ბუნებრივი ლოგარითმის ძირითადი თვისებები, გრაფიკი, განსაზღვრების სფერო, მნიშვნელობების სიმრავლე, ძირითადი ფორმულები, წარმოებული, ინტეგრალი, გაფართოება დენის სერიადა წარმოადგენს ln x ფუნქციას რთული რიცხვების მიხედვით.

განმარტება

ბუნებრივი ლოგარითმიარის ფუნქცია y = n x, ინვერსიული მაჩვენებლის, x \u003d e y , და რომელიც არის ლოგარითმი e რიცხვის ფუძის მიმართ: ln x = log e x.

ბუნებრივი ლოგარითმი ფართოდ გამოიყენება მათემატიკაში, რადგან მის წარმოებულს აქვს უმარტივესი ფორმა: (ln x)′ = 1/ x.

დაფუძნებული განმარტებები, ბუნებრივი ლოგარითმის საფუძველია რიცხვი ე:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

y = ფუნქციის გრაფიკი n x.

ბუნებრივი ლოგარითმის გრაფიკი (ფუნქციები y = n x) მიიღება მაჩვენებლის დიაგრამიდან სარკისებური გამოსახულებასწორი ხაზის მიმართ y = x.

ბუნებრივი ლოგარითმი განისაზღვრება დადებითი ღირებულებებიცვლადი x. იგი მონოტონურად იზრდება მისი განმარტების სფეროზე.

როგორც x → 0 ბუნებრივი ლოგარითმის ზღვარი არის მინუს უსასრულობა ( - ∞ ).

როგორც x → + ∞, ბუნებრივი ლოგარითმის ზღვარი არის პლუს უსასრულობა ( + ∞ ). დიდი x-ისთვის ლოგარითმი საკმაოდ ნელა იზრდება. ნებისმიერი დენის ფუნქცია x a დადებითი მაჩვენებლით a იზრდება უფრო სწრაფად ვიდრე ლოგარითმი.

ბუნებრივი ლოგარითმის თვისებები

განსაზღვრების დომენი, მნიშვნელობების ნაკრები, ექსტრემა, ზრდა, შემცირება

ბუნებრივი ლოგარითმი არის მონოტონურად მზარდი ფუნქცია, ამიტომ მას არ აქვს ექსტრემები. ბუნებრივი ლოგარითმის ძირითადი თვისებები წარმოდგენილია ცხრილში.

ln x მნიშვნელობები

ჟურნალი 1 = 0

ძირითადი ფორმულები ბუნებრივი ლოგარითმებისთვის

შებრუნებული ფუნქციის განსაზღვრებიდან გამომდინარე ფორმულები:

ლოგარითმების ძირითადი თვისება და მისი შედეგები

ბაზის შეცვლის ფორმულა

ნებისმიერი ლოგარითმი შეიძლება გამოიხატოს ბუნებრივი ლოგარითმებით ბაზის ცვლილების ფორმულის გამოყენებით:

ამ ფორმულების მტკიცებულებები წარმოდგენილია "ლოგარითმის" განყოფილებაში.

ინვერსიული ფუნქცია

ბუნებრივი ლოგარითმის ორმხრივი მაჩვენებელია.

თუ, მაშინ

თუ , მაშინ .

წარმოებული ln x

ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული:
.
x მოდულის ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული:
.
n-ე რიგის წარმოებული:
.
ფორმულების გამოყვანა > > >

ინტეგრალური

ინტეგრალი გამოითვლება ნაწილების ინტეგრირებით:
.
Ისე,

გამონათქვამები რთული რიცხვების მიხედვით

განვიხილოთ z რთული ცვლადის ფუნქცია:
.
გამოვხატოთ რთული ცვლადი ზმოდულის საშუალებით რდა არგუმენტი φ :
.
ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით, ჩვენ გვაქვს:
.
ან
.
არგუმენტი φ არ არის ცალსახად განსაზღვრული. თუ დავაყენებთ
, სადაც n არის მთელი რიცხვი,
მაშინ ეს იქნება იგივე რიცხვი სხვადასხვა n-სთვის.

ამრიგად, ბუნებრივი ლოგარითმი, როგორც რთული ცვლადის ფუნქცია, არ არის ერთმნიშვნელოვანი ფუნქცია.

დენის სერიის გაფართოება

იყიდება, გაფართოება ხდება:

ცნობები:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო უმაღლესი საგანმანათლებლო დაწესებულებების ინჟინრებისა და სტუდენტებისთვის, ლან, 2009 წ.

მოგეხსენებათ, გამონათქვამების ძალაუფლებით გამრავლებისას მათი მაჩვენებლები ყოველთვის იკრიბება (a b * a c = a b + c). ეს მათემატიკური კანონიმიღებული იქნა არქიმედეს მიერ, მოგვიანებით კი, მე-8 საუკუნეში, მათემატიკოსმა ვირასენმა შექმნა მთელი რიცხვების მაჩვენებლების ცხრილი. სწორედ ისინი ემსახურებოდნენ ლოგარითმების შემდგომ აღმოჩენას. ამ ფუნქციის გამოყენების მაგალითები შეგიძლიათ ნახოთ თითქმის ყველგან, სადაც საჭიროა რთული გამრავლების გამარტივება მარტივ შეკრებამდე. თუ 10 წუთს დაუთმობთ ამ სტატიის კითხვას, ჩვენ აგიხსნით რა არის ლოგარითმები და როგორ იმუშაოთ მათთან. მარტივი და ხელმისაწვდომი ენა.

განმარტება მათემატიკაში

ლოგარითმი არის შემდეგი ფორმის გამოხატულება: log a b=c, ანუ ნებისმიერის ლოგარითმი. არაუარყოფითი რიცხვი(ანუ ნებისმიერი დადებითი) "b" მის ფუძემდე "a" ითვლება "c"-ის სიძლიერე, რომელზედაც ფუძე "a" უნდა გაიზარდოს, რათა საბოლოოდ მივიღოთ მნიშვნელობა "b". გავაანალიზოთ ლოგარითმი მაგალითების გამოყენებით, ვთქვათ არის გამონათქვამი log 2 8. როგორ მოვძებნოთ პასუხი? ეს ძალიან მარტივია, თქვენ უნდა იპოვოთ ისეთი ხარისხი, რომ 2-დან საჭირო ხარისხამდე მიიღოთ 8. გარკვეული გამოთვლების შემდეგ თქვენს გონებაში მივიღებთ რიცხვს 3! და მართალიც ასეა, რადგან 2 3-ის ხარისხზე იძლევა პასუხში 8 რიცხვს.

ლოგარითმების ჯიშები

ბევრი მოსწავლისა და სტუდენტისთვის ეს თემა რთული და გაუგებარი ჩანს, მაგრამ სინამდვილეში, ლოგარითმები არც ისე საშინელია, მთავარია მათი ზოგადი მნიშვნელობის გაგება და მათი თვისებების და ზოგიერთი წესის დამახსოვრება. არის სამი გარკვეული ტიპებილოგარითმული გამონათქვამები:

1. ბუნებრივი ლოგარითმი ln a, სადაც საფუძველი არის ეილერის რიცხვი (e = 2.7).
2. ათწილადი a, სადაც ფუძე არის 10.
3. ნებისმიერი b რიცხვის ლოგარითმი a>1 ფუძემდე.

თითოეული მათგანი გადაწყვეტილია სტანდარტული გზით, რომელიც მოიცავს გამარტივებას, შემცირებას და შემდგომ შემცირებას ერთ ლოგარითმზე გამოყენებით ლოგარითმული თეორემები. მისაღებად სწორი ღირებულებებილოგარითმები, თქვენ უნდა გახსოვდეთ მათი თვისებები და მოქმედებების თანმიმდევრობა მათ გადაწყვეტილებებში.

წესები და გარკვეული შეზღუდვები

მათემატიკაში არის რამდენიმე წესი-შეზღუდვა, რომლებიც მიღებულია აქსიომად, ანუ ისინი არ ექვემდებარება განხილვას და ჭეშმარიტია. მაგალითად, არ შეიძლება რიცხვების გაყოფა ნულზე და ასევე შეუძლებელია ფესვის ამოღება ხარისხიც კიდან უარყოფითი რიცხვები. ლოგარითმებს ასევე აქვთ საკუთარი წესები, რომელთა დაცვით შეგიძლიათ მარტივად ისწავლოთ როგორ იმუშაოთ თუნდაც გრძელი და ტევადი ლოგარითმული გამონათქვამებით:

• ფუძე "a" ყოველთვის უნდა იყოს ნულზე მეტი და ამავე დროს არ იყოს 1-ის ტოლი, წინააღმდეგ შემთხვევაში გამოთქმა დაკარგავს თავის მნიშვნელობას, რადგან "1" და "0" ნებისმიერი ხარისხით ყოველთვის მათი მნიშვნელობების ტოლია;
• თუ a > 0, მაშინ a b > 0, გამოდის, რომ "c" უნდა იყოს ნულზე მეტი.

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები?

მაგალითად, მიეცა დავალება, იპოვოთ პასუხი განტოლებაზე 10 x \u003d 100. ეს ძალიან მარტივია, თქვენ უნდა აირჩიოთ ასეთი ძალა ათი რიცხვის აწევით, რომელზედაც მივიღებთ 100-ს. ეს, რა თქმა უნდა, არის 10 2. \u003d 100.

ახლა წარმოვიდგინოთ მოცემული გამოხატულებალოგარითმული ფორმით. ვიღებთ log 10 100 = 2. ლოგარითმების ამოხსნისას ყველა მოქმედება პრაქტიკულად ემთხვევა იმ ხარისხს, რომლითაც უნდა იყოს შეყვანილი ლოგარითმის საფუძველი მოცემული რიცხვის მისაღებად.

მნიშვნელობის უშეცდომოდ განსაზღვრისთვის უცნობი ხარისხითქვენ უნდა ისწავლოთ როგორ იმუშაოთ ხარისხების ცხრილთან. ეს ასე გამოიყურება:

როგორც ხედავთ, ზოგიერთი მაჩვენებლის გამოცნობა შესაძლებელია ინტუიციურად, თუ თქვენ გაქვთ ტექნიკური აზროვნება და ცოდნა გამრავლების ცხრილის შესახებ. თუმცა, ამისთვის დიდი ღირებულებებიგჭირდებათ გრადუსების ცხრილი. მისი გამოყენება შეუძლიათ მათაც, ვისაც საერთოდ არაფერი ესმის კომპლექსში მათემატიკური თემები. ნომრები მოცემულია მარცხენა სვეტში (ბაზა a), რიცხვების ზედა მწკრივი არის c სიმძლავრის მნიშვნელობა, რომელზედაც არის ამაღლებული რიცხვი. უჯრედებში კვეთაზე განისაზღვრება რიცხვების მნიშვნელობები, რომლებიც პასუხია (a c =b). ავიღოთ, მაგალითად, პირველივე უჯრა 10-ით და კვადრატში მივიღოთ მნიშვნელობა 100, რომელიც მითითებულია ჩვენი ორი უჯრედის გადაკვეთაზე. ყველაფერი ისეთი მარტივი და მარტივია, რომ ყველაზე რეალური ჰუმანისტიც კი მიხვდება!

განტოლებები და უტოლობა

გამოდის, რომ გარკვეულ პირობებში, მაჩვენებელი არის ლოგარითმი. ამიტომ, ნებისმიერი მათემატიკური რიცხვითი გამონათქვამი შეიძლება დაიწეროს ლოგარითმული განტოლების სახით. მაგალითად, 3 4 =81 შეიძლება ჩაიწეროს, როგორც 81-ის ლოგარითმი 3-ის ბაზაზე, რომელიც არის ოთხი (log 3 81 = 4). ამისთვის უარყოფითი ძალებიწესები იგივეა: 2 -5 \u003d 1/32 ვწერთ ლოგარითმის სახით, ვიღებთ ჟურნალს 2 (1/32) \u003d -5. მათემატიკის ერთ-ერთი ყველაზე მომხიბვლელი განყოფილებაა „ლოგარითმების“ თემა. განტოლებათა მაგალითებსა და ამონახსნებს განვიხილავთ ოდნავ დაბლა, მათი თვისებების შესწავლისთანავე. ახლა ვნახოთ, როგორ გამოიყურება უტოლობები და როგორ განვასხვავოთ ისინი განტოლებისგან.

მოცემულია შემდეგი ფორმის გამოხატულება: log 2 (x-1) > 3 - ეს არის ლოგარითმული უტოლობა, ვინაიდან უცნობი მნიშვნელობა "x" ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ იმყოფება. და ასევე გამონათქვამში შედარებულია ორი სიდიდე: სასურველი რიცხვის ლოგარითმი ორი ფუძეში მეტია სამზე.

ყველაზე მნიშვნელოვანი განსხვავება ლოგარითმულ განტოლებებსა და უტოლობას შორის არის ის, რომ განტოლებები ლოგარითმებით (მაგალითად, ლოგარითმი 2 x = √9) გულისხმობს ერთ ან მეტ სპეციფიკას. რიცხვითი მნიშვნელობები, ხოლო უტოლობების ამოხსნისას განისაზღვრება ფართობი დაშვებული ღირებულებებიდა ამ ფუნქციის შეწყვეტის წერტილები. შედეგად, პასუხი არ არის მარტივი ნაკრები ინდივიდუალური ნომრებიროგორც განტოლების პასუხში და ა უწყვეტი სერიაან რიცხვების ნაკრები.

ძირითადი თეორემები ლოგარითმების შესახებ

ლოგარითმის მნიშვნელობების პოვნის პრიმიტიული ამოცანების გადაჭრისას, მისი თვისებები შეიძლება არ იყოს ცნობილი. თუმცა, როდესაც საქმე ეხება ლოგარითმულ განტოლებებს ან უტოლობას, უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია ლოგარითმების ყველა ძირითადი თვისების მკაფიოდ გაგება და პრაქტიკაში გამოყენება. განტოლებების მაგალითებს მოგვიანებით გავეცნობით, ჯერ უფრო დეტალურად გავაანალიზოთ თითოეული თვისება.

1. ძირითადი იდენტურობა ასე გამოიყურება: a logaB =B. ის გამოიყენება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ a მეტია 0-ზე, არ უდრის ერთს და B არის ნულზე მეტი.
2. პროდუქტის ლოგარითმი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი ფორმულით: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. უფრო მეტიც, წინაპირობაარის: d, s 1 და s 2 > 0; a≠1. თქვენ შეგიძლიათ დაასაბუთოთ ლოგარითმების ამ ფორმულის მაგალითები და ამონახსნები. მოდით log a s 1 = f 1 და log a s 2 = f 2 , შემდეგ a f1 = s 1 , a f2 = s 2. მივიღებთ, რომ s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ხარისხის თვისებები ), და შემდგომ განმარტებით: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, რაც დასამტკიცებელი იყო.
3. კოეფიციენტის ლოგარითმი ასე გამოიყურება: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. თეორემა ფორმულის სახით იძენს შემდეგი ხედი: log a q b n = n/q log a b.

ამ ფორმულას ეწოდება "ლოგარითმის ხარისხის თვისება". ის წააგავს ჩვეულებრივი ხარისხების თვისებებს და გასაკვირი არ არის, რადგან ყველა მათემატიკა ემყარება რეგულარულ პოსტულატებს. მოდით შევხედოთ მტკიცებულებას.

მოდით log a b \u003d t, გამოდის t \u003d b. თუ ორივე ნაწილს აწევთ m ხარისხზე: a tn = b n;

მაგრამ რადგან a tn = (a q) nt/q = b n , შესაბამისად log a q b n = (n*t)/t, მაშინ log a q b n = n/q log a b. თეორემა დადასტურდა.

პრობლემებისა და უთანასწორობის მაგალითები

ლოგარითმის ამოცანების ყველაზე გავრცელებული ტიპები არის განტოლებებისა და უტოლობების მაგალითები. ისინი გვხვდება თითქმის ყველა პრობლემურ წიგნში და ასევე შედის სავალდებულო ნაწილიმათემატიკის გამოცდები. უნივერსიტეტში ჩასაბარებლად ან ჩასაბარებლად მისაღები გამოცდებიმათემატიკაში, თქვენ უნდა იცოდეთ როგორ გადაჭრათ ასეთი ამოცანები სწორად.

სამწუხაროდ, არ არსებობს ერთი გეგმა ან სქემა ლოგარითმის უცნობი მნიშვნელობის ამოხსნისა და განსაზღვრისთვის, თუმცა, თითოეული მათემატიკური უტოლობაან შეიძლება გამოყენებულ იქნას ლოგარითმული განტოლება გარკვეული წესები. უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გაარკვიოთ, შეიძლება თუ არა გამოხატვის გამარტივება ან შემცირება ზოგადი ხედი. გამარტივება დიდხანს ლოგარითმული გამონათქვამებიშეგიძლიათ, თუ სწორად გამოიყენებთ მათ თვისებებს. მოდით გავეცნოთ მათ მალე.

ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნისას აუცილებელია განვსაზღვროთ როგორი ლოგარითმი გვაქვს ჩვენს წინაშე: გამოხატვის მაგალითი შეიძლება შეიცავდეს ბუნებრივ ლოგარითმს ან ათწილადს.

აქ არის მაგალითები ln100, ln1026. მათი გადაწყვეტა ემყარება იმ ფაქტს, რომ თქვენ უნდა დაადგინოთ ის ხარისხი, რომლითაც ფუძე 10 ტოლი იქნება, შესაბამისად, 100 და 1026. გადაწყვეტილებისთვის ბუნებრივი ლოგარითმებიუნდა მიმართო ლოგარითმული იდენტობებიან მათი თვისებები. მოდით შევხედოთ გამოსავალს მაგალითებით. ლოგარითმული პრობლემებისხვადასხვა ტიპის.

როგორ გამოვიყენოთ ლოგარითმის ფორმულები: მაგალითებითა და გადაწყვეტილებებით

ასე რომ, მოდით შევხედოთ ლოგარითმებზე ძირითადი თეორემების გამოყენების მაგალითებს.

1. პროდუქტის ლოგარითმის თვისება შეიძლება გამოყენებულ იქნას ამოცანებში, სადაც საჭიროა გაფართოება დიდი მნიშვნელობარიცხვები b მარტივ ფაქტორებად. მაგალითად, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. პასუხი არის 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - როგორც ხედავთ, ლოგარითმის ხარისხის მეოთხე თვისების გამოყენებით, ჩვენ მოვახერხეთ ერთი შეხედვით რთული და ამოუხსნელი გამონათქვამის ამოხსნა. საჭიროა მხოლოდ ბაზის ფაქტორიზაცია და შემდეგ მაჩვენებლების გამოტანა ლოგარითმის ნიშნიდან.

ამოცანები გამოცდიდან

ლოგარითმები ხშირად გვხვდება მისაღები გამოცდები, განსაკუთრებით ბევრი ლოგარითმული პრობლემა გამოცდაზე ( სახელმწიფო გამოცდაყველა საშუალო სკოლის კურსდამთავრებულებისთვის). ჩვეულებრივ, ეს ამოცანები წარმოდგენილია არა მხოლოდ A ნაწილში (უმარტივესი სატესტო ნაწილიგამოცდა), არამედ C ნაწილში (ყველაზე რთული და მოცულობითი ამოცანები). გამოცდა გულისხმობს თემის „ბუნებრივი ლოგარითმები“ ზუსტ და სრულყოფილ ცოდნას.

მაგალითები და პრობლემის გადაწყვეტა აღებულია ოფიციალური პირებისგან გამოყენების პარამეტრები. ვნახოთ, როგორ წყდება ასეთი ამოცანები.

მოცემული ჟურნალი 2 (2x-1) = 4. ამოხსნა:
მოდით გადავიწეროთ გამონათქვამი, გავამარტივოთ იგი ცოტათი log 2 (2x-1) = 2 2 , ლოგარითმის განმარტებით მივიღებთ, რომ 2x-1 = 2 4 , შესაბამისად 2x = 17; x = 8.5.

• ყველა ლოგარითმი საუკეთესოდ დაიყვანება ერთსა და იმავე ფუძემდე, რათა გამოსავალი არ იყოს რთული და დამაბნეველი.
• ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ მყოფი ყველა გამონათქვამი მითითებულია დადებითად, შესაბამისად, გამოხატვის მაჩვენებლის მაჩვენებლის ამოღებისას, რომელიც არის ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და როგორც მისი საფუძველი, ლოგარითმის ქვეშ დარჩენილი გამოხატულება უნდა იყოს დადებითი.

ლოგარითმული გამონათქვამები, მაგალითების ამოხსნა. ამ სტატიაში განვიხილავთ ლოგარითმების ამოხსნასთან დაკავშირებულ პრობლემებს. ამოცანები სვამს კითხვას გამოხატვის მნიშვნელობის პოვნის შესახებ. უნდა აღინიშნოს, რომ ლოგარითმის კონცეფცია გამოიყენება ბევრ ამოცანაში და ძალიან მნიშვნელოვანია მისი მნიშვნელობის გაგება. რაც შეეხება USE-ს, ლოგარითმი გამოიყენება განტოლებების ამოხსნისას, in გამოყენებული ამოცანები, ასევე ფუნქციების შესწავლასთან დაკავშირებულ ამოცანებში.

აქ მოცემულია მაგალითები ლოგარითმის მნიშვნელობის გასაგებად:

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა:

ლოგარითმების თვისებები, რომლებიც ყოველთვის უნდა გახსოვდეთ:

*პროდუქტის ლოგარითმი ჯამის ტოლიაფაქტორების ლოგარითმები.

* * *

* კოეფიციენტის (წილადის) ლოგარითმი ტოლია ფაქტორების ლოგარითმების სხვაობის.

* * *

*ხარისხის ლოგარითმი უდრის პროდუქტსმისი ფუძის ლოგარითმის მაჩვენებელი.

* * *

* ახალ ბაზაზე გადასვლა

* * *

მეტი თვისებები:

* * *

ლოგარითმების გამოთვლა მჭიდრო კავშირშია ექსპონენტების თვისებების გამოყენებასთან.

ჩვენ ჩამოვთვლით ზოგიერთ მათგანს:

არსი მოცემული ქონებაარის ის, რომ მრიცხველის მნიშვნელზე გადატანისას და პირიქით, მაჩვენებლის ნიშანი იცვლება საპირისპიროდ. Მაგალითად:

ამ ქონების შედეგი:

* * *

სიმძლავრის სიმძლავრემდე აყვანისას, ბაზა იგივე რჩება, მაგრამ მაჩვენებლები მრავლდება.

* * *

როგორც ხედავთ, ლოგარითმის კონცეფცია მარტივია. მთავარია რა საჭიროა კარგი პრაქტიკა, რაც გარკვეულ უნარს იძლევა. რა თქმა უნდა, ფორმულების ცოდნა სავალდებულოა. თუ ელემენტარული ლოგარითმების გარდაქმნის უნარი არ ჩამოყალიბდა, მაშინ ამოხსნისას მარტივი დავალებებიადვილია შეცდომის დაშვება.

ივარჯიშეთ, ჯერ მათემატიკის კურსიდან ამოხსენით უმარტივესი მაგალითები, შემდეგ გადადით უფრო რთულებზე. სამომავლოდ აუცილებლად გაჩვენებთ როგორ იხსნება "მახინჯი" ლოგარითმები, გამოცდაზე ასეთი არ იქნება, მაგრამ საინტერესოა, არ გამოტოვოთ!

Სულ ეს არის! Წარმატებას გისურვებ!

პატივისცემით, ალექსანდრე კრუტიცკიხი

P.S: მადლობელი ვიქნები, თუ სოციალურ ქსელებში მოგიყვებით საიტის შესახებ.

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს ორი ძალა. თუ რიცხვს აიღებთ ქვედა ხაზიდან, მაშინ მარტივად შეგიძლიათ იპოვოთ ძალა, რომლითაც უნდა აწიოთ ორი ამ რიცხვის მისაღებად. მაგალითად, 16-ის მისაღებად, თქვენ უნდა აწიოთ ორი მეოთხე ხარისხზე. და 64-ის მისაღებად, თქვენ უნდა აწიოთ ორი მეექვსე ხარისხამდე. ეს ჩანს ცხრილიდან.

ახლა კი - სინამდვილეში, ლოგარითმის განმარტება:

x არგუმენტის a ფუძის ლოგარითმი არის სიმძლავრე, რომლითაც უნდა გაიზარდოს რიცხვი x რიცხვის მისაღებად.

აღნიშვნა: log a x \u003d b, სადაც a არის საფუძველი, x არის არგუმენტი, b არის რეალურად რისი ტოლია ლოგარითმი.

მაგალითად, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (8-ის მე-2 ლოგარითმი არის სამი, რადგან 2 3 = 8). შეიძლება ასევე ჩაწეროთ 2 64 = 6, რადგან 2 6 = 64.

მოცემულ ფუძეზე რიცხვის ლოგარითმის პოვნის ოპერაციას ლოგარითმი ეწოდება. მოდით დავამატოთ ახალი მწკრივი ჩვენს ცხრილს:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
ჟურნალი 2 2 = 1	ჟურნალი 2 4 = 2	ჟურნალი 2 8 = 3	ჟურნალი 2 16 = 4	ჟურნალი 2 32 = 5	ჟურნალი 2 64 = 6

სამწუხაროდ, ყველა ლოგარითმი ასე მარტივად არ განიხილება. მაგალითად, შეეცადეთ იპოვოთ ჟურნალი 2 5 . რიცხვი 5 არ არის ცხრილში, მაგრამ ლოგიკა გვკარნახობს, რომ ლოგარითმი იქნება სადმე სეგმენტზე. რადგან 2 2< 5 < 2 3 , а чем მეტი ხარისხიორი, მით უფრო დიდი იქნება რიცხვი.

ასეთ რიცხვებს ირაციონალურს უწოდებენ: ათწილადის შემდეგ რიცხვები შეიძლება განუსაზღვრელი ვადით დაიწეროს და ისინი არასოდეს მეორდებიან. თუ ლოგარითმი ირაციონალური აღმოჩნდება, უმჯობესია ასე დავტოვოთ: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ ლოგარითმი არის გამოხატულება ორი ცვლადით (ბაზა და არგუმენტი). თავდაპირველად, ბევრი ადამიანი იბნევა სად არის საფუძველი და სად არის არგუმენტი. Თავის არიდება სამწუხარო გაუგებრობებიუბრალოდ დააკვირდით სურათს:

ჩვენს წინაშე სხვა არაფერია, თუ არა ლოგარითმის განმარტება. გახსოვდეთ: ლოგარითმი არის ძალა, რაზეც არგუმენტის მისაღებად საჭიროა საფუძვლის ამაღლება. ეს არის ბაზა, რომელიც ამაღლებულია სიმძლავრემდე - სურათზე იგი ხაზგასმულია წითლად. გამოდის, რომ ბაზა ყოველთვის ბოლოშია! ამ შესანიშნავ წესს ვეუბნები ჩემს მოსწავლეებს პირველივე გაკვეთილზე - და არ არის დაბნეულობა.

ჩვენ გავარკვიეთ განმარტება - რჩება ვისწავლოთ ლოგარითმების დათვლა, ე.ი. მოიშორეთ "ლოგი" ნიშანი. დასაწყისისთვის, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ განმარტებიდან გამომდინარეობს ორი მნიშვნელოვანი ფაქტი:

1. არგუმენტი და ბაზა ყოველთვის უნდა იყოს ნულზე მეტი. ეს გამომდინარეობს ხარისხის განსაზღვრებიდან რაციონალური მაჩვენებელი, რომელზედაც დაყვანილია ლოგარითმის განმარტება.
2. საფუძველი უნდა განსხვავდებოდეს ერთიანობისგან, რადგან ნებისმიერი სიმძლავრის ერთეული მაინც ერთეულია. ამის გამო უაზროა კითხვა „რომელ ძალამდე უნდა გაიზარდოს, რომ ორი მიიღოს“. ასეთი ხარისხი არ არსებობს!

ასეთ შეზღუდვებს ე.წ მოქმედი დიაპაზონი(ოძ). გამოდის, რომ ლოგარითმის ODZ ასე გამოიყურება: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

გაითვალისწინეთ, რომ არ არსებობს შეზღუდვები რიცხვზე b (ლოგარითმის მნიშვნელობა) არ არის დაწესებული. მაგალითად, ლოგარითმი შეიძლება იყოს უარყოფითი: log 2 0.5 \u003d -1, რადგან 0,5 = 2 −1 .

თუმცა, ჯერჯერობით მხოლოდ განვიხილავთ რიცხვითი გამონათქვამები, სადაც არ არის საჭირო ლოგარითმის ODZ-ის ცოდნა. ყველა შეზღუდვა უკვე გაითვალისწინეს პრობლემების შემდგენელებმა. მაგრამ როცა მიდიან ლოგარითმული განტოლებებიდა უთანასწორობა, DHS მოთხოვნები გახდება სავალდებულო. მართლაც, საფუძველსა და არგუმენტში შეიძლება იყოს ძალიან ძლიერი კონსტრუქციები, რომლებიც სულაც არ შეესაბამება ზემოხსენებულ შეზღუდვებს.

ახლა განიხილეთ ზოგადი სქემალოგარითმის გამოთვლები. იგი შედგება სამი ეტაპისგან:

1. ფუძე a და არგუმენტი x გამოთქვით, როგორც ძალა ერთზე მეტი შესაძლო ფუძით. გზაში სჯობს თავი დავაღწიოთ ათობითი წილადებს;
2. ამოხსენით b ცვლადის განტოლება: x = a b ;
3. შედეგად მიღებული რიცხვი b იქნება პასუხი.

Სულ ეს არის! თუ ლოგარითმი ირაციონალური აღმოჩნდება, ეს უკვე პირველ საფეხურზე გამოჩნდება. მოთხოვნა, რომ ბაზა ერთზე მეტი იყოს, ძალიან აქტუალურია: ეს ამცირებს შეცდომის ალბათობას და მნიშვნელოვნად ამარტივებს გამოთვლებს. Მსგავსია ათწილადები: თუ მათ დაუყოვნებლივ გადათარგმნით ჩვეულებრივად, შეცდომები ბევრჯერ ნაკლები იქნება.

ვნახოთ, როგორ მუშაობს ეს სქემა კონკრეტულ მაგალითებზე:

Დავალება. გამოთვალეთ ლოგარითმი: log 5 25

1. წარმოვადგინოთ საფუძველი და არგუმენტი ხუთის ხარისხად: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

შევქმნათ და ამოხსნათ განტოლება:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. მივიღე პასუხი: 2.

Დავალება. გამოთვალეთ ლოგარითმი:

Დავალება. გამოთვალეთ ლოგარითმი: log 4 64

1. წარმოვადგინოთ საფუძველი და არგუმენტი ორის ხარისხად: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. შევქმნათ და ამოხსნათ განტოლება:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. მივიღე პასუხი: 3.

Დავალება. გამოთვალეთ ლოგარითმი: log 16 1

1. წარმოვადგინოთ საფუძველი და არგუმენტი ორის ხარისხად: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. შევქმნათ და ამოხსნათ განტოლება:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. მიიღო პასუხი: 0.

Დავალება. გამოთვალეთ ლოგარითმი: log 7 14

1. წარმოვადგინოთ საფუძველი და არგუმენტი შვიდის ხარისხად: 7 = 7 1 ; 14 არ არის წარმოდგენილი შვიდის ხარისხად, რადგან 7 1< 14 < 7 2 ;
2. წინა პუნქტიდან გამომდინარეობს, რომ ლოგარითმი არ განიხილება;
3. პასუხი არ იცვლება: ჟურნალი 7 14.

პატარა შენიშვნა ბოლო მაგალითი. როგორ დავრწმუნდეთ, რომ რიცხვი არ არის სხვა რიცხვის ზუსტი სიმძლავრე? ძალიან მარტივია - უბრალოდ გააფართოვეთ იგი ძირითადი ფაქტორები. თუ გაფართოებაში სულ მცირე ორი განსხვავებული ფაქტორია, რიცხვი არ არის ზუსტი სიმძლავრე.

Დავალება. გამოარკვიე არის თუ არა რიცხვის ზუსტი სიმძლავრეები: 8; 48; 81; 35; თოთხმეტი .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - ზუსტი ხარისხი, რადგან არის მხოლოდ ერთი მულტიპლიკატორი;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 არ არის ზუსტი სიმძლავრე, რადგან არსებობს ორი ფაქტორი: 3 და 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - ზუსტი ხარისხი;
35 = 7 5 - ისევ არ არის ზუსტი ხარისხი;
14 \u003d 7 2 - ისევ არ არის ზუსტი ხარისხი;

ჩვენ ასევე აღვნიშნავთ, რომ ჩვენ მარტივი რიცხვებიყოველთვის არის საკუთარი თავის ზუსტი ძალა.

ათწილადი ლოგარითმი

ზოგიერთი ლოგარითმი იმდენად გავრცელებულია, რომ მათ აქვთ სპეციალური სახელი და აღნიშვნა.

x არგუმენტის ათობითი ლოგარითმი არის ფუძე 10 ლოგარითმი, ე.ი. სიმძლავრე, რომელზეც უნდა აწიოთ რიცხვი 10, რომ მიიღოთ რიცხვი x. აღნიშვნა: lg x.

მაგალითად, ჟურნალი 10 = 1; ჟურნალი 100 = 2; lg 1000 = 3 - და ა.შ.

ამიერიდან, როდესაც სახელმძღვანელოში გამოჩნდება ფრაზა „Find lg 0.01“, იცოდეთ, რომ ეს არ არის შეცდომა. ის ათობითი ლოგარითმი. თუმცა, თუ არ ხართ მიჩვეული ასეთ აღნიშვნას, ყოველთვის შეგიძლიათ გადაწეროთ იგი:
ჟურნალი x = ჟურნალი 10 x

ყველაფერი, რაც მართალია ჩვეულებრივი ლოგარითმებისთვის, მართალია ათწილადებისთვისაც.

ბუნებრივი ლოგარითმი

არის კიდევ ერთი ლოგარითმი, რომელსაც აქვს საკუთარი აღნიშვნა. გარკვეული გაგებით, ის კიდევ უფრო მნიშვნელოვანია ვიდრე ათობითი. ეს დაახლოებითბუნებრივი ლოგარითმის შესახებ.

x-ის ბუნებრივი ლოგარითმი არის ფუძე e ლოგარითმი, ე.ი. სიმძლავრე, რომელზეც რიცხვი e უნდა გაიზარდოს x რიცხვის მისაღებად. აღნიშვნა: ln x .

ბევრი იკითხავს: კიდევ რა არის ნომერი e? ის ირაციონალური რიცხვი, მისი ზუსტი ღირებულებაპოვნა და ჩაწერა შეუძლებელია. აქ არის მხოლოდ პირველი ნომრები:
e = 2.718281828459...

ჩვენ არ ჩავუღრმავდებით იმას, თუ რა არის ეს რიცხვი და რატომ არის საჭირო. უბრალოდ გახსოვდეთ, რომ e არის ბუნებრივი ლოგარითმის საფუძველი:
ln x = log e x

ამრიგად ln e = 1; ჟურნალი e 2 = 2; ln e 16 = 16 - და ა.შ. მეორეს მხრივ, ln 2 არის ირაციონალური რიცხვი. ზოგადად, ნებისმიერის ბუნებრივი ლოგარითმი რაციონალური რიცხვიირაციონალური. გარდა, რა თქმა უნდა, ერთიანობისა: ln 1 = 0.

ბუნებრივი ლოგარითმებისთვის მოქმედებს ყველა წესი, რომელიც მართებულია ჩვეულებრივი ლოგარითმებისთვის.

მისი განმარტებიდან გამომდინარე. ასე რომ, რიცხვის ლოგარითმი ბმიზეზით აგანისაზღვრება, როგორც მაჩვენებლით, რომელზეც რიცხვი უნდა გაიზარდოს ანომრის მისაღებად ბ(ლოგარითმი არსებობს მხოლოდ დადებითი რიცხვებისთვის).

ამ ფორმულირებიდან გამომდინარეობს, რომ გაანგარიშება x=log a b, უდრის განტოლების ამოხსნას ცული=ბ.Მაგალითად, ჟურნალი 2 8 = 3რადგან 8 = 2 3 . ლოგარითმის ფორმულირება იძლევა იმის დასაბუთებას, რომ თუ b=a გ, შემდეგ რიცხვის ლოგარითმი ბმიზეზით აუდრის თან. ასევე ცხადია, რომ ლოგარითმის თემა მჭიდროდ არის დაკავშირებული რიცხვის სიმძლავრის თემასთან.

ლოგარითმებით, ისევე როგორც ნებისმიერი რიცხვით, შეგიძლიათ შეასრულოთ შეკრების, გამოკლების ოპერაციებიდა გარდაიქმნება ყველა შესაძლო გზით. მაგრამ იმის გათვალისწინებით, რომ ლოგარითმები არ არის საკმაოდ ჩვეულებრივი რიცხვები, აქ მოქმედებს მათი სპეციალური წესები, რომლებიც ე.წ. ძირითადი თვისებები.

ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება.

ავიღოთ ორი ლოგარითმი იგივე საფუძველი: ჟურნალი xდა შესვლა y. შემდეგ ამოღება შესაძლებელია შეკრების და გამოკლების ოპერაციების შესრულება:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

ჟურნალი ა(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = ჟურნალი x 1 + ჟურნალი x 2 + ჟურნალი x 3 + ... + log a x k.

დან კოეფიციენტის ლოგარითმის თეორემებიშეიძლება მივიღოთ ლოგარითმის კიდევ ერთი თვისება. ცნობილია, რომ ჟურნალი ა 1 = 0, შესაბამისად,

ჟურნალი ა 1 /ბ= ჟურნალი ა 1 - ჟურნალი ბ= -ლოგი ბ.

ასე რომ, არის თანასწორობა:

log a 1 / b = - log a b.

ორი ურთიერთშებრუნებული რიცხვის ლოგარითმებიიმავე საფუძველზე ერთმანეთისგან მხოლოდ ნიშნით განსხვავდებიან. Ისე:

ჟურნალი 3 9= - ჟურნალი 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.