Einheitsvektor- Das Vektor, deren Absolutwert (Modul). gleich eins. Um einen Einheitsvektor zu bezeichnen, verwenden wir den Index e. Also, wenn ein Vektor gegeben ist a, dann ist sein Einheitsvektor der Vektor a e) Dieser Einheitsvektor zeigt in dieselbe Richtung wie der Vektor selbst a, und sein Modul ist gleich eins, dh a e \u003d 1.

Offensichtlich, a= ein a e (ein - Vektormodul a). Dies folgt aus der Regel, nach der die Operation des Multiplizierens eines Skalars mit einem Vektor durchgeführt wird.

Einheitsvektoren oft mit den Koordinatenachsen des Koordinatensystems verbunden (insbesondere mit den Achsen des kartesischen Koordinatensystems). Anfahrt von diesen Vektoren stimmen mit den Richtungen der entsprechenden Achsen überein, und ihre Ursprünge werden oft mit dem Ursprung des Koordinatensystems kombiniert.

Daran möchte ich Sie erinnern Kartesisches Koordinatensystem im Raum wird traditionell ein Tripel von zueinander senkrechten Achsen genannt, die sich an einem Punkt schneiden, der als Ursprung bezeichnet wird. Koordinatenachsen normalerweise mit den Buchstaben X, Y, Z bezeichnet und werden jeweils als Abszissenachse, Y-Achse und Anwendungsachse bezeichnet. Descartes selbst verwendete nur eine Achse, auf der die Abszissen aufgetragen wurden. Verdienst der Verwendung SystemeÄxte gehören seinen Schülern. Daher der Satz Kartesisches System Koordinaten historisch falsch. Besser reden rechteckig Koordinatensystem oder orthogonales Koordinatensystem. Trotzdem werden wir die Traditionen nicht ändern und in Zukunft davon ausgehen, dass das kartesische und das rechteckige (orthogonale) Koordinatensystem ein und dasselbe sind.

Einheitsvektor, entlang der X-Achse gerichtet, bezeichnet ich, Einheitsvektor, entlang der Y-Achse gerichtet, bezeichnet j, a Einheitsvektor, entlang der Z-Achse gerichtet, bezeichnet k. Vektoren ich, j, k genannt Ort(Abb. 12, links), sie haben also Einzelmodule
i = 1, j = 1, k = 1.

Achsen u Ort rechtwinkliges Koordinatensystem teilweise haben sie andere Namen und Bezeichnungen. Die Abszissenachse X kann also als Tangentenachse bezeichnet werden, und ihr Einheitsvektor wird bezeichnet τ (griechischer Kleinbuchstabe Tau), die y-Achse ist die Normalachse, ihr Einheitsvektor ist bezeichnet n, die Anwendungsachse ist die Achse der Binormalen, ihr Einheitsvektor ist bezeichnet b. Warum die Namen ändern, wenn die Essenz gleich bleibt?

Tatsache ist, dass beispielsweise in der Mechanik bei der Untersuchung der Bewegung von Körpern sehr häufig ein rechtwinkliges Koordinatensystem verwendet wird. Wenn also das Koordinatensystem selbst bewegungslos ist und die Änderung der Koordinaten eines sich bewegenden Objekts in diesem bewegungslosen System verfolgt wird, dann bezeichnen die Achsen normalerweise X, Y, Z und ihre Ort beziehungsweise ich, j, k.

Aber oft, wenn sich ein Objekt entlang bewegt krummlinige Bahn(z. B. entlang eines Kreises) ist es bequemer, mechanische Prozesse in einem Koordinatensystem zu betrachten, das sich mit diesem Objekt bewegt. Für ein solches bewegliches Koordinatensystem werden andere Namen der Achsen und ihrer Einheitsvektoren verwendet. Es wird einfach akzeptiert. In diesem Fall ist die X-Achse tangential zur Bewegungsbahn an der Stelle gerichtet, wo dieser Moment Dieses Objekt befindet sich. Und dann heißt diese Achse nicht mehr X-Achse, sondern Tangentialachse, und ihr Einheitsvektor wird nicht mehr bezeichnet ich, a τ . Die Y-Achse ist entlang des Krümmungsradius der Trajektorie ausgerichtet (bei Bewegung in einem Kreis - zum Mittelpunkt des Kreises). Und da der Radius senkrecht zur Tangente steht, heißt die Achse die Achse der Normalen (Senkrechte und Normale sind dasselbe). Der Ort dieser Achse ist nicht mehr angegeben j, a n. Die dritte Achse (das frühere Z) steht senkrecht auf den beiden vorherigen. Dies ist eine Binormale mit einem Vektor b(Abb. 12, rechts). Übrigens in diesem Fall rechteckiges System Koordinaten oft als "natürlich" oder natürlich bezeichnet.

In dieser Lektion werden wir uns zwei weitere Operationen mit Vektoren ansehen: Kreuzprodukt von Vektoren und Mischprodukt von Vektoren (direkter Link für diejenigen, die es brauchen). Es ist okay, manchmal passiert es das für vollkommenes Glück, Außerdem Skalarprodukt von Vektoren, es wird immer mehr benötigt. Das ist Vektorsucht. Es mag scheinen, als würden wir in die Wildnis klettern Analytische Geometrie. Das ist nicht so. In diesem Bereich der höheren Mathematik gibt es im Allgemeinen wenig Brennholz, außer vielleicht genug für Pinocchio. Tatsächlich ist das Material sehr verbreitet und einfach – kaum schwieriger als das Gleiche Skalarprodukt, eben typische Aufgaben wird weniger sein. Die Hauptsache in der analytischen Geometrie ist, wie viele sehen werden oder bereits gesehen haben, BERECHNUNGEN NICHT ZU FEHLEN. Wiederholen Sie wie ein Zauber, und Sie werden glücklich sein =)

Wenn die Vektoren irgendwo in der Ferne funkeln, wie ein Blitz am Horizont, spielt es keine Rolle, beginnen Sie mit der Lektion Vektoren für Dummies zu restaurieren oder neu zu kaufen Grundwissenüber Vektoren. Bereitere Leser können sich selektiv mit den Informationen vertraut machen, ich habe versucht, die vollständigste Sammlung von Beispielen zu sammeln, die häufig in gefunden werden praktische Arbeit

Was wird dich glücklich machen? Als ich klein war, konnte ich zwei und sogar drei Bälle jonglieren. Es hat gut geklappt. Jetzt brauchen wir überhaupt nicht mehr zu jonglieren, da wir überlegen werden nur Raumvektoren, und flache Vektoren mit zwei Koordinaten werden weggelassen. Wieso den? So wurden diese Aktionen geboren - Vektor und Mischprodukt Vektoren sind definiert und arbeiten darin dreidimensionaler Raum. Schon einfacher!

Bei dieser Operation gilt wie beim Skalarprodukt zwei Vektoren. Lass es unvergängliche Buchstaben sein.

Die Aktion selbst bezeichnet auf die folgende Weise: . Es gibt andere Möglichkeiten, aber ich habe das Kreuzprodukt von Vektoren auf diese Weise bezeichnet, in eckige Klammern mit einem Kreuz.

Und sofort Frage: wenn drin Skalarprodukt von Vektoren es handelt sich um zwei Vektoren, und hier werden dann auch zwei Vektoren multipliziert Was ist der Unterschied? Ein deutlicher Unterschied zunächst im ERGEBNIS:

Das Ergebnis des Skalarprodukts von Vektoren ist eine ZAHL:

Das Ergebnis des Kreuzprodukts von Vektoren ist ein VEKTOR: , das heißt, wir multiplizieren die Vektoren und erhalten wieder einen Vektor. Geschlossener Verein. Eigentlich daher der Name der Operation. In verschiedenen pädagogische Literatur die Schreibweise kann auch variieren, ich werde den Buchstaben verwenden.

Definition von Kreuzprodukt

Zuerst wird es eine Definition mit einem Bild geben, dann Kommentare.

Definition: Kreuzprodukt nicht kollinear Vektoren , in dieser Reihenfolge aufgenommen, heißt VEKTOR, Länge was numerisch ist gleich der Fläche des Parallelogramms, aufgebaut auf diesen Vektoren; Vektor orthogonal zu Vektoren, und ist so ausgerichtet, dass die Basis eine richtige Ausrichtung hat:

Wir analysieren die Definition nach Knochen, es gibt viele interessante Dinge!

Daher können wir die folgenden wichtigen Punkte hervorheben:

1) Quellvektoren, gekennzeichnet durch rote Pfeile, per Definition nicht kollinear. Ereignis Kollineare Vektoren Es wird angebracht sein, etwas später darüber nachzudenken.

2) Vektoren genommen in strenger Reihenfolge: – "a" wird mit "be" multipliziert, nicht "sein" zu "ein". Das Ergebnis der Vektormultiplikation VECTOR ist, was blau dargestellt ist. Wenn die Vektoren multipliziert werden mit umgekehrte Reihenfolge, dann erhalten wir einen Vektor gleicher Länge und entgegengesetzter Richtung (rote Farbe). Das heißt, die Gleichberechtigung .

3) Machen wir uns nun mit der geometrischen Bedeutung des Vektorprodukts vertraut. Das ist sehr wichtiger Punkt! Die LÄNGE des blauen Vektors (und daher des purpurroten Vektors ) ist numerisch gleich der FLÄCHE des Parallelogramms, das auf den Vektoren aufgebaut ist. In der Figur ist dieses Parallelogramm schwarz schattiert.

Notiz : Die Zeichnung ist schematisch und natürlich ist die Nennlänge des Kreuzprodukts nicht gleich der Fläche des Parallelogramms.

Wir erinnern uns an einen geometrische Formeln: Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt benachbarte Parteien durch den Sinus des Winkels zwischen ihnen. Daher gilt auf der Grundlage des Vorstehenden die Formel zur Berechnung der LÄNGE eines Vektorprodukts:

Ich betone, dass wir in der Formel über die LÄNGE des Vektors sprechen und nicht über den Vektor selbst. Was ist die praktische Bedeutung? Und die Bedeutung ist so, dass bei Problemen der analytischen Geometrie die Fläche eines Parallelogramms häufig durch das Konzept eines Vektorprodukts gefunden wird:

Lassen Sie uns eine Sekunde bekommen wichtige Formel. Die Diagonale des Parallelogramms (rot gepunktete Linie) teilt es in zwei Teile gleiches Dreieck. Daher kann die Fläche eines auf Vektoren aufgebauten Dreiecks (rote Schattierung) durch die Formel gefunden werden:

4) Nicht weniger als wichtige Tatsache ist, dass der Vektor orthogonal zu den Vektoren ist, das heißt, . Natürlich ist auch der entgegengesetzt gerichtete Vektor (roter Pfeil) orthogonal zu den ursprünglichen Vektoren .

5) Der Vektor ist so gerichtet, dass Basis Es hat Rechts Orientierung. In einer Lektion über Übergang auf eine neue Basis Ich habe ausführlich darüber gesprochen Ebenenorientierung, und jetzt werden wir herausfinden, wie die Ausrichtung des Raums ist. Ich werde es an deinen Fingern erklären rechte Hand . Kombiniere gedanklich Zeigefinger mit Vektor und Mittelfinger mit Vektor. Ringfinger und kleiner Finger in deine Handfläche drücken. Ergebend Daumen - Das Vektorprodukt wird nach oben schauen. Dies ist die rechtsorientierte Basis (sie ist in der Abbildung). Vertausche nun die Vektoren ( Index und Mittelfinger ) an einigen Stellen dreht sich der Daumen daher um und das Vektorprodukt schaut bereits nach unten. Auch das ist eine rechtsorientierte Grundlage. Vielleicht haben Sie eine Frage: Welche Basis hat eine linke Orientierung? „Ordnen“ Sie dieselben Finger zu linke Hand vectors und erhalten die linke Basis und die linke Raumorientierung (in diesem Fall befindet sich der Daumen in Richtung des unteren Vektors). Bildlich gesprochen „verdrehen“ oder orientieren diese Sockel den Raum nach innen verschiedene Seiten. Und dieses Konzept sollte nicht als weit hergeholt oder abstrakt angesehen werden - zum Beispiel ändert der gewöhnlichste Spiegel die Ausrichtung des Raums, und wenn Sie „das reflektierte Objekt aus dem Spiegel ziehen“, dann ist es das Allgemeiner Fall kann nicht mit dem Original verglichen werden. Übrigens, drei Finger zum Spiegel bringen und die Spiegelung analysieren ;-)

... wie gut es ist, dass Sie jetzt Bescheid wissen rechts und links orientiert Grundlagen, denn die Aussagen einiger Dozenten zum Orientierungswechsel sind furchtbar =)

Vektorprodukt kollinearer Vektoren

Die Definition wurde im Detail ausgearbeitet, es bleibt herauszufinden, was passiert, wenn die Vektoren kollinear sind. Wenn die Vektoren kollinear sind, dann können sie auf einer Geraden platziert werden und unser Parallelogramm „faltet“ sich auch zu einer Geraden. Der Bereich solcher, wie Mathematiker sagen, degenerieren Parallelogramm ist Null. Dasselbe folgt aus der Formel - dem Sinus von null oder 180 Grad Null, und somit ist die Fläche Null

Also, wenn, dann . Genau genommen ist es das Vektorprodukt selbst Nullvektor, aber in der Praxis wird dies oft vernachlässigt und geschrieben, dass es einfach gleich Null ist.

besonderer Fall ist das Kreuzprodukt eines Vektors und sich selbst:

Mit dem Kreuzprodukt können Sie die Kollinearität dreidimensionaler Vektoren überprüfen und diese Aufgabe unter anderem werden wir auch analysieren.

Für Lösungen praktische Beispiele wird vielleicht benötigt trigonometrische Tabelle daraus die Werte der Sinus zu finden.

Nun, lass uns ein Feuer machen:

Beispiel 1

a) Finden Sie die Länge des Vektorprodukts von Vektoren, wenn

b) Finden Sie die Fläche eines Parallelogramms, das auf Vektoren aufgebaut ist, wenn

Lösung: Nein, das ist kein Tippfehler, ich habe die Anfangsdaten in den Konditionspositionen absichtlich gleich gemacht. Denn das Design der Lösungen wird anders sein!

a) Gemäß der Bedingung ist es erforderlich, zu finden Länge Vektor (Vektorprodukt). Nach der entsprechenden Formel:

Antworten:

Da nach der Länge gefragt wurde, geben wir in der Antwort die Dimension - Einheiten an.

b) Gemäß der Bedingung ist es erforderlich, zu finden Quadrat Parallelogramm, das auf Vektoren aufgebaut ist. Die Fläche dieses Parallelogramms ist numerisch gleich der Länge des Kreuzprodukts:

Antworten:

Bitte beachten Sie, dass in der Antwort über das Vektorprodukt überhaupt nicht die Rede ist, nach der wir gefragt wurden Figurenbereich, die Dimension ist jeweils Quadrateinheiten.

Wir schauen immer, WAS von der Bedingung gefunden werden soll und formulieren darauf aufbauend klar Antworten. Es mag wie Wörtlichkeit erscheinen, aber unter den Lehrern gibt es genügend Literalisten, und die Aufgabe mit guten Chancen wird zur Überarbeitung zurückgegeben. Das ist zwar kein besonders angestrengter Spitzbub – ist die Antwort falsch, dann hat man den Eindruck, dass die Person nicht versteht einfache Dinge und / oder das Wesentliche der Aufgabe nicht verstanden haben. Dieser Moment muss immer unter Kontrolle gehalten werden, um jedes Problem zu lösen höhere Mathematik und auch in anderen Fächern.

Wo ist der große Buchstabe "en" geblieben? Im Prinzip könnte man die Lösung zusätzlich ankleben, aber um die Aufzeichnung zu verkürzen, habe ich das nicht gemacht. Ich hoffe jeder versteht das und ist die Bezeichnung gleich.

Beliebtes Beispiel zum unabhängige Lösung:

Beispiel 2

Finden Sie die Fläche eines Dreiecks, das auf Vektoren aufgebaut ist, wenn

Die Formel zum Ermitteln der Fläche eines Dreiecks durch das Vektorprodukt ist in den Kommentaren zur Definition angegeben. Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

In der Praxis ist die Aufgabe wirklich sehr verbreitet, Dreiecke können generell gequält werden.

Um andere Probleme zu lösen, benötigen wir:

Eigenschaften des Kreuzprodukts von Vektoren

Wir haben bereits einige Eigenschaften des Vektorprodukts betrachtet, aber ich werde sie in diese Liste aufnehmen.

Für beliebige Vektoren und eine beliebige Zahl gelten die folgenden Eigenschaften:

1) In anderen Informationsquellen wird dieser Punkt normalerweise nicht in den Eigenschaften hervorgehoben, ist aber sehr wichtig in in der Praxis. So lass es sein.

2) - Die Eigenschaft wird auch oben besprochen, manchmal wird sie genannt Antikommutativität. Mit anderen Worten, die Reihenfolge der Vektoren ist wichtig.

3) - Kombination oder assoziativ Vektorproduktgesetze. Die Konstanten lassen sich leicht aus den Grenzen des Vektorprodukts herausnehmen. Wirklich, was machen die da?

4) - Verteilung oder Verteilung Vektorproduktgesetze. Auch beim Öffnen von Klammern gibt es keine Probleme.

Betrachten Sie zur Demonstration ein kurzes Beispiel:

Beispiel 3

Finde wenn

Lösung: Als Bedingung ist es wieder erforderlich, die Länge des Vektorprodukts zu finden. Malen wir unsere Miniatur:

(1) Gemäß den Assoziativgesetzen entfernen wir die Konstanten jenseits der Grenzen des Vektorprodukts.

(2) Wir nehmen die Konstante aus dem Modul heraus, während das Modul das Minuszeichen „frisst“. Die Länge darf nicht negativ sein.

(3) Das Folgende ist klar.

Antworten:

Es ist Zeit, Holz ins Feuer zu werfen:

Beispiel 4

Berechnen Sie die Fläche eines Dreiecks, das auf Vektoren aufgebaut ist, wenn

Lösung: Finden Sie die Fläche eines Dreiecks mit der Formel . Der Haken ist, dass die Vektoren "ce" und "te" selbst als Summen von Vektoren dargestellt werden. Der Algorithmus hier ist Standard und erinnert etwas an die Beispiele Nr. 3 und 4 der Lektion. Skalarprodukt von Vektoren. Lassen Sie es uns zur Verdeutlichung in drei Schritte unterteilen:

1) Im ersten Schritt drücken wir das Vektorprodukt durch das Vektorprodukt aus, tatsächlich Drücken Sie den Vektor durch den Vektor aus. Noch kein Wort zur Länge!

(1) Wir ersetzen Ausdrücke von Vektoren .

(2) Unter Verwendung der Verteilungsgesetze öffnen Sie die Klammern gemäß der Regel der Multiplikation von Polynomen.

(3) Unter Verwendung der Assoziativgesetze entfernen wir alle Konstanten jenseits der Vektorprodukte. Mit wenig Erfahrung können die Aktionen 2 und 3 gleichzeitig durchgeführt werden.

(4) Der erste und der letzte Term sind aufgrund der angenehmen Eigenschaft gleich Null (Nullvektor). Im zweiten Term nutzen wir die Antikommutativitätseigenschaft des Vektorprodukts:

(5) Wir präsentieren ähnliche Bedingungen.

Als Ergebnis stellte sich heraus, dass der Vektor durch einen Vektor ausgedrückt wurde, was erreicht werden musste:

2) Im zweiten Schritt finden wir die Länge des benötigten Vektorprodukts. Diese Aktion erinnert an Beispiel 3:

3) Finden Sie die Fläche des gewünschten Dreiecks:

Die Schritte 2-3 der Lösung könnten in einer Zeile angeordnet werden.

Antworten:

Das betrachtete Problem ist ziemlich häufig in Kontrollarbeit, hier ein Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung:

Beispiel 5

Finde wenn

Schnelle Lösung und die Antwort am Ende der Lektion. Mal sehen, wie aufmerksam Sie beim Studium der vorherigen Beispiele waren ;-)

Kreuzprodukt von Vektoren in Koordinaten

, gegeben in der orthonormalen Basis , wird durch die Formel ausgedrückt:

Die Formel ist ganz einfach: Wir schreiben die Koordinatenvektoren in die oberste Zeile der Determinante, wir „packen“ die Koordinaten der Vektoren in die zweite und dritte Zeile und wir setzen in strenger Reihenfolge- zuerst die Koordinaten des Vektors "ve", dann die Koordinaten des Vektors "double-ve". Wenn die Vektoren in einer anderen Reihenfolge multipliziert werden müssen, sollten auch die Linien vertauscht werden:

Beispiel 10

Prüfen Sie, ob die folgenden Raumvektoren kollinear sind:
a)
b)

Lösung: Validierung basierend auf einer der Behauptungen diese Lektion: Wenn die Vektoren kollinear sind, dann ist ihr Vektorprodukt Null (Nullvektor): .

a) Finden Sie das Vektorprodukt:

Die Vektoren sind also nicht kollinear.

b) Finden Sie das Vektorprodukt:

Antworten: a) nicht kollinear, b)

Hier sind vielleicht alle grundlegenden Informationen über das Vektorprodukt von Vektoren.

Diese Abteilung wird nicht sehr groß sein, da es wenige Probleme gibt, wenn das gemischte Produkt von Vektoren verwendet wird. Tatsächlich wird alles auf der Definition, der geometrischen Bedeutung und einigen Arbeitsformeln beruhen.

Das Mischprodukt von Vektoren ist Produkt von drei Vektoren:

So stellen sie sich wie ein Zug an und warten, sie können es kaum erwarten, bis sie berechnet werden.

Erstmal nochmal Definition und Bild:

Definition: Mischprodukt nicht koplanar Vektoren , in dieser Reihenfolge aufgenommen, wird genannt Volumen des Parallelepipeds, die auf diesen Vektoren aufgebaut sind, versehen mit einem "+"-Zeichen, wenn die Basis rechts ist, und einem "-"-Zeichen, wenn die Basis links ist.

Machen wir die Zeichnung. Für uns unsichtbare Linien sind durch eine gepunktete Linie gezeichnet:

Tauchen wir ein in die Definition:

2) Vektoren genommen in einer bestimmten Reihenfolge, das heißt, die Permutation von Vektoren im Produkt bleibt, wie Sie sich vielleicht denken können, nicht ohne Folgen.

3) Bevor ich die geometrische Bedeutung kommentiere, stelle ich fest offensichtliche Tatsache: das gemischte Produkt von Vektoren ist eine ZAHL: . In der pädagogischen Literatur mag das Design etwas anders sein, ich habe früher ein Mischprodukt durch und das Ergebnis von Berechnungen mit dem Buchstaben "pe" bezeichnet.

Per Definition das Mischprodukt ist das Volumen des Parallelepipeds, aufgebaut auf Vektoren (die Figur ist mit roten Vektoren und schwarzen Linien gezeichnet). Das heißt, die Zahl ist gleich dem Volumen des gegebenen Parallelepipeds.

Notiz : Die Zeichnung ist schematisch.

4) Lassen Sie uns nicht noch einmal mit dem Konzept der Ausrichtung der Basis und des Raums weitermachen. Der letzte Teil hat die Bedeutung, dass der Lautstärke ein Minuszeichen hinzugefügt werden kann. In einfachen Worten, das Mischprodukt kann negativ sein: .

Die Formel zur Berechnung des Volumens eines auf Vektoren aufgebauten Parallelepipeds folgt direkt aus der Definition.

Definition Eine geordnete Menge von (x 1 , x 2 , ... , x n) n reale Nummern genannt n-dimensionaler Vektor, und die Zahlen x i (i = ) - Komponenten oder Koordinaten,

Beispiel. Wenn zum Beispiel ein bestimmtes Automobilwerk 50 Autos, 100 Lastwagen, 10 Busse, 50 Sätze von Ersatzteilen für Autos und 150 Sätze für Lastwagen und Busse, dann kann das Produktionsprogramm dieser Anlage als Vektor (50, 100, 10, 50, 150) mit fünf Komponenten geschrieben werden.

Notation. Vektoren sind fett markiert Kleinbuchstaben oder Buchstaben mit einem Balken oder Pfeil oben, zum Beispiel, a oder. Die beiden Vektoren werden aufgerufen gleich wenn sie haben die gleiche Nummer Komponente und ihre entsprechenden Komponenten sind gleich.

Vektorkomponenten sind nicht vertauschbar, z.B. (3, 2, 5, 0, 1) und (2, 3, 5, 0, 1) verschiedene Vektoren.
Operationen auf Vektoren. Arbeit x= (x 1 , x 2 , ... , x n) in eine reelle Zahlλ Vektor genanntλ x= (λ x 1 , λ x 2 , ... , λ x n).

Summex= (x 1 , x 2 , ... , x n) und j= (y 1 , y 2 , ... ,y n) heißt Vektor x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Der Raum der Vektoren. N -dimensionaler Vektorraum R n ist definiert als die Menge aller n-dimensionalen Vektoren, für die Operationen der Multiplikation mit durchgeführt werden reale Nummern und Zusatz.

Wirtschaftliche Darstellung. Eine ökonomische Darstellung eines n-dimensionalen Vektorraums: Raum der Ware (Waren). Unter Ware Wir werden eine Ware oder Dienstleistung verstehen, die zu einem bestimmten Zeitpunkt in zum Verkauf angeboten wurde bestimmter Ort. Angenommen, es gibt eine endliche Anzahl von verfügbaren Gütern n; Die vom Verbraucher jeweils gekauften Mengen sind durch eine Reihe von Waren gekennzeichnet

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

wobei x i die vom Verbraucher gekaufte Menge des i-ten Gutes bezeichnet. Wir nehmen an, dass alle Waren die Eigenschaft der beliebigen Teilbarkeit haben, sodass jede nicht negative Menge jeder von ihnen gekauft werden kann. Dann sind alle möglichen Gütermengen Vektoren des Güterraums C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x ich ≥ 0, ich = ).

Lineare Unabhängigkeit. System e 1 , e 2 , ... , e m n-dimensionale Vektoren genannt linear abhängig wenn es solche Zahlen gibtλ 1 , λ 2 , ... , λ m , von denen mindestens einer nicht Null ist, was die Gleichheit erfülltλ1 e 1 + λ2 e 2+...+λm e m = 0; sonst dieses System Vektoren heißt linear unabhängig, das heißt, diese Gleichheit ist nur dann möglich, wenn alle . geometrischen Sinn lineare Abhängigkeit Vektoren ein R 3 , interpretiert als gerichtete Segmente, erklären die folgenden Theoreme.

Satz 1. Ein aus einem einzigen Vektor bestehendes System ist genau dann linear abhängig, wenn dieser Vektor Null ist.

Satz 2. Damit zwei Vektoren linear abhängig sind, ist es notwendig und ausreichend, dass sie kollinear (parallel) sind.

Satz 3 . Damit drei Vektoren linear abhängig sind, ist es notwendig und ausreichend, dass sie koplanar sind (in derselben Ebene liegen).

Linkes und rechtes Tripel von Vektoren. Ein Tripel von nicht-koplanaren Vektoren a, b, c genannt Rechts, wenn der Beobachter von ihnen gemeinsamer Anfang Umgehen der Enden von Vektoren a, b, c in dieser Reihenfolge scheint im Uhrzeigersinn fortzufahren. Andernfalls a, b, c -links dreifach. Alle rechten (oder linken) Tripel von Vektoren werden aufgerufen gleichermaßen orientiert.

Basis und Koordinaten. Troika e 1, e 2 , e 3 nicht koplanare Vektoren in R 3 angerufen Basis, und die Vektoren selbst e 1, e 2 , e 3 - Basic. Beliebiger Vektor a ist in Bezug auf Basisvektoren eindeutig erweiterbar, d.h. in der Form darstellbar

a= x 1 e 1 + x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

die Zahlen x 1 , x 2 , x 3 in Erweiterung (1.1) genannt werden Koordinatena in grundlage e 1, e 2 , e 3 und sind bezeichnet a(x1, x2, x3).

Orthonormale Basis. Wenn die Vektoren e 1, e 2 , e 3 paarweise senkrecht stehen und die Länge von jedem von ihnen gleich eins ist, dann wird die Basis genannt orthonormal, und die Koordinaten x 1 , x 2 , x 3 - rechteckig. Die Basisvektoren einer orthonormalen Basis werden bezeichnet ich, j, k.

Wir werden das im Weltraum annehmen R 3 das rechte System kartesischer rechtwinkliger Koordinaten (0, ich, j, k}.

Vektorprodukt. Vektorgrafiken a pro Vektor b Vektor genannt c, die durch die folgenden drei Bedingungen bestimmt wird:

1. Vektorlänge c numerisch gleich der Fläche des auf den Vektoren aufgebauten Parallelogramms a und b, d.h.
c= |a||b| Sünde( a^b).

2. Vektor c senkrecht zu jedem der Vektoren a und b.

3. Vektoren a, b und c, in dieser Reihenfolge genommen, bilden ein rechtes Tripel.

Für Vektorprodukt c Die Bezeichnung wird eingeführt c=[ab] oder
c = a × b.

Wenn die Vektoren a und b kollinear sind, dann sin( a^b) = 0 und [ ab] = 0, insbesondere [ äh] = 0. Vektorprodukte von Orten: [ ij]=k, [jk] = ich, [Ki]=j.

Wenn die Vektoren a und b in der Grundlage angegeben ich, j, k Koordinaten a(ein 1 , ein 2 , ein 3), b(b 1 , b 2 , b 3), dann

Gemischte Arbeit. Ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren a und b Skalar multipliziert mit dem dritten Vektor c, dann heißt ein solches Produkt aus drei Vektoren Mischprodukt und ist mit dem Symbol gekennzeichnet a v. Chr.

Wenn die Vektoren ein, b und c in grundlage ich, j, k durch ihre Koordinaten festgelegt
a(ein 1 , ein 2 , ein 3), b(b 1 , b 2 , b 3), c(c 1 , c 2 , c 3), dann

.

Das gemischte Produkt hat eine einfache geometrische Interpretation - es ist laut ein Skalar absoluter Wert gleich dem Volumen des Parallelepipeds, das auf drei gegebenen Vektoren aufgebaut ist.

Wenn die Vektoren ein rechtes Tripel bilden, dann ist ihr gemischtes Produkt eine positive Zahl gleich dem angegebenen Volumen; wenn die drei a, b, c - dann links a b c<0 и V = - a b c, also V =|a b c|.

Die Koordinaten der in den Aufgaben des ersten Kapitels angetroffenen Vektoren werden als relativ zur rechten Orthonormalbasis angenommen. Einheitsvektor kodirektional zum Vektor a, durch das Symbol gekennzeichnet a um. Symbol r=Om bezeichnet durch den Radiusvektor des Punktes M, die Symbole a, AB bzw|a|, | AB |die Module von Vektoren sind bezeichnet a und AB.

Beispiel 1.2. Finde den Winkel zwischen Vektoren a= 2m+4n und b= m-n, wo m und n- Einheitsvektoren und Winkel dazwischen m und n gleich 120 o.

Lösung. Wir haben: cos φ = ab/ab, ab=(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2Mn=
= 2 - 4+2cos120 o = -2 + 2(-0,5) = -3; ein = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16Mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, also a = . b= ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2Mn+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, also b = . Endlich haben wir: cosφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 o.

Beispiel 1.3.Vektoren kennen AB(-3,-2,6) und BC(-2,4,4), berechne die Höhe AD des Dreiecks ABC.

Lösung. Wenn wir die Fläche des Dreiecks ABC mit S bezeichnen, erhalten wir:
S = 1/2 v. Chr. n. Chr. Dann AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, also der Vektor AC hat Koordinaten
. .

Beispiel 1.4 . Gegeben zwei Vektoren a(11,10,2) und b(4,0,3). Finde den Einheitsvektor c, orthogonal zu Vektoren a und b und so gerichtet, dass das geordnete Tripel von Vektoren a, b, c hatte Recht.

Lösung.Lassen Sie uns die Koordinaten des Vektors bezeichnen c in Bezug auf die gegebene rechte Orthonormalbasis in Bezug auf x, y, z.

Weil die c ⊥ a, c ⊥b, dann ca= 0, kb= 0. Durch die Bedingung des Problems ist es erforderlich, dass c = 1 und a b c >0.

Wir haben ein Gleichungssystem für Finden von x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Aus der ersten und zweiten Gleichung des Systems erhalten wir z = -4/3 x, y = -5/6 x. Setzen wir y und z in die dritte Gleichung ein, erhalten wir: x 2 = 36/125, woher
x=± . Bedingung verwenden a b c > 0 erhalten wir die Ungleichung

Unter Berücksichtigung der Ausdrücke für z und y schreiben wir die resultierende Ungleichung in die Form um: 625/6 x > 0, woraus folgt, dass x > 0. Also x = , y = - , z = - .

7.1. Definition von Kreuzprodukt

Drei nicht koplanare Vektoren a , b und c , in der angegebenen Reihenfolge genommen, bilden ein rechtes Tripel, wenn vom Ende des dritten Vektors c aus gesehen wird, dass die kürzeste Drehung vom ersten Vektor a zum zweiten Vektor b gegen den Uhrzeigersinn verläuft, und eine linke im Uhrzeigersinn (siehe Abb. 16).

Das Vektorprodukt eines Vektors a und eines Vektors b heißt Vektor c, der:

1. Senkrecht zu den Vektoren a und b, also c ^ a und c ^ b;

2. Es hat eine Länge, die numerisch gleich der Fläche des Parallelogramms ist, das auf den Vektoren a und aufgebaut istb wie an den Seiten (siehe Abb. 17), d.h.

3. Die Vektoren a , b und c bilden ein rechtes Tripel.

Das Vektorprodukt wird mit a x b oder [a,b] bezeichnet. Aus der Definition eines Vektorprodukts folgen die folgenden Beziehungen zwischen den Orten i direkt, j und k(siehe Abb. 18):

ich x j \u003d k, j x k \u003d ich, k x ich \u003d j.
Lassen Sie uns zum Beispiel das beweisen ich xj \u003d k.

1) k ^ ich , k ^ j;

2) |k |=1, aber | ich x j| = |i | |J| sin(90°)=1;

3) Vektoren i , j und k ein rechtes Tripel bilden (siehe Abb. 16).

7.2. Produktübergreifende Eigenschaften

1. Wenn die Faktoren umgestellt werden, ändert das Vektorprodukt das Vorzeichen, d. h. und xb \u003d (b xa) (siehe Abb. 19).

Die Vektoren a xb und b xa sind kollinear, haben die gleichen Module (die Fläche des Parallelogramms bleibt unverändert), sind aber entgegengesetzt gerichtet (Tripel a, b und xb und a, b, b x a mit entgegengesetzter Orientierung). Das ist axb = -(bxa).

2. Das Vektorprodukt hat assoziative Eigenschaft in Bezug auf einen Skalarfaktor, d.h. l ​​(a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b).

Sei l > 0. Der Vektor l (a xb) steht senkrecht auf den Vektoren a und b. Vektor ( l a) x b steht auch senkrecht auf den Vektoren a und b(Vektoren a, l aber in der gleichen Ebene liegen). Also die Vektoren l(a xb) und ( l a) x b kollinear. Es ist offensichtlich, dass ihre Richtungen übereinstimmen. Sie haben die gleiche Länge:

Deshalb l(ein xb)= l ein xb. Es wird ähnlich bewiesen für l<0.

3. Zwei Nicht-Null-Vektoren a und b sind genau dann kollinear, wenn ihr Vektorprodukt gleich dem Nullvektor ist, d.h. und ||b<=>und xb \u003d 0.

Insbesondere gilt i *i =j *j =k *k =0 .

4. Das Vektorprodukt hat eine Verteilungseigenschaft:

(a+b) xs = ein xs + b xs .

Akzeptiere ohne Beweis.

7.3. Kreuzproduktausdruck in Bezug auf Koordinaten

Wir verwenden die Vektorkreuzprodukttabelle i , j und k:

Wenn die Richtung des kürzesten Weges vom ersten zum zweiten Vektor mit der Pfeilrichtung übereinstimmt, ist das Produkt gleich dem dritten Vektor, wenn es nicht übereinstimmt, wird der dritte Vektor mit einem Minuszeichen genommen.

Seien zwei Vektoren a = a x i + a y j+az k und b=bx ich+durch j+bz k. Lassen Sie uns das Vektorprodukt dieser Vektoren finden, indem wir sie als Polynome multiplizieren (gemäß den Eigenschaften des Vektorprodukts):

Die resultierende Formel kann noch kürzer geschrieben werden:

da die rechte Seite von Gleichheit (7.1) der Erweiterung der Determinante dritter Ordnung in Bezug auf die Elemente der ersten Reihe entspricht, ist Gleichheit (7.2) leicht zu merken.

7.4. Einige Anwendungen des Kreuzprodukts

Kollinearität von Vektoren feststellen

Finden der Fläche eines Parallelogramms und eines Dreiecks

Gemäß der Definition des Kreuzprodukts von Vektoren a und B |a xb | =| ein | * |b |sing , d. h. Spar = |a x b |. Und daher D S \u003d 1/2 | a x b |.

Bestimmung des Kraftmoments um einen Punkt

An Punkt A soll eine Kraft aufgebracht werden F = AB Loslassen Ö- Irgendein Punkt im Raum (siehe Abb. 20).

Das ist aus der Physik bekannt Drehmoment F relativ zum Punkt Ö Vektor genannt M , die durch den Punkt geht Ö und:

1) senkrecht zur Ebene, die durch die Punkte geht O, A, B;

2) numerisch gleich dem Produkt aus Kraft und Schulter

3) bildet mit den Vektoren OA und A B ein rechtes Tripel.

Daher M \u003d OA x F.

Bestimmung der linearen Rotationsgeschwindigkeit

Geschwindigkeit v Punkt M eines mit Winkelgeschwindigkeit rotierenden starren Körpers w um eine feste Achse wird durch die Euler-Formel v \u003d w x r bestimmt, wobei r \u003d OM, wobei O ein fester Punkt der Achse ist (siehe Abb. 21).

Definition. Das Vektorprodukt eines Vektors a (Multiplikator) mit einem nicht kollinearen Vektor (Multiplikator) ist der dritte Vektor c (Produkt), der wie folgt aufgebaut ist:

1) sein Modul ist numerisch gleich der Fläche des Parallelogramms in Abb. 155), auf Vektoren aufgebaut, d.h. es ist gleich der Richtung senkrecht zur Ebene des erwähnten Parallelogramms;

3) In diesem Fall wird die Richtung des Vektors c (aus zwei möglichen) so gewählt, dass die Vektoren c ein rechtshändiges System bilden (§ 110).

Bezeichnung: bzw

Ergänzung zur Definition. Wenn die Vektoren kollinear sind und die Figur als (bedingtes) Parallelogramm betrachtet wird, ist es natürlich, eine Nullfläche zuzuweisen. Daher wird das Vektorprodukt kollinearer Vektoren als gleich dem Nullvektor betrachtet.

Da dem Nullvektor jede Richtung zugeordnet werden kann, widerspricht diese Konvention nicht den Punkten 2 und 3 der Definition.

Bemerkung 1. Im Begriff „Vektorprodukt“ weist das erste Wort darauf hin, dass das Ergebnis einer Aktion ein Vektor ist (im Gegensatz zu einem Skalarprodukt; vgl. § 104, Bemerkung 1).

Beispiel 1. Finden Sie das Vektorprodukt, wo die Hauptvektoren des rechten Koordinatensystems (Abb. 156).

1. Da die Längen der Hauptvektoren gleich der Skaleneinheit sind, ist die Fläche des Parallelogramms (Quadrat) numerisch gleich eins. Daher ist der Modul des Vektorprodukts gleich eins.

2. Da die Senkrechte zur Ebene die Achse ist, ist das gewünschte Vektorprodukt ein Vektor, der kollinear zum Vektor k ist; und da beide Modul 1 haben, ist das erforderliche Kreuzprodukt entweder k oder -k.

3. Von diesen beiden möglichen Vektoren muss der erste gewählt werden, da die Vektoren k ein rechtes System bilden (und die Vektoren ein linkes).

Beispiel 2. Finden Sie das Kreuzprodukt

Lösung. Wie in Beispiel 1 schließen wir daraus, dass der Vektor entweder k oder -k ist. Aber jetzt müssen wir -k wählen, da die Vektoren das rechte System bilden (und die Vektoren das linke). So,

Beispiel 3 Die Vektoren haben eine Länge von 80 bzw. 50 cm und bilden einen Winkel von 30°. Nimm einen Meter als Längeneinheit und bestimme die Länge des Vektorprodukts a

Lösung. Die Fläche eines auf Vektoren aufgebauten Parallelogramms ist gleich Die Länge des gewünschten Vektorprodukts ist gleich

Beispiel 4. Ermitteln Sie die Länge des Kreuzprodukts derselben Vektoren, indem Sie einen Zentimeter als Längeneinheit nehmen.

Lösung. Da die Fläche des auf Vektoren aufgebauten Parallelogramms gleich der Länge des Vektorprodukts ist, beträgt 2000 cm, d.h.

Der Vergleich der Beispiele 3 und 4 zeigt, dass die Länge des Vektors nicht nur von den Längen der Faktoren abhängt, sondern auch von der Wahl der Längeneinheit.

Die physikalische Bedeutung des Vektorprodukts. Von den vielen physikalischen Größen, die durch das Vektorprodukt dargestellt werden, betrachten wir nur das Moment der Kraft.

Sei A der Angriffspunkt der Kraft. Das Kraftmoment relativ zum Punkt O wird als Vektorprodukt bezeichnet. Da das Modul dieses Vektorprodukts numerisch gleich der Fläche des Parallelogramms ist (Abb. 157), Der Momentenmodul ist gleich dem Produkt aus Basis und Höhe, d. h. der Kraft multipliziert mit dem Abstand vom Punkt O zur geraden Linie, entlang der die Kraft wirkt.

In der Mechanik ist bewiesen, dass für das Gleichgewicht eines starren Körpers nicht nur die Summe der Vektoren, die die auf den Körper wirkenden Kräfte darstellen, sondern auch die Summe der Kraftmomente gleich Null sein muss. Wenn alle Kräfte parallel zu derselben Ebene sind, kann die Addition der Vektoren, die die Momente darstellen, durch die Addition und Subtraktion ihrer Beträge ersetzt werden. Aber für beliebige Kraftrichtungen ist eine solche Ersetzung unmöglich. Dementsprechend ist das Kreuzprodukt genau als Vektor und nicht als Zahl definiert.