Arten von Paradoxien

Es gibt Paradoxien, die in einem bestimmten Bereich auftreten wissenschaftliches Wissen im Verlauf der historischen Entwicklung der Wissenschaft, wenn ein Widerspruch zwischen einem bestimmten etablierten Wissenssystem und neuen Fakten, zwischen den in bestimmten Paradigmen festgelegten Forschungsrichtungen und neuen Entdeckungen festgestellt wird, die nicht in diese Paradigmen passen. Somit widersprechen wissenschaftliche Entdeckungen in der Kosmologie, Quantenphysik und Biologie des 20. Jahrhunderts den klassischen Theorien dieser Wissenschaftszweige und werden aus Sicht der klassischen Theorien als paradox interpretiert.

In jeder Branche wissenschaftliches Wissen spezifische Paradoxien erscheinen - physikalische, chemische, biologische, mathematische usw.

Die Paradoxien, die im Rahmen einer bestimmten wissenschaftlichen Theorie auftreten, offenbaren die Widersprüchlichkeit der eigentlichen Bewegung materieller Objekte, die die Wissenschaft untersucht, die „Dualität“ der Natur des Untersuchungsobjekts selbst, die das Umdenken der grundlegenden Prinzipien und Paradigmen von vorbestimmt eine besondere Wissenschaft. Zum Beispiel wurde in der Theorie der Quantenchemie festgestellt, dass sich ein Elektron um einen Kern zu jedem Zeitpunkt an jedem Elementarpunkt im Raum befindet, obwohl ein Elektron ein Elementarteilchen ist.

Arten von Paradoxien

Paradoxien nach den Arten der Logik wurden in semantische und logische eingeteilt.

Beim Denken treten semantische Paradoxien auf:

Bei der Verknüpfung sprachlicher Ausdrücke mit ihrer objektiven Bedeutung, dh Denotation;

Wenn zwei Ebenen der symbolischen Repräsentation der Betrachtungsgegenstände vermischt werden, nämlich die Ebene der Objektsprache und der Metafilme;

Bei Verwendung von Abstract unbestimmte Zeitlinie, unter die Sie jedes Objekt bringen können;

Wenn es ein Problem gibt, die Wahrheit oder Falschheit von Aussagen in einem bestimmten Kontext zu bestimmen.

Zu den semantischen Paradoxen gehören: das „Lügner“-Paradoxon, das heterologische Paradoxon, das Paradoxon der Namenstheorie, das Paradoxon (Antinomie) der Namensbeziehung.

Das „Lügner“-Paradoxon der Logik wird als Antinomie klassifiziert. Es wurde erstmals von dem altgriechischen Philosophen Eubulides von Milet formuliert und hat zwei Ausdrucksvarianten: 1. Jemand sagt: „Ich lüge“; 2. Der kretische Epimenides sagte: "Alle Kreter sind Lügner."

Die Bedeutung des "Lügner"-Paradoxons liegt in der Tatsache, dass es unmöglich ist, die Wahrheit oder Falschheit der Aussage "Ich lüge" eindeutig zu bestimmen. Wenn also Epimenides nicht lügt, dann ist seine Aussage wahr und daher ist Epimenides ein Lügner; Wenn Epimenides lügt, dann sind seine Aussagen falsch, daher ist Epimenides kein Lügner. Wir bekommen die Antinomie – „Epimenides lügt und lügt nicht“ oder „Die Aussage „Ich lüge“ ist wahr, weil sie falsch ist, und falsch, weil sie wahr ist.“

Eine weitere Abwandlung des „Lügner“-Paradoxons formulierte der englische Logiker P. Jourdain: „Die auf der ersten Seite dieser Karte geschriebene Aussage ist wahr; und auf der anderen Seite derselben Karte steht geschrieben: Die auf der andere Seite dieser Karte ist falsch." Wenn die erste Aussage wahr ist, dann ist auch die zweite Aussage wahr, da die erste Aussage besagt, dass die zweite Aussage wahr ist. Aber wenn die zweite Aussage wahr ist, dann ist „die erste Aussage ist falsch“ falsch. Aus den beiden möglichen Annahmen der Wahrheit dieser beiden Aussagen ergibt sich also ein Widerspruch.

Wissenschaftler haben viele Wege vorgeschlagen, um das Lügner-Paradoxon zu lösen. Beispielsweise schlug der polnische Logiker A. Tarski vor, zwischen den Sprachebenen – Objekt und Metafilm – klar zu unterscheiden. Es sind die Aussagen „Ich lüge“, die formuliert werden Objektsprache, und dass es paradox ist, wird auf der Ebene seiner metalogischen Analyse durch Metafilme bestimmt. Dazu ist es notwendig, eine formalisierte Sprache zu schaffen, die Aussagen A enthält, das Wahrheitsprädikat G. Die Formel P1 (A) g A (die Aussage A ist genau dann wahr, wenn A). Das bedeutet: Die Aussage A ist genau dann wahr, wenn die Aussage A wahr ist, also die Existenz des Objekts, auf das sich die Aussage bezieht, feststellt (widerspiegelt).

Auch die Aussage des kretischen Epimenides „Alle Kreter sind Lügner“ wird in Objektsprache ausgedrückt. Auch Epimenides ist nach metalogischer Analyse ein Lügner, da er als Kreter zur Klasse der Bewohner der Insel Kreta gehört. Wenn Epimenides kein Kreter wäre, dann wäre die Aussage „Alle Kreter sind Lügner“ nicht paradox.

Das heterologische Paradox wurde von K. Grelling (1886 - 1941) formuliert. Dies ist ein Paradoxon, das entsteht, wenn solche Redewendungen als Adjektive hervorgehoben werden, deren Bedeutung Eigenschaften sind, z. B. "rot", "neu", "alt", "ukrainisch". Ein Wort, das die Eigenschaft P hat, dessen Name es ist, heißt autologisch. Ein Wort, das nicht autologisch ist, heißt heterologisch. Bezeichnet ein Wort (Adjektiv) eine ihm innewohnende Eigenschaft, so heißt es autologisch. Dies ist zum Beispiel das Wort "ukrainisch", und die Wörter "weiß", "schwarz" sind keine autologischen Wörter, daher sind sie heterologisch. Zu welcher Art von Wörtern – autologisch oder heterologisch – gehört das Wort „heterologisch“? Wir erhalten eine Antinomie: "Wenn das Wort "heterologisch" heterologisch ist, dann ist es nicht heterologisch, und wenn es nicht heterologisch ist, dann ist es heterologisch."

Das Paradoxon der Namenstheorie ist ein semantisches Paradoxon, das im Rahmen der Theorie der logischen Semantik, die von G. Frege, B. Russell, G. Carnap und anderen Logikern entwickelt wurde, abgelöst wurde Vorname Beschreibung und umgekehrt eine Eigennamenbeschreibung (siehe 2.2.4). Ein Eigenname ist ein einfaches Zeichen, das einen einzelnen (individuellen) Gegenstand bezeichnet. Beschreibung - komplexes Zeichen, die die Eigenschaften eines Objekts oder Beziehungen zwischen Klassen definiert. Ersetzt man in einem bestimmten Kontext den eigenen Namen durch eine Beschreibung, entsteht ein semantisches Paradoxon. Zum Beispiel für Von. Russell, der Eigenname „Walter Scott“ und die Bezeichnung „Autor von Waverley“ weisen jeweils auf ein Thema hin, die Aussage „König Heinrich IV. will wissen, ob Walter Scott der Autor von Waverley ist“ enthält aber kein Paradoxon wenn der Eigenname durch die Beschreibung „Walter Scott“ durch „den Autor von Waverley“ ersetzt wird, erhalten wir die Aussage: „König Heinrich IV. möchte wissen, ob Walter Scott Walter Scott ist“, was paradox ist.

Logische Paradoxien sind Paradoxien, die innerhalb einer bestimmten logischen Theorie im Prozess der Entwicklung der Wissenschaft der Logik entstanden sind. Zu den logischen Paradoxen gehören Paradoxe der materiellen Implikation, Paradoxe der strengen Implikation, Paradoxe der erkenntnistheoretischen Logik, Paradoxe der Existenzlogik usw. (der Inhalt dieser Paradoxe wird im Kontext der Analyse einer bestimmten logischen Theorie bestimmt, in der diese Paradoxe entstanden).

Das Paradoxon der Theorie der Klassen (Mengen). In der logisch-mathematischen Theorie der Klassen (Mengen) entdeckte der englische Logiker und Mathematiker B. Russell eine logische Inkonsistenz, die als Paradoxon (Antinomie) der Klassen (Mengen) bezeichnet wurde. Alle Sets können unterteilt werden die folgenden Arten: 1. Mengen, die nicht Elemente ihrer selbst sind. Solche Mengen heißen eigentliche. Zum Beispiel die Menge aller Zustände, aller natürlichen Zahlen, aller Bücher in wissenschaftliche Bibliothek Universität der Stadt N. usw. 2. Mengen, die Elemente ihrer selbst sind. Solche Mengen werden uneigentlich genannt. Der erste Satztyp wird mit dem Symbol M. und der zweite mit dem Symbol M2 bezeichnet. Weiter nehmen wir an, dass es möglich ist, eine Menge M aus genau solchen Mengen zu bilden, die eigentlich sind, das heißt aus allen Mengen, die sich selbst nicht als Elemente enthalten. Das Plural- - ist widersprüchlich, weil es per Definition genau dann zur Anzahl seiner Elemente gehört, wenn es nicht zu deren Anzahl gehört.

Um das Paradoxon der Mengenlehre zu lösen By. Russell hat eine Theorie der Typen entwickelt, deren Essenz dies ist. Alle Mengen können in Typen unterteilt werden, von denen jeder Elemente trennt, die nur zu einem Typ gehören und nicht zu einem anderen gehören. So entsteht eine Hierarchie von Mengentypen: Der Nulltyp enthält nur Elemente mit der Eigenschaft P, der erste Typ enthält Elemente mit den Eigenschaften G.; der zweite Typ - hat Eigenschaften P2 und darunter. Jeder Typ bedeutet eine bestimmte Abstraktions- und Verallgemeinerungsebene von Mengen: a) eine gewöhnliche Menge; b) eine ungewöhnliche Menge (die Menge aller Mengen), d.h. eine Menge, die sich selbst als Element enthält. Zu welcher Menge gehört die Menge aller gewöhnlichen Mengen? Die Typentheorie ermöglicht nach B. Russell auch, die Mengenhierarchie herauszuarbeiten und damit das Paradoxon der Mengenlehre zu überwinden.

Beliebte Versionen des Paradoxons der Mengenlehre sind die Paradoxe „Gemeindebürgermeister“ und „Friseur“.

Das "Municipality Mayor"-Paradoxon wurde von dem amerikanischen Logiker S. Kleene (1909-1994) als populäre Variante des mengentheoretischen Paradoxons formuliert. „Jede Gemeinde in Holland muss einen Bürgermeister haben, und zwei verschiedene Gemeinden können nicht denselben Bürgermeister haben. Manchmal stellt sich heraus, dass der Bürgermeister nicht in seiner Gemeinde wohnt. Wir gehen davon aus, dass ein Gesetz verabschiedet wurde, nach dem ein bestimmtes Gebiet zugewiesen wird nur für solche Bürgermeister, die nicht in ihrer Gemeinde leben, und er verpflichtet alle Bürgermeister, sich in diesem Gebiet anzusiedeln. Nehmen wir weiter an, dass es so viele Bürgermeister gibt, dass dieses Gebiet N. eine Gemeinde bildet. Wo soll der Bürgermeister der Gemeinde Y. Leben?"

Das Barbier-Paradoxon ist die zweite populäre Variante des mengentheoretischen Paradoxons. "Der Barbier rasiert die und nur die Männer eines Dorfes, die sich nicht selbst rasieren. Oder rasiert der Barbier sich selbst?"

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Bekanntlich ist es oft wichtiger und schwieriger, ein Problem zu formulieren, als es zu lösen. „In der Wissenschaft“, schrieb der englische Chemiker F. Soddy, „ist ein richtig gestelltes Problem zu mehr als der Hälfte gelöst. Der mentale Vorbereitungsprozess, der erforderlich ist, um herauszufinden, dass es sich um eine bestimmte Aufgabe handelt, nimmt oft mehr Zeit in Anspruch als die Aufgabe selbst.

Die Formen, in denen sich die Problemsituation manifestiert und verwirklicht, sind sehr vielfältig. Nicht immer offenbart sie sich in Form einer direkten Frage, die ganz am Anfang des Studiums auftaucht. Die Welt der Probleme ist so komplex wie der Erkenntnisprozess, der sie hervorbringt. Das Erkennen von Problemen ist der Kern des kreativen Denkens. Paradoxien sind die meisten interessanter Fall implizite, nicht hinterfragende Arten, Probleme zu stellen. Paradoxien treten häufig in den frühen Stadien der Entwicklung wissenschaftlicher Theorien auf, wenn die ersten Schritte in einem noch unerforschten und am meisten erforschten Gebiet unternommen werden allgemeine Grundsätze Annäherung an sie.

Paradoxien und Logik

Im weitesten Sinne ist ein Paradoxon eine Position, die scharf von allgemein akzeptierten, etablierten, orthodoxen Meinungen abweicht. „Allgemein anerkannte Meinungen und was als längst entschieden gilt, verdienen meistens eine Erforschung“ (G. Lichtenberg). Paradox ist der Beginn einer solchen Forschung.

Ein Paradoxon im engeren und spezielleren Sinne sind zwei gegensätzliche, unvereinbare Aussagen, für die es scheinbar überzeugende Argumente gibt.

Die schärfste Form des Paradoxons ist die Antinomie, eine Argumentation, die die Äquivalenz zweier Aussagen beweist, von denen die eine eine Negation der anderen ist.

Paradoxien in den strengsten und exakte Wissenschaften- Mathematik und Logik. Und das ist kein Zufall.

Logik ist eine abstrakte Wissenschaft. Da sind keine Experimente drin, nicht einmal Fakten im üblichen Sinne des Wortes. Beim Aufbau ihrer Systeme geht die Logik letztlich von der Analyse realen Denkens aus. Aber die Ergebnisse dieser Analyse sind synthetisch, undifferenziert. Sie sind keine Aussagen über irgendwelche separaten Prozesse oder Ereignisse, die die Theorie erklären sollte. Offensichtlich kann eine solche Analyse nicht als Beobachtung bezeichnet werden: Es wird immer ein konkretes Phänomen beobachtet.

Bei der Konstruktion einer neuen Theorie geht der Wissenschaftler normalerweise von den Fakten aus, von dem, was im Experiment beobachtet werden kann. So frei seine schöpferische Vorstellungskraft auch sein mag, sie muss mit einem unabdingbaren Umstand rechnen: Eine Theorie hat nur dann Sinn, wenn sie mit den sie betreffenden Tatsachen übereinstimmt. Eine Theorie, die Fakten und Beobachtungen widerspricht, ist weit hergeholt und hat keinen Wert.

Aber wenn es keine logischen Experimente, keine Tatsachen und keine Beobachtung selbst gibt, was hält dann die logische Fantasie zurück? Welche Faktoren, wenn nicht Fakten, werden bei der Erstellung neuer logischer Theorien berücksichtigt?

Die Diskrepanz zwischen logischer Theorie und der Praxis des realen Denkens zeigt sich oft in Form eines mehr oder weniger scharfen logischen Paradoxons, manchmal sogar in Form einer logischen Antinomie, die von der inneren Widersprüchlichkeit der Theorie spricht. Dies erklärt nur die Bedeutung, die Paradoxien in der Logik beigemessen wird, und die große Aufmerksamkeit, die sie darin genießen.

Varianten des „Lügner“-Paradoxons

Das berühmteste und vielleicht interessanteste aller logischen Paradoxe ist das Lügner-Paradoxon. Er war es, der den Namen Eubulides von Milet verherrlichte, der ihn entdeckte.

Es gibt Varianten dieses Paradoxons oder dieser Antinomie, von denen viele nur scheinbar paradox sind.

In der einfachsten Version von "Lügner" sagt eine Person nur einen Satz: "Ich lüge." Oder er sagt: "Die Aussage, die ich jetzt mache, ist falsch." Oder: "Diese Aussage ist falsch."

Wenn die Aussage falsch ist, hat der Sprecher die Wahrheit gesagt, und daher ist das, was er gesagt hat, keine Lüge. Wenn die Aussage nicht falsch ist und der Sprecher behauptet, dass sie falsch ist, dann ist diese Aussage falsch. Es stellt sich also heraus, dass wenn der Sprecher lügt, er die Wahrheit sagt und umgekehrt.

Im Mittelalter war folgende Formulierung üblich:

„Was Platon gesagt hat, ist falsch“, sagt Sokrates.

„Was Sokrates gesagt hat, ist die Wahrheit“, sagt Platon.

Es stellt sich die Frage, welche von ihnen die Wahrheit ausdrückt und welche eine Lüge ist?

Und hier ist ein modernes Paradoxon dieses Paradoxons. Nehmen wir an, dass nur die Worte auf der Vorderseite der Karte stehen: "Auf der anderen Seite dieser Karte steht eine wahre Aussage." Es ist klar, dass diese Worte eine sinnvolle Aussage darstellen. Wenn wir die Karte umdrehen, müssen wir entweder die versprochene Aussage finden, oder sie ist nicht da. Wenn es auf der Rückseite steht, dann ist es entweder wahr oder nicht. Auf der Rückseite steht jedoch: „Auf der anderen Seite dieser Karte steht geschrieben falsche Aussage" - und nichts weiter. Nehmen Sie an, dass die Aussage auf der Vorderseite wahr ist. Dann muss die Aussage auf der Rückseite wahr sein, und daher muss die Aussage auf der Vorderseite falsch sein. Aber wenn die Aussage auf der Vorderseite falsch ist, dann muss auch die Aussage auf der Rückseite falsch sein, und daher muss die Aussage auf der Vorderseite wahr sein. Das Ergebnis ist ein Paradoxon.

Das Lügner-Paradoxon machte einen großen Eindruck auf die Griechen. Und es ist leicht zu verstehen, warum. Die Frage, die sich dabei auf den ersten Blick stellt, scheint ganz einfach: lügt, wer nur sagt, dass er lügt? Aber die Antwort „ja“ führt zu der Antwort „nein“ und umgekehrt. Und Reflexion klärt die Situation überhaupt nicht. Hinter der Einfachheit und sogar Routine der Frage offenbart sie eine dunkle und unermessliche Tiefe.

Es gibt sogar eine Legende, dass ein gewisser Filit Kossky, der verzweifelt versuchte, dieses Paradox zu lösen, Selbstmord begangen hat. Es wird auch gesagt, dass einer der berühmten antiken griechischen Logiker, Diodorus Kronos, bereits in seinen letzten Jahren ein Gelübde abgelegt hat, nicht zu essen, bis er die Lösung des „Lügners“ gefunden hatte, und bald starb, ohne etwas zu erreichen.

Im Mittelalter wurde dieses Paradoxon mit den sogenannten unentscheidbaren Sätzen bezeichnet und zum Gegenstand systematischer Analysen.

In der Neuzeit erregte der „Lügner“ lange Zeit keine Aufmerksamkeit. Sie sahen keine, auch nur geringfügige, Schwierigkeiten im Umgang mit der Sprache. Und nur in unseren sogenannten moderne Zeiten die Entwicklung der Logik hat endlich ein Niveau erreicht, wo die Probleme, die hinter diesem Paradoxon zu stehen scheinen, bereits streng formuliert werden können.

Nun wird „Lügner“ – dieser typische ehemalige Sophismus – oft als der König der logischen Paradoxien bezeichnet. Ihm ist eine umfangreiche wissenschaftliche Literatur gewidmet. Und doch bleibt, wie bei vielen anderen Paradoxien, nicht ganz klar, welche Probleme dahinter stecken und wie man sie loswird.

Sprache und Metasprache

Nun gilt „Der Lügner“ gemeinhin als charakteristisches Beispiel für die Schwierigkeiten, zu denen die Verwechslung zweier Sprachen führt: der Sprache, in der man von einer Realität spricht, die außerhalb davon liegt, und der Sprache, in der man von der eigentlichen spricht Muttersprache.

BEIM Alltagssprache Es gibt keinen Unterschied zwischen diesen Ebenen: Wir sprechen die gleiche Sprache über die Realität und über die Sprache. Zum Beispiel sieht eine Person, deren Muttersprache Russisch ist, keinen großen Unterschied zwischen den Aussagen: "Glas ist transparent" und "Es ist wahr, dass Glas transparent ist", obwohl einer von ihnen von Glas spricht und der andere von einer Aussage über Glas.

Wenn jemand die Idee hatte, in einer Sprache über die Welt und in einer anderen über die Eigenschaften dieser Sprache zu sprechen, könnte er zwei verschiedene verwenden vorhandene Sprachen Sagen wir Russisch und Englisch. Anstatt nur zu sagen „Kuh ist ein Substantiv“ würde ich sagen „Kuh ist ein Substantiv“ und statt „Die Aussage ‚Glas ist nicht transparent‘ ist falsch“ würde ich sagen „Die Behauptung ‚Glas ist nicht transparent‘ ist falsch ". Mit dieser Verwendung von zwei verschiedene Sprachen was über die Welt gesagt wird, wäre deutlich anders als das, was über die Sprache gesagt wird, mit der man über die Welt spricht. In der Tat würden sich die ersten Aussagen auf die russische Sprache beziehen, während sich die zweite auf Englisch beziehen würde.

Wenn sich unser Sprachenexperte weiter über einige Umstände äußern möchte, die bereits die englische Sprache betreffen, könnte er eine andere Sprache verwenden. Sagen wir Deutsch. Um über letzteres zu sprechen, könnte man, sagen wir, auf die spanische Sprache zurückgreifen und so weiter.

Es stellt sich daher eine Art Leiter oder Hierarchie von Sprachen heraus, von denen jede für einen ganz bestimmten Zweck verwendet wird: In der ersten sprechen sie über die objektive Welt, in der zweiten über diese erste Sprache in der dritte - über die zweite Sprache usw. Eine solche Unterscheidung zwischen Sprachen nach ihrem Anwendungsgebiet ist ein seltenes Phänomen in gewöhnliches Leben. Aber in den Wissenschaften, die sich wie die Logik speziell mit Sprachen befassen, erweist es sich manchmal als sehr nützlich. Die Sprache, die verwendet wird, um über die Welt zu sprechen, wird normalerweise als Objektsprache bezeichnet. Die Sprache, die zur Beschreibung der Subjektsprache verwendet wird, wird als Metasprache bezeichnet.

Klar ist, dass bei einer solchen Abgrenzung von Sprache und Metasprache die Aussage „Ich lüge“ nicht mehr formuliert werden kann. Es spricht von der Falschheit dessen, was auf Russisch gesagt wird, und bezieht sich daher auf die Metasprache und muss darin ausgedrückt werden Englische Sprache. Konkret sollte es so klingen: „Alles, was ich auf Russisch spreche, ist falsch“ („Alles, was ich auf Russisch sage, ist falsch“); diese englische Aussage sagt nichts über sich selbst aus, und es entsteht kein Paradoxon.

Die Unterscheidung zwischen Sprache und Metasprache ermöglicht es, das „Lügner“-Paradoxon zu beseitigen. Damit wird es möglich, den klassischen Wahrheitsbegriff widerspruchsfrei korrekt zu definieren: Eine Aussage ist wahr, die der Realität entspricht, die sie beschreibt.

Der Wahrheitsbegriff hat wie alle anderen semantischen Begriffe relativen Charakter: Er kann immer einer bestimmten Sprache zugeordnet werden.

Wie der polnische Logiker A. Tarsky zeigte, klassische Definition Wahrheit muss in einer Sprache formuliert werden, die breiter ist als die Sprache, für die sie bestimmt ist. Mit anderen Worten, wenn wir angeben wollen, worauf der Ausdruck „eine Aussage wahr ist gegebene Sprache“, ist es notwendig, zusätzlich zu den Ausdrücken dieser Sprache auch Ausdrücke zu verwenden, die nicht darin enthalten sind.

Tarski führte das Konzept einer semantisch geschlossenen Sprache ein. Eine solche Sprache enthält neben ihren Ausdrücken auch deren Namen und, was wichtig zu betonen ist, auch Aussagen über die Wahrheit der darin formulierten Sätze.

In einer semantisch geschlossenen Sprache gibt es keine Grenze zwischen Sprache und Metasprache. Seine Mittel sind so reichhaltig, dass sie es nicht nur erlauben, etwas über die außersprachliche Realität zu behaupten, sondern auch, den Wahrheitsgehalt solcher Aussagen zu bewerten. Diese Mittel reichen insbesondere aus, um die Antinomie „Lügner“ sprachlich wiederzugeben. Eine semantisch geschlossene Sprache erweist sich somit als widersprüchlich. Jede natürliche Sprache ist offensichtlich semantisch abgeschlossen.

Der einzig akzeptable Weg, Antinomie und damit interne Inkonsistenz zu beseitigen, besteht laut Tarski darin, auf die Verwendung einer semantisch geschlossenen Sprache zu verzichten. Akzeptabel ist dieser Weg natürlich nur bei künstlichen, formalisierten Sprachen, die eine klare Trennung in Sprache und Metasprache zulassen. In natürlichen Sprachen mit ihrer obskuren Struktur und der Fähigkeit, alles in derselben Sprache zu sprechen, ist dieser Ansatz nicht sehr realistisch. Es macht keinen Sinn, die Frage nach der internen Konsistenz dieser Sprachen zu stellen. Ihre reichen Ausdrucksmöglichkeiten haben auch ihre Kehrseite – Paradoxien.

Andere Lösungen des Paradoxons

Es gibt also Aussagen, die von ihrer eigenen Wahrheit oder Falschheit sprechen. Die Vorstellung, dass solche Aussagen keinen Sinn machen, ist sehr alt. Es wurde vom antiken griechischen Logiker Chrysippus verteidigt.

Im Mittelalter stellte der englische Philosoph und Logiker W. Ockham fest, dass die Aussage „Jede Aussage ist falsch“ bedeutungslos sei, da sie unter anderem von ihrer eigenen Falschheit spreche. Aus dieser Aussage folgt direkt ein Widerspruch. Wenn jeder Satz falsch ist, dann ist es auch der Satz selbst; aber dass es falsch ist, bedeutet, dass nicht jeder Satz falsch ist. Ähnlich verhält es sich mit der Aussage „Jede Aussage ist wahr“. Sie ist ebenfalls als sinnlos einzustufen und führt ebenfalls zu einem Widerspruch: Wenn jede Aussage wahr ist, dann ist auch die Negation dieser Aussage selbst wahr, also die Aussage, dass nicht jede Aussage wahr ist.

Warum aber kann eine Aussage nicht sinnvoll von ihrer eigenen Wahrheit oder Falschheit sprechen?

Bereits ein Zeitgenosse von Ockham, Französischer Philosoph 14. Jahrhundert J. Buridan war mit seiner Entscheidung nicht einverstanden. Aus der Sicht gewöhnlicher Vorstellungen von Bedeutungslosigkeit sind Ausdrücke wie „Ich lüge“, „Jede Aussage ist wahr (falsch)“ usw. recht aussagekräftig. Was Sie denken können, was Sie sagen können - das ist das allgemeine Prinzip von Buridan. Eine Person kann über die Wahrheit der Aussage nachdenken, die sie äußert, was bedeutet, dass sie darüber sprechen kann. Nicht alle Aussagen über sich selbst sind bedeutungslos. Zum Beispiel ist die Aussage „Dieser Satz ist auf Russisch geschrieben“ wahr, aber die Aussage „Dieser Satz enthält zehn Wörter“ ist falsch. Und beides macht absolut Sinn. Wenn zugegeben wird, dass eine Aussage über sich selbst sprechen kann, warum ist sie dann nicht in der Lage, sinnvoll über eine solche Eigenschaft ihrer selbst als Wahrheit zu sprechen?

Buridan selbst hielt die Aussage „Ich lüge“ nicht für sinnlos, sondern für falsch. Er hat es so begründet. Wenn jemand einen Satz bejaht, behauptet er damit, dass er wahr ist. Wenn der Satz von sich sagt, dass er selbst falsch ist, dann ist er nur eine abgekürzte Formulierung eines Mehr komplexer Ausdruck sowohl seine Wahrheit als auch seine Falschheit behaupten. Dieser Ausdruck ist widersprüchlich und daher falsch. Aber es ist keineswegs bedeutungslos.

Buridans Argument wird manchmal immer noch als überzeugend angesehen.

Es gibt noch weitere Kritikpunkte an der von Tarski ausführlich entwickelten Lösung des „Lügner“-Paradoxons. Gibt es wirklich kein Gegenmittel gegen solche Paradoxien in semantisch geschlossenen Sprachen – und das sind schließlich alle natürlichen Sprachen?

Wenn dies der Fall wäre, dann könnte der Wahrheitsbegriff nur in formalisierten Sprachen streng definiert werden. Nur in ihnen ist eine Unterscheidung möglich Fachsprache, in der sie über die Welt um sie herum sprechen, und die Metasprache, in der sie über diese Sprache sprechen. Diese Sprachenhierarchie ist dem Erwerb einer Fremdsprache mit Hilfe einer Muttersprache nachempfunden. Das Studium einer solchen Hierarchie führte zu vielen interessanten Schlussfolgerungen, und in manchen Fällen ist es wesentlich. Aber es existiert nicht in der natürlichen Sprache. Diskreditiert es ihn? Und wenn ja, in welchem ​​Umfang? Immerhin wird darin immer noch der Wahrheitsbegriff verwendet, und das meist ohne Komplikationen. Ist die Einführung einer Hierarchie der einzige Weg, Paradoxien wie Liar zu beseitigen?

In den 1930er Jahren schienen die Antworten auf diese Fragen zweifellos positiv zu sein. Jetzt gibt es jedoch keine frühere Einstimmigkeit, obwohl die Tradition, Paradoxien dieser Art durch „Schichtung“ der Sprache zu beseitigen, weiterhin vorherrscht.

In letzter Zeit haben egozentrische Äußerungen immer mehr Aufmerksamkeit auf sich gezogen. Sie enthalten Wörter wie „ich“, „dies“, „hier“, „jetzt“, und ihre Wahrheit hängt davon ab, wann, von wem, wo sie verwendet werden.

In der Aussage „Diese Aussage ist falsch“ kommt das Wort „this“ vor. Auf welches Objekt bezieht es sich? „Lügner“ kann darauf hinweisen, dass sich das Wort „es“ nicht auf die Bedeutung der gegebenen Aussage bezieht. Aber worauf bezieht es sich dann, was bedeutet es? Und warum kann diese Bedeutung nicht immer noch mit dem Wort "dies" bezeichnet werden?

Ohne hier ins Detail zu gehen, sei nur angemerkt, dass „Lügner“ im Rahmen der Analyse egozentrischer Äußerungen mit einem ganz anderen Inhalt gefüllt wird als zuvor. Es stellt sich heraus, dass er nicht mehr vor der Verwechslung von Sprache und Metasprache warnt, sondern auf die Gefahren hinweist, die mit dem Missbrauch des Wortes „dies“ und ähnlichen egozentrischen Wörtern verbunden sind.

Die Fragestellungen, die sich im Laufe der Jahrhunderte mit „Der Lügner“ verbunden haben, haben sich radikal verändert, je nachdem, ob es als Beispiel für Mehrdeutigkeit oder als Ausdruck, der nach außen hin als Beispiel für eine Mischung aus Sprache und Metasprache erscheint, oder schließlich als typisches Beispiel Missbrauch egozentrischer Ausdrücke. Und es gibt keine Gewissheit, dass mit diesem Paradoxon in Zukunft nicht auch andere Probleme verbunden sein werden.

Der bekannte moderne finnische Logiker und Philosoph H. von Wright schrieb in seinem Werk über Der Lügner, dass dieses Paradox keinesfalls als ein lokales, isoliertes Hindernis verstanden werden sollte, das durch eine erfinderische Denkbewegung beseitigt werden kann. Liar berührt viele der wichtigsten Themen der Logik und Semantik. Dies ist die Definition von Wahrheit und die Interpretation von Widerspruch und Beweis und eine ganze Reihe wichtiger Unterschiede: zwischen einem Satz und dem durch ihn ausgedrückten Gedanken, zwischen der Verwendung eines Ausdrucks und seiner Erwähnung, zwischen der Bedeutung eines Namens und das Objekt, das es bezeichnet.

Ähnlich verhält es sich mit anderen logischen Paradoxien. „Die Antinomien der Logik“, schreibt von Wright, „haben uns seit ihrer Entdeckung verwirrt und werden uns wahrscheinlich immer rätseln. Wir sollten sie meiner Meinung nach nicht so sehr als Probleme betrachten, die gelöst werden müssen, sondern als unerschöpflichen Rohstoff für Gedanken. Sie sind wichtig, weil das Denken über sie die grundlegendsten Fragen aller Logik und damit allen Denkens berührt.“

Zum Abschluss dieses Gesprächs über den „Lügner“ können wir uns an eine kuriose Episode aus der Zeit erinnern, als in der Schule noch formale Logik gelehrt wurde. In einem Logiklehrbuch, das Ende der 1940er-Jahre veröffentlicht wurde, wurden Schüler der achten Klasse als Hausaufgabe – sozusagen zum Aufwärmen – aufgefordert, den Fehler in dieser einfach aussehenden Aussage zu finden: „Ich lüge.“ Und, um es nicht seltsam erscheinen zu lassen, glaubte man, dass die Mehrheit der Schulkinder eine solche Aufgabe erfolgreich bewältigte.

2. Russells Paradoxon

Das berühmteste der bereits in unserem Jahrhundert entdeckten Paradoxien ist die von B. Russell entdeckte und von ihm in einem Brief an G. Ferge mitgeteilte Antinomie. Dieselbe Antinomie wurde gleichzeitig in Göttingen von den deutschen Mathematikern Z. Zermelo und D. Hilbert diskutiert.

Die Idee lag in der Luft, und ihre Veröffentlichung erweckte den Eindruck einer explodierenden Bombe. Dieses Paradoxon bewirkte in der Mathematik, so Hilbert, die Wirkung einer völligen Katastrophe. Bedroht über das einfachste und wichtigste logische Methoden, die gebräuchlichsten und nützlichsten Konzepte.

Es wurde sofort klar, dass weder in der Logik noch in der Mathematik für das Ganze lange Geschichte ihrer Existenz wurde absolut nichts herausgearbeitet, was als Grundlage für die Beseitigung der Antinomie dienen könnte. Offensichtlich war eine Abkehr von gewohnten Denkweisen notwendig. Aber woher und in welche Richtung? Wie radikal sollte die Ablehnung etablierter Theorien sein?

Mit weitere Forschung Antinomie wuchs die Überzeugung von der Notwendigkeit eines grundlegend neuen Ansatzes stetig. Bereits ein halbes Jahrhundert nach ihrer Entdeckung stellten die Logik- und Mathematik-Spezialisten L. Frenkel und I. Bar-Hillel vorbehaltlos fest: , bislang stets gescheitert, reichen für diesen Zweck offensichtlich nicht aus.

Der moderne amerikanische Logiker H. Curry schrieb etwas später über dieses Paradoxon: „Nach der im 19. Jahrhundert bekannten Logik widersetzte sich die Situation einfach jeder Erklärung, obwohl es natürlich in unserem gebildeten Zeitalter Menschen geben kann, die sehen (bzw denken sie sehen ), was ist der Fehler?

Russells Paradoxon in seiner ursprünglichen Form ist mit dem Konzept einer Menge oder einer Klasse verbunden.

Wir können von Mengen verschiedener Objekte sprechen, zum Beispiel von der Menge aller Menschen oder von der Menge der natürlichen Zahlen. Jedes Element des ersten Satzes wird sein einzelne Person, das Element der zweiten ist jede natürliche Zahl. Es ist auch möglich, Mengen selbst als einige Objekte zu betrachten und von Mengen von Mengen zu sprechen. Man kann sogar Begriffe wie die Menge aller Mengen oder die Menge aller Begriffe einführen.

Satz gewöhnlicher Sätze

In Bezug auf jede willkürlich genommene Menge erscheint es vernünftig zu fragen, ob sie ihr eigenes Element ist oder nicht. Mengen, die sich selbst nicht als Element enthalten, werden gewöhnlich genannt. Zum Beispiel ist die Menge aller Menschen keine Person, genauso wie die Menge der Atome kein Atom ist. Mengen, die echte Elemente sind, werden ungewöhnlich sein. Beispielsweise ist eine Menge, die alle Mengen vereint, eine Menge und enthält sich daher selbst als Element.

Betrachten Sie nun die Menge aller gewöhnlichen Mengen. Da es sich um ein Set handelt, kann man auch danach fragen, ob es gewöhnlich oder ungewöhnlich ist. Die Antwort ist jedoch entmutigend. Wenn es gewöhnlich ist, muss es sich per Definition selbst als Element enthalten, da es alle gewöhnlichen Mengen enthält. Dies bedeutet jedoch, dass es sich um ein ungewöhnliches Set handelt. Die Annahme, dass unsere Menge eine gewöhnliche Menge ist, führt also zu einem Widerspruch. Normal kann es also nicht sein. Andererseits kann es auch nicht ungewöhnlich sein: Eine ungewöhnliche Menge enthält sich selbst als Element, und die Elemente unserer Menge sind nur gewöhnliche Mengen. Als Ergebnis kommen wir zu dem Schluss, dass die Menge aller gewöhnlichen Mengen weder gewöhnlich noch außergewöhnlich sein kann.

Die Menge aller Mengen, die keine echten Elemente sind, ist also genau dann ein echtes Element, wenn sie kein solches Element ist. Das ist ein klarer Widerspruch. Und es wurde auf der Grundlage der plausibelsten Annahmen und mit Hilfe scheinbar unbestreitbarer Schritte gewonnen.

Der Widerspruch besagt, dass eine solche Menge einfach nicht existiert. Aber warum kann es das nicht geben? Schließlich besteht es aus Objekten, die eine genau definierte Bedingung erfüllen, und die Bedingung selbst scheint nicht irgendwie außergewöhnlich oder obskur zu sein. Wenn eine so einfach und klar definierte Menge nicht existieren kann, was ist dann eigentlich der Unterschied zwischen möglichen und unmöglichen Mengen? Die Schlussfolgerung über die Nichtexistenz der betrachteten Menge klingt unerwartet und weckt Besorgnis. Er macht unsere allgemeines Konzept amorph und chaotisch eingestellt, und es gibt keine Garantie dafür, dass es nicht in der Lage ist, einige neue Paradoxien zu erzeugen.

Russells Paradoxon ist wegen seiner extremen Allgemeingültigkeit bemerkenswert. Für seine Konstruktion sind keine komplexen technischen Konzepte erforderlich, da bei einigen anderen Paradoxien die Konzepte "Menge" und "Element der Menge" ausreichen. Aber diese Einfachheit spricht nur von ihrer grundlegenden Natur: Sie berührt die tiefsten Grundlagen unseres Denkens über Mengen, da sie nicht von einigen Sonderfällen spricht, sondern von Mengen im Allgemeinen.

Andere Varianten des Paradoxons

Russells Paradoxon ist nicht spezifisch mathematisch. Es verwendet das Konzept einer Menge, berührt aber keine speziellen Eigenschaften, die speziell mit der Mathematik verbunden sind.

Dies wird deutlich, wenn das Paradoxon rein logisch umformuliert wird.

Bei jeder Eigenschaft kann man aller Wahrscheinlichkeit nach fragen, ob sie auf sich selbst anwendbar ist oder nicht.

Die Eigenschaft, heiß zu sein, gilt beispielsweise nicht für sich selbst, da es selbst nicht heiß ist; auch die Eigenschaft, konkret zu sein, bezieht sich nicht auf sich selbst, denn sie ist eine abstrakte Eigenschaft. Aber die Eigenschaft, abstrakt zu sein, abstrakt zu sein, ist auf einen selbst anwendbar. Nennen wir diese auf sich selbst nicht anwendbaren Eigenschaften nicht anwendbar. Gilt die Eigenschaft, auf sich selbst nicht anwendbar zu sein? Es stellt sich heraus, dass die Unanwendbarkeit nur dann unanwendbar ist, wenn dies nicht der Fall ist. Das ist natürlich paradox.

Die logische, eigenschaftsbezogene Variante von Russells Antinomie ist ebenso paradox wie die mathematische, mengenbezogene Variante.

Russell schlug auch die folgende populäre Version des von ihm entdeckten Paradoxons vor.

Stellen Sie sich vor, dass der Rat eines Dorfes die Pflichten eines Barbiers wie folgt definiert: alle Männer des Dorfes zu rasieren, die sich nicht selbst rasieren, und nur diese Männer. Soll er sich rasieren? Wenn ja, bezieht es sich auf diejenigen, die sich selbst rasieren, und diejenigen, die sich selbst rasieren, er sollte sich nicht rasieren. Wenn nicht, wird er zu denen gehören, die sich nicht rasieren, und deshalb wird er sich selbst rasieren müssen. Wir kommen also zu dem Schluss, dass sich dieser Barbier genau dann rasiert, wenn er sich nicht rasiert. Das ist natürlich unmöglich.

Das Argument über den Barbier basiert auf der Annahme, dass es einen solchen Barbier gibt. Der daraus resultierende Widerspruch bedeutet, dass diese Annahme falsch ist und es keinen Dorfbewohner gibt, der all jene rasieren würde, und nur diejenigen Dorfbewohner, die sich nicht selbst rasieren.

Die Aufgaben eines Friseurs erscheinen auf den ersten Blick nicht widersprüchlich, daher klingt der Schluss, dass es keinen geben kann, etwas unerwartet. Diese Schlussfolgerung ist jedoch nicht paradox. Die Bedingung, die der Dorffriseur erfüllen muss, ist in der Tat widersprüchlich und daher unmöglich. Einen solchen Friseur kann es in einem Dorf aus dem gleichen Grund nicht geben, dass es dort keine Person gibt, die älter als er selbst wäre oder die vor seiner Geburt geboren wäre.

Der Streit um den Friseur kann als Pseudo-Paradoxon bezeichnet werden. In seinem Verlauf ist es streng analog zu Russells Paradox, und das macht es interessant. Aber es ist immer noch kein echtes Paradoxon.

Ein weiteres Beispiel für dasselbe Pseudo-Paradoxon ist altbekannte Begründungüber das Verzeichnis.

Eine bestimmte Bibliothek beschloss, einen bibliografischen Katalog zu erstellen, der all jene und nur jene bibliografischen Kataloge enthalten würde, die keine Verweise auf sich selbst enthalten. Sollte ein solches Verzeichnis einen Link zu sich selbst enthalten?

Es ist leicht zu zeigen, dass die Idee, einen solchen Katalog zu erstellen, nicht realisierbar ist; es kann einfach nicht existieren, weil es gleichzeitig einen Verweis auf sich selbst enthalten und nicht enthalten muss.

Es ist interessant festzustellen, dass das Katalogisieren aller Verzeichnisse, die keine Verweise auf sich selbst enthalten, als endloser, nie endender Prozess angesehen werden kann. Nehmen wir an, dass irgendwann ein Verzeichnis, sagen wir K1, kompiliert wurde, einschließlich aller anderen Verzeichnisse, die keine Verweise auf sich selbst enthalten. Mit der Erstellung von K1 erschien ein weiteres Verzeichnis, das keinen Link zu sich selbst enthält. Da das Ziel darin besteht, einen vollständigen Katalog aller Verzeichnisse zu erstellen, die sich selbst nicht erwähnen, ist es offensichtlich, dass K1 nicht die Lösung ist. Eines dieser Verzeichnisse erwähnt er nicht - sich selbst. Mit dieser Erwähnung von sich selbst in K1 erhalten wir den K2-Katalog. Es erwähnt K1, aber nicht K2 selbst. Wenn wir eine solche Erwähnung zu K2 hinzufügen, erhalten wir KZ, das wiederum nicht vollständig ist, da es sich selbst nicht erwähnt. Und weiter ohne Ende.

3. Paradoxien von Grelling und Berry

Ein interessantes logisches Paradoxon wurde von den deutschen Logikern K. Grelling und L. Nelson entdeckt (Grellingsches Paradoxon). Dieses Paradoxon lässt sich sehr einfach formulieren.

Autologisch und heterologisch

Einige Wörter, die Eigenschaften bezeichnen, haben genau die Eigenschaft, die sie benennen. Zum Beispiel ist das Adjektiv „Russisch“ selbst russisch, „mehrsilbig“ ist selbst mehrsilbig und „fünfsilbig“ hat selbst fünf Silben. Solche Wörter, die sich auf sich selbst beziehen, werden selbstbedeutend oder autologisch genannt.

Es gibt nicht so viele solcher Wörter, die überwiegende Mehrheit der Adjektive hat nicht die Eigenschaften, die sie benennen. „Neu“ ist natürlich nicht neu, „heiß“ ist heiß, „einsilbig“ ist einsilbig und „englisch“ ist Englisch. Wörter, die nicht die Eigenschaft haben, die sie bezeichnen, werden Aliase oder heterologisch genannt. Offensichtlich sind alle Adjektive, die Eigenschaften bezeichnen, die nicht auf Wörter anwendbar sind, heterologisch.

Diese Einteilung der Adjektive in zwei Gruppen erscheint klar und unbedenklich. Es kann auf Substantive ausgedehnt werden: "Wort" ist ein Wort, "Substantiv" ist ein Substantiv, aber "Uhr" ist keine Uhr und "Verb" ist kein Verb.

Schon bei der Frage stellt sich ein Paradox: Zu welcher der beiden Gruppen gehört das Adjektiv „heterologisch“ selbst? Wenn es autologisch ist, hat es die Eigenschaft, die es bezeichnet, und muss heterologisch sein. Wenn es heterologisch ist, hat es die Eigenschaft, die es nennt, nicht und muss daher autologisch sein. Es gibt ein Paradoxon.

In Analogie zu diesem Paradoxon lassen sich leicht andere Paradoxa derselben Struktur formulieren. Ist zum Beispiel eine suizidgefährdete Person, die jede nicht suizidgefährdete Person tötet und keine suizidgefährdete Person tötet?

Es stellte sich heraus, dass Grelligs Paradoxon im Mittelalter als Antinomie eines Ausdrucks bekannt war, der sich nicht selbst benennt. Man kann sich die Einstellung zu Sophismen und Paradoxien in der Neuzeit vorstellen, wenn das Problem, das eine Antwort verlangte und zu lebhaften Debatten führte, plötzlich vergessen und nur fünfhundert Jahre später wiederentdeckt wurde!

Eine andere, äußerlich einfache Antinomie wurde ganz am Anfang unseres Jahrhunderts von D. Berry angedeutet.

Die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich. Die Menge der Namen dieser Nummern, die beispielsweise in russischer Sprache verfügbar sind und weniger als beispielsweise hundert Wörter enthalten, ist endlich. Das bedeutet, dass es solche natürlichen Zahlen gibt, für die es auf Russisch keine Namen gibt, die aus weniger als hundert Wörtern bestehen. Unter diesen Zahlen gibt es offensichtlich die kleinste Zahl. Es kann nicht mit einem russischen Ausdruck aufgerufen werden, der weniger als hundert Wörter enthält. Aber der Ausdruck: "Die kleinste natürliche Zahl, für die es im Russischen nicht existiert zusammengesetzter Name, bestehend aus weniger als hundert Wörtern" ist nur der Name dieser Nummer! Dieser Name wurde gerade auf Russisch formuliert und enthält nur neunzehn Wörter. Ein offensichtliches Paradoxon: Es stellte sich heraus, dass die genannte Nummer diejenige war, für die es keinen Namen gibt!

4. Unlösbarer Streit

Im Herzen eines berühmten Paradoxons liegt ein scheinbar kleiner Vorfall, der sich vor mehr als zweitausend Jahren ereignete und bis heute unvergessen ist.

Der berühmte Sophist Protagoras, der im 5. Jahrhundert lebte. BC gab es einen Studenten namens Euathlus, der Jura studierte. Gemäß der zwischen ihnen geschlossenen Vereinbarung musste Euathlus nur dann für die Ausbildung bezahlen, wenn er seinen ersten Prozess gewann. Verliert er diesen Prozess, ist er überhaupt nicht zur Zahlung verpflichtet. Nach Abschluss seines Studiums beteiligte sich Evatl jedoch nicht an den Verfahren. Es dauerte ziemlich lange, die Geduld des Lehrers war am Ende und er reichte eine Klage gegen seinen Schüler ein. Für Euathlus war dies also der erste Prozess. Protagoras begründete seine Forderung wie folgt:

„Egal wie das Gericht entscheidet, Euathlus wird mich bezahlen müssen. Er wird entweder seinen ersten Versuch gewinnen oder verlieren. Wenn er gewinnt, zahlt er gemäß unserem Vertrag. Wenn er verliert, zahlt er gemäß dieser Entscheidung.

Anscheinend war Euathlus ein fähiger Schüler, als er Protagoras antwortete:

- Tatsächlich gewinne ich den Prozess oder verliere ihn. Wenn ich gewinne, entbindet mich der Gerichtsbeschluss von der Zahlungspflicht. Wenn die Gerichtsentscheidung nicht zu meinen Gunsten ausfällt, habe ich meinen ersten Fall verloren und werde aufgrund unseres Vertrags nicht zahlen.

Lösungen für das Protagoras- und Euathlus-Paradoxon

Verblüfft über diese Wendung der Sache, widmete Protagoras diesem Streit mit Euathlus einen besonderen Aufsatz, „Klagen um Zahlung“. Leider hat es uns, wie das meiste, was Protagoras geschrieben hat, nicht erreicht. Dennoch muss man Protagoras Anerkennung zollen, der hinter einem einfachen Gerichtsvorfall sofort ein Problem erkannte, das einer besonderen Untersuchung bedarf.

Auch G. Leibniz, selbst ausgebildeter Jurist, nahm diesen Streit ernst. In seiner Doktorarbeit „A Study of Intricate Cases in Law“ versuchte er zu beweisen, dass alle Fälle, selbst die kompliziertesten, wie der Rechtsstreit von Protagoras und Euathlus, gefunden werden müssen richtige Auflösung basiert auf gesundem Menschenverstand. Laut Leibniz sollte das Gericht Protagoras die verspätete Klageerhebung ablehnen, ihm aber das Recht lassen, später, nämlich nach dem ersten von ihm gewonnenen Prozess, Geldzahlungen von Evatl zu verlangen.

Viele andere Lösungen für dieses Paradoxon wurden vorgeschlagen.

Sie verwiesen insbesondere darauf, dass die Entscheidung des Gerichts getroffen werden muss große Kraft als eine private Vereinbarung zwischen zwei Personen. Man kann entgegnen, dass es ohne dieses Abkommen, so unbedeutend es auch erscheinen mag, weder ein Gericht noch dessen Entscheidung geben würde. Schließlich muss das Gericht seine Entscheidung genau aus Anlass und auf seiner Grundlage treffen.

Sie appellierten auch an den allgemeinen Grundsatz, dass jede Arbeit und damit die Arbeit von Protagoras bezahlt werden muss. Aber es ist bekannt, dass dieses Prinzip immer Ausnahmen hatte, besonders in einer sklavenhaltenden Gesellschaft. Darüber hinaus ist es einfach nicht auf die spezifische Situation des Streits anwendbar: Immerhin, Protagoras, garantiert hohes Niveau Ausbildung verweigerte er selbst die Zahlungsannahme bei Nichtbestehen seines Schülers im ersten Verfahren.

Manchmal reden sie so. Sowohl Protagoras als auch Euathlus haben beide teilweise Recht, und keiner von ihnen im Allgemeinen. Jeder von ihnen berücksichtigt nur die Hälfte der Möglichkeiten, die ihm zugute kommen. Vollständige oder umfassende Betrachtung eröffnet vier Möglichkeiten, von denen nur die Hälfte für einen der Streitenden vorteilhaft ist. Welche dieser Möglichkeiten verwirklicht wird, entscheidet nicht die Logik, sondern das Leben. Wenn das Urteil der Richter mehr Gewicht hat als der Vertrag, muss Euathl nur zahlen, wenn er den Prozess verliert, d.h. aufgrund einer gerichtlichen Entscheidung. Wird jedoch eine private Vereinbarung höher gestellt als die Entscheidung der Richter, erhält Protagoras nur dann eine Zahlung, wenn der Prozess gegen Evatlus verloren geht, d.h. aufgrund einer Vereinbarung mit Protagoras.

Dieser Appell an das Leben bringt schließlich alles durcheinander. Wovon, wenn nicht von Logik, können sich Richter unter Bedingungen leiten lassen, wenn alle relevanten Umstände völlig klar sind? Und welche Art von Führung wird es sein, wenn Protagoras, der die Zahlung vor Gericht fordert, diese nur erreicht, indem er den Prozess verliert?

Allerdings ist Leibniz' zunächst überzeugende Lösung etwas besser als der vage Gegensatz von Logik und Leben. Im Wesentlichen schlägt Leibniz vor, den Vertragstext rückwirkend zu ändern und vorzusehen, dass der erste Prozess gegen Euathlus, in dessen Ausgang über die Zahlungsfrage entschieden wird, nicht der Prozess gegen Protagoras sein soll. Dieser Gedanke ist tief, aber nicht an ein bestimmtes Gericht gebunden. Hätte es eine solche Klausel im ursprünglichen Vertrag gegeben, wäre ein Rechtsstreit überhaupt nicht erforderlich gewesen.

Versteht man unter der Lösung dieser Schwierigkeit die Antwort auf die Frage, ob Euathlus Protagoras bezahlen soll oder nicht, dann sind all diese, wie auch alle anderen denkbaren Lösungen, natürlich unhaltbar. Sie sind nichts anderes als eine Abkehr vom Wesen des Streits, sie sind gleichsam sophistische Tricks und List in einer aussichtslosen und unlösbaren Situation. Denn weder gesunder Menschenverstand noch allgemeine Prinzipien der sozialen Beziehungen können den Streit schlichten.

Es ist unmöglich, den Vertrag in seiner ursprünglichen Form und der Entscheidung des Gerichts, wie auch immer letztere lautet, zu erfüllen. Um dies zu beweisen, genügen einfache Mittel der Logik. Auf die gleiche Weise lässt sich auch zeigen, dass der Vertrag trotz seines völlig unschuldigen Anscheins in sich widersprüchlich ist. Es erfordert die Verwirklichung eines logisch unmöglichen Satzes: Euathlus muss für die Ausbildung zahlen und gleichzeitig nicht zahlen.

Regeln, die in eine Sackgasse führen

Der menschliche Geist, der nicht nur an seine Stärke, sondern auch an seine Flexibilität und sogar seinen Einfallsreichtum gewöhnt ist, findet es natürlich schwierig, sich mit dieser absoluten Hoffnungslosigkeit abzufinden und zuzugeben, dass er in eine Sackgasse getrieben wurde. Das ist besonders schwierig, wenn die Sackgasse vom Verstand selbst geschaffen wird: Er stolpert sozusagen aus heiterem Himmel und fällt in seine eigenen Netze. Dennoch muss man zugeben, dass manchmal, übrigens gar nicht so selten, spontan gebildete oder bewusst eingeführte Vereinbarungen und Regelsysteme zu unlösbaren, ausweglosen Situationen führen.

Ein Beispiel aus dem jüngsten Schachleben wird diese Idee noch einmal bestätigen.

Internationale Regeln für Schachwettbewerbe verpflichten Schachspieler dazu, das Spiel Zug für Zug klar und leserlich aufzuzeichnen. Bis vor kurzem sahen die Regeln auch vor, dass ein Schachspieler, der aus Zeitmangel die Aufzeichnung mehrerer Züge verpasst hat, "sobald seine Zeitnot endet, sofort sein Formular ausfüllen und die verpassten Züge aufschreiben muss". Auf der Grundlage dieser Anweisung unterbrach ein Richter bei der Schacholympiade 1980 (Malta) das Spiel, das sich in schweren Schwierigkeiten befand, und stoppte die Uhr, indem er erklärte, dass die Kontrollzüge ausgeführt worden seien und es daher Zeit sei zu setzen die Aufzeichnungen der Spiele in Ordnung.

„Aber entschuldigen Sie“, rief der Teilnehmer, der kurz vor dem Verlieren stand und am Ende des Spiels nur auf die Intensität der Leidenschaften zählte, „schließlich ist noch keine einzige Fahne gefallen und niemand kann jemals (wie steht auch in den Regeln) kann sagen, wie viele Züge gemacht wurden.

Der Schiedsrichter wurde jedoch vom Hauptschiedsrichter unterstützt, der sagte, dass es in der Tat nach dem Ende der Zeitnot notwendig sei, den Buchstaben der Regeln zu folgen und mit der Aufzeichnung der verpassten Züge zu beginnen.

Es war sinnlos, in dieser Situation zu argumentieren: Die Regeln selbst führten in eine Sackgasse. Es blieb nur noch, ihren Wortlaut so zu ändern, dass ähnliche Fälle zukünftig nicht mehr entstehen können.

Dies geschah auf dem gleichzeitig stattfindenden Kongress der Internationalen Schachföderation: Statt der Worte „sobald die Zeitnot vorbei ist“ heißt es in den Regeln nun: „sobald die Fahne das Ende anzeigt von Zeit".

Dieses Beispiel zeigt deutlich, wie es geht Sackgassen. Es ist sinnlos, darüber zu streiten, welche Seite Recht hat: Der Streit ist unlösbar, und es wird keinen Sieger geben. Es bleibt nur, sich mit der Gegenwart auseinanderzusetzen und sich um die Zukunft zu kümmern. Dazu müssen Sie die ursprünglichen Vereinbarungen oder Regeln so umformulieren, dass sie niemanden in dieselbe aussichtslose Situation bringen.

Natürlich ist ein solches Vorgehen keine Lösung eines unlösbaren Streits oder ein Ausweg aus einer aussichtslosen Situation. Es ist eher ein Stopp vor einem unüberwindbaren Hindernis und einer Straße darum herum.

Paradox "Krokodil und Mutter"

BEIM Antikes Griechenland die Geschichte vom Krokodil und der Mutter war sehr beliebt und deckte sich in ihrem logischen Inhalt mit dem Paradox "Protagoras und Evatl".

Das Krokodil entriss ihr Kind einer Ägypterin, die am Flussufer stand. Auf ihre Bitte, das Kind zurückzugeben, antwortete das Krokodil, wie immer eine Krokodilsträne vergießend:

„Ihr Unglück hat mich berührt, und ich werde Ihnen die Chance geben, Ihr Kind zurückzubekommen. Rate mal, ob ich es dir gebe oder nicht. Wenn Sie richtig antworten, gebe ich das Kind zurück. Wenn du es nicht errätst, gebe ich es nicht zurück.

Nachdenklich antwortete die Mutter:

Du wirst mir das Baby nicht geben.

„Du wirst es nicht verstehen“, schloss das Krokodil. Entweder du hast die Wahrheit gesagt oder nicht. Wenn es stimmt, dass ich das Kind nicht aufgeben werde, dann werde ich es nicht aufgeben, weil es sonst nicht wahr ist. Wenn das Gesagte nicht stimmt, dann haben Sie es nicht erraten, und ich werde das Kind nicht nach Vereinbarung geben.

Diese Argumentation erschien der Mutter jedoch nicht überzeugend.

- Aber wenn ich die Wahrheit gesagt habe, dann gibst du mir das Kind, wie wir es vereinbart haben. Wenn ich nicht geahnt habe, dass Sie das Kind nicht geben werden, dann müssen Sie es mir geben, sonst ist das, was ich gesagt habe, nicht unwahr.

Wer hat Recht: Mutter oder Krokodil? Wozu verpflichtet das dem Krokodil gegebene Versprechen? Um das Kind zu verschenken, oder im Gegenteil, um es nicht wegzugeben? Und zu beidem gleichzeitig. Dieses Versprechen ist widersprüchlich und kann daher nicht kraft der Gesetze der Logik erfüllt werden.

Der Missionar fand sich bei den Kannibalen wieder und traf gerade rechtzeitig zum Abendessen ein. Sie lassen ihn entscheiden, wie er gegessen wird. Dazu muss er eine Aussage mit der Bedingung machen, dass sie sie kochen, wenn sich diese Aussage als wahr herausstellt, und wenn sie sich als falsch herausstellt, sie rösten.

Was soll der Missionar sagen?

Natürlich sollte er sagen: "Du wirst mich braten."

Wenn er wirklich gebraten ist, wird sich herausstellen, dass er die Wahrheit gesagt hat, und deshalb muss er gekocht werden. Wenn er gekocht wird, ist seine Aussage falsch und er sollte einfach gebraten werden. Die Kannibalen werden keinen Ausweg haben: Aus „braten“ folgt „kochen“ und umgekehrt.

Diese Episode des schlauen Missionars ist natürlich eine weitere Paraphrase des Streits zwischen Protagoras und Euathlus.

Paradox von Sancho Panza

Ein altes Paradoxon, das im antiken Griechenland bekannt ist, wird in Don Quixote von M. Cervantes aufgegriffen. Sancho Panza ist Gouverneur der Insel Barataria geworden und verwaltet das Gericht.

Der erste, der zu ihm kommt, ist ein Besucher und sagt: „Senior, ein gewisses Anwesen ist durch einen tiefen Fluss in zwei Hälften geteilt ... Also wurde eine Brücke über diesen Fluss geschlagen, und genau dort am Rand steht ein Galgen und Es gibt so etwas wie ein Gericht, in dem normalerweise vier Personen sitzen, Richter, und sie urteilen auf der Grundlage eines Gesetzes, das der Eigentümer des Flusses, der Brücke und des gesamten Anwesens erlassen hat, und dieses Gesetz ist so formuliert: und Wer auch immer lügt, schickt sie ohne Nachsicht zum dortigen Galgen und exekutiert sie. Von der Zeit an, als dieses Gesetz in seiner ganzen Strenge verkündet wurde, gelang es vielen, über die Brücke zu kommen, und sobald die Richter überzeugt waren, dass die Passanten die Wahrheit sagten, ließen sie sie durch. Aber dann schwor eines Tages ein Vereidigter und sagte: Er schwört, dass er gekommen ist, um an diesem Galgen aufgehängt zu werden, und für nichts anderes. Dieser Eid verwirrte die Richter, und sie sagten: „Wenn dieser Mann ungehindert weitergehen darf, dann bedeutet dies, dass er den Eid gebrochen hat und nach dem Gesetz mit dem Tod bestraft wird; Wenn wir ihn aufhängen, dann hat er geschworen, dass er nur gekommen ist, um an diesem Galgen aufgehängt zu werden, daher ist sein Eid, wie sich herausstellt, nicht falsch, und auf der Grundlage desselben Gesetzes ist es notwendig, ihn passieren zu lassen. Und deshalb frage ich Sie, Herr Gouverneur, was sollen die Richter mit diesem Mann tun, weil sie immer noch ratlos und zögernd sind ...

Sancho schlug, vielleicht nicht ohne Schlauheit, vor, die Hälfte der Person, die die Wahrheit sagte, durchzulassen und diejenige, die gelogen hatte, aufzuhängen, damit die Regeln für das Überqueren der Brücke in allen Formen eingehalten würden. Diese Passage ist in mehrfacher Hinsicht interessant.

Zunächst einmal ist es eine klare Illustration der Tatsache, dass die im Paradoxon beschriebene Pattsituation durchaus ins Auge gefasst werden kann – und nicht hinein reine theorie, aber in der Praxis - wenn nicht eine echte Person, dann zumindest ein literarischer Held.

Der von Sancho Pansa vorgeschlagene Ausweg war natürlich keine Lösung des Paradoxons. Aber dies war nur die Lösung, zu der er an seiner Stelle greifen musste.

Es war einmal Alexander der Große, anstatt den listigen gordischen Knoten zu lösen, was noch niemandem gelungen ist, hat er ihn einfach durchtrennt. Sancho tat dasselbe. Versuche, das Rätsel an ihr zu lösen eigene Bedingungen war nutzlos - es ist einfach unlösbar. Es blieb übrig, diese Bedingungen zu verwerfen und eigene einzuführen.

Und einen Augenblick. Mit dieser Episode prangert Cervantes das exorbitant formale Ausmaß der mittelalterlichen Justiz, durchdrungen vom Geist der scholastischen Logik, deutlich an. Aber wie weit verbreitet waren zu seiner Zeit - und das war vor etwa vierhundert Jahren - Informationen aus dem Bereich der Logik! Nicht nur Cervantes selbst kennt dieses Paradoxon. Der Schriftsteller findet es möglich, seinem Helden, einem ungebildeten Bauern, die Fähigkeit zuzuschreiben, zu verstehen, dass er vor einer unlösbaren Aufgabe steht!

5. Andere Paradoxien

Die obigen Paradoxien sind Argumente, deren Ergebnis ein Widerspruch ist. Aber es gibt noch andere Arten von Paradoxien in der Logik. Sie weisen auch auf einige Schwierigkeiten und Probleme hin, aber sie tun dies weniger hart und kompromisslos. Dies sind insbesondere die nachstehend diskutierten Paradoxien.

Paradoxien ungenauer Konzepte

Die meisten Konzepte nicht nur der natürlichen Sprache, sondern auch der Wissenschaftssprache sind ungenau oder, wie sie auch genannt werden, verschwommen. Oft ist dies die Ursache für Missverständnisse, Streitigkeiten oder führt sogar einfach zu Blockaden.

Wenn das Konzept ungenau ist, ist die Grenze des Objektbereichs, auf den es anwendbar ist, unscharf und verschwommen. Nehmen Sie zum Beispiel das Konzept des „Haufens“. Ein Korn (ein Sandkorn, ein Stein usw.) ist noch kein Haufen. Tausend Körner sind natürlich schon ein Bündel. Und drei Körner? Und zehn? Wie viele Körner werden zu einem Haufen hinzugefügt? Nicht sehr klar. Ebenso ist nicht klar, mit welcher Körnung der Haufen verschwindet.

Ungenau sind die empirischen Merkmale „groß“, „schwer“, „schmal“ usw. Solche gewöhnlichen Begriffe wie „weiser Mann“, „Pferd“, „Haus“ usw. sind ungenau.

Es gibt kein Sandkorn, von dem wir sagen können, dass nach seiner Entfernung das, was übrig bleibt, nicht mehr Heimat genannt werden kann. Aber immerhin scheint dies zu bedeuten, dass es zu keinem Zeitpunkt des schrittweisen Abbaus des Hauses - bis hin zu seinem vollständigen Verschwinden - einen Grund gibt, zu erklären, dass es kein Haus gibt! Die Schlussfolgerung ist eindeutig paradox und entmutigend.

Es ist leicht einzusehen, dass der Streit um die Unmöglichkeit der Bildung eines Haufens mit der bekannten Methode geführt wird mathematische Induktion. Ein Korn bildet keinen Haufen. Wenn n Körner keine Haufen bilden, dann bilden n+1 Körner keine Haufen. Daher kann keine Anzahl von Körnern Haufen bilden.

Die Möglichkeit, dass dieser und ähnliche Beweise zu absurden Schlussfolgerungen führen, bedeutet, dass das Prinzip der mathematischen Induktion einen begrenzten Anwendungsbereich hat. Es sollte nicht verwendet werden, um mit ungenauen, vagen Konzepten zu argumentieren.

Ein gutes Beispiel dafür, wie diese Konzepte zu unlösbaren Streitigkeiten führen können, ist ein merkwürdiger Prozess, der 1927 in den Vereinigten Staaten stattfand. Der Bildhauer C. Brancusi ging vor Gericht und forderte die Anerkennung seiner Werke als Kunstwerke. Unter den für die Ausstellung nach New York geschickten Werken war auch die Skulptur „Bird“, die heute als Klassiker des abstrakten Stils gilt. Es handelt sich um eine etwa anderthalb Meter hohe modulierte Säule aus polierter Bronze, die äußerlich keinerlei Ähnlichkeit mit einem Vogel hat. Die Zollbeamten weigerten sich kategorisch, Brancusis abstrakte Schöpfungen als Kunstwerke anzuerkennen. Sie stellten sie unter die Überschrift „Krankenhaus- und Haushaltsgeräte aus Metall“ und belegten sie mit hohen Zöllen. Empört klagte Brancusi.

Customs wurde von Künstlern unterstützt - Mitgliedern der National Academy, die traditionelle Methoden in der Kunst verteidigten. Sie traten im Prozess als Zeugen der Verteidigung auf und beharrten kategorisch darauf, dass der Versuch, den „Vogel“ als Kunstwerk auszugeben, schlicht ein Betrug war.

Dieser Konflikt unterstreicht anschaulich die Schwierigkeit, mit dem Begriff „Kunstwerk“ zu operieren. Die Bildhauerei gilt traditionell als eine Form der bildenden Kunst. Der Grad der Ähnlichkeit des skulpturalen Bildes mit dem Original kann jedoch in sehr weiten Grenzen schwanken. Und wann hört ein skulpturales Bild, das sich immer mehr vom Original entfernt, auf, ein Kunstwerk zu sein, und wird zu einem „metallischen Gebrauchsgegenstand“? Diese Frage ist so schwer zu beantworten wie die Frage, wo die Grenze zwischen einem Haus und seiner Ruine, zwischen einem Pferd mit Schweif und einem Pferd ohne Schweif ist und so weiter. Übrigens sind die Modernisten im Allgemeinen davon überzeugt, dass die Skulptur ein Objekt von expressiver Form ist und überhaupt kein Bild sein muss.

Der Umgang mit ungenauen Begriffen erfordert daher eine gewisse Vorsicht. Wäre es nicht besser, sie ganz zu vermeiden?

Der deutsche Philosoph E. Husserl neigte dazu, vom Wissen eine so extreme Strenge und Genauigkeit zu verlangen, die nicht einmal in der Mathematik zu finden ist. In diesem Zusammenhang erinnern Husserls Biographen mit Ironie an einen Vorfall, der ihm in der Kindheit widerfahren ist. Ihm wurde ein Taschenmesser geschenkt, und er beschloss, die Klinge so scharf wie möglich zu machen, und schärfte sie, bis nichts mehr von der Klinge übrig war.

Genauere Begriffe sind in vielen Situationen ungenauen vorzuziehen. Der übliche Wunsch nach Klärung der verwendeten Begriffe ist durchaus berechtigt. Aber es muss natürlich seine Grenzen haben. Selbst in der Sprache der Wissenschaft ist ein erheblicher Teil der Konzepte ungenau. Und das hängt nicht mit den subjektiven und zufälligen Fehlern einzelner Wissenschaftler zusammen, sondern mit der Natur wissenschaftlicher Erkenntnis. In der natürlichen Sprache sind ungenaue Konzepte überwältigend; dies spricht unter anderem für seine Flexibilität und latente Stärke. Wer allen Begriffen höchste Präzision abverlangt, läuft Gefahr, ohne Sprache dastehen zu müssen. „Entziehen Sie den Worten jede Zweideutigkeit, jede Unsicherheit“, schrieb der französische Kosmetiker J. Joubert, „verwandeln Sie sie ... in einzelne Ziffern – das Spiel wird die Sprache verlassen und mit ihr Eloquenz und Poesie: alles, was beweglich und wandelbar ist die Neigungen der Seele, können ihren Ausdruck nicht finden. Aber was sage ich: berauben ... Ich werde mehr sagen. Entziehen Sie dem Wort jegliche Ungenauigkeit - und Sie verlieren sogar Axiome.

Sowohl Logiker als auch Mathematiker haben sich lange Zeit nicht um die Schwierigkeiten gekümmert, die mit unscharfen Begriffen und ihren entsprechenden Mengen verbunden sind. Die Frage wurde wie folgt gestellt: Konzepte müssen präzise sein, und alles Vage ist eines ernsthaften Interesses unwürdig. In den letzten Jahrzehnten hat diese allzu strenge Haltung jedoch an Attraktivität verloren. Es werden logische Theorien konstruiert, die speziell die Einzigartigkeit des Denkens mit ungenauen Begriffen berücksichtigen.

Aktiv weiterentwickeln mathematische Theorie sogenannte Fuzzy-Sets, undeutlich definierte Ansammlungen von Objekten.

Die Analyse von Ungenauigkeitsproblemen ist ein Schritt, um die Logik der Praxis des gewöhnlichen Denkens näher zu bringen. Und wir können davon ausgehen, dass es noch viele weitere interessante Ergebnisse bringen wird.

Paradoxien der induktiven Logik

Es gibt vielleicht keinen Bereich der Logik, der nicht seine eigenen Paradoxien hat.

Die induktive Logik hat ihre eigenen Paradoxien, die seit fast einem halben Jahrhundert aktiv, aber bisher ohne großen Erfolg, bekämpft werden. Von besonderem Interesse ist das vom amerikanischen Philosophen K. Hempel entdeckte Bestätigungsparadoxon. Es ist selbstverständlich, das anzunehmen allgemeine Bestimmungen, insbesondere wissenschaftliche Gesetze, werden durch ihre positiven Beispiele bestätigt. Wenn beispielsweise die Aussage „Alle A ist B“ betrachtet wird, dann werden ihre positiven Beispiele Objekte sein, die die Eigenschaften A und B haben. Insbesondere sind unterstützende Beispiele für die Aussage „Alle Raben sind schwarz“ Objekte, die sowohl Raben als auch sind Schwarz. Diese Aussage ist jedoch gleichbedeutend mit der Aussage „Alle Dinge, die nicht schwarz sind, sind keine Krähen“, und eine Bestätigung des letzteren muss auch eine Bestätigung des ersteren sein. Aber "Alles ist nicht schwarz ist keine Krähe" wird durch jeden Fall eines nicht schwarzen Objekts bestätigt, das keine Krähe ist. Es stellt sich also heraus, dass die Beobachtungen „Die Kuh ist weiß“, „Die Schuhe sind braun“ usw. bestätigen die Aussage „Alle Krähen sind schwarz“.

Aus scheinbar unschuldigen Prämissen ergibt sich ein unerwartetes paradoxes Ergebnis.

In der Normenlogik geben einige ihrer Gesetze Anlass zur Sorge. Wenn sie sinnvoll formuliert sind, wird ihr Widerspruch zu den üblichen Vorstellungen von richtig und falsch offensichtlich. Zum Beispiel besagt eines der Gesetze, dass ab dem Befehl "Brief senden!" es folgt der Befehl „Sende den Brief oder verbrenne ihn!“.

Ein anderes Gesetz besagt, dass jemand, der eine seiner Pflichten verletzt hat, das Recht hat, zu tun, was er will. Unsere logische Intuition will sich solche "Pflichtgesetze" nicht gefallen lassen.

In der Logik des Wissens wird das Paradox der logischen Allwissenheit heftig diskutiert. Er behauptet, dass eine Person alle logischen Konsequenzen kennt, die sich aus den Positionen ergeben, die sie einnimmt. Wenn jemand zum Beispiel die fünf Postulate der Geometrie von Euklid kennt, dann kennt er diese ganze Geometrie, da sie aus ihnen folgt. Aber das ist nicht so. Eine Person kann den Postulaten zustimmen und gleichzeitig den Satz des Pythagoras nicht beweisen können und daher an seiner allgemeinen Wahrheit zweifeln.

6. Was ist ein logisches Paradoxon?

Es gibt keine erschöpfende Liste logischer Paradoxien, und es ist unmöglich.

Die betrachteten Paradoxien sind nur ein Teil aller bisher entdeckten. Es ist wahrscheinlich, dass in Zukunft noch viele andere Paradoxien entdeckt werden, und sogar völlig neue Arten davon. Der eigentliche Begriff eines Paradoxons ist nicht so eindeutig, dass es möglich wäre, eine Liste zumindest bereits bekannter Paradoxa zusammenzustellen.

„Mengentheoretische Paradoxien sind ein sehr ernstes Problem, allerdings nicht für die Mathematik, sondern für die Logik und Erkenntnistheorie“, schreibt der österreichische Mathematiker und Logiker K. Gödel. „Die Logik ist widersprüchlich. Es gibt keine logischen Paradoxien“, sagt der Mathematiker D. Bochvar. Solche Diskrepanzen sind manchmal erheblich, manchmal verbal. Der Punkt liegt weitgehend darin, was genau mit einem logischen Paradoxon gemeint ist.

Die Besonderheit logischer Paradoxien

Ein notwendiges Merkmal logischer Paradoxien ist das logische Wörterbuch.

Paradoxien, die logisch sind, müssen in logischen Begriffen formuliert werden. In der Logik gibt es jedoch keine klaren Kriterien für die Unterteilung von Begriffen in logisch und nicht logisch. Die Logik, die sich mit der Richtigkeit des Denkens befasst, versucht, die Konzepte, von denen die Richtigkeit praktisch angewandter Schlussfolgerungen abhängt, auf ein Minimum zu reduzieren. Aber dieses Minimum ist nicht eindeutig vorgegeben. Darüber hinaus können auch nicht-logische Aussagen logisch formuliert werden. Ob ein bestimmtes Paradox nur rein logische Prämissen verwendet, lässt sich bei weitem nicht immer eindeutig feststellen.

Logische Paradoxien sind nicht strikt von allen anderen Paradoxien getrennt, ebenso wie letztere nicht klar von allem nicht-paradoxen und mit den herrschenden Vorstellungen übereinstimmenden unterschieden werden.

Zu Beginn des Studiums logischer Paradoxien schien es, dass sie durch die Verletzung einer noch unerforschten Position oder Regel der Logik unterschieden werden könnten. Das von B. Russell eingeführte Prinzip des Teufelskreises beanspruchte besonders aktiv die Rolle einer solchen Regel. Dieses Prinzip besagt, dass eine Sammlung von Objekten keine Mitglieder enthalten kann, die nur durch dieselbe Sammlung definiert sind.

Alle Paradoxien haben eines gemeinsam – Selbstanwendbarkeit oder Zirkularität. In jedem von ihnen ist das fragliche Objekt durch eine Reihe von Objekten gekennzeichnet, zu denen es selbst gehört. Wählen wir beispielsweise die schlaueste Person aus, tun wir dies mit Hilfe einer Population von Menschen, zu der diese Person gehört. Und wenn wir sagen: „Diese Aussage ist falsch“, dann charakterisieren wir die für uns interessante Aussage dadurch, dass wir uns auf die Gesamtheit aller falschen Aussagen beziehen, die sie enthält.

In allen Paradoxien gibt es eine Selbstanwendbarkeit von Begriffen, was bedeutet, dass es gleichsam eine Bewegung im Kreis gibt, die am Ende zum Ausgangspunkt führt. In dem Bemühen, das für uns interessierende Objekt zu charakterisieren, wenden wir uns der Menge von Objekten zu, die es enthält. Es stellt sich jedoch heraus, dass es zu seiner Bestimmtheit selbst den betrachteten Gegenstand benötigt und ohne ihn nicht eindeutig verstanden werden kann. In diesem Kreis liegt vielleicht die Quelle der Paradoxien.

Die Situation wird jedoch dadurch kompliziert, dass ein solcher Kreis in vielen völlig nicht paradoxen Argumenten existiert. Kreisförmig ist große Menge am häufigsten, harmlos und gleichzeitig bequeme Wege Ausdrücke. Solche Beispiele wie „die größte aller Städte“, „die kleinste aller natürlichen Zahlen“, „eines der Elektronen des Eisenatoms“ usw. zeigen, dass nicht jeder Fall der Selbstanwendbarkeit auf einen Widerspruch führt und dass er es ist ist nicht nur in wichtig gewöhnliche Sprache sondern auch in der Wissenschaftssprache.

Ein bloßer Hinweis auf die Verwendung selbst anwendbarer Konzepte reicht also nicht aus, um Paradoxien zu diskreditieren. Es ist ein zusätzliches Kriterium erforderlich, um die Selbstanwendbarkeit, die zu einem Paradoxon führt, von allen anderen Fällen davon zu trennen.

Es gab viele Vorschläge in dieser Richtung, aber keine erfolgreiche Klärung der Zirkularität wurde gefunden. Es stellte sich als unmöglich heraus, Zirkularität so zu charakterisieren, dass jeder Zirkelschluss zu einem Paradoxon führt und jedes Paradoxon das Ergebnis eines Zirkelschlusses ist.

Ein Versuch, ein bestimmtes Prinzip der Logik zu finden, dessen Verletzung würde Unterscheidungsmerkmal alles logische Paradoxien, führten zu nichts Bestimmtem.

Eine Art Klassifikation von Paradoxien wäre zweifellos nützlich, indem man sie in Typen und Typen unterteilt, einige Paradoxien gruppiert und sie anderen gegenüberstellt. Aber auch hier wurde nichts Nachhaltiges erreicht.

Der englische Logiker F. Ramsey, der 1930 starb, als er noch nicht siebenundzwanzig Jahre alt war, schlug vor, alle Paradoxien in syntaktische und semantische zu unterteilen. Das erste umfasst zum Beispiel Russells Paradox, das zweite - die Paradoxe des "Lügners", Grelling usw.

Die Paradoxien der ersten Gruppe enthalten laut Ramsey nur Konzepte, die der Logik oder der Mathematik angehören. Zu letzteren gehören Begriffe wie „Wahrheit“, „Bestimmbarkeit“, „Benennung“, „Sprache“, die nicht streng mathematisch sind, sondern der Linguistik oder gar der Erkenntnistheorie zuzuordnen sind. Semantische Paradoxien scheinen ihr Auftreten nicht einem Logikfehler zu verdanken, sondern der Vagheit oder Mehrdeutigkeit einiger nicht-logischer Konzepte, daher betreffen die Probleme, die sie aufwerfen, die Sprache und müssen von der Linguistik gelöst werden.

Es schien Ramsey, dass Mathematiker und Logiker nicht an semantischen Paradoxien interessiert sein müssten. Später stellte sich jedoch heraus, dass einige der bedeutendsten Ergebnisse der modernen Logik gerade im Zusammenhang mit einem tieferen Studium genau dieser nicht-logischen Paradoxien erzielt wurden.

Die von Ramsey vorgeschlagene Einteilung der Paradoxien war anfangs weit verbreitet und behält auch heute noch eine gewisse Bedeutung. Gleichzeitig wird immer deutlicher, dass diese Einteilung eher vage ist und sich in erster Linie auf Beispiele stützt und nicht auf eine eingehende vergleichende Analyse der beiden Gruppen von Paradoxien. Semantische Konzepte sind jetzt gut definiert, und es ist schwer, nicht zu erkennen, dass diese Konzepte tatsächlich logisch sind. Mit der Entwicklung der Semantik, die ihre Grundbegriffe mengentheoretisch definiert, verschwimmt die von Ramsey getroffene Unterscheidung zunehmend.

Paradoxien und moderne Logik

Welche Schlussfolgerungen für die Logik folgen aus der Existenz von Paradoxien?

Zunächst einmal spricht das Vorhandensein einer großen Anzahl von Paradoxien von der Stärke der Logik als Wissenschaft und nicht von ihrer Schwäche, wie es scheinen könnte.

Nicht zufällig fiel die Entdeckung der Paradoxien in die Zeit der intensivsten Entwicklung der modernen Logik und ihrer größten Erfolge.

Schon vor dem Aufkommen der Logik als Spezialwissenschaft wurden die ersten Paradoxien entdeckt. Im Mittelalter wurden viele Paradoxien entdeckt. Später gerieten sie jedoch in Vergessenheit und wurden bereits in unserem Jahrhundert wiederentdeckt.

Mittelalterliche Logiker waren sich der Begriffe "Menge" und "Element der Menge" nicht bewusst, die erst in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts in die Wissenschaft eingeführt wurden. Doch das Flair für Paradoxien wurde im Mittelalter so geschärft, dass schon damals gewisse Bedenken gegen selbstanwendbare Konzepte geäußert wurden. Das einfachste Beispiel dafür ist die Vorstellung vom „sein eigenes Element sein“, die in vielen heutigen Paradoxien auftaucht.

Allerdings waren solche Befürchtungen, wie alle Warnungen vor Paradoxien im Allgemeinen, bis zu unserem Jahrhundert nicht systematisch und eindeutig. Sie führten zu keinen klaren Vorschlägen zur Überprüfung gewohnter Denk- und Ausdrucksweisen.

Nur die moderne Logik hat das eigentliche Problem der Paradoxien aus der Vergessenheit genommen, die meisten der spezifischen logischen Paradoxien entdeckt oder wiederentdeckt. Sie zeigte ferner, dass die traditionell von der Logik erforschten Denkweisen völlig unzureichend sind, um Paradoxien zu beseitigen, und zeigte grundlegend neue Methoden auf, mit ihnen umzugehen.

Paradoxien posieren wichtige Frage: Was versagen uns eigentlich einige der üblichen Methoden der Begriffsbildung und Argumentation? Schließlich wirkten sie völlig natürlich und überzeugend, bis sich herausstellte, dass sie paradox waren.

Paradoxien untergraben den Glauben, dass gewohnheitsmäßige Methoden Theoretisches Denken von selbst und ohne besondere Kontrolle über sie liefern einen zuverlässigen Fortschritt in Richtung Wahrheit.

Paradoxien erfordern eine radikale Änderung einer allzu leichtgläubigen Herangehensweise an das Theoretisieren und sind eine scharfe Kritik an der Logik in ihrer naiven, intuitiven Form. Sie spielen die Rolle eines Faktors, der die Art und Weise der Konstruktion deduktiver Logiksysteme kontrolliert und einschränkt. Und diese Rolle von ihnen kann mit der Rolle eines Experiments verglichen werden, das die Richtigkeit von Hypothesen in Wissenschaften wie Physik und Chemie testet und sie zwingt, Änderungen an diesen Hypothesen vorzunehmen.

Ein Paradoxon in einer Theorie spricht von der Unvereinbarkeit der ihr zugrunde liegenden Annahmen. Es wirkt als rechtzeitig erkanntes Symptom der Krankheit, ohne das es hätte übersehen werden können.

Natürlich manifestiert sich die Krankheit auf vielfältige Weise, und am Ende ist es möglich, sie ohne solche akuten Symptome wie Paradoxien aufzudecken. Beispielsweise würden die Grundlagen der Mengenlehre analysiert und verfeinert, auch wenn keine Paradoxien auf diesem Gebiet entdeckt würden. Aber es hätte nicht diese Schärfe und Dringlichkeit gegeben, mit der die darin entdeckten Paradoxien das Problem einer Revision der Mengenlehre aufgeworfen hätten.

Eine umfangreiche Literatur widmet sich Paradoxien, wird vorgeschlagen große Nummer ihre Erklärungen. Aber keine dieser Erklärungen wird allgemein akzeptiert, und irgendwie volle Zustimmung in der Frage nach dem Ursprung von Paradoxien und Möglichkeiten, sie loszuwerden, nein.

„In den letzten sechzig Jahren wurden Hunderte von Büchern und Artikeln dem Ziel gewidmet, Paradoxien aufzulösen, aber die Ergebnisse sind im Vergleich zu den aufgewendeten Anstrengungen erstaunlich schlecht“, schreibt A. Frenkel. „Es sieht so aus“, schließt H. Curry seine Analyse der Paradoxien ab, „dass eine vollständige Reform der Logik erforderlich ist und die mathematische Logik zum Hauptwerkzeug für die Durchführung dieser Reform werden kann.“

Beseitigung und Erklärung von Paradoxien

Ein wichtiger Unterschied sollte beachtet werden.

Paradoxien zu beseitigen und sie aufzulösen ist nicht dasselbe. Ein Paradox aus einer bestimmten Theorie zu entfernen bedeutet, sie so umzustrukturieren, dass sich die paradoxe Behauptung darin als unbeweisbar herausstellt. Jedes Paradox beruht auf einer großen Anzahl von Definitionen, Annahmen und Argumenten. Seine Schlussfolgerung in der Theorie ist eine bestimmte Argumentationskette. Formal kann man jedes seiner Glieder hinterfragen, verwerfen und damit die Kette unterbrechen und das Paradox beseitigen. In vielen Arbeiten wird dies getan und darauf beschränkt.

Aber das ist noch nicht die Auflösung des Paradoxons. Es reicht nicht aus, einen Weg zu finden, sie auszuschließen, man muss die vorgeschlagene Lösung überzeugend begründen. Der bloße Zweifel, dass irgendein Schritt zu einem Paradoxon führt, muss wohlbegründet sein.

Zunächst einmal die Entscheidung, bestimmte aufzugeben logische Mittel, die bei der Ableitung der paradoxen Aussage verwendet wird, sollte mit unseren allgemeinen Überlegungen zur Natur verknüpft werden logischer Beweis und andere logische Intuitionen. Ist dies nicht der Fall, entpuppt sich die Beseitigung des Paradoxons als ohne solide und stabile Grundlagen und verkommt zu einer überwiegend technischen Aufgabe.

Darüber hinaus garantiert die Ablehnung einer Annahme, selbst wenn sie die Beseitigung eines bestimmten Paradoxons bewirkt, nicht automatisch die Beseitigung aller Paradoxa. Dies deutet darauf hin, dass Paradoxien nicht einzeln „gejagt“ werden sollten. Der Ausschluss eines von ihnen sollte immer so begründet sein, dass eine gewisse Garantie besteht, dass andere Paradoxien durch den gleichen Schritt beseitigt werden.

Jedes Mal, wenn ein Paradoxon entdeckt wird, schreibt A. Tarsky, „müssen wir unsere Denkweise einer gründlichen Revision unterziehen, einige Annahmen, an die wir geglaubt haben, verwerfen und die von uns verwendeten Argumentationsmethoden verbessern. Wir tun dies, um nicht nur Antinomien loszuwerden, sondern auch das Entstehen neuer zu verhindern.

Und schließlich kann eine schlecht durchdachte und leichtsinnige Zurückweisung zu vieler oder zu starker Annahmen einfach dazu führen, dass sich herausstellt, was zwar keine Paradoxien enthält, aber viel mehr schwache Theorie nur mit privatem Interesse.

Was kann das minimale, am wenigsten radikale Maßnahmenpaket sein, um bekannte Paradoxien zu vermeiden?

Logische Grammatik

Eine Möglichkeit besteht darin, neben wahren und falschen Sätzen auch bedeutungslose Sätze herauszufiltern. Dieser Weg wurde von B. Russell eingeschlagen. Paradoxes Denken wurde von ihm für sinnlos erklärt, weil es gegen die Anforderungen der logischen Grammatik verstoße. Nicht jeder Satz, der nicht gegen die Regeln der gewöhnlichen Grammatik verstößt, ist sinnvoll – er muss auch den Regeln einer speziellen, logischen Grammatik genügen.

Russell baute eine Theorie der logischen Typen auf, eine Art logische Grammatik, deren Aufgabe es war, alle bekannten Antinomien zu eliminieren. Anschließend wurde diese Theorie wesentlich vereinfacht und als einfache Typentheorie bezeichnet.

Die Hauptidee der Typentheorie ist die Zuordnung logisch unterschiedlicher Objekttypen, die Einführung einer Art Hierarchie oder Leiter der betrachteten Objekte. Der niedrigste oder Nulltyp umfasst einzelne Objekte, die keine Mengen sind. Der erste Typ umfasst Mengen von Objekten vom Typ Null, d.h. Einzelpersonen; zum zweiten - Sätze von Sätzen von Personen usw. Mit anderen Worten wird unterschieden zwischen Objekten, Eigenschaften von Objekten, Eigenschaften von Eigenschaften von Objekten usw. Gleichzeitig werden bestimmte Beschränkungen für die Konstruktion von Vorschlägen eingeführt. Eigenschaften können Objekten, Eigenschaften von Eigenschaften Eigenschaften usw. zugeordnet werden. Aber es ist unmöglich, sinnvoll zu behaupten, dass Objekte Eigenschaften von Eigenschaften haben.

Nehmen wir eine Reihe von Vorschlägen:

Dieses Haus ist rot.

Rot ist eine Farbe.

Farbe ist ein optisches Phänomen.

In diesen Sätzen bezieht sich der Ausdruck "dieses Haus" auf ein bestimmtes Objekt, das Wort "rot" auf eine Eigenschaft, die ihm innewohnt Dieses Thema, "eine Farbe sein" - auf der Eigenschaft dieser Eigenschaft ("rot sein") und "sein optisches Phänomen” - zeigt auf die Eigenschaft der Eigenschaft „be color“, die zur Eigenschaft „be red“ gehört. Hier haben wir es nicht nur mit Objekten und ihren Eigenschaften zu tun, sondern auch mit den Eigenschaften von Eigenschaften („die Eigenschaft, rot zu sein, hat die Eigenschaft, eine Farbe zu sein“), und sogar mit den Eigenschaften von Eigenschaften von Eigenschaften.

Alle drei Sätze aus der obigen Reihe sind natürlich sinnvoll. Sie werden nach den Anforderungen der Typentheorie gebaut. Und sagen wir, der Satz „Dieses Haus ist eine Farbe“ verstößt gegen diese Anforderungen. Sie schreibt einem Gegenstand jene Eigenschaft zu, die nur Eigenschaften, nicht aber Gegenständen zustehen kann. Ein ähnlicher Verstoß ist in dem Satz "Dieses Haus ist ein optisches Phänomen" enthalten. Beide Vorschläge sind als sinnlos einzustufen.

Eine einfache Typentheorie beseitigt Russells Paradoxon. Um die Paradoxien von Liar und Berry zu beseitigen, reicht es jedoch nicht mehr aus, die betrachteten Objekte einfach in Typen zu unterteilen. Es ist notwendig, einige zusätzliche Ordnungen innerhalb der Typen selbst einzuführen.

Die Eliminierung von Paradoxien kann auch erreicht werden, indem die Verwendung zu großer Mengen vermieden wird, ähnlich wie bei der Menge aller Mengen. Dieser Weg wurde von dem deutschen Mathematiker E. Zermelo vorgeschlagen, der das Auftreten von Paradoxien mit der unbegrenzten Konstruktion von Mengen verband. Die zulässigen Mengen wurden von ihm durch eine Liste von Axiomen definiert, die so formuliert waren, dass bekannte Paradoxien nicht daraus abgeleitet würden. Gleichzeitig waren diese Axiome stark genug, um daraus die üblichen Argumente der klassischen Mathematik abzuleiten, jedoch ohne Paradoxien.

Weder diese beiden noch die anderen vorgeschlagenen Wege zur Eliminierung von Paradoxien werden allgemein akzeptiert. Es besteht kein Konsens darüber, dass eine der vorgeschlagenen Theorien dies zulässt Logische Paradoxien anstatt sie einfach ohne tiefere Erklärung zu verwerfen. Das Problem der Erklärung von Paradoxien ist nach wie vor offen und nach wie vor wichtig.

Die Zukunft der Paradoxien

G. Frege, der größte Logiker letzten Jahrhunderts, war leider sehr schlechter Charakter. Außerdem war er vorbehaltlos und sogar grausam gegenüber seiner Kritik an seinen Zeitgenossen.

Vielleicht wurde sein Beitrag zur Logik und Begründung der Mathematik deshalb lange nicht gewürdigt. Und als er allmählich berühmt wurde, schrieb ihm der junge englische Logiker B. Russell, dass in dem im ersten Band seines Buches The Fundamental Laws of Arithmetic veröffentlichten System ein Widerspruch auftauche. Der zweite Band dieses Buches war bereits im Druck, und Frege konnte nur noch ergänzen spezielle Anwendung, in dem er diesen Widerspruch (später „Russellsches Paradoxon“ genannt) skizzierte und zugab, ihn nicht beseitigen zu können.

Die Folgen dieser Anerkennung waren für Frege jedoch tragisch. Er erlebte den größten Schock. Und obwohl er damals erst 55 Jahre alt war, veröffentlichte er kein weiteres bedeutendes Werk über Logik, obwohl er mehr als zwanzig Jahre lebte. Er reagierte nicht einmal auf die lebhafte Diskussion, die durch Russells Paradoxon ausgelöst wurde, und reagierte in keiner Weise auf die vielen vorgeschlagenen Lösungen für dieses Paradoxon.

Den Eindruck, den die neu entdeckten Paradoxien auf Mathematiker und Logiker machten, hat D. Hilbert treffend zum Ausdruck gebracht: lange Zeit unerträglich. Denken Sie darüber nach: In der Mathematik - diesem Modell der Gewissheit und Wahrheit - führt die Bildung von Begriffen und der Verlauf von Schlussfolgerungen, wie sie alle studieren, lehren und anwenden, ins Absurde. Wo nach Zuverlässigkeit und Wahrheit suchen, auch wenn mathematisches Denken Fehlzündung?"

Frege war ein typischer Vertreter der Logik spätes XIX Jahrhundert, frei von Paradoxien, Logik, überzeugt von seinen Fähigkeiten und mit dem Anspruch, selbst für die Mathematik ein Kriterium der Strenge zu sein. Die Paradoxien zeigten, dass die durch vermeintliche Logik erreichte absolute Strenge nichts weiter als eine Illusion war. Sie haben unleugbar gezeigt, dass die Logik – in der intuitiven Form, die sie um die Jahrhundertwende hatte – einer tiefgreifenden Überarbeitung bedarf.

Etwa ein Jahrhundert ist vergangen, seit die lebhafte Diskussion über Paradoxien begann. Die vorgenommene Überarbeitung der Logik führte jedoch nicht zu deren eindeutiger Auflösung.

Und gleichzeitig kümmert ein solcher Zustand heute kaum noch jemanden. Im Laufe der Zeit sind die Einstellungen gegenüber Paradoxien ruhiger und sogar toleranter geworden als zu dem Zeitpunkt, als sie entdeckt wurden. Es ist nicht nur so, dass Paradoxien etwas Vertrautes geworden sind. Und natürlich nicht, dass sie sich damit abfinden. Sie bleiben immer noch im Zentrum der Aufmerksamkeit der Logiker, die Suche nach ihren Lösungen wird aktiv fortgesetzt. Die Situation änderte sich vor allem dadurch, dass sich die Paradoxien als sozusagen lokalisiert herausstellten. Sie fanden ihren festen, wenn auch unruhigen Platz eine Vielzahl logische Forschung. Es wurde deutlich, dass absolute Austerität, wie sie Ende des letzten Jahrhunderts und manchmal sogar zu Beginn dieses Jahrhunderts dargestellt wurde, im Prinzip ein unerreichbares Ideal ist.

Es wurde auch erkannt, dass es kein einzelnes Problem von Paradoxien gibt, das für sich allein steht. Die damit verbundenen Probleme sind unterschiedlicher Art und betreffen tatsächlich alle Hauptbereiche der Logik. Die Entdeckung eines Paradoxons zwingt uns zu einer tieferen Analyse unserer logischen Intuitionen und zu einer systematischen Überarbeitung der Grundlagen der Logikwissenschaft. Gleichzeitig ist der Wunsch, Paradoxien zu vermeiden, weder der einzige noch vielleicht der einzige. Hauptaufgabe. Obwohl sie wichtig sind, sind sie nur ein Anlass zum Nachdenken zentrale Themen Logik. Wenn wir den Vergleich von Paradoxien mit besonders ausgeprägten Krankheitssymptomen fortsetzen, kann gesagt werden, dass der Wunsch, Paradoxien sofort zu beseitigen, wie ein Wunsch wäre, solche Symptome ohne große Sorge um die Krankheit selbst zu beseitigen. Gefordert ist nicht nur die Auflösung von Paradoxien, sondern deren Erklärung, die unser Verständnis der logischen Denkmuster vertieft.

7. Ein paar Paradoxien oder was danach aussieht

Und um diese kurze Erörterung logischer Paradoxien abzuschließen, hier ein paar Probleme, über die der Leser nachdenken sollte. Es ist zu entscheiden, ob die gegebenen Aussagen und Begründungen wirklich logische Paradoxien sind oder nur scheinbar sind. Dazu sollte man natürlich das Quellenmaterial irgendwie umstrukturieren und versuchen, daraus einen Widerspruch abzuleiten: sowohl die Bejahung als auch die Verneinung des Gleichen über das Gleiche. Wenn ein Paradoxon gefunden wird, können Sie darüber nachdenken, was sein Auftreten verursacht und wie es beseitigt werden kann. Sie können sogar versuchen, Ihr eigenes Paradox des gleichen Typs zu finden, d.h. gebaut nach dem gleichen Schema, aber auf der Grundlage anderer Konzepte.

1. Wer sagt: „Ich weiß nichts“, macht eine scheinbar paradoxe, in sich widersprüchliche Aussage. Er sagt im Wesentlichen: "Ich weiß, dass ich nichts weiß." Aber das Wissen, dass es kein Wissen gibt, ist immer noch Wissen. Das bedeutet, dass der Sprecher einerseits versichert, kein Wissen zu haben, und andererseits schon durch diese Behauptung sagt, dass er etwas Wissen hat. Was ist hier los?

Wenn man über diese Schwierigkeit nachdenkt, sei daran erinnert, dass Sokrates eine ähnliche Idee sorgfältiger ausgedrückt hat. Er sagte: "Ich weiß nur, dass ich nichts weiß." Aber ein anderer Altgriechisch, Metrodorus, beteuerte mit voller Überzeugung: „Ich weiß nichts und ich weiß nicht einmal, dass ich nichts weiß.“ Gibt es ein Paradoxon in dieser Aussage?

2. Historische Ereignisse sind einzigartig. Die Geschichte, wenn sie sich wiederholt, ist nach einem bekannten Ausdruck das erste Mal wie eine Tragödie und das zweite Mal wie eine Farce. Aus Originalität historische Ereignisse manchmal wird die Idee abgeleitet, dass die Geschichte nichts lehrt. "Vielleicht, größte Lektion Geschichte, schreibt O. Huxley, besteht eigentlich darin, dass niemand jemals etwas aus der Geschichte gelernt hat.

Es ist unwahrscheinlich, dass diese Idee richtig ist. Die Vergangenheit ist genau das, was hauptsächlich studiert wird, um die Gegenwart und die Zukunft besser zu verstehen. Eine andere Sache ist, dass die "Lektionen" der Vergangenheit in der Regel zweideutig sind.

Ist der Glaube, die Geschichte lehre nichts, nicht widersprüchlich? Schließlich folgt sie selbst aus der Geschichte als eine ihrer Lehren. Wäre es nicht besser für die Befürworter dieser Idee, sie so zu formulieren, dass sie nicht auf sie selbst zutrifft: „Die Geschichte lehrt das Einzige – nichts kann daraus gelernt werden“ oder „Die Geschichte lehrt nichts als diese Lektion von ihr“?

3. „Bewiesen, dass es keine Beweise gibt.“ Dies scheint eine in sich widersprüchliche Aussage zu sein: Es ist ein Beweis, oder setzt einen bereits erbrachten Beweis voraus („es ist bewiesen, dass …“), und behauptet gleichzeitig, dass es keinen Beweis gibt.

Der bekannte antike Skeptiker Sextus Empiricus schlug folgende Lösung vor: Statt obiger Aussage akzeptiere die Aussage „Es ist bewiesen, dass es keinen anderen Beweis als diesen gibt“ (oder: „Es ist bewiesen, dass es nichts anderes beweist als das"). Aber ist dieser Ausweg nicht illusorisch? Schließlich wird im Wesentlichen behauptet, dass es nur einen und einzigen Beweis gibt – den Beweis für das Nichtvorhandensein jeglicher Beweise („Es gibt nur einen Beweis: den Beweis, dass es keine anderen Beweise gibt“). Was ist nun die Operation des Beweises selbst, wenn er nach dieser Behauptung nur einmal durchgeführt werden konnte? Auf jeden Fall war Sextus' eigene Meinung über den Beweiswert nicht sehr hoch. Er schrieb insbesondere: „Recht hat der, der auf Beweise verzichtet, der, der zum Zweifeln geneigt ist und unbegründet die gegenteilige Meinung vertritt.“

4. „Keine Aussage ist negativ“, oder einfacher: „Es gibt keine negativen Aussagen.“ Dieser Ausdruck selbst ist jedoch eine Aussage und genau negativ. Es scheint wie ein Paradoxon. Welche Umformulierung dieser Aussage könnte das Paradoxon vermeiden?

Der mittelalterliche Philosoph und Logiker Zh. Der Esel strebt wie jedes andere Tier danach, das Beste aus zwei Dingen zu wählen. Die beiden Arme sind völlig ununterscheidbar, und deshalb kann er keine von beiden bevorzugen. Dieser "Buridan-Esel" ist jedoch nicht in den Schriften von Buridan selbst enthalten. In der Logik ist Buridan bekannt, insbesondere für sein Buch über Sophismen. Es enthält die folgende Schlussfolgerung, die für unser Thema relevant ist: Keine Aussage ist negativ; daher gibt es einen negativen Satz. Ist diese Schlussfolgerung gerechtfertigt?

5. N. V. Gogols Beschreibung von Chichikovs Damespiel mit Nozdrev ist bekannt. Ihr Spiel endete nie, Chichikov bemerkte, dass Nozdryov schummelte und weigerte sich zu spielen, aus Angst zu verlieren. Kürzlich rekonstruierte ein Damespezialist aus den Äußerungen der Mitspieler den Verlauf dieser Partie und zeigte, dass Chichikovs Stellung noch nicht aussichtslos war.

Nehmen wir an, dass Chichikov das Spiel dennoch fortsetzte und schließlich das Spiel gewann, trotz der Tricks seines Partners. Laut Vereinbarung musste der Verlierer Nozdryov Chichikov fünfzig Rubel und "einen bürgerlichen Welpen oder ein goldenes Siegel für eine Uhr" geben. Aber Nozdryov würde sich höchstwahrscheinlich weigern zu zahlen und darauf hinweisen, dass er selbst das ganze Spiel betrogen hat und dass es sozusagen kein Spiel ist, sich nicht an die Regeln zu halten. Chichikov hätte einwenden können, dass hier von Betrug zu sprechen fehl am Platz ist: Der Verlierer selbst hat betrogen, was bedeutet, dass er umso mehr bezahlen muss.

Würde Nosdrjow in einer solchen Situation tatsächlich zahlen müssen oder nicht? Einerseits ja, weil er verloren hat. Aber andererseits nein, denn ein Spiel, das nicht den Regeln entspricht, ist überhaupt kein Spiel; Bei einem solchen „Spiel“ kann es keinen Gewinner oder Verlierer geben. Wenn Chichikov selbst betrogen hätte, wäre Nozdryov natürlich nicht zur Zahlung verpflichtet gewesen. Aber es war der Verlierer Nozdryov, der betrogen hat ...

Hier ist etwas Paradoxes zu spüren: „Einerseits ...“, „Andererseits ...“, und außerdem ist es auf beiden Seiten gleichermaßen überzeugend, obwohl diese Seiten unvereinbar sind.

Soll Nosdrjow noch zahlen oder nicht?

6. „Jede Regel hat Ausnahmen.“ Aber diese Aussage ist selbst eine Regel. Wie alle anderen Regeln muss es Ausnahmen geben. Eine solche Ausnahme wäre offensichtlich die Regel "Es gibt Regeln, die keine Ausnahmen haben". Gibt es nicht in allem ein Paradoxon? Welches der vorherigen Beispiele ähnelt diesen beiden Regeln? Darf man so argumentieren: Jede Regel hat Ausnahmen; Heißt das, es gibt Regeln ohne Ausnahmen?

7. „Jede Verallgemeinerung ist falsch.“ Es ist klar, dass diese Aussage die Erfahrung der mentalen Operation der Verallgemeinerung zusammenfasst und selbst eine Verallgemeinerung ist. Wie alle anderen Verallgemeinerungen muss sie falsch sein. Es muss also wahre Verallgemeinerungen geben. Aber ist es richtig, so zu argumentieren: Jede Verallgemeinerung ist falsch, also gibt es wahre Verallgemeinerungen?

8. Ein gewisser Autor hat ein „Epitaph to All Genres“ verfasst, um zu beweisen, dass literarische Genres, deren Unterscheidung so viele Kontroversen auslöste, tot sind und nicht erinnert werden können.

Aber das Epitaph ist in gewisser Weise auch eine Gattung, die Gattung der Grabsteininschriften, die sich bereits in der Antike entwickelt hat und als eine Art Epigramm in die Literatur eingegangen ist:

Hier ruhe ich: Jimmy Hogg.
Möge Gott mir meine Sünden vergeben,
Was würde ich tun, wenn ich Gott wäre
Und er ist der verstorbene Jimmy Hogg.

So sündigt das Epitaph zu allen Gattungen ausnahmslos wie in Widersprüchlichkeit. Wie kann man es am besten umformulieren?

9. „Sag niemals nie.“ Wenn Sie die Verwendung des Wortes "niemals" verbieten, müssen Sie dieses Wort zweimal verwenden!

Ähnlich verhält es sich offenbar mit dem Ratschlag: „Es ist an der Zeit, dass diejenigen, die ‚es ist Zeit‘ sagen, etwas anderes sagen als ‚es ist Zeit‘.“

Gibt es eine besondere Widersprüchlichkeit in solchen Ratschlägen, und kann sie vermieden werden?

10. In dem Gedicht "Glaube nicht", das natürlich in der Rubrik "Ironische Poesie" veröffentlicht wurde, empfiehlt sein Autor, an nichts zu glauben:

... Glauben Sie nicht an die magische Kraft des Feuers:
Es brennt, während Feuerholz hineingelegt wird.
Glauben Sie nicht an das Pferd mit der goldenen Mähne
Nicht für irgendeinen süßen Lebkuchen!
Glauben Sie nicht, dass Sternenherden
Rauschen in einem endlosen Wirbelwind.
Aber was bleibt dir dann übrig?
Glauben Sie nicht, was ich gesagt habe.
Glauben Sie nicht.

(W. Prudowski)

Aber ist dieser allgemeine Unglaube echt? Anscheinend ist es widersprüchlich und daher logisch unmöglich.

11. Angenommen, es gibt entgegen der landläufigen Meinung immer noch uninteressante Menschen. Lassen Sie uns sie gemeinsam im Geiste sammeln und unter ihnen den kleinsten in der Höhe oder den größten im Gewicht oder ein anderes "am meisten ..." auswählen. Diese Person wäre interessant anzusehen, also haben wir sie unnötigerweise in die Liste der Uninteressanten aufgenommen. Nachdem wir es ausgeschlossen haben, werden wir unter den verbleibenden wieder „das sehr …“ im gleichen Sinne finden, und so weiter. Und das alles, bis nur noch eine Person übrig ist, mit der man sich nicht vergleichen kann. Aber es stellt sich heraus, dass ihn genau das interessiert! Im Ergebnis kommen wir zu dem Schluss, dass uninteressante Leute Nein. Und der Streit begann mit der Tatsache, dass es solche Menschen gibt.

Man kann insbesondere versuchen, unter den Uninteressanten die Uninteressantesten aller Uninteressanten zu finden. Darin wird er zweifellos interessant sein, und er wird von uninteressanten Menschen ausgeschlossen werden müssen. Unter den anderen gibt es wieder die am wenigsten interessanten und so weiter.

In diesen Argumenten steckt definitiv ein Hauch Paradoxon. Liegt hier ein Fehler vor und wenn ja, welcher?

12. Angenommen, Sie haben ein leeres Blatt Papier erhalten und wurden angewiesen, dieses Blatt darauf zu beschreiben. Du schreibst: das ist ein Blatt rechteckige Form, weiß, in diesen und solchen Abmessungen, aus gepressten Holzfasern usw.

Die Beschreibung scheint vollständig zu sein. Aber es ist eindeutig unvollständig! Während des Beschreibungsprozesses änderte sich das Objekt: Text erschien darauf. Daher muss auch die Beschreibung ergänzt werden: Außerdem steht auf diesem Blatt Papier: Dies ist ein rechteckiges Blatt, weiß ... usw. zur Unendlichkeit.

Es scheint hier wie ein Paradoxon, nicht wahr?

Ein bekanntes Kinderlied:

Der Pfarrer hatte einen Hund
Er liebte sie
Sie hat ein Stück Fleisch gegessen
Er hat sie getötet.
Getötet und begraben
Und an die Tafel schrieb er:
"Der Priester hatte einen Hund..."

Könnte dieser hundeliebende Pop jemals seinen Grabstein fertigstellen? Erinnert nicht die Zusammensetzung dieser Inschrift Gesamte Beschreibung Blatt Papier drauf?

13. Ein Autor gibt diesen "subtilen" Rat: "Wenn Sie mit kleinen Tricks nicht erreichen, was Sie wollen, greifen Sie zu großen Tricks." Diese Ratschläge werden unter der Überschrift „Tricks of the Trade“ angeboten. Aber ist er wirklich einer dieser Tricks? Schließlich helfen „kleine Tricks“ nicht, und gerade aus diesem Grund müssen Sie auf diesen Rat zurückgreifen.

14. Wir nennen eine Partie normal, wenn sie mit endlich vielen Zügen endet. Beispiele für normale Spiele sind Schach, Dame, Domino: Diese Spiele enden immer entweder mit dem Sieg einer der Parteien oder mit einem Unentschieden. Das Spiel, das nicht normal ist, wird auf unbestimmte Zeit ohne Ergebnis fortgesetzt. Lassen Sie uns auch den Begriff eines Superspiels einführen: Der erste Zug eines solchen Spiels besteht darin, zu bestimmen, welches Spiel gespielt werden soll. Wenn Sie und ich beispielsweise beabsichtigen, eine Superpartie zu spielen, und ich den ersten Zug besitze, kann ich sagen: "Lass uns Schach spielen." Dann machen Sie als Antwort den ersten Zug des Schachspiels, sagen wir e2 - e4, und wir setzen das Spiel fort, bis es endet (insbesondere aufgrund des Ablaufs der in den Turnierregeln vorgesehenen Zeit). Als ersten Schritt kann ich vorschlagen, Tic-Tac-Toe und ähnliches zu spielen. Aber das Spiel, das ich wähle, muss normal sein; Sie können kein Spiel auswählen, das nicht normal ist.

Es stellt sich ein Problem: Ist das Supergame selbst normal oder nicht? Nehmen wir an, dass dies ein normales Spiel ist. Da es jedes der normalen Spiele als ersten Zug wählen kann, kann ich sagen: "Lasst uns das Superspiel spielen." Danach hat das Superspiel begonnen und der nächste Zug gehört Ihnen. Sie haben das Recht zu sagen: "Lasst uns ein super Spiel spielen." Ich kann wiederholen: „Lasst uns das Superspiel spielen“ und somit kann der Prozess endlos fortgesetzt werden. Daher gilt das Supergame nicht für normale Spiele. Aber aufgrund der Tatsache, dass das Superspiel nicht normal ist, kann ich mit meinem ersten Zug im Superspiel kein Superspiel vorschlagen; Ich muss das normale Spiel wählen. Aber die Wahl eines normalen Spiels, das ein Ende hat, widerspricht der erwiesenen Tatsache, dass das Superspiel nicht zu den normalen gehört.

Ist das Supergame also ein normales Spiel oder nicht?

Bei der Beantwortung dieser Frage sollte man natürlich nicht den einfachen Weg rein verbaler Unterscheidungen gehen. Der einfachste Weg ist zu sagen, dass ein normales Spiel ein Spiel ist und ein Superspiel nur ein Streich.

An welche anderen Paradoxien erinnert dieses Paradox, dass das Superspiel gleichzeitig normal und anormal ist?

Literatur

Bayif J.K. Logische Aufgaben. -M., 1983.

Bourbaki N. Essays zur Geschichte der Mathematik. -M., 1963.

Gardner M. Komm schon, rate mal! – M.: 1984.

Ivin A.A. Nach den Gesetzen der Logik. -M., 1983.

Klini S.K. Mathematische Logik. -M., 1973.

Smallian R.M. Wie heißt dieses Buch? – M.: 1982.

Smallian R.M. Prinzessin oder Tiger? – M.: 1985.

Frenkel A., Bar-Hillel I. Grundlagen der Mengenlehre. -M., 1966.

Testfragen

Welche Bedeutung haben Paradoxien für die Logik?

Welche Lösungen wurden für das Lügnerparadoxon vorgeschlagen?

Was sind die Merkmale einer semantisch geschlossenen Sprache?

Was ist die Essenz des Paradoxons vieler gewöhnlicher Mengen?

Gibt es eine Lösung für den Streit zwischen Protagoras und Euathlus? Welche Lösungen wurden für diesen Streit vorgeschlagen?

Was ist die Essenz des Paradoxons ungenauer Namen?

Was könnte die Besonderheit logischer Paradoxien sein?

Welche Schlussfolgerungen für die Logik folgen aus der Existenz logischer Paradoxien?

Was ist der Unterschied zwischen dem Beseitigen und dem Erklären eines Paradoxons? Welche Zukunft haben logische Paradoxien?

Themen von Abstracts und Berichten

Das Konzept eines logischen Paradoxons

Das Lügner-Paradoxon

Russells Paradoxon

Paradox "Protagoras und Euathlus"

Die Rolle von Paradoxien in der Entwicklung der Logik

Perspektiven zur Auflösung von Paradoxien

Unterscheidung zwischen Sprache und Metasprache

Beseitigung und Auflösung von Paradoxien

1. Oktober 2014

Wissenschaftler und Denker unterhalten sich und ihre Kollegen schon seit langem gerne damit, unlösbare Probleme zu stellen und allerlei Paradoxien zu formulieren. Einige dieser Gedankenexperimente bleiben über Jahrtausende hinweg relevant, was auf die Unvollkommenheit vieler populärwissenschaftlicher Modelle und „Löcher“ in allgemein anerkannten Theorien hinweist, die lange Zeit als grundlegend galten.

Wir laden Sie ein, über die interessantesten und erstaunlichsten Paradoxien nachzudenken, die, wie man heute sagt, mehr als eine Generation von Logikern, Philosophen und Mathematikern „umgehauen“ haben.

1. Aporia „Achilles und die Schildkröte“

Das Paradox von Achilles und der Schildkröte ist eines der Paradoxe (logisch korrekte, aber widersprüchliche Aussagen), die der antike griechische Philosoph Zeno von Elea im 5. Jahrhundert v. Chr. formulierte. Seine Essenz ist wie folgt: Der legendäre Held Achilles beschloss, mit einer Schildkröte im Laufen zu konkurrieren. Wie Sie wissen, unterscheiden sich Schildkröten nicht in ihrer Schnelligkeit, daher gab Achilles dem Gegner einen Vorsprung von 500 m. Wenn die Schildkröte diese Distanz überwindet, beginnt der Held mit einer zehnmal höheren Geschwindigkeit zu jagen, das heißt, während die Schildkröte 50 m kriecht , Achilles schafft es , die vorgegebenen 500 m Vorsprung zu laufen . Dann überwindet der Läufer die nächsten 50 m, aber zu diesem Zeitpunkt kriecht die Schildkröte weitere 5 m zurück, es scheint, dass Achilles sie einholen will, aber die Gegnerin ist immer noch vorne und während er 5 m läuft, schafft sie es einen weiteren halben Meter vorrücken und so weiter. Der Abstand zwischen ihnen verringert sich unendlich, aber theoretisch schafft es der Held nie, die langsame Schildkröte einzuholen, es ist nicht viel, aber immer vor ihm.

© www.student31.ru

Aus physikalischer Sicht ergibt das Paradoxon natürlich keinen Sinn – wenn sich Achilles viel schneller bewegt, wird er sowieso vorankommen, aber Zeno wollte mit seiner Argumentation zunächst einmal demonstrieren, dass die idealisierten mathematischen Konzepte von „Punkt im Raum“ und „Zeitpunkt“ sind für eine korrekte Anwendung auf reale Bewegung nicht allzu geeignet. Die Aporie offenbart die Diskrepanz zwischen der mathematisch fundierten Idee, dass Raum- und Zeitintervalle ungleich Null unbegrenzt geteilt werden können (also muss die Schildkröte immer vorne bleiben) und der Realität, in der der Held natürlich das Rennen gewinnt.

2. Paradoxon der Zeitschleife

Die neuen Zeitreisenden von David Toomey

Die Paradoxien, die Zeitreisen beschreiben, sind seit langem eine Quelle der Inspiration für Science-Fiction-Autoren und Schöpfer von Science-Fiction-Filmen und -Fernsehsendungen. Es gibt mehrere Varianten von Zeitschleifenparadoxen, eines der einfachsten und anschaulichsten Beispiele für ein solches Problem wurde in seinem Buch The New Time Travelers von David Toomey, einem Professor an der University of Massachusetts, gegeben.

Stellen Sie sich vor, ein Zeitreisender hat in einem Buchladen eine Ausgabe von Shakespeares Hamlet gekauft. Dann ging er zur Zeit der jungfräulichen Königin Elizabeth I. nach England und überreichte ihm, nachdem er William Shakespeare gefunden hatte, ein Buch. Er schrieb es um und veröffentlichte es als sein eigenes Werk. Hunderte von Jahren vergehen, Hamlet wird in Dutzende von Sprachen übersetzt, endlos neu gedruckt, und eines der Exemplare landet genau in der Buchhandlung, wo der Zeitreisende es kauft und es Shakespeare gibt, der eine Kopie anfertigt, und so weiter ... Wer sollte in diesem Fall gezählt werden, der Autor einer unsterblichen Tragödie?

3. Das Paradoxon eines Mädchens und eines Jungen

Martin Gardner / © www.post-gazette.com

In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird dieses Paradoxon auch „Mr. Smiths Kinder“ oder „Mrs. Smiths Probleme“ genannt. Es wurde erstmals von dem amerikanischen Mathematiker Martin Gardner in einer der Ausgaben der Zeitschrift Scientific American formuliert. Wissenschaftler streiten seit Jahrzehnten über das Paradoxon, und es gibt mehrere Möglichkeiten, es zu lösen. Nachdem Sie über das Problem nachgedacht haben, können Sie Ihre eigene Version anbieten.

Die Familie hat zwei Kinder und es ist sicher bekannt, dass eines von ihnen ein Junge ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Kind ebenfalls männlich ist? Auf den ersten Blick ist die Antwort ganz klar - 50 zu 50, entweder er ist wirklich ein Junge oder ein Mädchen, die Chancen sollten gleich sein. Das Problem ist, dass es für Zwei-Kind-Familien vier mögliche Kombinationen des Geschlechts der Kinder gibt – zwei Mädchen, zwei Jungen, ein älterer Junge und ein jüngeres Mädchen und umgekehrt – ein älteres Mädchen und ein jüngerer Junge. Das erste kann ausgeschlossen werden, da eines der Kinder definitiv ein Junge ist, aber in diesem Fall gibt es drei mögliche Optionen, nicht zwei, und die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Kind auch ein Junge ist, ist eins zu drei.

4. Das Kartenparadoxon von Jourdain

Das vom britischen Logiker und Mathematiker Philippe Jourdain zu Beginn des 20. Jahrhunderts vorgeschlagene Problem kann als eine der Spielarten des berühmten Lügnerparadoxons angesehen werden.

Philippe Jourdain

Stellen Sie sich vor – Sie halten eine Postkarte in den Händen, auf der steht: „Genehmigung für Rückseite Postkarten wahr. Beim Umdrehen der Karte erscheint der Satz „Die Aussage auf der anderen Seite ist falsch“. Wie Sie verstehen, gibt es einen Widerspruch: Wenn die erste Aussage wahr ist, dann ist auch die zweite wahr, aber in diesem Fall muss die erste falsch sein. Wenn die erste Seite der Postkarte falsch ist, kann auch der Satz auf der zweiten nicht als wahr angesehen werden, was bedeutet, dass die erste Aussage wieder wahr wird ... Eine noch interessantere Version des Lügnerparadoxons finden Sie im nächsten Absatz.

5. Sophismus "Krokodil"

Eine Mutter mit Kind steht am Flussufer, plötzlich schwimmt ein Krokodil auf sie zu und reißt das Kind ins Wasser. Die untröstliche Mutter bittet darum, ihr Kind zurückzugeben, worauf das Krokodil erwidert, dass er sich bereit erklärt, es gesund und munter zurückzugeben, wenn die Frau seine Frage richtig beantwortet: „Wird er ihr Kind zurückgeben?“ Es ist klar, dass eine Frau zwei Antworten hat - ja oder nein. Wenn sie behauptet, dass das Krokodil ihr das Kind geben wird, hängt alles vom Tier ab - wenn die Antwort wahr ist, wird der Entführer das Kind gehen lassen, aber wenn er sagt, dass die Mutter sich geirrt hat, wird sie es nicht sehen das Kind, nach allen Regeln des Vertrages.

© Corax von Syrakus

Die ablehnende Antwort der Frau verkompliziert die Sache erheblich - sollte sie sich als wahr herausstellen, muss der Entführer die Bedingungen des Deals erfüllen und das Kind freilassen, aber auf diese Weise wird die Antwort der Mutter nicht der Realität entsprechen. Um die Falschheit einer solchen Antwort sicherzustellen, muss das Krokodil das Kind der Mutter zurückgeben, was jedoch vertragswidrig ist, da ihr Fehler das Kind beim Krokodil lassen sollte.

Es ist erwähnenswert, dass das Angebot des Krokodils einen logischen Widerspruch enthält, sodass sein Versprechen unerfüllbar ist. Der Autor dieses klassischen Sophismus gilt als Redner, Denker und Politische Figur Corax von Syrakus, der im 5. Jahrhundert v. Chr. lebte.

6. Aporia "Dichotomie"

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Ein weiteres Paradoxon von Zenon von Elea, das die Unrichtigkeit des Idealisierten demonstriert mathematisches Modell Bewegung. Das Problem lässt sich so formulieren: Nehmen wir an, Sie wollen eine Straße in Ihrer Stadt von Anfang bis Ende durchqueren. Dazu müssen Sie die erste Hälfte davon überwinden, dann die Hälfte der verbleibenden Hälfte, dann die Hälfte des nächsten Segments und so weiter. Mit anderen Worten – Sie gehen die Hälfte der gesamten Strecke, dann ein Viertel, ein Achtel, ein Sechzehntel – die Anzahl der abnehmenden Abschnitte des Weges geht gegen unendlich, da jeder verbleibende Teil in zwei geteilt werden kann, was bedeutet, dass dies unmöglich ist den ganzen Weg gehen. Mit einem auf den ersten Blick etwas weit hergeholten Paradoxon wollte Zeno zeigen, dass mathematische Gesetze der Realität widersprechen, denn tatsächlich kann man die ganze Strecke spurlos zurücklegen.

7. Aporia „Fliegender Pfeil“

Das berühmte Paradoxon von Zeno von Elea betrifft die tiefsten Widersprüche in den Vorstellungen von Wissenschaftlern über die Natur von Bewegung und Zeit. Aporia wird wie folgt formuliert: Ein vom Bogen abgefeuerter Pfeil bleibt bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt bewegungslos ruht. Wenn der Pfeil zu jedem Zeitpunkt ruht, dann ruht er immer und bewegt sich überhaupt nicht, da es keinen Zeitpunkt gibt, zu dem sich der Pfeil im Raum bewegt.

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Die herausragenden Köpfe der Menschheit versuchen seit Jahrhunderten, das Paradoxon eines fliegenden Pfeils zu lösen, aber aus logischer Sicht ist es absolut richtig. Um sie zu widerlegen, muss erklärt werden, wie ein endliches Zeitintervall aus unendlich vielen Zeitmomenten bestehen kann – selbst Aristoteles, der Zenons Aporie überzeugend kritisierte, konnte dies nicht beweisen. Aristoteles hat zu Recht darauf hingewiesen, dass eine Zeitspanne nicht als Summe einiger unteilbarer isolierter Momente betrachtet werden kann, aber viele Wissenschaftler glauben, dass sein Ansatz sich nicht in der Tiefe unterscheidet und die Existenz eines Paradoxons nicht widerlegt. Es ist erwähnenswert, dass Zeno mit der Frage nach einem fliegenden Pfeil nicht versuchte, die Möglichkeit der Bewegung als solche zu widerlegen, sondern Widersprüche in idealistischen mathematischen Konzepten aufzudecken.

8. Galileos Paradoxon

Galileo Galilei / © Wikimedia

In seinen Conversations and Mathematical Proofs Concerning Two New Branches of Science schlug Galileo Galilei ein Paradoxon vor, das die merkwürdigen Eigenschaften unendlicher Mengen demonstriert. Der Wissenschaftler formulierte zwei widersprüchlich Freund des Urteils. Erstens gibt es Zahlen, die die Quadrate anderer ganzer Zahlen sind, wie 1, 9, 16, 25, 36 und so weiter. Es gibt andere Zahlen, die diese Eigenschaft nicht haben - 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 und dergleichen. Auf diese Weise, gesamt Es muss genauere Quadrate und regelmäßige Zahlen geben als nur perfekte Quadrate. Zweiter Satz: Zu jeder natürlichen Zahl gibt es ihr exaktes Quadrat, und zu jedem Quadrat gibt es eine ganze Zahl Quadratwurzel, das heißt, die Anzahl der Quadrate ist gleich der Anzahl der natürlichen Zahlen.

Aus diesem Widerspruch folgerte Galileo, dass das Denken über die Anzahl der Elemente nur auf endliche Mengen angewendet wird, obwohl spätere Mathematiker das Konzept der Potenz einer Menge einführten – mit ihrer Hilfe wurde die Richtigkeit von Galileis zweitem Urteil auch für unendliche Mengen bewiesen .

9. Kartoffelsack-Paradoxon

© nieidealne-danie.blogspot.com

Angenommen, ein bestimmter Bauer hat einen Sack Kartoffeln, der genau 100 kg wiegt. Nach einer Untersuchung des Inhalts stellt der Bauer fest, dass die Tüte feucht gelagert wurde – 99 % ihrer Masse sind Wasser und 1 % der in Kartoffeln enthaltenen Reststoffe. Er beschließt, die Kartoffeln ein wenig zu trocknen, damit ihr Wassergehalt auf 98 % sinkt, und stellt den Beutel an einen trockenen Ort. Am nächsten Tag stellt sich heraus, dass ein Liter (1 kg) Wasser wirklich verdunstet ist, aber das Gewicht der Tasche von 100 auf 50 kg abgenommen hat, wie kann das sein? Rechnen wir nach – 99 % von 100 kg sind 99 kg, was bedeutet, dass das Verhältnis der Masse des Trockenrückstands zur Masse des Wassers ursprünglich 1/99 betrug. Nach dem Trocknen enthält das Wasser 98 % Totale Masse Beutel, dann beträgt das Verhältnis der Masse des Trockenrückstands zur Masse des Wassers jetzt 1/49. Da sich die Masse des Rückstands nicht geändert hat, wiegt das verbleibende Wasser 49 kg.

Natürlich wird der aufmerksame Leser sofort das Unhöflichste entdecken mathematischer Fehler in Berechnungen - das imaginäre Comic-Paradoxon eines Kartoffelsacks kann als hervorragendes Beispiel dafür angesehen werden, wie man mit Hilfe von scheinbar "logischen" und "wissenschaftlich gestützten" Argumenten buchstäblich von Grund auf eine Theorie aufbauen kann, die dem gesunden Menschenverstand widerspricht .

10 Rabenparadoxon

Carl Gustav Hempel / © Wikimedia

Das Problem ist auch als Hempels Paradoxon bekannt – seinen zweiten Namen erhielt es zu Ehren des deutschen Mathematikers Carl Gustav Hempel, dem Autor seiner klassischen Version. Das Problem ist ganz einfach formuliert: Jeder Rabe ist schwarz. Daraus folgt, dass alles, was nicht schwarz ist, kein Rabe sein kann. Dieses Gesetz heißt logische Gegenposition, das heißt, wenn eine bestimmte Prämisse „A“ eine Konsequenz „B“ hat, dann ist die Negation von „B“ äquivalent zur Negation von „A“. Wenn eine Person einen schwarzen Raben sieht, bestärkt dies ihren Glauben, dass alle Raben schwarz sind, was ziemlich logisch ist, aber gemäß der Kontraposition und dem Induktionsprinzip ist es logisch zu argumentieren, dass die Beobachtung von nicht schwarzen Objekten (sagen wir , rote Äpfel) beweist auch, dass alle Krähen schwarz angemalt sind. Mit anderen Worten, die Tatsache, dass eine Person in St. Petersburg lebt, beweist, dass sie nicht in Moskau lebt.

Aus logischer Sicht sieht das Paradoxon tadellos aus, aber es widerspricht dem wirklichen Leben - rote Äpfel können in keiner Weise die Tatsache bestätigen, dass alle Krähen schwarz sind.

Hier hatten wir bereits eine Auswahl an Paradoxien dabei - sowie insbesondere und Der Originalartikel ist auf der Website InfoGlaz.rf Link zum Artikel, aus dem diese Kopie erstellt wurde -

Philosoph Stephen Reed über das Lügnerparadoxon, semantische Paradoxien und ihre direkte Verbindung zu den Grundlagen der Mathematik.

Es lohnt sich, ein Gespräch über logische Paradoxien mit einer kleinen Geschichte zu beginnen, die Cervantes in seinem Buch Don Quijote erzählt. An einem Punkt in Don Quixote verlässt er Sancho Panza als Gouverneur der Insel Barataria, und während er Gouverneur ist, wird er von seinen "Untertanen" getäuscht. Eines Morgens wurde er aufgeweckt und sagte: "Vor dem Frühstück müssen Sie eine Sache beurteilen." Und in Spanien gab es damals viele Vagabunden, also musste man sehr vorsichtig mit Menschen umgehen. Und jetzt fließt ein Fluss durch die Ländereien eines Grundbesitzers, durch den eine Brücke geschlagen wird, und um sicherzustellen, dass alle Passanten vertrauenswürdig sind, hat dieser Grundbesitzer einen Galgen und einen Wächter in der Nähe der Brücke aufgestellt, der von jedem verlangt Passant zu erklären, wohin und warum er geht. Wenn der Passant die Wahrheit sagt, darf er die Brücke überqueren, und wenn er lügt, dann erwartet ihn der Galgen. Und alles war gut, es half zu unterscheiden, wer ein Landstreicher und wer ein Kaufmann war, bis eines Tages ein Mann kam, der sagte: "Mein Ziel ist es, an diesem Galgen gehängt zu werden, und nichts weiter." Und der Wächter wunderte sich darüber, denn er dachte: „Nun, wenn wir ihn aufhängen, wird sich herausstellen, dass er die Wahrheit gesagt hat, dann hätten wir ihn durchlassen sollen, aber wenn wir ihn durchlassen, wird sich herausstellen, dass er die Wahrheit gesagt hat er hat gelogen, dann sollten wir ihn auflegen lassen." "Also, Sancho Panza, wie sollen wir diesen Fall beurteilen?" Und Sancho Panza braucht einige Zeit, um das Paradoxon zu verstehen, aber am Ende trifft er seine Entscheidung: Hängen Sie die Hälfte der Person auf, die gelogen hat, und lassen Sie die Hälfte, die die Wahrheit gesagt hat, passieren.

Das klingt alles nach Spaß für den Verstand, aber für Menschen, die Dingen wie Wahrheit, Argumentation, Sprache usw. auf den Grund gehen wollen, weist es auf etwas sehr Beunruhigendes in der Natur der Sprache hin. Es scheint sehr leicht, in ein Paradoxon zu verfallen: Wir wissen einfach nicht, ob die Aussage dieser Person wahr ist oder nicht, ob sie gelogen hat oder nicht. Und das geht zurück auf das ursprüngliche Paradoxon des Lügners, formuliert von Eubulides im 4. Jahrhundert v. Er erhob es zu einem Kunstwerk, er sagte: "Denken Sie daran, zu sagen: 'Ich lüge'." Wenn ich sage: „Ich lüge“, kann ich natürlich eine andere Aussage von mir meinen, aber wenn ich äußerst vorsichtig formuliere, dann kann ich sagen: „Nein, ich lüge in genau dem Satz, den ich sage Nun, diese meine Aussage ist falsch. Und wieder, wenn Sie darüber nachdenken, werden Sie sagen: „Wenn dies wahr wäre, dann folgt daraus, da er sagt, dass seine Aussage falsch ist, dass sie falsch sein muss und nicht wahr, das heißt, sie kann nicht wahr sein – sie muss falsch sein. Aber wenn es falsch ist, weil es sagt, dass es falsch ist, dass er gelogen hat, muss es wahr sein." Am Ende haben wir also ein Paradoxon, das ordentlich in einem Satz verpackt ist.

Es gibt viele solcher Paradoxien, und es ist leicht zu verstehen, warum sie logische Paradoxien genannt werden: Der darin enthaltene Widerspruch wird mit Hilfe der Logik aufgedeckt. Einige haben von Epimenides gehört: Er stammte aus Kreta und war so enttäuscht von der Fähigkeit seiner Landsleute, die Wahrheit zu sagen, dass er einmal sagte: „Alle Kreter sind Lügner.“ Wenn er Recht hatte, wenn tatsächlich alle Kreter Lügner waren, oder wenn andere Kreter immer gelogen haben, dann muss seine eigene Aussage paradox sein. Denn wenn er sagt: „Alle Kreter sind Lügner“, dann sagt er, dass seine eigene Aussage falsch ist, aber in diesem Fall wäre tatsächlich jeder einzelne Kreter ein Lügner, was bedeutet, dass er die Wahrheit gesagt hat, als er das gesagt hat alle Kreter - Lügner. Der Ausweg aus dem Paradoxon ist natürlich, dass, wenn einige Kreter die Wahrheit sagen würden, seine Aussage einfach falsch und nicht paradox wäre.

Also haben wir große Menge solche Paradoxien. Hier ist ein Paradoxon, das mir besonders gefällt: Nehmen Sie eine Karte, auf der auf einer Seite steht: „Die Aussage auf der Rückseite dieser Karte ist wahr.“ Du drehst sie um und darauf steht: "Die Aussage auf der Rückseite dieser Karte ist falsch." Und wenn man darüber nachdenkt, ist es einfach paradox, denn wenn die Aussage auf der ersten Seite wahr ist, dann ist auch die Aussage auf der Rückseite wahr, denn die erste Aussage sagt es; aber auf der zweiten Seite steht geschrieben, dass die erste Aussage falsch ist, dh wenn die erste Aussage wahr ist, ist sie auch falsch. Aber das ist unmöglich, also muss die zweite Aussage falsch sein; aber es heißt, dass die erste Aussage falsch ist, dann kann die erste Aussage nicht falsch sein - sie muss wahr sein. Aber wir haben bereits gesehen, dass, wenn die erste Aussage wahr ist, sie falsch ist, also erhalten wir ein reines Paradoxon.

Einige mittelalterliche Denker zogen es vor, dieses Paradoxon in Begriffen von Sokrates und Plato oder manchmal von Plato und Aristoteles zu beschreiben. Also war Plato Aristoteles' Lehrer und betrachtete ihn als seinen besten Schüler, also sagte er eines Tages: "Alles, was Aristoteles sagt, ist wahr." Aber Aristoteles war nicht der Größte vorbildlicher Schüler in dem Sinne, dass er Platons Lehren herausfordern wollte, also sagte er: „Alles, was Platon sagt, ist falsch“, was dem Kartenparadoxon sehr ähnlich ist.

All dies waren Paradoxien im Bereich der Wahrheit, der Lüge und der Sprache. Aber im 20. Jahrhundert sahen wir uns in der Mathematik mit Paradoxien konfrontiert. Die kurze Geschichte der Frage ist folgende: Nach dem Aufkommen der Analysis und dann nach der Arbeit mit unendlichen Reihen im 18. Jahrhundert stellten sich die Grundlagen der Mathematik als instabil heraus, und die Leute fragten sich: „Wie funktionieren unendliche Reihen, ohne uns dazu zu führen Widersprüche in der Mathematik?“. Und im 19. Jahrhundert entfaltete sich eine große Bewegung, deren Ziel es war, nach stabilen Grundlagen der Mathematik zu suchen. Dann wurde die Mengenlehre zu einer solchen Grundlage. Eine Menge ist eine Sammlung von Objekten, die durch eine Eigenschaft definiert sind: Beispielsweise kann es eine Menge aller natürlichen Zahlen, eine Menge gerader Zahlen oder sogar eine Menge Milchreis geben – Sie können nehmen verschiedene Sätze. In der Mathematik werden natürlich nur Zahlenmengen verwendet.

Und das alles sah bis Ende des 19. Jahrhunderts gut aus. Frege, Dedekind und viele andere Denker begründeten die Mathematik oder das, was die solide Grundlage der Mengenlehre zu sein schien. Aber dann dachte Bertrand Russell, der berühmte britische Philosoph, als er die Werke von Frege las: „Man kann viele Zahlen setzen, man kann viele Mengen geben; Sie können eine Menge von Mengen angeben, die sich selbst enthalten, oder Sie können eine Menge von Mengen angeben, die sich selbst nicht enthalten. Und dann dachte er: „Moment mal, wenn wir eine Menge von Mengen haben, die sich selbst nicht enthalten, wird diese Menge dann sich selbst enthalten oder nicht?“ Wenn eine solche Menge sich selbst enthalten würde, dann darf sie sich selbst nicht enthalten, weil wir per Konvention nur die Mengen nehmen, die sich selbst nicht enthalten. Es wäre also besser, wenn diese Menge sich selbst nicht einschließt, aber wenn sie sich selbst nicht einschließt, dann ist es eine Menge, die sich selbst nicht einschließt, und sie muss Teil dieser Menge sein. Und wie gesagt, all diese Paradoxien sehen zunächst wie Unterhaltung für den Verstand aus, aber jetzt, zu Beginn des 20. Jahrhunderts, haben wir ein Paradoxon gefunden, einen Widerspruch im Kern dessen, was die Grundlagen der Mathematik sein sollten. Bekanntlich war es so großer Schlag für Frege: Er stand kurz vor der Veröffentlichung des zweiten Bandes seiner Fundamental Laws of Arithmetic und musste einen Anhang hinzufügen, in dem er schrieb: „Bertrand Russell hat auf eine Schwäche im Kern meiner Theorie hingewiesen, aber ich glaube, ich kann es dieses Problem lösen“, und er schlug eine Lösung vor, aber wie sich herausstellte, war sie nicht richtig.

Ich werde mich kurz den Paradoxien in der Mengenlehre zuwenden, weil es noch ein weiteres ziemlich interessantes Paradoxon gibt, das uns zurück zur Diskussion der wahrheitsbezogenen Paradoxien oder der sogenannten semantischen Paradoxa bringt. Etwa 40 Jahre später, um 1940, dachte der amerikanische Mathematiker und Logiker Haskell B. Curry über Russells Paradoxon nach und sagte: „Russells Paradoxon basiert auf Negation – es spricht von einer Vielzahl von Mengen, die sich selbst nicht enthalten.“ Ist es möglich, dasselbe Paradoxon zu erhalten, ohne Negation zu verwenden? Gibt es einen Weg? Und er sagte, es gibt einen Weg. Nehmen Sie die Menge aller Mengen; schließen sie sich selbst ein, dann ist null gleich eins. Nach der Mengenlehre ist dies eine vollständig zulässige Menge. Aber wenn wir anfangen, eine solche Menge zu betrachten, erfüllt sie, wenn sie sich selbst enthält, die Bedingung, dass Null gleich Eins ist, wenn sie sich selbst enthält.

Und wir haben angenommen, dass es sich selbst enthält, also ist Null wirklich gleich Eins. Aber es ist ziemlich offensichtlich, dass Null nicht gleich Eins sein kann, also spielen wir alles rückwärts und nehmen an, dass eine Menge sich selbst nicht enthalten kann. Wenn es sich selbst nicht einschließt, folgt daraus unmittelbar, dass es sich entweder selbst nicht einschließt oder null gleich eins ist. Aber das ist dasselbe wie zu sagen, dass Null tatsächlich gleich eins ist, wenn es sich selbst einschließt – es ist dasselbe wie zu sagen, dass entweder es sich selbst nicht einschließt oder Null gleich eins ist. Und das ist so, als würde man sagen, wenn eine Menge sich selbst beinhaltet, dann ist sie nicht nicht inklusive, dann ist Null gleich Eins. Aber dann schließt es sich selbst ein, das heißt, wir haben bewiesen, dass es sich selbst enthält, aber da wir es bewiesen haben, ist Null gleich Eins. Speichern! Wir haben gerade bewiesen, dass Null gleich Eins ist! Mitten in der Mathematik haben wir also wieder ein echtes alptraumhaftes Paradoxon.

Und ein paar Jahre später wurde dieses Paradoxon zu einem der semantischen Paradoxa, über die ich zuvor gesprochen habe, und es nahm die Form der Aussage an: "Wenn diese Aussage wahr ist, dann ist Null gleich Eins." Oder gar: „Wenn diese Aussage wahr ist, dann existiert Gott.“ Und dann können wir in wenigen Zeilen beweisen, dass Gott existiert oder irgendetwas anderes: Null ist gleich Eins, Gott existiert, es regnet heute in Moskau – mit einer solchen Aussage können wir alles beweisen. Die Leute denken viel über die Wahrheit nach, also ist es sehr gefährlich: Ist die Wahrheit wirklich so? Ist Wahrheit wirklich ein umstrittener Begriff?

Und ich werde enden, indem ich kurz über ein weiteres Paradoxon spreche, um zu zeigen, dass Paradoxa hier nicht aufhören. Hier ist die Aussage: „Sie kennen diese Aussage nicht“ – Sie kennen nicht genau die Aussage, die ich jetzt ausspreche. Angenommen, Sie kennen ihn. Die Konzepte von Wissen und Wahrheit sagen uns, dass man nur wissen kann, was wahr ist, sodass es wahr ist, wenn man es weiß, und in diesem Fall weiß man es nicht, weil es so steht. Wenn wir also davon ausgehen, dass Sie ihn kennen, dann stellt sich heraus, dass Sie ihn nicht kennen. Wir haben also bewiesen, dass Sie ihn nicht kennen, aber es heißt, Sie kennen ihn nicht, also haben wir ihn bewiesen. Und natürlich, wenn wir etwas bewiesen haben, dann ist es wahr, dann wissen wir es, weil wir Beweise haben. Und es stellt sich heraus, dass wir sowohl bewiesen haben, dass Sie diese Aussage kennen, als auch, dass Sie sie nicht kennen, also haben wir wieder ein epistemisches Paradoxon.

Fassen wir zusammen. Ich habe mehrere semantische Paradoxien beschrieben, die sich hauptsächlich auf das Konzept der Wahrheit beziehen, und auch gezeigt, dass sie den mit der Mengenlehre verbundenen Paradoxien, die das Herzstück der Mathematik bilden, sehr ähnlich sind. Darüber hinaus haben wir epistemische Paradoxien kennengelernt, die nicht nur mit dem Wahrheitsbegriff, sondern auch mit dem Erkenntnisbegriff verbunden sind. Wir haben also mehrere semantische Paradoxe analysiert, wie das Lügnerparadoxon, das Epimenides-Paradoxon und das Kartenparadoxon, die auf dem Konzept der Wahrheit basieren (in ihnen sprechen wir über Lügen, Unwahrheit, Wahrheit usw.) und Dann haben wir mehrere Paradoxien analysiert, die in der Mathematik auftreten, sie sind mit der Mengenlehre verbunden. Und am Ende sprachen wir auch über eine andere Art von Paradoxon – epistemische Paradoxien.

Sie sehen sofort, wie wichtig es für uns ist, eine Lösung für diese Paradoxien zu finden, da die Mathematik daran beteiligt ist, weil wir nach soliden mathematischen Grundlagen gesucht haben, um sicherzustellen, dass wir keine Fehler machen - und jetzt haben wir eine gefunden Widerspruch in ihnen. Wir brauchen also wirklich eine Lösung für mathematische Paradoxien im Zusammenhang mit der Mengenlehre, aber wir brauchen auch eine für semantische Paradoxien. Viele Philosophen denken über das Konzept der Wahrheit nach und wollen die Natur der Wahrheit verstehen, was eine wahre Aussage ist. Es ist natürlich anzunehmen, dass ein Satz wahr ist, wenn alles so ist, wie er sagt; Schauen Sie sich jetzt das Paradoxon des Lügners an: Es ist wahr, wenn ich lüge - es ist paradox und führt zu einem Widerspruch. Wir müssen also das Konzept der Wahrheit überdenken, einige wollen die Logik dahinter und die Beweismethoden überdenken, die uns zu dem Widerspruch geführt haben. Und es ist sehr wichtig, dass wir dies tun, wenn wir ein vollständiges Verständnis der Konzepte von Wahrheit und Wissen erlangen wollen.

gif: postnauka.ru/ Stephen Reed

Nach den Gesetzen der Logik Ivin Alexander Arkhipovich

WAS IST DAS LOGISCHE PARADOX?

Es gibt keine erschöpfende Liste logischer Paradoxien, und es ist unmöglich.

Die betrachteten Paradoxien sind nur ein Teil aller bisher entdeckten. Es ist wahrscheinlich, dass in Zukunft noch viele andere und sogar völlig neue Arten entdeckt werden. Der eigentliche Begriff eines Paradoxons ist nicht so eindeutig, dass es möglich wäre, eine Liste zumindest bereits bekannter Paradoxa zusammenzustellen.

„Mengentheoretische Paradoxien sind ein sehr ernstes Problem, allerdings nicht für die Mathematik, sondern für die Logik und Erkenntnistheorie“, schreibt der österreichische Mathematiker und Logiker K. Gödel. „Die Logik ist widersprüchlich. Es gibt keine logischen Paradoxien, - sagt der sowjetische Mathematiker D. Bochvar. - Solche Diskrepanzen sind manchmal erheblich, manchmal verbal. Der Punkt liegt weitgehend darin, was genau mit "logischem Paradoxon" gemeint ist.

Ein notwendiges Merkmal logischer Paradoxien ist das logische Wörterbuch. Paradoxien, die logisch sind, müssen in logischen Begriffen formuliert werden. In der Logik gibt es jedoch keine klaren Kriterien für die Unterteilung von Begriffen in logische und extralogische. Die Logik, die sich mit der Richtigkeit des Denkens befasst, versucht, die Konzepte, von denen die Richtigkeit praktisch angewandter Schlussfolgerungen abhängt, auf ein Minimum zu reduzieren. Aber dieses Minimum ist nicht eindeutig vorgegeben. Darüber hinaus können auch nicht-logische Aussagen logisch formuliert werden. Ob ein bestimmtes Paradox nur rein logische Prämissen verwendet, lässt sich bei weitem nicht immer eindeutig feststellen.

Logische Paradoxien sind nicht strikt von allen anderen Paradoxien getrennt, ebenso wie letztere nicht klar von allem nicht-paradoxen und mit den herrschenden Vorstellungen übereinstimmenden unterschieden werden.

Zu Beginn des Studiums logischer Paradoxien schien es, dass sie durch die Verletzung einer noch unerforschten Position oder Regel der Logik unterschieden werden könnten. Das von B. Russell eingeführte „Teufelskreisprinzip“ beanspruchte besonders aktiv die Rolle einer solchen Regel. Dieses Prinzip besagt, dass eine Sammlung von Objekten keine Mitglieder enthalten kann, die nur durch dieselbe Sammlung definiert sind.

Alle Paradoxien haben eines gemeinsam – Selbstanwendbarkeit oder Zirkularität. In jedem von ihnen ist das fragliche Objekt durch eine Reihe von Objekten gekennzeichnet, zu denen es selbst gehört. Wenn wir beispielsweise eine Person als den Schlauesten einer Klasse herausgreifen, tun wir dies mit Hilfe einer Gruppe von Personen, zu der diese Person auch gehört (mit Hilfe „seiner Klasse“). Und wenn wir sagen: „Diese Aussage ist falsch“, dann charakterisieren wir die für uns interessante Aussage dadurch, dass wir uns auf die Gesamtheit aller falschen Aussagen beziehen, die sie enthält.

In allen Paradoxien findet eine Selbstanwendbarkeit statt, was bedeutet, dass es gleichsam eine Bewegung im Kreis gibt, die am Ende zum Ausgangspunkt führt. In dem Bemühen, das für uns interessierende Objekt zu charakterisieren, wenden wir uns der Menge von Objekten zu, die es enthält. Es stellt sich jedoch heraus, dass es zu seiner Bestimmtheit selbst den betrachteten Gegenstand benötigt und ohne ihn nicht eindeutig verstanden werden kann. In diesem Kreis liegt vielleicht die Quelle der Paradoxien.

Die Situation wird jedoch dadurch kompliziert, dass ein solcher Zirkel auch in vielen völlig nicht paradoxen Argumenten existiert. Circular ist eine riesige Vielfalt der gebräuchlichsten, harmlosesten und gleichzeitig bequemsten Ausdrucksformen. Solche Beispiele wie „die größte aller Städte“, „die kleinste aller natürlichen Zahlen“, „eines der Elektronen des Eisenatoms“ usw. zeigen, dass nicht jeder Fall der Selbstanwendbarkeit auf einen Widerspruch führt und dass er es ist ist nicht nur in der Umgangssprache wichtig, sondern auch in der Wissenschaftssprache.

Ein bloßer Hinweis auf die Verwendung selbst anwendbarer Konzepte reicht also nicht aus, um Paradoxien zu diskreditieren. Es ist ein zusätzliches Kriterium erforderlich, um die Selbstanwendbarkeit, die zu einem Paradoxon führt, von allen anderen Fällen davon zu trennen.

Es gab viele Vorschläge in dieser Richtung, aber keine erfolgreiche Klärung der Zirkularität wurde gefunden. Es stellte sich als unmöglich heraus, Zirkularität so zu charakterisieren, dass jeder Zirkelschluss zu einem Paradoxon führt und jedes Paradoxon das Ergebnis eines Zirkelschlusses ist.

Der Versuch, ein bestimmtes Prinzip der Logik zu finden, dessen Verletzung ein charakteristisches Merkmal aller logischen Paradoxien wäre, führte zu nichts Bestimmtem.

Eine Art Klassifikation von Paradoxien wäre zweifellos nützlich, indem man sie in Typen und Typen unterteilt, einige Paradoxien gruppiert und sie anderen gegenüberstellt. Aber auch hier wurde nichts Nachhaltiges erreicht.

Der englische Logiker F. Ramsey, der 1930 starb, als er noch nicht siebenundzwanzig Jahre alt war, schlug vor, alle Paradoxien in syntaktische und semantische zu unterteilen. Das erste umfasst zum Beispiel Russells Paradoxon, das zweite - die Paradoxa des "Lügners", Grelling usw.

Nach F. Ramsey enthalten Paradoxien der ersten Gruppe nur Konzepte, die zur Logik oder Mathematik gehören. Zu letzteren gehören Begriffe wie „Wahrheit“, „Bestimmbarkeit“, „Benennung“, „Sprache“, die nicht streng mathematisch sind, sondern der Linguistik oder gar der Erkenntnistheorie zuzuordnen sind. Semantische Paradoxien scheinen ihr Auftreten nicht einem Logikfehler zu verdanken, sondern der Vagheit oder Mehrdeutigkeit einiger nicht-logischer Konzepte, daher betreffen die Probleme, die sie aufwerfen, die Sprache und müssen von der Linguistik gelöst werden.

Es schien F. Ramsey, dass Mathematiker und Logiker sich nicht für semantische Paradoxien interessieren müssten.

Später stellte sich jedoch heraus, dass einige der bedeutendsten Ergebnisse der modernen Logik gerade im Zusammenhang mit einer tieferen Untersuchung genau dieser „nicht-logischen“ Paradoxien erzielt wurden.

Die von F. Ramsey vorgeschlagene Aufteilung der Paradoxien war zunächst weit verbreitet und behält auch heute noch eine gewisse Bedeutung. Gleichzeitig wird immer deutlicher, dass diese Einteilung eher vage ist und sich in erster Linie auf Beispiele stützt und nicht auf eine eingehende vergleichende Analyse der beiden Gruppen von Paradoxien. Semantische Konzepte sind jetzt gut definiert, und es ist schwer, nicht zu erkennen, dass diese Konzepte tatsächlich logisch sind. Mit der Entwicklung der Semantik, die ihre Grundbegriffe mengentheoretisch definiert, verschwimmt die Unterscheidung von F. Ramsey zunehmend.

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