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Bei aller Vielfalt logarithmische Ungleichungen separat studieren Ungleichheiten mit variable Basis. Sie werden nach einer speziellen Formel gelöst, die aus irgendeinem Grund selten in der Schule gelehrt wird:

log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0

Anstelle einer Dohle "∨" können Sie ein beliebiges Ungleichheitszeichen setzen: mehr oder weniger. Die Hauptsache ist, dass bei beiden Ungleichungen die Vorzeichen gleich sind.

Also werden wir Logarithmen los und reduzieren das Problem auf eine rationale Ungleichung. Letzteres ist viel einfacher zu lösen, aber wenn Logarithmen verworfen werden, können zusätzliche Wurzeln erscheinen. Um sie abzuschneiden, reicht es aus, den Bereich zu finden zulässige Werte. Wenn Sie die ODZ des Logarithmus vergessen haben, empfehle ich dringend, ihn zu wiederholen - siehe "Was ist ein Logarithmus".

Alles, was mit dem Bereich der akzeptablen Werte zusammenhängt, muss separat ausgeschrieben und gelöst werden:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Diese vier Ungleichungen bilden ein System und müssen gleichzeitig erfüllt werden. Wenn der Bereich akzeptabler Werte gefunden ist, muss er noch mit der Lösung gekreuzt werden rationale Ungleichheit- und die Antwort ist fertig.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

Schreiben wir zuerst die ODZ des Logarithmus:

Die ersten beiden Ungleichungen werden automatisch ausgeführt, und die letzte muss geschrieben werden. Da das Quadrat der Zahl Null genau dann, wenn die Zahl selbst gleich Null ist, gilt:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Es stellt sich heraus, dass die ODZ des Logarithmus alle Zahlen außer Null sind: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Jetzt lösen wir die Hauptungleichung:

Wir führen den Übergang von der logarithmischen Ungleichung zur rationalen durch. In der ursprünglichen Ungleichung gibt es ein „kleiner als“-Zeichen, also sollte die resultierende Ungleichheit auch ein „kleiner als“-Zeichen haben. Wir haben:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.

Nullstellen dieses Ausdrucks: x = 3; x = -3; x = 0. Außerdem ist x = 0 die Wurzel der zweiten Multiplizität, was bedeutet, dass sich beim Durchgang das Vorzeichen der Funktion nicht ändert. Wir haben:

Wir erhalten x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Diese Menge ist vollständig in der ODZ des Logarithmus enthalten, was bedeutet, dass dies die Antwort ist.

Transformation logarithmischer Ungleichungen

Oftmals unterscheidet sich die ursprüngliche Ungleichung von der obigen. Dies ist leicht zu beheben Standardregeln mit Logarithmen arbeiten - siehe "Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen". Nämlich:

1. Jede Zahl kann als Logarithmus mit einer bestimmten Basis dargestellt werden;
2. Summe und Differenz von Logarithmen mit gleicher Basis können durch einen einzigen Logarithmus ersetzt werden.

Unabhängig davon möchte ich Sie an den Bereich akzeptabler Werte erinnern. Da die ursprüngliche Ungleichung mehrere Logarithmen enthalten kann, ist es erforderlich, den DPV von jedem von ihnen zu finden. Auf diese Weise, allgemeines Schema Lösung der logarithmischen Ungleichungen ist die folgende:

1. Finden Sie die ODZ jedes Logarithmus, der in der Ungleichung enthalten ist;
2. Reduzieren Sie die Ungleichung auf die Standardungleichung, indem Sie die Formeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen verwenden.
3. Lösen Sie die resultierende Ungleichung nach obigem Schema.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

Finden Sie den Definitionsbereich (ODZ) des ersten Logarithmus:

Wir lösen nach der Intervallmethode. Suche nach den Nullstellen des Zählers:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Dann - die Nullen des Nenners:

x − 1 = 0;
x = 1.

Wir markieren Nullen und Vorzeichen auf dem Koordinatenpfeil:

Wir erhalten x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Der zweite Logarithmus der ODZ ist derselbe. Wenn Sie mir nicht glauben, können Sie es überprüfen. Nun transformieren wir den zweiten Logarithmus so, dass die Basis zwei ist:

Wie Sie sehen können, sind die Tripel an der Basis und vor dem Logarithmus geschrumpft. Wir haben zwei Logarithmen von dieselbe Basis. Fassen wir sie zusammen:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Wir haben die logarithmische Standardungleichung erhalten. Wir werden die Logarithmen durch die Formel los. Da die ursprüngliche Ungleichung ein „kleiner als“-Zeichen enthält, ist das Ergebnis rationaler Ausdruck sollte auch sein weniger als Null. Wir haben:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Wir haben zwei Sets:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Antwortkandidat: x ∈ (−1; 3).

Es bleibt, diese Sets zu kreuzen - wir bekommen die eigentliche Antwort:

Uns interessiert der Schnittpunkt der Mengen, also wählen wir die Intervalle, die auf beiden Pfeilen schattiert sind. Wir erhalten x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - alle Punkte sind punktiert.

Die Lektion einer Ungleichheit bildet die Fähigkeit der Forschungsarbeit, erweckt das Denken der Schüler, entwickelt den Einfallsreichtum und erhöht das Interesse der Schüler an der Arbeit. Es ist besser, es durchzuführen, wenn die Schüler gelernt haben notwendige Konzepte und analysierte eine Reihe bestimmter Methoden zur Lösung logarithmischer Ungleichungen. In dieser Lektion sind die Schüler aktive Teilnehmer an der Suche nach einer Lösung.

Unterrichtstyp

. Eine Lektion in der Anwendung von Wissen, Fertigkeiten und Fähigkeiten in einer neuen Situation. (Lektion der Systematisierung und Verallgemeinerung des studierten Materials).

Unterrichtsziele

:

• lehrreich
: Fertigkeiten und Fähigkeiten zu bilden, um logarithmische Ungleichungen des angegebenen Typs zu lösen verschiedene Wege; lernen, sich Wissen selbstständig anzueignen ( eigene Aktivitäten Studenten, um die Inhalte zu studieren und zu beherrschen Unterrichtsmaterial);
• Entwicklung
: Arbeit an der Sprachentwicklung; zu lehren, zu analysieren, die Hauptsache hervorzuheben, logische Schlussfolgerungen zu beweisen und zu widerlegen;
• lehrreich
: die Bildung moralischer Eigenschaften, menschliche Beziehungen, Genauigkeit, Disziplin, Selbstwertgefühl, verantwortungsbewusste Einstellung zum Erreichen des Ziels.

Während des Unterrichts.

1. Organisatorischer Moment.

Mündliche Arbeit.

2. Überprüfung der Hausaufgaben.

Schreiben Sie Sätze in mathematischer Sprache: „Die Zahlen a und b sind auf einer Seite der Eins“, „Die Zahlen a und b sind auf verschiedene Seiten from unity“ und beweise die daraus resultierenden Ungleichungen. (An der Tafel hat einer der Schüler im Voraus eine Lösung vorbereitet).

3. Berichterstattung über das Unterrichtsthema, seine Ziele und Zielsetzungen.

Bei der Analyse der Möglichkeiten für Aufnahmeprüfungen in Mathematik kann man feststellen, dass aus der Theorie der Logarithmen in Prüfungen häufig logarithmische Ungleichungen auftreten, die eine Variable unter dem Logarithmus und in enthalten Basis des Logarithmus.

Unsere Lektion ist eine Lektion in einer Ungleichheit, enthält eine Variable unter dem Logarithmus und an der Basis des Logarithmus, unterschiedlich gelöst. Es wird gesagt, dass es besser ist, eine Ungleichung zu lösen, aber auf unterschiedliche Weise, als mehrere Ungleichungen auf die gleiche Weise. In der Tat sollten Sie in der Lage sein, Ihre Entscheidungen zu überprüfen. Besser prüfen nein, als die Aufgabe anders zu lösen und die gleiche Antwort zu bekommen (man kann auf unterschiedliche Weise zu den gleichen Systemen, zu den gleichen Ungleichungen, Gleichungen kommen). Aber nicht nur dieses Ziel wird bei der Lösung von Aufgaben auf unterschiedliche Weise verfolgt. Suche nach verschiedenen Lösungen unter Berücksichtigung aller möglichen Fälle, Kritische Bewertung sie, um das rationellste, Schönste hervorzuheben, ist ein wichtiger Faktor Entwicklung des mathematischen Denkens, von der Vorlage wegführen. Deshalb werden wir heute nur eine Ungleichung lösen, aber wir werden versuchen, mehrere Wege zu finden, um sie zu lösen.

4. kreative Anwendung und der Erwerb von Wissen, die Entwicklung von Tätigkeitsmethoden durch Lösung problematischer Aufgaben, die auf der Grundlage zuvor erworbener Kenntnisse und Fähigkeiten zur Lösung der Ungleichung log x (x 2 - 2x - 3) aufgebaut sind< 0.

Hier ist die Lösung für diese Ungleichung, entnommen aus einer Prüfungsarbeit. Schau es dir genau an und versuche die Lösung zu analysieren. (Die Lösung der Ungleichung wird vorher an die Tafel geschrieben)

Protokoll x (x 2 - 2x - 3)< log x 1;

a) x2 – 2x – 3 > 0; b) x 2 - 2x - 3< 1;

x 2 - 2x - 3 = 0; x 2 - 2x - 4< 0;

x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d 3; x 2 - 2x - 4 = 0;

c) Lösung des Systems

Mögliche studentische Erklärungen:

Dies ist keine Gleichung, sondern eine Ungleichung, also beim Übergang von einer logarithmischen Ungleichung zu rationales Zeichen Die Ungleichheit hängt von der Basis des Logarithmus und der Monotonie ab Logarithmische Funktion.

Mit dieser Entscheidung ist ein Kauf möglich fremde Entscheidungen, oder der Verlust von Lösungen, und es ist möglich, dass bei einer falschen Entscheidung die richtige Antwort erhalten wird.

Wie war es also notwendig, diese Ungleichung zu lösen, bei der die Variable unter dem Vorzeichen des Logarithmus und zur Basis des Logarithmus steht?!

Diese Ungleichung ist gleichbedeutend mit der Kombination zweier Ungleichungssysteme.

Das erste Ungleichungssystem hat keine Lösungen.

Die Lösung für das System der Ungleichheiten wird sein

Bei der vorgeschlagenen Lösung der Ungleichung aus der Prüfungsarbeit war die Antwort richtig. Wieso den?

Mögliche Schülerantworten:

Da der Definitionsbereich der Funktion auf der linken Seite der Ungleichung aus Zahlen größer als 3 besteht, wächst daher die Funktion y = log x t. Die Antwort ist also richtig.

Wie könnte man eine mathematisch korrekte Lösung in die Prüfungsarbeit schreiben?

II Weg.

Wir finden den Definitionsbereich der Funktion auf der linken Seite der Ungleichung und betrachten dann unter Berücksichtigung des Definitionsbereichs nur einen Fall

Wie sonst kann diese Ungleichheit gelöst werden? Welche Formeln können angewendet werden?

Die Formel für den Übergang zu einer neuen Basis a > 0, a 1

III-Weg.

IV-Weg.

Kann man auf die Ungleichung selbst anwenden, dass der Logarithmus kleiner als Null ist?

Ja. Der Ausdruck unter dem Logarithmus und die Basis des Logarithmus sind auf entgegengesetzten Seiten der Eins, aber positiv!

Das heißt, wir erhalten wieder dieselbe Menge von zwei Ungleichungssystemen:

Alle betrachteten Methoden führen zu einer Menge von zwei Ungleichungssystemen. In allen Fällen erhält man dieselbe Antwort. Alle Methoden sind theoretisch begründet.

Frage an die Schüler: Was denken Sie, warum wurde in den Hausaufgaben eine Frage gestellt, die sich nicht auf den in der 11. Klasse gelernten Stoff bezog?

Die Kenntnis der Eigenschaften des Logarithmus that Log ein b< 0 , Wenn a und b auf gegenüberliegenden Seiten von 1

loga b > 0 wenn a und b Auf der einen Seite von 1 können Sie sehr interessant werden und unerwartete Weise Lösungen für Ungleichheit. Diese Methode ist im Artikel „Einige nützliche logarithmische Beziehungen“ in der Zeitschrift Kvant Nr. 10, 1990 beschrieben.

log g(x) f(x) > 0 wenn

Protokoll g(x) f(x)< 0, если

(Warum die Bedingung g(x) 1 muss man nicht schreiben?)

Lösen der Ungleichung Protokoll x (x 2 - 2x - 3)< 0 sieht so aus:

a) x2 – 2x – 3 > 0; b) (x - 1) (x 2 - 2x - 4)< 0;

c) Lösung des Systems der Ungleichung

VI-Weg.

Intervallmethode. („Auflösen logarithmischer Ungleichungen mit der Intervallmethode“ ist das Thema der nächsten Lektion).

5. Das Ergebnis der geleisteten Arbeit.

1. Auf welche Weise wurde die Ungleichheit gelöst? Wie viele Möglichkeiten, dies zu lösen

haben wir die Ungleichung gefunden?

2. Welches ist das rationalste? Wunderschönen?

3. Was war jeweils die Grundlage für die Lösung der Ungleichung?

4. Warum ist diese Ungleichung interessant?

Qualitative Merkmale der Arbeit der Klasse durch den Lehrer.

6. Verallgemeinerung des studierten Materials.

Ist es möglich, diese Ungleichheit als zu betrachten besonderer Fall allgemeineres Problem?

Ungleichheit der Form Protokoll g(x) f(x)<(>) log g(x) h(x) auf Ungleichheit reduziert werden kann log g(x)p(x)<(>) 0 unter Verwendung der Eigenschaften von Logarithmen und Eigenschaften von Ungleichungen.

Löse die Ungleichung

log x (x 2 + 3x - 3) > 1

durch eine der oben genannten Methoden.

7. Hausaufgaben Anweisungen zu seiner Umsetzung

.

1. Lösen Sie die Ungleichungen (aus den Optionen für Aufnahmeprüfungen in Mathematik):

2. In der nächsten Lektion betrachten wir logarithmische Ungleichungen, die mit der Intervallmethode gelöst werden. Wiederholen Sie den Algorithmus zum Lösen von Ungleichungen mit der Intervallmethode.

3. Ordnen Sie die Zahlen in aufsteigender Reihenfolge (erklären Sie warum diese Anordnung):

log 0,35; ; ; Protokoll 0,5 3 (Wiederholen für die nächste Lektion).

LOGARITHMISCHE UNGLEICHHEITEN IN DER VERWENDUNG

Sechin Michail Alexandrowitsch

Kleine Akademie der Wissenschaften für Studenten der Republik Kasachstan "Seeker"

MBOU "Sowjetisches Gymnasium Nr. 1", Klasse 11, Stadt. Sowjetischer Sowjetbezirk

Gunko Ludmila Dmitrijewna, MBOU-Lehrer"Sowjetische Schule Nr. 1"

Sowjetischer Bezirk

Zielsetzung: Untersuchung des Mechanismus zur Lösung logarithmischer C3-Ungleichungen mit nicht standardmäßigen Methoden, Identifizierung Interessante Fakten Logarithmus.

Gegenstand der Studie:

3) Lernen Sie, spezifische logarithmische C3-Ungleichungen mit nicht standardmäßigen Methoden zu lösen.

Ergebnisse:

Inhalt

Einleitung ..........................................................................................4.

Kapitel 1. Hintergrund ………………………………………………………...5

Kapitel 2. Sammlung logarithmischer Ungleichungen ………………………… 7

2.1. Äquivalente Übergänge und verallgemeinert Intervallmethode…………… 7

2.2. Rationalisierungsmethode ………………………………………………… 15

2.3. Außergewöhnliche Substitution …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.4. Aufgaben mit Fallen …………………………………………………… 27

Fazit …………………………………………………………………… 30

Literatur……………………………………………………………………. 31

Einführung

Ich bin in der 11. Klasse und habe vor, die Universität zu betreten, wo Profilthema ist Mathematik. Und deshalb arbeite ich viel mit den Aufgaben von Teil C. In Aufgabe C3 musst du lösen nicht standardmäßige Ungleichheit oder ein System von Ungleichungen, normalerweise mit Logarithmen verbunden. Bei der Prüfungsvorbereitung stieß ich auf das Problem fehlender Methoden und Techniken zur Lösung der in C3 angebotenen Prüfung logarithmische Ungleichungen. Methoden, die studiert werden Lehrplan zu diesem Thema keine Grundlage für die Lösung der Aufgaben C3. Die Mathelehrerin hat vorgeschlagen, dass ich die C3-Aufgaben unter ihrer Anleitung alleine erarbeite. Außerdem interessierte mich die Frage: Gibt es Logarithmen in unserem Leben?

Vor diesem Hintergrund wurde das Thema gewählt:

"Logarithmische Ungleichungen in der Klausur"

Zielsetzung: Untersuchung des Mechanismus zur Lösung von C3-Problemen mit nicht standardmäßigen Methoden, wobei interessante Fakten über den Logarithmus enthüllt werden.

Gegenstand der Studie:

1) Finden notwendige InformationenÜber nicht standardmäßige Methoden Lösungen logarithmischer Ungleichungen.

2) Finden Weitere Informationenüber Logarithmen.

3) Lerne zu entscheiden spezifische Aufgaben C3 mit nicht standardmäßigen Methoden.

Ergebnisse:

Praktische Bedeutung ist es, den Apparat zur Problemlösung C3 zu erweitern. Dieses Material kann in einigen Lektionen verwendet werden, um Kreise zu führen, außerschulische Aktivitäten Mathematik.

Projektprodukt wird die Sammlung "Logarithmische C3-Ungleichungen mit Lösungen".

Kapitel 1. Hintergrund

Im 16. Jahrhundert nahm die Zahl der Näherungsrechnungen vor allem in der Astronomie rapide zu. Die Verbesserung der Instrumente, das Studium der Planetenbewegungen und andere Arbeiten erforderten kolossale, manchmal viele Jahre dauernde Berechnungen. Die Astronomie lief Gefahr, in unerfüllten Berechnungen zu ertrinken. Auch in anderen Bereichen traten Schwierigkeiten auf, zum Beispiel im Versicherungsgeschäft wurden Tische benötigt Zinseszins zum unterschiedliche Bedeutungen Prozent. Die Hauptschwierigkeit war Multiplikation, Division mehrstellige Zahlen, insbesondere trigonometrische Größen.

Die Entdeckung der Logarithmen basierte auf den bekannten Eigenschaften von Progressionen Ende des 16. Jahrhunderts. Über die Kommunikation zwischen den Mitgliedern geometrischer Verlauf q, q2, q3, ... und arithmetische Progression Ihre Indikatoren sind 1, 2, 3, ... Archimedes sprach im "Psalmite". Eine weitere Voraussetzung war die Erweiterung des Gradbegriffs auf negative und Bruchindikatoren. Viele Autoren haben darauf hingewiesen, dass Multiplikation, Division, Potenzieren und Wurzelziehen in der Arithmetik – in derselben Reihenfolge – Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division exponentiell entsprechen.

Hier war die Idee des Logarithmus als Exponent.

In der Entwicklungsgeschichte der Logarithmenlehre sind mehrere Etappen vergangen.

Stufe 1

Logarithmen wurden spätestens 1594 unabhängig vom schottischen Baron Napier (1550-1617) und zehn Jahre später vom Schweizer Mechaniker Burgi (1552-1632) erfunden. Beide wollten ein neues bequemes Mittel geben arithmetische Berechnungen obwohl sie dieses Problem auf unterschiedliche Weise angegangen sind. Napier drückte die logarithmische Funktion kinematisch aus und trat dadurch ein neues Gebiet Funktionstheorie. Bürgi blieb aufgrund der Betrachtung von diskreten Verläufen bestehen. Die Definition des Logarithmus für beide ähnelt jedoch nicht der modernen. Der Begriff "Logarithmus" (logarithmus) gehört zu Napier. Es entstand aus einer Kombination Griechische Wörter: logos - "Beziehung" und ariqmo - "Zahl", was "Anzahl der Beziehungen" bedeutet. Anfangs verwendete Napier einen anderen Begriff: Numeri Artificiales – „künstliche Zahlen“, im Gegensatz zu Numeri Naturalts – „natürliche Zahlen“.

1615 schlug Napier in einem Gespräch mit Henry Briggs (1561-1631), einem Professor für Mathematik am Gresh College in London, vor, Null für den Logarithmus von eins und 100 für den Logarithmus von zehn zu nehmen, oder was auf den hinausläuft dasselbe, nur 1. So geht's Dezimallogarithmen und die ersten logarithmischen Tabellen wurden gedruckt. Später wurden die Briggs-Tafeln durch den holländischen Buchhändler und Mathematiker Andrian Flakk (1600-1667) ergänzt. Napier und Briggs, obwohl sie vor allen anderen zum Logarithmus kamen, veröffentlichten ihre Tabellen später als andere – im Jahr 1620. Die Zeichen log und Log wurden 1624 von I. Kepler eingeführt. Der Begriff "natürlicher Logarithmus" wurde 1659 von Mengoli eingeführt, gefolgt von N. Mercator 1668, und der Londoner Lehrer John Spadel veröffentlichte Tabellen natürlicher Logarithmen von Zahlen von 1 bis 1000 unter dem Namen "New Logarithms".

Auf Russisch wurden die ersten Logarithmentafeln 1703 veröffentlicht. Aber in allen logarithmischen Tabellen wurden Fehler in der Berechnung gemacht. Die ersten fehlerfreien Tabellen wurden 1857 in Berlin in der Bearbeitung des deutschen Mathematikers K. Bremiker (1804-1877) veröffentlicht.

Stufe 2

Die Weiterentwicklung der Theorie der Logarithmen ist mit mehr verbunden Breite Anwendung Analytische Geometrie und Infinitesimalrechnung. Zu diesem Zeitpunkt ist die Herstellung einer Verbindung zwischen der Quadratur einer gleichseitigen Hyperbel und natürlicher Logarithmus. Die Theorie der Logarithmen dieser Zeit ist mit den Namen einer Reihe von Mathematikern verbunden.

Der deutsche Mathematiker, Astronom und Ingenieur Nikolaus Mercator in seinem Aufsatz

"Logarithmotechnics" (1668) gibt eine Reihe an, die die Entwicklung von ln(x + 1) in Bezug auf angibt

Potenzen x:

Dieser Ausdruck entspricht genau seinem Gedankengang, obwohl er natürlich nicht die Zeichen d, ... verwendet hat, sondern umständlichere Symbole. Mit der Entdeckung der logarithmischen Reihe änderte sich die Technik zur Berechnung von Logarithmen: Sie wurden mit unendlichen Reihen bestimmt. In seinen Vorlesungen „Elementare Mathematik mit höchster Punkt view", gelesen 1907-1908, schlug F. Klein vor, die Formel als Ausgangspunkt für die Konstruktion der Logarithmentheorie zu verwenden.

Stufe 3

Definition einer logarithmischen Funktion als Funktion der Inversen

Exponential, Logarithmus als Exponent dieser Boden

wurde nicht sofort formuliert. Das Werk von Leonhard Euler (1707-1783)

Als weitere diente „Einführung in die Analyse der Infinitesimalzahlen“ (1748).

Entwicklung der Theorie der logarithmischen Funktion. Auf diese Weise,

134 Jahre sind vergangen, seit Logarithmen erstmals eingeführt wurden

(gezählt ab 1614), bevor die Mathematiker eine Definition fanden

das Konzept des Logarithmus, das heute Grundlage des Schulkurses ist.

Kapitel 2. Sammlung logarithmischer Ungleichungen

2.1. Äquivalente Übergänge und die verallgemeinerte Methode der Intervalle.

Äquivalente Übergänge

wenn a > 1

wenn 0 < а < 1

Verallgemeinerte Intervallmethode

Diese Methode am universellsten bei der Lösung von Ungleichungen fast aller Art. Das Lösungsschema sieht wie folgt aus:

1. Bringen Sie die Ungleichung in eine solche Form, bei der die Funktion auf der linken Seite steht
, und 0 auf der rechten Seite.

2. Suchen Sie den Umfang der Funktion
.

3. Finden Sie die Nullstellen einer Funktion
, also die Gleichung lösen
(und das Lösen einer Gleichung ist normalerweise einfacher als das Lösen einer Ungleichung).

4. Zeichnen Sie den Definitionsbereich und die Nullstellen der Funktion auf eine reelle Linie.

5. Bestimmen Sie die Vorzeichen der Funktion
in den empfangenen Intervallen.

6. Wählen Sie die Intervalle aus, in denen die Funktion ausgeführt wird erforderliche Werte, und schreibe die Antwort auf.

Beispiel 1

Entscheidung:

Wende die Intervallmethode an

wo

Für diese Werte sind alle Ausdrücke unter dem Vorzeichen von Logarithmen positiv.

Antworten:

Beispiel 2

Entscheidung:

1 Weg . ODZ wird durch die Ungleichung bestimmt x> 3. Logarithmieren für solche x in Basis 10 erhalten wir

Die letzte Ungleichung könnte durch Anwendung der Zerlegungsregeln gelöst werden, d.h. Faktoren mit Null vergleichen. Allerdings hinein dieser Fall Es ist einfach, die Intervalle der Vorzeichenkonstanz einer Funktion zu bestimmen

Daher kann die Intervallmethode angewendet werden.

Funktion f(x) = 2x(x- 3,5)lgǀ x- 3ǀ ist kontinuierlich für x> 3 und verschwindet punktuell x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Damit bestimmen wir die Konstanzintervalle der Funktion f(x):

Antworten:

2. Weg . Wenden wir die Ideen der Intervallmethode direkt auf die ursprüngliche Ungleichung an.

Dazu erinnern wir uns, dass die Ausdrücke a b- a c und ( a - 1)(b- 1) haben ein Zeichen. Dann ist unsere Ungleichung für x> 3 entspricht der Ungleichung

oder

Die letzte Ungleichung wird mit der Intervallmethode gelöst

Antworten:

Beispiel 3

Entscheidung:

Wende die Intervallmethode an

Antworten:

Beispiel 4

Entscheidung:

Seit 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 für alle reell x, dann

Um die zweite Ungleichung zu lösen, verwenden wir die Intervallmethode

In der ersten Ungleichung nehmen wir die Änderung vor

dann kommen wir zur Ungleichung 2y 2 - j - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те j, die die Ungleichung -0,5 erfüllen< j < 1.

Woher, weil

wir bekommen die Ungleichung

was mit durchgeführt wird x, dafür 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Unter Berücksichtigung der Lösung der zweiten Ungleichung des Systems erhalten wir schließlich

Antworten:

Beispiel 5

Entscheidung:

Ungleichheit ist gleichbedeutend mit einer Reihe von Systemen

oder

Wende die Intervallmethode an oder

Antworten:

Beispiel 6

Entscheidung:

Ungleichheit ist gleichbedeutend mit einem System

Lassen

dann j > 0,

und die erste Ungleichung

System nimmt die Form an

oder erweitern

quadratisches Trinom für Multiplikatoren,

Anwenden der Intervallmethode auf die letzte Ungleichung,

wir sehen, dass seine Lösungen die Bedingung erfüllen j> 0 wird alles sein j > 4.

Somit ist die ursprüngliche Ungleichung äquivalent zu dem System:

Also sind die Lösungen der Ungleichung alle

2.2. Rationalisierungsmethode.

Zuvor war die Methode der Rationalisierung der Ungleichheit nicht gelöst, sie war nicht bekannt. Das ist die neue Moderne effektive Methode Lösungen exponentieller und logarithmischer Ungleichungen" (Zitat aus dem Buch von Kolesnikova S.I.)
Und selbst wenn der Lehrer ihn kannte, gab es eine Angst - aber weiß er es USE-Experte Warum geben sie es nicht in der Schule? Es gab Situationen, in denen der Lehrer zum Schüler sagte: "Wo hast du es her? Setz dich hin - 2."
Jetzt wird die Methode überall beworben. Und für die Experten gibt es Richtlinien dieser Methode zugeordnet und in "Most komplette Ausgaben Standardoptionen..." Lösung C3 verwendet diese Methode.
DIE METHODE IST SUPER!

"Magischer Tisch"

In anderen Quellen

Wenn a > 1 und b > 1, dann log a b > 0 und (a – 1)(b – 1) > 0;

Wenn a >1 und 0

wenn 0<a<1 и b >1, dann log a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

wenn 0<a<1 и 00 und (a – 1)(b – 1) > 0.

Die obige Begründung ist einfach, vereinfacht aber merklich die Lösung logarithmischer Ungleichungen.

Beispiel 4

Protokoll x (x 2 -3)<0

Entscheidung:

Beispiel 5

log 2 x (2x 2 -4x +6) ≤ log 2 x (x 2 +x )

Entscheidung:

Antworten. (0; 0,5) U .

Beispiel 6

Um diese Ungleichung zu lösen, schreiben wir (x-1-1) (x-1) anstelle des Nenners und das Produkt (x-1) (x-3-9 + x) anstelle des Zählers.

Antworten : (3;6)

Beispiel 7

Beispiel 8

2.3. Nicht standardmäßige Substitution.

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Beispiel 6

Beispiel 7

log 4 (3 x -1) log 0,25

Machen wir die Substitution y=3 x -1; dann nimmt diese Ungleichheit Gestalt an

Protokoll 4 Protokoll 0,25
.

Als Protokoll 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , dann schreiben wir die letzte Ungleichung um als 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Machen wir einen Ersatz t =log 4 y und erhalten die Ungleichung t 2 -2t +≥0, deren Lösung die Intervalle - .

Um also die Werte von y zu finden, haben wir einen Satz von zwei einfachsten Ungleichungen
Die Lösung dieser Sammlung sind die Intervalle 0<у≤2 и 8≤у<+.

Daher ist die ursprüngliche Ungleichung äquivalent zu der Menge von zwei exponentiellen Ungleichungen,
das heißt Aggregate

Die Lösung der ersten Ungleichung dieser Menge ist das Intervall 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Somit gilt die ursprüngliche Ungleichung für alle Werte von x aus den Intervallen 0<х≤1 и 2≤х<+.

Beispiel 8

Entscheidung:

Ungleichheit ist gleichbedeutend mit einem System

Die Lösung der zweiten Ungleichung, die die ODZ bestimmt, wird die Menge dieser sein x,

wofür x > 0.

Um die erste Ungleichung zu lösen, nehmen wir die Änderung vor

Dann bekommen wir die Ungleichung

oder

Die Menge der Lösungen der letzten Ungleichung wird durch das Verfahren gefunden

Intervalle: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, wir bekommen

oder

Viele davon x, die die letzte Ungleichung erfüllen

gehört zu ODZ ( x> 0), ist also eine Lösung des Systems,

und damit die ursprüngliche Ungleichung.

Antworten:

2.4. Aufgaben mit Fallen.

Beispiel 1

.

Entscheidung. Die ODZ der Ungleichung ist, dass alle x die Bedingung 0 erfüllen . Also alle x aus dem Intervall 0

Beispiel 2

Log 2 (2x +1-x 2) > Log 2 (2x-1 +1-x)+1.. ? Der Punkt ist, dass die zweite Zahl offensichtlich größer als ist

Fazit

Es war nicht einfach, spezielle Methoden zur Lösung von C3-Problemen aus einer Vielzahl unterschiedlicher Bildungsquellen zu finden. Im Laufe der geleisteten Arbeit konnte ich nicht standardmäßige Methoden zur Lösung komplexer logarithmischer Ungleichungen studieren. Diese sind: äquivalente Übergänge und die verallgemeinerte Intervallmethode, die Rationalisierungsmethode , Nicht standardmäßige Substitution , Aufgaben mit Fallen auf dem ODZ. Diese Methoden fehlen im Lehrplan der Schule.

Mit verschiedenen Methoden habe ich 27 Ungleichungen gelöst, die bei der USE in Teil C angeboten werden, nämlich C3. Diese methodischen Ungleichungen mit Lösungen bildeten die Grundlage der Sammlung „Logarithmische C3-Ungleichungen mit Lösungen“, die zum Projektprodukt meiner Tätigkeit wurde. Meine zu Beginn des Projekts aufgestellte Hypothese hat sich bestätigt: C3-Probleme lassen sich effektiv lösen, wenn diese Methoden bekannt sind.

Außerdem entdeckte ich interessante Fakten über Logarithmen. Es war interessant für mich, es zu tun. Meine Projektprodukte werden sowohl für Schüler als auch für Lehrer nützlich sein.

Ergebnisse:

Damit ist das Projektziel erreicht, das Problem gelöst. Und ich habe die umfassendste und vielseitigste Erfahrung in Projektaktivitäten in allen Arbeitsphasen gesammelt. Im Laufe der Projektarbeit lag mein hauptsächlicher Entwicklungseinfluss auf der mentalen Kompetenz, Aktivitäten im Zusammenhang mit logischen mentalen Operationen, der Entwicklung kreativer Kompetenz, Eigeninitiative, Verantwortung, Ausdauer und Aktivität.

Eine Erfolgsgarantie bei der Erstellung eines Forschungsprojekts für Ich wurde: bedeutende Schulerfahrung, die Fähigkeit, Informationen aus verschiedenen Quellen zu extrahieren, ihre Zuverlässigkeit zu überprüfen, sie nach Bedeutung einzustufen.

Neben direkten Fachkenntnissen in Mathematik erweiterte er seine praktischen Fähigkeiten im Bereich Informatik, sammelte neue Kenntnisse und Erfahrungen im Bereich Psychologie, knüpfte Kontakte zu Mitschülern und lernte die Zusammenarbeit mit Erwachsenen. Im Rahmen der Projektaktivitäten wurden organisatorische, intellektuelle und kommunikative allgemeinbildende Fähigkeiten und Fertigkeiten entwickelt.

Literatur

1. Koryanov A. G., Prokofjew A. A. Systeme von Ungleichungen mit einer Variablen (typische Aufgaben C3).

2. Malkova A. G. Vorbereitung auf die Einheitliche Staatsprüfung in Mathematik.

3. S. S. Samarova, Lösung logarithmischer Ungleichungen.

4. Mathematik. Sammlung von Lehrwerken herausgegeben von A.L. Semjonow und I. V. Jaschtschenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 S.-

Unter der ganzen Vielfalt der logarithmischen Ungleichungen werden Ungleichungen mit variabler Basis separat untersucht. Sie werden nach einer speziellen Formel gelöst, die aus irgendeinem Grund selten in der Schule gelehrt wird. Die Präsentation präsentiert Lösungen zu Aufgaben C3 USE - 2014 in Mathematik.

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Beschriftungen der Folien:

Logarithmische Ungleichungen lösen, die eine Variable an der Basis des Logarithmus enthalten: Methoden, Techniken, äquivalente Übergänge Mathematiklehrer MBOU Sekundarschule Nr. 143 Knyazkina T.V.

Unter der ganzen Vielfalt der logarithmischen Ungleichungen werden Ungleichungen mit variabler Basis separat untersucht. Sie werden mit einer speziellen Formel gelöst, die aus irgendeinem Grund selten in der Schule gelehrt wird: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 Anstelle des Kontrollkästchens „∨“ können Sie ein beliebiges Ungleichheitszeichen setzen: mehr oder weniger. Die Hauptsache ist, dass bei beiden Ungleichungen die Vorzeichen gleich sind. Also werden wir Logarithmen los und reduzieren das Problem auf eine rationale Ungleichung. Letzteres ist viel einfacher zu lösen, aber wenn Logarithmen verworfen werden, können zusätzliche Wurzeln erscheinen. Um sie abzuschneiden, genügt es, den Bereich der zulässigen Werte zu finden. Vergessen Sie nicht die ODZ des Logarithmus! Alles, was sich auf den Bereich akzeptabler Werte bezieht, muss separat ausgeschrieben und gelöst werden: f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k (x) ≠ 1. Diese vier Ungleichungen bilden ein System und müssen gleichzeitig erfüllt werden. Wenn der Bereich akzeptabler Werte gefunden ist, muss er noch mit der Lösung einer rationalen Ungleichung gekreuzt werden - und die Antwort ist fertig.

Lösen Sie die Ungleichung: Lösung Schreiben wir zunächst die ODZ des Logarithmus aus, die ersten beiden Ungleichungen werden automatisch ausgeführt, die letzte muss gemalt werden. Da das Quadrat einer Zahl genau dann gleich Null ist, wenn die Zahl selbst gleich Null ist, gilt: x 2 + 1 ≠ 1; x2 ≠ 0; x ≠ 0 . Es stellt sich heraus, dass die ODZ des Logarithmus alle Zahlen außer Null sind: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). Nun lösen wir die Hauptungleichung: Wir führen den Übergang von der logarithmischen Ungleichung zur rationalen durch. In der ursprünglichen Ungleichung gibt es ein „kleiner als“-Zeichen, also sollte die resultierende Ungleichheit auch ein „kleiner als“-Zeichen haben.

Wir haben: (10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)

Konvertieren logarithmischer Ungleichungen Oftmals unterscheidet sich die ursprüngliche Ungleichung von der obigen. Dies lässt sich leicht mit den Standardregeln für die Arbeit mit Logarithmen beheben. Nämlich: Jede Zahl kann als Logarithmus mit einer gegebenen Basis dargestellt werden; Summe und Differenz von Logarithmen mit gleicher Basis können durch einen einzigen Logarithmus ersetzt werden. Unabhängig davon möchte ich Sie an den Bereich akzeptabler Werte erinnern. Da die ursprüngliche Ungleichung mehrere Logarithmen enthalten kann, ist es erforderlich, den DPV von jedem von ihnen zu finden. Somit ist das allgemeine Schema zum Lösen logarithmischer Ungleichungen wie folgt: Finde die ODZ für jeden Logarithmus, der in der Ungleichung enthalten ist; Reduzieren Sie die Ungleichung auf die Standardungleichung, indem Sie die Formeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen verwenden. Lösen Sie die resultierende Ungleichung nach obigem Schema.

Lösen Sie die Ungleichung: Lösung Finden wir den Definitionsbereich (ODZ) des ersten Logarithmus: Wir lösen mit der Methode der Intervalle. Finden Sie die Nullstellen des Zählers: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. Dann - Nenner Nullen: x − 1 = 0; x = 1. Wir markieren Nullen und Vorzeichen auf der Koordinatenlinie:

Wir erhalten x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞). Der zweite Logarithmus der ODZ ist derselbe. Wenn Sie mir nicht glauben, können Sie es überprüfen. Nun formen wir den zweiten Logarithmus so um, dass an der Basis eine Zwei steht: Wie man sieht, wurden die Tripel an der Basis und vor dem Logarithmus gekürzt. Bilde zwei Logarithmen mit derselben Basis. Addiere sie: log 2 (x − 1) 2

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)

Uns interessiert der Schnittpunkt der Mengen, also wählen wir die Intervalle, die auf beiden Pfeilen schattiert sind. Wir erhalten: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - alle Punkte sind punktiert. Antwort: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)

Lösen von Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens 2014 Typ C3

Lösen Sie das System der Ungleichungen Lösung. ODZ:  1) 2)

Lösen Sie das Ungleichungssystem 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − (Fortsetzung)

Lösen Sie das Ungleichungssystem 4) Allgemeine Lösung: und -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (Fortsetzung)

Lösen Sie die Ungleichung (Fortsetzung) -3 3 -1 + - + - x 17 + -3 3 -1 x 17 -4

Lösen Sie die Ungleichung Lösung. ODZ: 

Lösen Sie die Ungleichung (Fortsetzung)

Lösen Sie die Ungleichung Lösung. ODZ:  -2 1 -1 + - + - x + 2 -2 1 -1 x 2