Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu ..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")

Deret aritmatika- ini adalah serangkaian angka di mana setiap angka lebih besar (atau lebih kecil) dari yang sebelumnya dengan jumlah yang sama.

Topik ini seringkali sulit dan tidak dapat dipahami. indeks huruf, anggota ke-n progresi, perbedaan progresi - semua ini entah bagaimana membingungkan, ya ... Mari kita cari tahu arti dari deret aritmatika dan semuanya akan segera beres.)

Konsep deret aritmatika.

Perkembangan aritmatika adalah konsep yang sangat sederhana dan jelas. Ragu? Sia-sia.) Lihat sendiri.

Saya akan menulis serangkaian angka yang belum selesai:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Bisakah Anda memperpanjang garis ini? Nomor apa yang akan pergi selanjutnya, setelah lima? Semua orang ... eh ..., singkatnya, semua orang akan mengetahui bahwa angka 6, 7, 8, 9, dll akan melangkah lebih jauh.

Mari kita memperumit tugas. Saya memberikan serangkaian angka yang belum selesai:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Anda dapat menangkap polanya, memperpanjang seri, dan memberi nama ketujuh nomor baris?

Jika Anda mengetahui bahwa angka ini adalah 20 - saya ucapkan selamat! Anda tidak hanya merasa poin kunci deret aritmatika, tetapi juga berhasil menggunakannya dalam bisnis! Jika Anda tidak mengerti, baca terus.

Sekarang mari kita terjemahkan poin-poin kunci dari sensasi ke dalam matematika.)

Poin kunci pertama.

Deret aritmatika berkaitan dengan deret bilangan. Ini membingungkan pada awalnya. Kami terbiasa memecahkan persamaan, membuat grafik, dan semua itu ... Dan kemudian perpanjang deretnya, temukan jumlah deretnya ...

Tidak apa-apa. Hanya saja progresi adalah perkenalan pertama dengan cabang matematika baru. Bagian ini disebut "Rangkaian" dan berfungsi dengan rangkaian angka dan ekspresi. Terbiasalah.)

Poin kunci kedua.

Dalam deret aritmatika, bilangan apa pun berbeda dari bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama.

Dalam contoh pertama, perbedaan ini adalah satu. Berapa pun nomor yang Anda ambil, itu satu lebih banyak dari yang sebelumnya. Di kedua - tiga. Setiap nomor tiga kali lebih besar dari yang sebelumnya. Sebenarnya, momen inilah yang memberi kita kesempatan untuk menangkap pola dan menghitung angka-angka berikutnya.

Poin kunci ketiga.

Momen ini tidak mencolok ya... Tapi sangat-sangat penting. Itu dia: setiap nomor perkembangan berdiri di tempatnya. Ada angka pertama, ada ketujuh, ada empat puluh lima, dan seterusnya. Jika Anda membingungkan mereka secara sembarangan, polanya akan hilang. Deret aritmatika juga akan hilang. Itu hanya deretan angka.

Itulah intinya.

Tentu saja, dalam topik baru istilah dan notasi baru muncul. Mereka perlu tahu. Jika tidak, Anda tidak akan memahami tugas tersebut. Misalnya, Anda harus memutuskan sesuatu seperti:

Tuliskan enam suku pertama dari barisan aritmatika (a n) jika a 2 = 5, d = -2.5.

Apakah itu menginspirasi?) Surat, beberapa indeks... Dan tugas, omong-omong, tidak bisa lebih mudah. Anda hanya perlu memahami arti istilah dan notasinya. Sekarang kita akan menguasai masalah ini dan kembali ke tugas.

Istilah dan sebutan.

Deret aritmatika adalah barisan bilangan yang setiap bilangannya berbeda dengan bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama.

Nilai ini disebut . Mari kita bahas konsep ini secara lebih rinci.

Selisih barisan aritmatika.

Selisih deret aritmatika adalah jumlah di mana setiap angka perkembangan lagi yang sebelumnya.

Satu poin penting. Tolong perhatikan kata "lagi". Secara matematis, ini berarti bahwa setiap angka kemajuan diperoleh menambahkan perbedaan deret aritmatika dengan bilangan sebelumnya.

Untuk menghitung, katakanlah kedua nomor baris, perlu untuk pertama nomor Menambahkan perbedaan ini sangat dari perkembangan aritmatika. Untuk perhitungan kelima- perbedaan itu perlu Menambahkan ke keempat baik, dll.

Selisih deret aritmatika mungkin positif maka setiap nomor seri akan menjadi nyata lebih dari yang sebelumnya. Perkembangan ini disebut meningkat. Sebagai contoh:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Di sini setiap nomor adalah menambahkan nomor positif, +5 ke yang sebelumnya.

Perbedaannya bisa negatif maka setiap bilangan pada deret tersebut adalah kurang dari yang sebelumnya. Perkembangan ini disebut (Anda tidak akan percaya!) menurun.

Sebagai contoh:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Di sini setiap nomor diperoleh juga menambahkan ke angka sebelumnya, tetapi sudah negatif, -5.

Omong-omong, ketika bekerja dengan progres, sangat berguna untuk segera menentukan sifatnya - apakah itu meningkat atau menurun. Ini sangat membantu untuk menemukan bantalan Anda dalam keputusan, untuk mendeteksi kesalahan Anda dan memperbaikinya sebelum terlambat.

Selisih deret aritmatika biasanya dilambangkan dengan huruf d.

Bagaimana menemukan d? Sangat sederhana. Hal ini diperlukan untuk mengurangi dari sejumlah seri sebelumnya nomor. Mengurangi. Omong-omong, hasil pengurangan disebut "selisih".)

Mari kita definisikan, misalnya, d untuk deret aritmatika yang meningkat:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Kami mengambil sejumlah baris yang kami inginkan, misalnya, 11. Kurangi dari itu nomor sebelumnya itu. delapan:

Ini adalah jawaban yang benar. Untuk barisan aritmatika ini, selisihnya adalah tiga.

Anda hanya dapat mengambil sejumlah kemajuan, karena untuk kemajuan tertentu d-selalu sama. Setidaknya di suatu tempat di awal baris, setidaknya di tengah, setidaknya di mana saja. Anda tidak dapat mengambil hanya nomor pertama. Hanya karena nomor pertama tidak ada sebelumnya.)

Ngomong-ngomong, mengetahui itu d=3, menemukan angka ketujuh dari perkembangan ini sangat sederhana. Kami menambahkan 3 ke angka kelima - kami mendapatkan yang keenam, itu akan menjadi 17. Kami menambahkan tiga ke angka keenam, kami mendapatkan angka ketujuh - dua puluh.

Mari kita definisikan d untuk deret aritmatika menurun:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Saya mengingatkan Anda bahwa, terlepas dari tanda-tandanya, untuk menentukan d dibutuhkan dari nomor berapapun singkirkan yang sebelumnya. Kami memilih sejumlah perkembangan, misalnya -7. Nomor sebelumnya adalah -2. Kemudian:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Perbedaan deret aritmatika dapat berupa bilangan apa saja: bilangan bulat, pecahan, irasional, apa saja.

Istilah dan sebutan lainnya.

Setiap bilangan dalam deret tersebut disebut anggota deret aritmatika.

Setiap anggota perkembangan memiliki nomornya. Angka-angkanya benar-benar berurutan, tanpa trik apa pun. Pertama, kedua, ketiga, keempat, dst. Misalnya, dalam perkembangan 2, 5, 8, 11, 14, ... dua adalah anggota pertama, lima adalah yang kedua, sebelas adalah yang keempat, nah, Anda mengerti ...) Harap dipahami dengan jelas - angka itu sendiri bisa benar-benar apa saja, utuh, pecahan, negatif, apa pun, tapi penomoran- benar-benar teratur!

Cara merekam progres di pandangan umum? Tidak masalah! Setiap nomor dalam seri ditulis sebagai huruf. Untuk menunjukkan deret aritmatika, sebagai aturan, huruf digunakan sebuah. Nomor anggota ditunjukkan oleh indeks di kanan bawah. Anggota ditulis dipisahkan dengan koma (atau titik koma), seperti ini:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

sebuah 1 adalah angka pertama sebuah 3- ketiga, dll. Tidak ada yang rumit. Anda dapat menulis seri ini secara singkat seperti ini: (sebuah).

Ada kemajuan terbatas dan tak terbatas.

terakhir perkembangan memiliki jumlah terbatas anggota. Lima, tiga puluh delapan, terserah. Tapi itu angka yang terbatas.

tak berujung perkembangan - memiliki jumlah anggota yang tidak terbatas, seperti yang Anda duga.)

Anda dapat menulis progresi akhir melalui rangkaian seperti ini, semua anggota dan sebuah titik di akhir:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

Atau seperti ini, jika ada banyak anggota:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

PADA singkatan Anda harus menentukan jumlah anggota tambahan. Misalnya (untuk dua puluh anggota), seperti ini:

(a n), n = 20

Sebuah kemajuan tak terbatas dapat dikenali dengan elipsis di akhir baris, seperti dalam contoh dalam pelajaran ini.

Sekarang Anda sudah dapat menyelesaikan tugas. Tugasnya sederhana, murni untuk memahami arti dari deret aritmatika.

Contoh tugas untuk deret aritmatika.

Mari kita lihat lebih dekat tugas di atas:

1. Tuliskan enam anggota pertama dari deret aritmatika (a n), jika a 2 = 5, d = -2.5.

Kami mentransfer tugas ke bahasa yang dapat dimengerti. Mengingat perkembangan aritmatika tak terbatas. Angka kedua dari perkembangan ini diketahui: a2 = 5. Perbedaan perkembangan yang diketahui: d = -2,5. Kita perlu menemukan anggota pertama, ketiga, keempat, kelima dan keenam dari perkembangan ini.

Untuk kejelasan, saya akan menuliskan rangkaian sesuai dengan kondisi masalah. Enam anggota pertama, di mana anggota kedua adalah lima:

a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , ....

sebuah 3 = sebuah 2 + d

Kami mengganti dalam ekspresi a2 = 5 dan d=-2,5. Jangan lupa minusnya!

sebuah 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Suku ketiga adalah kurang dari satu detik. Semuanya logis. Jika jumlahnya lebih besar dari yang sebelumnya negatif nilai, sehingga nomor itu sendiri akan lebih kecil dari yang sebelumnya. Progresi semakin menurun. Oke, mari kita pertimbangkan.) Kami mempertimbangkan anggota keempat dari seri kami:

sebuah 4 = sebuah 3 + d

sebuah 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

sebuah 5 = sebuah 4 + d

sebuah 5=0+(-2,5)= - 2,5

sebuah 6 = sebuah 5 + d

sebuah 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Jadi, istilah dari ketiga hingga keenam telah dihitung. Ini menghasilkan serangkaian:

a 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....

Tetap mencari suku pertama sebuah 1 pada kedua yang terkenal. Ini adalah langkah ke arah lain, ke kiri.) Oleh karena itu, perbedaan dari deret aritmatika d tidak harus ditambahkan ke sebuah 2, sebuah bawa pulang:

sebuah 1 = sebuah 2 - d

sebuah 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Itu saja. Tanggapan tugas:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Secara sepintas, saya perhatikan bahwa kami menyelesaikan tugas ini berulang jalan. Ini kata menakutkan berarti, hanya, mencari istilah perkembangan dengan nomor sebelumnya (berdekatan). Cara lain untuk bekerja dengan perkembangan akan dibahas nanti.

Dari ini tugas sederhana satu kesimpulan penting dapat ditarik.

Ingat:

Jika kita mengetahui setidaknya satu anggota dan perbedaan dari suatu deret aritmatika, kita dapat menemukan setiap anggota dari deret ini.

Ingat? Derivasi sederhana ini memungkinkan kita untuk memecahkan sebagian besar masalah kursus sekolah pada topik ini. Semua tugas berputar di sekitar tiga utama parameter: anggota deret aritmatika, selisih deret, jumlah anggota deret. Semuanya.

Tentu saja, semua aljabar sebelumnya tidak dibatalkan.) Pertidaksamaan, persamaan, dan hal-hal lain yang melekat pada perkembangan. Tetapi sesuai perkembangannya- semuanya berkisar pada tiga parameter.

Misalnya, pertimbangkan beberapa tugas populer pada topik ini.

2. Tulis barisan aritmatika akhir sebagai deret jika n=5, d=0.4, dan a 1=3.6.

Semuanya sederhana di sini. Semuanya sudah diberikan. Anda perlu mengingat bagaimana anggota deret aritmatika dihitung, dihitung, dan ditulis. Disarankan untuk tidak melewatkan kata-kata dalam kondisi tugas: "final" dan " n=5". Agar tidak menghitung sampai wajahmu benar-benar biru.) Hanya ada 5 (lima) anggota dalam perkembangan ini:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

sebuah 4 = sebuah 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

sebuah 5 = sebuah 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Tetap menuliskan jawabannya:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Tugas lain:

3. Tentukan apakah bilangan 7 merupakan anggota barisan aritmatika (a n) jika a 1 \u003d 4.1; d = 1.2.

Hm... Siapa yang tahu? Bagaimana mendefinisikan sesuatu?

Bagaimana-bagaimana... Ya, tuliskan progresi dalam bentuk deret dan lihat apakah akan ada tujuh atau tidak! Kami percaya:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

sebuah 4 = sebuah 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Sekarang jelas terlihat bahwa kita hanya tujuh menyelinap melalui antara 6,5 ​​dan 7,7! Tujuh tidak masuk ke rangkaian angka kami, dan, oleh karena itu, tujuh tidak akan menjadi anggota dari perkembangan yang diberikan.

Jawaban: tidak.

Dan ini adalah masalah berdasarkan versi asli GI:

4. Beberapa anggota barisan aritmatika yang berurutan dituliskan:

...; limabelas; X; sembilan; 6; ...

Berikut adalah seri tanpa akhir dan awal. Tidak ada nomor anggota, tidak ada perbedaan d. Tidak apa-apa. Untuk mengatasi masalah tersebut, cukup memahami arti dari deret aritmatika. Mari kita lihat dan lihat apa yang kita bisa menemukan dari baris ini? Apa parameter dari tiga yang utama?

Nomor anggota? Tidak ada satu nomor pun di sini.

Tapi ada tiga angka dan - perhatian! - kata "berurutan" dalam kondisi. Ini berarti bahwa angka-angkanya benar-benar berurutan, tanpa celah. Apakah ada dua di baris ini? berdekatan nomor yang diketahui? Ya saya punya! Ini adalah 9 dan 6. Jadi kita bisa menghitung selisih dari barisan aritmatika! Kami kurangi dari enam sebelumnya nomor, yaitu sembilan:

Ada ruang kosong yang tersisa. Nomor berapa yang akan menjadi yang sebelumnya untuk x? Limabelas. Jadi X dapat dengan mudah ditemukan tambahan sederhana. Untuk 15 menambahkan perbedaan dari deret aritmatika:

Itu saja. Menjawab: x=12

Kami memecahkan masalah berikut sendiri. Catatan: teka-teki ini bukan untuk rumus. Semata-mata untuk memahami arti dari deret aritmatika.) Kami hanya menuliskan serangkaian angka-huruf, melihat dan berpikir.

5. Tentukan suku positif pertama dari barisan aritmatika jika a 5 = -3; d = 1.1.

6. Diketahui bilangan 5.5 merupakan anggota barisan aritmatika (a n), dimana a 1 = 1.6; d = 1.3. Tentukan jumlah n dari suku ini.

7. Diketahui bahwa pada suatu deret aritmatika a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Temukan 3 .

8. Beberapa anggota barisan aritmatika yang berurutan dituliskan:

...; 15.6; X; 3.4; ...

Tentukan suku dari progresi yang dilambangkan dengan huruf x.

9. Kereta mulai bergerak dari stasiun, secara bertahap meningkatkan kecepatannya sebesar 30 meter per menit. Berapakah kecepatan kereta api dalam lima menit? Berikan jawaban Anda dalam km/jam.

10. Diketahui bahwa pada suatu barisan aritmatika a 2 = 5; a6 = -5. Temukan 1.

Jawaban (berantakan): 7.7; 7.5; 9.5; sembilan; 0,3; 4.

Semuanya berhasil? Luar biasa! Anda dapat menguasai perkembangan aritmatika untuk lebih banyak lagi level tinggi, dalam pelajaran berikutnya.

Bukankah semuanya berhasil? Tidak masalah. Di Bagian Khusus 555, semua teka-teki ini diurutkan berdasarkan tulang.) Dan, tentu saja, sederhana teknik praktis, yang segera menyoroti solusi tugas-tugas tersebut dengan jelas, jelas, dalam tampilan penuh!

Ngomong-ngomong, dalam teka-teki tentang kereta ada dua masalah yang sering membuat orang tersandung. Satu - murni dengan perkembangan, dan yang kedua - umum untuk tugas apa pun dalam matematika, dan fisika juga. Ini adalah terjemahan dimensi dari satu ke yang lain. Ini menunjukkan bagaimana masalah ini harus diselesaikan.

Dalam pelajaran ini, kami memeriksa arti dasar dari deret aritmatika dan parameter utamanya. Ini cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah tentang topik ini. Menambahkan d ke nomor, menulis seri, semuanya akan diputuskan.

Solusi jari bekerja dengan baik untuk bagian yang sangat pendek dari seri, seperti dalam contoh dalam pelajaran ini. Jika seri lebih panjang, perhitungan menjadi lebih rumit. Misalnya, jika dalam masalah 9 dalam pertanyaan, ganti "lima menit" pada "tiga puluh lima menit" masalahnya akan menjadi jauh lebih buruk.)

Dan ada juga tugas-tugas yang pada dasarnya sederhana, tetapi sama sekali tidak masuk akal dalam hal perhitungan, misalnya:

Diberikan barisan aritmatika (a n). Temukan 121 jika a 1 =3 dan d=1/6.

Dan apa, kami akan menambahkan 1/6 berkali-kali?! Apakah mungkin untuk bunuh diri!?

Anda bisa.) Jika Anda tidak tahu rumus sederhana, di mana Anda dapat menyelesaikan tugas-tugas tersebut dalam satu menit. Rumus ini akan ada di pelajaran berikutnya. Dan masalah itu selesai di sana. Dalam semenit.)

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Tingkat pertama

Kemajuan aritmatika. teori rinci dengan contoh (2019)

Urutan numerik

Jadi mari kita duduk dan mulai menulis beberapa angka. Sebagai contoh:
Anda dapat menulis angka apa saja, dan bisa sebanyak yang Anda suka (dalam kasus kami, angka tersebut). Tidak peduli berapa banyak angka yang kita tulis, kita selalu dapat mengatakan yang mana yang pertama, yang kedua, dan seterusnya hingga yang terakhir, yaitu, kita dapat menghitungnya. Berikut adalah contoh barisan bilangan:

Urutan numerik
Misalnya, untuk urutan kami:

Nomor yang ditetapkan hanya khusus untuk satu nomor urut. Dengan kata lain, tidak ada tiga angka kedua dalam urutan. Angka kedua (seperti angka -th) selalu sama.
Bilangan dengan nomor tersebut disebut anggota -th dari barisan tersebut.

Kami biasanya menyebut seluruh urutan beberapa huruf (misalnya,), dan setiap anggota dari urutan ini - huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan jumlah anggota ini: .

Dalam kasus kami:

Katakanlah kita memiliki barisan numerik di mana selisih antara bilangan-bilangan yang berdekatan adalah sama dan sama.
Sebagai contoh:

dll.
Barisan numerik seperti itu disebut deret aritmatika.
Istilah "kemajuan" diperkenalkan oleh penulis Romawi Boethius pada awal abad ke-6 dan dipahami secara lebih pengertian luas, sebagai barisan bilangan tak hingga. Nama "aritmatika" dipindahkan dari teori proporsi kontinu, yang digunakan oleh orang Yunani kuno.

Ini adalah urutan numerik, yang masing-masing anggotanya sama dengan yang sebelumnya, ditambahkan dengan nomor yang sama. Bilangan ini disebut selisih dari suatu barisan aritmatika dan dilambangkan.

Coba tentukan barisan bilangan mana yang merupakan barisan aritmatika dan mana yang bukan:

sebuah)
b)
c)
d)

Mengerti? Bandingkan jawaban kami:
Adalah deret aritmatika - b, c.
Tidak deret aritmatika - a, d.

Mari kembali ke progresi yang diberikan () dan coba cari nilai anggota ke-nya. Ada dua cara untuk menemukannya.

1. Metode

Kita dapat menambahkan nilai sebelumnya dari bilangan perkembangan sampai kita mencapai suku ke-th dari bilangan perkembangan tersebut. Ada baiknya kita tidak memiliki banyak hal untuk diringkas - hanya tiga nilai:

Jadi, anggota -th dari deret aritmatika yang dijelaskan adalah sama dengan.

2. Metode

Bagaimana jika kita perlu mencari nilai suku ke-th dari deret tersebut? Penjumlahan akan memakan waktu lebih dari satu jam, dan bukan fakta bahwa kami tidak akan membuat kesalahan saat menambahkan angka.
Tentu saja, ahli matematika telah menemukan cara di mana Anda tidak perlu menambahkan selisih dari deret aritmatika ke nilai sebelumnya. Perhatikan baik-baik gambar yang digambar… Tentunya Anda sudah memperhatikan pola tertentu, yaitu:

Sebagai contoh, mari kita lihat apa yang membentuk nilai anggota -th dari deret aritmatika ini:


Dengan kata lain:

Coba cari sendiri dengan cara ini nilai anggota deret aritmatika ini.

Dihitung? Bandingkan entri Anda dengan jawaban:

Perhatikan bahwa Anda mendapatkan angka yang sama persis seperti pada metode sebelumnya, ketika kami menambahkan anggota deret aritmatika ke nilai sebelumnya secara berurutan.
Mari kita coba "depersonalisasi" rumus ini- mari kita bawa ke bentuk umum dan dapatkan:

Persamaan deret aritmatika.

Progresi aritmatika meningkat atau menurun.

meningkat- progresi di mana setiap nilai berikutnya dari istilah lebih besar dari yang sebelumnya.
Sebagai contoh:

Menurun- progresi di mana setiap nilai berikutnya dari istilah kurang dari yang sebelumnya.
Sebagai contoh:

Rumus turunan digunakan dalam perhitungan suku dalam suku naik dan turun dari suatu deret aritmatika.
Mari kita periksa dalam praktek.
Kami diberikan deret aritmatika yang terdiri dari angka-angka berikut:

Dari dulu:

Jadi, kami yakin bahwa rumus tersebut berfungsi baik dalam penurunan maupun peningkatan deret aritmatika.
Coba cari sendiri anggota -th dan -th dari deret aritmatika ini.

Mari kita bandingkan hasilnya:

Properti deret aritmatika

Mari kita memperumit tugas - kita mendapatkan properti dari perkembangan aritmatika.
Misalkan kita diberikan kondisi berikut:
- deret aritmatika, temukan nilainya.
Mudah, katamu, dan mulailah menghitung sesuai dengan rumus yang sudah kamu ketahui:

Misalkan a, maka:

Benar-benar tepat. Ternyata kita temukan dulu, lalu tambahkan ke angka pertama dan dapatkan yang kita cari. Jika perkembangan diwakili oleh nilai-nilai kecil, maka tidak ada yang rumit tentang itu, tetapi bagaimana jika kita diberikan angka dalam kondisi? Setuju, ada kemungkinan membuat kesalahan dalam perhitungan.
Sekarang pikirkan, apakah mungkin untuk menyelesaikan masalah ini dalam satu langkah menggunakan rumus apa pun? Tentu saja, ya, dan kami akan mencoba mengeluarkannya sekarang.

Mari kita nyatakan suku yang diinginkan dari deret aritmatika sebagai, kita tahu rumus untuk menemukannya - ini adalah rumus yang sama yang kita peroleh di awal:
, kemudian:

• anggota progresi sebelumnya adalah:
• suku berikutnya dari progresi adalah:

Mari kita jumlahkan anggota progresi sebelumnya dan selanjutnya:

Ternyata jumlah anggota perkembangan sebelumnya dan selanjutnya adalah dua kali lipat nilai anggota perkembangan yang terletak di antara mereka. Dengan kata lain, untuk menemukan nilai anggota perkembangan dengan nilai sebelumnya dan berturut-turut yang diketahui, perlu untuk menjumlahkan dan membaginya.

Itu benar, kami mendapat nomor yang sama. Mari kita perbaiki materinya. Hitung sendiri nilai progresnya, karena sama sekali tidak sulit.

Sudah selesai dilakukan dengan baik! Anda tahu hampir segalanya tentang kemajuan! Tetap menemukan hanya satu formula, yang, menurut legenda, salah satu matematikawan terhebat sepanjang masa, "raja matematikawan" - Karl Gauss, dengan mudah disimpulkan untuk dirinya sendiri ...

Ketika Carl Gauss berusia 9 tahun, sang guru, sibuk memeriksa pekerjaan siswa di kelas lain, menanyakan tugas berikut di pelajaran: “Hitung jumlah semua bilangan asli dari ke (menurut sumber lain hingga) inklusif. Apa yang mengejutkan guru ketika salah satu muridnya (itu adalah Karl Gauss) setelah satu menit memberikan jawaban yang benar untuk tugas itu, sementara sebagian besar teman sekelas pemberani setelah perhitungan yang lama menerima hasil yang salah ...

Carl Gauss muda memperhatikan sebuah pola yang dapat Anda perhatikan dengan mudah.
Katakanlah kita memiliki barisan aritmatika yang terdiri dari anggota -ti: Kita perlu mencari jumlah anggota barisan aritmatika yang diberikan. Tentu saja, kita dapat menjumlahkan semua nilai secara manual, tetapi bagaimana jika kita perlu menemukan jumlah sukunya dalam tugas, seperti yang dicari Gauss?

Mari kita gambarkan perkembangan yang diberikan kepada kita. Perhatikan baik-baik angka-angka yang disorot dan coba lakukan berbagai operasi matematika dengan angka-angka tersebut.


Dicoba? Apa yang Anda perhatikan? Benar! Jumlah mereka sama

Sekarang jawab, berapa banyak pasangan seperti itu dalam perkembangan yang diberikan kepada kita? Tentu saja, tepat setengah dari semua angka, yaitu.
Berdasarkan fakta bahwa jumlah dua anggota barisan aritmatika adalah sama, dan pasangan sama yang serupa, kita mendapatkan bahwa jumlah total adalah sama dengan:
.
Jadi, rumus untuk jumlah suku pertama dari setiap deret aritmatika adalah:

Dalam beberapa soal, kita tidak mengetahui suku ke-th, tetapi kita mengetahui perbedaan perkembangannya. Cobalah untuk mengganti rumus jumlah, rumus anggota ke-.
Apa yang kamu dapatkan?

Sudah selesai dilakukan dengan baik! Sekarang mari kita kembali ke masalah yang diberikan kepada Carl Gauss: hitung sendiri berapa jumlah bilangan yang dimulai dari -th, dan jumlah bilangan yang dimulai dari -th.

Berapa banyak yang Anda dapatkan?
Gauss ternyata jumlah suku-sukunya sama, dan jumlah suku-sukunya sama. Apakah itu cara Anda memutuskan?

Faktanya, rumus jumlah anggota deret aritmatika telah dibuktikan oleh ilmuwan Yunani kuno Diophantus pada abad ke-3, dan selama ini orang yang cerdas menggunakan sifat-sifat deret aritmatika dengan kekuatan dan utama.
Misalnya, bayangkan Mesir Kuno dan kebanyakan konstruksi skala besar waktu itu - pembangunan piramida ... Gambar itu menunjukkan satu sisinya.

Di mana perkembangannya di sini yang Anda katakan? Perhatikan baik-baik dan temukan pola jumlah balok pasir di setiap baris dinding piramida.


Mengapa bukan deret aritmatika? Hitung berapa banyak balok yang diperlukan untuk membangun satu dinding jika bata balok ditempatkan di dasarnya. Saya harap Anda tidak akan menghitung dengan menggerakkan jari Anda melintasi monitor, apakah Anda ingat rumus terakhir dan semua yang kami katakan tentang deret aritmatika?

PADA kasus ini progresnya terlihat seperti ini:
Selisih barisan aritmatika.
Banyaknya anggota barisan aritmatika.
Mari kita substitusikan data kita ke rumus terakhir (kita hitung jumlah balok dengan 2 cara).

Metode 1.

Metode 2.

Dan sekarang Anda juga dapat menghitung di monitor: bandingkan nilai yang diperoleh dengan jumlah balok yang ada di piramida kami. Apakah itu setuju? Selamat, Anda telah menguasai jumlah suku ke-tiga dari suatu deret aritmatika.
Tentu saja, Anda tidak dapat membangun piramida dari balok di pangkalan, tetapi dari? Coba hitung berapa banyak batu bata pasir yang dibutuhkan untuk membangun tembok dengan kondisi ini.
Apakah Anda berhasil?
Jawaban yang benar adalah blok:

Bekerja

Tugas:

1. Masha semakin bugar untuk musim panas. Setiap hari dia menambah jumlah squat. Berapa kali Masha akan jongkok dalam beberapa minggu jika dia melakukan jongkok pada latihan pertama.
2. Berapa jumlah semua bilangan ganjil yang terdapat pada
3. Saat menyimpan log, penebang kayu menumpuknya sedemikian rupa sehingga setiap lapisan atas berisi satu log lebih sedikit dari yang sebelumnya. Berapa banyak balok dalam satu pasangan bata, jika dasar pasangan bata adalah kayu.

Jawaban:

1. Mari kita tentukan parameter deret aritmatika. Pada kasus ini
   (minggu = hari).

   Menjawab: Dalam dua minggu, Masha harus jongkok sekali sehari.

2. Pertama angka ganjil, nomor terakhir.
   Selisih barisan aritmatika.
   Jumlah bilangan ganjil di - setengah, bagaimanapun, periksa fakta ini menggunakan rumus untuk menemukan anggota -th dari deret aritmatika:

   Angka tersebut memang mengandung angka ganjil.
   Kami mengganti data yang tersedia ke dalam rumus:

   Menjawab: Jumlah semua bilangan ganjil yang terdapat di dalamnya sama dengan.

3. Ingat masalah tentang piramida. Untuk kasus kami, a , karena setiap lapisan atas dikurangi dengan satu log, hanya ada sekelompok lapisan, yaitu.
   Substitusikan data ke dalam rumus:

   Menjawab: Ada log di batu.

Menyimpulkan

1. - urutan numerik di mana perbedaan antara nomor yang berdekatan adalah sama dan sama. Hal ini meningkat dan menurun.
2. Menemukan rumus Anggota ke deret aritmatika ditulis dengan rumus - , di mana adalah jumlah angka dalam deret.
3. Properti anggota deret aritmatika- - di mana - jumlah angka dalam progresi.
4. Jumlah anggota deret aritmatika dapat ditemukan dengan dua cara:
   
   , di mana adalah jumlah nilai.

PROGRESI aritmatika. TINGKAT TENGAH

Urutan numerik

Mari kita duduk dan mulai menulis beberapa angka. Sebagai contoh:

Anda dapat menulis angka apa saja, dan bisa sebanyak yang Anda suka. Tetapi Anda selalu dapat membedakan mana di antara mereka yang pertama, mana yang kedua, dan seterusnya, yaitu, kita dapat memberi nomor pada mereka. Ini adalah contoh barisan bilangan.

Urutan numerik adalah satu set angka, yang masing-masing dapat diberi nomor unik.

Dengan kata lain, setiap bilangan dapat dikaitkan dengan bilangan asli tertentu, dan hanya satu. Dan kami tidak akan menetapkan nomor ini ke nomor lain dari set ini.

Bilangan dengan nomor tersebut disebut anggota -th dari barisan tersebut.

Kami biasanya menyebut seluruh urutan beberapa huruf (misalnya,), dan setiap anggota dari urutan ini - huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan jumlah anggota ini: .

Sangat mudah jika anggota -th dari barisan dapat diberikan oleh beberapa rumus. Misalnya rumus

mengatur urutan:

Dan rumusnya adalah urutan sebagai berikut:

Misalnya, barisan aritmatika adalah barisan (suku pertama di sini adalah sama, dan selisihnya). Atau (, perbedaan).

rumus suku ke-n

Kami menyebut rumus berulang di mana, untuk mengetahui suku -th, Anda perlu mengetahui yang sebelumnya atau beberapa yang sebelumnya:

Untuk mencari, misalnya, suku ke-th dari progresi menggunakan rumus seperti itu, kita harus menghitung sembilan sebelumnya. Misalnya, biarkan. Kemudian:

Nah, sekarang sudah jelas apa rumusnya?

Di setiap baris, kita tambahkan, dikalikan dengan beberapa angka. Untuk apa? Sangat sederhana: ini adalah jumlah anggota saat ini dikurangi:

Jauh lebih nyaman sekarang, bukan? Kami memeriksa:

Putuskan sendiri:

Dalam deret aritmatika, temukan rumus untuk suku ke-n dan temukan suku keseratus.

Keputusan:

Suku pertama sama. Dan apa perbedaannya? Dan inilah yang:

(Lagi pula, itu disebut perbedaan karena sama dengan perbedaan anggota perkembangan yang berurutan).

Jadi rumusnya adalah:

Maka suku keseratusnya adalah:

Berapa jumlah semua bilangan asli dari ke?

Menurut legenda, matematikawan hebat Carl Gauss, sebagai anak laki-laki berusia 9 tahun, menghitung jumlah ini dalam beberapa menit. Dia memperhatikan bahwa jumlah yang pertama dan hari terakhir sama, jumlah yang kedua dan kedua dari belakang adalah sama, jumlah yang ketiga dan ketiga dari akhir adalah sama, dan seterusnya. Ada berapa pasangan seperti itu? Itu benar, persis setengah jumlah semua angka, yaitu. Jadi,

Rumus umum untuk jumlah suku pertama dari setiap deret aritmatika adalah:

Contoh:
Temukan jumlah semuanya angka dua digit, kelipatan.

Keputusan:

Angka pertama adalah ini. Masing-masing dari berikut ini diperoleh dengan menambahkan ke nomor sebelumnya. Jadi, jumlah yang menarik bagi kami membentuk deret aritmatika dengan suku pertama dan selisihnya.

Rumus suku ke th untuk deret ini adalah:

Berapa banyak suku dalam barisan jika semuanya harus dua digit?

Sangat mudah: .

Suku terakhir dari progresi akan sama. Maka jumlah:

Menjawab: .

Sekarang putuskan sendiri:

1. Setiap hari atlet berlari 1m lebih banyak dari hari sebelumnya. Berapa kilometer yang akan dia tempuh dalam beberapa minggu jika dia berlari km m pada hari pertama?
2. Seorang pengendara sepeda mengendarai lebih banyak mil setiap hari daripada yang sebelumnya. Pada hari pertama ia melakukan perjalanan km. Berapa hari dia harus berkendara untuk menempuh satu kilometer? Berapa kilometer yang akan dia tempuh pada hari terakhir perjalanan?
3. Harga lemari es di toko dikurangi dengan jumlah yang sama setiap tahun. Tentukan berapa penurunan harga lemari es setiap tahun jika, disiapkan untuk dijual seharga rubel, enam tahun kemudian dijual seharga rubel.

Jawaban:

1. Hal terpenting di sini adalah mengenali deret aritmatika dan menentukan parameternya. Dalam hal ini, (minggu = hari). Anda perlu menentukan jumlah suku pertama dari perkembangan ini:
   .
   Menjawab:
2. Di sini diberikan:, perlu untuk menemukan.
   Jelas, Anda perlu menggunakan rumus jumlah yang sama seperti pada soal sebelumnya:
   .
   Substitusikan nilainya:

   Akarnya jelas tidak cocok, jadi jawabannya.
   Mari kita hitung jarak yang ditempuh selama hari terakhir menggunakan rumus anggota -th:
   (km).
   Menjawab:

3. Diberikan: . Mencari: .
   Itu tidak menjadi lebih mudah:
   (menggosok).
   Menjawab:

PROGRESI aritmatika. SINGKAT TENTANG UTAMA

Ini adalah urutan numerik di mana perbedaan antara angka yang berdekatan adalah sama dan sama.

Deret aritmatika meningkat () dan menurun ().

Sebagai contoh:

Rumus untuk menemukan anggota ke-n dari deret aritmatika

ditulis sebagai rumus, di mana adalah jumlah angka dalam perkembangannya.

Properti anggota deret aritmatika

Itu memudahkan untuk menemukan anggota perkembangan jika anggota tetangganya diketahui - di mana jumlah angka dalam perkembangan itu.

Jumlah anggota deret aritmatika

Ada dua cara untuk mencari jumlah:

Dimana adalah jumlah nilai.

Dimana adalah jumlah nilai.

Misalnya, barisan \(2\); \(5\); \(delapan\); \(sebelas\); \(14\)… adalah deret aritmatika, karena setiap elemen berikutnya berbeda dari yang sebelumnya dengan tiga (dapat diperoleh dari yang sebelumnya dengan menambahkan tiga):

Dalam deret ini, selisih \(d\) adalah positif (sama dengan \(3\)), dan oleh karena itu setiap suku berikutnya lebih besar dari suku sebelumnya. Perkembangan seperti itu disebut meningkat.

Namun, \(d\) juga dapat angka negatif. Misalnya, dalam deret aritmatika \(16\); \(sepuluh\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… perbedaan perkembangan \(d\) sama dengan minus enam.

Dan dalam hal ini, setiap elemen berikutnya akan lebih kecil dari yang sebelumnya. Perkembangan ini disebut menurun.

Notasi deret aritmatika

Kemajuan dilambangkan dengan huruf Latin kecil.

Bilangan yang membentuk deret disebut anggota(atau elemen).

Mereka dilambangkan dengan huruf yang sama dengan deret aritmatika, tetapi dengan indeks numerik yang sama dengan nomor elemen secara berurutan.

Misalnya, barisan aritmatika \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) terdiri dari elemen \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) dan seterusnya.

Dengan kata lain, untuk progresi \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Menyelesaikan masalah pada deret aritmatika

Pada prinsipnya, informasi di atas sudah cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah pada deret aritmatika (termasuk yang ditawarkan di OGE).

Contoh (OGE). Deret aritmatika diberikan oleh kondisi \(b_1=7; d=4\). Temukan \(b_5\).
Keputusan:

Menjawab: \(b_5=23\)

Contoh (OGE). Tiga suku pertama dari suatu barisan aritmatika diberikan: \(62; 49; 36…\) Tentukan nilai suku negatif pertama dari barisan ini..
Keputusan:

	Kami diberi elemen pertama dari barisan dan tahu bahwa itu adalah deret aritmatika. Artinya, setiap elemen berbeda dari elemen tetangga dengan nomor yang sama. Cari tahu yang mana dengan mengurangkan elemen sebelumnya dari elemen berikutnya: \(d=49-62=-13\).
	Sekarang kita dapat mengembalikan perkembangan kita ke elemen yang diinginkan (negatif pertama).
	Siap. Anda dapat menulis jawaban.

Menjawab: \(-3\)

Contoh (OGE). Beberapa elemen berurutan dari deret aritmatika diberikan: \(...5; x; 10; 12,5...\) Temukan nilai elemen yang dilambangkan dengan huruf \(x\).
Keputusan:

	Untuk mencari \(x\), kita perlu mengetahui seberapa besar perbedaan elemen berikutnya dari elemen sebelumnya, dengan kata lain, perbedaan progresi. Mari kita cari dari dua elemen tetangga yang diketahui: \(d=12.5-10=2.5\).
	Dan sekarang kami menemukan apa yang kami cari tanpa masalah: \(x=5+2.5=7.5\).
	Siap. Anda dapat menulis jawaban.

Menjawab: \(7,5\).

Contoh (OGE). Deret aritmatika diberikan oleh kondisi berikut: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Temukan jumlah enam suku pertama dari deret ini.
Keputusan:

Kita perlu mencari jumlah enam suku pertama dari perkembangan tersebut. Tapi kita tidak tahu artinya, kita hanya diberikan elemen pertama. Oleh karena itu, pertama-tama kami menghitung nilainya secara bergantian, menggunakan yang diberikan kepada kami: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Dan setelah menghitung enam elemen yang kita butuhkan, kita menemukan jumlah mereka.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Jumlah yang diminta telah ditemukan.

Menjawab: \(S_6=9\).

Contoh (OGE). Dalam deret aritmatika \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Temukan perbedaan dari perkembangan ini.
Keputusan:

Menjawab: \(d=7\).

Rumus Kemajuan Aritmatika Penting

Seperti yang Anda lihat, banyak masalah deret aritmatika dapat diselesaikan hanya dengan memahami hal utama - bahwa deret aritmatika adalah rantai angka, dan setiap elemen berikutnya dalam rantai ini diperoleh dengan menambahkan angka yang sama ke yang sebelumnya (perbedaannya dari kemajuan).

Namun, terkadang ada situasi di mana sangat tidak nyaman untuk menyelesaikan "di dahi". Misalnya, bayangkan bahwa dalam contoh pertama, kita tidak perlu menemukan elemen kelima \(b_5\), tetapi tiga ratus delapan puluh enam \(b_(386)\). Apa itu, kita \ (385 \) kali menambahkan empat? Atau bayangkan bahwa dalam contoh kedua dari belakang, Anda perlu menemukan jumlah dari tujuh puluh tiga elemen pertama. Menghitungnya membingungkan...

Oleh karena itu, dalam kasus seperti itu, mereka tidak memecahkan "di dahi", tetapi menggunakan rumus khusus yang diturunkan untuk deret aritmatika. Dan yang utama adalah rumus suku ke-n dari deret dan rumus jumlah \(n\) suku pertama.

Rumus untuk anggota ke \(n\): \(a_n=a_1+(n-1)d\), dengan \(a_1\) adalah anggota pertama dari perkembangan;
\(n\) – jumlah elemen yang dibutuhkan;
\(a_n\) adalah anggota perkembangan dengan nomor \(n\).

Rumus ini memungkinkan kita untuk dengan cepat menemukan setidaknya tiga ratus, bahkan elemen sepersejuta, hanya mengetahui yang pertama dan perbedaan perkembangan.

Contoh. Deret aritmatika diberikan oleh kondisi: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Temukan \(b_(246)\).
Keputusan:

Menjawab: \(b_(246)=1850\).

Rumus jumlah n suku pertama adalah: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), di mana

\(a_n\) adalah suku terakhir yang dijumlahkan;

Contoh (OGE). Deret aritmatika diberikan oleh kondisi \(a_n=3.4n-0.6\). Temukan jumlah suku \(25\) pertama dari deret ini.
Keputusan:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Untuk menghitung jumlah dua puluh lima elemen pertama, kita perlu mengetahui nilai suku pertama dan kedua puluh lima. Kemajuan kita diberikan oleh rumus suku ke-n tergantung pada jumlahnya (lihat detail). Mari kita hitung elemen pertama dengan mengganti \(n\) dengan satu.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Sekarang mari kita cari suku kedua puluh lima dengan mengganti dua puluh lima sebagai ganti \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Nah, sekarang kami menghitung jumlah yang dibutuhkan tanpa masalah.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Jawabannya sudah siap.

Menjawab: \(S_(25)=1090\).

Untuk jumlah \(n\) suku pertama, Anda bisa mendapatkan rumus lain: Anda hanya perlu \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) alih-alih \(a_n\) gantikan dengan rumus \(a_n=a_1+(n-1)d\). Kita mendapatkan:

Rumus jumlah n suku pertama adalah: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), di mana

\(S_n\) – jumlah yang diperlukan \(n\) dari elemen pertama;
\(a_1\) adalah suku pertama yang dijumlahkan;
\(d\) – perbedaan perkembangan;
\(n\) - jumlah elemen dalam jumlah.

Contoh. Temukan jumlah suku \(33\)-ex pertama dari deret aritmatika: \(17\); \(15,5\); \(empat belas\)…
Keputusan:

Menjawab: \(S_(33)=-231\).

Masalah perkembangan aritmatika yang lebih kompleks

Sekarang Anda memiliki semua informasi yang diperlukan untuk memecahkan hampir semua masalah pada deret aritmatika. Mari selesaikan topik dengan mempertimbangkan masalah di mana Anda tidak hanya perlu menerapkan rumus, tetapi juga berpikir sedikit (dalam matematika, ini bisa berguna )

Contoh (OGE). Temukan jumlah semua suku negatif dari perkembangan: \(-19.3\); \(-sembilan belas\); \(-18.7\)…
Keputusan:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Tugasnya sangat mirip dengan yang sebelumnya. Kita mulai memecahkan dengan cara yang sama: pertama kita temukan \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Sekarang kita akan mengganti \(d\) ke dalam rumus untuk jumlah ... dan di sini muncul nuansa kecil - kita tidak tahu \(n\). Dengan kata lain, kita tidak tahu berapa banyak istilah yang perlu ditambahkan. Bagaimana cara mengetahuinya? Mari kita berpikir. Kami akan berhenti menambahkan elemen ketika kami sampai ke elemen positif pertama. Artinya, Anda perlu mengetahui jumlah elemen ini. Bagaimana? Mari kita tuliskan rumus untuk menghitung setiap elemen dari deret aritmatika: \(a_n=a_1+(n-1)d\) untuk kasus kita.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\)		Kita perlu \(a_n\) lebih besar dari nol. Mari kita cari tahu apa \(n\) ini akan terjadi.
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\)
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\)		Kami membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Kami mentransfer minus satu, tidak lupa mengubah tanda
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Komputasi...
\(n>65.333…\)		…dan ternyata elemen positif pertama memiliki bilangan \(66\). Dengan demikian, negatif terakhir memiliki \(n=65\). Untuk jaga-jaga, mari kita periksa.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1) 0.3=0.2\)		Jadi, kita perlu menambahkan elemen \(65\) pertama.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		Jawabannya sudah siap.

Menjawab: \(S_(65)=-630.5\).

Contoh (OGE). Deret aritmatika diberikan oleh kondisi: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Cari jumlah dari \(26\)th ke \(42\) elemen inklusif.
Keputusan:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Dalam soal ini, Anda juga perlu mencari jumlah elemen, tetapi tidak mulai dari yang pertama, tetapi dari \(26\)th. Kami tidak memiliki formula untuk ini. Bagaimana memutuskan? Mudah - untuk mendapatkan jumlah dari \(26\)th ke \(42\)th, Anda harus terlebih dahulu menemukan jumlah dari \(1\)th ke \(42\)th, dan kemudian kurangi jumlah dari yang pertama ke \ (25 \) (lihat gambar).
	Untuk perkembangan kita \(a_1=-33\), dan selisih \(d=4\) (setelah semua, kita menambahkan empat ke elemen sebelumnya untuk menemukan yang berikutnya). Mengetahui hal ini, kami menemukan jumlah elemen \(42\)-uh pertama.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Sekarang jumlah elemen ke-\(25\) pertama.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Dan akhirnya, kami menghitung jawabannya.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Menjawab: \(S=1683\).

Untuk deret aritmatika, ada beberapa rumus lagi yang belum kami bahas dalam artikel ini karena kegunaan praktisnya yang rendah. Namun, Anda dapat dengan mudah menemukannya.

Saat mempelajari aljabar di sekolah pendidikan umum(Kelas 9) salah satu dari topik penting adalah studi urutan nomor, yang meliputi progresi - geometris dan aritmatika. Pada artikel ini, kami akan mempertimbangkan perkembangan aritmatika dan contoh dengan solusi.

Apa itu barisan aritmatika?

Untuk memahami ini, perlu untuk menentukan perkembangan yang dimaksud, serta rumus dasar, yang selanjutnya akan digunakan dalam memecahkan masalah.

Aritmatika atau adalah himpunan bilangan rasional terurut, yang masing-masing anggotanya berbeda dari yang sebelumnya dengan beberapa nilai konstan. Nilai ini disebut selisih. Artinya, mengetahui anggota deret bilangan yang berurutan dan selisihnya, Anda dapat memulihkan seluruh deret aritmatika.

Mari kita ambil contoh. Barisan bilangan selanjutnya adalah barisan aritmatika: 4, 8, 12, 16, ..., karena selisihnya dalam hal ini adalah 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Tetapi kumpulan angka 3, 5, 8, 12, 17 tidak dapat lagi dikaitkan dengan jenis perkembangan yang dipertimbangkan, karena perbedaannya bukan nilai konstan (5 - 3 8 - 5 12 - 8 17 - 12).

Rumus Penting

Kami sekarang memberikan rumus dasar yang akan diperlukan untuk menyelesaikan masalah menggunakan deret aritmatika. Misalkan a n menyatakan anggota ke-n dari barisan, di mana n adalah bilangan bulat. Mari kita tunjukkan perbedaannya huruf latin d. Maka ekspresi berikut ini benar:

1. Untuk menentukan nilai suku ke-n, rumusnya cocok: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Untuk menentukan jumlah n suku pertama: S n = (a n + a 1)*n/2.

Untuk memahami setiap contoh deret aritmatika dengan solusi di kelas 9, cukup mengingat dua rumus ini, karena masalah jenis apa pun dibangun berdasarkan penggunaannya. Juga, jangan lupa bahwa perbedaan perkembangan ditentukan oleh rumus: d = a n - a n-1 .

Contoh #1: Menemukan Anggota Tidak Dikenal

Kami memberikan contoh sederhana dari deret aritmatika dan rumus yang harus digunakan untuk menyelesaikannya.

Biarkan urutan 10, 8, 6, 4, ... diberikan, perlu untuk menemukan lima suku di dalamnya.

Sudah mengikuti dari kondisi masalah bahwa 4 suku pertama diketahui. Kelima dapat didefinisikan dalam dua cara:

1. Mari kita hitung selisihnya terlebih dahulu. Kami memiliki: d = 8 - 10 = -2. Dengan cara yang sama seseorang dapat mengambil dua istilah lainnya, berdiri di dekatnya bersama. Misalnya, d = 4 - 6 = -2. Karena diketahui bahwa d \u003d a n - a n-1, maka d \u003d a 5 - a 4, dari mana kita mendapatkan: a 5 \u003d a 4 + d. Pengganti nilai yang diketahui: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Cara kedua juga membutuhkan pengetahuan tentang selisih dari progresi yang bersangkutan, jadi Anda harus menentukannya terlebih dahulu, seperti gambar di atas (d = -2). Diketahui suku pertama a 1 = 10, kita menggunakan rumus bilangan n barisan tersebut. Kami memiliki: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Mengganti n = 5 ke dalam ekspresi terakhir, kita mendapatkan: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Seperti yang Anda lihat, kedua solusi menghasilkan hasil yang sama. Perhatikan bahwa dalam contoh ini perbedaan d dari progresi adalah nilai negatif. Barisan demikian disebut menurun karena setiap suku yang berurutan lebih kecil dari suku sebelumnya.

Contoh #2: perbedaan perkembangan

Sekarang mari kita sedikit memperumit tugas, berikan contoh bagaimana menemukan perbedaan dari deret aritmatika.

Diketahui bahwa dalam beberapa deret aljabar, suku ke-1 sama dengan 6, dan suku ke-7 sama dengan 18. Perlu dicari selisihnya dan mengembalikan barisan ini ke suku ke-7.

Mari gunakan rumus untuk menentukan suku yang tidak diketahui: a n = (n - 1) * d + a 1 . Kami mengganti data yang diketahui dari kondisi ke dalamnya, yaitu angka a 1 dan a 7, kami memiliki: 18 \u003d 6 + 6 * d. Dari ekspresi ini, Anda dapat dengan mudah menghitung selisihnya: d = (18 - 6) / 6 = 2. Jadi, bagian pertama dari soal telah terjawab.

Untuk mengembalikan urutan hingga 7 istilah, seseorang harus menggunakan definisi progresi aljabar, yaitu, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d dan seterusnya. Akibatnya, kami mengembalikan seluruh urutan: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 dan 7 = 18.

Contoh #3: membuat kemajuan

Mari kita semakin memperumit kondisi masalah. Sekarang Anda perlu menjawab pertanyaan tentang bagaimana menemukan deret aritmatika. bisa memimpin contoh berikutnya: dua angka diberikan, misalnya, - 4 dan 5. Perlu untuk membuat deret aljabar agar tiga suku lagi ditempatkan di antaranya.

Sebelum mulai memecahkan masalah ini, perlu untuk memahami tempat apa yang akan ditempati oleh angka-angka yang diberikan dalam perkembangan di masa depan. Karena akan ada tiga suku lagi di antara mereka, maka 1 \u003d -4 dan 5 \u003d 5. Setelah menetapkan ini, kami melanjutkan ke tugas yang mirip dengan yang sebelumnya. Sekali lagi, untuk suku ke-n, kami menggunakan rumus, kami mendapatkan: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Dari: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Di sini kami menerima bukan nilai integer dari perbedaan, tetapi itu adalah bilangan rasional, jadi rumus untuk deret aljabar tetap sama.

Sekarang mari tambahkan perbedaan yang ditemukan ke 1 dan pulihkan anggota progresi yang hilang. Kami mendapatkan: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, yang sesuai dengan kondisi masalah.

Contoh #4: Anggota pertama dari progresi

Kami terus memberikan contoh deret aritmatika dengan solusi. Pada semua soal sebelumnya, bilangan pertama dari deret aljabar diketahui. Sekarang pertimbangkan masalah dari jenis yang berbeda: biarkan dua angka diberikan, di mana a 15 = 50 dan a 43 = 37. Penting untuk menemukan dari nomor berapa urutan ini dimulai.

Rumus yang telah digunakan sejauh ini mengasumsikan pengetahuan tentang a 1 dan d. Tidak ada yang diketahui tentang angka-angka ini dalam kondisi masalah. Namun demikian, mari kita tuliskan ekspresi untuk setiap suku yang informasinya kita miliki: a 15 = a 1 + 14 * d dan a 43 = a 1 + 42 * d. Kami mendapat dua persamaan di mana 2 jumlah yang tidak diketahui(a 1 dan d). Ini berarti bahwa masalahnya direduksi menjadi penyelesaian sistem persamaan linier.

Sistem yang ditentukan paling mudah untuk dipecahkan jika Anda mengekspresikan 1 dalam setiap persamaan, dan kemudian membandingkan ekspresi yang dihasilkan. Persamaan pertama: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; persamaan kedua: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Menyamakan ekspresi ini, kita mendapatkan: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, dari mana perbedaannya d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,644 (hanya 3 tempat desimal yang diberikan).

Mengetahui d, Anda dapat menggunakan salah satu dari 2 ekspresi di atas untuk 1 . Misalnya, pertama: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56.496.

Jika ada keraguan tentang hasilnya, Anda dapat memeriksanya, misalnya, menentukan anggota ke-43 dari perkembangan, yang ditentukan dalam kondisi. Kami mendapatkan: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Kesalahan kecil disebabkan oleh fakta bahwa pembulatan ke seperseribu digunakan dalam perhitungan.

Contoh #5: Jumlah

Sekarang mari kita lihat beberapa contoh dengan solusi untuk jumlah deret aritmatika.

Biar dikasih perkembangan numerik jenis berikut: 1, 2, 3, 4, ...,. Bagaimana cara menghitung jumlah 100 dari angka-angka ini?

Berkat perkembangannya teknologi komputer Anda dapat memecahkan masalah ini, yaitu menambahkan semua angka secara berurutan, yang Mesin hitung akan dilakukan segera setelah orang tersebut menekan tombol Enter. Namun, masalah tersebut dapat diselesaikan secara mental jika Anda memperhatikan bahwa deret angka yang disajikan adalah deret aljabar, dan selisihnya adalah 1. Menerapkan rumus untuk jumlah, kita mendapatkan: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Menarik untuk dicatat bahwa masalah ini disebut "Gaussian" karena dalam awal XVIII abad ini, orang Jerman yang terkenal, yang masih berusia 10 tahun, mampu menyelesaikannya dalam pikirannya dalam beberapa detik. Anak laki-laki itu tidak mengetahui rumus jumlah suatu deret aljabar, tetapi dia memperhatikan bahwa jika Anda menambahkan pasangan angka yang terletak di tepi barisan, Anda selalu mendapatkan hasil yang sama, yaitu, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., dan karena jumlah ini akan tepat 50 (100 / 2), maka untuk mendapatkan jawaban yang benar, cukup dengan mengalikan 50 dengan 101.

Contoh #6: jumlah suku dari n ke m

Lain contoh tipikal jumlah barisan aritmatika adalah sebagai berikut: jika diberikan serangkaian angka: 3, 7, 11, 15, ..., Anda perlu menemukan jumlah anggotanya dari 8 hingga 14.

Masalahnya diselesaikan dengan dua cara. Yang pertama melibatkan menemukan istilah yang tidak diketahui dari 8 hingga 14, dan kemudian menjumlahkannya secara berurutan. Karena ada beberapa istilah, metode ini tidak cukup melelahkan. Namun demikian, diusulkan untuk memecahkan masalah ini dengan metode kedua, yang lebih universal.

Idenya adalah untuk mendapatkan rumus untuk jumlah deret aljabar antara suku m dan n, di mana n > m adalah bilangan bulat. Untuk kedua kasus, kami menulis dua ekspresi untuk jumlah:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Karena n > m, jelaslah bahwa jumlah 2 termasuk yang pertama. Kesimpulan terakhir berarti bahwa jika kita mengambil perbedaan antara jumlah-jumlah ini, dan menambahkan istilah a m padanya (dalam kasus mengambil perbedaan, itu dikurangi dari jumlah S n), maka kita mendapatkan jawaban yang diperlukan untuk masalah ini. Kami memiliki: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Hal ini diperlukan untuk mengganti formula untuk n dan a m ke dalam ekspresi ini. Maka diperoleh: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Rumus yang dihasilkan agak rumit, namun, jumlah S mn hanya bergantung pada n, m, a 1 dan d. Dalam kasus kami, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Mensubstitusikan angka-angka ini, kita mendapatkan: S mn = 301.

Seperti yang dapat dilihat dari solusi di atas, semua masalah didasarkan pada pengetahuan tentang ekspresi suku ke-n dan rumus jumlah himpunan suku pertama. Sebelum Anda mulai memecahkan salah satu masalah ini, Anda disarankan untuk membaca kondisinya dengan cermat, memahami dengan jelas apa yang ingin Anda temukan, dan baru kemudian melanjutkan dengan solusinya.

Tip lainnya adalah berusaha untuk kesederhanaan, yaitu, jika Anda dapat menjawab pertanyaan tanpa menggunakan perhitungan matematika yang rumit, maka Anda perlu melakukan hal itu, karena dalam hal ini kemungkinan membuat kesalahan lebih kecil. Misalnya, dalam contoh deret aritmatika dengan solusi No. 6, seseorang dapat berhenti pada rumus S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, dan berpisah tugas bersama menjadi submasalah yang terpisah (dalam hal ini, pertama cari suku a n dan a m).

Jika ada keraguan tentang hasilnya, disarankan untuk memeriksanya, seperti yang dilakukan pada beberapa contoh yang diberikan. Bagaimana menemukan deret aritmatika, temukan. Setelah Anda mengetahuinya, itu tidak terlalu sulit.

Petunjuk

Barisan aritmatika adalah barisan yang berbentuk a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Langkah nomor d kemajuan.Jelas, total suku ke-n arbitrer dari aritmatika kemajuan memiliki bentuk: An = A1+(n-1)d. Kemudian mengetahui salah satu anggota kemajuan, anggota kemajuan dan langkah kemajuan, bisa , yaitu, jumlah suku perkembangan. Jelas, itu akan ditentukan oleh rumus n = (An-A1+d)/d.

Biarkan suku ke-m diketahui sekarang kemajuan dan beberapa anggota lainnya kemajuan- ke-n, tetapi n , seperti pada kasus sebelumnya, tetapi diketahui bahwa n dan m tidak cocok.Langkah kemajuan dapat dihitung dengan rumus: d = (An-Am)/(n-m). Maka n = (An-Am+md)/d.

Jika jumlah beberapa elemen suatu aritmatika kemajuan, serta yang pertama dan terakhir , maka jumlah elemen ini juga dapat ditentukan.Jumlah aritmatika kemajuan akan sama dengan: S = ((A1+An)/2)n. Maka n = 2S/(A1+An) adalah chdenov kemajuan. Menggunakan fakta bahwa An = A1+(n-1)d, rumus ini dapat ditulis ulang sebagai: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Dari yang satu ini dapat menyatakan n dengan menyelesaikan persamaan kuadrat.

Barisan aritmatika adalah kumpulan angka yang berurutan, yang masing-masing anggotanya, kecuali yang pertama, berbeda dari yang sebelumnya dengan jumlah yang sama. Ini konstan disebut selisih dari barisan atau langkahnya dan dapat dihitung dari anggota barisan aritmatika yang diketahui.

Petunjuk

Jika nilai suku pertama dan kedua atau pasangan suku tetangga lainnya diketahui dari kondisi masalah, untuk menghitung selisih (d), cukup kurangi suku sebelumnya dari suku berikutnya. Nilai yang dihasilkan dapat berupa positif atau negatif - itu tergantung pada apakah perkembangannya meningkat. PADA bentuk umum tulis solusi untuk pasangan arbitrer (aᵢ dan aᵢ₊₁) dari anggota-anggota deret yang bertetangga sebagai berikut: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Untuk sepasang anggota dari deret seperti itu, salah satunya adalah yang pertama (a₁), dan yang lainnya adalah yang lain yang dipilih secara arbitrer, kita juga dapat membuat rumus untuk menemukan perbedaan (d). Namun, dalam hal ini, nomor seri (i) dari anggota urutan yang dipilih secara arbitrer harus diketahui. Untuk menghitung selisihnya, tambahkan kedua bilangan tersebut, dan bagi hasilnya dengan bilangan urut dari suku arbitrer yang dikurangi satu. Secara umum, tuliskan rumus ini sebagai berikut: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Jika, selain anggota arbitrer dari barisan aritmatika dengan bilangan urut i, anggota lain dengan bilangan urut u diketahui, ubahlah rumus dari langkah sebelumnya. Dalam hal ini, selisih (d) dari barisan akan menjadi jumlah dari kedua suku ini dibagi dengan selisihnya nomor serial: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Rumus untuk menghitung selisih (d) menjadi agak lebih rumit jika, dalam kondisi masalah, nilai anggota pertamanya (a₁) dan jumlah (Sᵢ) dari bilangan tertentu (i) anggota pertama diberikan barisan aritmatika. Untuk mendapatkan nilai yang diinginkan, bagi jumlah dengan jumlah suku yang membentuknya, kurangi nilai angka pertama dalam barisan, dan gandakan hasilnya. Bagilah nilai yang dihasilkan dengan jumlah suku yang membentuk jumlah dikurangi satu. Secara umum, tuliskan rumus untuk menghitung diskriminan sebagai berikut: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).