Tipuri de paradoxuri

Există paradoxuri care apar într-o anumită zonă cunoștințe științificeîn procesul dezvoltării istorice a științei, când se constată o contradicție între un anumit sistem de cunoaștere stabilit și fapte noi, între direcțiile de cercetare fixate în anumite paradigme și noile descoperiri care nu se încadrează în aceste paradigme. Astfel, descoperirile științifice în cosmologie, fizică cuantică și biologie făcute în secolul al XX-lea contrazic teoriile clasice din aceste ramuri ale științei și sunt interpretate ca paradoxale din punctul de vedere al teoriilor clasice.

În fiecare industrie cunoștințe științifice apar paradoxuri specifice – fizice, chimice, biologice, matematice etc.

Paradoxurile care apar în cadrul unei anumite teorii științifice relevă inconsecvența însăși mișcării obiectelor materiale pe care știința le studiază, „dualitatea” naturii obiectului de studiu însuși, predeterminand regândirea principiilor și paradigmelor fundamentale ale o anumită știință. De exemplu, în teoria chimiei cuantice, se constată că un electron în jurul unui nucleu se află în orice moment în fiecare punct elementar al spațiului, deși un electron este o particulă elementară.

Tipuri de paradoxuri

Paradoxurile după tipurile de logică au fost clasificate în semantice și logice.

Paradoxurile semantice apar în raționament:

În procesul de legătură a expresiilor limbajului cu semnificația lor obiectivă, adică denotația;

Când se amestecă două niveluri de reprezentare simbolică a obiectelor considerațiilor, și anume nivelul limbajului obiect și metamovie;

Când folosiți abstract cronologie nedeterminată, sub care poți aduce orice obiect;

Când există o problemă de determinare a adevărului sau falsității afirmațiilor într-un anumit context.

Paradoxurile semantice includ: paradoxul „Mincinos”, paradoxul heterologic, paradoxul teoriei numelor, paradoxul (antinomia) relației de numire.

Paradoxul „mincinosului” al logicii este clasificat ca o antinomie. A fost formulat pentru prima dată de către filozoful grec antic Eubulide din Milet și are două variante de exprimare: 1. Cineva spune „mint”; 2. Epimenide cretan a spus: „Toți cretanii sunt mincinoși”.

Sensul paradoxului „Mincinos” constă în faptul că este imposibil să se determine fără echivoc adevărul sau falsitatea afirmației „Mint”. Deci, dacă Epimenide nu minte, atunci afirmația lui este adevărată și, prin urmare, Epimenide este un mincinos; dacă Epimenide minte, atunci afirmațiile lui sunt false, prin urmare, Epimenide nu este un mincinos. Obținem antinomia - „Epimenide minte și nu minte” sau „Afirmația „mint” este adevărată pentru că este falsă și falsă pentru că este adevărată”.

O altă modificare a paradoxului „Mincinosului” a fost formulată de logicianul englez P. Jourdain: „Afirmația scrisă pe prima față a acestei cărți este adevărată; iar pe cealaltă față a aceleiași cărți este scris: The statement written on the cealaltă parte a acestui card este falsă.” Dacă prima afirmație este adevărată, atunci este și a doua afirmație adevărată, deoarece prima afirmație afirmă că a doua afirmație este adevărată. Dar dacă a doua afirmație este adevărată, atunci „prima afirmație este falsă” este falsă. Deci, din cele două presupuneri posibile ale adevărului acestor două afirmații, se naște o contradicție.

Savanții au propus multe modalități de a rezolva paradoxul Mincinosului. De exemplu, logicianul polonez A. Tarski a propus să facă distincția clară între nivelurile de limbaj – obiect și metamovie. Sunt formulate afirmațiile „Mint”. limbaj obiect, iar faptul că este paradoxal este determinat la nivelul analizei sale metalogice prin intermediul metamovielor. Pentru a face acest lucru, este necesar să se creeze un limbaj formalizat care să conțină enunțurile A, predicatul de adevăr G. Formula P1 (A) g A (enunțul A este adevărat dacă și numai dacă A). Aceasta înseamnă: enunțul A este adevărat dacă și numai dacă enunțul A este adevărat, adică fixează (reflectează) existența obiectului la care se face referire în enunț.

Afirmația Epimenidei cretane „Toți cretanii sunt mincinoși” este exprimată și în limbaj obiect. Potrivit analizei metalogice, Epimenide este și un mincinos, deoarece el, ca cretan, aparține clasei de locuitori a insulei Creta. Dacă Epimenide nu ar fi cretan, atunci afirmația „Toți cretanii sunt mincinoși” nu ar fi paradoxală.

Paradoxul heterologic a fost formulat de K. Grelling (1886 - 1941). Acesta este un paradox care apare ca urmare a evidențierii unor astfel de expresii de vorbire ca adjective, al căror sens este proprietăți, de exemplu, „roșu”, „nou”, „vechi”, „ucraineană”. Un cuvânt care are proprietatea P, al cărui nume este, se numește autologic. Un cuvânt care nu este autologic se numește heterologic. Dacă un cuvânt (adjectiv) denotă o proprietate inerentă în sine, atunci se numește autologic. Acesta este, de exemplu, cuvântul „ucrainean”, iar cuvintele „alb”, „negru” nu sunt cuvinte autologice, prin urmare, sunt eterologice. Cărui fel de cuvinte – autologice sau heterologice îi aparține cuvântul „eterologic”? Obținem o antinomie: „Dacă cuvântul „eterologic” este heterologic, atunci nu este heterologic, iar dacă nu este heterologic, atunci este heterologic”.

Paradoxul teoriei numelor este un paradox semantic care a apărut în cadrul teoriei semanticii logice, care a fost dezvoltată de G. Frege, B. Russell, G. Carnap și alți logicieni, înlocuind nume dat descriere și invers, o descriere a numelui propriu (vezi 2.2.4). Un nume propriu este un simplu semn care denotă un singur obiect (individual). Descriere - semn complex, care definește proprietățile unui obiect sau relațiile dintre clase. Dacă într-un anumit context se înlocuiește propriul nume cu o descriere, atunci apare un paradox semantic. De exemplu, pentru By. Russell, numele propriu „Walter Scott” și descrierea „autor al lui Waverley” indică un subiect, respectiv, afirmația „Regele Henric al IV-lea vrea să știe dacă Walter Scott este autorul lui Waverley” nu conține un paradox, dar dacă numele propriu este înlocuit „Walter Scott”, descrierea „autorului lui Waverley”, obținem afirmația: „Regele Henric al IV-lea vrea să știe dacă Walter Scott este Walter Scott”, ceea ce este paradoxal.

Paradoxurile logice sunt paradoxuri care au apărut în cadrul unei anumite teorii logice în procesul de dezvoltare a științei logicii. Paradoxurile logice includ paradoxurile implicației materiale, paradoxurile implicației stricte, paradoxurile logicii epistemice, paradoxurile logicii existenței etc. (conținutul acestor paradoxuri va fi determinat în contextul analizei unei anumite teorii logice în care aceste paradoxuri apărea).

Paradoxul teoriei claselor (multimilor). În teoria logico-matematică a claselor (mulțimii), logicianul și matematicianul englez B. Russell a descoperit o inconsecvență logică, care a fost numită paradoxul (antinomia) claselor (mulțimii). Toate seturile pot fi împărțite în următoarele tipuri: 1. Mulțimi care nu sunt elemente ale lor. Astfel de seturi sunt numite propriu-zise. De exemplu, mulțimea tuturor stărilor, a tuturor numerelor naturale, a tuturor cărților din biblioteca stiintifica Universitatea din orașul N. etc. 2. Mulțimi care sunt elemente ale lor. Astfel de seturi sunt numite improprii. Primul tip de mulțimi este notat cu simbolul M., iar al doilea - prin simbolul M2. În plus, presupunem că este posibil să se formeze o mulțime M din acele și numai acele mulțimi care sunt proprii, adică toate acele mulțimi care nu se conțin ca elemente. Aceasta este plural- - este contradictorie, deoarece, prin definitie, apartine numarului elementelor sale daca si numai daca nu apartine numarului lor.

Pentru a rezolva paradoxul teoriei multimilor By. Russell a dezvoltat o teorie a tipurilor, a cărei esență este aceasta. Toate seturile pot fi împărțite în tipuri, fiecare dintre ele separând elemente care aparțin doar unui tip și nu aparțin altuia. Așa se creează o ierarhie de tipuri de mulțimi: tipul nul conține doar elemente care au proprietatea P, primul tip conține elemente care au proprietățile G.; al doilea tip - are proprietăți P2 și mai mici. Fiecare tip înseamnă un anumit nivel de abstractizare şi generalizare a mulţimilor: a) o mulţime obişnuită; b) un set neobișnuit (mulțimea tuturor mulțimilor), adică o mulţime care se conţine ca element. Cărui mulţime îi aparţine mulţimea tuturor mulţimilor obişnuite? Potrivit lui B. Russell, teoria tipurilor face posibilă de asemenea evidențierea ierarhiei mulțimilor și, prin urmare, depășirea paradoxului teoriei mulțimilor.

Versiunile populare ale paradoxului teoriei mulțimilor sunt paradoxurile „Primarul municipiului” și „Coaforul”.

Paradoxul „primarului municipalității” a fost formulat de logicianul american S. Kleene (1909-1994) ca o variantă populară a paradoxului teoriei mulțimilor. „Fiecare municipalitate din Olanda trebuie să aibă un primar, iar două municipalități diferite nu pot avea același primar. Uneori se dovedește că primarul nu locuiește în municipiul său. Presupunem că a fost adoptată o lege conform căreia este alocată o anumită zonă. numai pentru astfel de primari care nu locuiesc in municipiile lor, iar el ii obliga pe toti primarii sa se stabileasca in acest teritoriu.Sa presupunem si ca sunt atatia primari incat acest teritoriu N. formeaza municipiu.Unde ar trebui primarul municipiului Y. Trăi?"

Paradoxul Barber este a doua variantă populară a paradoxului teoriei mulțimilor. „Bărbierul îi rade pe cei și numai pe acei bărbați dintr-un sat care nu se rad singuri. Sau bărbierul se rade singur?”

Aristotel. Lucrări: În 4 volume - M., 1978. Belnap N., Steele T. Logica întrebărilor și răspunsurilor. - M., 1981. Voishvillo E. Conceptul ca formă de gândire. - M., 1989. G. von Wright. Paradoxul heterologic // Cercetări logico-filosofice. - M., 1986.

Jolls K. Introducere în logica modernă. - K., 1992.

Ivin A. Arta de a gândi corect. - M., 1986.

Ivin A. Logic. - K., 1996.

Kayberg G. Probabilitatea și logica inductivă. - M., 1978. Kant I. Lucrări: În 6 volume - M., 1964. Konversky A. Logica (tradițională și modernă). - K., 2004. Kondakov N. Dicționar logic-carte de referință. - M., 1975. Leibniz G. Lucrări: În 4 volume - M., 1984. Dicționar logic „Defort”. - M., 1994. Minto V. Logica deductivă şi inductivă. - S.-Pb., 1995.

Frege G. Logica si semantica logica. - M., 2000. Khomenko I. Logica pentru avocaţi. - K., 2001. Shuman A. Modern logic: Theory and practice. - M., 2004.

Kotarbinski T. Kurs logiki. - Varzawa, 1955.

Se știe că formularea unei probleme este adesea mai importantă și mai dificilă decât rezolvarea acesteia. „În știință”, a scris chimistul englez F. Soddy, „o problemă pusă corect este rezolvată mai mult de jumătate. Procesul de pregătire mentală necesar pentru a afla că există o anumită sarcină durează adesea mai mult timp decât sarcina în sine.

Formele în care se manifestă și se realizează situația problemă sunt foarte diverse. Departe de a fi întotdeauna, ea se dezvăluie sub forma unei întrebări directe care a apărut chiar la începutul studiului. Lumea problemelor este la fel de complexă ca și procesul de cunoaștere care le generează. Identificarea problemelor este la baza gândirii creative. Paradoxurile sunt cele mai multe caz interesant moduri implicite, neîntâmpinate de a pune probleme. Paradoxurile sunt frecvente în stadiile incipiente ale dezvoltării teoriilor științifice, când primii pași sunt făcuți într-un domeniu încă neexplorat și cel mai principii generale apropie de ea.

Paradoxuri și logică

Într-un sens larg, un paradox este o poziție care diferă brusc de opiniile general acceptate, stabilite, ortodoxe. „Opiniile general acceptate și ceea ce este considerat o chestiune de mult decisă, de cele mai multe ori merită cercetare” (G. Lichtenberg). Paradoxul este începutul unei astfel de cercetări.

Un paradox într-un sens mai restrâns și mai specializat sunt două afirmații opuse, incompatibile, pentru fiecare dintre care există argumente aparent convingătoare.

Cea mai ascuțită formă de paradox este antinomia, raționament care dovedește echivalența a două afirmații, dintre care unul este o negație a celuilalt.

Paradoxurile în cele mai riguroase şi științe exacte- matematica si logica. Și asta nu este o coincidență.

Logica este o știință abstractă. Nu există experimente în ea, nici măcar fapte în sensul obișnuit al cuvântului. În construirea sistemelor sale, logica pornește în cele din urmă din analiza gândirii reale. Dar rezultatele acestei analize sunt sintetice, nediferențiate. Ele nu sunt declarații ale unor procese sau evenimente separate pe care teoria ar trebui să le explice. Evident, o astfel de analiză nu poate fi numită observație: se observă întotdeauna un fenomen concret.

Construind o nouă teorie, omul de știință pleacă de obicei de la fapte, de la ceea ce se poate observa în experiment. Oricât de liberă ar fi imaginația lui creatoare, ea trebuie să țină cont de o circumstanță indispensabilă: o teorie are sens numai dacă este de acord cu faptele referitoare la ea. O teorie care nu este de acord cu faptele și observațiile este exagerată și nu are valoare.

Dar dacă nu există experimente în logică, nici fapte și nici observație în sine, atunci ce împiedică fantezia logică? Ce factori, dacă nu fapte, sunt luați în considerare atunci când se creează noi teorii logice?

Discrepanța dintre teoria logică și practica gândirii reale se dezvăluie adesea sub forma unui paradox logic mai mult sau mai puțin acut și uneori chiar sub forma unei antinomii logice, care vorbește despre inconsecvența internă a teoriei. Acest lucru explică doar importanța pe care o acordă paradoxurile în logică și marea atenție de care se bucură ei.

Variante ale paradoxului „Mincinosului”.

Cel mai faimos și poate cel mai interesant dintre toate paradoxurile logice este paradoxul Mincinosului. Cel care a glorificat numele lui Eubulide din Milet a fost cel care l-a descoperit.

Există variante ale acestui paradox, sau antinomie, dintre care multe sunt doar aparent paradoxale.

În cea mai simplă versiune a „Mincinos”, o persoană spune o singură frază: „Mint”. Sau spune: „Afirmația pe care o fac acum este falsă”. Sau: „Această afirmație este falsă”.

Dacă afirmația este falsă, atunci vorbitorul a spus adevărul și, prin urmare, ceea ce a spus nu este o minciună. Dacă afirmația nu este falsă, iar vorbitorul pretinde că este falsă, atunci această afirmație este falsă. Se dovedește, așadar, că dacă vorbitorul minte, el spune adevărul și invers.

În Evul Mediu, următoarea formulare era comună:

„Ceea ce a spus Platon este fals”, spune Socrate.

„Ceea ce a spus Socrate este adevărul”, spune Platon.

Se pune întrebarea, care dintre ele exprimă adevărul și care este o minciună?

Și iată un paradox modern al acestui paradox. Să presupunem că doar cuvintele sunt scrise pe partea din față a cardului: „Pe cealaltă parte a acestui card este scris o declarație adevărată”. Este clar că aceste cuvinte reprezintă o afirmație semnificativă. Întorcând cardul, fie trebuie să găsim declarația promisă, fie nu este acolo. Dacă este scris pe spate, atunci este fie adevărat, fie nu. Cu toate acestea, pe spate sunt cuvintele: „Pe cealaltă parte a acestei cărți este scris afirmatie falsa" - si nimic mai mult. Să presupunem că afirmația din față este adevărată. Atunci afirmația de pe verso trebuie să fie adevărată și, prin urmare, afirmația de pe față trebuie să fie falsă. Dar dacă afirmația de pe față este falsă, atunci afirmația de pe spate trebuie să fie și falsă și, prin urmare, afirmația de pe față trebuie să fie adevărată. Rezultatul este un paradox.

Paradoxul mincinosului a făcut o impresie uriașă asupra grecilor. Și este ușor de înțeles de ce. Întrebarea pe care o pune la prima vedere pare destul de simplă: minte cel care spune doar că minte? Dar răspunsul „da” duce la răspunsul „nu” și invers. Iar reflecția nu clarifică deloc situația. În spatele simplității și chiar rutinei întrebării, ea dezvăluie o oarecare profunzime obscure și incomensurabilă.

Există chiar o legendă că un anume Filit Kossky, disperat să rezolve acest paradox, s-a sinucis. De asemenea, se mai spune că unul dintre celebrii logicieni greci antici, Diodorus Kronos, deja în anii săi de declin, și-a făcut jurământul de a nu mânca până nu a găsit soluția „Mincinosului”, și a murit curând fără a obține nimic.

În Evul Mediu, acest paradox a fost referit la așa-numitele propoziții indecidabile și a devenit obiectul unei analize sistematice.

În vremurile moderne, „Mincinosul” nu a atras atenția mult timp. Nu au văzut dificultăți, chiar minore, în ceea ce privește utilizarea limbii. Și numai în așa-numita noastră timpuri moderne dezvoltarea logicii a atins în sfârșit un nivel în care problemele care par să se afle în spatele acestui paradox pot fi formulate deja în termeni stricti.

Acum, „Mincinosul” - acest fost sofism tipic - este adesea menționat ca regele paradoxurilor logice. Lui îi este dedicată o vastă literatură științifică. Și totuși, ca și în cazul multor alte paradoxuri, nu este în totalitate clar ce probleme se află în spatele lui și cum să scapi de el.

Limbajul și metalimbajul

Acum, „Mincinosul” este de obicei considerat un exemplu caracteristic al dificultăților la care le duce confuzia a două limbi: limba în care se vorbește despre o realitate care se află în afara ei și limba în care se vorbește despre limba maternă.

LA limbajul cotidian nu există nicio diferență între aceste niveluri: vorbim aceeași limbă despre realitate și despre limbaj. De exemplu, o persoană a cărei limbă maternă este rusă nu vede prea multe diferențe între afirmațiile: „Sticlă este transparentă” și „Este adevărat că sticla este transparentă”, deși una dintre ele vorbește despre sticlă, iar cealaltă despre o afirmație despre sticlă.

Dacă cineva ar fi avut ideea necesității de a vorbi despre lume într-o limbă și despre proprietățile acestei limbi într-o altă limbă, ar putea folosi două limbi existente Să spunem rusă și engleză. În loc să spun doar „Vaca este un substantiv”, aș spune „Vaca este un substantiv”, iar în loc de „Afirmația „Sticlă nu este transparentă” este falsă” aș spune „Afirmația „Sticlă nu este transparentă” este falsă. ". Cu această utilizare a două limbi diferite ceea ce se spune despre lume ar fi net diferit de ceea ce se spune despre limba cu care se vorbește despre lume. Într-adevăr, primele afirmații s-ar referi la limba rusă, în timp ce a doua s-ar referi la engleză.

Dacă în continuare expertul nostru în limbi străine ar dori să vorbească despre unele circumstanțe care privesc deja limba engleză, ar putea folosi o altă limbă. Să spunem germană. Pentru a vorbi despre aceasta din urmă s-ar putea recurge, să spunem, la limba spaniolă etc.

Se dovedește, așadar, un fel de scară, sau ierarhie, a limbilor, fiecare dintre ele fiind folosită într-un scop foarte specific: în primul se vorbește despre lumea obiectivă, în al doilea - despre această primă limbă, în a treia - despre a doua limbă etc. O astfel de distincție între limbi în funcție de domeniul lor de aplicare este un fenomen rar în viață obișnuită. Dar în științe, care, ca și logica, se ocupă în mod specific de limbi, uneori se dovedește a fi foarte util. Limbajul folosit pentru a vorbi despre lume este de obicei numit limbaj obiect. Limbajul folosit pentru a descrie limbajul subiectului se numește metalimbaj.

Este clar că dacă limbajul și metalimbajul sunt demarcate în acest fel, afirmația „mint” nu mai poate fi formulată. Vorbește despre falsitatea a ceea ce se spune în rusă și, prin urmare, se referă la metalimbaj și trebuie exprimat în Limba engleză. Mai exact, ar trebui să sune astfel: „Tot ceea ce vorbesc în rusă este fals” („Tot ceea ce spun în rusă este fals”); această afirmație engleză nu spune nimic despre ea însăși și nu apare niciun paradox.

Distincția dintre limbaj și metalimbaj face posibilă eliminarea paradoxului „Mincinosului”. Astfel, devine posibilă definirea corectă, fără contradicție, a conceptului clasic de adevăr: o afirmație este adevărată care corespunde realității pe care o descrie.

Conceptul de adevăr, ca toate celelalte concepte semantice, are un caracter relativ: poate fi întotdeauna atribuit unui anumit limbaj.

După cum a arătat logicianul polonez A. Tarsky, definiție clasică adevărul trebuie formulat într-un limbaj mai larg decât limba căruia este destinat. Cu alte cuvinte, dacă vrem să indicăm în ce expresie „o afirmație este adevărată limba dată”, este necesar, pe lângă expresiile acestui limbaj, să se folosească și expresii care nu sunt în ea.

Tarski a introdus conceptul de limbaj închis semantic. Un astfel de limbaj include, pe lângă expresiile sale, numele lor și, de asemenea, ceea ce este important de subliniat, afirmații despre adevărul propozițiilor formulate în el.

Nu există o graniță între limbaj și metalimbaj într-o limbă închisă semantic. Mijloacele sale sunt atât de bogate încât permit nu numai să se afirme ceva despre realitatea extralingvistică, ci și să se evalueze adevărul unor astfel de afirmații. Aceste mijloace sunt suficiente, în special, pentru a reproduce antinomia „Mincinos” în limbă. Un limbaj închis din punct de vedere semantic se dovedește astfel a fi autocontradictorie. Fiecare limbă naturală este în mod evident închisă semantic.

Singura modalitate acceptabilă de a elimina antinomia și, prin urmare, inconsistența internă, potrivit lui Tarski, este abandonarea utilizării unui limbaj închis semantic. Această cale este acceptabilă, desigur, numai în cazul limbilor artificiale, formalizate, care permit o împărțire clară în limbaj și metalimbaj. În limbile naturale, cu structura lor obscură și capacitatea de a vorbi despre totul în aceeași limbă, această abordare nu este foarte realistă. Nu are sens să ridicăm problema consistenței interne a acestor limbi. Bogatele lor posibilități expresive au și un dezavantaj - paradoxurile.

Alte soluții la paradox

Deci, există afirmații care vorbesc despre propriul lor adevăr sau fals. Ideea că astfel de afirmații nu au sens este foarte veche. A fost apărat de logicianul grec antic Chrysippus.

În Evul Mediu, filosoful și logicianul englez W. Ockham a afirmat că afirmația „Orice afirmație este falsă” este lipsită de sens, deoarece vorbește, printre altele, despre propria sa falsitate. Din această afirmație decurge direct o contradicție. Dacă fiecare propoziție este falsă, atunci este și propoziția însăși; dar faptul că este falsă înseamnă că nu orice propoziție este falsă. Situația este similară cu afirmația „Orice afirmație este adevărată”. De asemenea, trebuie clasificat ca lipsit de sens și, de asemenea, duce la o contradicție: dacă fiecare afirmație este adevărată, atunci este adevărată și negația acestei afirmații în sine, adică afirmația că nu orice afirmație este adevărată.

De ce, totuși, o afirmație nu poate vorbi în mod semnificativ despre propriul adevăr sau falsitate?

Deja un contemporan al lui Ockham, filozof francez secolul al XIV-lea J. Buridan nu a fost de acord cu decizia sa. Din punctul de vedere al ideilor obișnuite despre lipsa de sens, expresii precum „Mint”, „Orice afirmație este adevărată (falsă)”, etc. destul de semnificativ. La ce te poți gândi, ce poți spune - acesta este principiul general al lui Buridan. O persoană se poate gândi la adevărul afirmației pe care o rostește, ceea ce înseamnă că poate vorbi despre ea. Nu toate afirmațiile despre ele însele sunt lipsite de sens. De exemplu, afirmația „Această propoziție este scrisă în rusă” este adevărată, dar afirmația „Există zece cuvinte în această propoziție” este falsă. Și ambele au perfect sens. Dacă se admite că o afirmație poate vorbi despre sine, atunci de ce nu este capabilă să vorbească în mod semnificativ despre o astfel de proprietate a ei înșiși ca adevăr?

Buridan însuși a considerat afirmația „Mint” nu lipsită de sens, ci falsă. El a justificat așa. Când o persoană afirmă o propoziție, ea afirmă prin aceasta că este adevărată. Dacă propoziția spune de la sine că este ea însăși falsă, atunci este doar o formulare prescurtată a unui expresie complexă afirmându-și atât adevărul, cât și falsitatea. Această expresie este contradictorie și, prin urmare, falsă. Dar nu este deloc lipsit de sens.

Argumentul lui Buridan este încă considerat uneori convingător.

Există și alte linii de critică a soluției la paradoxul „Mincinosului”, care a fost dezvoltată în detaliu de Tarski. Nu există într-adevăr un antidot pentru paradoxurile de acest tip în limbile închise semantic - și toate limbile naturale sunt, până la urmă?

Dacă ar fi așa, atunci conceptul de adevăr ar putea fi definit doar într-un mod riguros în limbaje formalizate. Numai în ele se poate distinge limba subiectului, în care vorbesc despre lumea din jurul lor și despre metalimbajul în care vorbesc despre această limbă. Această ierarhie a limbilor este modelată pe însuşirea unei limbi străine cu ajutorul unei limbi materne. Studiul unei astfel de ierarhii a condus la multe concluzii interesante, iar în anumite cazuri este esențial. Dar nu există în limbajul natural. Îl discreditează? Și dacă da, în ce măsură? La urma urmei, conceptul de adevăr este încă folosit în el și, de obicei, fără complicații. Este introducerea unei ierarhii singura modalitate de a elimina paradoxurile precum Liar?

În anii 1930, răspunsurile la aceste întrebări păreau, fără îndoială, afirmative. Cu toate acestea, acum nu există o unanimitate anterioară, deși tradiția eliminării paradoxurilor de acest tip prin „stratificarea” limbajului rămâne dominantă.

Recent, expresiile egocentrice au atras din ce în ce mai multă atenție. Ele conțin cuvinte precum „eu”, „acest”, „aici”, „acum”, iar adevărul lor depinde de când, de către cine și de unde sunt folosite.

În afirmația „Această afirmație este falsă”, apare cuvântul „aceasta”. La ce obiect se referă? „Mincinos” poate indica faptul că cuvântul „it” nu se referă la sensul afirmației date. Dar atunci la ce se referă, la ce înseamnă? Și de ce acest sens nu mai poate fi notat cu cuvântul „acest”?

Fără a intra în detalii aici, merită doar remarcat faptul că, în contextul analizei expresiilor egocentrice, „Mincinos” este plin de un conținut complet diferit de cel anterior. Se dovedește că el nu mai avertizează împotriva confuziei dintre limbaj și metalimbaj, ci subliniază pericolele asociate cu utilizarea greșită a cuvântului „acest” și a cuvintelor egocentrice similare.

Problemele care s-au asociat de-a lungul secolelor cu „Mincinosul” s-au schimbat radical, în funcție de faptul că acesta a fost văzut ca un exemplu de ambiguitate, sau ca o expresie care apare în exterior ca un exemplu de amestec de limbaj și metalimbaj sau, în sfârșit, la fel de exemplu tipic utilizarea greșită a expresiilor egocentrice. Și nu există nicio certitudine că alte probleme nu vor fi asociate cu acest paradox în viitor.

Cunoscutul logician și filozof finlandez modern H. von Wright a scris în lucrarea sa despre Mincinosul că acest paradox nu trebuie înțeles în niciun caz ca un obstacol local, izolat, care poate fi înlăturat printr-o mișcare inventiva de gândire. Liar atinge multe dintre cele mai importante subiecte din logică și semantică. Aceasta este definiția adevărului și interpretarea contradicției și a dovezilor și o serie întreagă de diferențe importante: între o propoziție și gândul exprimat de ea, între utilizarea unei expresii și mențiunea ei, între sensul unui nume și obiectul pe care îl denotă.

Situația este similară cu alte paradoxuri logice. „Antinomiile logicii”, scrie von Wright, „ne-au nedumerit încă de la descoperirea lor și probabil ne vor nedumeri mereu. Cred că ar trebui să le considerăm nu atât ca probleme care așteaptă să fie rezolvate, cât ca o materie primă inepuizabilă pentru gândire. Ele sunt importante pentru că gândirea la ele atinge cele mai fundamentale întrebări ale întregii logici și, prin urmare, ale tuturor gândurilor.”

În încheierea acestei conversații despre „Mincinos” ne putem aminti un episod curios din vremea când logica formală se preda încă la școală. Într-un manual de logică publicat la sfârșitul anilor 1940, elevilor din clasa a VIII-a li s-a cerut ca temă pentru acasă — ca o încălzire, ca să spunem așa — să găsească greșeala făcută în această afirmație simplă: „Mint”. Și, să nu pară ciudat, se credea că majoritatea școlarilor au făcut față cu succes unei astfel de sarcini.

2. Paradoxul lui Russell

Cel mai faimos dintre paradoxurile descoperite deja în secolul nostru este antinomia descoperită de B. Russell și comunicată de acesta într-o scrisoare către G. Ferge. Aceeași antinomie a fost discutată simultan la Göttingen de către matematicienii germani Z. Zermelo și D. Hilbert.

Ideea era în aer, iar publicarea ei a produs impresia unei bombe care explodează. Acest paradox a provocat în matematică, după Hilbert, efectul unei catastrofe complete. Amenințat asupra celor mai simple și importante metode logice, cele mai comune și utile concepte.

A devenit imediat evident că nici în logică, nici în matematică în ansamblu poveste lungă existența lor, nu s-a elaborat absolut nimic care să poată servi drept bază pentru eliminarea antinomiei. În mod clar, era necesară o abatere de la modurile obișnuite de gândire. Dar de unde și în ce direcție? Cât de radicală trebuia să fie respingerea modalităților consacrate de teoretizare?

Cu cercetări ulterioare antinomie, convingerea în necesitatea unei abordări fundamental noi a crescut constant. La o jumătate de secol de la descoperirea sa, specialiştii în fundamentele logicii şi matematicii L. Frenkel şi I. Bar-Hillel afirmau deja fără nicio rezerve: , până acum invariabil eşuat, sunt în mod evident insuficienti în acest scop.

Despre acest paradox, logicianul american modern H. Curry a scris ceva mai târziu: „În ceea ce privește logica cunoscută în secolul al XIX-lea, situația a sfidat pur și simplu explicația, deși, desigur, în epoca noastră educată pot exista oameni care văd (sau cred că văd), care este eroarea?

Paradoxul lui Russell în forma sa originală este legat de conceptul de mulțime sau de clasă.

Putem vorbi despre mulțimi de diferite obiecte, de exemplu, despre mulțimea tuturor oamenilor sau despre mulțimea numerelor naturale. Orice element din primul set va fi persoana individuala, elementul celui de-al doilea este fiecare număr natural. De asemenea, este posibil să se considere seturile în sine ca niște obiecte și să se vorbească despre mulțimi de mulțimi. Se pot introduce chiar și concepte precum mulțimea tuturor mulțimilor sau mulțimea tuturor conceptelor.

Set de seturi obișnuite

În ceea ce privește orice set luat în mod arbitrar, pare rezonabil să ne întrebăm dacă este propriul său element sau nu. Seturile care nu se conțin ca element vor fi numite obișnuite. De exemplu, mulțimea tuturor oamenilor nu este o persoană, la fel cum setul de atomi nu este un atom. Seturile care sunt elemente adecvate vor fi neobișnuite. De exemplu, o mulțime care unește toate mulțimile este o mulțime și, prin urmare, se conține ca element.

Luați în considerare acum mulțimea tuturor mulțimilor obișnuite. Deoarece este un set, se poate întreba și despre el dacă este obișnuit sau neobișnuit. Răspunsul este însă descurajator. Dacă este obișnuit, atunci prin definiție trebuie să se conțină ca element, deoarece conține toate mulțimile obișnuite. Dar asta înseamnă că este un set neobișnuit. Presupunerea că mulțimea noastră este o mulțime obișnuită conduce astfel la o contradicție. Deci nu poate fi normal. Pe de altă parte, nici nu poate fi neobișnuit: o mulțime neobișnuită se conține ca element, iar elementele mulțimii noastre sunt doar mulțimi obișnuite. Ca urmare, ajungem la concluzia că mulțimea tuturor mulțimilor obișnuite nu poate fi nici ordinară, nici extraordinară.

Astfel, mulțimea tuturor mulțimilor care nu sunt elemente proprii este un element propriu dacă și numai dacă nu este un astfel de element. Aceasta este o contradicție clară. Și a fost obținută pe baza celor mai plauzibile presupuneri și cu ajutorul unor pași aparent incontestabil.

Contradicția spune că un astfel de set pur și simplu nu există. Dar de ce nu poate exista? La urma urmei, constă din obiecte care satisfac o condiție bine definită, iar condiția în sine nu pare să fie cumva excepțională sau obscură. Dacă o mulțime atât de simplu și clar definită nu poate exista, atunci care este, de fapt, diferența dintre mulțimile posibile și cele imposibile? Concluzia despre inexistența setului considerat sună neașteptat și inspiră anxietate. El ne face concept general set amorf și haotic și nu există nicio garanție că nu este capabil să genereze niște paradoxuri noi.

Paradoxul lui Russell este remarcabil prin generalitatea sa extremă. Pentru construcția sa nu sunt necesare concepte tehnice complexe, deoarece în cazul altor paradoxuri sunt suficiente conceptele de „mulțime” și „element al mulțimii”. Dar această simplitate vorbește doar despre natura sa fundamentală: atinge cele mai profunde fundamente ale raționamentului nostru despre mulțimi, deoarece vorbește nu despre unele cazuri speciale, ci despre mulțimi în general.

Alte variante ale paradoxului

Paradoxul lui Russell nu este în mod specific matematic. Folosește conceptul de mulțime, dar nu atinge nicio proprietate specială asociată în mod specific cu matematica.

Acest lucru devine evident atunci când paradoxul este reformulat în termeni pur logici.

Dintre fiecare proprietate se poate, după toate probabilitățile, să se întrebe dacă este aplicabilă ei înșiși sau nu.

Proprietatea de a fi fierbinte, de exemplu, nu se aplică în sine, deoarece nu este în sine fierbinte; nici proprietatea de a fi concret nu se referă la sine, pentru că este o proprietate abstractă. Dar proprietatea de a fi abstract, de a fi abstract, este aplicabilă însuși. Să numim aceste proprietăți inaplicabile pentru ele însele inaplicabile. Se aplică proprietatea de a fi inaplicabil pentru sine? Rezultă că inaplicabilitatea este inaplicabilă numai dacă nu este. Acest lucru este, desigur, paradoxal.

Varietatea logică, legată de proprietăți, a antinomiei lui Russell este la fel de paradoxală ca și varietatea matematică, legată de mulțimi.

Russell a propus și următoarea versiune populară a paradoxului pe care l-a descoperit.

Imaginați-vă că consiliul unui sat a definit îndatoririle unui frizer astfel: să-i rade pe toți bărbații din sat care nu se rad, și numai pe acești bărbați. Ar trebui să se radă singur? Dacă da, se va referi la cei care se rad, iar cei care se rad, el nu ar trebui să se radă. Dacă nu, el va aparține celor care nu se rad și, prin urmare, va trebui să se radă. Ajungem astfel la concluzia că acest frizer se rade dacă și numai dacă nu se rade. Acest lucru, desigur, este imposibil.

Argumentul despre frizer se bazează pe presupunerea că un astfel de frizer există. Contradicția rezultată înseamnă că această presupunere este falsă și nu există un astfel de sătean care să-i radă pe toți acei săteni și doar acei săteni care nu se rad.

Îndatoririle unui coafor nu par contradictorii la prima vedere, așa că concluzia că nu poate exista una sună oarecum neașteptat. Cu toate acestea, această concluzie nu este paradoxală. Condiția pe care trebuie să o îndeplinească frizerul din sat este, de fapt, contradictorie și deci imposibilă. Nu poate exista un astfel de frizer într-un sat din același motiv că nu există în el o persoană care să fie mai în vârstă decât el sau care să se nască înainte de nașterea lui.

Argumentul despre coafor poate fi numit un pseudo-paradox. În cursul său, este strict analog cu paradoxul lui Russell și acesta este ceea ce îl face interesant. Dar încă nu este un paradox adevărat.

Un alt exemplu al aceluiași pseudo-paradox este raționament binecunoscut despre director.

O anumită bibliotecă a decis să întocmească un catalog bibliografic care să includă toate acele cataloage bibliografice și numai acele cataloage bibliografice care nu conțin referințe la ele însele. Un astfel de director ar trebui să includă un link către el însuși?

Este ușor să arăți că ideea creării unui astfel de catalog nu este fezabilă; pur și simplu nu poate exista, deoarece trebuie să includă simultan o referire la sine și să nu includă.

Este interesant de observat că catalogarea tuturor directoarelor care nu conțin referințe la ele însele poate fi considerată ca un proces fără sfârșit, fără sfârșit. Să presupunem că la un moment dat a fost compilat un director, să zicem K1, inclusiv toate celelalte directoare care nu conțin referințe la ele însele. Odată cu crearea lui K1, a apărut un alt director care nu conține un link către el însuși. Deoarece scopul este de a face un catalog complet al tuturor directoarelor care nu se menționează, este evident că K1 nu este soluția. El nu menționează niciunul dintre aceste directoare - el însuși. Incluzând această mențiune despre el în K1, obținem catalogul K2. Menționează K1, dar nu K2 în sine. Adăugând o astfel de mențiune la K2, obținem KZ, care din nou nu este complet din cauza faptului că nu se menționează. Și mai departe fără sfârșit.

3. Paradoxurile lui Grelling și Berry

Un paradox logic interesant a fost descoperit de către logicienii germani K. Grelling și L. Nelson (paradoxul lui Grelling). Acest paradox poate fi formulat foarte simplu.

Cuvinte autologice și heterologice

Unele cuvinte care denotă proprietăți au chiar proprietatea pe care o numesc. De exemplu, adjectivul „rus” este el însuși rus, „polisilabic” este el însuși polisilab, iar „cinci silabe” are cinci silabe. Astfel de cuvinte care se referă la ele însele sunt numite auto-înțeles sau autologic.

Nu există atât de multe astfel de cuvinte, marea majoritate a adjectivelor nu au proprietățile pe care le numesc. „Nou” nu este, desigur, nou, „fierbinte” este fierbinte, „o-silabă” este o singură silabă, iar „engleză” este engleză. Cuvintele care nu au proprietatea pe care o denotă sunt numite pseudonime sau heterologice. Evident, toate adjectivele care denotă proprietăți care nu sunt aplicabile cuvintelor vor fi heterologice.

Această împărțire a adjectivelor în două grupe pare clară și inacceptabilă. Poate fi extins la substantive: „cuvânt” este un cuvânt, „substantiv” este un substantiv, dar „ceas” nu este un ceas, iar „verbul” nu este un verb.

Un paradox apare de îndată ce se pune întrebarea: căruia dintre cele două grupuri îi aparține însuși adjectivul „heterologic”? Dacă este autologic, are proprietatea pe care o desemnează și trebuie să fie heterologic. Dacă este heterologic, nu are proprietatea pe care o numește și, prin urmare, trebuie să fie autologic. Există un paradox.

Prin analogie cu acest paradox, este ușor de formulat alte paradoxuri de aceeași structură. De exemplu, este sau nu o persoană sinucigașă care ucide orice persoană care nu se sinucigă și nu ucide nicio persoană sinucigașă?

S-a dovedit că paradoxul lui Grellig era cunoscut în Evul Mediu ca antinomia unei expresii care nu se numește. Ne putem imagina atitudinea față de sofisme și paradoxuri în vremurile moderne, dacă problema care a cerut un răspuns și a stârnit dezbateri aprinse a fost brusc uitată și a fost redescoperită abia cinci sute de ani mai târziu!

O altă antinomie, în exterior simplă, a fost indicată chiar la începutul secolului nostru de D. Berry.

Mulțimea numerelor naturale este infinită. Setul acelor nume ale acestor numere care sunt disponibile, de exemplu, în limba rusă și conțin mai puțin de, să zicem, o sută de cuvinte, este finit. Aceasta înseamnă că există astfel de numere naturale pentru care nu există nume în rusă care constau din mai puțin de o sută de cuvinte. Printre aceste numere există, evident, cel mai mic număr. Nu poate fi numit prin intermediul unei expresii ruse care conține mai puțin de o sută de cuvinte. Dar expresia: „Cel mai mic număr natural pentru care nu există în rusă nume compus, compus din mai puțin de o sută de cuvinte” este doar numele acestui număr! Acest nume tocmai a fost formulat în rusă și conține doar nouăsprezece cuvinte. Un paradox evident: numărul numit s-a dovedit a fi cel pentru care nu există nume!

4. Litigiu iresolubil

În centrul unui paradox faimos se află ceea ce pare a fi un mic incident care s-a întâmplat cu mai bine de două mii de ani în urmă și nu a fost uitat până astăzi.

Celebrul sofist Protagoras, care a trăit în secolul al V-lea. î.Hr., a existat un student pe nume Euathlus, care a studiat dreptul. Conform acordului încheiat între ei, Euathlus trebuia să plătească antrenamentul doar dacă câștiga primul său proces. Dacă pierde acest proces, nu este deloc obligat să plătească. Cu toate acestea, după finalizarea studiilor, Evatl nu a participat la procese. A durat destul de mult, răbdarea profesorului s-a epuizat, iar el a intentat un proces împotriva elevului său. Astfel, pentru Euathlus, acesta a fost primul proces. Protagoras și-a fundamentat cererea după cum urmează:

„Orice decizie a instanței, Euathlus va trebui să mă plătească. Fie va câștiga prima încercare, fie va pierde. Dacă câștigă, va plăti în virtutea contractului nostru. Dacă pierde, va plăti conform acestei decizii.

Se pare că Euathlus era un student capabil, așa cum i-a răspuns lui Protagoras:

- Într-adevăr, fie câștig procesul, fie îl pierd. Dacă voi câștiga, hotărârea judecătorească mă va elibera de obligația de plată. Dacă decizia judecătorească nu este în favoarea mea, atunci am pierdut primul meu caz și nu voi plăti în virtutea contractului nostru.

Soluții la Paradoxul Protagoras și Euathlus

Perplex de această întorsătură a problemei, Protagoras a dedicat un eseu special acestei dispute cu Euathlus, „Litigație pentru plată”. Din păcate, nu a ajuns la noi, la fel ca majoritatea celor scrise de Protagoras. Cu toate acestea, trebuie să-i aducem un omagiu lui Protagoras, care a simțit imediat o problemă în spatele unui simplu incident judiciar care merită un studiu special.

G. Leibniz, el însuși avocat de studii, a luat în serios această dispută. În teza sa de doctorat, „A Study of Intricate Cases in Law”, el a încercat să demonstreze că toate cazurile, chiar și cele mai complicate, precum litigiile lui Protagoras și Euathlus, trebuie să găsească rezolutie corecta bazat pe bunul simț. Potrivit lui Leibniz, instanța ar trebui să-l refuze pe Protagoras pentru depunerea prematură a unei cereri, dar să-i lase, totuși, dreptul de a cere plata unor bani de către Evatl ulterior, și anume după primul proces câștigat.

Au fost propuse multe alte soluții la acest paradox.

S-au referit, în special, la faptul că decizia instanței trebuie să aibă putere mare decât un acord privat între două persoane. Se poate răspunde că fără acest acord, oricât de neînsemnat ar părea, nu ar exista nici instanță, nici hotărârea ei. Până la urmă, instanța trebuie să ia decizia tocmai cu ocazia și pe baza ei.

Ei au făcut, de asemenea, apel la principiul general conform căruia fiecare muncă, și deci munca lui Protagoras, trebuie plătită. Dar se știe că acest principiu a avut întotdeauna excepții, mai ales într-o societate de sclavi. Mai mult decât atât, pur și simplu nu se aplică situației specifice a litigiului: până la urmă, Protagoras, garantând nivel inalt formare, el însuși a refuzat să accepte plata în cazul eșecului elevului său în primul proces.

Uneori vorbesc așa. Atât Protagoras, cât și Euathlus au dreptate în parte și niciunul dintre ei în general. Fiecare dintre ele ia în considerare doar jumătate din posibilitățile care sunt benefice pentru sine. O analiză completă sau cuprinzătoare deschide patru posibilități, dintre care doar jumătate este benefică pentru unul dintre litiganți. Care dintre aceste posibilități se realizează, nu se va decide prin logică, ci prin viață. Dacă verdictul judecătorilor va avea mai multă forță decât contractul, Euathl va trebui să plătească doar dacă pierde procesul, adică. în virtutea unei hotărâri judecătoreşti. Dacă, totuși, un acord privat este plasat mai sus decât decizia judecătorilor, atunci Protagoras va primi plata numai în cazul pierderii procesului față de Evatlus, i.e. în virtutea unui acord cu Protagoras.

Acest apel la viață încurcă în cele din urmă totul. De ce, dacă nu de logică, pot fi ghidați judecătorii în condițiile în care toate circumstanțele relevante sunt complet clare? Și ce fel de conducere va fi dacă Protagoras, care pretinde plata prin instanță, o va realiza doar pierzând procesul?

Totuși, soluția lui Leibniz, care pare la început convingătoare, este puțin mai bună decât vaga opoziție a logicii și a vieții. În esență, Leibniz propune modificarea retroactivă a textului contractului și să stipuleze că primul proces care îl implică pe Euathlus, al cărui rezultat va decide chestiunea plății, să nu fie procesul lui Protagoras. Acest gând este profund, dar nu are legătură cu o anumită instanță. Dacă ar fi existat o astfel de clauză în acordul inițial, nu ar fi fost deloc nevoie de un litigiu.

Dacă prin rezolvarea acestei dificultăți se înțelege răspunsul la întrebarea dacă Euathlus ar trebui să-l plătească pe Protagoras sau nu, atunci toate acestea, ca toate celelalte soluții imaginabile, sunt, desigur, insuportabile. Nu sunt altceva decât o abatere de la esența disputei, sunt, ca să spunem așa, trucuri sofistice și viclenie într-o situație fără speranță și insolubilă. Căci nici bunul simț, nici principiile generale referitoare la relațiile sociale nu pot soluționa disputa.

Este imposibil să se execute împreună contractul în forma sa inițială și decizia instanței de judecată, oricare ar fi aceasta din urmă. Pentru a demonstra acest lucru, sunt suficiente mijloace logice simple. Prin aceleași mijloace, se mai poate arăta că tratatul, în ciuda aspectului său complet inocent, este autocontradictoriu. Necesită realizarea unei propuneri logic imposibil: Euathlus trebuie să plătească atât educația, cât și, în același timp, să nu plătească.

Reguli care duc la o fundătură

Mintea umană, obișnuită nu numai cu puterea sa, ci și cu flexibilitatea și chiar cu inventivitate, îi este greu, desigur, să se împace cu această lipsă de speranță absolută și să admită că a fost dusă într-o fundătură. Acest lucru este deosebit de dificil atunci când impasul este creat de mintea însăși: ea, ca să spunem așa, se împiedică din senin și cade în propriile ei plase. Cu toate acestea, trebuie să recunoaștem că uneori, și de altfel, nu atât de rar, acordurile și sistemele de reguli, formate spontan sau introduse în mod conștient, duc la situații insolubile, fără speranță.

Un exemplu din viața recentă a șahului va confirma încă o dată această idee.

Regulile internaționale pentru competițiile de șah obligă jucătorii de șah să înregistreze jocul mișcare cu mutare în mod clar și lizibil. Până de curând, regulile mai spuneau că un jucător de șah care a ratat înregistrarea mai multor mutări din cauza lipsei de timp trebuie, „de îndată ce se termină necazul său de timp, să completeze imediat formularul, notând mutările ratate”. Pe baza acestei instrucțiuni, un judecător de la Olimpiada de șah din 1980 (Malta) a întrerupt jocul, care se desfășura în necazuri grele, și a oprit cronometrul, declarând că mișcările de control au fost făcute și, prin urmare, era timpul să punem înregistrările jocurilor în ordine.

„Dar scuzați-mă”, a strigat participantul, care a fost pe punctul de a pierde și nu a contat decât pe intensitatea pasiunilor la finalul jocului, „la urma urmei, nu a căzut încă nici măcar un steag și nimeni nu poate (cum ar fi este scris și în reguli) poate spune câte mișcări au fost făcute.

Arbitrul a fost însă susținut de arbitrul șef, care a spus că, într-adevăr, din moment ce necazul s-a terminat, a fost necesar, urmând litera regulamentului, să se înceapă înregistrarea mutărilor ratate.

Era inutil să argumentăm în această situație: regulile în sine duceau la o fundătură. A rămas doar să le schimbăm formularea în așa fel încât cazuri similare nu ar putea apărea în viitor.

Acest lucru s-a făcut la congresul Federației Internaționale de Șah, care avea loc în același timp: în loc de cuvintele „de îndată ce necazul se termină”, regulamentul spune acum: „de îndată ce steagul indică sfârșitul”. de timp”.

Acest exemplu arată clar cum blocaje. Este inutil să discutăm despre ce parte are dreptate: disputa este insolubilă și nu va exista niciun câștigător în ea. Rămâne doar să te împaci cu prezentul și să ai grijă de viitor. Pentru a face acest lucru, trebuie să reformulați acordurile sau regulile originale în așa fel încât să nu conducă pe nimeni altcineva în aceeași situație fără speranță.

Desigur, un astfel de curs de acțiune nu este o soluție la o dispută insolubilă sau o cale de ieșire dintr-o situație fără speranță. Este mai degrabă o oprire în fața unui obstacol de netrecut și a unui drum în jurul lui.

Paradoxul „crocodil și mama”

LA Grecia antică povestea crocodilului și a mamei a fost foarte populară, coincizând în conținutul ei logic cu paradoxul lui Protagoras și Euathlus.

Crocodilul și-a smuls copilul de la o egipteană care stătea pe malul râului. La rugămintea ei de a returna copilul, crocodilul, vărsând, ca întotdeauna, o lacrimă de crocodil, a răspuns:

„Nenorocirea ta m-a atins și îți voi oferi șansa să-ți aduci copilul înapoi. Ghici dacă ți-l dau sau nu. Daca raspunzi corect, voi returna copilul. Dacă nu ghiciți, nu vă voi da înapoi.

Gândindu-se, mama a răspuns:

Nu-mi vei da copilul.

„Nu vei primi”, a concluzionat crocodilul. Ori ai spus adevărul, ori nu ai spus. Daca este adevarat ca nu voi renunta la copil, atunci nu voi renunta la el, pentru ca altfel nu va fi adevarat. Dacă ceea ce s-a spus nu este adevărat, atunci nu ați ghicit și nu voi da copilului prin acord.

Cu toate acestea, acest raționament nu i s-a părut convingător mamei.

- Dar dacă am spus adevărul, atunci îmi vei da copilul, așa cum am convenit. Dacă nu am ghicit că nu vei da copilul, atunci trebuie să mi-l dai, altfel ceea ce am spus nu va fi neadevărat.

Cine are dreptate: mama sau crocodilul? La ce obligă promisiunea dată crocodilului? Pentru a da copilului, sau, dimpotrivă, pentru a nu-l da? Și la amândoi în același timp. Această promisiune este auto-contradictorie și, prin urmare, nu poate fi îndeplinită în virtutea legilor logicii.

Misionarul s-a trezit alături de canibali și a sosit exact la timp pentru cină. L-au lăsat să aleagă cum va fi mâncat. Pentru a face acest lucru, el trebuie să rostească o afirmație cu condiția ca, dacă această afirmație se dovedește a fi adevărată, o vor găti, iar dacă se dovedește a fi falsă, o vor prăji.

Ce ar trebui să spună misionarul?

Desigur, ar trebui să spună: „Mă vei prăji”.

Dacă este cu adevărat prăjit, se va dovedi că a spus adevărul și, prin urmare, trebuie să fie fiert. Dacă este fiert, afirmația lui va fi falsă și ar trebui să fie doar prăjit. Canibalii nu vor avea ieșire: de la „prăjire” urmează „gătit”, și invers.

Acest episod al misionarului viclean este, desigur, o altă parafrază a disputei dintre Protagoras și Euathlus.

Paradoxul lui Sancho Panza

Un vechi paradox cunoscut în Grecia Antică este interpretat în Don Quijote de M. Cervantes. Sancho Panza a devenit guvernatorul insulei Barataria și administrează curtea.

Primul care vine la el este un vizitator și spune: „Senior, o anumită moșie este împărțită în două jumătăți de un râu adânc... Deci, un pod a fost aruncat peste acest râu și chiar acolo pe margine stă o spânzurătoare și există ceva asemănător unei instanțe, în care de obicei stau patru oameni judecători, și ei judecă pe baza unei legi emise de proprietarul râului, podului și întregii moșii, care lege se întocmește astfel: și cine minte, fara nicio indulgere, trimite-i la spânzuratorul aflat chiar acolo si executa-i. Din momentul în care această lege a fost promulgată în toată severitatea ei, mulți au reușit să treacă peste pod, iar de îndată ce judecătorii au fost mulțumiți că trecătorii spun adevărul, le-au lăsat să treacă. Dar într-o zi, un om care a jurat a jurat și a spus: jură că a venit ca să fie spânzurat chiar pe această spânzurătoare și pentru nimic altceva. Acest jurământ i-a nedumerit pe judecători și ei au spus: „Dacă acestui om i se permite să meargă nestingherit, atunci aceasta va însemna că a încălcat jurământul și, potrivit legii, este pasibil de moarte; dacă îl spânzurăm, atunci a jurat că a venit doar pentru a fi spânzurat pe această spânzurătoare, prin urmare, jurământul său, se pare, nu este fals și, pe baza aceleiași legi, este necesar să-l lăsăm să treacă. Și așa vă întreb, domnule guvernator, ce ar trebui să facă judecătorii cu acest om, pentru că sunt încă perplexi și ezită...

Sancho a sugerat, poate nu fără viclenie, ca jumătate din persoana care a spus adevărul să fie lăsată să treacă, iar cea care a mințit să fie spânzurată, iar în acest fel regulile de trecere a podului să fie respectate sub toate formele. Acest pasaj este interesant din mai multe puncte de vedere.

În primul rând, este o ilustrare clară a faptului că impasul descris în paradox poate fi înfruntat - și nu în teorie pură, dar în practică - dacă nu o persoană reală, atunci măcar un erou literar.

Ieșirea propusă de Sancho Panza nu a fost, desigur, o soluție la paradox. Dar aceasta a fost doar soluția la care nu mai rămânea decât să se recurgă în funcția lui.

Pe vremuri, Alexandru cel Mare, în loc să dezlege vicleanul nod gordian, pe care nimeni încă nu a reușit să-l facă, pur și simplu îl taie. Sancho a făcut la fel. Încerc să rezolv puzzle-ul asupra ei propriile conditii a fost inutil - este pur și simplu de nerezolvat. A rămas să renunți la aceste condiții și să le introduci pe ale tale.

Și un moment. Cu acest episod, Cervantes condamnă clar scara exorbitant de formală a justiției medievale, pătrunsă de spiritul logicii scolastice. Dar cât de răspândite la vremea lui – și asta în urmă cu aproximativ patru sute de ani – erau informațiile din domeniul logicii! Nu numai Cervantes însuși cunoaște acest paradox. Scriitorul găsește posibil să-i atribuie eroului său, un țăran analfabet, capacitatea de a înțelege că se confruntă cu o sarcină insolubilă!

5. Alte paradoxuri

Paradoxurile de mai sus sunt argumente, al căror rezultat este o contradicție. Dar există și alte tipuri de paradoxuri în logică. Ei subliniază, de asemenea, unele dificultăți și probleme, dar o fac într-un mod mai puțin dur și fără compromisuri. Acestea sunt, în special, paradoxurile discutate mai jos.

Paradoxurile conceptelor imprecise

Cele mai multe dintre conceptele nu numai ale limbajului natural, ci și ale limbajului științei sunt inexacte sau, așa cum sunt numite, neclare. Adesea, aceasta se dovedește a fi cauza unor neînțelegeri, dispute sau chiar duce pur și simplu la blocaje.

Dacă conceptul este inexact, limita zonei obiectelor la care se aplică este lipsită de claritate, neclară. Luați, de exemplu, conceptul de „heap”. Un bob (un grăunte de nisip, o piatră etc.) nu este încă o grămadă. O mie de boabe este deja, evident, o grămadă. Și trei boabe? Și zece? Ce număr de boabe se adaugă pentru a forma o grămadă? Nu foarte clar. În același mod, nu este clar odată cu îndepărtarea cărui boabe dispare grămada.

Inexacte sunt caracteristicile empirice ale „mare”, „greu”, „îngust” etc. Concepte obișnuite precum „înțelept”, „cal”, „casă” etc. sunt inexacte.

Nu există grăunte de nisip care, atunci când este îndepărtat, să putem spune că odată cu îndepărtarea lui, ceea ce rămâne nu mai poate fi numit acasă. Dar la urma urmei, asta pare să însemne că în niciun moment în dezmembrarea treptată a casei – până la dispariția ei completă – nu există vreun motiv pentru a declara că nu există casă! Concluzia este clar paradoxală și descurajatoare.

Este ușor de observat că argumentul despre imposibilitatea formării unui morman se realizează folosind metoda binecunoscută inductia matematica. Un bob nu formează o grămadă. Dacă n boabe nu formează grămezi, atunci n+1 boabe nu formează grămezi. Prin urmare, niciun număr de boabe nu poate forma grămezi.

Posibilitatea ca aceasta și alte dovezi similare să conducă la concluzii ridicole înseamnă că principiul inducției matematice are o sferă limitată. Nu trebuie folosit în raționament cu concepte inexacte, vagi.

Un bun exemplu al modului în care aceste concepte pot duce la dispute de nerezolvat este un proces curios care a avut loc în 1927 în Statele Unite. Sculptorul C. Brancusi a mers in judecata cerand ca lucrarile sale sa fie recunoscute ca opere de arta. Printre lucrările trimise la New York pentru expoziție s-a numărat sculptura „Pasărea”, care este acum considerată un clasic al stilului abstract. Este o coloană modulată din bronz lustruit înaltă de aproximativ un metru și jumătate, care nu are nicio asemănare exterioară cu o pasăre. Vameșii au refuzat categoric să recunoască creațiile abstracte ale lui Brâncuși drept opere de artă. Le-au pus la rubrica „Spitalul de metal și ustensile de uz casnic” și le-au impus o taxă vamală grea. Revoltat, Brâncuși a dat în judecată.

Vama a fost susținută de artiști – membri ai Academiei Naționale, care apărau metodele tradiționale în artă. Aceștia au acționat ca martori ai apărării la proces și au insistat categoric că încercarea de a da „pasărea” drept operă de artă a fost pur și simplu o înșelătorie.

Acest conflict subliniază în mod viu dificultatea de a opera cu conceptul de „operă de artă”. Sculptura este considerată în mod tradițional o formă de artă plastică. Dar gradul de asemănare a imaginii sculpturale cu originalul poate varia în limite foarte largi. Și în ce moment o imagine sculpturală, îndepărtându-se din ce în ce mai mult de original, încetează să mai fie o operă de artă și devine un „ustensil metalic”? La această întrebare este la fel de greu de răspuns ca întrebarea unde este granița dintre o casă și ruinele ei, între un cal cu coadă și un cal fără coadă și așa mai departe. Apropo, moderniștii sunt în general convinși că sculptura este un obiect de formă expresivă și nu trebuie să fie deloc o imagine.

Manipularea conceptelor imprecise necesită astfel o anumită prudență. Nu ar fi mai bine să le evităm cu totul?

Filosoful german E. Husserl a fost înclinat să ceară o asemenea rigoare și precizie extremă de la cunoștințe care nu se găsesc nici măcar în matematică. În legătură cu aceasta, biografii lui Husserl amintesc cu ironie de o întâmplare care i s-a întâmplat în copilărie. I s-a prezentat un briceag și, hotărând să facă lama cât mai ascuțită, a ascuțit-o până nu a mai rămas nimic din lamă.

Conceptele mai precise sunt de preferat celor imprecise în multe situații. Dorința obișnuită de a clarifica conceptele folosite este destul de justificată. Dar, desigur, trebuie să aibă limitele ei. Chiar și în limbajul științei, o parte semnificativă a conceptelor este inexacte. Și acest lucru nu este legat de greșelile subiective și aleatorii ale oamenilor de știință individuali, ci de însăși natura cunoașterii științifice. În limbajul natural, conceptele imprecise sunt copleșitoare; aceasta vorbește, printre altele, despre flexibilitatea și forța sa latentă. Oricine cere cea mai mare precizie de la toate conceptele riscă să rămână fără limbaj. „Privați cuvintele de orice ambiguitate, orice incertitudine”, a scris esteticianul francez J. Joubert, „transformați-le... într-o singură cifră - jocul va lăsa vorbirea, și odată cu elocvența și poezia: tot ce este mobil și schimbător în afectiunile sufletului nu-si gasesc expresia. Dar ce spun: privare... voi spune mai multe. Privați cuvântul de orice inexactitate - și veți pierde chiar și axiomele.

Pentru o lungă perioadă de timp, atât logicienii, cât și matematicienii nu au acordat atenție dificultăților asociate conceptelor neclare și mulțimilor lor corespunzătoare. Întrebarea a fost pusă după cum urmează: conceptele trebuie să fie precise, iar orice vag este nedemn de interes serios. În ultimele decenii, însă, această atitudine prea strictă și-a pierdut atractivitatea. Sunt construite teorii logice care iau în considerare în mod specific unicitatea raționamentului cu concepte inexacte.

În dezvoltare activă teorie matematică așa-numitele seturi fuzzy, colecții de obiecte definite indistinct.

Analiza problemelor de inexactitate este un pas către apropierea logicii de practica gândirii obișnuite. Și putem presupune că va aduce mult mai multe rezultate interesante.

Paradoxurile logicii inductive

Nu există, poate, nicio secțiune de logică care să nu aibă propriile ei paradoxuri.

Logica inductivă are propriile ei paradoxuri, care s-au luptat în mod activ, dar până acum fără prea mult succes, timp de aproape jumătate de secol. De un interes deosebit este paradoxul de confirmare descoperit de filozoful american K. Hempel. Este firesc să presupunem că Dispoziții generale, în special legile științifice, sunt confirmate de exemplele lor pozitive. Dacă, de exemplu, se ia în considerare propoziția „Toți A este B”, atunci exemplele sale pozitive vor fi obiecte care au proprietăți A și B. În special, exemplele de sprijin pentru propoziția „Toți corbii sunt negri” sunt obiecte care sunt atât corbi, cât și corbi. negru. Această afirmație echivalează, totuși, cu afirmația „Toate lucrurile care nu sunt negre nu sunt corbi”, iar o confirmare a celor din urmă trebuie să fie și o confirmare a primei. Dar „Totul nu este negru, nu este un ciob” este confirmat de fiecare caz de obiect non-negru care nu este un ciob. Rezultă, așadar, că observațiile „Vaca este albă”, „Pantofii sunt maro”, etc. confirmați afirmația „Toți corbii sunt negri”.

Din premise aparent inocente rezultă un rezultat paradoxal neașteptat.

În logica normelor, o serie de legi ale sale provoacă îngrijorare. Când sunt formulate în termeni semnificativi, inconsecvența lor cu noțiunile obișnuite de bine și rău devine evidentă. De exemplu, una dintre legi spune că din ordinul „Trimite o scrisoare!” urmează ordinea „Trimite scrisoarea sau arde-o!”.

O altă lege prevede că, dacă o persoană și-a încălcat una dintre îndatoririle sale, are dreptul de a face tot ce dorește. Intuiția noastră logică nu vrea să suporte acest gen de „legi ale obligației”.

În logica cunoașterii, paradoxul omniscienței logice este discutat intens. El susține că o persoană cunoaște toate consecințele logice care decurg din pozițiile pe care le ia. De exemplu, dacă o persoană cunoaște cele cinci postulate ale geometriei lui Euclid, atunci, prin urmare, cunoaște toată această geometrie, deoarece rezultă din ele. Dar nu este. O persoană poate fi de acord cu postulate și, în același timp, nu poate demonstra teorema lui Pitagora și, prin urmare, se poate îndoi că este adevărată în general.

6. Ce este un paradox logic

Nu există o listă exhaustivă de paradoxuri logice și este imposibil.

Paradoxurile considerate sunt doar o parte din toate cele descoperite până acum. Este probabil ca multe alte paradoxuri să fie descoperite în viitor și chiar tipuri complet noi ale acestora. Însuși conceptul de paradox nu este atât de clar încât ar fi posibil să se întocmească o listă de paradoxuri cel puțin deja cunoscute.

„Paradoxurile teoretice ale seturilor sunt o problemă foarte serioasă, nu pentru matematică, însă, ci mai degrabă pentru logică și epistemologie”, scrie matematicianul și logicianul austriac K. Gödel. „Logica este inconsecventă. Nu există paradoxuri logice”, spune matematicianul D. Bochvar. Asemenea discrepanțe sunt uneori semnificative, alteori verbale. Ideea constă în mare parte în ceea ce înseamnă exact un paradox logic.

Particularitatea paradoxurilor logice

O caracteristică necesară a paradoxurilor logice este dicționarul logic.

Paradoxurile care sunt logice trebuie formulate în termeni logici. Cu toate acestea, în logică nu există criterii clare pentru împărțirea termenilor în logici și non-logici. Logica, care se ocupă de corectitudinea raționamentului, urmărește să reducă la minimum conceptele de care depinde corectitudinea concluziilor aplicate practic. Dar acest minim nu este predeterminat fără ambiguitate. În plus, afirmațiile nelogice pot fi formulate și în termeni logici. Dacă un anumit paradox folosește doar premise pur logice, este departe de a fi întotdeauna posibil de determinat fără ambiguitate.

Paradoxurile logice nu sunt rigid separate de toate celelalte paradoxuri, la fel cum acestea din urmă nu se disting clar de tot ce nu este paradoxal și în concordanță cu ideile predominante.

La începutul studiului paradoxurilor logice, părea că ele se pot distinge prin încălcarea unor poziții sau reguli a logicii încă neexplorate. Principiul cercului vicios introdus de B. Russell a fost deosebit de activ în revendicarea rolului unei astfel de reguli. Acest principiu prevede că o colecție de obiecte nu poate conține membri definiți doar de aceeași colecție.

Toate paradoxurile au un lucru în comun - autoaplicabilitatea sau circularitatea. În fiecare dintre ele, obiectul în cauză este caracterizat de un anumit set de obiecte căruia îi aparține el însuși. Dacă selectăm, de exemplu, persoana cea mai vicleană, facem acest lucru cu ajutorul unei populații de oameni din care face parte această persoană. Și dacă spunem: „Această afirmație este falsă”, caracterizăm declarația de interes pentru noi prin referire la totalitatea tuturor afirmațiilor false care o includ.

În toate paradoxurile, există o autoaplicabilitate a conceptelor, ceea ce înseamnă că există, parcă, mișcare în cerc, care duce în final la punctul de plecare. În efortul de a caracteriza obiectul care ne interesează, ne întoarcem la setul de obiecte care îl include. Cu toate acestea, se dovedește că, pentru definiția sa, ea însăși are nevoie de obiectul luat în considerare și nu poate fi înțeles clar fără el. În acest cerc, probabil, se află sursa paradoxurilor.

Situația este complicată, însă, de faptul că un astfel de cerc există în multe argumente complet neparadoxale. Circular este mare mulţime cel mai frecvent, inofensiv și în același timp moduri convenabile expresii. Exemple precum „cel mai mare dintre toate orașele”, „cel mai mic dintre toate numerele naturale”, „unul dintre electronii atomului de fier”, etc., arată că nu orice caz de autoaplicabilitate duce la o contradicție și că este important nu numai în limbaj obișnuit dar şi în limbajul ştiinţei.

O simplă referire la utilizarea conceptelor auto-aplicabile este astfel insuficientă pentru a discredita paradoxurile. Este necesar un criteriu suplimentar pentru a separa autoaplicabilitatea, care duce la un paradox, de toate celelalte cazuri ale acesteia.

Au existat multe propuneri în acest sens, dar nu a fost găsită o clarificare cu succes a circularității. Sa dovedit a fi imposibil să caracterizezi circularitatea în așa fel încât fiecare raționament circular să conducă la un paradox și fiecare paradox este rezultatul unor raționamente circulare.

O încercare de a găsi un principiu specific al logicii, a cărui încălcare ar fi trăsătură distinctivă toate paradoxurile logice, nu au condus la nimic concret.

Un fel de clasificare a paradoxurilor ar fi, fără îndoială, utilă, subdivându-le în tipuri și tipuri, grupând unele paradoxuri și opunându-le altora. Cu toate acestea, nici în acest caz nu s-a realizat nimic durabil.

Logicianul englez F. Ramsey, care a murit în 1930, când nu avea încă douăzeci și șapte de ani, și-a propus să împartă toate paradoxurile în paradoxurile sintactice și semantice. Primul include, de exemplu, paradoxul lui Russell, al doilea - paradoxurile „Mincinosului”, Grelling etc.

Potrivit lui Ramsey, paradoxurile primului grup conțin doar concepte aparținând logicii sau matematicii. Acestea din urmă includ concepte precum „adevăr”, „definibilitate”, „numire”, „limbaj”, care nu sunt strict matematice, ci mai degrabă legate de lingvistică sau chiar de teoria cunoașterii. Paradoxurile semantice par să-și datoreze apariția nu unei erori de logică, ci vagului sau ambiguității unor concepte non-logice, de aceea problemele pe care le pun privesc limbajul și trebuie rezolvate de lingvistică.

Lui Ramsey i s-a părut că matematicienii și logicienii nu trebuie să fie interesați de paradoxurile semantice. Mai târziu s-a dovedit însă că unele dintre cele mai semnificative rezultate ale logicii moderne au fost obținute tocmai în legătură cu un studiu mai profund al tocmai aceste paradoxuri non-logice.

Împărțirea paradoxurilor propusă de Ramsey a fost folosită pe scară largă la început și își păstrează o oarecare importanță și acum. În același timp, devine din ce în ce mai clar că această împărțire este destul de vagă și se bazează în primul rând pe exemple, și nu pe o analiză comparativă aprofundată a celor două grupuri de paradoxuri. Conceptele semantice sunt acum bine definite și este greu să nu recunoaștem că aceste concepte sunt într-adevăr logice. Odată cu dezvoltarea semanticii, care își definește conceptele de bază în termeni de teoria mulțimilor, distincția făcută de Ramsey este din ce în ce mai estompată.

Paradoxurile și logica modernă

Ce concluzii pentru logică rezultă din existența paradoxurilor?

În primul rând, prezența unui număr mare de paradoxuri vorbește despre puterea logicii ca știință, și nu despre slăbiciunea ei, așa cum ar părea.

Nu întâmplător descoperirea paradoxurilor a coincis cu perioada celei mai intense dezvoltări a logicii moderne și cu cele mai mari succese ale acesteia.

Primele paradoxuri au fost descoperite chiar înainte de apariția logicii ca știință specială. Multe paradoxuri au fost descoperite în Evul Mediu. Mai târziu, însă, s-au dovedit a fi uitate și au fost redescoperite deja în secolul nostru.

Logicienii medievali nu erau conștienți de conceptele de „mult” și „element al mulțimii”, introduse în știință abia în a doua jumătate a secolului al XIX-lea. Dar flerul pentru paradoxuri s-a perfecționat în Evul Mediu într-o asemenea măsură încât deja în acea perioadă timpurie au fost exprimate anumite preocupări cu privire la conceptele auto-aplicabile. Cel mai simplu exemplu în acest sens este noțiunea de „a fi propriul element” care apare în multe dintre paradoxurile de astăzi.

Cu toate acestea, astfel de temeri, ca toate avertismentele despre paradoxuri în general, nu au fost sistematice și definitive până în secolul nostru. Ele nu au condus la propuneri clare de revizuire a modurilor obișnuite de a gândi și de a exprima.

Doar logica modernă a scos însăși problema paradoxurilor din uitare, a descoperit sau redescoperit majoritatea paradoxurilor logice specifice. Ea a mai arătat că modalitățile de gândire explorate în mod tradițional de logică sunt complet insuficiente pentru a elimina paradoxurile și a indicat metode fundamental noi de a le trata.

Paradoxurile prezintă întrebare importantă: ce, de fapt, ne eșuează unele dintre metodele obișnuite de formare și raționament a conceptelor? Până la urmă, păreau complet naturale și convingătoare, până s-a dovedit că sunt paradoxale.

Paradoxurile subminează credința că metodele obișnuite gândire teoretică prin ele însele și fără niciun control special asupra lor oferă un progres de încredere către adevăr.

Necesind o schimbare radicală a unei abordări excesiv de credule a teoretizării, paradoxurile sunt o critică dură a logicii în forma sa naivă, intuitivă. Ele joacă rolul unui factor care controlează și pune restricții asupra modului de construire a sistemelor deductive ale logicii. Și acest rol al acestora poate fi comparat cu rolul unui experiment care testează corectitudinea ipotezelor în științe precum fizica și chimia și îi obligă să facă modificări acestor ipoteze.

Un paradox într-o teorie vorbește despre incompatibilitatea ipotezelor care stau la baza acesteia. Acționează ca un simptom detectat în timp util al bolii, fără de care ar fi putut fi trecut cu vederea.

Desigur, boala se manifestă în multe feluri și, în cele din urmă, este posibil să o dezvălui fără simptome atât de acute precum paradoxurile. De exemplu, bazele teoriei mulțimilor ar fi analizate și rafinate chiar dacă nu s-ar descoperi paradoxuri în acest domeniu. Dar n-ar fi existat acea acuratețe și urgență cu care paradoxurile descoperite în ea ridicau problema revizuirii teoriei mulțimilor.

Se propune o literatură extinsă dedicată paradoxurilor număr mare explicatiile lor. Dar nici una dintre aceste explicații nu este universal acceptată și cumva consimțământ deplinîn problema originii paradoxurilor și modalităților de a scăpa de ele, nr.

„În ultimii șaizeci de ani, sute de cărți și articole au fost dedicate obiectivului de a rezolva paradoxurile, dar rezultatele sunt uimitor de slabe în comparație cu eforturile depuse”, scrie A. Frenkel. „Se pare”, încheie H. Curry analiza sa asupra paradoxurilor, „că este necesară o reformă completă a logicii, iar logica matematică poate deveni instrumentul principal pentru realizarea acestei reforme”.

Eliminarea și explicarea paradoxurilor

Trebuie remarcată o diferență importantă.

Eliminarea paradoxurilor și rezolvarea lor nu sunt același lucru. A înlătura un paradox dintr-o anumită teorie înseamnă a o restructura în așa fel încât afirmația paradoxală să se dovedească nedemonstrabilă în ea. Fiecare paradox se bazează pe un număr mare de definiții, presupuneri și argumente. Concluzia lui în teorie este un anumit lanț de raționament. Din punct de vedere formal, se poate pune la îndoială oricare dintre verigile sale, o poate renunța și, prin urmare, rupe lanțul și elimină paradoxul. În multe lucrări, acest lucru se face și se limitează la asta.

Dar aceasta nu este încă rezolvarea paradoxului. Nu este suficient să găsiți o modalitate de a o exclude; trebuie să justificați în mod convingător soluția propusă. Însăși îndoiala cu privire la un pas care duce la un paradox trebuie să fie bine întemeiată.

În primul rând, decizia de a abandona anumite mijloace logice, folosit în derivarea afirmației paradoxale, ar trebui să fie legat de considerațiile noastre generale cu privire la natura dovada logicași alte intuiții logice. Dacă nu este cazul, eliminarea paradoxului se dovedește a fi lipsită de fundații solide și stabile și degenerează într-o sarcină preponderent tehnică.

În plus, respingerea unei presupuneri, chiar dacă oferă eliminarea unui anumit paradox, nu garantează automat eliminarea tuturor paradoxurilor. Acest lucru sugerează că paradoxurile nu ar trebui „vânate” unul câte unul. Excluderea unuia dintre ele ar trebui să fie întotdeauna atât de justificată încât să existe o anumită garanție că alte paradoxuri vor fi eliminate prin același pas.

De fiecare dată când este descoperit un paradox, scrie A. Tarsky, „trebuie să ne supunem modurilor de gândire unei revizuiri amănunțite, să respingem unele presupuneri în care am crezut și să îmbunătățim metodele de argumentare pe care le-am folosit. Facem acest lucru într-un efort nu numai pentru a scăpa de antinomii, ci și pentru a preveni apariția altora noi.

Și, în sfârșit, o respingere prost concepută și neglijentă a prea multe sau prea puternice presupuneri poate duce pur și simplu la ceea ce se dovedește, deși nu conține paradoxuri, ci mult mai mult. teorie slabă doar cu interes privat.

Care poate fi setul minim, cel mai puțin radical de măsuri pentru a evita paradoxurile cunoscute?

Gramatica logica

O modalitate este de a evidenția, împreună cu propozițiile adevărate și false, și propozițiile fără sens. Această cale a fost adoptată de B. Russell. Raționamentul paradoxal a fost declarat de el a fi lipsit de sens pe motiv că au încălcat cerințele gramaticii logice. Nu orice propoziție care nu încalcă regulile gramaticii obișnuite este semnificativă - trebuie să îndeplinească și regulile unei gramatici speciale, logice.

Russell a construit o teorie a tipurilor logice, un fel de gramatică logică, a cărei sarcină era să elimine toate antinomiile cunoscute. Ulterior, această teorie a fost simplificată substanțial și a fost numită teoria simplă a tipurilor.

Ideea principală a teoriei tipurilor este alocarea logic a diferitelor tipuri de obiecte, introducerea unui fel de ierarhie, sau scară, a obiectelor luate în considerare. Tipul cel mai mic, sau nul, include obiecte individuale care nu sunt seturi. Primul tip include seturi de obiecte de tip zero, i.e. indivizi; la al doilea - seturi de seturi de indivizi etc. Cu alte cuvinte, se face o distincție între obiecte, proprietăți ale obiectelor, proprietăți ale proprietăților obiectelor etc. În același timp, sunt introduse anumite restricții la construirea propunerilor. Proprietățile pot fi atribuite obiectelor, proprietățile proprietăților proprietăților și așa mai departe. Dar este imposibil să afirmăm în mod semnificativ că obiectele au proprietăți de proprietăți.

Să luăm o serie de sugestii:

Casa asta este roșie.

Roșul este o culoare.

Culoarea este un fenomen optic.

În aceste propoziții, expresia „această casă” se referă la un anumit obiect, cuvântul „roșu” indică o proprietate inerentă în acest subiect, „a fi o culoare” - pe proprietatea acestei proprietăți („a fi roșu”) și „a fi fenomen optic” - indică proprietatea proprietății „fie culoare”, care aparține proprietății „fi roșu”. Aici avem de-a face nu numai cu obiecte și proprietățile lor, ci și cu proprietățile proprietăților („proprietatea de a fi roșu are proprietatea de a fi o culoare”) și chiar și cu proprietățile proprietăților proprietăților.

Toate cele trei propoziții din seria de mai sus sunt, desigur, semnificative. Sunt construite în conformitate cu cerințele teoriei tipurilor. Și să presupunem că propoziția „Această casă este o culoare” încalcă aceste cerințe. Ea atribuie unui obiect acea caracteristică care poate aparține numai proprietăților, dar nu și obiectelor. O încălcare similară este cuprinsă în propoziția „Această casă este un fenomen optic”. Ambele propuneri trebuie clasificate ca lipsite de sens.

O simplă teorie a tipurilor elimină paradoxul lui Russell. Cu toate acestea, pentru a elimina paradoxurile Mincinosului și Berry, simpla împărțire a obiectelor luate în considerare în tipuri nu mai este suficientă. Este necesar să se introducă o ordine suplimentară în cadrul tipurilor în sine.

Eliminarea paradoxurilor se poate realiza si prin evitarea folosirii setiilor prea mari, asemanatoare multimii tuturor multimilor. Această cale a fost propusă de matematicianul german E. Zermelo, care a legat apariția paradoxurilor de construcția nelimitată a mulțimilor. Mulțimile admisibile au fost definite de el printr-o listă de axiome formulate în așa fel încât paradoxurile cunoscute să nu fie deduse din ele. În același timp, aceste axiome au fost suficient de puternice pentru a deduce din ele argumentele obișnuite ale matematicii clasice, dar fără paradoxuri.

Nici aceste două, nici celelalte modalități propuse de eliminare a paradoxurilor nu sunt în general acceptate. Nu există un consens că vreuna dintre teoriile propuse permite paradoxuri logice mai degrabă decât să le arunci fără o explicație profundă. Problema explicării paradoxurilor este încă deschisă și încă importantă.

Viitorul paradoxurilor

G. Frege, cel mai mare logician secolul trecut, a fost, din păcate, foarte caracter prost. În plus, a fost fără rezerve și chiar crud față de criticile sale față de contemporanii săi.

Poate de aceea contribuția sa la logica și fundamentul matematicii nu a primit recunoaștere multă vreme. Iar când faima a început să vină la el, tânărul logician englez B. Russell i-a scris că apare o contradicție în sistemul publicat în primul volum al cărții sale The Fundamental Laws of Arithmetic. Al doilea volum al acestei cărți era deja tipărit, iar Frege nu putea decât să adauge la el aplicație specială, în care a conturat această contradicție (numită ulterior „paradoxul lui Russell”) și a recunoscut că nu a fost în stare să o elimine.

Cu toate acestea, consecințele acestei recunoașteri au fost tragice pentru Frege. A trăit cel mai mare șoc. Și deși atunci avea doar 55 de ani, nu a publicat o altă lucrare semnificativă despre logică, deși a trăit mai bine de douăzeci de ani. El nici măcar nu a răspuns la discuția plină de viață provocată de paradoxul lui Russell și nu a reacționat în niciun fel la numeroasele soluții propuse la acest paradox.

Impresia făcută matematicienilor și logicienilor de paradoxurile nou descoperite a fost bine exprimată de D. Hilbert: perioadă lungă de timp insuportabil. Gândiți-vă: în matematică - acel model de certitudine și adevăr - formarea conceptelor și cursul inferențelor, pe măsură ce toată lumea le studiază, le învață și le aplică, duce la absurd. Unde să cauți încredere și adevăr, chiar dacă gândirea matematică rateu?"

Frege a fost un reprezentant tipic al logicii sfârşitul XIX-lea secol, liber de orice paradoxuri, logica, încrezător în capacitățile sale și pretinzând a fi un criteriu de rigoare chiar și pentru matematică. Paradoxurile au arătat că strictețea absolută atinsă de presupusa logică nu era altceva decât o iluzie. Ei au arătat incontestabil că logica - în forma intuitivă pe care o avea la începutul secolului - are nevoie de o revizuire profundă.

A trecut aproximativ un secol de când a început discuția vie despre paradoxuri. Revizuirea întreprinsă a logicii nu a condus, însă, la rezolvarea lor fără ambiguitate.

Și, în același timp, o astfel de stare nu preocupă pe nimeni astăzi. De-a lungul timpului, atitudinile față de paradoxuri au devenit mai calme și chiar mai tolerante decât la momentul în care au fost descoperite. Nu doar că paradoxurile au devenit ceva familiar. Și, desigur, nu că le-au suportat. Ei rămân în continuare în centrul atenției logicienilor, căutarea soluțiilor lor continuă activ. Situația s-a schimbat în primul rând pentru că paradoxurile s-au dovedit a fi, ca să spunem așa, localizate. Și-au găsit locul lor definit, deși tulburat o gamă largă cercetare logica. A devenit clar că austeritatea absolută, așa cum a fost descrisă la sfârșitul secolului trecut și chiar uneori la începutul acestui secol, este, în principiu, un ideal de neatins.

De asemenea, s-a realizat că nu există o singură problemă a paradoxurilor care să stea singură. Problemele asociate acestora sunt de diferite tipuri și afectează, de fapt, toate secțiunile principale ale logicii. Descoperirea unui paradox ne obligă să ne analizăm mai profund intuițiile logice și să ne angajăm într-o reelaborare sistematică a fundamentelor științei logicii. În același timp, dorința de a evita paradoxurile nu este nici singura, nici măcar, poate, sarcina principala. Deși sunt importante, ele sunt doar un prilej de reflecție teme centrale logică. Continuând compararea paradoxurilor cu simptome deosebit de pronunțate ale bolii, se poate spune că dorința de a elimina imediat paradoxurile ar fi ca și dorința de a elimina astfel de simptome fără prea multă preocupare pentru boala în sine. Ceea ce se cere nu este doar rezolvarea paradoxurilor, ci explicarea lor, care ne adâncește înțelegerea modelelor logice de gândire.

7. Câteva paradoxuri, sau ce arată ca ele

Și pentru a încheia această scurtă discuție despre paradoxurile logice, iată câteva probleme pe care cititorul va fi util să le mediteze. Este necesar să decidem dacă afirmațiile și raționamentul dat sunt cu adevărat paradoxuri logice sau doar par a fi. Pentru a face acest lucru, evident, ar trebui să restructuram cumva materialul sursă și să încercăm să deducem o contradicție din el: atât afirmarea, cât și negarea aceluiași lucru despre același lucru. Dacă se găsește un paradox, vă puteți gândi ce cauzează apariția lui și cum să-l eliminați. Puteți chiar încerca să veniți cu propriul paradox de același tip, adică. construit după aceeași schemă, dar pe baza altor concepte.

1. Cel care spune: „Nu știu nimic” face o afirmație aparent paradoxală, autocontradictorie. El afirmă, în esență, „Știu că nu știu nimic”. Dar cunoașterea că nu există cunoaștere este totuși cunoaștere. Aceasta înseamnă că vorbitorul, pe de o parte, se asigură că nu are nicio cunoaștere, iar pe de altă parte, prin însăși afirmarea acesteia, spune că are anumite cunoștințe. Ce se întâmplă aici?

Reflectând la această dificultate, se poate aminti că Socrate a exprimat o idee similară cu mai multă atenție. El a spus: „Știu doar că nu știu nimic”. Dar alta greaca antica, Metrodorus, a afirmat cu deplină convingere: „Nu știu nimic și nici măcar nu știu că nu știu nimic”. Există un paradox în această afirmație?

2. Evenimentele istorice sunt unice. Istoria, dacă se repetă, este, după o expresie cunoscută, prima oară ca o tragedie, iar a doua oară ca o farsă. Din originalitate evenimente istorice uneori se derivă ideea că istoria nu învață nimic. "Poate, cea mai mare lecție Istoria, - scrie O. Huxley, - constă într-adevăr în faptul că nimeni nu a învățat vreodată nimic din istorie.

Este puțin probabil ca această idee să fie corectă. Trecutul este tocmai ceea ce se studiază în principal pentru a înțelege mai bine prezentul și viitorul. Un alt lucru este că „lecțiile” din trecut, de regulă, sunt ambigue.

Nu este oare contradictorie credința că istoria nu învață nimic? La urma urmei, ea însăși decurge din istorie ca una dintre lecțiile sale. Nu ar fi mai bine ca susținătorii acestei idei să o formuleze în așa fel încât să nu se aplice pentru ei înșiși: „Istoria învață singurul lucru – nimic nu se poate învăța din ea” sau „Istoria nu învață altceva decât această lecție? ale ei"?

3. „S-a dovedit că nu există dovezi”. Aceasta pare a fi o afirmație auto-contradictorie: este o dovadă, sau presupune o dovadă deja făcută („s-a dovedit că...”) și, în același timp, afirmă că nu există nicio dovadă.

Cunoscutul sceptic antic Sextus Empiricus a propus următoarea soluție: în loc de afirmația de mai sus, acceptați afirmația „S-a dovedit că nu există altă dovadă decât aceasta” (sau: „S-a dovedit că nu există nimic dovedit altul decât asta"). Dar această ieșire nu este iluzorie? Până la urmă, se afirmă, în esență, că există o singură și o singură dovadă - dovada inexistenței oricărei probe („Există una și o singură dovadă: dovada că nu există alte dovezi”). Care este atunci operația probei în sine, dacă, judecând după această afirmație, s-a putut efectua o singură dată? În orice caz, opinia proprie a lui Sextus despre valoarea dovezilor nu era foarte mare. El a scris, în special: „Așa cum au dreptate cei care se descurcă fără dovezi, la fel au dreptate cei care, fiind înclinați să se îndoiască, susțin în mod nefondat o opinie opusă”.

4. „Nici o afirmație nu este negativă”, sau mai simplu: „Nu există afirmații negative”. Cu toate acestea, această expresie în sine este o afirmație și este tocmai negativă. Pare un paradox. Ce reformulare a acestei afirmații ar putea evita paradoxul?

Filosoful și logicianul medieval Zh. Măgarul, ca orice alt animal, se străduiește să aleagă cel mai bun dintre două lucruri. Cele două brațe nu se pot deosebi unul de celălalt și, prin urmare, el nu poate prefera niciunul dintre ele. Cu toate acestea, acest „măgar buridan” nu se află în scrierile lui Buridan însuși. În logică, Buridan este bine cunoscut și în special pentru cartea sa despre sofisme. Conține următoarea concluzie, relevantă pentru tema noastră: nicio afirmație nu este negativă; prin urmare, există o propoziție negativă. Este justificata aceasta concluzie?

5. Descrierea lui N.V. Gogol despre jocul de dame al lui Cicikov cu Nozdrev este binecunoscută. Jocul lor nu s-a terminat niciodată, Cicikov a observat că Nozdryov înșela și a refuzat să joace de teamă să nu piardă. Recent, un specialist în schițe a reconstituit din observațiile celor care au jucat cursul acestui joc și a arătat că poziția lui Cicikov nu era încă fără speranță.

Să presupunem că Cicikov a continuat totuși jocul și, în cele din urmă, a câștigat jocul, în ciuda șmecheriei partenerului său. Conform acordului, învinsul Nozdryov trebuia să-i dea lui Cicikov cincizeci de ruble și „un cățeluș din clasa de mijloc sau un sigiliu de aur pentru ceas”. Dar, cel mai probabil, Nozdryov ar refuza să plătească, subliniind că el însuși a înșelat întregul joc și că a nu respecta regulile nu este, așa cum ar fi, un joc. Cicikov ar fi putut obiecta că vorbirea despre fraudă este deplasată aici: învinsul însuși a înșelat, ceea ce înseamnă că trebuie să plătească cu atât mai mult.

Într-adevăr, ar trebui să plătească Nozdryov într-o astfel de situație sau nu? Pe de o parte, da, pentru că a pierdut. Dar, pe de altă parte, nu, deoarece un joc care nu este conform regulilor nu este deloc un joc; Nu poate exista niciun câștigător sau învins într-un astfel de „joc”. Dacă Cicikov însuși ar fi înșelat, Nozdryov, desigur, nu ar fi fost obligat să plătească. Dar, totuși, învinsul Nozdryov a fost cel care a înșelat...

Ceva paradoxal se simte aici: „pe de o parte...”, „pe de altă parte...”, și, în plus, de ambele părți este la fel de convingător, deși aceste părți sunt incompatibile.

Ar trebui să plătească în continuare Nozdryov sau nu?

6. „Orice regulă are excepții”. Dar această afirmație este în sine o regulă. Ca toate celelalte reguli, trebuie să aibă excepții. O astfel de excepție ar fi în mod evident regula „Există reguli care nu au excepții”. Nu există un paradox în toate? Care dintre exemplele anterioare seamănă cu aceste două reguli? Este permis să raționăm astfel: fiecare regulă are excepții; Asta înseamnă că există reguli fără excepții?

7. „Orice generalizare este greșită”. Este clar că această afirmație rezumă experiența operației mentale a generalizării și este ea însăși o generalizare. Ca toate celelalte generalizări, trebuie să fie greșită. Deci, trebuie să existe generalizări adevărate. Cu toate acestea, este corect să argumentăm astfel: fiecare generalizare este greșită, prin urmare, există generalizări adevărate?

8. Un anume scriitor a compus un „Epitaf tuturor genurilor” menit să demonstreze că genurile literare, distincția dintre care a stârnit atâtea controverse, sunt moarte și nu pot fi reținute.

Dar epitaful, între timp, este și un gen într-un anumit fel, genul inscripțiilor funerare, care s-a dezvoltat în vremuri străvechi și a intrat în literatură ca un fel de epigramă:

Aici mă odihnesc: Jimmy Hogg.
Dumnezeu să-mi ierte păcatele,
Ce aș face dacă aș fi Dumnezeu
Și el este regretatul Jimmy Hogg.

Deci epitaful tuturor genurilor, fără excepție, păcătuiește ca cu inconsecvență. Care este cel mai bun mod de a o reformula?

9. „Nu spune niciodată niciodată”. Interzicând folosirea cuvântului „niciodată”, trebuie să folosiți acest cuvânt de două ori!

Același lucru pare să fie și cu sfatul: „Este timpul ca cei care spun „e timpul” să spună altceva decât „este timpul””.

Există o inconsecvență deosebită în astfel de sfaturi și poate fi evitată?

10. În poezia „Nu crede”, publicată, bineînțeles, la secțiunea „Poezie ironică”, autorul ei recomandă să nu crezi în nimic:

... Nu crede în puterea magică a focului:
Arde în timp ce se pune lemne de foc în el.
Nu crede în calul cu coama de aur
Nu pentru nicio turtă dulce!
Nu crede că turmele de stele
Se repezi într-un vârtej nesfârșit.
Dar ce îți va rămâne atunci?
Nu crede ce am spus.
Nu crede.

(V. Prudovsky)

Dar este reală această neîncredere generală? Aparent, este contradictoriu și, prin urmare, logic imposibil.

11. Să presupunem că, contrar credinței comune, există încă oameni neinteresanți. Să le adunăm mental împreună și să alegem dintre ele pe cel mai mic ca înălțime, sau cel mai mare ca greutate, sau vreun alt „cel mai...”. Ar fi interesant de privit această persoană, așa că l-am inclus inutil în lista celor neinteresanți. După ce l-am exclus, vom găsi din nou printre cei rămași „tot…” în același sens și așa mai departe. Și toate acestea până când nu rămâne decât o singură persoană cu nimeni cu care să se compare. Dar se dovedește că tocmai asta îl interesează! Ca urmare, ajungem la concluzia că oameni neinteresanti Nu. Și argumentul a început cu faptul că astfel de oameni există.

Se poate încerca, în special, să găsească printre oamenii neinteresanți pe cei mai neinteresanți dintre toți cei neinteresanți. În acest sens, el va fi, fără îndoială, interesant și va trebui să fie exclus dintre oamenii neinteresanți. Printre restul, din nou, este cel mai puțin interesant și așa mai departe.

Cu siguranță există un strop de paradox în aceste argumente. Există o greșeală aici și, dacă da, ce este?

12. Să presupunem că ți s-a dat o foaie de hârtie goală și s-a instruit să descrii această foaie pe ea. Tu scrii: aceasta este o frunză forma rectangulara, alb, de asemenea dimensiuni, din fibre de lemn presate etc.

Descrierea pare a fi completa. Dar este evident incomplet! În procesul de descriere, obiectul s-a schimbat: pe el a apărut text. Prin urmare, este necesar să adăugați și la descriere: și, în plus, pe această foaie de hârtie scrie: aceasta este o foaie de formă dreptunghiulară, albă ... etc. catre infinit.

Pare un paradox aici, nu-i așa?

O cârmă de pepinieră binecunoscută:

Preotul avea un câine
El o iubea
Ea a mâncat o bucată de carne
El a ucis-o.
Ucis și îngropat
Și pe tablă a scris:
„Preotul avea un câine...”

Ar putea acest pop iubitor de câini să-și termine vreodată piatra funerară? Nu amintește compoziția acestei inscripții Descriere completa coală de hârtie pe ea?

13. Un autor dă acest sfat „subtil”: „Dacă trucurile mici nu îți permit să obții ceea ce îți dorești, apelează la trucuri mari”. Acest sfat este oferit la rubrica „Trucuri ale meseriei”. Dar este chiar el unul dintre acele trucuri? La urma urmei, „micile trucuri” nu ajută și tocmai din acest motiv trebuie să apelezi la acest sfat.

14. Numim un joc normal dacă se termină cu un număr finit de mișcări. Exemple de jocuri normale sunt șahul, damele, dominoul: aceste jocuri se termină întotdeauna fie cu victoria uneia dintre părți, fie la egalitate. Jocul, care nu este normal, continuă la infinit fără niciun rezultat. Să introducem și noțiunea de superjoc: prima mișcare a unui astfel de joc este de a determina ce joc trebuie jucat. Dacă, de exemplu, tu și cu mine intenționăm să jucăm un super joc și dețin prima mișcare, pot spune: „Hai să jucăm șah”. Apoi, ca răspuns, faceți prima mișcare a jocului de șah, să zicem, e2 - e4, și continuăm jocul până la sfârșit (în special, din cauza expirării timpului alocat de regulamentul turneului). Ca prima mea mișcare, vă pot sugera să joc tic-tac-toe și altele asemenea. Dar jocul pe care îl aleg trebuie să fie normal; nu poți alege un joc care nu este normal.

Apare o problemă: super-jocul în sine este normal sau nu? Să presupunem că acesta este un joc normal. Deoarece poate alege oricare dintre jocurile normale ca primă mișcare, pot spune: „Hai să jucăm super-jocul”. După aceea, super-jocul a început, iar următoarea mișcare din el este a ta. Ai dreptul să spui: „Hai să jucăm un super joc”. Pot să repet: „Hai să jucăm super jocul” și astfel procesul poate continua la nesfârșit. Prin urmare, superjocul nu se aplică în cazul jocurilor normale. Dar din cauza faptului că superjocul nu este normal, nu pot sugera un superjoc cu prima mea mișcare în superjoc; Trebuie să aleg jocul normal. Dar alegerea unui joc normal care are un final contrazice faptul dovedit că superjocul nu aparține celor normali.

Deci, este superjocul un joc normal sau nu?

În încercarea de a răspunde la această întrebare, nu ar trebui, desigur, să urmați calea ușoară a distincțiilor pur verbale. Cel mai simplu mod este să spui că un joc normal este un joc, iar un super joc este doar o farsă.

De ce alte paradoxuri amintește acest paradox al super-jocului fiind atât normal, cât și anormal în același timp?

Literatură

Bayif J.K. Sarcini logice. - M., 1983.

Bourbaki N. Eseuri despre istoria matematicii. - M., 1963.

Gardner M. Hai ghici! – M.: 1984.

Ivin A.A. Conform legilor logicii. - M., 1983.

Klini S.K. Logica matematică. - M., 1973.

Smallian R.M. Care este numele acestei cărți? – M.: 1982.

Smallian R.M. Printesa sau tigru? – M.: 1985.

Frenkel A., Bar-Hillel I. Fundamentele teoriei mulţimilor. - M., 1966.

întrebări de testare

Care este semnificația paradoxurilor pentru logică?

Ce soluții au fost propuse pentru paradoxul Mincinosului?

Care sunt caracteristicile unui limbaj închis semantic?

Care este esența paradoxului multor seturi obișnuite?

Există o soluție la disputa dintre Protagoras și Euathlus? Ce soluții au fost propuse pentru această dispută?

Care este esența paradoxului numelor inexacte?

Care ar putea fi particularitatea paradoxurilor logice?

Ce concluzii pentru logică rezultă din existența paradoxurilor logice?

Care este diferența dintre eliminarea și explicarea unui paradox? Care este viitorul paradoxurilor logice?

Subiecte ale rezumatelor și rapoartelor

Conceptul de paradox logic

Paradoxul mincinosului

Paradoxul lui Russell

Paradoxul „Protagoras și Euathlus”

Rolul paradoxurilor în dezvoltarea logicii

Perspective pentru rezolvarea paradoxurilor

Distincția dintre limbaj și metalimbaj

Eliminarea și rezolvarea paradoxurilor

1 octombrie 2014

Oamenilor de știință și gânditorilor le plăcea de mult să se distreze pe ei înșiși și pe colegii lor punând probleme de nerezolvat și formulând tot felul de paradoxuri. Unele dintre aceste experimente de gândire rămân relevante de mii de ani, ceea ce indică imperfecțiunea multor modele științifice populare și „găuri” în teoriile general acceptate care au fost mult timp considerate fundamentale.

Vă invităm să reflectați asupra celor mai interesante și uimitoare paradoxuri, care, după cum se spune acum, au „suflat creierul” a mai mult de o generație de logicieni, filosofi și matematicieni.

1. Aporia „Achile și broasca țestoasă”

Paradoxul lui Ahile și al țestoasei este unul dintre paradoxurile (afirmații corecte din punct de vedere logic, dar contradictorii) formulate de filosoful grec antic Zenon din Elea în secolul al V-lea î.Hr. Esența sa este următoarea: legendarul erou Ahile a decis să concureze în alergarea cu o țestoasă. După cum știți, țestoasele nu diferă în viteză, așa că Ahile i-a oferit adversarului un avans de 500 m. Când țestoasa depășește această distanță, eroul începe să urmărească cu o viteză de 10 ori mai mare, adică în timp ce țestoasa se târăște 50 m. , Ahile reușește să alerge 500 m avans dat . Apoi alergătorul depășește următorii 50 m, dar în acest moment țestoasa se târă înapoi încă 5 m, se pare că Ahile este pe cale să-l ajungă din urmă, dar adversarul este încă înainte și în timp ce el alergă 5 m, ea reușește să mai înaintați o jumătate de metru și așa mai departe. Distanța dintre ele este infinit redusă, dar, teoretic, eroul nu reușește niciodată să ajungă din urmă cu broasca țestoasă lentă, nu este mult, dar mereu înaintea lui.

© www.student31.ru

Bineînțeles, din punctul de vedere al fizicii, paradoxul nu are sens - dacă Ahile se mișcă mult mai repede, oricum va trece înainte, totuși, Zenon, în primul rând, a vrut să demonstreze prin raționamentul său că conceptele matematice idealizate ale „punct în spațiu” și „moment de timp” nu sunt prea potrivite pentru aplicarea corectă la mișcarea reală. Aporia dezvăluie discrepanța dintre ideea sănătoasă din punct de vedere matematic conform căreia intervalele de spațiu și timp diferite de zero pot fi împărțite la infinit (deci broasca țestoasă trebuie să rămână mereu înainte) și realitatea în care eroul, desigur, câștigă cursa.

2. Paradoxul buclei de timp

Noii călători în timp de David Toomey

Paradoxurile care descriu călătoria în timp au fost de multă vreme o sursă de inspirație pentru scriitorii de science fiction și creatorii de filme și emisiuni TV de science fiction. Există mai multe variante ale paradoxurilor buclei temporale, unul dintre cele mai simple și mai ilustrative exemple ale unei astfel de probleme a fost dat în cartea sa The New Time Travelers de David Toomey, profesor la Universitatea din Massachusetts.

Imaginează-ți că un călător în timp a cumpărat o copie a Hamletului lui Shakespeare de la o librărie. Apoi a mers în Anglia pe vremea reginei Fecioare Elisabeta I și, după ce l-a găsit pe William Shakespeare, i-a înmânat o carte. A rescris-o și a publicat-o ca o lucrare proprie. Trec sute de ani, Hamlet este tradus în zeci de limbi, retipărit la nesfârșit, iar unul dintre exemplare ajunge chiar în librăria de unde călătorul în timp îl cumpără și îl dă lui Shakespeare, care face o copie și așa mai departe... Cine ar trebui să fie numărat în acest caz, autorul unei tragedii nemuritoare?

3. Paradoxul unei fete și al unui băiat

Martin Gardner / © www.post-gazette.com

În teoria probabilității, acest paradox este numit și „Copiii domnului Smith” sau „Problemele doamnei Smith”. A fost formulat pentru prima dată de matematicianul american Martin Gardner într-unul dintre numerele revistei Scientific American. Oamenii de știință s-au certat cu privire la paradoxul de zeci de ani și există mai multe modalități de a-l rezolva. După ce te gândești la problemă, poți oferi propria ta versiune.

Familia are doi copii și se știe cu siguranță că unul dintre ei este băiat. Care este probabilitatea ca al doilea copil să fie și bărbat? La prima vedere, răspunsul este destul de evident - 50 la 50, fie că este cu adevărat băiat sau fată, șansele ar trebui să fie egale. Problema este că, pentru familiile cu doi copii, există patru combinații posibile ale sexelor copiilor - două fete, doi băieți, un băiat mai mare și o fată mai mică și invers - o fată mai mare și un băiat mai mic. Primul poate fi exclus, deoarece unul dintre copii este cu siguranță băiat, dar în acest caz există trei opțiuni posibile, nu două, iar probabilitatea ca și al doilea copil să fie și băiat este o șansă din trei.

4. Paradoxul cărții lui Jourdain

Problema propusă de logicianul și matematicianul britanic Philippe Jourdain la începutul secolului XX poate fi considerată una dintre varietățile celebrului paradox al mincinosului.

Philippe Jourdain

Imaginați-vă - țineți în mâini o carte poștală pe care scrie: „Aprobare pentru reversul cărți poștale adevărate. Întoarcerea cardului dezvăluie expresia „Afirmația de pe cealaltă parte este falsă”. După cum înțelegeți, există o contradicție: dacă prima afirmație este adevărată, atunci este și a doua adevărată, dar în acest caz prima trebuie să fie falsă. Dacă prima față a cărții poștale este falsă, atunci și fraza de pe a doua nu poate fi considerată adevărată, ceea ce înseamnă că prima afirmație devine din nou adevărată ... O versiune și mai interesantă a paradoxului mincinosului este în paragraful următor.

5. Sofismul „Crocodil”

O mamă cu un copil stă pe malul râului, deodată un crocodil înoată spre ei și târăște copilul în apă. Mama de neconsolat cere să-și întoarcă copilul, la care crocodilul îi răspunde că este de acord să-l dea sănătos și sigur dacă femeia îi răspunde corect la întrebarea: „Îi va întoarce copilul?” Este clar că o femeie are două răspunsuri - da sau nu. Dacă ea susține că crocodilul îi va da copilul, atunci totul depinde de animal - considerând că răspunsul este adevărat, răpitorul va lăsa copilul să plece, dar dacă spune că mama s-a înșelat, atunci ea nu va vedea. copilul, conform tuturor regulilor contractului.

© Corax din Syracuse

Răspunsul negativ al femeii complică lucrurile considerabil - dacă se dovedește a fi adevărat, răpitorul trebuie să îndeplinească condițiile înțelegerii și să elibereze copilul, dar în acest fel răspunsul mamei nu va corespunde realității. Pentru a asigura falsitatea unui astfel de răspuns, crocodilul trebuie să returneze copilul mamei, dar acest lucru este contrar contractului, deoarece greșeala ei ar trebui să lase copilul cu crocodilul.

Este demn de remarcat faptul că afacerea oferită de crocodil conține o contradicție logică, astfel încât promisiunea lui este neîndeplinită. Autorul acestui sofism clasic este considerat a fi un orator, gânditor și personaj politic Corax din Siracuza, care a trăit în secolul al V-lea î.Hr.

6. Aporia „Dihotomie”

© www.student31.ru

Un alt paradox de la Zenon din Elea, demonstrând incorectitudinea idealizatului model matematic circulaţie. Problema poate fi pusă așa - să presupunem că ți-ai propus să mergi pe vreo stradă din orașul tău de la început până la sfârșit. Pentru a face acest lucru, trebuie să depășiți prima jumătate a acesteia, apoi jumătate din jumătatea rămasă, apoi jumătate din următorul segment și așa mai departe. Cu alte cuvinte - parcurgeți jumătate din întreaga distanță, apoi un sfert, o opta, o șaisprezece - numărul de segmente descrescătoare ale căii tinde spre infinit, deoarece orice parte rămasă poate fi împărțită în două, ceea ce înseamnă că este imposibil să mergi pe tot drumul. Formulând la prima vedere un paradox oarecum exagerat, Zeno a vrut să arate că legile matematice contrazic realitatea, pentru că de fapt poți parcurge cu ușurință întreaga distanță fără urmă.

7. Aporia „Flying Arrow”

Celebrul paradox al lui Zenon din Elea atinge cele mai profunde contradicții ale ideilor oamenilor de știință despre natura mișcării și a timpului. Aporia este formulată astfel: o săgeată trasă dintr-un arc rămâne nemișcată, deoarece în orice moment se odihnește fără să se miște. Dacă în fiecare moment de timp săgeata este în repaus, atunci ea este întotdeauna în repaus și nu se mișcă deloc, deoarece nu există un moment de timp în care săgeata să se miște în spațiu.

© www.academic.ru

Mințile extraordinare ale omenirii au încercat de secole să rezolve paradoxul unei săgeți zburătoare, dar din punct de vedere logic, este absolut corect. Pentru a o respinge, este necesar să explicăm modul în care un interval de timp finit poate consta dintr-un număr infinit de momente de timp - chiar și Aristotel, care a criticat în mod convingător aporia lui Zenon, nu a reușit să demonstreze acest lucru. Aristotel a subliniat pe bună dreptate că o perioadă de timp nu poate fi considerată suma unor momente izolate indivizibile, dar mulți oameni de știință consideră că abordarea sa nu diferă în profunzime și nu infirmă existența unui paradox. Este de remarcat faptul că, punând problema unei săgeți zburătoare, Zeno nu a căutat să infirme posibilitatea mișcării, ca atare, ci să dezvăluie contradicții în conceptele matematice idealiste.

8. Paradoxul lui Galileo

Galileo Galilei / © Wikimedia

În Conversații și dovezi matematice referitoare la două noi ramuri ale științei, Galileo Galilei a propus un paradox care demonstrează proprietățile curioase ale mulțimilor infinite. Omul de știință a formulat două contradictoriu prieten al judecatii. În primul rând, există numere care sunt pătratele altor numere întregi, cum ar fi 1, 9, 16, 25, 36 și așa mai departe. Există și alte numere care nu au această proprietate - 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 și altele asemenea. Prin urmare, total Trebuie să existe mai multe pătrate exacte și numere regulate decât doar pătrate perfecte. A doua propoziție: pentru fiecare număr natural există pătratul său exact, iar pentru fiecare pătrat există un număr întreg Rădăcină pătrată, adică numărul de pătrate este egal cu numărul de numere naturale.

Pe baza acestei contradicții, Galileo a concluzionat că raționamentul cu privire la numărul de elemente se aplică doar mulțimilor finite, deși mai târziu matematicienii au introdus conceptul de putere a unei mulțimi - cu ajutorul acesteia, corectitudinea celei de-a doua judecăți a lui Galileo a fost demonstrată și pentru mulțimi infinite. .

9. Paradoxul sacului de cartofi

© nieidealne-danie.blogspot.com

Să presupunem că un anumit fermier are un sac de cartofi care cântărește exact 100 kg. După ce i-a examinat conținutul, fermierul descoperă că punga a fost depozitată în umiditate - 99% din masa sa este apă și 1% din substanțele rămase conținute în cartofi. Hotărăște să usuce puțin cartofii, astfel încât conținutul lor de apă să scadă la 98% și mută punga într-un loc uscat. A doua zi, se dovedește că un litru (1 kg) de apă s-a evaporat cu adevărat, dar greutatea sacului a scăzut de la 100 la 50 kg, cum se poate? Să calculăm - 99% din 100 kg este 99 kg, ceea ce înseamnă că raportul dintre masa de reziduu uscat și masa de apă a fost inițial 1/99. După uscare, apa conține 98% din masa totala pungă, atunci raportul dintre masa de reziduu uscat și masa de apă este acum 1/49. Deoarece masa reziduului nu s-a schimbat, apa rămasă cântărește 49 kg.

Desigur, cititorul atent îl va descoperi imediat pe cel mai grosolan eroare matematicăîn calcule - „paradoxul unui sac de cartofi” comicul imaginar poate fi considerat un exemplu excelent al modului în care, cu ajutorul unui raționament aparent „logic” și „susținut științific”, puteți construi literalmente o teorie care contrazice bunul simț de la zero .

10 Paradoxul corbului

Carl Gustav Hempel / © Wikimedia

Problema este cunoscută și sub numele de paradoxul lui Hempel - și-a primit al doilea nume în onoarea matematicianului german Carl Gustav Hempel, autorul versiunii sale clasice. Problema este formulată destul de simplu: fiecare corb este negru. De aici rezultă că orice nu este negru nu poate fi un corb. Această lege se numește contrapoziție logică, adică dacă o anumită premisă „A” are o consecință „B”, atunci negația lui „B” este echivalentă cu negația lui „A”. Dacă o persoană vede un corb negru, acest lucru îi întărește credința că toți corbii sunt negri, ceea ce este destul de logic, totuși, în conformitate cu contrapoziția și principiul inducției, este logic să argumentăm că observarea obiectelor care nu sunt negre (să zicem , mere roșii) demonstrează, de asemenea, că toate corbii sunt vopsite în negru. Cu alte cuvinte, faptul că o persoană locuiește în Sankt Petersburg demonstrează că nu locuiește la Moscova.

Din punct de vedere al logicii, paradoxul arată impecabil, dar contrazice viața reală - merele roșii nu pot confirma în niciun caz faptul că toate corbii sunt negre.

Aici am avut deja o selecție de paradoxuri cu tine -, precum și în special, și Articolul original este pe site InfoGlaz.rf Link către articolul din care este făcută această copie -

Filosoful Stephen Reed despre paradoxul mincinosului, paradoxurile semantice și legătura lor directă cu bazele matematicii.

Merită să începem o conversație despre paradoxurile logice cu o mică poveste pe care o spune Cervantes în cartea sa Don Quijote. La un moment dat în Don Quijote, el îl lasă pe Sancho Panza ca guvernator al insulei Barataria și, în timp ce este guvernator, este păcălit de „subiecții” săi. Într-o dimineață, a fost trezit și i-a spus: „Înainte de micul dejun, trebuie să judeci un lucru”. Și în Spania pe vremea aceea erau mulți vagabonzi, așa că trebuia să fii foarte atent cu oamenii. Și acum, prin pământurile unui moșier curge un râu prin care se aruncă un pod și, pentru a se asigura că toți trecătorii sunt de încredere, acest moșier a pus spânzurătoare și o strajă lângă pod, care cere de la fiecare. trecător să explice unde și de ce merge. Dacă trecătorul spune adevărul, are voie să treacă podul, iar dacă minte, atunci îl așteaptă spânzurătoarea. Și totul a fost bine, a ajutat să distingem cine era vagabond și cine era negustor, până când într-o zi a venit un om care a spus: „Scopul meu este să fiu spânzurat pe această spânzurătoare și nimic mai mult”. Iar paznicul a fost uimit de asta, pentru că s-a gândit: „Păi dacă îl spânzurăm, se va dovedi că a spus adevărul, atunci ar fi trebuit să-l lăsăm să treacă, dar dacă îl lăsăm să treacă, se va dovedi că a mințit, atunci ar trebui să-l punem să închidă”. — Deci, Sancho Panza, cum să judecăm acest caz? Și îi ia ceva timp lui Sancho Panza să aprecieze paradoxul, dar în cele din urmă ia decizia: spânzură jumătate din persoana care a mințit și lasă să treacă jumătatea care a spus adevărul.

Toate acestea sună a distractiv pentru minte, dar pentru oamenii care doresc să ajungă la fundul lucrurilor precum adevărul, raționamentul, limbajul și așa mai departe, indică ceva foarte neliniștitor despre natura limbajului. Pare foarte ușor să cădem într-un paradox: pur și simplu nu știm dacă afirmația acelei persoane a fost adevărată sau nu, dacă a mințit sau nu. Și aceasta se întoarce la paradoxul inițial al mincinosului, formulat de Eubulide în secolul al IV-lea î.Hr. El a ridicat-o la o operă de artă, a spus: „Gândește-te să spui „Mint”. Dacă spun: „Mint”, desigur, pot să mă refer la o altă afirmație a mea, dar dacă folosesc o formulare extrem de atentă, atunci pot spune: „Nu, mint chiar în fraza pe care o spun. acum, această afirmație a mea este falsă. Și din nou, dacă te gândești la asta, vei spune: „Dacă acest lucru ar fi adevărat, atunci din moment ce el spune că afirmația lui este falsă, rezultă că trebuie să fie falsă și nu adevărată, adică nu poate fi adevărată - este trebuie să fie fals. Dar dacă este fals, pentru că spune că este fals, că a mințit, trebuie să fie adevărat.” Așa că ajungem cu un paradox bine înfășurat într-o singură propoziție.

Există o mulțime de astfel de paradoxuri și este ușor de înțeles de ce sunt numite paradoxuri logice: contradicția conținută în ele se dezvăluie cu ajutorul logicii. Unii au auzit de Epimenide: era originar din Creta și era atât de dezamăgit de capacitatea compatrioților săi de a spune adevărul, încât a spus odată: „Toți cretanii sunt mincinoși”. Dacă avea dreptate, dacă într-adevăr toți cretanii erau mincinoși sau dacă alți cretani mințiu mereu, atunci propria sa afirmație trebuie să fie paradoxală. La urma urmei, dacă spune: „Toți cretanii sunt mincinoși”, atunci el spune că propria sa afirmație este falsă, dar în acest caz, într-adevăr, fiecare cretan ar fi mincinos, ceea ce înseamnă că spunea adevărul când a spus că toți cretanii – mincinoși. Calea de ieșire din paradox, desigur, este că, dacă unii cretani ar spune adevărul, atunci afirmația lui ar fi pur și simplu falsă, nu paradoxală.

Deci avem o cantitate mare asemenea paradoxuri. Iată un paradox care îmi place în mod deosebit: luați un cartonaș care spune pe o parte: „Afirmația de pe spatele acestei cărți este adevărată”. Îl întorci și scrie: „Declarația de pe spatele acestei cărți este falsă”. Și dacă te gândești bine, este doar paradoxal, pentru că dacă afirmația de pe prima față este adevărată, atunci afirmația de pe spate este și adevărată, pentru că așa spune prima afirmație; dar pe a doua latură este scris că prima afirmație este falsă, adică dacă prima afirmație este adevărată, este și falsă. Dar acest lucru este imposibil, așa că a doua afirmație trebuie să fie falsă; dar spune că prima afirmație este falsă, apoi prima afirmație nu poate fi falsă - trebuie să fie adevărată. Dar am văzut deja că dacă prima afirmație este adevărată, atunci este falsă, deci obținem un paradox pur.

Unii gânditori medievali au preferat să descrie acest paradox în termenii lui Socrate și Platon, sau uneori Platon și Aristotel. Așadar, Platon a fost profesorul lui Aristotel și l-a considerat cel mai bun elev al său, așa că într-o zi a spus: „Tot ce spune Aristotel este adevărat”. Dar Aristotel nu a fost cel mai mult elev exemplarîn sensul că a vrut să conteste învățăturile lui Platon, așa că a spus: „Tot ce spune Platon este fals”, ceea ce este foarte asemănător cu paradoxul cărților.

Toate acestea au fost paradoxuri în domeniul adevărului, minciunii și limbajului. Dar în secolul al XX-lea, ne-am confruntat cu paradoxuri în matematică. Scurta istorie a întrebării este următoarea: după apariția calculului și apoi după ce a lucrat cu serii infinite în secolul al XVIII-lea, fundamentele matematicii s-au dovedit a fi instabile, oamenii s-au întrebat: „Cum funcționează seria infinită fără să ne conducă la contradicții în matematică?”. Și în secolul al XIX-lea s-a desfășurat o mare mișcare, al cărei scop a fost căutarea unor baze stabile ale matematicii. Atunci teoria mulțimilor a devenit o astfel de bază. Un set este o colecție de obiecte definite printr-o anumită proprietate: de exemplu, poate exista un set de toate numerele naturale, un set de numere pare sau chiar un set de budinci de orez - puteți lua seturi diferite. În matematică, desigur, se folosesc doar mulțimi numerice.

Și toate acestea au arătat bine până la sfârșitul secolului al XIX-lea. Frege, Dedekind și mulți alți gânditori au stabilit matematica sau ceea ce părea a fi fundamentul solid al teoriei mulțimilor. Dar apoi Bertrand Russell, celebrul filozof britanic, citind lucrările lui Frege, s-a gândit: „Poți seta o mulțime de numere, poți da o mulțime de seturi; puteți specifica un set de seturi care se includ pe ele însele sau puteți specifica un set de seturi care nu se includ. Și apoi s-a gândit: „Stai puțin, dacă avem un set de seturi care nu se includ pe ele însele, se va include acest set pe sine sau nu?” Dacă o astfel de mulțime ar fi să se includă pe sine, atunci nu trebuie să se includă pe sine, deoarece prin convenție luăm doar acele mulțimi care nu se includ pe ele însele. Deci ar fi mai bine dacă acest set nu s-ar include pe sine, dar dacă nu se include pe sine, atunci este un set care nu se include și trebuie să facă parte din acest set. Și, așa cum spuneam, toate aceste paradoxuri par la început ca un divertisment pentru minte, dar acum, la începutul secolului al XX-lea, am găsit un paradox, o contradicție în inima a ceea ce ar trebui să fie bazele matematicii. După cum se știe, a fost lovitură mare pentru Frege: era pe cale să publice al doilea volum al Legilor sale fundamentale ale aritmeticii și a trebuit să adauge un apendice în care scria: „Bertrand Russell a subliniat o slăbiciune în inima teoriei mele, dar cred că pot rezolvă această problemă”, și a sugerat o soluție, dar după cum s-a dovedit, nu a fost corectă.

Mă voi întoarce pe scurt la paradoxurile din teoria mulțimilor, deoarece există un alt paradox destul de interesant care ne readuce la discuția despre paradoxurile legate de adevăr, sau așa-numitele paradoxuri semantice. Așa că, aproximativ 40 de ani mai târziu, în jurul anului 1940, matematicianul și logicianul american Haskell B. Curry s-a gândit la paradoxul lui Russell și a spus: „Paradoxul lui Russell se bazează pe negație – vorbește despre o multitudine de mulțimi care nu se includ pe ei înșiși”. Este posibil să obținem același paradox fără a folosi negația? Există vreo cale? Și a spus că există o cale. Luați setul de toate seturile; dacă se includ pe ei înșiși, atunci zero este egal cu unu. Conform teoriei mulțimilor, acesta este o mulțime complet admisibilă. Dar dacă începem să luăm în considerare o astfel de mulțime, dacă se include pe sine, atunci va îndeplini condiția ca dacă se include pe sine, atunci zero este egal cu unu.

Și am presupus că se include pe sine, prin urmare, zero este într-adevăr egal cu unu. Dar este destul de evident că zero nu poate fi egal cu unu, așa că jucăm totul invers și presupunem că un set nu se poate include pe sine. Dacă nu se include pe sine, rezultă imediat că fie nu se include pe sine, fie zero este egal cu unu. Dar este același lucru cu a spune că, dacă se include pe sine, zero este într-adevăr egal cu unu - este același lucru cu a spune fie că nu se include pe sine, fie zero este egal cu unul. Și asta este ca și cum ai spune că, dacă o mulțime se include pe sine, atunci nu este neincluzivă, atunci zero este egal cu unu. Dar atunci se include pe sine, adică am demonstrat că se include pe sine, dar, din moment ce am demonstrat-o, deci, zero este egal cu unu. Salva! Tocmai am demonstrat că zero este egal cu unu! Așadar, chiar în inima matematicii, avem din nou un adevărat paradox de coșmar.

Și câțiva ani mai târziu, acest paradox a fost transformat într-unul dintre paradoxurile semantice despre care am vorbit mai devreme și a luat forma afirmației: „Dacă această afirmație este adevărată, atunci zero este egal cu unu”. Sau chiar: „Dacă această afirmație este adevărată, atunci Dumnezeu există”. Și apoi în doar câteva rânduri putem demonstra că Dumnezeu există sau orice altceva: zero este egal cu unu, Dumnezeu există, plouă astăzi la Moscova - putem dovedi orice cu o astfel de afirmație. Oamenii se gândesc mult la adevăr, așa că este foarte periculos: adevărul este chiar așa? Este adevărul cu adevărat un concept controversat?

Și voi încheia prin a vorbi pe scurt despre un alt paradox pentru a arăta că paradoxurile nu se opresc aici. Iată afirmația: „Nu cunoașteți această afirmație” – nu cunoașteți tocmai afirmația pe care o pronunț acum. Acum să presupunem că îl cunoști. Conceptele de cunoaștere și adevăr ne spun că nu poți ști decât ceea ce este adevărat, astfel încât dacă îl cunoști, este adevărat, caz în care nu îl știi pentru că așa spune. Deci, dacă presupunem că îl cunoști, atunci se dovedește că nu îl cunoști. Așa că am dovedit că nu-l cunoști, dar spune că nu-l cunoști, așa că l-am dovedit. Și desigur, dacă am dovedit ceva, atunci este adevărat, atunci știm, pentru că avem dovezi. Și se dovedește că am dovedit atât că cunoașteți această afirmație, cât și că nu o cunoașteți, așa că avem din nou un paradox epistemic.

Să rezumam. Am descris mai multe paradoxuri semantice, legate în principal de conceptul de adevăr, și am arătat, de asemenea, că sunt foarte asemănătoare cu paradoxurile asociate cu teoria mulțimilor, care se află chiar în centrul matematicii. În plus, ne-am familiarizat cu paradoxurile epistemice care sunt asociate nu numai cu conceptul de adevăr, ci și cu conceptul de cunoaștere. Așadar, am analizat mai multe paradoxuri semantice, precum paradoxul mincinosului, paradoxul Epimenidei și paradoxul cardului, care se bazează pe conceptul de adevăr (în ele vorbim de minciună, neadevăr, adevăr etc.), și apoi am analizat câteva paradoxuri care apar în matematică, acestea fiind asociate cu teoria mulțimilor. Și până la urmă am vorbit și despre un alt tip de paradox - paradoxurile epistemice.

Puteți vedea imediat cât de important este pentru noi să găsim o soluție la aceste paradoxuri, deoarece matematica este implicată în ele, pentru că am căutat baze solide ale matematicii pentru a ne asigura că nu greșim - și acum am găsit o contradicție în ele. Deci avem nevoie de o soluție atunci când vine vorba de paradoxurile matematice legate de teoria mulțimilor, dar avem nevoie și de una pentru paradoxurile semantice. Mulți filozofi se gândesc la conceptul de adevăr și vor să înțeleagă natura adevărului, ce este o afirmație adevărată. Este firesc să presupunem că o propoziție este adevărată dacă totul este așa cum spune; acum uită-te la paradoxul mincinosului: este adevărat dacă mint – este paradoxal și duce la o contradicție. Deci trebuie să regândim conceptul de adevăr, unii vor să regândim logica din spatele lui și metodele de probă care ne-au condus la contradicție. Și este foarte important să facem acest lucru dacă dorim să obținem o înțelegere deplină a conceptelor de adevăr și cunoaștere.

gif: postnauka.ru/ Stephen Reid

Conform legilor logicii Ivin Alexander Arkhipovich

CE ESTE PARADOXUL LOGIC?

Nu există o listă exhaustivă de paradoxuri logice și este imposibil.

Paradoxurile considerate sunt doar o parte din toate cele descoperite până acum. Este probabil ca multe alte tipuri și chiar complet noi să fie descoperite în viitor. Însuși conceptul de paradox nu este atât de clar încât ar fi posibil să se întocmească o listă de paradoxuri cel puțin deja cunoscute.

„Paradoxurile teoretice ale seturilor sunt o problemă foarte serioasă, nu pentru matematică, însă, ci mai degrabă pentru logică și epistemologie”, scrie matematicianul și logicianul austriac K. Gödel. „Logica este inconsecventă. Nu există paradoxuri logice, - spune matematicianul sovietic D. Bochvar. - Asemenea discrepanțe sunt uneori semnificative, alteori verbale. Ideea constă în mare parte în ceea ce se înțelege exact prin „paradox logic”.

O caracteristică necesară a paradoxurilor logice este dicționarul logic. Paradoxurile care sunt logice trebuie formulate în termeni logici. Cu toate acestea, în logică nu există criterii clare pentru împărțirea termenilor în logici și extralogici. Logica, care se ocupă de corectitudinea raționamentului, urmărește să reducă la minimum conceptele de care depinde corectitudinea concluziilor aplicate practic. Dar acest minim nu este predeterminat fără ambiguitate. În plus, afirmațiile nelogice pot fi formulate și în termeni logici. Dacă un anumit paradox folosește doar premise pur logice, este departe de a fi întotdeauna posibil de determinat fără ambiguitate.

Paradoxurile logice nu sunt rigid separate de toate celelalte paradoxuri, la fel cum acestea din urmă nu se disting clar de tot ce nu este paradoxal și în concordanță cu ideile predominante.

La începutul studiului paradoxurilor logice, părea că ele se pot distinge prin încălcarea unor poziții sau reguli a logicii încă neexplorate. „Principiul cercului vicios” introdus de B. Russell a fost deosebit de activ în revendicarea rolului unei astfel de reguli. Acest principiu prevede că o colecție de obiecte nu poate conține membri definiți doar de aceeași colecție.

Toate paradoxurile au un lucru în comun - autoaplicabilitatea sau circularitatea. În fiecare dintre ele, obiectul în cauză este caracterizat de un anumit set de obiecte căruia îi aparține el însuși. Dacă desemnăm, de exemplu, o persoană drept cea mai vicleană dintr-o clasă, facem acest lucru cu ajutorul unui set de oameni căruia îi aparține și această persoană (cu ajutorul „clasei sale”). Și dacă spunem: „Această afirmație este falsă”, caracterizăm declarația de interes pentru noi prin referire la totalitatea tuturor afirmațiilor false care o includ.

În toate paradoxurile, are loc autoaplicabilitatea, ceea ce înseamnă că există, parcă, o mișcare în cerc, care duce în final la punctul de plecare. În efortul de a caracteriza obiectul care ne interesează, ne întoarcem la setul de obiecte care îl include. Cu toate acestea, se dovedește că, pentru definiția sa, ea însăși are nevoie de obiectul luat în considerare și nu poate fi înțeles clar fără el. În acest cerc, probabil, se află sursa paradoxurilor.

Situația este complicată, însă, de faptul că un astfel de cerc există și în multe argumente complet neparadoxale. Circular este o varietate imensă a celor mai comune, inofensive și în același timp convenabile moduri de exprimare. Exemple precum „cel mai mare dintre toate orașele”, „cel mai mic dintre toate numerele naturale”, „unul dintre electronii atomului de fier”, etc., arată că nu orice caz de autoaplicabilitate duce la o contradicție și că este important nu numai în limbajul obișnuit, ci și în limbajul științei.

O simplă referire la utilizarea conceptelor auto-aplicabile este astfel insuficientă pentru a discredita paradoxurile. Este necesar un criteriu suplimentar pentru a separa autoaplicabilitatea, care duce la un paradox, de toate celelalte cazuri ale acesteia.

Au existat multe propuneri în acest sens, dar nu a fost găsită o clarificare cu succes a circularității. Sa dovedit a fi imposibil să caracterizezi circularitatea în așa fel încât fiecare raționament circular să conducă la un paradox și fiecare paradox este rezultatul unor raționamente circulare.

O încercare de a găsi un principiu specific al logicii, a cărui încălcare ar fi o trăsătură distinctivă a tuturor paradoxurilor logice, nu a condus la nimic definit.

Un fel de clasificare a paradoxurilor ar fi, fără îndoială, utilă, subdivându-le în tipuri și tipuri, grupând unele paradoxuri și opunându-le altora. Cu toate acestea, nici în acest caz nu s-a realizat nimic durabil.

Logicianul englez F. Ramsey, care a murit în 1930, când nu avea încă douăzeci și șapte de ani, și-a propus să împartă toate paradoxurile în paradoxurile sintactice și semantice. Primul include, de exemplu, paradoxul lui Russell, al doilea - paradoxurile „mincinosului”, Grelling etc.

Potrivit lui F. Ramsey, paradoxurile primului grup conțin doar concepte aparținând logicii sau matematicii. Acestea din urmă includ concepte precum „adevăr”, „definibilitate”, „numire”, „limbaj”, care nu sunt strict matematice, ci mai degrabă legate de lingvistică sau chiar de teoria cunoașterii. Paradoxurile semantice par să-și datoreze apariția nu unei erori de logică, ci vagului sau ambiguității unor concepte non-logice, de aceea problemele pe care le pun privesc limbajul și trebuie rezolvate de lingvistică.

Lui F. Ramsey i s-a părut că matematicienii și logicienii nu trebuie să fie interesați de paradoxurile semantice.

Mai târziu s-a dovedit, însă, că unele dintre cele mai semnificative rezultate ale logicii moderne au fost obținute tocmai în legătură cu un studiu mai profund al tocmai aceste paradoxuri „non-logice”.

Împărțirea paradoxurilor propusă de F. Ramsey a fost folosită pe scară largă la început și își păstrează o anumită semnificație și acum. În același timp, devine din ce în ce mai clar că această împărțire este destul de vagă și se bazează în primul rând pe exemple, și nu pe o analiză comparativă aprofundată a celor două grupuri de paradoxuri. Conceptele semantice sunt acum bine definite și este greu să nu recunoaștem că aceste concepte sunt într-adevăr logice. Odată cu dezvoltarea semanticii, care își definește conceptele de bază în termeni de teoria mulțimilor, distincția făcută de F. Ramsey este din ce în ce mai estompată.

Din cartea Dialectica mitului autor Losev Alexey Fiodorovich

a) natura extralogică a dependenței de senzație; a) Anume, am afirmat mai sus că cunoaşterea presupune în mod logic o confruntare extralogică între cunoscător şi cunoscut. Este ușor de observat că acesta nu este altceva decât postulatul senzației (sau percepției). Cu alte cuvinte, noi

Din cartea Materialism și empiriocriticism autor Lenin Vladimir Ilici

1. CE ESTE MATERIA? CE ESTE EXPERIENTA? Prima dintre aceste întrebări este frământată constant de idealiști, agnostici, inclusiv machieni, până la materialiști; cu al doilea – materialişti la machişti. Să încercăm să ne dăm seama care este problema aici. Avenarius spune despre problema materiei: „În interior

Din cartea Istoria filosofiei autor Skirbekk Gunnar

Pozitivism logic Între primul și al doilea război mondial, nou ideile filozofice. Multe dintre ele au fost stimulate de dezvoltarea fizicii neclasice și au devenit subiectul unei analize epistemologice serioase prin pozitivism logic.

Din cartea Introducere în filosofie autorul Frolov Ivan

3. Analiză logică (B. Russell) Bertrand Russell (1872–1970) este un om de știință, filosof și persoană publică englez faimos în lume. La vârsta de șaisprezece ani, a citit Autobiografia nașului său, J. S. Mill, care a făcut o mare impresie asupra lui. peru milla

Din cartea Filosofie socială autor Krapivensky Solomon Eliazarovici

2. Pozitivismul logic În 1922, la Departamentul de Filosofie Naturală a Universității din Viena, care după moartea lui E. Mach a fost condusă de profesorul M. Schlick, s-a adunat un grup de tineri oameni de știință care și-au propus un scop îndrăzneț - reforma știință și filozofie. Acest grup este în

Din cartea Filosofia occidentală a secolului XX autor Zotov Anatoli Fedorovich

Metode istorice și logice În general nivel empiric cunoștințele științifice în sine nu sunt suficiente pentru a pătrunde în esența lucrurilor, inclusiv în modelele de funcționare și dezvoltare a societății. La o anumită etapă, când mai mult decât

Din cartea Iisus Hristos de Kasper Walter

§ 1. Atomismul logic al lui B. Russell „Bunicii” pozitivismului logic sunt Moore şi Russell. Rolul lui Moore (1873-1958) este de obicei subliniat de cercetătorii englezi. Ea a constat în faptul că a atras atenția asupra analizei sensului cuvintelor și afirmațiilor folosite de filosofi.

Din cartea Teoria conștiinței autor Preotul Steven

3. Caracterul teologic al Împărăției lui Dumnezeu În tradiția Vechiului Testament și a iudaismului, venirea Împărăției lui Dumnezeu înseamnă venirea lui Dumnezeu. Centrul speranței eshatologice a fost „Ziua lui Iahve” determinată și implementată de Dumnezeu, ziua în care Dumnezeu va fi „tot în toate”, când

Din cartea Cercul Vienei. Apariția neopozitivismului autorul Kraft Victor

CAPITOLUL 2 COMPORTAMENTUL LOGIC Comportamentismul logic este teoria conform căreia a fi într-o stare mentală înseamnă a fi într-o stare comportamentală. Gândirea, speranța, perceperea, amintirea etc. - toate acestea trebuie înțelese fie ca comportament, fie ca posesie

Din cartea Chaos and Structure autor Losev Alexey Fiodorovich

II. ANALIZA LOGICĂ A LIMBAJULUI S-a dezvoltat o nouă logică pentru construcția teoretică a matematicii. În Cercul de la Viena, a devenit în general un mijloc de creare a teoriei științei. Spre deosebire de logica pură, logica aplicată a fost folosită pentru a perfecționa filozofia

Din cartea Arta de a gândi corect autor Ivin Alexandru Arhipovici

15. DICȚIONAR INFINITESIMAL-LOGICb Aceasta încheie mesaj scurt privind aplicarea metodei infinitezimale la logică. Mai degrabă, acesta nu este un mesaj, ci doar o sugestie, doar un indiciu modest la o zonă care nu poate decât să fie imensă. Logica și matematica nu sunt

Din cartea Filosofie. Cartea a treia. Metafizică autor Jaspers Karl Theodor

CE ESTE PARADOXUL LOGIC? Nu există o listă exhaustivă de paradoxuri logice. Paradoxurile logice considerate sunt doar o parte din toate cele descoperite până acum. Este probabil ca multe altele să fie deschise în viitor.

Din cartea Filosofia marxistă în secolul al XIX-lea. Cartea întâi (De la apariția filozofiei marxiste până la dezvoltarea ei în anii 50 - 60 ai secolului XIX) de autor

2. Colapsul logic – Ceea ce poate fi demonstrat sau ceea ce trebuie dovedit este cunoașterea supremă a ceva special. Existența și transcendența, în sensul acestei ființe, nu există. Dacă ne gândim la ele, atunci gândul capătă forme logice, care

Din cartea celor 12 filosofi de seamă ai timpului nostru de Camp Gary

Metode „logice” și „istorice” de cercetare În „Capital”, mai ales în al patrulea volum, a fost reflectată o importantă problemă epistemologică a relației dintre construcția logică a teoriei unui obiect și metodele istorice ale studiului acestuia – al doilea. de

Din cartea Logic. Tutorial autor Gusev Dmitri Alekseevici

Pozitivismul logic al lui Carnap Pozitivismul logic este o formă modificată de empirism. Empirismul în forma sa cea mai pură este doctrina conform căreia toată cunoașterea provine din experiența senzorială. Pozitivismul logic pare mai slab decât el într-o privință. punct important, dar mai puternic în

Din cartea autorului

2.9. Pătratul logic Relațiile dintre propoziții comparabile simple sunt descrise schematic folosind pătratul logic, care a fost dezvoltat de logicienii medievali. După cum puteți vedea, vârfurile pătratului denotă patru tipuri de judecăți simple, iar laturile sale și