Kinakailangan na ihambing ang mga halaga at dami sa paglutas ng mga praktikal na problema mula noong sinaunang panahon. Kasabay nito, ang mga salitang tulad ng parami at mas kaunti, mas mataas at mas mababa, mas magaan at mas mabigat, mas tahimik at mas malakas, mas mura at mas mahal, atbp., na nagpapahiwatig ng mga resulta ng paghahambing ng mga homogenous na dami.

Ang mga konsepto ng higit pa at mas kaunti ay lumitaw na may kaugnayan sa pagbibilang ng mga bagay, ang pagsukat at paghahambing ng mga dami. Halimbawa, alam ng mga mathematician ng sinaunang Greece na ang gilid ng anumang tatsulok ay mas mababa kaysa sa kabuuan ng iba pang dalawang panig at laban sa mas malaking anggulo ang pinakamahabang bahagi ay nasa tatsulok. Si Archimedes, habang kinakalkula ang circumference ng isang bilog, natagpuan na ang perimeter ng anumang bilog ay katumbas ng tatlong beses ang diameter na may labis na mas mababa sa ikapitong diameter, ngunit higit sa sampu pitumpu't-una ng diameter.

Simbolikong isulat ang mga ugnayan sa pagitan ng mga numero at dami gamit ang > at b na mga palatandaan. Mga entry kung saan ang dalawang numero ay konektado sa pamamagitan ng isa sa mga palatandaan: > (mas malaki kaysa), Nakatagpo ka rin ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero sa mababang grado. Alam mo na ang hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring totoo o hindi. Halimbawa, ang \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) ay tama hindi pagkakapantay-pantay ng numero, 0.23 > 0.235 - maling hindi pagkakapantay-pantay ng numero.

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na kinabibilangan ng mga hindi alam ay maaaring totoo para sa ilang mga halaga ng mga hindi alam at mali para sa iba. Halimbawa, ang hindi pagkakapantay-pantay na 2x+1>5 ay totoo para sa x = 3, ngunit mali para sa x = -3. Para sa hindi pagkakapantay-pantay sa isang hindi alam, maaari mong itakda ang gawain: lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga problema sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa pagsasanay ay inilalahad at nalutas nang hindi mas madalas kaysa sa mga problema sa paglutas ng mga equation. Halimbawa, marami mga suliraning pangkabuhayan ay nabawasan sa pag-aaral at solusyon ng mga sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay. Sa maraming sangay ng matematika, ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay mas karaniwan kaysa sa mga equation.

Ang ilang mga hindi pagkakapantay-pantay ay ang tanging pantulong na ibig sabihin, na nagpapahintulot sa iyo na patunayan o pabulaanan ang pagkakaroon ng isang partikular na bagay, halimbawa, ang ugat ng isang equation.

Mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero

Maaari mo bang ihambing ang mga buong numero? mga decimal. Alamin ang mga tuntunin ng paghahambing ordinaryong fraction na may parehong denominator ngunit magkaibang mga numerator; na may parehong numerator ngunit magkaibang denominador. Dito matututunan mo kung paano ihambing ang alinmang dalawang numero sa pamamagitan ng paghahanap ng tanda ng kanilang pagkakaiba.

Ang paghahambing ng mga numero ay malawakang ginagamit sa pagsasanay. Halimbawa, ikinukumpara ng isang ekonomista ang mga nakaplanong indicator sa mga aktwal, ikinukumpara ng isang doktor ang temperatura ng isang pasyente sa normal, inihambing ng isang turner ang mga sukat ng isang machine na bahagi sa isang pamantayan. Sa lahat ng ganoong kaso, ang ilang mga numero ay inihambing. Bilang resulta ng paghahambing ng mga numero, lumitaw ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero.

Kahulugan. Ang bilang a ay mas malaki kaysa sa bilang b kung pagkakaiba a-b positibo. Bilang a mas mababa sa bilang b kung ang pagkakaiba a-b ay negatibo.

Kung ang a ay mas malaki kaysa sa b, isusulat nila ang: a > b; kung ang a ay mas mababa sa b, pagkatapos ay isusulat nila: a Kaya, ang hindi pagkakapantay-pantay a > b ay nangangahulugan na ang pagkakaiba a - b ay positibo, i.e. a - b > 0. Hindi pagkakapantay-pantay a Para sa alinmang dalawang numero a at b mula sa sumusunod na tatlong ugnayan a > b, a = b, a Teorama. Kung a > b at b > c, a > c.

Teorama. Kung ang parehong numero ay idinagdag sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay, kung gayon ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago.
Bunga. Ang anumang termino ay maaaring ilipat mula sa isang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay patungo sa isa pa sa pamamagitan ng pagbabago ng tanda ng terminong ito sa kabaligtaran.

Teorama. Kung ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami ng parehong positibong numero, kung gayon ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago. Kung ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami ng parehong negatibong numero, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay magbabago sa kabaligtaran.
Bunga. Kung ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay nahahati sa parehong positibong numero, kung gayon ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago. Kung ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay nahahati sa parehong negatibong numero, kung gayon ang palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay ay magbabago sa kabaligtaran.

alam mo ba yun numerical equalities Maaari kang magdagdag at magparami ng termino sa pamamagitan ng termino. Susunod, matututunan mo kung paano magsagawa ng mga katulad na aksyon na may mga hindi pagkakapantay-pantay. Ang kakayahang magdagdag at magparami ng mga hindi pagkakapantay-pantay na termino sa pamamagitan ng termino ay kadalasang ginagamit sa pagsasanay. Tinutulungan ka ng mga pagkilos na ito na malutas ang mga problema sa pagsusuri at paghahambing ng mga halaga ng expression.

Kapag nagpapasya iba't ibang gawain kadalasan ay kailangang idagdag o i-multiply ng isang termino sa pamamagitan ng termino ang kaliwa at kanang bahagi ng mga hindi pagkakapantay-pantay. Minsan sinasabi na ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay idinaragdag o pinarami. Halimbawa, kung ang isang turista ay lumakad ng higit sa 20 km sa unang araw, at higit sa 25 km sa ikalawang araw, maaari itong mapagtatalunan na sa dalawang araw ay lumakad siya ng higit sa 45 km. Katulad nito, kung ang haba ng isang rektanggulo ay mas mababa sa 13 cm at ang lapad ay mas mababa sa 5 cm, kung gayon maaari itong pagtalunan na ang lugar ng rektanggulo na ito ay mas mababa sa 65 cm2.

Sa pagsasaalang-alang sa mga halimbawang ito, ang mga sumusunod theorems sa pagdaragdag at pagpaparami ng mga hindi pagkakapantay-pantay:

Teorama. Kapag nagdaragdag ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng parehong tanda, nakakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay ng parehong tanda: kung a > b at c > d, pagkatapos ay a + c > b + d.

Teorama. Kapag nagpaparami ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng parehong tanda, kung saan ang kaliwa at kanang bahagi ay positibo, ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong tanda ay nakuha: kung ang a > b, c > d at a, b, c, d ay mga positibong numero, pagkatapos ay ac > bd.

Mga hindi pagkakapantay-pantay na may sign > (mas malaki kaysa) at 1/2, 3/4 b, c Kasama ang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay > at Sa parehong paraan, ang hindi pagkakapantay-pantay \(a \geq b \) ay nangangahulugan na ang bilang a ay mas malaki kaysa o katumbas ng b, ibig sabihin, at hindi bababa sa b.

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng sign \(\geq \) o ang sign \(\leq \) ay tinatawag na hindi mahigpit. Halimbawa, ang \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) ay hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay.

Ang lahat ng mga katangian ng mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ay may bisa din para sa hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay. Bukod dito, kung para sa mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ang mga palatandaan > ay itinuturing na kabaligtaran at alam mo na upang malutas ang serye mga inilapat na gawain kailangan mong gumawa ng isang mathematical model sa anyo ng isang equation o isang sistema ng mga equation. Susunod, malalaman mo iyon mga modelo ng matematika upang malutas ang maraming mga problema ay hindi pagkakapantay-pantay sa mga hindi alam. Ang ideya ng paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay ay ipapakita at ito ay ipapakita kung paano suriin kung binigay na numero solusyon ng isang partikular na hindi pagkakapantay-pantay.

Mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyo
\(ax > b, \quad ax kung saan ang a at b ay binibigyan ng mga numero at x ay hindi kilala, ay tinatawag mga linear na hindi pagkakapantay-pantay na may isang hindi kilala.

Kahulugan. Ang solusyon ng isang hindi pagkakapantay-pantay sa isang hindi alam ay ang halaga ng hindi alam kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay nagiging isang tunay na hindi pagkakapantay-pantay ng numero. Upang malutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay ay nangangahulugan na hanapin ang lahat ng mga solusyon nito o itatag na wala.

Nalutas mo ang mga equation sa pamamagitan ng pagbabawas sa mga ito sa pinakasimpleng equation. Katulad nito, kapag nilulutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay, ang isa ay may posibilidad na bawasan ang mga ito sa tulong ng mga ari-arian sa anyo ng pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay.

Solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng ikalawang antas na may isang variable

Mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyo
\(ax^2+bx+c >0 \) at \(ax^2+bx+c kung saan ang x ay isang variable, a, b at c ay ilang mga numero at \(a \neq 0 \) ay tinatawag hindi pagkakapantay-pantay ng pangalawang antas na may isang variable.

Paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay
Ang \(ax^2+bx+c >0 \) o \(ax^2+bx+c \) ay maaaring ituring na paghahanap ng mga puwang kung saan ang function na \(y= ax^2+bx+c \) ay nagiging positibo o mga negatibong halaga Upang gawin ito, sapat na upang pag-aralan kung paano ang graph ng function \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) ay matatagpuan sa coordinate plane: kung saan ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta - pataas o pababa , kung ang parabola ay bumalandra sa x axis at kung ito ay bumalandra, pagkatapos ay sa anong mga punto.

Algorithm para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng pangalawang antas na may isang variable:
1) hanapin ang discriminant square trinomial\(ax^2+bx+c \) at alamin kung ang trinomial ay may mga ugat;
2) kung ang trinomial ay may mga ugat, pagkatapos ay markahan ang mga ito sa x axis at schematically gumuhit ng isang parabola sa pamamagitan ng mga minarkahang punto, ang mga sanga nito ay nakadirekta paitaas sa isang > 0 o pababa sa isang 0 o sa ibaba sa isang 3) find gaps sa x axis kung saan ang mga point parabola ay matatagpuan sa itaas ng x-axis (kung malulutas nila ang hindi pagkakapantay-pantay \(ax^2+bx+c >0 \)) o sa ibaba ng x-axis (kung malulutas nila ang hindi pagkakapantay-pantay
\(ax^2+bx+c Solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng mga pagitan

Isaalang-alang ang function
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Ang domain ng function na ito ay ang set ng lahat ng numero. Ang mga zero ng function ay ang mga numero -2, 3, 5. Hinahati nila ang domain ng function sa mga pagitan \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5 ) \) at \( (5; +\infty)\)

Alamin natin kung ano ang mga palatandaan ng function na ito sa bawat isa sa mga ipinahiwatig na pagitan.

Ang expression (x + 2)(x - 3)(x - 5) ay produkto ng tatlong salik. Ang tanda ng bawat isa sa mga salik na ito sa isinasaalang-alang na mga pagitan ay ipinahiwatig sa talahanayan:

Sa pangkalahatan, hayaan ang function na ibigay ng formula
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
kung saan ang x ay isang variable, at x 1 , x 2 , ..., x n ay hindi pantay na mga numero. Ang mga numerong x 1 , x 2 , ..., x n ay ang mga zero ng function. Sa bawat isa sa mga agwat kung saan ang domain ng kahulugan ay nahahati sa mga zero ng function, ang sign ng function ay napanatili, at kapag dumadaan sa zero, nagbabago ang sign nito.

Ang ari-arian na ito ay ginagamit upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyo
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) kung saan ang x 1 , x 2 , ..., x n ay hindi pantay na mga numero

Isinasaalang-alang na pamamaraan ang paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay tinatawag na paraan ng mga pagitan.

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng pagitan.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\(x(0.5-x)(x+4) Malinaw, ang mga zero ng function na f(x) = x(0.5-x)(x+4) ay ang mga puntos \frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Mag apply sa numerical axis mga zero ng function at kalkulahin ang sign sa bawat pagitan:

Pinipili namin ang mga pagitan kung saan ang function ay mas mababa sa o katumbas ng zero at isulat ang sagot.

Sagot:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

konsepto hindi pagkakapantay-pantay ng matematika Nagmula sa sinaunang panahon. Nangyari ito noong primitive na tao nagkaroon ng pangangailangan para sa pagbibilang at mga aksyon na may iba't ibang asignatura ihambing ang kanilang bilang at sukat. Mula noong sinaunang panahon, ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay ginamit sa kanilang pangangatwiran nina Archimedes, Euclid at iba pang sikat na siyentipiko: mga mathematician, astronomers, designer at philosophers.

Ngunit sila, bilang panuntunan, ay gumamit ng pandiwang terminolohiya sa kanilang mga gawa. Una modernong mga palatandaan upang tukuyin ang mga konsepto ng "higit pa" at "mas kaunti" sa anyo kung saan alam ng bawat mag-aaral ang mga ito ngayon, sila ay nag-imbento at nagsagawa sa England. Ang matematiko na si Thomas Harriot ay nagbigay ng gayong serbisyo sa mga inapo. At nangyari ito mga apat na siglo na ang nakalilipas.

Maraming uri ng hindi pagkakapantay-pantay. Kabilang sa mga ito ay simple, na naglalaman ng isa, dalawa o higit pang mga variable, parisukat, fractional, kumplikadong mga ratio, at kahit na kinakatawan ng isang sistema ng mga expression. At upang maunawaan kung paano lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay, pinakamahusay na gumamit ng iba't ibang mga halimbawa.

Huwag palampasin ang tren

Una, isipin na isang residente kabukiran nagmamadali estasyon ng tren, na matatagpuan sa layong 20 km mula sa kanyang nayon. Upang hindi makaligtaan ang tren na umaalis ng alas-11, dapat siyang umalis ng bahay sa oras. Sa anong oras ito dapat gawin kung ang bilis ng kanyang paggalaw ay 5 km/h? Solusyon dito praktikal na gawain ay nabawasan sa pagtupad sa mga kondisyon ng expression: 5 (11 - X) ≥ 20, kung saan ang X ay ang oras ng pag-alis.

Ito ay naiintindihan, dahil ang distansya na kailangang malampasan ng isang taganayon sa istasyon ay katumbas ng bilis ng paggalaw na pinarami ng bilang ng mga oras sa kalsada. halika naunang lalaki siguro, pero hindi siya pwedeng ma-late. Ang pag-alam kung paano lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay, at paglalapat ng ating mga kasanayan sa pagsasanay, sa kalaunan ay makakakuha tayo ng X ≤ 7, na siyang sagot. Nangangahulugan ito na ang taganayon ay dapat pumunta sa istasyon ng tren sa alas-siyete ng umaga o medyo mas maaga.

Mga puwang ng numero sa linya ng coordinate

Ngayon, alamin natin kung paano imapa ang inilarawan na mga relasyon sa hindi pagkakapantay-pantay na nakuha sa itaas ay hindi mahigpit. Nangangahulugan ito na ang variable ay maaaring tumagal ng mga halaga na mas mababa sa 7, at maaaring katumbas ng numerong ito. Magbigay tayo ng iba pang mga halimbawa. Upang gawin ito, maingat na isaalang-alang ang apat na figure sa ibaba.

Sa una ay makikita mo graphic na larawan span [-7; 7]. Binubuo ito ng isang hanay ng mga numero na matatagpuan sa linya ng coordinate at matatagpuan sa pagitan ng -7 at 7, kasama ang mga hangganan. Sa kasong ito, ang mga punto sa graph ay ipinapakita bilang mga punong bilog, at ang pagitan ay naitala gamit

Ang pangalawang pagguhit ay grapikal na presentasyon mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay. Sa kasong ito, ang mga numero ng hangganan -7 at 7, na ipinapakita ng mga punched out (hindi napunan) na mga tuldok, ay hindi kasama sa tinukoy na set. At ang agwat mismo ay naitala sa panaklong gaya ng sumusunod: (-7; 7).

Iyon ay, naisip kung paano malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng ganitong uri, at nakatanggap ng katulad na sagot, maaari nating tapusin na binubuo ito ng mga numero na nasa pagitan ng mga hangganan na isinasaalang-alang, maliban sa -7 at 7. Ang susunod na dalawang kaso ay dapat na sinusuri sa katulad na paraan. Ang ikatlong figure ay nagpapakita ng mga larawan ng mga gaps (-∞; -7] U

Ngayon pasimplehin natin ang gawain nang kaunti at isaalang-alang hindi lamang ang mga polynomial, ngunit ang tinatawag na rational fractions ng form:

kung saan ang $P\left(x \right)$ at $Q\left(x \right)$ ay magkaparehong polynomial ng anyong $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, o ang produkto ng naturang mga polynomial.

Ito ay magiging isang makatwirang hindi pagkakapantay-pantay. Ang pangunahing punto ay ang pagkakaroon ng variable na $x$ sa denominator. Halimbawa, narito - makatwirang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\kaliwa(7x+1 \kanan)\kaliwa(11x+2 \kanan))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\kaliwa(3-x \kanan))^(2))\kaliwa(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(align)\]

At ito ay hindi isang makatwiran, ngunit ang pinakakaraniwang hindi pagkakapantay-pantay, na nalutas sa pamamagitan ng paraan ng agwat:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Sa hinaharap, sasabihin ko kaagad: mayroong hindi bababa sa dalawang paraan upang malutas ang mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay, ngunit lahat ng mga ito sa isang paraan o iba pa ay nabawasan sa paraan ng mga pagitan na alam na natin. Samakatuwid, bago pag-aralan ang mga pamamaraang ito, alalahanin natin ang mga lumang katotohanan, kung hindi man ay walang kahulugan mula sa bagong materyal.

Ang kailangan mo nang malaman

Walang maraming mahahalagang katotohanan. Apat lang talaga ang kailangan natin.

Mga pinaikling pormula ng pagpaparami

Oo, oo: susundan nila tayo sa kabuuan kurikulum ng paaralan matematika. At sa unibersidad din. Mayroong kaunti sa mga formula na ito, ngunit kailangan lang namin ang mga sumusunod:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\kaliwa(a-b \kanan)\kaliwa(a+b \kanan); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\kaliwa(a+b \kanan)\kaliwa(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\kanan); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\kaliwa(a-b \kanan)\kaliwa(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\kanan). \\ \end(align)\]

Bigyang-pansin ang huling dalawang formula - ito ang kabuuan at pagkakaiba ng mga cube (at hindi ang kubo ng kabuuan o pagkakaiba!). Madaling tandaan ang mga ito kung mapapansin mo na ang sign sa unang bracket ay kapareho ng sign sa orihinal na expression, at sa pangalawang bracket ito ay kabaligtaran ng sign sa orihinal na expression.

Linear na equation

Ito ang pinaka simpleng equation ng anyong $ax+b=0$, kung saan ang $a$ at $b$ ay regular na mga numero, at $a\ne 0$. Ang equation na ito ay madaling lutasin:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\ &ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(align)\]

Pansinin kong may karapatan tayong hatiin sa coefficient na $a$, dahil $a\ne 0$. Ang pangangailangang ito ay lubos na lohikal, dahil sa $a=0$ makukuha natin ito:

Una, walang $x$ variable sa equation na ito. Ito, sa pangkalahatan, ay hindi dapat malito sa atin (nangyayari ito, sabihin nating, sa geometry, at medyo madalas), ngunit hindi na tayo isang linear equation.

Pangalawa, ang solusyon ng equation na ito ay nakasalalay lamang sa coefficient $b$. Kung zero din ang $b$, ang equation natin ay $0=0$. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay palaging totoo; kaya ang $x$ ay anumang numero (karaniwang isinusulat bilang $x\in \mathbb(R)$). Kung ang coefficient na $b$ ay hindi sero, kung gayon ang pagkakapantay-pantay na $b=0$ ay hindi kailanman nasisiyahan, ibig sabihin. walang sagot (nakasulat $x\in \varnothing $ at basahin ang "solution set is empty").

Upang maiwasan ang lahat ng mga kumplikadong ito, ipinapalagay lang namin na $a\ne 0$, na hindi sa anumang paraan ay naghihigpit sa amin mula sa karagdagang pagmumuni-muni.

Quadratic equation

Hayaan akong ipaalala sa iyo na ito ay tinatawag na isang quadratic equation:

Dito sa kaliwa ay isang polynomial ng pangalawang degree, at muli $a\ne 0$ (kung hindi man, sa halip na quadratic equation nakakakuha kami ng linear). Ang mga sumusunod na equation ay nalulutas sa pamamagitan ng discriminant:

1. Kung $D \gt 0$, makakakuha tayo ng dalawang magkaibang ugat;
2. Kung $D=0$, kung gayon ang ugat ay magiging isa, ngunit sa pangalawang multiplicity (anong uri ng multiplicity ito at kung paano ito isasaalang-alang - higit pa sa na mamaya). O maaari nating sabihin na ang equation ay may dalawang magkatulad na ugat;
3. Para sa $D \lt 0$ ay walang mga ugat, at ang tanda ng polynomial na $a((x)^(2))+bx+c$ para sa alinmang $x$ ay tumutugma sa tanda ng coefficient $a $. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay napaka kapaki-pakinabang na katotohanan, na sa ilang kadahilanan ay nakalimutan nilang pag-usapan sa mga aralin sa algebra.

Ang mga ugat mismo ay kinakalkula ayon sa kilalang formula:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Kaya, sa pamamagitan ng paraan, ang mga paghihigpit sa discriminant. Kung tutuusin Kuwadrado na ugat mula sa negatibong numero ay wala. Tungkol sa mga ugat, maraming mga mag-aaral ang may kakila-kilabot na gulo sa kanilang mga ulo, kaya partikular kong isinulat buong aralin: ano ang ugat sa algebra at kung paano kalkulahin ito - lubos kong inirerekumenda na basahin ito. :)

Mga operasyon na may mga rational fraction

Lahat ng nakasulat sa itaas, alam mo na kung pinag-aralan mo ang paraan ng mga pagitan. Ngunit ang susuriin natin ngayon ay walang mga analogue sa nakaraan - ito ay isang ganap na bagong katotohanan.

Kahulugan. Ang rational fraction ay isang pagpapahayag ng anyo

\[\frac(P\kaliwa(x \kanan))(Q\kaliwa(x \kanan))\]

kung saan ang $P\left(x \right)$ at $Q\left(x \right)$ ay mga polynomial.

Malinaw na madaling makakuha ng hindi pagkakapantay-pantay mula sa naturang fraction - sapat lamang na i-attribute ang sign na "mas malaki kaysa" o "mas mababa kaysa" sa kanan. At kaunti pa ay makikita natin na ang paglutas ng mga naturang problema ay isang kasiyahan, ang lahat ay napaka-simple doon.

Nagsisimula ang mga problema kapag mayroong ilang mga naturang fraction sa isang expression. Dapat silang dalhin sa karaniwang denominador- at ito ay sa sandaling ito na ito ay pinahihintulutan malaking bilang ng nakakahiyang mga pagkakamali.

Samakatuwid, para sa matagumpay na solusyon rational equation Dalawang kasanayan ang dapat na lubos na pinagkadalubhasaan:

1. Factorization ng polynomial $P\left(x \right)$;
2. Sa totoo lang, ang pagdadala ng mga fraction sa isang common denominator.

Paano i-factorize ang isang polynomial? Napakasimple. Hayaan tayong magkaroon ng polynomial ng form

I-equate natin ito sa zero. Nakukuha namin ang $n$-th degree equation:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Sabihin nating nalutas namin ang equation na ito at nakuha ang mga ugat na $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (huwag mag-alala: sa karamihan ng mga kaso ay walang higit sa dalawa sa mga ugat na ito) . Sa kasong ito, ang aming orihinal na polynomial ay maaaring muling isulat tulad nito:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\kaliwa(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(align)\]

Iyon lang! Pakitandaan: ang nangungunang koepisyent na $((a)_(n))$ ay hindi nawala kahit saan - ito ay magiging isang hiwalay na kadahilanan sa harap ng mga bracket, at kung kinakailangan, maaari itong ipasok sa alinman sa mga bracket na ito (mga palabas sa pagsasanay na may $((a)_ (n))\ne \pm 1$ halos palaging may mga fraction sa mga ugat).

Isang gawain. Pasimplehin ang expression:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Solusyon. Una, tingnan natin ang mga denominator: lahat sila ay linear binomials, at walang dapat i-factor dito. Kaya't i-factorize natin ang mga numerator:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\kaliwa(x-\frac(3)(2) \kanan)\kaliwa(x-1 \kanan)=\kaliwa(2x- 3\kanan)\kaliwa(x-1\kanan); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\kaliwa(x+2 \kanan)\kaliwa(x-\frac(2)(5) \kanan)=\kaliwa(x +2 \right)\left(2-5x \right). \\\end(align)\]

Pakitandaan: sa pangalawang polynomial, ang senior coefficient "2", alinsunod sa aming scheme, unang lumitaw sa harap ng bracket, at pagkatapos ay kasama sa unang bracket, dahil ang isang fraction ay lumabas doon.

Ang parehong bagay ay nangyari sa ikatlong polynomial, doon lamang ang pagkakasunud-sunod ng mga termino ay nalilito din. Gayunpaman, ang koepisyent na "−5" ay natapos na naisama sa pangalawang bracket (tandaan: maaari kang magpasok ng isang kadahilanan sa isa at isang bracket lamang!), na nagligtas sa amin mula sa abala na nauugnay sa mga fractional na ugat.

Tulad ng para sa unang polynomial, ang lahat ay simple doon: ang mga ugat nito ay hinahanap alinman sa karaniwang paraan sa pamamagitan ng discriminant, o gamit ang Vieta theorem.

Bumalik tayo sa orihinal na expression at muling isulat ito sa mga numerator na nabulok sa mga kadahilanan:

\[\begin(matrix) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \kanan)-\kaliwa(x-1 \kanan)-\kaliwa(2-5x \kanan)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matrix)\]

Sagot: $5x+4$.

Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado. Medyo 7th-8th grade math at ayun na. Ang punto ng lahat ng pagbabago ay gawing simple at madaling gamitin ang isang kumplikado at nakakatakot na expression.

Gayunpaman, hindi ito palaging magiging kaso. Kaya ngayon ay isasaalang-alang natin ang isang mas malubhang problema.

Ngunit una, alamin natin kung paano dalhin ang dalawang fraction sa isang karaniwang denominator. Ang algorithm ay napaka-simple:

1. I-factor ang parehong denominator;
2. Isaalang-alang ang unang denominator at idagdag dito ang mga salik na nasa pangalawang denominator, ngunit nawawala sa una. Ang magreresultang produkto ang magiging common denominator;
3. Alamin kung anong mga kadahilanan ang kulang sa bawat orihinal na fraction upang ang mga denominator ay maging pantay sa karaniwan.

Marahil ang algorithm na ito ay tila sa iyo ay isang teksto lamang kung saan mayroong "maraming mga titik". Kaya tingnan natin ang isang partikular na halimbawa.

Isang gawain. Pasimplehin ang expression:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \kanan)\]

Solusyon. Ang ganitong mga malalaking gawain ay pinakamahusay na nalutas sa mga bahagi. Isulat natin kung ano ang nasa unang bracket:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Hindi tulad ng nakaraang problema, dito ang mga denominador ay hindi gaanong simple. I-factorize natin ang bawat isa sa kanila.

Ang square trinomial na $((x)^(2))+2x+4$ ay hindi maaaring i-factor dahil ang equation na $((x)^(2))+2x+4=0$ ay walang mga ugat (ang discriminant ay negatibo) . Hinahayaan namin itong hindi nagbabago.

Ang pangalawang denominator, ang cubic polynomial $((x)^(3))-8$, sa mas malapit na pagsusuri ay ang pagkakaiba ng mga cube at madaling mabulok gamit ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa(((x) ^(2))+2x+4 \kanan)\]

Wala nang iba pang maaaring i-factor, dahil ang unang bracket ay naglalaman ng isang linear binomial, at ang pangalawa ay isang konstruksiyon na pamilyar sa amin, na walang tunay na mga ugat.

Sa wakas, ang pangatlong denominator ay isang linear na binomial na hindi mabubulok. Kaya, ang aming equation ay kukuha ng anyo:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa (((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)\]

Halatang halata na ang $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ ang magiging common denominator, at upang bawasan ang lahat ng fraction dito, ikaw kailangang i-multiply ang unang fraction sa $\left(x-2 \right)$, at ang huli sa $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Pagkatapos ay nananatili lamang na dalhin ang mga sumusunod:

\[\begin(matrix) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ kanan))+\frac(((x)^(2))+8)(\kaliwa(x-2 \right)\kaliwa(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x) )^(2))+2x+4 \kanan))(\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa(((x)^(2))+2x+4 \kanan))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ kaliwa(((x)^(2))+2x+4 \right)). \\ \end(matrix)\]

Bigyang-pansin ang pangalawang linya: kapag ang denominator ay karaniwan na, i.e. sa halip na tatlong magkahiwalay na praksyon, sumulat kami ng isang malaki, hindi mo dapat agad na alisin ang mga bracket. Mas mainam na magsulat ng dagdag na linya at tandaan na, sabihin nating, mayroong isang minus bago ang ikatlong bahagi - at hindi ito pupunta kahit saan, ngunit "mag-hang" sa numerator sa harap ng bracket. Ito ay magliligtas sa iyo ng maraming pagkakamali.

Buweno, sa huling linya ay kapaki-pakinabang na i-factor ang numerator. Bukod dito, ito ay isang eksaktong parisukat, at ang mga pinaikling formula ng pagpaparami ay muling tumulong sa amin. Meron kami:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Ngayon ay haharapin natin ang pangalawang bracket sa parehong paraan. Dito ako ay magsusulat lamang ng isang hanay ng mga pagkakapantay-pantay:

\[\begin(matrix) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa(x+2 \kanan))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa(x+2 \kanan))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \kanan)\kaliwa(x+2 \kanan))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa(x+2 \kanan) ). \\ \end(matrix)\]

Bumalik kami sa orihinal na problema at tinitingnan ang produkto:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \kanan)\kaliwa(x+2 \kanan))=\frac(1)(x+2)\]

Sagot: \[\frac(1)(x+2)\].

Ang kahulugan ng problemang ito ay kapareho ng nauna: upang ipakita kung gaano karami ang maaaring gawing simple mga makatwirang ekspresyon, kung tatanungin mo ang kanilang pagbabago.

At ngayon, kapag alam mo na ang lahat ng ito, lumipat tayo sa pangunahing paksa ng aralin ngayon - paglutas ng mga fractional rational inequalities. Bukod dito, pagkatapos ng naturang paghahanda, ang mga hindi pagkakapantay-pantay mismo ay mag-click tulad ng mga mani. :)

Ang pangunahing paraan upang malutas ang mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay

Mayroong hindi bababa sa dalawang diskarte sa paglutas ng mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay. Ngayon ay isasaalang-alang natin ang isa sa kanila - ang isa na karaniwang tinatanggap kurso sa paaralan matematika.

Ngunit una, tandaan natin mahalagang detalye. Ang lahat ng hindi pagkakapantay-pantay ay nahahati sa dalawang uri:

1. Mahigpit: $f\left(x \right) \gt 0$ o $f\left(x \right) \lt 0$;
2. Hindi mahigpit: $f\left(x \right)\ge 0$ o $f\left(x \right)\le 0$.

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng pangalawang uri ay madaling nabawasan sa una, pati na rin ang equation:

Ang maliit na "dagdag" na ito $f\left(x \right)=0$ ay humahantong sa isang hindi kasiya-siyang bagay tulad ng mga punan na puntos - nakilala namin sila pabalik sa paraan ng pagitan. Kung hindi, walang pagkakaiba sa pagitan ng mahigpit at hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, kaya suriin natin ang unibersal na algorithm:

1. Kolektahin ang lahat ng di-zero na elemento sa isang bahagi ng tanda ng hindi pagkakapantay-pantay. Halimbawa, sa kaliwa;
2. Dalhin ang lahat ng mga fraction sa isang karaniwang denominator (kung mayroong ilang mga naturang fraction), magdala ng mga katulad na mga. Pagkatapos, kung maaari, i-factorize sa numerator at denominator. Sa isang paraan o iba pa, nakakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay ng form na $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, kung saan ang tik ay ang inequality sign.
3. I-equate ang numerator sa zero: $P\left(x \right)=0$. Lutasin namin ang equation na ito at makuha ang mga ugat $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Pagkatapos ay kailangan namin na ang denominator ay hindi katumbas ng zero: $Q\left(x \right)\ne 0$. Siyempre, sa esensya, kailangan nating lutasin ang equation na $Q\left(x \right)=0$, at makuha natin ang mga ugat na $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) $, $x_(3 )^(*)$, ... (sa mga totoong problema ay halos hindi hihigit sa tatlong ganoong ugat).
4. Minarkahan namin ang lahat ng mga ugat na ito (kapwa may at walang mga asterisk) sa isang linya ng numero, at ang mga ugat na walang mga bituin ay pininturahan, at ang mga may mga bituin ay pinupunch out.
5. Inilalagay namin ang mga plus at minus na palatandaan, piliin ang mga agwat na kailangan namin. Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay may anyo na $f\left(x \right) \gt 0$, ang sagot ay ang mga pagitan na minarkahan ng "plus". Kung $f\left(x \right) \lt 0$, pagkatapos ay titingnan namin ang mga pagitan na may "minuses".

Ipinapakita ng pagsasanay na ang mga puntos 2 at 4 ay nagdudulot ng pinakamalaking kahirapan - mga karampatang pagbabago at ang tamang pag-aayos ng mga numero sa pataas na pagkakasunud-sunod. Well, sa huling hakbang, maging lubhang maingat: palagi kaming naglalagay ng mga palatandaan batay sa ang huling hindi pagkakapantay-pantay na isinulat bago lumipat sa mga equation. ito pangkalahatang tuntunin, minana mula sa paraan ng pagitan.

So, may scheme. Practice tayo.

Isang gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Solusyon. Bago tayo mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ng anyong $f\left(x \right) \lt 0$. Malinaw, ang mga puntos 1 at 2 mula sa aming pamamaraan ay nakumpleto na: lahat ng mga elemento ng hindi pagkakapantay-pantay ay nakolekta sa kaliwa, walang kailangang bawasan sa isang karaniwang denominator. Kaya't magpatuloy tayo sa ikatlong punto.

Itakda ang numerator sa zero:

\[\begin(align) & x-3=0; \\ &x=3. \end(align)\]

At ang denominator:

\[\begin(align) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(align)\]

Sa lugar na ito, maraming tao ang natigil, dahil sa teorya kailangan mong isulat ang $x+7\ne 0$, ayon sa hinihingi ng ODZ (hindi mo maaaring hatiin sa zero, iyon lang). Ngunit pagkatapos ng lahat, sa hinaharap ay ilalabas namin ang mga puntos na nagmula sa denominator, kaya hindi mo dapat gawing kumplikado muli ang iyong mga kalkulasyon - magsulat ng isang pantay na tanda sa lahat ng dako at huwag mag-alala. Walang magbabawas ng puntos para dito. :)

Pang-apat na punto. Markahan namin ang nakuha na mga ugat sa linya ng numero:

Lahat ng puntos ay nabutas dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit

Tandaan: lahat ng puntos ay nabutas dahil ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit. At dito hindi na mahalaga: ang mga puntong ito ay nagmula sa numerator o mula sa denominator.

Well, tingnan ang mga palatandaan. Kunin ang anumang numero $((x)_(0)) \gt 3$. Halimbawa, $((x)_(0))=100$ (ngunit maaari kang kumuha ng $((x)_(0))=3.1$ o $((x)_(0)) = 1\000\000$). Nakukuha namin:

Kaya, sa kanan ng lahat ng mga ugat mayroon kaming isang positibong lugar. At kapag dumadaan sa bawat ugat, nagbabago ang tanda (hindi ito palaging magiging kaso, ngunit higit pa sa susunod). Samakatuwid, nagpapatuloy kami sa ikalimang punto: inilalagay namin ang mga palatandaan at pinipili ang tama:

Bumalik tayo sa huling hindi pagkakapantay-pantay, na bago malutas ang mga equation. Sa totoo lang, ito ay kasabay ng orihinal, dahil hindi kami nagsagawa ng anumang pagbabago sa gawaing ito.

Dahil kinakailangan upang malutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng form na $f\left(x \right) \lt 0$, nilagyan ko ng shade ang interval $x\in \left(-7;3 \right)$ - ito lamang ang minarkahan ng minus sign. Ito ang sagot.

Sagot: $x\in \left(-7;3 \right)$

Iyon lang! Mahirap ba? Hindi, hindi mahirap. Sa katunayan, ito ay isang madaling gawain. Ngayon, gawing kumplikado ng kaunti ang misyon at isaalang-alang ang isang mas "fancy" na hindi pagkakapantay-pantay. Kapag nilulutas ito, hindi na ako magbibigay ng mga detalyadong kalkulasyon - ipapahiwatig ko lang pangunahing puntos. Sa pangkalahatan, aayusin namin ito sa paraan kung paano namin ito inaayos pansariling gawain o pagsusulit. :)

Isang gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(\kaliwa(7x+1 \kanan)\kaliwa(11x+2 \kanan))(13x-4)\ge 0\]

Solusyon. Ito ay isang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ng anyong $f\left(x \right)\ge 0$. Lahat ng hindi zero na elemento ay kinokolekta sa kaliwa, iba't ibang denominador hindi. Lumipat tayo sa mga equation.

Numerator:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Rightarrow ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(align)\]

Denominator:

\[\begin(align) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(align)\]

Hindi ko alam kung anong uri ng pervert ang bumubuo sa problemang ito, ngunit ang mga ugat ay hindi naging maganda: magiging mahirap ayusin ang mga ito sa isang linya ng numero. At kung ang lahat ay higit pa o hindi gaanong malinaw sa ugat na $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ (ito lamang ang positibong numero - ito ay nasa kanan), pagkatapos ay $ ((x)_(1))=-(1)/(7)\;$ at $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ ay nangangailangan ng karagdagang pag-aaral: alin mas malaki ba?

Maaari mong malaman ito, halimbawa:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

Sana hindi na kailangang ipaliwanag kung bakit ang numeric fraction na $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Kung kinakailangan, inirerekumenda ko ang pag-alala kung paano magsagawa ng mga aksyon na may mga fraction.

At minarkahan namin ang lahat ng tatlong ugat sa linya ng numero:

Ang mga puntos mula sa numerator ay may kulay, mula sa denominator ay pinutol ang mga ito

Naglalagay kami ng mga karatula. Halimbawa, maaari mong kunin ang $((x)_(0))=1$ at alamin ang sign sa puntong ito:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

Ang huling hindi pagkakapantay-pantay bago ang mga equation ay $f\left(x \right)\ge 0$, kaya interesado kami sa plus sign.

Nakakuha kami ng dalawang set: ang isa ay isang ordinaryong segment, at ang isa ay isang bukas na sinag sa linya ng numero.

Sagot: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Isang mahalagang tala tungkol sa mga numerong pinapalitan namin upang malaman ang sign sa pinakakanang pagitan. Hindi kinakailangang palitan ang isang numerong malapit sa pinakakanang ugat. Maaari kang kumuha ng bilyun-bilyon o kahit na "plus-infinity" - sa kasong ito, ang tanda ng polynomial sa bracket, numerator o denominator ay tinutukoy lamang ng tanda ng nangungunang koepisyent.

Tingnan natin muli ang $f\left(x \right)$ function mula sa huling hindi pagkakapantay-pantay:

Naglalaman ito ng tatlong polynomial:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\kaliwa(x \right)=11x+2; \\ & Q\left(x\right)=13x-4. \end(align)\]

Ang lahat ng mga ito ay mga linear na binomial, at lahat ng mga ito ay may mga positibong coefficient (mga numero 7, 11 at 13). Samakatuwid, kapag pinapalitan ang napaka malalaking numero ang mga polynomial mismo ay magiging positibo din. :)

Maaaring mukhang masyadong kumplikado ang panuntunang ito, ngunit sa una lang, kapag pinag-aralan natin ang napakadaling mga problema. Sa malubhang hindi pagkakapantay-pantay, ang pagpapalit ng "plus-infinity" ay magbibigay-daan sa amin na malaman ang mga palatandaan nang mas mabilis kaysa sa karaniwang $((x)_(0))=100$.

Haharapin natin ang mga ganitong hamon sa lalong madaling panahon. Ngunit una, tingnan natin ang isang alternatibong paraan upang malutas ang mga fractional rational inequalities.

Alternatibong paraan

Ang pamamaraan na ito ay iminungkahi sa akin ng isa sa aking mga mag-aaral. Ako mismo ay hindi kailanman gumamit nito, ngunit ipinakita ng pagsasanay na talagang mas maginhawa para sa maraming mga mag-aaral na lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa ganitong paraan.

Kaya, ang orihinal na data ay pareho. Kailangang magdesisyon fractional rational inequality:

\[\frac(P\kaliwa(x \kanan))(Q\kaliwa(x \kanan)) \gt 0\]

Isipin natin: bakit ang polynomial na $Q\left(x \right)$ ay "mas masahol" kaysa sa polynomial na $P\left(x \right)$? Bakit kailangan nating isaalang-alang mga indibidwal na grupo mga ugat (may at walang asterisk), isipin ang tungkol sa mga punched point, atbp.? Ito ay simple: ang isang fraction ay may domain ng kahulugan, ayon sa kung saan ang fraction ay may katuturan lamang kapag ang denominator nito ay iba sa zero.

Kung hindi, walang mga pagkakaiba sa pagitan ng numerator at denominator: itinutumbas din natin ito sa zero, hanapin ang mga ugat, pagkatapos ay markahan ang mga ito sa linya ng numero. Kaya bakit hindi palitan ang fractional bar (sa katunayan, ang division sign) ordinaryong pagpaparami, at isulat ang lahat ng mga kinakailangan ng ODZ bilang isang hiwalay na hindi pagkakapantay-pantay? Halimbawa, tulad nito:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Pakitandaan: ang diskarte na ito ay magpapahintulot sa iyo na bawasan ang problema sa paraan ng mga agwat, ngunit hindi nito gagawing kumplikado ang solusyon sa lahat. Pagkatapos ng lahat, gayon pa man, itutumbas natin ang polynomial na $Q\left(x \right)$ sa zero.

Tingnan natin kung paano ito gumagana sa mga totoong gawain.

Isang gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Solusyon. Kaya, lumipat tayo sa paraan ng agwat:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Ang unang hindi pagkakapantay-pantay ay nalulutas sa elementarya. Itakda lamang ang bawat panaklong sa zero:

\[\begin(align) & x+8=0\Rightarrow ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Rightarrow ((x)_(2))=11. \\ \end(align)\]

Sa pangalawang hindi pagkakapantay-pantay, ang lahat ay simple din:

Minarkahan namin ang mga puntos na $((x)_(1))$ at $((x)_(2))$ sa totoong linya. Lahat sila ay nabutas dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit:

Ang tamang punto ay nabutas ng dalawang beses. Ito ay mabuti.

Bigyang-pansin ang puntong $x=11$. Ito ay lumalabas na ito ay "twice gouged": sa isang banda, kami ay nabubulok dahil sa tindi ng hindi pagkakapantay-pantay, sa kabilang banda, dahil sa karagdagang pangangailangan ODZ.

Sa anumang kaso, ito ay magiging isang punctured point lamang. Samakatuwid, naglalagay kami ng mga palatandaan para sa hindi pagkakapantay-pantay na $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - ang huling nakita namin bago namin simulan ang paglutas ng mga equation:

Interesado kami sa mga positibong rehiyon, dahil nilulutas namin ang hindi pagkakapantay-pantay ng anyong $f\left(x \right) \gt 0$, at kukulayan namin ang mga ito. Ito ay nananatiling lamang upang isulat ang sagot.

Sagot. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Gamit ang solusyon na ito bilang isang halimbawa, nais kong balaan ka laban sa isang karaniwang pagkakamali sa mga baguhang estudyante. Namely: hindi kailanman buksan ang mga panaklong sa hindi pagkakapantay-pantay! Sa kabaligtaran, subukang i-factor ang lahat - ito ay gawing simple ang solusyon at i-save ka ng maraming mga problema.

Ngayon subukan natin ang isang bagay na mas mahirap.

Isang gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(\kaliwa(2x-13 \kanan)\kaliwa(12x-9 \kanan))(15x+33)\le 0\]

Solusyon. Ito ay isang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ng form na $f\left(x \right)\le 0$, kaya dito kailangan mong maingat na subaybayan ang mga punan na puntos.

Lumipat tayo sa paraan ng pagitan:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Lumipat tayo sa equation:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x )_(1))=6.5; \\ & 12x-9=0\Rightarrow ((x)_(2))=0.75; \\ & 15x+33=0\Rightarrow ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(align)\]

Isinasaalang-alang namin ang karagdagang kinakailangan:

Markahan namin ang lahat ng nakuha na mga ugat sa linya ng numero:

Kung ang isang punto ay parehong napunch out at pinunan sa parehong oras, ito ay itinuturing na punch out.

Muli, dalawang puntos ang "nagpapatong" sa isa't isa - ito ay normal, ito ay palaging magiging gayon. Mahalaga lamang na maunawaan na ang isang punto na minarkahan bilang punched out at napunan ay talagang isang punched out point. Yung. Ang "Gouging" ay isang mas malakas na aksyon kaysa sa "pagpinta".

Ito ay ganap na lohikal, dahil sa pamamagitan ng pagbubutas ay minarkahan namin ang mga puntos na nakakaapekto sa pag-sign ng function, ngunit hindi sila mismo ang lumahok sa sagot. At kung sa isang punto ang numero ay hindi na umayon sa amin (halimbawa, hindi ito nahuhulog sa ODZ), tatanggalin namin ito mula sa pagsasaalang-alang hanggang sa pinakadulo ng gawain.

Sa pangkalahatan, itigil ang pamimilosopo. Inaayos namin ang mga palatandaan at pintura sa mga pagitan na may marka ng minus sign:

Sagot. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

At muli nais kong iguhit ang iyong pansin sa equation na ito:

\[\kaliwa(2x-13 \kanan)\kaliwa(12x-9 \kanan)\kaliwa(15x+33 \kanan)=0\]

Muli: huwag kailanman buksan ang mga panaklong sa gayong mga equation! Pinahihirapan mo lang ang sarili mo. Tandaan: ang produkto ay zero kapag kahit isa sa mga salik ay zero. Dahil dito, ibinigay na equation ito ay "nahuhulog" lamang sa ilang mas maliliit, na nalutas namin sa nakaraang problema.

Isinasaalang-alang ang multiplicity ng mga ugat

Mula sa mga nakaraang problema ay madaling makita iyon ang pinakamalaking kahirapan kumakatawan sa mga tiyak na hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, dahil kailangan nilang subaybayan ang mga napunan na puntos.

Ngunit mayroong isang mas malaking kasamaan sa mundo - ito ay maraming mga ugat ng hindi pagkakapantay-pantay. Narito ito ay kinakailangan upang sundin ang hindi ilang mga punong punto doon - dito ang hindi pagkakapantay-pantay na palatandaan ay maaaring hindi biglang magbago kapag dumaan sa parehong mga puntong ito.

Hindi pa natin nasasaalang-alang ang anumang bagay na tulad nito sa araling ito (bagaman katulad na problema madalas na nakatagpo sa paraan ng mga pagitan). Kaya't ipakilala natin ang isang bagong kahulugan:

Kahulugan. Ang ugat ng equation na $((\left(x-a \right))^(n))=0$ ay katumbas ng $x=a$ at tinatawag na ugat ng $n$th multiplicity.

Sa totoo lang, hindi kami partikular na interesado eksaktong halaga multiplicity. Ang tanging mahalagang bagay ay kung ang mismong numerong $n$ ay pantay o kakaiba. dahil:

1. Kung ang $x=a$ ay isang ugat ng kahit multiplicity, kung gayon ang tanda ng function ay hindi nagbabago kapag dumadaan dito;
2. At kabaliktaran, kung ang $x=a$ ay ugat ng kakaibang multiplicity, magbabago ang sign ng function.

Ang isang espesyal na kaso ng isang ugat ng kakaibang multiplicity ay ang lahat ng mga nakaraang problema na isinasaalang-alang sa araling ito: doon ang multiplicity ay katumbas ng isa sa lahat ng dako.

At higit pa. Bago natin simulan ang paglutas ng mga problema, nais kong ituon ang iyong pansin sa isang kapitaganan na tila halata sa isang may karanasang mag-aaral, ngunit nagtutulak sa maraming baguhan sa pagkahilo. Namely:

Ang multiplicity root na $n$ ay nangyayari lamang kapag ang buong expression ay nakataas sa ganitong kapangyarihan: $((\left(x-a \right))^(n))$, at hindi $\left(((x)^( n) )-a\kanan)$.

Muli: ang bracket na $((\left(x-a \right))^(n))$ ay nagbibigay sa atin ng root $x=a$ ng multiplicity $n$, ngunit ang bracket na $\left(((x)^( n)) -a \right)$ o, gaya ng madalas na nangyayari, ang $(a-((x)^(n)))$ ay nagbibigay sa atin ng ugat (o dalawang ugat, kung $n$ ay pantay) ng unang multiplicity , anuman ang katumbas ng $n$.

Ihambing:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]

Ang lahat ay malinaw dito: ang buong bracket ay itinaas sa ikalimang kapangyarihan, kaya sa output nakuha namin ang ugat ng ikalimang degree. At ngayon:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

Mayroon kaming dalawang ugat, ngunit pareho sa kanila ang unang multiplicity. O narito ang isa pa:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

At huwag malito sa ikasampung antas. Ang pangunahing bagay ay ang 10 ay kahit na numero, kaya mayroon kaming dalawang ugat sa output, at pareho silang may unang multiplicity.

Sa pangkalahatan, mag-ingat: ang multiplicity ay nangyayari lamang kapag nalalapat ang degree sa buong bracket, hindi lang sa variable.

Isang gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(((x)^(2))((\kaliwa(6-x \kanan))^(3))\kaliwa(x+4 \kanan))(((\kaliwa(x+7) \kanan))^(5)))\ge 0\]

Solusyon. Subukan nating lutasin ito alternatibong paraan- sa pamamagitan ng paglipat mula sa partikular sa produkto:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\tama.\]

Nakikitungo kami sa unang hindi pagkakapantay-pantay gamit ang paraan ng agwat:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \right))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Rightarrow x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\Rightarrow x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Rightarrow x=-7\left(5k \right). \\ \end(align)\]

Bukod pa rito, nalulutas namin ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay. Sa katunayan, nalutas na namin ito, ngunit upang ang mga tagasuri ay hindi makahanap ng kasalanan sa solusyon, mas mahusay na lutasin ito muli:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

Tandaan na walang multiplicity sa huling hindi pagkakapantay-pantay. Sa katunayan: anong pagkakaiba ang ginagawa kung gaano karaming beses na i-cross out ang puntong $x=-7$ sa linya ng numero? Hindi bababa sa isang beses, hindi bababa sa limang beses - ang resulta ay magiging pareho: isang punctured point.

Tandaan natin ang lahat ng nakuha natin sa linya ng numero:

Gaya ng sinabi ko, ang $x=-7$ point ay tuluyang mapupuksa. Ang mga multiplicity ay isinaayos batay sa solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng agwat.

Ito ay nananatiling ilagay ang mga palatandaan:

Dahil ang puntong $x=0$ ay isang ugat ng pantay na multiplicity, ang tanda ay hindi nagbabago kapag dumadaan dito. Ang natitirang mga puntos ay may kakaibang multiplicity, at lahat ay simple sa kanila.

Sagot. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Bigyang-pansin muli ang $x=0$. Dahil sa kahit na multiplicity, lumitaw ang isang kawili-wiling epekto: lahat sa kaliwa nito ay pininturahan, sa kanan - din, at ang punto mismo ay ganap na pininturahan.

Bilang resulta, hindi ito kailangang ihiwalay kapag nagre-record ng tugon. Yung. hindi mo na kailangang magsulat ng isang bagay tulad ng $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (bagama't sa pormal na ganoong sagot ay magiging tama rin). Sa halip, agad naming isinusulat ang $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Ang ganitong mga epekto ay posible lamang para sa mga ugat ng kahit multiplicity. At sa susunod na gawain, makakatagpo tayo ng kabaligtaran na "pagpapakita" ng epektong ito. handa na?

Isang gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \kaliwa(7x-10-((x)^(2)) \kanan))\ge 0\]

Solusyon. Sa pagkakataong ito, susundin natin ang karaniwang pamamaraan. Itakda ang numerator sa zero:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Rightarrow ((x)_(2))=4. \\ \end(align)\]

At ang denominator:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(align)\]

Dahil nilulutas natin ang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ng anyong $f\left(x \right)\ge 0$, ang mga ugat mula sa denominator (na may mga asterisk) ay puputulin, at ang mga mula sa numerator ay ipininta sa ibabaw. .

Inaayos namin ang mga palatandaan at hinaplos ang mga lugar na minarkahan ng "plus":

Ang puntong $x=3$ ay nakahiwalay. Ito ay bahagi ng sagot

Bago isulat ang huling sagot, tingnang mabuti ang larawan:

1. Ang puntong $x=1$ ay may pantay na multiplicity, ngunit mismong nabutas. Samakatuwid, ito ay kailangang ihiwalay sa sagot: kailangan mong isulat ang $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, at hindi $x\in \left(-\ infty ;2\right)$.
2. Ang puntong $x=3$ ay mayroon ding pantay na multiplicity at may kulay. Ang pag-aayos ng mga palatandaan ay nagpapahiwatig na ang punto mismo ay nababagay sa atin, ngunit isang hakbang sa kaliwa at kanan - at nakita natin ang ating sarili sa isang lugar na tiyak na hindi angkop sa atin. Ang nasabing mga punto ay tinatawag na isolated at isinusulat bilang $x\in \left\( 3 \right\)$.

Pinagsasama namin ang lahat ng nakuhang piraso sa isang karaniwang hanay at isulat ang sagot.

Sagot: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Kahulugan. Ang paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay ay nangangahulugan hanapin ang hanay ng lahat ng mga solusyon nito, o patunayan na walang laman ang set na ito.

Tila: ano ang maaaring hindi maunawaan dito? Oo, ang katotohanan ng bagay ay ang mga hanay ay maaaring tukuyin sa iba't ibang paraan. Isulat muli natin ang sagot sa huling problema:

Literal na binabasa namin ang nakasulat. Ang variable na "x" ay kabilang sa isang tiyak na hanay, na nakuha ng unyon (simbolo "U") ng apat na magkakahiwalay na hanay:

• Ang pagitan ay $\left(-\infty ;1 \right)$, na literal na nangangahulugang "lahat ng mga numero na mas mababa sa isa, ngunit hindi isa mismo";
• Ang pagitan ay $\left(1;2 \right)$, i.e. "lahat ng mga numero sa pagitan ng 1 at 2, ngunit hindi ang mga numero 1 at 2 mismo";
• Ang set na $\left\( 3 \right\)$, na binubuo ng isang solong numero - tatlo;
• Ang pagitan na $\left[ 4;5 \right)$, na naglalaman ng lahat ng mga numero sa pagitan ng 4 at 5, kasama ang 4 mismo, ngunit hindi 5.

Ang pangatlong punto ay interesado dito. Hindi tulad ng mga agwat, na tumutukoy sa mga walang katapusang hanay ng mga numero at tumutukoy lamang sa mga hangganan ng mga hanay na ito, ang hanay na $\left\( 3 \right\)$ ay tumutukoy ng eksaktong isang numero sa pamamagitan ng enumeration.

Upang maunawaan na inililista namin ang mga partikular na numero na kasama sa set (at hindi nagtatakda ng mga hangganan o anumang bagay), ginagamit ang mga kulot na brace. Halimbawa, ang notasyong $\left\( 1;2 \right\)$ ay nangangahulugang eksaktong "isang set na binubuo ng dalawang numero: 1 at 2", ngunit hindi isang segment mula 1 hanggang 2. Huwag malito ang mga konseptong ito sa anumang kaso .

Panuntunan sa pagdaragdag ng multiplicity

Well, sa pagtatapos ng aralin ngayon, isang maliit na lata mula kay Pavel Berdov. :)

Ang matulungin na mga mag-aaral ay malamang na nagtanong sa kanilang sarili ng tanong: ano ang mangyayari kung ang parehong mga ugat ay matatagpuan sa numerator at denominator? Kaya gumagana ang sumusunod na panuntunan:

Multiplicity magkaparehong ugat magdagdag ng up. Ay laging. Kahit na ang ugat na ito ay nangyayari sa parehong numerator at denominator.

Minsan mas mabuting magdesisyon kaysa magsalita. Samakatuwid, malulutas namin ang sumusunod na problema:

Isang gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \right))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= - apat. \\ \end(align)\]

Sa ngayon, walang espesyal. Itakda ang denominator sa zero:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Rightarrow x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Rightarrow x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(align)\]

Dalawang magkaparehong ugat ang matatagpuan: $((x)_(1))=-2$ at $x_(4)^(*)=-2$. Parehong may unang multiplicity. Samakatuwid, pinapalitan namin ang mga ito ng isang ugat na $x_(4)^(*)=-2$, ngunit may multiplicity na 1+1=2.

Bilang karagdagan, mayroon ding magkaparehong mga ugat: $((x)_(2))=-4$ at $x_(2)^(*)=-4$. Sila rin ay nasa unang multiplicity, kaya $x_(2)^(*)=-4$ na lang ng multiplicity 1+1=2 ang natitira.

Pakitandaan: sa parehong mga kaso, iniwan namin nang eksakto ang "pinutol" na ugat, at itinapon ang "pininturahan" mula sa pagsasaalang-alang. Dahil kahit na sa simula ng aralin, nagkasundo kami: kung ang isang punto ay parehong nasusuntok at pininturahan sa parehong oras, pagkatapos ay itinuturing pa rin namin itong punch out.

Bilang isang resulta, mayroon kaming apat na mga ugat, at lahat ng mga ito ay na-gouged out:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\kaliwa(2k \kanan); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\kaliwa(2k \kanan). \\ \end(align)\]

Minarkahan namin ang mga ito sa linya ng numero, isinasaalang-alang ang multiplicity:

Inilalagay namin ang mga palatandaan at pintura sa mga lugar na interesado sa amin:

Lahat. Walang ilang mga punto at iba pang mga perversions. Maaari mong isulat ang sagot.

Sagot. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

tuntunin sa pagpaparami

Minsan ang isang mas hindi kasiya-siyang sitwasyon ay nangyayari: ang isang equation na may maraming mga ugat ay itinaas mismo sa isang tiyak na kapangyarihan. Binabago nito ang multiplicity ng lahat ng orihinal na ugat.

Ito ay bihira, kaya karamihan sa mga estudyante ay walang karanasan sa paglutas ng mga ganitong problema. At ang panuntunan dito ay:

Kapag ang isang equation ay itinaas sa isang kapangyarihan $n$, ang multiplicity ng lahat ng mga ugat nito ay tataas din ng isang factor na $n$.

Sa madaling salita, ang pagtaas sa isang kapangyarihan ay nagreresulta sa pagpaparami ng multiplicity sa parehong kapangyarihan. Kunin natin ang panuntunang ito bilang isang halimbawa:

Isang gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(x((\left(((x)^(2)))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\kaliwa(2-x \kanan))^(3))((\kaliwa(x-1 \kanan))^(2)))\le 0\]

Solusyon. Itakda ang numerator sa zero:

Ang produkto ay katumbas ng zero kapag kahit isa sa mga salik ay katumbas ng zero. Malinaw ang lahat sa unang multiplier: $x=0$. At dito magsisimula ang mga problema:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\kaliwa(2k \kanan); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\kaliwa(2k \kanan)\kaliwa(2k \kanan) \ \ & ((x)_(2))=3\kaliwa(4k \kanan) \\ \end(align)\]

Gaya ng nakikita mo, ang equation na $((x)^(2))-6x+9=0$ ay may natatanging ugat ng pangalawang multiplicity: $x=3$. Ang buong equation ay pagkatapos ay parisukat. Samakatuwid, ang multiplicity ng root ay magiging $2\cdot 2=4$, na sa wakas ay isinulat namin.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]

Wala ring problema sa denominator:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \end(align)\]

Sa kabuuan, nakakuha kami ng limang puntos: dalawa ang na-punch out at tatlo ang napunan. Walang magkatulad na mga ugat sa numerator at denominator, kaya markahan lamang namin ang mga ito sa linya ng numero:

Inaayos namin ang mga palatandaan na isinasaalang-alang ang mga multiplicity at pintura sa mga pagitan ng interes sa amin:

Muli isang nakahiwalay na punto at isang nabutas

Dahil sa mga ugat ng kahit multiplicity, muli kaming nakatanggap ng ilang "hindi pamantayan" na mga elemento. Ito ay $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, hindi $x\in \left[ 0;2 \right)$, at isa ring nakahiwalay na punto $ x\in \left\( 3 \right\)$.

Sagot. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Tulad ng nakikita mo, ang lahat ay hindi napakahirap. Ang pangunahing bagay ay pagkaasikaso. Huling seksyon ng araling ito ay nakatuon sa mga pagbabagong-anyo - ang mismong mga tinalakay natin sa simula pa lamang.

Mga preconversion

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na tatalakayin natin sa seksyong ito ay hindi kumplikado. Gayunpaman, hindi tulad ng mga naunang gawain, dito kailangan mong ilapat ang mga kasanayan mula sa teorya ng rational fractions - factorization at reduction sa isang common denominator.

Detalyadong tinalakay namin ang isyung ito sa simula ng aralin ngayon. Kung hindi ka sigurado na naiintindihan mo kung tungkol saan ito, lubos kong inirerekomenda na bumalik ka at ulitin. Dahil walang punto sa pag-cramming ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay kung "langoy" ka sa conversion ng mga fraction.

AT takdang aralin Sa pamamagitan ng paraan, magkakaroon din ng maraming katulad na mga gawain. Ang mga ito ay inilalagay sa isang hiwalay na subsection. At doon ay makakahanap ka ng mga napaka-walang kuwentang halimbawa. Ngunit ito ay nasa takdang-aralin, ngunit ngayon suriin natin ang ilang mga hindi pagkakapantay-pantay.

Isang gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Solusyon. Inilipat ang lahat sa kaliwa:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Dinadala namin sa isang karaniwang denominator, buksan ang mga bracket, ibigay parang terms sa numerator:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ kanan))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\kaliwa(x-1 \kanan))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Ngayon ay mayroon na tayong classical fractional rational inequality, ang solusyon nito ay hindi na mahirap. Iminumungkahi kong lutasin ito sa pamamagitan ng isang alternatibong pamamaraan - sa pamamagitan ng paraan ng mga agwat:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(align)\]

Huwag kalimutan ang pagpilit na nagmumula sa denominator:

Minarkahan namin ang lahat ng mga numero at mga paghihigpit sa linya ng numero:

Ang lahat ng mga ugat ay may unang multiplicity. Walang problema. Ilalagay lang namin ang mga karatula at pintura sa mga lugar na kailangan namin:

Ito ay lahat. Maaari mong isulat ang sagot.

Sagot. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Siyempre, ito ay isang napaka-simpleng halimbawa. Kaya ngayon, tingnan natin ang problema. At sa pamamagitan ng paraan, ang antas ng gawaing ito ay medyo pare-pareho sa independyente at kontrol sa trabaho sa paksang ito sa ika-8 baitang.

Isang gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Solusyon. Inilipat ang lahat sa kaliwa:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Bago dalhin ang parehong mga fraction sa isang karaniwang denominator, nabubulok namin ang mga denominador na ito sa mga salik. Biglang lalabas ang parehong mga bracket? Sa unang denominator, madali:

\[((x)^(2))+8x-9=\kaliwa(x-1 \kanan)\kaliwa(x+9 \kanan)\]

Ang pangalawa ay medyo mas mahirap. Huwag mag-atubiling magdagdag ng palaging multiplier sa bracket kung saan natagpuan ang fraction. Tandaan: ang orihinal na polynomial ay may mga integer coefficient, kaya malaki ang posibilidad na ang factorization ay magkakaroon din ng integer coefficients (sa katunayan, ito ay palaging, maliban kung ang discriminant ay hindi makatwiran).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\kaliwa(x-1 \kanan)\kaliwa(3x-2 \kanan) \end(align)\]

Sa nakikita natin, mayroon karaniwang panaklong: $\kaliwa(x-1\kanan)$. Bumalik tayo sa hindi pagkakapantay-pantay at dinadala ang parehong mga fraction sa isang karaniwang denominator:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ kaliwa(3x-2\kanan))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) )\kaliwa(3x-2 \kanan))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\kaliwa(x-1 \kanan)\kaliwa(x+9 \kanan)\kaliwa(3x-2 \kanan))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\kaliwa(x-1 \kanan)\kaliwa(x+9 \kanan)\kaliwa(3x-2 \kanan))\ge 0; \\ \end(align)\]

Itakda ang denominator sa zero:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( ihanay)\]

Walang multipliities at walang coinciding roots. Nagmarka kami ng apat na numero sa isang tuwid na linya:

Inilalagay namin ang mga palatandaan:

Isulat namin ang sagot.

Sagot: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ tama)$.

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address Email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Kinokolekta namin Personal na impormasyon nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa natatanging alok, mga promosyon at iba pang mga kaganapan at mga paparating na kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at mensahe.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin tulad ng pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pag-aaral upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at upang mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudisyal, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang publiko. mahahalagang okasyon.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

>>Math: Rational inequalities

Ang rational inequality na may isang variable x ay isang inequality ng form - rational expressions, i.e. algebraic expression, na binubuo ng mga numero at ang variable na x gamit ang mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, paghahati at pagtaas sa natural na kapangyarihan. Siyempre, ang variable ay maaaring ipahiwatig ng anumang iba pang titik, ngunit sa matematika, ang letrang x ay kadalasang ginustong.

Kapag nilulutas ang mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay, ginagamit ang tatlong panuntunan na nabalangkas sa itaas sa § 1. Sa tulong ng mga panuntunang ito, ang isang naibigay na rational inequality ay karaniwang kino-convert sa anyo / (x) > 0, kung saan ang / (x) ay isang algebraic fraction (o polynomial). Susunod, i-decompose ang numerator at denominator ng fraction f (x) sa mga salik ng anyong x - a (kung, siyempre, posible ito) at ilapat ang paraan ng pagitan, na nabanggit na natin sa itaas (tingnan ang halimbawa 3 sa nakaraang talata).

Halimbawa 1 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay (x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0.

Solusyon. Isaalang-alang ang expression na f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2).

Ito ay nagiging 0 sa mga puntos na 1,-1,2; markahan ang mga puntong ito sa linya ng numero. Ang numerong linya ay nahahati sa mga ipinahiwatig na mga punto sa apat na pagitan (Larawan 6), kung saan pinapanatili ng ekspresyong f (x) ang bawat isa. permanenteng marka. Para ma-verify ito, magsasagawa kami ng apat na argumento (para sa bawat isa sa mga agwat na ito nang hiwalay).

Kunin ang anumang puntong x mula sa pagitan (2, Ang puntong ito ay matatagpuan sa linya ng numero sa kanan ng punto -1, sa kanan ng punto 1 at sa kanan ng punto 2. Nangangahulugan ito na ang x > -1, x > 1, x > 2 (Larawan 7). Ngunit pagkatapos ay x-1>0, x+1>0, x - 2 > 0, at samakatuwid f (x) > 0 (bilang isang produkto ng rational inequality ng tatlo mga positibong numero). Kaya, ang hindi pagkakapantay-pantay na f (x) > 0 ay humahawak sa buong pagitan.

Kunin ang anumang punto x mula sa pagitan (1,2). Ang puntong ito ay matatagpuan sa linya ng numero sa kanan ng point-1, sa kanan ng point 1, ngunit sa kaliwa ng point 2. Samakatuwid, x\u003e -1, x\u003e 1, ngunit x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1>0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

Kunin ang anumang punto x mula sa pagitan (-1,1). Ang puntong ito ay matatagpuan sa linya ng numero sa kanan ng punto -1, sa kaliwa ng punto 1 at sa kaliwa ng punto 2. Kaya x > -1, ngunit x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (bilang produkto ng dalawang negatibo at isang positibong numero). Kaya, sa pagitan (-1,1) ang hindi pagkakapantay-pantay na f (x)> 0 ay humahawak.

Panghuli, kumuha ng anumang puntong x mula sa bukas na sinag (-oo, -1). Ang puntong ito ay matatagpuan sa number line sa kaliwa ng point -1, sa kaliwa ng point 1 at sa kaliwa ng point 2. Nangangahulugan ito na x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

I-summarize natin. Ang mga palatandaan ng expression na f (x) sa mga napiling agwat ay tulad ng ipinapakita sa Fig. 11. Kami ay interesado sa kanila kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay f (x) > 0 ay nasiyahan. Gamit ang geometric na modelo na ipinakita sa fig. 11, itinatag namin na ang hindi pagkakapantay-pantay f (x) > 0 ay nasiyahan sa pagitan (-1, 1) o sa bukas na sinag
Sagot: -1 < х < 1; х > 2.

Halimbawa 2 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay
Solusyon. Tulad ng sa nakaraang halimbawa, gumuhit kami kinakailangang impormasyon mula sa fig. 11, ngunit may dalawang pagbabago kumpara sa halimbawa 1. Una, dahil interesado kami sa kung anong mga halaga ng x ang nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay f(x)< 0, нам придется выбрать промежутки Pangalawa, nasiyahan din tayo sa mga puntong iyon kung saan nasiyahan ang pagkakapantay-pantay na f (x) = 0. Ito ang mga puntos na -1, 1, 2, minarkahan natin sila sa figure na may mga dark circle at isama ang mga ito sa sagot. Sa fig. Ang 12 ay nagpapakita ng isang geometric na modelo ng tugon, kung saan hindi mahirap ilipat sa isang analytical record.
Sagot:
HALIMBAWA 3. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay
Solusyon. I-factor natin ang numerator at denominator ng algebraic fraction fx na nasa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay. Sa numerator mayroon kaming x 2 - x \u003d x (x - 1).

Upang i-factor ang square trinomial x 2 - bx ~ 6 na nakapaloob sa denominator ng fraction, makikita natin ang mga ugat nito. Mula sa equation x 2 - 5x - 6 \u003d 0 nakita namin ang x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 6. Kaya, (ginamit namin ang formula para sa factoring ng isang square trinomial: ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1 - x 2)).
Kaya, binago natin ang ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay sa anyo

Isaalang-alang ang expression:

Ang numerator ng fraction na ito ay nagiging 0 sa mga puntos na 0 at 1, at nagiging 0 sa mga puntos na -1 at 6. Markahan natin ang mga puntong ito sa linya ng numero (Fig. 13). Ang numerong linya ay hinati ng mga ipinahiwatig na mga punto sa limang pagitan, at sa bawat pagitan ang expression na fx) ay nagpapanatili ng isang palaging tanda. Ang pagtatalo sa parehong paraan tulad ng sa Halimbawa 1, dumating tayo sa konklusyon na ang mga palatandaan ng expression fx) sa mga napiling pagitan ay tulad ng ipinapakita sa Fig. 13. Interesado kami sa kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay f (x)< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0 sagot: -1

Halimbawa 4 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

Solusyon. Kapag nilulutas ang mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay, bilang panuntunan, mas gusto nilang iwanan lamang ang numero 0 sa kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, binabago natin ang hindi pagkakapantay-pantay sa anyo

Dagdag pa:

Tulad ng ipinapakita ng karanasan, kung ang kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay naglalaman lamang ng numerong 0, mas madaling mangatwiran kapag ang numerator at denominator sa kaliwang bahagi nito ay may positibong leading coefficient. At ano ang mayroon tayo? Mayroon tayong lahat sa denominator ng fraction sa ganitong kahulugan sa pagkakasunud-sunod (ang nangungunang coefficient, i.e. ang coefficient sa x 2, ay 6 - isang positibong numero), ngunit hindi lahat ay nasa pagkakasunud-sunod sa numerator - ang senior coefficient (ang coefficient sa x) ay - 4 (negatibong numero) Ang pagpaparami sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa -1 at pagpapalit ng tanda ng hindi pagkakapantay-pantay sa kabaligtaran, nakakakuha tayo ng katumbas na hindi pagkakapantay-pantay

Palawakin natin ang numerator at denominator algebraic fraction para sa mga multiplier. Sa numerator, ang lahat ay simple:
Upang i-factor ang square trinomial na nakapaloob sa denominator ng isang fraction

(ginamit ulit namin ang formula para sa pag-factor ng square trinomial).
Kaya, binawasan namin ang ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay sa anyo

Isaalang-alang ang expression

Ang numerator ng fraction na ito ay nagiging 0 sa punto at ang denominator - sa mga punto. Napansin namin ang mga puntong ito sa linya ng numero (Larawan 14), na hinati ng mga ipinahiwatig na puntos sa apat na pagitan, at sa bawat pagitan ang expression Ang f (x) ay nagpapanatili ng isang palaging tanda (ang mga palatandaang ito ay ipinahiwatig sa Fig. 14). Kami ay interesado sa mga pagitan kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay fх< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

Sa lahat ng mga halimbawang isinasaalang-alang, binago namin ang ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay sa isang katumbas na hindi pagkakapantay-pantay ng anyong f (x) > 0 o f (x)<0,где
Sa kasong ito, ang bilang ng mga salik sa numerator at denominator ng isang fraction ay maaaring anuman. Pagkatapos ang mga puntos na a, b, c, e ay minarkahan sa linya ng numero. at tinukoy ang mga palatandaan ng ekspresyong f (x) sa mga napiling pagitan. Napansin namin na sa pinakakanan ng mga napiling pagitan, ang hindi pagkakapantay-pantay f (x) > 0 ay nasiyahan, at pagkatapos ay ang mga palatandaan ng expression na f (x) ay humalili sa mga pagitan (tingnan ang Fig. 16a). Ang alternation na ito ay maginhawang inilalarawan sa tulong ng isang kulot na kurba, na iginuhit mula kanan pakaliwa at mula sa itaas hanggang sa ibaba (Larawan 166). Sa mga pagitan kung saan ang kurba na ito (minsan ay tinatawag na kurba ng mga palatandaan) ay matatagpuan sa itaas ng x-axis, ang hindi pagkakapantay-pantay na f (x) > 0 ay nasiyahan; kung saan ang kurba na ito ay matatagpuan sa ibaba ng x-axis, ang hindi pagkakapantay-pantay f (x)< 0.

Halimbawa 5 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

Solusyon. Meron kami

(parehong bahagi ng nakaraang hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami ng 6).
Upang gamitin ang paraan ng agwat, markahan ang mga punto sa linya ng numero (sa mga puntong ito ay nawawala ang numerator ng fraction na nasa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay) at mga puntos (sa mga puntong ito ang denominator ng ipinahiwatig na fraction ay naglalaho). Karaniwan, ang mga puntos ay minarkahan ng eskematiko, na isinasaalang-alang ang pagkakasunud-sunod kung saan sila sumusunod (alin ang nasa kanan, alin ang nasa kaliwa) at hindi partikular na binibigyang pansin ang sukat. Malinaw na Ang sitwasyon ay mas kumplikado sa mga numero. Ang unang pagtatantya ay nagpapakita na ang parehong mga numero ay bahagyang mas malaki kaysa sa 2.6, kung saan ito ay imposible upang tapusin kung alin sa mga ipinahiwatig na mga numero ay mas malaki at kung saan ay mas mababa. Kumbaga (at random) na Then
Ito ay naging tamang hindi pagkakapantay-pantay, na nangangahulugang ang aming hula ay nakumpirma: sa katunayan
Kaya,

Minarkahan namin ang ipinahiwatig na 5 puntos sa ipinahiwatig na pagkakasunud-sunod sa linya ng numero (Larawan 17a). Ayusin ang mga palatandaan ng pagpapahayag
sa mga agwat na nakuha: sa pinakakanan - isang + sign, at pagkatapos ay ang mga palatandaan ay kahalili (Larawan 176). Gumuhit tayo ng isang kurba ng mga palatandaan at piliin (sa pamamagitan ng pagtatabing) ang mga pagitan kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay na f (x) > 0 ng interes sa atin ay nasiyahan (Larawan 17c). Sa wakas ay isaalang-alang natin iyon nag-uusap kami tungkol sa hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay f (x) > 0, na nangangahulugan na interesado rin tayo sa mga puntong iyon kung saan nawawala ang ekspresyong f (x). Ito ang mga ugat ng numerator ng fraction f (x), i.e. puntos markahan namin ang mga ito sa Fig. 17 sa dark circles (at, siyempre, isama sa sagot). Ngayon eto ang pic. Ang 17c ay nagbibigay ng kumpletong geometric na modelo para sa mga solusyon sa ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay.