अनुचित अंश

तिमाहियों

1. सुव्यवस्था। एऔर बीएक नियम है जो आपको उनके बीच तीन संबंधों में से एक और केवल एक को विशिष्ट रूप से पहचानने की अनुमति देता है: "< », « >' या '='। इस नियम को कहा जाता है आदेश देने का नियमऔर इस प्रकार तैयार किया गया है: दो गैर-ऋणात्मक संख्याऔर दो पूर्णांकों के समान संबंध से संबंधित हैं और ; दो गैर-सकारात्मक संख्याएं एऔर बीदो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के समान संबंध से संबंधित हैं और; अगर अचानक एगैर-नकारात्मक, और बी- नकारात्मक, फिर ए > बी. src="/Pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" बॉर्डर="0">

   

   भिन्नों का योग

2. जोड़ संचालन।किसी भी परिमेय संख्या के लिए एऔर बीएक तथाकथित है योग नियम सी. हालाँकि, संख्या ही सीबुलाया जोड़नंबर एऔर बीऔर निरूपित किया जाता है, और ऐसी संख्या ज्ञात करने की प्रक्रिया कहलाती है योग. योग नियम है अगला दृश्य: .
3. गुणन संचालन।किसी भी परिमेय संख्या के लिए एऔर बीएक तथाकथित है गुणन नियम, जो उन्हें कुछ परिमेय संख्या के साथ पत्राचार में रखता है सी. हालाँकि, संख्या ही सीबुलाया कामनंबर एऔर बीऔर निरूपित किया जाता है, और ऐसी संख्या को खोजने की प्रक्रिया को भी कहा जाता है गुणा. गुणन नियम इस प्रकार है: .
4. आदेश संबंध की ट्रांजिटिविटी।परिमेय संख्याओं के किसी भी त्रिक के लिए ए , बीऔर सीअगर एछोटे बीऔर बीछोटे सी, तब एछोटे सी, और अगर एबराबरी बीऔर बीबराबरी सी, तब एबराबरी सी. 6435">जोड़ की क्रमपरिवर्तनीयता। तर्कसंगत पदों के स्थानों को बदलने से योग नहीं बदलता है।
5. जोड़ की साहचर्यता।आदेश तीन जोड़नापरिमेय संख्याएँ परिणाम को प्रभावित नहीं करती हैं।
6. शून्य की उपस्थिति।एक परिमेय संख्या 0 होती है जो योग करने पर अन्य सभी परिमेय संख्याओं को सुरक्षित रखती है।
7. विपरीत संख्याओं की उपस्थिति।किसी भी परिमेय संख्या की एक विपरीत परिमेय संख्या होती है, जिसका योग करने पर 0 प्राप्त होता है।
8. गुणन की क्रमपरिवर्तनशीलता।तर्कसंगत कारकों के स्थानों को बदलने से उत्पाद नहीं बदलता है।
9. गुणन की साहचर्यता।जिस क्रम में तीन परिमेय संख्याओं को गुणा किया जाता है, वह परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
10. एक इकाई की उपस्थिति।एक परिमेय संख्या 1 है जो गुणा करने पर हर दूसरी परिमेय संख्या को सुरक्षित रखती है।
11. पारस्परिक की उपस्थिति।किसी भी परिमेय संख्या में एक व्युत्क्रम परिमेय संख्या होती है, जिसे गुणा करने पर 1 प्राप्त होता है।
12. जोड़ के संबंध में गुणन का वितरण।गुणन संचालन वितरण कानून के माध्यम से जोड़ संचालन के अनुरूप है:
13. जोड़ के संचालन के साथ आदेश संबंध का संबंध।बाईं ओर और सही भाग तर्कसंगत असमानताआप वही परिमेय संख्या जोड़ सकते हैं। /चित्र/विकी/फ़ाइलें/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" सीमा = "0">
14. आर्किमिडीज का स्वयंसिद्ध।परिमेय संख्या जो भी हो ए, आप इतनी इकाइयाँ ले सकते हैं कि उनका योग अधिक हो जाएगा ए. src="/Pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" बॉर्डर="0">

अतिरिक्त गुण

परिमेय संख्याओं में निहित अन्य सभी गुणों को मूल गुणों के रूप में अलग नहीं किया जाता है, क्योंकि, सामान्यतया, वे अब सीधे पूर्णांकों के गुणों पर आधारित नहीं होते हैं, बल्कि दिए गए मूल गुणों के आधार पर या सीधे परिभाषा द्वारा सिद्ध किए जा सकते हैं। कुछ गणितीय वस्तु. ऐसा अतिरिक्त गुणबहुत सारे। उनमें से कुछ का ही उल्लेख करना यहाँ उचित प्रतीत होता है।

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गणनीयता सेट करें

परिमेय संख्याओं की संख्या

परिमेय संख्याओं की संख्या का अनुमान लगाने के लिए, आपको उनके समुच्चय की कार्डिनैलिटी ज्ञात करनी होगी। यह सिद्ध करना आसान है कि परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है। ऐसा करने के लिए, यह एक एल्गोरिदम देने के लिए पर्याप्त है जो तर्कसंगत संख्याओं की गणना करता है, यानी, तर्कसंगत और प्राकृतिक संख्याओं के सेट के बीच एक विभाजन स्थापित करता है।

इन एल्गोरिदम में से सबसे सरल इस प्रकार है। प्रत्येक पर साधारण भिन्नों की एक अनंत तालिका संकलित की गई है मैंप्रत्येक में -वीं पंक्ति जेजिसका वां स्तंभ एक भिन्न है। निश्चितता के लिए, यह माना जाता है कि इस तालिका की पंक्तियों और स्तंभों को एक से गिना जाता है। तालिका कोशिकाओं को निरूपित किया जाता है, जहाँ मैं- तालिका की पंक्ति संख्या जिसमें सेल स्थित है, और जे- कॉलम नंबर।

परिणामी तालिका को निम्नलिखित औपचारिक एल्गोरिथम के अनुसार "साँप" द्वारा प्रबंधित किया जाता है।

इन नियमों को ऊपर से नीचे तक खोजा जाता है और पहले मैच के द्वारा अगली स्थिति का चयन किया जाता है।

इस तरह के बाईपास की प्रक्रिया में, प्रत्येक नई परिमेय संख्या को अगली प्राकृतिक संख्या को सौंपा जाता है। अर्थात्, भिन्न 1/1 को संख्या 1, भिन्न 2/1 - संख्या 2, आदि निर्दिष्ट किया जाता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि केवल अपरिवर्तनीय अंश. इरेड्यूसिबिलिटी का औपचारिक संकेत अंश के अंश और हर के सबसे बड़े सामान्य भाजक की एकता की समानता है।

इस एल्गोरिथम का अनुसरण करते हुए, कोई भी सभी सकारात्मक परिमेय संख्याओं की गणना कर सकता है। इसका अर्थ है कि धनात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है। धनात्मक और ऋणात्मक परिमेय संख्याओं के समुच्चय के बीच केवल एक परिमेय संख्या को इसके विपरीत बताकर, एक आक्षेप स्थापित करना आसान है। उस। ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय भी गणनीय होता है। उनका संघ भी गणनीय समुच्चयों के गुण से गणनीय है। परिमेय संख्याओं का समुच्चय परिमित संख्या के साथ गणनीय समुच्चय के मिलन के रूप में भी गणनीय होता है।

परिमेय संख्याओं के समुच्चय की गणनीयता के बारे में कथन कुछ अचरज का कारण बन सकता है, क्योंकि पहली नज़र में यह आभास होता है कि यह प्राकृत संख्याओं के समुच्चय से बहुत बड़ा है। वास्तव में, यह मामला नहीं है, और सभी परिमेय संख्याओं की गणना करने के लिए पर्याप्त प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

परिमेय संख्याओं की अपर्याप्तता

ऐसे त्रिभुज का कर्ण किसी के द्वारा व्यक्त नहीं किया जाता है परिमेय संख्या

फॉर्म 1 की परिमेय संख्याएं / एनअत्याधिक एनमनमाने ढंग से छोटी मात्रा को मापा जा सकता है। यह तथ्य बनाता है भ्रामक धारणाकि परिमेय संख्याओं का उपयोग किसी भी ज्यामितीय दूरी को मापने के लिए किया जा सकता है। यह दिखाना आसान है कि यह सच नहीं है।

पाइथागोरस प्रमेय से यह ज्ञात होता है कि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण को उसके पैरों के वर्गों के योग के वर्गमूल के रूप में व्यक्त किया जाता है। उस। समद्विबाहु कर्ण लंबाई सही त्रिकोणएक पैर के साथ बराबर है, यानी, एक संख्या जिसका वर्ग 2 है।

यदि हम यह मान लें कि संख्या किसी परिमेय संख्या द्वारा निरूपित की जाती है, तो ऐसा पूर्णांक होता है एमऔर ऐसी प्राकृतिक संख्या एन, जो, इसके अलावा, भिन्न अपरिवर्तनीय है, अर्थात, संख्याएं एमऔर एनकोप्राइम हैं।

"अंश" शब्द पर कई हंसबंप चलते हैं। क्योंकि मुझे स्कूल और गणित में हल किए गए कार्यों को याद है। यह एक कर्तव्य था जिसे पूरा करना था। लेकिन क्या होगा यदि हम उचित और अनुचित भिन्नों वाले कार्यों को एक पहेली के रूप में देखें? आखिरकार, कई वयस्क डिजिटल और जापानी वर्ग पहेली हल करते हैं। नियमों को समझें और बस इतना ही। यहाँ भी ऐसा ही। किसी को केवल सिद्धांत में तल्लीन करना है - और सब कुछ ठीक हो जाएगा। और उदाहरण मस्तिष्क को प्रशिक्षित करने के तरीके में बदल जाएंगे।

अंश कितने प्रकार के होते हैं?

आइए शुरू करते हैं कि यह क्या है। भिन्न एक संख्या है जिसमें एक का कुछ अंश होता है। इसे दो रूपों में लिखा जा सकता है। पहले को साधारण कहा जाता है। यानी वह जिसमें क्षैतिज या तिरछा स्ट्रोक हो। यह विभाजन चिह्न के बराबर है।

ऐसे अंकन में, डैश के ऊपर की संख्या को अंश कहा जाता है, और इसके नीचे की संख्या को हर कहा जाता है।

साधारण भिन्नों में, सही और गलत भिन्न को प्रतिष्ठित किया जाता है। पहला अंश मॉड्यूल हमेशा होता है हर से कम. गलत लोगों को इसलिए कहा जाता है क्योंकि उनके पास विपरीत होता है। अर्थ उचित अंशहमेशा एक से कम. जबकि गलत वाला हमेशा इस संख्या से बड़ा होता है।

मिश्रित संख्याएँ भी होती हैं, अर्थात् जिनके पास एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है।

दूसरे प्रकार का अंकन दशमलव है। उसकी अलग बातचीत के बारे में।

अनुचित भिन्नों और मिश्रित संख्याओं में क्या अंतर है?

मूल रूप से, कुछ भी नहीं। यह एक ही संख्या का सिर्फ एक अलग संकेतन है। अनुचित भिन्नसरल संचालन के बाद, वे आसानी से मिश्रित संख्या बन जाते हैं। और इसके विपरीत।

यह सब पर निर्भर करता है विशिष्ट स्थिति. कभी-कभी कार्यों में अनुचित अंश का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है। और कभी-कभी इसे मिश्रित संख्या में अनुवाद करना आवश्यक होता है, और फिर उदाहरण बहुत आसानी से हल हो जाएगा। इसलिए, क्या उपयोग करें: अनुचित अंश, मिश्रित संख्या - समस्या के सॉल्वर के अवलोकन पर निर्भर करता है।

मिश्रित संख्या की तुलना पूर्णांक भाग और भिन्नात्मक भाग के योग से भी की जाती है। इसके अलावा, दूसरा हमेशा एकता से कम होता है।

मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में कैसे निरूपित करें?

यदि आप कई संख्याओं के साथ कुछ क्रिया करना चाहते हैं जो में लिखी गई हैं अलग - अलग प्रकार, तो आपको उन्हें समान बनाने की आवश्यकता है। एक तरीका यह है कि संख्याओं को अनुचित भिन्नों के रूप में निरूपित किया जाए।

ऐसा करने के लिए, आपको निम्नलिखित एल्गोरिथम का पालन करना होगा:

• हर को पूर्णांक भाग से गुणा करें;
• परिणाम में अंश का मान जोड़ें;
• उत्तर पंक्ति के ऊपर लिखें;
• भाजक को वही छोड़ दें।

मिश्रित संख्याओं से अनुचित भिन्नों को लिखने के उदाहरण यहां दिए गए हैं:

• 17 \u003d (17 x 4 + 1): 4 \u003d 69/4;
• 39 ½ \u003d (39 x 2 + 1): 2 \u003d 79/2।

एक मिश्रित संख्या के रूप में एक अनुचित अंश कैसे लिखें?

अगली विधि ऊपर चर्चा की गई विधि के विपरीत है। अर्थात्, जब सभी मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों से बदल दिया जाता है। क्रियाओं का एल्गोरिथ्म इस प्रकार होगा:

• शेष प्राप्त करने के लिए हर द्वारा अंश को विभाजित करें;
• मिश्रित के पूर्णांक भाग के स्थान पर भागफल लिखिए;
• शेष को रेखा के ऊपर रखा जाना चाहिए;
• भाजक भाजक होगा।

ऐसे परिवर्तन के उदाहरण:

76/14; 76:14 = 5, शेष 6 के साथ; उत्तर 5 पूर्णांक और 6/14 है; इस उदाहरण में भिन्नात्मक भाग को 2 से कम करने की आवश्यकता है, आपको 3/7 मिलता है; अंतिम उत्तर 5 पूर्ण 3/7 है।

108/54; विभाजन के बाद, भागफल 2 बिना किसी शेषफल के प्राप्त होता है; इसका मतलब है कि सभी अनुचित भिन्नों को फॉर्म में नहीं दर्शाया जा सकता है मिश्रित संख्या; उत्तर एक पूर्णांक-2 है।

आप एक पूर्णांक को एक अनुचित भिन्न में कैसे बदलते हैं?

ऐसी स्थितियां हैं जब ऐसी कार्रवाई आवश्यक है। पूर्व निर्धारित हर के साथ अनुचित भिन्न प्राप्त करने के लिए, आपको निम्नलिखित एल्गोरिथम करने की आवश्यकता होगी:

• वांछित हर से एक पूर्णांक गुणा करें;
• इस मान को रेखा के ऊपर लिखें;
• इसके नीचे एक भाजक रखें।

सबसे आसान विकल्प तब होता है जब हर एक के बराबर. फिर गुणा करने की कोई जरूरत नहीं है। यह केवल एक पूर्णांक लिखने के लिए पर्याप्त है, जो उदाहरण में दिया गया है, और एक इकाई को रेखा के नीचे रखें।

उदाहरण: 3 के हर के साथ 5 को एक अनुचित भिन्न बनाओ। 5 को 3 से गुणा करने पर, आपको 15 प्राप्त होता है। यह संख्या हर होगी। कार्य का उत्तर भिन्न है: 15/3।

विभिन्न संख्याओं वाले कार्यों को हल करने के दो दृष्टिकोण

उदाहरण में, योग और अंतर के साथ-साथ दो संख्याओं के गुणनफल और भागफल की गणना करना आवश्यक है: 2 पूर्णांक 3/5 और 14/11।

पहले दृष्टिकोण मेंमिश्रित संख्या को एक अनुचित भिन्न के रूप में दर्शाया जाएगा।

ऊपर वर्णित चरणों को करने के बाद, आपको निम्न मान मिलता है: 13/5।

योग ज्ञात करने के लिए, आपको भिन्नों को में बदलना होगा एक ही भाजक. 13/5 को 11 से गुणा करने पर 143/55 हो जाता है। और 14/11 को 5 से गुणा करने के बाद यह रूप लेगा: 70/55। योग की गणना करने के लिए, आपको केवल अंशों को जोड़ना होगा: 143 और 70, और फिर एक हर के साथ उत्तर लिखें। 213/55 - यह अनुचित अंश समस्या का उत्तर है।

अंतर ज्ञात करते समय, इन समान संख्याओं को घटाया जाता है: 143 - 70 = 73। उत्तर एक भिन्न है: 73/55।

13/5 और 14/11 को गुणा करते समय, आपको एक सामान्य हर में कम करने की आवश्यकता नहीं है। बस अंशों और हरों को जोड़ियों में गुणा करें। उत्तर होगा: 182/55।

इसी तरह विभाजन के साथ। के लिए सही निर्णयआपको विभाजन को गुणा से बदलने और भाजक को पलटने की आवश्यकता है: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70।

दूसरे दृष्टिकोण मेंएक अनुचित भिन्न एक मिश्रित संख्या बन जाती है।

एल्गोरिथम की क्रियाओं को करने के बाद, 14/11 एक मिश्रित संख्या में 1 के पूर्णांक भाग और 3/11 के भिन्नात्मक भाग के साथ बदल जाएगा।

योग की गणना करते समय, आपको पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को अलग-अलग जोड़ना होगा। 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55। अंतिम उत्तर 3 पूर्ण 48/55 है। पहले दृष्टिकोण में 213/55 का अंश था। आप इसे मिश्रित संख्या में परिवर्तित करके शुद्धता की जांच कर सकते हैं। 213 को 55 से भाग देने पर भागफल 3 और शेष 48 आता है। यह देखना आसान है कि उत्तर सही है।

घटाते समय, "+" चिह्न को "-" से बदल दिया जाता है। 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55। पिछले दृष्टिकोण से उत्तर की जांच करने के लिए, आपको इसे मिश्रित संख्या में बदलने की आवश्यकता है: 73 को 55 से विभाजित किया जाता है और आपको 1 का भागफल और 18 का शेष मिलता है।

गुणनफल और भागफल ज्ञात करने के लिए मिश्रित संख्याओं का उपयोग करना असुविधाजनक होता है। यहां हमेशा अनुचित भिन्नों पर स्विच करने की अनुशंसा की जाती है।

स्कूल में पढ़ना शुरू करने से बहुत पहले हम जीवन में भिन्नों का सामना करते हैं। यदि आप एक पूरे सेब को आधा काटते हैं, तो हमें फल का एक टुकड़ा मिलता है - ½। इसे फिर से काटें - यह होगा। यही अंश हैं। और सब कुछ, ऐसा प्रतीत होता है, सरल है। एक वयस्क के लिए। बच्चे के लिए (और यह विषयअंत में सीखना शुरू करें प्राथमिक स्कूल) सार गणितीय अवधारणाएंअभी भी भयावह रूप से समझ से बाहर हैं, और शिक्षक को सुलभ तरीके से समझाना चाहिए कि उचित और अनुचित अंश, साधारण और दशमलव, उनके साथ कौन से ऑपरेशन किए जा सकते हैं और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि यह सब क्यों आवश्यक है।

भिन्न क्या हैं

साथ परिचित नई थीमस्कूल में साधारण भिन्नों से शुरू होता है। ऊपर और नीचे दो संख्याओं को अलग करने वाली क्षैतिज रेखा द्वारा उन्हें पहचानना आसान है। ऊपर को अंश कहा जाता है, नीचे को भाजक कहा जाता है। एक स्लैश के माध्यम से अनुचित और उचित साधारण अंशों की एक लोअर केस स्पेलिंग भी है, उदाहरण के लिए: ½, 4/9, 384/183। इस विकल्प का उपयोग तब किया जाता है जब लाइन की ऊंचाई सीमित होती है और प्रविष्टि के "दो मंजिला" फॉर्म को लागू करना संभव नहीं होता है। क्यों? हाँ, क्योंकि यह अधिक सुविधाजनक है। थोड़ी देर बाद हम इसकी पुष्टि करेंगे।

साधारण के अलावा, दशमलव अंश भी होते हैं। उनके बीच अंतर करना बहुत आसान है: यदि एक मामले में क्षैतिज या स्लैश का उपयोग किया जाता है, तो दूसरे में - संख्याओं के अनुक्रम को अलग करने वाला अल्पविराम। आइए एक उदाहरण देखें: 2.9; 163.34; 1.953 हमने जानबूझकर अर्धविराम का उपयोग संख्याओं को परिसीमित करने के लिए एक सीमांकक के रूप में किया। उनमें से पहला इस तरह पढ़ा जाएगा: "दो पूरे, नौ दसवें।"

नई अवधारणाएं

आइए सामान्य भिन्नों पर वापस जाएं। वे दो प्रकार के होते हैं।

एक उचित भिन्न की परिभाषा इस प्रकार है: यह एक ऐसा भिन्न है, जिसका अंश हर से कम होता है। यह महत्वपूर्ण क्यों है? अब हम देखेंगे!

आपके पास कई सेब आधे में कटे हुए हैं। कुल - 5 भाग। आप कैसे कहते हैं: आपके पास "ढाई" या "पांच सेकंड" सेब हैं? बेशक, पहला विकल्प अधिक स्वाभाविक लगता है, और दोस्तों के साथ बात करते समय, हम इसका उपयोग करेंगे। लेकिन अगर आपको गणना करने की आवश्यकता है कि प्रत्येक को कितना फल मिलेगा, अगर कंपनी में पांच लोग हैं, तो हम संख्या 5/2 लिखेंगे और इसे 5 से विभाजित करेंगे - गणित के दृष्टिकोण से, यह स्पष्ट होगा।

इसलिए, नियमित और अनुचित अंशों के नामकरण के लिए नियम इस प्रकार है: यदि एक पूर्णांक भाग (14/5, 2/1, 173/16, 3/3) को भिन्न में पहचाना जा सकता है, तो यह गलत है। यदि ऐसा नहीं किया जा सकता है, जैसा कि ½, 13/16, 9/10 के मामले में होता है, तो यह सही होगा।

भिन्न का मूल गुण

यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक साथ गुणा या एक ही संख्या से विभाजित किया जाता है, तो इसका मान नहीं बदलेगा। कल्पना कीजिए: केक को 4 बराबर भागों में काटा गया और उन्होंने आपको एक दिया। उसी केक को आठ टुकड़ों में काटकर आपको दो दिए गए। क्या यह सब समान नहीं है? आखिर और 2/8 एक ही चीज़ हैं!

कमी

गणित की पाठ्यपुस्तकों में समस्याओं और उदाहरणों के लेखक अक्सर ऐसे अंशों की पेशकश करके छात्रों को भ्रमित करने की कोशिश करते हैं जो लिखने में बोझिल होते हैं और वास्तव में कम किए जा सकते हैं। यहाँ एक उचित भिन्न का एक उदाहरण दिया गया है: 167/334, जो ऐसा प्रतीत होता है, बहुत "डरावना" है। लेकिन वास्तव में, हम इसे ½ के रूप में लिख सकते हैं। संख्या 334 बिना किसी शेषफल के 167 से विभाज्य है - इस संक्रिया को करने पर हमें 2 प्राप्त होता है।

मिश्रित संख्या

एक अनुचित अंश को मिश्रित संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह तब है जब पूरा भागक्षैतिज रेखा के स्तर पर आगे लाया और लिखा गया। वास्तव में, व्यंजक एक योग का रूप लेता है: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 इत्यादि।

पूरे भाग को निकालने के लिए, आपको अंश को हर से विभाजित करना होगा। विभाजन के शेष भाग को ऊपर, रेखा के ऊपर और पूरे भाग को व्यंजक से पहले लिखें। इस प्रकार, हमें दो संरचनात्मक भाग मिलते हैं: संपूर्ण इकाइयाँ + उचित अंश।

आप रिवर्स ऑपरेशन भी कर सकते हैं - इसके लिए आपको पूर्णांक भाग को हर से गुणा करना होगा और परिणामी मान को अंश में जोड़ना होगा। कुछ भी जटिल नहीं है।

गुणन और भाग

अजीब तरह से, अंशों को गुणा करना उन्हें जोड़ने से आसान है। केवल क्षैतिज रेखा का विस्तार करना आवश्यक है: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5।

विभाजन के साथ, सब कुछ भी सरल है: आपको अंशों को क्रॉसवाइज गुणा करने की आवश्यकता है: (7/8) / (14/15) \u003d 7 * 15/8 * 14 \u003d 15/16।

भिन्नों का जोड़

यदि आपको जोड़ या और उनके हर में करने की आवश्यकता हो तो क्या करें अलग संख्या? यह उसी तरह से काम नहीं करेगा जैसे गुणन के साथ - यहाँ एक उचित भिन्न की परिभाषा और उसके सार को समझना चाहिए। शब्दों को एक सामान्य हर में कम करना आवश्यक है, अर्थात, दोनों भिन्नों के नीचे समान संख्याएं दिखाई देनी चाहिए।

ऐसा करने के लिए, आपको भिन्न के मूल गुण का उपयोग करना चाहिए: दोनों भागों को एक ही संख्या से गुणा करें। उदाहरण के लिए, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½।

शर्तों को लाने के लिए किस भाजक का चयन करें? यह दोनों हरों का सबसे छोटा गुणज होना चाहिए: 1/3 और 1/9 के लिए यह 9 होगा; ½ और 1/7 - 14 के लिए, क्योंकि 2 और 7 से विभाज्य कोई छोटा मान शेष के बिना नहीं है।

प्रयोग

अनुचित भिन्न किसके लिए हैं? आखिरकार, पूरे हिस्से का तुरंत चयन करना, एक मिश्रित संख्या प्राप्त करना बहुत अधिक सुविधाजनक है - और बस! यह पता चला है कि यदि आपको दो अंशों को गुणा या विभाजित करने की आवश्यकता है, तो गलत का उपयोग करना अधिक लाभदायक है।

चलो ले लो अगला उदाहरण: (2 + 3/17) / (37 / 68).

ऐसा लगेगा कि काटने के लिए कुछ भी नहीं है। लेकिन क्या होगा यदि हम पहले कोष्ठक में जोड़ के परिणाम को अनुचित भिन्न के रूप में लिखते हैं? देखो: (37/17) / (37/68)

अब सब कुछ ठीक हो जाता है! आइए उदाहरण इस तरह से लिखें कि सब कुछ स्पष्ट हो जाए: (37 * 68) / (17 * 37)।

आइए अंश और हर में 37 को कम करें, और अंत में ऊपर और नीचे के हिस्सों को 17 से विभाजित करें। क्या आपको उचित और अनुचित अंशों के लिए मूल नियम याद है? हम उन्हें किसी भी संख्या से गुणा और भाग कर सकते हैं, जब तक हम इसे एक ही समय में अंश और हर के लिए करते हैं।

तो, हमें उत्तर मिलता है: 4. उदाहरण जटिल लग रहा था, और उत्तर में केवल एक अंक है। ऐसा अक्सर गणित में होता है। मुख्य बात डरना नहीं है और सरल नियमों का पालन करना है।

साधारण गलती

व्यायाम करते समय, छात्र आसानी से लोकप्रिय गलतियों में से एक बना सकता है। आमतौर पर वे असावधानी के कारण होते हैं, और कभी-कभी इस तथ्य के कारण कि अध्ययन की गई सामग्री अभी तक सिर में ठीक से जमा नहीं हुई है।

अक्सर अंश में संख्याओं का योग इसके व्यक्तिगत घटकों को कम करने की इच्छा का कारण बनता है। मान लीजिए, उदाहरण में: (13 + 2) / 13, बिना कोष्ठक (एक क्षैतिज रेखा के साथ) लिखा गया है, कई छात्र अनुभवहीनता के कारण ऊपर और नीचे से 13 को काट देते हैं। लेकिन ऐसा किसी भी हाल में नहीं करना चाहिए, क्योंकि यह घोर भूल है! यदि जोड़ के बजाय गुणन चिह्न होता, तो हमें उत्तर में संख्या 2 मिलती। लेकिन जोड़ते समय, किसी एक पद के साथ किसी भी संक्रिया की अनुमति नहीं है, केवल संपूर्ण योग के साथ।

भिन्नों को विभाजित करते समय बच्चे अक्सर गलतियाँ करते हैं। आइए दो नियमित अपरिवर्तनीय अंश लें और एक दूसरे से विभाजित करें: (5/6) / (25/33)। छात्र भ्रमित कर सकता है और परिणामी अभिव्यक्ति को (5*25) / (6*33) के रूप में लिख सकता है। लेकिन यह गुणन के साथ हुआ होगा, और हमारे मामले में सब कुछ थोड़ा अलग होगा: (5 * 33) / (6 * 25)। हम जो संभव है उसे कम करते हैं, और उत्तर में हम 11/10 देखेंगे। हम परिणामी अनुचित भिन्न को दशमलव - 1.1 के रूप में लिखते हैं।

कोष्टक

याद रखें कि किसी में गणितीय अभिव्यक्तिक्रियाओं का क्रम संचालन संकेतों की पूर्वता और कोष्ठकों की उपस्थिति से निर्धारित होता है। अन्य बातें समान होने के कारण क्रियाओं का क्रम बाएँ से दाएँ गिना जाता है। यह भिन्नों के लिए भी सत्य है - अंश या हर में व्यंजक की गणना इस नियम के अनुसार कड़ाई से की जाती है।

यह एक संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित करने का परिणाम है। यदि वे पूरी तरह से विभाजित नहीं होते हैं, तो यह एक अंश निकलता है - बस।

कंप्यूटर पर भिन्न कैसे लिखें

चूंकि मानक उपकरण आपको हमेशा दो "स्तरों" से मिलकर एक अंश बनाने की अनुमति नहीं देते हैं, इसलिए छात्र कभी-कभी विभिन्न चालों के लिए जाते हैं। उदाहरण के लिए, अंश और हर को कॉपी करें ग्राफिक्स संपादक"पेंट" करें और उन्हें एक साथ गोंद दें, उनके बीच एक क्षैतिज रेखा खींचना। बेशक, एक आसान विकल्प है, जो, वैसे, बहुत कुछ प्रदान करता है अतिरिक्त सुविधाओंजो भविष्य में आपके काम आएगी।

माइक्रोसॉफ्ट वर्ड खोलें। स्क्रीन के शीर्ष पर एक पैनल को "इन्सर्ट" कहा जाता है - इसे क्लिक करें। दाईं ओर, उस तरफ जहां विंडो को बंद करने और छोटा करने के लिए आइकन स्थित हैं, एक फॉर्मूला बटन है। ठीक यही हमें चाहिए!

यदि आप इस फ़ंक्शन का उपयोग करते हैं, तो स्क्रीन पर एक आयताकार क्षेत्र दिखाई देगा जिसमें आप किसी का भी उपयोग कर सकते हैं गणितीय संकेतकीबोर्ड पर गायब है, साथ ही साथ अंश भी लिखें शास्त्रीय रूप. यानी अंश और हर को एक क्षैतिज पट्टी से अलग करना। आपको आश्चर्य भी हो सकता है कि इतना उचित अंश लिखना इतना आसान है।

गणित सीखें

यदि आप ग्रेड 5-6 में हैं, तो जल्द ही गणित का ज्ञान (अंशों के साथ काम करने की क्षमता सहित!) बहुतों में आवश्यक होगा स्कूल के विषय. भौतिकी में लगभग किसी भी समस्या में, रसायन विज्ञान में, ज्यामिति और त्रिकोणमिति में पदार्थों के द्रव्यमान को मापते समय, अंशों को दूर नहीं किया जा सकता है। जल्द ही आप कागज पर भाव लिखे बिना, अपने दिमाग में सब कुछ की गणना करना सीखेंगे, लेकिन अधिक से अधिक जटिल उदाहरण. इसलिए, जानें कि एक उचित भिन्न क्या है और इसके साथ कैसे काम करना है, इसके साथ बने रहें पाठ्यक्रमअपना गृहकार्य समय पर करें, तभी आप सफल होंगे।

सभी विज्ञानों की रानी का अध्ययन - गणित, में निश्चित क्षणहर कोई अंशों से निपट रहा है। यद्यपि यह अवधारणा (जैसे भिन्नों के प्रकार स्वयं या गणितीय संचालनउनके साथ) काफी सरल है, इसका सावधानी से इलाज किया जाना चाहिए, क्योंकि में असली जीवनस्कूल के बाहर यह बहुत उपयोगी होगा। तो, आइए भिन्नों के बारे में अपने ज्ञान को ताज़ा करें: यह क्या है, इसके लिए क्या है, किस प्रकार के अंश हैं और विभिन्न कैसे बनाते हैं अंकगणितीय आपरेशनस.

महामहिम अंश: यह क्या है

गणित में भिन्न संख्याएँ होती हैं, जिनमें से प्रत्येक में इकाई के एक या अधिक भाग होते हैं। ऐसे भिन्नों को साधारण या सरल भी कहा जाता है। एक नियम के रूप में, उन्हें दो संख्याओं के रूप में लिखा जाता है, जो एक क्षैतिज या स्लैश बार द्वारा अलग किए जाते हैं, इसे "आंशिक" कहा जाता है। उदाहरण के लिए: ½, ।

इनमें से सबसे ऊपर या पहली संख्या अंश है (दिखाता है कि संख्या के कितने अंश लिए गए हैं), और नीचे, या दूसरा, हर है (यह दर्शाता है कि इकाई को कितने भागों में विभाजित किया गया है)।

भिन्नात्मक बार वास्तव में एक विभाजन चिह्न के रूप में कार्य करता है। उदाहरण के लिए, 7:9=7/9

परंपरागत रूप से, सामान्य भिन्न एक से कम होते हैं। जबकि दशमलव इससे बड़ा हो सकता है।

अंश किस लिए हैं? हाँ, सब कुछ के लिए, क्योंकि में असली दुनियासभी संख्याएं पूर्णांक नहीं हैं। उदाहरण के लिए, कैफेटेरिया में दो स्कूली छात्राओं ने मिलकर एक स्वादिष्ट चॉकलेट बार खरीदा। जब वे मिठाई बांटने वाले थे, तो वे एक दोस्त से मिले और उसके साथ भी व्यवहार करने का फैसला किया। हालांकि, अब चॉकलेट बार को सही ढंग से विभाजित करना आवश्यक है, यह देखते हुए कि इसमें 12 वर्ग हैं।

पहले, लड़कियां सब कुछ समान रूप से साझा करना चाहती थीं, और फिर प्रत्येक को चार टुकड़े मिलेंगे। लेकिन, इस पर विचार करने के बाद, उन्होंने अपनी प्रेमिका को 1/3 नहीं, बल्कि 1/4 चॉकलेट का इलाज करने का फैसला किया। और चूंकि स्कूली छात्राओं ने भिन्नों का अच्छी तरह से अध्ययन नहीं किया, इसलिए उन्होंने इस बात पर ध्यान नहीं दिया कि ऐसे परिदृश्य में, उनके पास 9 टुकड़े होंगे जो बहुत खराब तरीके से दो में विभाजित हैं। यह अपेक्षाकृत सरल उदाहरण दिखाता है कि किसी संख्या के भाग को सही ढंग से खोजने में सक्षम होना कितना महत्वपूर्ण है। लेकिन जीवन में इसी तरह के मामलेबहुत अधिक।

भिन्नों के प्रकार: साधारण और दशमलव

सभी गणितीय भिन्नों को दो बड़े अंकों में बांटा गया है: साधारण और दशमलव। उनमें से पहले की विशेषताओं का वर्णन पिछले पैराग्राफ में किया गया था, इसलिए अब यह दूसरे पर ध्यान देने योग्य है।

एक दशमलव एक संख्या के एक अंश का एक स्थितीय संकेतन है, जो बिना डैश या स्लैश के अल्पविराम से अलग किए गए अक्षर में तय होता है। उदाहरण के लिए: 0.75, 0.5।

वास्तव में, एक दशमलव अंश एक साधारण अंश के समान होता है, हालाँकि, इसका हर हमेशा एक होता है जिसके बाद शून्य होता है - इसलिए इसका नाम।

दशमलव बिंदु से पहले की संख्या पूर्णांक भाग है, और दशमलव बिंदु के बाद सब कुछ भिन्नात्मक भाग है। कोई भी साधारण अंशदशमलव में परिवर्तित किया जा सकता है। तो, पिछले उदाहरण में दर्शाए गए दशमलव अंशों को साधारण अंशों के रूप में लिखा जा सकता है: और ½।

यह ध्यान देने योग्य है कि दशमलव और साधारण अंश दोनों सकारात्मक और नकारात्मक दोनों हो सकते हैं। यदि उनके आगे "-" चिन्ह है, तो यह भिन्न ऋणात्मक है, यदि "+" - तो धनात्मक है।

साधारण भिन्नों के उपप्रकार

इस प्रकार के साधारण अंश होते हैं।

दशमलव अंश की उप-प्रजातियां

एक साधारण के विपरीत, दशमलव भिन्न को केवल 2 प्रकारों में विभाजित किया जाता है।

• अंतिम - इसका नाम इस तथ्य के कारण मिला कि दशमलव बिंदु के बाद इसमें अंकों की एक सीमित (अंतिम) संख्या होती है: 19.25।
• एक अनंत अंश एक संख्या है जिसमें दशमलव बिंदु के बाद अनंत संख्या में अंक होते हैं। उदाहरण के लिए, जब 10 को 3 से भाग दिया जाता है, तो परिणाम होता है अनंत भिन्न 3,333…

भिन्नों का जोड़

भिन्नों के साथ विभिन्न अंकगणितीय जोड़तोड़ करना, की तुलना में थोड़ा अधिक कठिन है साधारण संख्या. हालांकि, यदि आप बुनियादी नियम सीखते हैं, तो उनके साथ किसी भी उदाहरण को हल करना मुश्किल नहीं होगा।

उदाहरण के लिए: 2/3+3/4। उनके लिए लघुत्तम समापवर्त्य 12 होगा, इसलिए यह आवश्यक है कि यह संख्या प्रत्येक हर में हो। ऐसा करने के लिए, हम पहले अंश के अंश और हर को 4 से गुणा करते हैं, यह 8/12 निकलता है, हम दूसरे पद के साथ भी ऐसा ही करते हैं, लेकिन केवल 3 - 9/12 से गुणा करते हैं। अब आप इस उदाहरण को आसानी से हल कर सकते हैं: 8/12+9/12= 17/12। परिणामी भिन्न एक गलत मान है क्योंकि अंश हर से बड़ा है। इसे 17:12 = 1 और 5/12 को विभाजित करके सही मिश्रित में परिवर्तित किया जा सकता है और किया जाना चाहिए।

यदि मिश्रित भिन्नों को जोड़ा जाता है, तो पहले क्रियाएँ पूर्णांकों के साथ की जाती हैं, और फिर भिन्नात्मक के साथ।

यदि उदाहरण में एक दशमलव अंश और एक साधारण अंश है, तो यह आवश्यक है कि दोनों सरल हो जाएँ, फिर उन्हें एक ही हर में लाएँ और जोड़ दें। उदाहरण के लिए 3.1+1/2। संख्या 3.1 को इस प्रकार लिखा जा सकता है: मिश्रित अंश 3 और 1/10 या गलत - 31/10। आम विभाजकशर्तों के लिए यह 10 होगा, इसलिए आपको अंश और हर को 1/2 से 5 से गुणा करना होगा, यह 5/10 निकलता है। तब आप आसानी से सब कुछ गणना कर सकते हैं: 31/10+5/10=35/10। प्राप्त परिणाम एक अनुचित सिकुड़ा हुआ अंश है, हम इसे सामान्य रूप में लाते हैं, इसे 5: 7/2 = 3 और 1/2, या दशमलव - 3.5 से कम करते हैं।

2 दशमलव जोड़ते समय, यह महत्वपूर्ण है कि दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या समान हो। यदि ऐसा नहीं है, तो आपको बस जोड़ने की जरूरत है आवश्यक धनशून्य, क्योंकि दशमलव अंशयह दर्द रहित तरीके से किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 3.5+3.005। इस कार्य को हल करने के लिए, आपको पहले नंबर में 2 शून्य जोड़ना होगा और फिर बारी-बारी से जोड़ना होगा: 3.500 + 3.005 = 3.505।

भिन्नों का घटाव

अंशों को घटाते समय, यह वही करने के लायक है जब जोड़ते समय: एक सामान्य भाजक को कम करें, एक अंश को दूसरे से घटाएं, यदि आवश्यक हो, तो परिणाम को मिश्रित अंश में परिवर्तित करें।

उदाहरण के लिए: 16/20-5/10। सार्व भाजक 20 होगा। आपको इस हर में दूसरी भिन्न लाने की आवश्यकता है, इसके दोनों भागों को 2 से गुणा करने पर आपको 10/20 मिलता है। अब आप उदाहरण को हल कर सकते हैं: 16/20-10/20= 6/20। हालांकि, यह परिणाम कम करने योग्य अंशों पर लागू होता है, इसलिए यह दोनों भागों को 2 से विभाजित करने के लायक है और परिणाम 3/10 है।

भिन्नों का गुणन

भिन्नों का विभाजन और गुणन - और भी बहुत कुछ सरल कदमजोड़ और घटाव की तुलना में। तथ्य यह है कि इन कार्यों को करते समय एक सामान्य भाजक की तलाश करने की आवश्यकता नहीं होती है।

भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको बस दोनों अंशों को बारी-बारी से गुणा करना होगा, और फिर दोनों हरों को। परिणामी परिणाम को कम करें यदि अंश एक कम मूल्य है।

उदाहरण के लिए: 4/9x5/8। वैकल्पिक गुणा के बाद, परिणाम 4x5/9x8=20/72 है। इस तरह के अंश को 4 से कम किया जा सकता है, इसलिए उदाहरण में अंतिम उत्तर 5/18 है।

भिन्नों को कैसे विभाजित करें

भिन्नों को विभाजित करना भी एक सरल क्रिया है, वास्तव में यह अभी भी उन्हें गुणा करने के लिए नीचे आता है। एक अंश को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको दूसरे को पलटना होगा और पहले से गुणा करना होगा।

उदाहरण के लिए, भिन्नों का विभाजन 5/19 और 5/7। उदाहरण को हल करने के लिए, आपको दूसरे भिन्न के हर और अंश को स्वैप करना होगा और गुणा करना होगा: 5/19x7/5=35/95। परिणाम 5 से कम किया जा सकता है - यह 7/19 निकला।

यदि आपको किसी भिन्न को अभाज्य संख्या से विभाजित करने की आवश्यकता है, तो तकनीक थोड़ी अलग है। प्रारंभ में, इस संख्या को एक अनुचित अंश के रूप में लिखने और फिर उसी योजना के अनुसार विभाजित करने के लायक है। उदाहरण के लिए, 2/13:5 को 2/13:5/1 के रूप में लिखा जाना चाहिए। अब आपको 5/1 को पलटना होगा और परिणामी भिन्नों को गुणा करना होगा: 2/13x1/5= 2/65।

कभी-कभी आपको मिश्रित भिन्नों को विभाजित करना पड़ता है। आपको उनसे निपटने की जरूरत है, जैसे कि पूर्णांकों के साथ: उन्हें अनुचित अंशों में बदल दें, भाजक को पलटें और सब कुछ गुणा करें। उदाहरण के लिए, 8 ½: 3. हर चीज को अनुचित भिन्नों में बदलना: 17/2: 3/1. इसके बाद एक 3/1 फ्लिप और गुणा होता है: 17/2x1/3 = 17/6। अब आपको गलत भिन्न का सही एक - 2 पूर्णांक और 5/6 में अनुवाद करना चाहिए।

इसलिए, यह पता लगाने के बाद कि भिन्न क्या हैं और आप उनके साथ विभिन्न अंकगणितीय संचालन कैसे कर सकते हैं, आपको इसके बारे में नहीं भूलना चाहिए। आखिरकार, लोग हमेशा किसी चीज़ को जोड़ने के बजाय भागों में विभाजित करने के लिए अधिक इच्छुक होते हैं, इसलिए आपको इसे सही तरीके से करने में सक्षम होने की आवश्यकता है।

साधारण भिन्नों को \textit (उचित) और \textit (अनुचित) भिन्नों में विभाजित किया जाता है। यह विभाजन अंश और हर की तुलना पर आधारित है।

उचित भिन्न

उचित अंशबुलाया सामान्य अंश$\frac(m)(n)$, जिसका अंश हर से कम है, अर्थात। $m

उदाहरण 1

उदाहरण के लिए, भिन्न $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ नियमित हैं , तो कैसे उनमें से प्रत्येक में अंश हर से कम है, जो एक उचित भिन्न की परिभाषा से मेल खाता है।

एक उचित भिन्न की एक परिभाषा होती है, जो किसी भिन्न की एक इकाई से तुलना करने पर आधारित होती है।

सहीयदि यह एक से कम है:

उदाहरण 2

उदाहरण के लिए, सार्व भिन्न $\frac(6)(13)$ उचित है क्योंकि शर्त $\frac(6)(13)

अनुचित भिन्न

अनुचित अंशएक साधारण भिन्न $\frac(m)(n)$ है जिसका अंश हर से बड़ा या उसके बराबर है, अर्थात $ एम \ जीई एन $।

उदाहरण 3

उदाहरण के लिए, भिन्न $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ अनुचित हैं , तो कैसे उनमें से प्रत्येक में अंश हर से बड़ा या उसके बराबर है, जो एक अनुचित भिन्न की परिभाषा से मेल खाता है।

आइए एक अनुचित भिन्न की परिभाषा दें, जो इकाई के साथ इसकी तुलना पर आधारित है।

साधारण अंश $\frac(m)(n)$ is गलतयदि यह एक के बराबर या उससे अधिक है:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

उदाहरण 4

उदाहरण के लिए, सार्व भिन्न $\frac(21)(4)$ अनुचित है क्योंकि शर्त $\frac(21)(4) >1$ संतुष्ट है;

साधारण भिन्न $\frac(8)(8)$ अनुचित है क्योंकि शर्त $\frac(8)(8)=1$ संतुष्ट है।

आइए हम एक अनुचित भिन्न की अवधारणा पर अधिक विस्तार से विचार करें।

आइए एक उदाहरण के रूप में $\frac(7)(7)$ लेते हैं। इस भिन्न का मान किसी वस्तु के सात भागों के रूप में लिया जाता है, जिसे सात बराबर भागों में विभाजित किया जाता है। इस प्रकार, जो सात शेयर उपलब्ध हैं, उनमें से आप पूरे विषय को बना सकते हैं। वे। अनुचित अंश $\frac(7)(7)$ संपूर्ण वस्तु और $\frac(7)(7)=1$ का वर्णन करता है। इसलिए, अनुचित भिन्न, जिसमें अंश हर के बराबर होता है, एक संपूर्ण वस्तु का वर्णन करता है, और इस तरह के अंश को एक प्राकृतिक संख्या $1$ से बदला जा सकता है।

$\frac(5)(2)$ - यह बहुत स्पष्ट है कि ये पांच दूसरे भाग $ 2$ पूरे आइटम बना सकते हैं (एक पूरी वस्तु $ 2$ भागों को बना देगी, और दो पूरी वस्तुओं को बनाने के लिए आपको $ 2 + 2 = 4 $ की आवश्यकता होगी शेयर) और एक सेकंड का हिस्सा रहता है। अर्थात्, अनुचित भिन्न $\frac(5)(2)$ किसी वस्तु के $2$ और उस वस्तु के $\frac(1)(2)$ का वर्णन करता है।

$\frac(21)(7)$ -- इक्कीसवें हिस्से से $3$ संपूर्ण आइटम ($3$ आइटम प्रत्येक $7$ शेयरों के साथ) बना सकते हैं। वे। भिन्न $\frac(21)(7)$ $3$ पूर्णांकों का वर्णन करता है।

विचार किए गए उदाहरणों से, निम्नलिखित निष्कर्ष निकाला जा सकता है: एक अनुचित अंश को एक प्राकृतिक संख्या से बदला जा सकता है यदि अंश हर से पूरी तरह से विभाज्य है (उदाहरण के लिए, $\frac(7)(7)=1$ और $\ frac(21)(7)=3$) , या योग प्राकृतिक संख्याऔर एक उचित भिन्न यदि अंश हर से समान रूप से विभाज्य नहीं है (उदाहरण के लिए, $\ \frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$)। इसलिए, ऐसे अंशों को कहा जाता है गलत.

परिभाषा 1

एक प्राकृतिक संख्या और एक उचित भिन्न के योग के रूप में एक अनुचित अंश का प्रतिनिधित्व करने की प्रक्रिया (उदाहरण के लिए, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) कहलाती है एक अनुचित अंश से पूर्णांक भाग निकालना.

अनुचित अंशों के साथ काम करते समय, इसका पता लगाया जाता है निकट संबंधउनके और मिश्रित संख्याओं के बीच।

एक अनुचित अंश को अक्सर मिश्रित संख्या के रूप में लिखा जाता है, एक संख्या जिसमें एक पूर्ण संख्या और एक भिन्नात्मक भाग होता है।

एक मिश्रित संख्या के रूप में एक अनुचित अंश लिखने के लिए, आपको अंश को हर से विभाजित करना होगा। भागफल मिश्रित संख्या का पूर्णांक भाग होगा, शेष भिन्नात्मक भाग का अंश होगा, और भाजक भिन्नात्मक भाग का हर होगा।

उदाहरण 5

अनुचित भिन्न $\frac(37)(12)$ को मिश्रित संख्या के रूप में लिखें।

फेसला।

हर द्वारा अंश को शेषफल से विभाजित करें:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (शेष\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

जवाब।$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$।

एक मिश्रित संख्या को एक अनुचित अंश के रूप में लिखने के लिए, आपको संख्या के पूर्णांक भाग से हर को गुणा करना होगा, भिन्नात्मक भाग के अंश को उत्पाद में जोड़ना होगा, और परिणामी राशि को अंश के अंश में लिखना होगा। अनुचित भिन्न का हर मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग के हर के बराबर होगा।

उदाहरण 6

मिश्रित संख्या $5\frac(3)(7)$ को एक अनुचित भिन्न के रूप में लिखें।

फेसला।

जवाब।$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

एक मिश्रित संख्या और एक उचित भिन्न जोड़ना

मिश्रित संख्या जोड़ना$a\frac(b)(c)$ और उचित अंश$\frac(d)(e)$ दी गई मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग को दिए गए भिन्न में जोड़कर प्रदर्शित करता है:

उदाहरण 7

उचित अंश $\frac(4)(15)$ और मिश्रित संख्या $3\frac(2)(5)$ जोड़ें।

फेसला।

आइए एक मिश्रित संख्या और एक उचित भिन्न को जोड़ने के लिए सूत्र का उपयोग करें:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ लेफ्ट(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\right)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( पंद्रह)\]

संख्या \textit(5 ) द्वारा विभाजन की कसौटी से कोई यह निर्धारित कर सकता है कि अंश $\frac(10)(15)$ कम करने योग्य है। कमी करें और जोड़ का परिणाम खोजें:

तो, उचित भिन्न $\frac(4)(15)$ और मिश्रित संख्या $3\frac(2)(5)$ को जोड़ने का परिणाम $3\frac(2)(3)$ है।

जवाब:$3\frac(2)(3)$

एक मिश्रित संख्या और एक अनुचित भिन्न जोड़ना

एक अनुचित भिन्न और एक मिश्रित संख्या जोड़नादो मिश्रित संख्याओं को जोड़ने के लिए कम करें, जिसके लिए यह एक अनुचित अंश से पूरे भाग का चयन करने के लिए पर्याप्त है।

उदाहरण 8

मिश्रित संख्या $6\frac(2)(15)$ और अनुचित भिन्न $\frac(13)(5)$ के योग की गणना करें।

फेसला।

सबसे पहले, हम पूर्णांक भाग को अनुचित अंश $\frac(13)(5)$ से निकालते हैं:

जवाब:$8\frac(11)(15)$।