangente hiperbólicos.

Funções trigonométricas de argumento complexo z = x + iy, Onde x e y- números reais, podem ser expressos em termos de funções trigonométricas e hiperbólicas de argumentos reais, por exemplo:

pecado( x+iy) = pecado x CH y + eu porque x sh y;

cos ( x+iy) = cos x CH y + eu pecado x sh y.

O seno e o cosseno de um argumento complexo podem assumir valores reais maiores que 1 em valor absoluto. Por exemplo:

Se um ângulo desconhecido entra na equação como um argumento de funções trigonométricas, a equação é chamada trigonométrica. Tais equações são tão comuns que seus métodos as soluções são muito detalhadas e cuidadosamente projetadas. A PARTIR DE ajuda vários truques e fórmulas, as equações trigonométricas são reduzidas a equações da forma f(x)= um, Onde f- qualquer uma das funções trigonométricas mais simples: seno, cosseno, tangente ou cotangente. Em seguida, expresse o argumento x esta função através de seu valor conhecido uma.

Como as funções trigonométricas são periódicas, o mesmo uma do intervalo de valores existem infinitos valores do argumento, e a solução da equação não pode ser escrita como uma única função de uma. Portanto, no domínio de definição de cada uma das principais funções trigonométricas, é selecionada uma seção na qual ela assume todos os seus valores, cada um apenas uma vez, e é encontrada uma função que é inversa a ela nesta seção. Tais funções são designadas atribuindo o prefixo arc (arco) ao nome função original, e são chamados trigonométricos inversos funções ou apenas funções de arco.

Funções trigonométricas inversas.

pelo pecado x, porque x, tg x e ctg x pode ser definido funções inversas. Eles são designados respectivamente arcsin x(leia "arxina x"), arcos x, arco x e arcctg x. Por definição, arcsin x existe tal número sim, o que

pecado no = x.

O mesmo vale para outras funções trigonométricas inversas. Mas esta definição sofre de alguma imprecisão.

Se refletirmos o pecado x, porque x, tg x e ctg x em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes plano coordenado, então as funções, devido à sua periodicidade, tornam-se ambíguas: o mesmo seno (cosseno, tangente, cotangente) corresponde a um número infinito de ângulos.

Para se livrar da ambigüidade, uma seção da curva com uma largura de p, enquanto é necessário que seja observada uma correspondência biunívoca entre o argumento e o valor da função. Áreas próximas à origem são selecionadas. para o seio como o "intervalo de um para um" é tomado o segmento [- p/2, p/2], em que o seno aumenta monotonicamente de –1 a 1, para o cosseno - o segmento , para a tangente e a cotangente, respectivamente, os intervalos (– p/2, p/2) e (0, p). Cada curva no intervalo é refletida sobre a bissetriz e agora você pode definir funções trigonométricas inversas. Por exemplo, deixe o valor do argumento ser dado x 0 , tal que 0J x 0 Ј 1. Então o valor da função y 0 = arco sen x 0 vai ser único significado no 0 , de tal modo que - p/2 J no 0 Ј p/2 e x 0 = pecado y 0 .

Assim, o arco seno é uma função do arco seno uma, definido no intervalo [–1, 1] e igual para cada uma tal valor a , - p/2 a p /2 esse pecado a = uma.É muito conveniente representá-lo usando um círculo unitário (Fig. 15). Quando | a| 1 existem dois pontos no círculo com uma ordenada uma, simétrico em relação ao eixo y. Um deles é o ângulo uma= arco sen uma, e o outro é o ângulo p - a. A PARTIR DE levando em consideração a periodicidade da solução senoidal equações do pecado x= uma está escrito da seguinte forma:

x =(–1)n arco pecado uma + 2p n,

Onde n= 0, ±1, ±2,...

Outras equações trigonométricas simples também são resolvidas:

porque x = uma, –1 =uma= 1;

x=±arcos uma + 2p n,

Onde P= 0, ±1, ±2,... (Fig. 16);

tg x = uma;

x= arco uma + p n,

Onde n = 0, ±1, ±2,... (Fig. 17);

ctg x= uma;

x= arcctg uma + p n,

Onde n = 0, ±1, ±2,... (Fig. 18).

As principais propriedades das funções trigonométricas inversas:

arco pecado x(Fig. 19): o domínio de definição é o segmento [–1, 1]; variar - [- p/2, p/2], uma função monotonicamente crescente;

arcos x(Fig. 20): o domínio de definição é o segmento [–1, 1]; faixa de valores - ; função monotonicamente decrescente;

arco x(Fig. 21): domínio de definição - todos os números reais; faixa de valores – intervalo (– p/2, p/2); função monotonicamente crescente; direto no= –p/2 e y \u003d p / 2 - assíntotas horizontais;

arco x(Fig. 22): domínio de definição - todos os números reais; intervalo de valores - intervalo (0, p); função monotonicamente decrescente; direto y= 0 e y = p são as assíntotas horizontais.

,

Para qualquer um z = x+iy, Onde x e y são números reais, existem desigualdades

½| e\ey–e-y| ≤| pecado z|≤½( e y +e-y),

½| e y–e-y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),

das quais y® Ґ fórmulas assintóticas seguem (uniformemente em relação a x)

| pecado z| » 1/2 e |y| ,

|porque z| » 1/2 e |y| .

As funções trigonométricas surgiram pela primeira vez em conexão com a pesquisa em astronomia e geometria. As razões dos segmentos de um triângulo e um círculo, que são essencialmente funções trigonométricas, são encontradas já no século III. BC e. nas obras de matemáticos da Grécia Antiga – Euclides, Arquimedes, Apolônio de Perga e outros, no entanto, essas proporções não foram objeto independente estudos, de modo que as funções trigonométricas como tais não foram estudadas por eles. Eles foram originalmente considerados como segmentos e nesta forma foram usados ​​por Aristarco (final do século 4 - 2ª metade do século III aC), Hiparco (século 2 aC), Menelau (século 1 dC). ) e Ptolomeu (século 2 dC) quando resolução de triângulos esféricos. Ptolomeu compilou a primeira tabela de cordas para ângulos agudos até 30 "com uma precisão de 10 -6. Esta foi a primeira tabela de senos. Como uma razão função pecado a já é encontrado em Aryabhata (final do século V). As funções tg a e ctg a são encontradas em al-Battani (2ª metade do século IX - início do século X) e Abul-Vef (século X), que também usa sec a e cosec a. Aryabhata já conhecia a fórmula (sin 2 a + cos 2 a ) = 1, e também fórmulas de pecado e porque meio ângulo, com a ajuda das quais construiu tabelas de senos para ângulos até 3 ° 45 "; com base nos valores conhecidos das funções trigonométricas para os argumentos mais simples. Bhaskara (século XII) deu um método para construir tabelas até 1 usando fórmulas de adição. As fórmulas para converter a soma e a diferença de funções trigonométricas de vários argumentos no produto foram derivadas por Regiomontanus (século XV) e J. Napier em conexão com a invenção dos últimos logaritmos (1614). Regiomontanus deu uma tabela de valores seno através de 1 ". A expansão das funções trigonométricas em séries de potências foi obtida por I. Newton (1669). NO forma moderna a teoria das funções trigonométricas foi introduzida por L. Euler (século XVIII). Ele possui sua definição para argumentos reais e complexos, o simbolismo agora aceito, o estabelecimento de uma conexão com função exponencial e ortogonalidade do sistema de senos e cossenos.

Neste artigo, mostraremos como definições de seno, cosseno, tangente e cotangente de ângulo e número em trigonometria. Aqui falaremos sobre notação, daremos exemplos de registros, daremos ilustrações gráficas. Em conclusão, traçamos um paralelo entre as definições de seno, cosseno, tangente e cotangente em trigonometria e geometria.

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Definição de seno, cosseno, tangente e cotangente

Vamos acompanhar como o conceito de seno, cosseno, tangente e cotangente é formado em curso escolar matemática. Nas aulas de geometria, é dada a definição de seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo. E posteriormente estuda-se a trigonometria, que se refere ao seno, cosseno, tangente e cotangente do ângulo de rotação e o número. Damos todas essas definições, damos exemplos e fazemos os comentários necessários.

Ângulo agudo em um triângulo retângulo

Do curso de geometria, são conhecidas as definições de seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo. Eles são dados como a razão entre os lados de um triângulo retângulo. Apresentamos suas formulações.

Definição.

Seno de um ângulo agudo em um triângulo retânguloé a razão entre a perna oposta e a hipotenusa.

Definição.

Cosseno de um ângulo agudo em um triângulo retânguloé a razão entre a perna adjacente e a hipotenusa.

Definição.

Tangente de um ângulo agudo em um triângulo retânguloé a razão entre a perna oposta e a perna adjacente.

Definição.

Cotangente de um ângulo agudo em um triângulo retânguloé a razão entre a perna adjacente e a perna oposta.

A notação de seno, cosseno, tangente e cotangente também é introduzida ali - sen, cos, tg e ctg, respectivamente.

Por exemplo, se ABC é um triângulo retângulo com um ângulo reto C, então o seno do ângulo agudo A é igual à razão entre o cateto oposto BC e a hipotenusa AB, ou seja, sen∠A=BC/AB.

Essas definições permitem calcular os valores do seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo agudo a partir dos comprimentos conhecidos dos lados de um triângulo retângulo, bem como de valores conhecidos seno, cosseno, tangente, cotangente e o comprimento de um dos lados para encontrar os comprimentos dos outros lados. Por exemplo, se soubéssemos que em um triângulo retângulo o cateto AC é 3 e a hipotenusa AB é 7 , então poderíamos calcular o cosseno do ângulo agudo A por definição: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Ângulo de rotação

Na trigonometria, eles começam a olhar para o ângulo de forma mais ampla - eles introduzem o conceito de ângulo de rotação. O ângulo de rotação, ao contrário de um ângulo agudo, não é limitado por quadros de 0 a 90 graus, o ângulo de rotação em graus (e em radianos) pode ser expresso por qualquer número real de −∞ a +∞.

Nesta luz, as definições de seno, cosseno, tangente e cotangente não são mais um ângulo agudo, mas um ângulo de magnitude arbitrária - o ângulo de rotação. Eles são dados através das coordenadas x e y do ponto A 1 , no qual o chamado ponto inicial A(1, 0) passa depois de girar de um ângulo α em torno do ponto O - o início de um sistema de coordenadas cartesiano retangular e o centro do círculo unitário.

Definição.

Seno do ângulo de rotaçãoα é a ordenada do ponto A 1 , ou seja, sinα=y .

Definição.

cosseno do ângulo de rotaçãoα é chamada de abcissa do ponto A 1 , ou seja, cosα=x .

Definição.

Tangente do ângulo de rotaçãoα é a razão entre a ordenada do ponto A 1 e sua abcissa, ou seja, tgα=y/x .

Definição.

A cotangente do ângulo de rotaçãoα é a razão entre a abscissa do ponto A 1 e sua ordenada, ou seja, ctgα=x/y .

O seno e o cosseno são definidos para qualquer ângulo α , pois sempre podemos determinar a abscissa e a ordenada de um ponto, que se obtém girando o ponto inicial pelo ângulo α . E tangente e cotangente não são definidas para nenhum ângulo. A tangente não é definida para tais ângulos α em que o ponto inicial vai para um ponto com abscissa zero (0, 1) ou (0, −1) , e isso ocorre nos ângulos 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). De fato, em tais ângulos de rotação, a expressão tgα=y/x não faz sentido, pois contém divisão por zero. Quanto à cotangente, ela não está definida para tais ângulos α em que o ponto de partida vai para um ponto com ordenada zero (1, 0) ou (−1, 0) , e este é o caso dos ângulos 180° k , k ∈Z (π k rad).

Portanto, o seno e o cosseno são definidos para quaisquer ângulos de rotação, a tangente é definida para todos os ângulos, exceto 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) e a cotangente é para todos os ângulos, exceto 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

As notações já conhecidas por nós aparecem nas definições sin, cos, tg e ctg, também são usadas para denotar o seno, cosseno, tangente e cotangente do ângulo de rotação (às vezes você pode encontrar a notação tan e cot correspondente a tangente e co-tangente). Assim, o seno do ângulo de rotação de 30 graus pode ser escrito como sin30°, os registros tg(−24°17′) e ctgα correspondem à tangente do ângulo de rotação −24 graus 17 minutos e à cotangente do ângulo de rotação α . Lembre-se de que, ao escrever a medida em radianos de um ângulo, a notação "rad" geralmente é omitida. Por exemplo, o cosseno de um ângulo de rotação de três pi rads é geralmente denotado cos3 π .

Para concluir este parágrafo, vale a pena notar que, ao falar sobre seno, cosseno, tangente e cotangente do ângulo de rotação, a frase “ângulo de rotação” ou a palavra “rotação” é frequentemente omitida. Ou seja, em vez da frase "seno do ângulo de rotação alfa", geralmente é usada a frase "seno do ângulo de alfa", ou ainda mais curta - "seno de alfa". O mesmo se aplica ao cosseno, tangente e cotangente.

Digamos também que as definições de seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo são consistentes com as definições dadas para seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo de rotação variando de 0 a 90 graus. Nós vamos fundamentar isso.

Números

Definição.

Seno, cosseno, tangente e cotangente de um número t é um número igual ao seno, cosseno, tangente e cotangente do ângulo de rotação em t radianos, respectivamente.

Por exemplo, o cosseno de 8 π é, por definição, um número igual ao cosseno de um ângulo de 8 π rad. E o cosseno do ângulo é 8 π rad igual a um, portanto, o cosseno do número 8 π é igual a 1 .

Existe outra abordagem para a definição do seno, cosseno, tangente e cotangente de um número. Consiste no fato de que cada número real t está associado a um ponto do círculo unitário com o centro no início sistema retangular coordenadas, e o seno, cosseno, tangente e cotangente são definidos em função das coordenadas deste ponto. Vamos nos debruçar sobre isso com mais detalhes.

Vamos mostrar como se estabelece a correspondência entre os números reais e os pontos do círculo:

• o número 0 é atribuído ao ponto inicial A(1, 0);
• número positivo t corresponde ao ponto do círculo unitário, ao qual chegaremos se percorrermos o círculo desde o ponto inicial no sentido anti-horário e vamos pelo caminho comprimento t;
• número negativo t corresponde a um ponto do círculo unitário, que alcançaremos se percorrermos o círculo a partir do ponto inicial no sentido horário e percorrermos uma trajetória de comprimento |t| .

Agora vamos passar para as definições de seno, cosseno, tangente e cotangente do número t. Suponhamos que o número t corresponde a um ponto do círculo A 1 (x, y) (por exemplo, o número &pi/2; corresponde ao ponto A 1 (0, 1) ).

Definição.

O seno de um número t é a ordenada do ponto do círculo unitário correspondente ao número t , ou seja, sint=y .

Definição.

O cosseno de um número t é chamado de abcissa do ponto do círculo unitário correspondente ao número t , ou seja, custo=x .

Definição.

Tangente de um número t é a razão entre a ordenada e a abcissa do ponto do círculo unitário correspondente ao número t, ou seja, tgt=y/x. Em outra formulação equivalente, a tangente do número t é a razão do seno desse número para o cosseno, ou seja, tgt=sint/cost .

Definição.

Cotangente de um número t é a razão entre a abscissa e a ordenada do ponto do círculo unitário correspondente ao número t, ou seja, ctgt=x/y. Outra formulação é a seguinte: a tangente do número t é a razão do cosseno do número t para o seno do número t : ctgt=cost/sint .

Aqui notamos que as definições dadas concordam com a definição dada no início desta subseção. Com efeito, o ponto do círculo unitário correspondente ao número t coincide com o ponto obtido pela rotação do ponto de partida de um ângulo de t radianos.

Também vale a pena esclarecer este ponto. Digamos que temos uma entrada sin3. Como entender se o seno do número 3 ou o seno do ângulo de rotação de 3 radianos está em questão? Isso geralmente fica claro no contexto, caso contrário, provavelmente não importa.

Funções trigonométricas de argumentos angulares e numéricos

De acordo com as definições dadas no parágrafo anterior, cada ângulo de rotação α corresponde a um valor bem definido sen α , bem como ao valor cos α . Além disso, todos os ângulos de rotação diferentes de 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) correspondem aos valores tgα , e diferentes de 180° k , k∈Z (π k rad ) são os valores de ctgα . Portanto sinα, cosα, tgα e ctgα são funções do ângulo α. Em outras palavras, essas são funções do argumento angular.

Da mesma forma, podemos falar sobre as funções seno, cosseno, tangente e cotangente de um argumento numérico. De fato, cada número real t corresponde a um valor bem definido de sint , assim como custo . Além disso, todos os números diferentes de π/2+π·k , k∈Z correspondem aos valores tgt , e os números π·k , k∈Z correspondem aos valores ctgt .

As funções seno, cosseno, tangente e cotangente são chamadas funções trigonométricas básicas.

Geralmente fica claro pelo contexto que estamos lidando com funções trigonométricas de um argumento angular ou numérico. Caso contrário, podemos considerar a variável independente como uma medida do ângulo ( argumento angular), bem como um argumento numérico.

No entanto, a escola estuda principalmente funções numéricas, ou seja, funções cujos argumentos, bem como seus valores de função correspondentes, são números. Portanto, se nós estamos falando especificamente sobre funções, é conveniente considerar as funções trigonométricas como funções de argumentos numéricos.

Conexão de definições de geometria e trigonometria

Se considerarmos o ângulo de rotação α de 0 a 90 graus, os dados no contexto da trigonometria da definição do seno, cosseno, tangente e cotangente do ângulo de rotação são totalmente consistentes com as definições do seno, cosseno , tangente e cotangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo, que são dadas no curso de geometria. Vamos fundamentar isso.

Desenhe um círculo unitário no sistema retangular de coordenadas cartesianas Oxy. Observe o ponto inicial A(1, 0) . Vamos girá-lo por um ângulo α variando de 0 a 90 graus, obtemos o ponto A 1 (x, y) . Vamos soltar a perpendicular A 1 H do ponto A 1 ao eixo Ox.

É fácil ver que em um triângulo retângulo o ângulo A 1 OH é igual ao ângulo de rotação α, o comprimento da perna OH adjacente a esse ângulo é igual à abscissa do ponto A 1, ou seja, |OH |=x, o comprimento da perna oposta ao ângulo A 1 H é igual à ordenada do ponto A 1 , ou seja, |A 1 H|=y , e o comprimento da hipotenusa OA 1 é igual a um , pois é o raio do círculo unitário. Então, por definição da geometria, o seno de um ângulo agudo α em um triângulo retângulo A 1 OH é igual à razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, ou seja, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= s/1=s . E por definição da trigonometria, o seno do ângulo de rotação α é igual à ordenada do ponto A 1, ou seja, senα=y. Isso mostra que a definição do seno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é equivalente à definição do seno do ângulo de rotação α para α de 0 a 90 graus.

Da mesma forma, pode-se mostrar que as definições de cosseno, tangente e cotangente de um ângulo agudo α são consistentes com as definições de cosseno, tangente e cotangente do ângulo de rotação α.

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Definições

As definições das funções trigonométricas são dadas com a ajuda de um círculo trigonométrico, que é entendido como um círculo de raio unitário centrado na origem.

Considere dois raios deste círculo: fixo (onde é o ponto) e móvel (onde é o ponto). Deixe o raio móvel formar um ângulo com o fixo.

O número igual à ordenada da extremidade do raio unitário formando um ângulo com um raio fixo é chamado seno do ângulo : .

O número igual à abcissa da extremidade do raio unitário formando um ângulo com um raio fixo é chamado cosseno do ângulo : .

Assim, o ponto que é a extremidade do raio móvel que forma o canto tem coordenadas.

Tangente de um ânguloé a razão entre o seno desse ângulo e seu cosseno: , .

cotangente de um ânguloé a razão entre o cosseno desse ângulo e seu seno: , .

Significado geométrico das funções trigonométricas

O significado geométrico do seno e cosseno em um círculo trigonométrico é claro a partir da definição: esta é a abscissa e as ordenadas do ponto de interseção do raio móvel, que faz um ângulo com o raio fixo, e o círculo trigonométrico. Aquilo é, .

Considere agora o significado geométrico de tangente e cotangente. Os triângulos são semelhantes em três ângulos (,), então a relação é válida. Por outro lado, em, portanto.

Também semelhante em três cantos (,), então a relação se mantém. Por outro lado, em, portanto.

Tendo em conta o significado geométrico de tangente e cotangente, introduz-se o conceito de eixo das tangentes e eixo das cotangentes.

Os eixos das tangentes são chamados de eixos, um dos quais toca o círculo trigonométrico em um ponto e é direcionado para cima, o segundo toca o círculo em um ponto e é direcionado para baixo.

Os eixos cotangentes são chamados de eixos, um dos quais toca o círculo trigonométrico em um ponto e é direcionado para a direita, o segundo toca o círculo em um ponto e é direcionado para a esquerda.

Propriedades das funções trigonométricas

Vamos considerar algumas propriedades básicas das funções trigonométricas. Outras propriedades serão discutidas na seção sobre gráficos de funções trigonométricas.

Escopo e intervalo de valores

Como mencionado anteriormente, seno e cosseno existem para quaisquer ângulos, ou seja, o domínio de definição dessas funções é o conjunto numeros reais. Por definição, a tangente não existe para ângulos, mas a cotangente para ângulos, .

Como seno e cosseno são as ordenadas e abscissas de um ponto em um círculo trigonométrico, seus valores estão entre eles. A imagem da tangente e da cotangente é o conjunto dos números reais (é fácil ver isso observando os eixos das tangentes e cotangentes).

Par ou ímpar

Considere as funções trigonométricas de dois ângulos (que corresponde ao raio móvel) e (que corresponde ao raio móvel). Desde então, o ponto tem coordenadas. Portanto, ou seja seno - função ímpar; , ou seja cosseno é uma função par; , ou seja a tangente é ímpar; , ou seja a cotangente também é ímpar.

Intervalos de constância

Sinais de funções trigonométricas para vários bairros coordenados seguem da definição dessas funções. Observe que, como tangente e cotangente são razões de seno e cosseno, elas são positivas quando o seno e o cosseno de um ângulo são sinais idênticos e negativo quando diferentes.

Periodicidade

A periodicidade do seno e cosseno é baseada no fato de que os ângulos que diferem por um inteiro revoluções completas, correspondem ao mesmo posição relativa vigas móveis e fixas. Conseqüentemente, as coordenadas do ponto de interseção do feixe móvel e do círculo trigonométrico serão as mesmas para ângulos que diferem por um número inteiro de revoluções completas. Então o período de seno e cosseno é e onde.

Obviamente, esse também é o período da tangente e da cotangente. Mas existe um período menor para essas funções? Provamos que o menor período para a tangente e a cotangente é.

Considere dois ângulos e. Op sentido geométrico tangente e cotangente, . Os triângulos são iguais ao longo do lado e dos ângulos adjacentes a ele e, portanto, seus lados também são iguais, o que significa e. Da mesma forma, pode-se provar onde. Assim, o período de tangente e cotangente é.

Funções trigonométricas de ângulos básicos

Fórmulas trigonométricas

Por solução de sucesso problemas trigonométricos precisa possuir vários fórmulas trigonométricas. No entanto, não há necessidade de memorizar todas as fórmulas. Você precisa saber de cor apenas as mais básicas e precisa ser capaz de deduzir o restante das fórmulas, se necessário.

Principal identidade trigonométrica e as consequências disso

Todas as funções trigonométricas ângulo arbitrário interligados, ou seja conhecendo uma função, você sempre pode encontrar o resto. Essa conexão é dada pelas fórmulas consideradas nesta seção.

Teorema 1 (Identidade trigonométrica básica). Para qualquer, a identidade

A prova consiste em aplicar o teorema de Pitágoras para um triângulo retângulo com catetos e uma hipotenusa.

Um teorema mais geral também é verdadeiro.

Teorema 2. Para que dois números sejam considerados cosseno e seno de um mesmo ângulo real, é necessário e suficiente que a soma de seus quadrados seja igual a um:

Considere as consequências da identidade trigonométrica principal.

Vamos expressar o seno em termos de cosseno e o cosseno em termos de seno:

Nessas fórmulas, o sinal de mais ou menos na frente da raiz é escolhido dependendo do quarto em que o ângulo se encontra.

Substituindo as fórmulas obtidas acima nas fórmulas que determinam a tangente e a cotangente, obtemos:

Dividindo a identidade trigonométrica básica termo a termo por ou obtemos, respectivamente:

Essas razões podem ser reescritas como:

As fórmulas a seguir fornecem a relação entre tangente e cotangente. Desde quando, e quando, então a igualdade ocorre:

Fórmulas de elenco

Com a ajuda de fórmulas de redução, pode-se expressar os valores das funções trigonométricas de ângulos arbitrários em termos dos valores das funções de um ângulo agudo. Todas as fórmulas de redução podem ser generalizadas usando a seguinte regra.

Qualquer função trigonométrica de um ângulo, em valor absoluto, é igual à mesma função do ângulo, se o número for par, e à co-função do ângulo, se o número for ímpar. Além disso, se a função do ângulo for positiva, quando é um ângulo agudo positivo, os sinais de ambas as funções são iguais, se forem negativos, então são diferentes.

Fórmulas para soma e diferença de ângulos

Teorema 3 . Para qualquer real e as seguintes fórmulas são verdadeiras:

A prova das restantes fórmulas baseia-se nas fórmulas de redução e par/ímpar para funções trigonométricas.

Q.E.D.

Teorema 4. Para qualquer real e tal que

1. , as seguintes fórmulas são válidas

2. , as seguintes fórmulas são válidas

Prova. Por definição de tangente

A última transformação é obtida dividindo o numerador e o denominador desta fração.

Da mesma forma para a cotangente (o numerador e o denominador neste caso são divididos por):

Q.E.D.

Deve-se atentar para o fato de que as partes direita e esquerda das últimas igualdades Áreas diferentes valores permitidos. Portanto, o uso dessas fórmulas sem restrições de valores possíveis cantos podem levar a resultados incorretos.

Fórmulas de ângulo duplo e meio-ângulo

Fórmulas ângulo duplo nos permitem expressar as funções trigonométricas de um ângulo arbitrário em termos de funções de um ângulo metade do original. Essas fórmulas são consequências das fórmulas da soma de dois ângulos, se colocarmos os ângulos neles iguais entre si.

A última fórmula pode ser transformada usando a identidade trigonométrica básica:

Assim, para o cosseno de um ângulo duplo, existem três fórmulas:

Deve-se notar que dada fórmula válido apenas quando

A última fórmula é válida para, .

Da mesma forma que as funções de ângulo duplo, as funções de ângulo triplo podem ser obtidas. Aqui estas fórmulas são dadas sem prova:

As fórmulas de meio-ângulo são consequências das fórmulas de ângulo duplo e permitem expressar as funções trigonométricas de um determinado ângulo em termos de funções de um ângulo duas vezes o original.

1. Funções trigonométricas são funções elementares cujo argumento é canto. Com a ajuda de funções trigonométricas, as relações entre os lados e cantos afiados em um triângulo retângulo. As áreas de aplicação das funções trigonométricas são extremamente diversas. Assim, por exemplo, qualquer processo periódico pode ser representado como uma soma de funções trigonométricas (série de Fourier). Essas funções geralmente aparecem ao resolver equações diferenciais e funcionais.

2. As funções trigonométricas incluem as seguintes 6 funções: seio, cosseno, tangente,co-tangente, secante e cossecante. para cada um funções especificadas existe uma função trigonométrica inversa.

3. definição geométrica funções trigonométricas são convenientemente introduzidas usando círculo unitário. A figura abaixo mostra um círculo com raio r = 1. O ponto M(x,y) é marcado no círculo. O ângulo entre o vetor raio OM e a direção positiva do eixo Ox é α.

4. seio o ângulo α é a razão da ordenada y do ponto M(x,y) para o raio r:
sinα=y/r.
Como r=1, então o seno é igual à ordenada do ponto M(x,y).

5. cosseno o ângulo α é a razão entre a abcissa x do ponto M(x,y) e o raio r:
cosα=x/r

6. tangente o ângulo α é a razão entre a ordenada y do ponto M(x,y) e sua abcissa x:
tanα=y/x,x≠0

7. Co-tangente o ângulo α é a razão entre a abcissa x do ponto M(x,y) e sua ordenada y:
cotα=x/y,y≠0

8. Secanteângulo α é a razão entre o raio r e a abcissa x do ponto M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Cossecanteângulo α é a razão do raio r para a ordenada y do ponto M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. No círculo unitário, as projeções x, y dos pontos M(x,y) e o raio r formam um triângulo retângulo, em qual x,y são pernas, e r é a hipotenusa. Portanto, as definições acima de funções trigonométricas aplicadas a triângulo retângulo são assim formulados:
seio o ângulo α é a razão entre a perna oposta e a hipotenusa.
cosseno o ângulo α é a razão entre a perna adjacente e a hipotenusa.
tangente o ângulo α é chamado de perna oposta à adjacente.
Co-tangente o ângulo α é chamado de perna adjacente à oposta.
Secante O ângulo α é a razão entre a hipotenusa e perna adjacente.
Cossecanteângulo α é a razão entre a hipotenusa e a perna oposta.

11. gráfico de função seno
y=sinx, domínio: x∈R, domínio: −1≤sinx≤1

12. Gráfico da função cosseno
y=cosx, domínio: x∈R, intervalo: −1≤cosx≤1

13. gráfico de função tangente
y=tanx, domínio: x∈R,x≠(2k+1)π/2, domínio: −∞

14. Gráfico da função cotangente
y=cotx, domínio: x∈R,x≠kπ, domínio: −∞

15. Gráfico da função secante
y=secx, domínio: x∈R,x≠(2k+1)π/2, domínio: secx∈(−∞,−1]∪∪)