Recent, mama unui școlar cu care studiez sună și îi cere copilului să-i explice matematica, pentru că el nu înțelege, dar ea strigă la el și nu iese conversația cu fiul ei.
Nu am depozit matematic minte, oameni creativi acest lucru nu este tipic, dar am spus că voi vedea prin ce trec și voi încerca. Și asta sa întâmplat.
Am luat o coală de hârtie A4, alb simplu, pixuri, un creion în mâini și am început să scot în evidență ceea ce merită să înțeleg, să-mi amintesc, să fiu atent. Și astfel încât să puteți vedea unde merge această cifră și cum se schimbă.
Explicația exemplelor din partea stângă, pe partea dreapta.
Exemplul #1
Un exemplu de ecuație pentru clasa 4 cu semnul plus.
Primul pas este să ne uităm, ce putem face în această ecuație? Aici putem efectua înmulțirea. Înmulțim 80 * 7 obținem 560. Îl rescriem din nou.
X + 320 = 560 (numerele evidențiate cu un marcator verde).
X \u003d 560 - 320. Am stabilit minusul, deoarece atunci când numărul este transferat, semnul din fața lui se schimbă în opus. Să facem scăderea.
X = 240 Asigurați-vă că verificați. Verificarea va arăta dacă am rezolvat corect ecuația. Înlocuiește x cu numărul pe care l-ai primit.
Examinare:
240 + 320 \u003d 80 * 7 Adunăm numerele, pe de altă parte, înmulțim.
Asta e corect! Deci am rezolvat corect ecuația!
Exemplul #2
Un exemplu de ecuație pentru clasa 4 cu semnul minus.
X - 180 = 240/3
Primul pas este să ne uităm, ce putem face în această ecuație? LA acest exemplu putem împărți. Împărțim 240 la 3 și obținem 80. Rescrie din nou ecuația.
X - 180 = 80 (numerele evidențiate cu un marcator verde).
Acum vedem că avem x (necunoscut) și numere, numai că nu una lângă alta, ci separate printr-un semn egal. X pe o parte, numere pe cealaltă.
X \u003d 80 + 180 Punem semnul plus deoarece atunci când numărul este transferat, semnul care era în fața numărului se schimbă în opus. Consideram.
X = 260 munca de verificare. Verificarea va arăta dacă am rezolvat corect ecuația. Înlocuiește x cu numărul pe care l-ai primit.
Examinare:
260 – 180 = 240/3
Asta e corect!
Exemplul #3
400 - x \u003d 275 + 25 Adunați numerele.
400 - x = 300 Numere separate prin semnul egal, x este negativ. Pentru a o face pozitivă, trebuie să o deplasăm prin semnul egal, să colectăm numerele pe o parte, x pe cealaltă parte.
400 - 300 \u003d x Numărul 300 a fost pozitiv, când a fost transferat pe cealaltă parte, și-a schimbat semnul și a devenit un minus. Consideram.
Pentru că nu este obișnuit să scrieți așa, iar primul din ecuație ar trebui să fie x, schimbați-le.
Examinare:
400 - 100 = 275 + 25 Numărăm.
Asta e corect!
Exemplul #4
Un exemplu de ecuație pentru clasa 4 cu semnul minus, unde x este în mijloc, cu alte cuvinte un exemplu de ecuație în care x este negativ în mijloc.
72 - x \u003d 18 * 3 Efectuăm înmulțirea. Rescrierea exemplului.
72 - x \u003d 54 Aliniem numerele într-o direcție, x în cealaltă. Numărul 54 își inversează semnul, deoarece sare peste semnul egal.
72 - 54 \u003d x Numărăm.
18 = x Schimbați, pentru comoditate.
Examinare:
72 – 18 = 18 * 3
Asta e corect!
Exemplul #5
Un exemplu de ecuație cu x cu scădere și adunare pentru nota 4.
X - 290 = 470 + 230 Adunați.
X - 290 = 700 Am stabilit numerele pe o parte.
X \u003d 700 + 290 Considerăm.
Examinare:
990 - 290 = 470 + 230 Adăugarea.
Asta e corect!
Exemplul #6
Un exemplu de ecuație cu x pentru înmulțire și împărțire pentru clasa a 4-a.
15 * x \u003d 630/70 Efectuăm împărțirea. Să rescriem ecuația.
15 * x \u003d 90 Este la fel ca 15x \u003d 90 Lăsați x pe o parte, numerele pe cealaltă. Această ecuație ia următoarea formă.
X \u003d 90/15 la transferul numărului 15, semnul înmulțirii se schimbă în diviziune. Consideram.
Examinare:
15*6 = 630 / 7 Faceți înmulțirea și scăderea.
Asta e corect!
Acum să trecem peste regulile de bază:
- Înmulțiți, adunați, împărțiți sau scădeți;
Făcând ceea ce se poate face, ecuația va deveni puțin mai scurtă.
- X pe o parte, numere pe cealaltă.
O variabilă necunoscută într-o direcție (nu întotdeauna x, poate o literă diferită), numere în cealaltă.
- Când transferați x sau o cifră prin semnul egal, semnul lor este inversat.
Dacă numărul a fost pozitiv, atunci la transfer, punem un semn minus în fața numărului. Și invers, dacă numărul sau x a fost cu semnul minus, atunci când se transferă prin egal, punem un semn plus.
- Dacă la sfârșit ecuația începe cu un număr, atunci doar schimbă.
- Verificăm mereu!
În timp ce face teme pentru acasă, munca la clasa, teste, poți oricând să iei o foaie și să scrii mai întâi pe ea și să faci o verificare.
În plus, găsim exemple similareîn internet, cărți suplimentare, manuale. Este mai ușor să nu schimbi numerele, ci să luăm exemple gata făcute.
Cum mai mult copil va decide singur, va studia singur, cu atât mai repede va învăța materialul.
Dacă copilul nu înțelege exemple cu o ecuație, merită să explici exemplul și să le spui celorlalți să urmeze modelul.
Dat descriere detaliata cum să explici unui școlar ecuațiile cu x pentru:
- părinţi;
- şcolari;
- tutori;
- bunici;
- profesori;
Copiii trebuie să facă totul în culoare, cu creioane diferite pe tablă, dar, din păcate, nu toată lumea face asta.
Din practica mea
Băiatul a scris cum a vrut, contrar regulilor existente în matematică. La verificarea ecuației, erau numere diferite și un număr (din stânga) nu era egal cu celălalt (cel din dreapta), a petrecut timp căutând o eroare.
Când a fost întrebat de ce face asta? A existat un răspuns pe care încerca să-l ghicească și să se gândească și dintr-o dată o va face bine.
LA acest caz trebuie să rezolvați exemple similare în fiecare zi (din două zile). Pentru a aduce acțiuni la automatism și bineînțeles că toți copiii sunt diferiți, s-ar putea să nu ajungă de la prima lecție.
Dacă părinții nu au timp, și adesea au, pentru că părinții câștigă bani gheata, atunci este mai bine să găsești în orașul tău un tutore care să-i explice copilului materialul abordat.
Acum este vârsta examenului, a testelor, lucrări de control, există colecții și manuale suplimentare. Când fac temele copilului, părinții ar trebui să-și amintească că nu vor fi la examen la școală. Este mai bine să îi explicați clar copilului 1 dată, astfel încât copilul să poată rezolva în mod independent exemplele.
O ecuație este o egalitate care conține o literă a cărei valoare trebuie găsită.
În ecuații, necunoscutul este de obicei notat cu litere mici Literă latină. Cele mai frecvent utilizate litere sunt „x” [x] și „y” [y].
- Rădăcina ecuației- aceasta este valoarea literei, la care se obține egalitatea numerică corectă din ecuație.
- rezolva ecuatia- înseamnă să-i găsești toate rădăcinile sau să te asiguri că nu există rădăcini.
După ce am rezolvat ecuația, notăm întotdeauna cecul după răspuns.
Informații pentru părinți
Dragi părinți, vă rugăm să rețineți că școală primară iar în clasa a V-a copiii NU cunosc tema „Numere negative”.
Prin urmare, ei trebuie să rezolve ecuații folosind numai proprietățile de adunare, scădere, înmulțire și împărțire. Metodele de rezolvare a ecuațiilor pentru clasa a 5-a sunt prezentate mai jos.
Nu încercați să explicați soluția ecuațiilor transferând numere și litere dintr-o parte a ecuației în alta cu o schimbare de semn.
Vă puteți reîmprospăta cunoștințele despre conceptele legate de adunare, scădere, înmulțire și împărțire în lecția „Legile aritmeticii”.
Rezolvarea ecuațiilor pentru adunare și scădere
Cum să găsești necunoscutul
termen
Cum să găsești necunoscutul
descăzut
Cum să găsești necunoscutul
descăzut
Pentru a găsi termenul necunoscut, scădeți termenul cunoscut din sumă.
Pentru a găsi minuend necunoscut, trebuie să adăugați subtraendul la diferență.
Pentru a găsi subtraend necunoscut, este necesar să scădem diferența din minuend.
x + 9 = 15
x = 15 − 9
x=6
Examinare
x − 14 = 2
x = 14 + 2
x=16
Examinare
16 − 2 = 14
14 = 14
5 − x = 3
x = 5 − 3
x=2
Examinare
Rezolvarea ecuațiilor de înmulțire și împărțire
Cum să găsești necunoscutul
factor
Cum să găsești necunoscutul
dividend
Cum să găsești necunoscutul
separator
A găsi multiplicator necunoscut, este necesar să se împartă produsul la un factor cunoscut.
Pentru a găsi dividendul necunoscut, trebuie să înmulțiți coeficientul cu divizorul.
Pentru a găsi divizorul necunoscut, împărțiți dividendul la cât.
y 4 = 12
y=12:4
y=3
Examinare
y:7=2
y = 2 7
y=14
Examinare
8:y=4
y=8:4
y=2
Examinare
O ecuație este o ecuație care conține litera al cărei semn trebuie găsit. Soluția unei ecuații este setul de valori ale literelor care transformă ecuația într-o egalitate adevărată:
Amintiți-vă că pentru a rezolva ecuaţie este necesar să transferați termenii cu necunoscutul într-o parte a egalității, iar termenii numerici în cealaltă, aduceți-i pe cei similari și obțineți următoarea egalitate:
Din ultima egalitate, determinăm necunoscuta prin regula: „unul dintre factori este egal cu câtul împărțit la al doilea factor”.
La fel de numere rationale a și b pot avea același și semne diferite, atunci semnul necunoscutului este determinat de regulile de împărțire a numerelor raționale.
Procedura de rezolvare a ecuațiilor liniare
Ecuația liniară trebuie simplificată prin deschiderea parantezelor și efectuarea acțiunilor etapei a doua (înmulțire și împărțire).
Mutați necunoscutele pe o parte a semnului egal și numerele pe cealaltă parte a semnului egal, devenind identice cu egalitatea dată,
Aduceți like la stânga și la dreapta semnului egal, obținând o egalitate a formei topor = b.
Calculați rădăcina ecuației (aflați necunoscutul X din egalitate X = b : A),
Efectuați un test înlocuind necunoscutul în ecuația dată.
Dacă obținem o identitate egalitate numerică, atunci ecuația este corectă.
Cazuri speciale de rezolvare a ecuațiilor
- În cazul în care un ecuația este dat de un produs egal cu 0, apoi pentru a-l rezolva folosim proprietatea înmulțirii: „produsul este egal cu zero dacă unul dintre factori sau ambii factori sunt egali cu zero”.
- Deschideți paranteze, dacă există;
- Mutați termenii care conțin o variabilă într-o parte a semnului egal și termenii fără variabilă în cealaltă;
- Aduceți termeni similari la stânga și la dreapta semnului egal;
- Împărțiți ecuația rezultată la coeficientul variabilei $x$ .
- Ecuația nu are deloc soluții. De exemplu, când obțineți ceva de genul $0\cdot x=8$, de exemplu. în stânga este zero, iar în dreapta este un număr diferit de zero. În videoclipul de mai jos, vom analiza mai multe motive pentru care această situație este posibilă.
- Soluția sunt toate numerele. Singurul caz în care acest lucru este posibil este atunci când ecuația este redusă la construcția $0\cdot x=0$. Este destul de logic că, indiferent de ce $x$ înlocuim, se va dovedi totuși „zero este egal cu zero”, adică. egalitate numerică corectă.
- Mai întâi de toate, trebuie să deschideți parantezele, dacă există (ca în cazul nostru ultimul exemplu);
- Apoi aduceți similare
- În cele din urmă, izolați variabila, adică tot ceea ce este legat de variabilă - termenii în care este conținut - este transferat într-o parte, iar tot ceea ce rămâne fără ea este transferat pe cealaltă parte.
- Extindeți parantezele, dacă există.
- Seclude variabile, de ex. tot ceea ce conține „x” este transferat pe o parte, iar fără „x” - pe cealaltă.
- Prezentăm termeni similari.
- Împărțim totul cu coeficientul de la „x”.
- După cum am spus mai sus, nu orice ecuație liniară are o soluție - uneori pur și simplu nu există rădăcini;
- Chiar dacă există rădăcini, zero poate intra printre ele - nu este nimic rău în asta.
- Variabile separate.
- Scapă de fracții.
- Deschideți paranteze.
- Aduceți similare.
- Împărțiți cu un factor.
- Cunoașteți algoritmul de rezolvare a ecuațiilor liniare.
- Abilitatea de a deschide paranteze.
- Nu vă faceți griji dacă aveți undeva funcții pătratice, cel mai probabil, în procesul de transformări ulterioare, acestea vor fi reduse.
- Rădăcinile din ecuațiile liniare, chiar și cele mai simple, sunt de trei tipuri: o singură rădăcină, întreaga linie numerică este o rădăcină, nu există rădăcini deloc.
- Ecuație irațională: învățarea rezolvării prin metoda izolării rădăcinilor
- Cum se rezolvă o ecuație biquadratică
- Test pentru lecție" Expresii complexe cu fracții "(ușor)
- Examen de probă 2012 din 7 decembrie. Opțiunea 1 (fără logaritmi)
- Tutorial video despre sarcinile C2: distanța de la un punct la un plan
- Profesor de matematică: unde să-i ducem pe elevi?
27 (X - 3) = 0
27 nu este egal cu 0, deci X - 3 = 0
Al doilea exemplu are două soluții ale ecuației, deoarece
Aceasta este o ecuație de gradul doi:
Dacă coeficienții ecuației sunt fracții obișnuite, primul lucru de făcut este să scapi de numitori. Pentru asta:
A găsi numitor comun;
Defini multiplicatori suplimentari pentru fiecare termen al ecuației;
Înmulțiți numărătorii fracțiilor și numerelor întregi cu factori suplimentari și notați toți termenii ecuației fără numitori (numitorul comun poate fi aruncat);
Mutați termenii cu necunoscute într-o parte a ecuației, iar termenii numerici în cealaltă din semnul egal, obținând o egalitate echivalentă;
Aduceți condiții similare;
Proprietățile de bază ale ecuațiilor
Orice parte a ecuației poate fi dată termeni asemănători sau paranteze deschise.
Orice termen al ecuației poate fi transferat dintr-o parte a ecuației în alta prin schimbarea semnului său la opus.
Ambele părți ale ecuației pot fi înmulțite (împărțite) cu același număr, cu excepția 0.
În exemplul de mai sus, toate proprietățile sale au fost folosite pentru a rezolva ecuația.
Regula pentru rezolvarea ecuațiilor simple
Atenţie!
Sunt suplimentare
materiale în sectiune speciala 555.
Pentru cei puternici „nu foarte. »
Și pentru cei care „foarte chiar. "")
Ecuatii lineare.
Ecuațiile liniare nu sunt cele mai bune subiect dificil matematica scolara. Dar există câteva trucuri acolo care pot deruta chiar și un student instruit. Să ne dăm seama?)
O ecuație liniară este de obicei definită ca o ecuație de forma:
Nimic complicat, nu? Mai ales dacă nu observi cuvintele: „unde a și b sunt numere”. Și dacă observi, dar gândește-te neglijent?) La urma urmei, dacă a=0, b=0(este posibile numere?), atunci obținem o expresie amuzantă:
Dar asta nu este tot! Dacă, să zicem, a=0, A b=5, se dovedește ceva destul de absurd:
Ceea ce stresează și subminează încrederea în matematică, da.) Mai ales la examene. Dar dintre aceste expresii ciudate, trebuie să găsiți și X! Care nu există deloc. Și, surprinzător, acest X este foarte ușor de găsit. Vom învăța cum să o facem. În această lecție.
Cum să recunoaștem o ecuație liniară în aparență? Depinde ce aspect.) Trucul este că ecuațiile liniare se numesc nu numai ecuații de formă topor + b = 0 , dar și orice ecuații care se reduc la această formă prin transformări și simplificări. Și cine știe dacă este redus sau nu?)
O ecuație liniară poate fi recunoscută clar în unele cazuri. Să spunem, dacă avem o ecuație în care există doar necunoscute de gradul întâi, da numere. Și ecuația nu fracții împărțite la necunoscut , este important! Și împărțirea după număr, sau o fracție numerică - asta este! De exemplu:
Aceasta este o ecuație liniară. Există fracții aici, dar nu există x-uri în pătrat, în cub etc. și nu există x-uri în numitori, i.e. Nu împărțirea cu x. Și aici este ecuația
nu poate fi numit liniar. Aici x-urile sunt toate în primul grad, dar există împărțirea prin expresie cu x. După simplificări și transformări, puteți obține o ecuație liniară și una pătratică și orice doriți.
Se pare că este imposibil să afli o ecuație liniară într-un exemplu complicat până când aproape că o rezolvi. Este supărător. Dar în teme, de regulă, ei nu întreabă despre forma ecuației, nu? În sarcini, ecuațiile sunt ordonate decide. Asta ma face fericit.)
Rezolvarea ecuațiilor liniare. Exemple.
Întreaga soluție ecuatii lineare constă din transformări identice ale ecuaţiilor. Apropo, aceste transformări (până la două!) stau la baza soluțiilor toate ecuațiile matematicii. Cu alte cuvinte, decizia orice Ecuația începe cu aceleași transformări. În cazul ecuațiilor liniare, ea (soluția) asupra acestor transformări se termină cu un răspuns cu drepturi depline. Are sens să urmezi linkul, nu?) Mai mult, există și exemple de rezolvare a ecuațiilor liniare.
Să începem cu cel mai simplu exemplu. Fara capcane. Să presupunem că trebuie să rezolvăm următoarea ecuație.
Aceasta este o ecuație liniară. X-urile sunt toate la prima putere, nu există nicio împărțire cu X. Dar, de fapt, nu ne interesează care este ecuația. Trebuie să o rezolvăm. Schema de aici este simplă. Strângeți totul cu x în partea stângă a egalității, totul fără x (numerele) în dreapta.
Pentru a face acest lucru, trebuie să transferați — 4x în partea stângă, cu schimbare de semn, desigur, dar — 3 - La dreapta. Apropo, asta este prima transformare identică a ecuațiilor. Uimit? Deci, nu au urmat linkul, dar în zadar.) Primim:
Dam similare, consideram:
De ce ne lipsește fericire deplină? Da, ca să fie un X curat în stânga! Cinci iese în cale. Scapă de cei cinci cu a doua transformare identică a ecuațiilor.Și anume, împărțim ambele părți ale ecuației la 5. Obținem un răspuns gata făcut:
Un exemplu elementar, desigur. Aceasta este pentru o încălzire.) Nu este foarte clar de ce sunt aici transformări identice amintit? BINE. Luăm taurul de coarne.) Să decidem ceva mai impresionant.
De exemplu, iată această ecuație:
De unde începem? Cu x - la stânga, fără x - la dreapta? Ar putea fi așa. În pași mici drum lung. Și poți imediat, într-un mod universal și puternic. Cu excepția cazului în care, desigur, în arsenalul tău există transformări identice ale ecuațiilor.
Vă pun o întrebare cheie: Ce îți displace cel mai mult la această ecuație?
95 de persoane din 100 vor răspunde: fractii ! Răspunsul este corect. Deci hai să scăpăm de ei. Așa că începem imediat cu a doua transformare identică. Cu ce aveți nevoie pentru a înmulți fracția din stânga, astfel încât numitorul să fie complet redus? Așa e, 3. Și în dreapta? Cu 4. Dar matematica ne permite să înmulțim ambele părți cu acelasi numar. Cum ieșim? Să înmulțim ambele părți cu 12! Acestea. la un numitor comun. Atunci cei trei vor fi redusi, iar cei patru. Nu uitați că trebuie să înmulțiți fiecare parte în întregime. Iată cum arată primul pas:
Notă! Numărător (x+2) Am luat intre paranteze! Acest lucru se datorează faptului că la înmulțirea fracțiilor, numărătorul este înmulțit cu întreg, în întregime! Și acum puteți reduce fracțiile și reduceți:
Deschiderea parantezelor rămase:
Nu un exemplu, dar pură plăcere!) Acum ne amintim vraja din clasele inferioare: cu x - la stânga, fără x - la dreapta!Și aplicați această transformare:
Și împărțim ambele părți la 25, adică. aplica din nou a doua transformare:
Asta e tot. Răspuns: X=0,16
Rețineți: pentru a aduce ecuația originală confuză într-o formă plăcută, am folosit două (doar două!) transformări identice- translație stânga-dreapta cu schimbare de semn și înmulțire-împărțire a ecuației cu același număr. Aceasta este calea universală! Vom lucra în acest fel orice ecuatii! Absolut orice. De aceea, repet mereu aceste transformări identice.)
După cum puteți vedea, principiul rezolvării ecuațiilor liniare este simplu. Luăm ecuația și o simplificăm cu ajutorul transformărilor identice până obținem răspunsul. Principalele probleme aici sunt în calcule, și nu în principiul soluției.
Dar. Există astfel de surprize în procesul de rezolvare a celor mai elementare ecuații liniare pe care le pot duce într-o puternică stupoare.) Din fericire, pot exista doar două astfel de surprize. Să le numim cazuri speciale.
Cazuri speciale în rezolvarea ecuațiilor liniare.
Surpriza mai intai.
Să presupunem că întâlniți o ecuație elementară, ceva de genul:
Puțin plictisit, ne transferăm cu X la stânga, fără X - la dreapta. Cu o schimbare de semn, totul este chinesc. Primim:
Considerăm și. hopa. Primim:
În sine, această egalitate nu este inacceptabilă. Zero este într-adevăr zero. Dar X a dispărut! Și trebuie să scriem în răspuns, cu ce este x egal. Altfel, soluția nu contează, da.) Punctură?
Calm! În astfel de cazuri îndoielnice, regulile cele mai generale salvează. Cum se rezolvă ecuațiile? Ce înseamnă să rezolvi o ecuație? Inseamna, găsiți toate valorile lui x care, atunci când sunt înlocuite în ecuația originală, ne vor oferi egalitatea corectă.
Dar avem egalitatea corectă deja s-a întâmplat! 0=0, unde de fapt?! Rămâne să ne dăm seama la ce x se obține acest lucru. În ce valori ale lui x pot fi înlocuite original ecuația dacă aceste x încă se micșorează la zero? Haide?)
Da. X-urile pot fi înlocuite orice! Ce vrei. Cel puțin 5, cel puțin 0,05, cel puțin -220. Se vor micșora în continuare. Dacă nu mă credeți, puteți verifica.) Înlocuiți orice valori x în original ecuație și calculează. Tot timpul se va obține adevărul pur: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 și așa mai departe.
Iată răspunsul tău: x este orice număr.
Răspunsul poate fi scris în diferite simboluri matematice, esența nu se schimbă. Acesta este un răspuns complet corect și complet.
Surpriza a doua.
Să luăm aceeași ecuație liniară elementară și să schimbăm doar un număr din ea. Iată ce vom decide:
După aceleași transformări identice, obținem ceva intrigant:
Ca aceasta. Am rezolvat o ecuație liniară, am obținut o egalitate ciudată. Matematic vorbind, avem egalitate greșită.Și vorbind limbaj simplu, nu este adevarat. Rave. Dar, cu toate acestea, această prostie este un motiv destul de bun pentru decizia corectă ecuații.)
Din nou, gândim pe baza unor reguli generale. Ce ne va da x, atunci când este înlocuit în ecuația originală corect egalitate? Da, niciunul! Nu există astfel de exe. Orice ai înlocui, totul va fi redus, prostiile vor rămâne.)
Iată răspunsul tău: nu exista solutii.
Acesta este, de asemenea, un răspuns perfect valid. În matematică, astfel de răspunsuri apar adesea.
Ca aceasta. Acum, sper că pierderea lui X în procesul de rezolvare a oricărei ecuații (nu doar liniare) nu vă va deranja deloc. Treaba este familiară.)
Acum că ne-am ocupat de toate capcanele din ecuațiile liniare, este logic să le rezolvăm.
Vor fi la examen? - Aud întrebarea oamenilor practici. Raspund. LA formă pură- Nu. Prea elementar. Dar în GIA, sau la rezolvarea problemelor la examen, cu siguranță le vei întâlni! Deci, schimbăm mouse-ul pe mâner și decidem.
Răspunsurile sunt date în dezordine: 2,5; fara solutii; 51; 17.
S-a întâmplat?! Felicitări! Ai șanse mari la examene.)
Răspunsurile nu se potrivesc? M-da. Acest lucru nu este plăcut. Acesta nu este un subiect de care te poți lipsi. Vă recomand să vizitați Secțiunea 555. Este foarte detaliată, ce a face si la fel de faceți acest lucru pentru a nu vă încurca în decizie. Pe exemplul acestor ecuații.
DAR cum se rezolvă ecuații mai complicat - acesta este în următorul subiect.
Daca va place acest site.
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Aici poți exersa rezolvarea exemplelor și poți afla nivelul tău. Testare cu verificare instantanee. Învață cu interes!
Și aici vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
Rezolvarea ecuațiilor liniare Clasa 7
Pentru soluții de ecuații liniare utilizați două reguli de bază (proprietăți).
Proprietatea #1
sau
regula de transfer
Când este transferat dintr-o parte a ecuației în alta, termenul ecuației își schimbă semnul în opus.
Să ne uităm la regula de transfer cu un exemplu. Să presupunem că trebuie să rezolvăm o ecuație liniară.
Amintiți-vă că orice ecuație are o parte stângă și una dreaptă.
Să mutăm numărul „3” din partea stângă a ecuației la dreapta.
Deoarece numărul „3” avea semnul „+” în partea stângă a ecuației, înseamnă că în partea dreapta ecuația „3” va fi transferată cu semnul „−”.
Primit valoare numerică„x = 2” se numește rădăcina ecuației.
Nu uitați să scrieți răspunsul după rezolvarea oricărei ecuații.
Să luăm în considerare o altă ecuație.
Conform regulii de transfer, vom transfera „4x” din partea stângă a ecuației în partea dreaptă, schimbând semnul la opus.
Chiar dacă nu există niciun semn înainte de „4x”, înțelegem că există un semn „+” înainte de „4x”.
Acum dăm altele asemănătoare și rezolvăm ecuația până la sfârșit.
Proprietatea #2
sau
regula diviziunii
În orice ecuație, puteți împărți părțile din stânga și din dreapta la același număr.
Dar nu poți împărți la necunoscut!
Să ne uităm la un exemplu despre cum să folosiți regula împărțirii atunci când rezolvați ecuații liniare.
Numărul „4”, care stă la „x”, se numește coeficientul numeric al necunoscutului.
Între coeficientul numeric și necunoscut este întotdeauna acțiunea înmulțirii.
Pentru a rezolva ecuația, este necesar să vă asigurați că la „x” există un coeficient „1”.
Să ne punem întrebarea: „La ce trebuie să împărțiți” 4 „la
obține „1”?. Răspunsul este evident, trebuie să împărțiți la „4”.
Folosiți regula împărțirii și împărțiți părțile stânga și dreaptă ale ecuației cu „4”. Nu uitați că trebuie să împărțiți ambele părți din stânga și din dreapta.
Folosim reducerea fracțiilor și rezolvăm ecuația liniară până la capăt.
Cum se rezolvă o ecuație dacă „x” este negativ
Adesea, în ecuații există o situație în care există un coeficient negativ la „x”. Ca în ecuația de mai jos.
Pentru a rezolva o astfel de ecuație, ne punem din nou întrebarea: „La ce trebuie să împărțiți „-2” pentru a obține „1”?”. Împărțiți cu „-2”.
Rezolvarea ecuațiilor liniare simple
În acest videoclip, vom analiza un întreg set de ecuații liniare care sunt rezolvate folosind același algoritm - de aceea sunt numite cele mai simple.
Pentru început, să definim: ce este o ecuație liniară și care dintre ele ar trebui să fie numită cea mai simplă?
O ecuație liniară este una în care există o singură variabilă și numai de gradul întâi.
Cea mai simplă ecuație înseamnă construcția:
Toate celelalte ecuații liniare sunt reduse la cele mai simple folosind algoritmul:
Desigur, acest algoritm nu ajută întotdeauna. Cert este că uneori, după toate aceste mașinațiuni, coeficientul variabilei $x$ se dovedește a fi egal cu zero. În acest caz, sunt posibile două opțiuni:
Și acum să vedem cum funcționează totul pe exemplul problemelor reale.
Exemple de rezolvare a ecuațiilor
Astăzi ne ocupăm de ecuații liniare și doar de cele mai simple. În general, o ecuație liniară înseamnă orice egalitate care conține exact o variabilă și merge doar la primul grad.
Astfel de construcții sunt rezolvate aproximativ în același mod:
Apoi, de regulă, trebuie să aduceți similar de fiecare parte a egalității rezultate, iar după aceea rămâne doar să împărțiți cu coeficientul de la "x", și vom obține răspunsul final.
În teorie, acest lucru pare frumos și simplu, dar în practică, chiar și elevii de liceu cu experiență pot face greșeli jignitoare în ecuații liniare destul de simple. De obicei, greșelile sunt făcute fie la deschiderea parantezelor, fie la numărarea „plusurilor” și „minusurilor”.
În plus, se întâmplă ca o ecuație liniară să nu aibă deloc soluții, sau astfel încât soluția să fie întreaga dreaptă numerică, adică. orice număr. Vom analiza aceste subtilități în lecția de astăzi. Dar vom începe, după cum ați înțeles deja, cu cel mai mult sarcini simple.
Schema de rezolvare a ecuatiilor liniare simple
Pentru început, permiteți-mi să scriu încă o dată întreaga schemă pentru rezolvarea celor mai simple ecuații liniare:
Desigur, această schemă nu funcționează întotdeauna, are anumite subtilități și trucuri, iar acum le vom cunoaște.
Rezolvarea exemplelor reale de ecuații liniare simple
În primul pas, ni se cere să deschidem parantezele. Dar nu sunt în acest exemplu, așa că sărim peste această etapă. În a doua etapă, trebuie să izolăm variabilele. Notă: vorbim numai despre termeni individuali. Hai să scriem:
Dăm termeni similari în stânga și în dreapta, dar acest lucru s-a făcut deja aici. Prin urmare, trecem la al patrulea pas: împărțim la un factor:
Aici avem răspunsul.
În această sarcină, putem observa parantezele, așa că haideți să le extindem:
Atat in stanga cat si in dreapta vedem aproximativ aceeasi constructie, dar sa actionam conform algoritmului, i.e. variabile sechester:
La ce rădăcini funcționează asta? Răspuns: pentru orice. Prin urmare, putem scrie că $x$ este orice număr.
A treia ecuație liniară este deja mai interesantă:
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
Sunt câteva paranteze aici, dar nu sunt înmulțite cu nimic, doar stau în fața lor diverse semne. Să le defalcăm:
Facem al doilea pas deja cunoscut de noi:
Efectuăm ultimul pas - împărțim totul cu coeficientul de la "x":
Lucruri de reținut atunci când rezolvați ecuații liniare
Dacă ignorăm sarcini prea simple, atunci aș dori să spun următoarele:
Zero este același număr cu restul, nu ar trebui să-l discriminezi cumva sau să presupui că dacă obții zero, atunci ai greșit ceva.
O altă caracteristică este legată de extinderea parantezelor. Vă rugăm să rețineți: când există un „minus” în fața lor, îl eliminăm, dar între paranteze schimbăm semnele în opus. Și apoi îl putem deschide conform algoritmilor standard: vom obține ceea ce am văzut în calculele de mai sus.
Înțelegând asta simplu fapt te va împiedica să faci greșeli stupide și dureroase în liceu atunci când a face astfel de lucruri este luat de la sine înțeles.
Rezolvarea ecuațiilor liniare complexe
Să trecem la mai multe ecuații complexe. Acum construcțiile vor deveni mai complicate și o funcție pătratică va apărea la efectuarea diferitelor transformări. Cu toate acestea, nu trebuie să vă fie teamă de acest lucru, deoarece dacă, conform intenției autorului, rezolvăm o ecuație liniară, atunci în procesul de transformare toate monomiile care conțin o funcție pătratică vor fi în mod necesar reduse.
Evident, primul pas este deschiderea parantezelor. Să facem asta cu mare atenție:
Acum să luăm confidențialitatea:
Evident, această ecuație nu are soluții, așa că în răspuns scriem după cum urmează:
Facem aceiași pași. Primul pas:
Să mutăm totul cu o variabilă la stânga și fără ea - la dreapta:
Evident, această ecuație liniară nu are soluție, așa că o scriem astfel:
sau fără rădăcini.
Nuanțe ale soluției
Ambele ecuații sunt complet rezolvate. Pe exemplul acestor două expresii, ne-am asigurat încă o dată că, chiar și în cele mai simple ecuații liniare, totul poate să nu fie atât de simplu: poate fi fie unul, fie niciunul, fie infinit. În cazul nostru, am luat în considerare două ecuații, în ambele pur și simplu nu există rădăcini.
Dar aș dori să vă atrag atenția asupra unui alt fapt: cum să lucrați cu paranteze și cum să le deschideți dacă există un semn minus în fața lor. Luați în considerare această expresie:
Înainte de deschidere, trebuie să înmulțiți totul cu „x”. Vă rugăm să rețineți: înmulțiți fiecare termen individual. În interior sunt doi termeni - respectiv, doi termeni și se înmulțește.
Și abia după ce aceste transformări aparent elementare, dar foarte importante și periculoase au fost finalizate, paranteza poate fi deschisă din punctul de vedere că există un semn minus după el. Da, da: abia acum, când transformările sunt făcute, ne amintim că în fața parantezelor este un semn minus, ceea ce înseamnă că totul în jos doar schimbă semne. În același timp, parantezele în sine dispar și, cel mai important, dispare și „minus” din față.
Facem același lucru cu a doua ecuație:
Nu întâmplător sunt atent la aceste fapte mărunte, aparent nesemnificative. Pentru că rezolvarea ecuațiilor este întotdeauna o succesiune transformări elementare unde incapacitatea de a efectua în mod clar și competent pași simpli duce la faptul că elevii de liceu vin la mine și învață din nou să rezolve astfel de ecuații simple.
Bineînțeles, va veni și ziua în care vei perfecționa aceste abilități la automatism. Nu mai trebuie să faci atâtea transformări de fiecare dată, vei scrie totul într-un singur rând. Dar în timp ce doar înveți, trebuie să scrii fiecare acțiune separat.
Rezolvarea unor ecuații liniare și mai complexe
Ceea ce vom rezolva acum cu greu poate fi numit cea mai simplă sarcină, dar sensul rămâne același.
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21=3\]
Să înmulțim toate elementele din prima parte:
Să facem o retragere:
Să facem ultimul pas:
Iată răspunsul nostru final. Și, în ciuda faptului că în procesul de rezolvare am avut coeficienți cu funcție pătratică, totuși, s-au anihilat reciproc, ceea ce face ca ecuația să fie exact liniară, nu pătrată.
\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]
Să facem primul pas cu atenție: înmulțiți fiecare element din prima paranteză cu fiecare element din al doilea. În total, după transformări ar trebui obținute patru termeni noi:
Și acum efectuați cu atenție înmulțirea în fiecare termen:
Să mutăm termenii cu „x” la stânga și fără - la dreapta:
Iată termeni similari:
Am primit un răspuns definitiv.
Cea mai importantă remarcă despre aceste două ecuații este următoarea: de îndată ce începem să înmulțim paranteze în care există un termen mai mare decât acesta, atunci acest lucru se face conform următoarea regulă: luam primul termen din primul si inmultim cu fiecare element din al doilea; apoi luăm al doilea element din primul și în mod similar ne înmulțim cu fiecare element din al doilea. Ca rezultat, obținem patru termeni.
Pe suma algebrică
În ultimul exemplu, aș dori să le reamintesc elevilor ce este suma algebrică. În matematica clasică, prin $1-7$ înțelegem o construcție simplă: scădem șapte din unu. În algebră, înțelegem prin aceasta următoarele: la numărul „unu” adăugăm un alt număr, și anume „minus șapte”. Această sumă algebrică diferă de suma aritmetică obișnuită.
De îndată ce efectuați toate transformările, fiecare adunare și înmulțire, începeți să vedeți construcții similare celor descrise mai sus, pur și simplu nu veți avea probleme în algebră când lucrați cu polinoame și ecuații.
În concluzie, să ne uităm la câteva exemple care vor fi chiar mai complexe decât cele la care tocmai ne-am uitat și, pentru a le rezolva, va trebui să extindem ușor algoritmul nostru standard.
Rezolvarea ecuațiilor cu o fracție
Pentru a rezolva astfel de sarcini, va mai trebui adăugat un pas la algoritmul nostru. Dar mai întâi, voi aminti algoritmul nostru:
Din păcate, acest algoritm minunat, cu toată eficiența lui, nu este pe deplin potrivit atunci când avem fracții în fața noastră. Și în ceea ce vom vedea mai jos, avem o fracție în stânga și în dreapta în ambele ecuații.
Cum se lucrează în acest caz? Da, este foarte simplu! Pentru a face acest lucru, trebuie să adăugați încă un pas la algoritm, care poate fi efectuat atât înainte de prima acțiune, cât și după aceasta, și anume, scăpați de fracții. Astfel, algoritmul va fi după cum urmează:
Ce înseamnă „să scapi de fracții”? Și de ce este posibil să faceți acest lucru atât după, cât și înainte de primul pas standard? De fapt, în cazul nostru, toate fracțiile sunt numerice în ceea ce privește numitorul, adică. peste tot numitorul este doar un număr. Prin urmare, dacă înmulțim ambele părți ale ecuației cu acest număr, atunci vom scăpa de fracții.
Să scăpăm de fracțiile din această ecuație:
Vă rugăm să rețineți: totul este înmulțit cu „patru” o dată, adică. doar pentru că ai două paranteze nu înseamnă că trebuie să înmulți fiecare dintre ele cu „patru”. Hai să scriem:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(-1 \right)\cdot 4\]
Efectuăm izolarea unei variabile:
Efectuăm reducerea termenilor similari:
\[-4x=-1\left| :\stânga(-4 \dreapta) \dreapta.\]
Avem decizia finala, trecem la a doua ecuație.
Aici efectuăm toate aceleași acțiuni:
Asta, de fapt, este tot ce am vrut să spun astăzi.
Puncte cheie
Principalele constatări sunt următoarele:
Sper că această lecție vă va ajuta să stăpâniți un subiect simplu, dar foarte important pentru înțelegerea ulterioară a tuturor matematicii. Dacă ceva nu este clar, intră pe site, rezolvă exemplele prezentate acolo. Rămâneți pe fază, sunt multe alte lucruri interesante care vă așteaptă!
Pentru a viziona videoclipul, introduceți adresa de e-mail și faceți clic pe butonul „Începe antrenamentul”.
- Tutor cu 12 ani de experienta
- Înregistrare video a fiecărei sesiuni
- Costul unic al cursurilor - 3000 de ruble pentru 60 de minute
- Deschideți paranteze, dacă există;
- Mutați termenii care conțin o variabilă într-o parte a semnului egal și termenii fără variabilă în cealaltă;
- Aduceți termeni similari la stânga și la dreapta semnului egal;
- Împărțiți ecuația rezultată la coeficientul variabilei $x$ .
- Ecuația nu are deloc soluții. De exemplu, când obțineți ceva de genul $0\cdot x=8$, de exemplu. în stânga este zero, iar în dreapta este un număr diferit de zero. În videoclipul de mai jos, vom analiza mai multe motive pentru care această situație este posibilă.
- Soluția sunt toate numerele. Singurul caz în care acest lucru este posibil este atunci când ecuația a fost redusă la construcția $0\cdot x=0$. Este destul de logic că, indiferent de ce $x$ înlocuim, se va dovedi totuși „zero este egal cu zero”, adică. egalitate numerică corectă.
- În primul rând, trebuie să deschideți parantezele, dacă există (ca în ultimul nostru exemplu);
- Apoi aduceți similare
- În cele din urmă, izolați variabila, adică tot ceea ce este legat de variabilă - termenii în care este conținut - este transferat într-o parte, iar tot ceea ce rămâne fără ea este transferat pe cealaltă parte.
- Extindeți parantezele, dacă există.
- Seclude variabile, de ex. tot ceea ce conține „x” este transferat pe o parte, iar fără „x” - pe cealaltă.
- Prezentăm termeni similari.
- Împărțim totul cu coeficientul de la „x”.
- După cum am spus mai sus, nu orice ecuație liniară are o soluție - uneori pur și simplu nu există rădăcini;
- Chiar dacă există rădăcini, zero poate intra printre ele - nu este nimic rău în asta.
- Deschideți paranteze.
- Variabile separate.
- Aduceți similare.
- Împărțiți cu un factor.
- Scapă de fracții.
- Deschideți paranteze.
- Variabile separate.
- Aduceți similare.
- Împărțiți cu un factor.
- Cunoașteți algoritmul de rezolvare a ecuațiilor liniare.
- Abilitatea de a deschide paranteze.
- Nu vă faceți griji dacă undeva aveți funcții pătratice, cel mai probabil, în procesul de transformări ulterioare, acestea vor fi reduse.
- Rădăcinile din ecuațiile liniare, chiar și cele mai simple, sunt de trei tipuri: o singură rădăcină, întreaga linie numerică este o rădăcină, nu există rădăcini deloc.
- Pentru a găsi termenul necunoscut, trebuie să scădeți termenul cunoscut din sumă;
- Pentru a găsi minuend necunoscut, trebuie să adăugați subtraendul la diferență;
- Pentru a găsi subtraend necunoscut, trebuie să scădeți diferența din minuend;
- Pentru a găsi multiplicand necunoscut, trebuie să împărțiți produsul la factor;
- Pentru a găsi factorul necunoscut, trebuie să împărțiți produsul la multiplicand;
- Pentru a găsi dividendul necunoscut, trebuie să înmulțiți coeficientul cu divizorul;
- Pentru a găsi un divizor necunoscut, trebuie să împărțiți dividendul la cât.
- mutați la stânga/dreapta ca termeni, fără a uita să schimbați semnul;
- înmulțiți/împărțiți ambele părți ale ecuației cu același număr.
- - numărul de mere pe care o persoană le va primi (, sau, sau);
- - numărul de mere pe care Vasya le va lua pentru sine;
- - câte mere trebuie să cumpere Vasya, ținând cont de numărul de mere de persoană.
- Ecuația liniară − este o ecuație algebrică în care gradul total al polinoamelor sale constitutive este egal.
- Ecuație liniară cu o variabilă arată astfel:
, unde și sunt orice numere;
Ecuație liniară cu doua variabile:
, unde și sunt orice numere. - Nu este întotdeauna posibil să se determine dacă o ecuație este liniară sau nu. Uneori, pentru a înțelege acest lucru, este necesar să efectuați transformări identice, să mutați termeni similari la stânga/dreapta, fără a uita să schimbați semnul sau să înmulțiți/împărțiți ambele părți ale ecuației cu același număr.
- Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.
- Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
- Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
- De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
- Dacă participați la o tragere la sorți, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.
- Dacă este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în procedurile judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a cererilor din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
- În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.
- În cazul în care un ecuația este dat de un produs egal cu 0, apoi pentru a-l rezolva folosim proprietatea înmulțirii: „produsul este egal cu zero dacă unul dintre factori sau ambii factori sunt egali cu zero”.
- Multimedia
- tabla interactiva
În acest videoclip, vom analiza un întreg set de ecuații liniare care sunt rezolvate folosind același algoritm - de aceea sunt numite cele mai simple.
Pentru început, să definim: ce este o ecuație liniară și care dintre ele ar trebui să fie numită cea mai simplă?
O ecuație liniară este una în care există o singură variabilă și numai de gradul întâi.
Cea mai simplă ecuație înseamnă construcția:
Toate celelalte ecuații liniare sunt reduse la cele mai simple folosind algoritmul:
Desigur, acest algoritm nu ajută întotdeauna. Cert este că uneori, după toate aceste mașinațiuni, coeficientul variabilei $x$ se dovedește a fi egal cu zero. În acest caz, sunt posibile două opțiuni:
Și acum să vedem cum funcționează totul pe exemplul problemelor reale.
Exemple de rezolvare a ecuațiilor
Astăzi ne ocupăm de ecuații liniare și doar de cele mai simple. În general, o ecuație liniară înseamnă orice egalitate care conține exact o variabilă și merge doar la primul grad.
Astfel de construcții sunt rezolvate aproximativ în același mod:
Apoi, de regulă, trebuie să aduceți similar de fiecare parte a egalității rezultate, iar după aceea rămâne doar să împărțiți cu coeficientul de la "x", și vom obține răspunsul final.
În teorie, acest lucru pare frumos și simplu, dar în practică, chiar și elevii de liceu cu experiență pot face greșeli jignitoare în ecuații liniare destul de simple. De obicei, greșelile sunt făcute fie la deschiderea parantezelor, fie la numărarea „plusurilor” și „minusurilor”.
În plus, se întâmplă ca o ecuație liniară să nu aibă deloc soluții, sau astfel încât soluția să fie întreaga dreaptă numerică, adică. orice număr. Vom analiza aceste subtilități în lecția de astăzi. Dar vom începe, așa cum ați înțeles deja, cu cele mai simple sarcini.
Schema de rezolvare a ecuatiilor liniare simple
Pentru început, permiteți-mi să scriu încă o dată întreaga schemă pentru rezolvarea celor mai simple ecuații liniare:
Desigur, această schemă nu funcționează întotdeauna, are anumite subtilități și trucuri, iar acum le vom cunoaște.
Rezolvarea exemplelor reale de ecuații liniare simple
Sarcina 1
În primul pas, ni se cere să deschidem parantezele. Dar nu sunt în acest exemplu, așa că sărim peste acest pas. În a doua etapă, trebuie să izolăm variabilele. Vă rugăm să rețineți: vorbim doar despre termeni individuali. Hai să scriem:
Dăm termeni similari în stânga și în dreapta, dar acest lucru s-a făcut deja aici. Prin urmare, trecem la al patrulea pas: împărțim la un factor:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Aici avem răspunsul.
Sarcina #2
În această sarcină, putem observa parantezele, așa că haideți să le extindem:
Atat in stanga cat si in dreapta vedem aproximativ aceeasi constructie, dar sa actionam conform algoritmului, i.e. variabile sechester:
Iată câteva de genul:
La ce rădăcini funcționează asta? Răspuns: pentru orice. Prin urmare, putem scrie că $x$ este orice număr.
Sarcina #3
A treia ecuație liniară este deja mai interesantă:
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
Sunt mai multe paranteze aici, dar nu sunt înmulțite cu nimic, doar au semne diferite în fața lor. Să le defalcăm:
Facem al doilea pas deja cunoscut de noi:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Să calculăm:
Efectuăm ultimul pas - împărțim totul cu coeficientul de la "x":
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Lucruri de reținut atunci când rezolvați ecuații liniare
Dacă ignorăm sarcini prea simple, atunci aș dori să spun următoarele:
Zero este același număr cu restul, nu ar trebui să-l discriminezi cumva sau să presupui că dacă obții zero, atunci ai greșit ceva.
O altă caracteristică este legată de extinderea parantezelor. Vă rugăm să rețineți: când există un „minus” în fața lor, îl eliminăm, dar între paranteze schimbăm semnele în opus. Și apoi îl putem deschide conform algoritmilor standard: vom obține ceea ce am văzut în calculele de mai sus.
Înțelegerea acestui fapt simplu te va ajuta să eviți să faci greșeli stupide și rănitoare în liceu, când a face astfel de acțiuni este considerat de la sine înțeles.
Rezolvarea ecuațiilor liniare complexe
Să trecem la ecuații mai complexe. Acum construcțiile vor deveni mai complicate și o funcție pătratică va apărea la efectuarea diferitelor transformări. Cu toate acestea, nu trebuie să vă fie teamă de acest lucru, deoarece dacă, conform intenției autorului, rezolvăm o ecuație liniară, atunci în procesul de transformare toate monomiile care conțin o funcție pătratică vor fi în mod necesar reduse.
Exemplul #1
Evident, primul pas este deschiderea parantezelor. Să facem asta cu mare atenție:
Acum să luăm confidențialitatea:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Iată câteva de genul:
Evident, această ecuație nu are soluții, așa că în răspuns scriem după cum urmează:
\[\varietate \]
sau fără rădăcini.
Exemplul #2
Facem aceiași pași. Primul pas:
Să mutăm totul cu o variabilă la stânga și fără ea - la dreapta:
Iată câteva de genul:
Evident, această ecuație liniară nu are soluție, așa că o scriem astfel:
\[\varnothing\],
sau fără rădăcini.
Nuanțe ale soluției
Ambele ecuații sunt complet rezolvate. Pe exemplul acestor două expresii, ne-am asigurat încă o dată că, chiar și în cele mai simple ecuații liniare, totul poate să nu fie atât de simplu: poate fi fie unul, fie niciunul, fie infinit. În cazul nostru, am luat în considerare două ecuații, în ambele pur și simplu nu există rădăcini.
Dar aș dori să vă atrag atenția asupra unui alt fapt: cum să lucrați cu paranteze și cum să le deschideți dacă există un semn minus în fața lor. Luați în considerare această expresie:
Înainte de deschidere, trebuie să înmulțiți totul cu „x”. Vă rugăm să rețineți: înmulțiți fiecare termen individual. În interior sunt doi termeni - respectiv, doi termeni și se înmulțește.
Și abia după ce aceste transformări aparent elementare, dar foarte importante și periculoase au fost finalizate, paranteza poate fi deschisă din punctul de vedere că există un semn minus după el. Da, da: abia acum, când transformările sunt făcute, ne amintim că în fața parantezelor este un semn minus, ceea ce înseamnă că totul în jos doar schimbă semne. În același timp, parantezele în sine dispar și, cel mai important, dispare și „minus” din față.
Facem același lucru cu a doua ecuație:
Nu întâmplător sunt atent la aceste fapte mărunte, aparent nesemnificative. Pentru că rezolvarea ecuațiilor este întotdeauna o succesiune de transformări elementare, unde incapacitatea de a efectua clar și competent acțiuni simple duce la faptul că elevii de liceu vin la mine și învață din nou să rezolve astfel de ecuații simple.
Bineînțeles, va veni și ziua în care vei perfecționa aceste abilități la automatism. Nu mai trebuie să faci atâtea transformări de fiecare dată, vei scrie totul într-un singur rând. Dar în timp ce doar înveți, trebuie să scrii fiecare acțiune separat.
Rezolvarea unor ecuații liniare și mai complexe
Ceea ce vom rezolva acum cu greu poate fi numit cea mai simplă sarcină, dar sensul rămâne același.
Sarcina 1
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
Să înmulțim toate elementele din prima parte:
Să facem o retragere:
Iată câteva de genul:
Să facem ultimul pas:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Iată răspunsul nostru final. Și, în ciuda faptului că în procesul de rezolvare am avut coeficienți cu funcție pătratică, totuși, s-au anihilat reciproc, ceea ce face ca ecuația să fie exact liniară, nu pătrată.
Sarcina #2
\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]
Să facem primul pas cu atenție: înmulțiți fiecare element din prima paranteză cu fiecare element din al doilea. În total, după transformări ar trebui obținute patru termeni noi:
Și acum efectuați cu atenție înmulțirea în fiecare termen:
Să mutăm termenii cu „x” la stânga și fără - la dreapta:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Iată termeni similari:
Am primit un răspuns definitiv.
Nuanțe ale soluției
Cea mai importantă remarcă despre aceste două ecuații este aceasta: de îndată ce începem să înmulțim paranteze în care există mai mult de un termen, atunci aceasta se face după următoarea regulă: luăm primul termen din primul și înmulțim cu fiecare element. din a doua; apoi luăm al doilea element din primul și în mod similar ne înmulțim cu fiecare element din al doilea. Ca rezultat, obținem patru termeni.
Pe suma algebrică
Cu ultimul exemplu, aș dori să le reamintesc elevilor ce este o sumă algebrică. În matematica clasică, prin $1-7$ înțelegem o construcție simplă: scădem șapte din unu. În algebră, înțelegem prin aceasta următoarele: la numărul „unu” adăugăm un alt număr, și anume „minus șapte”. Această sumă algebrică diferă de suma aritmetică obișnuită.
De îndată ce efectuați toate transformările, fiecare adunare și înmulțire, începeți să vedeți construcții similare celor descrise mai sus, pur și simplu nu veți avea probleme în algebră când lucrați cu polinoame și ecuații.
În concluzie, să ne uităm la câteva exemple care vor fi chiar mai complexe decât cele la care tocmai ne-am uitat și, pentru a le rezolva, va trebui să extindem ușor algoritmul nostru standard.
Rezolvarea ecuațiilor cu o fracție
Pentru a rezolva astfel de sarcini, va mai trebui adăugat un pas la algoritmul nostru. Dar mai întâi, voi aminti algoritmul nostru:
Din păcate, acest algoritm minunat, cu toată eficiența lui, nu este pe deplin potrivit atunci când avem fracții în fața noastră. Și în ceea ce vom vedea mai jos, avem o fracție în stânga și în dreapta în ambele ecuații.
Cum se lucrează în acest caz? Da, este foarte simplu! Pentru a face acest lucru, trebuie să adăugați încă un pas la algoritm, care poate fi efectuat atât înainte de prima acțiune, cât și după aceasta, și anume, scăpați de fracții. Astfel, algoritmul va fi după cum urmează:
Ce înseamnă „să scapi de fracții”? Și de ce este posibil să faceți acest lucru atât după, cât și înainte de primul pas standard? De fapt, în cazul nostru, toate fracțiile sunt numerice în ceea ce privește numitorul, adică. peste tot numitorul este doar un număr. Prin urmare, dacă înmulțim ambele părți ale ecuației cu acest număr, atunci vom scăpa de fracții.
Exemplul #1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
Să scăpăm de fracțiile din această ecuație:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left((((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Vă rugăm să rețineți: totul este înmulțit cu „patru” o dată, adică. doar pentru că ai două paranteze nu înseamnă că trebuie să înmulți fiecare dintre ele cu „patru”. Hai să scriem:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Acum să-l deschidem:
Efectuăm izolarea unei variabile:
Efectuăm reducerea termenilor similari:
\[-4x=-1\left| :\stânga(-4 \dreapta) \dreapta.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Am primit soluția finală, trecem la a doua ecuație.
Exemplul #2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
Aici efectuăm toate aceleași acțiuni:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Problema rezolvata.
Asta, de fapt, este tot ce am vrut să spun astăzi.
Puncte cheie
Principalele constatări sunt următoarele:
Sper că această lecție vă va ajuta să stăpâniți un subiect simplu, dar foarte important pentru înțelegerea ulterioară a tuturor matematicii. Dacă ceva nu este clar, intră pe site, rezolvă exemplele prezentate acolo. Rămâneți pe fază, sunt multe alte lucruri interesante care vă așteaptă!
Ecuațiile sunt una dintre subiecte dificile pentru asimilare, dar în același timp sunt suficiente Unealtă puternică pentru a rezolva majoritatea problemelor.
Ecuațiile sunt folosite pentru a descrie diverse procese curgând în natură. Ecuațiile sunt utilizate pe scară largă în alte științe: în economie, fizică, biologie și chimie.
LA această lecție vom încerca să înțelegem esența celor mai simple ecuații, să învățăm cum să exprimăm necunoscute și să rezolvăm mai multe ecuații. Pe măsură ce înveți materiale noi, ecuațiile vor deveni mai complexe, așa că înțelegerea elementelor de bază este foarte importantă.
Abilități preliminare Conținutul lecțieiCe este o ecuație?
O ecuație este o egalitate care conține o variabilă a cărei valoare doriți să găsiți. Această valoare trebuie să fie astfel încât, atunci când este substituită în ecuația originală, să se obțină egalitatea numerică corectă.
De exemplu, expresia 2 + 2 = 4 este o egalitate. Când se calculează partea stângă, se obține egalitatea numerică corectă 4 = 4 .
Dar egalitatea 2 + X= 4 este o ecuație deoarece conține o variabilă X, a cărui valoare poate fi găsită. Valoarea trebuie să fie astfel încât la înlocuirea acestei valori în ecuația originală, să se obțină egalitatea numerică corectă.
Cu alte cuvinte, trebuie să găsim o valoare în care semnul egal să-și justifice locația - partea stângă ar trebui să fie egală cu partea dreaptă.
Ecuația 2+ X= 4 este elementar. Valoare variabilă X este egală cu numărul 2. Orice altă valoare nu va fi egală
Se spune că numărul 2 este rădăcină sau rezolvarea ecuației 2 + X = 4
Rădăcină sau rezolvarea ecuației este valoarea variabilei la care ecuația devine o adevărată egalitate numerică.
Pot exista mai multe rădăcini sau deloc. rezolva ecuatiaînseamnă a-i găsi rădăcinile sau a dovedi că nu există rădăcini.
Variabila din ecuație este cunoscută și ca necunoscut. Ești liber să-l numești cum vrei. Acestea sunt sinonime.
Notă. Expresia „rezolvați ecuația” vorbește de la sine. A rezolva o ecuație înseamnă a „echivala” o ecuație - a o face echilibrată astfel încât partea stângă să fie egală cu partea dreaptă.
Exprimați unul în termenii celuilalt
Studiul ecuațiilor începe în mod tradițional cu învățarea de a exprima un număr inclus în egalitate printr-un număr de altele. Să nu încălcăm această tradiție și să facem la fel.
Luați în considerare următoarea expresie:
8 + 2
Această expresie este suma numerelor 8 și 2. Valoarea expresie dată este egal cu 10
8 + 2 = 10
Avem egalitate. Acum puteți exprima orice număr din această egalitate în termeni de alte numere incluse în aceeași egalitate. De exemplu, să exprimăm numărul 2.
Pentru a exprima numărul 2, trebuie să puneți întrebarea: „ce trebuie făcut cu numerele 10 și 8 pentru a obține numărul 2”. Este clar că pentru a obține numărul 2, trebuie să scazi numărul 8 din numărul 10.
Așa facem. Notăm numărul 2 și prin semnul egal spunem că pentru a obține acest număr 2, am scăzut numărul 8 din numărul 10:
2 = 10 − 8
Am exprimat numărul 2 din ecuația 8 + 2 = 10 . După cum puteți vedea din exemplu, nu este nimic complicat în acest sens.
Când rezolvați ecuații, în special când exprimați un număr în termenii altora, este convenabil să înlocuiți semnul egal cu cuvântul " există" . Acest lucru trebuie făcut mental, și nu în expresia în sine.
Deci, exprimând numărul 2 din egalitatea 8 + 2 = 10, obținem egalitatea 2 = 10 − 8 . Această ecuație poate fi citită astfel:
2 există 10 − 8
Adică semnul = înlocuit cu cuvântul „este”. În plus, egalitatea 2 = 10 − 8 poate fi tradusă din limbaj matematic pentru un cu drepturi depline limbajul uman. Atunci se poate citi astfel:
Numarul 2 există diferenta intre 10 si 8
Numarul 2 există diferența dintre numărul 10 și numărul 8.
Dar ne vom limita la a înlocui semnul egal cu cuvântul „este”, și atunci nu vom face întotdeauna acest lucru. Expresii elementare poate fi înțeles fără a traduce limbajul matematic în limbajul uman.
Să returnăm egalitatea rezultată 2 = 10 − 8 la starea inițială:
8 + 2 = 10
Să exprimăm de data aceasta numărul 8. Ce ar trebui făcut cu restul numerelor pentru a obține numărul 8? Așa este, trebuie să scazi numărul 2 din numărul 10
8 = 10 − 2
Să returnăm egalitatea rezultată 8 = 10 − 2 la starea inițială:
8 + 2 = 10
De data aceasta vom exprima numărul 10. Dar se dovedește că zece nu trebuie să fie exprimat, deoarece este deja exprimat. Este suficient să schimbăm părțile din stânga și din dreapta, apoi obținem ceea ce ne trebuie:
10 = 8 + 2
Exemplul 2. Se consideră egalitatea 8 − 2 = 6
Din această egalitate exprimăm numărul 8. Pentru a exprima numărul 8 trebuie adăugate celelalte două numere:
8 = 6 + 2
Să readucem egalitatea rezultată 8 = 6 + 2 la starea inițială:
8 − 2 = 6
Din această egalitate exprimăm numărul 2. Pentru a exprima numărul 2, trebuie să scădem 6 din 8
2 = 8 − 6
Exemplul 3. Luați în considerare ecuația 3 × 2 = 6
Exprimați numărul 3. Pentru a exprima numărul 3, trebuie să împărțiți 6 la 2
Să readucem egalitatea rezultată la starea inițială:
3 x 2 = 6
Să exprimăm numărul 2 din această egalitate. Pentru a exprima numărul 2, trebuie să împărțiți 3 la 6
Exemplul 4. Luați în considerare egalitatea
Din această egalitate exprimăm numărul 15. Pentru a exprima numărul 15, trebuie să înmulțiți numerele 3 și 5.
15 = 3 x 5
Să readucem egalitatea rezultată 15 = 3 × 5 la starea inițială:
Din această egalitate exprimăm numărul 5. Pentru a exprima numărul 5, trebuie să împărțiți 15 la 3
Reguli pentru găsirea necunoscutelor
Luați în considerare câteva reguli pentru găsirea necunoscutelor. Poate că vă sunt familiare, dar nu strica să le repetați din nou. În viitor, ele pot fi uitate, deoarece vom învăța să rezolvăm ecuații fără a aplica aceste reguli.
Să ne întoarcem la primul exemplu în care ne-am uitat subiectul anterior, unde în ecuația 8 + 2 = 10 a fost necesar să se exprime numărul 2.
În ecuația 8 + 2 = 10, numerele 8 și 2 sunt termeni, iar numărul 10 este suma.
Pentru a exprima numărul 2, am făcut următoarele:
2 = 10 − 8
Adică scădeți 8 din suma lui 10.
Acum imaginați-vă că în ecuația 8 + 2 = 10, în loc de numărul 2, există o variabilă X
8 + X = 10
În acest caz, ecuația 8 + 2 = 10 devine ecuația 8 + X= 10 și variabila X termen necunoscut
Sarcina noastră este să găsim acest termen necunoscut, adică să rezolvăm ecuația 8 + X= 10 . Pentru a găsi termenul necunoscut, este prevăzută următoarea regulă:
Pentru a găsi termenul necunoscut, scădeți termenul cunoscut din sumă.
Ceea ce am făcut atunci când le-am exprimat pe cele două în ecuația 8 + 2 = 10. Pentru a exprima termenul 2, am scăzut un alt termen 8 din suma 10
2 = 10 − 8
Și acum să găsim termenul necunoscut X, trebuie să scădem termenul cunoscut 8 din suma 10:
X = 10 − 8
Dacă calculați partea dreaptă a egalității rezultate, atunci puteți afla cu ce este egală variabila X
X = 2
Am rezolvat ecuația. Valoare variabilă X este egal cu 2. Pentru a verifica valoarea unei variabile X trimis la ecuația inițială 8 + X= 10 și înlocuiți cu X. Este de dorit să faceți acest lucru cu orice ecuație rezolvată, deoarece nu puteți fi sigur că ecuația este rezolvată corect:
Ca urmare
Aceeași regulă s-ar aplica dacă termenul necunoscut ar fi primul număr 8.
X + 2 = 10
În această ecuație X este termenul necunoscut, 2 este termenul cunoscut, 10 este suma. Pentru a găsi termenul necunoscut X, trebuie să scădeți termenul cunoscut 2 din suma 10
X = 10 − 2
X = 8
Să revenim la al doilea exemplu din subiectul anterior, unde în ecuația 8 − 2 = 6 se cerea să se exprime numărul 8.
În ecuația 8 − 2 = 6, numărul 8 este minuend, numărul 2 este subtraend, numărul 6 este diferența
Pentru a exprima numărul 8, am făcut următoarele:
8 = 6 + 2
Adică, adunăm diferența de 6 și scade 2.
Acum imaginați-vă că în ecuația 8 − 2 = 6, în loc de numărul 8, există o variabilă X
X − 2 = 6
În acest caz, variabila X preia rolul așa-zisului minuend necunoscut
Pentru a găsi minuend necunoscut, este prevăzută următoarea regulă:
Pentru a găsi minuend necunoscut, trebuie să adăugați subtraendul la diferență.
Ceea ce am făcut când am exprimat numărul 8 în ecuația 8 − 2 = 6. Pentru a exprima minuendul 8, am adăugat subtraendul 2 la diferența de 6.
Și acum, să găsim minunul necunoscut X, trebuie să adăugăm diferența 6 subtraend 2
X = 6 + 2
Dacă calculezi partea dreaptă, atunci poți afla cu ce este egală variabila X
X = 8
Acum imaginați-vă că în ecuația 8 − 2 = 6, în loc de numărul 2, există o variabilă X
8 − X = 6
În acest caz, variabila X preia un rol subtraend necunoscut
Pentru a găsi subtraendul necunoscut, este prevăzută următoarea regulă:
Pentru a găsi subtraend necunoscut, trebuie să scădeți diferența din minuend.
Ceea ce am făcut când am exprimat numărul 2 în ecuația 8 − 2 = 6. Pentru a exprima numărul 2, am scăzut diferența 6 din 8 redus.
Și acum, să găsesc subtraendul necunoscut X, trebuie din nou să scădeți diferența 6 din 8 redus
X = 8 − 6
Calculați partea dreaptă și găsiți valoarea X
X = 2
Să revenim la al treilea exemplu din subiectul anterior, unde în ecuația 3 × 2 = 6 am încercat să exprimăm numărul 3.
În ecuația 3 × 2 = 6, numărul 3 este multiplicatorul, numărul 2 este multiplicatorul, numărul 6 este produsul
Pentru a exprima numărul 3, am făcut următoarele:
Adică, împărțiți produsul lui 6 la un factor de 2.
Acum imaginați-vă că în ecuația 3 × 2 = 6, în loc de numărul 3, există o variabilă X
X×2=6
În acest caz, variabila X preia un rol multiplicand necunoscut.
Pentru a găsi multiplicatorul necunoscut, este furnizată următoarea regulă:
A găsi multiplicand necunoscut, trebuie să împărțiți produsul cu un factor.
Ceea ce am făcut când am exprimat numărul 3 din ecuația 3 × 2 = 6. Am împărțit produsul lui 6 la un factor de 2.
Și acum să găsim multiplicatorul necunoscut X, trebuie să împărțiți produsul lui 6 la un factor de 2.
Calculul părții drepte ne permite să găsim valoarea variabilei X
X = 3
Aceeași regulă se aplică dacă variabila X se află în locul multiplicatorului, nu al multiplicandu-ului. Imaginați-vă că în ecuația 3 × 2 = 6, în loc de numărul 2, există o variabilă X .
În acest caz, variabila X preia un rol multiplicator necunoscut. Pentru a găsi un factor necunoscut, se prevede același lucru ca și pentru găsirea unui multiplicator necunoscut, și anume, împărțirea produsului la un factor cunoscut:
Pentru a găsi factorul necunoscut, trebuie să împărțiți produsul la multiplicand.
Ceea ce am făcut când am exprimat numărul 2 din ecuația 3 × 2 = 6. Apoi, pentru a obține numărul 2, am împărțit produsul lui 6 la multiplicantul 3.
Și acum să găsim factorul necunoscut X am împărțit produsul lui 6 la multiplicatorul lui 3.
Calcularea părții drepte a ecuației vă permite să aflați cu ce este egal x
X = 2
Multiplicatorul și multiplicatorul împreună se numesc factori. Deoarece regulile de găsire a multiplicandului și a multiplicatorului sunt aceleași, putem formula regula generala găsirea factorului necunoscut:
Pentru a găsi factorul necunoscut, trebuie să împărțiți produsul la factorul cunoscut.
De exemplu, să rezolvăm ecuația 9 × X= 18 . Variabil X este un factor necunoscut. Pentru a găsi acest factor necunoscut, trebuie să împărțiți produsul 18 la factorul cunoscut 9
Să rezolvăm ecuația X× 3 = 27 . Variabil X este un factor necunoscut. Pentru a găsi acest factor necunoscut, trebuie să împărțiți produsul 27 la factorul cunoscut 3
Înapoi la al patrulea exemplu din subiectul anterior, unde în egalitate se cerea să se exprime numărul 15. În această egalitate, numărul 15 este dividendul, numărul 5 este divizorul, numărul 3 este câtul.
Pentru a exprima numărul 15, am făcut următoarele:
15 = 3 x 5
Adică, înmulțiți câtul lui 3 cu divizorul lui 5.
Acum imaginați-vă că în egalitate, în loc de numărul 15, există o variabilă X
În acest caz, variabila X preia un rol dividend necunoscut.
Pentru a găsi un dividend necunoscut, este prevăzută următoarea regulă:
Pentru a găsi dividendul necunoscut, trebuie să înmulțiți coeficientul cu divizorul.
Ceea ce am făcut când am exprimat numărul 15 din egalitate. Pentru a exprima numărul 15, am înmulțit câtul 3 cu divizorul lui 5.
Și acum, pentru a găsi dividendul necunoscut X, trebuie să înmulțiți câtul lui 3 cu divizorul lui 5
X= 3 × 5
X .
X = 15
Acum imaginați-vă că în egalitate, în loc de numărul 5, există o variabilă X .
În acest caz, variabila X preia un rol divizor necunoscut .
Pentru a găsi divizorul necunoscut, este prevăzută următoarea regulă:
Ceea ce am făcut când am exprimat numărul 5 din egalitate. Pentru a exprima numărul 5, am împărțit dividendul 15 la câtul 3.
Și acum să găsim divizorul necunoscut X, trebuie să împărțiți dividendul 15 la câtul 3
Să calculăm partea dreaptă a egalității rezultate. Deci aflăm cu ce este egală variabila X .
X = 5
Deci, pentru a găsi necunoscute, am studiat următoarele reguli:
Componente
Componente pe care le vom numi numerele și variabilele incluse în egalitate
Deci, componentele adăugării sunt termeniși sumă
Componentele de scădere sunt descăzut, descăzutși diferență
Componentele înmulțirii sunt deînmulţit, factorși muncă
Componentele diviziunii sunt dividendul, divizorul și coeficientul.
În funcție de componentele cu care avem de-a face, se vor aplica regulile corespunzătoare pentru găsirea necunoscutelor. Am studiat aceste reguli în subiectul anterior. Când rezolvați ecuații, este de dorit să cunoașteți aceste reguli pe de rost.
Exemplul 1. Găsiți rădăcina ecuației 45+ X = 60
45 - termen, X este termenul necunoscut, 60 este suma. Avem de-a face cu componente adiționale. Ne amintim că pentru a găsi termenul necunoscut, trebuie să scădeți termenul cunoscut din suma:
X = 60 − 45
Calculați partea dreaptă, obțineți valoarea X egal cu 15
X = 15
Deci rădăcina ecuației este 45 + X= 60 este egal cu 15.
Cel mai adesea, termenul necunoscut trebuie redus la o formă în care ar putea fi exprimat.
Exemplul 2. rezolva ecuatia
Aici, spre deosebire de exemplul anterior, termenul necunoscut nu poate fi exprimat imediat, deoarece conține coeficientul 2. Sarcina noastră este să aducem această ecuație la forma în care ar fi posibilă exprimarea X
În acest exemplu, avem de-a face cu componentele adunării - termenii și suma. 2 X este primul termen, 4 este al doilea termen, 8 este suma.
În acest caz, termenul 2 X conţine o variabilă X. După aflarea valorii variabilei X termenul 2 X va lua o formă diferită. Prin urmare, termenul 2 X poate fi luat complet pentru termenul necunoscut:
Acum aplicăm regula pentru găsirea termenului necunoscut. Scădeți termenul cunoscut din suma:
Să calculăm partea dreaptă a ecuației rezultate:
Avem o nouă ecuație. Acum avem de-a face cu componentele înmulțirii: multiplicand, multiplicator și produs. 2 - multiplicator, X- multiplicator, 4 - produs
În același timp, variabila X nu este doar un factor, ci un factor necunoscut
Pentru a găsi acest factor necunoscut, trebuie să împărțiți produsul la multiplicand:
Calculați partea dreaptă, obțineți valoarea variabilei X
Pentru a verifica rădăcina găsită, trimiteți-o la ecuația originală și înlocuiți-o X
Exemplul 3. rezolva ecuatia 3X+ 9X+ 16X= 56
Exprimă necunoscutul X este interzis. Mai întâi trebuie să aduceți această ecuație în forma în care ar putea fi exprimată.
Prezentăm în partea stângă a acestei ecuații:
Avem de-a face cu componentele înmulțirii. 28 - multiplicator, X- multiplicator, 56 - produs. în care X este un factor necunoscut. Pentru a găsi factorul necunoscut, trebuie să împărțiți produsul la multiplicand:
De aici X este 2
Ecuații echivalente
În exemplul anterior, la rezolvarea ecuației 3X + 9X + 16X = 56 , am dat termeni similari în partea stângă a ecuației. Rezultatul este o nouă ecuație 28 X= 56 . veche ecuație 3X + 9X + 16X = 56 iar noua ecuație rezultată 28 X= 56 apelat ecuații echivalente deoarece rădăcinile lor sunt aceleași.
Se spune că ecuațiile sunt echivalente dacă rădăcinile lor sunt aceleași.
Hai să verificăm. Pentru ecuație 3X+ 9X+ 16X= 56 am găsit rădăcina egală cu 2 . Înlocuiți mai întâi această rădăcină în ecuație 3X+ 9X+ 16X= 56 , și apoi în ecuația 28 X= 56 , care a rezultat din reducerea termenilor similari din partea stângă a ecuației anterioare. Trebuie să obținem egalitățile numerice corecte
După ordinea operațiilor, înmulțirea se efectuează mai întâi:
Înlocuiți rădăcina 2 în a doua ecuație 28 X= 56
Vedem că ambele ecuații au aceleași rădăcini. Deci ecuațiile 3X+ 9X+ 16X= 6 și 28 X= 56 sunt într-adevăr echivalente.
Pentru a rezolva ecuația 3X+ 9X+ 16X= 56 am folosit unul dintre — reducerea termenilor similari. Transformarea identității corecte a ecuației ne-a permis să obținem ecuație echivalentă 28X= 56 , care este mai ușor de rezolvat.
De la transformări identice la acest moment putem doar să reducem fracții, să aducem termeni similari, să scoatem factor comunîn afara parantezelor și deschideți parantezele. Există și alte transformări de care ar trebui să fii conștient. Dar pentru ideea generala despre transformări identice ale ecuațiilor, subiectele pe care le-am studiat sunt destul de suficiente.
Luați în considerare câteva transformări care ne permit să obținem o ecuație echivalentă
Dacă adăugați același număr la ambele părți ale ecuației, obțineți o ecuație echivalentă cu cea dată.
si asemanator:
Dacă se scade același număr din ambele părți ale ecuației, atunci se va obține o ecuație echivalentă cu cea dată.
Cu alte cuvinte, rădăcina ecuației nu se schimbă dacă același număr se adaugă (sau se scade din ambele părți ale) ecuației.
Exemplul 1. rezolva ecuatia 
Scădeți numărul 10 din ambele părți ale ecuației
Am primit ecuația 5 X= 10 . Avem de-a face cu componentele înmulțirii. Pentru a găsi factorul necunoscut X, trebuie să împărțiți produsul lui 10 la factorul cunoscut 5.
și înlocuiți în schimb X a gasit valoarea 2
Am primit numărul corect. Deci ecuația este corectă.
Rezolvarea ecuației am scăzut numărul 10 din ambele părți ale ecuației. Rezultatul este o ecuație echivalentă. Rădăcina acestei ecuații, ca și ecuațiile este de asemenea egal cu 2
Exemplul 2. Rezolvați ecuația 4( X+ 3) = 16
Scădeți numărul 12 din ambele părți ale ecuației
Partea stângă va fi 4 X, iar în partea dreaptă numărul 4
Am primit ecuația 4 X= 4 . Avem de-a face cu componentele înmulțirii. Pentru a găsi factorul necunoscut X, trebuie să împărțiți produsul 4 la factorul cunoscut 4
Să revenim la ecuația inițială 4( X+ 3) = 16 și înlocuiți în schimb X a gasit valoarea 1
Am primit numărul corect. Deci ecuația este corectă.
Rezolvarea ecuației 4( X+ 3) = 16 am scăzut numărul 12 din ambele părți ale ecuației. Ca rezultat, am obținut o ecuație echivalentă 4 X= 4 . Rădăcina acestei ecuații, precum și ecuațiile 4( X+ 3) = 16 este, de asemenea, egal cu 1
Exemplul 3. rezolva ecuatia 
Să extindem parantezele din partea stângă a ecuației:
Să adăugăm numărul 8 de ambele părți ale ecuației
Prezentăm termeni similari în ambele părți ale ecuației:
Partea stângă va fi 2 X, iar în partea dreaptă numărul 9
În ecuația rezultată 2 X= 9 exprimăm termenul necunoscut X
Înapoi la ecuația inițială și înlocuiți în schimb X valoarea găsită 4,5
Am primit numărul corect. Deci ecuația este corectă.
Rezolvarea ecuației am adăugat numărul 8 la ambele părți ale ecuației. Ca rezultat, am obținut o ecuație echivalentă. Rădăcina acestei ecuații, ca și ecuațiile este, de asemenea, egal cu 4,5
Următoarea regulă, care vă permite să obțineți o ecuație echivalentă, este următoarea
Dacă în ecuație transferăm termenul dintr-o parte în alta, schimbându-i semnul, atunci obținem o ecuație echivalentă cu cea dată.
Adică, rădăcina ecuației nu se va schimba dacă transferăm termenul dintr-o parte a ecuației în alta schimbându-i semnul. Această proprietate este una dintre cele mai importante și una dintre cele mai frecvent utilizate în rezolvarea ecuațiilor.
Luați în considerare următoarea ecuație:
Rădăcina acestei ecuații este 2. Înlocuiește în loc de X această rădăcină și verificați dacă se obține egalitatea numerică corectă
Se dovedește egalitatea corectă. Deci numărul 2 este cu adevărat rădăcina ecuației.
Acum să încercăm să experimentăm termenii acestei ecuații, transferându-i dintr-o parte în alta, schimbând semnele.
De exemplu, termenul 3 X situat în partea stângă a ecuației. Să-l mutăm în partea dreaptă, schimbând semnul la opus:
A rezultat ecuația 12 = 9X − 3X . în partea dreaptă a acestei ecuații:
X este un factor necunoscut. Să găsim acest factor cunoscut:
De aici X= 2 . După cum puteți vedea, rădăcina ecuației nu s-a schimbat. Deci ecuațiile 12 + 3 X = 9Xși 12 = 9X − 3X sunt echivalente.
De fapt, transformare dată este o metodă simplificată a transformării anterioare, în care același număr a fost adăugat (sau scăzut) de ambele părți ale ecuației.
Am spus că în ecuația 12 + 3 X = 9X termenul 3 X a fost mutat în partea dreaptă prin schimbarea semnului. În realitate, s-a întâmplat următoarele: termenul 3 a fost scăzut din ambele părți ale ecuației X
Apoi au fost dați termeni similari în partea stângă și s-a obținut ecuația 12 = 9X − 3X. Apoi s-au dat din nou termeni similari, dar pe partea dreaptă, și s-a obținut ecuația 12 = 6 X.
Dar așa-numitul „transfer” este mai convenabil pentru astfel de ecuații, motiv pentru care a devenit atât de răspândit. Când rezolvăm ecuații, vom folosi adesea această transformare specială.
Ecuațiile 12 + 3 sunt de asemenea echivalente X= 9Xși 3X - 9X= −12 . De data aceasta în ecuația 12 + 3 X= 9X termenul 12 a fost mutat în partea dreaptă, iar termenul 9 X La stânga. Nu trebuie uitat că semnele acestor termeni au fost schimbate în timpul transferului
Următoarea regulă, care vă permite să obțineți o ecuație echivalentă, este următoarea:
Dacă ambele părți ale ecuației sunt înmulțite sau împărțite cu același număr care nu este egal cu zero, atunci se va obține o ecuație echivalentă cu cea dată.
Cu alte cuvinte, rădăcinile unei ecuații nu se schimbă dacă ambele părți sunt înmulțite sau împărțite cu același număr. Această acțiune este adesea folosită atunci când trebuie să rezolvați o ecuație care conține expresii fracționale.
Mai întâi, luați în considerare exemple în care ambele părți ale ecuației vor fi înmulțite cu același număr.
Exemplul 1. rezolva ecuatia
Când se rezolvă ecuații care conțin expresii fracționale, se obișnuiește mai întâi să se simplifice această ecuație.
În acest caz, avem de-a face doar cu o astfel de ecuație. Pentru a simplifica această ecuație, ambele părți pot fi înmulțite cu 8:
Ne amintim că pentru , trebuie să înmulțiți numărătorul unei fracții date cu acest număr. Avem două fracții și fiecare dintre ele este înmulțită cu numărul 8. Sarcina noastră este să înmulțim numărătorii fracțiilor cu acest număr 8.
Acum se întâmplă cel mai interesant lucru. Numătorii și numitorii ambelor fracții conțin un factor de 8, care poate fi redus cu 8. Acest lucru ne va permite să scăpăm de expresia fracțională:
Ca urmare, rămâne cea mai simplă ecuație
Ei bine, este ușor de ghicit că rădăcina acestei ecuații este 4
X a găsit valoarea 4
Rezultă egalitatea numerică corectă. Deci ecuația este corectă.
Când am rezolvat această ecuație, am înmulțit ambele părți ale acesteia cu 8. Ca rezultat, am obținut ecuația. Rădăcina acestei ecuații, ca și ecuațiile, este 4. Deci aceste ecuații sunt echivalente.
Multiplicatorul cu care sunt înmulțite ambele părți ale ecuației este de obicei scris înaintea părții ecuației și nu după aceasta. Deci, rezolvând ecuația, am înmulțit ambele părți cu un factor de 8 și am obținut următoarea intrare:
Din aceasta, rădăcina ecuației nu s-a schimbat, dar dacă am fi făcut asta în timpul școlii, am fi fost remarcați, deoarece în algebră se obișnuiește să scrie factorul înaintea expresiei cu care se înmulțește. Prin urmare, înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu un factor de 8 este de dorit să se rescrie după cum urmează:
Exemplul 2. rezolva ecuatia 
În partea stângă, factorii 15 pot fi redusi cu 15, iar în partea dreaptă, factorii 15 și 5 pot fi redusi cu 5
Să deschidem parantezele din partea dreaptă a ecuației:
Să mutăm termenul X din partea stângă a ecuației în partea dreaptă prin schimbarea semnului. Și termenul 15 din partea dreaptă a ecuației va fi transferat în partea stângă, schimbând din nou semnul:
Aducem termeni similari în ambele părți, obținem
Avem de-a face cu componentele înmulțirii. Variabil X
Înapoi la ecuația inițială și înlocuiți în schimb X a găsit valoarea 5
Rezultă egalitatea numerică corectă. Deci ecuația este corectă. Când rezolvăm această ecuație, am înmulțit ambele părți cu 15. Mai departe, efectuând transformări identice, am obținut ecuația 10 = 2 X. Rădăcina acestei ecuații, ca și ecuațiile este egal cu 5. Deci aceste ecuații sunt echivalente.
Exemplul 3. rezolva ecuatia
Pe partea stângă, două triple pot fi reduse, iar partea dreaptă va fi egală cu 18
Cea mai simplă ecuație rămâne. Avem de-a face cu componentele înmulțirii. Variabil X este un factor necunoscut. Să găsim acest factor cunoscut:
Să revenim la ecuația inițială și să înlocuim în loc de X a găsit valoarea 9
Rezultă egalitatea numerică corectă. Deci ecuația este corectă.
Exemplul 4. rezolva ecuatia 
Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 6
Deschideți parantezele din partea stângă a ecuației. În partea dreaptă, factorul 6 poate fi ridicat la numărător:
Reducem în ambele părți ale ecuațiilor ceea ce se poate reduce:
Să rescriem ce ne-a mai rămas:
Folosim transferul de termeni. Termeni care conțin necunoscut X, grupăm în partea stângă a ecuației, iar termenii fără necunoscute - în dreapta:
Prezentăm termeni similari în ambele părți:
Acum găsiți valoarea variabil X. Pentru a face acest lucru, împărțim produsul 28 la factorul cunoscut 7
De aici X= 4.
Înapoi la ecuația inițială și înlocuiți în schimb X a găsit valoarea 4
S-a dovedit egalitatea numerică corectă. Deci ecuația este corectă.
Exemplul 5. rezolva ecuatia 
Să deschidem parantezele din ambele părți ale ecuației acolo unde este posibil:
Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 15
Să deschidem parantezele din ambele părți ale ecuației:
Să reducem în ambele părți ale ecuației, ceea ce poate fi redus:
Să rescriem ce ne-a mai rămas:
Să deschidem parantezele acolo unde este posibil:
Folosim transferul de termeni. Termenii care conțin necunoscutul sunt grupați în partea stângă a ecuației, iar termenii fără necunoscute sunt grupați în partea dreaptă. Nu uitați că în timpul transferului, termenii își schimbă semnele în sens invers:
Prezentăm termeni similari în ambele părți ale ecuației:
Să găsim valoarea X
În răspunsul rezultat, puteți selecta întreaga parte:
Să revenim la ecuația inițială și să înlocuim în loc de X valoare găsită
Se dovedește a fi o expresie destul de greoaie. Să folosim variabile. Punem partea stângă a egalității într-o variabilă A, iar partea dreaptă a egalității într-o variabilă B
Sarcina noastră este să ne asigurăm că partea stângă este egală cu partea dreaptă. Cu alte cuvinte, demonstrați egalitatea A = B
Găsiți valoarea expresiei din variabila A.
Valoare variabilă DAR egal cu . Acum să găsim valoarea variabilei B. Adică valoarea părții drepte a egalității noastre. Dacă este egal cu , atunci ecuația va fi rezolvată corect
Vedem că valoarea variabilei B, precum și valoarea variabilei A este . Aceasta înseamnă că partea stângă este egală cu partea dreaptă. De aici concluzionăm că ecuația este rezolvată corect.
Acum să încercăm să nu înmulțim ambele părți ale ecuației cu același număr, ci să împărțim.
Luați în considerare ecuația 30X+ 14X+ 14 = 70X− 40X+ 42 . O rezolvăm în modul obișnuit: grupăm termenii care conțin necunoscute în partea stângă a ecuației, iar termenii fără necunoscute în dreapta. Mai departe, efectuând transformările identice cunoscute, găsim valoarea X
Înlocuiți valoarea găsită 2 în loc de Xîn ecuația inițială:
Acum să încercăm să separăm toți termenii ecuației 30X+ 14X+ 14 = 70X− 40X+ 42 cu un anumit număr.Remarcăm că toți termenii acestei ecuații au un factor comun 2. Împărțim fiecare termen la acesta:
Să reducem în fiecare termen:
Să rescriem ce ne-a mai rămas:
Rezolvăm această ecuație folosind transformările identice cunoscute:
Avem rădăcina 2. Deci ecuațiile 15X+ 7X+ 7 = 35X - 20X+ 21 și 30X+ 14X+ 14 = 70X− 40X+ 42 sunt echivalente.
Împărțirea ambelor părți ale ecuației la același număr vă permite să eliberați necunoscutul din coeficient. În exemplul anterior, când am obținut ecuația 7 X= 14 , trebuia să împărțim produsul 14 la factorul cunoscut 7. Dar dacă eliberăm necunoscutul din coeficientul 7 din partea stângă, rădăcina ar fi găsită imediat. Pentru a face acest lucru, a fost suficient să împărțiți ambele părți la 7
De asemenea, vom folosi des această metodă.
Înmulțiți cu minus unu
Dacă ambele părți ale ecuației sunt înmulțite cu minus unu, atunci se va obține o ecuație echivalentă cu cea dată.
Această regulă rezultă din faptul că din înmulțirea (sau împărțirea) ambelor părți ale ecuației cu același număr, rădăcina acestei ecuații nu se schimbă. Aceasta înseamnă că rădăcina nu se va schimba dacă ambele părți sunt înmulțite cu -1.
Această regulă vă permite să schimbați semnele tuturor componentelor incluse în ecuație. Pentru ce este? Din nou, pentru a obține o ecuație echivalentă care este mai ușor de rezolvat.
Luați în considerare ecuația. Ce este egală cu rădăcina ecuatia asta?
Să adăugăm numărul 5 de ambele părți ale ecuației
Iată termeni similari:
Și acum să ne amintim despre. Care este partea stângă a ecuației. Acesta este produsul dintre minus unu și variabilă X
Adică minusul din fața variabilei X nu se referă la variabila în sine X, ci unității, pe care nu o vedem, deoarece se obișnuiește să nu se noteze coeficientul 1. Aceasta înseamnă că ecuația arată de fapt astfel:
Avem de-a face cu componentele înmulțirii. A găsi X, trebuie să împărțiți produsul −5 la factorul cunoscut −1 .
sau împărțiți ambele părți ale ecuației la −1, ceea ce este și mai ușor
Deci rădăcina ecuației este 5. Pentru a verifica, o înlocuim în ecuația originală. Nu uitați că în ecuația originală, minusul din fața variabilei X se referă la o unitate invizibilă
S-a dovedit egalitatea numerică corectă. Deci ecuația este corectă.
Acum să încercăm să înmulțim ambele părți ale ecuației cu minus unu:
După deschiderea parantezelor, expresia se formează pe partea stângă, iar partea dreaptă va fi egală cu 10
Rădăcina acestei ecuații, ca și ecuația, este 5
Deci ecuațiile sunt echivalente.
Exemplul 2. rezolva ecuatia
În această ecuație, toate componentele sunt negative. Este mai convenabil să lucrezi cu componente pozitive decât cu cele negative, așa că haideți să schimbăm semnele tuturor componentelor incluse în ecuație. Pentru a face acest lucru, înmulțiți ambele părți ale acestei ecuații cu −1.
Este clar că după înmulțirea cu −1, orice număr își va schimba semnul în opus. Prin urmare, însuși procedura de înmulțire cu −1 și de deschidere a parantezelor nu este descrisă în detaliu, dar componentele ecuației cu semne opuse sunt imediat notate.
Deci, înmulțirea unei ecuații cu −1 poate fi scrisă în detaliu după cum urmează:
sau puteți schimba doar semnele tuturor componentelor:
Se va dovedi la fel, dar diferența va fi că ne vom economisi timp.
Deci, înmulțind ambele părți ale ecuației cu −1, obținem ecuația. Să rezolvăm această ecuație. Scădeți numărul 4 din ambele părți și împărțiți ambele părți la 3
Când se găsește rădăcina, variabila este de obicei scrisă în partea stângă, iar valoarea ei în dreapta, ceea ce am făcut.
Exemplul 3. rezolva ecuatia
Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu −1. Apoi toate componentele își vor schimba semnele în sens opus:
Scădeți 2 din ambele părți ale ecuației rezultate Xși adăugați termeni similari:
Adăugăm unitate la ambele părți ale ecuației și dăm termeni similari: 
Echivalent cu Zero
Recent, am aflat că dacă într-o ecuație transferăm un termen dintr-o parte în alta schimbându-i semnul, obținem o ecuație echivalentă cu cea dată.
Și ce se va întâmpla dacă transferăm dintr-o parte în alta nu un termen, ci toți termenii? Așa este, în partea din care au fost preluați toți termenii, va rămâne zero. Cu alte cuvinte, nu va mai rămâne nimic.
Să luăm ca exemplu ecuația. Rezolvăm această ecuație, ca de obicei - grupăm termenii care conțin necunoscute într-o parte și lăsăm termenii numerici fără necunoscute în cealaltă. Mai departe, efectuând transformările identice cunoscute, găsim valoarea variabilei X
Acum să încercăm să rezolvăm aceeași ecuație echivalând toate componentele sale la zero. Pentru a face acest lucru, transferăm toți termenii din partea dreaptă în stânga, schimbând semnele:
Iată termenii similari din partea stângă:
Să adăugăm 77 la ambele părți și să împărțim ambele părți la 7
O alternativă la regulile de găsire a necunoscutelor
Evident, știind despre transformările identice ale ecuațiilor, nu se pot memora regulile de găsire a necunoscutelor.
De exemplu, pentru a găsi necunoscutul în ecuație, am împărțit produsul 10 la factorul cunoscut 2
Dar dacă în ecuație ambele părți sunt împărțite la 2, rădăcina este imediat găsită. În partea stângă a ecuației, factorul 2 din numărător și factorul 2 din numitor vor fi reduse cu 2. Iar partea dreaptă va fi egală cu 5
Am rezolvat ecuații de forma exprimând termenul necunoscut:
Dar puteți folosi transformările identice pe care le-am studiat astăzi. În ecuație, termenul 4 poate fi mutat în partea dreaptă prin schimbarea semnului:
În partea stângă a ecuației, doi doi se vor reduce. Partea dreaptă va fi egală cu 2. Prin urmare .
Sau ați putea scădea 4 din ambele părți ale ecuației, apoi veți obține următoarele:
În cazul ecuațiilor de formă, este mai convenabil să se împartă produsul la un factor cunoscut. Să comparăm ambele soluții:
Prima soluție este mult mai scurtă și mai îngrijită. A doua soluție poate fi scurtată semnificativ dacă faci împărțirea în cap.
Cu toate acestea, trebuie să cunoști ambele metode și abia apoi să o folosești pe cea care îți place cel mai mult.
Când există mai multe rădăcini
O ecuație poate avea mai multe rădăcini. De exemplu, ecuația X(x + 9) = 0 are două rădăcini: 0 și −9 .
În ecuație X(x + 9) = 0 a fost necesar să se găsească o astfel de valoare X pentru care partea stângă ar fi egală cu zero. Partea stângă a acestei ecuații conține expresiile Xși (x + 9), care sunt factori. Din legile produsului, știm că produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero (fie primul factor, fie al doilea).
Adică în ecuație X(x + 9) = 0 egalitatea se va realiza dacă X va fi zero sau (x + 9) va fi zero.
X= 0 sau X + 9 = 0
Echivalând ambele expresii cu zero, putem găsi rădăcinile ecuației X(x + 9) = 0 . Prima rădăcină, după cum se vede din exemplu, a fost găsită imediat. Pentru a găsi a doua rădăcină, trebuie să rezolvați ecuație elementară X+ 9 = 0 . Este ușor de ghicit că rădăcina acestei ecuații este −9. Verificarea arată că rădăcina este corectă:
−9 + 9 = 0
Exemplul 2. rezolva ecuatia
Această ecuație are două rădăcini: 1 și 2. Partea stângă a ecuației este produsul expresiilor ( X− 1) și ( X− 2) . Și produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero (sau factorul ( X− 1) sau factor ( X − 2) ).
Să-l găsim X sub care expresiile ( X− 1) sau ( X− 2) dispar:
Înlocuim la rândul lor valorile găsite în ecuația originală și ne asigurăm că cu aceste valori partea stângă este egală cu zero:
Când există infinit de rădăcini
O ecuație poate avea infinit de rădăcini. Adică, înlocuind orice număr într-o astfel de ecuație, obținem egalitatea numerică corectă.
Exemplul 1. rezolva ecuatia 
Rădăcina acestei ecuații este orice număr. Dacă deschideți parantezele din partea stângă a ecuației și aduceți termeni similari, atunci obțineți egalitatea 14 \u003d 14. Această egalitate va fi obținută pentru orice X
Exemplul 2. rezolva ecuatia
Rădăcina acestei ecuații este orice număr. Dacă deschideți parantezele din partea stângă a ecuației, obțineți egalitatea 10X + 12 = 10X + 12. Această egalitate va fi obținută pentru orice X
Când nu există rădăcini
De asemenea, se întâmplă ca ecuația să nu aibă deloc soluții, adică să nu aibă rădăcini. De exemplu, ecuația nu are rădăcini, deoarece pentru orice valoare X, partea stângă a ecuației nu va fi egală cu partea dreaptă. De exemplu, să fie . Atunci ecuația va lua următoarea formă
Exemplul 2. rezolva ecuatia
Să extindem parantezele din partea stângă a ecuației:
Iată termeni similari:
Vedem că partea stângă nu este egală cu partea dreaptă. Și așa va fi pentru orice valoare y. De exemplu, lasa y = 3 .
Ecuații de litere
O ecuație poate conține nu numai numere cu variabile, ci și litere.
De exemplu, formula pentru găsirea vitezei este o ecuație literală:
Această ecuație descrie viteza corpului în mișcare accelerată uniform.
O abilitate utilă este abilitatea de a exprima orice componentă inclusă într-o ecuație de litere. De exemplu, pentru a determina distanța de la o ecuație, trebuie să exprimați variabila s .
Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu t
Variabile în dreapta t reduce cu t
În ecuația rezultată, părțile din stânga și din dreapta sunt schimbate:
Am obținut formula pentru găsirea distanței, pe care am studiat-o mai devreme.
Să încercăm să determinăm timpul din ecuație. Pentru a face acest lucru, trebuie să exprimați variabila t .
Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu t
Variabile în dreapta t reduce cu tși rescrie ce ne-a mai rămas:
În ecuația rezultată v × t = sîmpărțiți ambele părți în v
Variabile în stânga v reduce cu vși rescrie ce ne-a mai rămas:
Am obținut formula de determinare a timpului, pe care am studiat-o mai devreme.
Să presupunem că viteza trenului este de 50 km/h
v= 50 km/h
Și distanța este de 100 km
s= 100 km
Apoi scrisoarea va lua următoarea formă
Din această ecuație puteți găsi timpul. Pentru a face acest lucru, trebuie să fiți capabil să exprimați variabila t. Puteți folosi regula pentru găsirea unui divizor necunoscut prin împărțirea dividendului la cât și determinați astfel valoarea variabilei t
sau puteți folosi transformări identice. Mai întâi înmulțiți ambele părți ale ecuației cu t
Apoi împărțiți ambele părți la 50
Exemplul 2 X
Scădeți din ambele părți ale ecuației A
Împărțiți ambele părți ale ecuației la b
a + bx = c, atunci vom avea solutie la cheie. Va fi suficient să îl înlocuiți valorile dorite. Acele valori care vor fi înlocuite cu literele a, b, c numit parametrii. Și ecuații de formă a + bx = c numit ecuație cu parametri. În funcție de parametri, rădăcina se va schimba.
Rezolvați ecuația 2 + 4 X= 10 . Arată ca o ecuație literală a + bx = c. În loc să efectuăm transformări identice, putem folosi o soluție gata făcută. Să comparăm ambele soluții:
Vedem că a doua soluție este mult mai simplă și mai scurtă.
Pentru o soluție completă, trebuie să faci o mica observatie. Parametru b nu trebuie să fie zero (b ≠ 0), deoarece împărțirea la zero nu este permisă.
Exemplul 3. Dată o ecuație literală. Exprimați din această ecuație X
Să deschidem parantezele din ambele părți ale ecuației
Folosim transferul de termeni. Parametri care conțin o variabilă X, grupăm în partea stângă a ecuației, iar parametrii liberi de această variabilă - în dreapta.
În partea stângă, scoatem factorul X
Împărțiți ambele părți într-o expresie a-b
În partea stângă, numărătorul și numitorul pot fi reduse cu a-b. Deci variabila este în sfârșit exprimată X
Acum, dacă întâlnim o ecuație a formei a(x − c) = b(x + d), atunci vom avea o soluție gata făcută. Va fi suficient să înlocuiți valorile necesare în el.
Să presupunem că ni se dă o ecuație 4(X - 3) = 2(X+ 4) . Arată ca o ecuație a(x − c) = b(x + d). O rezolvăm în două moduri: folosind transformări identice și folosind o soluție gata făcută:
Pentru comoditate, extragem din ecuație 4(X - 3) = 2(X+ 4) valorile parametrilor A, b, c, d . Acest lucru ne va permite să nu facem greșeli când înlocuim:
Ca și în exemplul anterior, numitorul de aici nu ar trebui să fie egal cu zero ( a - b ≠ 0) . Dacă întâlnim o ecuație de formă a(x − c) = b(x + d)în care parametrii Ași b sunt aceleași, putem spune fără a o rezolva că această ecuație nu are rădăcini, deoarece diferența aceleasi numere este egal cu zero.
De exemplu, ecuația 2(x − 3) = 2(x + 4) este o ecuație a formei a(x − c) = b(x + d). În ecuație 2(x − 3) = 2(x + 4) Opțiuni Ași b aceeași. Dacă începem să o rezolvăm, atunci vom ajunge la concluzia că partea stângă nu va fi egală cu partea dreaptă:
Exemplul 4. Dată o ecuație literală. Exprimați din această ecuație X
Aducem partea stângă a ecuației la un numitor comun:
Înmulțiți ambele părți cu A
Pe partea stângă a X scoate-l din paranteze
Împărțim ambele părți prin expresia (1 − A)
Ecuații liniare cu o necunoscută
Ecuațiile considerate în această lecție sunt numite ecuații liniare de gradul I cu o necunoscută.
Dacă ecuația este dată la primul grad, nu conține diviziunea cu necunoscut și, de asemenea, nu conține rădăcini din necunoscut, atunci poate fi numită liniară. Încă nu am studiat grade și rădăcini, așa că pentru a nu ne complica viața, vom înțelege cuvântul „liniar” drept „simplu”.
Majoritatea ecuațiilor rezolvate în această lecție au ajuns să fie reduse la cea mai simplă ecuație în care produsul trebuia împărțit la un factor cunoscut. De exemplu, ecuația 2( X+ 3) = 16 . Să rezolvăm.
Să deschidem parantezele din partea stângă a ecuației, obținem 2 X+ 6 = 16. Să mutăm termenul 6 în partea dreaptă schimbând semnul. Apoi obținem 2 X= 16 − 6. Calculați partea dreaptă, obținem 2 X= 10. A găsi X, împărțim produsul 10 la factorul cunoscut 2. Prin urmare X = 5.
Ecuația 2( X+ 3) = 16 este liniar. S-a redus la ecuația 2 X= 10 , pentru aflarea rădăcinii căreia a fost necesară împărțirea produsului la un factor cunoscut. Această ecuație simplă se numește ecuație liniară de gradul I cu o necunoscută în forma canonică. Cuvântul „canonic” este sinonim cu cuvintele „simplu” sau „normal”.
O ecuație liniară de gradul întâi cu o necunoscută în forma canonică se numește ecuație de formă ax = b.
Ecuația noastră 2 X= 10 este o ecuație liniară de gradul I cu o necunoscută în forma canonică. Această ecuație are gradul I, una necunoscută, nu conține împărțirea la necunoscut și nu conține rădăcini din necunoscut și este prezentată în formă canonică, adică în cea mai simplă formă în care este ușor de determinat valoare X. În loc de parametri Ași b ecuația noastră conține numerele 2 și 10. Dar o ecuație similară poate conține alte numere: pozitive, negative sau egale cu zero.
Dacă într-o ecuație liniară A= 0 și b= 0 , atunci ecuația are infinit de rădăcini. Într-adevăr, dacă A este zero și b este egal cu zero, apoi ecuația liniară topor= b ia forma 0 X= 0 . Pentru orice valoare X partea stângă va fi egală cu partea dreaptă.
Dacă într-o ecuație liniară A= 0 și b≠ 0, atunci ecuația nu are rădăcini. Într-adevăr, dacă A este zero și b egal cu un anumit număr zero, spuneți numărul 5, apoi ecuația ax=b ia forma 0 X= 5 . Partea stângă va fi zero, iar partea dreaptă cinci. Și zero nu este egal cu cinci.
Dacă într-o ecuație liniară A≠ 0 și b este egală cu orice număr, atunci ecuația are o rădăcină. Se determină prin împărțirea parametrului b pe parametru A
Într-adevăr, dacă A este egal cu un număr diferit de zero, să spunem numărul 3, și b este egal cu un anumit număr, să spunem numărul 6, atunci ecuația va lua forma .
De aici.
Există o altă formă de scriere a unei ecuații liniare de gradul întâi cu o necunoscută. Arata cam asa: ax − b= 0 . Aceasta este aceeași ecuație ca ax=b
Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noastre grup nou Vkontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții
Pentru soluții de ecuații liniare utilizați două reguli de bază (proprietăți).
Proprietatea #1
sau
regula de transfer
Când este transferat dintr-o parte a ecuației în alta, termenul ecuației își schimbă semnul în opus.
Să ne uităm la regula de transfer cu un exemplu. Să presupunem că trebuie să rezolvăm o ecuație liniară.
Amintiți-vă că orice ecuație are o parte stângă și una dreaptă.
Să mutăm numărul „3” din partea stângă a ecuației la dreapta.
Deoarece numărul „3” avea semnul „+” în partea stângă a ecuației, înseamnă că „3” va fi transferat în partea dreaptă a ecuației cu semnul „-”.
Valoarea numerică rezultată " x \u003d 2 " se numește rădăcina ecuației.
Nu uitați să scrieți răspunsul după rezolvarea oricărei ecuații.
Să luăm în considerare o altă ecuație.
Conform regulii de transfer, vom transfera „4x” din partea stângă a ecuației în partea dreaptă, schimbând semnul la opus.
Chiar dacă nu există niciun semn înainte de „4x”, înțelegem că există un semn „+” înainte de „4x”.
Acum dăm altele asemănătoare și rezolvăm ecuația până la sfârșit.
Proprietatea #2
sau
regula diviziunii
În orice ecuație, puteți împărți părțile din stânga și din dreapta la același număr.
Dar nu poți împărți la necunoscut!
Să ne uităm la un exemplu despre cum să folosiți regula împărțirii atunci când rezolvați ecuații liniare.
Numărul „4”, care stă la „x”, se numește coeficientul numeric al necunoscutului.
Între coeficientul numeric și necunoscut este întotdeauna acțiunea înmulțirii.
Pentru a rezolva ecuația, este necesar să vă asigurați că la „x” există un coeficient „1”.
Să ne punem întrebarea: „La ce trebuie să împărțiți” 4 „la
obține „1”?. Răspunsul este evident, trebuie să împărțiți la „4”.
Folosiți regula împărțirii și împărțiți părțile stânga și dreaptă ale ecuației cu „4”. Nu uitați că trebuie să împărțiți ambele părți din stânga și din dreapta.
Folosim reducerea fracțiilor și rezolvăm ecuația liniară până la capăt.
Cum se rezolvă o ecuație dacă „x” este negativ
Adesea, în ecuații există o situație în care există un coeficient negativ la „x”. Ca în ecuația de mai jos.
Pentru a rezolva o astfel de ecuație, ne punem din nou întrebarea: „La ce trebuie să împărțiți „-2” pentru a obține „1”?”. Împărțiți cu „-2”.
Ecuatii lineare. Primul nivel.
Doriți să vă testați puterea și să aflați cât de pregătit sunteți pentru examenul de stat unificat sau OGE?
1. Ecuația liniară
Aceasta este ecuație algebrică, care grad complet dintre polinoamele sale constitutive este egală.
2. Ecuație liniară cu o variabilă se pare ca:
Unde și sunt numerele;
3. Ecuație liniară cu două variabile se pare ca:
Unde și sunt orice numere.
4. Transformări identitare
Pentru a determina dacă ecuația este liniară sau nu, este necesar să se facă transformări identice:
Ce sunt „ecuațiile liniare”
sau în oral- câte trei prieteni au primit mere, pe baza faptului că Vasya are mere în total.
Și acum te-ai hotărât ecuație liniară
Acum să dăm acestui termen o definiție matematică.
Ecuație liniară – este o ecuație algebrică al cărei grad total al polinoamelor sale constitutive este. Arata cam asa:
Unde și sunt orice numere și
Pentru cazul nostru cu Vasya și mere, vom scrie:
- „dacă Vasia le dă tuturor celor trei prieteni același număr de mere, nu va mai avea mere”
Ecuații liniare „ascunse” sau importanța transformărilor identice
În ciuda faptului că la prima vedere totul este extrem de simplu, atunci când rezolvați ecuații, trebuie să fiți atenți, deoarece ecuațiile liniare sunt numite nu numai ecuații ale formei, ci și orice ecuații care sunt reduse la această formă prin transformări și simplificări. De exemplu:
Vedem că este în dreapta, ceea ce, teoretic, indică deja că ecuația nu este liniară. Mai mult, dacă deschidem paranteze, vom obține încă doi termeni în care va fi, dar nu sari la concluzii! Înainte de a judeca dacă ecuația este liniară, este necesar să faceți toate transformările și astfel să simplificați exemplu original. În acest caz, transformările pot schimba aspectul, dar nu însăși esența ecuației.
Cu alte cuvinte, aceste transformări trebuie să fie identic sau echivalent. Există doar două astfel de transformări, dar joacă foarte, FOARTE rol important la rezolvarea problemelor. Să luăm în considerare ambele transformări pe exemple concrete.
Deplasați la stânga-dreapta.
Să presupunem că trebuie să rezolvăm următoarea ecuație:
În timpul școlii elementare, ni s-a spus: „cu X - la stânga, fără X - la dreapta". Ce expresie cu x este în dreapta? Corect, nu cum nu. Și acest lucru este important, pentru că dacă acest lucru este înțeles greșit, s-ar părea intrebare simpla, dă un răspuns incorect. Și care este expresia cu x în stânga? Corect, .
Acum că ne-am ocupat de asta, transferăm toți termenii cu necunoscute în stânga și tot ceea ce este cunoscut în dreapta, amintindu-ne că, dacă nu există niciun semn în fața numărului, de exemplu, atunci numărul este pozitiv, adică este precedat de semnul „ ”.
S-a mutat? Ce ai primit?
Tot ce rămâne de făcut este să aducem condiții similare. Vă prezentăm:
Așadar, am analizat cu succes prima transformare identică, deși sunt sigur că o știai deja și ai folosit-o în mod activ fără mine. Principalul lucru - nu uitați de semnele pentru numere și schimbați-le la opus atunci când transferați prin semnul egal!
Înmulțire-împărțire.
Să începem imediat cu un exemplu
Ne uităm și ne gândim: ce nu ne place în acest exemplu? Necunoscutul este totul într-o parte, cunoscutul în alta, dar ceva ne oprește... Și acesta este ceva - un patru, pentru că dacă nu ar fi acolo, totul ar fi perfect - X este egal cu numărul- exact așa cum ne dorim noi!
Cum poți scăpa de ea? Nu putem transfera la dreapta, pentru că atunci trebuie să transferăm întregul multiplicator (nu îl putem lua și smulge din el), iar transferul întregului multiplicator, de asemenea, nu are sens ...
Este timpul să ne amintim despre împărțirea, în legătură cu care vom împărți totul doar în! Toate - asta înseamnă atât partea stângă, cât și cea dreaptă. Așa și numai așa! Ce primim?
Să ne uităm acum la un alt exemplu:
Ghiciți ce să faceți în acest caz? Așa este, înmulțiți părțile din stânga și din dreapta cu! Ce raspuns ai primit? Corect. .
Cu siguranță știai deja totul despre transformări identice. Luați în considerare că tocmai am reîmprospătat aceste cunoștințe în memoria dvs. și este timpul pentru ceva mai mult - De exemplu, pentru a rezolva marele nostru exemplu:
După cum am spus mai devreme, uitându-ne la ea, nu poți spune că această ecuație este liniară, dar trebuie să deschidem parantezele și să efectuăm transformări identice. Asadar, haideti sa începem!
Pentru început, amintim formulele de înmulțire prescurtată, în special, pătratul sumei și pătratul diferenței. Dacă nu vă amintiți ce este și cum se deschid parantezele, vă recomand cu tărie să citiți subiectul „Formule de înmulțire redusă”, deoarece aceste abilități vă vor fi utile atunci când rezolvați aproape toate exemplele găsite la examen.
Dezvăluit? Comparaţie:
Acum este timpul să aducem condiții similare. Îți amintești cum suntem în același timp școală primară au spus „nu punem muște cu cotlet”? Aici vă reamintesc asta. Adăugăm totul separat - factori care au, factori care au și alți factori care nu au necunoscute. Pe măsură ce aduceți termeni similari, mutați toate necunoscutele la stânga și tot ceea ce este cunoscut la dreapta. Ce ai primit?
După cum puteți vedea, pătratul x a dispărut și vedem unul complet obișnuit ecuație liniară. Rămâne doar de găsit!
Și în sfârșit, voi mai spune unul foarte lucru important despre transformări identice - transformările identice sunt aplicabile nu numai pentru ecuații liniare, ci și pentru pătrat, rațional fracțional și altele. Trebuie doar să rețineți că, atunci când transferăm factori prin semnul egal, schimbăm semnul la opus, iar când împărțim sau înmulțim cu un număr, înmulțim / împărțim ambele părți ale ecuației cu același număr.
Ce altceva ai luat din acest exemplu? Că, privind o ecuație, nu este întotdeauna posibil să se determine în mod direct și precis dacă este liniară sau nu. Mai întâi trebuie să simplificați complet expresia și abia apoi să judecați ce este.
Ecuatii lineare. Exemple.
Iată încă câteva exemple pe care să le exersați pe cont propriu - determinați dacă ecuația este liniară și, dacă da, găsiți-i rădăcinile:
Raspunsuri:
1. Este un.
2. Nu este.
Să deschidem parantezele și să dăm termeni similari:
Să facem o transformare identică - împărțim părțile din stânga și din dreapta în:
Vedem că ecuația nu este liniară, deci nu este nevoie să-i căutăm rădăcinile.
3. Este un.
Să facem o transformare identică - înmulțiți părțile din stânga și din dreapta cu pentru a scăpa de numitor.
Gândiți-vă de ce este atât de important să? Dacă știți răspunsul la această întrebare, trecem la soluția ulterioară a ecuației, dacă nu, asigurați-vă că vă uitați la subiectul „ODZ” pentru a nu greși în mai multe exemple dificile. Apropo, după cum puteți vedea, o situație în care este imposibil. De ce?
Deci, să mergem mai departe și să rearanjam ecuația:
Dacă ați făcut față cu totul fără dificultate, să vorbim despre ecuații liniare cu două variabile.
Ecuații liniare cu două variabile
Acum să trecem la una puțin mai complicată - ecuații liniare cu două variabile.
Ecuatii lineare cu două variabile arată astfel:
Unde, și sunt orice numere și.
După cum puteți vedea, singura diferență este că se adaugă încă o variabilă la ecuație. Și deci totul este la fel - nu există x pătrat, nu există împărțire printr-o variabilă etc. etc.
Pe care ți-ar aduce exemplu de viață. Să luăm același Vasya. Să presupunem că decide că va oferi fiecăruia dintre cei 3 prieteni ai săi același număr de mere și să păstreze merele pentru el. Câte mere trebuie să cumpere Vasya dacă îi dă fiecărui prieten câte un măr? Ce ziceti? Ce dacă prin?
Dependența numărului de mere pe care le va primi fiecare persoană de către total merele care urmează să fie cumpărate vor fi exprimate prin ecuația:
Rezolvând această problemă, obținem că, dacă Vasya îi dă unui prieten un măr, atunci trebuie să cumpere bucăți, dacă dă mere etc.
Și în general vorbind. Avem două variabile. De ce să nu reprezentați această dependență pe un grafic? Construim și marcam valoarea noastră, adică puncte, cu coordonate, și!
După cum puteți vedea, și depind unul de celălalt liniar, de unde și numele ecuațiilor - " liniar».
Facem abstracție de la mere și luăm în considerare grafic diverse ecuații. Priviți cu atenție cele două grafice construite - o linie dreaptă și o parabolă, date de funcții arbitrare:
Găsiți și marcați punctele corespunzătoare pe ambele figuri.
Ce ai primit?
Puteți vedea asta pe graficul primei funcție singur corespunde unu, adică și depind liniar unul de celălalt, ceea ce nu se poate spune despre a doua funcție. Desigur, puteți obiecta că pe al doilea grafic, x corespunde și cu - , dar acesta este doar un punct, adică caz special, deoarece încă puteți găsi unul care se potrivește mai mult decât unul. Iar graficul construit nu seamănă în niciun fel cu o linie, ci este o parabolă.
Repet, inca o data: graficul unei ecuații liniare trebuie să fie o dreaptă DREPTĂ.
Având în vedere faptul că ecuația nu va fi liniară dacă mergem în orice măsură - acest lucru este de înțeles folosind exemplul unei parabole, deși puteți construi mai multe pentru dvs. grafice simple, de exemplu sau. Dar vă asigur - niciunul dintre ele nu va fi o LINIE DREPTĂ.
Nu crede? Construiește și compară cu ceea ce am primit:
Și ce se întâmplă dacă împărțim ceva cu, de exemplu, un număr? O sa dependență liniarăși? Nu ne vom certa, dar vom construi! De exemplu, să reprezentăm graficul unei funcții.
Cumva, nu arată ca o linie dreaptă construită ... în consecință, ecuația nu este liniară.
Să rezumam:
Comentarii
Distribuirea materialelor fără aprobare este permisă dacă există un link dofollow către pagina sursă.
Politica de confidențialitate
Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.
Colectarea și utilizarea informațiilor personale
Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.
Este posibil să vi se solicite să furnizați informatii personaleîn orice moment când ne contactați.
Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.
Ce informații personale colectăm:
Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:
Dezvăluirea către terți
Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.
Protecția informațiilor personale
Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.
Menținerea confidențialității la nivelul companiei
Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.
Multumesc pentru mesaj!
Comentariul dumneavoastră a fost acceptat, după moderare va fi publicat pe această pagină.
Vrei să știi ce se ascunde sub tăietură și să primești materiale exclusive pentru pregătirea pentru OGE și USE? Lasă un e-mail
O ecuație este o ecuație care conține litera al cărei semn trebuie găsit. Soluția unei ecuații este setul de valori ale literelor care transformă ecuația într-o egalitate adevărată:
Amintiți-vă că pentru a rezolva ecuaţie este necesar să transferați termenii cu necunoscutul într-o parte a egalității, iar termenii numerici în cealaltă, aduceți-i pe cei similari și obțineți următoarea egalitate:
Din ultima egalitate, determinăm necunoscuta prin regula: „unul dintre factori este egal cu câtul împărțit la al doilea factor”.
Deoarece numerele raționale a și b pot avea semne identice și diferite, semnul necunoscutului este determinat de regulile de împărțire a numerelor raționale.
Procedura de rezolvare a ecuațiilor liniare
Ecuația liniară trebuie simplificată prin deschiderea parantezelor și efectuarea acțiunilor etapei a doua (înmulțire și împărțire).
Mutați necunoscutele pe o parte a semnului egal și numerele pe cealaltă parte a semnului egal, devenind identice cu egalitatea dată,
Aduceți like la stânga și la dreapta semnului egal, obținând o egalitate a formei topor = b.
Calculați rădăcina ecuației (aflați necunoscutul X din egalitate X = b : A),
Testați prin înlocuirea necunoscutului în ecuația dată.
Dacă obținem o identitate în egalitate numerică, atunci ecuația este rezolvată corect.
Cazuri speciale de rezolvare a ecuațiilor
27 (X - 3) = 0
27 nu este egal cu 0, deci X - 3 = 0
Al doilea exemplu are două soluții ale ecuației, deoarece
Aceasta este o ecuație de gradul doi:
Dacă coeficienții ecuației sunt fracții obișnuite, atunci în primul rând trebuie să scăpați de numitori. Pentru asta:
Găsiți un numitor comun;
Determinați factori suplimentari pentru fiecare termen al ecuației;
Înmulțiți numărătorii fracțiilor și numerelor întregi cu factori suplimentari și notați toți termenii ecuației fără numitori (numitorul comun poate fi aruncat);
Mutați termenii cu necunoscute într-o parte a ecuației, iar termenii numerici în cealaltă din semnul egal, obținând o egalitate echivalentă;
Aduceți condiții similare;
Proprietățile de bază ale ecuațiilor
În orice parte a ecuației, puteți aduce termeni similari sau deschideți paranteza.
Orice termen al ecuației poate fi transferat dintr-o parte a ecuației în alta prin schimbarea semnului său la opus.
Ambele părți ale ecuației pot fi înmulțite (împărțite) cu același număr, cu excepția 0.
În exemplul de mai sus, toate proprietățile sale au fost folosite pentru a rezolva ecuația.
Ecuatii lineare. Rezolvarea ecuațiilor liniare. Regula transferului termenului.
Regula transferului termenului.
Când rezolvați și transformați ecuații, de multe ori devine necesar să transferați termenul în cealaltă parte a ecuației. Rețineți că termenul poate avea atât un semn plus, cât și un semn minus. Conform regulii, atunci când transferați termenul într-o altă parte a ecuației, trebuie să schimbați semnul la opus. În plus, regula funcționează și pentru inegalități.
Exemple transfer pe termen:
Mai întâi transferați 5x
Rețineți că semnul „+” s-a schimbat în „-”, iar semnul „-” în „+”. În acest caz, nu contează dacă termenul transferat este un număr sau o variabilă sau o expresie.
Transferăm primul termen în partea dreaptă a ecuației. Primim:
Rețineți că în exemplul nostru, termenul este expresia (−3x 2 (2+7x)). Prin urmare, nu poate fi transferat separat. (−3x2)și (2+7x), deoarece acestea sunt componente ale termenului. De aceea nu tolerează (−3x2 ⋅ 2) și (7x). Cu toate acestea, deschidem prin modem parantezele și obținem 2 termeni: (−3x-⋅ 2) și (−3×2⋅ 7x). Acești 2 termeni pot fi transportați separat unul de celălalt.
Inegalitățile sunt transformate în același mod:
Colectăm fiecare număr pe o parte. Primim:
Cele 2-a părți ale ecuației sunt prin definiție aceleași, așa că putem scădea aceleași expresii din ambele părți ale ecuației, iar egalitatea va rămâne adevărată. Trebuie să scădeți expresia, care în cele din urmă trebuie mutată în cealaltă parte. Apoi pe o parte a semnului „=” va fi redus cu ceea ce a fost. Și de cealaltă parte a egalității, expresia pe care am scăzut-o va apărea cu semnul „-”.
Această regulă este adesea folosită pentru a rezolva ecuații liniare. Alte metode sunt folosite pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare.
Fundamentele algebrei / Regula de transfer al termenului
Să mutăm primul termen în partea dreaptă a ecuației. Primim:
Să mutam toate numerele într-o singură direcție. Ca urmare, avem:
Exemple care ilustrează dovada Edit
Pentru Ecuații Edit
Să presupunem că vrem să mutăm toate x-urile din partea stângă a ecuației în partea dreaptă. Scădeți din ambele părți 5 x
Acum trebuie să verificăm dacă părțile stânga și dreaptă ale ecuației sunt aceleași. Să înlocuim variabila necunoscută cu rezultatul rezultat:
Acum putem adăuga termeni similari:
Să ne mișcăm primii 5 X din partea stângă a ecuației la dreapta:
Acum să mutăm numărul (−6) din partea dreaptă la stânga:
Rețineți că semnul plus s-a schimbat în minus, iar semnul minus s-a schimbat în plus. Mai mult, nu contează dacă termenul transferat este un număr, o variabilă sau o expresie întreagă.
Cele două părți ale ecuației sunt prin definiție egale, așa că puteți scădea din ambele părți ale ecuației aceeași expresie, iar egalitatea rămâne adevărată. Pe o parte a semnului egal, se va contracta cu ceea ce a fost. Pe cealaltă parte a ecuației, expresia pe care am scăzut-o va apărea cu semnul minus.
Se demonstrează regula pentru ecuații.
Pentru inegalități Edit
Prin urmare, 4 este rădăcina ecuației 5x+2=7x-6. Deoarece identitatea a fost dovedită pentru ea, la fel și pentru inegalități, prin definiție.
Rezolvarea ecuațiilor, regula transferului de termeni
Scopul lecției
Sarcinile educaționale ale lecției:
— Să fie capabil să aplice regula transferului de termeni la rezolvarea ecuațiilor;
Dezvoltarea sarcinilor lecției:
- dezvolta activitate independentă elevi;
- dezvoltarea vorbirii (dați răspunsuri complete într-un limbaj competent, matematic);
Sarcini educaționale ale lecției:
- educați capacitatea de a însemna corect în caiete și la tablă;
?Echipament:
Vizualizați conținutul documentului
"Lecția Rezolvarea ecuațiilor 6 celule"
LECȚIA DE MATEMATICĂ CLASA 6
Profesor: Timofeeva M. A.
Scopul lecției: studiul regulii pentru transferul termenilor dintr-o parte a ecuației în alta.
Sarcinile educaționale ale lecției:
Să fie capabil să aplice regula transferului de termeni la rezolvarea ecuațiilor;
Dezvoltarea sarcinilor lecției:
să dezvolte activitatea independentă a elevilor;
dezvoltarea vorbirii (dați răspunsuri complete într-un limbaj matematic competent);
Sarcini educaționale ale lecției:
să cultive capacitatea de a însemna corect în caiete și pe tablă;
Etapele principale ale lecției
1. Moment de organizare, comunicare a scopului lecției și a formei de lucru
„Dacă vrei să înveți să înoți,
apoi intră cu îndrăzneală în apă,
Dacă vrei să înveți cum să rezolvi ecuații,
2. Astăzi începem să studiem tema: „Rezolvarea ecuațiilor” (Diapozitivul 1)
Dar ai învățat deja cum să rezolvi ecuații! Atunci ce vom studia?
— Noi moduri de rezolvare a ecuațiilor.
3. Să repetăm materialul acoperit ( munca orală) (Diapozitivul 2)
3). 7m + 8n - 5m - 3n
4). – 6a + 12b – 5a – 12b
5). 9x - 0,6y - 14x + 1,2y
A venit ecuația
a adus o mulțime de secrete
Ce expresii sunt ecuațiile?(Diapozitivul 3)
4. Ce se numește ecuație?
O ecuație este o egalitate care conține numar necunoscut. (Diapozitivul 4)
Ce înseamnă să rezolvi o ecuație?
rezolva ecuatiaînseamnă a-i găsi rădăcinile sau a dovedi că acestea nu există.
Să rezolvăm ecuațiile oral. (Diapozitivul 5)
Ce regulă folosim când rezolvăm?
— Găsirea factorului necunoscut.
Să notăm mai multe ecuații într-un caiet și să le rezolvăm folosind regulile pentru găsirea unui termen necunoscut și a unuia redus: (Diapozitivul 7)
Cum se rezolvă o astfel de ecuație?
x + 5 = - 2x - 7 (Diapozitivul 8)
Nu putem simplifica, deoarece există termeni similari părți diferite ecuațiile, prin urmare, este necesar să le transferăm.
Arde culori fantastice
Și oricât de înțelept ar fi capul
Mai crezi în basme?
Povestea este întotdeauna corectă.
Au fost odată ca niciodată 2 regi: alb și negru. Regele Negru a trăit în Regatul Negru, pe malul drept al râului, iar Regele Alb a trăit în Regatul Alb, pe malul stâng. Între regate curgea un râu foarte turbulent și periculos. Era imposibil să traversezi acest râu nici înotând, nici cu barca. Aveam nevoie de un pod! Construcția podului a durat foarte mult, iar acum, în sfârșit, podul a fost construit. Toată lumea s-ar bucura și s-ar comunica între ei, dar necazul este: Regelui Alb nu-i plăcea negrul, toți locuitorii regatului său purtau haine deschise la culoare, iar Regelui Negru nu-i plăcea. culoare albași, locuitorii regatului său purtau haine de culoare închisă. Dacă cineva din Regatul Negru s-a mutat în Regatul Alb, atunci el a căzut imediat în disfavoare față de Regele Alb, iar dacă cineva din Regatul Alb s-a mutat în Regatul Negru, atunci a căzut în dizgrație față de Regele Negru. Locuitorii regatelor trebuiau să vină cu ceva pentru a nu-și mânia regii. Cu ce crezi că au venit?
