Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.
Zhromažďovanie a používanie osobných údajov
Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu konkrétnej osoby alebo jej kontaktovanie.
Kedykoľvek nás budete kontaktovať, môžete byť požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.
Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.
Aké osobné údaje zhromažďujeme:
- Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, adresy Email atď.
Ako používame vaše osobné údaje:
- Nami zozbierané osobné informácie nám umožňuje kontaktovať vás a informovať vás o jedinečné ponuky, propagačné akcie a iné udalosti a nadchádzajúce udalosti.
- Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
- Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je audit, analýza údajov a rôzne štúdie na zlepšenie nami poskytovaných služieb a na poskytovanie odporúčaní týkajúcich sa našich služieb.
- Ak sa zúčastníte žrebovania, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.
Sprístupnenie tretím stranám
Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.
Výnimky:
- V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
- V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušného nástupcu tretej strany.
Ochrana osobných údajov
Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.
Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti
Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.
Medzi všetkou rozmanitosťou logaritmické nerovnosti samostatne študovať nerovnosti s variabilný základ. Riešia sa podľa špeciálneho vzorca, ktorý sa z nejakého dôvodu v škole len zriedka vyučuje:
log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0
Namiesto kavky "∨" môžete umiestniť akékoľvek znamienko nerovnosti: viac alebo menej. Hlavná vec je, že v oboch nerovnostiach sú znamienka rovnaké.
Takže sa zbavíme logaritmov a zredukujeme problém na racionálnu nerovnosť. Posledné je oveľa jednoduchšie vyriešiť, ale pri zahodení logaritmov sa môžu objaviť ďalšie korene. Na ich odrezanie stačí nájsť oblasť povolené hodnoty. Ak ste zabudli ODZ logaritmu, dôrazne odporúčam zopakovať si to - pozri "Čo je to logaritmus".
Všetko, čo súvisí s rozsahom prijateľných hodnôt, musí byť napísané a vyriešené samostatne:
f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.
Tieto štyri nerovnosti tvoria systém a musia byť splnené súčasne. Keď sa nájde rozsah prijateľných hodnôt, zostáva ho krížiť s riešením racionálna nerovnosť- a odpoveď je pripravená.
Úloha. Vyriešte nerovnosť:
Najprv napíšme ODZ logaritmu:
Prvé dve nerovnosti sa vykonajú automaticky a posledná sa bude musieť zapísať. Od druhej mocniny čísla nula vtedy a len vtedy, ak sa samotné číslo rovná nule, máme:
x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Ukazuje sa, že ODZ logaritmu sú všetky čísla okrem nuly: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Teraz vyriešime hlavnú nerovnosť:
Vykonávame prechod z logaritmickej nerovnosti na racionálnu. V pôvodnej nerovnosti je znamienko „menej ako“, takže výsledná nerovnosť by mala byť aj so znamienkom „menšia ako“. Máme:
(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.
Nuly tohto výrazu: x = 3; x = -3; x = 0. Navyše x = 0 je koreň druhej násobnosti, čo znamená, že pri prechode cez ňu sa znamienko funkcie nemení. Máme:
Dostaneme x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Táto množina je úplne obsiahnutá v ODZ logaritmu, čo znamená, že toto je odpoveď.
Transformácia logaritmických nerovností
Pôvodná nerovnosť sa často líši od vyššie uvedenej. Toto sa dá ľahko opraviť štandardné pravidlá práca s logaritmami - pozri "Základné vlastnosti logaritmov". menovite:
- Akékoľvek číslo môže byť reprezentované ako logaritmus s daným základom;
- Súčet a rozdiel logaritmov s rovnakým základom možno nahradiť jedným logaritmom.
Samostatne vám chcem pripomenúť rozsah prijateľných hodnôt. Pretože v pôvodnej nerovnosti môže byť niekoľko logaritmov, je potrebné nájsť DPV každého z nich. teda všeobecná schéma Riešenie logaritmických nerovností je nasledovné:
- Nájdite ODZ každého logaritmu zahrnutého v nerovnosti;
- Znížte nerovnosť na štandardnú pomocou vzorcov na sčítanie a odčítanie logaritmov;
- Vyriešte výslednú nerovnosť podľa vyššie uvedenej schémy.
Úloha. Vyriešte nerovnosť:
Nájdite doménu definície (ODZ) prvého logaritmu:
Riešime intervalovou metódou. Nájdenie núl v čitateli:
3x − 2 = 0;
x = 2/3.
Potom - nuly menovateľa:
x - 1 = 0;
x = 1.
Na šípke súradníc označujeme nuly a znamienka:
Dostaneme x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Druhý logaritmus ODZ bude rovnaký. Ak mi neveríte, môžete si to overiť. Teraz transformujeme druhý logaritmus tak, aby základ bol dva:
Ako vidíte, trojky na základni a pred logaritmom sa zmenšili. Máme dva logaritmy z rovnaký základ. Dajme si ich dokopy:
log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
Získali sme štandardnú logaritmickú nerovnosť. Pomocou vzorca sa zbavíme logaritmov. Keďže v pôvodnej nerovnosti je znamienko „menej ako“, výsledná racionálne vyjadrenie by tiež malo byť menej ako nula. Máme:
(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2) (2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2 x - 3< 0;
(x − 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).
Máme dve sady:
- ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
- Kandidát odpovede: x ∈ (−1; 3).
Zostáva prekrížiť tieto množiny - dostaneme skutočnú odpoveď:
Zaujíma nás priesečník množín, preto volíme intervaly vytieňované na oboch šípkach. Dostaneme x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) – všetky body sú prepichnuté.
Lekcia jednej nerovnosti formuje zručnosť bádateľskej práce, prebúdza myslenie žiakov, rozvíja vynaliezavosť a zvyšuje záujem žiakov o prácu. Je lepšie ho viesť, keď sa študenti naučili potrebné pojmy a analyzoval množstvo konkrétnych metód riešenia logaritmických nerovností. V tejto lekcii sú študenti aktívnymi účastníkmi hľadania riešenia.
Typ lekcie
. Lekcia aplikácie vedomostí, zručností a schopností v novej situácii. (Lekcia systematizácie a zovšeobecnenia preberanej látky).Ciele lekcie
:- vzdelávacie : formovať zručnosti a schopnosti riešiť logaritmické nerovnosti určeného typu rôzne cesty; naučiť sa získavať vedomosti sami ( vlastné aktivityštudentov naštudovať a osvojiť si obsah vzdelávací materiál);
- rozvíjanie : práca na rozvoji reči; naučiť sa analyzovať, zdôrazniť hlavnú vec, dokázať a vyvrátiť logické závery;
- vzdelávacie : formovanie morálnych vlastností, humánne vzťahy, presnosť, disciplína, sebaúcta, zodpovedný prístup k dosiahnutiu cieľa.
Počas vyučovania.
1. Organizačný moment.
ústna práca.
2. Kontrola domácich úloh.
Napíšte vety v matematickom jazyku: „Čísla a a b sú na jednej strane jednoty“, „Čísla a a b sú na rôzne strany z jednoty“ a dokážte vzniknuté nerovnosti. (Na tabuli si jeden zo žiakov vopred pripravil riešenie).
3. Reportovanie témy vyučovacej hodiny, jej cieľov a zámerov.
Pri analýze možností prijímacích skúšok z matematiky si možno všimnúť, že z teórie logaritmov na skúškach sa často vyskytujú logaritmické nerovnosti obsahujúce premennú pod logaritmom a v základ logaritmu.
Naša lekcia je lekcia o jednej nerovnosti, obsahujúca premennú pod logaritmom a na báze logaritmu, riešené rôznymi spôsobmi. Hovorí sa, že je lepšie riešiť jednu nerovnosť, ale rôznymi spôsobmi, ako niekoľko nerovníc rovnakým spôsobom. V skutočnosti by ste mali mať možnosť kontrolovať svoje rozhodnutia. Lepšia kontrola nie, ako vyriešiť úlohu iným spôsobom a dostať rovnakú odpoveď (k rovnakým sústavám, k rovnakým nerovniciam, rovniciam môžete prísť rôznymi spôsobmi). Ale nielen tento cieľ sa sleduje pri riešení úloh rôznymi spôsobmi. Hľadajte rôzne riešenia, berúc do úvahy všetky možné prípady, Kritické hodnotenie s cieľom zdôrazniť to najracionálnejšie, najkrajšie dôležitým faktorom rozvoj matematického myslenia, odviesť od predlohy. Preto dnes vyriešime len jednu nerovnosť, no pokúsime sa nájsť niekoľko spôsobov, ako ju vyriešiť.
4. kreatívna aplikácia a osvojenie si vedomostí, rozvoj metód činnosti pri riešení problémových úloh vybudovaných na základe predtým získaných vedomostí a zručností pri riešení nerovnosti log x (x 2 - 2x - 3)< 0.
Tu je riešenie tejto nerovnosti, prevzaté z jednej skúšobnej práce. Pozorne si to prezrite a skúste analyzovať riešenie. (Riešenie nerovnosti je vopred napísané na tabuli)
log x (x 2 - 2x - 3)< log x 1;
a) x 2 – 2x – 3 > 0; b) x 2 - 2 x - 3< 1;
x 2 - 2 x - 3 = 0; x 2 - 2 x - 4< 0;
x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d 3; x 2 - 2 x - 4 = 0;
c) riešenie systému
Možné vysvetlenia študentov:
Toto nie je rovnica, ale nerovnosť, takže pri prechode z logaritmickej nerovnosti na racionálny znak nerovnosť bude závisieť od základne logaritmu a monotónnosti logaritmická funkcia.
S týmto rozhodnutím je možné zakúpiť cudzie rozhodnutia, alebo stratu riešení a je možné, že pri nesprávnom rozhodnutí sa získa správna odpoveď.
Ako teda bolo potrebné vyriešiť túto nerovnosť, v ktorej je premenná pod znamienkom logaritmu a na báze logaritmu?!
Táto nerovnosť je ekvivalentná kombinácii dvoch systémov nerovností.
Prvý systém nerovností nemá riešenia.
Riešením systému nerovností bude
V navrhovanom riešení nerovnosti zo skúšobnej písomky bola odpoveď správna. prečo?
Možné odpovede študentov:
Keďže definičný obor funkcie na ľavej strane nerovnosti pozostáva z čísel väčších ako 3, funkcia y = log x t je rastúca. Takže odpoveď je správna.
Ako by sa dalo zapísať matematicky správne riešenie do písomky?
II spôsob.
Na ľavej strane nerovnosti nájdeme definičný obor funkcie a potom, berúc do úvahy definičný obor, uvažujme iba jeden prípad
Ako inak sa dá vyriešiť táto nerovnosť? Aké vzorce možno použiť?
Vzorec na prechod na nový základ a > 0, a 1
III spôsob.
IV spôsob.
Je možné aplikovať na nerovnosť samotnú skutočnosť, že logaritmus je menší ako nula?
Áno. Výraz pod logaritmom a základom logaritmu sú na opačných stranách jednoty, ale kladné!
To znamená, že opäť získame rovnakú množinu dvoch systémov nerovností:
Všetky uvažované metódy vedú k súboru dvoch systémov nerovností. Vo všetkých prípadoch sa získa rovnaká odpoveď. Všetky metódy sú teoreticky opodstatnené.
Otázka pre žiakov: čo myslíte, prečo bola v domácej úlohe položená otázka, ktorá nesúvisela s preberanou látkou v 11. ročníku?
Poznanie vlastností logaritmu, že log a b< 0 , ak a a b na opačných stranách 1
log a b > 0 ak a a b na jednej strane 1, môžete získať veľmi zaujímavé a nečakaným spôsobom riešenia nerovnosti. Táto metóda je opísaná v článku „Niektoré užitočné logaritmické vzťahy“ v časopise Kvant č. 10, 1990.
log g(x) f(x) > 0 ak
log g(x) f(x)< 0, если
(Prečo ten stav g(x) 1 nie je potrebné písať?)
Riešenie nerovnosti log x (x 2 - 2x - 3)< 0 vyzerá takto:
a) x 2 – 2x – 3 > 0; b) (x - 1) (x 2 - 2x - 4)< 0;
c) riešenie sústavy nerovností
VI spôsob.
intervalová metóda. („Riešenie logaritmických nerovníc intervalovou metódou“ je témou nasledujúcej hodiny).
5. Výsledok vykonanej práce.
1. Akými spôsobmi bola nerovnosť vyriešená? Koľko spôsobov, ako to vyriešiť
našli sme nerovnosť?
2. Ktorý je najracionálnejší? krásne?
3. Čo bolo základom riešenia nerovnosti v každom prípade?
4. Prečo je táto nerovnosť zaujímavá?
Kvalitatívna charakteristika práce triedy učiteľom.
6. Zovšeobecnenie študovaného materiálu.
Je možné považovať túto nerovnosť za špeciálny prípad všeobecnejší problém?
Nerovnosť formy log g(x) f(x)<(>) log g(x) h(x) možno znížiť na nerovnosť log g(x)p(x)<(>) 0 pomocou vlastností logaritmov a vlastností nerovníc.
Vyriešte nerovnosť
log x (x 2 + 3x - 3) > 1
ktorýmkoľvek z vyššie uvedených spôsobov.
7. Domáca úloha pokyny na jeho realizáciu
.1. Vyriešte nerovnice (z možností na prijímacie skúšky z matematiky):
2. V ďalšej lekcii sa budeme zaoberať logaritmickými nerovnicami, ktoré sa riešia intervalovou metódou. Zopakujte algoritmus riešenia nerovníc intervalovou metódou.
3. Usporiadajte čísla vo vzostupnom poradí (vysvetlite, prečo toto usporiadanie):
log 0,35; ; ; log 0,5 3 (opakujte pre ďalšiu lekciu).
LOGARITMICKÉ NEROVNOSTI V POUŽÍVANÍ
Sečin Michail Alexandrovič
Malá akadémia vied pre študentov Kazašskej republiky „hľadač“
MBOU "Sovietska stredná škola č. 1", ročník 11, mesto. Sovietsky sovietsky okres
Gunko Ludmila Dmitrievna, učiteľ MBOU"Sovietska škola č. 1"
Sovietsky okres
Cieľ:štúdium mechanizmu riešenia logaritmických nerovností C3 pomocou neštandardných metód, identifikácia zaujímavosti logaritmus.
Predmet štúdia:
3) Naučte sa riešiť špecifické logaritmické nerovnosti C3 pomocou neštandardných metód.
Výsledky:
Obsah
Úvod……………………………………………………………………………………………….4
Kapitola 1. Pozadie………………………………………………………………...5
Kapitola 2. Zbierka logaritmických nerovností ………………………… 7
2.1. Ekvivalentné a zovšeobecnené prechody intervalová metóda…………… 7
2.2. Spôsob racionalizácie ……………………………………………………… 15
2.3. Neštandardná substitúcia………………………………………………………………………………………………………. ..... 22
2.4. Úlohy s pascami……………………………………………………… 27
Záver……………………………………………………………………… 30
Literatúra…………………………………………………………………………. 31
Úvod
Som v 11. ročníku a plánujem nastúpiť na VŠ, kde predmet profilu je matematika. A preto veľa pracujem s úlohami časti C. V úlohe C3 treba riešiť neštandardná nerovnosť alebo systém nerovností, zvyčajne spojených s logaritmami. Pri príprave na skúšku som narazil na problém nedostatku metód a techník na riešenie logaritmických nerovností skúšky ponúkaných v C3. Metódy, ktoré sa študujú v školské osnovy k tejto téme neposkytujú podklady pre riešenie úloh C3. Učiteľka matematiky mi navrhla, aby som pod jej vedením pracoval s úlohami C3 sám. Okrem toho ma zaujímala otázka: existujú v našom živote logaritmy?
S ohľadom na to bola vybraná téma:
"Logaritmické nerovnosti v skúške"
Cieľ:štúdium mechanizmu riešenia problémov C3 pomocou neštandardných metód, ktoré odhaľujú zaujímavé fakty o logaritme.
Predmet štúdia:
1) Nájdite potrebné informácie o neštandardné metódy riešenia logaritmických nerovností.
2) Nájdite Ďalšie informácie o logaritmoch.
3) Naučte sa rozhodovať konkrétne úlohy C3 pomocou neštandardných metód.
Výsledky:
Praktický význam je rozšírenie aparátu na riešenie problémov C3. Tento materiál možno použiť na niektorých lekciách, na vedenie krúžkov, mimoškolské aktivity matematiky.
projektový produkt bude kolekcia „Logaritmické nerovnosti C3 s riešeniami“.
Kapitola 1. Pozadie
Počas 16. storočia sa počet približných výpočtov rýchlo zvýšil, predovšetkým v astronómii. Zdokonaľovanie prístrojov, štúdium pohybu planét a iné práce si vyžadovali kolosálne, niekedy aj mnohoročné výpočty. Astronómii reálne hrozilo, že sa utopí v nenaplnených výpočtoch. Ťažkosti nastali aj v iných oblastiach, napríklad v poisťovníctve boli potrebné tabuľky zložené úročenie pre rôzne významy percent. Hlavnou ťažkosťou bolo násobenie, delenie viacciferné čísla, najmä goniometrické veličiny.
Objav logaritmov bol založený na známych vlastnostiach postupnosti koncom 16. storočia. O komunikácii medzi členmi geometrická progresia q, q2, q3, ... a aritmetická progresia ich ukazovatele sú 1, 2, 3, ... Archimedes hovoril v „žalmite“. Ďalším predpokladom bolo rozšírenie pojmu stupeň na negatívne a zlomkové ukazovatele. Mnohí autori poukázali na to, že násobenie, delenie, umocnenie a extrahovanie odmocniny exponenciálne korešpondujú v aritmetike – v rovnakom poradí – sčítaní, odčítaní, násobení a delení.
Tu bola myšlienka logaritmu ako exponentu.
V histórii vývoja doktríny logaritmov prešlo niekoľko etáp.
1. fáza
Logaritmy vynašiel najneskôr v roku 1594 nezávisle škótsky barón Napier (1550-1617) a o desať rokov neskôr švajčiarsky mechanik Burgi (1552-1632). Obaja chceli dať nový pohodlný prostriedok aritmetické výpočty hoci k tomuto problému pristupovali rôznymi spôsobmi. Napier kinematicky vyjadril logaritmickú funkciu a tým do nej vstúpil nová oblasť teória funkcií. Bürgi zostal na základe úvahy o jednotlivých postupoch. Definícia logaritmu pre obe však nie je podobná tej modernej. Termín "logaritmus" (logaritmus) patrí Napierovi. Vznikol kombináciou Grécke slová: logos - "vzťah" a ariqmo - "číslo", čo znamenalo "počet vzťahov". Spočiatku Napier používal iný výraz: numeri artificiales – „umelé čísla“, na rozdiel od numeri naturalts – „prirodzené čísla“.
V roku 1615, v rozhovore s Henrym Briggsom (1561-1631), profesorom matematiky na Gresh College v Londýne, Napier navrhol brať nulu ako logaritmus jednotky a 100 ako logaritmus desiatich, čiže to, čo sa scvrkáva na to isté, len 1. Takto desiatkové logaritmy a boli vytlačené prvé logaritmické tabuľky. Neskôr Briggsove tabuľky doplnil holandský kníhkupec a matematik Andrian Flakk (1600-1667). Napier a Briggs, hoci prišli k logaritmom skôr ako ktokoľvek iný, publikovali svoje tabuľky neskôr ako ostatní - v roku 1620. Znaky log a Log zaviedol v roku 1624 I. Kepler. Termín "prirodzený logaritmus" zaviedol Mengoli v roku 1659, po ňom N. Mercator v roku 1668 a londýnsky učiteľ John Spadel publikoval tabuľky prirodzených logaritmov čísel od 1 do 1000 pod názvom "New Logaritmy".
V ruštine boli prvé logaritmické tabuľky publikované v roku 1703. Ale vo všetkých logaritmických tabuľkách sa pri výpočte vyskytli chyby. Prvé nezameniteľné tabuľky vyšli v roku 1857 v Berlíne v spracovaní nemeckého matematika K. Bremikera (1804-1877).
2. fáza
Ďalší rozvoj teórie logaritmov je spojený s ďalšími široké uplatnenie analytická geometria a infinitezimálny počet. V tom čase sa vytvorilo spojenie medzi kvadratúrou rovnostrannej hyperboly a prirodzený logaritmus. Teória logaritmov tohto obdobia je spojená s menami mnohých matematikov.
Nemecký matematik, astronóm a inžinier Nikolaus Mercator vo svojej eseji
"Logaritmotechnika" (1668) uvádza sériu, ktorá udáva rozšírenie ln(x + 1) v zmysle
mocniny x:
Tento výraz presne zodpovedá myšlienkovému smeru, aj keď, samozrejme, nepoužíval znaky d, ..., ale ťažkopádnejšie symboly. S objavom logaritmických radov sa zmenila technika výpočtu logaritmov: začali sa určovať pomocou nekonečných radov. Vo svojich prednáškach „Elementárna matematika s najvyšší bod pohľad“, čítal v rokoch 1907-1908 F. Klein navrhol použiť vzorec ako východiskový bod pre konštrukciu teórie logaritmov.
3. fáza
Definícia logaritmickej funkcie ako funkcie inverznej funkcie
exponenciálny, logaritmus ako exponent túto zem
nebola formulovaná okamžite. Dielo Leonharda Eulera (1707-1783)
„Úvod do analýzy infinitezimál“ (1748) slúžil ako ďalší
vývoj teórie logaritmickej funkcie. teda
Od prvého zavedenia logaritmov uplynulo 134 rokov
(počítajúc od roku 1614), než matematici prišli s definíciou
koncept logaritmu, ktorý je teraz základom školského kurzu.
Kapitola 2. Zbierka logaritmických nerovností
2.1. Ekvivalentné prechody a zovšeobecnená metóda intervalov.
Ekvivalentné prechody
ak a > 1
ak 0 <
а <
1
Zovšeobecnená intervalová metóda
Táto metóda najuniverzálnejšie pri riešení nerovností takmer akéhokoľvek typu. Schéma riešenia vyzerá takto:
1. Uveďte nerovnosť do takého tvaru, kde je funkcia umiestnená na ľavej strane 
a 0 vpravo.
2. Nájdite rozsah funkcie .
3. Nájdite nuly funkcie , teda vyriešiť rovnicu 
(a riešenie rovnice je zvyčajne jednoduchšie ako riešenie nerovnice).
4. Nakreslite definičný obor a nuly funkcie na reálnu čiaru.
5. Určte znamienka funkcie v prijatých intervaloch.
6. Vyberte intervaly, v ktorých má funkcia trvať požadované hodnoty a zapíšte si odpoveď.
Príklad 1
rozhodnutie:
Použite intervalovú metódu
kde
Pre tieto hodnoty sú všetky výrazy pod znamienkami logaritmu kladné.
odpoveď:
Príklad 2
rozhodnutie:
1 spôsobom . ODZ je určená nerovnosťou X> 3. Logaritmy X v základe 10 dostaneme
Posledná nerovnosť by sa dala vyriešiť aplikáciou pravidiel rozkladu, t.j. porovnanie faktorov s nulou. Avšak v tento prípad je ľahké určiť intervaly stálosti znamienka funkcie
takže možno použiť intervalovú metódu.
Funkcia f(X) = 2X(X- 3,5) lgǀ X- 3ǀ je spojité pre X> 3 a v bodoch mizne X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Určíme teda intervaly stálosti funkcie f(X):
odpoveď:
2. spôsob . Aplikujme myšlienky metódy intervalov priamo na pôvodnú nerovnicu.
Za týmto účelom pripomíname, že výrazy a b- a c a ( a - 1)(b- 1) mať jedno znamenie. Potom naša nerovnosť pre X> 3 sa rovná nerovnosti
alebo
Posledná nerovnosť sa rieši intervalovou metódou
odpoveď:
Príklad 3
rozhodnutie:
Použite intervalovú metódu
odpoveď:
Príklad 4
rozhodnutie:
Od 2 X 2 - 3X+ 3 > 0 pre všetky skutočné X, potom
Na vyriešenie druhej nerovnice použijeme intervalovú metódu
V prvej nerovnosti vykonáme zmenu
potom sa dostaneme k nerovnosti 2y 2 - r - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те r, ktoré spĺňajú nerovnosť -0,5< r < 1.
Odkiaľ, pretože
dostaneme nerovnosť
ktorá sa vykonáva s X, za čo 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Teraz, keď vezmeme do úvahy riešenie druhej nerovnosti systému, konečne získame
odpoveď:
Príklad 5
rozhodnutie:
Nerovnosť je ekvivalentom súboru systémov
alebo
Aplikujte intervalovú metódu resp
Odpoveď:
Príklad 6
rozhodnutie:
Nerovnosť sa rovná systému
Nechať byť
potom r > 0,
a prvá nerovnosť
systém má formu
alebo rozšírenie
štvorcový trojčlen pre multiplikátory,
Aplikovaním intervalovej metódy na poslednú nerovnosť,
vidíme, že jeho riešenia spĺňajú podmienku r> 0 bude všetko r > 4.
Pôvodná nerovnosť je teda ekvivalentná systému:
Takže riešenia nerovnosti sú všetky
2.2. racionalizačná metóda.
Predtým sa metóda racionalizácie nerovnosti neriešila, nevedela. Toto je nová moderna efektívna metóda riešenia exponenciálnych a logaritmických nerovností“ (citát z knihy Kolesnikovej S.I.)
A aj keby ho učiteľ poznal, bol tam strach – ale vie USE expert Prečo to nedávajú v škole? Boli situácie, keď učiteľ povedal žiakovi: "Kde to máš? Sadni si - 2."
Teraz sa metóda všade propaguje. A pre odborníkov existuje usmernenia spojené s touto metódou a v „Most kompletné vydania štandardné možnosti..." riešenie C3 používa túto metódu.
METÓDA JE SKVELÁ!
"Magický stôl"
V iných zdrojoch
ak a >1 a b >1, potom log ab >0 a (a-1)(b-1)>0;
ak a >1 a 0 ak 0<a<1 и b
>1, potom log a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
ak 0<a<1 и 00 a (a-1)(b-1)>0. Vyššie uvedená úvaha je jednoduchá, ale výrazne zjednodušuje riešenie logaritmických nerovností. Príklad 4
log x (x 2 -3)<0
rozhodnutie:
Príklad 5
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤ log 2 x (x 2 +x ) rozhodnutie: Príklad 6
Aby sme túto nerovnosť vyriešili, namiesto menovateľa napíšeme (x-1-1) (x-1) a namiesto čitateľa súčin (x-1) (x-3-9 + x). Príklad 7
Príklad 8
2.3. Neštandardná substitúcia. Príklad 1
Príklad 2
Príklad 3
Príklad 4
Príklad 5
Príklad 6
Príklad 7
log 4 (3 x -1) log 0,25 Urobme substitúciu y=3 x -1; potom táto nerovnosť nadobúda formu log 4 log 0,25 Ako log 0,25 Urobme náhradu t =log 4 y a dostaneme nerovnosť t 2 -2t +≥0, ktorej riešením sú intervaly - Aby sme teda našli hodnoty y, máme množinu dvoch najjednoduchších nerovností Pôvodná nerovnosť je teda ekvivalentná množine dvoch exponenciálnych nerovností, Riešením prvej nerovnosti tejto množiny je interval 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Príklad 8
rozhodnutie:
Nerovnosť sa rovná systému Riešením druhej nerovnosti, ktorá určuje ODZ, bude množina tých X,
pre ktoré X > 0.
Aby sme vyriešili prvú nerovnosť, vykonáme zmenu Potom dostaneme nerovnosť alebo Množina riešení poslednej nerovnosti sa nájde metódou intervaly: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, dostaneme alebo Mnohé z nich X, ktoré vyhovujú poslednej nerovnosti patrí ODZ ( X> 0), preto je riešením systému, a teda pôvodná nerovnosť. odpoveď: 2.4. Úlohy s pascami. Príklad 1
rozhodnutie. ODZ nerovnosti je všetky x spĺňajúce podmienku 0 Príklad 2
log 2 (2x +1-x 2)>log 2 (2x-1 +1-x)+1.
Odpoveď. (0; 0,5) U.
Odpoveď :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , potom poslednú nerovnosť prepíšeme ako 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Riešením tejto kolekcie sú intervaly 0<у≤2 и 8≤у<+.
teda agregáty 
. Pôvodná nerovnosť teda platí pre všetky hodnoty x z intervalov 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Preto všetky x z intervalu 0
Záver
Nebolo ľahké nájsť špeciálne metódy na riešenie úloh C3 z veľkého množstva rôznych vzdelávacích zdrojov. V priebehu práce som mal možnosť študovať neštandardné metódy riešenia zložitých logaritmických nerovníc. Sú to: ekvivalentné prechody a zovšeobecnená metóda intervalov, metóda racionalizácie , neštandardná substitúcia , úlohy s nástrahami na ODZ. Tieto metódy v školských osnovách chýbajú.
Pomocou rôznych metód som vyriešil 27 nerovností ponúkaných pri USE v časti C, konkrétne C3. Tieto nerovnosti s riešeniami metódami tvorili základ zbierky „Logaritmické nerovnosti C3 s riešeniami“, ktorá sa stala projektovým produktom mojej činnosti. Potvrdila sa hypotéza, ktorú som uviedol na začiatku projektu: Problémy C3 možno efektívne riešiť, ak sú tieto metódy známe.
Okrem toho som objavil zaujímavé fakty o logaritmoch. Bolo pre mňa zaujímavé to urobiť. Moje projektové produkty budú užitočné pre študentov aj učiteľov.
Zistenia:
Cieľ projektu je teda dosiahnutý, problém vyriešený. A získal som najkompletnejšie a najuniverzálnejšie skúsenosti s projektovými aktivitami vo všetkých fázach práce. V priebehu práce na projekte som mal hlavný vývojový vplyv na mentálnu kompetenciu, činnosti súvisiace s logickými mentálnymi operáciami, rozvoj tvorivej kompetencie, osobnej iniciatívy, zodpovednosti, vytrvalosti a aktivity.
Zárukou úspechu pri tvorbe výskumného projektu pre Stal som sa: významnou školskou praxou, schopnosťou čerpať informácie z rôznych zdrojov, kontrolovať ich spoľahlivosť, zoraďovať ich podľa významu.
Okrem priamo predmetových vedomostí z matematiky si rozšíril praktické zručnosti v oblasti informatiky, získal nové poznatky a skúsenosti z oblasti psychológie, nadviazal kontakty so spolužiakmi, naučil sa spolupracovať s dospelými. V rámci projektových aktivít sa rozvíjali organizačné, intelektuálne a komunikatívne všeobecno-vzdelávacie schopnosti a zručnosti.
Literatúra
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Systémy nerovností s jednou premennou (typické úlohy C3).
2. Malkova A. G. Príprava na jednotnú štátnu skúšku z matematiky.
3. S. S. Samarová, Riešenie logaritmických nerovností.
4. Matematika. Zbierka tréningových prác spracovaná A.L. Semjonov a I.V. Jaščenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 s.-
Spomedzi celej škály logaritmických nerovností sa samostatne študujú nerovnosti s premenlivým základom. Riešia sa podľa špeciálneho vzorca, ktorý sa v škole z nejakého dôvodu vyučuje len zriedka. Prezentácia prezentuje riešenia úloh C3 USE - 2014 z matematiky.
Stiahnuť ▼:
Náhľad:
Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si Google účet (účet) a prihláste sa: https://accounts.google.com
Popisy snímok:
Riešenie logaritmických nerovníc obsahujúcich premennú na báze logaritmu: metódy, techniky, ekvivalentné prechody učiteľ matematiky MBOU stredná škola č. 143 Knyazkina T.V.
Spomedzi celej škály logaritmických nerovností sa samostatne študujú nerovnosti s premenlivým základom. Riešia sa pomocou špeciálneho vzorca, ktorý sa z nejakého dôvodu v škole len zriedka vyučuje: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 Namiesto zaškrtávacieho políčka „∨“ môžete zadať ľubovoľné znamienko nerovnosti: viac alebo menej. Hlavná vec je, že v oboch nerovnostiach sú znamienka rovnaké. Takže sa zbavíme logaritmov a zredukujeme problém na racionálnu nerovnosť. Posledné je oveľa jednoduchšie vyriešiť, ale pri zahodení logaritmov sa môžu objaviť ďalšie korene. Na ich odrezanie stačí nájsť rozsah prípustných hodnôt. Nezabudnite na ODZ logaritmu! Všetko, čo súvisí s rozsahom prijateľných hodnôt, musí byť zapísané a vyriešené samostatne: f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k (x) ≠ 1. Tieto štyri nerovnosti tvoria systém a musia byť splnené súčasne. Keď sa nájde rozsah prijateľných hodnôt, zostáva ho prekročiť riešením racionálnej nerovnosti - a odpoveď je pripravená.
Riešenie nerovnice: Riešenie Na začiatok si napíšme ODZ logaritmu Prvé dve nerovnice sa vykonajú automaticky a posledná bude musieť byť vymaľovaná. Keďže druhá mocnina čísla sa rovná nule práve vtedy, ak sa samotné číslo rovná nule, máme: x 2 + 1 ≠ 1; x2 ≠ 0; x ≠ 0. Ukazuje sa, že ODZ logaritmu sú všetky čísla okrem nuly: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). Teraz riešime hlavnú nerovnosť: Vykonáme prechod z logaritmickej nerovnosti na racionálnu. V pôvodnej nerovnosti je znamienko „menej ako“, takže výsledná nerovnosť by mala byť aj so znamienkom „menšia ako“.
Máme: (10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)
Prevod logaritmických nerovností Pôvodná nerovnosť sa často líši od vyššie uvedenej. To sa dá ľahko opraviť pomocou štandardných pravidiel pre prácu s logaritmami. Konkrétne: Akékoľvek číslo môže byť reprezentované ako logaritmus s daným základom; Súčet a rozdiel logaritmov s rovnakým základom možno nahradiť jedným logaritmom. Samostatne vám chcem pripomenúť rozsah prijateľných hodnôt. Pretože v pôvodnej nerovnosti môže byť niekoľko logaritmov, je potrebné nájsť DPV každého z nich. Všeobecná schéma riešenia logaritmických nerovností je teda nasledovná: Nájdite ODZ pre každý logaritmus zahrnutý v nerovnosti; Znížte nerovnosť na štandardnú pomocou vzorcov na sčítanie a odčítanie logaritmov; Vyriešte výslednú nerovnosť podľa vyššie uvedenej schémy.
Riešenie nerovnice: Riešenie Nájdite definičný obor (ODZ) prvého logaritmu: Riešime metódou intervalov. Nájdite nuly v čitateli: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. Potom - menovateľ nuly: x − 1 = 0; x = 1. Na súradnicovej čiare označíme nuly a znamienka:
Dostaneme x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞). Druhý logaritmus ODZ bude rovnaký. Ak mi neveríte, môžete si to overiť. Teraz transformujeme druhý logaritmus tak, že základ je dvojka: Ako vidíte, trojnásobok na základni a pred logaritmom sa zmenšil. Získajte dva logaritmy s rovnakým základom. Spočítajte ich: log 2 (x − 1) 2
(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)
Zaujíma nás priesečník množín, preto volíme intervaly vytieňované na oboch šípkach. Dostaneme: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - všetky body sú prepichnuté. Odpoveď: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)
Riešenie úloh Jednotnej štátnej skúšky 2014 typu C3
Vyriešte sústavu nerovníc Riešenie. ODZ: 1) 2)
Vyriešte sústavu nerovníc 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − (pokračovanie)
Vyriešte sústavu nerovníc 4) Všeobecné riešenie: a -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (pokračovanie)
Vyriešte nerovnosť (pokračovanie) -3 3 -1 + - + - x 17 + -3 3 -1 x 17 -4
Vyriešte nerovnosť Riešenie. ODZ:
Vyriešte nerovnosť (pokračovanie)
Vyriešte nerovnosť Riešenie. ODZ: -2 1 -1 + - + - x + 2 -2 1 -1 x 2
