Dados de referência sobre a função exponencial são fornecidos - propriedades básicas, gráficos e fórmulas. considerado próximas perguntas: domínio de definição, conjunto de valores, monotonicidade, função inversa, derivada, integral, expansão em série de potência e representação por meio de números complexos.

Definição

Função exponencial é uma generalização do produto de n números igual a a :
y (n) = a n = a a a a,
ao conjunto dos números reais x:
y (x) = x.
Aqui a é um número real fixo, que é chamado a base da função exponencial.
Uma função exponencial com base a também é chamada exponencial para basear um.

A generalização é feita da seguinte forma.
Para naturais x = 1, 2, 3,... , a função exponencial é o produto de x fatores:
.
Além disso, possui as propriedades (1,5-8) (), que decorrem das regras de multiplicação de números. Em valores zero e negativos de números inteiros, a função exponencial é determinada pelas fórmulas (1.9-10). No valores fracionários x = m/n números racionais, , é determinado pela fórmula (1.11). Para real , a função exponencial é definida como limite de sequência:
,
onde é uma sequência arbitrária de números racionais convergindo para x : .
Com esta definição, a função exponencial é definida para todo , e satisfaz as propriedades (1.5-8), assim como para x natural.

Uma formulação matemática rigorosa da definição de uma função exponencial e uma prova de suas propriedades são fornecidas na página "Definição e prova das propriedades de uma função exponencial".

Propriedades da função exponencial

A função exponencial y = a x tem as seguintes propriedades no conjunto dos números reais ():
(1.1) é definido e contínuo, para , para todos ;
(1.2) quando um ≠ 1 tem muitos significados;
(1.3) estritamente aumenta em , estritamente diminui em ,
é constante em ;
(1.4) no ;
no ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Outras fórmulas úteis
.
A fórmula para converter para uma função exponencial com uma base de potência diferente:

Para b = e , obtemos a expressão da função exponencial em termos do expoente:

valores privados

, , , , .

A figura mostra gráficos da função exponencial
y (x) = x
para quatro valores bases de grau:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 e um = 1/8 . Pode-se ver que para a > 1 função exponencial é monotonicamente crescente. Quão mais básico grau a , mais forte é o crescimento. No 0 < a < 1 função exponencial é monotonicamente decrescente. Quanto menor o expoente a, mais forte diminuição.

Ascendente, descendente

A função exponencial em é estritamente monotônica, portanto não possui extremos. Suas principais propriedades são apresentadas na tabela.

	y = a x , a > 1	y = x, 0 < a < 1
Domínio	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Faixa de valores	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monótono	aumenta monotonicamente	diminui monotonicamente
Zeros, y= 0	Não	Não
Pontos de interseção com o eixo y, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Função inversa

O recíproco de uma função exponencial com uma base de grau a é o logaritmo para a base a.

Se então
.
Se então
.

Diferenciação da função exponencial

Para diferenciar uma função exponencial, sua base deve ser reduzida ao número e, aplique a tabela de derivadas e a regra de diferenciação função complexa.

Para fazer isso, você precisa usar a propriedade dos logaritmos
e a fórmula da tabela de derivadas:
.

Seja dada uma função exponencial:
.
Nós trazemos para a base e:

Aplicamos a regra de diferenciação de uma função complexa. Para fazer isso, introduzimos uma variável

Então

Da tabela de derivadas temos (substitua a variável x por z ):
.
Como é uma constante, a derivada de z em relação a x é
.
De acordo com a regra de diferenciação de uma função complexa:
.

Derivada da função exponencial

.
Derivada de enésima ordem:
.
Derivação de fórmulas > > >

Um exemplo de diferenciação de uma função exponencial

Encontrar a derivada de uma função
y= 35 x

Solução

Expressamos a base da função exponencial em termos do número e.
3 = e log 3
Então
.
Introduzimos uma variável
.
Então

Da tabela de derivadas encontramos:
.
Porque o 5ln 3é uma constante, então a derivada de z em relação a x é:
.
Pela regra de diferenciação de uma função complexa, temos:
.

Responda

Integrante

Expressões em termos de números complexos

Considere a função número complexo z:
f (z) = z
onde z = x + iy ; eu 2 = - 1 .
Expressamos a constante complexa a em termos do módulo r e do argumento φ :
a = r e i φ
Então


.
O argumento φ não é definido exclusivamente. NO visão geral
φ = φ 0 + 2 pn,
onde n é um número inteiro. Portanto, a função f (z) também é ambíguo. Muitas vezes considerado sua principal importância
.

Expansão em série

.

Referências:
DENTRO. Bronstein, K. A. Semendyaev, Manual de Matemática para Engenheiros e Estudantes de Instituições de Ensino Superior, Lan, 2009.

O sinal do módulo é talvez um dos fenômenos mais interessantes da matemática. Nesse sentido, muitos alunos têm dúvidas sobre como construir gráficos de funções contendo um módulo. Vamos examinar esta questão em detalhes.

1. Funções de plotagem contendo um módulo

Exemplo 1

Plote a função y = x 2 – 8|x| + 12.

Solução.

Vamos definir a paridade da função. O valor de y(-x) é o mesmo que o valor de y(x), então dada função até. Então seu gráfico é simétrico em relação ao eixo Oy. Construímos um gráfico da função y \u003d x 2 - 8x + 12 para x ≥ 0 e exibimos simetricamente o gráfico relativo a Oy para x negativo (Fig. 1).

Exemplo 2

O próximo gráfico é y = |x 2 – 8x + 12|.

– Qual é o alcance da função proposta? (y ≥ 0).

- Como está o gráfico? (Acima ou tocando o eixo x).

Isso significa que o gráfico da função é obtido da seguinte maneira: eles plotam a função y \u003d x 2 - 8x + 12, deixam a parte do gráfico que fica acima do eixo Ox inalterada e a parte do gráfico que fica sob o eixo das abcissas é exibido simetricamente em relação ao eixo Ox (Fig. 2).

Exemplo 3

Para plotar a função y = |x 2 – 8|x| + 12| realizar uma combinação de transformações:

y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| +12|.

Resposta: figura 3.

As transformações consideradas são válidas para todos os tipos de funções. Vamos fazer uma tabela:

2. Funções de plotagem contendo "módulos aninhados" na fórmula

Já vimos exemplos de uma função quadrática contendo um módulo, bem como com regras gerais plotando funções da forma y = f(|x|), y = |f(x)| e y = |f(|x|)|. Essas transformações nos ajudarão ao considerar o exemplo a seguir.

Exemplo 4

Considere uma função da forma y = |2 – |1 – |x|||. A expressão que define a função contém "módulos aninhados".

Solução.

Usamos o método das transformações geométricas.

Vamos anotar uma cadeia de transformações sucessivas e fazer o desenho correspondente (Fig. 4):

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

Considere os casos em que as transformações de simetria e transferência paralela não são a principal técnica para traçar gráficos.

Exemplo 5

Construa um gráfico de uma função da forma y \u003d (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2.

Solução.

Antes de plotar um gráfico, transformamos a fórmula que define a função e obtemos outra tarefa analítica funções (Fig. 5).

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.

Vamos expandir o módulo no denominador:

Para x > -2, y = x - 2, e para x< -2, y = -(x – 2).

Domínio D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Faixa E(y) = (-4; +∞).

Pontos de interseção do gráfico com o eixo de coordenadas: (0; -2) e (2; 0).

A função diminui para todo x do intervalo (-∞; -2), aumenta para x de -2 para +∞.

Aqui tivemos que revelar o sinal do módulo e plotar a função para cada caso.

Exemplo 6

Considere a função y = |x + 1| – |x – 2|.

Solução.

Expandindo o sinal do módulo, é necessário considerar todas as combinações possíveis de sinais das expressões do submódulo.

Existem quatro casos possíveis:

(x + 1 - x + 2 = 3, com x ≥ -1 ex ≥ 2;

(-x - 1 + x - 2 = -3, com x< -1 и x < 2;

(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, para x ≥ -1 e x< 2;

(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, com x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Então função original vai parecer:

(3, para x ≥ 2;

y = (-3, em x< -1;

(2x – 1, com -1 ≤ x< 2.

Pegou função por partes, cujo gráfico é mostrado na Figura 6.

3. Algoritmo para construção de gráficos de funções da forma

y = a 1 | x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + machado + b.

No exemplo anterior, foi fácil expandir os sinais do módulo. Se houver mais somas de módulos, é problemático considerar todas as combinações possíveis de sinais de expressões de submódulo. Como podemos representar graficamente a função neste caso?

Observe que o gráfico é uma polilinha, com vértices nos pontos tendo abcissas -1 e 2. Para x = -1 e x = 2, as expressões do submódulo são iguais a zero. De forma prática, abordamos a regra para construção de tais gráficos:

Gráfico de uma função da forma y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b é uma linha quebrada com links finais infinitos. Para construir tal polilinha, basta conhecer todos os seus vértices (as abcissas dos vértices são zeros das expressões do submódulo) e um ponto de controle cada um dos links infinitos esquerdo e direito.

Uma tarefa.

Plote a função y = |x| + |x – 1| + |x + 1| e encontre seu menor valor.

Solução:

Zeros de expressões de submódulo: 0; -1; 1. Vértices da polilinha (0; 2); (-13); (13). Ponto de controle à direita (2; 6), à esquerda (-2; 6). Construímos um gráfico (Fig. 7). mín f(x) = 2.

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transcrição

1 Regional congresso científico e prático trabalho educacional e de pesquisa de alunos nas séries 6-11 "Aplicado e questões fundamentais matemática "Aspectos metodológicos do estudo da matemática Construção de gráficos de funções contendo o módulo Gabova Anzhela Yurievna, 10ª série, MOBU "Gymnasium 3" Kudymkar, Pikuleva Nadezhda Ivanovna, professora de matemática MOBU "Gymnasium 3" Kudymkar Perm, 2016

2 Conteúdo: Introdução...página 3 I. Corpo principal...página 6 1.1 Referência de histórico.. 6 p. 2.Definições básicas e propriedades de funções p. 2.1 função quadrática..7 p.2.2 Função linear...8 p.2.3 Função fracionária-racional p.8 3. Algoritmos gráficos com módulo 9 p.3.1 Definição do módulo.. 9 p. Função linear com módulo...9 p. 3.3 Representação gráfica de funções contendo "módulos aninhados" na fórmula.10 p. 3.5 Algoritmo para construir um gráfico de uma função quadrática com módulo. 14 p. 3.6 Algoritmo para construir um gráfico de um racional fracionário função com módulo. 15p. 4. Mudanças no gráfico de uma função quadrática dependendo da localização do sinal valor absoluto..17p. II. Conclusão ... 26 p.III. Lista de referências e fontes... 27 p.IV. Aplicação...28p. 2

3 Introdução As funções de plotagem são uma delas. tópicos interessantes dentro matemática escolar. O maior matemático de nosso tempo, Israel Moiseevich Gelfand, escreveu: “O processo de plotagem é uma forma de transformar fórmulas e descrições em imagens geométricas. Essa plotagem é um meio de ver fórmulas e funções e ver como essas funções mudam. Por exemplo, se y \u003d x 2 estiver escrito, você verá imediatamente uma parábola; se y = x 2-4, você vê uma parábola reduzida em quatro unidades; se y \u003d - (x 2 4), então você vê a parábola anterior virada para baixo. Esta capacidade de ver a fórmula de uma vez, e sua interpretação geométricaé importante não só para o estudo da matemática, mas também para outras disciplinas. É uma habilidade que fica com você por toda a vida, como aprender a andar de bicicleta, digitar ou dirigir um carro." Os fundamentos da resolução de equações com módulos foram obtidos no 6º 7º ano. Escolhi este tema específico porque acredito que requer um estudo mais profundo e aprofundado. Eu quero obter mais conhecimento sobre o módulo de um número, várias maneiras construção de gráficos contendo o sinal do valor absoluto. Quando as equações “padrão” de retas, parábolas, hipérboles incluem o sinal do módulo, seus gráficos tornam-se incomuns e até bonitos. Para aprender a construir esses gráficos, você precisa dominar as técnicas de construção de figuras básicas, bem como conhecer e entender com firmeza a definição do módulo de um número. NO curso escolar a matemática dos gráficos com um módulo não é considerada com profundidade suficiente, por isso quis expandir meus conhecimentos sobre esse tema, para realizar minha própria pesquisa. Sem conhecer a definição do módulo, é impossível construir até mesmo o mais gráficos simples, contendo um valor absoluto. característica gráficos de função contendo expressões com sinal de módulo, 3

4 é a presença de dobras nos pontos em que a expressão sob o sinal do módulo muda de sinal. O objetivo do trabalho: propor a construção de um gráfico de equações lineares, quadráticas e fracionárias funções racionais, contendo uma variável sob o sinal do módulo. Tarefas: 1) Estudar a literatura sobre as propriedades do valor absoluto de linear, quadrático e fracionalmente racional funções. 2) Investigar mudanças nos gráficos de funções dependendo da localização do sinal do valor absoluto. 3) Aprenda a traçar gráficos de equações. Objeto de estudo: gráficos de funções lineares, quadráticas e fracionalmente racionais. Objeto de estudo: mudanças no gráfico de funções lineares, quadráticas e racionais fracionárias dependendo da localização do sinal do valor absoluto. Significado prático meu trabalho é: 1) em utilizar os conhecimentos adquiridos sobre o tema, bem como aprofundá-los e aplicá-los a outras funções e equações; 2) no uso de habilidades trabalho de pesquisa no futuro aprendendo atividades. Relevância: Tarefas gráficas são tradicionalmente uma das mais tópicos difíceis matemática. Nossos graduados enfrentam o problema de passar com sucesso no GIA e no Exame Estadual Unificado. Problema de pesquisa: plotar funções contendo o sinal de módulo da segunda parte do GIA. Hipótese de pesquisa: aplicativo desenvolvido com base em maneiras comuns construindo gráficos de funções contendo o sinal do módulo, os métodos para resolver tarefas da segunda parte do GIA permitirão aos alunos resolver essas tarefas 4

5 de forma consciente, escolha o mais método racional soluções, aplicar métodos diferentes decisão e passar com sucesso no GIA. Métodos de pesquisa utilizados no trabalho: 1. Análise da literatura matemática e recursos da Internet sobre este tema. 2. Reprodução reprodutiva do material estudado. 3.Informativo- atividade de pesquisa. 4. Análise e comparação de dados em busca de solução de problemas. 5. Declaração de hipóteses e sua verificação. 6. Comparação e generalização fatos matemáticos. 7. Análise dos resultados obtidos. Ao escrever este trabalho, utilizamos as seguintes fontes: recursos da Internet, testes OGE, literatura matemática. 5

6 I. Parte principal 1.1 Antecedentes históricos. Na primeira metade do século XVII, a ideia de uma função como dependência de um variável de outro. Então, matemáticos franceses Pierre Fermat () e Rene Descartes () imaginaram uma função como uma dependência da ordenada de um ponto de curva em sua abcissa. E o inglês cientista Isaac Newton () entendia uma função como uma coordenada variável no tempo de um ponto em movimento. O termo "função" (do desempenho de função latina, comissão) foi introduzido pela primeira vez pelo matemático alemão Gottfried Leibniz (). Ele associou uma função a uma imagem geométrica (um gráfico de uma função). Mais tarde, o matemático suíço Johann Bernoulli () e membro da Academia de Ciências de São Petersburgo, o famoso matemático do século 18 Leonhard Euler () considerou a função como expressão analítica. Euler também tem entendimento comum funções como dependências de uma variável em outra. A palavra "módulo" vem da palavra latina "módulo", que significa "medida" na tradução. isto palavra polissemântica(homônimo), que tem muitos significados e é usado não só em matemática, mas também em arquitetura, física, engenharia, programação e outros ciências exatas. Na arquitetura, esta é a unidade de medida inicial definida para um determinado estrutura arquitetônica e servindo para expressar múltiplas proporções de sua elementos constituintes. Na engenharia, este é um termo usado em várias áreas tecnologia sem valor universal e servindo para designar vários coeficientes e quantidades tais como módulo de engate, módulo de elasticidade e semelhantes. 6

7 Módulo de massa (em física)-ratio voltagem normal no material ao alongamento relativo. 2. Definições básicas e propriedades das funções A função é uma das mais importantes conceitos matemáticos. Uma função é tal dependência da variável y na variável x, na qual cada valor da variável x corresponde a único significado variável y. Formas de definir uma função: 1) método analítico (a função é definida usando fórmula matemática); 2) maneira tabular(a função é definida usando a tabela); 3) método descritivo (a função é dada descrição verbal); 4) maneira gráfica(a função é definida usando um gráfico). O gráfico de uma função é o conjunto de todos os pontos plano coordenado, cujas abcissas são iguais ao valor do argumento, e cujas ordenadas são iguais aos valores correspondentes da função. 2.1 Função quadrática numeros reais, e a = 0, é chamada quadrática. O gráfico da função y \u003d ax 2 + in + c é uma parábola; o eixo de simetria da parábola y \u003d ax 2 + in + c é uma linha reta, para a> 0 os “ramos” da parábola são direcionados para cima, para a<0 вниз. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: 1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости; 2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией.,. 2.2Линейная функция функция вида 7

8 (para funções de uma variável). A principal propriedade das funções lineares é que o incremento da função é proporcional ao incremento do argumento. Ou seja, a função é uma generalização da proporcionalidade direta. O gráfico de uma função linear é uma linha reta, daí seu nome. Trata-se de uma função real de uma variável real. 1) Em, a linha reta forma um ângulo agudo com a direção positiva do eixo x. 2) Quando, a linha forma um ângulo obtuso com a direção positiva do eixo x. 3) é um indicador da ordenada do ponto de interseção da linha com o eixo y. 4) Quando, a reta passa pela origem. , 2.3 Uma função fracionário-racional é uma fração cujo numerador e denominador são polinômios. Tem a forma onde, polinômios em qualquer número de variáveis. As funções racionais de uma variável são um caso especial: onde e são polinômios. 1) Qualquer expressão que pode ser obtida de variáveis ​​usando quatro operações aritméticas é uma função racional. oito

9 2) O conjunto das funções racionais é fechado sob as operações aritméticas e a operação de composição. 3) Qualquer função racional pode ser representada como uma soma de frações simples - isso é usado em integração analítica .., 3. Algoritmos para construir gráficos com um módulo se a for negativo. a = 3.2 Algoritmo para construir um gráfico de uma função linear com um módulo Para plotar os gráficos das funções y= x, você precisa saber que para x positivo temos x = x. Então para valores positivos do argumento do gráfico y= x coincide com o gráfico y=x, ou seja, esta parte do gráfico é um raio que sai da origem em um ângulo de 45 graus com o eixo das abcissas. Para x< 0 имеем x = -x; значит, для отрицательных x график y= x совпадает с биссектрисой второго координатного угла. Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y= x чётная, так как -a = a. Значит, график функции y= x симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:y= x 9

10 Para construção, tomamos pontos (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2). Agora vamos construir um gráfico y= x-1. Se A é o ponto gráfico y= x com coordenadas (a; a), então o ponto gráfico y= x-1 com o mesmo valor da ordenada Y será o ponto A1 (a+1; a). Este ponto do segundo gráfico pode ser obtido a partir do ponto A(a; a) do primeiro gráfico deslocando-se paralelamente ao eixo Ox para a direita. Isso significa que todo o gráfico da função y= x-1 é obtido a partir do gráfico da função y= x deslocando paralelamente ao eixo Ox para a direita em 1. Vamos construir gráficos: y= x-1 Para construir, tomamos pontos (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1). 3.3 Construção de gráficos de funções contendo "módulos aninhados" na fórmula Vamos considerar o algoritmo de construção usando um exemplo específico.

11 y \u003d i-2-ix + 5ii 1. Construímos um gráfico da função. 2. Exibimos o gráfico do semiplano inferior para cima simetricamente em relação ao eixo OX e obtemos o gráfico da função. onze

12 3. Exibimos o gráfico da função para baixo simetricamente sobre o eixo OX e obtemos o gráfico da função. 4. Exibimos o gráfico da função para baixo simetricamente em relação ao eixo OX e obtemos o gráfico da função 5. Exibemos o gráfico da função em relação ao eixo OX e obtemos o gráfico. 12

13 6. Como resultado, o gráfico da função fica assim 3.4. Um algoritmo para construir gráficos de funções da forma y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b. No exemplo anterior, foi fácil expandir os sinais do módulo. Se houver mais somas de módulos, é problemático considerar todas as combinações possíveis de sinais de expressões de submódulo. Como podemos representar graficamente a função neste caso? Observe que o gráfico é uma polilinha, com vértices nos pontos tendo abcissas -1 e 2. Para x = -1 e x = 2, as expressões do submódulo são iguais a zero. De forma prática, abordamos a regra para a construção de tais gráficos: O gráfico de uma função da forma y \u003d a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b é uma polilinha com ligações extremas infinitas. Para construir tal polilinha, basta conhecer todos os seus vértices (as abcissas dos vértices são zeros das expressões do submódulo) e um ponto de controle cada um dos links infinitos esquerdo e direito. 13

14 Tarefa. Plote a função y = x + x 1 + x + 1 e encontre seu menor valor. Solução: 1. Zeros de expressões de submódulo: 0; -1; Vértices da polilinha (0; 2); (-13); (1; 3). (zeros de expressões de submódulo são substituídos na equação) Construímos um gráfico (Fig. 7), o menor valor da função é Algoritmo para traçar um gráfico de uma função quadrática com o módulo Elaborando algoritmos para converter gráficos de funções. 1.Construção de um gráfico da função y= f(x). De acordo com a definição do módulo, esta função é decomposta em um conjunto de duas funções. Portanto, o gráfico da função y= f(x) consiste em dois gráficos: y= f(x) no semiplano direito, y= f(-x) no semiplano esquerdo. Com base nisso, podemos formular uma regra (algoritmo). O gráfico da função y= f(x) é obtido a partir do gráfico da função y= f(x) da seguinte forma: em x 0 o gráfico é preservado e em x< 0полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ. 2.Построение графика функции y= f(x). а). Строим график функции y= f(x). б). Часть графика y= f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ. 14

15 3. Para construir um gráfico da função y= f(x), você deve primeiro representar graficamente a função y= f(x) para x> 0, depois para x< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ, а затем на интервалах, где f(x) <0,построить изображение, симметричное графику y= f(x) относительно оси ОХ. 4.Для построения графиков вида y = f(x)достаточно построить график функции y= f(x) для тех х из области определения, при которых f(х) 0, и отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс. Пример Построим график функции у = х 2 6х +5. Сначала построим параболу у= х 2 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = х 2-6х + 5, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1). Рис Алгоритм построения графика дробно рациональной функции с модулем 1. Начнем с построения графика В основе его лежит график функции и все мы знаем, как он выглядит: Теперь построим график 15

16 Para obter este gráfico, basta deslocar o gráfico obtido anteriormente três unidades para a direita. Observe que se o denominador da fração fosse x + 3, então deslocaríamos o gráfico para a esquerda: Agora precisamos multiplicar por dois todas as ordenadas para obter o gráfico da função Finalmente, deslocamos o gráfico duas unidades para cima : A última coisa que resta para nós é plotar a função dada se ela estiver incluída sob o sinal do módulo. Para fazer isso, refletimos simetricamente para cima toda a parte do gráfico, cujas ordenadas são negativas (a parte que fica abaixo do eixo x): Fig.4 16

17 4. Mudanças no gráfico de uma função quadrática dependendo da localização do sinal do valor absoluto. Trace a função y \u003d x 2 - x -3 1) Como x \u003d x em x 0, o gráfico necessário coincide com a parábola y \u003d 0,25 x 2 - x - 3. Se x<0, то поскольку х 2 = х 2, х =-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 + х) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график. (0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ. у =0, х 2 -х -3 = 0 х 2-4х -12 = 0 Имеем, х 1 = - 2; х 2 = 6. (-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ. Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной х. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4). Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0. b) Portanto, completo para x<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. 17

18 Fig. 4 O gráfico da função y \u003d f (x) coincide com o gráfico da função y \u003d f (x) no conjunto não valores negativos argumento e é simétrico a ele em relação ao eixo y no conjunto de valores negativos do argumento. Prova: Se x 0, então f (x) = f (x), ou seja, no conjunto de valores não negativos do argumento, os gráficos das funções y = f (x) e y = f (x) coincidem. Como y \u003d f (x) é uma função par, seu gráfico é simétrico em relação ao sistema operacional. Assim, o gráfico da função y \u003d f (x) pode ser obtido a partir do gráfico da função y \u003d f (x) da seguinte forma: 1. plote a função y \u003d f (x) para x>0; 2. Para x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Вывод: Для построения графика функции у = f (х) 1. построить график функции у = f(х) для х>0; 2. Para x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Построить график функции у = х 2-2х Освободимся от знака модуля по определению Если х 2-2х 0, т.е. если х 0 и х 2, то х 2-2х = х 2-2х Если х 2-2х<0, т.е. если 0<х< 2, то х 2-2х =- х 2 + 2х Видим, что на множестве х 0 и х 2 графики функции у = х 2-2х и у = х 2-2х совпадают, а на множестве (0;2) графики функции у = -х 2 + 2х и у = х 2-2х совпадают. Построим их. График функции у = f (х) состоит из части графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ. Построить график функции у = х 2 - х -6 1) Если х 2 - х -6 0, т.е. если х -2 и х 3, то х 2 - х -6 = х 2 - х

19 Se x 2 - x -6<0, т.е. если -2<х< 3, то х 2 - х -6 = -х 2 + х +6. Построим их. 2) Построим у = х 2 - х -6. Нижнюю часть графика симметрично отбражаем относительно ОХ. Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые. Работа на тетрадях. Докажем, что график функции у = f (х) совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 e parte simetricamente refletida y \u003d f (x) em y<0 относительно оси ОХ. Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий: у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х) <0 Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, então f (x) \u003d f (x), o que significa que nesta parte o gráfico da função y \u003d f (x) coincide com o gráfico da própria função y \u003d f (x). Se f(x)<0, то f (х) = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х). Вывод: действительно для построения графика функции у = f(х) достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5) 19

20 Fig.5 Conclusão: Para plotar a função y= f(x) 1. Plotar a função y=f(x) ; 2. Em áreas onde o gráfico está localizado no semiplano inferior, ou seja, onde f (x)<0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс. (Рис.6, 7.) 20

21 Trabalho de pesquisa sobre plotagem de gráficos de função y = f (x) Usando a definição do valor absoluto e os exemplos considerados anteriormente, plotamos os gráficos de função: y \u003d 2 x - 3 y \u003d x 2-5 x y \u003d x 2-2 e fez conclusões. Para construir um gráfico da função y = f (x) é necessário: 1. Construir um gráfico da função y = f (x) para x>0. 2. Construa a segunda parte do gráfico, ou seja, reflita o gráfico construído simetricamente em relação ao SO, porque esta função é par. 3. As seções do gráfico resultante localizadas no semiplano inferior devem ser convertidas para o semiplano superior simetricamente ao eixo OX. Construa um gráfico da função y \u003d 2 x - 3 (1º método para determinar o módulo) x< -1,5 и х>1,5 a) y = 2x - 3, para x>0 b) para x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Строим у = -2 х + 3, для 2 х - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5 а) у = -2х + 3, для х>0 b) para x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. У = 2 х - 3 1) Строим у = 2х-3, для х>0. 2) Construímos uma reta simétrica à construída em relação ao eixo OS. 3) As seções do gráfico localizadas no semiplano inferior são exibidas simetricamente em relação ao eixo OX. Comparando os dois gráficos, vemos que são iguais. 21

22 Exemplos de problemas Exemplo 1. Considere o gráfico da função y = x 2 6x +5. Como x é elevado ao quadrado, independentemente do sinal do número x após o quadrado, ele será positivo. Conclui-se que o gráfico da função y \u003d x 2-6x +5 será idêntico ao gráfico da função y \u003d x 2-6x +5, ou seja, gráfico de uma função que não contém um sinal de valor absoluto (Fig. 2). Fig.2 Exemplo 2. Considere o gráfico da função y \u003d x 2 6 x +5. Usando a definição do módulo de um número, substituímos a fórmula y \u003d x 2 6 x +5 Agora estamos lidando com uma atribuição de dependência por partes que é bem conhecida por nós. Vamos construir um gráfico assim: 1) construa uma parábola y \u003d x 2-6x +5 e circule essa parte dela, que é 22

23 corresponde a valores de x não negativos, ou seja, a parte à direita do eixo y. 2) no mesmo plano de coordenadas, construímos uma parábola y \u003d x 2 +6x +5 e circulamos a parte dela que corresponde a valores negativos de x, ou seja, a parte à esquerda do eixo y. As partes circuladas das parábolas juntas formam um gráfico da função y \u003d x 2-6 x +5 (Fig. 3). Fig.3 Exemplo 3. Considere o gráfico da função y \u003d x 2-6 x +5. Porque o gráfico da equação y \u003d x 2 6x +5 é igual ao gráfico da função sem o sinal do módulo (considerado no exemplo 2), segue-se que o gráfico da função y \u003d x 2 6 x +5 é idêntico ao gráfico da função y \u003d x 2 6 x +5 , considerado no exemplo 2 (Fig. 3). Exemplo 4. Vamos construir um gráfico da função y \u003d x 2 6x +5. Para fazer isso, construímos um gráfico da função y \u003d x 2-6x. Para obter dele o gráfico da função y \u003d x 2-6x, é necessário substituir cada ponto da parábola por uma ordenada negativa por um ponto com a mesma abcissa, mas com a ordenada oposta (positiva). Em outras palavras, a parte da parábola localizada abaixo do eixo x deve ser substituída por uma linha simétrica em relação ao eixo x. Porque precisamos construir um gráfico da função y \u003d x 2-6x +5, então o gráfico da função que consideramos y \u003d x 2-6x só precisa ser elevado ao longo do eixo y em 5 unidades (Fig .4). 23

24 Fig.4 Exemplo 5. Vamos construir um gráfico da função y \u003d x 2-6x + 5. Para fazer isso, usamos a conhecida função por partes. Encontre os zeros da função y \u003d 6x +5 6x + 5 \u003d 0 at. Considere dois casos: 1) Se, então a equação assume a forma y = x 2 6x -5. Vamos construir esta parábola e circundar aquela parte onde. 2) Se, então a equação assume a forma y \u003d x 2 + 6x +5. Vamos construir esta parábola e circundar aquela parte dela, que está localizada à esquerda do ponto com coordenadas (Fig. 5). 24

25 Fig.5 Exemplo6. Vamos plotar a função y \u003d x 2 6 x +5. Para fazer isso, traçaremos a função y \u003d x 2-6 x +5. Traçamos este gráfico no Exemplo 3. Como nossa função está completamente sob o sinal do módulo, para plotar o gráfico da função y \u003d x 2 6 x +5, você precisa de cada ponto do gráfico da função y \u003d x 2 6 x + 5 com uma ordenada negativa, substitua por um ponto com a mesma abcissa, mas com a ordenada oposta (positiva), ou seja. a parte da parábola localizada abaixo do eixo Ox deve ser substituída por uma linha simétrica em relação ao eixo Ox (Fig. 6). Fig.6 25

26 II. Conclusão "A informação matemática só pode ser usada de forma hábil e lucrativa se for dominada criativamente, de modo que o aluno veja por si mesmo como seria possível chegar a ela independentemente." UM. Kolmogorov. Essas tarefas são de grande interesse para os alunos do nono ano, pois são muito comuns nas provas do OGE. A capacidade de construir esses gráficos de funções permitirá que você passe no exame com mais sucesso. Os matemáticos franceses Pierre Fermat () e Rene Descartes () imaginaram uma função como uma dependência da ordenada de um ponto de curva em sua abcissa. E o cientista inglês Isaac Newton () entendeu a função como uma coordenada de um ponto em movimento que muda dependendo do tempo. 26

27 III. Lista de referências e fontes 1. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Coleção de problemas de álgebra para as séries 8 9: Proc. subsídio para os alunos da escola. e aulas com aprofundamento. estudar Matemática 2ª ed. M .: Iluminismo, Dorofeev G.V. Matemática. Álgebra. Funções. Análise de dados. Grau 9: m34 Proc. para estudos de educação geral. gerente 2ª ed., estereótipo. M .: Bustard, Solomonik V.S. Coleção de questões e problemas em matemática M .: "Escola superior", Yashchenko I.V. GIA. Matemática: opções típicas de exame: Sobre opções.m.: "Educação Nacional", p. 5. Yashchenko I.V. OGE. Matemática: opções típicas de exame: Sobre opções.m.: "Educação Nacional", p. 6. Yashchenko I.V. OGE. Matemática: opções típicas de exame: Sobre opções.m.: "Educação Nacional", p.

28 Apêndice 28

29 Exemplo 1. Plote a função y = x 2 8 x Solução. Vamos definir a paridade da função. O valor de y(-x) é o mesmo que o valor de y(x), então essa função é par. Então seu gráfico é simétrico em relação ao eixo Oy. Construímos um gráfico da função y \u003d x 2 8x + 12 para x 0 e exibimos o gráfico simetricamente em relação a Oy para x negativo (Fig. 1). Exemplo 2. O seguinte gráfico da forma y \u003d x 2 8x Isso significa que o gráfico da função é obtido da seguinte forma: eles constroem um gráfico da função y \u003d x 2 8x + 12, deixam a parte do gráfico que fica acima do eixo Ox inalterado, e a parte do gráfico que fica abaixo do eixo das abcissas é exibida simetricamente em relação ao eixo Ox (Fig. 2). Exemplo 3. Para plotar a função y \u003d x 2 8 x + 12, uma combinação de transformações é realizada: y \u003d x 2 8x + 12 y \u003d x 2 8 x + 12 y \u003d x 2 8 x Resposta : Figura 3. Exemplo 4 A expressão sob o sinal do módulo muda de sinal no ponto x=2/3. Em x<2/3 функция запишется так: 29

30 Para x>2/3, a função será escrita da seguinte forma: Ou seja, o ponto x=2/3 divide nosso plano de coordenadas em duas regiões, em uma das quais (à direita) construímos a função e na outro (à esquerda) o gráfico da função que construímos: Exemplo 5 Em seguida, o gráfico também está quebrado, mas possui dois pontos de interrupção, pois contém duas expressões sob os sinais do módulo:

31 Expanda os módulos no primeiro intervalo: No segundo intervalo: No terceiro intervalo: Assim, no intervalo (- ; 1.5] temos o gráfico escrito pela primeira equação, no intervalo o gráfico escrito pela segunda equação, e no intervalo)