მონომის ცნება

მონომილის განმარტება: მონომი არის ალგებრული გამოხატულება, რომელიც იყენებს მხოლოდ გამრავლებას.

მონომის სტანდარტული ფორმა

რა არის მონომის სტანდარტული ფორმა? მონომი იწერება სტანდარტული ფორმით, თუ მას აქვს პირველ რიგში რიცხვითი კოეფიციენტი და ეს კოეფიციენტი, მას უწოდებენ მონომის კოეფიციენტს, მონომისში მხოლოდ ერთი, მონომის ასოები მდებარეობს ანბანური თანმიმდევრობადა თითოეული ასო მხოლოდ ერთხელ გვხვდება.

მონომის მაგალითი სტანდარტული ფორმით:

აქ პირველ რიგში არის რიცხვი, მონომის კოეფიციენტი და ეს რიცხვი მხოლოდ ერთია ჩვენს მონომში, თითოეული ასო მხოლოდ ერთხელ გვხვდება და ასოები დალაგებულია ანბანის მიხედვით, ამ საქმესარის ლათინური ანბანი.

მონომის კიდევ ერთი მაგალითი სტანდარტული ფორმით:

თითოეული ასო მხოლოდ ერთხელ გვხვდება, ისინი დალაგებულია ლათინური ანბანის მიხედვით, მაგრამ სად არის მონომის კოეფიციენტი, ე.ი. რიცხვის ფაქტორი, რომელიც პირველ რიგში უნდა იყოს? ის აქ არის ერთის ტოლი: 1 adm.

შეიძლება თუ არა მონომიური კოეფიციენტი უარყოფითი იყოს? დიახ, შესაძლოა, მაგალითად: -5a.

შეიძლება თუ არა მონომიური კოეფიციენტი იყოს წილადი? დიახ, შესაძლოა, მაგალითად: 5.2a.

თუ მონომი შედგება მხოლოდ რიცხვისგან, ე.ი. არ აქვს ასოები, როგორ მივიყვანოთ სტანდარტულ ფორმაში? ნებისმიერი მონომი, რომელიც არის რიცხვი, უკვე სტანდარტულ ფორმაშია, მაგალითად: რიცხვი 5 არის სტანდარტული ფორმის მონომი.

მონომების შემცირება სტანდარტულ ფორმამდე

როგორ მივიყვანოთ მონომი სტანდარტულ ფორმაში? განვიხილოთ მაგალითები.

დაე, მონომი 2a4b იყოს მოცემული, უნდა მივიყვანოთ ის სტანდარტულ ფორმამდე. ვამრავლებთ მის ორ რიცხვობრივ ფაქტორს და ვიღებთ 8ab. ახლა მონომი იწერება სტანდარტული ფორმით, ე.ი. აქვს მხოლოდ ერთი რიცხვითი კოეფიციენტი, დაწერილი პირველ რიგში, მონომში თითოეული ასო მხოლოდ ერთხელ გვხვდება და ეს ასოები დალაგებულია ანბანური თანმიმდევრობით. ასე რომ, 2a4b = 8ab.

მოცემულია: მონომი 2a4a, მიიტანეთ მონომი სტანდარტულ ფორმამდე. ვამრავლებთ რიცხვებს 2 და 4, ნამრავლი aa იცვლება მეორე ხარისხში a 2-ით. ვიღებთ: 8a 2 . ეს არის ამ მონომის სტანდარტული ფორმა. ასე რომ, 2a4a = 8a 2.

მსგავსი მონომები

რა არის მსგავსი მონომები? თუ მონომები განსხვავდებიან მხოლოდ კოეფიციენტებით ან ტოლები არიან, მაშინ მათ მსგავსი ეწოდება.

მსგავსი მონომების მაგალითი: 5a და 2a. ეს მონომები განსხვავდება მხოლოდ კოეფიციენტებით, რაც იმას ნიშნავს, რომ ისინი მსგავსია.

მსგავსია თუ არა მონომები 5abc და 10cba? მეორე მონომს მივყავართ სტანდარტულ ფორმაში, მივიღებთ 10abc. ახლა ცხადია, რომ მონომები 5abc და 10abc განსხვავდებიან მხოლოდ მათი კოეფიციენტებით, რაც ნიშნავს რომ ისინი მსგავსია.

მონომების დამატება

რა არის მონომების ჯამი? ჩვენ შეგვიძლია მხოლოდ მსგავსი მონომების შეჯამება. განვიხილოთ მონომების დამატების მაგალითი. რა არის 5a და 2a მონომების ჯამი? ამ მონომების ჯამი იქნება მათი მსგავსი მონომი, რომლის კოეფიციენტიც ჯამის ტოლიატერმინების კოეფიციენტები. ასე რომ, მონომების ჯამი არის 5a + 2a = 7a.

მონომების დამატების სხვა მაგალითები:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

ისევ. თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ მხოლოდ მსგავსი მონომები; დამატება მცირდება მათი კოეფიციენტების დამატებით.

მონომების გამოკლება

რა განსხვავებაა მონომებს შორის? ჩვენ შეგვიძლია მხოლოდ გამოვაკლოთ მსგავსი მონომები. განვიხილოთ მონომების გამოკლების მაგალითი. რა განსხვავებაა მონომებს შორის 5a და 2a? ამ მონომების სხვაობა იქნება მათი მსგავსი მონომი, რომლის კოეფიციენტი უდრის ამ მონომების კოეფიციენტთა სხვაობას. ასე რომ, მონომების სხვაობა უდრის 5a - 2a = 3a.

მონომების გამოკლების სხვა მაგალითები:

10a2 - 3a2 = 7a2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

მონომების გამრავლება

რა არის მონომების ნამრავლი? განვიხილოთ მაგალითი:

იმათ. მონომების ნამრავლი ტოლია მონომის, რომლის ფაქტორები შედგება თავდაპირველი მონომების ფაქტორებისგან.

Სხვა მაგალითი:

2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

როგორ მოვიდა ეს შედეგი? თითოეულ ფაქტორს აქვს "a" ხარისხში: პირველში - "a" 2-ის ხარისხში, ხოლო მეორეში - "a" ხარისხში 5. ეს ნიშნავს, რომ პროდუქტს ექნება "a" ხარისხი. 7-დან, რადგან იდენტური ასოების გამრავლებისას მათი მაჩვენებლები იკრიბება:

A 2 * a 5 = a 7 .

იგივე ეხება „ბ“ ფაქტორს.

პირველი ფაქტორის კოეფიციენტი უდრის ორს, ხოლო მეორე - ერთს, ასე რომ მივიღებთ 2 * 1 = 2-ს.

ასე გამოითვალა შედეგი 2a 7 b 12.

ეს მაგალითები აჩვენებს, რომ მონომების კოეფიციენტები მრავლდება და იდენტური ასოებიიცვლება პროდუქტში მათი უფლებამოსილებების ჯამებით.

2 მსგავსი სამკუთხედის ფართობის თანაფარდობა ტოლია მსგავსების კოეფიციენტის კვადრატის. თეორემა (სამკუთხედების ტოლობის მეორე კრიტერიუმი). თუ ერთი სამკუთხედის ორი კუთხე უდრის მეორის ორ კუთხეს, მაშინ ეს სამკუთხედები მსგავსია. მსგავს სამკუთხედებს უწოდებენ, რომლებშიც კუთხეები ტოლია, ხოლო მსგავსი გვერდები პროპორციულია: , სად არის მსგავსების კოეფიციენტი.

ამ დასკვნის გამოყენების მაგალითები იხილეთ ქვემოთ განყოფილებებში: „მსგავსი სამკუთხედების მაგალითები“ და „დაკავშირებული სამკუთხედების გვერდების პარალელურობის (ანტიპარალელიზმის) თვისებები“. ამიტომ, მაგალითად, ორთოკუთხედის ორთოკუთხედი და თავდაპირველი სამკუთხედი მსგავსია, ისევე როგორც სამკუთხედები პარალელური მხარეები. წერტილები, რომლებიც არ დევს სწორ ხაზზე, ნებისმიერი მსგავსებით, მიდის წერტილებზე, რომლებიც არ დევს ერთ სწორ ხაზზე. მსგავსებას ეწოდება სათანადო (არასწორი), თუ მოძრაობა D(\displaystyle D) არის სწორი (არასწორი).

მსგავს სამკუთხედებში მნიშვნელოვანი ადგილიიკავებს სეგმენტების თანაფარდობის კონცეფციას. სამკუთხედები გარკვეულწილად მსგავსია. სამკუთხედების მსგავსების დასადგენად აუცილებელია ზემოაღნიშნული ექვსი ტოლობის მართებულობის დადგენა (გვერდების კუთხეები და თანაფარდობები), მაგრამ ამის გაკეთება ყოველთვის არ არის შესაძლებელი. სულ სამი მსგავსებაა. ახსნა: სამკუთხედის ფართობი არის ორი წრფივი ელემენტის პროდუქტი - გვერდი და სიმაღლე.

სამკუთხედის პერიმეტრი მოცემულია ჩვენთვის, შეგვიძლია ვიპოვოთ სამკუთხედის პერიმეტრი, ვინაიდან მოცემულია მისი გვერდების სიგრძეები, ამიტომ ვიპოვით მსგავსების კოეფიციენტს და განვსაზღვრავთ გვერდების სასურველ სიგრძეებს. მსგავსების კოეფიციენტი გამოხატავს პროპორციულობას, ეს არის ერთი სამკუთხედის გვერდების სიგრძის თანაფარდობა მეორის მსგავს გვერდებთან: k = AB/A’B’= BC/B’C’ = AC/A’C’.

იპოვეთ მსგავსი გვერდების თანაფარდობა, რომელიც იქნება მსგავსების კოეფიციენტი

მაგალითად, დავალებაში მსგავსი სამკუთხედებიდა მოცემულია მათი გვერდების სიგრძე. ვინაიდან სამკუთხედები მდგომარეობით მსგავსია, იპოვეთ მათი მსგავსი გვერდები. სათითაოდ გაყავით მსგავსი სამკუთხედების ფართობები და ამოიღეთ Კვადრატული ფესვიშედეგიდან. პერიმეტრების, მედიანების სიგრძის, მსგავს გვერდებზე აგებული შუამავლების შეფარდება ტოლია მსგავსების კოეფიციენტის.

მსგავსების კანონები - აეროდინამიკაში

სინუსების თეორემით, გვერდებისა და სინუსების შეფარდების ნებისმიერი სამკუთხედისთვის მოპირდაპირე კუთხეებიმის გარშემო შემოხაზული წრის დიამეტრის ტოლია. გამოიყენეთ ანალოგიური გზა კოეფიციენტის მოსაძებნად, თუ თქვენ გაქვთ წრეები ჩაწერილი მსგავს სამკუთხედებში ცნობილი რადიუსებით.

საკუთარი მსგავსება ინარჩუნებს ფიგურების ორიენტაციას, ხოლო არასწორი - ცვლის ორიენტაციას საპირისპიროდ. მსგავსება განსაზღვრულია ანალოგიურად (ზემოხსენებული თვისებების შენარჩუნებით) 3-განზომილებიან ევკლიდეს სივრცეში, ასევე n-განზომილებიან ევკლიდურ და ფსევდოევკლიდეს სივრცეებში. სამკუთხედებში მსგავსი გვერდები საპირისპიროა თანაბარი კუთხეები. მსგავსების კოეფიციენტი შეიძლება მოიძებნოს სხვადასხვა გზები. ამისათვის ჩამოწერეთ ერთის და მეორის გვერდების სიგრძე აღმავალი თანმიმდევრობით.

თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ სამკუთხედების მსგავსების ფაქტორი, თუ იცით მათი ფართობი. თუ ერთი და იგივე კუთხით დახატული ბისექტორების ან სიმაღლეების სიგრძეს გაყოფთ, ასევე მიიღებთ მსგავსების კოეფიციენტს.

გამოიყენეთ ეს თვისება კოეფიციენტის მოსაძებნად, თუ ეს მნიშვნელობები მოცემულია პრობლემის განცხადებაში

თუ ერთი სამკუთხედის სამი გვერდი პროპორციულია მეორე სამკუთხედის სამი გვერდის, მაშინ ასეთი სამკუთხედები მსგავსია. მსგავსების კოეფიციენტი k თანაფარდობის ტოლია F ფიგურების შესაბამისი წრფივი ზომები და შესაბამისად ფართობი მსგავსი ფიგურებიდაკავშირებულია როგორც მათი შესაბამისი წრფივი განზომილებების კვადრატები. ჩვენ გავარკვიეთ, რომ სამკუთხედების ტოლობა არის განსაკუთრებული შემთხვევამსგავსება.

არის . ამ სტატიაში განვსაზღვრავთ მსგავს ტერმინებს, გავარკვევთ, რას ჰქვია მსგავსი ტერმინების შემცირება, განვიხილავთ წესებს, რომლითაც ეს მოქმედება ხორციელდება და მოვიყვანთ მსგავსი ტერმინების შემცირების მაგალითებს. დეტალური აღწერაგადაწყვეტილებები.

გვერდის ნავიგაცია.

მსგავსი ტერმინების განმარტება და მაგალითები.

ასეთ ტერმინებზე საუბარი წარმოიქმნება პირდაპირი გამონათქვამების გაცნობის შემდეგ, როდესაც საჭირო ხდება მათთან გარდაქმნების განხორციელება. მათემატიკის სახელმძღვანელოების მიხედვით N. Ya. Vilenkin მსგავსი ტერმინების განმარტებამოცემულია მე-6 კლასში და აქვს შემდეგი ფორმულირება:

განმარტება.

მსგავსი ტერმინებიარის ტერმინები, რომლებსაც აქვთ იგივე ასო ნაწილი.

ღირს ამ განმარტების ყურადღებით განხილვა. Პირველ რიგში, ჩვენ ვსაუბრობთტერმინების შესახებ და, როგორც ცნობილია, ტერმინებია შემადგენელი ელემენტებითანხები. ნიშნავს, ტერმინების მსგავსადშეიძლება იყოს მხოლოდ გამონათქვამებში, რომლებიც წარმოადგენს ჯამებს. მეორეც, ასეთი ტერმინების გახმოვანებულ განმარტებაში არის „ლიტერატურული ნაწილის“ უცნობი ცნება. რა იგულისხმება ასო ნაწილში? როდესაც ეს განმარტება მოცემულია მეექვსე კლასში, ასოთა ნაწილი ეხება ერთ ასოს (ცვლადს) ან რამდენიმე ასოს ნამრავლს. მესამე, კითხვა რჩება: "რა არის ეს ტერმინები ასო ნაწილთან"? ეს არის ტერმინები, რომლებიც არის გარკვეული რიცხვის, ეგრეთ წოდებული რიცხვითი კოეფიციენტისა და ასო ნაწილის ნამრავლი.

ახლა შეგიძლიათ მოიყვანოთ მსგავსი ტერმინების მაგალითები. განვიხილოთ 3·a+2·a ფორმის ორი წევრის ჯამი 3·a და 2·a. ამ ჯამის ტერმინებს აქვთ იგივე ასო ნაწილი, რომელიც წარმოდგენილია ასო a , შესაბამისად, განმარტებით, ეს ტერმინები მსგავსია. ამ მსგავსი ტერმინების რიცხვითი კოეფიციენტებია რიცხვები 3 და 2.

კიდევ ერთი მაგალითი: სულ 5 x y 3 z+12 x y 3 z+1ტერმინები 5·x·y 3 ·z და 12·x·y 3 ·z იგივე პირდაპირი ნაწილით x·y 3 ·z მსგავსია. გაითვალისწინეთ, რომ y 3 არის ლიტერატურულ ნაწილში, მისი არსებობა არ არღვევს ზემოთ მოცემული ლიტერატურული ნაწილის განმარტებას, რადგან ის, ფაქტობრივად, y·y·y-ის ნამრავლია.

ცალკე აღვნიშნავთ, რომ ასეთი ტერმინების რიცხვითი კოეფიციენტები 1 და −1 ხშირად არ იწერება ცალსახად. მაგალითად, ჯამში 3 z 5 +z 5 −z 5 სამივე წევრი 3 z 5 , z 5 და −z 5 მსგავსია, მათ აქვთ იგივე ასო ნაწილი z 5 და კოეფიციენტები 3 , 1 და −1 შესაბამისად. რომლებიც 1 და −1 აშკარად არ ჩანს.

აქედან გამომდინარე, ჯამში 5+7 x−4+2 x+y არა მხოლოდ 7 x და 2 x არის მსგავსი ტერმინები, არამედ ტერმინები 5 და −4 პირდაპირი ნაწილის გარეშე.

მოგვიანებით, პირდაპირი ნაწილის ცნებაც ფართოვდება - ვიწყებ ლიტერატურული ნაწილის განხილვას არა მხოლოდ ასოების ნაწარმოებად, არამედ თვითნებური პირდაპირი გამონათქვამით. მაგალითად, მე-8 კლასის ავტორთა ალგებრის სახელმძღვანელოში, იუ. . ამ მსგავსი ტერმინების საერთო სიტყვასიტყვითი ნაწილი არის გამოხატულება ფორმის ფესვით.

ანალოგიურად, მსგავსი ტერმინები გამოხატულებაში 4 (x 2 +x−1/x)−0,5 (x 2 +x−1/x)−1შეგვიძლია განვიხილოთ ტერმინები 4 (x 2 +x−1/x) და −0.5 (x 2 +x−1/x), რადგან მათ აქვთ იგივე ასო ნაწილი (x 2 +x−1/x).

ყველა ზემოაღნიშნული ინფორმაციის შეჯამებით, შეგვიძლია მივცეთ მსგავსი ტერმინების შემდეგი განმარტება.

განმარტება.

მსგავსი ტერმინებიტერმინებს უწოდებენ პირდაპირი გამოთქმაერთი და იგივე ლიტერატურული ნაწილის მქონე, აგრეთვე ტერმინები, რომლებსაც არ აქვთ პირდაპირი ნაწილი, სადაც ლიტერატურული ნაწილი გაგებულია, როგორც ნებისმიერი პირდაპირი გამოთქმა.

ცალკე, ჩვენ ვამბობთ, რომ მსგავსი ტერმინები შეიძლება იყოს იგივე (როდესაც მათი რიცხვითი კოეფიციენტები ტოლია), ან ისინი შეიძლება იყოს განსხვავებული (როდესაც მათი რიცხვითი კოეფიციენტები განსხვავებულია).

ამ პუნქტის დასასრულს ჩვენ განვიხილავთ ერთ ძალიან დახვეწილ საკითხს. განვიხილოთ გამონათქვამი 2 x y+3 y x. მსგავსია თუ არა ტერმინები 2 x y და 3 y x? ეს კითხვა ასევე შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: „იგივეა თუ არა მითითებული ტერმინების პირდაპირი ნაწილები x y და y x“? მათში ლიტერატურული ფაქტორების თანმიმდევრობა განსხვავებულია, ასე რომ, ფაქტობრივად, ისინი არ არიან ერთნაირი, შესაბამისად, ტერმინები 2·x·y და 3·y·x ზემოთ მოყვანილი განმარტების ფონზე არ არის მსგავსი.

თუმცა, საკმაოდ ხშირად ასეთ ტერმინებს უწოდებენ მსგავს ტერმინებს (მაგრამ სიმკაცრის გულისთვის უმჯობესია არ გააკეთოთ ეს). ამ შემთხვევაში ისინი ხელმძღვანელობენ შემდეგით: პროდუქტში ფაქტორების პერმუტაციის მიხედვით, ეს არ ახდენს გავლენას შედეგზე, ამიტომ ორიგინალური გამოხატულება 2 x y+3 y x შეიძლება გადაიწეროს როგორც 2 x y+3 x y, რომლის ტერმინები მსგავსია. ანუ, როდესაც ისინი საუბრობენ მსგავს ტერმინებზე 2 x y და 3 y x გამოსახულებაში 2 x y+3 y x, ისინი გულისხმობენ 2 x y და 3 x y ტერმინებს 2 x y+3 x y ფორმის ტრანსფორმირებულ გამოხატულებაში.

მსგავსი ტერმინების, წესის, მაგალითების შემცირება

მსგავსი ტერმინების შემცველი გამონათქვამების ტრანსფორმაცია გულისხმობს ამ ტერმინების დამატებას. ამ მოქმედებას აქვს სპეციალური სახელი - მსგავსი პირობების შემცირება.

მსგავსი ვადების შემცირება ხდება სამ ეტაპად:

• პირველ რიგში, ტერმინები გადანაწილებულია ისე, რომ მსგავსი ტერმინები ერთმანეთის გვერდით იყოს;
• ამის შემდეგ მსგავსი ტერმინების პირდაპირი ნაწილი ამოღებულია ფრჩხილებიდან;
• და ბოლოს, გამოითვლება ფრჩხილებში ჩამოყალიბებული რიცხვითი გამოხატვის მნიშვნელობა.

მაგალითით გავაანალიზოთ ჩაწერილი ნაბიჯები. მსგავს ტერმინებს წარმოვადგენთ გამოხატულებაში 3 x y+1+5 x y. პირველი, ჩვენ ვაწყობთ ტერმინებს ისე, რომ მსგავსი ტერმინები 3 x y და 5 x y ერთმანეთის გვერდით იყვნენ: 3 x y+1+5 x y=3 x y+5 x y+1. მეორეც, ამოვიღებთ ფრჩხილების ლიტერატურულ ნაწილს, ვიღებთ გამონათქვამს x·y·(3+5)+1 . მესამე, ჩვენ ვიანგარიშებთ ფრჩხილებში ჩამოყალიბებული გამოხატვის მნიშვნელობას: x·y·(3+5)+1=x·y·8+1 . რაკი მიღებულია რიცხვითი კოეფიციენტის დაწერა ასოთა ნაწილის წინ, მას გადავიტანთ აქ: x·y·8+1=8·x·y+1. ეს ასრულებს მსგავსი ტერმინების შემცირებას.

მოხერხებულობისთვის, ზემოთ ჩამოთვლილი სამი ნაბიჯი გაერთიანებულია მსგავსი ტერმინების შემცირების წესი: მსგავსი ტერმინების მოსატანად, თქვენ უნდა დაამატოთ მათი კოეფიციენტები და გაამრავლოთ შედეგი ასო ნაწილზე (ასეთის არსებობის შემთხვევაში).

წინა მაგალითის ამოხსნა მსგავსი ტერმინების შემცირების წესის გამოყენებით უფრო მოკლე იქნება. მოვიყვანოთ იგი. მსგავსი ტერმინების კოეფიციენტები 3 x y და 5 x y გამოსახულებაში 3 x y+1+5 x y არის რიცხვები 3 და 5, მათი ჯამი არის 8, გავამრავლოთ ის ასოზე x y ნაწილზე, მივიღებთ ამ ტერმინების შემცირების შედეგს. 8·x·y. არ უნდა დაგვავიწყდეს ტერმინი 1 თავდაპირველ გამოსახულებაში, შედეგად გვაქვს 3 x y+1+5 x y=8 x y+1 .

პირველი დონე

გამოხატვის კონვერტაცია. დეტალური თეორია (2019)

გამოხატვის კონვერტაცია

ხშირად გვესმის ეს უსიამოვნო ფრაზა: "გამოთქმის გამარტივება." ჩვეულებრივ, ამ შემთხვევაში, ჩვენ გვყავს ასეთი სახის მონსტრი:

”დიახ, ბევრად უფრო ადვილია”, - ვამბობთ ჩვენ, მაგრამ ასეთი პასუხი ჩვეულებრივ არ მუშაობს.

ახლა გასწავლით, არ შეგეშინდეთ ასეთი ამოცანების. უფრო მეტიც, გაკვეთილის ბოლოს, თქვენ თვითონ გაამარტივებთ ამ მაგალითს (უბრალოდ!) ჩვეულებრივი ნომერი(დიახ, ჯანდაბა იმ ასოებით).

მაგრამ სანამ ამ გაკვეთილს დაიწყებდეთ, თქვენ უნდა შეძლოთ წილადების და ფაქტორების მრავალწევრების მართვა. ამიტომ, პირველ რიგში, თუ ეს აქამდე არ გაგიკეთებიათ, აუცილებლად დაეუფლეთ თემებს "" და "".

წაიკითხეთ? თუ კი, მაშინ მზად ხართ.

ძირითადი გამარტივების ოპერაციები

ახლა ჩვენ გავაანალიზებთ ძირითად ტექნიკას, რომლებიც გამოიყენება გამონათქვამების გასამარტივებლად.

მათგან ყველაზე მარტივია

1. მსგავსის მოტანა

რა მსგავსია? თქვენ ეს გაიარეთ მე-7 კლასში, როდესაც რიცხვების ნაცვლად მათემატიკაში ასოები პირველად გამოჩნდა. მსგავსია ტერმინები (მონომები) ერთი და იგივე ასო ნაწილით. მაგალითად, ჯამში მსგავსი ტერმინები არის და.

Გაიხსენა?

მსგავსი ტერმინების მოტანა ნიშნავს ერთმანეთს რამდენიმე მსგავსი ტერმინის დამატებას და ერთი ტერმინის მიღებას.

მაგრამ როგორ შეგვიძლია ასოების შეკრება? - გეკითხებით.

ამის გაგება ძალიან ადვილია, თუ წარმოიდგენთ, რომ ასოები რაღაც საგნებია. მაგალითად, წერილი არის სკამი. მაშინ რა არის გამოხატულება? ორ სკამს პლუს სამი სკამი, რამდენი იქნება? მართალია, სკამები: .

ახლა სცადეთ ეს გამოთქმა:

იმისათვის, რომ არ დაიბნეთ, მოდით სხვადასხვა ასოებიწარმოადგენენ სხვადასხვა ნივთებს. მაგალითად, - ეს არის (ჩვეულებისამებრ) სკამი და - ეს არის მაგიდა. შემდეგ:

სკამები მაგიდები სკამი მაგიდები სკამები სკამები მაგიდები

რიცხვები, რომლებითაც მრავლდება ასოები ასეთ ტერმინებში, ეწოდება კოეფიციენტები. მაგალითად, მონომში კოეფიციენტი ტოლია. და ის თანაბარია.

ასე რომ, მსგავსების შემოტანის წესი:

მაგალითები:

მოიყვანეთ მსგავსი:

პასუხები:

2. (და მსგავსია, ვინაიდან, მაშასადამე, ამ ტერმინებს აქვთ იგივე ასო ნაწილი).

2. ფაქტორიზაცია

ეს ჩვეულებრივ ყველაზე მეტია მთავარი ნაწილიგამონათქვამების გამარტივებაში. მას შემდეგ, რაც თქვენ მიიღებთ მსგავსებს, ყველაზე ხშირად მიღებული გამონათქვამი უნდა იყოს ფაქტორირებული, ანუ წარმოდგენილი იყოს როგორც პროდუქტი. ეს განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია წილადებში: ბოლოს და ბოლოს, წილადის შესამცირებლად, მრიცხველი და მნიშვნელი უნდა იყოს წარმოდგენილი ნამრავლის სახით.

თქვენ გაიარეთ გამონათქვამების ფაქტორინგის დეტალური მეთოდები თემაში "", ასე რომ, აქ თქვენ უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ ის, რაც ისწავლეთ. ამისათვის გადაწყვიტეთ რამდენიმე მაგალითები(გამოირიცხება):

გადაწყვეტილებები:

3. წილადის შემცირება.

აბა, რა შეიძლება იყოს იმაზე ლამაზი, ვიდრე მრიცხველისა და მნიშვნელის ნაწილის გადაკვეთა და მათი ცხოვრებიდან გადაგდება?

ეს არის აბრევიატურის სილამაზე.

Ეს მარტივია:

თუ მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს ერთსა და იმავე ფაქტორებს, ისინი შეიძლება შემცირდეს, ანუ ამოღებულ იქნეს წილადიდან.

ეს წესი გამომდინარეობს წილადის ძირითადი თვისებიდან:

ანუ შემცირების ოპერაციის არსი ისაა წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს ვყოფთ იმავე რიცხვზე (ან იგივე გამოსახულებით).

წილადის შესამცირებლად საჭიროა:

1) მრიცხველი და მნიშვნელი ფაქტორიზირება

2) თუ მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს საერთო ფაქტორები , მათი წაშლა შესაძლებელია.

პრინციპი, ვფიქრობ, გასაგებია?

ერთზე მინდა გავამახვილო ყურადღება ტიპიური შეცდომაშემცირებისას. მართალია ეს თემა მარტივია, მაგრამ ბევრი ადამიანი ყველაფერს არასწორად აკეთებს, ამას ვერ ხვდება გაჭრა- ეს ნიშნავს გაყოფამრიცხველი და მნიშვნელი ერთი და იგივე რიცხვით.

არ არის შემოკლებები, თუ მრიცხველი ან მნიშვნელი არის ჯამი.

მაგალითად: თქვენ გჭირდებათ გამარტივება.

ზოგი ამას აკეთებს: რაც აბსოლუტურად არასწორია.

კიდევ ერთი მაგალითი: შემცირება.

"ყველაზე ჭკვიანი" ამას გააკეთებს:.

მითხარი რა არის აქ? როგორც ჩანს: - ეს არის მულტიპლიკატორი, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ შეამციროთ.

მაგრამ არა: - ეს არის მხოლოდ ერთი ტერმინის კოეფიციენტი მრიცხველში, მაგრამ თავად მრიცხველი მთლიანობაში არ იშლება ფაქტორებად.

აი კიდევ ერთი მაგალითი: .

ეს გამონათქვამი იყოფა ფაქტორებად, რაც ნიშნავს, რომ შეგიძლიათ შეამციროთ, ანუ გაყოთ მრიცხველი და მნიშვნელი და შემდეგ:

შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გაყოთ:

ასეთი შეცდომების თავიდან ასაცილებლად, გახსოვდეთ ადვილი გზაროგორ განვსაზღვროთ არის თუ არა გამოხატვის ფაქტორი:

არითმეტიკული ოპერაცია, რომელიც ბოლო შესრულებულია გამოხატვის მნიშვნელობის გამოთვლისას არის "მთავარი". ანუ, თუ თქვენ ჩაანაცვლებთ რამდენიმე (ნებისმიერ) რიცხვს ასოების ნაცვლად და ცდილობთ გამოთვალოთ გამოხატვის მნიშვნელობა, მაშინ თუ ბოლო მოქმედება არის გამრავლება, მაშინ გვაქვს ნამრავლი (გამოხატვა იშლება ფაქტორებად). თუ ბოლო მოქმედება არის შეკრება ან გამოკლება, ეს ნიშნავს, რომ გამოხატულება არ არის ფაქტორირებული (და შესაბამისად არ შეიძლება შემცირდეს).

გამოსასწორებლად, თავად მოაგვარეთ რამდენიმე მაგალითები:

პასუხები:

1. იმედია მაშინვე არ იჩქარეთ მოჭრა და? ჯერ კიდევ არ იყო საკმარისი ასეთი ერთეულების "შემცირება":

პირველი ნაბიჯი უნდა იყოს ფაქტორიზაცია:

4. წილადების შეკრება და გამოკლება. წილადების მიყვანა საერთო მნიშვნელთან.

შეკრება და გამოკლება ჩვეულებრივი წილადები- ოპერაცია კარგად არის ცნობილი: ჩვენ ვეძებთ საერთო მნიშვნელს, ვამრავლებთ თითოეულ წილადს გამოტოვებულ კოეფიციენტზე და ვამატებთ/გამოკლებთ მრიცხველებს. გავიხსენოთ:

პასუხები:

1. მნიშვნელები და არიან თანაპირველი, ანუ არ აქვთ საერთო ფაქტორები. ამრიგად, ამ რიცხვების LCM უდრის მათ ნამრავლს. ეს იქნება საერთო მნიშვნელი:

2. აქ საერთო მნიშვნელია:

3. აქ პირველი შერეული ფრაქციებიგადააქციეთ ისინი არასწორად, შემდეგ კი - ჩვეულებრივი სქემის მიხედვით:

სულ სხვა საკითხია, თუ წილადები შეიცავს ასოებს, მაგალითად:

დავიწყოთ მარტივი:

ა) მნიშვნელები არ შეიცავს ასოებს

აქ ყველაფერი იგივეა, რაც ჩვეულებრივ ციფრულ წილადებში: ჩვენ ვპოულობთ საერთო მნიშვნელს, ვამრავლებთ თითოეულ წილადს გამოტოვებულ ფაქტორზე და ვამატებთ/გამოკლებთ მრიცხველებს:

ახლა მრიცხველში შეგიძლიათ მოიტანოთ მსგავსები, ასეთის არსებობის შემთხვევაში და შეაფასოთ ისინი:

თავად სცადე:

ბ) მნიშვნელები შეიცავს ასოებს

გავიხსენოთ ასოების გარეშე საერთო მნიშვნელის პოვნის პრინციპი:

პირველ რიგში განვსაზღვრავთ საერთო ფაქტორებს;

შემდეგ ჩვენ ერთხელ ვწერთ ყველა საერთო ფაქტორს;

და გავამრავლოთ ისინი ყველა სხვა ფაქტორზე და არა ჩვეულებრივზე.

მნიშვნელების საერთო ფაქტორების დასადგენად, ჩვენ პირველ რიგში ვყოფთ მათ მარტივ ფაქტორებად:

ჩვენ ხაზს ვუსვამთ საერთო ფაქტორებს:

ახლა ჩვენ ერთხელ ვწერთ საერთო ფაქტორებს და ვუმატებთ ყველა არაჩვეულებრივ (ხაზგასმული) ფაქტორებს:

ეს არის საერთო მნიშვნელი.

დავუბრუნდეთ წერილებს. მნიშვნელები მოცემულია ზუსტად იმავე გზით:

მნიშვნელებს ვანაწილებთ ფაქტორებად;

საერთო (იდენტური) მამრავლების განსაზღვრა;

ერთხელ ჩამოწერეთ ყველა საერთო ფაქტორი;

ჩვენ მათ ვამრავლებთ ყველა სხვა ფაქტორზე და არა ჩვეულებრივზე.

ასე რომ, თანმიმდევრობით:

1) მნიშვნელების დაშლა ფაქტორებად:

2) განსაზღვრეთ საერთო (იდენტური) ფაქტორები:

3) ერთხელ ჩამოწერეთ ყველა საერთო ფაქტორი და გაამრავლეთ ყველა სხვა (ხაზგასმული) ფაქტორებზე:

ასე რომ, საერთო მნიშვნელი აქ არის. პირველი წილადი უნდა გავამრავლოთ, მეორე - -ზე:

სხვათა შორის, არის ერთი ხრიკი:

Მაგალითად: .

ჩვენ ვხედავთ იგივე ფაქტორებს მნიშვნელებში, მხოლოდ ყველაფერს სხვადასხვა მაჩვენებლები. საერთო მნიშვნელი იქნება:

რამდენადაც

რამდენადაც

რამდენადაც

ხარისხით.

მოდით გავართულოთ დავალება:

როგორ გავაკეთო წილადებს ერთი და იგივე მნიშვნელი?

გავიხსენოთ წილადის ძირითადი თვისება:

არსად ნათქვამია, რომ ერთი და იგივე რიცხვი შეიძლება გამოკლდეს (ან დაემატოს) წილადის მრიცხველს და მნიშვნელს. იმიტომ რომ არ არის სიმართლე!

თავად ნახეთ: აიღეთ ნებისმიერი წილადი, მაგალითად, და დაამატეთ მრიცხველს და მნიშვნელს, მაგალითად, . რა ისწავლეს?

ასე რომ, კიდევ ერთი ურყევი წესი:

როცა წილადებს მოიყვან საერთო მნიშვნელი, გამოიყენეთ მხოლოდ გამრავლების ოპერაცია!

მაგრამ რა გჭირდებათ გასამრავლებლად მისაღებად?

აქ და გაამრავლე. და გავამრავლოთ:

გამონათქვამებს, რომელთა ფაქტორიზაცია შეუძლებელია, ეწოდება "ელემენტარული ფაქტორები". მაგალითად, ელემენტარული ფაქტორია. - ძალიან. მაგრამ - არა: ის იშლება ფაქტორებად.

რაც შეეხება გამოხატვას? ელემენტარულია?

არა, რადგან ის შეიძლება იყოს ფაქტორიზირებული:

(ფაქტორიზაციის შესახებ უკვე წაიკითხეთ თემაში "").

ასე რომ, ელემენტარული ფაქტორები, რომლებშიც თქვენ ანაწილებთ გამოხატვას ასოებით, არის ანალოგი ძირითადი ფაქტორებირომელშიც ანაწილებთ რიცხვებს. და ჩვენც იგივეს გავაკეთებთ მათთან.

ჩვენ ვხედავთ, რომ ორივე მნიშვნელს აქვს ფაქტორი. ძალაუფლებაში საერთო მნიშვნელზე წავა (გახსოვს რატომ?).

მამრავლი ელემენტარულია და მათ არ აქვთ საერთო, რაც ნიშნავს, რომ პირველი წილადი უბრალოდ უნდა გამრავლდეს მასზე:

Სხვა მაგალითი:

გადაწყვეტილება:

სანამ ამ მნიშვნელებს პანიკურად გაამრავლებთ, უნდა იფიქროთ იმაზე, თუ როგორ მოახდინოთ ისინი? ორივე მათგანი წარმოადგენს:

კარგად! შემდეგ:

Სხვა მაგალითი:

გადაწყვეტილება:

ჩვეულებისამებრ, ჩვენ ვანაწილებთ მნიშვნელებს. პირველ მნიშვნელში უბრალოდ ფრჩხილებიდან გამოვყავით; მეორეში - კვადრატების სხვაობა:

როგორც ჩანს, საერთო ფაქტორები არ არსებობს. მაგრამ თუ კარგად დააკვირდებით, ისინი უკვე ძალიან ჰგვანან... და სიმართლე ისაა:

ასე რომ დავწეროთ:

ანუ ასე გამოვიდა: ფრჩხილის შიგნით გავცვალეთ ტერმინები და ამავდროულად წილადის წინ ნიშანი პირიქით შეიცვალა. გაითვალისწინეთ, ამის გაკეთება ხშირად მოგიწევთ.

ახლა ჩვენ მივყავართ საერთო მნიშვნელთან:

Გავიგე? ახლა შევამოწმოთ.

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

პასუხები:

აქ უნდა გვახსოვდეს კიდევ ერთი რამ - კუბების განსხვავება:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ მეორე წილადის მნიშვნელი არ შეიცავს ფორმულას "ჯამის კვადრატი"! ჯამის კვადრატი ასე გამოიყურება:

A არის ჯამის ეგრეთ წოდებული არასრული კვადრატი: მასში მეორე წევრი არის პირველი და ბოლო ნამრავლი და არა მათი გაორმაგებული ნამრავლი. ჯამის არასრული კვადრატი კუბების სხვაობის გაფართოების ერთ-ერთი ფაქტორია:

რა მოხდება, თუ უკვე არის სამი წილადი?

დიახ, იგივე! უპირველეს ყოვლისა, მოდით, ასე მოვიქცეთ მაქსიმალური თანხამნიშვნელებში ფაქტორები იგივე იყო:

ყურადღება მიაქციეთ: თუ თქვენ შეცვლით ნიშნებს ერთი ფრჩხილის შიგნით, ნიშანი წილადის წინ იცვლება საპირისპიროდ. როდესაც ვცვლით ნიშნებს მეორე ფრჩხილში, წილადის წინ ნიშანი ისევ უკუბრუნდება. შედეგად, ის (ნიშანი წილადის წინ) არ შეცვლილა.

პირველ მნიშვნელს სრულად ვწერთ საერთო მნიშვნელში და შემდეგ ვამატებთ ყველა იმ ფაქტორს, რომელიც ჯერ არ დაწერილა, მეორედან, შემდეგ კი მესამედან (და ასე შემდეგ, თუ მეტი წილადია). ანუ ასე მიდის:

ჰმ... წილადებით, გასაგებია, რა უნდა გააკეთოს. მაგრამ რაც შეეხება ორს?

ეს მარტივია: თქვენ იცით, როგორ დაამატოთ წილადები, არა? ასე რომ, თქვენ უნდა დარწმუნდეთ, რომ დეუზა ხდება წილადი! გახსოვდეთ: წილადი არის გაყოფის ოპერაცია (მრიცხველი იყოფა მნიშვნელზე, თუ მოულოდნელად დაგავიწყდათ). და არაფერია უფრო ადვილი ვიდრე რიცხვის გაყოფა. ამ შემთხვევაში, თავად რიცხვი არ შეიცვლება, მაგრამ გადაიქცევა წილადად:

ზუსტად ის, რაც საჭიროა!

5. წილადების გამრავლება და გაყოფა.

ისე, უმძიმესი ნაწილი ახლა დასრულდა. და ჩვენ წინ არის უმარტივესი, მაგრამ ამავე დროს ყველაზე მნიშვნელოვანი:

Პროცედურა

როგორია დათვლის პროცედურა რიცხვითი გამოხატულება? გახსოვდეთ, გაითვალისწინეთ ასეთი გამონათქვამის მნიშვნელობა:

დაითვალეთ?

უნდა იმუშაოს.

ასე რომ, შეგახსენებთ.

პირველი ნაბიჯი არის ხარისხის გამოთვლა.

მეორე არის გამრავლება და გაყოფა. თუ ერთდროულად არის რამდენიმე გამრავლება და გაყოფა, შეგიძლიათ გააკეთოთ ისინი ნებისმიერი თანმიმდევრობით.

და ბოლოს, ვასრულებთ შეკრებას და გამოკლებას. ისევ, ნებისმიერი თანმიმდევრობით.

მაგრამ: ფრჩხილებში გამოსახული გამონათქვამი შეფასებულია უწესრიგოდ!

თუ რამდენიმე ფრჩხილი გამრავლებულია ან იყოფა ერთმანეთზე, ჯერ ვაფასებთ გამონათქვამს თითოეულ ფრჩხილში და შემდეგ ვამრავლებთ ან ვყოფთ.

რა მოხდება, თუ ფრჩხილებში არის სხვა ფრჩხილები? კარგი, დავფიქრდეთ: ფრჩხილებში რაღაც გამოთქმა წერია. რა არის პირველი, რაც უნდა გააკეთოთ გამოხატვის შეფასებისას? მართალია, გამოთვალეთ ფრჩხილები. კარგად, ჩვენ გავარკვიეთ: ჯერ ვიანგარიშებთ შიდა ფრჩხილებს, შემდეგ ყველაფერს.

ასე რომ, ზემოაღნიშნული გამოხატვის მოქმედებების თანმიმდევრობა ასეთია (მიმდინარე მოქმედება მონიშნულია წითლად, ანუ ის მოქმედება, რომელსაც ახლა ვასრულებ):

კარგი, ყველაფერი მარტივია.

მაგრამ ეს არ არის იგივე, რაც ასოებით გამოხატვა, არა?

არა, იგივეა! მხოლოდ ნაცვლად არითმეტიკული მოქმედებებითქვენ უნდა გააკეთოთ ალგებრული, ანუ წინა ნაწილში აღწერილი მოქმედებები: მსგავსის მოტანა, წილადების შეკრება, წილადების შემცირება და ა.შ. ერთადერთი განსხვავება იქნება მრავალწევრების ფაქტორინგის მოქმედება (ხშირად ვიყენებთ წილადებთან მუშაობისას). ყველაზე ხშირად, ფაქტორიზაციისთვის, თქვენ უნდა გამოიყენოთ i ან უბრალოდ ამოიღოთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან.

როგორც წესი, ჩვენი მიზანია გამოვხატოთ გამოხატულება, როგორც პროდუქტი ან კოეფიციენტი.

Მაგალითად:

მოდით გავამარტივოთ გამოთქმა.

1) ჯერ ვამარტივებთ ფრჩხილებში გამოსახულებას. აქ გვაქვს წილადების სხვაობა და ჩვენი მიზანია წარმოვაჩინოთ იგი ნამრავლის ან კოეფიციენტის სახით. ასე რომ, ჩვენ მივყავართ წილადებს საერთო მნიშვნელთან და ვამატებთ:

ამ გამოთქმის შემდგომი გამარტივება შეუძლებელია, აქ ყველა ფაქტორი ელემენტარულია (ჯერ კიდევ გახსოვთ რას ნიშნავს ეს?).

2) ჩვენ ვიღებთ:

წილადების გამრავლება: რა შეიძლება იყოს უფრო ადვილი.

3) ახლა შეგიძლიათ შეამციროთ:

Ის არის. არაფერი რთული, არა?

Სხვა მაგალითი:

გამოხატვის გამარტივება.

ჯერ შეეცადეთ თავად მოაგვაროთ ეს და მხოლოდ ამის შემდეგ შეხედეთ გამოსავალს.

პირველ რიგში განვსაზღვროთ პროცედურა. ჯერ ფრჩხილებში დავამატოთ წილადები, ორი წილადის ნაცვლად ერთი გამოვა. შემდეგ ჩვენ გავაკეთებთ წილადების დაყოფას. კარგად, ჩვენ ვამატებთ შედეგს ბოლო წილადით. მე სქემატურად ჩამოვთვლი ნაბიჯებს:

ახლა მე გაჩვენებთ მთელ პროცესს, მიმდინარე მოქმედებას წითლად ვღებავ:

ბოლოს ორ სასარგებლო რჩევას მოგცემთ:

1. მსგავსების არსებობის შემთხვევაში დაუყოვნებლივ უნდა მოიყვანონ. რომელ მომენტშიც არ უნდა გვქონდეს მსგავსი, მიზანშეწონილია დაუყოვნებლივ მოვიტანოთ ისინი.

2. იგივე ეხება წილადების შემცირებას: როგორც კი გაჩნდება შემცირების შესაძლებლობა, ის უნდა იქნას გამოყენებული. გამონაკლისი არის წილადები, რომლებსაც უმატებთ ან აკლებთ: თუ აქვთ იგივე მნიშვნელები, მაშინ შემცირება მოგვიანებით უნდა დარჩეს.

აქ მოცემულია რამდენიმე დავალება, რომლითაც თქვენ დამოუკიდებლად გადაჭრით:

და დაპირდა თავიდანვე:

გადაწყვეტილებები (მოკლე):

თუ თქვენ გაუმკლავდით მინიმუმ პირველ სამ მაგალითს, მაშინ ჩათვალეთ, რომ აითვისეთ თემა.

ახლა გადადით სწავლაზე!

გამოხატვის კონვერტაცია. შემაჯამებელი და ძირითადი ფორმულა

ძირითადი გამარტივების ოპერაციები:

• მსგავსის მოტანა: მსგავსი ტერმინების დასამატებლად (შემცირებისთვის) საჭიროა მათი კოეფიციენტების დამატება და ასოს ნაწილის მინიჭება.
• ფაქტორიზაცია:საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება, გამოყენება და ა.შ.
• ფრაქციების შემცირება: წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება გავამრავლოთ ან გავყოთ ერთი და იგივე არანულოვანი რიცხვით, საიდანაც წილადის მნიშვნელობა არ იცვლება.
  1) მრიცხველი და მნიშვნელი ფაქტორიზირება
  2) თუ არის საერთო ფაქტორები მრიცხველსა და მნიშვნელში, მათი გადაკვეთა შესაძლებელია.

  მნიშვნელოვანია: მხოლოდ მულტიპლიკატორები შეიძლება შემცირდეს!

• წილადების შეკრება და გამოკლება:
  ;
• წილადების გამრავლება და გაყოფა:
  ;