ჩვენ ვაგრძელებთ საუბარს განტოლებების ამოხსნა. ამ სტატიაში ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ რაციონალური განტოლებებიდა გადაწყვეტილების პრინციპები რაციონალური განტოლებებიერთი ცვლადით. ჯერ გავარკვიოთ, რა სახის განტოლებებს ეწოდება რაციონალური, მივცეთ მთელი რაციონალური და წილადი რაციონალური განტოლებების განმარტება და მოვიყვანოთ მაგალითები. შემდეგი, ჩვენ ვიღებთ ალგორითმებს რაციონალური განტოლებების გადასაჭრელად და, რა თქმა უნდა, განვიხილავთ ამონახსნებს დამახასიათებელი მაგალითებიყველა საჭირო განმარტებით.

გვერდის ნავიგაცია.

გაჟღერებულ განმარტებებზე დაყრდნობით, რაციონალური განტოლებების რამდენიმე მაგალითს ვაძლევთ. მაგალითად, x=1, 2 x−12 x 2 y z 3 =0, , ყველა რაციონალური განტოლებაა.

ნაჩვენები მაგალითებიდან ჩანს, რომ რაციონალური განტოლებები, ისევე როგორც სხვა ტიპის განტოლებები, შეიძლება იყოს ან ერთი ცვლადით, ან ორი, სამი და ა.შ. ცვლადები. AT შემდეგი აბზაცებივისაუბრებთ რაციონალური განტოლებების ერთ ცვლადში ამოხსნაზე. განტოლებების ამოხსნა ორი ცვლადითდა ისინი დიდი რიცხვიგანსაკუთრებულ ყურადღებას იმსახურებს.

გარდა იმისა, რომ რაციონალური განტოლებები იყოფა უცნობი ცვლადების რაოდენობაზე, ისინი ასევე იყოფა მთელ რიცხვებად და წილადებად. მოდით მივცეთ შესაბამისი განმარტებები.

განმარტება.

რაციონალური განტოლება ე.წ მთლიანითუ მისი მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები მთელი რაციონალური გამონათქვამებია.

განმარტება.

თუ რაციონალური განტოლების ერთი ნაწილი მაინც არის წილადური გამოხატულება, მაშინ ეს განტოლება ეწოდება ფრაქციულად რაციონალური(ან წილადი რაციონალური).

ნათელია, რომ მთელი რიცხვები არ შეიცავს გაყოფას ცვლადზე, პირიქით, წილადი რაციონალური განტოლებები აუცილებლად შეიცავს გაყოფას ცვლადზე (ან ცვლადზე მნიშვნელში). ანუ 3 x+2=0 და (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0.5არის მთელი რაციონალური განტოლებები, მათი ორივე ნაწილი არის მთელი რიცხვი. A და x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 არის წილადი რაციონალური განტოლებების მაგალითები.

ამ აბზაცის დასასრულს, ყურადღება მივაქციოთ იმ ფაქტს, რომ ამ მომენტისთვის ცნობილი წრფივი განტოლებები და კვადრატული განტოლებები მთლიანი რაციონალური განტოლებებია.

მთელი განტოლებების ამოხსნა

მთლიანი განტოლებების ამოხსნის ერთ-ერთი მთავარი მიდგომაა მათი შემცირება ეკვივალენტამდე ალგებრული განტოლებები. ეს ყოველთვის შეიძლება გაკეთდეს განტოლების შემდეგი ეკვივალენტური გარდაქმნების შესრულებით:

• პირველი, გამონათქვამი საწყისი მთელი რიცხვის განტოლების მარჯვენა მხრიდან გადაეცემა მარცხენა მხარეს საპირისპირო ნიშანიმარჯვენა მხარეს ნულის მისაღებად;
• ამის შემდეგ, განტოლების მარცხენა მხარეს, მიღებულია სტანდარტული ხედი.

შედეგი არის ალგებრული განტოლება, რომელიც უდრის თავდაპირველ მთლიან განტოლებას. ასე რომ, ყველაზე მარტივი შემთხვევებიმთელი განტოლებების ამოხსნა მცირდება წრფივი ან კვადრატული განტოლებების ამოხსნამდე და ში ზოგადი შემთხვევა– n ხარისხის ალგებრული განტოლების ამოხსნამდე. სიცხადისთვის, მოდით გავაანალიზოთ მაგალითის ამოხსნა.

მაგალითი.

იპოვეთ მთელი განტოლების ფესვები 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

გადაწყვეტილება.

მთელი ამ განტოლების ამონახვა შევამციროთ ეკვივალენტური ალგებრული განტოლების ამოხსნამდე. ამისათვის, პირველ რიგში, ჩვენ გადავიტანთ გამონათქვამს მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ, რის შედეგადაც მივდივართ განტოლებამდე 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. და მეორეც, მარცხენა მხარეს წარმოქმნილ გამოსახულებას ვაქცევთ სტანდარტული ფორმის პოლინომად საჭიროების გაკეთებით: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. ამრიგად, თავდაპირველი მთელი რიცხვის განტოლების ამოხსნა მცირდება ამონახვამდე კვადრატული განტოლება x 2 −5 x−6=0 .

გამოთვალეთ მისი დისკრიმინანტი D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, ის დადებითია, რაც ნიშნავს, რომ განტოლებას აქვს ორი რეალური ფესვი, რომელსაც ვპოულობთ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულით:

ამისთვის სრული ნდობაგააკეთე განტოლების ნაპოვნი ფესვების შემოწმება. პირველ რიგში, ჩვენ ვამოწმებთ ფესვს 6, ვცვლით მას ცვლადის x-ის ნაცვლად თავდაპირველ მთელ რიცხვში განტოლებაში: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, რაც იგივეა, 63=63 . Სწორია რიცხვითი თანასწორობამაშასადამე, x=6 ნამდვილად არის განტოლების ფესვი. ახლა ვამოწმებთ ფესვს −1 , გვაქვს 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, საიდანაც, 0=0 . x=−1-ისთვის თავდაპირველი განტოლება ასევე გადაიქცა ნამდვილ რიცხვობრივ ტოლობაში, შესაბამისად, x=−1 ასევე განტოლების ფესვია.

პასუხი:

6 , −1 .

აქვე უნდა აღინიშნოს, რომ ტერმინი „მთელი განტოლების ძალა“ ასოცირდება მთელი განტოლების წარმოდგენასთან ალგებრული განტოლების სახით. ჩვენ ვაძლევთ შესაბამის განმარტებას:

განმარტება.

მთელი განტოლების ხარისხივუწოდოთ მისი ექვივალენტური ალგებრული განტოლების ხარისხი.

ამ განმარტების მიხედვით, წინა მაგალითის მთელ განტოლებას მეორე ხარისხი აქვს.

ამაზე შეიძლება დასრულდეს მთელი რაციონალური განტოლების ამოხსნით, რომ არა ერთი, არამედ .... როგორც ცნობილია, მეორეზე მაღალი ხარისხის ალგებრული განტოლებების ამოხსნა დაკავშირებულია მნიშვნელოვან სირთულეებთან, ხოლო მეოთხეზე მაღალი ხარისხის განტოლებისთვის ასეთი განტოლებები საერთოდ არ არსებობს. ზოგადი ფორმულებიფესვები. ამიტომ მესამე, მეოთხე და მეტი განტოლებების ამოხსნა მაღალი გრადუსიხშირად უწევთ გადაწყვეტის სხვა მეთოდებს მიმართოთ.

ასეთ შემთხვევებში, ზოგჯერ მიდგომა გადაჭრის მთელი რაციონალური განტოლებების საფუძველზე ფაქტორიზაციის მეთოდი. ამავე დროს, გამოიყენება შემდეგი ალგორითმი:

• პირველ რიგში ისინი ეძებენ ნულის ქონას განტოლების მარჯვენა მხარეს, ამისთვის ისინი გამოხატავენ მთელი განტოლების მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ;
• შემდეგ, მარცხენა მხარეს მიღებული გამოხატულება წარმოდგენილია, როგორც რამდენიმე ფაქტორის პროდუქტი, რაც საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ რამდენიმე მარტივი განტოლების სიმრავლეზე.

ზემოაღნიშნული ალგორითმი მთელი განტოლების ფაქტორიზაციით ამოხსნისთვის მოითხოვს დეტალურ ახსნას მაგალითის გამოყენებით.

მაგალითი.

ამოხსენით მთელი განტოლება (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

გადაწყვეტილება.

პირველ რიგში, ჩვეულებისამებრ, ჩვენ გადავიტანთ გამონათქვამს მარჯვენა მხრიდან განტოლების მარცხენა მხარეს, არ დაგვავიწყდეს ნიშნის შეცვლა, მივიღებთ (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0. აქ აშკარაა, რომ არ არის მიზანშეწონილი მიღებული განტოლების მარცხენა მხარის გადაქცევა სტანდარტული ფორმის მრავალწევრად, რადგან ეს მისცემს ფორმის მეოთხე ხარისხის ალგებრულ განტოლებას. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, რომლის გადაწყვეტა რთულია.

მეორეს მხრივ, აშკარაა, რომ x 2 −10·x+13 შეიძლება მოიძებნოს მიღებული განტოლების მარცხენა მხარეს, რითაც წარმოადგენს მას ნამრავლად. Ჩვენ გვაქვს (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. მიღებული განტოლება თავდაპირველი მთლიანი განტოლების ტოლია და ის, თავის მხრივ, შეიძლება შეიცვალოს ორი კვადრატული განტოლების სიმრავლით x 2 −10·x+13=0 და x 2 −2·x−1=0 . მათი ფესვების პოვნა ცნობილი ფორმულებიფესვები დისკრიმინანტის მეშვეობით არ არის რთული, ფესვები თანაბარია. ისინი ორიგინალური განტოლების სასურველი ფესვებია.

პასუხი:

ის ასევე სასარგებლოა მთელი რაციონალური განტოლებების ამოსახსნელად. ახალი ცვლადის დანერგვის მეთოდი. ზოგიერთ შემთხვევაში, ის საშუალებას აძლევს ადამიანს გადავიდეს განტოლებებზე, რომელთა ხარისხი უფრო დაბალია, ვიდრე ორიგინალური მთელი განტოლების ხარისხი.

მაგალითი.

იპოვე ნამდვილი ფესვებირაციონალური განტოლება (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

გადაწყვეტილება.

მთელი ამ რაციონალური განტოლების ალგებრულ განტოლებამდე დაყვანა, რბილად რომ ვთქვათ, არც თუ ისე კარგი იდეაა, რადგან ამ შემთხვევაში მივალთ მეოთხე ხარისხის განტოლების ამოხსნის აუცილებლობამდე, რომელსაც არ გააჩნია რაციონალური ფესვები. ამიტომ, თქვენ მოგიწევთ სხვა გამოსავლის ძებნა.

აქ ადვილი მისახვედრია, რომ შეგიძლიათ შემოიტანოთ ახალი ცვლადი y და შეცვალოთ გამოხატვა x 2 +3 x მასთან. ასეთი ჩანაცვლება მიგვიყვანს მთელ განტოლებამდე (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , რომელიც −2 (y−4) გამოხატვის მარცხენა მხარეს გადატანისა და გამოსახულების შემდგომი ტრანსფორმაციის შემდეგ წარმოიქმნება. იქ, მცირდება განტოლებამდე y 2 +4 y+3=0 . ამ განტოლების y=−1 და y=−3 ფესვების პოვნა ადვილია, მაგალითად, მათი პოვნა შესაძლებელია ვიეტას თეორემის შებრუნებული თეორემის საფუძველზე.

ახლა გადავიდეთ ახალი ცვლადის შემოღების მეთოდის მეორე ნაწილზე, ანუ საპირისპირო ჩანაცვლებაზე. საპირისპირო ჩანაცვლების შესრულების შემდეგ ვიღებთ ორ განტოლებას x 2 +3 x=−1 და x 2 +3 x=−3 , რომელიც შეიძლება გადაიწეროს x 2 +3 x+1=0 და x 2 +3 x+3. =0. კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის მიხედვით ვპოულობთ პირველი განტოლების ფესვებს. ხოლო მეორე კვადრატულ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები, ვინაიდან მისი დისკრიმინანტი უარყოფითია (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

პასუხი:

ზოგადად, როდესაც საქმე გვაქვს მაღალი ხარისხის მთელ რიცხვებთან, ყოველთვის მზად უნდა ვიყოთ საძიებლად არასტანდარტული მეთოდიან ხელოვნური მოწყობილობა მათი გადაწყვეტისთვის.

წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნა

პირველ რიგში, სასარგებლო იქნება იმის გაგება, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ ფორმის წილადი რაციონალური განტოლებები, სადაც p(x) და q(x) რაციონალური მთელი რიცხვი გამოსახულებებია. შემდეგ კი ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა შევიყვანოთ დარჩენილი წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნა მითითებული ფორმის განტოლებამდე.

განტოლების ამოხსნის ერთ-ერთი მიდგომა ემყარება შემდეგ დებულებას: რიცხვითი წილადი u/v, სადაც v არის არანულოვანი რიცხვი (წინააღმდეგ შემთხვევაში შევხვდებით , რომელიც არ არის განსაზღვრული), ნულის ტოლია თუ და მხოლოდ მაშინ. მისი მრიცხველი ნული, ანუ თუ და მხოლოდ თუ u=0 . ამ დებულების მიხედვით, განტოლების ამონახსნები მცირდება ორი პირობის შესრულებამდე p(x)=0 და q(x)≠0 .

ეს დასკვნა შეესაბამება შემდეგს წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმი. ფორმის წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნა

• ამოხსენით მთელი რაციონალური განტოლება p(x)=0 ;
• და შეამოწმეთ დაკმაყოფილებულია თუ არა პირობა q(x)≠0 თითოეული ნაპოვნი ფესვისთვის, ხოლო
• თუ მართალია, მაშინ ეს ფესვი არის საწყისი განტოლების ფესვი;
• თუ არა, მაშინ ეს ფესვი ზედმეტია, ანუ ის არ არის საწყისი განტოლების ფესვი.

გავაანალიზოთ გახმოვანებული ალგორითმის გამოყენების მაგალითი წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნისას.

მაგალითი.

იპოვეთ განტოლების ფესვები.

გადაწყვეტილება.

ეს არის ფორმის წილადი რაციონალური განტოლება, სადაც p(x)=3 x−2, q(x)=5 x 2 −2=0.

ამ ტიპის წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ალგორითმის მიხედვით, ჯერ უნდა ამოხსნათ განტოლება 3·x−2=0. Ეს არის წრფივი განტოლება, რომლის ფესვი არის x=2/3 .

რჩება ამ ფესვის შემოწმება, ანუ შევამოწმოთ, აკმაყოფილებს თუ არა ის პირობას 5·x 2 −2≠0 . ჩვენ ვცვლით რიცხვს 2/3 x-ის ნაცვლად გამოსახულებაში 5 x 2 −2, მივიღებთ . პირობა დაკმაყოფილებულია, ამიტომ x=2/3 არის საწყისი განტოლების ფესვი.

პასუხი:

2/3 .

წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნას შეიძლება მივუდგეთ ოდნავ განსხვავებული პოზიციიდან. ეს განტოლება უდრის მთლიანი განტოლების p(x)=0 საწყისი განტოლების x ცვლადზე. ანუ შეგიძლია მიჰყვე ამას წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმი :

• ამოხსენით განტოლება p(x)=0 ;
• იპოვეთ ODZ ცვლადი x ;
• აიღეთ ტერიტორიის კუთვნილი ფესვები დაშვებული ღირებულებები, - ისინი ორიგინალური წილადი რაციონალური განტოლების სასურველი ფესვებია.

მაგალითად, ამ ალგორითმის გამოყენებით ამოვხსნათ წილადი რაციონალური განტოლება.

მაგალითი.

ამოხსენით განტოლება.

გადაწყვეტილება.

ჯერ ვხსნით კვადრატულ განტოლებას x 2 −2·x−11=0 . მისი ფესვები შეიძლება გამოითვალოს ფესვის ფორმულის გამოყენებით თუნდაც მეორე კოეფიციენტისთვის, ჩვენ გვაქვს D 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, და .

მეორეც, ჩვენ ვპოულობთ x ცვლადის ODZ-ს საწყისი განტოლებისთვის. იგი შედგება ყველა რიცხვისაგან, რომლებისთვისაც x 2 +3 x≠0 , რაც იგივეა x (x+3)≠0 , საიდანაც x≠0 , x≠−3 .

რჩება იმის შემოწმება, შედის თუ არა პირველ ეტაპზე ნაპოვნი ფესვები ODZ-ში. ცხადია, დიახ. მაშასადამე, თავდაპირველ წილადობრივად რაციონალურ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

პასუხი:

გაითვალისწინეთ, რომ ეს მიდგომა უფრო მომგებიანია, ვიდრე პირველი, თუ ODZ ადვილად მოიძებნება, და განსაკუთრებით მომგებიანია, თუ განტოლების p(x)=0 ფესვები არის ირაციონალური, მაგალითად, ან რაციონალური, მაგრამ საკმაოდ დიდი. მრიცხველი და/ან მნიშვნელი, მაგალითად, 127/1101 და -31/59. ეს გამოწვეულია იმით, რომ ასეთ შემთხვევებში q(x)≠0 პირობის შემოწმება დასჭირდება მნიშვნელოვან გამოთვლით ძალისხმევას და უფრო ადვილია ODZ-დან გარე ფესვების გამორიცხვა.

სხვა შემთხვევებში, განტოლების ამოხსნისას, განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც განტოლების ძირები p(x)=0 არის მთელი რიცხვები, უფრო ხელსაყრელია ზემოთ ჩამოთვლილი ალგორითმებიდან პირველის გამოყენება. ანუ მიზანშეწონილია დაუყოვნებლივ იპოვოთ მთელი განტოლების ფესვები p(x)=0 , შემდეგ კი შეამოწმოთ არის თუ არა პირობა q(x)≠0 მათთვის და არ იპოვოთ ODZ და შემდეგ ამოხსნათ განტოლება. p(x)=0 ამ ODZ-ზე. ეს გამოწვეულია იმით, რომ ასეთ შემთხვევებში ჩვეულებრივ უფრო ადვილია შემოწმების გაკეთება, ვიდრე ODZ-ის პოვნა.

განვიხილოთ ორი მაგალითის ამოხსნა გათვალისწინებული ნიუანსების საილუსტრაციოდ.

მაგალითი.

იპოვეთ განტოლების ფესვები.

გადაწყვეტილება.

ჯერ ვპოულობთ მთელი განტოლების ფესვებს (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, შედგენილი წილადის მრიცხველის გამოყენებით. ამ განტოლების მარცხენა მხარე არის ნამრავლი, ხოლო მარჯვენა მხარე არის ნული, შესაბამისად, განტოლებების ფაქტორიზაციის გზით ამოხსნის მეთოდის მიხედვით, ეს განტოლება უდრის ოთხი განტოლების სიმრავლეს 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . ამ განტოლებიდან სამი წრფივია და ერთი კვადრატული, ჩვენ შეგვიძლია მათი ამოხსნა. პირველი განტოლებიდან ვხვდებით x=1/2, მეორიდან - x=6, მესამედან - x=7, x=−2, მეოთხედან - x=−1.

აღმოჩენილი ფესვებით, მათი შემოწმება საკმაოდ მარტივია იმის დასანახად, არ ქრება თუ არა თავდაპირველი განტოლების მარცხენა მხარეს მყოფი წილადის მნიშვნელი, და არც ისე ადვილია ODZ-ის დადგენა, რადგან მას მოუწევს ამოხსნას მეხუთე ხარისხის ალგებრული განტოლება. ამიტომ, თავი დავანებოთ პოვნა ODZფესვების შემოწმების სასარგებლოდ. ამისათვის ჩვენ მათ რიგრიგობით ვცვლით გამოხატულებაში x ცვლადის ნაცვლად x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, მიღებული ჩანაცვლების შემდეგ და შეადარეთ ისინი ნულთან: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

ამრიგად, 1/2, 6 და −2 არის თავდაპირველი წილადობრივად რაციონალური განტოლების სასურველი ფესვები, ხოლო 7 და −1 არის უცხო ფესვები.

პასუხი:

1/2 , 6 , −2 .

მაგალითი.

იპოვეთ წილადი რაციონალური განტოლების ფესვები.

გადაწყვეტილება.

ჯერ ვპოულობთ განტოლების ფესვებს (5x2 −7x−1)(x−2)=0. ეს განტოლება უდრის ორი განტოლების სიმრავლეს: კვადრატი 5·x 2 −7·x−1=0 და წრფივი x−2=0 . კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის მიხედვით ვპოულობთ ორ ფესვს, ხოლო მეორე განტოლებიდან გვაქვს x=2.

იმის შემოწმება, რომ მნიშვნელი არ ქრება x-ის აღმოჩენილ მნიშვნელობებზე, საკმაოდ უსიამოვნოა. და ცვლადის x მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის დადგენა თავდაპირველ განტოლებაში საკმაოდ მარტივია. ამიტომ, ჩვენ ვიმოქმედებთ ODZ-ის მეშვეობით.

ჩვენს შემთხვევაში, თავდაპირველი წილადი რაციონალური განტოლების x ცვლადის ODZ შედგება ყველა რიცხვისგან, გარდა იმ რიცხვებისა, რომელთათვისაც დაკმაყოფილებულია პირობა x 2 +5·x−14=0. ამ კვადრატული განტოლების ფესვებია x=−7 და x=2, საიდანაც დავასკვნით ODZ-ის შესახებ: იგი შედგება ყველა x-ისგან ისეთი, რომ .

რჩება იმის შემოწმება, ეკუთვნის თუ არა ნაპოვნი ფესვები და x=2 დასაშვები მნიშვნელობების რეგიონს. ფესვები - ეკუთვნის, მაშასადამე, ისინი თავდაპირველი განტოლების ფესვებია, ხოლო x=2 არ ეკუთვნის, მაშასადამე, ის უცხო ფესვია.

პასუხი:

ასევე სასარგებლო იქნება ცალკე ვისაუბროთ შემთხვევებზე, როდესაც ფორმის წილადი რაციონალური განტოლება შეიცავს რიცხვს მრიცხველში, ანუ, როდესაც p (x) წარმოდგენილია გარკვეული რიცხვით. სადაც

• თუ ეს რიცხვი განსხვავდება ნულისაგან, მაშინ განტოლებას არ აქვს ფესვები, რადგან წილადი არის ნული, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი მრიცხველი არის ნული;
• თუ ეს რიცხვი არის ნული, მაშინ განტოლების ფესვი არის ნებისმიერი რიცხვი ODZ-დან.

მაგალითი.

გადაწყვეტილება.

ვინაიდან განტოლების მარცხენა მხარეს წილადის მრიცხველში არის არანულოვანი რიცხვი, არც ერთი x-ისთვის არ შეიძლება ამ წილადის მნიშვნელობა ნულის ტოლი იყოს. აქედან გამომდინარე, მოცემული განტოლებაფესვები არ აქვს.

პასუხი:

ფესვების გარეშე.

მაგალითი.

ამოხსენით განტოლება.

გადაწყვეტილება.

ამ წილადი რაციონალური განტოლების მარცხენა მხარეს მდებარე წილადის მრიცხველი არის ნული, ამიტომ ამ წილადის მნიშვნელობა არის ნული ნებისმიერი x-ისთვის, რომლისთვისაც აზრი აქვს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამ განტოლების ამონახსნი არის x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობა ამ ცვლადის DPV-დან.

რჩება მისაღები მნიშვნელობების ამ დიაპაზონის განსაზღვრა. იგი მოიცავს ყველა ასეთ მნიშვნელობას x, რომლისთვისაც x 4 +5 x 3 ≠0. x 4 +5 x 3 \u003d 0 განტოლების ამონახსნები არის 0 და −5, რადგან ეს განტოლება უდრის x 3 (x + 5) \u003d 0 განტოლებას და ის, თავის მხრივ, უდრის კომბინაციას ორი განტოლების x 3 \u003d 0 და x +5=0 , საიდანაც ჩანს ეს ფესვები. ამიტომ, მისაღები მნიშვნელობების სასურველი დიაპაზონი არის ნებისმიერი x, გარდა x=0 და x=−5.

ამრიგად, წილადობრივად რაციონალურ განტოლებას აქვს უსასრულოდ ბევრი ამონახსნი, რომელიც არის ნებისმიერი რიცხვი, გარდა ნულისა და მინუს ხუთისა.

პასუხი:

დაბოლოს, დროა ვისაუბროთ წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნაზე თვითნებური ტიპი. ისინი შეიძლება დაიწეროს როგორც r(x)=s(x) , სადაც r(x) და s(x) რაციონალური გამონათქვამებია და ერთი მათგანი მაინც არის წილადი. წინ რომ ვუყურებთ, ჩვენ ვამბობთ, რომ მათი ამოხსნა მცირდება ჩვენთვის უკვე ნაცნობი ფორმის განტოლებების ამოხსნით.

ცნობილია, რომ ტერმინის გადატანა განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეზე საპირისპირო ნიშნით იწვევს განტოლების ტოლფასი, ასე რომ, განტოლება r(x)=s(x) უდრის r(x)−s(x)=0 განტოლებას.

ჩვენ ასევე ვიცით, რომ ნებისმიერი შეიძლება იდენტურად იყოს ამ გამოთქმის ტოლი. ამრიგად, ჩვენ ყოველთვის შეგვიძლია გადავიტანოთ რაციონალური გამოხატულება განტოლების მარცხენა მხარეს r(x)−s(x)=0 ფორმის იდენტურად თანაბარ რაციონალურ წილადად.

ასე რომ, ჩვენ გადავდივართ საწყისი წილადი რაციონალური განტოლებიდან r(x)=s(x) განტოლებამდე და მისი ამოხსნა, როგორც ზემოთ გავარკვიეთ, მცირდება განტოლების p(x)=0 ამოხსნამდე.

მაგრამ აქ გასათვალისწინებელია ის ფაქტი, რომ r(x)−s(x)=0-ით ჩანაცვლებისას და შემდეგ p(x)=0-ით, x ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი შეიძლება გაფართოვდეს. .

მაშასადამე, თავდაპირველი განტოლება r(x)=s(x) და განტოლება p(x)=0, რომელზეც მივედით, შეიძლება არ იყოს ეკვივალენტური და განტოლების p(x)=0 ამოხსნით მივიღოთ ფესვები. ეს იქნება საწყისი განტოლების უცხო ფესვები r(x)=s(x) . შესაძლებელია ამოიცნოთ და არ შევიტანოთ პასუხში ზედმეტი ფესვები, ან შემოწმებით, ან მათი კუთვნილების შემოწმებით თავდაპირველი განტოლების ODZ-თან.

ჩვენ ვაჯამებთ ამ ინფორმაციას წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმი r(x)=s(x). წილადი რაციონალური განტოლების ამოსახსნელად r(x)=s(x) უნდა

• მიიღეთ ნული მარჯვნივ გამოხატვის მარჯვენა მხრიდან საპირისპირო ნიშნით გადაადგილებით.
• შეასრულეთ მოქმედებები წილადებთან და მრავალწევრებთან განტოლების მარცხენა მხარეს, რითაც გადააქციეთ იგი ფორმის რაციონალურ წილადად.
• ამოხსენით განტოლება p(x)=0 .
• უცხო ფესვების იდენტიფიცირება და გამორიცხვა, რაც ხდება მათი საწყის განტოლებაში ჩანაცვლებით ან თავდაპირველი განტოლების ODZ-თან მათი კუთვნილების შემოწმებით.

მეტი სიცხადისთვის, ჩვენ ვაჩვენებთ წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის მთელ ჯაჭვს:
.

გადავიდეთ რამდენიმე მაგალითის ამონახსნები ამოხსნის დეტალური ახსნით, რათა დავაზუსტოთ ინფორმაციის მოცემული ბლოკი.

მაგალითი.

ამოხსენით წილადი რაციონალური განტოლება.

გადაწყვეტილება.

ჩვენ ვიმოქმედებთ ახლახან მიღებული ამოხსნის ალგორითმის შესაბამისად. და ჯერ ტერმინებს გადავიტანთ განტოლების მარჯვენა მხრიდან მარცხენა მხარეს, შედეგად გადავდივართ განტოლებაზე.

მეორე საფეხურზე, მიღებული განტოლების მარცხენა მხარეს წილადი რაციონალური გამოხატულება უნდა გადავიყვანოთ წილადის სახით. ამისათვის ჩვენ ვასრულებთ მსახიობი რაციონალური წილადებირომ საერთო მნიშვნელიდა გაამარტივეთ მიღებული გამოთქმა: . ასე რომ მივედით განტოლებამდე.

შემდეგ ეტაპზე უნდა ამოხსნათ განტოლება −2·x−1=0 . იპოვეთ x=−1/2 .

რჩება იმის შემოწმება, არის თუ არა ნაპოვნი რიცხვი −1/2 საწყისი განტოლების უცხო ფესვი. ამისათვის შეგიძლიათ შეამოწმოთ ან იპოვოთ ორიგინალური განტოლების ODZ ცვლადი x. მოდით ვაჩვენოთ ორივე მიდგომა.

დავიწყოთ შემოწმებით. x ცვლადის ნაცვლად რიცხვს −1/2 ვცვლით თავდაპირველ განტოლებაში, ვიღებთ −1=−1, რომელიც იგივეა. ჩანაცვლება იძლევა სწორ რიცხვობრივ ტოლობას, შესაბამისად, x=−1/2 არის საწყისი განტოლების ფესვი.

ახლა ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ ხორციელდება ალგორითმის ბოლო ნაბიჯი ODZ-ის მეშვეობით. საწყისი განტოლების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი არის ყველა რიცხვის სიმრავლე, გარდა −1 და 0 (როდესაც x=−1 და x=0, წილადების მნიშვნელები ქრება). წინა საფეხურზე ნაპოვნი ფესვი x=−1/2 ეკუთვნის ODZ-ს, შესაბამისად, x=−1/2 არის საწყისი განტოლების ფესვი.

პასუხი:

−1/2 .

განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი.

მაგალითი.

იპოვეთ განტოლების ფესვები.

გადაწყვეტილება.

ჩვენ უნდა გადავწყვიტოთ წილადი რაციონალური განტოლება, მოდით გავიაროთ ალგორითმის ყველა საფეხური.

ჯერ ტერმინს გადავიტანთ მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ, მივიღებთ .

მეორეც, ჩვენ გარდაქმნით მარცხენა მხარეს წარმოქმნილ გამონათქვამს: . შედეგად მივდივართ განტოლებამდე x=0.

მისი ფესვი აშკარაა - ის ნულია.

მეოთხე საფეხურზე რჩება იმის გარკვევა, არის თუ არა ნაპოვნი ფესვი გარედან ორიგინალური წილადი რაციონალური განტოლებისთვის. როდესაც იგი ჩანაცვლებულია თავდაპირველ განტოლებაში, მიიღება გამოხატულება. ცხადია, აზრი არ აქვს, რადგან შეიცავს ნულზე გაყოფას. საიდანაც დავასკვნათ, რომ 0 არის უცხო ფესვი. ამრიგად, თავდაპირველ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

7 , რომელიც მივყავართ განტოლებამდე . აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მარცხენა მხარის მნიშვნელში გამოხატული უნდა იყოს ტოლი მარჯვენა მხრიდან, ანუ . ახლა გამოვაკლებთ სამეულის ორივე ნაწილს: . ანალოგიით, საიდან და შემდგომ.

შემოწმება აჩვენებს, რომ ორივე ნაპოვნი ფესვი არის თავდაპირველი წილადი რაციონალური განტოლების ფესვები.

პასუხი:

ბიბლიოგრაფია.

• Ალგებრა:სახელმძღვანელო 8 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება დაწესებულებები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2008. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-8 კლასი. 14 საათზე ნაწილი 1. მოსწავლის სახელმძღვანელო საგანმანათლებო ინსტიტუტები/ A.G. Mordkovich. - მე-11 გამოცემა, წაშლილია. - მ.: მნემოზინა, 2009. - 215გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Ალგებრა:მე-9 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის დაწესებულებები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2009. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-021134-5.

აქამდე ჩვენ ამოხსნილი გვაქვს მხოლოდ მთელი რიცხვითი განტოლებები უცნობის მიმართ, ანუ განტოლებები, რომლებშიც მნიშვნელები (ასეთის არსებობის შემთხვევაში) არ შეიცავს უცნობს.

ხშირად თქვენ უნდა ამოხსნათ განტოლებები, რომლებიც შეიცავს უცნობს მნიშვნელებში: ასეთ განტოლებებს წილადს უწოდებენ.

ამ განტოლების ამოსახსნელად, ჩვენ გავამრავლებთ მის ორივე მხარეს, ანუ მრავალწევრზე, რომელიც შეიცავს უცნობს. იქნება თუ არა ახალი განტოლება მოცემულის ეკვივალენტური? კითხვაზე პასუხის გასაცემად, მოდით ამ განტოლება ამოხსნათ.

მისი ორივე მხარის გამრავლებით მივიღებთ:

პირველი ხარისხის ამ განტოლების ამოხსნით, ვპოულობთ:

ასე რომ, განტოლებას (2) აქვს ერთი ფესვი

მისი (1) განტოლებით ჩანაცვლებით მივიღებთ:

აქედან გამომდინარე, ასევე არის (1) განტოლების ფესვი.

განტოლებას (1) სხვა ფესვები არ აქვს. ჩვენს მაგალითში ეს ჩანს, მაგალითად, იქიდან, რომ განტოლებაში (1)

როგორ უცნობი გამყოფიუნდა იყოს ტოლი დივიდენდის 1 გაყოფილი კოეფიციენტზე 2, ე.ი.

მაშასადამე, (1) და (2) განტოლებებს აქვთ ერთი ფესვი, შესაბამისად, ისინი ეკვივალენტურია.

2. ახლა ჩვენ ვხსნით შემდეგ განტოლებას:

უმარტივესი საერთო მნიშვნელი: ; გაამრავლეთ მასზე განტოლების ყველა პირობა:

შემცირების შემდეგ ვიღებთ:

მოდით გავაფართოვოთ ფრჩხილები:

მსგავსი პირობების შემოტანით, ჩვენ გვაქვს:

ამ განტოლების ამოხსნისას ვპოულობთ:

(1) განტოლებით ჩანაცვლებით მივიღებთ:

მარცხენა მხარეს მივიღეთ გამოთქმები, რომლებსაც აზრი არ აქვს.

მაშასადამე, (1) განტოლების ფესვი არ არის. ეს გულისხმობს, რომ განტოლებები (1) და არ არის ეკვივალენტური.

ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვამბობთ, რომ განტოლებამ (1) შეიძინა უცხო ფესვი.

მოდით შევადაროთ (1) განტოლების ამონახსნი იმ განტოლებების ამოხსნას, რომლებიც ადრე განვიხილეთ (იხ. § 51). ამ განტოლების ამოხსნისას ჩვენ უნდა შეგვესრულებინა ორი ისეთი ოპერაცია, რომელიც აქამდე არ იყო ნანახი: პირველი, გავამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე უცნობის (საერთო მნიშვნელის) შემცველი გამოსახულებით და მეორე, შევამცირეთ ალგებრული წილადები ფაქტორების შემცველობით. უცნობი .

განტოლების (1) განტოლების (2) შედარებისას, ჩვენ ვხედავთ, რომ ყველა x მნიშვნელობა არ არის მოქმედი განტოლებისთვის (2) მართებულია განტოლებისთვის (1).

ეს არის 1 და 3 რიცხვები, რომლებიც არ არის უცნობის დასაშვები მნიშვნელობები (1) და გარდაქმნის შედეგად ისინი დასაშვები გახდნენ განტოლებისთვის (2). ამ რიცხვებიდან ერთ-ერთი აღმოჩნდა (2) განტოლების ამონახსნი, მაგრამ, რა თქმა უნდა, ეს არ შეიძლება იყოს (1) განტოლების ამონახსნი. განტოლებას (1) არ აქვს ამონახსნები.

ეს მაგალითი გვიჩვენებს, რომ როდესაც განტოლების ორივე მხარე მრავლდება უცნობის შემცველ ფაქტორზე და როდის ალგებრული წილადებიშეიძლება მივიღოთ განტოლება, რომელიც არ არის მოცემულის ეკვივალენტური, კერძოდ: შეიძლება გამოჩნდეს უცხო ფესვები.

აქედან გამომდინარე ვაკეთებთ შემდეგ დასკვნას. მნიშვნელში უცნობის შემცველი განტოლების ამოხსნისას, მიღებული ფესვები უნდა შემოწმდეს თავდაპირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით. უცხო ფესვებიუნდა განადგურდეს.

თავად წილადებთან განტოლებები არ არის რთული და ძალიან საინტერესო. განვიხილოთ წილადი განტოლებების სახეები და მათი ამოხსნის გზები.

როგორ ამოხსნათ განტოლებები წილადებით - x მრიცხველში

მოცემულ შემთხვევაში წილადი განტოლება, სადაც მრიცხველში უცნობია, ამოხსნა არ საჭიროებს დამატებით პირობებს და იხსნება ზედმეტი პრობლემების გარეშე. ზოგადი ფორმაასეთი განტოლებაა x/a + b = c, სადაც x უცნობია, a, b და c ჩვეულებრივი რიცხვებია.

იპოვეთ x: x/5 + 10 = 70.

განტოლების ამოსახსნელად, თქვენ უნდა მოიცილოთ წილადები. გაამრავლეთ განტოლების თითოეული წევრი 5-ზე: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x და 5 მცირდება, 10 და 70 მრავლდება 5-ზე და მივიღებთ: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

იპოვეთ x: x/5 + x/10 = 90.

ეს მაგალითი პირველის ოდნავ უფრო რთული ვერსიაა. აქ ორი გამოსავალია.

• ვარიანტი 1: გაათავისუფლეთ წილადები განტოლების ყველა წევრის უფრო დიდ მნიშვნელზე გამრავლებით, ანუ 10-ზე: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
• ვარიანტი 2: დაამატეთ განტოლების მარცხენა მხარე. x/5 + x/10 = 90. საერთო მნიშვნელი არის 10. 10 გავყოთ 5-ზე, გავამრავლოთ x-ზე, მივიღებთ 2x-ს. 10 გაყოფილი 10-ზე, გამრავლებული x-ზე მივიღებთ x: 2x+x/10 = 90. აქედან გამომდინარე 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

ხშირად არის წილადი განტოლებები, რომლებშიც x-ები შედის სხვადასხვა მხარეებითანაბარი ნიშანი. ასეთ სიტუაციაში აუცილებელია ყველა წილადი x-ით გადავიტანოთ ერთი მიმართულებით, ხოლო რიცხვები სხვა მიმართულებით.

• იპოვეთ x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• გადაიტანეთ 2x/5 მარჯვნივ საპირისპირო ნიშნით: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• ვამცირებთ 5x/5 და ვიღებთ: x = 130.

როგორ ამოხსნათ განტოლება წილადებით - x მნიშვნელში

ამ ტიპის წილადი განტოლებები მოითხოვს დამატებითი პირობების ჩაწერას. ამ პირობების მითითება სავალდებულო და განუყოფელი ნაწილია სწორი გადაწყვეტილება. თუ მათ არ მიაკუთვნებთ, თქვენ რისკავთ, რადგან პასუხი (თუნდაც სწორი იყოს) შეიძლება უბრალოდ არ ჩაითვალოს.

წილადი განტოლებების ზოგადი ფორმა, სადაც x არის მნიშვნელში, არის: a/x + b = c, სადაც x უცნობია, a, b, c ჩვეულებრივი რიცხვებია. გაითვალისწინეთ, რომ x არ შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი. მაგალითად, x არ შეიძლება იყოს ნული, რადგან თქვენ არ შეგიძლიათ გაყოთ 0-ზე. ეს არის ის, რაც არის დამატებითი პირობა, რომელიც უნდა დავაზუსტოთ. ამას ეწოდება მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი, შემოკლებით - ODZ.

იპოვეთ x: 15/x + 18 = 21.

ჩვენ დაუყოვნებლივ ვწერთ ODZ-ს x-ზე: x ≠ 0. ახლა, როცა ODZ არის მითითებული, განტოლებას ვხსნით სტანდარტული სქემის მიხედვით, წილადებისგან თავის დაღწევა. ჩვენ ვამრავლებთ განტოლების ყველა წევრს x-ზე. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

ხშირად არის განტოლებები, სადაც მნიშვნელი შეიცავს არა მხოლოდ x-ს, არამედ მასთან ერთად სხვა ოპერაციას, როგორიცაა შეკრება ან გამოკლება.

იპოვეთ x: 15/(x-3) + 18 = 21.

ჩვენ უკვე ვიცით, რომ მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს ნული, რაც ნიშნავს x-3 ≠ 0. -3-ს გადავიტანთ მარჯვენა მხარე, „-“ ნიშნის „+“-ზე შეცვლისას მივიღებთ, რომ x ≠ 3. მითითებულია ODZ.

ამოხსენით განტოლება, გაამრავლეთ ყველაფერი x-3-ზე: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

გადაიტანეთ x-ები მარჯვნივ, რიცხვები მარცხნივ: 24 = 3x => x = 8.

ინსტრუქცია

ალბათ ყველაზე აშკარა წერტილი აქ არის, რა თქმა უნდა, . რიცხვითი წილადები არანაირ საფრთხეს არ წარმოადგენს (წილადი განტოლებები, სადაც მხოლოდ რიცხვებია ყველა მნიშვნელში, ძირითადად წრფივი იქნება), მაგრამ თუ მნიშვნელში არის ცვლადი, მაშინ ეს უნდა იქნას გათვალისწინებული და დაწესებული. ჯერ ერთი, ეს არის ის, რომ x, რომელიც აქცევს მნიშვნელს 0-ზე, არ შეიძლება იყოს და ზოგადად საჭიროა ცალკე დარეგისტრირება იმისა, რომ x არ შეიძლება იყოს ამ რიცხვის ტოლი. მაშინაც კი, თუ თქვენ მოახერხებთ, რომ მრიცხველში ჩანაცვლებისას ყველაფერი მშვენივრად ემთხვევა და აკმაყოფილებს პირობებს. მეორეც, ჩვენ არ შეგვიძლია გავამრავლოთ განტოლების ერთი ან ორივე მხარე ნულის ტოლი.

ამის შემდეგ, ასეთი განტოლება მცირდება მისი ყველა წევრის მარცხენა მხარეს გადასატანად ისე, რომ 0 დარჩეს მარჯვენა მხარეს.

აუცილებელია ყველა ტერმინის საერთო მნიშვნელთან მიყვანა, მრიცხველების გამრავლება გამოტოვებულ გამონათქვამებზე.
შემდეგი, ჩვენ ვხსნით მრიცხველში დაწერილ ჩვეულებრივ განტოლებას. ჩვენ შეგვიძლია გავუძლოთ საერთო ფაქტორებიფრჩხილებიდან გამოვიყენოთ შემოკლებული გამრავლება, მივცეთ მსგავსი, გამოვთვალოთ კვადრატული განტოლების ფესვები დისკრიმინანტის მეშვეობით და ა.შ.

შედეგი უნდა იყოს ფაქტორიზაცია ფრჩხილების ნამრავლის სახით (x-(i-th root)). ის ასევე შეიძლება შეიცავდეს მრავალწევრებს, რომლებსაც არ აქვთ ფესვები, მაგალითად, კვადრატული ტრინომიალინულზე ნაკლები დისკრიმინანტით (თუ, რა თქმა უნდა, პრობლემას მხოლოდ რეალური ფესვები არ აქვს, როგორც ყველაზე ხშირად ხდება).
დარწმუნდით, რომ ფაქტორიზაცია და მნიშვნელი გააკეთეთ იქ არსებული ფრჩხილების მდებარეობიდან, რომელიც უკვე შეიცავს მრიცხველში. თუ მნიშვნელი შეიცავს გამონათქვამებს, როგორიცაა (x-(რიცხვი)), მაშინ უმჯობესია, საერთო მნიშვნელზე დაყვანისას, არ გავამრავლოთ მასში არსებული ფრჩხილები „პირისპირ“, არამედ დატოვოთ ისინი ნამრავლის სახით. ორიგინალური მარტივი გამონათქვამები.
იგივე ფრჩხილები მრიცხველსა და მნიშვნელში შეიძლება შემცირდეს x-ზე პირობების წინასწარ ჩაწერით, როგორც ზემოთ აღინიშნა.
პასუხი იწერება ხვეული ფრჩხილებით, x მნიშვნელობების სიმრავლის სახით, ან უბრალოდ ჩამოთვლით: x1=..., x2=... და ა.შ.

წყაროები:

• წილადი რაციონალური განტოლებები

ის, რისი უარყოფაც შეუძლებელია ფიზიკაში, მათემატიკაში, ქიმიაში. სულ მცირე. ჩვენ ვსწავლობთ მათი გადაწყვეტის საფუძვლებს.

ინსტრუქცია

ყველაზე ზოგად და უმარტივეს კლასიფიკაციაში ის შეიძლება დაიყოს მათში შემავალი ცვლადების რაოდენობის მიხედვით და ამ ცვლადების დგომის ხარისხების მიხედვით.

ამოხსენით განტოლება მისი ყველა ფესვი ან დაამტკიცეთ, რომ ისინი არ არსებობენ.

ნებისმიერ განტოლებას აქვს მაქსიმუმ P ფესვები, სადაც P არის მოცემული განტოლების მაქსიმუმი.

მაგრამ ამ ფესვებიდან ზოგიერთი შეიძლება ემთხვეოდეს. ასე, მაგალითად, განტოლება x ^ 2 + 2 * x + 1 = 0, სადაც ^ არის სიძლიერის ხატულა, იკეცება გამოხატვის კვადრატში (x + 1), ანუ ორი იდენტური ფრჩხილის ნამრავლში, რომელთაგან თითოეული იძლევა x = - 1 გამოსავალს.

თუ განტოლებაში მხოლოდ ერთი უცნობია, ეს ნიშნავს, რომ თქვენ შეძლებთ მკაფიოდ იპოვოთ მისი ფესვები (რეალური ან რთული).

ამისათვის, სავარაუდოდ, დაგჭირდებათ სხვადასხვა ტრანსფორმაციები: შემოკლებული გამრავლება, კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტის და ფესვების გამოთვლა, ტერმინების ერთი ნაწილიდან მეორეზე გადატანა, საერთო მნიშვნელის შემცირება, განტოლების ორივე ნაწილის გამრავლება ერთი და იგივე გამოსახულებით. კვადრატი და ა.შ.

გარდაქმნები, რომლებიც გავლენას არ ახდენენ განტოლების ფესვებზე, იდენტურია. ისინი გამოიყენება განტოლების ამოხსნის პროცესის გასამარტივებლად.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ტრადიციული ანალიტიკური ნაცვლად გრაფიკული მეთოდიდა ჩაწერეთ ეს განტოლება ფორმით, მისი შესწავლის შემდეგ.

თუ განტოლებაში ერთზე მეტი უცნობია, მაშინ თქვენ შეძლებთ მხოლოდ ერთი მათგანის გამოხატვას მეორის თვალსაზრისით, რითაც აჩვენებთ ამონახსნთა ერთობლიობას. ასეთია, მაგალითად, განტოლებები პარამეტრებით, რომლებშიც არის უცნობი x და პარამეტრი a. გადაწყვიტე პარამეტრული განტოლება- ნიშნავს ყველა a-ს გამოსახოს x a-ით, ანუ განიხილოს ყველა შესაძლო შემთხვევა.

თუ განტოლება შეიცავს უცნობის წარმოებულებს ან დიფერენციალებს (იხილეთ სურათი), გილოცავთ, ეს არის დიფერენციალური განტოლება, და აქ თქვენ არ შეგიძლიათ ამის გარეშე უმაღლესი მათემატიკა).

წყაროები:

• იდენტობის გარდაქმნები

პრობლემის მოსაგვარებლად წილადებიუნდა ვისწავლოთ მათთან ურთიერთობა არითმეტიკული მოქმედებები. ისინი შეიძლება იყოს ათობითი, მაგრამ ყველაზე ხშირად გამოიყენება ბუნებრივი ფრაქციებიმრიცხველით და მნიშვნელით. მხოლოდ ამის შემდეგ შეძლებთ გადაწყვეტილების მიღებას. მათემატიკური პრობლემებითან წილადური მნიშვნელობები.

დაგჭირდებათ

• - კალკულატორი;
• - წილადების თვისებების ცოდნა;
• - წილადებთან მუშაობის უნარი.

ინსტრუქცია

წილადი არის ერთი რიცხვის მეორეზე გაყოფის ჩანაწერი. ხშირად ამის გაკეთება შეუძლებელია მთლიანად და, შესაბამისად, ეს ქმედება რჩება „დაუსრულებელი. რიცხვს, რომელიც იყოფა (იგი წილადის ნიშნის ზემოთ ან მის წინ არის) მრიცხველი ეწოდება, ხოლო მეორე რიცხვს (წილადის ნიშნის ქვეშ ან მის შემდეგ) მნიშვნელი. თუ მრიცხველი მნიშვნელზე მეტია, წილადს არასწორ წილადს უწოდებენ და მისგან შეიძლება ამოღებულ იქნას მთელი რიცხვი. თუ მრიცხველი მნიშვნელზე ნაკლები, მაშინ ასეთ წილადს სათანადო ეწოდება და მისი მთელი ნაწილიუდრის 0.

Დავალებებიიყოფა რამდენიმე ტიპად. განსაზღვრეთ რომელია დავალება. უმარტივესი ვარიანტი- წილადით გამოხატული რიცხვის წილადის პოვნა. ამ პრობლემის გადასაჭრელად საკმარისია ეს რიცხვი გავამრავლოთ წილადზე. მაგალითად, შემოიტანეს 8 ტონა კარტოფილი. პირველ კვირაში მისი 3/4 სულ. რამდენი კარტოფილი დარჩა? ამ პრობლემის გადასაჭრელად, რიცხვი 8 გაამრავლეთ 3/4-ზე. გამოვა 8 ∙ 3/4 \u003d 6 ტ.

თუ რიცხვის პოვნა გჭირდებათ მისი ნაწილის მიხედვით, გაამრავლეთ რიცხვის ცნობილი ნაწილი იმ წილადის საპასუხოდ, რომელიც აჩვენებს ამ ნაწილის რა პროპორციას შეიცავს რიცხვში. მაგალითად, 8 სტუდენტთა საერთო რაოდენობის 1/3-დან. რამდენში? ვინაიდან 8 ადამიანი არის ის ნაწილი, რომელიც წარმოადგენს ჯამის 1/3-ს, მაშინ იპოვეთ ორმხრივი, რაც უდრის 3/1-ს ან უბრალოდ 3-ს. შემდეგ მივიღოთ კლასში მოსწავლეთა რაოდენობა 8∙3=24 მოსწავლე.

როდესაც თქვენ უნდა იპოვოთ რიცხვის რომელი ნაწილია ერთი რიცხვი მეორისგან, გაყავით რიცხვი, რომელიც წარმოადგენს ნაწილს მთელ რიცხვზე. მაგალითად, თუ მანძილი არის 300 კმ და მანქანამ გაიარა 200 კმ, რამდენი იქნება ეს მთლიანი მგზავრობიდან? გაყავით ბილიკის ნაწილი 200-ზე სრული გზა 300, წილადის შემცირების შემდეგ მიიღებთ შედეგს. 200/300=2/3.

რიცხვის უცნობი წილადის ნაწილის საპოვნელად, როცა არის ცნობილი, აიღეთ მთელი რიცხვი, როგორც ჩვეულებრივი ერთეული და გამოვაკლოთ ცნობილი წილადი. მაგალითად, თუ გაკვეთილის 4/7 უკვე გავიდა, კიდევ დარჩა? აიღეთ მთელი გაკვეთილი ჩვეულებრივი ერთეულის სახით და გამოაკლეთ 4/7. მიიღეთ 1-4/7=7/7-4/7=3/7.

განტოლებების ამოხსნა წილადებითგადავხედოთ მაგალითებს. მაგალითები მარტივი და საილუსტრაციოა. მათი დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ გაიგოთ ყველაზე გასაგებად,.
მაგალითად, თქვენ უნდა ამოხსნათ მარტივი განტოლება x/b + c = d.

ამ ტიპის განტოლებას წრფივი ეწოდება, რადგან მნიშვნელი შეიცავს მხოლოდ რიცხვებს.

ამოხსნა შესრულებულია განტოლების ორივე მხარის b-ზე გამრავლებით, შემდეგ განტოლება იღებს x = b*(d – c) ფორმას, ე.ი. მარცხენა მხარეს წილადის მნიშვნელი მცირდება.

მაგალითად, როგორ ამოხსნათ წილადი განტოლება:
x/5+4=9
ორივე ნაწილს ვამრავლებთ 5-ზე. მივიღებთ:
x+20=45
x=45-20=25

კიდევ ერთი მაგალითი, სადაც უცნობი არის მნიშვნელში:

ამ ტიპის განტოლებებს ეწოდება წილადი რაციონალური ან უბრალოდ წილადი.

წილადის განტოლებას ვხსნიდით წილადებისგან თავის დაღწევით, რის შემდეგაც ეს განტოლება, ყველაზე ხშირად, გადაიქცევა წრფივ ან კვადრატულ განტოლებად, რომელიც წყდება ჩვეულებრივი გზით. თქვენ მხოლოდ უნდა გაითვალისწინოთ შემდეგი პუნქტები:

• ცვლადის მნიშვნელობა, რომელიც აქცევს მნიშვნელს 0-ზე, არ შეიძლება იყოს ფესვი;
• თქვენ არ შეგიძლიათ განტოლების გაყოფა ან გამრავლება გამოსახულებით =0.

აქ ძალაში შედის ისეთი კონცეფცია, როგორიცაა დასაშვები მნიშვნელობების ფართობი (ODZ) - ეს არის განტოლების ფესვების მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც განტოლებას აქვს აზრი.

ამრიგად, განტოლების გადასაჭრელად, აუცილებელია ფესვების პოვნა, შემდეგ კი მათი შემოწმება ODZ-სთან შესაბამისობისთვის. ის ფესვები, რომლებიც არ შეესაბამება ჩვენს DHS-ს, გამორიცხულია პასუხიდან.

მაგალითად, თქვენ უნდა ამოხსნათ წილადი განტოლება:

ზემოაღნიშნული წესიდან გამომდინარე, x არ შეიძლება იყოს = 0, ე.ი. ODZ in ამ საქმეს: x - ნებისმიერი მნიშვნელობა ნულის გარდა.

ჩვენ ვაშორებთ მნიშვნელს განტოლების ყველა წევრი x-ზე გამრავლებით

და ამოხსენით ჩვეულებრივი განტოლება

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

პასუხი: x = 1/3

მოდი, უფრო რთული განტოლება გადავწყვიტოთ:

ODZ ასევე აქ არის: x -2.

ამ განტოლების ამოხსნით ყველაფერს ერთი მიმართულებით არ გადავიტანთ და წილადებს საერთო მნიშვნელამდე არ მივყავართ. ჩვენ დაუყოვნებლივ ვამრავლებთ განტოლების ორივე მხარეს გამოსახულებით, რომელიც შეამცირებს ყველა მნიშვნელს ერთდროულად.

მნიშვნელების შესამცირებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მარცხენა მხარე x + 2-ზე, ხოლო მარჯვენა მხარე 2-ზე. ასე რომ, განტოლების ორივე მხარე უნდა გავამრავლოთ 2-ზე (x + 2):

ზუსტად ეს ჩვეულებრივი გამრავლებაწილადები, რომლებიც ზემოთ უკვე ვისაუბრეთ

ჩვენ ვწერთ იგივე განტოლებას, მაგრამ ოდნავ განსხვავებული გზით.

მარცხენა მხარე მცირდება (x + 2), ხოლო მარჯვენა მხარე 2-ით. შემცირების შემდეგ მივიღებთ ჩვეულებრივ წრფივ განტოლებას:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, რომელიც შეესაბამება ჩვენს ODZ-ს

პასუხი: x = 2.

განტოლებების ამოხსნა წილადებითარც ისე რთული, როგორც ეს შეიძლება ჩანდეს. ამ სტატიაში ჩვენ ვაჩვენეთ ეს მაგალითებით. თუ რაიმე სირთულე გაქვთ როგორ ამოხსნათ განტოლებები წილადებით, შემდეგ გააუქმეთ გამოწერა კომენტარებში.