Fraktale Eigenschaften sind keine Laune und keine Frucht der müßigen Fantasie von Mathematikern. Indem wir sie studieren, lernen wir zu unterscheiden und vorherzusagen wichtige Funktionen Objekte und Phänomene, die uns umgeben, die vorher, wenn nicht völlig ignoriert, nur ungefähr, qualitativ, mit dem Auge geschätzt wurden. Durch den Vergleich der fraktalen Dimensionen von komplexen Signalen, Enzephalogrammen oder Herzgeräuschen können Ärzte beispielsweise einige schwere Krankheiten in einem frühen Stadium diagnostizieren, wenn dem Patienten noch geholfen werden kann. Außerdem kann der Analyst, der das vorherige Preisverhalten vergleicht, zu Beginn der Modellbildung seine weitere Entwicklung vorhersehen und dadurch grobe Prognosefehler vermeiden.

Unregelmäßigkeit von Fraktalen

Die erste Eigenschaft von Fraktalen ist ihre Unregelmäßigkeit. Wird ein Fraktal durch eine Funktion beschrieben, dann bedeutet die Eigenschaft der Unregelmäßigkeit mathematisch ausgedrückt, dass eine solche Funktion an keiner Stelle differenzierbar, also nicht glatt ist. Das hat eigentlich den direktesten Bezug zum Markt. Preisschwankungen sind manchmal so volatil und wechselhaft, dass sie viele Trader verwirren. Unsere Aufgabe ist es, all dieses Chaos zu sortieren und in Ordnung zu bringen.

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Selbstähnlichkeit von Fraktalen

Die zweite Eigenschaft besagt, dass ein Fraktal ein Objekt ist, das die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit besitzt. Hierbei handelt es sich um ein rekursives Modell, bei dem jeder Teil in seiner Entwicklung die Entwicklung des gesamten Modells als Ganzes wiederholt und ohne sichtbare Änderungen in verschiedenen Maßstäben reproduziert wird. Es treten jedoch immer noch Veränderungen auf, die unsere Wahrnehmung des Objekts stark beeinflussen können.

Selbstähnlichkeit bedeutet, dass das Objekt keinen charakteristischen Maßstab hat: Wenn es einen solchen Maßstab hätte, würden Sie die vergrößerte Kopie des Fragments sofort vom Originalbild unterscheiden. Selbstähnliche Objekte haben unendlich viele Skalen für jeden Geschmack. Das Wesen der Selbstähnlichkeit kann erklärt werden in nächstes Beispiel. Stellen Sie sich vor, Sie haben ein Bild einer „echten“ geometrischen Linie, „Länge ohne Breite“, wie Euklid die Linie definiert hat, und Sie spielen mit einem Freund und versuchen zu erraten, ob er Ihnen das Originalbild (Original) oder ein Bild zeigt von jedem Fragment einer geraden Linie. So sehr Sie sich auch bemühen, Sie werden das Original nie von der vergrößerten Kopie des Fragments unterscheiden können, die gerade Linie ist in allen Teilen gleich angeordnet, sie ist sich selbst ähnlich, aber diese bemerkenswerte Eigenschaft davon wird durch die unkomplizierte Struktur der Geraden selbst, ihre „Geradheit“, etwas verdeckt (Abb. 7).

Wenn Sie auch einen Schnappschuss eines Objekts nicht von einem richtig vergrößerten Schnappschuss eines seiner Fragmente unterscheiden können, dann haben Sie ein selbstähnliches Objekt. Alle Fraktale, die zumindest eine gewisse Symmetrie haben, sind selbstähnlich. Und das bedeutet, dass einige Fragmente ihrer Struktur in bestimmten räumlichen Abständen streng wiederholt werden. Offensichtlich können diese Objekte beliebiger Art sein, und ihr Aussehen und ihre Form bleiben unabhängig vom Maßstab unverändert. Ein Beispiel für ein selbstähnliches Fraktal:

Im Finanzwesen ist dieses Konzept keine unbegründete Abstraktion, sondern eine theoretische Neuformulierung einer praktischen Marktaussage – nämlich, dass die Bewegungen einer Aktie oder Währung oberflächlich ähnlich sind, unabhängig von Zeitrahmen und Preis. Der Beobachter kann es nicht sagen Aussehen Diagramm, ob sich die Daten auf wöchentliche, tägliche oder stündliche Änderungen beziehen.

Natürlich haben nicht alle Fraktale eine so regelmäßige, sich endlos wiederholende Struktur wie jene wunderbaren Exponate des zukünftigen Museums für Fraktalkunst, die der Fantasie von Mathematikern und Künstlern entsprungen sind. Viele in der Natur vorkommende Fraktale (Fehleroberflächen Felsen und Metalle, Wolken, Währungskurse, turbulente Strömungen, Schaum, Gele, Konturen von Rußpartikeln usw.), sind frei von geometrischer Ähnlichkeit, geben aber in jedem Fragment hartnäckig die statistischen Eigenschaften des Ganzen wieder. Fraktale mit nichtlinearer Entwicklungsform wurden von Mandelbrot als Multifraktale bezeichnet. Ein Multifraktal ist ein quasi-fraktales Objekt mit einer variablen fraktalen Dimension. Natürlich lassen sich reale Objekte und Prozesse viel besser durch Multifraktale beschreiben.

Eine solche statistische Selbstähnlichkeit oder Selbstähnlichkeit im Durchschnitt unterscheidet Fraktale in der Menge natürliche Objekte.

Betrachten Sie ein Beispiel für Selbstähnlichkeit auf dem Devisenmarkt:

In diesen Figuren sehen wir, dass sie ähnlich sind, obwohl sie eine andere Zeitskala haben, in Abb. und die 15-Minuten-Skala in Abb. b Wochenpreisstaffel. Wie Sie sehen können, können sich diese Zitate nicht perfekt wiederholen, wir können sie jedoch als ähnlich betrachten.

Selbst die einfachsten Fraktale – geometrisch selbstähnliche Fraktale – haben ungewöhnliche Eigenschaften. Zum Beispiel hat die von-Koch-Schneeflocke einen Umfang von unendlicher Länge, obwohl sie eine endliche Fläche begrenzt (Abb. 9). Außerdem ist sie so stachelig, dass sie an keinem Punkt der Kontur tangiert werden kann (ein Mathematiker würde sagen, dass eine von-Koch-Schneeflocke nirgendwo differenzierbar, also an keiner Stelle glatt ist).

Mandelbrot fand heraus, dass die Ergebnisse der Teilmessung für verschiedene Grade der Verbesserung der Unregelmäßigkeit des Objekts konstant bleiben. Mit anderen Worten, es gibt Regelmäßigkeit (Korrektheit, Ordnung) für jede Unregelmäßigkeit. Wenn wir etwas als zufällig behandeln, deutet dies darauf hin, dass wir die Natur dieser Zufälligkeit nicht verstehen. Markttechnisch bedeutet dies, dass die Bildung gleicher typischer Formationen in unterschiedlichen Zeitfenstern erfolgen muss. Ein Ein-Minuten-Chart beschreibt eine fraktale Formation genauso wie ein Monatschart. Diese „Selbstähnlichkeit“, die in den Charts der Rohstoff- und Finanzmärkte zu finden ist, zeigt alle Anzeichen dafür, dass die Aktionen des Marktes dem Paradigma des Verhaltens der „Natur“ näher sind als dem Verhalten der ökonomischen, fundamentalen Analyse.

In diesen Zahlen finden Sie die Bestätigung des oben Gesagten. Links ist ein Diagramm mit Minutenskala, rechts ein Wochendiagramm. Die Währungspaare USD/Yen (Abb. 9 (a)) und Euro/Dollar (Abb. 9 (b)) sind hier mit unterschiedlichen Preisstaffeln dargestellt. Obwohl das Währungspaar JPY/USD im Vergleich zu EUR/USD eine andere Volatilität aufweist, können wir die gleiche Preisbewegungsstruktur beobachten.

fraktale Dimension

Die dritte Eigenschaft von Fraktalen ist, dass fraktale Objekte eine andere als die euklidische Dimension haben (mit anderen Worten, eine topologische Dimension). Die fraktale Dimension ist ein Maß für die Komplexität der Kurve. Durch die Analyse des Wechsels von Abschnitten mit unterschiedlichen fraktalen Dimensionen und der Beeinflussung des Systems durch externe und interne Faktoren kann man lernen, das Verhalten des Systems vorherzusagen. Und vor allem, um instabile Zustände zu diagnostizieren und vorherzusagen.

Im Arsenal der modernen Mathematik fand Mandelbrot ein bequemes quantitatives Maß für die Unvollkommenheit von Objekten - die Schlängelung der Kontur, die Faltenbildung der Oberfläche, die Brüche und Porosität des Volumens. Es wurde von zwei Mathematikern vorgeschlagen - Felix Hausdorff (1868-1942) und Abram Samoylovich Besikovich (1891-1970). Jetzt verdient sie es zu tragen herrliche Namen ihrer Schöpfer (die Hausdorff-Besikovich-Dimension) – die Hausdorff-Besikovich-Dimension. Was ist Dimension und warum brauchen wir sie in Bezug auf die Analyse von Finanzmärkten? Davor kannten wir nur eine Art von Dimension – topologische (Abb. 11). Das Wort Dimension selbst gibt an, wie viele Dimensionen ein Objekt hat. Für ein Segment, eine gerade Linie, ist es gleich 1, d.h. wir haben nur eine Dimension, nämlich die Länge eines Segments oder einer Geraden. Für eine Ebene ist die Dimension 2, da wir eine zweidimensionale Dimension haben, Länge und Breite. Für räumliche oder feste Objekte ist die Dimension 3: Länge, Breite und Höhe.

Nehmen wir das Beispiel Computerspiele. Wenn das Spiel in 3D-Grafik erstellt wird, ist es räumlich und voluminös, wenn in 2D-Grafik die Grafik auf einer Ebene angezeigt wird (Abb. 10).

Das ungewöhnlichste (genauer gesagt ungewöhnlich) an der Hausdorff-Besikovich-Dimension war, dass sie nicht nur ganze Zahlen als topologische Dimension annehmen konnte, sondern auch gebrochene Werte. Gleich eins für eine gerade Linie (unendlich, halb-unendlich oder für ein endliches Segment), nimmt die Hausdorff-Besicovitch-Dimension mit zunehmender Windung zu, während die topologische Dimension hartnäckig alle Änderungen ignoriert, die mit der Linie auftreten.

Dimension charakterisiert die Komplikation einer Menge (z. B. eine gerade Linie). Handelt es sich um eine Kurve mit einer topologischen Dimension gleich 1 (Gerade), dann kann die Kurve durch unendlich viele Biegungen und Verzweigungen so kompliziert werden, dass ihre fraktale Dimension gegen zwei geht, d.h. füllt fast die gesamte Ebene aus (Abb. 12)

Durch die Erhöhung ihres Wertes verändert die Hausdorff-Besikovich-Dimension diesen nicht abrupt, wie die topologische Dimension "an ihrer Stelle" den Übergang von 1 sofort auf 2 tun würde. Die Hausdorff-Besikovich-Dimension - und das mag auf den ersten Blick ungewöhnlich erscheinen und überraschend, nimmt Bruchwerte an: gleich eins für eine gerade Linie wird es 1,15 für eine leicht gewundene Linie, 1,2 für eine stärker gewundene Linie, 1,5 für eine sehr gewundene Linie und so weiter.

Um die Fähigkeit der Hausdorff-Besikovich-Dimension zu betonen, gebrochene, nicht ganzzahlige Werte anzunehmen, entwickelte Mandelbrot seinen eigenen Neologismus und nannte ihn die fraktale Dimension. Eine fraktale Dimension (nicht nur Hausdorff-Besikovich, sondern jede andere) ist also eine Dimension, die nicht unbedingt ganzzahlige Werte annehmen kann, sondern auch gebrochene.

Für lineare geometrische Fraktale charakterisiert die Dimension ihre Selbstähnlichkeit. Betrachten Sie Abb. 17(A) besteht die Linie aus N = 4 Segmenten, von denen jedes eine Länge von r = 1/3 hat. Als Ergebnis erhalten wir das Verhältnis:

D = logN/log(1/r)

Ganz anders verhält es sich, wenn wir von Multifraktalen (nicht-linear) sprechen. Hier verliert die Dimension ihre Bedeutung als Definition der Ähnlichkeit eines Objekts und wird durch diverse Verallgemeinerungen weit weniger natürlich definiert als die eindeutige Dimension selbstähnlicher Objekte.

Auf dem Devisenmarkt kann die Dimension die Volatilität von Kursnotierungen charakterisieren. Jedes Währungspaar hat sein eigenes Preisverhalten. Beim Pfund/Dollar-Paar (Abb. 13(a)) ist es ruhiger als beim Euro/Dollar (Abb. 13(b)). Das Interessanteste ist, dass sich diese Währungen in der gleichen Struktur auf Preisniveaus bewegen, sie jedoch unterschiedliche Dimensionen haben, was den Intraday-Handel und Änderungen in Modellen beeinflussen kann, die sich dem ungeübten Blick entziehen.

Auf Abb. 14 zeigt die Dimension in Bezug auf das mathematische Modell, damit Sie tiefer in den Wert eindringen können. dieser Begriff. Beachten Sie, dass alle drei Abbildungen denselben Zyklus zeigen. Auf Abb. und die Dimension ist 1,2, in Abb. b, das Maß ist 1,5, und in Abb. im 1.9. Es ist ersichtlich, dass mit zunehmender Dimension die Wahrnehmung des Objekts komplizierter wird und die Amplitude der Schwingungen zunimmt.

Auf den Finanzmärkten spiegelt sich die Dimension nicht nur als Preisvolatilität wider, sondern auch als Detail von Zyklen (Wellen). Dank dessen können wir unterscheiden, ob eine Welle zu einer bestimmten Zeitskala gehört. Auf Abb. 15 zeigt das Euro/Dollar-Paar auf einer täglichen Preisskala. Passen Sie auf, Sie können den gebildeten Zyklus und den Beginn eines neuen, größeren Zyklus deutlich sehen. Wenn wir zur stündlichen Skala wechseln und einen der Zyklen vergrößern, sehen wir kleinere Zyklen und einen Teil eines großen, der sich auf D1 befindet (Abb. 16). Loop-Detaillierung, d.h. ihre Dimension erlaubt uns, aus den Ausgangsbedingungen abzuleiten, wie sich die Situation in Zukunft entwickeln kann. Wir können sagen: Die fraktale Dimension spiegelt die Skaleninvarianzeigenschaft der betrachteten Menge wider.

Das Konzept der Invarianz wurde von Mandelbrot aus dem Wort "Sealant" eingeführt - skalierbar, d.h. Wenn ein Objekt die Eigenschaft der Invarianz hat, hat es unterschiedliche Anzeigemaßstäbe.

Auf Abb. 16 Kreis A hebt einen Minizyklus (detaillierte Welle) hervor, Kreis B - eine Welle eines größeren Zyklus. Gerade wegen der Dimension können wir nicht immer ALLE Zyklen auf der gleichen Preisstaffel bestimmen.

Über die Probleme bei der Bestimmung und Entwicklung von Eigenschaften nichtperiodischer Zyklen werden wir im Abschnitt „Zyklen auf dem Devisenmarkt“ sprechen, jetzt ging es uns vor allem darum zu verstehen, wie und wo sich die Dimension auf den Finanzmärkten manifestiert.

Man kann also sagen, dass Fraktale als Modelle verwendet werden, wenn das reale Objekt nicht in Form klassischer Modelle dargestellt werden kann. Und das bedeutet, dass wir es mit nichtlinearen Beziehungen und der nichtdeterministischen (zufälligen) Natur der Daten zu tun haben. Nichtlinearität im ideologischen Sinne bedeutet die Multivarianz von Entwicklungspfaden, die Verfügbarkeit einer Wahlmöglichkeit alternative Wege und eine gewisse Evolutionsgeschwindigkeit sowie die Irreversibilität evolutionäre Prozesse. Nichtlinearität im mathematischen Sinne bedeutet bestimmte Art mathematische Gleichungen (nichtlineare Differentialgleichungen), die die gewünschten Größen in Potenzen größer als eins enthalten oder Koeffizienten, die von den Eigenschaften des Mediums abhängen. Ein einfaches Beispiel für ein nichtlineares dynamisches System:

Johnny wächst 2 Zoll pro Jahr. Dieses System erklärt, wie sich Johnnys Größe im Laufe der Zeit verändert. Sei x(n) Johnnys Größe in diesem Jahr. Lass es aufgehen nächstes Jahr wird als x (n+1) geschrieben. Dann können wir das dynamische System in Form einer Gleichung schreiben:

x(n+1) = x(n) + 2.

Sehen? Ist das nicht einfache Mathematik? Wenn wir Johnnys Größe heute x (n) = 38 Zoll eingeben, erhalten wir auf der rechten Seite der Gleichung Johnnys Größe im nächsten Jahr, x (n+1) = 40 Zoll:

x(n+1) = x(n) + 2 = 38 + 2 = 40.

Das Bewegen von rechts nach links in einer Gleichung wird als Iteration (Wiederholung) bezeichnet. Wir können die Gleichung noch einmal wiederholen, indem wir eingeben neues Wachstum Johnny ist 40 Zoll auf der rechten Seite der Gleichung (d. h. x(n) = 40), und wir erhalten x(n+1) = 42. Wenn wir die Gleichung dreimal iterieren (wiederholen), erhalten wir Johnnys Größe nach 3 Jahren, nämlich 44 Zoll, beginnend bei 38 Zoll groß.

Dies ist ein deterministisches dynamisches System. Wenn wir es nicht deterministisch (stochastisch) machen wollen, könnten wir ein Modell wie dieses erstellen: Johnny wächst mehr oder weniger 2 Zoll pro Jahr und die Gleichung schreiben als:

x(n+1) = x(n) + 2 + e

wobei e ein kleiner Fehler ist (klein relativ zu 2), eine Wahrscheinlichkeitsverteilung darstellt.

Gehen wir zurück zur ursprünglichen deterministischen Gleichung. Die ursprüngliche Gleichung x(n+1) = x(n) + 2 ist linear. Linear bedeutet, dass Sie Variablen oder Konstanten addieren oder Variablen mit Konstanten multiplizieren. Zum Beispiel die Gleichung

z(n+l) = z(n) + 5 y(n) -2 x(n)

ist linear. Aber wenn Sie die Variablen multiplizieren oder potenzieren, wird die Gleichung (das System) nichtlinear. Zum Beispiel die Gleichung

x(n+1) = x(n) 2

ist nichtlinear, weil x(n) quadriert ist. Die gleichung

ist nichtlinear, da zwei Variablen, x und y, multipliziert werden.

Wenn wir klassische Modelle (z. B. Trend, Regression usw.) anwenden, sagen wir, dass die Zukunft eines Objekts eindeutig bestimmt ist, d.h. hängt ganz von den Ausgangsbedingungen ab und ist einer klaren Prognose zugänglich. Sie können eines dieser Modelle in Excel unabhängig ausführen. Beispiel klassisches Modell kann als stetig abnehmender oder zunehmender Trend dargestellt werden. Und wir können sein Verhalten vorhersagen, indem wir die Vergangenheit des Objekts kennen (die Ausgangsdaten für die Modellierung). Und Fraktale werden verwendet, wenn das Objekt mehrere Entwicklungsmöglichkeiten hat und der Zustand des Systems durch die Position bestimmt wird, an der es sich gerade befindet. Das heißt, wir versuchen, eine chaotische Entwicklung zu simulieren. Dieses System ist der Interbanken-Devisenmarkt.

Betrachten wir nun, wie man aus einer geraden Linie das erhalten kann, was wir ein Fraktal nennen, mit seinen inhärenten Eigenschaften.

Auf Abb. 17(A) zeigt die Koch-Kurve. Nehmen Sie ein Liniensegment, seine Länge = 1, d.h. immer noch eine topologische Dimension. Jetzt teilen wir es in drei Teile (jeweils 1/3 der Länge) und entfernen das mittlere Drittel. Aber wir ersetzen das mittlere Drittel durch zwei Segmente (jeweils 1/3 der Länge), die sich als zwei Seiten eines gleichseitigen Dreiecks darstellen lassen. Dies ist Stufe zwei (b) des in Abb. 1 dargestellten Designs. 17(A). An dieser Stelle haben wir 4 kleinere Teile, jeder 1/3 der Länge, also ist die Gesamtlänge 4(1/3) = 4/3. Wir wiederholen diesen Vorgang dann für jeden der 4 kleineren Lappen der Linie. Dies ist Stufe drei (c). Dadurch erhalten wir 16 noch kleinere Liniensegmente, jedes 1/9 der Länge. Die Gesamtlänge ist also jetzt 16/9 oder (4/3) 2 . Als Ergebnis haben wir eine gebrochene Dimension. Aber nicht nur das unterscheidet die entstehende Struktur von einer geraden Linie. Es ist selbstähnlich geworden und es ist unmöglich, an jedem seiner Punkte eine Tangente zu ziehen (Abb. 17 (B)).

Inhalt

Die genialsten Entdeckungen in der Wissenschaft können sich radikal verändern Menschenleben. Der erfundene Impfstoff kann Millionen von Menschen retten, die Herstellung von Waffen hingegen kostet diese Menschen das Leben. In jüngerer Zeit (im Maßstab menschliche Evolution) haben wir gelernt, Strom zu „zähmen“ – und können uns das Leben ohne all diese praktischen Geräte, die Strom nutzen, nicht mehr vorstellen. Aber es gibt auch Entdeckungen, denen nur wenige Menschen Bedeutung beimessen, obwohl sie unser Leben ebenfalls stark beeinflussen.

Eine dieser „unmerklichen“ Entdeckungen sind Fraktale. Sie haben dieses griffige Wort wahrscheinlich schon einmal gehört, aber wissen Sie, was es bedeutet und wie viel Interessantes sich in diesem Begriff verbirgt?

Jeder Mensch hat eine natürliche Neugier, den Wunsch, etwas über die Welt um ihn herum zu lernen. Und bei diesem Streben versucht eine Person, sich in Urteilen an die Logik zu halten. Er analysiert die um ihn herum stattfindenden Prozesse und versucht, die Logik des Geschehens zu finden und eine gewisse Regelmäßigkeit abzuleiten. Mit dieser Aufgabe sind die größten Köpfe der Welt beschäftigt. Grob gesagt suchen Wissenschaftler nach einem Muster, wo es nicht sein sollte. Trotzdem kann man auch im Chaos eine Verbindung zwischen Ereignissen finden. Und diese Verbindung ist ein Fraktal.

Unsere kleine Tochter, viereinhalb Jahre alt, ist jetzt in diesem wunderbaren Alter, in dem die vielen Fragen „Warum? um ein Vielfaches größer als die Anzahl der Antworten, für die Erwachsene Zeit haben. Als meine Tochter vor nicht allzu langer Zeit einen vom Boden aufgerichteten Ast betrachtete, bemerkte sie plötzlich, dass dieser Ast mit Ästen und Ästen selbst wie ein Baum aussah. Und natürlich folgte die übliche Frage „Warum?“, für die die Eltern nach einer einfachen, für das Kind verständlichen Erklärung suchen mussten.

Die von einem Kind entdeckte Ähnlichkeit eines einzelnen Astes mit einem ganzen Baum ist eine sehr zutreffende Beobachtung, die einmal mehr das Prinzip der rekursiven Selbstähnlichkeit in der Natur bezeugt. Sehr viele organische und anorganische Formen in der Natur werden ähnlich gebildet. Wolken, Muscheln, das "Haus einer Schnecke", die Rinde und Krone von Bäumen, Kreislauf und so weiter - die zufälligen Formen all dieser Objekte können durch den fraktalen Algorithmus beschrieben werden.

⇡ Benoit Mandelbrot: der Vater der fraktalen Geometrie

Das Wort "Fraktal" selbst ist dank des brillanten Wissenschaftlers Benoît B. Mandelbrot entstanden.

Er hat den Begriff in den 1970er Jahren selbst geprägt und das Wort fractus aus dem Lateinischen entlehnt, wo es wörtlich „gebrochen“ oder „zerquetscht“ bedeutet. Was ist es? Heutzutage wird das Wort "Fraktal" am häufigsten verwendet, um zu bedeuten grafisches Bild eine Struktur, die sich selbst in größerem Maßstab ähnlich ist.

Die mathematische Grundlage für die Entstehung der Fraktaltheorie wurde viele Jahre vor der Geburt von Benoit Mandelbrot gelegt, aber sie konnte sich erst mit dem Aufkommen von Computergeräten entwickeln. Zu Beginn seines wissenschaftliche Tätigkeit Benoist arbeitete am IBM Research Center. Damals arbeiteten die Mitarbeiter des Zentrums an der Datenfernübertragung. Im Zuge der Forschung sahen sich die Wissenschaftler mit dem Problem großer Verluste durch Störgeräusche konfrontiert. Vor Benois stand ein Komplex und sehr wichtige Aufgabe- verstehen, wie das Auftreten von Rauschstörungen in elektronischen Schaltungen vorhergesagt werden kann, wenn die statistische Methode unwirksam ist.

Beim Durchsehen der Ergebnisse der Rauschmessungen machte Mandelbrot auf ein seltsames Muster aufmerksam - die Rauschdiagramme in verschiedenen Maßstäben sahen gleich aus. Ein identisches Muster wurde beobachtet, unabhängig davon, ob es sich um eine Rauschkurve für einen Tag, eine Woche oder eine Stunde handelte. Es hat sich gelohnt, den Maßstab der Grafik zu ändern, und das Bild wurde jedes Mal wiederholt.

Benoit Mandelbrot sagte zu Lebzeiten immer wieder, dass er sich nicht mit Formeln auseinandersetze, sondern einfach mit Bildern spiele. Dieser Mann dachte sehr bildlich und übersetzte jedes algebraische Problem in das Gebiet der Geometrie, wo seiner Meinung nach die richtige Antwort immer offensichtlich ist.

Es ist kein Wunder, dass es sich bei einem Mann um ein solches Vermögen handelt räumliches Vorstellungsvermögen wurde der Vater der fraktalen Geometrie. Schließlich kommt die Erkenntnis der Essenz von Fraktalen genau dann, wenn Sie anfangen, Zeichnungen zu studieren und über die Bedeutung seltsamer Wirbelmuster nachzudenken.

Ein fraktales Muster hat keine identischen Elemente, ist aber in jedem Maßstab ähnlich. Erstellen Sie dieses Bild mit ein hohes Maß Eine manuelle Detaillierung war bisher einfach unmöglich, es war erforderlich große Menge rechnen. Zum Beispiel beschrieb der französische Mathematiker Pierre Joseph Louis Fatou diese Menge mehr als siebzig Jahre vor der Entdeckung von Benoit Mandelbrot. Wenn wir über die Prinzipien der Selbstähnlichkeit sprechen, dann wurden sie in den Werken von Leibniz und Georg Cantor erwähnt.

Eine der ersten Zeichnungen eines Fraktals war eine grafische Interpretation der Mandelbrot-Menge, die aus der Forschung von Gaston Maurice Julia hervorgegangen ist.

Gaston Julia (immer maskiert - WWI-Verletzung)

Dieser französische Mathematiker fragte sich, wie eine Menge aussehen würde, wenn sie aus einer einfachen Formel konstruiert wäre, die von einer Schleife iteriert wird Feedback. Wenn es „an den Fingern“ erklärt wird, bedeutet dies, dass wir für eine bestimmte Zahl mithilfe der Formel einen neuen Wert finden, ihn dann wieder in die Formel einsetzen und einen anderen Wert erhalten. Das Ergebnis ist eine große Folge von Zahlen.

Um sich ein vollständiges Bild von einem solchen Satz zu machen, müssen Sie eine Vielzahl von Berechnungen durchführen - Hunderte, Tausende, Millionen. Es war einfach unmöglich, es manuell zu tun. Aber als den Mathematikern leistungsfähige Rechengeräte zur Verfügung standen, konnten sie einen neuen Blick auf Formeln und Ausdrücke werfen, die schon lange von Interesse waren. Mandelbrot war der erste, der einen Computer benutzte, um das klassische Fraktal zu berechnen. Nachdem er eine Folge verarbeitet hatte, die aus einer großen Anzahl von Werten bestand, übertrug Benoit die Ergebnisse in einen Graphen. Hier ist, was er hat.

Anschließend wurde dieses Bild gefärbt (eine der Möglichkeiten zum Färben ist beispielsweise die Anzahl der Iterationen) und wurde zu einem der beliebtesten Bilder, die jemals von Menschen geschaffen wurden.

Wie das Sprichwort sagt alter Spruch Heraklit von Ephesus zugeschrieben: "Du kannst nicht zweimal in denselben Fluss eintreten." Es ist am besten geeignet, um die Geometrie von Fraktalen zu interpretieren. Egal wie detailliert wir ein Fraktalbild untersuchen, wir werden immer ein ähnliches Muster sehen.

Wer sehen möchte, wie ein Bild des Mandelbrot-Raums aussehen würde, wenn es um ein Vielfaches vergrößert wird, kann dies tun, indem er ein animiertes GIF hochlädt.

⇡ Lauren Carpenter: von der Natur geschaffene Kunst

Die Theorie der Fraktale bald gefunden praktischer Nutzen. Da es eng mit der Visualisierung von selbstähnlichen Bildern verwandt ist, ist es nicht verwunderlich, dass Künstler die ersten waren, die sich Algorithmen und Prinzipien zur Konstruktion ungewöhnlicher Formen zu eigen machten.

Der spätere Mitbegründer des legendären Pixar-Studios, Loren C. Carpenter, begann 1967 bei Boeing Computer Services zu arbeiten, einer der Abteilungen des bekannten Konzerns, die sich mit der Entwicklung neuer Flugzeuge beschäftigte.

1977 erstellte er Präsentationen mit Prototypen von Flugmodellen. Lauren war für die Entwicklung von Bildern des zu entwerfenden Flugzeugs verantwortlich. Er sollte Bilder von neuen Modellen erstellen, die zukünftige Flugzeuge mit zeigen verschiedene Seiten. Irgendwann hatte der spätere Gründer der Pixar Animation Studios die kreative Idee, ein Bild von Bergen als Hintergrund zu verwenden. Heutzutage kann jeder Student ein solches Problem lösen, aber in den späten siebziger Jahren des letzten Jahrhunderts waren Computer mit solch komplexen Berechnungen nicht fertig - grafische Editoren war nicht, ganz zu schweigen von Anwendungen für dreidimensionale Grafiken. 1978 sah Lauren zufällig Benoit Mandelbrots Buch Fractals: Form, Randomness and Dimension in einem Geschäft. Was seine Aufmerksamkeit in diesem Buch erregte, war, dass Benoist viele Beispiele fraktaler Formen in gab wahres Leben und bewiesen, dass sie durch einen mathematischen Ausdruck beschrieben werden können.

Diese Analogie wurde vom Mathematiker nicht zufällig gewählt. Tatsache ist, dass er sich, sobald er seine Forschungen veröffentlichte, einer ganzen Flut von Kritik stellen musste. Die Hauptsache, die ihm seine Kollegen vorwarfen, war die Nutzlosigkeit der entwickelten Theorie. „Ja“, sagten sie, „das sind schöne Bilder, aber nicht mehr. praktischer Wert die Theorie der Fraktale hat es nicht. Es gab auch diejenigen, die im Allgemeinen glaubten, dass Fraktalmuster einfach ein Nebenprodukt der Arbeit von „Teufelsmaschinen“ seien, die vielen Ende der siebziger Jahre als etwas zu Kompliziertes und Unerforschtes erschienen, um vollständig vertrauenswürdig zu sein. Mandelbrot versuchte, eine offensichtliche Anwendung der Fraktaltheorie zu finden, aber im Großen und Ganzen war dies nicht nötig. Die Anhänger von Benoit Mandelbrot erwiesen sich in den nächsten 25 Jahren als sehr nützlich für eine solche "mathematische Kuriosität", und Lauren Carpenter war eine der ersten, die die fraktale Methode in die Praxis umsetzte.

Nachdem er das Buch studiert hatte, studierte der zukünftige Animator ernsthaft die Prinzipien der fraktalen Geometrie und begann nach einer Möglichkeit zu suchen, sie zu implementieren Computergrafik. In nur drei Arbeitstagen konnte Lauren visualisieren realistisches Bild Gebirgssystem auf deinem Computer. Mit anderen Worten, er malte mit Hilfe von Formeln eine vollständig erkennbare Berglandschaft.

Das Prinzip, das Lauren benutzte, um ihr Ziel zu erreichen, war sehr einfach. Es bestand darin, eine größere geometrische Figur in kleine Elemente zu unterteilen, und diese wiederum wurden in ähnliche Figuren kleinerer Größe unterteilt.

Carpenter zerlegte größere Dreiecke in vier kleinere und wiederholte diesen Vorgang immer wieder, bis er eine realistische Berglandschaft hatte. So gelang es ihm, als erster Künstler einen fraktalen Algorithmus in der Computergrafik zu verwenden, um Bilder zu erstellen. Sobald die geleistete Arbeit bekannt wurde, griffen Enthusiasten auf der ganzen Welt diese Idee auf und begannen, den fraktalen Algorithmus zu verwenden, um realistische natürliche Formen zu simulieren.

Eines der ersten 3D-Renderings, das den Fraktal-Algorithmus verwendet

Nur wenige Jahre später konnte Lauren Carpenter seine Errungenschaften in einem viel größeren Projekt anwenden. Der Animator basierte sie auf einer zweiminütigen Demo, Vol Libre, die 1980 auf Siggraph gezeigt wurde. Dieses Video schockierte alle, die es sahen, und Lauren erhielt eine Einladung von Lucasfilm.

Die Animation wurde auf einem VAX-11/780-Computer von Digital Equipment Corporation mit einer Taktrate von fünf Megahertz gerendert, und jedes Bild dauerte ungefähr eine halbe Stunde zum Zeichnen.

Der Animator arbeitete für Lucasfilm Limited und erstellte die gleichen 3D-Landschaften für den zweiten Spielfilm der Star-Trek-Saga. In The Wrath of Khan war Carpenter in der Lage, einen ganzen Planeten mit dem gleichen Prinzip der fraktalen Oberflächenmodellierung zu erschaffen.

Derzeit verwenden alle gängigen Anwendungen zum Erstellen von 3D-Landschaften dasselbe Prinzip zum Erzeugen natürlicher Objekte. Terragen, Bryce, Vue und andere 3D-Editoren verlassen sich auf einen fraktalen Oberflächen- und Texturmodellierungsalgorithmus.

⇡ Fraktale Antennen: Weniger ist besser, aber besser

Im letzten halben Jahrhundert hat sich das Leben schnell verändert. Die meisten von uns nehmen die Fortschritte in der modernen Technologie als selbstverständlich hin. An alles, was das Leben angenehmer macht, gewöhnt man sich sehr schnell. Selten stellt sich jemand die Frage „Wo kommt das her?“ und wie funktioniert es?". Ein Mikrowellenherd wärmt das Frühstück auf - na toll, ein Smartphone ermöglicht es Ihnen, mit einer anderen Person zu sprechen - großartig. Dies scheint uns eine naheliegende Möglichkeit zu sein.

Aber das Leben könnte völlig anders sein, wenn eine Person nicht nach einer Erklärung für die stattfindenden Ereignisse suchen würde. Nehmen wir zum Beispiel Handys. Erinnern Sie sich an die einziehbaren Antennen der ersten Modelle? Sie mischten sich ein, vergrößerten das Gerät und gingen am Ende oft kaputt. Wir glauben, dass sie für immer in Vergessenheit geraten sind, und teilweise deshalb ... Fraktale.

Fraktale Zeichnungen faszinieren mit ihren Mustern. Sie sehen definitiv wie Bilder aus. Weltraumobjekte- Nebel, Galaxienhaufen und so weiter. Daher ist es ganz natürlich, dass, als Mandelbrot seine Theorie der Fraktale vorstellte, seine Forschung erhöhtes Interesse unter denen weckte, die sich mit Astronomie befassten. Ein solcher Laie namens Nathan Cohen war nach dem Besuch eines Vortrags von Benoit Mandelbrot in Budapest von der Idee der praktischen Anwendung der gewonnenen Erkenntnisse begeistert. Er tat es zwar intuitiv, und der Zufall spielte bei seiner Entdeckung eine wichtige Rolle. Als Funkamateur war Nathan bestrebt, eine Antenne mit höchstmöglicher Empfindlichkeit zu entwickeln.

Die einzige Möglichkeit, die Parameter der damals bekannten Antenne zu verbessern, bestand darin, ihre geometrischen Abmessungen zu vergrößern. Der Besitzer von Nathans Wohnung in der Innenstadt von Boston war jedoch entschieden dagegen, große Geräte auf dem Dach zu installieren. Dann begann Nathan damit zu experimentieren verschiedene Formen Antennen, versuchen zu bekommen maximales Ergebnis mit Mindestabmessungen. Befeuert von der Idee fraktaler Formen, hat Cohen, wie man so schön sagt, zufällig eines der berühmtesten Fraktale aus Draht gemacht – die „Koch-Schneeflocke“. Der schwedische Mathematiker Helge von Koch hat diese Kurve bereits 1904 erfunden. Es wird erhalten, indem das Segment in drei Teile geteilt wird und das mittlere Segment durch ein gleichseitiges Dreieck ersetzt wird, dessen Seite nicht mit diesem Segment zusammenfällt. Die Definition ist etwas schwer zu verstehen, aber die Abbildung ist klar und einfach.

Es gibt auch andere Varianten der "Koch-Kurve", aber die ungefähre Form der Kurve bleibt ähnlich

Als Nathan die Antenne an den Funkempfänger anschloss, war er sehr überrascht – die Empfindlichkeit stieg dramatisch an. Nach einer Reihe von Experimenten erkannte der zukünftige Professor an der Boston University, dass eine nach einem fraktalen Muster hergestellte Antenne einen hohen Wirkungsgrad hat und im Vergleich zu klassischen Lösungen einen viel größeren Frequenzbereich abdeckt. Zudem kann die Form der Antenne in Form einer fraktalen Kurve die geometrischen Abmessungen deutlich reduzieren. Nathan Cohen hat sogar ein Theorem entwickelt, das beweist, dass es zur Herstellung einer Breitbandantenne ausreicht, ihr die Form einer selbstähnlichen Fraktalkurve zu geben.

Der Autor ließ seine Entdeckung patentieren und gründete eine Firma für die Entwicklung und das Design fraktaler Antennen Fractal Antenna Systems, in der richtigen Annahme, dass Handys in Zukunft dank seiner Entdeckung in der Lage sein werden, sperrige Antennen loszuwerden und kompakter zu werden.

Im Grunde ist das passiert. Natürlich befindet sich Nathan bis heute in einem Rechtsstreit mit großen Unternehmen, die seine Entdeckung illegal nutzen, um kompakte Kommunikationsgeräte herzustellen. Einige namhafte Hersteller mobile Geräte, wie Motorola, haben bereits ein Friedensabkommen mit dem Erfinder der fraktalen Antenne geschlossen.

⇡ Fraktale Dimensionen: Der Verstand versteht nicht

Benoit hat diese Frage von dem berühmten amerikanischen Wissenschaftler Edward Kasner entlehnt.

Letzterer unterhielt sich wie viele andere berühmte Mathematiker sehr gerne mit Kindern, stellte ihnen Fragen und erhielt unerwartete Antworten. Manchmal führte dies zu überraschenden Ergebnissen. So kam beispielsweise der neunjährige Neffe von Edward Kasner auf das heute bekannte Wort „googol“, das eine Einheit mit hundert Nullen bezeichnet. Aber zurück zu den Fraktalen. Der amerikanische Mathematiker stellte gerne die Frage, was die Länge ist Küste USA. Nachdem er sich die Meinung des Gesprächspartners angehört hatte, sprach Edward selbst die richtige Antwort. Wenn Sie die Länge auf der Karte mit unterbrochenen Segmenten messen, wird das Ergebnis ungenau, weil die Küstenlinie hat große Menge Unregelmäßigkeiten. Und was passiert, wenn man möglichst genau misst? Sie müssen die Länge jeder Unebenheit berücksichtigen - Sie müssen jedes Kap, jede Bucht, jeden Felsen, die Länge eines Felsvorsprungs, einen Stein darauf, ein Sandkorn, ein Atom und so weiter messen. Da die Anzahl der Unregelmäßigkeiten gegen unendlich tendiert, wird die gemessene Länge der Küstenlinie mit jeder neuen Unregelmäßigkeit ins Unendliche zunehmen.

Je kleiner das Maß beim Messen, desto größer die gemessene Länge

Interessanterweise waren Kinder viel schneller als Erwachsene darin, die richtige Antwort zu sagen, wenn sie Edwards Aufforderungen folgten, während letztere Schwierigkeiten hatten, eine so unglaubliche Antwort zu akzeptieren.

Am Beispiel dieses Problems schlug Mandelbrot vor, einen neuen Messansatz zu verwenden. Da die Küstenlinie einer fraktalen Kurve nahe kommt, bedeutet dies, dass ein charakterisierender Parameter, die sogenannte fraktale Dimension, darauf angewendet werden kann.

Was das übliche Maß ist, ist jedem klar. Wenn die Dimension gleich eins ist, erhalten wir eine gerade Linie, wenn zwei - flache Figur, drei ist das Volumen. Ein solches Verständnis von Dimension in der Mathematik funktioniert jedoch nicht mit fraktalen Kurven, wo dieser Parameter einen gebrochenen Wert hat. Die fraktale Dimension in der Mathematik kann bedingt als "Rauheit" betrachtet werden. Je höher die Rauhigkeit der Kurve, desto größer ihre fraktale Dimension. Eine Kurve, die nach Mandelbrot eine fraktale Dimension hat, die höher ist als ihre topologische Dimension, hat eine ungefähre Länge, die nicht von der Anzahl der Dimensionen abhängt.

Wissenschaftler finden jetzt immer mehr weitere Bereiche die Theorie der Fraktale anzuwenden. Mit Hilfe von Fraktalen können Sie Schwankungen von Aktienkursen analysieren, alle Arten von natürlichen Prozessen wie Schwankungen in der Artenzahl untersuchen oder die Dynamik von Strömungen simulieren. Fraktale Algorithmen können zur Datenkomprimierung verwendet werden, beispielsweise zur Bildkomprimierung. Übrigens, um ein schönes Fraktal auf Ihren Computerbildschirm zu bekommen, müssen Sie keinen Doktortitel haben.

⇡ Fraktal im Browser

Eine der vielleicht einfachsten Möglichkeiten, ein Fraktalmuster zu erhalten, ist die Verwendung des Online-Vektoreditors des jungen talentierten Programmierers Toby Schachman. Das Toolkit dieses einfachen Grafikeditors basiert auf dem gleichen Prinzip der Selbstähnlichkeit.

Es stehen Ihnen nur zwei einfache Formen zur Verfügung - ein Quadrat und ein Kreis. Sie können sie der Leinwand hinzufügen, skalieren (um entlang einer der Achsen zu skalieren, halten Sie die Umschalttaste gedrückt) und drehen. In Anlehnung an das Prinzip der Booleschen Additionsoperationen bilden diese einfachsten Elemente neue, weniger triviale Formen. Darüber hinaus können diese neuen Formulare dem Projekt hinzugefügt werden, und das Programm wiederholt die Generierung dieser Bilder auf unbestimmte Zeit. In jeder Phase der Arbeit an einem Fraktal können Sie zu jeder Komponente zurückkehren Komplexe Form und seine Position und Geometrie bearbeiten. Es macht viel Spaß, besonders wenn man bedenkt, dass das einzige Werkzeug, das Sie brauchen, um kreativ zu sein, ein Browser ist. Wenn Sie das Prinzip der Arbeit mit diesem rekursiven Vektoreditor nicht verstehen, empfehlen wir Ihnen, sich das Video auf der offiziellen Website des Projekts anzusehen, das den gesamten Prozess der Erstellung eines Fraktals im Detail zeigt.

⇡ XaoS: Fraktale für jeden Geschmack

Viele Grafikeditoren verfügen über integrierte Tools zum Erstellen von Fraktalmustern. Diese Werkzeuge sind jedoch normalerweise sekundär und ermöglichen Ihnen keine Feinabstimmung des generierten Fraktalmusters. In Fällen, in denen es notwendig ist, ein mathematisch genaues Fraktal zu erstellen, kommt der plattformübergreifende XaoS-Editor zur Rettung. Dieses Programm ermöglicht es nicht nur, ein selbstähnliches Bild zu erstellen, sondern auch verschiedene Manipulationen damit durchzuführen. Beispielsweise können Sie in Echtzeit durch ein Fraktal „gehen“, indem Sie seine Skalierung ändern. Animierte Bewegungen entlang eines Fraktals können als XAF-Datei gespeichert und dann im Programm selbst abgespielt werden.

XaoS kann einen zufälligen Satz von Parametern laden sowie verschiedene Bildnachbearbeitungsfilter verwenden - einen unscharfen Bewegungseffekt hinzufügen, scharfe Übergänge zwischen fraktalen Punkten glätten, ein 3D-Bild simulieren und so weiter.

⇡ Fractal Zoomer: kompakter Fraktalgenerator

Im Vergleich zu anderen Fraktalbildgeneratoren hat es mehrere Vorteile. Erstens ist es ziemlich klein und erfordert keine Installation. Zweitens implementiert es die Fähigkeit, die Farbpalette des Bildes zu definieren. Sie können Farbtöne in RGB-, CMYK-, HVS- und HSL-Farbmodellen auswählen.

Sehr komfortabel ist auch die Möglichkeit der zufälligen Auswahl von Farbtönen und die Funktion zum Invertieren aller Farben im Bild. Um die Farbe anzupassen, gibt es eine Funktion zur zyklischen Auswahl von Farbtönen - wenn der entsprechende Modus eingeschaltet ist, animiert das Programm das Bild und ändert zyklisch die Farben darauf.

Fractal Zoomer kann 85 verschiedene Fraktalfunktionen visualisieren, und Formeln werden deutlich im Programmmenü angezeigt. Es gibt Filter für die Nachbearbeitung von Bildern im Programm, wenn auch in geringer Menge. Jeder zugewiesene Filter kann jederzeit aufgehoben werden.

⇡ Mandelbulb3D: 3D-Fraktal-Editor

Wenn der Begriff "Fraktal" verwendet wird, bedeutet dies meistens ein flaches zweidimensionales Bild. Die fraktale Geometrie geht jedoch über die 2D-Dimension hinaus. In der Natur findet man sowohl Beispiele für flache fraktale Formen, beispielsweise die Geometrie von Blitzen, als auch für dreidimensionale dreidimensionale Figuren. Fraktale Oberflächen können 3D sein, und eine der sehr anschaulichen Illustrationen von 3D-Fraktalen in Alltagsleben- Kohlkopf. Die vielleicht beste Art, Fraktale zu sehen, ist in Romanesco, einer Mischung aus Blumenkohl und Brokkoli.

Und dieses Fraktal kann gegessen werden

Das Programm Mandelbulb3D kann dreidimensionale Objekte mit ähnlicher Form erstellen. Um eine 3D-Oberfläche unter Verwendung des Fraktalalgorithmus zu erhalten, konvertierten die Autoren dieser Anwendung, Daniel White und Paul Nylander, die Mandelbrot-Menge in sphärische Koordinaten. Das von ihnen erstellte Mandelbulb3D-Programm ist ein echter dreidimensionaler Editor, der fraktale Oberflächen verschiedener Formen modelliert. Da wir häufig fraktale Muster in der Natur beobachten, erscheint ein künstlich erzeugtes fraktales dreidimensionales Objekt unglaublich realistisch und sogar „lebendig“.

Es kann wie eine Pflanze aussehen, es kann einem seltsamen Tier, einem Planeten oder etwas anderem ähneln. Dieser Effekt wird durch einen fortschrittlichen Rendering-Algorithmus verstärkt, der es ermöglicht, realistische Reflexionen zu erhalten, Transparenz und Schatten zu berechnen, den Effekt der Schärfentiefe zu simulieren und so weiter. Mandelbulb3D hat eine riesige Menge an Einstellungen und Rendering-Optionen. Sie können die Schattierungen von Lichtquellen steuern, den Hintergrund und den Detaillierungsgrad des modellierten Objekts auswählen.

Der Incendia-Fraktaleditor unterstützt die Doppelbildglättung, enthält eine Bibliothek mit fünfzig verschiedenen dreidimensionalen Fraktalen und verfügt über ein separates Modul zum Bearbeiten von Grundformen.

Die Anwendung nutzt Fractal Scripting, mit dem Sie eigenständig neuartige fraktale Strukturen beschreiben können. Incendia verfügt über Textur- und Materialeditoren sowie eine Rendering-Engine, mit der Sie volumetrische Nebeleffekte und verschiedene Shader verwenden können. Das Programm verfügt über eine Option zum Speichern des Puffers während des Langzeit-Renderings, die Animationserstellung wird unterstützt.

Mit Incendia können Sie ein Fraktalmodell in gängige 3D-Grafikformate exportieren - OBJ und STL. Incendia enthält ein kleines Geometrica-Hilfsprogramm - ein spezielles Werkzeug zum Einrichten des Exports einer fraktalen Oberfläche in ein dreidimensionales Modell. Mit diesem Dienstprogramm können Sie die Auflösung einer 3D-Oberfläche bestimmen und die Anzahl der fraktalen Iterationen angeben. Exportierte Modelle können in 3D-Projekten verwendet werden, wenn Sie mit 3D-Editoren wie Blender, 3ds max und anderen arbeiten.

BEI In letzter Zeit Die Arbeiten am Incendia-Projekt haben sich etwas verlangsamt. Derzeit sucht der Autor nach Sponsoren, die ihn bei der Entwicklung des Programms unterstützen.

Wenn Sie nicht genug Fantasie haben, um in diesem Programm ein schönes dreidimensionales Fraktal zu zeichnen, macht das nichts. Verwenden Sie die Parameterbibliothek, die sich im Ordner INCENDIA_EX\parameters befindet. Mit Hilfe von PAR-Dateien können Sie schnell die ungewöhnlichsten fraktalen Formen finden, einschließlich animierter.

⇡ Aural: wie Fraktale singen

Wir sprechen normalerweise nicht von Projekten, an denen gerade gearbeitet wird, aber in diesem Fall müssen wir eine Ausnahme machen, dies ist eine sehr ungewöhnliche Anwendung. Ein Projekt namens Aural entstand mit der gleichen Person wie Incendia. Allerdings visualisiert das Programm dieses Mal nicht das fraktale Set, sondern bringt es zum Ausdruck und verwandelt es in elektronische Musik. Die Idee ist sehr interessant, besonders wenn man die ungewöhnlichen Eigenschaften von Fraktalen betrachtet. Aural ist ein Audio-Editor, der Melodien mit fraktalen Algorithmen erzeugt, das heißt, es ist tatsächlich ein Audio-Synthesizer-Sequenzer.

Die von diesem Programm ausgegebene Tonfolge ist ungewöhnlich und ... schön. Es kann durchaus nützlich sein, um moderne Rhythmen zu schreiben, und eignet sich unserer Meinung nach besonders gut zum Erstellen Audiospuren bis hin zu Bildschirmschonern von Fernseh- und Radioprogrammen sowie "Loops" von Hintergrundmusik für Computerspiele. Ramiro hat sich noch nicht gestellt Demoversion seines Programms, verspricht aber, dass er dann, um mit Aural zu arbeiten, nicht die Theorie der Fraktale studieren muss, sondern einfach mit den Parametern des Algorithmus zur Generierung einer Tonfolge herumspielen muss. Hören Sie, wie Fraktale klingen, und.

Fraktale: musikalische Pause

Tatsächlich können Fraktale helfen, Musik auch ohne Software zu schreiben. Das kann aber nur jemand, der wirklich von der Idee der natürlichen Harmonie besessen ist und gleichzeitig nicht zum unglücklichen „Nerd“ geworden ist. Es ist sinnvoll, sich an einem Musiker namens Jonathan Coulton zu orientieren, der unter anderem Kompositionen für das Magazin Popular Science schreibt. Und im Gegensatz zu anderen Künstlern veröffentlicht Colton alle seine Werke unter einer Creative Commons Attribution-Noncommercial-Lizenz, die (bei Verwendung für nichtkommerzielle Zwecke) das kostenlose Kopieren, Verteilen, Übertragen von Werken an andere sowie deren Änderung (Erstellung von abgeleiteten Werken), um es an Ihre Bedürfnisse anzupassen.

Jonathan Colton hat natürlich ein Lied über Fraktale.

⇡ Fazit

In allem, was uns umgibt, sehen wir oft Chaos, aber tatsächlich ist dies kein Zufall, sondern eine ideale Form, die uns durch Fraktale zu erkennen hilft. Die Natur ist der beste Architekt, der ideale Baumeister und Ingenieur. Es ist sehr logisch angeordnet, und wenn wir irgendwo keine Muster sehen, bedeutet dies, dass wir es in einem anderen Maßstab suchen müssen. Die Menschen verstehen das immer besser und versuchen, es in vielerlei Hinsicht nachzuahmen natürliche Formen. Ingenieure entwerfen Lautsprechersysteme in Form einer Hülle, erstellen Antennen mit Schneeflockengeometrie und so weiter. Wir sind sicher, dass Fraktale noch viele Geheimnisse bergen, und viele davon müssen noch vom Menschen entdeckt werden.

Was bedeutet ein Baum, eine Küste, eine Wolke o Blutgefäße in unserer Hand? Auf den ersten Blick scheinen all diese Objekte nichts gemeinsam zu haben. Tatsächlich gibt es jedoch eine Eigenschaft der Struktur, die allen aufgelisteten Objekten innewohnt: Sie sind selbstähnlich. Sowohl vom Ast als auch vom Stamm eines Baumes gehen kleinere Prozesse aus - noch kleinere usw., dh ein Ast ist dem ganzen Baum ähnlich. Das Kreislaufsystem ist ähnlich angeordnet: Arteriolen gehen von den Arterien aus und von ihnen - den kleinsten Kapillaren, durch die Sauerstoff in Organe und Gewebe gelangt. Schauen wir uns an Weltraumbilder Küste: wir werden Buchten und Halbinseln sehen; werfen wir einen Blick darauf, aber aus der Vogelperspektive: Wir werden Buchten und Kaps sehen; Stellen Sie sich nun vor, wir stehen am Strand und schauen auf unsere Füße: Es wird immer Kiesel geben, die weiter ins Wasser ragen als die anderen. Das heißt, die Küstenlinie bleibt sich selbst ähnlich, wenn sie hineingezoomt wird. Der amerikanische Mathematiker Benoit Mandelbrot nannte diese Eigenschaft von Objekten Fraktalität und solche Objekte selbst - Fraktale (vom lateinischen fractus - gebrochen).

Dieses Konzept hat keine strenge Definition. Daher ist das Wort „Fraktal“ kein mathematischer Begriff. Normalerweise ist ein Fraktal eine geometrische Figur, die eine oder mehrere der folgenden Eigenschaften erfüllt: Komplexe Struktur bei jedem Zoom (anders als beispielsweise eine gerade Linie, von der jeder Teil die einfachste geometrische Figur ist - ein Segment). Es ist (annähernd) selbstähnlich. Es hat eine gebrochene Hausdorff- (fraktale) Dimension, die größer ist als die topologische. Kann mit rekursiven Prozeduren erstellt werden.

Geometrie und Algebra

Das Studium der Fraktale auf Wende des XIX und das 20. Jahrhundert war eher episodisch als systematisch, weil frühere Mathematiker hauptsächlich „gute“ Objekte untersuchten, die mit ihnen untersucht werden konnten gängige Methoden und Theorien. 1872 baut der deutsche Mathematiker Karl Weierstraß ein Beispiel kontinuierliche Funktion, die nirgends differenzierbar ist. Seine Konstruktion war jedoch völlig abstrakt und schwer zu verstehen. Daher hat der Schwede Helge von Koch 1904 eine kontinuierliche Kurve entwickelt, die nirgendwo tangiert und die ganz einfach zu zeichnen ist. Es stellte sich heraus, dass es die Eigenschaften eines Fraktals hat. Eine Variation dieser Kurve wird Koch-Schneeflocke genannt.

Die Ideen der Selbstähnlichkeit von Figuren wurden von dem Franzosen Paul Pierre Levy, dem späteren Mentor von Benoit Mandelbrot, aufgegriffen. 1938 erschien sein Artikel „Plane and Spatial Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole“, in dem ein weiteres Fraktal beschrieben wird – die Lévy C-Kurve. Alle diese oben aufgeführten Fraktale können bedingt einer Klasse konstruktiver (geometrischer) Fraktale zugeordnet werden.

Eine andere Klasse sind dynamische (algebraische) Fraktale, zu denen die Mandelbrot-Menge gehört. Die ersten Forschungen in diese Richtung begannen Anfang des 20. Jahrhunderts und sind mit den Namen der französischen Mathematiker Gaston Julia und Pierre Fatou verbunden. 1918 veröffentlichte Julia fast zweihundert Seiten Memoiren, die Iterationen von Komplexen gewidmet waren rationale Funktionen, die Julia-Mengen beschreibt, eine ganze Familie von Fraktalen, die eng mit der Mandelbrot-Menge verwandt sind. Diese Arbeit wurde mit dem Preis der französischen Akademie ausgezeichnet, enthielt jedoch keine einzige Illustration, sodass die Schönheit der entdeckten Objekte nicht gewürdigt werden konnte. Obwohl diese Arbeit Julia unter den damaligen Mathematikern berühmt machte, geriet sie schnell in Vergessenheit. Erst ein halbes Jahrhundert später, mit dem Aufkommen der Computer, richtete sich die Aufmerksamkeit wieder darauf: Sie waren es, die den Reichtum und die Schönheit der Welt der Fraktale sichtbar machten.

Fraktale Dimensionen

Wie Sie wissen, ist die Dimension (Anzahl der Messungen) einer geometrischen Figur die Anzahl der Koordinaten, die erforderlich sind, um die Position eines auf dieser Figur liegenden Punktes zu bestimmen.
Beispielsweise wird die Position eines Punktes auf einer Kurve durch eine Koordinate bestimmt, auf einer Fläche (nicht notwendigerweise einer Ebene) durch zwei Koordinaten, im dreidimensionalen Raum durch drei Koordinaten.
Mit einem allgemeineren mathematischer Punkt Betrachtet man die Dimension, so kann man die Dimension so definieren: Eine Vergrößerung der linearen Dimensionen, sagen wir um das Zweifache, führt bei eindimensionalen (topologisch gesehen) Objekten (Segment) zu einer Vergrößerung (Länge) um den Faktor zweitens, für zweidimensional (quadratisch) führt die gleiche Zunahme der linearen Abmessungen zu einer Zunahme der Größe (Fläche) um das 4-fache, für dreidimensionale (Würfel) um das 8-fache. Das heißt, die „reale“ (sogenannte Hausdorff-)Dimension kann als Verhältnis des Logarithmus der Zunahme der „Größe“ eines Objekts zum Logarithmus der Zunahme seiner linearen Größe berechnet werden. Das heißt, für ein Segment D=log (2)/log (2)=1, für eine Ebene D=log (4)/log (2)=2, für ein Volumen D=log (8)/log (2 )=3.
Berechnen wir nun die Dimension der Kochkurve, zu deren Konstruktion die Einheitsstrecke in drei gleiche Teile geteilt wird und das mittlere Intervall durch ein gleichseitiges Dreieck ohne diese Strecke ersetzt wird. Bei einer dreifachen Vergrößerung der linearen Abmessungen des minimalen Segments erhöht sich die Länge der Koch-Kurve in log (4) / log (3) ~ 1,26. Das heißt, die Dimension der Koch-Kurve ist gebrochen!

Wissenschaft und Kunst

1982 erschien Mandelbrots Buch „The Fractal Geometry of Nature“, in dem der Autor fast alle damals verfügbaren Informationen über Fraktale sammelte, systematisierte und auf einfache und zugängliche Weise präsentierte. Mandelbrot legte den Schwerpunkt seiner Präsentation nicht auf schwerfällige Formeln und mathematische Konstruktionen, sondern auf die geometrische Intuition der Leser. Dank computergenerierter Illustrationen und historischer Geschichten, mit denen der Autor die wissenschaftliche Komponente der Monographie geschickt verwässerte, wurde das Buch zum Bestseller und die Fraktale einer breiten Öffentlichkeit bekannt. Ihr Erfolg bei Nichtmathematikern ist vor allem darauf zurückzuführen, dass mit Hilfe von sehr einfachen Konstruktionen und Formeln, die selbst ein Gymnasiast verstehen kann, Bilder von erstaunlicher Komplexität und Schönheit entstehen. Wann persönliche Computer wurde ziemlich mächtig, sogar ein ganzer Trend in der Kunst erschien - Fraktalmalerei, und fast jeder Computerbesitzer konnte es tun. Jetzt im Internet können Sie leicht viele Websites finden, die sich diesem Thema widmen.

Schema zum Erhalten der Koch-Kurve

Krieg und Frieden

Wie oben erwähnt, ist die Küste eines der natürlichen Objekte mit fraktalen Eigenschaften. Mit ihm bzw. mit dem Versuch, seine Länge zu messen, ist eine interessante Geschichte verbunden, die die Grundlage von Mandelbrots wissenschaftlichem Artikel bildete und auch in seinem Buch „The Fractal Geometry of Nature“ beschrieben wird. Wir sprechen über ein Experiment, das von Lewis Richardson, einem sehr talentierten und exzentrischen Mathematiker, Physiker und Meteorologen, ins Leben gerufen wurde. Eine der Richtungen seiner Forschung war der Versuch, eine mathematische Beschreibung der Ursachen und der Wahrscheinlichkeit eines bewaffneten Konflikts zwischen zwei Ländern zu finden. Zu den Parametern, die er berücksichtigte, gehörte die Länge der gemeinsamen Grenze zwischen den beiden kriegführenden Ländern. Als er Daten für numerische Experimente sammelte, fand er das in verschiedene Quellen Daten an gemeinsame Grenze Spanien und Portugal sind sehr unterschiedlich. Dabei kam er zu folgender Entdeckung: Die Länge der Landesgrenzen hängt davon ab, mit welchem ​​Lineal wir sie messen. Wie kleinerer Maßstab, desto länger wird der Rand. Dies liegt daran, dass bei stärkerer Vergrößerung immer mehr Küstenkrümmungen berücksichtigt werden können, die bisher aufgrund der Unebenheit der Messungen vernachlässigt wurden. Und wenn bei jedem Zoom zuvor nicht berücksichtigte Linienkrümmungen geöffnet werden, stellt sich heraus, dass die Länge der Grenzen unendlich ist! Tatsächlich passiert dies jedoch nicht - die Genauigkeit unserer Messungen hat eine endliche Grenze. Dieses Paradoxon wird als Richardson-Effekt bezeichnet.

Konstruktive (geometrische) Fraktale

Der Algorithmus zum Konstruieren eines konstruktiven Fraktals im allgemeinen Fall ist wie folgt. Zunächst einmal brauchen wir zwei passende geometrische Formen, nennen wir sie die Basis und das Fragment. In der ersten Phase wird die Basis des zukünftigen Fraktals dargestellt. Dann werden einige seiner Teile durch ein Fragment in geeignetem Maßstab ersetzt - dies ist die erste Iteration der Konstruktion. Dann verwandeln sich in der resultierenden Figur einige Teile wieder in fragmentähnliche Figuren usw. Wenn wir diesen Prozess unbegrenzt fortsetzen, erhalten wir am Ende ein Fraktal.

Betrachten Sie diesen Vorgang am Beispiel der Koch-Kurve (siehe Kasten auf der vorherigen Seite). Als Grundlage der Koch-Kurve kann jede beliebige Kurve genommen werden (bei der Koch-Schneeflocke ist dies ein Dreieck). Aber wir beschränken uns auf den einfachsten Fall - ein Segment. Das Fragment ist eine unterbrochene Linie, die oben in der Figur gezeigt ist. Nach der ersten Iteration des Algorithmus fällt in diesem Fall das ursprüngliche Segment mit dem Fragment zusammen, dann wird jedes seiner konstituierenden Segmente selbst durch eine unterbrochene Linie ähnlich dem Fragment ersetzt usw. Die Abbildung zeigt die ersten vier Schritte dieses Prozesses.

Die Sprache der Mathematik: dynamische (algebraische) Fraktale

Fraktale dieser Art entstehen bei der Untersuchung nichtlinearer dynamischer Systeme (daher der Name). Das Verhalten eines solchen Systems kann durch eine komplexe nichtlineare Funktion (Polynom) f (z) beschrieben werden. Nehmen wir einen Anfangspunkt z0 auf der komplexen Ebene (siehe Seitenleiste). Betrachten Sie nun eine solche unendliche Folge von Zahlen auf der komplexen Ebene, von denen jede aus der vorherigen erhalten wird: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). Je nach Anfangspunkt z0 kann sich eine solche Folge unterschiedlich verhalten: gegen unendlich gehen als n -> ∞; konvergieren zu einem Endpunkt; nehmen zyklisch eine Reihe fester Werte an; komplexere Optionen sind möglich.

Komplexe Zahlen

Eine komplexe Zahl ist eine Zahl, die aus zwei Teilen besteht - reell und imaginär, dh die formale Summe x + iy (x und y hier - reale Nummern). Ich bin das sog. imaginäre Einheit, also eine Zahl, die die Gleichung erfüllt ich^ 2 = -1. Über komplexe Zahlen, die wichtigsten mathematische Operationen- Addition, Multiplikation, Division, Subtraktion (nur die Vergleichsoperation ist nicht definiert). Wird häufig verwendet, um komplexe Zahlen anzuzeigen geometrische Darstellung- In der Ebene (wird Komplex genannt) wird der Realteil entlang der Abszissenachse und der Imaginärteil entlang der Ordinatenachse aufgetragen, während die komplexe Zahl einem Punkt mit den kartesischen Koordinaten x und y entspricht.

Somit hat jeder Punkt z der komplexen Ebene seinen eigenen Verhaltenscharakter während Iterationen der Funktion f(z), und die gesamte Ebene wird in Teile geteilt. Darüber hinaus haben die an den Grenzen dieser Teile liegenden Punkte die folgende Eigenschaft: Bei einer beliebig kleinen Verschiebung ändert sich die Art ihres Verhaltens dramatisch (solche Punkte werden Bifurkationspunkte genannt). Es stellt sich also heraus, dass Mengen von Punkten, die einen bestimmten Verhaltenstyp haben, sowie Mengen von Bifurkationspunkten oft fraktale Eigenschaften haben. Dies sind die Julia-Mengen für die Funktion f(z).

Drachenfamilie

Indem Sie die Basis und das Fragment variieren, können Sie eine erstaunliche Vielfalt konstruktiver Fraktale erhalten.
Darüber hinaus können solche Operationen in durchgeführt werden dreidimensionaler Raum. Beispiele für volumetrische Fraktale sind "Mengers Schwamm", "Sierpinskis Pyramide" und andere.
Die Familie der Drachen wird auch als konstruktive Fraktale bezeichnet. Sie werden manchmal mit dem Namen der Entdecker als "Drachen von Heiwei-Harter" bezeichnet (sie ähneln in ihrer Form chinesischen Drachen). Es gibt mehrere Möglichkeiten, diese Kurve zu konstruieren. Die einfachste und offensichtlichste davon ist die folgende: Sie müssen einen ausreichend langen Papierstreifen nehmen (je dünner das Papier, desto besser) und ihn in zwei Hälften biegen. Biegen Sie es dann erneut in der gleichen Richtung wie beim ersten Mal in zwei Hälften. Nach mehreren Wiederholungen (normalerweise nach fünf oder sechs Falten wird der Streifen zu dick, um vorsichtig weiter gebogen zu werden) müssen Sie den Streifen wieder gerade biegen und versuchen, an den Falten 90°-Winkel zu bilden. Dann wird die Kurve des Drachens im Profil ausfallen. Natürlich wird dies nur eine Annäherung sein, wie alle unsere Versuche, fraktale Objekte darzustellen. Der Computer erlaubt Ihnen, vieles darzustellen mehr Schritte diesem Prozess, und das Ergebnis ist eine sehr schöne Figur.

Das Mandelbrot-Set ist etwas anders aufgebaut. Betrachten Sie die Funktion fc (z) = z 2 +c, wobei c ist komplexe Zahl. Konstruieren wir eine Folge dieser Funktion mit z0=0, je nach Parameter c kann sie gegen unendlich divergieren oder beschränkt bleiben. Außerdem bilden alle Werte von c, für die diese Folge beschränkt ist, die Mandelbrot-Menge. Es wurde von Mandelbrot selbst und von anderen Mathematikern, die viele entdeckten, eingehend untersucht interessante Eigenschaften dieser Satz.

Es ist ersichtlich, dass die Definitionen der Julia- und Mandelbrot-Mengen einander ähnlich sind. Tatsächlich sind diese beiden Gruppen eng miteinander verwandt. Die Mandelbrot-Menge besteht nämlich aus allen Werten des komplexen Parameters c, für die die Julia-Menge fc (z) verbunden ist (eine Menge heißt verbunden, wenn sie nicht in zwei sich nicht schneidende Teile geteilt werden kann, mit einigen zusätzlichen Bedingungen).

Fraktale und Leben

Heutzutage findet die Fraktaltheorie Breite Anwendung in verschiedenen Bereichen Menschliche Aktivität. Neben einem rein wissenschaftlichen Forschungsgegenstand und der bereits erwähnten Fraktalmalerei werden Fraktale in der Informationstheorie zur Komprimierung von Grafikdaten verwendet (hier wird hauptsächlich die Selbstähnlichkeitseigenschaft von Fraktalen genutzt – immerhin, um sich ein kleines Fragment zu merken einer Zeichnung und Transformationen, mit denen Sie die restlichen Teile erhalten können, wird viel weniger Speicherplatz benötigt, als die gesamte Datei zu speichern). Indem Sie zufällige Störungen zu den Formeln hinzufügen, die das Fraktal definieren, können Sie stochastische Fraktale erhalten, die einige reale Objekte sehr plausibel vermitteln – Reliefelemente, die Oberfläche von Wasserkörpern, einige Pflanzen, was in der Physik, Geographie und Computergrafik erfolgreich eingesetzt wird größere Ähnlichkeit simulierter Objekte mit realen. In der Funkelektronik begann man im letzten Jahrzehnt damit, Antennen mit fraktaler Form herzustellen. Sie nehmen wenig Platz ein und bieten Ruhe hochwertigen Empfang Signal. Ökonomen verwenden Fraktale, um Währungsschwankungskurven zu beschreiben (diese Eigenschaft wurde vor über 30 Jahren von Mandelbrot entdeckt). Damit endet dieser kurze Ausflug in die Welt der Fraktale, die in ihrer Schönheit und Vielfalt verblüfft.

Oft können brillante Entdeckungen in der Wissenschaft unser Leben radikal verändern. So kann beispielsweise die Erfindung eines Impfstoffs viele Menschen retten, und die Entwicklung einer neuen Waffe führt zu Mord. Buchstäblich gestern (im Maßstab der Geschichte) hat ein Mensch die Elektrizität "gezähmt", und heute kann er sich sein Leben ohne sie nicht mehr vorstellen. Es gibt jedoch auch solche Entdeckungen, die, wie sie sagen, im Schatten bleiben, obwohl sie auch einen gewissen Einfluss auf unser Leben haben. Eine dieser Entdeckungen war das Fraktal. Die meisten Menschen haben noch nicht einmal von einem solchen Konzept gehört und werden seine Bedeutung nicht erklären können. In diesem Artikel werden wir versuchen, uns mit der Frage zu befassen, was ein Fraktal ist, und die Bedeutung dieses Begriffs vom Standpunkt der Wissenschaft und Natur aus betrachten.

Ordnung im Chaos

Um zu verstehen, was ein Fraktal ist, sollte man die Nachbesprechung von der Position der Mathematik aus beginnen, aber bevor wir uns damit befassen, philosophieren wir ein wenig. Jeder Mensch hat eine natürliche Neugier, dank derer er die Welt um sich herum lernt. In seinem Verlangen nach Wissen versucht er oft, mit Logik in seinen Urteilen zu operieren. Er analysiert also die Prozesse, die um ihn herum stattfinden, versucht, die Zusammenhänge zu berechnen und bestimmte Muster abzuleiten. Die klügsten Köpfe der Welt sind damit beschäftigt, diese Probleme zu lösen. Grob gesagt suchen unsere Wissenschaftler nach Mustern, wo sie nicht sind und nicht sein sollten. Trotzdem gibt es auch im Chaos einen Zusammenhang zwischen bestimmten Ereignissen. Diese Verbindung ist das Fraktal. Betrachten Sie als Beispiel einen abgebrochenen Ast, der auf der Straße liegt. Wenn wir es genau betrachten, sehen wir, dass es mit all seinen Ästen und Ästen selbst wie ein Baum aussieht. Diese Ähnlichkeit eines separaten Teils mit einem einzigen Ganzen zeugt vom sogenannten Prinzip der rekursiven Selbstähnlichkeit. Fraktale sind in der Natur immer wieder anzutreffen, da viele anorganische und organische Formen auf ähnliche Weise entstehen. Dies sind Wolken und Muscheln und Schneckenhäuser und Baumkronen und sogar das Kreislaufsystem. Diese Liste lässt sich beliebig fortführen. All diese zufälligen Formen lassen sich leicht durch den Fraktalalgorithmus beschreiben. Hier kommen wir dazu zu betrachten, was ein Fraktal vom Standpunkt der exakten Wissenschaften aus ist.

Ein paar trockene Fakten

Das Wort „Fraktal“ wird aus dem Lateinischen mit „teilweise“, „geteilt“, „fragmentiert“ übersetzt, und was den Inhalt dieses Begriffs betrifft, so existiert der Wortlaut als solcher nicht. Normalerweise wird es als eine selbstähnliche Menge behandelt, als ein Teil des Ganzen, das sich durch seine Struktur auf der Mikroebene wiederholt. Dieser Begriff wurde in den siebziger Jahren des 20. Jahrhunderts von Benoit Mandelbrot geprägt, der als Vater anerkannt wird.Heute bedeutet der Begriff eines Fraktals eine grafische Darstellung einer bestimmten Struktur, die, wenn sie vergrößert wird, sich selbst ähnlich ist. Die mathematische Grundlage für die Entstehung dieser Theorie wurde jedoch bereits vor der Geburt Mandelbrots selbst gelegt, konnte sich aber erst entwickeln, als elektronische Computer auftauchten.

Historische Referenz oder Wie alles begann

An der Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert war das Studium der Natur von Fraktalen episodisch. Dies liegt daran, dass Mathematiker bevorzugt Objekte untersuchten, die auf der Grundlage allgemeiner Theorien und Methoden untersucht werden können. 1872 konstruierte der deutsche Mathematiker K. Weierstraß ein Beispiel für eine stetige Funktion, die nirgends differenzierbar ist. Diese Konstruktion erwies sich jedoch als völlig abstrakt und schwer verständlich. Als nächstes kam der Schwede Helge von Koch, der 1904 eine durchgehende Kurve baute, die nirgendwo tangiert ist. Es ist recht einfach zu zeichnen und zeichnet sich, wie sich herausstellte, durch fraktale Eigenschaften aus. Eine der Varianten dieser Kurve wurde nach ihrem Autor benannt - "Kochs Schneeflocke". Darüber hinaus wurde die Idee der Selbstähnlichkeit von Figuren vom zukünftigen Mentor von B. Mandelbrot, dem Franzosen Paul Levy, entwickelt. 1938 veröffentlichte er die Abhandlung „Plane and Spatial Curves and Surfaces Consisting of Parts Like a Whole“. Darin beschrieb er die neue art- Levy C-Kurve. Alle oben genannten Figuren beziehen sich bedingt auf eine solche Form wie geometrische Fraktale.

Dynamische oder algebraische Fraktale

Das Mandelbrot-Set gehört zu dieser Klasse. Die französischen Mathematiker Pierre Fatou und Gaston Julia waren die ersten Forscher in dieser Richtung. 1918 veröffentlichte Julia eine Arbeit, die auf der Untersuchung von Iterationen rationaler komplexer Funktionen basierte. Hier beschrieb er eine Familie von Fraktalen, die eng mit der Mandelbrot-Menge verwandt sind. Trotz der Tatsache dass diese Arbeit verherrlichte die Autorin unter Mathematikern, geriet sie schnell in Vergessenheit. Und nur ein halbes Jahrhundert später erhielt Julias Werk dank Computern ein zweites Leben. Computer machten es möglich, jedem Menschen die Schönheit und den Reichtum der Welt der Fraktale sichtbar zu machen, die Mathematiker "sehen" konnten, indem sie sie durch Funktionen darstellten. Mandelbrot war der erste, der mit einem Computer Berechnungen durchführte (manuell ist ein solches Volumen unmöglich durchzuführen), die es ermöglichten, ein Bild dieser Figuren zu erstellen.

Mann mit räumlichem Vorstellungsvermögen

Mandelbrot begann seine wissenschaftliche Laufbahn am IBM Research Center. Bei der Untersuchung der Möglichkeiten der Datenübertragung über große Entfernungen waren die Wissenschaftler mit der Tatsache konfrontiert, dass große Verluste durch Rauschstörungen entstanden. Benoit suchte nach Möglichkeiten, dieses Problem zu lösen. Beim Durchsehen der Messergebnisse machte er auf ein merkwürdiges Muster aufmerksam, nämlich: Die Rauschkurven sahen auf verschiedenen Zeitskalen gleich aus.

Ein ähnliches Bild wurde sowohl für einen Tag als auch für sieben Tage oder für eine Stunde beobachtet. Benoit Mandelbrot selbst wiederholte oft, dass er nicht mit Formeln arbeite, sondern mit Bildern spiele. Dieser Wissenschaftler zeichnete sich durch einfallsreiches Denken aus, er übersetzte jedes algebraische Problem in einen geometrischen Bereich, in dem die richtige Antwort offensichtlich ist. So ist es nicht verwunderlich, dass es von den Reichen ausgezeichnet wurde und zum Vater der fraktalen Geometrie wurde. Schließlich kann das Bewusstsein für diese Figur nur entstehen, wenn Sie die Zeichnungen studieren und über die Bedeutung dieser seltsamen Wirbel nachdenken, die das Muster bilden. Fraktale Zeichnungen haben keine identischen Elemente, aber sie sind in jedem Maßstab ähnlich.

Julia - Mandelbrot

Eine der ersten Zeichnungen dieser Figur war eine grafische Interpretation des Sets, die dank der Arbeit von Gaston Julia geboren und von Mandelbrot fertiggestellt wurde. Gaston versuchte sich vorzustellen, wie eine Menge aussieht, wenn sie aus einer einfachen Formel aufgebaut ist, die durch eine Rückkopplungsschleife iteriert wird. Versuchen wir, das Gesagte in menschlicher Sprache sozusagen an den Fingern zu erklären. Für bestimmte numerischer Wert Verwenden Sie die Formel, um einen neuen Wert zu finden. Wir setzen es in die Formel ein und finden Folgendes. Das Ergebnis ist sehr groß.Um eine solche Menge darzustellen, müssen Sie diese Operation sehr oft ausführen: Hunderte, Tausende, Millionen. Das hat Benoit getan. Er verarbeitete die Sequenz und übertrug die Ergebnisse in grafische Form. Anschließend färbte er die resultierende Figur (jede Farbe entspricht einer bestimmten Anzahl von Iterationen). Dieses grafische Bild wird Mandelbrot-Fraktal genannt.

L. Carpenter: Kunst von der Natur geschaffen

Die Theorie der Fraktale fand schnell praktische Anwendung. Da es sehr eng mit der Visualisierung von selbstähnlichen Bildern verwandt ist, waren die ersten, die die Prinzipien und Algorithmen zur Konstruktion dieser ungewöhnlichen Formen übernahmen, Künstler. Die erste davon war die spätere Gründerin des Pixar-Studios Lauren Carpenter. Während er an der Präsentation von Flugzeugprototypen arbeitete, kam ihm die Idee, das Bild von Bergen als Hintergrund zu verwenden. Heute kann fast jeder Computerbenutzer eine solche Aufgabe bewältigen, und in den siebziger Jahren des letzten Jahrhunderts waren Computer nicht in der Lage, solche Prozesse auszuführen, da es zu dieser Zeit keine grafischen Editoren und Anwendungen für dreidimensionale Grafiken gab. Loren stieß auf Mandelbrots Fractals: Shape, Randomness, and Dimension. Darin gab Benois viele Beispiele, die zeigten, dass es Fraktale in der Natur (Fyva) gibt, er beschrieb ihre verschiedenen Formen und bewies, dass sie leicht zu beschreiben sind mathematische Ausdrücke. Diese Analogie Als Argument führte der Mathematiker die Nützlichkeit der Theorie an, die er als Reaktion auf die heftige Kritik seiner Kollegen entwickelte. Sie argumentierten, dass ein Fraktal nur ein schönes Bild ohne Wert ist, das ein Nebenprodukt der Arbeit ist elektronische Maschinen. Carpenter beschloss, diese Methode in der Praxis auszuprobieren. Nachdem er das Buch sorgfältig studiert hatte, begann der zukünftige Animator nach einer Möglichkeit zu suchen, die fraktale Geometrie in der Computergrafik zu implementieren. Er brauchte nur drei Tage, um ein absolut realistisches Bild der Berglandschaft auf seinem Computer darzustellen. Und heute ist dieses Prinzip weit verbreitet. Wie sich herausstellte, erfordert das Erstellen von Fraktalen nicht viel Zeit und Mühe.

Zimmermanns Lösung

Das von Lauren verwendete Prinzip erwies sich als einfach. Sie besteht darin, größere in kleinere Elemente zu teilen und diese in ähnliche kleinere und so weiter. Carpenter zerkleinerte sie mit großen Dreiecken in 4 kleine und so weiter, bis er eine realistische Berglandschaft erhielt. So war er der erste Künstler, der den fraktalen Algorithmus in der Computergrafik anwendete, um das erforderliche Bild zu konstruieren. Heute wird dieses Prinzip genutzt, um verschiedene naturgetreue Formen zu simulieren.

Die erste 3D-Visualisierung basierend auf dem Fraktal-Algorithmus

Einige Jahre später wandte Lauren seine Arbeit in einem groß angelegten Projekt an – einem animierten Video Vol Libre, das 1980 auf Siggraph gezeigt wurde. Dieses Video schockierte viele und sein Schöpfer wurde eingeladen, bei Lucasfilm zu arbeiten. Hier konnte sich der Animator voll entfalten, er schuf dreidimensionale Landschaften (den ganzen Planeten) für den Spielfilm „Star Trek“. Irgendein modernes Programm(Fraktale) oder 3D-Grafikanwendungen (Terragen, Vue, Bryce) verwenden immer noch denselben Algorithmus, um Texturen und Oberflächen zu modellieren.

Tom Bedard

Als ehemaliger Laserphysiker und jetzt digitaler Künstler und Künstler schuf Beddard eine Reihe höchst faszinierender geometrischer Formen, die er Faberges Fraktale nannte. Äußerlich ähneln sie den dekorativen Eiern eines russischen Juweliers, sie haben das gleiche brillante, komplizierte Muster. Beddard verwendete eine Vorlagenmethode, um seine digitalen Renderings der Modelle zu erstellen. Die daraus resultierenden Produkte bestechen durch ihre Schönheit. Obwohl viele sich weigern, das Produkt zu vergleichen selbstgemacht mit einem Computerprogramm muss man allerdings zugeben, dass die resultierenden Formen ungewöhnlich schön sind. Das Highlight ist, dass jeder ein solches Fraktal mit der WebGL-Softwarebibliothek erstellen kann. Es ermöglicht Ihnen, verschiedene fraktale Strukturen in Echtzeit zu erkunden.

Fraktale in der Natur

Nur wenige Menschen achten darauf, aber diese erstaunlichen Figuren sind überall. Die Natur besteht aus selbstähnlichen Figuren, wir bemerken es nur nicht. Es reicht aus, durch ein Vergrößerungsglas auf unsere Haut oder ein Blatt eines Baumes zu schauen, und wir werden Fraktale sehen. Oder nehmen Sie zum Beispiel eine Ananas oder sogar einen Pfauenschwanz - sie bestehen aus ähnlichen Figuren. Und die Brokkoli-Sorte Romanescu fällt generell ins Auge, denn sie kann wirklich als Wunderwerk der Natur bezeichnet werden.

Musikalische Pause

Es stellt sich heraus, dass Fraktale nicht nur geometrische Formen sind, sie können auch Klänge sein. Der Musiker Jonathan Colton schreibt also Musik mit fraktalen Algorithmen. Er beansprucht, der natürlichen Harmonie zu entsprechen. Der Komponist veröffentlicht alle seine Werke unter der CreativeCommons Attribution-Noncommercial-Lizenz, die die kostenlose Verteilung, Vervielfältigung und Übertragung von Werken durch andere Personen vorsieht.

Fraktal-Indikator

Diese Technik hat eine sehr unerwartete Anwendung gefunden. Auf seiner Grundlage wurde ein Instrument zur Analyse des Börsenmarktes geschaffen, das infolgedessen auf dem Devisenmarkt eingesetzt wurde. Jetzt ist der Fraktal-Indikator auf allen Handelsplattformen zu finden und wird in einer Handelstechnik namens Preisausbruch verwendet. Bill Williams hat diese Technik entwickelt. Wie der Autor seine Erfindung kommentiert, dieser Algorithmus ist eine Kombination mehrerer "Kerzen", bei denen die mittlere den maximalen oder umgekehrt den minimalen Extrempunkt widerspiegelt.

Abschließend

Also haben wir uns überlegt, was ein Fraktal ist. Es stellt sich heraus, dass es in dem Chaos, das uns umgibt, tatsächlich ideale Formen gibt. Die Natur ist der beste Architekt, der ideale Baumeister und Ingenieur. Es ist sehr logisch angeordnet, und wenn wir kein Muster finden können, heißt das nicht, dass es nicht existiert. Vielleicht müssen Sie sich einen anderen Maßstab ansehen. Wir können mit Zuversicht sagen, dass Fraktale noch viele Geheimnisse bergen, die wir noch entdecken müssen.

Hallo zusammen! Ich heiße, Ribenek Walerija, Uljanowsk und heute werde ich mehrere meiner wissenschaftlichen Artikel auf der LCI-Website veröffentlichen.

Mein erster Forschungsartikel Dieser Blog wird sich darauf konzentrieren Fraktale. Ich werde gleich sagen, dass meine Artikel für fast jedes Publikum konzipiert sind. Jene. Ich hoffe, sie werden sowohl Schüler als auch Studenten interessieren.

Kürzlich habe ich von solch interessanten Objekten erfahren mathematische Welt wie Fraktale. Aber sie existieren nicht nur in der Mathematik. Sie umgeben uns überall. Fraktale sind natürlich. Was Fraktale sind, über die Arten von Fraktal, über Beispiele dieser Objekte und ihre Anwendung, werde ich in diesem Artikel erzählen. Zunächst erkläre ich Ihnen kurz, was ein Fraktal ist.

Fraktal(lat. fractus - zerkleinert, gebrochen, gebrochen) - das ist ein Komplex geometrische Figur, die die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit hat, das heißt, sie setzt sich aus mehreren Teilen zusammen, von denen jedes der ganzen Figur als Ganzes ähnlich ist. In mehr weiten Sinne Fraktale werden als Mengen von Punkten im euklidischen Raum verstanden, die eine gebrochene metrische Dimension (im Sinne von Minkowski oder Hausdorff) oder eine andere als die topologische metrische Dimension haben. Zum Beispiel werde ich ein Bild von vier verschiedenen Fraktalen einfügen.

Lassen Sie mich Ihnen ein wenig über die Geschichte der Fraktale erzählen. Die Ende der 70er Jahre aufgekommenen Konzepte des Fraktals und der fraktalen Geometrie haben sich seit Mitte der 80er Jahre fest im Alltag von Mathematikern und Programmierern etabliert. Das Wort "Fraktal" wurde 1975 von Benoit Mandelbrot eingeführt, um sich auf die unregelmäßigen, aber selbstähnlichen Strukturen zu beziehen, die er untersuchte. Die Geburt der fraktalen Geometrie wird normalerweise mit der Veröffentlichung von Mandelbrots Buch The Fractal Geometry of Nature im Jahr 1977 in Verbindung gebracht. Seine Arbeiten nutzten die wissenschaftlichen Ergebnisse anderer Wissenschaftler, die in der Zeit von 1875-1925 auf demselben Gebiet arbeiteten (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff). Aber erst in unserer Zeit war es möglich, ihre Arbeit in einem einzigen System zusammenzufassen.

Es gibt viele Beispiele für Fraktale, weil sie uns, wie gesagt, überall umgeben. Meiner Meinung nach ist sogar unser gesamtes Universum ein riesiges Fraktal. Schließlich wiederholt sich alles darin, von der Struktur des Atoms bis zur Struktur des Universums selbst, genau. Aber es gibt natürlich auch konkretere Beispiele für Fraktale aus verschiedenen Bereichen. Fraktale sind zum Beispiel in komplexen Dynamiken vorhanden. Dort tauchen sie natürlich in der Untersuchung des Nichtlinearen auf dynamische Systeme. Der am besten untersuchte Fall ist, wenn das dynamische System durch Iterationen spezifiziert wird Polynom oder holomorph Funktion eines Komplexes von Variablen auf der Oberfläche. Einige der bekanntesten Fraktale dieser Art sind die Julia-Menge, die Mandelbrot-Menge und die Newton-Becken. Unten zeigen die Bilder der Reihe nach jedes der obigen Fraktale.

Ein weiteres Beispiel für Fraktale sind Fraktalkurven. Wie man ein Fraktal aufbaut, lässt sich am besten am Beispiel fraktaler Kurven erklären. Eine solche Kurve ist die sogenannte Koch-Schneeflocke. Es gibt ein einfaches Verfahren, um fraktale Kurven auf einer Ebene zu erhalten. Wir definieren eine beliebige unterbrochene Linie mit einer endlichen Anzahl von Verbindungen, die Generator genannt wird. Als nächstes ersetzen wir jedes Segment darin durch einen Generator (genauer gesagt, eine unterbrochene Linie, die einem Generator ähnelt). In der resultierenden gestrichelten Linie ersetzen wir wieder jedes Segment durch einen Generator. Weiter bis ins Unendliche erhalten wir am Limit eine fraktale Kurve. Unten abgebildet ist eine Koch-Schneeflocke (oder Kurve).

Es gibt auch fraktale Kurven große Menge. Die bekanntesten davon sind die bereits erwähnte Koch-Schneeflocke, sowie die Levy-Kurve, die Minkowski-Kurve, der gebrochene Drache, die Piano-Kurve und der Pythagoräische Baum. Ein Bild dieser Fraktale und ihrer Geschichte, denke ich, kann man leicht auf Wikipedia finden, wenn man möchte.

Das dritte Beispiel oder eine Art Fraktale sind stochastische Fraktale. Solche Fraktale umfassen die Flugbahn Brownsche Bewegung auf einer Ebene und im Raum, Schramm-Löwner-Entwicklungen, verschiedene Arten von randomisierten Fraktalen, d. h. Fraktale, die durch ein rekursives Verfahren erhalten werden, bei dem bei jedem Schritt ein Zufallsparameter eingeführt wird.

Es gibt auch rein mathematische Fraktale. Dies zum Beispiel Cantor-Satz, Menger-Schwamm, Sierpinski-Dreieck und andere.

Aber vielleicht sind die interessantesten Fraktale natürliche. Natürliche Fraktale sind Objekte in der Natur, die fraktale Eigenschaften haben. Und es gibt bereits eine große Liste. Ich werde nicht alles auflisten, weil ich wahrscheinlich nicht alle auflisten kann, aber ich werde über einige erzählen. In der lebenden Natur umfassen solche Fraktale zum Beispiel unser Kreislaufsystem und unsere Lungen. Und auch die Kronen und Blätter der Bäume. Auch hier können Sie Seesterne, Seeigel, Korallen, Muscheln, einige Pflanzen wie Kohl oder Brokkoli einschließen. Unten sind mehrere solcher natürlicher Fraktale von Wildtieren deutlich gezeigt.

Wenn wir überlegen unbelebte Natur, dann dort interessante Beispiele viel mehr als leben. Blitze, Schneeflocken, Wolken, die jeder kennt, Muster an Fenstern an frostigen Tagen, Kristalle, Bergketten - all dies sind Beispiele für natürliche Fraktale aus der unbelebten Natur.

Wir haben Beispiele und Arten von Fraktalen betrachtet. Was die Verwendung von Fraktalen betrifft, so werden sie am häufigsten verwendet verschiedene Bereiche Wissen. In der Physik entstehen Fraktale natürlich bei der Modellierung nichtlinearer Prozesse wie turbulenter Flüssigkeitsströmungen, komplexe Prozesse Diffusion-Adsorption, Flammen, Wolken usw. Fraktale werden zum Modellieren poröser Materialien verwendet, beispielsweise in der Petrochemie. In der Biologie werden sie zur Modellierung von Populationen und zur Beschreibung von Systemen verwendet. innere Organe(System der Blutgefäße). Nach der Erstellung der Koch-Kurve wurde vorgeschlagen, sie zur Berechnung der Küstenlänge zu verwenden. Auch in der Funktechnik, in der Informatik und Computertechnik, der Telekommunikation und sogar der Wirtschaft werden Fraktale aktiv eingesetzt. Und natürlich wird das fraktale Sehen aktiv genutzt zeitgenössische Kunst und Architektur. Hier ist ein Beispiel für fraktale Gemälde:

Und damit denke ich, meine Geschichte über ein so ungewöhnliches mathematisches Phänomen wie ein Fraktal zu vervollständigen. Heute haben wir gelernt, was ein Fraktal ist, wie es aussah, über die Arten und Beispiele von Fraktal. Und ich sprach auch über ihre Anwendung und demonstrierte einige der Fraktale deutlich. Ich hoffe, Ihnen hat dieser kurze Ausflug in die Welt der erstaunlichen und bezaubernden fraktalen Objekte gefallen.