• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. និងផ្សេងៗទៀត។ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ថ្នាក់ទី 10-11 នៃគ្រឹះស្ថានអប់រំទូទៅ។
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. គណិតវិទ្យា (សៀវភៅណែនាំសម្រាប់អ្នកដាក់ពាក្យចូលសាលាបច្ចេកទេស)។

យើងបន្តសិក្សាលោការីត។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងនិយាយអំពី ការគណនាលោការីតដំណើរការនេះត្រូវបានគេហៅថា លោការីត. ដំបូងយើងនឹងដោះស្រាយជាមួយនឹងការគណនាលោការីតតាមនិយមន័យ។ បន្ទាប់មក សូមពិចារណាអំពីរបៀបដែលតម្លៃនៃលោការីតត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។ បន្ទាប់ពីនោះ យើងនឹងរស់នៅលើការគណនាលោការីត តាមរយៈតម្លៃដែលបានផ្តល់ដំបូង នៃលោការីតផ្សេងទៀត។ ជាចុងក្រោយ ចូរយើងរៀនពីរបៀបប្រើតារាងលោការីត។ ទ្រឹស្តីទាំងមូលត្រូវបានផ្តល់ជាឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិត។

ការរុករកទំព័រ។

ការគណនាលោការីតតាមនិយមន័យ

ក្នុងករណីសាមញ្ញបំផុតវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីអនុវត្តយ៉ាងឆាប់រហ័សនិងងាយស្រួល ការស្វែងរកលោការីតតាមនិយមន័យ. ចូរយើងពិនិត្យមើលឱ្យកាន់តែច្បាស់អំពីរបៀបដែលដំណើរការនេះកើតឡើង។

ខ្លឹមសាររបស់វាគឺតំណាងឱ្យលេខ b ក្នុងទម្រង់ a c ដោយនិយមន័យលោការីត លេខ c គឺជាតម្លៃនៃលោការីត។ នោះគឺតាមនិយមន័យ ការស្វែងរកលោការីតត្រូវគ្នាទៅនឹងខ្សែសង្វាក់នៃសមភាពដូចខាងក្រោម៖ log a b=log a a c = c ។

ដូច្នេះ ការគណនាលោការីត តាមនិយមន័យ មករកលេខ C ដែល a c \u003d b ហើយលេខ c ខ្លួនវាគឺជាតម្លៃដែលចង់បានរបស់លោការីត។

ដោយទទួលបានព័ត៌មាននៃកថាខណ្ឌមុន នៅពេលដែលលេខក្រោមសញ្ញាលោការីតត្រូវបានផ្តល់ដោយកម្រិតខ្លះនៃមូលដ្ឋានលោការីត នោះអ្នកអាចចង្អុលបង្ហាញភ្លាមៗនូវអ្វីដែលលោការីតស្មើនឹង - វាស្មើនឹងនិទស្សន្ត។ សូមបង្ហាញឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរក log 2 2 −3 ហើយគណនាលោការីតធម្មជាតិនៃ e 5.3 ផងដែរ។

ដំណោះស្រាយ។

និយមន័យនៃលោការីតអនុញ្ញាតឱ្យយើងនិយាយភ្លាមៗថា កំណត់ហេតុ 2 2 −3 = −3 ។ ពិតប្រាកដណាស់ លេខនៅក្រោមសញ្ញាលោការីតគឺស្មើនឹងមូលដ្ឋាន 2 ទៅអំណាច −3 ។

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងរកឃើញលោការីតទីពីរ៖ lne 5.3 = 5.3 ។

ចម្លើយ៖

កំណត់ហេតុ 2 2 −3 = −3 និង lne 5.3 = 5.3 ។

ប្រសិនបើលេខ b នៅក្រោមសញ្ញានៃលោការីតមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យជាថាមពលនៃមូលដ្ឋាននៃលោការីតនោះ អ្នកត្រូវពិចារណាឱ្យបានហ្មត់ចត់ថាតើវាអាចទៅរួចក្នុងការតំណាងឱ្យលេខ b ក្នុងទម្រង់ a c ដែរឬទេ។ ជារឿយៗការតំណាងនេះគឺជាក់ស្តែង ជាពិសេសនៅពេលដែលលេខក្រោមសញ្ញាលោការីតគឺស្មើនឹងមូលដ្ឋានទៅថាមពលនៃ 1, ឬ 2, ឬ 3, ...

ឧទាហរណ៍។

គណនាលោការីត កំណត់ហេតុ 5 25 និង .

ដំណោះស្រាយ។

វាងាយស្រួលមើលថា 25=5 2 នេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាលោការីតទីមួយ៖ log 5 25=log 5 5 2 =2 ។

យើងបន្តទៅការគណនាលោការីតទីពីរ។ លេខអាចត្រូវបានតំណាងជាអំណាចនៃ 7: (សូមមើលប្រសិនបើចាំបាច់) ។ អាស្រ័យហេតុនេះ .

ចូរយើងសរសេរលោការីតទីបីឡើងវិញក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម។ ឥឡូវនេះអ្នកអាចឃើញវា។ យើងសន្និដ្ឋានថាមកពីណា . ដូច្នេះតាមនិយមន័យលោការីត .

ដោយសង្ខេប ដំណោះស្រាយអាចសរសេរដូចខាងក្រោម៖

ចម្លើយ៖

កំណត់ហេតុ 5 25=2 , និង .

នៅពេលដែលចំនួនធម្មជាតិធំគ្រប់គ្រាន់ស្ថិតនៅក្រោមសញ្ញាលោការីត នោះវាមិនឈឺចាប់ក្នុងការបំបែកវាទៅជាកត្តាសំខាន់នោះទេ។ វាជារឿយៗជួយតំណាងឱ្យចំនួនដូចជាអំណាចមួយចំនួននៃមូលដ្ឋាននៃលោការីត ហើយដូច្នេះដើម្បីគណនាលោការីតនេះតាមនិយមន័យ។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកតម្លៃលោការីត។

ដំណោះស្រាយ។

លក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃលោការីតអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបញ្ជាក់ភ្លាមៗនូវតម្លៃនៃលោការីត។ លក្ខណសម្បត្តិទាំងនេះរួមមានលក្ខណសម្បត្តិនៃលោការីតរបស់មួយ និងទ្រព្យសម្បត្តិនៃលោការីតនៃចំនួនដែលស្មើនឹងគោល៖ log 1 1=log a 0 =0 និង log a=log a 1=1 ។ នោះគឺនៅពេលដែលលេខ 1 ឬលេខ a ស្ថិតនៅក្រោមសញ្ញាលោការីត ស្មើនឹងមូលដ្ឋានលោការីត បន្ទាប់មកក្នុងករណីទាំងនេះលោការីតគឺ 0 និង 1 រៀងគ្នា។

ឧទាហរណ៍។

តើលោការីត និង lg10 ជាអ្វី?

ដំណោះស្រាយ។

ចាប់តាំងពី វាធ្វើតាមនិយមន័យនៃលោការីត .

ក្នុងឧទាហរណ៍ទីពីរ លេខ 10 នៅក្រោមសញ្ញាលោការីតស្របគ្នានឹងមូលដ្ឋានរបស់វា ដូច្នេះលោការីតទសភាគដប់គឺស្មើនឹងមួយ នោះគឺ lg10=lg10 1 =1 ។

ចម្លើយ៖

និង lg10=1 ។

ចំណាំថាការគណនាលោការីតតាមនិយមន័យ (ដែលយើងបានពិភាក្សាក្នុងកថាខណ្ឌមុន) បង្កប់ន័យការប្រើប្រាស់កំណត់ហេតុសមភាព a p = p ដែលជាលក្ខណៈសម្បត្តិមួយរបស់លោការីត។

នៅក្នុងការអនុវត្ត នៅពេលដែលលេខនៅក្រោមសញ្ញាលោការីត និងមូលដ្ឋាននៃលោការីតត្រូវបានតំណាងយ៉ាងងាយស្រួលថាជាអំណាចនៃលេខមួយចំនួន វាងាយស្រួលប្រើរូបមន្ត ដែលត្រូវគ្នានឹងលក្ខណៈសម្បត្តិមួយនៃលោការីត។ ពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការស្វែងរកលោការីត បង្ហាញពីការប្រើប្រាស់រូបមន្តនេះ។

ឧទាហរណ៍។

គណនាលោការីតនៃ .

ដំណោះស្រាយ។

ចម្លើយ៖

.

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីតដែលមិនបានរៀបរាប់ខាងលើក៏ត្រូវបានគេប្រើក្នុងការគណនាដែរ ប៉ុន្តែយើងនឹងនិយាយអំពីរឿងនេះក្នុងកថាខណ្ឌខាងក្រោម។

ការស្វែងរកលោការីតនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃលោការីតដែលគេស្គាល់ផ្សេងទៀត។

ព័ត៌មាននៅក្នុងកថាខណ្ឌនេះបន្តប្រធានបទនៃការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីតក្នុងការគណនារបស់ពួកគេ។ ប៉ុន្តែនៅទីនេះ ភាពខុសគ្នាចំបងគឺថា លក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីតត្រូវបានប្រើដើម្បីបង្ហាញលោការីតដើមនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃលោការីតមួយផ្សេងទៀត តម្លៃដែលត្រូវបានគេស្គាល់។ ចូរយើងយកឧទាហរណ៍មួយសម្រាប់ការបំភ្លឺ។ ចូរនិយាយថាយើងដឹងថា log 2 3≈1.584963 បន្ទាប់មកយើងអាចរកឃើញឧទាហរណ៍ log 2 6 ដោយធ្វើការបំប្លែងបន្តិចបន្តួចដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីត៖ log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ វាគឺគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់យើងក្នុងការប្រើទ្រព្យសម្បត្តិនៃលោការីតនៃផលិតផល។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ជាញឹកញាប់ជាងនេះទៅទៀត អ្នកត្រូវប្រើឃ្លាំងអាវុធកាន់តែទូលំទូលាយនៃលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់លោការីត ដើម្បីគណនាលោការីតដើមនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ឧទាហរណ៍។

គណនាលោការីតពី 27 ទៅគោល 60 ប្រសិនបើគេដឹងថា log 60 2=a និង log 60 5=b ។

ដំណោះស្រាយ។

ដូច្នេះយើងត្រូវស្វែងរកកំណត់ហេតុ ៦០ ២៧ ។ វាងាយមើលឃើញថា 27=3 3 និងលោការីតដើម ដោយសារលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីតដឺក្រេ អាចសរសេរឡើងវិញជា 3·log 60 3។

ឥឡូវនេះសូមមើលពីរបៀបដែល log 60 3 អាចត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃលោការីតដែលគេស្គាល់។ លក្ខណៈ​នៃ​លោការីត​នៃ​ចំនួន​ដែល​ស្មើ​នឹង​គោល​អនុញ្ញាត​ឱ្យ​អ្នក​សរសេរ​កំណត់​ហេតុ​សមភាព 60 60=1 ។ ម៉្យាងទៀត log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . ដូច្នេះ 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. អាស្រ័យហេតុនេះ log 60 3=1−2 កំណត់ហេតុ 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

ជាចុងក្រោយ យើងគណនាលោការីតដើម៖ log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 ខ.

ចម្លើយ៖

កំណត់ហេតុ 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 ខ.

ដោយឡែកវាមានតម្លៃនិយាយអំពីអត្ថន័យនៃរូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មីនៃលោការីតនៃទម្រង់ . វាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកផ្លាស់ទីពីលោការីតជាមួយនឹងមូលដ្ឋានណាមួយទៅលោការីតជាមួយនឹងមូលដ្ឋានជាក់លាក់តម្លៃដែលត្រូវបានគេស្គាល់ឬវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីស្វែងរកពួកគេ។ ជាធម្មតា ពីលោការីតដើម យោងតាមរូបមន្តផ្លាស់ប្តូរ ពួកវាប្តូរទៅលោការីតក្នុងគោល 2, អ៊ី ឬ 10 ចាប់តាំងពីសម្រាប់មូលដ្ឋានទាំងនេះមានតារាងលោការីតដែលអនុញ្ញាតឱ្យគេគណនាជាមួយនឹងកម្រិតជាក់លាក់នៃភាពត្រឹមត្រូវ។ នៅផ្នែកបន្ទាប់យើងនឹងបង្ហាញពីរបៀបដែលវាត្រូវបានធ្វើ។

តារាងលោការីត ការប្រើប្រាស់របស់ពួកគេ។

សម្រាប់ការគណនាប្រហាក់ប្រហែលនៃតម្លៃនៃលោការីត គេអាចប្រើ តារាងលោការីត. ប្រើជាទូទៅបំផុតគឺតារាងលោការីតគោល 2 តារាងលោការីតធម្មជាតិ និងតារាងលោការីតទសភាគ។ នៅពេលធ្វើការនៅក្នុងប្រព័ន្ធលេខទសភាគ វាងាយស្រួលប្រើតារាងលោការីតដល់គោលដប់។ ដោយមានជំនួយរបស់វា យើងនឹងរៀនស្វែងរកតម្លៃនៃលោការីត។

តារាងដែលបានបង្ហាញអនុញ្ញាតឱ្យជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវនៃមួយដប់ពាន់ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃលោការីតទសភាគនៃលេខពី 1.000 ដល់ 9.999 (មានខ្ទង់ទសភាគបី)។ យើងនឹងវិភាគគោលការណ៍នៃការស្វែងរកតម្លៃលោការីតដោយប្រើតារាងលោការីតទសភាគដោយប្រើឧទាហរណ៍ជាក់លាក់ - វាច្បាស់ជាង។ ចូរយើងស្វែងរក lg1,256 ។

នៅក្នុងជួរឈរខាងឆ្វេងនៃតារាងលោការីតទសភាគ យើងរកឃើញពីរខ្ទង់ដំបូងនៃលេខ 1.256 នោះគឺយើងរកឃើញ 1.2 (លេខនេះត្រូវបានគូសរង្វង់ពណ៌ខៀវសម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់)។ ខ្ទង់ទីបីនៃលេខ 1.256 (លេខ 5) ត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងបន្ទាត់ទីមួយ ឬចុងក្រោយនៅខាងឆ្វេងនៃបន្ទាត់ទ្វេ (លេខនេះត្រូវបានគូសរង្វង់ពណ៌ក្រហម)។ ខ្ទង់ទីបួននៃលេខដើម 1.256 (លេខ 6) ត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងបន្ទាត់ទីមួយ ឬចុងក្រោយនៅខាងស្តាំនៃបន្ទាត់ទ្វេ (លេខនេះត្រូវបានគូសរង្វង់ពណ៌បៃតង)។ ឥឡូវនេះយើងរកឃើញលេខនៅក្នុងក្រឡានៃតារាងលោការីតនៅចំនុចប្រសព្វនៃជួរដេកដែលបានសម្គាល់ និងជួរឈរដែលបានសម្គាល់ (លេខទាំងនេះត្រូវបានបន្លិចជាពណ៌ទឹកក្រូច)។ ផលបូកនៃលេខដែលបានសម្គាល់ផ្តល់តម្លៃដែលចង់បាននៃលោការីតទសភាគរហូតដល់ខ្ទង់ទសភាគទីបួន ពោលគឺ log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

តើវាអាចទៅរួចទេ ដោយប្រើតារាងខាងលើ ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃលោការីតទសភាគនៃលេខដែលមានច្រើនជាងបីខ្ទង់បន្ទាប់ពីខ្ទង់ទសភាគ ហើយក៏ហួសពីដែនកំណត់ពី 1 ដល់ 9.999 ដែរ? បាទ​អ្នក​អាច​ធ្វើ​បាន។ សូមបង្ហាញពីរបៀបដែលវាត្រូវបានធ្វើជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយ។

តោះគណនា lg102.76332 ។ ដំបូងអ្នកត្រូវសរសេរ លេខក្នុងទម្រង់ស្តង់ដារ: 102.76332=1.0276332 10 2 . បន្ទាប់ពីនោះ mantissa គួរតែត្រូវបានបង្គត់រហូតដល់ខ្ទង់ទសភាគទីបីយើងមាន 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2ខណៈពេលដែលលោការីតទសភាគដើមគឺប្រហែលស្មើនឹងលោការីតនៃចំនួនលទ្ធផល នោះគឺយើងយក lg102.76332≈lg1.028·10 2 ។ ឥឡូវអនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិលោការីត៖ lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. ជាចុងក្រោយ យើងរកឃើញតម្លៃនៃលោការីត lg1.028 យោងតាមតារាងលោការីតទសភាគ lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012។ ជាលទ្ធផល ដំណើរការទាំងមូលនៃការគណនាលោការីតមើលទៅដូចនេះ៖ lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

សរុបសេចក្តីមក វាគឺមានតំលៃកត់សម្គាល់ថាដោយប្រើតារាងនៃលោការីតទសភាគ អ្នកអាចគណនាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃលោការីតណាមួយ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការប្រើរូបមន្តផ្លាស់ប្តូរដើម្បីទៅកាន់លោការីតទសភាគ ស្វែងរកតម្លៃរបស់ពួកគេក្នុងតារាង និងអនុវត្តការគណនាដែលនៅសល់។

ឧទាហរណ៍ ចូរយើងគណនាកំណត់ហេតុ 2 3 ។ យោងតាមរូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មីនៃលោការីត យើងមាន . ពីតារាងលោការីតទសភាគ យើងរកឃើញ lg3≈0.4771 និង lg2≈0.3010។ ដូច្នេះ .

គន្ថនិទ្ទេស។

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. និងផ្សេងៗទៀត។ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ថ្នាក់ទី 10-11 នៃគ្រឹះស្ថានអប់រំទូទៅ។
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. គណិតវិទ្យា (សៀវភៅណែនាំសម្រាប់អ្នកដាក់ពាក្យចូលសាលាបច្ចេកទេស)។

ដូចដែលអ្នកបានដឹងហើយថា នៅពេលគុណកន្សោមដោយអំណាច និទស្សន្តរបស់ពួកគេតែងតែបូក (a b * a c = a b + c) ។ ច្បាប់គណិតវិទ្យានេះត្រូវបានចេញដោយ Archimedes ហើយក្រោយមកនៅក្នុងសតវត្សទី 8 គណិតវិទូ Virasen បានបង្កើតតារាងនៃសូចនាករចំនួនគត់។ វាគឺជាពួកគេដែលបានបម្រើសម្រាប់ការរកឃើញបន្ថែមទៀតនៃលោការីត។ ឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់មុខងារនេះអាចត្រូវបានរកឃើញស្ទើរតែគ្រប់ទីកន្លែងដែលវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីសម្រួលការគុណដ៏លំបាកដល់ការបូកសាមញ្ញ។ ប្រសិនបើអ្នកចំណាយពេល 10 នាទីអានអត្ថបទនេះ យើងនឹងពន្យល់អ្នកថាតើលោការីតជាអ្វី និងរបៀបធ្វើការជាមួយពួកគេ។ ភាសាសាមញ្ញ និងអាចចូលប្រើបាន។

និយមន័យក្នុងគណិតវិទ្យា

លោការីតគឺជាកន្សោមនៃទម្រង់ខាងក្រោម៖ កត់ត្រា a b=c នោះគឺជាលោការីតនៃចំនួនមិនអវិជ្ជមានណាមួយ (នោះគឺវិជ្ជមានណាមួយ) "b" យោងទៅតាមមូលដ្ឋានរបស់វា "a" ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអំណាចនៃ "c ", ដែលវាចាំបាច់ដើម្បីដំឡើងមូលដ្ឋាន "a", ដូច្នេះនៅទីបញ្ចប់ទទួលបានតម្លៃ "b" ។ ចូរវិភាគលោការីតដោយប្រើឧទាហរណ៍ ឧបមាថាមានកំណត់ហេតុកន្សោម 2 8. តើត្រូវស្វែងរកចម្លើយដោយរបៀបណា? វាសាមញ្ញណាស់ អ្នកត្រូវស្វែងរកសញ្ញាប័ត្របែបនេះដែលពី 2 ទៅសញ្ញាបត្រដែលត្រូវការដែលអ្នកទទួលបាន 8 ។ ដោយបានធ្វើការគណនាមួយចំនួននៅក្នុងគំនិតរបស់អ្នក យើងទទួលបានលេខ 3! ហើយត្រឹមត្រូវព្រោះ 2 ទៅអំណាចនៃ 3 ផ្តល់លេខ 8 នៅក្នុងចម្លើយ។

ប្រភេទនៃលោការីត

សម្រាប់សិស្ស និងនិស្សិតជាច្រើន ប្រធានបទនេះហាក់ដូចជាស្មុគស្មាញ និងមិនអាចយល់បាន ប៉ុន្តែការពិតលោការីតមិនគួរឱ្យខ្លាចនោះទេ រឿងសំខាន់គឺត្រូវយល់ពីអត្ថន័យទូទៅរបស់ពួកគេ ហើយចងចាំលក្ខណៈសម្បត្តិ និងច្បាប់មួយចំនួន។ កន្សោមលោការីតមានបីប្រភេទផ្សេងគ្នា៖

1. លោការីតធម្មជាតិ ln a ដែលមូលដ្ឋានគឺជាលេខអយល័រ (e = 2.7) ។
2. ទសភាគ a ដែលមូលដ្ឋានគឺ 10 ។
3. លោការីតនៃចំនួនណាមួយ b ទៅមូលដ្ឋាន a> 1 ។

ពួកវានីមួយៗត្រូវបានដោះស្រាយតាមរបៀបស្តង់ដារ រួមទាំងការធ្វើឱ្យសាមញ្ញ ការកាត់បន្ថយ និងការកាត់បន្ថយជាបន្តបន្ទាប់ទៅលោការីតមួយដោយប្រើទ្រឹស្តីបទលោការីត។ ដើម្បីទទួលបានតម្លៃត្រឹមត្រូវនៃលោការីត មួយគួរតែចងចាំលក្ខណៈសម្បត្តិ និងលំដាប់នៃសកម្មភាពនៅក្នុងការសម្រេចចិត្តរបស់ពួកគេ។

ច្បាប់ និងការរឹតបន្តឹងមួយចំនួន

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា មានច្បាប់-ដែនកំណត់មួយចំនួន ដែលត្រូវបានទទួលយកជា axiom ពោលគឺពួកគេមិនមែនជាប្រធានបទដើម្បីពិភាក្សា និងជាការពិត។ ឧទាហរណ៍ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការបែងចែកលេខដោយសូន្យ ហើយវាក៏មិនអាចទៅរួចទេក្នុងការស្រង់ឫសនៃដឺក្រេគូពីលេខអវិជ្ជមានផងដែរ។ លោការីតក៏មានច្បាប់ផ្ទាល់ខ្លួនផងដែរ ខាងក្រោមនេះដែលអ្នកអាចរៀនបានយ៉ាងងាយស្រួលពីរបៀបធ្វើការ សូម្បីតែជាមួយនឹងកន្សោមលោការីតវែង និង capacious៖

• មូលដ្ឋាន "a" ត្រូវតែធំជាងសូន្យជានិច្ច ហើយក្នុងពេលតែមួយមិនត្រូវស្មើនឹង 1 ទេ បើមិនដូច្នេះទេកន្សោមនឹងបាត់បង់អត្ថន័យរបស់វា ព្រោះ "1" និង "0" ទៅកម្រិតណាមួយតែងតែស្មើនឹងតម្លៃរបស់វា។
• ប្រសិនបើ a > 0 បន្ទាប់មក a b > 0 វាប្រែថា "c" ត្រូវតែធំជាងសូន្យ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយលោការីត?

ឧទាហរណ៍ ភារកិច្ចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដើម្បីស្វែងរកចម្លើយចំពោះសមីការ 10 x \u003d 100 ។ វាងាយស្រួលណាស់ អ្នកត្រូវជ្រើសរើសថាមពលបែបនេះ ដោយបង្កើនលេខដប់ដែលយើងទទួលបាន 100 ។ នេះជាការពិតគឺ 10 2 \u003d 100 ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងតំណាងកន្សោមនេះជាលោការីតមួយ។ យើងទទួលបានកំណត់ហេតុ 10 100 = 2. នៅពេលដោះស្រាយលោការីត សកម្មភាពទាំងអស់អនុវត្តជាក់ស្តែងដើម្បីស្វែងរកកម្រិតដែលមូលដ្ឋាននៃលោការីតត្រូវបញ្ចូលដើម្បីទទួលបានលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ដើម្បីកំណត់តម្លៃនៃសញ្ញាបត្រដែលមិនស្គាល់បានត្រឹមត្រូវ អ្នកត្រូវតែរៀនពីរបៀបធ្វើការជាមួយតារាងដឺក្រេ។ វាមើលទៅដូចនេះ៖

ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ និទស្សន្តមួយចំនួនអាចត្រូវបានទាយដោយវិចារណញាណ ប្រសិនបើអ្នកមានផ្នត់គំនិតបច្ចេកទេស និងចំណេះដឹងអំពីតារាងគុណ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយតម្លៃធំជាងនឹងតម្រូវឱ្យមានតារាងថាមពល។ វាអាចត្រូវបានប្រើសូម្បីតែដោយអ្នកដែលមិនយល់អ្វីទាំងអស់នៅក្នុងប្រធានបទគណិតវិទ្យាស្មុគស្មាញ។ ជួរឈរខាងឆ្វេងមានលេខ (មូលដ្ឋាន a) ជួរខាងលើនៃលេខគឺជាតម្លៃនៃថាមពល c ដែលលេខ a ត្រូវបានលើកឡើង។ នៅចំនុចប្រសព្វក្នុងក្រឡា តម្លៃនៃលេខត្រូវបានកំណត់ ដែលជាចម្លើយ (a c=b)។ ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងយកក្រឡាដំបូងបំផុតដែលមានលេខ 10 ហើយការ៉េវាយើងទទួលបានតម្លៃ 100 ដែលត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញនៅចំនុចប្រសព្វនៃក្រឡាទាំងពីររបស់យើង។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញនិងងាយស្រួលដែលសូម្បីតែមនុស្សពិតប្រាកដបំផុតនឹងយល់!

សមីការ និងវិសមភាព

វាប្រែថានៅក្រោមលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់និទស្សន្តគឺជាលោការីត។ ដូច្នេះ កន្សោម​លេខ​គណិតវិទ្យា​ណា​មួយ​អាច​ត្រូវ​បាន​សរសេរ​ជា​សមីការ​លោការីត។ ឧទាហរណ៍ 3 4 =81 អាចត្រូវបានសរសេរជាលោការីតពី 81 ដល់គោល 3 ដែលជាបួន (log 3 81 = 4) ។ ចំពោះអំណាចអវិជ្ជមាន ច្បាប់គឺដូចគ្នា៖ 2 -5 = 1/32 យើងសរសេរជាលោការីត យើងទទួលបាន log 2 (1/32) = -5 ។ ផ្នែកមួយគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បំផុតនៃគណិតវិទ្យាគឺប្រធានបទ "លោការីត" ។ យើងនឹងពិចារណាឧទាហរណ៍ និងដំណោះស្រាយនៃសមីការទាបជាងបន្តិច ភ្លាមៗបន្ទាប់ពីសិក្សាលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។ ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលថាតើវិសមភាពមើលទៅដូចម្ដេច និងរបៀបបែងចែកពួកវាពីសមីការ។

កន្សោមនៃទម្រង់ខាងក្រោមត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖ កំណត់ហេតុ 2 (x-1) > 3 - វាជាវិសមភាពលោការីត ដោយសារតម្លៃមិនស្គាល់ "x" ស្ថិតនៅក្រោមសញ្ញានៃលោការីត។ ហើយនៅក្នុងកន្សោមបរិមាណពីរត្រូវបានប្រៀបធៀប៖ លោការីតនៃលេខដែលចង់បានក្នុងគោលពីរគឺធំជាងលេខបី។

ភាពខុសគ្នាដ៏សំខាន់បំផុតរវាងសមីការលោការីត និងវិសមភាពគឺថាសមីការជាមួយលោការីត (ឧទាហរណ៍ លោការីត 2 x = √9) បង្កប់ន័យតម្លៃលេខជាក់លាក់មួយ ឬច្រើននៅក្នុងចម្លើយ ខណៈពេលដែលនៅពេលដោះស្រាយវិសមភាព ទាំងជួរនៃ តម្លៃដែលអាចទទួលយកបាន និងចំណុចដែលបំបែកមុខងារនេះ។ ជាលទ្ធផល ចម្លើយមិនមែនជាសំណុំសាមញ្ញនៃលេខរៀងៗខ្លួន ដូចនៅក្នុងចម្លើយនៃសមីការនោះទេ ប៉ុន្តែជាស៊េរីបន្តបន្ទាប់គ្នា ឬសំណុំនៃលេខ។

ទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋានអំពីលោការីត

នៅពេលដោះស្រាយកិច្ចការបុព្វកាលលើការស្វែងរកតម្លៃនៃលោការីត លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វាអាចមិនត្រូវបានគេដឹង។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅពេលនិយាយអំពីសមីការលោការីត ឬវិសមភាព ជាដំបូង ចាំបាច់ត្រូវយល់ឱ្យបានច្បាស់ និងអនុវត្តក្នុងការអនុវត្តនូវលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋានទាំងអស់នៃលោការីត។ យើងនឹងស្គាល់ឧទាហរណ៍នៃសមីការនៅពេលក្រោយ ចូរយើងវិភាគទ្រព្យសម្បត្តិនីមួយៗឱ្យបានលម្អិតជាមុនសិន។

1. អត្តសញ្ញាណមូលដ្ឋានមើលទៅដូចនេះ៖ logaB =B ។ វាអនុវត្តតែប្រសិនបើ a ធំជាង 0 មិនស្មើនឹងមួយ ហើយ B គឺធំជាងសូន្យ។
2. លោការីតនៃផលិតផលអាចត្រូវបានតំណាងនៅក្នុងរូបមន្តដូចខាងក្រោម: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. ក្នុងករណីនេះតម្រូវការជាមុនគឺ: d, s 1 និង s 2 > 0; a≠1. អ្នកអាចផ្តល់ភស្តុតាងសម្រាប់រូបមន្តលោការីតនេះ ជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ និងដំណោះស្រាយមួយ។ អនុញ្ញាតឱ្យ log a s 1 = f 1 និង log a s 2 = f 2 បន្ទាប់មក f1 = s 1 , a f2 = s 2 ។ យើងទទួលបាននោះ s 1 * s 2 = a f1 * a f2 = a f1 + f2 (លក្ខណៈសម្បត្តិដឺក្រេ ) និងបន្ថែមតាមនិយមន័យ៖ log a (s 1 *s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2 ដែលត្រូវបញ្ជាក់។
3. លោការីតនៃកូតាមើលទៅដូចនេះ៖ log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2 ។
4. ទ្រឹស្តីបទក្នុងទម្រង់នៃរូបមន្តមានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ log a q b n = n/q log a b ។

រូបមន្តនេះត្រូវបានគេហៅថា "ទ្រព្យសម្បត្តិនៃដឺក្រេនៃលោការីត" ។ វាប្រហាក់ប្រហែលនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេធម្មតា ហើយវាមិនគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលនោះទេព្រោះគណិតវិទ្យាទាំងអស់ពឹងផ្អែកលើ postulates ធម្មតា។ តោះមើលភស្តុតាង។

អនុញ្ញាតឱ្យកត់ត្រា b \u003d t វាប្រែចេញ t \u003d ខ។ ប្រសិនបើអ្នកលើកផ្នែកទាំងពីរទៅថាមពល m: a tn = b n ;

ប៉ុន្តែចាប់តាំងពី a tn = (a q) nt/q = b n ដូចនេះ log a q b n = (n * t)/t បន្ទាប់មក log a q b n = n/q log a b ។ ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ឧទាហរណ៍នៃបញ្ហានិងវិសមភាព

ប្រភេទទូទៅបំផុតនៃបញ្ហាលោការីតគឺជាឧទាហរណ៍នៃសមីការ និងវិសមភាព។ ពួកវាត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងសៀវភៅបញ្ហាស្ទើរតែទាំងអស់ ហើយក៏ត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងផ្នែកចាំបាច់នៃការប្រឡងក្នុងគណិតវិទ្យាផងដែរ។ ដើម្បីចូលសកលវិទ្យាល័យ ឬប្រលងចូលរៀនមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យា អ្នកត្រូវដឹងពីរបៀបដោះស្រាយកិច្ចការទាំងនោះឲ្យបានត្រឹមត្រូវ។

ជាអកុសល មិនមានផែនការ ឬគ្រោងការណ៍តែមួយសម្រាប់ដោះស្រាយ និងកំណត់តម្លៃដែលមិនស្គាល់នៃលោការីត ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ច្បាប់មួយចំនួនអាចត្រូវបានអនុវត្តចំពោះវិសមភាពគណិតវិទ្យា ឬសមីការលោការីតនីមួយៗ។ ជាដំបូង អ្នកគួរតែស្វែងយល់ថាតើកន្សោមអាចត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញ ឬកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ទូទៅ។ អ្នក​អាច​សម្រួល​កន្សោម​លោការីត​វែង​បាន​ប្រសិន​បើ​អ្នក​ប្រើ​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​របស់​វា​បាន​ត្រឹមត្រូវ។ តោះមកស្គាល់ពួកគេឆាប់ៗនេះ។

នៅពេលដោះស្រាយសមីការលោការីត ចាំបាច់ត្រូវកំណត់ថាតើលោការីតប្រភេទណាដែលយើងមាននៅចំពោះមុខយើង៖ ឧទាហរណ៍នៃកន្សោមអាចមានលោការីតធម្មជាតិ ឬគោលដប់មួយ។

នេះគឺជាឧទាហរណ៍ ln100, ln1026 ។ ដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេធ្លាក់ចុះដល់ការពិតដែលថាអ្នកត្រូវកំណត់កម្រិតដែលមូលដ្ឋាន 10 នឹងស្មើនឹង 100 និង 1026 រៀងគ្នា។ សម្រាប់ដំណោះស្រាយលោការីតធម្មជាតិ ត្រូវតែអនុវត្តអត្តសញ្ញាណលោការីត ឬលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាលោការីតនៃប្រភេទផ្សេងៗ។

របៀបប្រើរូបមន្តលោការីត៖ ជាមួយឧទាហរណ៍ និងដំណោះស្រាយ

ដូច្នេះសូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់ទ្រឹស្តីបទសំខាន់ៗលើលោការីត។

1. ទ្រព្យសម្បត្តិនៃលោការីតនៃផលិតផលអាចត្រូវបានប្រើនៅក្នុងភារកិច្ចដែលវាចាំបាច់ដើម្បីបំបែកតម្លៃដ៏ធំនៃលេខ b ទៅជាកត្តាសាមញ្ញជាង។ ឧទាហរណ៍ log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. ចំលើយគឺ 9 ។
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - ដូចដែលអ្នកបានឃើញ ដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិទីបួននៃដឺក្រេនៃលោការីត យើងបានដោះស្រាយនៅ glance ដំបូងនូវកន្សោមស្មុគស្មាញ និងមិនអាចដោះស្រាយបាន។ វាគ្រាន់តែជាការចាំបាច់ដើម្បីធ្វើកត្តាមូលដ្ឋាន ហើយបន្ទាប់មកយកតម្លៃនិទស្សន្តចេញពីសញ្ញានៃលោការីត។

ភារកិច្ចពីការប្រឡង

លោការីតត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់នៅក្នុងការប្រឡងចូល ជាពិសេសបញ្ហាលោការីតជាច្រើននៅក្នុងការប្រឡង Unified State (ការប្រឡងរដ្ឋសម្រាប់និស្សិតបញ្ចប់ការសិក្សាទាំងអស់)។ ជាធម្មតាភារកិច្ចទាំងនេះមានវត្តមានមិនត្រឹមតែនៅក្នុងផ្នែក A (ផ្នែកសាកល្បងងាយស្រួលបំផុតនៃការប្រឡង) ប៉ុន្តែក៏មាននៅក្នុងផ្នែក C (កិច្ចការដែលពិបាកបំផុតនិងភ្លឺបំផុត) ។ ការប្រឡងបង្កប់នូវចំណេះដឹងត្រឹមត្រូវ និងល្អឥតខ្ចោះនៃប្រធានបទ "លោការីតធម្មជាតិ"។

ឧទាហរណ៍ និងការដោះស្រាយបញ្ហាត្រូវបានយកចេញពីកំណែផ្លូវការនៃការប្រឡង។ តោះមើលពីរបៀបដែលភារកិច្ចបែបនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

កំណត់ហេតុ 2 (2x-1) = 4. ដំណោះស្រាយ៖
ចូរយើងសរសេរកន្សោមឡើងវិញ ដោយធ្វើឱ្យវាសាមញ្ញបន្តិច កំណត់ហេតុ 2 (2x-1) = 2 2 ដោយនិយមន័យលោការីត យើងទទួលបានថា 2x-1 = 2 4 ដូច្នេះ 2x = 17; x = 8.5 ។

• លោការីត​ទាំងអស់​ត្រូវ​បាន​កាត់​បន្ថយ​យ៉ាង​ល្អ​បំផុត​ទៅ​ជា​មូលដ្ឋាន​ដូច​គ្នា ដើម្បី​កុំ​ឱ្យ​ដំណោះស្រាយ​មាន​ភាព​ស្មុគស្មាញ និង​ច្របូកច្របល់។
• កន្សោមទាំងអស់នៅក្រោមសញ្ញាលោការីតត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញថាជាវិជ្ជមាន ដូច្នេះនៅពេលដកចេញនិទស្សន្តនៃនិទស្សន្តនៃលោការីតដែលស្ថិតនៅក្រោមសញ្ញាលោការីត និងជាមូលដ្ឋានរបស់វា កន្សោមដែលនៅសល់នៅក្រោមលោការីតត្រូវតែវិជ្ជមាន។

បានមកពីនិយមន័យរបស់វា។ ដូច្នេះលោការីតនៃលេខ ខដោយហេតុផល កបានកំណត់ថាជានិទស្សន្តដែលចំនួនត្រូវតែលើកឡើង កដើម្បីទទួលបានលេខ ខ(លោការីតមានសម្រាប់តែលេខវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ)។

ពីរូបមន្តនេះវាធ្វើតាមការគណនា x=log a bស្មើនឹងការដោះស្រាយសមីការ ax=b.ឧទាហរណ៍, កំណត់ហេតុ 2 8 = 3ដោយសារតែ 8 = 2 3 . ការបង្កើតលោការីតធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវថាប្រសិនបើ b=a គបន្ទាប់មកលោការីតនៃលេខ ខដោយហេតុផល កស្មើ ជាមួយ. វាក៏ច្បាស់ដែរថាប្រធានបទនៃលោការីតគឺទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងប្រធានបទនៃអំណាចនៃចំនួនមួយ។

ជាមួយនឹងលោការីត ដូចជាលេខណាមួយ អ្នកអាចអនុវត្តបាន។ ប្រតិបត្តិការបូកដកនិងផ្លាស់ប្តូរតាមគ្រប់មធ្យោបាយ។ ប៉ុន្តែដោយមើលឃើញពីការពិតដែលថាលោការីតមិនមែនជាលេខធម្មតាទេ ច្បាប់ពិសេសផ្ទាល់ខ្លួនរបស់ពួកគេត្រូវបានអនុវត្តនៅទីនេះ ដែលត្រូវបានគេហៅថា លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាន.

ការបូកនិងដកលោការីត។

យកលោការីតពីរដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា៖ កំណត់ហេតុ xនិង កំណត់ហេតុ a y. បន្ទាប់មកយកវាចេញ វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីអនុវត្តប្រតិបត្តិការបូក និងដក៖

log a x+ log a y = log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y) ។

កំណត់ហេតុ ក(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = កំណត់ហេតុ x 1 + កំណត់ហេតុ x 2 + កំណត់ហេតុ x 3 + ... + កំណត់ហេតុ a x k.

ពី ទ្រឹស្តីបទលោការីតកូតាទ្រព្យសម្បត្តិមួយបន្ថែមទៀតនៃលោការីតអាចទទួលបាន។ វាត្រូវបានគេស្គាល់យ៉ាងច្បាស់ថាកំណត់ហេតុ ក 1=0 ដូច្នេះ

កំណត់ហេតុ ក 1 /ខ= កំណត់ហេតុ ក 1 - កំណត់ហេតុ ក ខ= - កំណត់ហេតុ ក ខ.

ដូច្នេះមានភាពស្មើគ្នា៖

log a 1 / b = - log a b ។

លោការីតនៃចំនួនទៅវិញទៅមកពីរនៅលើមូលដ្ឋានដូចគ្នានឹងខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកតែនៅក្នុងសញ្ញា។ ដូច្នេះ៖

កំណត់ហេតុ 3 9= - កំណត់ហេតុ 3 1/9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125 ។