Die Ende der 70er Jahre aufgekommenen Konzepte des Fraktals und der fraktalen Geometrie haben sich seit Mitte der 80er Jahre fest im Alltag von Mathematikern und Programmierern etabliert. Das Wort Fraktal leitet sich vom lateinischen fractus ab und bedeutet übersetzt aus Bruchstücken bestehend. Es wurde 1975 von Benoit Mandelbrot vorgeschlagen, um sich auf die unregelmäßigen, aber selbstähnlichen Strukturen zu beziehen, die er untersuchte. Die Geburt der fraktalen Geometrie wird gewöhnlich mit der Veröffentlichung von Mandelbrots Buch „The Fractal Geometry of Nature“ im Jahr 1977 in Verbindung gebracht. wissenschaftliche Ergebnisse andere Wissenschaftler, die in der Zeit von 1875-1925 auf demselben Gebiet arbeiteten (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff). Aber erst in unserer Zeit war es möglich, ihre Arbeit in einem einzigen System zusammenzufassen.
Die Rolle von Fraktalen in der Computergrafik ist heute ziemlich groß. Sie kommen zum Beispiel dann zur Hilfe, wenn es darum geht, mit Hilfe mehrerer Koeffizienten Linien und Flächen sehr genau zu setzen Komplexe Form. Aus Sicht der Computergrafik ist die fraktale Geometrie für die Erzeugung künstlicher Wolken, Berge und Meeresoberflächen unverzichtbar. Tatsächlich wurde ein Weg gefunden, komplexe nicht-euklidische Objekte, deren Bilder natürlichen sehr ähnlich sind, einfach darzustellen.
Eine der Haupteigenschaften von Fraktalen ist die Selbstähnlichkeit. In der sehr einfacher Fall ein kleiner Teil des Fraktals enthält Informationen über das gesamte Fraktal. Die von Mandelbrot gegebene Definition eines Fraktals lautet wie folgt: „Ein Fraktal ist eine Struktur, die aus Teilen besteht, die in gewissem Sinne dem Ganzen ähnlich sind.“

Es gibt eine große Anzahl mathematischer Objekte, die als Fraktale bezeichnet werden (Sierpinski-Dreieck, Koch-Schneeflocke, Peano-Kurve, Mandelbrot-Menge und Lorentz-Attraktoren). Fraktale beschreiben mit großer Genauigkeit viele physikalische Phänomene und Formationen der realen Welt: Berge, Wolken, turbulente (Wirbel-) Strömungen, Wurzeln, Äste und Blätter von Bäumen, Blutgefäße, was weit davon entfernt ist, einfachen geometrischen Formen zu entsprechen. Zum ersten Mal sprach Benoit Mandelbrot in seinem wegweisenden Werk „The Fractal Geometry of Nature“ über die fraktale Natur unserer Welt.
Der Begriff Fraktal wurde 1977 von Benoit Mandelbrot in seinem Grundlagenwerk „Fractals, Form, Chaos and Dimension“ eingeführt. Laut Mandelbrot kommt das Wort Fraktal von den lateinischen Wörtern fractus – gebrochen und frangere – zu brechen, was die Essenz des Fraktals als „gebrochene“, unregelmäßige Menge widerspiegelt.

Klassifizierung von Fraktalen.

Um die ganze Vielfalt der Fraktale darzustellen, ist es zweckmäßig, auf ihre allgemein akzeptierte Klassifizierung zurückzugreifen. Es gibt drei Klassen von Fraktalen.

1. Geometrische Fraktale.

Fraktale dieser Klasse sind die offensichtlichsten. Im zweidimensionalen Fall werden sie unter Verwendung einer als Generator bezeichneten Polylinie (oder Fläche im dreidimensionalen Fall) erhalten. In einem Schritt des Algorithmus wird jedes der Segmente, die die unterbrochene Linie bilden, durch einen Generator für unterbrochene Linien im geeigneten Maßstab ersetzt. Als Ergebnis der endlosen Wiederholung dieses Verfahrens erhält man ein geometrisches Fraktal.

Betrachten Sie zum Beispiel eines dieser fraktalen Objekte - die triadische Koch-Kurve.

Konstruktion der triadischen Koch-Kurve.

Nehmen Sie ein gerades Liniensegment der Länge 1. Nennen wir es Samen. Wir teilen den Samen in drei gleiche Teile von 1/3 Länge und verwerfen ihn Mittelteil und ersetzen Sie es durch eine unterbrochene Linie aus zwei Gliedern der Länge 1/3.

Wir erhalten eine unterbrochene Linie, bestehend aus 4 Gliedern mit einer Gesamtlänge von 4/3, - der sogenannten erste Generation.

Um zur nächsten Generation der Koch-Kurve überzugehen, ist es notwendig, den mittleren Teil jedes Glieds zu verwerfen und zu ersetzen. Dementsprechend beträgt die Länge der zweiten Generation 16/9, die dritte 64/27. Wenn Sie diesen Prozess bis ins Unendliche fortsetzen, ist das Ergebnis eine triadische Koch-Kurve.

Betrachten wir nun die heilige triadische Koch-Kurve und finden Sie heraus, warum Fraktale „Monster“ genannt wurden.

Erstens hat diese Kurve keine Länge – wie wir gesehen haben, geht ihre Länge mit der Anzahl der Generationen gegen unendlich.

Zweitens ist es unmöglich, eine Tangente an diese Kurve zu konstruieren – jeder ihrer Punkte ist ein Wendepunkt, an dem die Ableitung nicht existiert – diese Kurve ist nicht glatt.

Länge und Glätte sind die grundlegenden Eigenschaften von Kurven, die sowohl von der euklidischen Geometrie als auch von der Geometrie von Lobachevsky und Riemann untersucht werden. Zur triadischen Koch-Kurve traditionelle Methoden Die geometrische Analyse erwies sich als unanwendbar, so dass sich die Koch-Kurve als Monster herausstellte - ein "Monster" unter den glatten Bewohnern traditioneller Geometrien.

Bau des "Drachen" Harter-Hateway.

Um ein weiteres Fraktalobjekt zu erhalten, müssen Sie die Konstruktionsregeln ändern. Das erzeugende Element sei zwei gleicher Abschnitt im rechten Winkel verbunden. In der Nullgeneration ersetzen wir das Einheitssegment durch dieses erzeugende Element, sodass der Winkel oben ist. Wir können sagen, dass bei einer solchen Ersetzung eine Verschiebung in der Mitte des Links auftritt. Beim Bau der nächsten Generationen wird die Regel erfüllt: Das allererste Glied links wird durch ein erzeugendes Element ersetzt, sodass sich die Mitte des Glieds in Bewegungsrichtung nach links verschiebt, und beim Ersetzen nächste Links, müssen sich die Verschiebungsrichtungen der Mittelpunkte der Segmente abwechseln. Die Abbildung zeigt die ersten Generationen und die 11. Generation der nach dem oben beschriebenen Prinzip aufgebauten Kurve. Die Kurve mit n gegen unendlich wird Harter-Hateway-Drache genannt.
In der Computergrafik ist die Verwendung geometrischer Fraktale notwendig, um Bilder von Bäumen und Sträuchern zu erhalten. Zweidimensionale geometrische Fraktale werden verwendet, um dreidimensionale Texturen (Muster auf der Oberfläche eines Objekts) zu erzeugen.

2. Algebraische Fraktale

Das ist das meiste große Gruppe Fraktale. Sie werden durch nichtlineare Prozesse in n-dimensionalen Räumen gewonnen. Am besten untersucht sind zweidimensionale Prozesse. Interpretiert man einen nichtlinearen iterativen Prozess als diskretes dynamisches System, kann man die Terminologie der Theorie dieser Systeme verwenden: Phasenporträt, stationärer Prozess, Attraktor usw.
Es ist bekannt, dass nichtlineare dynamische Systeme mehrere stabile Zustände haben. Der Zustand, in dem es war dynamisches System nach einer bestimmten Anzahl von Iterationen, hängt von seinem Anfangszustand ab. Daher hat jeder stabile Zustand (oder, wie sie sagen, ein Attraktor) einen bestimmten Bereich von Anfangszuständen, aus denen das System notwendigerweise in die betrachteten Endzustände fällt. Somit wird der Phasenraum des Systems in Anziehungsbereiche von Attraktoren unterteilt. Wenn der Phasenraum zweidimensional ist, dann Einfärbung der Anziehungsbereiche verschiedene Farben, kann man ein Farbphasenporträt dieses Systems erhalten (iterativer Prozess). Durch Ändern des Farbauswahlalgorithmus können Sie komplexe Fraktalmuster mit ausgefallenen mehrfarbigen Mustern erhalten. Eine Überraschung für Mathematiker war die Fähigkeit, sehr komplexe nicht-triviale Strukturen mit primitiven Algorithmen zu erzeugen.

Das Mandelbrot-Set.

Betrachten Sie als Beispiel die Mandelbrot-Menge. Der Algorithmus für seine Konstruktion ist recht einfach und basiert auf einem einfachen iterativen Ausdruck: Z = Z[i] * Z[i] + C, wo Zi und C sind komplexe Variablen. Iterationen werden für jeden Startpunkt von einem rechteckigen oder quadratischen Bereich durchgeführt – einer Teilmenge der komplexen Ebene. Der iterative Prozess wird fortgesetzt bis Z[i] wird den Kreis mit Radius 2, dessen Mittelpunkt im Punkt (0,0) liegt, nicht überschreiten (das bedeutet, dass der Attraktor des dynamischen Systems im Unendlichen liegt), oder nach einer ausreichend großen Anzahl von Iterationen (z , 200-500) Z[i] konvergiert an einem Punkt auf dem Kreis. Abhängig von der Anzahl der Iterationen, während denen Z[i] innerhalb des Kreises verbleibt, können Sie die Farbe des Punktes einstellen C(wenn Z[i] für eine ausreichend große Anzahl von Iterationen innerhalb des Kreises bleibt, stoppt der Iterationsprozess und dieser Rasterpunkt wird schwarz gefärbt).

3. Stochastische Fraktale

Eine weitere bekannte Klasse von Fraktalen sind stochastische Fraktale, die erhalten werden, wenn einer ihrer Parameter in einem iterativen Prozess zufällig geändert wird. Dies führt zu Objekten, die den natürlichen sehr ähnlich sind - asymmetrische Bäume, zerklüftete Küsten usw. Zweidimensionale stochastische Fraktale werden zur Modellierung des Geländes und der Meeresoberfläche verwendet.
Es gibt andere Klassifikationen von Fraktalen, zum Beispiel die Unterteilung von Fraktalen in deterministisch (algebraisch und geometrisch) und nicht deterministisch (stochastisch).

Über die Verwendung von Fraktalen

Zuallererst sind Fraktale ein Bereich erstaunlicher mathematischer Kunst, wenn mit Hilfe einfachster Formeln und Algorithmen Bilder von außergewöhnlicher Schönheit und Komplexität erhalten werden! In den Konturen der konstruierten Bilder werden oft Blätter, Bäume und Blumen erraten.

Eine der mächtigsten Anwendungen von Fraktalen liegt in der Computergrafik. Dies ist erstens eine fraktale Komprimierung von Bildern und zweitens die Konstruktion von Landschaften, Bäumen, Pflanzen und die Generierung fraktaler Texturen. moderne Physik und die Mechanik fängt gerade erst an, das Verhalten fraktaler Objekte zu untersuchen. Und natürlich werden Fraktale direkt in der Mathematik selbst angewendet.
Die Vorteile von fraktalen Bildkomprimierungsalgorithmen sind die sehr kleine Größe der gepackten Datei und die kurze Bildwiederherstellungszeit. Fraktal gepackte Bilder können skaliert werden, ohne dass eine Verpixelung auftritt. Aber der Komprimierungsprozess dauert sehr lange und dauert manchmal Stunden. Der verlustbehaftete fraktale Packalgorithmus ermöglicht es Ihnen, die Komprimierungsstufe einzustellen, ähnlich wie beim JPEG-Format. Der Algorithmus basiert auf der Suche nach großen Teilen des Bildes, die einigen kleinen Teilen ähneln. Und nur welches Stück welchem ​​ähnlich ist, wird in die Ausgabedatei geschrieben. Beim Komprimieren wird üblicherweise ein quadratisches Raster verwendet (Stücke sind Quadrate), was zu einer leichten Winkligkeit beim Wiederherstellen des Bildes führt, ein sechseckiges Raster ist frei von einem solchen Nachteil.
Iterated hat ein neues Bildformat namens „Sting“ entwickelt, das Fraktal- und „Wellen“- (z. B. jpeg) verlustfreie Komprimierung kombiniert. Das neue Format ermöglicht das Erstellen von Bildern mit der Möglichkeit der nachträglichen Skalierung in hoher Qualität und der Lautstärke Grafikdateien beträgt 15-20 % des Volumens von unkomprimierten Bildern.
Die Tendenz von Fraktalen, wie Berge, Blumen und Bäume auszusehen, wird von einigen Grafikeditoren ausgenutzt, zum Beispiel fraktale Wolken aus dem 3D-Studio MAX, fraktale Berge in World Builder. Fraktale Bäume, Berge und ganze Landschaften sind gegeben einfache Formeln, sind einfach zu programmieren und zerfallen bei Annäherung nicht in einzelne Dreiecke und Würfel.
Sie können die Verwendung von Fraktalen in der Mathematik selbst nicht ignorieren. In der Mengentheorie beweist die Cantor-Menge die Existenz perfekter nirgendwo dichter Mengen; in der Maßtheorie ist die selbstaffine „Cantor-Leiter“-Funktion ein gutes Beispiel für eine singuläre Maßverteilungsfunktion.
In der Mechanik und Physik werden Fraktale aufgrund ihrer einzigartigen Eigenschaft verwendet, die Umrisse vieler natürlicher Objekte zu wiederholen. Fraktale ermöglichen es Ihnen, Bäume, Bergoberflächen und Risse mit höherer Genauigkeit anzunähern als Annäherungen mit Liniensegmenten oder Polygonen (mit der gleichen Menge an gespeicherten Daten). Fraktale Modelle haben wie natürliche Objekte "Rauigkeit", und diese Eigenschaft bleibt bei einer beliebig großen Vergrößerung des Modells erhalten. Das Vorhandensein eines einheitlichen Maßes für Fraktale ermöglicht die Anwendung der Integration, der Potentialtheorie, um sie anstelle von Standardobjekten in den bereits untersuchten Gleichungen zu verwenden.
Mit dem fraktalen Ansatz hört das Chaos auf, blaue Unordnung zu sein, und gewinnt Feine Struktur. Die Fraktalwissenschaft ist noch sehr jung und hat eine große Zukunft vor sich. Die Schönheit der Fraktale ist noch lange nicht erschöpft und wird uns noch viele Meisterwerke bescheren – solche, die das Auge erfreuen, und solche, die dem Geist wahre Freude bereiten.

Über das Bauen von Fraktalen

Methode der sukzessiven Annäherung

Wenn man sich dieses Bild ansieht, ist es nicht schwer zu verstehen, wie man ein selbstähnliches Fraktal (in dieser Fall Pyramide von Sierpinski). Wir müssen eine gewöhnliche Pyramide (Tetraeder) nehmen und dann ihre Mitte (Oktaeder) ausschneiden, wodurch wir vier kleine Pyramiden erhalten. Mit jedem von ihnen führen wir die gleiche Operation durch und so weiter. Dies ist eine etwas naive, aber anschauliche Erklärung.

Betrachten wir das Wesen der Methode genauer. Lassen Sie es ein IFS-System geben, d.h. Kontraktions-Mapping-System S=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (zum Beispiel sehen die Abbildungen für unsere Pyramide wie folgt aus: S i (x)=1/2*x+o i , wobei o i sind die Eckpunkte des Tetraeders, i=1,..,4). Dann wählen wir eine kompakte Menge A 1 im R n (in unserem Fall wählen wir einen Tetraeder). Und wir bestimmen per Induktion die Folge der Mengen A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). Es ist bekannt, dass die Mengen A k mit zunehmendem k den benötigten Attraktor des Systems annähern S.

Beachten Sie, dass jede dieser Iterationen ein Attraktor ist rekurrentes System iterierter Funktionen (Englischer Begriff DigraphIFS, RIFS und auch Graphgesteuertes IFS) und sind daher mit unserem Programm einfach zu bauen.

Konstruktion durch Punkte oder probabilistische Methode

Dies ist die einfachste Methode, die auf einem Computer implementiert werden kann. Betrachten Sie der Einfachheit halber den Fall einer flachen selbstaffinen Menge. Lassen Sie also (S

) ist ein System affiner Kontraktionen. Zuordnungen S

darstellbar als: S

Feste Matrix der Größe 2x2 und o

Zweidimensionale Vektorspalte.

• Nehmen wir als Ausgangspunkt einen Fixpunkt der ersten Abbildung S 1:
  x:=o1;
  Hier nutzen wir die Tatsache, dass alle festen Kontraktionspunkte S 1 , ..., S m zum Fraktal gehören. Ein beliebiger Punkt kann als Startpunkt gewählt werden und die dadurch erzeugte Punktfolge schrumpft zu einem Fraktal, aber dann erscheinen ein paar zusätzliche Punkte auf dem Bildschirm.
• Beachten Sie den aktuellen Punkt x=(x 1 ,x 2) auf dem Bildschirm:
  putpixel(x 1 ,x 2 ,15);
• Wir wählen zufällig eine Zahl j von 1 bis m und berechnen die Koordinaten des Punktes x neu:
  j:=Zufall(m)+1;
  x:=S j (x);
• Wir gehen zu Schritt 2 oder, wenn wir eine ausreichend große Anzahl von Iterationen durchgeführt haben, brechen wir ab.

Notiz. Wenn die Kompressionskoeffizienten der Abbildungen S i unterschiedlich sind, wird das Fraktal ungleichmäßig mit Punkten gefüllt. Wenn die Abbildungen S i Ähnlichkeiten sind, kann dies vermieden werden, indem der Algorithmus leicht kompliziert wird. Dazu muss im 3. Schritt des Algorithmus die Zahl j von 1 bis m mit den Wahrscheinlichkeiten p 1 = r 1 s, ..., p m = rm s gewählt werden, wobei r i die Kontraktionskoeffizienten der Abbildungen S i bezeichnen , und die Zahl s (als Ähnlichkeitsdimension bezeichnet) wird aus der Gleichung r 1 s + ... + rm s = 1 ermittelt. Die Lösung dieser Gleichung kann beispielsweise durch das Newton-Verfahren gefunden werden.

Über Fraktale und ihre Algorithmen

Fraktal kommt vom lateinischen Adjektiv „fractus“ und bedeutet übersetzt aus Fragmenten bestehend, und das entsprechende lateinische Verb „frangere“ bedeutet brechen, also unregelmäßige Fragmente erzeugen. Die Ende der 70er Jahre aufgekommenen Konzepte des Fraktals und der fraktalen Geometrie haben sich seit Mitte der 80er Jahre fest im Alltag von Mathematikern und Programmierern etabliert. Der Begriff wurde 1975 von Benoit Mandelbrot vorgeschlagen, um sich auf die unregelmäßigen, aber selbstähnlichen Strukturen zu beziehen, die er untersuchte. Die Geburt der fraktalen Geometrie wird üblicherweise mit der Veröffentlichung von Mandelbrots Buch „The Fractal Geometry of Nature“ im Jahr 1977 – „The Fractal Geometry of Nature“ – in Verbindung gebracht. Seine Arbeiten nutzten die wissenschaftlichen Ergebnisse anderer Wissenschaftler, die in der Zeit von 1875-1925 auf demselben Gebiet arbeiteten (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff).

Anpassungen

Lassen Sie mich einige Anpassungen an den Algorithmen vornehmen, die in dem Buch von H.-O. Paytgen und P.H. Richter "The Beauty of Fractals" M. 1993, rein um Tippfehler auszumerzen und das Verständnis der Vorgänge zu erleichtern, da mir nach deren Studium vieles ein Rätsel blieb. Leider führen diese "verständlichen" und "einfachen" Algorithmen einen rockigen Lebensstil.

Die Konstruktion von Fraktalen basiert auf einer bestimmten nichtlinearen Funktion eines komplexen Prozesses mit Rückkopplung z \u003d z 2 + c da z und c komplexe Zahlen sind, dann ist z \u003d x + iy, c \u003d p + iq notwendig um es in x und y zu zerlegen, um für die gewöhnliche Menschenebene realer zu werden:

x(k+1)=x(k)2 - y(k)2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Die aus allen Paaren (x, y) bestehende Ebene kann als mit festen Werten betrachtet werden p und q, sowie für dynamische. Im ersten Fall werden alle Punkte (x, y) der Ebene gemäß dem Gesetz sortiert und in Abhängigkeit von der Anzahl der Wiederholungen der Funktion gefärbt, die zum Verlassen des iterativen Prozesses erforderlich sind, oder nicht gefärbt (schwarz), wenn das zulässige Maximum erreicht ist der Wiederholungen erhöht wird, erhalten wir die Abbildung der Julia-Menge. Wenn wir hingegen das anfängliche Wertepaar (x, y) bestimmen und sein koloristisches Schicksal mit dynamisch wechselnden Werten der Parameter p und q nachzeichnen, dann erhalten wir Bilder, die Mandelbrotmengen genannt werden.

Zur Frage fraktaler Färbealgorithmen.

Normalerweise wird der Körper des Sets als schwarzes Feld dargestellt, obwohl es offensichtlich ist, dass die schwarze Farbe durch jede andere ersetzt werden kann, aber dies ist auch ein uninteressantes Ergebnis. Ein Bild eines in allen Farben bemalten Sets zu erhalten, ist eine Aufgabe, die nicht mit zyklischen Operationen gelöst werden kann, da die Anzahl der Iterationen, die den Körper der Menge bilden, ist gleich der maximal möglichen und immer gleich. Färben Sie das Set ein verschiedene Farben vielleicht durch Verwendung des Ergebnisses der Überprüfung der Ausgangsbedingung aus der Schleife (z_magnitude) als Farbnummer oder ähnlich, aber mit anderen mathematischen Operationen.

Anwendung des "fraktalen Mikroskops"

Grenzphänomene aufzuzeigen.

Attraktoren sind die Zentren, die den Kampf um die Vorherrschaft auf der Ebene anführen. Zwischen den Attraktoren befindet sich eine Grenze, die ein wirbelndes Muster darstellt. Durch Erhöhen des Betrachtungsmaßstabs innerhalb der Grenzen des Satzes kann man nicht-triviale Muster erhalten, die den Zustand des deterministischen Chaos widerspiegeln – ein häufiges Phänomen in der natürlichen Welt.

Die von Geographen untersuchten Objekte bilden ein System mit sehr komplex organisierten Grenzen, in deren Zusammenhang ihre Umsetzung zu einer schwierigen praktischen Aufgabe wird. Natürliche Komplexe haben typische Kerne, die als Attraktoren wirken, die ihre Einflusskraft auf das Gebiet verlieren, wenn es sich entfernt.

Mit einem fraktalen Mikroskop für die Mandelbrot- und Julia-Mengen kann man sich unabhängig vom Betrachtungsmaßstab gleichermaßen komplexe Grenzprozesse und Phänomene ein Bild machen und so die Wahrnehmung eines Spezialisten auf eine Begegnung mit einem dynamischen und scheinbar chaotischen vorbereiten in Raum und Zeit natürliches Objekt, zum Verständnis der fraktalen Geometrie der Natur. Die Vielfarbigkeit von Farben und fraktaler Musik wird definitiv verschwinden tiefe Spur in den Köpfen der Schüler.

Tausende von Veröffentlichungen und riesige Internet-Ressourcen widmen sich Fraktalen, aber für viele Spezialisten, die weit von der Informatik entfernt sind, scheint dieser Begriff völlig neu zu sein. Fraktale, als Objekte von Interesse für Spezialisten verschiedener Wissensgebiete, sollten ihren angemessenen Platz im Studium der Informatik erhalten.

Beispiele

SIERPINSKI-GITTER

Dies ist eines der Fraktale, mit denen Mandelbrot experimentierte, als er die Konzepte fraktaler Dimensionen und Iterationen entwickelte. Dreiecke, die durch Verbinden der Mittelpunkte des größeren Dreiecks gebildet werden, werden aus dem Hauptdreieck geschnitten, um ein Dreieck mit mehr Löchern zu bilden. In diesem Fall ist der Initiator ein großes Dreieck und die Schablone ist eine Operation zum Schneiden von Dreiecken, die dem größeren ähnlich sind. Sie können auch eine 3D-Version eines Dreiecks erhalten, indem Sie einen gewöhnlichen Tetraeder verwenden und kleinere Tetraeder ausschneiden. Die Dimension eines solchen Fraktals ist ln3/ln2 = 1,584962501. Um zu bekommen Sierpinski-Teppich, nimm ein Quadrat, teile es in neun Quadrate und schneide das mittlere aus. Wir werden dasselbe mit den restlichen, kleineren Quadraten machen. Am Ende entsteht ein flaches fraktales Gitter, das keine Fläche hat, aber mit unendlichen Verbindungen. Der Sierpinski-Schwamm verwandelt sich in seiner räumlichen Form in ein System von Durchgangsformen, in dem jedes Durchgangselement ständig durch seinesgleichen ersetzt wird. Diese Struktur ist einem Schnitt durch Knochengewebe sehr ähnlich. Eines Tages werden solche sich wiederholenden Strukturen zu einem Element von Gebäudestrukturen. Ihre Statik und Dynamik verdienen laut Mandelbrot eine genaue Untersuchung.

KOCH-KURVE

Die Koch-Kurve ist eines der typischsten deterministischen Fraktale. Es wurde im neunzehnten Jahrhundert von einem deutschen Mathematiker namens Helge von Koch erfunden, der beim Studium der Arbeiten von Georg Kontor und Karl Weierstraße auf Beschreibungen einiger seltsamer Kurven mit ungewöhnlichem Verhalten stieß. Initiator - direkter Draht. Der Generator ist ein gleichseitiges Dreieck, dessen Seiten ein Drittel der Länge des größeren Segments betragen. Diese Dreiecke werden immer wieder in der Mitte jedes Segments hinzugefügt. In seiner Forschung experimentierte Mandelbrot viel mit Koch-Kurven und erhielt Figuren wie Koch-Inseln, Koch-Kreuze, Koch-Schneeflocken und sogar dreidimensionale Darstellungen der Koch-Kurve, indem er einen Tetraeder verwendete und jedem seiner Flächen kleinere Tetraeder hinzufügte. Die Koch-Kurve hat die Dimension ln4/ln3 = 1,261859507.

Fraktal Mandelbrot

Dies ist NICHT das Mandelbrot-Set, das Sie oft sehen. Das Mandelbrot-Set basiert auf nichtlinearen Gleichungen und ist ein komplexes Fraktal. Dies ist auch eine Variante der Koch-Kurve, obwohl dieses Objekt nicht so aussieht. Der Initiator und der Generator unterscheiden sich auch von denen, die verwendet werden, um Fraktale basierend auf dem Prinzip der Koch-Kurve zu erzeugen, aber die Idee bleibt die gleiche. Statt gleichseitige Dreiecke an ein Kurvensegment anzuhängen, werden Quadrate an ein Quadrat angehängt. Aufgrund der Tatsache, dass dieses Fraktal bei jeder Iteration genau die Hälfte des zugewiesenen Platzes einnimmt, hat es eine einfache fraktale Dimension von 3/2 = 1,5.

DARERS PENTAGON

Ein Fraktal sieht aus wie ein Haufen zusammengepresster Fünfecke. Tatsächlich wird es durch die Verwendung eines Fünfecks als Initiator und gleichschenkliger Dreiecke gebildet, deren Verhältnis der größten Seite zur kleinsten genau gleich dem sogenannten Goldenen Schnitt (1,618033989 oder 1/(2cos72)) als Generator ist . Diese Dreiecke werden aus der Mitte jedes Fünfecks geschnitten, was zu einer Form führt, die aussieht wie 5 kleine Fünfecke, die an ein großes geklebt sind. Eine Variante dieses Fraktals kann durch die Verwendung eines Sechsecks als Initiator erhalten werden. Dieses Fraktal wird Davidstern genannt und ist der sechseckigen Version von Kochs Schneeflocke ziemlich ähnlich. Die fraktale Dimension des Darer-Fünfecks ist ln6/ln(1+g), wobei g das Verhältnis der Länge der größeren Seite des Dreiecks zur Länge der kleineren Seite ist. In diesem Fall ist g der Goldene Schnitt, also beträgt die fraktale Dimension ungefähr 1,86171596. Die fraktale Dimension des Davidsterns ist ln6/ln3 oder 1,630929754.

Komplexe Fraktale

Wenn Sie in einen kleinen Bereich eines komplexen Fraktals hineinzoomen und dann dasselbe in einem kleinen Bereich dieses Bereichs tun, unterscheiden sich die beiden Vergrößerungen tatsächlich erheblich voneinander. Die beiden Bilder werden sich im Detail sehr ähnlich sein, aber sie werden nicht vollständig identisch sein.

Abb. 1. Approximation des Mandelbrot-Sets

Vergleichen Sie zum Beispiel die hier gezeigten Bilder des Mandelbrot-Sets, von denen eines durch Vergrößerung eines Bereichs des anderen erhalten wurde. Wie Sie sehen können, sind sie absolut nicht identisch, obwohl wir auf beiden einen schwarzen Kreis sehen, von dem aus flammende Tentakel in verschiedene Richtungen gehen. Diese Elemente wiederholen sich in der Mandelbrot-Menge unendlich oft in abnehmendem Verhältnis.

Deterministische Fraktale sind linear, komplexe Fraktale hingegen nicht. Da diese Fraktale nichtlinear sind, werden sie von dem erzeugt, was Mandelbrot als nichtlinear bezeichnete algebraische Gleichungen. Ein gutes Beispiel ist der Prozess Zn+1=Zn² + C, die Gleichung, die verwendet wird, um die Mandelbrot- und Julia-Mengen zweiten Grades zu konstruieren. Lösung dieser mathematische Gleichungen beinhaltet komplexe und imaginäre Zahlen. Interpretiert man die Gleichung grafisch in der komplexen Ebene, ergibt sich eine seltsame Figur, in der Geraden zu Kurven werden, Selbstähnlichkeitseffekte auf verschiedenen Skalenebenen auftreten, allerdings nicht ohne Verformungen. Gleichzeitig ist das Gesamtbild unberechenbar und sehr chaotisch.

Wie Sie anhand der Bilder sehen können, sind komplexe Fraktale in der Tat sehr komplex und ohne die Hilfe eines Computers unmöglich zu erstellen. Um farbenfrohe Ergebnisse zu erhalten, muss dieser Computer über einen leistungsstarken mathematischen Coprozessor und einen Monitor verfügen hohe Auflösung. Anders als deterministische Fraktale werden komplexe Fraktale nicht in 5-10 Iterationen berechnet. Fast jeder Punkt auf dem Computerbildschirm ist wie ein separates Fraktal. Zur Zeit mathematische Verarbeitung, wird jeder Punkt als separate Zahl behandelt. Jeder Punkt entspricht einem bestimmten Wert. Die Gleichung ist für jeden Punkt eingebaut und wird beispielsweise mit 1000 Iterationen durchgeführt. Um in einer für Heimcomputer akzeptablen Zeit ein relativ unverzerrtes Bild zu erhalten, können für einen Punkt 250 Iterationen durchgeführt werden.

Die meisten Fraktale, die wir heute sehen, sind wunderschön gefärbt. Vielleicht haben fraktale Bilder gerade wegen ihrer Farbgebung einen so großen ästhetischen Wert erlangt. Nachdem die Gleichung berechnet wurde, analysiert der Computer die Ergebnisse. Bleiben die Ergebnisse stabil, oder schwanken sie um bestimmter Wert, der Punkt ist normalerweise schwarz. Wenn der Wert bei dem einen oder anderen Schritt gegen unendlich geht, wird der Punkt in einer anderen Farbe gemalt, vielleicht blau oder rot. Dabei ordnet der Computer allen Bewegungsgeschwindigkeiten Farben zu.

Normalerweise werden sich schnell bewegende Punkte rot gefärbt, langsamere gelb und so weiter. Dunkle Punkte sind wahrscheinlich am stabilsten.

Komplexe Fraktale unterscheiden sich von deterministischen Fraktalen in dem Sinne, dass sie unendlich komplex sind, aber gleichzeitig durch eine sehr einfache Formel erzeugt werden können. Deterministische Fraktale brauchen keine Formeln oder Gleichungen. Nehmen Sie einfach etwas Zeichenpapier und Sie können problemlos ein Sierpinski-Sieb mit bis zu 3 oder 4 Iterationen bauen. Versuchen Sie es mit viel Julia! Es ist einfacher, die Länge der englischen Küste zu messen!

MANDERBROT-SATZ

Abb. 2. Mandelbrot-Menge

Die Mandelbrot- und die Julia-Menge sind wahrscheinlich die beiden häufigsten unter den komplexen Fraktalen. Sie sind in vielen zu finden wissenschaftliche Zeitschriften, Buchumschläge, Postkarten und Bildschirmschoner für Computer. Die Mandelbrot-Menge, die von Benoit Mandelbrot konstruiert wurde, ist wahrscheinlich die erste Assoziation, die Menschen haben, wenn sie das Wort Fraktal hören. Dieses Fraktal, das einer Karte mit leuchtenden Baum- und Kreisbereichen ähnelt, wird durch die einfache Formel Zn+1=Zna+C erzeugt, wobei Z und C komplexe Zahlen und a eine positive Zahl sind.

Die am häufigsten vorkommende Mandelbrot-Menge ist die Mandelbrot-Menge 2. Grades, also a=2. Die Tatsache, dass die Mandelbrot-Menge nicht nur Zn+1=ZnІ+C ist, sondern ein Fraktal, dessen Exponent in der Formel beliebig sein kann positive Zahl viele in die Irre geführt. Auf dieser Seite sehen Sie ein Beispiel des Mandelbrot-Sets für verschiedene Werte des Exponenten a.
Abbildung 3. Das Auftreten von Blasen bei a=3,5

Beliebt ist auch der Prozess Z=Z*tg(Z+C). Dank der Einbeziehung der Tangensfunktion erhält man das Mandelbrot-Set, umgeben von einer apfelähnlichen Fläche. Bei Verwendung der Kosinusfunktion werden Luftblaseneffekte erhalten. Kurz gesagt, es gibt unendlich viele Möglichkeiten, das Mandelbrot-Set zu optimieren, um verschiedene schöne Bilder zu erzeugen.

MULTIPLE JULIA

Überraschenderweise werden die Julia-Mengen nach der gleichen Formel wie die Mandelbrot-Menge gebildet. Die Julia-Menge wurde von dem französischen Mathematiker Gaston Julia erfunden, nach dem die Menge benannt wurde. Die erste Frage, die sich nach einer visuellen Bekanntschaft mit den Mandelbrot- und Julia-Mengen stellt, lautet: "Wenn beide Fraktale nach derselben Formel erzeugt werden, warum sind sie dann so unterschiedlich?" Schauen Sie sich zuerst die Bilder des Julia-Sets an. Seltsam genug, aber es gibt sie verschiedene Typen Julia setzt. Beim Zeichnen eines Fraktals mit unterschiedlichen Startpunkten (um den Iterationsprozess zu starten) werden unterschiedliche Bilder erzeugt. Dies gilt nur für die Julia-Menge.

Abb. 4. Julia-Menge

Obwohl es auf dem Bild nicht zu sehen ist, ist ein Mandelbrot-Fraktal eigentlich ein Bündel von Julia-Fraktalen, die miteinander verbunden sind. Jeder Punkt (oder jede Koordinate) des Mandelbrot-Sets entspricht einem Julia-Fraktal. Juliamengen können mit diesen Punkten als Anfangswerte in der Gleichung Z=ZI+C erzeugt werden. Dies bedeutet jedoch nicht, dass Sie ein Julia-Fraktal erhalten können, wenn Sie einen Punkt auf dem Mandelbrot-Fraktal auswählen und ihn erhöhen. Diese beiden Punkte sind identisch, aber nur im mathematischen Sinne. Wenn wir diesen Punkt nehmen und ihn nach dieser Formel berechnen, können wir das Julia-Fraktal erhalten, das einem bestimmten Punkt des Mandelbrot-Fraktals entspricht.

Fraktale Eigenschaften sind keine Laune und keine Frucht der müßigen Fantasie von Mathematikern. Indem wir sie studieren, lernen wir zu unterscheiden und vorherzusagen wichtige Funktionen Objekte und Phänomene, die uns umgeben, die vorher, wenn nicht völlig ignoriert, nur ungefähr, qualitativ, mit dem Auge geschätzt wurden. Durch den Vergleich der fraktalen Dimensionen von komplexen Signalen, Enzephalogrammen oder Herzgeräuschen können Ärzte beispielsweise einige schwere Krankheiten in einem frühen Stadium diagnostizieren, wenn dem Patienten noch geholfen werden kann. Außerdem kann der Analyst, der das vorherige Preisverhalten zu Beginn der Modellbildung vergleicht, seine weitere Entwicklung vorhersehen und dadurch grobe Prognosefehler vermeiden.

Unregelmäßigkeit von Fraktalen

Die erste Eigenschaft von Fraktalen ist ihre Unregelmäßigkeit. Wenn ein Fraktal durch eine Funktion beschrieben wird, dann ist die Eigenschaft der Unregelmäßigkeit in mathematische Begriffe bedeutet, dass eine solche Funktion an keiner Stelle differenzierbar, also nicht glatt ist. Das hat eigentlich den direktesten Bezug zum Markt. Preisschwankungen sind manchmal so volatil und wechselhaft, dass sie viele Trader verwirren. Unsere Aufgabe ist es, all dieses Chaos zu sortieren und in Ordnung zu bringen.

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Selbstähnlichkeit von Fraktalen

Die zweite Eigenschaft besagt, dass ein Fraktal ein Objekt ist, das die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit besitzt. Hierbei handelt es sich um ein rekursives Modell, bei dem jeder Teil in seiner Entwicklung die Entwicklung des gesamten Modells als Ganzes wiederholt und ohne sichtbare Änderungen in verschiedenen Maßstäben reproduziert wird. Es treten jedoch immer noch Veränderungen auf, die unsere Wahrnehmung des Objekts stark beeinflussen können.

Selbstähnlichkeit bedeutet, dass das Objekt keinen charakteristischen Maßstab hat: Wenn es einen solchen Maßstab hätte, würden Sie die vergrößerte Kopie des Fragments sofort vom Originalbild unterscheiden. Selbstähnliche Objekte haben unendlich viele Skalen für jeden Geschmack. Das Wesen der Selbstähnlichkeit kann durch das folgende Beispiel erklärt werden. Stellen Sie sich vor, Sie haben ein Bild einer „echten“ geometrischen Linie, „Länge ohne Breite“, wie Euklid die Linie definiert hat, und Sie spielen mit einem Freund und versuchen zu erraten, ob er Ihnen das Originalbild (Original) oder a zeigt Bild eines beliebigen Fragments einer geraden Linie. So sehr Sie sich auch bemühen, Sie werden das Original nie von der vergrößerten Kopie des Fragments unterscheiden können, die gerade Linie ist in allen Teilen gleich angeordnet, sie ist sich selbst ähnlich, aber diese bemerkenswerte Eigenschaft von ihr wird durch die unkomplizierte Struktur der Geraden selbst, ihre „Geradheit“, etwas verdeckt (Abb. 7).

Wenn Sie auch einen Schnappschuss eines Objekts nicht von einem richtig vergrößerten Schnappschuss eines seiner Fragmente unterscheiden können, dann haben Sie ein selbstähnliches Objekt. Alle Fraktale, die zumindest eine gewisse Symmetrie haben, sind selbstähnlich. Und das bedeutet, dass einige Fragmente ihrer Struktur in bestimmten räumlichen Abständen streng wiederholt werden. Offensichtlich können diese Objekte beliebiger Natur sein, und ihr Aussehen und ihre Form bleiben unabhängig vom Maßstab unverändert. Ein Beispiel für ein selbstähnliches Fraktal:

In der Finanzwelt ist dieses Konzept keine grundlose Abstraktion, sondern eine theoretische Neuformulierung einer praktischen Marktaussage – nämlich, dass die Bewegungen einer Aktie oder Währung oberflächlich ähnlich sind, unabhängig von Zeitrahmen und Preis. Der Beobachter kann es nicht sagen Aussehen Diagramm, ob sich die Daten auf wöchentliche, tägliche oder stündliche Änderungen beziehen.

Natürlich haben nicht alle Fraktale eine so regelmäßige, sich endlos wiederholende Struktur wie jene wunderbaren Exponate des zukünftigen Museums für Fraktalkunst, die der Fantasie von Mathematikern und Künstlern entsprungen sind. Viele in der Natur vorkommende Fraktale (Bruchflächen von Gesteinen und Metallen, Wolken, Währungskurse, turbulente Strömungen, Schaum, Gele, Rußpartikelkonturen etc.) weisen keine geometrische Ähnlichkeit auf, sondern reproduzieren hartnäckig die statistischen Eigenschaften des Ganzen in jedem Fragment. Fraktale mit nichtlinearer Entwicklungsform wurden von Mandelbrot als Multifraktale bezeichnet. Ein Multifraktal ist ein quasi-fraktales Objekt mit einer variablen fraktalen Dimension. Natürlich lassen sich reale Objekte und Prozesse viel besser durch Multifraktale beschreiben.

Eine solche statistische Selbstähnlichkeit oder Selbstähnlichkeit im Durchschnitt unterscheidet Fraktale in der Menge natürliche Objekte.

Betrachten Sie ein Beispiel für Selbstähnlichkeit auf Devisenmarkt:

In diesen Figuren sehen wir, dass sie ähnlich sind, obwohl sie eine andere Zeitskala haben, in Abb. und die 15-Minuten-Skala in Abb. b Wochenpreisstaffel. Wie Sie sehen können, können sich diese Zitate nicht perfekt wiederholen, wir können sie jedoch als ähnlich betrachten.

Selbst die einfachsten Fraktale – geometrisch selbstähnliche Fraktale – haben ungewöhnliche Eigenschaften. Zum Beispiel hat die von-Koch-Schneeflocke einen Umfang von unendlicher Länge, obwohl sie einen endlichen Bereich begrenzt (Abb. 9). Außerdem ist sie so stachelig, dass sie an keinem Punkt der Kontur tangiert werden kann (ein Mathematiker würde sagen, dass eine von-Koch-Schneeflocke nirgendwo differenzierbar, also an keiner Stelle glatt ist).

Mandelbrot fand heraus, dass die Ergebnisse der Teilmessung für verschiedene Grade der Verbesserung der Unregelmäßigkeit des Objekts konstant bleiben. Mit anderen Worten, für jede Unregelmäßigkeit gibt es eine Regelmäßigkeit (Korrektheit, Ordnung). Wenn wir etwas als zufällig behandeln, deutet dies darauf hin, dass wir die Natur dieser Zufälligkeit nicht verstehen. Markttechnisch bedeutet dies, dass die Bildung gleicher typischer Formationen in unterschiedlichen Zeitfenstern erfolgen muss. Ein Ein-Minuten-Chart beschreibt eine fraktale Formation genauso wie ein Monatschart. Diese „Selbstähnlichkeit“, die in den Charts der Rohstoff- und Finanzmärkte zu finden ist, zeigt alle Anzeichen dafür, dass die Aktionen des Marktes dem Verhaltensparadigma der „Natur“ näher sind als dem Verhalten der ökonomischen, fundamentalen Analyse.

In diesen Zahlen können Sie die Bestätigung des oben Gesagten finden. Links ist ein Diagramm mit Minutenskala, rechts ein Wochendiagramm. Die Währungspaare USD/Yen (Abb. 9 (a)) und Euro/Dollar (Abb. 9 (b)) sind hier mit unterschiedlichen Preisstaffeln dargestellt. Obwohl das Währungspaar JPY/USD im Vergleich zu EUR/USD eine andere Volatilität aufweist, können wir die gleiche Preisbewegungsstruktur beobachten.

fraktale Dimension

Die dritte Eigenschaft von Fraktalen ist, dass fraktale Objekte eine andere als die euklidische Dimension haben (mit anderen Worten, eine topologische Dimension). Die fraktale Dimension ist ein Maß für die Komplexität der Kurve. Durch die Analyse des Wechsels von Abschnitten mit unterschiedlichen fraktalen Dimensionen und der Beeinflussung des Systems durch externe und interne Faktoren kann man lernen, das Verhalten des Systems vorherzusagen. Und vor allem, um instabile Zustände zu diagnostizieren und vorherzusagen.

Im Arsenal der modernen Mathematik fand Mandelbrot ein bequemes quantitatives Maß für die Unvollkommenheit von Objekten - die Schlängelung der Kontur, die Faltenbildung der Oberfläche, die Brüche und Porosität des Volumens. Es wurde von zwei Mathematikern vorgeschlagen - Felix Hausdorff (1868-1942) und Abram Samoylovich Besikovich (1891-1970). Jetzt verdient sie es zu tragen herrliche Namen ihrer Schöpfer (die Hausdorff-Besikovich-Dimension) – die Hausdorff-Besikovich-Dimension. Was ist Dimension und warum brauchen wir sie in Bezug auf die Analyse von Finanzmärkten? Davor kannten wir nur eine Art von Dimension – topologische (Abb. 11). Das Wort Dimension selbst gibt an, wie viele Dimensionen ein Objekt hat. Für ein Segment, eine gerade Linie, ist es gleich 1, d.h. wir haben nur eine Dimension, nämlich die Länge eines Segments oder einer Geraden. Für eine Ebene ist die Dimension 2, da wir eine zweidimensionale Dimension haben, Länge und Breite. Für räumliche oder feste Objekte ist die Dimension 3: Länge, Breite und Höhe.

Nehmen wir das Beispiel Computerspiele. Wenn das Spiel in 3D-Grafik erstellt wird, ist es räumlich und voluminös, wenn in 2D-Grafik die Grafik auf einer Ebene angezeigt wird (Abb. 10).

Das ungewöhnlichste (genauer gesagt ungewöhnlich) an der Hausdorff-Besikovich-Dimension war, dass sie nicht nur ganze Zahlen als topologische Dimension annehmen konnte, sondern auch gebrochene Werte. Gleich eins für eine gerade Linie (unendlich, halb-unendlich oder für ein endliches Segment), nimmt die Hausdorff-Besicovitch-Dimension mit zunehmender Windung zu, während die topologische Dimension hartnäckig alle Änderungen ignoriert, die mit der Linie auftreten.

Dimension charakterisiert die Komplikation eines Satzes (z. B. eine gerade Linie). Wenn es sich um eine Kurve mit einer topologischen Dimension gleich 1 handelt (eine Gerade), dann kann die Kurve durch unendlich viele Krümmungen und Verzweigungen so kompliziert werden, dass ihre fraktale Dimension gegen zwei geht, d.h. füllt fast die gesamte Ebene aus (Abb. 12)

Durch die Erhöhung ihres Wertes verändert die Hausdorff-Besikovich-Dimension diesen nicht abrupt, wie die topologische Dimension "an ihrer Stelle" den Übergang von 1 sofort auf 2 tun würde. Die Hausdorff-Besikovich-Dimension - und das mag auf den ersten Blick ungewöhnlich erscheinen und überraschenderweise gebrochene Werte annimmt: gleich eins für eine gerade Linie, wird es 1,15 für eine leicht gewundene Linie, 1,2 für eine stärker gewundene Linie, 1,5 für eine sehr gewundene Linie und so weiter.

Um die Fähigkeit der Hausdorff-Besikovich-Dimension zu betonen, gebrochene, nicht ganzzahlige Werte anzunehmen, entwickelte Mandelbrot seinen eigenen Neologismus und nannte ihn die fraktale Dimension. Eine fraktale Dimension (nicht nur Hausdorff-Besikovich, sondern jede andere) ist also eine Dimension, die nicht unbedingt ganzzahlige Werte annehmen kann, sondern auch gebrochene.

Für lineare geometrische Fraktale charakterisiert die Dimension ihre Selbstähnlichkeit. Betrachten Sie Abb. 17(A) besteht die Linie aus N = 4 Segmenten, von denen jedes eine Länge von r = 1/3 hat. Als Ergebnis erhalten wir das Verhältnis:

D = logN/log(1/r)

Ganz anders verhält es sich, wenn wir von Multifraktalen (nicht-linear) sprechen. Hier verliert die Dimension ihre Bedeutung als Definition der Ähnlichkeit eines Objekts und wird durch diverse Verallgemeinerungen weit weniger natürlich definiert als die eindeutige Dimension selbstähnlicher Objekte.

Auf dem Devisenmarkt kann die Dimension die Volatilität von Kursnotierungen charakterisieren. Jedes Währungspaar hat sein eigenes Preisverhalten. Beim Pfund/Dollar-Paar (Abb. 13(a)) ist es ruhiger als beim Euro/Dollar (Abb. 13(b)). Das Interessanteste ist, dass sich diese Währungen mit der gleichen Struktur auf Preisniveaus bewegen, jedoch unterschiedliche Dimensionen haben, was den Intraday-Handel und Änderungen in Modellen beeinflussen kann, die sich dem ungeübten Blick entziehen.

Auf Abb. Abbildung 14 zeigt die Dimension in Bezug auf das mathematische Modell, damit Sie tiefer in die Bedeutung dieses Begriffs eindringen können. Beachten Sie, dass alle drei Abbildungen denselben Zyklus zeigen. Auf Abb. und die Dimension ist 1,2, in Abb. b, das Maß ist 1,5, und in Abb. im 1.9. Es ist ersichtlich, dass mit zunehmender Dimension die Wahrnehmung des Objekts komplizierter wird und die Amplitude der Schwingungen zunimmt.

Auf den Finanzmärkten spiegelt sich die Dimension nicht nur als Preisvolatilität wider, sondern auch als Detail von Zyklen (Wellen). Dank dessen können wir unterscheiden, ob eine Welle zu einer bestimmten Zeitskala gehört. Auf Abb. 15 zeigt das Euro/Dollar-Paar auf einer täglichen Preisskala. Passen Sie auf, Sie können den gebildeten Zyklus und den Beginn eines neuen, größeren Zyklus deutlich sehen. Wenn wir zur stündlichen Skala wechseln und einen der Zyklen vergrößern, sehen wir kleinere Zyklen und einen Teil eines großen, der sich auf D1 befindet (Abb. 16). Loop-Detaillierung, d.h. ihre Dimension erlaubt uns, aus den Ausgangsbedingungen abzuleiten, wie sich die Situation in Zukunft entwickeln kann. Wir können sagen: Die fraktale Dimension spiegelt die Skaleninvarianzeigenschaft der betrachteten Menge wider.

Das Konzept der Invarianz wurde von Mandelbrot aus dem Wort "Sealant" eingeführt - skalierbar, d.h. Wenn ein Objekt die Eigenschaft der Invarianz hat, hat es unterschiedliche Anzeigemaßstäbe.

Auf Abb. 16 Kreis A hebt einen Minizyklus (detaillierte Welle) hervor, Kreis B - eine Welle eines größeren Zyklus. Gerade wegen der Dimension können wir nicht immer ALLE Zyklen auf der gleichen Preisstaffel bestimmen.

Über die Probleme bei der Bestimmung und Entwicklung von Eigenschaften nichtperiodischer Zyklen werden wir im Abschnitt „Zyklen auf dem Devisenmarkt“ sprechen, jetzt ging es uns vor allem darum zu verstehen, wie und wo sich die Dimension auf den Finanzmärkten manifestiert.

Man kann also sagen, dass Fraktale als Modelle verwendet werden, wenn das reale Objekt nicht in Form klassischer Modelle dargestellt werden kann. Und das bedeutet, dass wir es mit nichtlinearen Beziehungen und der nichtdeterministischen (zufälligen) Natur der Daten zu tun haben. Nichtlinearität im ideologischen Sinne bedeutet die Multivarianz von Entwicklungspfaden, die Verfügbarkeit einer Wahlmöglichkeit aus alternativen Pfaden und ein bestimmtes Evolutionstempo sowie die Irreversibilität evolutionäre Prozesse. Nichtlinearität im mathematischen Sinne bedeutet bestimmte Art mathematische Gleichungen (nichtlinear Differentialgleichung) enthalten die gewünschten Werte in Potenzen größer als eins oder Koeffizienten in Abhängigkeit von den Eigenschaften des Mediums. Ein einfaches Beispiel für ein nichtlineares dynamisches System:

Johnny wächst 2 Zoll pro Jahr. Dieses System erklärt, wie sich Johnnys Größe im Laufe der Zeit verändert. Sei x(n) Johnnys Größe in diesem Jahr. Lassen Sie sein Wachstum im nächsten Jahr als x (n + 1) schreiben. Dann können wir das dynamische System in Form einer Gleichung schreiben:

x(n+1) = x(n) + 2.

Sehen? Ist es nicht einfache Mathematik? Wenn wir Johnnys aktuelle Größe x (n) = 38 Zoll eingeben, dann mit rechte Seite In der Gleichung erhalten wir Johnnys Größe im nächsten Jahr, x (n+1) = 40 Zoll:

x(n+1) = x(n) + 2 = 38 + 2 = 40.

Das Bewegen von rechts nach links in einer Gleichung wird als Iteration (Wiederholung) bezeichnet. Wir können die Gleichung noch einmal wiederholen, indem wir Johnnys neue Größe von 40 Zoll auf der richtigen Seite der Gleichung eingeben (d. h. x(n) = 40) und wir erhalten x(n+1) = 42. Wenn wir die Gleichung iterieren (wiederholen). 3 Mal bekommen wir Johnnys Körpergröße in 3 Jahren, nämlich 44 Zoll, beginnend mit einer Körpergröße von 38 Zoll.

Dies ist ein deterministisches dynamisches System. Wenn wir es nicht deterministisch (stochastisch) machen wollen, könnten wir ein Modell wie dieses erstellen: Johnny wächst mehr oder weniger 2 Zoll pro Jahr und die Gleichung schreiben als:

x(n+1) = x(n) + 2 + e

wobei e ein kleiner Fehler ist (klein relativ zu 2), eine Wahrscheinlichkeitsverteilung darstellt.

Gehen wir zurück zur ursprünglichen deterministischen Gleichung. Die ursprüngliche Gleichung x(n+1) = x(n) + 2 ist linear. Linear bedeutet, dass Sie Variablen oder Konstanten addieren oder Variablen mit Konstanten multiplizieren. Zum Beispiel die Gleichung

z(n+l) = z(n) + 5 y(n) -2 x(n)

ist linear. Aber wenn Sie die Variablen multiplizieren oder potenzieren, wird die Gleichung (das System) nichtlinear. Zum Beispiel die Gleichung

x(n+1) = x(n) 2

ist nichtlinear, weil x(n) quadriert ist. Die gleichung

ist nichtlinear, da zwei Variablen, x und y, multipliziert werden.

Wenn wir klassische Modelle (z. B. Trend, Regression usw.) anwenden, sagen wir, dass die Zukunft eines Objekts eindeutig bestimmt ist, d.h. hängt ganz von den Ausgangsbedingungen ab und ist einer klaren Prognose zugänglich. Sie können eines dieser Modelle in Excel unabhängig ausführen. Beispiel klassisches Modell kann als stetig abnehmender oder zunehmender Trend dargestellt werden. Und wir können sein Verhalten vorhersagen, indem wir die Vergangenheit des Objekts kennen (die Ausgangsdaten für die Modellierung). Und Fraktale werden verwendet, wenn das Objekt mehrere Entwicklungsmöglichkeiten hat und der Zustand des Systems durch die Position bestimmt wird, an der es sich gerade befindet. Das heißt, wir versuchen, eine chaotische Entwicklung zu simulieren. Dieses System ist der Interbanken-Devisenmarkt.

Betrachten wir nun, wie man aus einer geraden Linie das erhalten kann, was wir ein Fraktal nennen, mit seinen inhärenten Eigenschaften.

Auf Abb. 17(A) zeigt die Koch-Kurve. Nehmen Sie ein Liniensegment, seine Länge = 1, d.h. immer noch eine topologische Dimension. Jetzt teilen wir es in drei Teile (jeweils 1/3 der Länge) und entfernen das mittlere Drittel. Aber wir ersetzen das mittlere Drittel durch zwei Segmente (jeweils 1/3 der Länge), die sich als zwei Seiten eines gleichseitigen Dreiecks darstellen lassen. Dies ist Stufe zwei (b) des in Abb. 1 dargestellten Designs. 17(A). An dieser Stelle haben wir 4 kleinere Teile, jeder 1/3 der Länge, also ist die Gesamtlänge 4(1/3) = 4/3. Wir wiederholen diesen Vorgang dann für jeden der 4 kleineren Lappen der Linie. Dies ist Stufe drei (c). Dadurch erhalten wir 16 noch kleinere Liniensegmente, jedes 1/9 der Länge. Die Gesamtlänge ist also jetzt 16/9 oder (4/3) 2 . Als Ergebnis haben wir eine gebrochene Dimension. Aber nicht nur das unterscheidet die entstehende Struktur von einer geraden Linie. Es ist selbstähnlich geworden und es ist unmöglich, an jedem seiner Punkte eine Tangente zu ziehen (Abb. 17 (B)).

Inhalt

Die genialsten Entdeckungen in der Wissenschaft können sich radikal verändern Menschenleben. Der erfundene Impfstoff kann Millionen von Menschen retten, die Herstellung von Waffen hingegen kostet diese Menschen das Leben. In jüngerer Zeit (im Maßstab menschliche Evolution) haben wir gelernt, Strom zu „zähmen“ – und können uns das Leben ohne all diese praktischen Geräte, die Strom nutzen, nicht mehr vorstellen. Aber es gibt auch Entdeckungen, denen nur wenige Menschen Bedeutung beimessen, obwohl sie unser Leben ebenfalls stark beeinflussen.

Eine dieser „unmerklichen“ Entdeckungen sind Fraktale. Sie haben dieses griffige Wort wahrscheinlich schon einmal gehört, aber wissen Sie, was es bedeutet und wie viel Interessantes sich in diesem Begriff verbirgt?

Jeder Mensch hat eine natürliche Neugier, den Wunsch, etwas über die Welt um ihn herum zu lernen. Und bei diesem Streben versucht eine Person, sich in Urteilen an die Logik zu halten. Er analysiert die um ihn herum stattfindenden Prozesse und versucht, die Logik des Geschehens zu finden und eine gewisse Regelmäßigkeit abzuleiten. Mit dieser Aufgabe sind die größten Köpfe der Welt beschäftigt. Grob gesagt suchen Wissenschaftler nach einem Muster, wo es nicht sein sollte. Trotzdem kann man auch im Chaos eine Verbindung zwischen Ereignissen finden. Und diese Verbindung ist ein Fraktal.

Unsere kleine Tochter, viereinhalb Jahre alt, ist jetzt in diesem wunderbaren Alter, in dem die vielen Fragen „Warum? um ein Vielfaches größer als die Anzahl der Antworten, für die Erwachsene Zeit haben. Als meine Tochter vor nicht allzu langer Zeit einen vom Boden aufgerichteten Ast betrachtete, bemerkte sie plötzlich, dass dieser Ast mit Ästen und Ästen selbst wie ein Baum aussah. Und natürlich folgte die übliche Frage „Warum?“, für die die Eltern nach einer einfachen, für das Kind verständlichen Erklärung suchen mussten.

Die von einem Kind entdeckte Ähnlichkeit eines einzelnen Astes mit einem ganzen Baum ist eine sehr zutreffende Beobachtung, die einmal mehr das Prinzip der rekursiven Selbstähnlichkeit in der Natur bezeugt. Sehr viele organische und anorganische Formen in der Natur werden ähnlich gebildet. Wolken, Muscheln, das "Haus einer Schnecke", die Rinde und Krone von Bäumen, Kreislauf und so weiter - die zufälligen Formen all dieser Objekte können durch den fraktalen Algorithmus beschrieben werden.

⇡ Benoit Mandelbrot: der Vater der fraktalen Geometrie

Das Wort "Fraktal" selbst ist dank des brillanten Wissenschaftlers Benoît B. Mandelbrot entstanden.

Er hat den Begriff in den 1970er Jahren selbst geprägt und das Wort fractus aus dem Lateinischen entlehnt, wo es wörtlich „gebrochen“ oder „zerquetscht“ bedeutet. Was ist es? Heutzutage wird das Wort "Fraktal" am häufigsten verwendet, um eine grafische Darstellung einer Struktur zu bezeichnen, die sich selbst in einem größeren Maßstab ähnlich ist.

Die mathematische Grundlage für die Entstehung der Fraktaltheorie wurde viele Jahre vor der Geburt von Benoit Mandelbrot gelegt, aber sie konnte sich erst mit dem Aufkommen von Computergeräten entwickeln. Zu Beginn seiner wissenschaftlichen Laufbahn arbeitete Benoit im Forschungszentrum von IBM. Damals arbeiteten die Mitarbeiter des Zentrums an der Datenfernübertragung. Im Zuge der Forschung sahen sich die Wissenschaftler mit dem Problem großer Verluste durch Störgeräusche konfrontiert. Vor Benois stand ein Komplex und sehr wichtige Aufgabe- verstehen, wie das Auftreten von Rauschstörungen in elektronischen Schaltungen vorhergesagt werden kann, wenn die statistische Methode unwirksam ist.

Beim Durchsehen der Ergebnisse der Rauschmessungen machte Mandelbrot auf ein seltsames Muster aufmerksam - die Rauschdiagramme in verschiedenen Maßstäben sahen gleich aus. Ein identisches Muster wurde beobachtet, unabhängig davon, ob es sich um eine Rauschkurve für einen Tag, eine Woche oder eine Stunde handelte. Es hat sich gelohnt, den Maßstab der Grafik zu ändern, und das Bild wurde jedes Mal wiederholt.

Bei Benoits Leben Mandelbrot hat immer wieder gesagt, dass er sich nicht mit Formeln beschäftigt, sondern einfach mit Bildern spielt. Dieser Mann dachte sehr bildlich, und jeder algebraisches Problem in die Geometrie übersetzt, wo die richtige Antwort seiner Meinung nach immer auf der Hand liegt.

Es ist nicht verwunderlich, dass ein Mann mit einem so reichen räumlichen Vorstellungsvermögen zum Vater der fraktalen Geometrie wurde. Schließlich kommt die Erkenntnis der Essenz von Fraktalen genau dann, wenn Sie anfangen, Zeichnungen zu studieren und über die Bedeutung seltsamer Wirbelmuster nachzudenken.

Ein fraktales Muster hat keine identischen Elemente, ist aber in jedem Maßstab ähnlich. Erstellen Sie dieses Bild mit ein hohes Maß Eine manuelle Detaillierung war bisher einfach unmöglich, es erforderte eine enorme Menge an Berechnungen. Zum Beispiel, Französischer Mathematiker Pierre Joseph Louis Fatou beschrieb dieses Set mehr als siebzig Jahre vor der Entdeckung von Benoit Mandelbrot. Wenn wir über die Prinzipien der Selbstähnlichkeit sprechen, dann wurden sie in den Werken von Leibniz und Georg Cantor erwähnt.

Eine der ersten Zeichnungen eines Fraktals war eine grafische Interpretation der Mandelbrot-Menge, die aus der Forschung von Gaston Maurice Julia hervorgegangen ist.

Gaston Julia (immer maskiert - WWI-Verletzung)

Dieser französische Mathematiker fragte sich, wie eine Menge aussehen würde, wenn sie aus einer einfachen Formel konstruiert wäre, die durch eine Rückkopplungsschleife iteriert wird. Wenn es „an den Fingern“ erklärt wird, bedeutet dies, dass wir für eine bestimmte Zahl mithilfe der Formel einen neuen Wert finden, ihn dann wieder in die Formel einsetzen und einen anderen Wert erhalten. Das Ergebnis ist eine große Folge von Zahlen.

Um sich ein vollständiges Bild von einem solchen Satz zu machen, müssen Sie eine Vielzahl von Berechnungen durchführen - Hunderte, Tausende, Millionen. Es war einfach unmöglich, es manuell zu tun. Aber als den Mathematikern leistungsfähige Rechengeräte zur Verfügung standen, konnten sie einen neuen Blick auf Formeln und Ausdrücke werfen, die schon lange von Interesse waren. Mandelbrot war der erste, der einen Computer benutzte, um das klassische Fraktal zu berechnen. Nachdem er eine Folge verarbeitet hatte, die aus einer großen Anzahl von Werten bestand, übertrug Benoit die Ergebnisse in einen Graphen. Hier ist, was er hat.

Anschließend wurde dieses Bild gefärbt (eine der Möglichkeiten zum Färben ist beispielsweise die Anzahl der Iterationen) und wurde zu einem der beliebtesten Bilder, die jemals von Menschen geschaffen wurden.

Wie das alte Sprichwort, das Heraklit von Ephesus zugeschrieben wird, sagt: „Du kannst nicht zweimal in denselben Fluss steigen.“ Es ist am besten geeignet, um die Geometrie von Fraktalen zu interpretieren. Egal wie detailliert wir ein Fraktalbild untersuchen, wir werden immer ein ähnliches Muster sehen.

Wer sehen möchte, wie ein Bild des Mandelbrot-Raums aussehen würde, wenn es um ein Vielfaches vergrößert wird, kann dies tun, indem er ein animiertes GIF hochlädt.

⇡ Lauren Carpenter: von der Natur geschaffene Kunst

Die Theorie der Fraktale fand bald praktische Anwendung. Da es eng mit der Visualisierung selbstähnlicher Bilder verbunden ist, überrascht es nicht, dass die ersten, die sich Algorithmen und Prinzipien zur Konstruktion ungewöhnlicher Formen zu eigen machten, Künstler waren.

Der spätere Mitbegründer des legendären Pixar-Studios, Loren C. Carpenter, begann 1967 bei Boeing Computer Services zu arbeiten, einer der Abteilungen des bekannten Konzerns, die sich mit der Entwicklung neuer Flugzeuge beschäftigte.

1977 erstellte er Präsentationen mit Prototypen von Flugmodellen. Lauren war für die Entwicklung von Bildern des zu entwerfenden Flugzeugs verantwortlich. Er sollte Bilder von neuen Modellen erstellen, die zukünftige Flugzeuge mit zeigen verschiedene Seiten. Irgendwann hatte der spätere Gründer der Pixar Animation Studios die kreative Idee, ein Bild von Bergen als Hintergrund zu verwenden. Heute kann jedes Schulkind ein solches Problem lösen, aber Ende der siebziger Jahre des letzten Jahrhunderts konnten Computer solche komplexen Berechnungen nicht bewältigen - es gab keine grafischen Editoren, geschweige denn Anwendungen für dreidimensionale Grafiken. 1978 sah Lauren zufällig Benoit Mandelbrots Buch Fractals: Form, Randomness and Dimension in einem Geschäft. Was seine Aufmerksamkeit in diesem Buch erregte, war, dass Benoist viele Beispiele fraktaler Formen in gab wahres Leben und bewiesen, dass sie durch einen mathematischen Ausdruck beschrieben werden können.

Diese Analogie wurde vom Mathematiker nicht zufällig gewählt. Tatsache ist, dass er sich, sobald er seine Forschungen veröffentlichte, einer ganzen Flut von Kritik stellen musste. Die Hauptsache, die ihm seine Kollegen vorwarfen, war die Nutzlosigkeit der entwickelten Theorie. „Ja“, sagten sie, „das sind schöne Bilder, aber nicht mehr. praktischer Wert die Theorie der Fraktale hat es nicht. Es gab auch diejenigen, die im Allgemeinen glaubten, dass Fraktalmuster einfach ein Nebenprodukt der Arbeit von „Teufelsmaschinen“ seien, die vielen Ende der siebziger Jahre als etwas zu Kompliziertes und Unerforschtes erschienen, um vollständig vertrauenswürdig zu sein. Mandelbrot versuchte, eine offensichtliche Anwendung der Fraktaltheorie zu finden, aber im Großen und Ganzen war dies nicht nötig. Die Anhänger von Benoit Mandelbrot haben sich in den nächsten 25 Jahren bewährt großer Vorteil aus solch einer "mathematischen Kuriosität", und Lauren Carpenter war eine der ersten, die die fraktale Methode in die Praxis umsetzte.

Nachdem er das Buch studiert hatte, studierte der zukünftige Animator ernsthaft die Prinzipien der fraktalen Geometrie und begann nach einer Möglichkeit zu suchen, sie in Computergrafik zu implementieren. In nur drei Arbeitstagen konnte Lauren ein realistisches Bild rendern. Gebirgssystem auf deinem Computer. Mit anderen Worten, er malte mit Hilfe von Formeln eine vollständig erkennbare Berglandschaft.

Das Prinzip, das Lauren benutzte, um ihr Ziel zu erreichen, war sehr einfach. Es bestand darin, eine größere geometrische Figur in kleine Elemente zu unterteilen, und diese wiederum wurden in ähnliche Figuren kleinerer Größe unterteilt.

Carpenter zerlegte größere Dreiecke in vier kleinere und wiederholte diesen Vorgang immer wieder, bis er eine realistische Berglandschaft hatte. So gelang es ihm, als erster Künstler einen fraktalen Algorithmus in der Computergrafik zu verwenden, um Bilder zu erstellen. Sobald die geleistete Arbeit bekannt wurde, griffen Enthusiasten auf der ganzen Welt diese Idee auf und begannen, den fraktalen Algorithmus zu verwenden, um realistische natürliche Formen zu simulieren.

Eines der ersten 3D-Renderings, das den Fraktal-Algorithmus verwendet

Nur wenige Jahre später konnte Lauren Carpenter seine Errungenschaften in einem viel größeren Projekt anwenden. Der Animator basierte sie auf einer zweiminütigen Demo, Vol Libre, die 1980 auf Siggraph gezeigt wurde. Dieses Video schockierte alle, die es sahen, und Lauren erhielt eine Einladung von Lucasfilm.

Die Animation wurde auf einem VAX-11/780-Computer von Digital Equipment Corporation mit einer Taktrate von fünf Megahertz gerendert, und jedes Bild dauerte ungefähr eine halbe Stunde zum Zeichnen.

Der Animator arbeitete für Lucasfilm Limited und erstellte die gleichen 3D-Landschaften für den zweiten Spielfilm der Star-Trek-Saga. In The Wrath of Khan war Carpenter in der Lage, einen ganzen Planeten mit dem gleichen Prinzip der fraktalen Oberflächenmodellierung zu erschaffen.

Derzeit verwenden alle gängigen Anwendungen zum Erstellen von 3D-Landschaften dasselbe Prinzip zum Erzeugen natürlicher Objekte. Terragen, Bryce, Vue und andere 3D-Editoren verlassen sich auf einen fraktalen Oberflächen- und Texturmodellierungsalgorithmus.

⇡ Fraktale Antennen: Weniger ist besser, aber besser

Im letzten halben Jahrhundert hat sich das Leben schnell verändert. Die meisten von uns nehmen die Fortschritte in der modernen Technologie als selbstverständlich hin. An alles, was das Leben angenehmer macht, gewöhnt man sich sehr schnell. Selten stellt sich jemand die Frage „Wo kommt das her?“ und wie funktioniert es?". Ein Mikrowellenherd wärmt das Frühstück auf - na toll, ein Smartphone ermöglicht es Ihnen, mit einer anderen Person zu sprechen - großartig. Dies scheint uns eine naheliegende Möglichkeit zu sein.

Aber das Leben könnte völlig anders sein, wenn eine Person nicht nach einer Erklärung für die stattfindenden Ereignisse suchen würde. Nehmen wir zum Beispiel Handys. Erinnern Sie sich an die einziehbaren Antennen der ersten Modelle? Sie mischten sich ein, vergrößerten das Gerät und gingen am Ende oft kaputt. Wir glauben, dass sie für immer in Vergessenheit geraten sind, und teilweise deshalb ... Fraktale.

Fraktale Zeichnungen faszinieren mit ihren Mustern. Sie ähneln definitiv Bildern von Weltraumobjekten - Nebeln, Galaxienhaufen und so weiter. Daher ist es ganz natürlich, dass, als Mandelbrot seine Theorie der Fraktale vorstellte, seine Forschung erhöhtes Interesse unter denen weckte, die sich mit Astronomie befassten. Ein solcher Laie namens Nathan Cohen war nach dem Besuch eines Vortrags von Benoit Mandelbrot in Budapest von der Idee der praktischen Anwendung der gewonnenen Erkenntnisse begeistert. Er tat es zwar intuitiv, und der Zufall spielte bei seiner Entdeckung eine wichtige Rolle. Als Funkamateur war Nathan bestrebt, eine Antenne mit höchstmöglicher Empfindlichkeit zu entwickeln.

Die einzige Möglichkeit, die Parameter der damals bekannten Antenne zu verbessern, bestand darin, ihre geometrischen Abmessungen zu vergrößern. Der Eigentümer der Wohnung in der Innenstadt von Boston, die Nathan gemietet hatte, war jedoch entschieden dagegen, große Geräte auf dem Dach zu installieren. Dann begann Nathan mit verschiedenen Antennenformen zu experimentieren und versuchte, mit minimaler Größe das maximale Ergebnis zu erzielen. Nachdem Cohen mit der Idee fraktaler Formen Feuer gefangen hatte, machte er, wie man so sagt, zufällig eines der berühmtesten Fraktale aus Draht - die „Koch-Schneeflocke“. Der schwedische Mathematiker Helge von Koch hat diese Kurve bereits 1904 erfunden. Es wird erhalten, indem das Segment in drei Teile geteilt wird und das mittlere Segment durch ein gleichseitiges Dreieck ersetzt wird, dessen Seite nicht mit diesem Segment zusammenfällt. Die Definition ist etwas schwer zu verstehen, aber die Abbildung ist klar und einfach.

Es gibt auch andere Varianten der "Koch-Kurve", aber die ungefähre Form der Kurve bleibt ähnlich

Als Nathan die Antenne an den Funkempfänger anschloss, war er sehr überrascht – die Empfindlichkeit stieg dramatisch an. Nach einer Reihe von Experimenten erkannte der zukünftige Professor an der Boston University, dass eine nach einem fraktalen Muster hergestellte Antenne einen hohen Wirkungsgrad hat und im Vergleich zu klassischen Lösungen einen viel größeren Frequenzbereich abdeckt. Zudem kann die Form der Antenne in Form einer fraktalen Kurve die geometrischen Abmessungen deutlich reduzieren. Nathan Cohen hat sogar ein Theorem entwickelt, das beweist, dass es zur Herstellung einer Breitbandantenne ausreicht, ihr die Form einer selbstähnlichen fraktalen Kurve zu geben.

Der Autor ließ seine Entdeckung patentieren und gründete eine Firma für die Entwicklung und das Design fraktaler Antennen Fractal Antenna Systems, in der zu Recht glauben, dass Mobiltelefone dank seiner Entdeckung in Zukunft in der Lage sein werden, sperrige Antennen loszuwerden und kompakter zu werden.

Im Grunde ist das passiert. Natürlich befindet sich Nathan bis heute in einem Rechtsstreit mit großen Unternehmen, die seine Entdeckung illegal nutzen, um kompakte Kommunikationsgeräte herzustellen. Einige namhafte Hersteller mobile Geräte, wie Motorola, haben bereits ein Friedensabkommen mit dem Erfinder der fraktalen Antenne geschlossen.

⇡ Fraktale Dimensionen: Der Verstand versteht nicht

Benoit hat diese Frage von dem berühmten amerikanischen Wissenschaftler Edward Kasner entlehnt.

Letzterer unterhielt sich wie viele andere berühmte Mathematiker sehr gerne mit Kindern, stellte ihnen Fragen und erhielt unerwartete Antworten. Manchmal führte dies zu überraschenden Ergebnissen. So kam beispielsweise der neunjährige Neffe von Edward Kasner auf das heute bekannte Wort „googol“, das eine Einheit mit hundert Nullen bezeichnet. Aber zurück zu den Fraktalen. Der amerikanische Mathematiker fragte gern, wie lang die US-Küstenlinie ist. Nachdem er sich die Meinung des Gesprächspartners angehört hatte, sprach Edward selbst die richtige Antwort. Wenn Sie die Länge auf der Karte mit unterbrochenen Segmenten messen, ist das Ergebnis ungenau, da die Küste viele Unregelmäßigkeiten aufweist. Und was passiert, wenn man möglichst genau misst? Sie müssen die Länge jeder Unebenheit berücksichtigen - Sie müssen jedes Kap, jede Bucht, jeden Felsen, die Länge eines Felsvorsprungs, einen Stein darauf, ein Sandkorn, ein Atom und so weiter messen. Da die Anzahl der Unregelmäßigkeiten gegen unendlich tendiert, wird die gemessene Länge der Küstenlinie mit jeder neuen Unregelmäßigkeit ins Unendliche zunehmen.

Je kleiner das Maß beim Messen, desto größer die gemessene Länge

Interessanterweise waren die Kinder viel schneller als die Erwachsenen, wenn sie Edwards Aufforderungen folgten, die richtige Antwort zu sagen, während letztere Schwierigkeiten hatten, eine so unglaubliche Antwort zu akzeptieren.

Am Beispiel dieses Problems schlug Mandelbrot vor, einen neuen Messansatz zu verwenden. Da die Küstenlinie einer fraktalen Kurve nahe kommt, bedeutet dies, dass ein charakterisierender Parameter, die sogenannte fraktale Dimension, darauf angewendet werden kann.

Was das übliche Maß ist, ist jedem klar. Wenn die Dimension gleich eins ist, erhalten wir eine gerade Linie, wenn zwei - flache Figur, drei ist das Volumen. Dieses Verständnis von Dimension in der Mathematik funktioniert jedoch nicht mit fraktalen Kurven, wo dieser Parameter vorhanden ist Bruchwert. Die fraktale Dimension in der Mathematik kann bedingt als "Rauheit" betrachtet werden. Je höher die Rauhigkeit der Kurve, desto größer ihre fraktale Dimension. Eine Kurve, die nach Mandelbrot eine fraktale Dimension hat, die höher ist als ihre topologische Dimension, hat eine ungefähre Länge, die nicht von der Anzahl der Dimensionen abhängt.

Derzeit finden Wissenschaftler immer mehr Bereiche für die Anwendung der Fraktaltheorie. Mit Hilfe von Fraktalen können Sie Schwankungen von Aktienkursen analysieren, alle Arten von natürlichen Prozessen untersuchen, wie z. B. Schwankungen in der Artenzahl, oder die Dynamik von Strömungen simulieren. Fraktale Algorithmen können zur Datenkomprimierung verwendet werden, beispielsweise zur Bildkomprimierung. Übrigens, um ein schönes Fraktal auf Ihren Computerbildschirm zu bekommen, müssen Sie keinen Doktortitel haben.

⇡ Fraktal im Browser

Eine der vielleicht einfachsten Möglichkeiten, ein Fraktalmuster zu erhalten, ist die Verwendung des Online-Vektoreditors des jungen talentierten Programmierers Toby Schachman. Das Toolkit dieses einfachen grafischen Editors basiert auf dem gleichen Prinzip der Selbstähnlichkeit.

Es stehen Ihnen nur zwei einfache Formen zur Verfügung - ein Quadrat und ein Kreis. Sie können sie der Leinwand hinzufügen, skalieren (um entlang einer der Achsen zu skalieren, halten Sie die Umschalttaste gedrückt) und drehen. In Anlehnung an das Prinzip der Booleschen Additionsoperationen bilden diese einfachsten Elemente neue, weniger triviale Formen. Darüber hinaus können diese neuen Formulare dem Projekt hinzugefügt werden, und das Programm wiederholt die Generierung dieser Bilder auf unbestimmte Zeit. In jeder Phase der Arbeit an einem Fraktal können Sie zu jeder Komponente einer komplexen Form zurückkehren und ihre Position und Geometrie bearbeiten. Faszinierende Tätigkeit, vor allem wenn man bedenkt, dass das einzige Werkzeug, das man braucht, um kreativ zu sein, ein Browser ist. Wenn Sie das Prinzip der Arbeit mit diesem rekursiven Vektoreditor nicht verstehen, empfehlen wir Ihnen, sich das Video auf der offiziellen Website des Projekts anzusehen, das den gesamten Prozess der Erstellung eines Fraktals detailliert zeigt.

⇡ XaoS: Fraktale für jeden Geschmack

Viele Grafikeditoren verfügen über integrierte Tools zum Erstellen von Fraktalmustern. Diese Werkzeuge sind jedoch normalerweise sekundär und ermöglichen Ihnen keine Feinabstimmung des generierten Fraktalmusters. In Fällen, in denen es notwendig ist, ein mathematisch genaues Fraktal zu erstellen, kommt der plattformübergreifende XaoS-Editor zur Rettung. Dieses Programm ermöglicht es nicht nur, ein selbstähnliches Bild zu erstellen, sondern auch verschiedene Manipulationen damit durchzuführen. Beispielsweise können Sie in Echtzeit durch ein Fraktal „gehen“, indem Sie seine Skalierung ändern. Animierte Bewegungen entlang eines Fraktals können als XAF-Datei gespeichert und dann im Programm selbst abgespielt werden.

XaoS kann einen zufälligen Satz von Parametern laden sowie verschiedene Bildnachbearbeitungsfilter verwenden - einen unscharfen Bewegungseffekt hinzufügen, scharfe Übergänge zwischen fraktalen Punkten glätten, ein 3D-Bild simulieren und so weiter.

⇡ Fractal Zoomer: kompakter Fraktalgenerator

Im Vergleich zu anderen Fraktalbildgeneratoren hat es mehrere Vorteile. Erstens ist es ziemlich klein und erfordert keine Installation. Zweitens implementiert es die Fähigkeit, die Farbpalette des Bildes zu definieren. Sie können Farbtöne in RGB-, CMYK-, HVS- und HSL-Farbmodellen auswählen.

Sehr komfortabel ist auch die Möglichkeit der zufälligen Auswahl von Farbtönen und die Funktion zum Invertieren aller Farben im Bild. Um die Farbe anzupassen, gibt es eine Funktion zur zyklischen Auswahl von Farbtönen - wenn der entsprechende Modus eingeschaltet ist, animiert das Programm das Bild und ändert zyklisch die Farben darauf.

Fractal Zoomer kann 85 verschiedene Fraktalfunktionen visualisieren, und Formeln werden deutlich im Programmmenü angezeigt. Es gibt Filter für die Nachbearbeitung von Bildern im Programm, wenn auch in geringer Menge. Jeder zugewiesene Filter kann jederzeit aufgehoben werden.

⇡ Mandelbulb3D: 3D-Fraktal-Editor

Wenn der Begriff "Fraktal" verwendet wird, bedeutet dies meistens ein flaches zweidimensionales Bild. Die fraktale Geometrie geht jedoch über die 2D-Dimension hinaus. In der Natur findet man sowohl Beispiele für flache fraktale Formen, beispielsweise die Geometrie von Blitzen, als auch für dreidimensionale dreidimensionale Figuren. Fraktale Oberflächen können 3D sein, und eine der sehr anschaulichen Illustrationen von 3D-Fraktalen in Alltagsleben- Kohlkopf. Die vielleicht beste Art, Fraktale zu sehen, ist in Romanesco, einer Mischung aus Blumenkohl und Brokkoli.

Und dieses Fraktal kann gegessen werden

Das Programm Mandelbulb3D kann dreidimensionale Objekte mit ähnlicher Form erstellen. Um eine 3D-Oberfläche unter Verwendung des Fraktalalgorithmus zu erhalten, konvertierten die Autoren dieser Anwendung, Daniel White und Paul Nylander, die Mandelbrot-Menge in sphärische Koordinaten. Das von ihnen erstellte Mandelbulb3D-Programm ist ein echter dreidimensionaler Editor, der fraktale Oberflächen verschiedener Formen modelliert. Da wir häufig fraktale Muster in der Natur beobachten, erscheint ein künstlich erzeugtes fraktales dreidimensionales Objekt unglaublich realistisch und sogar „lebendig“.

Es kann wie eine Pflanze aussehen, es kann einem seltsamen Tier, einem Planeten oder etwas anderem ähneln. Dieser Effekt wird durch einen fortschrittlichen Rendering-Algorithmus verstärkt, der es ermöglicht, realistische Reflexionen zu erhalten, Transparenz und Schatten zu berechnen, den Effekt der Schärfentiefe zu simulieren und so weiter. Mandelbulb3D hat eine riesige Menge an Einstellungen und Rendering-Optionen. Sie können die Schattierungen von Lichtquellen steuern, den Hintergrund und den Detaillierungsgrad des modellierten Objekts auswählen.

Der Incendia-Fraktaleditor unterstützt die Doppelbildglättung, enthält eine Bibliothek mit fünfzig verschiedenen dreidimensionalen Fraktalen und verfügt über ein separates Modul zum Bearbeiten von Grundformen.

Die Anwendung nutzt Fractal Scripting, mit dem Sie eigenständig neuartige fraktale Strukturen beschreiben können. Incendia verfügt über Textur- und Materialeditoren sowie eine Rendering-Engine, mit der Sie volumetrische Nebeleffekte und verschiedene Shader verwenden können. Das Programm verfügt über eine Option zum Speichern des Puffers während des Langzeit-Renderings, die Animationserstellung wird unterstützt.

Mit Incendia können Sie ein Fraktalmodell in gängige 3D-Grafikformate exportieren - OBJ und STL. Incendia enthält ein kleines Geometrica-Hilfsprogramm - ein spezielles Werkzeug zum Einrichten des Exports einer fraktalen Oberfläche in ein dreidimensionales Modell. Mit diesem Dienstprogramm können Sie die Auflösung einer 3D-Oberfläche bestimmen und die Anzahl der fraktalen Iterationen angeben. Exportierte Modelle können in 3D-Projekten verwendet werden, wenn Sie damit arbeiten 3D-Editoren, wie Blender, 3ds max und andere.

BEI In letzter Zeit Die Arbeiten am Incendia-Projekt haben sich etwas verlangsamt. Derzeit sucht der Autor nach Sponsoren, die ihn bei der Entwicklung des Programms unterstützen.

Wenn Sie nicht genug Fantasie haben, um in diesem Programm ein schönes dreidimensionales Fraktal zu zeichnen, macht das nichts. Verwenden Sie die Parameterbibliothek, die sich im Ordner INCENDIA_EX\parameters befindet. Mit Hilfe von PAR-Dateien können Sie schnell die ungewöhnlichsten fraktalen Formen finden, einschließlich animierter.

⇡ Aural: wie Fraktale singen

Wir sprechen normalerweise nicht von Projekten, an denen gerade gearbeitet wird, aber in diesem Fall müssen wir eine Ausnahme machen, dies ist eine sehr ungewöhnliche Anwendung. Ein Projekt namens Aural entstand mit der gleichen Person wie Incendia. Allerdings visualisiert das Programm dieses Mal nicht das fraktale Set, sondern bringt es zum Ausdruck und verwandelt es in elektronische Musik. Die Idee ist sehr interessant, besonders wenn man die ungewöhnlichen Eigenschaften von Fraktalen betrachtet. Aural ist ein Audio-Editor, der Melodien mit fraktalen Algorithmen erzeugt, d. h. eigentlich ein Audio-Synthesizer-Sequenzer.

Die von diesem Programm ausgegebene Tonfolge ist ungewöhnlich und ... schön. Es kann durchaus nützlich sein, um moderne Rhythmen zu schreiben, und eignet sich unserer Meinung nach besonders gut zum Erstellen von Soundtracks für TV- und Radio-Bildschirmschoner sowie "Loops". Hintergrundmusik zu Computerspiele. Ramiro hat noch keine Demo seines Programms zur Verfügung gestellt, verspricht aber, dass er dann, um mit Aural zu arbeiten, nicht die Theorie der Fraktale lernen muss – sondern einfach mit den Parametern des Algorithmus zur Generierung einer Tonfolge spielen muss . Hören Sie, wie Fraktale klingen, und.

Fraktale: musikalische Pause

Tatsächlich können Fraktale helfen, Musik auch ohne Software zu schreiben. Das kann aber nur jemand, der wirklich von der Idee der natürlichen Harmonie besessen ist und gleichzeitig nicht zum unglücklichen „Nerd“ geworden ist. Es ist sinnvoll, sich an einem Musiker namens Jonathan Coulton zu orientieren, der unter anderem Kompositionen für das Magazin Popular Science schreibt. Und im Gegensatz zu anderen Künstlern veröffentlicht Colton alle seine Werke unter einer Creative Commons Attribution-Noncommercial-Lizenz, die (bei Verwendung für nichtkommerzielle Zwecke) das kostenlose Kopieren, Verteilen, Übertragen von Werken an andere sowie deren Änderung (Erstellung von abgeleiteten Werken), um es an Ihre Bedürfnisse anzupassen.

Jonathan Colton hat natürlich ein Lied über Fraktale.

⇡ Fazit

In allem, was uns umgibt, sehen wir oft Chaos, aber in Wirklichkeit ist dies kein Zufall, sondern Perfekte Form, welche Fraktale uns zu sehen helfen. Die Natur ist der beste Architekt, der ideale Baumeister und Ingenieur. Es ist sehr logisch angeordnet, und wenn wir irgendwo keine Muster sehen, bedeutet dies, dass wir es in einem anderen Maßstab suchen müssen. Die Menschen verstehen das immer besser und versuchen, es in vielerlei Hinsicht nachzuahmen natürliche Formen. Ingenieure entwerfen akustische Systeme in Form einer Muschel, erstellen Sie Antennen mit der Geometrie von Schneeflocken und so weiter. Wir sind sicher, dass Fraktale noch viele Geheimnisse bergen, und viele davon müssen noch vom Menschen entdeckt werden.

Die Redakteure von NNN stolperten versehentlich über ein very interessantes Zeug, präsentiert im Blog des Benutzers xtsarx, gewidmet den Elementen der Theorie Fraktale und sie praktische Anwendung. Bekanntlich spielt die Theorie der Fraktale eine wichtige Rolle in der Physik und Chemie von Nanosystemen. Nachdem wir unseren Beitrag zu diesem soliden Material geleistet haben, das in einer Sprache präsentiert wird, die einem breiten Leserkreis zugänglich ist und durch eine Fülle von Grafik- und sogar Videomaterial unterstützt wird, präsentieren wir es Ihnen. Wir hoffen, dass NNN-Leser dieses Material interessant finden.

Die Natur ist so geheimnisvoll, dass je mehr Sie sie studieren, desto mehr Fragen auftauchen ... Nachtblitze - blaue "Ströme" aus verzweigten Entladungen, frostige Muster auf dem Fenster, Schneeflocken, Berge, Wolken, Baumrinde - all dies geht über das Übliche hinaus Euklidische Geometrie. Wir können den Stein oder die Grenzen der Insel nicht mit Linien, Kreisen und Dreiecken beschreiben. Und hier kommen wir zur Rettung Fraktale. Was sind diese vertrauten Fremden?

„Unter einem Mikroskop hat er das bei einem Floh entdeckt
Der beißende Floh lebt auf einem Floh;
Auf diesem Floh ist ein kleiner Floh,
Steckt wütend einen Zahn in einen Floh
Floh, und so ad infinitum. D. schnell.

Ein bisschen Geschichte

Erste Ideen fraktale Geometrie entstand im 19. Jahrhundert. Kantor verwandelte die Linie mithilfe eines einfachen rekursiven (wiederholenden) Verfahrens in eine Reihe nicht verbundener Punkte (den sogenannten Cantor-Staub). Er nahm die Linie und entfernte das mittlere Drittel und wiederholte dann dasselbe mit den verbleibenden Segmenten.

Reis. 1. Peano-Kurve 1,2–5 Iterationen.

Peano zog eine besondere Art von Linie. Peano tat Folgendes: Im ersten Schritt nahm er eine gerade Linie und ersetzte sie durch 9 Segmente, die dreimal kürzer waren als die Länge der ursprünglichen Linie. Dann tat er dasselbe mit jedem Segment der resultierenden Linie. Und so weiter bis ins Unendliche. Seine Einzigartigkeit liegt darin, dass es die gesamte Ebene ausfüllt. Es ist bewiesen, dass man für jeden Punkt in der Ebene einen Punkt finden kann, der zur Peano-Linie gehört. Peanos Kurve und Cantors Staub gingen über gewöhnliche geometrische Objekte hinaus. Sie waren nicht eindeutig dimensioniert.. Cantors Staub war scheinbar auf der Grundlage einer eindimensionalen Geraden konstruiert, bestand aber aus Punkten (Dimension 0). Und die Peano-Kurve wurde auf der Grundlage einer eindimensionalen Linie erstellt, und das Ergebnis war eine Ebene. In vielen anderen Bereichen der Wissenschaft traten Probleme auf, die zu seltsamen Ergebnissen führten, wie den oben beschriebenen (Brownsche Bewegung, Aktienkurse). Jeder von uns kann dieses Verfahren durchführen ...

Vater der Fraktale

Bis ins 20. Jahrhundert häuften sich Daten zu solchen seltsamen Objekten, ohne dass versucht wurde, sie zu systematisieren. So war es, bis sie nahmen Benoît Mandelbrot – Vater der modernen fraktalen Geometrie und des Wortes fraktal.

Reis. 2. Benoît Mandelbrot.

Während er bei IBM als mathematischer Analyst arbeitete, untersuchte er Rauschen in elektronischen Schaltungen, das mit Statistiken nicht beschrieben werden konnte. Nach und nach verglich er die Fakten und entdeckte eine neue Richtung in der Mathematik - fraktale Geometrie.

Der Begriff "Fraktal" wurde 1975 von B. Mandelbrot eingeführt. Laut Mandelbrot fraktal(von lat. „fractus“ – gebrochen, gebrochen, gebrochen) heißt eine Struktur, die aus Teilen wie einem Ganzen besteht. Die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit unterscheidet Fraktale scharf von Objekten der klassischen Geometrie. Begriff Selbstähnlichkeit meint das Vorhandensein einer feinen, sich wiederholenden Struktur, sowohl auf den kleinsten Skalen des Objekts als auch auf einer Makroskala.

Reis. 3. Zur Definition des Begriffs "Fraktal".

Beispiele für Selbstähnlichkeit sind: Koch, Levy, Minkowski-Kurven, Sierpinski-Dreieck, Menger-Schwamm, Pythagoräischer Baum usw.

Aus mathematischer Sicht fraktal ist zuallererst Satz mit gebrochener (mittlerer, „nicht ganzzahliger“) Dimension. Während eine glatte euklidische Linie genau einen eindimensionalen Raum ausfüllt, geht eine fraktale Kurve über den eindimensionalen Raum hinaus, dringt über die Grenzen in den zweidimensionalen Raum ein, sodass die fraktale Dimension der Koch-Kurve zwischen 1 und 2 liegen wird. bedeutet zunächst einmal, dass ein fraktales Objekt seine Länge nicht genau messen kann! Von diesen geometrischen Fraktalen ist das erste sehr interessant und ziemlich berühmt - Koch Schneeflocke.

Reis. 4. Zur Definition des Begriffs "Fraktal".

Es wird auf der Grundlage gebaut gleichseitiges Dreieck. Jede Zeile davon wird durch 4 Zeilen mit je 1/3 der ursprünglichen Länge ersetzt. Somit erhöht sich die Länge der Kurve mit jeder Iteration um ein Drittel. Und wenn wir unendlich viele Iterationen machen, erhalten wir ein Fraktal – eine Koch-Schneeflocke von unendlicher Länge. Es stellt sich heraus, dass unsere unendliche Kurve einen begrenzten Bereich abdeckt. Versuchen Sie dasselbe mit Methoden und Figuren der euklidischen Geometrie.
Dimension einer Koch-Schneeflocke(Wenn eine Schneeflocke um das Dreifache zunimmt, nimmt ihre Länge um das Vierfache zu) D=log(4)/log(3)=1,2619.

Über das Fraktal

Fraktale finden immer mehr Anwendungen in Wissenschaft und Technik. Der Hauptgrund dafür ist, dass sie die reale Welt manchmal sogar besser beschreiben als traditionelle Physik oder Mathematik. Sie können endlos Beispiele für fraktale Objekte in der Natur geben - das sind Wolken und Schneeflocken und Berge und ein Blitz und schließlich Blumenkohl. Fraktale als natürliches Objekt sind ewig kontinuierliche Bewegung, Neugründung und Entwicklung.

Reis. 5. Fraktale in der Wirtschaft.

Außerdem, Fraktale finden dezentral Anwendung Computernetzwerke und "fraktale antennen" . Sehr interessant und vielversprechend für die Modellierung verschiedener stochastischer (nicht deterministischer) "zufälliger" Prozesse sind die sogenannten "Brownschen Fraktale". Bei der Nanotechnologie spielen auch Fraktale eine Rolle wichtige Rolle , da aufgrund ihrer hierarchischen Selbstorganisation viele Nanosysteme haben eine nicht ganzzahlige Dimension, das heißt, sie sind Fraktale in ihrer geometrischen, physikalisch-chemischen oder funktionellen Natur. Zum Beispiel, ein Paradebeispiel chemische fraktale Systeme sind Moleküle "Dendrimere" . Darüber hinaus spiegelt das Prinzip der Fraktalität (selbstähnliche, skalierende Struktur) die hierarchische Struktur des Systems wider und ist daher allgemeiner und universeller als Standardansätze zur Beschreibung der Struktur und Eigenschaften von Nanosystemen.

Reis. 6. Moleküle von "Dendrimeren".

Reis. 7. Grafisches Kommunikationsmodell im Architektur- und Bauprozess. Die erste Interaktionsebene aus Sicht der Mikroprozesse.

Reis. 8. Grafisches Kommunikationsmodell im Architektur- und Bauprozess. Die zweite Interaktionsebene aus den Positionen von Makroprozessen (ein Fragment des Modells).

Reis. 9. Grafisches Kommunikationsmodell im Architektur- und Bauprozess. Die zweite Interaktionsebene aus Sicht der Makroprozesse (das Gesamtmodell)

Reis. 10. Planare Entwicklung des grafischen Modells. Erster homöostatischer Zustand.

Fraktale und der Goldene Schnitt "Fraktale" Teil 1 "Fraktale" Teil 2 "Fraktale" Teil 3 "Fraktale" Teil 4 "Fraktale" Teil 5

Fotogalerie von schönen und ungewöhnlichen Fraktalen

Reis. elf.

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Korrektur und Bearbeitung erledigt Filippov Yu.P.

Hallo zusammen! Ich heiße, Ribenek Valeria, Uljanowsk und heute werde ich mehrere meiner wissenschaftlichen Artikel auf der LCI-Website veröffentlichen.

Mein erster wissenschaftlicher Artikel in diesem Blog wird gewidmet sein Fraktale. Ich werde gleich sagen, dass meine Artikel für fast jedes Publikum konzipiert sind. Diese. Ich hoffe, sie werden sowohl Schüler als auch Studenten interessieren.

Kürzlich habe ich von so interessanten Objekten der mathematischen Welt wie Fraktale erfahren. Aber sie existieren nicht nur in der Mathematik. Sie umgeben uns überall. Fraktale sind natürlich. Was Fraktale sind, über die Arten von Fraktal, über Beispiele dieser Objekte und ihre Anwendung, werde ich in diesem Artikel erzählen. Zunächst erkläre ich Ihnen kurz, was ein Fraktal ist.

Fraktal(lat. fractus - zermalmt, gebrochen, gebrochen) ist ein Komplex geometrische Figur, die die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit hat, das heißt, sie setzt sich aus mehreren Teilen zusammen, von denen jedes der ganzen Figur als Ganzes ähnlich ist. Im weiteren Sinne werden Fraktale als Mengen von Punkten im euklidischen Raum verstanden, die eine gebrochene metrische Dimension (im Sinne von Minkowski oder Hausdorff) oder eine andere als die topologische metrische Dimension haben. Zum Beispiel werde ich ein Bild von vier verschiedenen Fraktalen einfügen.

Lassen Sie mich Ihnen ein wenig über die Geschichte der Fraktale erzählen. Die Ende der 70er Jahre aufgekommenen Konzepte des Fraktals und der fraktalen Geometrie haben sich seit Mitte der 80er Jahre fest im Alltag von Mathematikern und Programmierern etabliert. Das Wort "Fraktal" wurde 1975 von Benoit Mandelbrot eingeführt, um sich auf die unregelmäßigen, aber selbstähnlichen Strukturen zu beziehen, die er untersuchte. Die Geburt der fraktalen Geometrie wird normalerweise mit der Veröffentlichung von Mandelbrots Buch The Fractal Geometry of Nature im Jahr 1977 in Verbindung gebracht. Seine Arbeiten nutzten die wissenschaftlichen Ergebnisse anderer Wissenschaftler, die in der Zeit von 1875-1925 auf demselben Gebiet arbeiteten (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff). Aber erst in unserer Zeit war es möglich, ihre Arbeit in einem einzigen System zusammenzufassen.

Es gibt viele Beispiele für Fraktale, weil sie uns, wie gesagt, überall umgeben. Meiner Meinung nach ist sogar unser gesamtes Universum ein riesiges Fraktal. Schließlich wiederholt sich alles darin, von der Struktur des Atoms bis zur Struktur des Universums selbst, genau. Aber es gibt natürlich noch mehr konkrete Beispiele Fraktale aus verschiedenen Bereichen. Fraktale sind zum Beispiel in komplexen Dynamiken vorhanden. Dort tauchen sie natürlich in der Untersuchung des Nichtlinearen auf dynamische Systeme. Der am besten untersuchte Fall ist, wenn das dynamische System durch Iterationen spezifiziert wird Polynom oder holomorph Funktion eines Komplexes von Variablen auf der Oberfläche. Einige der bekanntesten Fraktale dieser Art sind die Julia-Menge, die Mandelbrot-Menge und die Newton-Becken. Unten zeigen die Bilder der Reihe nach jedes der obigen Fraktale.

Ein weiteres Beispiel für Fraktale sind Fraktalkurven. Wie man ein Fraktal aufbaut, lässt sich am besten am Beispiel fraktaler Kurven erklären. Eine solche Kurve ist die sogenannte Koch-Schneeflocke. Es gibt ein einfaches Verfahren, um fraktale Kurven auf einer Ebene zu erhalten. Wir definieren eine willkürliche unterbrochene Linie mit einer endlichen Anzahl von Verbindungen, die Generator genannt wird. Als nächstes ersetzen wir jedes Segment darin durch einen Generator (genauer gesagt, eine unterbrochene Linie, die einem Generator ähnelt). In der resultierenden gestrichelten Linie ersetzen wir wieder jedes Segment durch einen Generator. Weiter bis ins Unendliche erhalten wir am Limit eine fraktale Kurve. Unten abgebildet ist eine Koch-Schneeflocke (oder Kurve).

Es gibt auch viele fraktale Kurven. Die bekanntesten davon sind die bereits erwähnte Koch-Schneeflocke, sowie die Levy-Kurve, die Minkowski-Kurve, der gebrochene Drache, die Piano-Kurve und der Pythagoräische Baum. Ein Bild dieser Fraktale und ihrer Geschichte, denke ich, kann man leicht auf Wikipedia finden, wenn man möchte.

Das dritte Beispiel oder eine Art Fraktale sind stochastische Fraktale. Solche Fraktale umfassen die Flugbahn Brownsche Bewegung in der Ebene und im Weltraum, Schramm-Löwner-Evolutionen, Verschiedene Arten randomisierte Fraktale, d. h. Fraktale, die mithilfe von erhalten wurden rekursives Verfahren, in die bei jedem Schritt ein zufälliger Parameter eingeführt wird.

Es gibt auch rein mathematische Fraktale. Dies sind beispielsweise die Cantor-Menge, der Menger-Schwamm, das Sierpinski-Dreieck und andere.

Aber vielleicht sind die interessantesten Fraktale natürliche. Natürliche Fraktale sind Objekte in der Natur, die fraktale Eigenschaften haben. Und es gibt bereits eine große Liste. Ich werde nicht alles auflisten, weil ich wahrscheinlich nicht alle auflisten kann, aber ich werde über einige erzählen. In der lebenden Natur umfassen solche Fraktale zum Beispiel unser Kreislaufsystem und unsere Lungen. Und auch die Kronen und Blätter der Bäume. Auch hier können Sie Seesterne, Seeigel, Korallen, Muscheln, einige Pflanzen wie Kohl oder Brokkoli. Unten sind mehrere solcher natürlicher Fraktale von Wildtieren deutlich gezeigt.

Wenn wir die unbelebte Natur betrachten, dann gibt es viel interessantere Beispiele als in der belebten Natur. Blitze, Schneeflocken, Wolken, die jeder kennt, Muster auf Fenstern an frostigen Tagen, Kristalle, Bergketten - all dies sind Beispiele für natürliche Fraktale aus der unbelebten Natur.

Wir haben Beispiele und Arten von Fraktalen betrachtet. Was die Verwendung von Fraktalen betrifft, so werden sie am häufigsten verwendet verschiedene Bereiche Wissen. In der Physik entstehen Fraktale naturgemäß bei der Modellierung nichtlinearer Prozesse, wie turbulenter Flüssigkeitsströmungen, komplexer Diffusions-Adsorptions-Prozesse, Flammen, Wolken etc. Fraktale werden bei der Modellierung poröser Materialien beispielsweise in der Petrochemie verwendet. In der Biologie werden sie zur Modellierung von Populationen und zur Beschreibung von Systemen innerer Organe (System Blutgefäße). Nach der Erstellung der Koch-Kurve wurde vorgeschlagen, sie zur Berechnung der Küstenlänge zu verwenden. Auch in der Funktechnik, in der Informatik und Computertechnik, der Telekommunikation und sogar der Wirtschaft werden Fraktale aktiv eingesetzt. Und natürlich wird das fraktale Sehen aktiv in der zeitgenössischen Kunst und Architektur eingesetzt. Hier ist ein Beispiel für fraktale Gemälde:

Und damit denke ich, meine Geschichte über ein so ungewöhnliches mathematisches Phänomen wie ein Fraktal zu vervollständigen. Heute haben wir gelernt, was ein Fraktal ist, wie es aussah, über die Arten und Beispiele von Fraktal. Und ich sprach auch über ihre Anwendung und demonstrierte einige der Fraktale deutlich. Ich hoffe, Ihnen hat dieser kurze Ausflug in die Welt der erstaunlichen und bezaubernden fraktalen Objekte gefallen.