Nagpatuloy kami sa pag-uusap solusyon ng mga equation. Sa artikulong ito, pagtutuunan natin ng pansin rational equation at mga prinsipyo ng pagpapasya rational equation na may isang variable. Una, alamin natin kung anong uri ng mga equation ang tinatawag na rational, magbigay ng kahulugan ng integer rational at fractional rational equation, at magbigay ng mga halimbawa. Susunod, kumuha kami ng mga algorithm para sa paglutas ng mga rational equation, at, siyempre, isaalang-alang ang mga solusyon mga halimbawa ng katangian kasama ang lahat ng kinakailangang paliwanag.

Pag-navigate sa pahina.

Batay sa mga tunog na kahulugan, nagbibigay kami ng ilang mga halimbawa ng mga rational equation. Halimbawa, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , ay pawang mga rational equation.

Mula sa mga halimbawang ipinakita, makikita na ang mga rational equation, gayundin ang mga equation ng iba pang uri, ay maaaring may isang variable, o may dalawa, tatlo, atbp. mga variable. AT ang mga sumusunod na talata pag-uusapan natin ang paglutas ng mga rational equation sa isang variable. Paglutas ng mga equation na may dalawang variable at sila isang malaking bilang nararapat na espesyal na atensyon.

Bilang karagdagan sa paghahati ng mga rational equation sa bilang ng mga hindi kilalang variable, nahahati din sila sa integer at fractional. Ibigay natin ang mga kaukulang kahulugan.

Kahulugan.

Tinatawag ang rational equation buo, kung pareho ang kaliwa at kanang bahagi nito ay integer rational expression.

Kahulugan.

Kung hindi bababa sa isa sa mga bahagi ng isang rational equation ay fractional expression, pagkatapos ay tinatawag ang equation na ito fractionally rational(o fractional rational).

Malinaw na ang mga integer equation ay hindi naglalaman ng dibisyon ng isang variable; sa kabilang banda, ang mga fractional rational equation ay kinakailangang naglalaman ng dibisyon ng isang variable (o isang variable sa denominator). Kaya 3 x+2=0 at (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0.5 ay buong rational equation, pareho ng kanilang mga bahagi ay integer expression. Ang A at x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 ay mga halimbawa ng fractional rational equation.

Sa pagtatapos ng talatang ito, bigyang-pansin natin ang katotohanan na ang mga linear equation at quadratic equation na kilala sa sandaling ito ay buong rational equation.

Paglutas ng mga equation ng integer

Ang isa sa mga pangunahing diskarte sa paglutas ng buong equation ay ang kanilang pagbawas sa katumbas algebraic equation. Ito ay palaging magagawa sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga sumusunod na katumbas na pagbabago ng equation:

• una, ang expression mula sa kanang bahagi ng orihinal na integer equation ay inililipat sa kaliwang bahagi na may kabaligtaran ng tanda upang makakuha ng zero sa kanang bahagi;
• pagkatapos nito, sa kaliwang bahagi ng equation, ang resulta karaniwang view.

Ang resulta ay algebraic equation, na katumbas ng orihinal na buong equation. Kaya sa karamihan mga simpleng kaso ang paglutas ng buong equation ay binabawasan sa paglutas ng mga linear o quadratic na equation, at sa pangkalahatang kaso– sa solusyon ng isang algebraic equation ng degree n. Para sa kalinawan, pag-aralan natin ang solusyon ng halimbawa.

Halimbawa.

Hanapin ang mga ugat ng buong equation 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

Desisyon.

Bawasan natin ang solusyon ng buong equation na ito sa solusyon ng isang katumbas na algebraic equation. Upang gawin ito, una, inilipat namin ang expression mula sa kanang bahagi sa kaliwa, bilang isang resulta ay nakarating kami sa equation 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. At, pangalawa, binabago namin ang expression na nabuo sa kaliwang bahagi sa isang polynomial ng karaniwang anyo sa pamamagitan ng paggawa ng kinakailangan: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Kaya, ang solusyon ng orihinal na integer equation ay bumababa sa solusyon quadratic equation x 2 −5 x−6=0 .

Kalkulahin ang discriminant nito D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, ito ay positibo, na nangangahulugan na ang equation ay may dalawang tunay na ugat, na makikita natin sa pamamagitan ng formula ng mga ugat ng quadratic equation:

Para sa ganap na kumpiyansa gawin mo pagsuri sa mga natagpuang ugat ng equation. Una, sinusuri namin ang ugat 6, palitan ito sa halip na ang variable na x sa orihinal na integer equation: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, na pareho, 63=63 . Tama iyan pagkakapantay-pantay ng numero, samakatuwid, ang x=6 ay talagang ugat ng equation. Ngayon suriin namin ang ugat −1 , mayroon kami 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, saan, 0=0 . Para sa x=−1, ang orihinal na equation ay naging tunay na numerical equality, samakatuwid, x=−1 din ang ugat ng equation.

Sagot:

6 , −1 .

Dito dapat ding tandaan na ang terminong "kapangyarihan ng isang buong equation" ay nauugnay sa representasyon ng isang buong equation sa anyo ng isang algebraic equation. Nagbibigay kami ng kaukulang kahulugan:

Kahulugan.

Ang antas ng buong equation tawagan ang antas ng isang algebraic equation na katumbas nito.

Ayon sa kahulugang ito, ang buong equation mula sa nakaraang halimbawa ay may pangalawang antas.

Sa isang ito ay maaaring matapos sa solusyon ng buong rational equation, kung hindi para sa isa ngunit .... Tulad ng nalalaman, ang solusyon ng mga algebraic equation ng degree na mas mataas kaysa sa pangalawa ay nauugnay sa mga makabuluhang paghihirap, at para sa mga equation ng degree na mas mataas kaysa sa ikaapat, walang ganoong mga equation sa lahat. pangkalahatang mga formula mga ugat. Samakatuwid, upang malutas ang buong equation ng ikatlo, ikaapat at higit pa mataas na grado madalas na kailangang gumamit ng iba pang mga paraan ng solusyon.

Sa ganitong mga kaso, kung minsan ang diskarte sa paglutas ng buong rational equation batay sa paraan ng factorization. Kasabay nito, sinusunod ang sumusunod na algorithm:

• una nilang hinahangad na magkaroon ng zero sa kanang bahagi ng equation, para dito inililipat nila ang expression mula sa kanang bahagi ng buong equation sa kaliwa;
• pagkatapos, ang resultang expression sa kaliwang bahagi ay ipinakita bilang isang produkto ng ilang mga kadahilanan, na nagpapahintulot sa iyo na pumunta sa isang hanay ng ilang mga mas simpleng equation.

Ang algorithm sa itaas para sa paglutas ng buong equation sa pamamagitan ng factorization ay nangangailangan ng isang detalyadong paliwanag gamit ang isang halimbawa.

Halimbawa.

Lutasin ang buong equation (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Desisyon.

Una, tulad ng dati, inililipat namin ang expression mula sa kanang bahagi sa kaliwang bahagi ng equation, hindi nakakalimutang baguhin ang sign, nakukuha namin (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Malinaw dito na hindi ipinapayong baguhin ang kaliwang bahagi ng resultang equation sa isang polynomial ng karaniwang anyo, dahil magbibigay ito ng algebraic equation ng ika-apat na antas ng form. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, na ang solusyon ay mahirap.

Sa kabilang banda, kitang-kita na ang x 2 −10·x+13 ay matatagpuan sa kaliwang bahagi ng resultang equation, sa gayon ay kinakatawan ito bilang isang produkto. Meron kami (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Ang resultang equation ay katumbas ng orihinal na buong equation, at ito naman, ay maaaring palitan ng isang set ng dalawang quadratic equation x 2 −10·x+13=0 at x 2 −2·x−1=0 . Ang paghahanap ng kanilang mga ugat mga kilalang formula ugat sa pamamagitan ng discriminant ay hindi mahirap, ang mga ugat ay pantay. Sila ang gustong mga ugat ng orihinal na equation.

Sagot:

Kapaki-pakinabang din ito para sa paglutas ng buong rational equation. paraan para sa pagpapakilala ng bagong variable. Sa ilang mga kaso, pinapayagan nito ang isa na pumasa sa mga equation na ang antas ay mas mababa kaysa sa antas ng orihinal na integer equation.

Halimbawa.

Hanapin tunay na ugat rational equation (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Desisyon.

Ang pagbabawas ng buong rational equation na ito sa isang algebraic equation ay, sa madaling salita, hindi isang napakagandang ideya, dahil sa kasong ito ay darating tayo sa pangangailangan na lutasin ang isang fourth-degree equation na walang makatwirang mga ugat. Samakatuwid, kakailanganin mong maghanap ng isa pang solusyon.

Madaling makita dito na maaari kang magpakilala ng bagong variable na y at palitan ang expression na x 2 +3 x dito. Ang ganitong kapalit ay humahantong sa amin sa buong equation (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , na, pagkatapos ilipat ang expression −2 (y−4) sa kaliwang bahagi at kasunod na pagbabago ng expression na nabuo doon, binabawasan sa equation y 2 +4 y+3=0 . Ang mga ugat ng equation na ito y=−1 at y=−3 ay madaling mahanap, halimbawa, sila ay matatagpuan batay sa inverse theorem ng Vieta's theorem.

Ngayon ay lumipat tayo sa ikalawang bahagi ng paraan ng pagpapakilala ng bagong variable, iyon ay, sa paggawa ng reverse substitution. Pagkatapos isagawa ang reverse substitution, nakakakuha tayo ng dalawang equation x 2 +3 x=−1 at x 2 +3 x=−3 , na maaaring muling isulat bilang x 2 +3 x+1=0 at x 2 +3 x+3 =0 . Ayon sa formula ng mga ugat ng quadratic equation, nakita natin ang mga ugat ng unang equation. At ang pangalawang quadratic equation ay walang tunay na mga ugat, dahil ang discriminant nito ay negatibo (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

Sagot:

Sa pangkalahatan, kapag tayo ay nakikitungo sa mga integer equation na may mataas na antas, dapat tayong laging handa na maghanap hindi pamantayang pamamaraan o isang artipisyal na aparato para sa kanilang solusyon.

Solusyon ng mga fractionally rational equation

Una, magiging kapaki-pakinabang na maunawaan kung paano lutasin ang mga fractionally rational equation ng form , kung saan ang p(x) at q(x) ay mga rational integer expression. At pagkatapos ay ipapakita namin kung paano bawasan ang solusyon ng natitirang fractionally rational equation sa solusyon ng mga equation ng ipinahiwatig na anyo.

Ang isa sa mga diskarte sa paglutas ng equation ay batay sa sumusunod na pahayag: ang numerical fraction u/v, kung saan ang v ay isang non-zero na numero (kung hindi man ay makakatagpo tayo ng , na hindi tinukoy), ay katumbas ng zero kung at kung lamang numerator nito sero, ibig sabihin, kung at kung u=0 lamang. Sa bisa ng pahayag na ito, ang solusyon ng equation ay nababawasan sa katuparan ng dalawang kondisyon p(x)=0 at q(x)≠0 .

Ang konklusyon na ito ay naaayon sa mga sumusunod algorithm para sa paglutas ng isang fractionally rational equation. Upang malutas ang isang fractional rational equation ng form

• lutasin ang buong rational equation p(x)=0 ;
• at suriin kung ang kondisyon q(x)≠0 ay nasiyahan para sa bawat natagpuang ugat, habang
• kung totoo, ang ugat na ito ay ang ugat ng orihinal na equation;
• kung hindi, ang ugat na ito ay extraneous, ibig sabihin, hindi ito ang ugat ng orihinal na equation.

Suriin natin ang isang halimbawa ng paggamit ng voiced algorithm kapag nilulutas ang isang fractional rational equation.

Halimbawa.

Hanapin ang mga ugat ng equation.

Desisyon.

Ito ay isang fractionally rational equation ng form , kung saan p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 .

Ayon sa algorithm para sa paglutas ng mga fractionally rational equation ng ganitong uri, kailangan muna nating lutasin ang equation na 3·x−2=0 . Ito ay linear equation, na ang ugat ay x=2/3 .

Ito ay nananatiling suriin para sa ugat na ito, iyon ay, upang suriin kung natutugunan nito ang kundisyon 5·x 2 −2≠0 . Pinapalitan natin ang numerong 2/3 sa halip na x sa expression na 5 x 2 −2, nakukuha natin . Ang kundisyon ay natutugunan, kaya ang x=2/3 ay ang ugat ng orihinal na equation.

Sagot:

2/3 .

Ang solusyon ng isang fractional rational equation ay maaaring lapitan mula sa isang bahagyang naiibang posisyon. Ang equation na ito ay katumbas ng buong equation p(x)=0 sa variable x ng orihinal na equation. Ibig sabihin, masusunod mo ito algorithm para sa paglutas ng isang fractionally rational equation :

• lutasin ang equation na p(x)=0 ;
• hanapin ang ODZ variable x ;
• kunin ang mga ugat na kabilang sa lugar pinahihintulutang halaga, - sila ang gustong mga ugat ng orihinal na fractional rational equation.

Halimbawa, lutasin natin ang isang fractional rational equation gamit ang algorithm na ito.

Halimbawa.

Lutasin ang equation.

Desisyon.

Una, lutasin natin ang quadratic equation x 2 −2·x−11=0 . Ang mga ugat nito ay maaaring kalkulahin gamit ang root formula para sa kahit na pangalawang koepisyent, mayroon tayo D 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, at .

Pangalawa, nakita natin ang ODZ ng variable x para sa orihinal na equation. Binubuo ito ng lahat ng numero kung saan x 2 +3 x≠0 , na pareho x (x+3)≠0 , kung saan x≠0 , x≠−3 .

Ito ay nananatiling suriin kung ang mga ugat na natagpuan sa unang hakbang ay kasama sa ODZ. Halatang oo. Samakatuwid, ang orihinal na fractionally rational equation ay may dalawang ugat.

Sagot:

Tandaan na ang diskarteng ito ay mas kumikita kaysa sa una kung ang ODZ ay madaling matagpuan, at ito ay lalong kapaki-pakinabang kung ang mga ugat ng equation na p(x)=0 ay hindi makatwiran, halimbawa, , o makatwiran, ngunit may medyo malaki. numerator at/o denominator, halimbawa, 127/1101 at -31/59 . Ito ay dahil sa katotohanan na sa mga ganitong kaso, ang pagsuri sa kundisyon q(x)≠0 ay mangangailangan ng makabuluhang pagsusumikap sa computational, at mas madaling ibukod ang mga extraneous na ugat mula sa ODZ.

Sa ibang mga kaso, kapag nilulutas ang equation, lalo na kapag ang mga ugat ng equation na p(x)=0 ay mga integer, mas kapaki-pakinabang na gamitin ang una sa mga algorithm sa itaas. Iyon ay, ipinapayong mahanap agad ang mga ugat ng buong equation p(x)=0 , at pagkatapos ay suriin kung ang kondisyon q(x)≠0 ay nasiyahan para sa kanila, at hindi mahanap ang ODZ, at pagkatapos ay lutasin ang equation p(x)=0 sa ODZ na ito. Ito ay dahil sa ang katunayan na sa mga ganitong kaso kadalasan ay mas madaling gumawa ng tseke kaysa sa hanapin ang ODZ.

Isaalang-alang ang solusyon ng dalawang halimbawa upang ilarawan ang mga itinakda na mga nuances.

Halimbawa.

Hanapin ang mga ugat ng equation.

Desisyon.

Una nating mahanap ang mga ugat ng buong equation (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, pinagsama-sama gamit ang numerator ng fraction. Ang kaliwang bahagi ng equation na ito ay isang produkto, at ang kanang bahagi ay zero, samakatuwid, ayon sa paraan ng paglutas ng mga equation sa pamamagitan ng factorization, ang equation na ito ay katumbas ng set ng apat na equation 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Tatlo sa mga equation na ito ay linear at ang isa ay quadratic, maaari nating lutasin ang mga ito. Mula sa unang equation nakita natin ang x=1/2, mula sa pangalawa - x=6, mula sa pangatlo - x=7, x=−2, mula sa ikaapat - x=−1.

Sa mga ugat na natagpuan, medyo madaling suriin ang mga ito upang makita kung ang denominator ng fraction sa kaliwang bahagi ng orihinal na equation ay hindi naglalaho, at ito ay hindi napakadaling matukoy ang ODZ, dahil ito ay kailangang malutas ang isang algebraic equation ng ikalimang degree. Samakatuwid, sumuko na tayo paghahanap ng ODZ sa pabor ng pagsuri sa mga ugat. Upang gawin ito, pinapalitan namin ang mga ito sa halip na ang variable na x sa expression x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, nakuha pagkatapos ng pagpapalit, at ihambing ang mga ito sa zero: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Kaya, ang 1/2, 6 at −2 ay ang gustong mga ugat ng orihinal na fractionally rational equation, at ang 7 at −1 ay mga extraneous na ugat.

Sagot:

1/2 , 6 , −2 .

Halimbawa.

Hanapin ang mga ugat ng isang fractional rational equation.

Desisyon.

Una nating mahanap ang mga ugat ng equation (5x2 −7x−1)(x−2)=0. Ang equation na ito ay katumbas ng isang set ng dalawang equation: ang square 5·x 2 −7·x−1=0 at ang linear x−2=0 . Ayon sa pormula ng mga ugat ng quadratic equation, nakakahanap tayo ng dalawang ugat, at mula sa pangalawang equation mayroon tayong x=2.

Ang pagsuri kung ang denominator ay hindi nawawala sa nahanap na mga halaga ng x ay medyo hindi kasiya-siya. At upang matukoy ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng variable x sa orihinal na equation ay medyo simple. Samakatuwid, kikilos tayo sa pamamagitan ng ODZ.

Sa aming kaso, ang ODZ ng variable x ng orihinal na fractional rational equation ay binubuo ng lahat ng mga numero, maliban sa mga kung saan ang kundisyon x 2 +5·x−14=0 ay nasiyahan. Ang mga ugat ng quadratic equation na ito ay x=−7 at x=2, kung saan napagpasyahan natin ang tungkol sa ODZ: ito ay binubuo ng lahat ng x tulad na .

Ito ay nananatiling suriin kung ang mga natagpuang ugat at x=2 ay nabibilang sa rehiyon ng mga tinatanggap na halaga. Ang mga ugat - nabibilang, samakatuwid, sila ang mga ugat ng orihinal na equation, at ang x=2 ay hindi nabibilang, samakatuwid, ito ay isang extraneous na ugat.

Sagot:

Magiging kapaki-pakinabang din ang pag-isipan nang hiwalay sa mga kaso kung saan ang isang numero ay nasa numerator sa isang fractional rational equation ng form, iyon ay, kapag ang p (x) ay kinakatawan ng ilang numero. Kung saan

• kung ang numerong ito ay iba sa zero, kung gayon ang equation ay walang mga ugat, dahil ang fraction ay zero kung at kung ang numerator nito ay zero;
• kung ang numerong ito ay zero, kung gayon ang ugat ng equation ay anumang numero mula sa ODZ.

Halimbawa.

Desisyon.

Dahil mayroong isang non-zero na numero sa numerator ng fraction sa kaliwang bahagi ng equation, para sa walang x ay maaaring ang halaga ng fraction na ito ay katumbas ng zero. Kaya naman, ibinigay na equation walang ugat.

Sagot:

walang ugat.

Halimbawa.

Lutasin ang equation.

Desisyon.

Ang numerator ng fraction sa kaliwang bahagi ng fractional rational equation na ito ay zero, kaya ang halaga ng fraction na ito ay zero para sa anumang x kung saan ito ay may katuturan. Sa madaling salita, ang solusyon sa equation na ito ay anumang halaga ng x mula sa DPV ng variable na ito.

Ito ay nananatiling upang matukoy ang hanay na ito ng mga katanggap-tanggap na halaga. Kabilang dito ang lahat ng naturang halaga x kung saan x 4 +5 x 3 ≠0. Ang mga solusyon ng equation x 4 +5 x 3 \u003d 0 ay 0 at −5, dahil ang equation na ito ay katumbas ng equation x 3 (x + 5) \u003d 0, at ito naman, ay katumbas ng kumbinasyon. ng dalawang equation x 3 \u003d 0 at x +5=0 , mula sa kung saan makikita ang mga ugat na ito. Samakatuwid, ang nais na hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ay anumang x , maliban sa x=0 at x=−5 .

Kaya, ang isang fractionally rational equation ay may walang katapusang maraming solusyon, na anumang mga numero maliban sa zero at minus lima.

Sagot:

Sa wakas, oras na para pag-usapan ang paglutas ng mga fractional rational equation arbitraryong uri. Maaari silang isulat bilang r(x)=s(x) , kung saan ang r(x) at s(x) ay mga rational expression, at kahit isa sa mga ito ay fractional. Sa hinaharap, sinasabi namin na ang kanilang solusyon ay nabawasan sa paglutas ng mga equation ng form na pamilyar sa amin.

Alam na ang paglipat ng isang termino mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa na may kabaligtaran na tanda ay humahantong sa katumbas ng equation, kaya ang equation r(x)=s(x) ay katumbas ng equation r(x)−s(x)=0 .

Alam din namin na ang alinman ay maaaring magkapareho sa expression na ito. Kaya, palagi nating mababago ang rational expression sa kaliwang bahagi ng equation r(x)−s(x)=0 sa isang magkaparehong rational fraction ng form .

Kaya pumunta tayo mula sa orihinal na fractional rational equation r(x)=s(x) sa equation , at ang solusyon nito, tulad ng nalaman natin sa itaas, ay bumababa sa paglutas ng equation p(x)=0 .

Ngunit narito, kinakailangang isaalang-alang ang katotohanan na kapag pinapalitan ang r(x)−s(x)=0 ng , at pagkatapos ay sa p(x)=0 , maaaring lumawak ang saklaw ng mga pinahihintulutang halaga ng variable x .

Samakatuwid, ang orihinal na equation r(x)=s(x) at ang equation na p(x)=0 , na ating napuntahan, ay maaaring hindi katumbas, at sa pamamagitan ng paglutas ng equation na p(x)=0 , makakakuha tayo ng mga ugat na magiging mga extraneous na ugat ng orihinal na equation r(x)=s(x) . Posibleng tukuyin at huwag isama ang mga extraneous na ugat sa sagot, alinman sa pamamagitan ng pagsuri, o sa pamamagitan ng pagsuri sa kanilang pag-aari sa ODZ ng orihinal na equation.

Binubuod namin ang impormasyong ito sa algorithm para sa paglutas ng isang fractional rational equation r(x)=s(x). Upang malutas ang fractional rational equation r(x)=s(x) , dapat ang isa

• Kumuha ng zero sa kanan sa pamamagitan ng paglipat ng expression mula sa kanang bahagi na may kabaligtaran na palatandaan.
• Magsagawa ng mga aksyon na may mga fraction at polynomial sa kaliwang bahagi ng equation, at sa gayon ay ginagawa itong isang rational fraction ng form.
• Lutasin ang equation na p(x)=0 .
• Kilalanin at ibukod ang mga extraneous na ugat, na ginagawa sa pamamagitan ng pagpapalit sa kanila sa orihinal na equation o sa pamamagitan ng pagsuri sa kanilang pag-aari sa ODZ ng orihinal na equation.

Para sa higit na kalinawan, ipapakita namin ang buong chain ng paglutas ng mga fractional rational equation:
.

Tingnan natin ang mga solusyon ng ilang mga halimbawa na may detalyadong paliwanag ng solusyon upang linawin ang ibinigay na bloke ng impormasyon.

Halimbawa.

Lutasin ang isang fractional rational equation.

Desisyon.

Kami ay kikilos alinsunod sa nakuha lamang na algorithm ng solusyon. At unang inilipat namin ang mga termino mula sa kanang bahagi ng equation sa kaliwang bahagi, bilang isang resulta ay ipinapasa namin ang equation .

Sa ikalawang hakbang, kailangan nating i-convert ang fractional rational expression sa kaliwang bahagi ng resultang equation sa anyo ng isang fraction. Upang gawin ito, nagsasagawa kami ng isang cast rational fractions sa karaniwang denominador at pasimplehin ang resultang expression: . Kaya dumating tayo sa equation.

Sa susunod na hakbang, kailangan nating lutasin ang equation na −2·x−1=0 . Hanapin ang x=−1/2 .

Ito ay nananatiling suriin kung ang nahanap na numero −1/2 ay isang extraneous na ugat ng orihinal na equation. Upang gawin ito, maaari mong suriin o hanapin ang ODZ variable x ng orihinal na equation. Ipakita natin ang parehong mga diskarte.

Magsimula tayo sa isang tseke. Pinapalitan natin ang numerong −1/2 sa halip na ang variable na x sa orihinal na equation, nakukuha natin ang , na pareho, −1=−1. Ang pagpapalit ay nagbibigay ng tamang numerical equality, samakatuwid, ang x=−1/2 ay ang ugat ng orihinal na equation.

Ngayon ay ipapakita namin kung paano isinasagawa ang huling hakbang ng algorithm sa pamamagitan ng ODZ. Ang hanay ng mga tinatanggap na halaga ng orihinal na equation ay ang hanay ng lahat ng mga numero maliban sa −1 at 0 (kapag ang x=−1 at x=0, ang mga denominator ng mga fraction ay nawala). Ang ugat na x=−1/2 na matatagpuan sa nakaraang hakbang ay kabilang sa ODZ, samakatuwid, ang x=−1/2 ay ang ugat ng orihinal na equation.

Sagot:

−1/2 .

Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa.

Halimbawa.

Hanapin ang mga ugat ng equation.

Desisyon.

Kailangan nating lutasin ang isang fractionally rational equation, dumaan tayo sa lahat ng mga hakbang ng algorithm.

Una, inilipat namin ang termino mula sa kanang bahagi patungo sa kaliwa, nakukuha namin .

Pangalawa, binabago namin ang expression na nabuo sa kaliwang bahagi: . Bilang resulta, dumating tayo sa equation x=0 .

Ang ugat nito ay halata - ito ay zero.

Sa ika-apat na hakbang, nananatili itong alamin kung ang natagpuang ugat ay hindi isang labas para sa orihinal na fractionally rational equation. Kapag ito ay pinalitan sa orihinal na equation, ang expression ay nakuha. Malinaw, hindi ito makatuwiran, dahil naglalaman ito ng dibisyon sa pamamagitan ng zero. Kung saan napagpasyahan namin na ang 0 ay isang extraneous na ugat. Samakatuwid, ang orihinal na equation ay walang mga ugat.

7 , na humahantong sa equation . Mula dito maaari nating tapusin na ang expression sa denominator ng kaliwang bahagi ay dapat na katumbas ng mula sa kanang bahagi, iyon ay, . Ngayon ay ibawas namin mula sa parehong bahagi ng triple: . Sa pamamagitan ng pagkakatulad, mula saan, at higit pa.

Ipinapakita ng tseke na ang parehong natagpuang mga ugat ay ang mga ugat ng orihinal na fractional rational equation.

Sagot:

Bibliograpiya.

• Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. Pangkalahatang edukasyon institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. ika-8 baitang. Sa 2 p.m. Bahagi 1. Batayang aklat ng mag-aaral institusyong pang-edukasyon/ A. G. Mordkovich. - 11th ed., nabura. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra: Baitang 9: aklat-aralin. para sa pangkalahatang edukasyon institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M. : Edukasyon, 2009. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Sa ngayon, nalutas lamang namin ang mga integer equation na may kinalaman sa hindi alam, iyon ay, mga equation kung saan ang mga denominator (kung mayroon) ay hindi naglalaman ng hindi alam.

Kadalasan kailangan mong lutasin ang mga equation na naglalaman ng hindi alam sa mga denominator: ang mga naturang equation ay tinatawag na fractional.

Upang malutas ang equation na ito, pinaparami natin ang magkabilang panig nito sa pamamagitan ng isang polynomial na naglalaman ng hindi alam. Magiging katumbas ba ang bagong equation sa ibinigay? Upang masagot ang tanong, lutasin natin ang equation na ito.

Ang pagpaparami ng magkabilang panig nito sa pamamagitan ng , nakukuha natin ang:

Ang paglutas ng equation na ito ng unang degree, nakita namin:

Kaya, ang equation (2) ay may isang ugat

Ang pagpapalit nito sa equation (1), nakukuha natin:

Samakatuwid, ito rin ang ugat ng equation (1).

Ang equation (1) ay walang ibang mga ugat. Sa aming halimbawa, makikita ito, halimbawa, mula sa katotohanan na sa equation (1)

paano hindi kilalang divisor dapat katumbas ng dibidendo 1 na hinati ng quotient 2, i.e.

Kaya, ang mga equation (1) at (2) ay may iisang ugat. Kaya, ang mga ito ay katumbas.

2. Lutasin natin ngayon ang sumusunod na equation:

Ang pinakasimpleng common denominator: ; i-multiply ang lahat ng mga tuntunin ng equation dito:

Pagkatapos ng pagbawas ay nakukuha natin:

Palawakin natin ang mga bracket:

Nagdadala ng mga katulad na termino, mayroon kaming:

Ang paglutas ng equation na ito, makikita natin:

Ang pagpapalit sa equation (1), nakukuha natin:

Sa kaliwang bahagi, nakatanggap kami ng mga expression na hindi makatuwiran.

Samakatuwid, ang ugat ng equation (1) ay hindi. Ito ay nagpapahiwatig na ang mga equation (1) at hindi katumbas.

Sa kasong ito, sinasabi namin na ang equation (1) ay nakakuha ng extraneous root.

Ihambing natin ang solusyon ng equation (1) sa solusyon ng mga equation na ating isinasaalang-alang kanina (tingnan ang § 51). Sa paglutas ng equation na ito, kailangan naming magsagawa ng dalawang ganoong operasyon na hindi pa nakikita noon: una, pinarami namin ang magkabilang panig ng equation sa isang expression na naglalaman ng hindi alam (common denominator), at, pangalawa, binawasan namin ang mga algebraic fraction sa pamamagitan ng mga salik na naglalaman ng ang hindi kilala.

Ang paghahambing ng Equation (1) sa Equation (2), nakita natin na hindi lahat ng x values ​​​​valid para sa Equation (2) ay valid para sa Equation (1).

Ang mga numero 1 at 3 ay hindi tinatanggap na mga halaga ng hindi alam para sa equation (1), at bilang isang resulta ng pagbabagong-anyo sila ay naging katanggap-tanggap para sa equation (2). Ang isa sa mga numerong ito ay naging solusyon sa equation (2), ngunit, siyempre, hindi ito maaaring maging solusyon sa equation (1). Ang equation (1) ay walang mga solusyon.

Ipinapakita ng halimbawang ito na kapag ang magkabilang panig ng equation ay pinarami ng salik na naglalaman ng hindi alam at kung kailan ang algebraic fractions maaaring makuha ang isang equation na hindi katumbas ng ibinigay, ibig sabihin: maaaring lumitaw ang mga extraneous na ugat.

Kaya't iginuhit namin ang sumusunod na konklusyon. Kapag nilulutas ang isang equation na naglalaman ng hindi alam sa denominator, ang mga resultang ugat ay dapat suriin sa pamamagitan ng pagpapalit sa orihinal na equation. mga panlabas na ugat dapat itapon.

Ang mga equation na may mga fraction mismo ay hindi mahirap at napaka-interesante. Isaalang-alang ang mga uri ng fractional equation at mga paraan upang malutas ang mga ito.

Paano lutasin ang mga equation na may mga fraction - x sa numerator

Kung sakaling ibinigay fractional equation, kung saan ang hindi alam ay nasa numerator, ang solusyon ay hindi nangangailangan ng karagdagang mga kondisyon at malulutas nang walang hindi kinakailangang problema. Pangkalahatang anyo ang nasabing equation ay x/a + b = c, kung saan ang x ay hindi kilala, a, b at c ay mga ordinaryong numero.

Hanapin ang x: x/5 + 10 = 70.

Upang malutas ang equation, kailangan mong alisin ang mga fraction. I-multiply ang bawat termino ng equation sa pamamagitan ng 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. Ang 5x at 5 ay nababawasan, ang 10 at 70 ay pinarami ng 5 at nakukuha natin ang: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Hanapin ang x: x/5 + x/10 = 90.

Ang halimbawang ito ay medyo mas kumplikadong bersyon ng una. Mayroong dalawang solusyon dito.

• Pagpipilian 1: Alisin ang mga fraction sa pamamagitan ng pag-multiply ng lahat ng termino ng equation sa mas malaking denominator, ibig sabihin, sa pamamagitan ng 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x=300.
• Opsyon 2: Idagdag ang kaliwang bahagi ng equation. x/5 + x/10 = 90. Ang common denominator ay 10. Divide 10 by 5, multiply by x, we get 2x. 10 na hinati sa 10, pinarami ng x, nakukuha natin ang x: 2x+x/10 = 90. Kaya 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Kadalasan mayroong mga fractional equation kung saan ang mga x ay nasa magkaibang panig pantay na tanda. Sa ganoong sitwasyon, kinakailangang ilipat ang lahat ng mga praksyon na may x sa isang direksyon, at ang mga numero sa isa pa.

• Hanapin ang x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Ilipat ang 2x/5 sa kanan na may kabaligtaran na palatandaan: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Binabawasan namin ang 5x/5 at makuha ang: x = 130.

Paano lutasin ang isang equation na may mga fraction - x sa denominator

Ang ganitong uri ng fractional equation ay nangangailangan ng pagsulat ng mga karagdagang kundisyon. Ang indikasyon ng mga kundisyong ito ay isang sapilitan at mahalagang bahagi tamang desisyon. Sa pamamagitan ng hindi pag-attribute sa kanila, nasa panganib ka, dahil ang sagot (kahit na ito ay tama) ay maaaring hindi mabibilang.

Ang pangkalahatang anyo ng mga fractional equation, kung saan ang x ay nasa denominator, ay: a/x + b = c, kung saan ang x ay isang hindi alam, a, b, c ay mga ordinaryong numero. Tandaan na ang x ay maaaring hindi anumang numero. Halimbawa, ang x ay hindi maaaring maging zero, dahil hindi mo maaaring hatiin sa 0. Ito ay kung ano ang karagdagang kondisyon, na dapat nating tukuyin. Ito ay tinatawag na hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga, dinaglat - ODZ.

Hanapin ang x: 15/x + 18 = 21.

Agad naming isinulat ang ODZ para sa x: x ≠ 0. Ngayon na ang ODZ ay ipinahiwatig, lutasin namin ang equation ayon sa karaniwang pamamaraan, inaalis ang mga praksyon. I-multiply namin ang lahat ng termino ng equation sa x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Kadalasan mayroong mga equation kung saan ang denominator ay naglalaman ng hindi lamang x, kundi pati na rin ang ilang iba pang operasyon kasama nito, halimbawa, pagdaragdag o pagbabawas.

Hanapin ang x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Alam na natin na ang denominator ay hindi maaaring maging zero, na nangangahulugang x-3 ≠ 0. Inilipat namin ang -3 sa kanang bahagi, habang binabago ang "-" sign sa "+" at nakuha namin na x ≠ 3. Ang ODZ ay ipinahiwatig.

Lutasin ang equation, i-multiply ang lahat sa x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Ilipat ang mga x sa kanan, ang mga numero sa kaliwa: 24 = 3x => x = 8.

Pagtuturo

Marahil ang pinaka-halatang punto dito ay, siyempre, . Ang mga numerical fraction ay hindi nagdudulot ng anumang panganib (fractional equation, kung saan ang mga numero lamang ang nasa lahat ng denominator, ay karaniwang magiging linear), ngunit kung mayroong variable sa denominator, dapat itong isaalang-alang at inireseta. Una, ito ay ang x, na nagiging denominator sa 0, ay hindi maaaring maging, at sa pangkalahatan ito ay kinakailangan upang hiwalay na irehistro ang katotohanan na ang x ay hindi maaaring katumbas ng numerong ito. Kahit na magtagumpay ka na kapag pinapalitan mo ang numerator, ang lahat ay ganap na nagtatagpo at natutugunan ang mga kondisyon. Pangalawa, hindi natin maaaring i-multiply ang alinman o magkabilang panig ng equation sa katumbas ng zero.

Pagkatapos nito, ang gayong equation ay nabawasan sa paglilipat ng lahat ng mga termino nito sa kaliwang bahagi upang ang 0 ay mananatili sa kanang bahagi.

Kinakailangang dalhin ang lahat ng mga termino sa isang karaniwang denominator, pagpaparami, kung kinakailangan, ang mga numerator sa mga nawawalang expression.
Susunod, lutasin namin ang karaniwang equation na nakasulat sa numerator. Kaya nating magtiis karaniwang mga kadahilanan sa labas ng mga bracket, ilapat ang pinaikling multiplikasyon, magbigay ng mga katulad, kalkulahin ang mga ugat ng isang quadratic equation sa pamamagitan ng discriminant, atbp.

Ang resulta ay dapat na isang factorization sa anyo ng isang produkto ng mga bracket (x-(i-th root)). Maaaring kabilang din dito ang mga polynomial na walang mga ugat, halimbawa, square trinomial na may diskriminasyon na mas mababa sa zero (maliban kung, siyempre, may mga tunay na ugat lamang sa problema, gaya ng kadalasang nangyayari).
Siguraduhing i-factorize at denominator mula sa lokasyon ng mga bracket doon, na nakapaloob na sa numerator. Kung ang denominator ay naglalaman ng mga expression tulad ng (x-(numero)), kung gayon ito ay mas mahusay, kapag binabawasan sa isang karaniwang denominator, hindi upang i-multiply ang mga panaklong sa loob nito "head-on", ngunit iwanan ang mga ito sa anyo ng isang produkto ng ang orihinal na mga simpleng expression.
Ang parehong mga bracket sa numerator at denominator ay maaaring bawasan sa pamamagitan ng pre-writing, tulad ng nabanggit sa itaas, ang mga kondisyon sa x.
Ang sagot ay nakasulat sa mga kulot na brace, bilang isang hanay ng mga x value, o sa pamamagitan lamang ng enumeration: x1=..., x2=..., atbp.

Mga pinagmumulan:

• Fractional rational equation

Isang bagay na hindi maaaring ibigay sa physics, mathematics, chemistry. Hindi bababa sa. Natutunan namin ang mga pangunahing kaalaman ng kanilang solusyon.

Pagtuturo

Sa pinaka-pangkalahatan at pinakasimpleng pag-uuri, maaari itong hatiin ayon sa bilang ng mga variable na nilalaman nito, at ayon sa mga antas kung saan nakatayo ang mga variable na ito.

Lutasin ang equation ang lahat ng mga ugat nito o patunayan na hindi sila umiiral.

Ang anumang equation ay may pinakamaraming P root, kung saan ang P ay ang maximum ng ibinigay na equation.

Ngunit ang ilan sa mga ugat na ito ay maaaring magkasabay. Kaya, halimbawa, ang equation x ^ 2 + 2 * x + 1 = 0, kung saan ang ^ ay ang icon ng exponentiation, nakatiklop sa parisukat ng expression (x + 1), iyon ay, sa produkto ng dalawang magkaparehong bracket, bawat isa ay nagbibigay ng x = - 1 bilang isang solusyon.

Kung mayroon lamang isang hindi alam sa equation, nangangahulugan ito na malinaw mong mahahanap ang mga ugat nito (totoo o kumplikado).

Upang gawin ito, malamang na kailangan mo ng iba't ibang mga pagbabagong-anyo: pinaikling multiplikasyon, pagkalkula ng discriminant at mga ugat ng isang quadratic equation, paglilipat ng mga termino mula sa isang bahagi patungo sa isa pa, pagbabawas sa isang karaniwang denominator, pagpaparami ng parehong bahagi ng equation sa parehong expression, parisukat, at iba pa.

Ang mga pagbabagong hindi nakakaapekto sa mga ugat ng equation ay magkapareho. Ginagamit ang mga ito upang gawing simple ang proseso ng paglutas ng isang equation.

Maaari mo ring gamitin sa halip na ang tradisyonal na analytical graphic na pamamaraan at isulat ang equation na ito sa anyong , pagkatapos isagawa ang pag-aaral nito.

Kung mayroong higit sa isang hindi alam sa equation, magagawa mo lamang na ipahayag ang isa sa mga ito sa mga tuntunin ng isa, sa gayon ay nagpapakita ng isang hanay ng mga solusyon. Ang mga ito, halimbawa, ay mga equation na may mga parameter kung saan mayroong hindi kilalang x at isang parameter a. Magpasya parametric equation- ibig sabihin para sa lahat ng a ay ipahayag ang x sa pamamagitan ng a, iyon ay, upang isaalang-alang ang lahat ng posibleng kaso.

Kung ang equation ay naglalaman ng mga derivatives o differentials ng mga hindi alam (tingnan ang larawan), binabati kita, ito ay differential equation, at dito hindi mo magagawa nang wala mas mataas na matematika).

Mga pinagmumulan:

• Mga pagbabago sa pagkakakilanlan

Upang malutas ang problema sa mga fraction dapat matutong gumawa sa kanila mga operasyon sa aritmetika. Maaari silang maging decimal, ngunit pinakakaraniwang ginagamit natural na mga fraction may numerator at denominator. Pagkatapos lamang ay maaari kang magpatuloy sa mga solusyon. mga problema sa matematika kasama mga fractional na halaga.

Kakailanganin mong

• - calculator;
• - kaalaman sa mga katangian ng mga fraction;
• - Kakayahang gumawa ng mga fraction.

Pagtuturo

Ang fraction ay isang talaan ng paghahati ng isang numero sa isa pa. Kadalasan hindi ito magagawa nang lubusan, at samakatuwid ang pagkilos na ito ay naiiwan na "hindi natapos. Ang numero na nahahati (ito ay nasa itaas o bago ang fraction sign) ay tinatawag na numerator, at ang pangalawang numero (sa ilalim o pagkatapos ng fraction sign) ay tinatawag na denominator. Kung ang numerator ay mas malaki kaysa sa denominator, ang fraction ay tinatawag na isang hindi wastong fraction, at isang integer na bahagi ay maaaring makuha mula dito. Kung ang numerator mas mababa sa denominator, kung gayon ang nasabing fraction ay tinatawag na wasto, at nito buong bahagi katumbas ng 0.

Mga gawain ay nahahati sa ilang uri. Tukuyin kung alin ang gawain. Ang pinakasimpleng opsyon- paghahanap ng fraction ng isang numero na ipinahayag bilang isang fraction. Upang malutas ang problemang ito, sapat na upang i-multiply ang numerong ito sa isang fraction. Halimbawa, 8 toneladang patatas ang dinala. Sa unang linggo, 3/4 sa kanya kabuuan. Ilang patatas ang natitira? Upang malutas ang problemang ito, i-multiply ang numero 8 sa 3/4. Ito ay magiging 8 ∙ 3/4 \u003d 6 t.

Kung kailangan mong makahanap ng isang numero sa pamamagitan ng bahagi nito, i-multiply ang kilalang bahagi ng numero sa pamamagitan ng katumbas ng fraction na nagpapakita kung anong proporsyon ng bahaging ito ang nasa numero. Halimbawa, 8 sa 1/3 ng kabuuang bilang ng mga mag-aaral. ilan sa ? Dahil 8 tao ang bahagi na kumakatawan sa 1/3 ng kabuuan, pagkatapos ay hanapin kapalit, na katumbas ng 3/1 o 3 lang. Pagkatapos ay upang makuha ang bilang ng mga mag-aaral sa klase 8∙3=24 na mga mag-aaral.

Kapag kailangan mong hanapin kung anong bahagi ng isang numero ang isang numero mula sa isa pa, hatiin ang numero na kumakatawan sa bahagi ng isa na buong numero. Halimbawa, kung ang distansya ay 300 km at ang sasakyan ay naglakbay ng 200 km, magkano ito mula sa kabuuang paglalakbay? Hatiin ang bahagi ng landas 200 sa pamamagitan ng buong landas 300, pagkatapos bawasan ang fraction ay makukuha mo ang resulta. 200/300=2/3.

Upang mahanap ang bahagi ng hindi kilalang fraction ng isang numero, kapag may kilala, kunin ang integer bilang isang conventional unit, at ibawas ang kilalang fraction mula dito. Halimbawa, kung lumipas na ang 4/7 ng aralin, may natitira pa ba? Kunin ang buong aralin bilang isang karaniwang yunit at ibawas ang 4/7 dito. Kumuha ng 1-4/7=7/7-4/7=3/7.

Paglutas ng mga equation na may mga fraction tingnan natin ang mga halimbawa. Ang mga halimbawa ay simple at naglalarawan. Sa kanilang tulong, maaari mong maunawaan sa pinaka-naiintindihan na paraan,.
Halimbawa, kailangan mong lutasin ang isang simpleng equation x/b + c = d.

Ang isang equation ng ganitong uri ay tinatawag na linear, dahil ang denominator ay naglalaman lamang ng mga numero.

Ang solusyon ay ginagawa sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig ng equation sa b, pagkatapos ay ang equation ay tumatagal sa anyo na x = b*(d – c), i.e. ang denominator ng fraction sa kaliwang bahagi ay nabawasan.

Halimbawa, kung paano lutasin ang isang fractional equation:
x/5+4=9
I-multiply namin ang parehong bahagi sa 5. Nakukuha namin ang:
x+20=45
x=45-20=25

Isa pang halimbawa kung saan ang hindi alam ay nasa denominator:

Ang mga equation ng ganitong uri ay tinatawag na fractional rational o simpleng fractional.

Lutasin natin ang isang fractional equation sa pamamagitan ng pag-alis ng mga fraction, kung saan ang equation na ito, kadalasan, ay nagiging linear o quadratic equation, na nalulutas sa karaniwang paraan. Dapat mo lamang isaalang-alang ang mga sumusunod na punto:

• ang halaga ng isang variable na nagpapalit ng denominator sa 0 ay hindi maaaring maging isang ugat;
• hindi mo maaaring hatiin o i-multiply ang equation sa expression na =0.

Dito nagiging puwersa ang gayong konsepto bilang lugar ng mga pinahihintulutang halaga (ODZ) - ito ang mga halaga ng mga ugat ng equation kung saan may katuturan ang equation.

Kaya, ang paglutas ng equation, kinakailangan upang mahanap ang mga ugat, at pagkatapos ay suriin ang mga ito para sa pagsunod sa ODZ. Ang mga ugat na iyon na hindi tumutugma sa aming DHS ay hindi kasama sa sagot.

Halimbawa, kailangan mong lutasin ang isang fractional equation:

Batay sa tuntunin sa itaas, ang x ay hindi maaaring = 0, i.e. ODZ sa kasong ito: x - anumang halaga maliban sa zero.

Inaalis namin ang denominator sa pamamagitan ng pagpaparami ng lahat ng mga termino ng equation sa x

At lutasin ang karaniwang equation

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Sagot: x = 1/3

Lutasin natin ang equation na mas kumplikado:

Ang ODZ ay naroroon din dito: x -2.

Ang paglutas ng equation na ito, hindi namin ililipat ang lahat sa isang direksyon at magdadala ng mga fraction sa isang common denominator. Agad naming i-multiply ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng isang expression na magbabawas ng lahat ng mga denominator nang sabay-sabay.

Upang bawasan ang mga denominator, kailangan mong i-multiply ang kaliwang bahagi sa x + 2, at ang kanang bahagi sa 2. Kaya, ang magkabilang panig ng equation ay dapat na i-multiply sa 2 (x + 2):

Ito talaga ordinaryong pagpaparami mga fraction, na napag-usapan na natin sa itaas

Isinulat namin ang parehong equation, ngunit sa isang bahagyang naiibang paraan.

Ang kaliwang bahagi ay nababawasan ng (x + 2), at ang kanang bahagi ng 2. Pagkatapos ng pagbabawas, nakukuha natin ang karaniwang linear na equation:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, na tumutugma sa aming ODZ

Sagot: x = 2.

Paglutas ng mga equation na may mga fraction hindi kasing hirap ng tila. Sa artikulong ito, ipinakita namin ito sa mga halimbawa. Kung nahihirapan ka sa kung paano lutasin ang mga equation na may mga fraction, pagkatapos ay mag-unsubscribe sa mga komento.