ნაკრების კონცეფცია არის ორიგინალური არა მკაცრად განსაზღვრული კონცეფცია. ჩვენ აქ ვაძლევთ გ. კანტორს კუთვნილი კომპლექტის (უფრო ზუსტად, კომპლექტის იდეის ახსნას) განმარტებას: „მრავალფეროვნების ან ნაკრების ქვეშ ვგულისხმობ ზოგადად ყველა იმ ბევრ რამეს, რაც შეიძლება მოიფიქროს. როგორც ერთიანი, ანუ გარკვეული ელემენტების ისეთი ნაკრები, რომელიც შეიძლება ერთი კანონის საშუალებით ერთ მთლიანობად დაუკავშირდეს.

კომპლექტები, როგორც წესი, აღინიშნება ლათინური ანბანის დიდი ასოებით, ხოლო მათი ელემენტები მცირე ასოებით, თუმცა ზოგჯერ ამ კონვენციიდან გადახვევა მოგიწევთ, რადგან გარკვეული ნაკრების ელემენტები შეიძლება იყოს სხვა კომპლექტები. ის, რომ ელემენტი a ეკუთვნის A სიმრავლეს, იწერება როგორც a\ A-ში.

მათემატიკაში საქმე გვაქვს მრავალფეროვან კომპლექტებთან. ამ კომპლექტების ელემენტებისთვის ჩვენ ვიყენებთ აღნიშვნის ორ ძირითად ტიპს: მუდმივებს და ცვლადებს.

ინდივიდუალური მუდმივი (ან უბრალოდ მუდმივი) A დიაპაზონით აღნიშნავს A სიმრავლის ფიქსირებულ ელემენტს. ასეთია, მაგალითად, ნამდვილ რიცხვთა აღნიშვნები (ჩანაწერები გარკვეულ რიცხვთა სისტემაში): 0;\,2;\,7,\!34. ორ მუდმივზე b და b დიაპაზონით A დიაპაზონით დავწერთ a=b, რაც ამით ნიშნავს A სიმრავლის ელემენტების დამთხვევას მათზე.

ინდივიდუალური ცვლადი (ან უბრალოდ ცვლადი) დიაპაზონით A აღნიშნავს A სიმრავლის თვითნებურ, არა წინასწარ განსაზღვრულ ელემენტს. აქ ჩვენ ვამბობთ, რომ ცვლადი x გადის A სიმრავლეში ან ცვლადი x იღებს თვითნებურ მნიშვნელობებს A სიმრავლეზე. თქვენ შეგიძლიათ დააფიქსიროთ x ცვლადის მნიშვნელობა x=a ჩაწერით, სადაც a არის მუდმივი იგივე დიაპაზონით, როგორც x. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვამბობთ, რომ x ცვლადის ნაცვლად მისი კონკრეტული მნიშვნელობა ჩანაცვლდა a, ან a ჩანაცვლდა x, ან x ცვლადმა მიიღო მნიშვნელობა a.

x=y ცვლადების ტოლობა გაგებულია შემდეგნაირად: როცა ცვლადი x იღებს თვითნებურ მნიშვნელობას a , ცვლადი y იღებს იმავე მნიშვნელობას a , და პირიქით. ამრიგად, თანაბარი ცვლადები „სინქრონულად“ ყოველთვის ერთსა და იმავე მნიშვნელობებს იღებენ.

ჩვეულებრივ მუდმივები და ცვლადები, რომელთა დიაპაზონი არის გარკვეული რიცხვითი ნაკრები, კერძოდ, ერთ-ერთი სიმრავლე \mathbb(N),\, \mathbb(Z),\, \mathbb(Q),\, \mathbb(R)და \mathbb(C) ეწოდება, შესაბამისად, ბუნებრივი, მთელი რიცხვი (ან მთელი რიცხვი), რაციონალური, რეალური და რთული მუდმივებიდა ცვლადები. დისკრეტული მათემატიკის მსვლელობისას ჩვენ გამოვიყენებთ სხვადასხვა მუდმივებსა და ცვლადებს, რომელთა დიაპაზონი ყოველთვის არ არის რიცხვითი სიმრავლე.

ჩანაწერის შესამცირებლად გამოვიყენებთ ლოგიკურ სიმბოლიკას, რომელიც საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ განცხადებები მოკლედ, ფორმულების მსგავსად. გამოთქმის ცნება არ არის განსაზღვრული. მხოლოდ მითითებულია, რომ ნებისმიერი განცხადება შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი ან მცდარი (რა თქმა უნდა, არა ორივე ერთდროულად!).

ლოგიკური ოპერაციები (აკინძები) კომპლექტებზე

არსებული განცხადებებიდან ახალი განცხადებების ფორმირებისთვის გამოიყენება შემდეგი ლოგიკური ოპერაციები (ან ლოგიკური კავშირები).

1. Disjunction \lor : წინადადება P\lor Q (წაიკითხეთ: "P ან Q") მართალია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ P და Q წინადადებებიდან ერთი მაინც არის ჭეშმარიტი.

2. \land შეერთება: P\land Q (წაიკითხეთ: "P და Q") მართალია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ორივე P და Q მართალია.

3. \lარა უარყოფა: \lnot P (წაიკითხეთ: "არა P") არის ჭეშმარიტი, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ P არის მცდარი.

4. იმპლიკაცია \Rightarrow : წინადადება P \Rightarrow Q (წაიკითხეთ: "თუ P მაშინ Q" ან "P გულისხმობს Q") არის ჭეშმარიტი, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ წინადადება მართალია ან ორივე წინადადება მცდარია.

5. ეკვივალენტობა (ან ეკვივალენტობა) \მარცხენა მარჯვენა ისარი: წინადადება (წაიკითხეთ: "P თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ Q") არის ჭეშმარიტი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ორივე წინადადება P და Q არის ორივე ჭეშმარიტი ან ორივე მცდარი. ნებისმიერი ორი დებულება P და Q ისეთი, რომელიც მართალია P \მარცხენა მარჯვენა ისარი Q, უწოდებენ ლოგიკურად ეკვივალენტს ან ეკვივალენტს.

წინადადებების ჩაწერასთან ერთად ლოგიკური ოპერაციები, ვვარაუდობთ, რომ ყველა ოპერაციის შესრულების თანმიმდევრობა განისაზღვრება ფრჩხილების განლაგებით. აღნიშვნის გასამარტივებლად, ფრჩხილები ხშირად გამოტოვებულია ოპერაციების გარკვეული თანმიმდევრობის მიღებისას ("პრიორიტეტული კონვენცია").

უარყოფის ოპერატორი ყოველთვის პირველ რიგში სრულდება და ამიტომ ის არ არის ჩასმული ფრჩხილებში. მეორე ასრულებს შეერთების მოქმედებას, შემდეგ დისიუნქციას და ბოლოს იმპლიკაციას და ეკვივალენტობას. მაგალითად, განცხადება (\lnot P)\lor Q იწერება როგორც \lnot P\lor Q. ეს წინადადება არის ორი წინადადების განცალკევება: პირველი არის P-ის უარყოფა, ხოლო მეორე არის Q-ის უარყოფა. ამის საპირისპიროდ, წინადადება \lnot (P\lor Q) არის P და Q წინადადებების დისიუქციის უარყოფა.

მაგალითად, განცხადება \lარა P\land Q\lor\lარა Q\land P \Rightarrow\lარა Qპრიორიტეტების შესაბამისად ფრჩხილების განთავსების შემდეგ ის მიიღებს ფორმას

\bigl(((\lარა P)\land Q)\lor ((\lარა Q)\land P)\bigr)\Rightarrow (\lარა Q).

მოდით გავაკეთოთ რამდენიმე კომენტარი ზემოთ ჩამოთვლილ ლოგიკურ კავშირებზე. დისიუნქციის, კავშირისა და უარყოფის აზრობრივი ინტერპრეტაცია არ საჭიროებს განსაკუთრებულ განმარტებებს. მნიშვნელობა P \Rightarrow Q არის ჭეშმარიტი, განსაზღვრებით, როდესაც Q მართალია (მიუხედავად იმისა, რომ P მართალია) ან P და Q ორივე მცდარია. ამრიგად, თუ იმპლიკაცია P\Rightarrow Q არის ჭეშმარიტი, მაშინ როდესაც P არის ჭეშმარიტი, Q მართალია, მაგრამ საპირისპირო შეიძლება არ იყოს ჭეშმარიტი, ე.ი. როდესაც P მცდარია, Q შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი ან მცდარი. ეს მოტივაციას უწევს იმპლიკაციის წაკითხვას „თუ P, მაშინ Q“ სახით. ასევე ადვილი გასაგებია, რომ დებულება P\Rightarrow Q არის დებულების \lnot P\lor Q ტოლფასი და, ამრიგად, მნიშვნელობით "თუ P , მაშინ Q" იდენტიფიცირებულია "არა P ან Q"-ით.

ეკვივალენტობა \Leftrightarrow სხვა არაფერია, თუ არა "ორმხრივი იმპლიკატი", ე.ი. P\მარცხენა მარჯვენა ისარი Qუდრის (P \Rightarrow Q)\land (Q \Rightarrow P). ეს ნიშნავს, რომ P-ის ჭეშმარიტება გულისხმობს Q-ს ჭეშმარიტებას და პირიქით, Q-ს ჭეშმარიტება გულისხმობს P-ის ჭეშმარიტებას.

მაგალითი 1.1.რთული განცხადების სიმართლის ან სიცრუის დასადგენად, მასში შემავალი განცხადებების სიმართლის ან სიცრუის მიხედვით, გამოიყენება ჭეშმარიტების ცხრილები.

ცხრილის პირველი ორი სვეტი აღწერს მნიშვნელობების ყველა შესაძლო კომპლექტს, რომელიც შეიძლება მიიღოს P და Q განცხადებებმა. განცხადების სიმართლე მითითებულია ასო „I“ ან რიცხვი 1, ხოლო სიცრუე - ასო „L“ ან რიცხვი 0. დარჩენილი სვეტები ივსება მარცხნიდან მარჯვნივ. ასე რომ, P და Q მნიშვნელობების თითოეული ნაკრებისთვის, ნაპოვნია შესაბამისი წინადადების მნიშვნელობები.

ლოგიკური მოქმედებების სიმართლის ცხრილებს აქვთ უმარტივესი ფორმა (ცხრილები 1.1-1.5).

განვიხილოთ რთული განცხადება (\lარა P\land Q)\Rightarrow (\lარა Q\ მიწა P). გამოთვლითი მოხერხებულობისთვის ჩვენ აღვნიშნავთ დებულებას \lnot P\land Q A-ით, დებულებას \lnot Q\land P B-ით და ვწერთ თავდაპირველ განცხადებას, როგორც A \Rightarrow B. ამ განცხადების სიმართლის ცხრილი შედგება სვეტებისგან P,\,Q,\,A,\,B და A \Rightarrow B (ცხრილი 1.6).

პრედიკატები და რაოდენობები

რთული განცხადებები იქმნება არა მხოლოდ ლოგიკური კავშირებით, არამედ პრედიკატებისა და რაოდენობების დახმარებით.

პრედიკატი არის განცხადება, რომელიც შეიცავს ერთ ან მეტ ცალკეულ ცვლადს. მაგალითად, "x არის ლუწი რიცხვი" ან "x არის მოსკოვის სახელმწიფო ტექნიკური უნივერსიტეტის სტუდენტი. ბაუმანი, მიღებული 1999 წელს". პირველ პრედიკატში x არის მთელი ცვლადი, მეორეში - ცვლადი, რომელიც გადის "ადამიანის ინდივიდების" სიმრავლეს. პრედიკატის მაგალითი, რომელიც შეიცავს რამდენიმე ინდივიდუალურ ცვლადს, არის: "x არის ძე. y“, „x, y და z სწავლობენ ერთ ჯგუფში“, „x იყოფა y-ზე“, „x ნაკლებია y-ზე“ და ა.შ. პრედიკატებს ფორმაში დავწერთ. P(x),\, Q(x,y),\, R(x,y,z), იმ ვარაუდით, რომ მოცემულ პრედიკატში შემავალი ყველა ცვლადი ჩამოთვლილია ფრჩხილებში.

პრედიკატში შემავალი თითოეული ცვლადის ნაცვლად ჩანაცვლება P(x_1,\ldots,x_n), სპეციფიკური მნიშვნელობა, ე.ი. მნიშვნელობების დაფიქსირებით, სადაც a_1,\ldots,a_n არის გარკვეული მუდმივები მნიშვნელობების შესაბამისი დიაპაზონით, ვიღებთ განცხადებას, რომელიც არ შეიცავს ცვლადებს. მაგალითად, "2 არის ლუწი რიცხვი", "ისააკ ნიუტონი არის ბაუმანის სახელობის მოსკოვის სახელმწიფო ტექნიკური უნივერსიტეტის სტუდენტი, რომელიც შევიდა 1999 წელს", "ივანოვი არის პეტროვის შვილი", "5 იყოფა 7-ზე", და ა.შ. გამომდინარე იქიდან, არის თუ არა ამგვარად მიღებული დებულება ჭეშმარიტი ან მცდარი, პრედიკატი P დაკმაყოფილებულია თუ არ არის დაკმაყოფილებული ცვლადების მნიშვნელობების სიმრავლეში. x_1=a_1,\ldots,x_n=a_n. პრედიკატს, რომელიც დაკმაყოფილებულია მასში შემავალ ცვლადების ნებისმიერ კომპლექტზე, ეწოდება იდენტურად ჭეშმარიტი, ხოლო პრედიკატს, რომელიც არ არის დაკმაყოფილებული მისი ცვლადების მნიშვნელობების რომელიმე კომპლექტზე, ეწოდება იდენტურად მცდარი.

პრედიკატის განცხადება შეიძლება მიღებულ იქნეს არა მხოლოდ მისი ცვლადების მნიშვნელობების ჩანაცვლებით, არამედ რაოდენობების საშუალებით. შემოყვანილია ორი კვანტიფიკატორი - არსებობა და უნივერსალურობა, აღნიშნავენ შესაბამისად \არსებობს და \forall.

განცხადება (\ყველა x\in A)P(x)("ყოველი x ელემენტისთვის A-ში, P(x) არის ჭეშმარიტი", ან, უფრო მოკლედ, "ყველა x\-ში, P(x) არის ჭეშმარიტი") მართალია, განსაზღვრებით, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ პრედიკატი P (x) შესრულებულია x ცვლადის თითოეული მნიშვნელობისთვის.

განცხადება (\არსებობს x\ A)P(x)("არსებობს ან არსებობს A სიმრავლის ისეთი ელემენტი x, რომ P(x) არის ჭეშმარიტი ", ასევე "ზოგიერთი x\in A P(x) მართალია") არის ჭეშმარიტი, განსაზღვრებით, თუ და მხოლოდ თუ x ცვლადის ზოგიერთ მნიშვნელობაზე, P(x) პრედიკატი დაკმაყოფილებულია.

პრედიკატული ცვლადების ასოცირება რაოდენობებთან

როდესაც დებულება ფორმირდება პრედიკატიდან კვანტიფიკატორის საშუალებით, ამბობენ, რომ პრედიკატის ცვლადი შეკრულია კვანტიფიკატორით. ანალოგიურად, ცვლადები შეკრულია პრედიკატებში, რომლებიც შეიცავს რამდენიმე ცვლადს. ზოგად შემთხვევაში, ფორმის გამონათქვამები

(Q_1x_1\ A_1-ში)(Q_2x_2\ A_2-ში)\ldots (Q_nx_n\ A_n-ში) P(x_1,x_2, \ldots, x_n),

სადაც ნებისმიერი კვანტიფიკატორი \forall ან \არსებობს შეიძლება ჩაანაცვლოს თითოეული ასო Q ინდექსით.

მაგალითად, განცხადება (\ყველა x\in A)(\არსებობს y\in B)P(x,y)ასე იკითხება: "ყოველ x\in A-სთვის არსებობს y\in B ისეთი, რომ P(x,y) არის ჭეშმარიტი". თუ კომპლექტები, რომლებიც გადის პრედიკატის ცვლადებში, დაფიქსირდა (იგულისხმება "ნაგულისხმევად"), მაშინ კვანტიფიკატორები იწერება შემოკლებული ფორმით: (\forall x)P(x) ან (\exists x)P(x) .

გაითვალისწინეთ, რომ ბევრი მათემატიკური თეორემებიშეიძლება დაიწეროს კვანტიფიკატორის დებულებების მსგავსი ფორმით, მაგალითად: "ყველა f და ყველა a true: თუ f არის დიფერენცირებადი ფუნქცია a-ზე, მაშინ f ფუნქცია უწყვეტია a-ზე".

კომპლექტების დაზუსტების გზები

ლოგიკური სიმბოლიზმის გამოყენების თავისებურებების განხილვის შემდეგ, დავუბრუნდეთ კომპლექტების განხილვას.

ორი A და B სიმრავლე ითვლება ტოლად, თუ A სიმრავლის რომელიმე x ელემენტი არის B სიმრავლის ელემენტი და პირიქით. თანაბარ სიმრავლეთა ზემოაღნიშნული განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ სიმრავლე მთლიანად განისაზღვრება მისი ელემენტებით.

განვიხილოთ კონკრეტული ნაკრებების დაზუსტების გზები. სასრულ სიმრავლისთვის, რომლის ელემენტების რაოდენობა შედარებით მცირეა, შეიძლება გამოყენებულ იქნას ელემენტების პირდაპირი ჩამოთვლის მეთოდი. სასრული ნაკრების ელემენტები ჩამოთვლილია ხვეულ ფრჩხილებში თვითნებურად ფიქსირებული შეკვეთა\(1;3;5\) . ჩვენ ხაზს ვუსვამთ იმას, რომ რადგან სიმრავლე მთლიანად განისაზღვრება მისი ელემენტებით, მაშინ როდესაც მითითებულია სასრული სიმრავლე, მისი ელემენტების ჩამოთვლის თანმიმდევრობას მნიშვნელობა არ აქვს. ამიტომ ჩანაწერები \{1;3;5\},\, \{3;1;5\},\, \{5;3;1\} და ა.შ. ყველა განსაზღვრავს ერთსა და იმავე კომპლექტს. გარდა ამისა, ზოგჯერ ელემენტების გამეორება გამოიყენება კომპლექტების აღნიშვნაში. ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ აღნიშვნა \(1;3;3;5;5\) განსაზღვრავს იგივე სიმრავლეს, როგორც აღნიშვნა \(1;3;5\) .

ზოგად შემთხვევაში, სასრული ნაკრებისთვის გამოიყენება აღნიშვნა. როგორც წესი, ელემენტების გამეორებას ერიდება. შემდეგ აღნიშვნით მოცემული სასრული სიმრავლე \(a_1,\ldots,a_n\), შედგება n ელემენტისგან. მას ასევე უწოდებენ n-ელემენტების კომპლექტს.

თუმცა, სიმრავლის დაზუსტების მეთოდი მისი ელემენტების უშუალოდ ჩამოთვლით გამოიყენება სასრულ სიმრავლეების ძალიან ვიწრო დიაპაზონში. კონკრეტული კომპლექტების მითითების ყველაზე ზოგადი გზა არის გარკვეული თვისებების მითითება, რომელიც აღწერილი ნაკრების ყველა ელემენტს უნდა ჰქონდეს და მხოლოდ მათ.

ეს იდეა ხორციელდება შემდეგი გზით. მოდით, x ცვლადი გაიაროს ზოგიერთ U სიმრავლეში, რომელსაც ეწოდება უნივერსალური სიმრავლე. ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ განიხილება მხოლოდ ისეთი სიმრავლეები, რომელთა ელემენტებიც U სიმრავლის ელემენტებია. ამ შემთხვევაში თვისება, რომელიც მხოლოდ A სიმრავლის ელემენტებს აქვთ, შეიძლება გამოისახოს პრედიკატის P(x) საშუალებით, რომელიც შესრულდება თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ცვლადი x იღებს თვითნებურ მნიშვნელობას A სიმრავლიდან. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, P(x) მართალია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ინდივიდუალური მუდმივი a\in A ჩანაცვლებულია x-ით.

P პრედიკატს ამ შემთხვევაში უწოდებენ A სიმრავლის მახასიათებელ პრედიკატს, ხოლო ამ პრედიკატის გამოყენებით გამოხატულ თვისებას - დამახასიათებელი თვისება ან კოლექტივიზაციის თვისება.

დამახასიათებელი პრედიკატის მეშვეობით განსაზღვრული სიმრავლე იწერება შემდეგი სახით:

A=\bigl\(x\colon~ P(x)\bigr\).

Მაგალითად, A=\(x\in\mathbb(N)\colon\, 2x\)ნიშნავს, რომ "A არის სიმრავლე, რომელიც შედგება ყველა ელემენტისგან x ისეთი, რომ თითოეული მათგანი ლუწი ნატურალური რიცხვია".

ტერმინი „საკუთრების კოლექტივიზაცია“ მოტივირებულია იმით, რომ ეს თვისება საშუალებას გაძლევთ შეაგროვოთ განსხვავებული ელემენტები ერთ მთლიანობაში. ამრიგად, თვისება, რომელიც განსაზღვრავს G სიმრავლეს (იხ. ქვემოთ) ფაქტიურად ქმნის ერთგვარ „კოლექტივს“:

თუ დავუბრუნდებით სიმრავლის კანტორის განმარტებას, მაშინ სიმრავლის დამახასიათებელი პრედიკატი არის კანონი, რომლითაც ელემენტების სიმრავლე გაერთიანებულია ერთ მთლიანობაში. პრედიკატი, რომელიც აკონკრეტებს კოლექტივიზებულ თვისებას, შეიძლება იდენტურად ყალბი იყოს. ამ გზით განსაზღვრულ კომპლექტს არ ექნება ელემენტები. მას ეწოდება ცარიელი ნაკრები და აღინიშნება \varnothing.

ამის საპირისპიროდ, იდენტური ჭეშმარიტი დამახასიათებელი პრედიკატი განსაზღვრავს უნივერსალურ სიმრავლეს.

გაითვალისწინეთ, რომ ყველა პრედიკატი არ გამოხატავს გარკვეულ კოლექტივიზებულ თვისებას.

შენიშვნა 1.1.უნივერსალური კომპლექტის კონცეფციის სპეციფიკური შინაარსი განისაზღვრება ფაქტით კონკრეტული კონტექსტი, რომელშიც ვიყენებთ სიმრავლე-თეორიულ იდეებს. მაგალითად, თუ საქმე გვაქვს მხოლოდ სხვადასხვა ციფრულ სიმრავლეებთან, მაშინ სიმრავლე \mathbb(R) ყველა რეალური რიცხვიდან შეიძლება გამოჩნდეს უნივერსალური სახით. მათემატიკის თითოეული ფილიალი ეხება კომპლექტების შედარებით შეზღუდულ კომპლექტს. მაშასადამე, მოსახერხებელია ვივარაუდოთ, რომ თითოეული ამ ნაკრების ელემენტები ასევე არის ზოგიერთი უნივერსალური ნაკრების ელემენტები, რომლებიც „იფარავს“ მათ. უნივერსალური სიმრავლის დაფიქსირებით, ჩვენ ამით ვაფიქსირებთ ყველა ცვლადისა და მუდმივის მნიშვნელობების დიაპაზონს, რომლებიც ჩანს ჩვენს მათემატიკური მსჯელობაში. ამ შემთხვევაში, ზუსტად შესაძლებელია, რაოდენობებში არ მიეთითოს ის ნაკრები, რომელიც გადის კვანტიფიკატორით შეკრულ ცვლადში. შემდგომში ჩვენ შევხვდებით კონკრეტული უნივერსალური კომპლექტების სხვადასხვა მაგალითებს.

კანტორის ნაკრების თეორია. კანტორმა შეიმუშავა გარკვეული ტექნიკა რეალურად უსასრულო სიმრავლეებთან მუშაობისთვის და ააშენა რაოდენობის ცნების გარკვეული ანალოგი უსასრულო სიმრავლეებისთვის. ამ ტექნიკის საფუძველია ორი კომპლექტის ელემენტებს შორის ერთი-ერთზე შესაბამისობის კონცეფცია. ისინი ამბობენ, რომ ორი კომპლექტის ელემენტები შეიძლება მოთავსდეს ერთ-ერთ კორესპონდენციაში, თუ პირველი ნაკრების თითოეული ელემენტი შეიძლება ასოცირებული იყოს მეორე ნაკრების ელემენტთან, განსხვავებული - განსხვავებული და ამავე დროს, თითოეული ელემენტი მეორე ნაკრები შეესაბამება პირველის ზოგიერთ ელემენტს. ამბობენ, რომ ასეთი კომპლექტები ექვივალენტურია, რომ მათ აქვთ იგივე კარდინალურობა, ან იგივე კარდინალური ნომერი. თუ შეიძლება დადასტურდეს, რომ A სიმრავლის ელემენტები შეიძლება მოთავსდეს ერთ-ერთ შესაბამისობაში B სიმრავლის B1 ქვეჯგუფის ელემენტებთან, ხოლო B სიმრავლის ელემენტები არ შეიძლება ერთ-ერთში. -ერთი შესაბამისობა A-ს ელემენტებთან, შემდეგ ამბობენ, რომ B სიმრავლის კარდინალურობა მეტია A სიმრავლის კარდინალურობაზე. ეს განმარტებები ვრცელდება სასრულ სიმრავლეებზეც. ამ შემთხვევაში სიმძლავრე სასრულ რიცხვების ანალოგია. მაგრამ უსასრულო კომპლექტებს აქვთ პარადოქსული თვისებები ამ თვალსაზრისით. უსასრულო სიმრავლე აღმოჩნდება მისი ნაწილის ექვივალენტი, მაგალითად. ისე ხდება ე.წ. გალილეოს პარადოქსი:

1, 2, 3, 4, ..., n, ...

2, 4, 6, 8, ..., 2n, ...

ეს პარადოქსები დიდი ხანია ცნობილია და, კერძოდ, სწორედ ისინი ემსახურებიან დაბრკოლებას რეალურად უსასრულო სიმრავლეების განხილვისას. ბოლცანომ ახსნა უსასრულობის პარადოქსებში, რომ რეალურად უსასრულობის სპეციფიკა უბრალოდ აქ მოქმედებს. დედეკინდმა რეალურად უსასრულო სიმრავლეების ეს თვისება დამახასიათებლად მიიჩნია.

კანტორი ავითარებს კარდინალური რიცხვების არითმეტიკას. ორი კარდინალური რიცხვის ჯამი არის მათ შესაბამისი სიმრავლეთა გაერთიანების ძალა, ნამრავლი არის ე.წ. კომპლექტები-პროდუქტები ორი მოცემული ნაკრებიდან და ა.შ. ყველაზე მნიშვნელოვანია მოცემული სიმრავლიდან სიმრავლე-ხარისხზე გადასვლა, ანუ, განსაზღვრებით, თავდაპირველი სიმრავლის ყველა ქვესიმრავლეების სიმრავლეზე. კანტორი ამტკიცებს ფუნდამენტურ თეორემას თავისი თეორიისთვის: სიმრავლე-ხარისხის კარდინალურობა უფრო მეტია, ვიდრე ორიგინალური სიმრავლის კარდინალურობა. თუ თავდაპირველი სიმრავლის სიმძლავრე დაწერილია a-ში, მაშინ, კარდინალური რიცხვების არითმეტიკის შესაბამისად, სიმრავლე-ხარისხის სიმძლავრე იქნება 2a და გვაქვს, შესაბამისად, 2a >a.

ასე რომ, გავლა რაღაც უსასრულო სიმრავლიდან, ე.ი. ყველა მრავალიდან ნატურალური რიცხვებიკარდინალობით ℵα (კანტორის აღნიშვნა) ამ ნაკრების ყველა ქვესიმრავლეების სიმრავლესთან, ამ ახალი სიმრავლის ყველა ქვესიმრავლესთან და ა.შ., მივიღებთ მუდმივად მზარდი კარდინალურობის კომპლექტების სერიას. არის რაიმე შეზღუდვა ამ ზრდას? ამ კითხვაზე პასუხის გაცემა შესაძლებელია მხოლოდ რამდენიმე დამატებითი კონცეფციის შემოღებით.

ზოგადად რომ ვთქვათ, შეუძლებელია მუშაობა უსასრულო კომპლექტებით, რომლებიც არ შეიცავს რაიმე დამატებით სტრუქტურას. ამიტომ, კანტორმა გააცნო შეკვეთილი კომპლექტები, ე.ი. კომპლექტები, ნებისმიერი ორი ელემენტისთვის, რომელთა მიმართებაა "უფრო მეტი" > (ან "ნაკლები ვიდრე"<). Это отношение должно быть транзитивным: из a < b и b < с следует: а < с. Собственно, наиболее продуктивным для теории множеств является еще более узкий класс множеств: вполне упорядоченные множества. Так называются упорядоченные множества, у которых каждое подмножество имеет наименьший элемент. Вполне упорядоченные множества легко сравнивать между собой: они отображаются одно на часть другого с сохранением порядка. Символы вполне упорядоченных множеств, или ординальные (порядковые) числа, также образуют вполне упорядоченное множество, и для них также можно определить арифметические действия: сложение (вычитание), умножение, возведение в степень. Ординальные числа играют для бесконечных множеств роль порядковых чисел, кардинальные – роль количественных. Множество (бесконечное) определенной мощности можно вполне упорядочить бесконечным числом способов, каждому из которых будет соответствовать свое ординальное число. Тем самым каждому кардиналу (Кантор ввел для обозначения кардиналов «алефы» – первую букву еврейского алфавита с индексами) ℵα будет соответствовать бесконечно много ординалов:

0 1 2 ... ω0, ω0 + 1 ... ω1... ω2 ... ωn ... ωω0 ... Ω (რიგობით)

0 1 2 ... ℵ0 ... ℵ1 ... ℵ2 ℵn …ℵ ω0 … τ („ტაუ“-კარდინალები)

სიმრავლეების თეორიის თეორემების მიხედვით, რიგითი რიცხვების Ω სკალის ნებისმიერ „სეგმენტს“, როგორც მთლიანად დალაგებულ სიმრავლეს, ექნება უფრო დიდი რიგითი, ვიდრე ყველა, რომელიც შეიცავს ამ სეგმენტს. ეს ნიშნავს, რომ შეუძლებელია ყველა Ω-ის სიმრავლედ განხილვა, რადგან წინააღმდეგ შემთხვევაში Ω-ს ექნებოდა რიგითი β, რომელიც მეტია Ω-ში ყველა რიგობით, მაგრამ რადგან ეს უკანასკნელი შეიცავს ყველა რიგს, ე.ი. და β, მაშინ ეს იქნება: β > β (ბურალი–ფორტის პარადოქსი, 1897). კანტორი ცდილობდა ამ პარადოქსის გვერდის ავლას თანმიმდევრულობის ცნების შემოღებით (1880-იანი წლებიდან). ყველა მრავლობითობა (Vielheit) არ არის მრავლობითი (Menge). სიმრავლეს ეწოდება თანმიმდევრული, ან სიმრავლე, თუ ის შეიძლება ჩაითვალოს სრულ მთლიანობად. თუ სიმრავლის ყველა ელემენტის „ერთობლივი არსებობის“ დაშვებას მივყავართ წინააღმდეგობამდე, მაშინ სიმრავლე გამოდის არათანმიმდევრული და, ფაქტობრივად, სიმრავლეების თეორიაში მისი განხილვა შეუძლებელია. ასეთი არათანმიმდევრული სიმრავლეა, კერძოდ, Ω, ყველა რიგითი რიცხვის სიმრავლე და τ („ტაუ“), ყველა კარდინალის სიმრავლე („ალეფები“). ამრიგად, ჩვენ კვლავ ვუბრუნდებით უსასრულობას, როგორც პროცესს. როგორც მე-20 საუკუნის მათემატიკოსი წერს, პ. ვოპენკა: „სიმრავლეების თეორია, რომლის ძალისხმევა მიმართული იყო პოტენციური უსასრულობის აქტუალიზაციისკენ, აღმოჩნდა, რომ ვერ შეძლო პოტენციალის აღმოფხვრა, მაგრამ მოახერხა მისი გადატანა უფრო მაღალ სფეროში“ (ვოპენკა პ. მათემატიკა ალტერნატიული სიმრავლეების თეორიაში. - „ახალი უცხოურ მეცნიერებაში. მათემატიკა“, 1983, No. 31, გვ. 124.) თუმცა ამან არ შეარცხვინა თავად კანტორი. მას სჯეროდა, რომ „ალეფების“ მასშტაბები თვით ღმერთის უსასრულობამდე ადის და, შესაბამისად, ის ფაქტი, რომ ეს უკანასკნელი მათემატიკურად გამოუთქმელი აღმოჩნდება, მისთვის თავისთავად ცხადი იყო: „მე არასდროს გამოვდიოდი ფაქტობრივი უსასრულობის არცერთი „Genus supremum“-დან. . პირიქით, მე მკაცრად დავამტკიცე "Genus supremum"-ის აბსოლუტური არარსებობა რეალური უსასრულობისთვის. ის, რაც აღემატება ყველაფერს უსასრულო და ტრანსსასრულს, არ არის „გვარი“; ეს არის ერთადერთი, უაღრესად ინდივიდუალური ერთობა, რომელშიც შედის ყველაფერი, რაც მოიცავს ადამიანის გაგებისთვის გაუგებარ „აბსოლუტს“. ეს არის "Actus Purissimus", რომელსაც ბევრი უწოდებს ღმერთს" (Meschkowski H. Zwei unveroffentlichte Briefe Georg Cantors. - "Der Mathematilkuntemcht", 1971, No. 4, S. 30–34).

ბ.ჰ.კატასონოვი

ახალი ფილოსოფიური ენციკლოპედია. ოთხ ტომად. / ფილოსოფიის ინსტიტუტი RAS. სამეცნიერო რედ. რჩევა: V.S. სტეპინი, ა.ა. ჰუსეინოვი, გ.იუ. ნახევრადგინი. მ., აზროვნება, 2010, ტ I, A - D, გვ. 249-250 წწ.

განათლებით თეორიული ფიზიკოსი ვარ, მაგრამ მათემატიკური გამოცდილება მაქვს. მაგისტრატურაში ერთ-ერთი საგანი იყო ფილოსოფია, საჭირო იყო თემის არჩევა და მასზე ნაშრომის წარდგენა. მას შემდეგ, რაც ყველაზე მეტი ვარიანტი იყო არაერთხელ obmusoleny, გადავწყვიტე, აირჩიოს რაღაც უფრო ეგზოტიკური. მე არ ვაპირებ პრეტენზიას სიახლეზე, უბრალოდ მოვახერხე ამ თემაზე ყველა / თითქმის ყველა არსებული ლიტერატურის დაგროვება. ფილოსოფოსებს და მათემატიკოსებს შეუძლიათ ჩემზე ქვების სროლა, მე მხოლოდ მადლობელი ვიქნები კონსტრუქციული კრიტიკისთვის.

P.S. ძალიან "მშრალი ენა", მაგრამ საკმაოდ იკითხება უნივერსიტეტის პროგრამის შემდეგ. უმეტესწილად, პარადოქსების განმარტებები აღებულია ვიკიპედიიდან (გამარტივებული ფორმულირება და მზა TeX მარკირება).

შესავალი

როგორც თავად სიმრავლეების თეორია, ასევე მასში თანდაყოლილი პარადოქსები გაჩნდა არც ისე დიდი ხნის წინ, სულ რაღაც ას წელზე მეტი ხნის წინ. თუმცა, ამ პერიოდის განმავლობაში დიდი გზა გაიარა, სიმრავლეების თეორია, ასე თუ ისე, ფაქტობრივად გახდა მათემატიკის უმეტესი მონაკვეთების საფუძველი. მისი პარადოქსები, რომლებიც დაკავშირებულია კანტორის უსასრულობასთან, წარმატებით იქნა ახსნილი სიტყვასიტყვით ნახევარ საუკუნეში.

თქვენ უნდა დაიწყოთ განსაზღვრებით.

რა არის სიმრავლე? კითხვა საკმაოდ მარტივია, მასზე პასუხი საკმაოდ ინტუიციურია. კომპლექტი არის ელემენტების ნაკრები, რომელიც წარმოდგენილია ერთი ობიექტით. კანტორი თავის ნაშრომში Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre გვაძლევს განმარტებას: „ნაკრებში“ ჩვენ ვგულისხმობთ გარკვეულ მთლიან M-ში ერთობლიობას გარკვეული კარგად განსაზღვრული ობიექტების m ჩვენი ჭვრეტის ან ჩვენი აზროვნების (რომელსაც ეწოდოს „ელემენტები“ კომპლექტი M). როგორც ხედავთ, არსი არ შეცვლილა, განსხვავება მხოლოდ იმ ნაწილშია, რომელიც დამოკიდებულია დეტერმინანტის მსოფლმხედველობაზე. სიმრავლეების თეორიის ისტორია, როგორც ლოგიკაში, ასევე მათემატიკაში, ძალზე საკამათოა. ფაქტობრივად, კანტორმა მას საფუძველი ჩაუყარა მე-19 საუკუნეში, შემდეგ რასელმა და სხვებმა განაგრძეს მუშაობა.

პარადოქსები (ლოგიკა და სიმრავლეების თეორია) - (ბერძნული - მოულოდნელი) - ფორმალური ლოგიკური წინააღმდეგობები, რომლებიც წარმოიქმნება აზრობრივი სიმრავლეების თეორიასა და ფორმალურ ლოგიკაში მსჯელობის ლოგიკური სისწორის შენარჩუნებისას. პარადოქსები წარმოიქმნება მაშინ, როდესაც ორი ურთიერთგამომრიცხავი (წინააღმდეგობრივი) წინადადება თანაბრად დასამტკიცებელია. პარადოქსები შეიძლება გამოჩნდეს როგორც მეცნიერულ თეორიაში, ასევე ჩვეულებრივ მსჯელობაში (მაგალითად, რასელის პარადოქსი ყველა ნორმალური ნაკრების სიმრავლის შესახებ მოცემულია რასელის მიერ: ”სოფლის დალაქი იპარსავს ყველა იმ და მხოლოდ იმ მაცხოვრებლებს, ვინც თავს არ იპარსავს. ის თავს იპარსავს?"). ვინაიდან ფორმალურ-ლოგიკური წინააღმდეგობა ანადგურებს მსჯელობას, როგორც სიმართლის აღმოჩენისა და დამტკიცების საშუალებას (თეორიაში, რომელშიც პარადოქსი ჩნდება, ნებისმიერი წინადადება, როგორც ჭეშმარიტი, ასევე მცდარი, დასამტკიცებელია), პრობლემა ჩნდება ამგვარი წინააღმდეგობების წყაროების იდენტიფიცირებისა და. მათი აღმოფხვრის გზების მოძიება. პარადოქსების კონკრეტული გადაწყვეტილებების ფილოსოფიური გაგების პრობლემა ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი მეთოდოლოგიური პრობლემაა ფორმალური ლოგიკადა მათემატიკის ლოგიკური საფუძვლები.

ამ ნაშრომის მიზანია სიმრავლეების თეორიის, როგორც უძველესი ანტინომიების მემკვიდრეთა პარადოქსების შესწავლა და აბსტრაქციის ახალ დონეზე - უსასრულობაზე გადასვლის საკმაოდ ლოგიკური შედეგები. ამოცანაა განვიხილოთ ძირითადი პარადოქსები, მათი ფილოსოფიური ინტერპრეტაცია.

სიმრავლეების თეორიის ძირითადი პარადოქსები

დალაქი იპარსავს მხოლოდ მათ, ვინც თავს არ იპარსავს. თავს იპარსავს?

გავაგრძელოთ მოკლე ექსკურსია ისტორიაში.

ზოგიერთი ლოგიკური პარადოქსი ცნობილი იყო უძველესი დროიდან, მაგრამ იმის გამო, რომ მათემატიკური თეორია შემოიფარგლებოდა მხოლოდ არითმეტიკითა და გეომეტრიით, შეუძლებელი იყო მათი კორელაცია სიმრავლეების თეორიასთან. მე-19 საუკუნეში ვითარება რადიკალურად შეიცვალა: კანტორმა თავის შემოქმედებაში აბსტრაქციის ახალ დონეს მიაღწია. მან შემოიტანა უსასრულობის ცნება, რითაც შექმნა ახალი განყოფილებამათემატიკა და ამით საშუალებას იძლევა სხვადასხვა უსასრულობის შედარება „სიმრავლის სიმძლავრის“ კონცეფციის გამოყენებით. თუმცა, ამით მან მრავალი პარადოქსი შექმნა. პირველი არის ე.წ ბურალი-ფორტის პარადოქსი. მათემატიკურ ლიტერატურაში არსებობს სხვადასხვა ფორმულირებები, რომლებიც ეფუძნება სხვადასხვა ტერმინოლოგიას და ცნობილი თეორემების სავარაუდო კომპლექტს. აქ არის ერთ-ერთი ოფიციალური განმარტება.

შეიძლება დადასტურდეს, რომ თუ x არის რიგითი რიცხვების თვითნებური სიმრავლე, მაშინ ჯამი-სიმრავლე არის რიგობით მეტი ან ტოლი თითოეულ ელემენტზე. x. დავუშვათ, რომ ეს არის ყველა რიგითი რიცხვის სიმრავლე. მაშინ რიგობითი რიცხვი მეტია ან ტოლია რომელიმე რიცხვზე. მაგრამ მაშინ და არის რიგობითი რიცხვი, უფრო მეტიც, ის უკვე მკაცრად დიდია და, შესაბამისად, არ უდრის არცერთ რიცხვს . მაგრამ ეს ეწინააღმდეგება იმ პირობას, რომელიც არის ყველა რიგითი რიცხვის სიმრავლე.

პარადოქსის არსი ის არის, რომ როდესაც ყველა რიგითი რიცხვის სიმრავლე იქმნება, იქმნება ახალი. რიგითი ტიპი, რომელიც ჯერ კიდევ არ იყო „ყველა“ ტრანსფინიტურ რიგ რიცხვებს შორის, რომლებიც არსებობდა ყველა რიგითი რიცხვის სიმრავლის ფორმირებამდე. ეს პარადოქსი თავად კანტორმა აღმოაჩინა, დამოუკიდებლად აღმოაჩინა და გამოაქვეყნა იტალიელმა მათემატიკოსმა ბურალი-ფორტიმ, ამ უკანასკნელის შეცდომები რასელმა გაასწორა, რის შემდეგაც ფორმულირებამ საბოლოო ფორმა მიიღო.

ყველა მცდელობას შორის, თავიდან ავიცილოთ ასეთი პარადოქსები და გარკვეულწილად ვცდილობთ მათ ახსნას, უკვე ნახსენები რასელის იდეა ყველაზე დიდ ყურადღებას იმსახურებს. მან შესთავაზა გამორიცხოს მათემატიკიდან და ლოგიკით იმპრედიკატიული წინადადებები, რომლებშიც კომპლექტის ელემენტის განმარტება დამოკიდებულია ამ უკანასკნელზე, რაც იწვევს პარადოქსებს. წესი ასე ჟღერს: "არცერთი C სიმრავლე არ შეიძლება შეიცავდეს m ელემენტებს, რომლებიც განისაზღვრება მხოლოდ C სიმრავლის მიხედვით, ისევე როგორც ელემენტებს n, ამ სიმრავლის გათვალისწინებით" . სიმრავლის განმარტების ასეთი შეზღუდვა საშუალებას გვაძლევს ავიცილოთ თავიდან პარადოქსები, მაგრამ ამავდროულად მნიშვნელოვნად ავიწროებს მათემატიკაში მისი გამოყენების ფარგლებს. გარდა ამისა, ეს საკმარისი არ არის მათი ბუნებისა და გარეგნობის მიზეზების ასახსნელად, რომელიც ფესვგადგმულია აზროვნებისა და ენის დიქოტომიაში, ფორმალური ლოგიკის თავისებურებებში. გარკვეულწილად, ამ შეზღუდვას შეიძლება მივაკვლიოთ ანალოგიით, რასაც შემდგომ პერიოდში კოგნიტურმა ფსიქოლოგებმა და ლინგვისტებმა დაიწყეს "საბაზისო დონის კატეგორიზაცია" უწოდეს: განმარტება დაყვანილია ყველაზე ადვილად გასაგებ და შესასწავლ ცნებამდე.

დავუშვათ, რომ ყველა კომპლექტის სიმრავლე არსებობს. ამ შემთხვევაში, ეს მართალია, ანუ ნებისმიერი სიმრავლე t არის V-ის ქვესიმრავლე. მაგრამ აქედან გამომდინარეობს, რომ ნებისმიერი სიმრავლის სიმძლავრე არ აღემატება V-ის ხარისხს. მაგრამ ყველა სიმრავლის აქსიომის წყალობით. ქვესიმრავლეებისთვის, ისევე როგორც ნებისმიერი სიმრავლისთვის, არის ყველა ქვესიმრავლეების სიმრავლე და კანტორის თეორემით, რომელიც ეწინააღმდეგება წინა დებულებას. მაშასადამე, V ვერ იარსებებს, რაც ეწინააღმდეგება „გულუბრყვილო“ ჰიპოთეზას, რომ ნებისმიერი სინტაქსურად სწორია ლოგიკური მდგომარეობაგანსაზღვრავს სიმრავლეს, ანუ ნებისმიერი A ფორმულისთვის, რომელიც თავისუფლად არ შეიცავს y-ს. ასეთი წინააღმდეგობების არარსებობის ღირსშესანიშნავი მტკიცებულება ზერმელო-ფრენკელის სიმრავლეების აქსიომატიზებული თეორიის საფუძველზე მოცემულია პოტერის მიერ.

ლოგიკური თვალსაზრისით, ორივე ზემოაღნიშნული პარადოქსი იდენტურია „მატყუარას“ ან „დალაქის“: გამოთქმული განაჩენი მიმართულია არა მხოლოდ რაიმე ობიექტურ მიმართებაში, არამედ მის მიმართაც. თუმცა, ყურადღება უნდა მიექცეს არა მხოლოდ ლოგიკურ მხარეს, არამედ უსასრულობის ცნებას, რომელიც აქ არის. ლიტერატურა ეხება პუანკარეს ნაშრომს, რომელშიც ის წერს: „ნამდვილი უსასრულობის არსებობის რწმენა... ამ არაპრედიკატიულ განმარტებებს აუცილებელს ხდის““ .
ზოგადად, ძირითადი პუნქტებია:

• ამ პარადოქსებში ირღვევა პრედიკატისა და სუბიექტის „სფეროების“ მკაფიოდ გამიჯვნის წესი; დაბნეულობის ხარისხი ახლოს არის ერთი კონცეფციის მეორით ჩანაცვლებასთან;
• ჩვეულებრივ ლოგიკაში ვარაუდობენ, რომ მსჯელობის პროცესში სუბიექტი და პრედიკატი ინარჩუნებენ მოცულობას და შინაარსს, ამ შემთხვევაში
  ერთი კატეგორიიდან მეორეზე გადასვლა, რაც იწვევს შეუსაბამობას;
• სიტყვა „ყველა“-ს არსებობას აზრი აქვს სასრული რაოდენობის ელემენტებისთვის, მაგრამ მათი უსასრულო რაოდენობის შემთხვევაში, შესაძლებელია იყოს ისეთი, რომელიც
  საკუთარი თავის განსაზღვრისთვის საჭიროა კომპლექტის განსაზღვრა;
• ირღვევა ძირითადი ლოგიკური კანონები:
  • ირღვევა იდენტობის კანონი, როდესაც ვლინდება სუბიექტისა და პრედიკატის არაიდენტურობა;
  • წინააღმდეგობის კანონი - როდესაც ორი ურთიერთგამომრიცხავი გადაწყვეტილება გამოტანილია ერთი და იგივე უფლებით;
  • გამორიცხული მესამედის კანონი - როცა ეს მესამე უნდა იყოს აღიარებული და არა გამორიცხული, რადგან არც პირველი და არც მეორე არ შეიძლება აღიარებული იყოს ერთი მეორის გარეშე, რადგან ისინი თანაბრად მოქმედებს.

მესამე პარადოქსი რასელის სახელს ატარებს.. ერთი განმარტება მოცემულია ქვემოთ.
მოდით K იყოს ყველა სიმრავლის სიმრავლე, რომელიც არ შეიცავს საკუთარ თავს ელემენტად. შეიცავს თუ არა K თავის ელემენტს? თუ კი, მაშინ K-ს განმარტებით ეს არ უნდა იყოს K-ს ელემენტი - წინააღმდეგობა, თუ არა - მაშინ K-ის განმარტებით ის K-ის ელემენტი უნდა იყოს - ისევ წინააღმდეგობა. ეს განცხადებალოგიკურად გამომდინარეობს კანტორის პარადოქსიდან, რომელიც აჩვენებს მათ ურთიერთობას. თუმცა, ფილოსოფიური არსი უფრო მკაფიოდ იჩენს თავს, რადგან ცნებების „თვითმოძრაობა“ ხდება სწორედ „ჩვენს თვალწინ“.

ტრისტრამ შენდის პარადოქსი:
სტერნის ტრისტრამ შენდის, ჯენტლმენის ცხოვრება და მოსაზრებები, გმირი აღმოაჩენს, რომ მას სჭირდებოდა მთელი წელიმისი ცხოვრების პირველი დღის მოვლენების აღსაწერად, მეორე დღის აღსაწერად კი კიდევ ერთი წელი იყო საჭირო. ამასთან დაკავშირებით გმირი ჩივის, რომ მისი ბიოგრაფიის მასალა იმაზე სწრაფად დაგროვდება, ვიდრე მას შეუძლია დამუშავება და ვერასოდეს დაასრულებს. "ახლა მე ვამტკიცებ, - აპროტესტებს რასელი, - რომ თუ ის სამუდამოდ იცოცხლებდა და მისი საქმე მისთვის ტვირთად არ გადაიქცევა, მაშინაც კი, თუ მისი ცხოვრება ისეთივე მოვლენიანი იქნებოდა, როგორც თავიდან, მაშინ მისი ბიოგრაფიის არც ერთი ნაწილი არ იქნებოდა. დაუწერელი არ დარჩეს.
მართლაც, შენდიმ შეძლო მე-n წლის მოვლენების აღწერა და, ამრიგად, მის ავტობიოგრაფიაში ყოველი დღე აღბეჭდილი იქნებოდა.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ სიცოცხლე გაგრძელდა უსასრულოდ, მაშინ მას იმდენი წელი ექნება, რამდენიც დღეები.

რასელი ამ რომანსა და ზენონს შორის თავისი კუსთან ანალოგიას აკეთებს. მისი აზრით, გამოსავალი მდგომარეობს იმაში, რომ მთელი უსასრულობაში მისი ნაწილის ტოლფასია. იმათ. წინააღმდეგობას იწვევს მხოლოდ „აქსიომ საღი აზრი» . თუმცა, პრობლემის გადაწყვეტა წმინდა მათემატიკის სფეროშია. ცხადია, არსებობს ორი კომპლექტი - წლები და დღეები, რომელთა ელემენტებს შორის არის ერთი-ერთთან შესაბამისობა - ბიექცია. შემდეგ იმ პირობით გაუთავებელი ცხოვრებამთავარ გმირს აქვს თანაბარი სიმძლავრის ორი უსასრულო კომპლექტი, რომელიც, თუ ძალას განვიხილავთ, როგორც სიმრავლეში ელემენტების რაოდენობის კონცეფციის განზოგადებას, ხსნის პარადოქსს.

ბანაჩ-ტარსკის პარადოქსი (თეორემა) ან ბურთის გაორმაგების პარადოქსი- თეორემა სიმრავლეების თეორიაში, სადაც ნათქვამია, რომ სამგანზომილებიანი ბურთი თანაბრად შედგება მისი ორი ასლისაგან.
ამბობენ, რომ ევკლიდური სივრცის ორი ქვესიმრავლე თანაბრად შედგება, თუ ერთი შეიძლება დაიყოს სასრულ ნაწილებად, გადაადგილდეს და შედგებოდეს მეორისგან.
უფრო ზუსტად, ორი A და B სიმრავლე თანაბრად არის შედგენილი, თუ ისინი შეიძლება წარმოვიდგინოთ როგორც დისუნიტირებული ქვესიმრავლეების სასრულ გაერთიანება ისე, რომ თითოეული i-სთვის ქვესიმრავლე კონგრუენტული იყოს.

თუ ვიყენებთ არჩევანის თეორემას, მაშინ განმარტება ასე ჟღერს:
არჩევანის აქსიომა გულისხმობს, რომ არის ერთეული სფეროს ზედაპირის დაყოფა სასრულ ნაწილებად, რომლებიც სამგანზომილებიანი ევკლიდური სივრცის გარდაქმნებით, რომლებიც არ ცვლიან ამ კომპონენტების ფორმას, შეიძლება შეიკრიბონ ორად. ერთეული რადიუსის სფეროები.

ცხადია, ამ ნაწილების გაზომვის მოთხოვნის გათვალისწინებით, ეს განცხადება შეუძლებელია. ცნობილმა ფიზიკოსმა რიჩარდ ფეინმანმა თავის ბიოგრაფიაში თქვა, თუ როგორ მოახერხა ერთ დროს მოიგო დავა ფორთოხლის სასრულ ნაწილებად დაყოფისა და მისი ხელახლა შედგენის შესახებ.

გარკვეულ მომენტებში ეს პარადოქსი გამოიყენება არჩევანის აქსიომების გასაქარწყლებლად, მაგრამ პრობლემა ის არის, რომ ის, რასაც ჩვენ ელემენტარულ გეომეტრიას ვთვლით, არ არის არსებითი. ის ცნებები, რომლებიც ჩვენ ინტუიციურად მიგვაჩნია, უნდა გაფართოვდეს ტრანსცენდენტული ფუნქციების თვისებების დონეზე.

იმისათვის, რომ კიდევ უფრო შეასუსტოთ მათ, ვინც თვლის, რომ არჩევანის აქსიომა არასწორია, უნდა აღვნიშნოთ მაზურკევიჩისა და სიერპინსკის თეორემა, რომელიც ამბობს, რომ არსებობს ევკლიდეს სიბრტყის E ქვესიმრავლე, რომელსაც აქვს ორი განცალკევებული ქვესიმრავლე. რომელიც შეიძლება დაიყოს სასრული რაოდენობის ნაწილებად, რათა იზომეტრიით გადაიზარდოს E სიმრავლის საფარად.
მტკიცებულება არ საჭიროებს არჩევანის აქსიომის გამოყენებას.
დარწმუნების აქსიომაზე დაფუძნებული შემდგომი კონსტრუქციები ხსნის ბანაჩ-ტარსკის პარადოქსს, მაგრამ არ არის ასეთი საინტერესო.

• რიჩარდის პარადოქსი: საჭიროა დასახელება " ყველაზე პატარა რიცხვიარ არის დასახელებული ამ წიგნში. წინააღმდეგობა იმაში მდგომარეობს, რომ ერთის მხრივ, ეს შეიძლება გაკეთდეს, რადგან ამ წიგნში დასახელებული ყველაზე მცირე რიცხვია. აქედან გამომდინარე, ასევე შეიძლება დასახელდეს ყველაზე პატარა უსახელო. მაგრამ აქ ჩნდება პრობლემა: კონტინუუმი უთვალავია, ნებისმიერ ორ რიცხვს შორის შეგიძლიათ შუალედური რიცხვების უსასრულო რაოდენობის ჩასმა. მეორეს მხრივ, თუ შეგვეძლო ამ რიცხვის დასახელება, ის ავტომატურად გადაინაცვლებს წიგნში ნახსენები კლასიდან აღნიშნულ კლასში.
• გრელინგ-ნილსონის პარადოქსი: სიტყვებს ან ნიშნებს შეუძლიათ აღნიშნენ საკუთრება და ამავე დროს ჰქონდეთ თუ არა. ყველაზე ტრივიალური ფორმულირება ასე ჟღერს: არის თუ არა სიტყვა „ჰეტეროლოგიური“ (რაც ნიშნავს „თავისთვის შეუსაბამო“) ჰეტეროლოგიური?... ის ძალიან ჰგავს რასელის პარადოქსს დიალექტიკური წინააღმდეგობის არსებობის გამო: ფორმისა და შინაარსის ორმაგობა. ირღვევა. სიტყვების შემთხვევაში, რომლებსაც აქვთ აბსტრაქციის მაღალი დონე, შეუძლებელია გადაწყვიტო, არის თუ არა ეს სიტყვები ჰეტეროლოგიური.
• სკოლემის პარადოქსი: გოდელის სისრულის თეორემისა და ლოვენჰაიმ-სკოლემის თეორემის გამოყენებით, ჩვენ მივიღებთ, რომ აქსიომური სიმრავლეების თეორია რჩება ჭეშმარიტი მაშინაც კი, როდესაც მისი ინტერპრეტაციისთვის არის დაშვებული (ხელმისაწვდომია) სიმრავლეების მხოლოდ თვლადი ნაკრები. Ამავე დროს
  აქსიომატური თეორია მოიცავს უკვე ხსენებულ კანტორის თეორემას, რომელიც უთვალავ უსასრულო სიმრავლემდე მიგვიყვანს.

პარადოქსების გადაწყვეტა

სიმრავლეების თეორიის შექმნამ წარმოშვა მათემატიკის მესამე კრიზისად, რომელიც ჯერ კიდევ არ არის ყველასთვის დამაკმაყოფილებლად გადაწყვეტილი.
ისტორიულად, პირველი მიდგომა იყო სიმრავლე-თეორიული. იგი ეფუძნებოდა ფაქტობრივი უსასრულობის გამოყენებას, როდესაც ითვლებოდა, რომ ნებისმიერი უსასრულო მიმდევრობა სრულდება უსასრულობაში. იდეა იყო, რომ სიმრავლეების თეორიაში ხშირად უწევდათ მუშაობა კომპლექტებზე, რომლებიც შეიძლება იყოს სხვა, უფრო დიდი ნაკრების ნაწილები. წარმატებული მოქმედებები ამ შემთხვევაში მხოლოდ ერთ შემთხვევაში იყო შესაძლებელი: მოცემული სიმრავლეები (სასრულო და უსასრულო) დასრულებულია. გარკვეული წარმატება იყო აშკარა: ზერმელო-ფრენკელის აქსიომატური სიმრავლეების თეორია, ნიკოლას ბურბაკის მათემატიკის მთელი სკოლა, რომელიც უკვე ნახევარ საუკუნეზე მეტია არსებობს და დღემდე იწვევს უამრავ კრიტიკას.

ლოგიკიზმი იყო მცდელობა, დაეყვანა ყველა ცნობილი მათემატიკა არითმეტიკის ტერმინებამდე, შემდეგ კი არითმეტიკის ტერმინები ცნებებად დაეყვანა. მათემატიკური ლოგიკა. ფრეგემ ეს მჭიდროდ მიიღო, მაგრამ ნამუშევარზე მუშაობის დასრულების შემდეგ, იძულებული გახდა აღენიშნა მისი შეუსაბამობა, მას შემდეგ რაც რასელმა მიუთითა თეორიაში არსებულ წინააღმდეგობებზე. იგივე რასელი, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ცდილობდა „ტიპის თეორიის“ დახმარებით მოეცილებინა იმპრედიკატიული განმარტებების გამოყენება. თუმცა, მისი ცნებები სიმრავლისა და უსასრულობის შესახებ, ისევე როგორც შემცირების აქსიომა, ალოგიკური აღმოჩნდა. მთავარი პრობლემა ის იყო, რომ არ იყო გათვალისწინებული თვისებრივი განსხვავებები ფორმალურ და მათემატიკურ ლოგიკას შორის, ისევე როგორც ზედმეტი ცნებების არსებობა, მათ შორის ინტუიციური ხასიათის.
შედეგად, ლოგიკიზმის თეორიამ ვერ აღმოფხვრა უსასრულობასთან დაკავშირებული პარადოქსების დიალექტიკური წინააღმდეგობები. არსებობდა მხოლოდ პრინციპები და მეთოდები, რამაც შესაძლებელი გახადა თავი დაეღწია სულ მცირე არაპრედიკატიული განმარტებებისგან. საკუთარი მსჯელობით რასელი კანტორის მემკვიდრე იყო.

XIX საუკუნის ბოლოს - XX საუკუნის დასაწყისში. მათემატიკაზე ფორმალისტური თვალსაზრისის გავრცელება ასოცირდება აქსიომატური მეთოდისა და მათემატიკის დასაბუთების პროგრამის შემუშავებასთან, რომელიც წამოაყენა დ.ჰილბერტმა. ამ ფაქტის მნიშვნელობაზე მიუთითებს ის ფაქტი, რომ ოცდასამი ამოცანებიდან პირველი, რომელიც მან წარუდგინა მათემატიკურ საზოგადოებას, იყო უსასრულობის პრობლემა. ფორმალიზაცია აუცილებელი იყო კლასიკური მათემატიკის თანმიმდევრულობის დასამტკიცებლად, „მისგან ყოველგვარი მეტაფიზიკის გამორიცხვისას“. ჰილბერტის მიერ გამოყენებული საშუალებებისა და მეთოდების გათვალისწინებით, მისი მიზანი ფუნდამენტურად შეუძლებელი აღმოჩნდა, მაგრამ მისმა პროგრამამ უდიდესი გავლენა იქონია მათემატიკის საფუძვლების მთელ შემდგომ განვითარებაზე. ჰილბერტი დიდი ხნის განმავლობაში მუშაობდა ამ პრობლემაზე, მან პირველად ააგო გეომეტრიის აქსიომატიკა. ვინაიდან პრობლემის გადაწყვეტა საკმაოდ წარმატებული აღმოჩნდა, მან გადაწყვიტა აქსიომური მეთოდი გამოეყენებინა ნატურალური რიცხვების თეორიაში. აი, რას წერდა იგი ამასთან დაკავშირებით: „ვიდევნი მნიშვნელოვანი მიზანი: სწორედ მე მსურს შევეხო მათემატიკის საფუძვლის საკითხებს, როგორც ასეთს, ყოველი მათემატიკური დებულების გადაქცევა მკაცრად გამოყვანილ ფორმულებად. ამავდროულად, დაგეგმილი იყო უსასრულობის მოშორება ოპერაციების გარკვეულ სასრულ რაოდენობამდე მისი შემცირებით. ამისათვის მან მიმართა ფიზიკას თავისი ატომიზმით, რათა ეჩვენებინა უსასრულო სიდიდეების მთელი შეუსაბამობა. ფაქტობრივად, ჰილბერტმა დააყენა საკითხი თეორიისა და ობიექტური რეალობის ურთიერთმიმართების შესახებ.

Მეტი ან ნაკლები სრული ხედისასრულ მეთოდებს გვაძლევს ჰილბერტის სტუდენტი ჯ.ჰერბრანდი. სასრული მსჯელობით მას ესმის ისეთი მსჯელობა, რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ პირობებს: ლოგიკური პარადოქსები„- ყოველთვის განიხილება ობიექტებისა და ფუნქციების მხოლოდ სასრული და გარკვეული რაოდენობა;

ფუნქციები აქვს ზუსტი განმარტებადა ეს განსაზღვრება საშუალებას გვაძლევს გამოვთვალოთ მათი ღირებულება;

ის არასოდეს ამტკიცებს "ეს ობიექტი არსებობს", თუ არ არის ცნობილი მისი აგების გზა;

ნებისმიერი უსასრულო კოლექციის X ყველა ობიექტის სიმრავლე არასოდეს განიხილება;

თუ ცნობილია, რომ ნებისმიერი მსჯელობა ან თეორემა მართალია ყველა ამ X-სთვის, მაშინ ეს ნიშნავს, რომ ეს ზოგადი მსჯელობა შეიძლება განმეორდეს თითოეული კონკრეტული X-ისთვის და თავად ეს ზოგადი მსჯელობა უნდა განიხილებოდეს მხოლოდ, როგორც მოდელი ასეთი კონკრეტული მსჯელობისთვის.

თუმცა, ამ სფეროში ბოლო პუბლიკაციის დროს, გედელმა უკვე მიიღო თავისი შედეგები, არსებითად მან კვლავ აღმოაჩინა და დაამტკიცა დიალექტიკის არსებობა შემეცნების პროცესში. არსებითად, მათემატიკის შემდგომმა განვითარებამ აჩვენა ჰილბერტის პროგრამის წარუმატებლობა.

კონკრეტულად რა დაამტკიცა გოდელმა? არსებობს სამი ძირითადი შედეგი:

1. გოდელმა აჩვენა ნებისმიერი სისტემის თანმიმდევრულობის მათემატიკური დადასტურების შეუძლებლობა, საკმარისად დიდი, რომ მოიცავდეს ყველა არითმეტიკას, მტკიცებულება, რომელიც არ გამოიყენებდა დასკვნის სხვა წესებს, ვიდრე თავად სისტემაშია ნაპოვნი. ასეთი მტკიცებულება, რომელიც იყენებს უფრო მძლავრ დასკვნის წესს, შეიძლება სასარგებლო იყოს. მაგრამ თუ დასკვნის ეს წესები უფრო ძლიერია, ვიდრე არითმეტიკული გამოთვლის ლოგიკური საშუალებები, მაშინ არ იქნება ნდობა მტკიცებულებაში გამოყენებული ვარაუდების თანმიმდევრულობაში. ნებისმიერ შემთხვევაში, თუ გამოყენებული მეთოდები არ არის ფინიტისტური, მაშინ ჰილბერტის პროგრამა არაპრაქტიკული აღმოჩნდება. გოდელი უბრალოდ გვიჩვენებს გამოთვლების შეუსაბამობას არითმეტიკის თანმიმდევრულობის ფინიტისტური დასტურის საპოვნელად.
2. გოდელმა მიუთითა აქსიომატური მეთოდის შესაძლებლობების ფუნდამენტურ შეზღუდვებზე: Principia Mathematica სისტემა, ისევე როგორც ნებისმიერი სხვა სისტემა, რომლითაც არითმეტიკა აგებულია, არსებითად არასრულია, ანუ არითმეტიკული აქსიომების ნებისმიერი თანმიმდევრული სისტემისთვის არსებობს ჭეშმარიტი არითმეტიკული წინადადებები, რომლებიც არ არის მიღებული ამ სისტემის აქსიომებიდან.
3. გოდელის თეორემა გვიჩვენებს, რომ არითმეტიკული სისტემის ვერანაირი გაფართოება ვერ გახდის მას სრულყოფილს და მაშინაც კი, თუ მას აქსიომების უსასრულო სიმრავლით შევავსებთ, მაშინ ახალ სისტემაში ყოველთვის იქნება ჭეშმარიტი, მაგრამ არა ამ სისტემის საშუალებით გამოყვანა. პოზიციები. ნატურალური რიცხვების არითმეტიკის აქსიომატური მიდგომა არ შეიძლება მოიცავდეს ჭეშმარიტი არითმეტიკული წინადადებების მთელ სფეროს და რასაც ვგულისხმობთ მათემატიკური მტკიცების პროცესში არ შემოიფარგლება მხოლოდ აქსიომური მეთოდის გამოყენებით. გოდელის თეორემის შემდეგ, უაზრო გახდა იმის მოლოდინი, რომ დამაჯერებელი მათემატიკური მტკიცებულების კონცეფცია შეიძლება ერთხელ და სამუდამოდ გამოკვეთილი ფორმების მიცემა.

სიმრავლეების თეორიის ახსნის მცდელობების ამ სერიაში უახლესი იყო ინტუიციონიზმი.

მან თავისი ევოლუციის რამდენიმე ეტაპი გაიარა - ნახევრად ინტუიციონიზმი, საკუთრივ ინტუიციონიზმი, ულტრა ინტუიციონიზმი. სხვადასხვა ეტაპზე მათემატიკოსებს სხვადასხვა პრობლემები აწუხებდათ, მაგრამ მათემატიკის ერთ-ერთი მთავარი პრობლემა უსასრულობის პრობლემაა. უსასრულობისა და უწყვეტობის მათემატიკური ცნებები დაარსების დღიდან იყო ფილოსოფიური ანალიზის საგანი (ატომისტების იდეები, ზენო ელეას აპორიები, უსასრულოდ მცირე მეთოდები ანტიკურ ხანაში, უსასრულოდ მცირე გამოთვლები თანამედროვე დროში და სხვ.). ყველაზე დიდი დაპირისპირება გამოიწვია სხვადასხვა ტიპის უსასრულობის (პოტენციური, ფაქტობრივი) მათემატიკური ობიექტების გამოყენებამ და მათმა ინტერპრეტაციამ. ყველა ეს პრობლემა, ჩვენი აზრით, წარმოიშვა უფრო ღრმა პრობლემამ - საგნის როლმა მეცნიერულ ცოდნაში. ფაქტია, რომ კრიზისული მდგომარეობა მათემატიკაში წარმოიქმნება საგნის სამყაროს (უსასრულობის) და სუბიექტის სამყაროს შედარების ეპისტემოლოგიური გაურკვევლობით. მათემატიკოსს, როგორც საგანს, აქვს შემეცნების საშუალებების არჩევის შესაძლებლობა - პოტენციური ან ფაქტობრივი უსასრულობა. პოტენციური უსასრულობის როგორც გახდომის გამოყენება აძლევს მას შესაძლებლობას განახორციელოს, ააშენოს კონსტრუქციების უსასრულო ნაკრები, რომელიც შეიძლება აშენდეს სასრულზე, სასრული ნაბიჯის გარეშე, კონსტრუქციის დასრულების გარეშე, ეს მხოლოდ შესაძლებელია. ფაქტობრივი უსასრულობის გამოყენება აძლევს მას შესაძლებლობას იმუშაოს უსასრულობასთან, როგორც უკვე რეალიზებადი, დასრულებული მის მშენებლობაში, როგორც რეალურად მოცემული ამავე დროს.

ნახევრად ინტუიციონიზმის საფეხურზე უსასრულობის პრობლემა ჯერ კიდევ არ იყო დამოუკიდებელი, მაგრამ იყო ჩაქსოვილი მათემატიკური ობიექტების აგების პრობლემაში და მისი გამართლების გზებში. ა.პუანკარესა და ფუნქციების თეორიის პარიზის სკოლის წარმომადგენლების ნახევრად ინტუიციონიზმი მიმართული იყო თავისუფალი არჩევანის აქსიომის მიღების წინააღმდეგ, რომლის დახმარებითაც დადასტურებულია ზერმელოს თეორემა, სადაც ნათქვამია, რომ ნებისმიერი ნაკრები შეიძლება გაკეთდეს სრულიად შეკვეთით, მაგრამ სასურველი კომპლექტების რომელიმე ქვეჯგუფის ელემენტების დასადგენად თეორიული ხერხის მითითების გარეშე. მათემატიკური ობიექტის აგების გზა არ არსებობს და თავად მათემატიკური ობიექტი არ არსებობს. მათემატიკოსები თვლიდნენ, რომ კვლევის ობიექტების თანმიმდევრობის ასაგებად თეორიული მეთოდის არსებობა ან არარსებობა შეიძლება გახდეს ამ აქსიომის დასაბუთების ან უარყოფის საფუძველი. რუსულ ვერსიაში, მათემატიკის ფილოსოფიურ საფუძვლებში ნახევრად ინტუიციური კონცეფცია განვითარდა ისეთი მიმართულებით, როგორიც არის ეფექტურიზმი, რომელიც შემუშავებულია ნ.ნ. ლუზინი. ეფექტიზმი არის წინააღმდეგობა კანტორის უსასრულობის დოქტრინის მთავარ აბსტრაქციებთან - აქტუალობა, არჩევანი, ტრანსფინიტური ინდუქცია და ა.შ.

ეფექტივიზმისთვის პოტენციური მიზანშეწონილობის აბსტრაქცია უფრო ღირებულია ეპისტემოლოგიურად, ვიდრე ფაქტობრივი უსასრულობის აბსტრაქცია. ამის წყალობით, ფუნქციათა ზრდის ეფექტური კონცეფციის საფუძველზე შესაძლებელი ხდება ტრანსფინიტური რიგის (უსასრულო რიგითი რიცხვების) ცნების დანერგვა. ეფექტურობის ეპისტემოლოგიური წყობა უწყვეტის (განგრძლივობის) ჩვენებისთვის ემყარებოდა დისკრეტულ საშუალებებს (არითმეტიკა) და ნ.ნ. ლუზინის მიერ შექმნილ სიმრავლეების (ფუნქციების) აღწერით თეორიას. ჰოლანდიელი L. E. Ya. Brouwer, G. Weyl, A. Heiting-ის ინტუიციონიზმი სხვადასხვა ტიპის თავისუფლად წარმოშობილ მიმდევრობებს ხედავს კვლევის ტრადიციულ ობიექტად. ამ ეტაპზე, მათემატიკური ამოცანების სწორად გადაჭრით, მათ შორის ყველა მათემატიკის ახალ საფუძვლებზე რესტრუქტურიზაციის ჩათვლით, ინტუიციონისტებმა წამოჭრეს ფილოსოფიური საკითხი მათემატიკოსის, როგორც შემეცნებითი საგნის როლის შესახებ. როგორია მისი პოზიცია, სადაც უფრო თავისუფალი და აქტიურია შემეცნების საშუალებების არჩევისას? ინტუიციონისტები იყვნენ პირველები (და ნახევრად ინტუიციონიზმის სტადიაზე) გააკრიტიკეს ფაქტობრივი უსასრულობის კონცეფცია, კანტორის სიმრავლეების თეორია, ხედავდნენ მასში სუბიექტის უნარის დარღვევას, გავლენა მოახდინოს კონსტრუქციული პრობლემის გადაჭრის მეცნიერული ძიების პროცესზე. . პოტენციური უსასრულობის გამოყენების შემთხვევაში, სუბიექტი თავს არ იტყუებს, რადგან მისთვის პოტენციური უსასრულობის იდეა ინტუიციურად ბევრად უფრო მკაფიოა, ვიდრე ფაქტობრივი უსასრულობის იდეა. ინტუიციონისტისთვის ობიექტის არსებობად ითვლება, თუ იგი უშუალოდ მათემატიკოსს გადაეცემა ან თუ ცნობილია მისი აგების მეთოდი. ნებისმიერ შემთხვევაში, სუბიექტს შეუძლია დაიწყოს მისი ნაკრების მთელი რიგი ელემენტების კონსტრუქციის დასრულების პროცესი. აუშენებელი ობიექტი არ არსებობს ინტუიციონისტებისთვის. ამავდროულად, ფაქტობრივ უსასრულობასთან მომუშავე სუბიექტს ჩამოერთმევა ეს შესაძლებლობა და შეიგრძნობს მიღებული პოზიციის ორმაგ დაუცველობას:

1) არასოდეს არის შესაძლებელი ამ უსასრულო მშენებლობის განხორციელება;
2) ის გადაწყვეტს იმოქმედოს ფაქტობრივ უსასრულობასთან, როგორც სასრულ ობიექტთან, და ამ შემთხვევაში კარგავს თავის სპეციფიკას უსასრულობის ცნების მიმართ. ინტუიციონიზმი შეგნებულად ზღუდავს მათემატიკოსის შესაძლებლობებს იმით, რომ მას შეუძლია მათემატიკური ობიექტების აგება ექსკლუზიურად იმ საშუალებებით, რომლებიც, მიუხედავად იმისა, რომ მიღებულია აბსტრაქტული ცნებების დახმარებით, ეფექტურია, დამაჯერებელი, დასამტკიცებელი, ფუნქციონალურად კონსტრუქციული ზუსტად პრაქტიკულად და თავადაც ინტუიციურად ნათელია, როგორც კონსტრუქციები. კონსტრუქციები, რომელთა სანდოობაში პრაქტიკაში ეჭვი არ ეპარება. ინტუიციონიზმი, რომელიც ეყრდნობა პოტენციური უსასრულობის კონცეფციას და კონსტრუქციული კვლევის მეთოდებს, ეხება გახდომის მათემატიკას, სიმრავლეების თეორია ეხება ყოფიერების მათემატიკას.

ინტუიციონისტი ბროუერისთვის, როგორც მათემატიკური ემპირიზმის წარმომადგენლისთვის, ლოგიკა მეორეხარისხოვანია, ის აკრიტიკებს მას და გამორიცხული შუაგულის კანონს.

თავის ნაწილობრივ მისტიკურ ნაწარმოებებში ის არ უარყოფს უსასრულობის არსებობას, მაგრამ არ უშვებს მის აქტუალიზაციას, მხოლოდ პოტენციალიზაციას. მისთვის მთავარია პრაქტიკულად გამოყენებული ლოგიკური საშუალებების ინტერპრეტაცია და დასაბუთება და მათემატიკური მსჯელობა. ინტუიციონისტების მიერ მიღებული შეზღუდვა გადალახავს მათემატიკაში უსასრულობის ცნების გამოყენების გაურკვევლობას და გამოხატავს მათემატიკის საფუძვლებში არსებული კრიზისის დაძლევის სურვილს.

ულტრაინტუიციონიზმი (A.N. Kolmogorov, A.A. Markov და სხვები) არის ინტუიციონიზმის განვითარების ბოლო ეტაპი, რომლის დროსაც მისი ძირითადი იდეები მოდერნიზებულია, მნიშვნელოვნად ავსებს და გარდაიქმნება, მისი არსის შეცვლის გარეშე, მაგრამ ხარვეზების დაძლევისა და პოზიტიური ასპექტების გაძლიერებით, ხელმძღვანელობით. მათემატიკური სიმკაცრის კრიტერიუმები. ინტუიციონისტური მიდგომის სისუსტე იყო ინტუიციის როლის ვიწრო გაგება, როგორც მათემატიკური მეთოდების სისწორისა და ეფექტურობის გამართლების ერთადერთი წყარო. მათემატიკაში ჭეშმარიტების კრიტერიუმად „ინტუიციური სიცხადის“ მიღებით, ინტუიციონისტებმა მეთოდოლოგიურად გააუარესეს მათემატიკოსის, როგორც ცოდნის სუბიექტის შესაძლებლობები, შეამცირეს მისი აქტივობა მხოლოდ ინტუიციაზე დაფუძნებულ გონებრივ ოპერაციებამდე და არ ჩართეს პრაქტიკა მათემატიკური ცოდნის პროცესში. მათემატიკის დასაბუთების ულტრა ინტუიციური პროგრამა რუსული პრიორიტეტია. ამიტომ, შინაურმა მათემატიკოსებმა, დაძლიეს ინტუიციონიზმის შეზღუდვები, მიიღეს მატერიალისტური დიალექტიკის ეფექტური მეთოდოლოგია, აღიარეს ადამიანის პრაქტიკა როგორც მათემატიკური ცნებების, ასევე მათემატიკური მეთოდების (დასკვნის, კონსტრუქციების) ფორმირების წყაროდ. ულტრაინტუიციონისტებმა გადაჭრეს მათემატიკური ობიექტების არსებობის პრობლემა, ეყრდნობოდნენ არა ინტუიციის განუსაზღვრელ სუბიექტურ კონცეფციას, არამედ მათემატიკურ პრაქტიკას და მათემატიკური ობიექტის აგების სპეციფიკურ მექანიზმს - ალგორითმს, რომელიც გამოხატულია გამოთვლითი, რეკურსიული ფუნქციით.

ულტრაინტუიციონიზმი აძლიერებს ინტუიციონიზმის უპირატესობებს, რაც მოიცავს ნებისმიერი მიმართულების მათემატიკოსების მიერ გამოყენებული კონსტრუქციული ამოცანების გადაჭრის მეთოდების შეკვეთისა და განზოგადების შესაძლებლობას. ამიტომ ბოლო საფეხურის ინტუიციონიზმი (ულტრაინტუიციონიზმი) ახლოსაა მათემატიკაში კონსტრუქტივიზმს. ეპისტემოლოგიურ ასპექტში ულტრაინტუიციონიზმის ძირითადი იდეები და პრინციპებია: ლოგიკის კლასიკური აქსიომატიკის კრიტიკა; იდენტიფიკაციის აბსტრაქციის როლის გამოყენება და მნიშვნელოვანი გაძლიერება (ა.ა. მარკოვის აშკარა მითითებით) (გონებრივი აბსტრაქცია ობიექტების განსხვავებული თვისებებიდან და ერთდროული იზოლაცია). საერთო თვისებებიობიექტები) როგორც აბსტრაქტული ცნებების, მათემატიკური განსჯის აგების და კონსტრუქციული გაგების ხერხი; თანმიმდევრული თეორიების თანმიმდევრულობის მტკიცებულება. AT ფორმალური ასპექტიიდენტიფიკაციის აბსტრაქციის გამოყენება გამართლებულია მისი თანასწორობის სამი თვისებით (აქსიომებით) - რეფლექსურობა, ტრანზიტიულობა და სიმეტრიულობა.

მათემატიკაში მთავარი წინააღმდეგობის გადასაჭრელად უსასრულობის პრობლემაზე, რამაც გამოიწვია მისი საფუძვლების კრიზისი, ულტრა ინტუიციონიზმის ეტაპზე ა.ნ. კოლმოგოროვმა შემოგვთავაზა კრიზისიდან გამოსვლის გზები კლასიკურ და ინტუიციურ ლოგიკას, კლასიკურ და ინტუიციურ მათემატიკას შორის ურთიერთობის პრობლემის გადაჭრით. ბროუერის ინტუიციონიზმი ზოგადად უარყოფდა ლოგიკას, მაგრამ რადგან ნებისმიერ მათემატიკოსს არ შეუძლია ლოგიკის გარეშე, ლოგიკური მსჯელობის პრაქტიკა მაინც შენარჩუნდა ინტუიციზმში, დაშვებული იყო კლასიკური ლოგიკის ზოგიერთი პრინციპი, რომელსაც საფუძველი ჰქონდა აქსიომატიკა. ს.კ. Kleene, R. Wesley კი აღნიშნავენ, რომ ინტუიციონისტური მათემატიკა შეიძლება შეფასდეს, როგორც ერთგვარი გაანგარიშება, ხოლო კალკულუსი არის მათემატიკური ცოდნის ორგანიზების საშუალება ლოგიკის, ფორმალიზაციისა და მისი ფორმის - ალგორითმიზაციის საფუძველზე. ლოგიკასა და მათემატიკას შორის ურთიერთობის ახალი ვერსია განსჯების ინტუიციური სიცხადისთვის ინტუიციური მოთხოვნების ფარგლებში, განსაკუთრებით ის, რაც მოიცავდა უარყოფას, ა.ნ. კოლმოგოროვი ასე გვთავაზობდა: მან წარმოადგინა ინტუიციური ლოგიკა, მჭიდროდ დაკავშირებული ინტუიციურ მათემატიკასთან, წინადადებებისა და პრედიკატების აქსიომური იმპლიკაციური მინიმალური გაანგარიშების სახით. ამრიგად, მეცნიერმა წარმოადგინა მათემატიკური ცოდნის ახალი მოდელი, გადალახა ინტუიციონიზმის შეზღუდვები მხოლოდ ინტუიციის, როგორც შემეცნების საშუალებად და ლოგიკიზმის შეზღუდვების აღიარებაში, რაც აბსოლუტირებს მათემატიკაში ლოგიკის შესაძლებლობებს. ამ პოზიციამ შესაძლებელი გახადა მათემატიკური სახით ინტუიციური და ლოგიკური სინთეზის დემონსტრირება, როგორც მოქნილი რაციონალურობის საფუძველი და მისი კონსტრუქციული ეფექტურობა.

დასკვნები. ამრიგად, მათემატიკური ცოდნის ეპისტემოლოგიური ასპექტი საშუალებას გვაძლევს შევაფასოთ რევოლუციური ცვლილებებიმათემატიკის საფუძვლების კრიზისის ეტაპზე XIX-XX მხრივსაუკუნეებს ახალი პოზიციებიდან შემეცნების პროცესის, მასში საგნის ბუნებისა და როლის გაგებაში. გნოსეოლოგიური საგანი ტრადიციული თეორიაცოდნა, რომელიც შეესაბამება მათემატიკაში სიმრავლე-თეორიული მიდგომის დომინირების პერიოდს, არის აბსტრაქტული, არასრული, „ნაწილობრივი“ საგანი, წარმოდგენილი სუბიექტ-ობიექტის ურთიერთობებში, მოწყვეტილი აბსტრაქციებით, ლოგიკით, ფორმალიზმით რეალობისგან, რაციონალურად, თეორიულად მცოდნე. მისი ობიექტი და გაგებული, როგორც სარკე, რომელიც ზუსტად ასახავს და იმეორებს რეალობას. ფაქტობრივად, სუბიექტი გამორიცხული იყო შემეცნებიდან, როგორც რეალური პროცესი და ობიექტთან ურთიერთქმედების შედეგი. ინტუიციონიზმის შემოსვლამ მათემატიკაში ფილოსოფიური ტენდენციების ბრძოლის ასპარეზზე გამოიწვია მათემატიკოსის, როგორც ცოდნის სუბიექტის ახლებური გაგება - ადამიანი, რომელმაც იცის, რომლის ფილოსოფიური აბსტრაქცია, როგორც იქნა, თავიდან უნდა აშენდეს. მათემატიკოსი გამოჩნდა, როგორც ემპირიული სუბიექტი, უკვე გაგებული, როგორც განუყოფელი რეალური პიროვნება, მათ შორის ყველა ის თვისება, რაც აბსტრაქტული იყო ეპისტემოლოგიურ საგანში - ემპირიული კონკრეტულობა, ცვალებადობა, ისტორიულობა; ეს არის მოქმედი და შემეცნება რეალურ შემეცნებაში, შემოქმედებითი, ინტუიციური, გამომგონებელი საგანი. ინტუიციური მათემატიკის ფილოსოფია გახდა მოქნილი რაციონალობის კონცეფციაზე აგებული თანამედროვე ეპისტემოლოგიური პარადიგმის საფუძველი, საფუძველი, რომელშიც ადამიანი არის შემეცნების განუყოფელი (ჰოლისტური) სუბიექტი, ფლობს ახალ შემეცნებით თვისებებს, მეთოდებს, პროცედურებს; ის ასინთეზებს თავის აბსტრაქტულ-ეპისტემოლოგიურ და ლოგიკურ-მეთოდიურ ბუნებას და ფორმას და ამავე დროს იღებს ეგზისტენციალურ-ანთროპოლოგიურ და „ისტორიულ-მეტაფიზიკურ“ გაგებას.

მნიშვნელოვანი მომენტია აგრეთვე ინტუიცია შემეცნებაში და, კერძოდ, მათემატიკური ცნებების ჩამოყალიბებაში. ისევ არის ბრძოლა ფილოსოფიასთან, მცდელობა გამოირიცხოს გამორიცხული შუალედური კანონი, როგორც მათემატიკაში აზრი არ აქვს და მასში ფილოსოფიიდან შემოდის. ამასთან, ინტუიციაზე გადაჭარბებული აქცენტის არსებობა და მკაფიო მათემატიკური დასაბუთების ნაკლებობა არ იძლეოდა მათემატიკის მყარ საფუძველზე გადატანის საშუალებას.

თუმცა, 1930-იან წლებში გამოჩენის შემდეგ მკაცრი კონცეფციაალგორითმი, ხელკეტი ინტუიციონიზმისგან აიღო მათემატიკურმა კონსტრუქტივიზმმა, რომლის წარმომადგენლებმა მნიშვნელოვანი წვლილი შეიტანეს გამოთვლით თანამედროვე თეორიაში. გარდა ამისა, 1970-იან და 1980-იან წლებში მნიშვნელოვანი კავშირები იქნა აღმოჩენილი ინტუიციონისტების ზოგიერთ იდეას (თუნდაც ადრე აბსურდულად ჩანდა) და ტოპოსის მათემატიკურ თეორიას შორის. ზოგიერთ ტოპოში ნაპოვნი მათემატიკა ძალიან ჰგავს იმას, რისი შექმნასაც ინტუიციონისტები ცდილობდნენ.

შედეგად, შეიძლება გაკეთდეს განცხადება: ზემოაღნიშნული პარადოქსების უმეტესობა უბრალოდ არ არსებობს თვითმფლობელობის მქონე კომპლექტების თეორიაში. არის თუ არა ასეთი მიდგომა საბოლოო - საკამათო საკითხი, შემდგომი მუშაობაამ სფეროში გამოჩნდება.

დასკვნა

დიალექტიკურ-მატერიალისტური ანალიზი გვიჩვენებს, რომ პარადოქსები არის ენისა და აზროვნების დიქოტომიის შედეგი, ღრმა დიალექტიკის გამოხატულება (გოდელის თეორემამ შესაძლებელი გახადა დიალექტიკის გამოვლენა შემეცნების პროცესში) და ეპისტემოლოგიური სირთულეები, რომლებიც დაკავშირებულია საგნისა და სუბიექტის ცნებებთან. ფართობი ფორმალურ ლოგიკაში, სიმრავლე (კლასი) ლოგიკაში და სიმრავლეების თეორიაში, აბსტრაქციის პრინციპის გამოყენებით, რომელიც საშუალებას იძლევა შემოიტანოთ ახალი (აბსტრაქტული) ობიექტები (უსასრულობა), მეცნიერებაში აბსტრაქტული ობიექტების განსაზღვრის მეთოდები და ა.შ. ყველა პარადოქსის აღმოსაფხვრელად უნივერსალური გზა შეუძლებელია.

დასრულდა თუ არა მათემატიკის მესამე კრიზისი (რადგან ის პარადოქსებთან მიზეზობრივ კავშირში იყო; ახლა პარადოქსები განუყოფელი ნაწილია) - აქ მოსაზრებები განსხვავებულია, თუმცა ფორმალურად ცნობილი პარადოქსები აღმოიფხვრა 1907 წლისთვის. თუმცა, ახლა მათემატიკაში არის სხვა გარემოებები, რომლებიც შეიძლება ჩაითვალოს კრიზისის ან კრიზისის წინაპირობად (მაგალითად, ბილიკის ინტეგრალის მკაცრი დასაბუთების არარსებობა).

რაც შეეხება პარადოქსებს, მათემატიკაში ძალიან მნიშვნელოვანი როლი ითამაშა ცნობილმა მატყუარა პარადოქსმა, ისევე როგორც პარადოქსების მთელ სერიას ეგრეთ წოდებულ გულუბრყვილო (წინა აქსიომატიურ) სიმრავლეების თეორიაში, რამაც გამოიწვია საფუძვლების კრიზისი (ამ პარადოქსებიდან ერთ-ერთი ითამაშა. ფატალური როლი გ. ფრეგეს ცხოვრებაში). მაგრამ, ალბათ, ერთ-ერთი ყველაზე დაუფასებელი მოვლენა თანამედროვე მათემატიკაში, რომელსაც შეიძლება ვუწოდოთ როგორც პარადოქსული, ასევე კრიზისული, არის პოლ კოენის გადაწყვეტა 1963 წელს ჰილბერტის პირველი პრობლემის შესახებ. უფრო ზუსტად, არა თავად გადაწყვეტილების ფაქტი, არამედ ამ გადაწყვეტილების ბუნება.

ლიტერატურა

1. გეორგ კანტორი. Beiträge zur begründung der transfiniten mengenlehre. Mathematische Annalen, 46:481-512, 1895 წ.
2. ი.ნ. ბუროვა. სიმრავლეების თეორიისა და დიალექტიკის პარადოქსები. მეცნიერება, 1976 წ.
3. მ.დ. პოტერი. კომპლექტების თეორია და მისი ფილოსოფია: კრიტიკული შესავალი. Oxford University Press, Incorporated, 2004 წ.
4. ჟუკოვი ნ.ი. მათემატიკის ფილოსოფიური საფუძვლები. მინსკი: Universitetskoe, 1990 წ.
5. Feynman R.F., S. Ilyin. რა თქმა უნდა, ხუმრობთ, მისტერ ფეინმან!: საოცარი ადამიანის თავგადასავალი, რომელიც მის მიერ რ. ლეიტონს მოუყვა. კოლიბრი, 2008 წ.
6. ო.მ.მიჟევიჩი. პარადოქსების დაძლევის ორი გზა გ.კანტორის სიმრავლეების თეორიაში. ლოგიკური და ფილოსოფიური კვლევები, (3):279--299, 2005 წ.
7. S. I. მასალოვა. ინტუიციონისტური მათემატიკის ფილოსოფია. დსტუ-ს ბიულეტენი, (4), 2006 წ.
8. ჩეჩულინი ვ.ლ. კომპლექტების თეორია თვითმფლობელობით (საფუძვლები და ზოგიერთი პროგრამა). პერმის. სახელმწიფო უნ-ტ. – პერმი, 2012 წ.
9. S. N. Tronin. ლექციების მოკლე რეზიუმე დისციპლინაზე ""მათემატიკის ფილოსოფია"". ყაზანი, 2012 წ.
10. გრიშინი ვ.ნ., ბოჭვარი დ.ა. კვლევები სიმრავლეების თეორიასა და არაკლასიკურ ლოგიკაში. მეცნიერება, 1976 წ.
11. Hofstadter D. Gödel, Escher, Bach: ეს გაუთავებელი გირლანდი. ბაჰრახ-მ, 2001 წ.
12. კაბაკოვი F.A., Mendelson E. შესავალი მათემატიკური ლოგიკაში. გამომცემლობა „ნაუკა“, 1976 წ.
13. დიახ. ბოჭვარი. მათემატიკური ლოგიკისა და სიმრავლეების თეორიის პარადოქსების საკითხზე. მათემატიკური კრებული, 57(3):369--384, 1944 წ.

ანოტაციის ნაცვლად:

„... კანტორის დიაგონალური მტკიცებულება არის აქტივობა იდიოტებისთვის, რომელსაც არაფერი აქვს საერთო იმასთან, რასაც ჩვეულებრივ კლასიკურ ლოგიკაში დედუქციას უწოდებენ.

ლ.ვიტგენშტაინი

„...კანტორის თეორია წარმოგვიდგენს პათოლოგიური შემთხვევა ისტორიაში მათემატიკა, საიდანაც მოდის თაობები უბრალოდ შეშინდებიან"

კ.ბაუერი, ტოპოლოგიის ფუძემდებელი

1. თანამედროვე მათემატიკური ცოდნის კრიზისი.

მათემატიკა წამყვან როლს ასრულებს ძველი და შუა საუკუნეების ნუკას თანამედროვე ევროპულად გადაქცევის პროცესში, რადგან თეორიული საბუნებისმეტყველო მეცნიერება მათემატიკის გარეშე შეუძლებელია. თანამედროვე ევროპულ საბუნებისმეტყველო მეცნიერებაში შემთხვევითი არ არის, რომ მათემატიკას „მეცნიერებათა დედოფალს“ უწოდებენ. თუ ანტიკურ ეპოქაში იგი გამოეყო ბუნების მეცნიერებებს და მისი საგანი იყო იდეალის სფერო. მათემატიკური ერთეულები, მაშინ თანამედროვე დროში სიტუაცია მკვეთრად იცვლება. მათემატიკა უახლოვდება ბუნების მეცნიერებებს და იწყებს მათთვის თანაარსებობის საკუთარი წესების კარნახს. ამასთან დაკავშირებით, თანამედროვე კონცეპტუალური საბუნებისმეტყველო მეცნიერება იღებს მათემატიკური განმარტებას. თანამედროვე საბუნებისმეტყველო მეცნიერებები თავისი წარმატების დიდ ნაწილს თანამედროვე ევროპულ მათემატიკას ევალება. თუმცა ბოლო, მესამე კრიზისი, რომელიც ას წელზე მეტია გრძელდება, მის საფუძვლებში სერიოზული პრობლემების არსებობაზე მიუთითებს.

არსებობს ტრადიციული თვალსაზრისი, რომ XIX-XX სს. იყო მე-3 კრიზისი მათემატიკის საფუძვლებში, რომლის მიზეზები დაკავშირებულია მათემატიკის ლოგიკასთან დაახლოებასთან, ასევე ისეთი მათემატიკური ცნებების გარკვევის აუცილებლობასთან, როგორიცაა რიცხვი, სიმრავლე, ლიმიტი, ფუნქციები და ა.შ.

ამ კრიზისის სათავე მე-17-18 საუკუნეებში იღებს სათავეს, როდესაც მათემატიკამ შეიმუშავა ბუნებისმეტყველების პრობლემების გადაჭრის მეთოდები. იმდროინდელ მათემატიკოსებს განსაკუთრებით არ აინტერესებდათ საკუთარი მეთოდების დასაბუთება [L.S. ფრეინმანი. უმაღლესი მათემატიკის შემქმნელები. M., 1968. S. 83-84]

მე-19 საუკუნეში ხდება ფუნდამენტური ცნებების გადახედვა და თეორიული მათემატიკის ფორმირება. ეს იწვევს სიმრავლეების თეორიის ფორმირებას და მათემატიკის არითმეტიზაციას.

მეცხრამეტე საუკუნის უდიდესი მათემატიკოსები ცდილობდნენ მათემატიკის ყველა ფაქტის შემცირებას ნომერიდა ინტენსიურად განავითარონ, დაწყებული გაუსის არითმეტიკული გამოკვლევებით (1801), რიცხვების თეორია [F.A. Medvedev. სიმრავლეების თეორიის განვითარება XIX საუკუნეში. მ., 1965. S. 35-36.]. უპირველეს ყოვლისა, ის მათემატიკურ ანალიზს ეხებოდა. ყველაზე პრობლემური იყო მისი ლოგიკური საფუძვლები. ამასთან დაკავშირებით XIX ს. იწყება მათემატიკის საფუძვლების შემუშავება და მისი განმარტებებისა და მტკიცებულებების უფრო მკაცრი მეთოდები.

მათემატიკური ანალიზის რესტრუქტურიზაციის პროცესში არსებობს რწმენა, რომ ალგებრის და მათემატიკური ანალიზის თეორემები შეიძლება ჩამოყალიბდეს როგორც თეორემა ნატურალურ რიცხვებზე [Dedekind R. რა არის რიცხვები და რას ემსახურებიან ისინი. ყაზანი: ედ. საიმპერატორო უნივერსიტეტი, 1905. S. 5].

ამ პროცესის შედეგი იყო რიცხვის, როგორც ყველა მათემატიკის ფუნდამენტური კონცეფციის რეალიზება და რეალური რიცხვების თეორიის აგება ისეთი მათემატიკოსების მიერ, როგორებიც არიან ბოლზანო, ვეიერშტრასი, დედეკინდი და კანტორი.

XIX საუკუნის მეორე ნახევარში უკვე ჩნდება მათემატიკის დასაბუთების პრობლემა. მის ამოხსნაში გამორჩეული როლი ითამაშა გ.კანტორის მიერ სიმრავლეების თეორიის აგებამ. შედეგად, ანალიზისა და ფუნქციის თეორიის ცნებები ჩამოყალიბებულია სიმრავლეების თეორიის მიხედვით. ამ უკანასკნელისთვის ფუნდამენტური კონცეფცია იყო რეალურად უსასრულო ნაკრების კონცეფცია.

სიმრავლეების თეორიის განვითარება ფაქტობრივი უსასრულობის კონცეფციის ინკორპორირებით, ფაქტობრივად, ნიშნავდა რევოლუციას მათემატიკის ისტორიაში, რომელიც შედარებულია კოპერნიკის რევოლუციასთან, ფარდობითობის თეორიასთან და კვანტურ მექანიკასთან. სიმრავლეების თეორიამ მისცა უნივერსალური მეთოდი, რომელიც გახდა საფუძველი შემდგომი განვითარებამათემატიკა.

მათემატიკის განვითარების შემდეგი ეტაპი დაკავშირებული იყო ალგებრის, ლოგიკისა და სიმრავლეების თეორიის დაახლოებასთან. მათემატიკა უპრეცედენტო აბსტრაქტულ ფორმას იღებს. ეს ნიშნავდა მათემატიკის ლოგიკურ საფუძვლებზე გადასვლას. მათემატიკის საფუძვლებში განსაკუთრებული წვლილი შეიტანა გ. ფრეგემ („არითმეტიკის საფუძვლები“ ​​და „ცნებების გაანგარიშებით მიღებული არითმეტიკის ძირითადი კანონები“). ახორციელებს მათემატიკური ლოგიკის აქსიომატიურ დედუქციურ კონსტრუქციას (პროპოზიციური კალკულუსი, პრედიკატის გამოთვლა). წყდება აქსიომური სისტემების რაოდენობის, დამოუკიდებლობის, თანმიმდევრულობისა და სისრულის ლოგიკური დასაბუთების პრობლემა. „ლოგისტიკა“ წარმოიქმნება, როგორც მათემატიკის პრეზენტაცია ლოგიკის ენაზე. არსებობს ძლევამოსილის განვითარების პროცესი ლოგიკური ანალიზიდა ლოგიკის ფორმალიზება.

მათემატიკის ლოგიკიდან გამოყვანის იდეა ძლიერდება. ფრეგე, რომელმაც განსაზღვრა ცნებები „რიცხვი“ და „რაოდენობა“ „კლასის“ და „ურთიერთობის“ ლოგიკური ტერმინებით, ახერხებს სიმრავლეების თეორიის ფორმალიზებას და მათემატიკა ლოგიკის გაფართოებად წარმოჩენას.

ეს პროცესი მთავრდება რასელისა და უაითჰედის ფუნდამენტური სამტომიანი ნაშრომის Principia Mathematica (1910-1913) შექმნით.

მე-19 საუკუნის ბოლოს მათემატიკაში შეიქმნა ვითარება, რომელიც ძალიან ჰგავს ფიზიკას 1990-იანი წლების დასაწყისისთვის, როდესაც ჩამოყალიბდა კლასიკური ფიზიკის სისრულის იდეა. შემდეგ კი მოჰყვა დრამატული მოვლენები, რომლებზეც ადრე ვისაუბრეთ.

XIX-XX საუკუნეების მიჯნაზე. მათემატიკა შედის მწვავე კრიზისის პერიოდში, რომელიც გამოწვეულია გადაუჭრელი მათემატიკური, ლოგიკური და სემანტიკური პარადოქსების სერიის გაჩენით, რომლებიც ეჭვქვეშ აყენებენ კანტორის სიმრავლეების თეორიას და კლასიკური მათემატიკის საფუძვლებს. ამან სასოწარკვეთილებაში ჩააგდო ისეთი გამოჩენილი მათემატიკოსებიც, როგორებიც არიან კანტორი, ფრეგე და სხვები. გ. ვეილმა, თუნდაც მრავალი წლის შემდეგ, დაწერა შემდეგი სტრიქონები მათემატიკური ცოდნის ისტორიაში ამ პერიოდის შესახებ: ” ჩვენ ახლა ნაკლებად ვართ დარწმუნებული მათემატიკისა და ლოგიკის ძირითად საფუძვლებში. ჩვენ „კრიზისს“ ისე განვიცდით, როგორც ამას ყველა და ყველაფერი განიცდის თანამედროვე სამყაროში. ეს კრიზისი უკვე ორმოცდაათი წელია გრძელდება (ეს სტრიქონები დაიწერა 1946 წელს). ერთი შეხედვით ჩანს, რომ ეს ჩვენს ყოველდღიურ მუშაობას განსაკუთრებულად არ უშლის ხელს. თუმცა, დაუყოვნებლივ უნდა ვაღიარო, რომ ჩემი მათემატიკური სამუშაოამ კრიზისს ჰქონდა შესამჩნევი პრაქტიკული გავლენა: მან მიმართა ჩემს ინტერესებს ისეთ სფეროებში, რომლებიც მე შედარებით „უსაფრთხო“ მივიჩნიე და მუდმივად ძირს უთხრის ენთუზიაზმსა და მონდომებას, რომლითაც მე ვაგრძელებდი ჩემს კვლევას. ჩემი გამოცდილება ალბათ სხვა მათემატიკოსებმაც გაიზიარეს, რომლებიც არ არიან გულგრილები იმის მიმართ, თუ რა ადგილი უჭირავს მათ მეცნიერულ საქმიანობას ამ სამყაროში იმ ზოგად კონტექსტში, რომელიც არის დაინტერესებული, მტანჯველი და ქმნილება.» [მ. კლაინი. Მათემატიკა. დარწმუნების დაკარგვა. M.: Mir, 1984. S. 387]. „... მდგომარეობა, რომელშიც ახლა ვართ პარადოქსებთან დაკავშირებით“, წერს დ. გილბერტი, „ დიდი დროაუტანელი. იფიქრეთ: მათემატიკაში - დარწმუნების და ჭეშმარიტების ის მოდელი - ცნებების ფორმირება და დასკვნების მიმდინარეობა, როგორც ყველა სწავლობს, ასწავლის და იყენებს მათ, იწვევს აბსურდულობას. სად უნდა ვეძებოთ სანდოობა და სიმართლე, თუ თვით მათემატიკური აზროვნებაც კი არასწორად მუშაობს? [დ. გილბერტი. გეომეტრიის საფუძვლები. M.-L., 1948. S.349].

პარადოქსების გადაჭრის წარუმატებელმა მცდელობებმა მათემატიკოსები მიიჩნიეს, რომ კრიზისის მიზეზები მდგომარეობს მსჯელობის ფუნდამენტური ცნებებისა და მეთოდების სფეროში. საჭიროა მათემატიკის პრინციპების გადახედვა და ზოგიერთი ძველი ცნების მიტოვება. და ეს, უპირველეს ყოვლისა, ეხებოდა სიმრავლეების თეორიის რესტრუქტურიზაციას და კომპლექტის თვით კონცეფციის დახვეწას სრულიად ახალ საფუძველზე [ს. კლეენი. შესავალი მეტამათემატიკაში. M., 1957. S. 42.]. ლოგიკის იდეალი, როგორც მათემატიკური მტკიცებულების სიმკაცრის კრიტერიუმი, განადგურდა.მაშასადამე, მათემატიკა დადგა ამოცანა, აღედგინა მათემატიკური ცოდნის ყოფილი სანდოობა და სანდოობა. ლოგიკური მსჯელობის ინტუიციური ბუნება და შესაბამისი ენა აღარ აწყობდა მეცნიერებს [ხ. კარი. მათემატიკური ლოგიკის საფუძვლები. M., 1969. S. 26.]. ჩნდება სამი კვლევითი პროგრამა: ლოგიკიზმი, ფორმალიზმი და ინტუიციონიზმი.

თანამედროვე მათემატიკის ისტორიაში მოკლე გადახვევა აჩვენებს, რომ მის საფუძველში და, შესაბამისად, მთელი მათემატიკური საბუნებისმეტყველო მეცნიერებები დევს. ფუნდამენტური თეორიაკანტორის კომპლექტი ფაქტობრივი უსასრულობის ძირითადი სამეცნიერო კონცეფციით. და თავად მათემატიკა იმდენად მჭიდროდ არის დაკავშირებული უსასრულობის ცნებასთან, რომ მას ხშირად განსაზღვრავენ როგორც მეცნიერებას უსასრულობის შესახებ.

მათემატიკა, ისევე როგორც სხვა მეცნიერებები (და ფილოსოფია), საკმაოდ ღრმად არის განსაზღვრული ფუნდამენტური სულიერი და ისტორიული პარადიგმებით. ამ რწმენას ადასტურებს პ.პ.გაიდენკოს ნაშრომები, რომლებიც ეძღვნება მეცნიერების კონცეფციის ევოლუციას ფილოსოფიის ისტორიის კონტექსტში [P.P. Gaidenko. მეცნიერების ცნების ევოლუცია (პირველი სამეცნიერო სამეცნიერო პროგრამების ფორმირება და განვითარება). მ "მეცნიერება", 1980 წ. – (სქოლიოების გარეშე) – [ ელექტრონული რესურსი]. URL: http://www.philosophy.ru/library/gaid/pgaid_physics.html]. და მიუხედავად იმისა, რომ ავტორი თავის კვლევაში ყურადღებას ამახვილებს მეცნიერული და ფილოსოფიური ცოდნის ურთიერთქმედების შესახებ, მიუხედავად ამისა, რელიგიური კონტექსტის გავლენა სამეცნიერო პროგრამებზე მათში არანაკლებ ნათლად ჩანს. რელიგიური, თეოლოგიური ნაგებობების გავლენა თანამედროვე მათემატიკის შინაარსზე ასევე დამაჯერებლად არის წარმოდგენილი ვ.ნ. კატასონოვა [ვ.ნ. კატასონოვი. უსასრულობისა და ქრისტიანობის სამეცნიერო და ფილოსოფიური ცნებები. - [ელექტრონული რესურსი]. URL: http://www.bestreferat.ru/referat-73817.html] და A.A. Zenkin [A.A. Zenkin. Transfinite Paradise გეორგ კანტორის მიერ: ბიბლიური ისტორიებიაპოკალიფსის წინა დღეს. - [ელექტრონული რესურსი]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/] და ა.შ.

ამრიგად, მოსაზრება, რომ მათემატიკა არის თავისუფალი (დამოუკიდებელი) და უნივერსალური მეცნიერება, რომელიც ვითარდება საკუთარი კანონების მიხედვით, ძალიან გაზვიადებულია.

2. გ.კანტორის სიმრავლეების თეორიის შეჯამება.

გ.კანტორი სიმრავლეების თეორიის საფუძვლად მიიჩნევს პითაგორა-პლატონურ სამეცნიერო პროგრამას, რომლის კრიტიკაც არისტოტელემ გამოიტანა, მაგრამ რომელიც კვლავ აღორძინებულია რენესანსის ფილოსოფიაში. მის დასაბუთებლად გამოყენებულია კათოლიკური სწავლების თეოლოგიური არგუმენტები. ფილოსოფიურმა და მათემატიკურმა აზროვნებამ, დაწყებული მე-15 საუკუნიდან, თანდათან მოამზადა ამ თეორიის შექმნა.

გეორგ კანტორი არის სიმრავლეების თეორიისა და ტრანსფინიტური რიცხვების თეორიის შემქმნელი. მისი უსასრულო სიმრავლეების თეორიის მთავარი იდეა იყო არისტოტელეს თეზისის გადამწყვეტი უარყოფა რეალურად უსასრულო სიმრავლეების შესახებ. კანტორმა უსასრულო სიმრავლეების შესწავლა დააფუძნა შედარებული კომპლექტების ელემენტებს შორის ერთი-ერთზე შესაბამისობის იდეაზე. თუ ასეთი შესაბამისობა შეიძლება დამყარდეს ორი კომპლექტის ელემენტებს შორის, მაშინ ამბობენ, რომ სიმრავლეებს აქვთ იგივე კარდინალურობა, ანუ ისინი ეკვივალენტური ან ეკვივალენტურია. „სასრული სიმრავლეების შემთხვევაში, - წერდა კანტორი, - კარდინალურობა იგივეა, რაც ელემენტების რაოდენობა. ამიტომ სიმძლავრეს ასევე უწოდებენ მოცემული სიმრავლის კარდინალურ (რაოდენობრივ) რიცხვს [P. სტახოვი. „ოქროს მონაკვეთის“ ნიშნით: სტუდენტი სტუდენტის შვილის აღსარება თავი 5. გაზომვის ალგორითმული თეორია. 5.5. უსასრულობის პრობლემა მათემატიკაში. - [ელექტრონული რესურსი]. URL: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm ].

1874 წელს მან დაადგინა არაეკვივალენტური, ანუ უსასრულო სიმრავლეების არსებობა სხვადასხვა კარდინალობით; 1878 წელს მან შემოიღო. ზოგადი კონცეფციაკომპლექტების კარდინალობა (მის მიერ შემოთავაზებული და მათემატიკაში მიღებული ებრაული ანბანის ასოებით მიღებული კომპლექტების კარდინალურობის აღნიშვნაში, მისი ებრაული წარმომავლობა, მამის თქმით, სავარაუდოდ, იმოქმედა). მთავარ ნაშრომში „უსასრულო წრფივი წერტილოვანი წარმონაქმნების შესახებ“ (1879–84) კანტორმა სისტემატიურად განმარტა სიმრავლეების დოქტრინა და დაასრულა იგი სრულყოფილი სიმრავლის (ე.წ. კანტორის სიმრავლის) მაგალითის აგებით [Kantor G. On Infinite Liar. წერტილოვანი წარმონაქმნები. // ახალი იდეები მათემატიკაში, 1994, No6, სანკტ-პეტერბურგი].

კანტორმა მათემატიკური შინაარსი მისცა ფაქტობრივი უსასრულობის იდეას. კანტორს მიაჩნდა თავისი თეორია, როგორც უსასრულო, „ტრანსფინიტური“ (ანუ „ზედასრული“) მათემატიკის სრულიად ახალი გაანგარიშება. ფაქტობრივი უსასრულობა, როგორც ეს იყო, არის „მიმღები“, რომელშიც პოტენციური უსასრულობის სერია იშლება და ეს ჭურჭელი უკვე უნდა იყოს ფაქტობრივი მონაცემები.

მისი იდეის თანახმად, ასეთი გამოთვლების შექმნამ უნდა მოახდინოს რევოლუცია არა მხოლოდ მათემატიკაში, არამედ მეტაფიზიკასა და თეოლოგიაშიც, რაც კანტორს თითქმის უფრო მეტად აინტერესებდა, ვიდრე თავად მეცნიერული კვლევა. ის იყო ერთადერთი მათემატიკოსი და ფილოსოფოსი, რომელსაც სჯეროდა, რომ ფაქტობრივი უსასრულობა არა მხოლოდ არსებობს, არამედ ადამიანისათვის გასაგებიც არის სრული გაგებით და ეს გაგება მათემატიკოსებს და მათ შემდეგ ღვთისმეტყველებს ამაღლებს ღმერთთან უფრო მაღალ და ახლოს.. მან თავისი სიცოცხლე მიუძღვნა ამ საქმეს. მეცნიერს მტკიცედ სწამდა, რომ ის ღმერთმა აირჩია მეცნიერებაში დიდი რევოლუციის მოსაწყობად და ამ რწმენას მისტიური ხილვებიც ამყარებდა.

ამ მიდგომამ მიიყვანა კანტორი ბევრ პარადოქსულ აღმოჩენამდე, რომლებიც მკვეთრად ეწინააღმდეგება ჩვენს ინტუიციას. ასე რომ, სასრულ სიმრავლეებისგან განსხვავებით, რომლებიც ექვემდებარება ევკლიდეს აქსიომას „მთელი მეტია ნაწილზე“, უსასრულო სიმრავლეები არ ემორჩილებიან ამ აქსიომას. მარტივია, მაგალითად, ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლისა და მისი ნაწილის - ლუწი რიცხვთა სიმრავლის ეკვივალენტობის დადგენა შემდეგი ერთ-ერთ შესაბამისობის დადგენით: [პ. სტახოვი. „ოქროს მონაკვეთის“ ნიშნით: სტუდენტი სტუდენტის შვილის აღსარება თავი 5. გაზომვის ალგორითმული თეორია. 5.5. უსასრულობის პრობლემა მათემატიკაში. - [ელექტრონული რესურსი]. URL: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm].

სიმრავლეს, კანტორის მიხედვით, უსასრულო ეწოდება, თუ იგი უდრის მის ერთ-ერთ ქვესიმრავლეს. სიმრავლეს ეწოდება სასრული, თუ ის არ არის მისი რომელიმე ქვესიმრავლის ექვივალენტი. თვლადი სიმრავლე არის ნატურალური რიცხვების სიმრავლის ექვივალენტური სიმრავლე, ვინაიდან მისი ელემენტების ჩამოთვლა შესაძლებელია [იქვე].

კანტორს მიაჩნდა, რომ ნატურალური, რაციონალური და ალგებრული რიცხვების სიმრავლეებს ერთნაირი კარდინალობა აქვთ, ე.ი. თვლადია [იქვე].

კანტორი ასევე ცდილობდა დაემტკიცებინა, რომ ნატურალური რიცხვების N სიმრავლე შეიძლება აისახოს რეალური რიცხვების R სიმრავლის ნაწილზე, მაშინ როცა რეალური რიცხვების კარდინალურობა მეტია ნატურალური რიცხვების სიმრავლის კარდინალურობაზე [Ibid.].

1886 წელს კანტორი ცდილობდა დაემტკიცებინა, რომ ერთეულ კვადრატში არ არის მეტი წერტილი, ვიდრე ერთეულ სეგმენტში. მაშასადამე, ორგანზომილებიანი კონტინიუმის სიმძლავრე უდრის ერთი განზომილების უწყვეტობის ძალას [იქვე].

კანტორის იდეები იმდენად მოულოდნელი და წინააღმდეგობრივი აღმოჩნდა, რომ ცნობილი ფრანგი მათემატიკოსიანრი პუანკარემ ტრანსფინიტური რიცხვების თეორიას "დაავადება" უწოდა, რომლისგანაც მათემატიკა ოდესღაც უნდა განიკურნოს. ლეოპოლდ კრონეკერი - კანტორის მასწავლებელი და ერთ-ერთი ყველაზე პატივსაცემი მათემატიკოსი გერმანიაში - კანტორს პირადადაც კი შეუტია და მას "შარლატანი", "რენეგატი" და "ახალგაზრდობის მოძალადე" უწოდა [მეცნიერების სამყაროში. Scientific American · რუსული გამოცემა No. 8 · აგვისტო 1983 · გვ. 76–86 / Georg Cantor and the Birth of Transfinite Set Theory].

სიმრავლეების თეორიამ ასევე გახსნა ახალი გვერდი მათემატიკის საფუძვლების შესწავლაში - კანტორის ნაშრომმა პირველად შესაძლებელი გახადა მკაფიოდ ჩამოყალიბებულიყო თანამედროვე ზოგადი იდეები მათემატიკის საგნის, მათემატიკური თეორიების სტრუქტურის, აქსიომატიკის როლისა და კონცეფციის შესახებ. ობიექტების სისტემების იზომორფიზმი, მოცემული მათ დამაკავშირებელ მიმართებებთან ერთად. მისი სიმრავლეების თეორია მათემატიკის ერთ-ერთი ქვაკუთხედია.

მათემატიკის ფილოსოფიაში კანტორმა გააანალიზა უსასრულობის პრობლემა. განასხვავებენ მათემატიკური უსასრულობის ორ ტიპს - არასათანადო (პოტენციური) და სათანადო (აქტუალური, გაგებული, როგორც სრული მთლიანობა), - კანტორი, წინამორბედებისგან განსხვავებით, დაჟინებით მოითხოვდა მათემატიკაში მოქმედების კანონიერებას რეალურად უსასრულო ცნებით. პლატონიზმის მხარდამჭერმა კანტორმა მათემატიკურ ფაქტობრივ-უსასრულობაში დაინახა ზოგადად ფაქტობრივი უსასრულობის ერთ-ერთი ფორმა, რომელიც იძენს უმაღლეს სისრულეს აბსოლუტურ ღვთაებრივ არსებაში.

3. დიდი დაპირისპირება კანტორიელებსა და ანტიკანტორიელებს შორის.

A.A. Zenkin-ის კრიტიკა აბსტრაქტული სიმრავლეების თეორიაზე

გ.კანტორი და „სწავლებები ტრანსფინიტის შესახებ“.

გ.კანტორის სიმრავლეების თეორიისადმი მიძღვნილ მრავალრიცხოვან კრიტიკულ ლიტერატურას შორის განსაკუთრებულ ყურადღებას იმსახურებს რუსი მათემატიკოსის ა.ა.ზენკინის კვლევები. ცნობილი მათემატიკოსის A.P. სტახოვის თქმით, შესაძლოა სწორედ ის (ზენკინი) დააყენებს ბოლო პუნქტს კანტორთან კამათში და მათემატიკური კრიზისის გადაჭრაში თანამედროვე მათემატიკაში.[ http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm].

თავდაპირველ სტატიაში „გიორგი კანტორის უსაზღვრო სამოთხე. ბიბლიური ისტორიები აპოკალიფსის ზღურბლზე "რუსი მეცნიერი A.A. Zenkin აანალიზებს ეპისტემოლოგიურ ხარვეზებს კანტორის მიერ კონტინიუმის ურიცხვობის დადასტურების ლოგიკაში, ფაქტობრივი უსასრულობის კონცეფციაზე დაყრდნობით.[A.A. Zenkin. გეორგ კანტორის უსაზღვრო სამოთხე: ბიბლიური ისტორიები აპოკალიფსის ზღურბლზე. - [ელექტრონული რესურსი]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/].

ათასწლეულების განმავლობაში, - აღნიშნავს A.A. ზენკინი, - ისეთი გამოჩენილი მეცნიერები და ფილოსოფოსები, როგორიცაა არისტოტელე, ევკლიდე, ლაიბნიცი, ბერკლი, ლოკი, დეკარტი, კანტი, სპინოზა, ლაგრანჟი, გაუსი, კრონეკერი, ლობაჩევსკი მხარს უჭერდნენ და იზიარებდნენ უარყოფით დამოკიდებულებას AB, კონცეფციის მიმართ. კოში, ფ. კლაინი, ჰერმიტი, პუანკარე, ბაერი, ბორელი, ბროუერი, კუინი, ვიტგენშტაინი, ვეილი, ლუზინი და უკვე დღეს - ერეტი ეპისკოპოსი, სოლომონ ფეფერმანი, იაროსლავ პერეგინი, ვლადიმირ ტურჩინი, პიოტრ ვოპენკა და მრავალი სხვა.

XIX საუკუნის 70-იანი წლებიდან იკვეთება მკვეთრად ნეგატიური დამოკიდებულება გეორგ კანტორის სიმრავლეების თეორიის მიმართ, AB-ს კონცეფციაზე დაყრდნობით. A.A. ზენკინი მოჰყავს მის მიმართ ყველაზე კატეგორიული განცხადებების მაგალითებს. ასე რომ, ანრი პუანკარე მივიდა დასკვნამდე, რომ „არ არსებობს ფაქტობრივი უსასრულობა; კანტორიელებმა ეს დაივიწყეს და კამათში ჩავარდნენ. მომავალი თაობები განიხილავენ კანტორის კომპლექტების თეორიას, როგორც დაავადებას, რომელიც საბოლოოდ განიკურნა. ”[A.Poincaré, On Science. – მ.: ნაუკა, 1983]. არანაკლებ რადიკალურია თავის განცხადებებში თანამედროვე ტოპოლოგიის ფუძემდებელი ლ.ბროუერი: კანტორის თეორია მთლიანობაში არის პათოლოგიური ინციდენტი მათემატიკის ისტორიაში, რომლისგანაც მომავალი თაობები უბრალოდ შეშინდებიან.[A.A. Frenkel, I. Bar-Hillel. სიმრავლეების თეორიის საფუძვლები. - მ.: „მირ“].

„მიუხედავად ამისა, დღესაც,“ წერს რუსი მათემატიკოსი, „ისევე, როგორც მე-20 საუკუნის დასაწყისში, არის „დიდი დაპირისპირება“ კანტორიელების მეტამათემატიკურ ლოგიკას შორის, რომლებიც აღიარებენ კანტორის „სწავლების შესახებ“ ლეგიტიმურობას. ტრანსფინიტი“ ამ „სწავლების“ „არაგულუბრყვილო“ (იხ. ქვემოთ) ვერსიების სახით, ე.ი. თანამედროვე აქსიომატური სიმრავლეების თეორიის (შემდგომში - ATM) სახით, რომელიც დაფუძნებულია AB ცნების გამოყენებაზე (ჩუმად - იხილეთ ქვემოთ) და ანტიკანტორიელთა მათემატიკური ინტუიციაზე, რომლებიც უარყოფენ AB-ს და გ. კანტორის "დოქტრინას" კონცეფციას. ტრანსფინიტის" ამ კონცეფციის საფუძველზე" [A.A. Zenkin. გეორგ კანტორის უსაზღვრო სამოთხე: ბიბლიური ისტორიები აპოკალიფსის ზღურბლზე. - [ელექტრონული რესურსი]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/].

AB კონცეფციის გამოყენება იწვევს ლოგიკისა და მათემატიკის პარადოქსებს, რომელთა გენერირების მექანიზმები დღემდე ამოუცნობი რჩება. ამ მხრივ, დღეს აქტუალურია პარადოქსების ლოგიკური ბუნების გამჟღავნება და მათემატიკაში AB კონცეფციის გამოყენების ლეგიტიმურობა.ფრენკელი და ბაჰრ-ჰილელი აღნიშნავენ, რომ ლოგიკისა და მათემატიკის ტრადიციულ ინტერპრეტაციაში აბსოლუტურად არაფერია, რაც შეიძლება გახდეს საფუძველი რასელის ანტინომიის აღმოსაფხვრელად.<АЗ: а также парадокса «Лжец»>. მიგვაჩნია, რომ სიტუაციიდან გამოსვლის ნებისმიერი მცდელობა ტრადიციული... აზროვნების ხერხებით, რომელიც აქამდე უცვლელად წარუმატებელი იყო, აშკარად არასაკმარისია ამ მიზნით. ჩვეული აზროვნებიდან გარკვეული გადახვევა აშკარად აუცილებელია, თუმცა ამ წასვლის ადგილი წინასწარ არ არის ნათელი“ [A.A. Frenkel, I. Bar-Hillel. სიმრავლეების თეორიის საფუძვლები. - მ.: „მირ“].

აბსტრაქტული სიმრავლეების თეორია და მისი მტკიცება თანამედროვე მეცნიერებაში, A.A. Zenkin-ის მიხედვით, ფსევდომეცნიერების ნათელი მაგალითია, მეცნიერებაში ცრუ მითის შექმნის უპრეცედენტო შემთხვევა PR ტექნოლოგიების გამოყენებით.

უფრო მეტიც, A.A. ზენკინი უნებურად ავლენს თანამედროვე მეცნიერების, როგორც სოციალური ინსტიტუტის ნამდვილ მიუკერძოებელ არსს: ”ბანომატები - ინიციატივამ წარმოშვა ისეთი მასშტაბური ნეგატიური ფენომენი, როგორიც არის ბურბაკიზმი, ე.ი. მათემატიკისა და მათემატიკური განათლების გადაჭარბებული, არასაჭირო, უაზრო, გამაოგნებელი, გამაოგნებელი და ზომბირებადი ფორმალიზაცია. ასეთი ბურბაკიზაციის ნეგატიური შედეგების აღწერისას, გამოჩენილი რუსი მათემატიკოსი და მასწავლებელი, აკადემიკოსი V.I. არნოლდი წერს: ”მე-20 საუკუნის შუა წლებში, ”მარცხენა ნახევარსფეროს მათემატიკოსთა” მაფიამ, რომელსაც დიდი გავლენა ჰქონდა, მოახერხა გეომეტრიის გამორიცხვა მათემატიკიდან. განათლება ... ამ დისციპლინის მთლიანი შინაარსის ჩანაცვლება აბსტრაქტული ცნებების ფორმალური მანიპულირების ტრენინგით. მათემატიკის ასეთი აბსტრაქტული აღწერა არ არის შესაფერისი სწავლებისთვის ან რაიმე პრაქტიკული გამოყენებისთვის. თანამედროვე ფორმალიზებული (ბურბაკიზებული) განათლება მათემატიკაში - სრულიად საპირისპიროაზროვნების უნარისა და მეცნიერების საფუძვლების სწავლება. ეს საშიშია მთელი კაცობრიობისთვის. ამ დაავადებით ინფიცირებული მათემატიკის მომავალი საკმაოდ ბნელი ჩანს“ [A.A. Zenkin. გეორგ კანტორის უსაზღვრო სამოთხე: ბიბლიური ისტორიები აპოკალიფსის ზღურბლზე. - [ელექტრონული რესურსი]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/].

რუსი მათემატიკოსი აყალიბებს ოთხ მაგალითს „ტყუილი ჰ.კანტორის ბანკომატის გადასარჩენად“:

ჯერ მოიტყუე. „მათემატიკა ყველა მეცნიერების დედოფალია, ბანკომატები კი მათემატიკის დედოფალია“! ამ შემთხვევაში, A.A. Zenkin წერს, რომ თანამედროვე ბანკომატები ატყუებენ პროფესიულ მათემატიკურ საზოგადოებას და ზომბირებს მათემატიკოსთა ახალგაზრდა თაობას. კანტორიელები ამტკიცებენ, რომ თუ მე-20 საუკუნის დასაწყისში ბევრმა გამოჩენილმა მათემატიკოსმა კატეგორიულად უარყო ბანკომატები, როგორც ფსევდომეცნიერება, დღეს, „თანამედროვე მათემატიკოსები, საბოლოოდ, განათლებული ამის შესახებრომ ყველა უსასრულობა არის შესაბამისიშეცვალეს აზრი იმ თემაზე, რომ თეორია საბოლოონატურალური რიცხვები თეორიიდან "მიღებულია". ტრანსფინიტირიცხვები, რომ ცარიელი სიმრავლის ცნება გამოდის რეალურად უსასრულო სიმრავლის კონცეფციიდან, რომ ყველა თანამედროვე მათემატიკა შეიძლება გამოვიდეს ბანკომატიდანდა ოფიციალურად აღიარა, რომ "მათემატიკა არის ყველა მეცნიერების დედოფალი და ბანკომატია მათემატიკის დედოფალი"! ბანკომატის ყველა გუშინდელი მოწინააღმდეგე დღეს თანხმდება, რომ ბანკომატია გამორჩეული მიღწევათანამედროვე მათემატიკა, მიღწევა, რომელმაც შეცვალა ყველა მათემატიკის სახე მე-20 საუკუნეში“ [იქვე].

”ეს ემპირიული ფაქტია,” მარტინ დევისი და რუბენ ჰერში უკვე ზომბირებენ სამეცნიერო საზოგადოებას დღეს. რომ მომუშავე მათემატიკოსთა დაახლოებით 90%.მიიღო კანტორის სიმრავლეების თეორია, როგორც თეორიაში, ასევე პრაქტიკაში, გარკვეულწილად» [იქვე].

შემდეგ, როგორც სინამდვილეში, A.A. Zenkin აღნიშნავს, კანტორიელები განზრახ ეშმაკნი არიან და არ აკეთებენ მნიშვნელოვან განსხვავებას აბსტრაქტული სიმრავლეების თეორიის ენასა და კანტორის დოქტრინას ტრანსფინიტური ორდინალების და კარდინალების შესახებ. მართლაც, სიმრავლეების თეორიის ენა გახდა უნივერსალური მათემატიკური ენა. მიუხედავად იმისა, რომ დოქტრინა ტრანსფინიტური ორდინალებისა და კარდინალების შესახებ, მათი აბსოლუტური უსარგებლობის გამო, რეალურად მომუშავე მათემატიკოსთა 90% არსად არ გამოიყენება. დანარჩენი მათემატიკოსთა 9% კატეგორიულად არ იღებს ამ დოქტრინას და მხოლოდ 1% არის ბანკომატის ადეპტი ან ბურბაკისტი.

მეორე ტყუილი. თანამედროვე ბანკომატის საფუძველია ფუნდამენტური პრობლემის გადაჭრის აშკარა ფსევდომეცნიერული, ნახევრად კრიმინალური მეთოდი. სამეცნიერო კითხვალოგიკური ბუნების შესახებ მათემატიკური უსასრულობა . მისი არსი მდგომარეობს იმაში, რომ AB-ს კონცეფციაზე დაფუძნებული კანტორის სიმრავლეების თეორია გამოცხადდა „გულუბრყვილო“, ხოლო თავად ტერმინი AB ამოღებული იქნა პატივსაცემი მეტამათემატიკური მეცნიერების საზღვრებიდან. ეს იყო ერთ-ერთი ყველაზე ეფექტური პიარ კამპანია, რომელიც ოდესმე განხორციელებულა მეცნიერების ისტორიაში.

მიუხედავად ამისა, ბანკომატის თანამედროვე თეორიამ „გულუბრყვილო“ თეორიიდან ისესხა თეორემა კონტინიუმის ურიცხვობის შესახებ, რომლის მტკიცებულებაც ეფუძნება AB აშკარად წინააღმდეგობრივი კონცეფციის გამოყენებას. ამასთან დაკავშირებით A.A. ზენკინი ერთ-ერთ მთავარ წყაროდ მიიჩნევს კანტორის სიმრავლეების თეორიას.მათემატიკის საფუძვლების მესამე დიდი კრიზისი, რომელიც გრძელდება დღემდე.

მესამე ტყუილი. ბანკომატის დადასტურების პირობები არ არის ჩამოყალიბებული ცალსახად, მაგრამ იგულისხმება ფილოსოფიური დებულებების დონეზე.კლასიკური ლოგიკისა და მათემატიკის თვალსაზრისით, „AB დაშვება“ აუცილებელი პირობაა ბანკომატების უმეტესობის თეორემების გამოკლებისთვის.

მეოთხე ტყუილი. სიმრავლეების თეორიამ საბოლოოდ ვერ შეძლო პოტენციალის აღმოფხვრა სამეცნიერო მეთოდოლოგია, ე.ი. დაამტკიცეთ PB კონცეფციის შეუსაბამობა. ბანკომატმა სხვა გზით წავიდა. მან გამოაცხადა AB-ის, როგორც ფილოსოფიური, გამოყენების ლეგიტიმურობის პრობლემა. A.A. Zenkin ხედავს ამას, როგორც ბანკომატის მხარდამჭერების თვითგადარჩენის ინსტინქტს, რადგან AB ცნების მკაცრი განმარტების მცდელობა გამოიწვევს მისი შეუსაბამობის აშკარა გაგებას. და ეს საფრთხეს შეუქმნის კარგად დაფინანსებულს და ჩვეულს ბანკომატების რეგულარული კეთილდღეობა კანტორის "ტრანსფინიტურ სამოთხეში". ასეთი ნახევრად კრიმინალური და ფსევდომეცნიერული გზით ექცეოდა ბანკომატს - „კლანი“ თავის ოპონენტებს.

და ბოლოს, მეხუთე ტყუილი. მათემატიკურ საზოგადოებას „საშინელებათა ისტორიის“ დაწესება, რომ უთვალავი უწყვეტის თეორემის მტკიცება იმდენად რთულია, რომ ის ხელმისაწვდომია მხოლოდ შერჩეული პროფესიონალებისთვის. . ბევრ მათემატიკოსს სჯეროდა ამ მითის და აღიარებდა მათ არაკომპეტენტურობას, როდესაც განიხილავდნენ კანტორის ფუნდამენტურ თეორემას კონტინიუმის ურიცხვობის შესახებ.ამ მითის აშკარა სიცრუის დასტურად, A.A. ზენკინი გვთავაზობს შევადაროთ კანტორის თეორემისა და ცნობილი პითაგორას თეორემის დადასტურების მეთოდოლოგია.

პითაგორას თეორემაში, აღნიშნავს A.A. Zenkin, სამი (!) ელემენტარული ცნებებიმათემატიკა (ცნება მართკუთხა სამკუთხედი, სამკუთხედების მსგავსების ცნება, პროპორციის ცნება) და სამი (!) მათემატიკური მოქმედება შესრულებულია: ორი გამრავლება და ერთი შეკრება. ალგებრული გამონათქვამები. თავად მტკიცებულება (სურათის გარეშე) იღებს 5 (ხუთი!) სტრიქონს. კანტორის მტკიცებულება იყენებს მათემატიკის სამ (!) ელემენტარულ ცნებას (ნატურალური რიცხვის ცნება, რეალური რიცხვის ცნება და ჩამოთვლილი რეალური რიცხვების უსასრულო მიმდევრობის ცნება) და არც ერთი (!) მათემატიკური ოპერაცია არ კეთდება. თავად მტკიცებულება იღებს 5 (ხუთ!) სტრიქონს, დაწერილი მე-19 საუკუნის მეორე ნახევრის ელემენტარული ლოგიკის ენით.[იქვე].

ამ მტკიცებულების სისწორე სერიოზულ წინააღმდეგობას ხვდება გამოჩენილი მათემატიკოსების, ლოგიკოსებისა და ფილოსოფოსების მხრიდან. " ფილოსოფიის, ლოგიკის, მათემატიკისა და ცოდნის ფსიქოლოგიის პარადიგმის მნიშვნელობებში კანტორის თეორემა შეუდარებელია. ამ თეორემების ასეთი განსხვავებული ეპისტემოლოგიური „ბედი“, ფორმალური კრიტერიუმებით (და მტკიცებულებათა „ყვირილი“ ტრივიალურობით), აიხსნება იმით, რომ კანტორის თეორემის მტკიცებულება იყენებს ფაქტობრივი უსასრულობის (იმპლიციტურად) წინააღმდეგობრივ კონცეფციას.» [იქვე].

A.A. ზენკინი არ ჩერდება ამ არგუმენტზე და პირდაპირ აგრძელებს დიაგონალური მეთოდის (DM) ანალიზს, როგორც კანტორის თეორემის დადასტურებას კონტინიუმის ურიცხვობის შესახებ.

DM-ის კანონიკური ფორმის გათვალისწინებით, რუსი მეცნიერი მიდის დასკვნამდე, რომ ”მისი (კანტორის) დიაგონალური მტკიცებულება ორი უსასრულო X და N სიმრავლის რაოდენობრივი შეუდარებლობის შესახებ ემყარება იმ ფაქტს, რომ უსასრულო X სიმრავლე ყოველთვის შეიცავს ერთ დამატებით ელემენტს (კანტორის ახალი AD-d.h. x*), რომელთა ჩამოთვლისთვის, "როგორც ყოველთვის", აკლია ერთი ელემენტი უსასრულო სიმრავლეს N, ან, ფორმალურად, იმ ფაქტიდან, რომ უსასრულო სიმრავლეს X აქვს ერთი ელემენტი მეტი, ვიდრე უსასრულო სიმრავლე. N. ვფიქრობ, ეს არის - სწორედ ის ადგილი კანტორის მტკიცებულებაში ყოველთვის იწვევდა კატეგორიულ უარყოფას (უარყოფას) გამოჩენილი მათემატიკოსების მეცნიერული ინტუიციის (იხ. სია-1)“ [იქვე]. ა.ა. ზენკინი აფასებს ვიტგენშტეინის ასეთ მტკიცებულებებს: „ადამიანი დღითი დღე მუშაობს წარბის ოფლში - ის ადგენს ყველა რეალური რიცხვის ჩამონათვალს და ახლა, როდესაც სია საბოლოოდ დასრულდება, გამოჩნდება ჯადოქარი და იღებს ამ სიის დიაგონალზე და გაოგნებული აუდიტორიის თვალწინ, საკმაოდ „ეზოთერული“ ალგორითმის დახმარებით აქცევს მას ... ანტიდიაგონალად, ე.ი. ახალ AD-რეალურ ნომერზე, რომელიც არ არის თავდაპირველ სიაში . ასეთი სახისკანტორის დიაგონალური მტკიცებულება არის აქტივობა იდიოტებისთვის, რომელსაც არაფერი აქვს საერთო იმასთან, რასაც კლასიკურ ლოგიკაში დედუქცია ეწოდება..

უფრო მეტიც, რუსი მათემატიკოსი პირველად აღმოაჩენს უნიკალური ფაქტიკანტორის მტკიცებულებაში. კანტორის მტკიცებულების მთავარი პუნქტი არის კონტრ-მაგალითის მეთოდის აშკარა გამოყენება. და „თვითონ კონტრ-მაგალითი არ არის მოცემულის ყველა შესაძლო რეალიზაციის სიმრავლეში გენერალიმტკიცებები, მაგრამ ალგორითმულად გამოიტანაზოგადი მტკიცებიდან, რომ ეს კონტრმაგალითი გამიზნულია უარყოფისთვის (ფორმით დედუქციურიგამომავალი, აქ B= "სია (1) შეიცავს ყველა d.h. X-დან”)” [A.A. Zenkin. გეორგ კანტორის უსაზღვრო სამოთხე: ბიბლიური ისტორიები აპოკალიფსის ზღურბლზე. - [ელექტრონული რესურსი]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/].

A.A. ზენკინის აღმოჩენასთან ბანკომატების პროფესიონალების გაცნობის შედეგად, წარმოიშვა მკვეთრი დავა, რომელშიც "ბანომატების არაერთი აღიარებული ავტორიტეტის მთელი ყალბი პროფესიონალიზმი გამოიხატა ზუსტად ელემენტარული ლოგიკის სფეროში" [იქვე].

დაპირისპირების შედეგების შეჯამებით, A.A. Zenkin მიდის შემდეგ მოულოდნელ დასკვნამდე: „სკანდალური სიტუაცია იქმნება! – ას წელზე მეტი ხნის განმავლობაში, მეტამათემატიკის, მათემატიკური ლოგიკის, აქსიომური სიმრავლეების თეორიის და სხვა ბურბაკისტების გამოჩენილი (და არც ისე) პროფესიონალები ყოველწლიურად ასწავლიან (უფრო სწორად, ზომბირებას) სტუდენტების ახალ თაობას, „როგორ. სწორად დაამტკიცოს“ კონტინიუმის ურიცხვობა ცნობილი დიაგონალური მეთოდის კანტორის გამოყენებით, აბსოლუტურად არ ესმის ამ მეთოდის ლოგიკური ბუნება!

მართლაც, "პათოლოგიური ინციდენტი, რომლისგანაც, ბროუერის თქმით, მომავალი თაობები შეშინდებიან"! – უფრო სწორად, „სულის სიღრმიდან“ იცინიან, ოღონდ... „სანამ მთლად ჩამოვვარდები“. - ვისზე? - მე ვფიქრობ "მუშა" მათემატიკოსთა იმ 90%-ზე, რომლებიც მთელი საუკუნის განმავლობაში "სრულიად უინტერესოდ" აღიარებდნენ თავიანთ "ყველა მეცნიერების დედოფალს" აშკარად "არასწორ გამოყენებაში" "მარცხენა ტვინის პაციენტების" მიერ. რადგან ავადმყოფების, თუნდაც მემარცხენეების სიცილი ცოდოა და უაზრო.[იქვე].

რუსი მათემატიკოსი DMC მტკიცებულების კრიტიკულ ანალიზს 80 წლის წინ შემოთავაზებული დევიდ ჰილბერტის დრამატული პარადოქსის ისტორიით ასრულებს. 1920-იან წლებში დ. ჰილბერტმა, კანტორის სიმრავლეების თეორიაში სასრულ და უსასრულო სიმრავლეებს შორის ფუნდამენტური განსხვავებების დემონსტრირების მიზნით, შემოგვთავაზა პოპულარული პარადოქსი სახელწოდებით "Grand Hotel". თავად პარადოქსის წარმოდგენა საკმაოდ რთულია, ამიტომ ჩამოვაყალიბოთ მისი არსი. „გრანდ სასტუმროს“ პარადოქსი გვიჩვენებს უსასრულო სიმრავლეების ფუნდამენტურ თვისებას: „... თუ უსასრულო სიმრავლეს დაემატება სასრული ან თვლადად უსასრულო სიმრავლე, მაშინ პირველი ნაკრების კარდინალურობა არ შეიცვლება“ [იქვე].

DMC მტკიცებულება დ.ჰილბერტის პარადოქსთან შედარებისას ა.ა.ზენკინი მიდის ღირსშესანიშნავ დასკვნამდე: კონტინიუმის უთვალავლობის DMC მტკიცებულება არის დ.ჰილბერტის „გრანდ სასტუმროს“ პარადოქსის დედუქციური მოდელი (ტარსკის გაგებით).

დ.ჰილბერტის პარადოქსში საქმე გვაქვს პოტენციურად უსასრულო პროცესთან, რომელსაც აქვს შემდეგი ფუნდამენტური თვისება: სანამ ეს პროცესი არ დასრულდება, „არ არსებობს (ლოგიკური და მათემატიკური) საფუძველი იმის დასამტკიცებლად, რომ ვარაუდი „X დასათვლელია“ მცდარია. მაშასადამე, იმ შემთხვევაში, თუ Y 1 სიმრავლე თვლადად უსასრულოა, კანტორის თეორემის დებულება „X უთვალავია“ დაუმტკიცებელია“[იქვე].

ზემოთ მოყვანილი არგუმენტები, ასკვნის A.A. Zenkin, მიუთითებს იმაზე „კანტორის თეორემა კონტინიუმის ურიცხვობის შესახებ დაუმტკიცებელია. ეს ნიშნავს, რომ უსასრულობებს შორის განსხვავება ელემენტების რაოდენობის მიხედვით არის მითი. მაგრამ თუ კონტინიუმის ურიცხვობა დაუმტკიცებელია, მაშინ გ. კანტორის ტრანსფინიტური სიმრავლეების თეორია არ არის მხოლოდ "გულუბრყვილო", არამედ გულწრფელი ფსევდომეცნიერება და, შესაბამისად, გ. კანტორის ტრანსფინიტური "სამოთხე" შეიძლება დაიხუროს ჭეშმარიტად "მუშაობის" დაზიანების გარეშე. "მათემატიკა"[იქვე].

გეორგ კანტორის მიერ უსასრულო სიმრავლეების თეორიის შესახებ A.A. ზენკინის კრიტიკული კვლევების პრეზენტაციის დასასრულს, მინდა ხაზი გავუსვა მისი შემდეგი დასკვნის მნიშვნელობას. კანტორის თეორემა არასწორია არისტოტელეს კლასიკური ლოგიკის თვალსაზრისით.

4. ა.ა.ზენკინის აქსიომური მიდგომის კრიტიკა

ა. ზენკინის მიერ AB და PB კონცეფციისთვის შემოთავაზებული აქსიომატური მიდგომა, ჩვენი აზრით, მეთოდოლოგიურად არასწორია.

არისტოტელეს აქსიომა და კანტორის აქსიომა ჩამოყალიბებულია უსასრულობის ცნების მეშვეობით, რომელიც არ არის მკაცრად და ფორმალურად განსაზღვრული. აქსიომების ფორმულირებიდან გამომდინარე, გამოდის, რომ PB და AB არის უსასრულობის ტიპები, როგორც ასეთი, ე.ი. კეთილი.

მეორე მომენტი. არისტოტელეს კონცეფცია PB და AB განიხილება კლასიკური ლოგიკის (ტრადიციული) კანონებზე დაფუძნებული ყოფისა და არსის შესახებ საკუთარი დოქტრინის საფუძველზე. მაშინ როდესაც კანტორი, სიმრავლეების თეორიაში, პითაგორა-პლატონური კვლევის პროგრამიდან გამომდინარეობდა. პლატონის დოქტრინა ყოფისა და არსის შესახებ არის პერიპატეტიკური ფილოსოფიის ალტერნატივა და შეესაბამება დიალექტიკურ ლოგიკასა და დაპირისპირებათა დამთხვევის პრინციპს.

არისტოტელემ არ მიიჩნია AB და PB ცნებები წინააღმდეგობრივად, უპირველეს ყოვლისა, იმიტომ, რომ უსასრულობის ცნება ძალიან სპეციფიკურია და მასზე არ გამოიყენება ტრადიციული ლოგიკის პრინციპები და კანონები. არისტოტელემ მას უწოდა არალეგიტიმური ცნება, რომელიც ზოგადად არ არის მოცემული არც ჩვენს გრძნობას და არც აზროვნებას. უსასრულო არსებობს მხოლოდ შესაძლებლობაში და არა რეალობაში. თუ ის რეალურად არსებობდა, ეს იქნებოდა გარკვეული (გარკვეული) რაოდენობა, ან სასრული მნიშვნელობა. მაშასადამე, უსასრულო არსებობს როგორც საკუთრება.

უსასრულობა, არისტოტელეს მიხედვით, არის ის, სადაც, გარკვეული თანხის აღებით, ყოველთვის შეგიძლიათ რაიმე აიღოთ მის შემდეგ. და სადაც გარეთ არაფერია, ეს არის მთელი. უსასრულო არის ის, რაც არ არის რაღაცისგან, მის გარეთ მყოფი. "მთლიანი და შეზღუდული (უსასრულო) თავისთავად კი არ არის, არამედ სხვასთან მიმართებაში; და რადგან ის უსასრულოა, ის არ მოიცავს, არამედ მოიცავს. ამიტომ, ის არ არის შეცნობადი, როგორც უსასრულო, რადგან მატერიას [როგორც ასეთი] აქვს არავითარი ფორმა. ამრიგად, ცხადია, რომ უსასრულო შეესაბამება ნაწილის განსაზღვრას და არა მთლიანს, რადგან მატერია მთლიანის ნაწილია, როგორც სპილენძი სპილენძის ქანდაკებისთვის. თუ იგი მოიცავს გრძნობად ობიექტებს, მაშინ გასაგები „დიდი“ და „პატარა“ უნდა მოიცვას გასაგები [იდეები], მაგრამ აბსურდული და შეუძლებელია შეუცნობელი და განუსაზღვრელი მოიცვა და განსაზღვროს“ [არისტოტელე. კრებული 4 ტომად. V.3, მოსკოვი, „ფიქრი“. “, 1981, გვ.120 ].

შესაბამისად, არისტოტელე უსასრულობის ცნებას მჭიდრო კავშირში განიხილავს მისი ფილოსოფიის ძირითად კატეგორიებთან: ფორმა - მატერია, შესაძლებლობა - რეალობა, ნაწილი - მთელი. ამ კონტექსტში, AB ცნება არ არის წინააღმდეგობრივი PB-სთან, მაგრამ სრულიად წარმოუდგენელია არისტოტელეს ლოგიკის თვალსაზრისით. წინააღმდეგობრივი PB უფრო სასრულის ცნებაა, როგორც განუსაზღვრელისა და განსაზღვრულის მიმართება. თუ PB განიხილება ნაწილის - მთლიანის კონტექსტში, მაშინ მას უფრო შეეფერება ნაწილის განმარტება. მაშინ მასთან მიმართებაში ფაქტობრივი უსასრულო მეტი შეესაბამება მთლიანობის ცნებას. ამ შემთხვევაში PB არის AB ცნების დაქვემდებარებული ცნება. სწორედ ასე განმარტა თავად გ.კანტორმა.

ამრიგად, არისტოტელესთვის შეიძლება მხოლოდ უსასრულობაზე საუბარი PB-ს ერთადერთი გაგებით. არ შეიძლება მასთან დაკავშირებული ცნება, რომელიც ცნებად არ არის აღიარებული, ე.ი. AB. და თავად PB ცნება არის განუსაზღვრელი, შეუცნობელი და არ გააჩნია რეალობა.

სწორედ უსასრულობის ცნების ეს განსაკუთრებული სტატუსი, რაზეც არისტოტელე საუბრობს, არ გვაძლევს საშუალებას გამოვიყენოთ მასზე ფორმალური ლოგიკის ტრადიციული ოპერაციები. PB ცნება არ არის მათემატიკური ობიექტი ამ სიტყვის მკაცრი გაგებით.

ის, რომ უსასრულობის ცნება, მკაცრი გაგებით, მათემატიკას არ ეკუთვნის, გამომდინარეობს რიცხვისა და სიდიდის განმარტებებიდან. აი, კიდევ ერთხელ არისტოტელეს განმარტება. ”რაოდენობა არის ის, რაც იყოფა კომპონენტებად, რომელთაგან თითოეული, იქნება ეს ორი ან მეტი, ბუნებით არის რაღაც ერთი და გარკვეული რაღაც. ყოველი სიდიდე არის სიმრავლე, თუ ის დასათვლელია და სიდიდე, თუ გაზომვადია. კომპლექტი არის ის, რაც, შესაძლებლობის მიხედვით, იყოფა ნაწილებად, რომლებიც არ არიან უწყვეტი, რაოდენობა - ნაწილებად, რომლებიც უწყვეტია ... ყველა ამ რაოდენობადან შეზღუდულინაკრები არის ნომერი შეზღუდულიხაზის სიგრძე, შეზღუდულისიგანე - ბრტყელი, შეზღუდულისიღრმე არის სხეული“ [არისტოტელე. ოპ. 4 ტომად. ტომი 1. მ.: აზრი, 1976, გვ.164]. არისტოტელეს ზემოთ მოყვანილი მონაკვეთიდან გამომდინარეობს, რომ მათემატიკის მთავარი საგანი არის სიდიდისა და რიცხვის ცნება. რიცხვი არის შეზღუდული ნაკრები, მნიშვნელობა არის შეზღუდული გეომეტრიული სივრცე (ხაზი, სიბრტყე, სხეული). შეუზღუდავი სიმრავლე და შეუზღუდავი სივრცე არის უსასრულობა, როგორც რაოდენობის ორი ფორმა, რომელსაც არ აქვს საზღვრები, დასასრული ან ლიმიტი. მაშასადამე, ისინი განუსაზღვრელი და, შესაბამისად, შეუცნობელია.

გარდა ამისა, არისტოტელესთვის უსასრულობა აზროვნების თვისებაა,პირველ რიგში და არა ფიზიკის ან მათემატიკის საგანი. « უსასრულობის საკითხში აზროვნების ნდობა აბსურდია, ვინაიდან სიჭარბე და ნაკლოვანება (ამ შემთხვევაში) არა ობიექტში, არამედ აზროვნებაშია.ყოველივე ამის შემდეგ, თითოეული ჩვენგანი შეიძლება წარმოვიდგინოთ გონებრივად ბევრჯერ მეტი, ვიდრე ის არის, გაზარდოს იგი უსასრულობამდე, თუმცა, არა იმიტომ, რომ ვინმე არის ქალაქგარეთ ან აქვს რაღაც ზომა, რადგან ვიღაც ასე ფიქრობს, არამედ იმიტომ, რომ ასეა [სინამდვილეში] ; და ის ფაქტი [რომ ვინმე ასე ფიქრობს] იქნება [მისთვის] შემთხვევითი გარემოება“ [იქვე]. თუ ობიექტში უსასრულობა არ არსებობს, მაშინ რის აქსიომატიზაციას ვაკეთებთ - აზროვნების აქტივობას?და რა შუაშია მათემატიკა? რადგან მისი საგანი არის წმინდა რაოდენობა: რიცხვი და სიდიდე?

ფაქტობრივი უსასრულობის კონცეფციას კანტორი აყალიბებს პითაგორაელთა ტრადიციის მიხედვით, რომლებიც, როგორც არისტოტელე მოწმობს, „სიდიდებს ქმნიდნენ რიცხვებიდან“. კანტორი თვლის, რომ უწყვეტი სიდიდე შეიძლება გაიზომოს რიცხვით, როგორც განუყოფელი ერთეულების ნამდვილი სიმრავლე. ცხადია, ასეთი მიდგომა არისტოტელესთვის სრულიად მიუღებელია. მისთვის ღირებულება დაყოფილია მხოლოდ გამყოფ ნაწილებად. ამიტომ, რაოდენობა არ შეიძლება შედგებოდეს განუყოფელებისგან. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ზენონის აპორიები მოძრაობის წინააღმდეგობის შესახებ არ გადაიჭრება და ასევე შეუძლებელი იქნება მოძრაობის შესაძლებლობის, დროისა და სივრცის უწყვეტობის ახსნა.

კანტორის აქსიომიდან გამომდინარე, ზენკინის მიხედვით, გამოდის, რომ იგი უარყოფს პოტენციურ უსასრულობას. კანტორმა არათუ არ უარყო PB, არამედ საერთოდ არ მიიჩნია რეალურად უსასრულოდ. მისთვის PB არის ცვლადი სასრული სიდიდე. უფრო მეტიც, მას სჯეროდა, რომ თუ თქვენ იღებთ PB, მით უფრო უნდა მიიღოთ AB.

დასკვნა შემდეგია. არისტოტელეს და კანტორის აქსიომები, რომლებიც ჩამოყალიბებულია ზენკინის მიერ, არ ასახავს არისტოტელესა და კანტორის PB და AB კონცეფციის ფაქტობრივ დამოკიდებულებას. ორივე აქსიომაში არისტოტელეს აქსიომაში (ძვ. წ. IV ს.): „ყველა უსასრულო სიმრავლე არის პოტენციურად უსასრულო სიმრავლე“, და ასზე მეტი წლის დე ფაქტო არსებული და წინააღმდეგობრივი კანტორის აქსიომაში (ახ. წ. XIX ს.): „ყველა უსასრულო სიმრავლე არის ფაქტობრივ-უსასრულო სიმრავლეები“ [იხ. A.A. Zenkin. გეორგ კანტორის უსაზღვრო სამოთხე: ბიბლიური ისტორიები აპოკალიფსის ზღურბლზე. - [ელექტრონული რესურსი]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/ ], "უსასრულო ნაკრების" ზოგადი კონცეფცია განისაზღვრება მისი ტიპის მიხედვით. არისტოტელეს აქსიომაში - პოტენციურად უსასრულო სიმრავლეების მეშვეობით, კანტორის აქსიომაში - რეალურად უსასრულო სიმრავლეების მეშვეობით. არც PB ცნება და არც AB არ არის მათემატიკური ობიექტები ამ სიტყვის მკაცრი გაგებით, რადგან ისინი არსებობენ მხოლოდ შესაძლებლობაში, არიან შეუცნობელი და განუსაზღვრელი. AB და PB ცნება არც რიცხვია და არც სიდიდე, არამედ ჩვენი აბსტრაქტული რაციონალური აზროვნების საკუთრებაა.

ყოველივე ზემოთქმულს არავითარი კავშირი არ აქვს ზენკინის ნაშრომის იმ ნაწილთან, რომელშიც ის კლასიკური ლოგიკის საფუძველზე ამტკიცებს, რომ კანტორის თეორემა კონტინიუმის ურიცხვობის შესახებ დაუმტკიცებელია. ზენკინმა აჩვენა, რომ კანტორის დიაგონალური მეთოდი (DMC), რომელიც ემყარება თეორემის მტკიცებულებას, არის პითაგორასა და ევკლიდესთვის კარგად ცნობილი კონტრ-მაგალითის სპეციფიკური ვერსია. ხოლო დ.ჰილბერტის ცნობილი პარადოქსი „გრანდ ჰოტელი“ არის დედუქციური მოდელი (ა. ტარსკის გაგებით) გ.კანტორის მიერ კონტინიუმის ურიცხვობის მტკიცებულება. ამ მოდელის საფუძველზე ზენკინი ასკვნის, რომ DMC მტკიცებულება არასწორია კლასიკური ლოგიკის თვალსაზრისით. მაშასადამე, არ არსებობს უთვალავი სიმრავლე და ყველა უსასრულო სიმრავლეს აქვს იგივე კარდინალურობა. ამრიგად, გ.კანტორის მთელი გრანდიოზული „სწავლება ტრანსფინიტის შესახებ“ იშლება.

ამრიგად, მთავარი დასკვნა, რომელიც გვაფიქრებინებს თეორემის გულდასმით შესწავლაზე უწყვეტობის ურიცხვობის შესახებ და მასზე დაფუძნებული კანტორის ტრანსფინიტური რიცხვების თეორია, არის ის, რომ მისი სიყალბე საკმაოდ მარტივად (როგორც ა.ა. ზენკინმა აჩვენა) უარყოფილია არისტოტელეს საფუძველზე. კლასიკური ლოგიკა.

და არანაკლებ მნიშვნელოვანია, ბოლო დასკვნა. კანტორის თეორია არ არის შემთხვევითი ფენომენი ევროპულ მათემატიკაში, არამედ რიცხვისა და სიდიდის ცნებების იდენტიფიკაციის ბუნებრივი შედეგი, რამაც გამოიწვია მათემატიკის თანდათანობითი არითმეტიზაცია, მისი სპეკულატურობა და არაზომიერი აბსტრაქტულობა.

5. პოტენციური უსასრულობის საიდუმლო

არანაკლებ მნიშვნელოვანი კითხვა, რომელიც ზენკინმა უნებურად წამოაყენა, როდესაც ამტკიცებს კანტორის თეორემის შეუსაბამობას კონტინიუმის ურიცხვობაზე, პირდაპირ კავშირშია მათემატიკაში აღიარებული პოტენციური უსასრულობის არსთან.

1920-იან წლებში დევიდ ჰილბერტმა შემოგვთავაზა პოპულარული პარადოქსი სახელწოდებით "Grand Hotel" (შემდგომში, მოკლედ, GO), რომელიც ასახავს ფუნდამენტურ განსხვავებას სასრულ და უსასრულო სიმრავლებს შორის კანტორის (ისევე როგორც თანამედროვე აქსიომატიკურ) სიმრავლეების თეორიაში. ჩვენ არ წარმოვადგენთ თავად პარადოქსს, რადგან ის საკმაოდ შრომატევადია. მისი შინაარსი იმაში მდგომარეობს, რომ ის ძალიან ნათლად ასახავს უსასრულო სიმრავლეთა ძირითად თვისებას: თუ უსასრულო სიმრავლეს დაემატება სასრული ან თვლადად უსასრულო სიმრავლე, მაშინ პირველი სიმრავლის კარდინალურობა არ შეიცვლება.

ზენკინი გვიჩვენებს, რომ კონტინიუმის ურიცხვობის DMC მტკიცებულება არის დ. ჰილბერტის GO პარადოქსის დედუქციური მოდელი (ტარსკის გაგებით) [A.A. Zenkin. გეორგ კანტორის უსაზღვრო სამოთხე: ბიბლიური ისტორიები აპოკალიფსის ზღურბლზე. - [ელექტრონული რესურსი]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/].

დაადგინა, რომ დნმ-ის მეთოდში კანტორი არ იყენებს AB პროცესს, არამედ PB პროცესს, ზენკინი აღნიშნავს, რომ არავინ იცის ამ თეორემის მტკიცების სიმართლე, რადგან უსასრულო პროცესს არ აქვს ბოლო ელემენტი.

ზენკინმა აჩვენა, რომ კანტორის ფაქტობრივი უსასრულობა, არსება საჭირო DMC-ის პირობა კონტინიუმის ურიცხვობის მტკიცებულება, ფაქტობრივად, არის პოტენციურად- გაუთავებელი დისკუსია. "ეს ამტკიცებს ამას" აქტუალური" და "უსასრულო" კანტორის მტკიცების ჩარჩოებში. თეორემები უწყვეტობის ურიცხვობაზე არის (ლოგიკურად და ალგორითმულად) წინააღმდეგობრივიცნებები და, შესაბამისად, ცნებები " აქტუალური"და" საბოლოო» არის ალგორითმულად იდენტური» [იქვე]. და თუ ეს არის პოტენციურად უსასრულო განცხადება, მაშინ მისი სიმართლის დადგენა შეუძლებელია, რადგან უსასრულო პროცესს არ აქვს ბოლო ელემენტი. ზენკინის ეს დასკვნა ადასტურებს ჩვენს ვარაუდს, რომ სასრულის ცნება და არა AB ეწინააღმდეგება PB ცნებას.

ამრიგად, ზენკინი წერს, პირველად დადასტურებულიარისტოტელეს, ევკლიდეს, ლაიბნიცის და მრავალი სხვა გამოჩენილი ლოგიკოსის, მათემატიკოსისა და ფილოსოფოსის დიდი ინტუიციური განგებულება (და გაფრთხილება!) ფაქტობრივი უსასრულობა" არის შინაგანად წინააღმდეგობრივიკონცეფცია (რაღაც მსგავსი " დასრულდა(კანტორის მიერ) უსასრულობა”) და ამიტომ მისი გამოყენება მათემატიკაში მიუღებელია” [იქვე].

სამწუხაროდ, ფაქტობრივი (დასრულებული, ე.ი. დასრულებული, სასრული) უსასრულობის ცნების შინაგანი შეუსაბამობის დამტკიცება, გარკვეულწილად, ფუჭი სამუშაოა, მისი აშკარა პირდაპირი შეუსაბამობის გამო. კლასიკური არისტოტელესური ლოგიკის ფარგლებში ეს უბრალოდ შეუძლებელია. სპეკულაციური (დიალექტიკური) ლოგიკის კონტექსტში, რომელიც უარყოფს წინააღმდეგობის კანონს, ეს სავსებით მისაღებია.

ზენკინი ასევე აღმოაჩენს, რომ კანტორის „დიაგონალური“ მტკიცებულების კანონიკური ფორმა უთვალავი უწყვეტის თეორემის იდენტურია „მატყუარა“ პარადოქსის კანონიკური უსასრულო ფორმის (P2):

"ვიღაც ამბობს "მე მატყუარა ვარ". -მატყუარაა? თუ მატყუარაა, მაშინ ცრუობს და ამტკიცებს, რომ მატყუარაა; ამიტომ ის არ არის მატყუარა. მაგრამ თუ ის არ არის მატყუარა, მაშინ ის სიმართლეს ამბობს, ამტკიცებს, რომ მატყუარაა; მაშასადამე, ის არის ყანა, ან, მოკლედ (აქ A = "მე ვარ კნავა"): და [ØA ® A] (P1)" [იქვე]

ზენკინი ასევე აღნიშნავს: „რაც არ არის მატყუარა პარადოქსის სიმულაცია ანალოგური კომპიუტერისთვის, ადასტურებს. რომ ამ პარადოქსს აქვს არა სასრული ფორმა, არამედ შემდეგი უსასრულო A ® ØA ® A ® ØA ® A® ØA ® A ® ... (P2) და არ არსებობს ლოგიკური და მათემატიკური მიზეზები, მიზეზები ან საფუძველი ამის დასასრულებლად. პოტენციურად-უსასრულო პროცესი“ [იქვე].

შედეგად რუსი მათემატიკოსი საინტერესო დასკვნას აკეთებს. „ხაზგასმით უნდა აღინიშნოს, რომ ეს არის უსასრულო ფორმა (P2), რომელიც ახორციელებს აუცილებელ და საკმარისიპარადოქსულობის ფენომენის (მკაცრი ლოგიკური და მათემატიკური გაგებით) პირობები. ამ შემთხვევაში, ამ პარადოქსის ჭეშმარიტი „სემანტიკა“ სულაც არ არის ის, რომ განცხადება „მე ვარ მატყუარა“ „არ შეიძლება იყოს არც მართალი და არც მცდარი“, არამედ ის, რომ ეს განცხადება, პირიქით, ორივეა. მართალიც და ყალბიც"ამავდროულად, იმავე ადგილას და იმავე თვალსაზრისით." სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, „მატყუარა“ პარადოქსში (P2) სახით, სიმართლე და სიცრუე შერეულია, რაც ნიშნავს, რომ სიმართლე და სიცრუე განუყოფელი ხდება“ [იქვე].

ძნელია არ დაეთანხმო ამას. პლატონის აზრით, უსასრულო არის ის, რომელსაც აქვს განუსაზღვრელი რაოდენობრივი მახასიათებელი და არ იძლევა მკაცრ განსაზღვრას. უსასრულოს უწოდებს „განუსაზღვრელ ორმაგობას“, მას ყოველთვის ორი მნიშვნელობა აქვს და ერთ მნიშვნელობას ვერ იღებს, ვერ განისაზღვრება.„... უსასრულო შეიძლება არსებობდეს როგორც დღე არსებობს ან როგორც შეჯიბრი - იმ გაგებით, რომ ის ყოველთვის განსხვავებული და განსხვავებული ხდება» [P.P. Gaidenko. ბერძნული ფილოსოფიის ისტორია მეცნიერებასთან კავშირში. - [ელექტრონული რესურსი]. URL: http://www.philosophy.ru/library/gaid/0.html].

ჩნდება კითხვა, რა ლოგიკურ მნიშვნელობას ანიჭებს უსასრულობის პლატონური კონცეფცია, როგორც „ყოველთვის განსხვავებული და განსხვავებული გახდომის“ პროცესი? ჩვენი აზრით, პოტენციური უსასრულობის ცნება იმპლიციტურად შეიცავს პრინციპს, რომელიც უარყოფს წინააღმდეგობის კანონს. ეს „სხვა და სხვა“, ნაცვლად „რაღაც სხვა“, არის გაურკვევლობის პრინციპი. თუ წინააღმდეგობის კანონი არისტოტელეს ინტერპრეტაციაში შემდეგნაირად არის ჩამოყალიბებული: „შეუძლებელია, რომ ერთი და იგივე ნივთი იყოს და არ იყოს თანდაყოლილი ერთი და იგივე მნიშვნელობით“, მაშინ, ჩვენს შემთხვევაში, განმარტებით. PB, "ერთი და იგივე" მნიშვნელობით იდენტურია პლატონის "სხვა" ცნებისა. ამიტომ პლატონის განმარტებაში საქმე გვაქვს დებულებასთან, რომელიც უარყოფს წინააღმდეგობის კანონს. მაგალითად, განვიხილოთ ნატურალური რიცხვების სერია: 1, 2, 3, 4, 5… როგორც პოტენციური უსასრულობის მაგალითი. თუ ავიღებთ მეზობელ რიცხვთა რომელიმე წყვილს, მაშინ შეუძლებელია მათი სამივე ტიპის თანაფარდობა იყოს ჭეშმარიტი სიდიდით: 3 > 4, 4 > 3, ან 3 = 4. თუ ავიღებთ სასრულ რიცხვს 4, მაშინ, მაგალითად, მის სიდიდესთან მიმართებაში, ის არ შეიძლება იყოს საკუთარ თავზე მეტი. მაშინ როცა, უსასრულო რიცხვთა სერიებში, რიცხვის მნიშვნელობა ყოველთვის იცვლება და ჩვენ არ შეგვიძლია გამოვიყენოთ წინააღმდეგობის კანონი, როგორც დარწმუნების კანონი.მაშასადამე, პოტენციური უსასრულობა თანაბრად თანდაყოლილია ბუნებრივი რიგის ყველა რიცხვში: 1 და სხვა (2) და სხვა (3) და სხვა (4). ამიტომ დისიუნქციის ნიშანი უნდა შეიცვალოს შეერთებით. და წინააღმდეგობის კანონის ნაცვლად coincidentia oppositorum კანონის შემოღება იწვევს პარადოქსებს. რა არის პარადოქსი? ეს ურთიერთგამომრიცხავი განცხადებაა.

და ბოლოს, მატყუარა პარადოქსის მაგალითი. ვიღაც ამბობს: "მე ვიტყუები". თუ ის იტყუება, მაშინ რაც თქვა ტყუილია და ამიტომ არ ცრუობს. თუ ის არ იტყუება,რასაც ამბობს სიმართლეა და ამიტომ ცრუობს. ყოველ შემთხვევაში, გამოდის, რომ ცრუობს და არ იტყუება [ლოგიკური ლექსიკონი-ცნობარი. ნ.ი. კონდაკოვი. Მეცნიერება. მ., 1976 წ. S.433]. ამ პარადოქსში საქმე გვაქვს წინააღმდეგობების კანონის მიზანმიმართულ დარღვევასთან. შეუძლებელია ვინმემ მოიტყუოს და არ მოიტყუოს იმავე მხრივ. და ეს დარღვევა თანდაყოლილია პარადოქსის სტრუქტურაში.

ამგვარად, როგორც ზენკინი გვიჩვენებს, და ეს გამომდინარეობს კლასიკურ ლოგიკაზე დაფუძნებული ამ პარადოქსის ანალიზიდან, წინააღმდეგობის კანონის დარღვევა ირიბად თანდაყოლილია პოტენციური უსასრულობის ცნების შინაარსში, რაც იწვევს პარადოქსის ფენომენს.. თუ ვსაუბრობთ ნატურალური რიცხვების რიგზე, მაშინ თითოეული ნატურალური რიცხვი, რომელიც ადგენს რიგს, შედის და არ შედის ნატურალური რიცხვების უსასრულო სერიებში. ჯერ რიცხვი, მაგალითად 5, შემოდის, როცა მას მივაღწიეთ გაანგარიშებისას, შემდეგ კი რიცხვი 6 ცვლის და ა.შ. სიზუსტე მუდმივად იცვლება და, შესაბამისად, ალბათ შეუძლებელია, პარადოქსების გამოჩენა.

თუ AB კონცეფციაში აშკარაა ამ კონცეფციის შეუსაბამობა და პარადოქსული ბუნება, მაშინ PB კონცეფციაში ის იმალება.

PB-ის ბუნების გაგებისას არ შეიძლება უგულებელყო არითმეტიკული და გეომეტრიული უსასრულობის ცნებები. მოდით განვიხილოთ ეს ცნებები უფრო დეტალურად.

ნატურალური რიცხვების მიმდევრობა 1, 2, 3, ..., (1)

წარმოადგენს უსასრულო სიმრავლის პირველ და ყველაზე მნიშვნელოვან მაგალითს. ჰეგელის დროიდან მოყოლებული, ბუნებრივი სერიების 1 + 1 + 1 + ... არითმეტიკული უსასრულობა, მისი უიმედობის გამო, "ცუდი" ან "ცუდი" უსასრულობა ეწოდა.

გეომეტრიული უსასრულობა შედგება სეგმენტის შეუზღუდავი დაყოფისგან. პასკალმა დაწერა შემდეგი გეომეტრიული უსასრულობის შესახებ: „არ არსებობს გეომეტრი, რომელსაც არ სჯერა, რომ სივრცე უსასრულობამდე იყოფა. მას არ შეუძლია ამის გარეშე, ისევე როგორც ადამიანი არ შეიძლება იყოს სულის გარეშე. და მაინც არ არსებობს ადამიანი, რომელსაც ესმის უსასრულო გაყოფა...“ [ ა.პ. სტახოვი "ოქროს განყოფილების" ნიშნის ქვეშ: სტუდენტური ბატალიონის შვილის აღიარება. თავი 5. ალგორითმული გაზომვის თეორია. 5.5. უსასრულობის პრობლემა მათემატიკაში. პოტენციური და ფაქტობრივი უსასრულობა. - [ელექტრონული რესურსი]. URL: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm].

მართლაც, ეს არის უაღრესად მნიშვნელოვანი საკითხი, რომელიც არ შეიძლება გადაწყდეს ამჟამად დომინანტური ანთროპოცენტრული პარადიგმის ფარგლებში.

„პირველი გულუბრყვილო შთაბეჭდილება, რომელიც წარმოიქმნება ბუნებრივი მოვლენებითა და მატერიით“, წერს დ. გილბერტი, „არის შთაბეჭდილება რაღაც უწყვეტი, უწყვეტი. თუ ჩვენ წინ გვაქვს ლითონის ნაჭერი ან გარკვეული მოცულობის სითხე, მაშინ გვიჩნდება აზრი, რომ ისინი უსასრულოდ იყოფა, რომ მათ თვითნებურად პატარა ნაჭერს ისევ იგივე თვისებები აქვს. მაგრამ იქ, სადაც მატერიის ფიზიკაში კვლევის მეთოდები საკმარისად გაუმჯობესებულია, ჩვენ ვხვდებით ამ გაყოფის საზღვრებს, რომლებიც მდგომარეობს არა ჩვენი გამოცდილების არასრულყოფილებაში, არამედ თავად ნივთის ბუნებაში, ასე რომ, შეიძლება პირდაპირ აღვიქვათ. თანამედროვე მეცნიერების ტენდენცია, როგორც უსასრულო პატარასგან განთავისუფლება; ახლა შესაძლებელი იქნებოდა ძველი თეზისის „natura non facit saltus“ (ბუნება არ ხტუნავს) წინააღმდეგობა ანტითეზისით: „ბუნება ხტუნავს“ [Gilbert D. On the Infinite. სკანირების წყარო: Gilbert D. On the Infinite // ის. გეომეტრიის საფუძვლები. - მ.-ლ., 1948. 491 გვ. (შემოკლებული სტატია Mathematischen Annalen, v. 95.) - [ელექტრონული რესურსი]. URL: http://www.fidel-kastro.ru/matematika/gilbert/hilbert2.htm].

„უსასრულო გაყოფა მხოლოდ მათემატიკაში არსებობს. ბუნებაში ფიზიკისა და ქიმიის ექსპერიმენტები არსად არის - მაშასადამე, ეს მხოლოდ მათემატიკური იდეაა - მათემატიკური აზროვნების პროდუქტი! იდეა უსასრულო სამყაროდომინირებდა დიდი ხნის განმავლობაში კანტამდე და შემდეგ. მაგრამ ეს იდეა არის ჩვენი გამოცდილების შეზღუდვისა და შემეცნების პროცესის საპირისპირო მხარე“ [იქვე].

გეომეტრიული უსასრულობის თვისება, როგორც სეგმენტის შეუზღუდავი გაყოფა ნახევარზე, გადაუჭრელია გეომეტრიის ფარგლებში და მოითხოვს ფილოსოფიის და თეოლოგიის ჩართვას.

პირველ რიგში, სეგმენტის დაყოფის პროცესი გამოხატავს რაციონალური აზროვნების ფუნდამენტურ თვისებას - შესწავლილი ობიექტის განადგურებას (დაყოფას). გაგება მოქმედებს გამყოფად მის ობიექტებთან მიმართებაში, რისი წყალობითაც მიიღწევა დარწმუნება.

Მეორეც. სეგმენტის უსასრულო გაყოფა განპირობებულია იმით, რომ გეომეტრიული სეგმენტი არის უწყვეტი სიდიდის ფორმა. და რაოდენობა თავისთავად არის გონივრული საგნების აბსტრაქცია, ხარისხის მიმართ გულგრილი.

ობიექტურ მატერიალურ სამყაროში არ არსებობს სუფთა რაოდენობა, ყველა ნივთს აქვს საზომი და მისი წყალობით ისინი საკუთარი თავის იდენტურია და განსხვავდებიან სხვებისგან. საზომი არის ხარისხისა და რაოდენობის პირდაპირი ერთიანობა. გეომეტრიულ სეგმენტში საქმე გვაქვს უკიდეგანობასთან, ე.ი. ღონისძიება, რომელიც სცილდება მისი ხარისხობრივი სიზუსტის საზღვრებს. ნებისმიერ ობიექტურ ნივთს აქვს თავისი ხარისხობრივი არსებობის საზღვრები. თუ ისინი განადგურდებიან, მაშინ ნივთი თავად განადგურდება. მაშასადამე, გონივრული (სასრული) ნივთი არ შეიძლება დაიყოს პოტენციური (ცუდი) უსასრულობის მდგომარეობამდე. ნივთის თვისობრივი განსაზღვრულობა ეწინააღმდეგება დაყოფის ამ პროცესს. მაგალითად, ხის ნაჭერი შეიძლება დაიყოს მანამ, სანამ გაყოფის ნაჭრები ინარჩუნებენ ამ ხის თვისებებს, ე.ი. ცელულოზის მოლეკულის მოლეკულურ საზღვრამდე. ცელულოზის მოლეკულის შემდგომი დაყოფა არის სხვა ნივთის გაყოფის პროცესი, შესაბამისად, ხის გაყოფის პროცესს აქვს ქვედა ზღვარი - ცელულოზის მოლეკულები. მოლეკულურ დაყოფას ექნება ქვედა ზღვარი ატომურ დონეზე. განყოფილება კონკრეტული ატომებიელემენტები გამოიწვევს დაყოფას ქვეატომური ნაწილების დონეზე და ა.შ. შესაბამისად, ობიექტური საგნების ნებისმიერი დაყოფა სასრულია. თუ გაყოფის პროცესს განვიხილავთ ხარისხისა და ზომის გათვალისწინების გარეშე, მაშინ გაყოფის პროცესი მართლაც უსასრულო ხდება. მაგრამ რას ვზომავთ მაშინ? სასრული ნივთების აბსტრაქცია - მატერია. მატერია, როგორც ობიექტური გრძნობადი რამ (ბუნებრივ, ბუნებრივ, უცვლელ რეალობაში) არ არსებობს, ის არის იგივე აბსტრაქტული აზრის პროდუქტი, როგორც თავად გეომეტრიული სეგმენტი.

ამრიგად, გეომეტრიული სეგმენტიც და მატერიაც იყოფა ცუდ (პოტენციურ) უსასრულობამდე. მაგრამ აქ საქმე გვაქვს არა რეალურ გრძნეულ საგნებთან, არამედ წმინდა რაოდენობასთან, რომელსაც თავისთავად საზომი არ აქვს და ამიტომ მუდმივად სცილდება მის ფარგლებს. შემთხვევითი არ არის, რომ ჰეგელმა ლოგიკის მეცნიერებაში დაწერა, რომ რაოდენობის ცნება შეიცავს მის საზღვრებს გასვლის აუცილებლობას.

დავუბრუნდეთ არისტოტელეს განმარტებას: ”რაოდენობა არის ის, რაც იყოფა შემადგენელ ნაწილებად, რომელთაგან თითოეული, იქნება ეს ორი ან მეტი მათგანი, ბუნებით არის ერთი რამ და გარკვეული რაღაც…” [არისტოტელე. ოპ. 4 ტომად. ტომი 1. M .: Thought, 1976, გვ. 164], აშკარაა, რომ მათემატიკა ეხება წმინდა რაოდენობას, ე.ი. არა სასრული საგნების გონივრული რაოდენობით, რომელსაც ფიზიკა სწავლობს, არამედ აბსტრაქტული სუფთა განუზომელი რაოდენობით - რიცხვითა და სიდიდით. მაშასადამე, გრძნობად ბუნებაში, როგორც ფიზიკის საგანში, არ არის მხოლოდ ფაქტობრივი ან პოტენციური უსასრულობა. სამყარო სასრულია როგორც ვრცელი, ისე ინტენსიური გაგებით. გასაკვირი არ არის, რომ არისტოტელემ აღნიშნა უსასრულო არ ეძლევა არც გრძნობას და არც გონებას და მას უკანონო კონცეფცია უწოდა. ღმერთმა შექმნილ სამყაროში ყველაფერი საზომის, რაოდენობისა და ზომის მიხედვით მოაწყო (წმინდა წერილი).

შემეცნების ფორმების იერარქიაში არისტოტელემ, მეტაფიზიკის შემდეგ (რომლის მიხედვითაც მან მკაცრი გაგებით ესმოდა თეოლოგია, როგორც მარადიულობის მეცნიერება), როგორც პირველ ფილოსოფიას, დააყენა ფიზიკა და მხოლოდ შემდეგ მათემატიკა. და ეს აბსოლუტურად მართალია, რადგან მათემატიკის საგანს - სუფთა რაოდენობას, ფესვები აქვს გრძნობადი მატერიალური ბუნებაში. მისი საგანია რიცხვი და სიდიდე, როგორც აბსტრაქტული სიდიდის ფორმები. ისტორიული განვითარება აბსტრაქტული ფორმამათემატიკაში განაპირობა ის, რომ მისი შესწავლის მთავარი საგანი იყო იდეალური მათემატიკური ობიექტების სფერო: რიცხვი, სიდიდე, წერტილი, წრფე, სიმრავლე და ა.შ., რაც დიდწილად არ ემთხვევა რეალური ფიზიკური ობიექტების სამყაროს. პოტენციური უსასრულობის ცნება ერთ-ერთი მათგანია. მაშასადამე, დასკვნა, რომელიც აქ თავისთავად გვთავაზობს, არის, უპირველეს ყოვლისა, რომ აუცილებელია მათემატიკის და საბუნებისმეტყველო მეცნიერებების თავისებურებებისა და საზღვრების მკაფიოდ აღიარება. და მეორეც, ბუნების (ფიზიკა, ბიოლოგია და ა.შ.) შესწავლისას აუცილებელია უშუალო საგნის შინაარსზე დაყრდნობა და გასვლა და არა აპრიორული მათემატიკური მოდელებისგან. და მიუხედავად იმისა, რომ მათემატიკის ისტორიას აქვს საპირისპირო ურთიერთქმედების მრავალი მაგალითი, მიუხედავად ამისა, ამ პრაქტიკას აქვს მრავალი ფუნდამენტური გამონაკლისი.

6. რიცხვთა თეორია და სიმრავლეების თეორია გ.კანტორი

„რიცხვთა თეორიის საგანი ემთხვევა

ყველა მათემატიკის საგანი (შესწავლა).

A.M. ვინოგრადოვი

ისტორიულად, რიცხვის ცნების ჩამოყალიბება ხდებოდა მოცულობის განზოგადების (გაფართოების) ფორმალური ოპერაციის საფუძველზე მის შემადგენლობაში ახალი ტიპის რიცხვების (სიმრავლეების) ჩართვის გამო.

რიცხვის შესახებ პირველი იდეები წარმოიშვა ადამიანების, ცხოველების, ხილის, სხვადასხვა პროდუქტების და ა.შ დათვლის შედეგად. შედეგი არის ბუნებრივი რიცხვები: 1, 2, 3, 4, ...

ცალკეული ობიექტების დათვლისას ერთი არის უმცირესი რიცხვი და მისი წილებად დაყოფა არ არის აუცილებელი და ზოგჯერ შეუძლებელი, თუმცა, რაოდენობების უხეში გაზომვითაც კი, 1 უნდა გავყოთ წილებად. ისტორიულად, რიცხვის ცნების პირველი გაფართოება არის წილადი რიცხვების დამატება ნატურალურ რიცხვზე. წილადი რიცხვების შემოღება დაკავშირებულია გაზომვების გაკეთების აუცილებლობასთან. ნებისმიერი სიდიდის გაზომვა მდგომარეობს იმაში, რომ შევადაროთ მას სხვა, ხარისხობრივად ჰომოგენური მასთან და აღებული როგორც საზომი ერთეული. ეს შედარება ხორციელდება მეთოდის სპეციფიკური ოპერაციით, საზომზე საზომი ერთეულის „განზედება“ და ასეთი შეფერხებების რაოდენობის დათვლა. ასე იზომება სიგრძე საზომი ერთეულის სახით აღებული სეგმენტის გამოყოფით, სითხის რაოდენობა იზომება საზომი ჭურჭლის გამოყენებით და ა.შ.

წილადი არის ერთეულის ნაწილი (წილი) ან მისი რამდენიმე თანაბარი ნაწილი.

დანიშნულია: სადაც m და n მთელი რიცხვებია; - წილადის შემცირება; - გაფართოება. წილადებს, რომელთა მნიშვნელი 10 n-ია, სადაც n არის მთელი რიცხვი, ეწოდება ათობითი.

მათ შორის ათობითი წილადები განსაკუთრებული ადგილიპერიოდულ წილადებს იკავებს: - სუფთა პერიოდული წილადი, - შერეული პერიოდული წილადი

რიცხვის ცნების შემდგომი გაფართოება უკვე გამოწვეულია თავად მათემატიკის (ალგებრას) განვითარებით. დეკარტი მე-17 საუკუნეში წარმოგიდგენთ კონცეფციას უარყოფითი რიცხვი, რომელმაც მის გეომეტრიულ ინტერპრეტაციას მისცა სეგმენტების მიმართულება. დეკარტის შემოქმედება ანალიტიკური გეომეტრია, რამაც შესაძლებელი გახადა განტოლების ფესვების განხილვა, როგორც ზოგიერთი მრუდის გადაკვეთის წერტილების კოორდინატები აბსცისის ღერძთან, საბოლოოდ წაშალა ფუნდამენტური განსხვავება განტოლების დადებით და უარყოფით ფესვებს შორის, მათი ინტერპრეტაცია არსებითად აღმოჩნდა. იგივე.

რიცხვებს მთელი (დადებითი და უარყოფითი), წილადი (დადებითი და უარყოფითი) და ნული ეწოდება რაციონალური რიცხვი. ნებისმიერი რაციონალური რიცხვი შეიძლება დაიწეროს როგორც სასრული და პერიოდული წილადი.

რაციონალური რიცხვების ნაკრები არასაკმარისი აღმოჩნდა მუდმივად ცვალებადი ცვლადების შესასწავლად. აქ აუცილებელი აღმოჩნდა რიცხვის კონცეფციის ახალი გაფართოება, რომელიც შედგებოდა რაციონალური რიცხვების სიმრავლიდან რეალური (რეალური) რიცხვების სიმრავლეზე გადასვლაში. რეალური რიცხვების შემოღება მოხდა რაციონალურ რიცხვებზე ირაციონალური რიცხვების მიმატებით: ირაციონალური რიცხვები არის უსასრულო ათობითი არაპერიოდული წილადები.

ირაციონალური რიცხვები გაჩნდა შეუდარებელი სეგმენტების (კვადრატის გვერდი და დიაგონალი) გაზომვისას, ალგებრაში - ფესვების ამოღებისას ტრანსცენდენტული, ირაციონალური რიცხვის მაგალითია π, ე.

რეალური რიცხვის ცნების მკაფიო განმარტებას გვაძლევს მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი ფუძემდებელი ი.ნიუტონი „ზოგადი არითმეტიკაში“: „რიცხვებში ჩვენ ვგულისხმობთ არა იმდენად ერთეულების ერთობლიობას, არამედ აბსტრაქტულ თანაფარდობას. გარკვეული რაოდენობა იმავე სახის სხვა რაოდენობაზე, რომელსაც ვიღებთ როგორც ერთეულს“. ეს ფორმულირება იძლევა რეალური რიცხვის ერთიან განმარტებას, რაციონალურ ან ირაციონალურ. მოგვიანებით, 70-იან წლებში. მე-19 საუკუნეში რეალური რიცხვის ცნება დაიხვეწა უწყვეტობის ცნების ღრმა ანალიზის საფუძველზე რ.დედეკინდის, გ.კანტორისა და კ.ვაიერშტრასის ნაშრომებში.

დედეკინდის მიხედვით, სწორი ხაზის უწყვეტობის თვისება არის ის, რომ თუ ყველა წერტილი, რომელიც ქმნიან სწორ ხაზს, იყოფა ორ კლასად ისე, რომ პირველი კლასის თითოეული წერტილი დევს მეორე კლასის თითოეული წერტილის მარცხნივ („შესვენება სწორი ხაზი ორ ნაწილად), შემდეგ ან პირველ კლასში არის ყველაზე მარჯვენა წერტილი, ან მეორეში - ყველაზე მარცხენა წერტილი, ანუ წერტილი, სადაც მოხდა ხაზის "გაწყვეტა".

ყველა რაციონალური რიცხვის სიმრავლეს არ გააჩნია უწყვეტობის თვისება. თუ ყველა რაციონალური რიცხვის სიმრავლე იყოფა ორ კლასად ისე, რომ პირველი კლასის თითოეული რიცხვი ნაკლები იყოს მეორე კლასის თითოეულ რიცხვზე, მაშინ ასეთი დანაყოფით (დედეკინდის "განყოფილება") შეიძლება აღმოჩნდეს, რომ პირველ კლასში არ იქნება ყველაზე დიდი რიცხვი, ხოლო მეორეში - ყველაზე ნაკლები. ასე იქნება, მაგალითად, თუ ყველა უარყოფითი რაციონალური რიცხვი, ნული და ყველა დადებითი რიცხვი, რომელთა კვადრატი ორზე ნაკლებია, მიეკუთვნება პირველ კლასს, ხოლო ყველა დადებითი რიცხვი, რომლის კვადრატი ორზე მეტია, მიენიჭება მეორეს. ასეთ ჭრილობას ირაციონალური ეწოდება. შემდეგ მოცემულია ირაციონალური რიცხვის შემდეგი განმარტება: რაციონალური რიცხვების სიმრავლის ყოველი ირაციონალური მონაკვეთი ასოცირდება ირაციონალურ რიცხვთან, რომელიც ითვლება პირველი კლასის ნებისმიერ რიცხვზე დიდი და ზედა კლასის ნებისმიერ რიცხვზე ნაკლები. ყველა რეალური რიცხვის მთლიანობას, რაციონალურს და ირაციონალურს, უკვე აქვს უწყვეტობის თვისება.

კანტორის დასაბუთება რეალური რიცხვის კონცეფციისთვის განსხვავდება დედეკინდისგან, მაგრამ ასევე ეფუძნება უწყვეტობის კონცეფციის ანალიზს. დედეკინდის და კანტორის განმარტება იყენებს ფაქტობრივი უსასრულობის აბსტრაქციას. ამრიგად, დედეკინდის თეორიაში ირაციონალური რიცხვი განისაზღვრება განყოფილების საშუალებით ყველა რაციონალური რიცხვის მთლიანობაში, რომელიც აღიქმება როგორც მთლიანობაში.

ყველა რეალური რიცხვებიშეიძლება ნაჩვენები იყოს რიცხვითი ხაზით. რიცხვითი ღერძი (რიცხვის ხაზი):

ა) ჰორიზონტალური სწორი ხაზი მასზე არჩეული მიმართულებით;

ბ) საცნობარო წერტილი - 0 პუნქტი;

გ) მასშტაბის ერთეული

[დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია. - [ელექტრონული რესურსი]. URL: http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/150404/Number].

დღეისათვის არსებობს რიცხვების განზოგადების შვიდი საყოველთაოდ მიღებული დონე: ნატურალური, რაციონალური, რეალური, რთული, ვექტორი, მატრიცული და ტრანსფინიტური რიცხვები. ზოგიერთი მეცნიერი გვთავაზობს ფუნქციების ფუნქციონალურ რიცხვებად განხილვას და რიცხვების განზოგადების ხარისხის თორმეტ დონემდე გაფართოებას.

[ანიშენკო ევგენი ალექსანდროვიჩი. „რიცხვი, როგორც მათემატიკის ძირითადი ცნება“. - [ელექტრონული რესურსი]. URL: http://www.referat.ru/referats/view/7401].

რუსი მეცნიერი ოზოლინ ე.ე. გამოთქვა მნიშვნელოვანი აზრი, რომელიც ძალიან ზუსტად გადმოსცემს მათემატიკურ საზოგადოებაში არსებულ თანამედროვე ინტელექტუალურ ატმოსფეროს. ყველამ იცის, რომ რიცხვების თეორია მათემატიკის ყველაზე რთული და მნიშვნელოვანი დარგია. მიუხედავად ამისა, რიცხვების თეორია შეუმჩნეველი ჩანს. მაშინ როცა ამ თეორიის ყველაზე უმნიშვნელო ცვლილებებმა შეიძლება გამოიწვიოს „ქარიშხალი“ მათემატიკის ყველა განყოფილებაში [Ozolin E.E. (ოზები) 2004 წლის ოქტომბერი. რიცხვის ცნება. - [ელექტრონული რესურსი]. URL: http://ozes-world.narod.ru/MtMetaMt/1_4/Mt1_4.htm].

უფრო მეტიც, - წერს ე.ე. ოზოლინი გაკვირვებით, - მიუხედავად იმისა, რომ ძველმა ბერძნებმა ყველაფერი შორს იცოდნენ რიცხვების შესახებ, უფრო სამწუხაროა ის ფაქტი, რომ „თანამედროვე მათემატიკოსებს (რომ აღარაფერი ვთქვათ ყველა დანარჩენზე) აქვთ ცნებები და ცოდნა, რომ რიცხვი ზოგჯერ უფრო დაბალია. ძველ ბერძნულზე.

ეს, ხომ ხედავ, უკვე სისულელეა“ [იქვე].

ამ მოსაზრების დასადასტურებლად, E.E. ოზოლინი ატარებს რიცხვის კონცეფციის აგების პრინციპების ისტორიულ ანალიზს და მიდის შემდეგ დასკვნამდე. ევროპული მათემატიკა, განსაკუთრებით მე-13 საუკუნიდან, რიცხვის ცნებას აშენებს თალესის სფეროების ბუდობის პრინციპის მიხედვით, „ანუ ნატურალური რიცხვების სიმრავლე ინვესტირდება მთელი რიცხვების სიმრავლეში, მთელი რიცხვების სიმრავლე ჩადებულია სიმრავლეში. რაციონალური რიცხვების, რაციონალური რიცხვების სიმრავლე ინვესტირდება ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეში, ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე რიცხვთა სიმრავლეა ჩადგმული რთული რიცხვების სიმრავლეში და ა.შ.)“ [იქვე]. „და მიუხედავად იმისა, რომ კურტ გოდელმაც ფორმალური ლოგიკის თვალსაზრისით (1931 წელს), და მეც მეტათემატიკის თვალსაზრისით, დიდი ხანია დავამტკიცეთ და ხელახლა დავამტკიცეთ, რომ ბუდობრივი სფეროების ხუთშრიანი სტრუქტურა არ შეიძლება იყოს სრული და ლოგიკურად სწორია, ჩვენ ისევ და ისევ ვხვდებით მცდარ „სასკოლო დოგმებს“ სავარაუდო სამართლიანი განცხადებების სახით, რომ, მაგალითად, ნატურალური რიცხვები რაციონალური რიცხვების ქვეჯგუფია.

ამიტომ, კიდევ ერთხელ მინდა თქვენი ყურადღება გავამახვილო იმ ფაქტზე, რომ ასე არ შეიძლება. მაგალითად, მათემატიკის ჩარჩოებში შეგვიძლია ვისაუბროთ მხოლოდ ნატურალური რიცხვის ფორმალურ ტოლობაზე 1 (ერთი) რაციონალურ რიცხვზე 1.00(0) ერთთან. ამავდროულად, ამ რიცხვების ლოგიკური, მათემატიკური (და ფიზიკური!) მნიშვნელობა სრულიად განსხვავებულია. მაგალითად, ნატურალური ერთეული არის რიცხვი, რომელიც არსებულს რომ ემატება, იძლევა შემდეგ რიცხვს, რაციონალური ერთეული არის რიცხვი, რომელზე გამრავლებისას მოცემული ნომერიმნიშვნელობას არ ცვლის! როგორ შეიძლება ერთეულმა შეცვალოს მნიშვნელობა“ [იქვე.] ???

უფრო მეტიც, - განაგრძობს ე.ე.ოზოლინი, - ბუნებრივი და რაციონალური რიცხვები სრულიად განსხვავებულ მეტალოგიურ სტრუქტურებს მიეკუთვნება. მაშასადამე, ამ რიცხვების ფორმალურ მათემატიკურ ურთიერთობაზეც კი ვერ ვისაუბრებთ.

ერთი შეხედვით შეიძლება ჩანდეს, რომ ნატურალურ და რაციონალურ რიცხვებს შორის ლოგიკური სხვაობის პრობლემა, რომელიც მე აღვნიშნე, „არ ღირს“. და მათემატიკოსთა უმრავლესობა, თუნდაც დამეთანხმოს, აუცილებლად იტყვის, რომ ”ერთეულები ასევე ერთეულებია აფრიკაში და რა განსხვავებაა მათემატიკური და ლოგიკური მნიშვნელობის დაყენება მათში, იგივე თუ განსხვავებული” [იქვე.] .

მაგრამ ასეთი შეხედულება დიდი მცდარი წარმოდგენაა – „სასკოლო განათლების მავნე მითი“, რომელსაც არავითარი მათემატიკური და ლოგიკური საფუძველი არ გააჩნია. ”და უფრო მჭიდრო და დეტალური განხილვის შემდეგ, აღმოჩნდება, რომ განსხვავება ბუნებრივი და რაციონალური რიცხვების ლოგიკური გაგებით საკმაოდ სერიოზულ შედეგებს იწვევს. პრაქტიკული გამოყენებამათემატიკა“ [იქვე].

და დასასრულს, E.E. ოზოლინი აკეთებს შემდეგ გულწრფელ დასკვნას: ” ... მათემატიკა ძალიან თავისუფალი მეცნიერებაა და მათემატიკის სიმკაცრე მხოლოდ აშკარაა. მათემატიკაში შეგიძლიათ ააწყოთ ნებისმიერი, ყველაზე წარმოუდგენელი აქსიომატური სტრუქტურები და გამოიკვლიოთ ისინი, რაც არ უნდა უაზრო და აბსტრაქტული იყოს ისინი რეალობისგან. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გამოიგონეთ და სცადეთ თქვენი სურვილისამებრ. მეტამათემატიკაში ამის გაკეთება პრაქტიკულად შეუძლებელია და მეტამათემატიკის ყველა სტრუქტურა, ასე თუ ისე, დაკავშირებულია რეალობასთან. რაც არ უნდა პარადოქსული ჩანდეს, რეალობა გაცილებით მდიდარი აღმოჩნდება, ვიდრე „ჩვენი ფანტაზია“.„[იქვე].

ჩვენი კვლევის უშუალო თემას რომ დავუბრუნდეთ, შეგვიძლია შემდეგი დასკვნის გაკეთება. ყველა ტიპის რიცხვს (რიცხვთა სიმრავლე) განსხვავებული ლოგიკური ბუნება აქვს და მათემატიკური თვისებები. ამიტომ, მეთოდოლოგიურად არასწორია რიცხვების თეორიის აგება პირდაპირი განზოგადებით. ამ დასკვნის უმთავრესი კავშირი ეხება ბუნებრივ და რეალურ რიცხვებს. ნატურალური რიცხვების ერთეულს და ნამდვილ რიცხვთა ერთეულს აქვს სრულიად განსხვავებული საწყისი და განსხვავებული მათემატიკური თვისებები. სახაზოთ ვერ გაზომავთ ვაშლების რაოდენობას; თანაბრად, შეუძლებელია მაგიდის სიგრძის გაზომვა, მხოლოდ თვლა იცოდე და ხელთ სახაზავი არ გქონდეს. ერთის მეორეზე დაყვანა შეუძლებელია. პირველის ერთეული განუყოფელია, ხოლო მეორის ერთეული აუცილებლად იყოფა. ბუნებრივი მთელი რიცხვები სინამდვილეში რიცხვებია მკაცრი გაგებით, ხოლო რეალური რიცხვები მიეკუთვნება სიდიდის ისეთ ფორმას, როგორიცაა სიდიდე. რიცხვისა და სიდიდის ფორმას შორის დაბნეულობა, რომელიც მიდის პითაგორაელებთან, არის მათემატიკაში თანამედროვე კრიზისის მთავარი წყარო და გეომეტრიისა და გ. კანტორის სიმრავლეების თეორიის არითმეტიზაციის ყველაზე მნიშვნელოვანი წინაპირობა, რადგან იდეა განუყოფელი მათემატიკური ობიექტების აგება უდევს საფუძვლად გ.კანტორის მიერ ფაქტობრივი უსასრულობის ცნების აგებას.

კიდევ ერთი შენიშვნა. თანამედროვე მათემატიკოსებს არა მხოლოდ არ ესმით რიცხვის ბუნება, როგორც სწორად აღნიშნა ე.ოზოლინმა, არამედ არ ესმით რაოდენობის და მათემატიკის სხვა ფუნდამენტური ცნებების (მაგალითად, სიმრავლის) ლოგიკური და მათემატიკური ბუნება.

აი, მაგალითად, რას წერენ ცნობილი მათემატიკოსები მნიშვნელობის შესახებ:

”ღირებულება არის ერთ-ერთი ძირითადი მათემატიკური ცნება, რომლის მნიშვნელობა მათემატიკის განვითარებასთან ერთად დაექვემდებარა უამრავ განზოგადებას,” წერს A.N. კოლმოგოროვი [კოლმოგოროვი ა.ნ. ღირებულება. - TSB. - T. 7. - M., 1951. C. 340]. ”ეს ... თეორია - სიდიდის დოქტრინა - ძლივს თამაშობს არსებითი როლიმთელი მათემატიკის დასაბუთების საკითხში“ - წერდა გამოჩენილი საბჭოთა მათემატიკოსი ვ.ფ. კაგანი [Kagan V.F. ნარკვევები გეომეტრიაზე. - მ.: მოსკოვის უნივერსიტეტი, 1963. S. 109].

მოდით ვისაუბროთ ამ უკანასკნელზე, რომელშიც რაოდენობრივი ცნების მნიშვნელობა ყველაზე თანმიმდევრული და ნათელია. „...მათემატიკოსისთვის,“ წერდა ვ.ფ.კაგანი, „მნიშვნელობა მთლიანად განისაზღვრება, როდესაც მითითებულია ელემენტების ნაკრები და შედარების კრიტერიუმები“ [იქვე, გვ. 107]. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მნიშვნელობა არის ერთგვაროვანი ობიექტების ერთობლიობა, რომელთა ელემენტების შედარება საშუალებას გვაძლევს გამოვიყენოთ ტერმინები "თანაბარი", "დიდი", "ნაკლები". ჩნდება საპირისპირო კითხვა, თუ შევადარებთ ნატურალური რიცხვების გარკვეულ სიმრავლეს იმავე ნატურალური რიცხვების სხვა გარკვეულ სიმრავლეს, მაგალითად, რიცხვებს 5 და რიცხვებს 7, შეგვიძლია თუ არა მათზე ზემოაღნიშნული ტერმინების გამოყენება? კითხვა რიტორიკულია. სიდიდის ცნების შემოთავაზებული განმარტება, ფაქტობრივად, მიუთითებს იმაზე, რომ მისი ავტორი საერთოდ არ განასხვავებს ამ ორს. ფუნდამენტური ცნებები(რიცხვები და სიდიდეები). სიმრავლეების თეორიის მომხრეები და თავად კანტორი ასევე წუხდნენ, რომ ამ თეორიის ძირითადი კონცეფცია ასევე ძნელია განისაზღვროს. ე.ოზოლინი თავის სტატიაში აღნიშნავს, რომ ძალიან რთულია მათემატიკის საგანად განსაზღვრა [Ozolin E.E. (ოზები) 2004 წლის ოქტომბერი. რიცხვის ცნება. - [ელექტრონული რესურსი]. URL: http://ozes-world.narod.ru/MtMetaMt/1_4/Mt1_4.htm].

იმისათვის, რომ დავრწმუნდეთ, რომ ყველა ეს ეჭვი უსაფუძვლოა, საჭიროა ისევ არისტოტელეს დავუბრუნდეთ, რომელიც რამდენიმე განმარტებით, ამომწურავ პასუხს იძლევა ჩვენს კითხვებზე.

”რაოდენობა არის ის, რაც იყოფა კომპონენტებად, რომელთაგან თითოეული, იქნება ეს ორი ან მეტი, ბუნებით არის რაღაც ერთი და გარკვეული რაღაც. ყოველი სიდიდე არის სიმრავლე, თუ ის დასათვლელია, ხოლო სიდიდე არის თუ გაზომვადია. სიმრავლე არის ის, რაც იყოფა არამდგრად ნაწილებად, რაოდენობა - უწყვეტ ნაწილებად... ყველა ამ რაოდენობადან შეზღუდული სიმრავლე არის რიცხვი, შეზღუდული სიგრძე არის ხაზი, შეზღუდული სიგანე არის სიბრტყე, შეზღუდული სიღრმე. არის სხეული ”[არისტოტელე. ოპ. ოთხ ტომად. T.1. მეტაფიზიკა. გვ.164].

არისტოტელეს ამ ფრაგმენტიდან. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ მკაცრ განმარტებებს.

მათემატიკა არის მეცნიერება, რომლის საგანია წმინდა რაოდენობა.

რაოდენობა არის ის, რაც იყოფა მის შემადგენელ ნაწილებად, რომელთაგან თითოეული, იქნება ეს ორი ან მეტი, ბუნებით არის რაღაც ერთი და გარკვეული რაღაც.

სიმრავლე არის სიდიდე, რომელიც თვლადია, ე.ი. იყოფა არა უწყვეტ ნაწილებად.

რაოდენობა არის სიდიდე, რომელიც გაზომვადია, ე.ი. დაყავით უწყვეტ ნაწილებად

ნომერი შეზღუდული კომპლექტია.

ხაზი შეზღუდულია სიგრძით.

თვითმფრინავი შეზღუდული სიგანეა.

სხეულს აქვს შეზღუდული სიღრმე.

ამ დებულებებიდან გამომდინარეობს:

რიცხვის ერთეულს არ აქვს განზომილება, ეს არის საანგარიშო ერთეული, ე.ი. განუყოფელია, რადგან ჩვენ ვითვლით მხოლოდ მთელ რიცხვებში.

სიდიდის ერთეული ყოველთვის იყოფა.

რიცხვის ერთეული არის აბსტრაქტული რაოდენობის ყველაზე სუფთა ფორმა, ე.ი. ეს არის გეომეტრიული სივრცის მიმართ გულგრილი ფორმა.

სიდიდის ერთეული არის სუფთა სიდიდე პლუს გეომეტრიული სივრცე.

გეომეტრიული სივრცე არის ფიზიკური რეალობის აბსტრაქცია. ფიზიკურ რეალობას აქვს თვისობრივი სიზუსტე და გაფართოება. თუ ფიზიკური რეალობის ხარისხობრივი სიზუსტისგან აბსტრაციას მივიღებთ, მივიღებთ გეომეტრიულ სივრცეს.

ფორმალურად, რიცხვის ერთეულიც და სიდიდის ერთეულიც არის რიცხვი, მაგრამ ამ რიცხვების არსი და მათემატიკური თვისებები განსხვავებულია. რიცხვის ერთეულიდან შეუძლებელია სიდიდის ერთეულის მიღება. მაშინ როცა მნიშვნელობიდან შეგიძლიათ მიიღოთ სუფთა რიცხვი. ამისათვის აუცილებელია გეომეტრიული სივრცის აბსტრაქცია - განზომილება. ეს პუნქტები კარგად არის გაანალიზებული არისტოტელეს ფიზიკაში.

ამრიგად, რიცხვიდან (მკაცრი გაგებით) შეუძლებელია მნიშვნელობის მიღება. და რადგან არითმეტიკის საგანი არის რიცხვის ცნება, ხოლო გეომეტრიის საგანი არის სიდიდე, მაშინ გეომეტრია არითმეტიკამდე ვერ დაიყვანება. ეს არის მატერიალური სამყაროს რაოდენობრივი სიზუსტის არსებობის სხვადასხვა გზები.

ამრიგად, თანამედროვე მათემატიკის გულში ღრმა ბოდვა დევს - რიცხვისა და სიდიდის, არითმეტიკისა და გეომეტრიის უკანონო იდენტიფიკაცია. სიდიდის ცნება უფრო ფუნდამენტურია, რადგან მისგან შეგვიძლია გამოვყოთ რიცხვის ცნება. გარდა ამისა, ეს კონცეფცია მათემატიკას „აკავშირებს“ ფიზიკასთან, ქმნის დაბრკოლებებს გაუმართლებელი ფორმალიზებისა და სპეკულაციური კონსტრუქციებისთვის. ამიტომ გეომეტრიის არითმეტიზაციამ გამოიწვია მათემატიკის საგნის გადაგვარება, მისი ფორმალიზაცია (ბურბაკიზაცია) და ტრანსფინიტური რიცხვების თეორია. მათემატიკის არითმეტიზაცია, ფაქტობრივად, არის მათემატიკის საგნის რიცხვამდე დაყვანის პროცესი.