Todennäköisyysteoria on matematiikan haara, joka tutkii satunnaisilmiöiden kuvioita: satunnaisia ​​tapahtumia, satunnaismuuttujia, niiden ominaisuuksia ja operaatioita niihin.

Pitkään aikaan todennäköisyysteorialla ei ollut selkeää määritelmää. Se muotoiltiin vasta vuonna 1929. Todennäköisyysteorian syntyminen tieteenä johtuu keskiajasta ja ensimmäisistä yrityksistä matemaattinen analyysi uhkapelit (heitto, noppaa, ruletti). ranskalaiset matemaatikot XVII vuosisadan Blaise Pascal ja Pierre Fermat tutkivat voittojen ennustetta uhkapelaaminen, löysi ensimmäiset todennäköisyysmallit, jotka syntyvät noppaa heittäessä.

Todennäköisyysteoria syntyi tieteenä uskosta, että tietyt mallit ovat satunnaisten massatapahtumien taustalla. Todennäköisyysteoria tutkii näitä malleja.

Todennäköisyysteoriassa tutkitaan tapahtumia, joiden toteutumista ei tiedetä varmasti. Sen avulla voit arvioida joidenkin tapahtumien todennäköisyyden astetta verrattuna muihin.

Esimerkiksi: on mahdotonta yksiselitteisesti määrittää lopputulosta "päiden" tai "häntien" menettämisestä kolikon heittämisen seurauksena, mutta useilla heitoilla noin sama numero päät ja hännät, mikä tarkoittaa, että on 50 %:n mahdollisuus saada päätä tai häntää.

testata tässä tapauksessa kutsutaan tietyn ehtojoukon toteuttamista, eli sisään Tämä tapaus kolikonheitto. Haaste voidaan pelata rajattoman monta kertaa. Tässä tapauksessa ehtokompleksi sisältää satunnaisia ​​tekijöitä.

Testin tulos on tapahtuma. Tapahtuma tapahtuu:

1. Luotettava (tapahtuu aina testauksen tuloksena).
2. Mahdotonta (ei koskaan tapahdu).
3. Satunnainen (voi tapahtua tai ei tapahdu testin tuloksena).

Esimerkiksi heittäessäsi kolikkoa mahdoton tapahtuma- kolikko on reunalla, satunnainen tapahtuma - "pään" tai "häntän" menetys. Tarkka testitulos on ns alkeistapahtuma. Testin tuloksena tapahtuu vain alkeellisia tapahtumia. Kutsutaan kaikkien mahdollisten, erilaisten, spesifisten testitulosten kokonaisuutta alkeistapahtumatila.

Teorian peruskäsitteet

Todennäköisyys- tapahtuman todennäköisyysaste. Kun syyt jonkin mahdollisen tapahtuman tosiasialliseen toteutumiseen ovat suuremmat kuin päinvastaiset syyt, tätä tapahtumaa kutsutaan todennäköiseksi, muuten - epätodennäköiseksi tai epätodennäköiseksi.

Satunnainen arvo- tämä on arvo, joka testin tuloksena voi saada yhden tai toisen arvon, eikä tiedetä etukäteen, mikä. Esimerkiksi: paloasemien lukumäärä päivässä, osumien määrä 10 laukauksella jne.

Satunnaismuuttujat voidaan jakaa kahteen luokkaan.

1. Diskreetti satunnaismuuttuja kutsutaan sellaiseksi arvoksi, joka testin tuloksena voi ottaa tiettyjä arvoja tietyllä todennäköisyydellä muodostaen laskettavan joukon (joukon, jonka alkiot voidaan numeroida). Tämä sarja voi olla joko äärellinen tai ääretön. Esimerkiksi laukausten määrä ennen ensimmäistä osumaa kohteeseen on diskreetti satunnaismuuttuja, koska tämä arvo voi saada äärettömän, vaikkakin laskettavissa olevan määrän arvoja.
2. Jatkuva satunnaismuuttuja on sellainen suure, joka voi ottaa minkä tahansa arvon jostakin äärellisestä tai äärettömästä intervallista. On selvää, että jatkuvan satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen määrä on ääretön.

Todennäköisyysavaruus- käsite, jonka esitteli A.N. Kolmogorov XX vuosisadan 30-luvulla virallistaakseen todennäköisyyden käsitteen, joka johti nopea kehitys todennäköisyysteoria tiukkana matemaattisena tieteenalana.

Todennäköisyysavaruus on kolmiosa (joskus kehystettynä kulmasuluissa: , missä

Tämä on mielivaltainen joukko, jonka elementtejä kutsutaan alkeistapahtumiksi, tuloksiksi tai pisteiksi;
- (satunnaisiksi) kutsuttujen osajoukkojen sigma-algebra;
- todennäköisyysmitta tai todennäköisyys, ts. sigma-additiivinen äärellinen mitta siten, että .

De Moivre-Laplacen lause- yksi todennäköisyysteorian rajoittavista lauseista, jonka Laplace perusti vuonna 1812. Hän toteaa, että onnistumisten määrä saman satunnaisen kokeen toistamisessa kahdella mahdollisella tuloksella jakautuu likimäärin normaalisti. Sen avulla voit löytää likimääräisen todennäköisyyden arvon.

Jos kussakin riippumattomassa kokeessa jonkin satunnaisen tapahtuman esiintymistodennäköisyys on yhtä suuri kuin () ja on niiden kokeiden lukumäärä, joissa se todella tapahtuu, niin epäyhtälön pätevyyden todennäköisyys on lähellä (suurilla ) Laplacen integraalin arvoon.

Jakaumafunktio todennäköisyysteoriassa- funktio, joka luonnehtii satunnaismuuttujan tai satunnaisvektorin jakaumaa; todennäköisyys, että satunnainen arvo X saa arvon, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin x, missä x on mielivaltainen oikea numero. Tietyissä olosuhteissa se määrittää täysin satunnaismuuttujan.

Odotettu arvo- satunnaismuuttujan keskiarvo (tämä on todennäköisyysteoriassa huomioitu satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma). Englanninkielisessä kirjallisuudessa se on merkitty venäjäksi -. Tilastoissa merkintää käytetään usein.

Olkoon todennäköisyysavaruus ja sille määritelty satunnaismuuttuja annettu. Se on määritelmän mukaan mitattavissa oleva funktio. Sitten, jos on olemassa Lebesguen integraali yli avaruudessa, sitä kutsutaan matemaattiseksi odotukseksi tai keskiarvoksi, ja sitä merkitään .

Satunnaismuuttujan varianssi- tietyn satunnaismuuttujan hajoamisen mitta, eli sen poikkeama matemaattisesta odotuksesta. Nimetty venäläisessä ja ulkomaisessa kirjallisuudessa. Tilastoissa käytetään usein nimitystä tai. Neliöjuuri varianssia kutsutaan keskihajonnaksi, keskihajonnaksi tai standardihajotukseksi.

Antaa olla satunnaismuuttuja määritelty joissakin todennäköisyysavaruus. Sitten

missä symboli tarkoittaa odotettu arvo.

Todennäköisyysteoriassa kaksi satunnaisia ​​tapahtumia nimeltään riippumaton jos toisen esiintyminen ei muuta toisen esiintymisen todennäköisyyttä. Samalla tavalla kutsutaan kahta satunnaismuuttujaa riippuvainen jos yhden arvo vaikuttaa toisen arvojen todennäköisyyteen.

Yksinkertaisin lain muoto suuria lukuja- tämä on Bernoullin lause, jossa todetaan, että jos tapahtuman todennäköisyys on sama kaikissa kokeissa, niin kokeiden lukumäärän kasvaessa tapahtuman esiintymistiheys pyrkii tapahtuman todennäköisyyteen ja lakkaa olemasta satunnainen.

Todennäköisyysteorian suurten lukujen laki sanoo, että kiinteän jakauman äärellisen otoksen aritmeettinen keskiarvo on lähellä tuon jakauman teoreettista keskiarvoa. Konvergenssin tyypistä riippuen erotetaan suurten lukujen heikko laki, kun tapahtuu todennäköisyyskonvergenssi, ja vahva suurten lukujen laki, kun konvergenssi tapahtuu lähes varmasti.

Suurten lukujen lain yleinen merkitys - yhteinen toiminta suuri numero identtiset ja riippumattomat satunnaistekijät johtavat tulokseen, joka ei riipu rajan tapauksesta.

Tähän ominaisuuteen perustuvat menetelmät todennäköisyyden arvioimiseksi äärellisen näytteen analyysiin perustuen. hyvä esimerkki on vaalitulosten ennuste, joka perustuu äänestäjien otoksesta tehtyyn kyselyyn.

Keskirajalauseet- todennäköisyysteorian lauseiden luokka, joka väittää, että riittävän suuren määrän heikosti riippuvaisia ​​satunnaismuuttujia, joilla on suunnilleen sama mittakaava (mikään termeistä ei hallitse, ei vaikuta summaan ratkaisevasti) jakauma on lähellä normaali.

Koska monet sovellusten satunnaismuuttujat muodostuvat useiden heikosti riippuvien satunnaistekijöiden vaikutuksesta, niiden jakautumista pidetään normaalina. Tässä tapauksessa on huomioitava ehto, että mikään tekijöistä ei ole hallitseva. Keskirajalauseet oikeuttavat näissä tapauksissa normaalijakauman soveltamisen.

Luku 6. Satunnaismuuttujien tyypilliset jakautumislait ja numeeriset ominaisuudet

Funktioiden F(x), p(x) muotoa tai laskentaa p(x i) kutsutaan satunnaismuuttujan jakautumislakiksi. Vaikka satunnaismuuttujia voidaan kuvitella äärettömästi, jakautumislakeja on paljon vähemmän. Ensinnäkin eri satunnaismuuttujilla voi olla täsmälleen samat jakautumislait. Esimerkki: Olkoon y vain 2 arvoa 1 ja -1 todennäköisyyksillä 0,5; arvolla z = -y on täsmälleen sama jakautumislaki.
Toiseksi, hyvin usein satunnaismuuttujilla on samanlaiset jakautumislait, eli esimerkiksi p(x) niille ilmaistaan ​​samanmuotoisilla kaavoilla, jotka eroavat vain yhden tai useamman vakion osalta. Näitä vakioita kutsutaan jakaumaparametreiksi.

Vaikka periaatteessa eniten erilaisia ​​lakeja jakelua, tässä tarkastellaan joitain tyypillisimpiä lakeja. On tärkeää kiinnittää huomiota olosuhteisiin, joissa ne syntyvät, näiden jakaumien parametreihin ja ominaisuuksiin.

yksi . Virka-asujen jakelu
Tämä on satunnaismuuttujan jakauman nimi, joka voi saada minkä tahansa arvot välillä (a,b), ja todennäköisyys putoaa mihin tahansa segmenttiin (a,b) sisällä on verrannollinen segmentin pituuteen ja ei riipu sen sijainnista, ja arvojen (a,b ) ulkopuolella olevien arvojen todennäköisyys on yhtä suuri kuin 0.

Kuva 6.1 Tasaisen jakautumisen funktio ja tiheys

Jakaumaparametrit: a , b

2. Normaalijakauma
Jakauma tiheydellä kuvattu kaavalla

(6.1)

kutsutaan normaaliksi.
Jakaumaparametrit: a , σ

Kuva 6.2 Tyypillinen näkymä tiheys- ja normaalijakaumafunktiosta

3. Bernoullin jakelu
Jos tehdään sarja riippumattomia kokeita, joissa jokaisessa tapahtumassa A voi esiintyä samalla todennäköisyydellä p, niin tapahtuman esiintymismäärä on Bernoullin lain tai binomiaalilain mukaan jakautunut satunnaismuuttuja. (toinen jakelunimi).

Tässä n on sarjan kokeiden lukumäärä, m on satunnaismuuttuja (tapahtuman A esiintymisten lukumäärä), P n (m) on todennäköisyys, että A tapahtuu täsmälleen m kertaa, q \u003d 1 - p ( todennäköisyys, että A ei näy testissä ).

Esimerkki 1: Noppia heitetään 5 kertaa, mikä on todennäköisyys, että noppaa heitetään kahdesti?
n = 5, m = 2, p = 1/6, q = 5/6

Jakaumaparametrit: n, p

neljä . Poisson-jakauma
Poisson-jakauma saadaan Bernoullin jakauman rajatapauksena, jos p pyrkii nollaan ja n pyrkii äärettömyyteen, mutta siten, että niiden tulo pysyy vakiona: nр = a. Muodollisesti sellainen kulku rajalle johtaa kaavaan

Jakeluparametri: a

Poisson-jakauma on monien satunnaismuuttujien alainen tieteessä ja käytännön elämässä.

Esimerkki 2: Ambulanssiasemalle vastaanotettujen puheluiden määrä tunnissa.
Jaetaan aikaväli T (1 tunti) pieniin aikaväleihin dt siten, että kahden tai useamman kutsun vastaanottamisen todennäköisyys dt:n aikana on mitätön ja yhden kutsun todennäköisyys p on verrannollinen dt:hen: p = μdt ;
katsomme havainnon hetkien dt aikana itsenäisinä kokeina, tällaisten kokeiden lukumäärä aikana T: n = T / dt;
jos oletetaan, että puheluiden vastaanottamisen todennäköisyys ei muutu tunnin aikana, niin kokonaismäärä kutsu noudattaa Bernoullin lakia parametrein: n = T / dt, p = μdt. Kun dt pyrkii olemaan nolla, saadaan, että n pyrkii äärettömyyteen, ja tulo n × p pysyy vakiona: a = n × p = μT.

Esimerkki 3: molekyylien lukumäärä ihanteellinen kaasu jossain kiinteässä volyymissa V.
Jaetaan tilavuus V pieniin tilavuuksiin dV siten, että todennäköisyys löytää kaksi tai useampi molekyyli dV:ssä on mitätön ja yhden molekyylin löytämisen todennäköisyys on verrannollinen dV:hen: р = μdV; harkitsemme kunkin tilavuuden dV havaintoa riippumaton testi, tällaisten testien lukumäärä n = V/dV; jos oletetaan, että todennäköisyydet löytää molekyyli missä tahansa V:n sisällä ovat samat, molekyylien kokonaismäärä tilavuudessa V noudattaa Bernoullin lakia parametrein: n = V / dV, p = μdV. Antamalla dV:n taipua nollaan, saadaan, että n pyrkii äärettömyyteen, ja tulo n × p pysyy vakiona: a = n × p = μV.

Satunnaismuuttujien numeeriset ominaisuudet

yksi . Matemaattinen odotus (keskiarvo)

Määritelmä:
Matemaattinen odotus on
  (6.4)

Summaan otetaan kaikki satunnaismuuttujan saamat arvot. Sarjan on oltava ehdottoman konvergentti (muuten satunnaismuuttujalla ei sanota olevan matemaattista odotusta)

;   (6.5)

Integraalin on oltava ehdottoman konvergentti (muuten satunnaismuuttujalla ei sanota olevan odotusarvoa)

Matemaattisen odotuksen ominaisuudet:

a. Jos kanssa - vakio, niin MS = C
b. Mx = Smx
c. Satunnaismuuttujien summan matemaattinen odotus on aina yhtä suuri kuin niiden matemaattisten odotusten summa: М(х+y) = Мх + Мy d . Esitetään ehdollisen matemaattisen odotuksen käsite. Jos satunnaismuuttuja saa arvonsa x i eri todennäköisyyksillä p(x i /H j) erilaisia ​​ehtoja H j , niin ehdollinen odotusarvo määritetään

Miten tai ;   (6.6)

Jos tapahtumien H j todennäköisyydet tunnetaan, täydellinen

odotettu arvo: ;   (6.7)

Esimerkki 4: Kuinka monta kertaa keskimäärin sinun täytyy heittää kolikkoa ennen kuin ensimmäinen vaakuna ilmestyy? Tämä ongelma voidaan ratkaista "otsassa"

x i	1 2 3 ... k...
p(x i) :		,

mutta tämä summa on vielä laskettava. Voit tehdä sen helpommin käyttämällä ehdollisen ja täyden matemaattisen odotuksen käsitteitä. Harkitse hypoteeseja H 1 - vaakuna putosi ensimmäistä kertaa, H 2 - se ei pudonnut ensimmäisellä kerralla. Ilmeisesti p (H 1) \u003d p (H 2) \u003d ½; Mx / H1 \u003d 1;
Mx / H 2 on 1 enemmän kuin haluttu täysi odotus, koska Ensimmäisen kolikonheiton jälkeen tilanne ei ole muuttunut, mutta kun se on jo heitetty. Täyden matemaattisen odotuksen kaavaa käyttämällä meillä on Mx \u003d Mx / H 1 × p (H 1) + Mx / H 2 × p (H 2) \u003d 1 × 0,5 + (Mx + 1) × 0,5, ratkaiseva Mx:n yhtälöstä saamme välittömästi Mx = 2.

e. Jos f(x) on satunnaismuuttujan x funktio, niin satunnaismuuttujan funktion matemaattisen odotuksen käsite määritellään:

Diskreetille satunnaismuuttujalle: ;   (6.8)

Summaan otetaan kaikki satunnaismuuttujan saamat arvot. Sarjan on oltava täysin konvergentti.

Jatkuvalle satunnaismuuttujalle: ;   (6.9)

Integraalin on oltava ehdottoman konvergentti.

2. Satunnaismuuttujan varianssi
Määritelmä:
Satunnaismuuttujan x dispersio on suuren arvon neliöidyn poikkeaman matemaattinen odotus sen matemaattisesta odotuksesta: Dx = M(x-Mx) 2

Diskreetille satunnaismuuttujalle: ;   (6.10)

Summaan otetaan kaikki satunnaismuuttujan saamat arvot. Sarjan on oltava konvergentti (muuten satunnaismuuttujalla ei sanota olevan varianssia)

Jatkuvalle satunnaismuuttujalle: ;   (6.11)

Integraalin tulee konvergoida (muuten satunnaismuuttujalla ei sanota olevan varianssia)

Dispersioominaisuudet:
a. Jos C on vakioarvo, niin DC = 0
b. DСх = С 2 Dх
c. Satunnaismuuttujien summan varianssi on aina yhtä suuri kuin niiden varianssien summa vain, jos nämä muuttujat ovat riippumattomia (riippumattomien muuttujien määritelmä)
d. Varianssin laskemiseen on kätevää käyttää kaavaa:

Dx = Mx 2 - (Mx) 2 (6,12)

Numeeristen ominaisuuksien suhde
ja tyypillisten jakaumien parametrit

jakelu	vaihtoehtoja	kaava	Mx	Dx
yhtenäinen	a, b		(b+a) / 2	(b-a) 2/12
normaali	a, σ		a	σ2
Bernoulli	n, s		np	npq
Poisson	a		a	a

Käytännössä useimpiin satunnaismuuttujiin vaikuttavat suuri määrä satunnaisia ​​tekijöitä, tottele normaali laki todennäköisyysjakaumat. Siksi tämä laki on erityisen tärkeä todennäköisyysteorian eri sovelluksissa.

Satunnaismuuttuja $X$ noudattaa normaalia todennäköisyysjakauman lakia, jos sen todennäköisyysjakauman tiheys on seuraavanlainen

$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$

Kaavamaisesti funktion $f\left(x\right)$ käyrä on esitetty kuvassa ja sen nimi on "Gaussin käyrä". Tämän grafiikan oikealla puolella on Saksan 10 markan seteli, joka oli käytössä jo ennen euron käyttöönottoa. Jos katsot tarkasti, näet Gaussin käyrän ja sen löytäjän tässä setelissä suurin matemaatikko Carl Friedrich Gauss.

Palataan tiheysfunktioomme $f\left(x\right)$ ja selitetään jakaumaparametreja $a,\ (\sigma )^2$. Parametri $a$ luonnehtii satunnaismuuttujan arvojen hajontakeskusta, eli sillä on matemaattisen odotuksen merkitys. Kun parametri $a$ muuttuu ja parametri $(\sigma )^2$ pysyy muuttumattomana, voidaan havaita funktion $f\left(x\right)$ kaavion siirtyminen abskissa-akselia pitkin, kun taas tiheys graafi itsessään ei muuta muotoaan.

Parametri $(\sigma )^2$ on varianssi ja kuvaa tiheyskäyrän $f\left(x\right)$ muotoa. Kun parametria $(\sigma )^2$ muutetaan parametrilla $a$ muuttumattomana, voidaan havaita, kuinka tiheyskäyrä muuttaa muotoaan kutistuen tai venymättä, mutta ei siirry abskissaa pitkin.

Todennäköisyys, että normaalijakautuma satunnaismuuttuja putoaa tietylle välille

Kuten tiedetään, todennäköisyys, että satunnaismuuttuja $X$ osuu väliin $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ voidaan laskea $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

Tässä funktio $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ on Laplace-toiminto. Tämän funktion arvot on otettu . Seuraavat funktion $\Phi \left(x\right)$ ominaisuudet voidaan huomioida.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, eli funktio $\Phi \left(x\oikea)$ on pariton.

2 . $\Phi \left(x\right)$ on monotonisesti kasvava funktio.

3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0.5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ vasen(x\oikea)\ )=-0,5$.

Voit laskea $\Phi \left(x\right)$-funktion arvot myös Excel-paketin ohjatun $f_x$-funktion avulla: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left (x;0;1;1\oikea )-0,5 $. Lasketaan esimerkiksi funktion $\Phi \left(x\right)$ arvot arvolle $x=2$.

Todennäköisyys, että normaalijakautuma satunnaismuuttuja $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\oikea)$ putoaa odotukseen $a$ nähden symmetriseen intervalliin, voidaan laskea kaavalla

$$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

Kolmen sigman sääntö. On käytännössä varmaa, että normaalijakautuma satunnaismuuttuja $X$ osuu väliin $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$.

Esimerkki 1 . Satunnaismuuttuja $X$ on normaalin todennäköisyysjakauman lain alainen parametreilla $a=2,\ \sigma =3$. Selvitä todennäköisyys, että $X$ osuu väliin $\left(0,5;1\right)$ ja todennäköisyys, että epäyhtälö $\left|X-a\right|< 0,2$.

Käyttämällä kaavaa

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

etsi $P\left(0,5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0,5-2)\ yli (3))\oikea)=\Phi \vasen(-0.33\oikea)-\Phi \vasen(-0.5\oikea)=\Phi \vasen(0.5\oikea)-\Phi \vasen(0.33\oikea) =0,191-0,129=0,062 dollaria.

$$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

Esimerkki 2 . Oletetaan, että vuoden aikana tietyn yrityksen osakkeiden hinta on normaalin lain mukaan jakautunut satunnaismuuttuja, jonka matemaattinen odotus on 50 tavanomaista rahayksikköä ja keskihajonna 10. Mikä on todennäköisyys, että satunnaisella Keskustelujakson valittuna päivänä osakkeen hinta on:

a) yli 70 tavanomaista rahayksikköä?

b) alle 50 per osake?

c) 45-58 ehdollinen rahayksiköt per osake?

Olkoon satunnaismuuttuja $X$ jonkin yrityksen osakkeiden hinta. Ehdolla $X$ on normaalijakauman alainen parametreilla $a=50$ - matemaattinen odotus, $\sigma =10$ - keskihajonta. Todennäköisyys $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$a)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ yli (10))\oikea)=0,5-\Phi \vasen(2\oikea)=0,5-0,4772=0,0228.$$

$$b)\ P\left(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$c)\ P\left(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

Eksoottisista nimistä huolimatta yleiset jakaumat liittyvät toisiinsa melko intuitiivisesti ja mielenkiintoisia tapoja joiden avulla on helppo muistaa ne ja puhua niistä luottavaisesti. Jotkut seuraavat luonnollisesti esimerkiksi Bernoullin jakaumasta. Aika näyttää kartta näistä yhteyksistä.

Jokaista jakaumaa havainnollistetaan esimerkillä sen jakautumistiheysfunktiosta (DDF). Tämä artikkeli käsittelee vain niitä jakaumia, joiden tulokset ovat − yksittäisiä numeroita. Siksi, vaaka-akseli jokainen kaavio on joukko mahdollisia lukuja ja tuloksia. Pysty - kunkin tuloksen todennäköisyys. Jotkut jakaumat ovat diskreettejä – niiden tulosten on oltava kokonaislukuja, kuten 0 tai 5. Nämä on osoitettu harvoilla viivoilla, yksi kullekin tulokselle, jonka korkeus vastaa tämän tuloksen todennäköisyyttä. Jotkut ovat jatkuvia, niiden tulokset voivat kestää mitä tahansa numeerinen arvo, kuten -1,32 tai 0,005. Nämä esitetään tiheinä käyrinä, joiden todennäköisyydet kuvaavien käyrän osuuksien alla on alueita. Viivojen korkeuksien ja käyrien alla olevien pintojen summa on aina 1.

Tulosta se, leikkaa katkoviivaa pitkin ja kanna sitä mukaasi lompakossasi. Tämä on oppaasi jakelumaahan ja niiden sukulaisiin.

Bernoulli ja univormu

Olet jo tavannut yllä olevan Bernoulli-jakauman kahdella tuloksella - päät tai hännät. Kuvittele se nyt jakaumana 0:n ja 1:n välillä, 0 on päitä ja 1 on häntää. Kuten on jo selvää, molemmat tulokset ovat yhtä todennäköisiä, ja tämä näkyy kaaviossa. Bernoulli PDF sisältää kaksi riviä sama korkeus edustavat kahta yhtä todennäköistä lopputulosta: 0 ja 1, vastaavasti.

Bernoullin jakauma voi myös edustaa epätasa-arvoisia tuloksia, kuten väärän kolikon heittämistä. Tällöin päiden todennäköisyys ei ole 0,5, vaan jokin muu arvo p, ja pyrstöjen todennäköisyys on 1-p. Kuten monet muut jakaumat, se on itse asiassa koko perhe jakaumia tietyillä parametreilla, kuten p yllä. Kun ajattelet "Bernoulli" - ajattele "(mahdollisesti väärän) kolikon heittämistä."

Siksi erittäin pieni askel ennen jakauman esittämistä useiden yhtäläisten todennäköisten tulosten kesken: tasainen jakauma, jolle on ominaista tasainen PDF. Edustaa oikeaa noppaa. Hänen tuloksensa 1-6 ovat yhtä todennäköisiä. Se voidaan asettaa mille tahansa määrälle tuloksia n ja jopa jatkuvana jakaumana.

ajatella virka-asujen jakelu"oikeana nopana".

Binomiaalinen ja hypergeometrinen

Binomijakaumaa voidaan ajatella niiden asioiden tulosten summana, jotka seuraavat Bernoullin jakaumaa.

Heitä rehellistä kolikkoa kahdesti – kuinka monta kertaa se on päätä? Tämä on luku, joka noudattaa binomijakaumaa. Sen parametrit ovat n, kokeiden lukumäärä ja p on "onnistumisen" todennäköisyys (tapauksessamme päät tai 1). Jokainen heitto on Bernoullin jaettu tulos tai testi. Käytä binomijakaumaa laskettaessa onnistumisia esimerkiksi kolikon heittämisessä, jossa jokainen heitto on riippumaton muista ja niillä on sama onnistumisen todennäköisyys.

Tai kuvittele uurna, jossa on sama määrä valkoisia ja mustia palloja. Sulje silmäsi, vedä pallo ulos, kirjoita sen väri muistiin ja palauta se takaisin. Toistaa. Kuinka monta kertaa musta pallo on vedetty? Tämä luku noudattaa myös binomijakaumaa.

Tämä outo tilanne Olemme ottaneet käyttöön hypergeometrisen jakauman merkityksen ymmärtämisen helpottamiseksi. Tämä on saman luvun jakauma, mutta tilanteessa, jossa me ei palauta pallot. Se varmasti serkku binomiaalinen jakauma, mutta ei sama, koska onnistumisen todennäköisyys muuttuu jokaisen vedetyn pallon myötä. Jos pallojen määrä on riittävän suuri vetojen määrään verrattuna, nämä jakaumat ovat lähes samat, koska onnistumisen mahdollisuus muuttuu hyvin vähän jokaisen arvonnan yhteydessä.

Kun joku puhuu pallojen vetämisestä uurneista palauttamatta, on melkein aina turvallista sanoa "kyllä, hypergeometrinen jakauma", koska en ole elämässäni vielä tavannut ketään, joka todella täyttäisi uurnat palloilla ja sitten ottaisi ne pois ja palauttaisi. , tai päinvastoin. Minulla ei ole edes ystäviä, joilla on uurnat. Vielä useammin tämän jakauman pitäisi tulla esiin, kun valitaan otokseksi merkittävä osajoukko jostain yleisestä populaatiosta.

Merkintä. käännös

Tämä ei ehkä ole kovin selkeää, mutta koska opetusohjelma ja pikakurssi aloittelijoille, se olisi tarpeen selittää. Väestö on asia, jota haluamme arvioida tilastollisesti. Arvioimiseksi valitsemme tietyn osan (osajoukon) ja teemme siitä vaaditun arvion (silloin tätä osajoukkoa kutsutaan otokseksi) olettaen, että estimaatti on samanlainen koko populaatiolle. Mutta jotta tämä olisi totta, otoksen osajoukon määrittelyyn tarvitaan usein lisärajoituksia (tai päinvastoin, tunnetusta otoksesta meidän on arvioitava, kuvaako se populaatiota riittävän tarkasti).

Käytännön esimerkki - meidän on valittava edustajat 100 hengen yrityksestä matkustamaan E3: lle. Tiedetään, että 10 ihmistä on matkustanut siinä jo viime vuonna (mutta ketään ei tunnisteta). Kuinka paljon vähimmäismäärää pitäisi ottaa, jotta ryhmässä olisi suurella todennäköisyydellä ainakin yksi kokenut toveri? Tässä tapauksessa väestö- 100, valinta - 10, valintavaatimukset - vähintään yksi jo E3:lle matkustanut.

Wikipediassa on vähemmän hauska, mutta käytännöllisempi esimerkki viallisista osista erässä.

poisson

Entä soittavien asiakkaiden määrä vihjelinja tekniseen tukeen joka minuutti? Tämä on tulos, jonka jakauma on ensi silmäyksellä binomiaalinen, jos tarkastellaan jokaista sekuntia Bernoulli-kokeena, jonka aikana asiakas joko ei soita (0) tai soittaa (1). Mutta sähkönjakeluorganisaatiot tietävät erittäin hyvin: kun sähköt katkaistaan, kaksi ihmistä voi soittaa sekunnissa. tai jopa yli sata ihmisistä. Sen esittäminen 60 000 millisekunnin kokeiluina ei myöskään auta - kokeiluja on enemmän, puhelun todennäköisyys millisekunnissa on pienempi, vaikka et laskeisi kahta tai useampaa yhtä aikaa, mutta teknisesti tämä ei silti ole Bernoullin testi. Looginen päättely toimii kuitenkin äärettömyyteen siirtymisen kanssa. Mennään n äärettömyyteen ja p arvoon 0, jolloin np on vakio. Se on kuin jakaminen pienempiin ja pienempiin ajan osiin, jolloin puhelun mahdollisuus vähenee. Rajassa saamme Poisson-jakauman.

Aivan kuten binomijakauma, Poisson-jakauma on määräjakauma: kuinka monta kertaa jotain tapahtuu. Sitä ei parametrisoida todennäköisyydellä p ja kokeiden lukumäärällä n, vaan keskimääräisellä intensiteetillä λ, joka analogisesti binomin kanssa on yksinkertaisesti vakioarvo n.p. Poisson-jakauma on mitä tarpeellista muista, kun on kyse tapahtumien laskemisesta tietty aika annetulla vakiointensiteetillä.

Kun esimerkiksi paketteja saapuu reitittimeen tai asiakkaita ilmestyy kauppaan tai jotain odottaa jonossa, ajattele Poissonia.

Geometrinen ja negatiivinen binomi

From yksinkertaisia ​​testejä Bernoulli näyttää toiselta jakelulta. Kuinka monta kertaa kolikko nousee pyrstöön ennen kuin se nousee ylös? Hänntien lukumäärä noudattaa geometrista jakaumaa. Kuten Bernoullin jakauma, se parametroidaan onnistuneen lopputuloksen todennäköisyydellä, s. Sitä ei parametroi luku n, kokeiden lukumäärä, koska epäonnistuneiden kokeiden määrä on juuri tulos.

Jos binomijakauma on "kuinka monta menestystä", niin geometrinen jakauma on "Kuinka monta epäonnistumista ennen menestystä?".

Negatiivinen binomijakauma on yksinkertainen yleistys edellisestä. Tämä on epäonnistumisten lukumäärä ennen kuin onnistumisia on r, ei 1. Siksi se on lisäksi parametroitu tällä r:llä. Sitä kuvataan joskus onnistumisten lukumääränä ennen r epäonnistumista. Mutta kuten elämänvalmentajani sanoo: "Sinä päätät mikä on menestys ja mikä epäonnistuminen", joten tämä on sama, jos et unohda, että todennäköisyyden p on myös oltava oikea todennäköisyys onnistuminen tai epäonnistuminen, vastaavasti.

Jos tarvitset vitsiä jännityksen lievittämiseksi, voit mainita, että binomi- ja hypergeometriset jakaumat ovat ilmeinen pari, mutta geometrinen ja negatiivinen binomijakauma ovat myös melko samanlaisia, ja sitten todeta ”No, kuka niitä kaikkia niin kutsuu, vai? ”

Eksponentiaalinen ja Weibull

Vielä puheluista tekniseen tukeen: kuinka kauan kestää ennen seuraavaa puhelua? Tämän odotusajan jakautuminen näyttää olevan geometrinen, koska jokainen sekunti, kunnes kukaan ei soita, on kuin epäonnistuminen, kunnes toinen, kunnes lopulta puhelu tapahtuu. Vikojen määrä on kuin sekuntien määrä, kunnes kukaan ei soittanut, ja tämä on käytännössä aika seuraavaan puheluun, mutta "käytännössä" ei riitä meille. Lopputulos on, että tämä aika on kokonaisten sekuntien summa, joten ei ole mahdollista laskea odotusaikaa tämän sekunnin sisällä ennen varsinaista puhelua.

No, kuten ennenkin, mennään geometrinen jakautuminen rajaan, aikaosuuksien osalta - ja voila. Saamme eksponentiaalisen jakauman, joka kuvaa tarkasti kutsua edeltävän ajan. se jatkuva jakelu, meillä on ensimmäinen, koska tulos ei välttämättä ole kokonaisissa sekunneissa. Kuten Poisson-jakauma, se on parametroitu intensiteetillä λ.

Toistaen binomiaalin ja geometrian välistä yhteyttä, Poissonin "kuinka monta tapahtumaa kerralla?" liittyy eksponentiaaliseen "kuinka kauan ennen tapahtumaa?". Jos on tapahtumia, joiden lukumäärä aikayksikköä kohti noudattaa Poisson-jakaumaa, niin niiden välinen aika noudattaa eksponentiaalista jakaumaa samalla parametrilla λ. Tämä vastaavuus näiden kahden jakauman välillä on otettava huomioon, kun jompaakumpaa keskustellaan.

Eksponentiaalisen jakauman tulisi tulla mieleen, kun ajatellaan "aikaa tapahtumaan", ehkä "aikaa epäonnistumiseen". Itse asiassa tämä on niin tärkeä tilanne, että MTBF:n kuvaamiseen on olemassa yleisempiä jakaumia, kuten Weibull-jakauma. Vaikka eksponentiaalinen jakauma on sopiva, kun kulumis- tai vikasuhde on esimerkiksi vakio, Weibull-jakauma voi mallintaa kasvavan (tai pienenevän) vikasuhteen ajan myötä. Eksponentiaalinen, yleensä erikoistapaus.

Ajattele Weibullia, kun kyse on MTBF:stä.

Normaali, lognormaali, Studentin ja chi-neliö

Normaali tai Gaussin jakauma on luultavasti yksi tärkeimmistä. Sen kellomainen muoto on heti tunnistettavissa. Kuten , tämä on erityisen utelias kokonaisuus, joka ilmenee kaikkialla, jopa ulkoisesti yksinkertaiset lähteet. Ota joukko arvoja, jotka noudattavat samaa jakaumaa - mikä tahansa! - ja taita ne ylös. Niiden summan jakautuminen riippuu (suunnilleen) normaalijakauma. Mitä enemmän asioita summataan, sitä lähempänä niiden summa vastaa normaalijakaumaa (temppu: termien jakauman tulee olla ennustettava, riippumaton, se pyrkii vain normaalijakaumaan). On hämmästyttävää, että näin on alkuperäisestä jakelusta huolimatta.

Merkintä. käännös

Yllätyin siitä, että kirjoittaja ei kirjoita vertailukelpoisen summattavien jakaumien tarpeesta: jos yksi hallitsee merkittävästi muita, se konvergoi äärimmäisen huonosti. Ja yleensä absoluuttinen keskinäinen riippumattomuus ei ole välttämätöntä, heikko riippuvuus riittää.

No, se on todennäköisesti juhlia varten, kuten hän kirjoitti.

Tätä kutsutaan "keskirajalauseeksi", ja sinun on tiedettävä, mikä se on, miksi sitä kutsutaan ja mitä se tarkoittaa, muuten he nauravat sille välittömästi.

Kontekstissaan normaali liittyy kaikkiin jakaumiin. Vaikka periaatteessa se liittyy kaikkien määrien jakamiseen. Bernoulli-kokeiden summa seuraa binomijakaumaa ja kokeiden määrän kasvaessa tämä binomijakauma tulee lähemmäksi normaalijakaumaa. Samoin sen serkku on hypergeometrinen jakauma. Poisson-jakauma - rajamuoto binomiaalinen - myös lähestyy normaalia intensiteettiparametrin kasvaessa.

Tulokset, jotka seuraavat lognormaalijakaumaa, antavat arvoja, joiden logaritmi jakautuu normaalisti. Tai toisella tavalla: normaalijakauman arvon eksponentti on lognormaalijakautunut. Jos summat ovat normaalijakaumia, muista myös, että tulot ovat lognormaalijakaumia.

Studentin t-jakauma on t-testin perusta, jota monet ei-tilastolaiset tutkivat muilla aloilla. Sitä käytetään olettamaan normaalijakauman keskiarvosta, ja se pyrkii myös normaalijakaumaan parametrin kasvaessa. Erottuva ominaisuus T-jakauma on sen pyrstö, joka on paksumpi kuin normaalijakauman.

Jos rasva-anekdootti ei ole ravistellut naapuriasi tarpeeksi, siirry melko hauskaan oluttarinaan. Yli 100 vuotta sitten Guinness käytti tilastoja parantaakseen stouttaan. Sitten William Seely Gosset keksi täysin uuden tilastollinen teoria ohran viljelyn parantamiseksi. Gosset vakuutti pomon, että muut panimot eivät ymmärtäisi hänen ideoidensa käyttöä ja sai luvan julkaista se, mutta salanimellä "Student". Suurin osa kuuluisa saavutus Gosset on juuri tämä t-jakauma, joka, voisi sanoa, on nimetty hänen mukaansa.

Lopuksi khin neliöjakauma on normaalijakautuneiden määrien neliösumman jakauma. Tälle jakaumille rakennetaan khin neliötesti, joka perustuu normaalijakauman neliöerojen summaan.

Gamma ja beta

Tässä vaiheessa, jos puhut jo jostain chi-neliosta, keskustelu alkaa tosissaan. Olet luultavasti jo puhumassa oikeiden tilastotieteilijöiden kanssa, ja se on luultavasti jo kumartumisen arvoista, sillä esimerkiksi gamma-jakauma saattaa tulla esille. Tämä on yleistys ja eksponentiaalinen ja chi-neliöjakauma. Kuten eksponentiaalinen jakauma, sitä käytetään monimutkaisiin latenssimalleihin. Esimerkiksi gamma-jakauma tulee näkyviin, kun simuloidaan aikaa seuraavaan n tapahtumaan. Se näkyy sisään koneoppimista"konjugaattina ennen" pariin muuhun jakaumaan.

Älä mene keskusteluun näistä konjugaattijakaumista, mutta jos teet niin, älä unohda mainita beeta-jakaumaa, koska se on konjugaattipriori useimpien tässä mainittujen jakaumien kohdalla. Tietojen tutkijat ovat varmoja, että tämä on juuri sitä varten, mitä varten se on tehty. Mainitse tämä vahingossa ja mene ovelle.

Viisauden alku

Todennäköisyysjakaumat ovat asioita, joista et voi tietää liikaa. Aidosti kiinnostuneet voivat tutustua tähän erittäin yksityiskohtaiseen karttaan kaikista todennäköisyysjakaumista Lisää tunnisteita

Kuten tiedetään, Satunnaismuuttuja nimeltään muuttuja, joka voi saada tietyt arvot tapauksesta riippuen. Satunnaismuuttujat osoittavat isot kirjaimet Latinalainen aakkoset(X, Y, Z) ja niiden arvot vastaavilla pienillä kirjaimilla (x, y, z). Satunnaismuuttujat jaetaan epäjatkuviin (diskreetteihin) ja jatkuviin.

Diskreetti satunnaismuuttuja kutsutaan satunnaismuuttujaksi, joka ottaa vain äärellisen tai äärettömän (laskettavissa olevan) arvojoukon tietyillä nollasta poikkeavilla todennäköisyyksillä.

Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki on funktio, joka yhdistää satunnaismuuttujan arvot niitä vastaaviin todennäköisyyksiin. Jakelulaki voidaan määrittää jollakin seuraavista tavoista.

1 . Jakelulaki voidaan antaa taulukosta:

jossa λ>0, k = 0, 1, 2, … .

sisään) käyttämällä jakaumafunktio F(x) , joka määrittää kullekin arvolle x todennäköisyyden, että satunnaismuuttuja X saa arvon, joka on pienempi kuin x, ts. F(x) = P(X< x).

F(x) funktion ominaisuudet

3 . Jakelulaki voidaan asettaa graafisesti – jakautumispolygoni (polygon) (katso tehtävä 3).

Huomaa, että joidenkin ongelmien ratkaisemiseksi ei ole välttämätöntä tuntea jakelulakia. Joissakin tapauksissa riittää, että tietää yksi tai useampi luku, joka kuvastaa eniten tärkeitä ominaisuuksia jakelulaki. Se voi olla luku, joka tarkoittaa satunnaismuuttujan "keskiarvoa", tai luku, joka näyttää keskimääräinen koko satunnaismuuttujan poikkeama sen keskiarvosta. Tällaisia ​​lukuja kutsutaan satunnaismuuttujan numeerisiksi ominaisuuksiksi.

Main numeeriset ominaisuudet diskreetti satunnaismuuttuja :

• Matemaattinen odotus diskreetin satunnaismuuttujan (keskiarvo). M(X) = Σ x i p i.
  Binomijakaumalla M(X)=np, Poisson-jakaumalla M(X)=λ
• Dispersio diskreetti satunnaismuuttuja D(X) = M2 tai D(X) = M(X 2) − 2. Erotusta X–M(X) kutsutaan satunnaismuuttujan poikkeamaksi sen matemaattisesta odotuksesta.
  Binomijakaumalla D(X)=npq, Poisson-jakaumalla D(X)=λ
• Vakiopoikkeama (keskipoikkeama) σ(X)=√D(X).

Esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta aiheesta "Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki"

Tehtävä 1.

Myönnetty 1000 arpajaiset: 5 heistä saa 500 ruplan voiton, 10 - 100 ruplan voitto, 20 - 50 ruplan voitto, 50 - 10 ruplan voitto. Määritä satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman laki - voitot per lippu.

Ratkaisu. Ongelman tilanteen mukaan se on mahdollista seuraavat arvot satunnaismuuttuja X: 0, 10, 50, 100 ja 500.

Lippujen määrä ilman voittoa on 1000 - (5+10+20+50) = 915, sitten P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Samalla tavalla löydämme kaikki muut todennäköisyydet: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X) =500) = 5/1000=0,005. Esitämme tuloksena olevan lain taulukon muodossa:

Laske X:n matemaattinen odotus: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Tehtävä 3.

Laite koostuu kolmesta itsenäisesti toimivasta elementistä. Jokaisen elementin epäonnistumisen todennäköisyys yhdessä kokeessa on 0,1. Piirrä jakautumislaki epäonnistuneiden elementtien lukumäärälle yhdessä kokeessa, rakenna jakautumispolygoni. Etsi jakaumafunktio F(x) ja piirrä se. Selvitä diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotusarvo, varianssi ja keskihajonta.

Ratkaisu. 1. Diskreetillä satunnaismuuttujalla X=(epäonnistuneet elementit yhdessä kokeessa) on seuraava mahdollisia arvoja: x 1 \u003d 0 (yksikään laitteen elementeistä ei epäonnistunut), x 2 \u003d 1 (yksi elementti epäonnistui), x 3 \u003d 2 (kaksi elementtiä epäonnistui) ja x 4 \u003d 3 (kolme elementtiä epäonnistui).

Elementtien viat ovat toisistaan ​​riippumattomia, kunkin elementin epäonnistumistodennäköisyydet ovat keskenään yhtä suuret, joten se on sovellettavissa Bernoullin kaava . Kun otetaan huomioon, että ehdon mukaan n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, määritämme arvojen todennäköisyydet:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 = 0,001;
Tarkista: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Siten halutulla binomijakauman lailla X on muoto:

Abskissa-akselille piirretään mahdolliset arvot x i ja ordinaatta-akselille vastaavat todennäköisyydet р i . Muodostetaan pisteet M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Yhdistämällä nämä pisteet janoilla saamme halutun jakautumispolygonin.

3. Etsi jakaumafunktio F(x) = P(X

Kun x ≤ 0, meillä on F(x) = P(X<0) = 0;
hintaan 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1:lle< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2:lle< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3:lle se on F(x) = 1, koska tapahtuma on varma.

Funktion F(x) kuvaaja

4. Binomijakauma X:
- matemaattinen odotus М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersio D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- keskiverto keskihajontaσ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.