उदाहरण:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

लॉगरिदमिक समीकरणों को कैसे हल करें:

लॉगरिदमिक समीकरण को हल करते समय, आपको इसे \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) के रूप में बदलने का प्रयास करने की आवश्यकता है, और फिर इसे \(f( एक्स) = जी (एक्स) \)।

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\)।

उदाहरण:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

फेसला: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) इंतिहान:\(10>2\) - ओडीजेड के लिए उपयुक्त जवाब:\(x=10\)

ओडीजेड: \(x-2>0\) \(x>2\)

बहोत महत्वपूर्ण!यह संक्रमण केवल तभी किया जा सकता है जब:

आपने मूल समीकरण के लिए लिखा था, और अंत में जांचें कि क्या पाए गए डीपीवी में शामिल हैं। यदि ऐसा नहीं किया जाता है, तो अतिरिक्त जड़ें दिखाई दे सकती हैं, जिसका अर्थ है गलत निर्णय।

संख्या (या व्यंजक) बाएँ और दाएँ समान है;

बाएँ और दाएँ लघुगणक "शुद्ध" हैं, अर्थात कोई नहीं होना चाहिए, गुणा, भाग, आदि। - बराबर चिह्न के दोनों ओर केवल एकाकी लघुगणक।

उदाहरण के लिए:

ध्यान दें कि समीकरण 3 और 4 को लागू करके आसानी से हल किया जा सकता है वांछित गुणलघुगणक

उदाहरण . समीकरण को हल करें \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

फेसला :

		आइए ओडीजेड लिखें: \(x>0\)।
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\) ओडीजेड: \(x>0\)		लघुगणक के सामने बाईं ओर गुणांक है, दाईं ओर लघुगणक का योग है। यह हमें परेशान करता है। आइए संपत्ति द्वारा दोनों को घातांक \(x\) में स्थानांतरित करें: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\)। हम गुण द्वारा लघुगणक के योग को एकल लघुगणक के रूप में निरूपित करते हैं: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		हमने समीकरण को \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) के रूप में लाया और ODZ लिख दिया, जिसका अर्थ है कि हम फ़ॉर्म \(f) में परिवर्तन कर सकते हैं (एक्स) = जी (एक्स)\)।
		हो गई । हम इसे हल करते हैं और जड़ें प्राप्त करते हैं।
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		हम जांचते हैं कि जड़ें ODZ के नीचे फिट होती हैं या नहीं। ऐसा करने के लिए, \(x>0\) में \(x\) के बजाय हम \(5\) और \(-5\) को प्रतिस्थापित करते हैं। यह ऑपरेशन मौखिक रूप से किया जा सकता है।
\(5>0\), \(-5>0\)		पहली असमानता सत्य है, दूसरी नहीं है। तो \(5\) समीकरण का मूल है, लेकिन \(-5\) नहीं है। हम उत्तर लिखते हैं।

जवाब : \(5\)

उदाहरण : समीकरण को हल करें \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

फेसला :

		आइए ओडीजेड लिखें: \(x>0\)।
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ओडीजेड: \(x>0\)		विशिष्ट समीकरण, के साथ हल किया। \(\log_2⁡x\) को \(t\) से बदलें।
\(t=\log_2⁡x\)
		सामान्य प्राप्त किया। इसकी जड़ों की तलाश है।
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		एक रिवर्स प्रतिस्थापन बनाना
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		हम सही भागों को रूपांतरित करते हैं, उन्हें लघुगणक के रूप में प्रदर्शित करते हैं: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) और \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		अब हमारे समीकरण \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) हैं और हम \(f(x)=g(x)\) पर जा सकते हैं।
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		हम ODZ की जड़ों के पत्राचार की जांच करते हैं। ऐसा करने के लिए, \(x\) के बजाय हम \(4\) और \(2\) को असमानता \(x>0\) में प्रतिस्थापित करते हैं।
\(4>0\) \(2>0\)		दोनों असमानताएँ सत्य हैं। अतः \(4\) और \(2\) दोनों ही समीकरण के मूल हैं।

जवाब : \(4\); \(2\).

आज हम सीखेंगे कि सबसे सरल लघुगणकीय समीकरणों को कैसे हल किया जाए, जहां किसी प्रारंभिक परिवर्तन और जड़ों के चयन की आवश्यकता नहीं होती है। लेकिन अगर आप ऐसे समीकरणों को हल करना सीख लें, तो यह बहुत आसान हो जाएगा।

सबसे सरल लॉगरिदमिक समीकरण फॉर्म का एक समीकरण है लॉग a f (x) \u003d b, जहां a, b संख्याएं हैं (a\u003e 0, a 1), f (x) कुछ फ़ंक्शन है।

सभी लघुगणकीय समीकरणों की एक विशिष्ट विशेषता लघुगणक के चिह्न के तहत चर x की उपस्थिति है। यदि इस तरह का समीकरण शुरू में समस्या में दिया जाता है, तो इसे सबसे सरल कहा जाता है। किसी भी अन्य लघुगणकीय समीकरणों को विशेष परिवर्तनों द्वारा सरलतम में घटाया जाता है (देखें "लघुगणक के मूल गुण")। हालांकि, कई सूक्ष्मताओं को ध्यान में रखा जाना चाहिए: अतिरिक्त जड़ें दिखाई दे सकती हैं, इसलिए जटिल लॉगरिदमिक समीकरणों को अलग से माना जाएगा।

ऐसे समीकरणों को कैसे हल करें? यह संख्या को समान चिह्न के दाईं ओर एक लघुगणक के साथ उसी आधार पर प्रतिस्थापित करने के लिए पर्याप्त है जो बाईं ओर है। तब आप लघुगणक के चिन्ह से छुटकारा पा सकते हैं। हम पाते हैं:

लॉग a f (x) \u003d b लॉग a f (x) \u003d लॉग a a b ⇒ f (x) \u003d a b

हमें सामान्य समीकरण मिला। इसकी जड़ें मूल समीकरण के मूल हैं।

डिग्री का उच्चारण

अक्सर, लॉगरिदमिक समीकरण, जो बाहरी रूप से जटिल और खतरनाक लगते हैं, को शामिल किए बिना केवल कुछ पंक्तियों में हल किया जाता है जटिल सूत्र. आज हम ऐसी ही समस्याओं पर विचार करेंगे, जहां आपको केवल सूत्र को विहित रूप में कम करने की आवश्यकता है और लघुगणक की परिभाषा के क्षेत्र की खोज करते समय भ्रमित न हों।

आज, जैसा कि आपने शायद शीर्षक से अनुमान लगाया है, हम विहित रूप में संक्रमण के लिए सूत्रों का उपयोग करके लघुगणकीय समीकरणों को हल करेंगे। इस वीडियो पाठ का मुख्य "चाल" डिग्री के साथ काम करना होगा, या बल्कि, आधार और तर्क से डिग्री लेना होगा। आइए नियम देखें:

इसी तरह आप आधार से डिग्री निकाल सकते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि लघुगणक तर्क से डिग्री निकालते समय, हमारे पास बस है अतिरिक्त गुणकसामने, फिर आधार से डिग्री निकालते समय - केवल एक कारक नहीं, बल्कि एक उल्टा कारक। यह याद रखना चाहिए।

अंत में, सबसे दिलचस्प। इन सूत्रों को जोड़ा जा सकता है, फिर हम प्राप्त करते हैं:

बेशक, इन संक्रमणों को करते समय, इससे जुड़े कुछ नुकसान होते हैं संभावित विस्तारपरिभाषा का क्षेत्र या, इसके विपरीत, परिभाषा के क्षेत्र को संकुचित करके। अपने लिए न्यायाधीश:

लघुगणक 3 x 2 = 2 लघुगणक 3 x

यदि पहली स्थिति में, x 0 के अलावा कोई अन्य संख्या हो सकती है, अर्थात आवश्यकता x 0, तो दूसरी स्थिति में, हम केवल x से संतुष्ट होंगे, जो न केवल बराबर है, बल्कि 0 से सख्ती से बड़ा है, क्योंकि लघुगणक का क्षेत्र यह है कि तर्क 0 से अधिक होना चाहिए। इसलिए, मैं आपको कक्षा 8-9 में बीजगणित के पाठ्यक्रम से एक अद्भुत सूत्र की याद दिलाऊंगा:

अर्थात् हमें अपना सूत्र इस प्रकार लिखना चाहिए:

लघुगणक 3 x 2 = 2 लघुगणक 3 |x |

तब परिभाषा के क्षेत्र का कोई संकुचन नहीं होगा।

हालाँकि, आज के वीडियो ट्यूटोरियल में कोई वर्ग नहीं होगा। यदि आप हमारे कार्यों को देखेंगे तो आपको केवल जड़ें ही दिखाई देंगी। इसलिए आवेदन करें यह नियमहम नहीं करेंगे, लेकिन इसे अभी भी ध्यान में रखने की आवश्यकता है सही वक्तजब आप देखते है द्विघात फंक्शनतर्क या लघुगणक के आधार में, आप इस नियम को याद रखेंगे और सभी परिवर्तनों को सही ढंग से करेंगे।

तो पहला समीकरण है:

इस समस्या को हल करने के लिए, मैं सूत्र में मौजूद प्रत्येक शब्द को ध्यान से देखने का प्रस्ताव करता हूं।

आइए पहले पद को एक परिमेय घातांक के साथ घात के रूप में फिर से लिखें:

हम दूसरे पद को देखते हैं: लघुगणक 3 (1 - x )। आपको यहां कुछ भी करने की जरूरत नहीं है, सब कुछ पहले से ही रूपांतरित हो रहा है।

अंत में, 0, 5. जैसा कि मैंने पिछले पाठों में कहा था, लघुगणकीय समीकरणों और सूत्रों को हल करते समय, मैं दशमलव अंशों से साधारण अंशों में जाने की अत्यधिक अनुशंसा करता हूं। चलो इसे करते हैं:

0,5 = 5/10 = 1/2

आइए प्राप्त शर्तों को ध्यान में रखते हुए अपने मूल सूत्र को फिर से लिखें:

लघुगणक 3 (1 - x ) = 1

अब हम विहित रूप की ओर बढ़ते हैं:

लघुगणक 3 (1 - x ) = लघुगणक 3 3

तर्कों की बराबरी करके लघुगणक के चिह्न से छुटकारा पाएं:

1 - एक्स = 3

-एक्स = 2

एक्स = -2

बस, हमने समीकरण हल कर लिया है। हालांकि, आइए अभी भी इसे सुरक्षित रखें और परिभाषा के क्षेत्र को खोजें। इसके लिए, आइए वापस चलते हैं मूल सूत्रऔर देखो:

1 - एक्स > 0

-एक्स> -1

एक्स< 1

हमारा मूल x = −2 इस आवश्यकता को पूरा करता है, इसलिए x = −2 मूल समीकरण का एक हल है। अब हमारे पास एक सख्त स्पष्ट औचित्य है। सब कुछ, कार्य हल हो गया है।

आइए दूसरे कार्य पर चलते हैं:

आइए प्रत्येक शब्द से अलग से निपटें।

हम पहले लिखते हैं:

हमने पहले कार्यकाल को संशोधित किया है। हम दूसरे कार्यकाल के साथ काम करते हैं:

अंत में, अंतिम पद, जो समान चिह्न के दाईं ओर है:

हम परिणामी व्यंजकों को परिणामी सूत्र में पदों से प्रतिस्थापित करते हैं:

लॉग 3 एक्स = 1

हम विहित रूप में जाते हैं:

लघुगणक 3 x = लघुगणक 3 3

हम तर्कों की बराबरी करके लघुगणक के चिन्ह से छुटकारा पाते हैं, और हम प्राप्त करते हैं:

एक्स = 3

दोबारा, बस मामले में, चलो इसे सुरक्षित रूप से खेलते हैं, मूल समीकरण पर वापस जाएं और देखें। मूल सूत्र में, चर x केवल तर्क में मौजूद है, इसलिए,

एक्स > 0

दूसरे लघुगणक में, x मूल के नीचे है, लेकिन फिर से तर्क में, इसलिए, जड़ 0 से बड़ा होना चाहिए, अर्थात। कट्टरपंथी अभिव्यक्ति 0 से बड़ा होना चाहिए। हम अपने मूल x = 3 को देखते हैं। जाहिर है, यह इस आवश्यकता को पूरा करता है। इसलिए, x = 3 मूल लघुगणकीय समीकरण का हल है। सब कुछ, कार्य हल हो गया है।

आज के वीडियो ट्यूटोरियल में दो प्रमुख बिंदु हैं:

1) लघुगणक को परिवर्तित करने से डरो मत, और विशेष रूप से, लघुगणक के संकेत से डिग्री लेने से डरो मत, हमारे याद करते हुए मूल सूत्र: तर्क से डिग्री निकालते समय, इसे केवल एक कारक के रूप में अपरिवर्तित किया जाता है, और जब डिग्री को आधार से बाहर निकाला जाता है, तो यह डिग्री उलट जाती है।

2) दूसरा बिंदु स्व-विहित रूप से संबंधित है। हमने लॉगरिदमिक समीकरण के सूत्र के परिवर्तन के अंत में विहित रूप में संक्रमण किया। निम्नलिखित सूत्र को याद करें:

ए = लॉग बी बी ए

बेशक, अभिव्यक्ति "किसी भी संख्या बी" से मेरा मतलब उन संख्याओं से है जो लॉगरिदम के आधार पर लगाए गए आवश्यकताओं को पूरा करते हैं, यानी।

1 ख > 0

ऐसे b के लिए, और चूंकि हम पहले से ही आधार जानते हैं, यह आवश्यकता अपने आप पूरी हो जाएगी। लेकिन ऐसे बी के लिए - कोई भी जो संतुष्ट करता है यह आवश्यकता- यह संक्रमण किया जा सकता है, और हमें एक विहित रूप मिलेगा जिसमें हम लघुगणक के संकेत से छुटकारा पा सकते हैं।

परिभाषा और अतिरिक्त जड़ों के क्षेत्र का विस्तार

लॉगरिदमिक समीकरणों को बदलने की प्रक्रिया में, परिभाषा के क्षेत्र का एक अंतर्निहित विस्तार हो सकता है। अक्सर, छात्रों को इस पर ध्यान भी नहीं जाता है, जिससे त्रुटियां और गलत उत्तर होते हैं।

आइए सबसे सरल डिजाइनों से शुरू करें। सबसे सरल लघुगणकीय समीकरण निम्नलिखित है:

लॉग ए एफ (एक्स) = बी

ध्यान दें कि x एक लघुगणक के केवल एक तर्क में मौजूद है। हम ऐसे समीकरणों को कैसे हल करते हैं? हम विहित रूप का उपयोग करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम संख्या b \u003d लॉग a a b का प्रतिनिधित्व करते हैं, और हमारे समीकरण को निम्न रूप में फिर से लिखा जाएगा:

लॉग a f(x) = लॉग a a b

इस संकेतन को विहित रूप कहा जाता है। यह उसके लिए है कि कोई भी लघुगणकीय समीकरण जो आपको न केवल आज के पाठ में मिलेगा, बल्कि किसी भी स्वतंत्र और नियंत्रण कार्य में भी कम होना चाहिए।

विहित रूप में कैसे आना है, किस तकनीक का उपयोग करना है - यह पहले से ही अभ्यास का विषय है। समझने वाली मुख्य बात: जैसे ही आप ऐसा रिकॉर्ड प्राप्त करते हैं, हम मान सकते हैं कि समस्या हल हो गई है। क्योंकि अगला कदमएक प्रविष्टि होगी:

एफ (एक्स) = एक बी

दूसरे शब्दों में, हम लघुगणक के चिन्ह से छुटकारा पा लेते हैं और तर्कों की बराबरी कर लेते हैं।

यह सब बात क्यों? तथ्य यह है कि विहित रूप न केवल सबसे सरल समस्याओं पर लागू होता है, बल्कि किसी अन्य पर भी लागू होता है। विशेष रूप से उन लोगों के लिए जिन्हें हम आज संबोधित करेंगे। आइए एक नजर डालते हैं।

पहला काम:

इस समीकरण में क्या समस्या है? तथ्य यह है कि फ़ंक्शन एक साथ दो लघुगणक में है। केवल एक लघुगणक को दूसरे से घटाकर समस्या को सरलतम तक कम किया जा सकता है। लेकिन परिभाषा के क्षेत्र में समस्याएं हैं: अतिरिक्त जड़ें दिखाई दे सकती हैं। तो चलिए केवल एक लघुगणक को दाईं ओर ले जाते हैं:

यहां ऐसा रिकॉर्ड पहले से ही विहित रूप के समान है। लेकिन एक और बारीकियां है: विहित रूप में, तर्क समान होने चाहिए। और हमारे पास बाईं ओर आधार 3 का लघुगणक है, और दाईं ओर आधार पर लघुगणक 1/3 है। आप जानते हैं, आपको इन आधारों को समान संख्या में लाने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, आइए याद करें कि नकारात्मक घातांक क्या हैं:

और फिर हम गुणक के रूप में लॉग के बाहर घातांक "-1" का उपयोग करेंगे:

कृपया ध्यान दें: जो डिग्री आधार पर खड़ी होती है उसे पलट दिया जाता है और एक अंश में बदल दिया जाता है। विभिन्न आधारों से छुटकारा पाकर हमें लगभग एक विहित संकेतन मिला, लेकिन इसके बजाय हमें दाईं ओर "-1" कारक मिला। आइए इस कारक को एक शक्ति में बदलकर तर्क में डाल दें:

बेशक, विहित रूप प्राप्त करने के बाद, हम साहसपूर्वक लघुगणक के संकेत को पार करते हैं और तर्कों की बराबरी करते हैं। साथ ही, मैं आपको याद दिला दूं कि जब "-1" की शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है, तो अंश बस बदल जाता है - एक अनुपात प्राप्त होता है।

आइए अनुपात की मुख्य संपत्ति का उपयोग करें और इसे क्रॉसवाइज गुणा करें:

(एक्स - 4) (2x - 1) = (एक्स - 5) (3x - 4)

2x 2 - x - 8x + 4 = 3x 2 - 4x - 15x + 20

2x2 - 9x + 4 = 3x2 - 19x + 20

x2 - 10x + 16 = 0

हमसे पहले द्विघात समीकरण, इसलिए हम इसे Vieta सूत्रों का उपयोग करके हल करते हैं:

(एक्स - 8) (एक्स - 2) = 0

एक्स 1 = 8; x2 = 2

बस इतना ही। क्या आपको लगता है कि समीकरण हल हो गया है? नहीं! इस तरह के समाधान के लिए, हमें 0 अंक मिलेंगे, क्योंकि मूल समीकरण में चर x के साथ दो लघुगणक एक साथ होते हैं। इसलिए, परिभाषा के क्षेत्र को ध्यान में रखना आवश्यक है।

और यहीं से मजा शुरू होता है। अधिकांश छात्र भ्रमित हैं: लघुगणक का डोमेन क्या है? बेशक, सभी तर्क (हमारे पास दो हैं) शून्य से बड़े होने चाहिए:

(x − 4)/(3x − 4) > 0

(x − 5)/(2x − 1) > 0

इन असमानताओं में से प्रत्येक को हल किया जाना चाहिए, एक सीधी रेखा पर चिह्नित किया जाना चाहिए, पार किया जाना चाहिए - और उसके बाद ही देखें कि चौराहे पर कौन सी जड़ें हैं।

मैं ईमानदार रहूंगा: इस तकनीक को अस्तित्व का अधिकार है, यह विश्वसनीय है, और आपको सही उत्तर मिलेगा, लेकिन इसमें बहुत अधिक अतिरिक्त चरण हैं। तो चलिए फिर से हमारे समाधान पर चलते हैं और देखते हैं: आप वास्तव में दायरा कहां लागू करना चाहते हैं? दूसरे शब्दों में, आपको स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है कि अतिरिक्त जड़ें कब दिखाई देती हैं।

1. प्रारंभ में, हमारे पास दो लघुगणक थे। फिर हम उनमें से एक को दाईं ओर ले गए, लेकिन इससे परिभाषा क्षेत्र प्रभावित नहीं हुआ।
2. फिर हम आधार से शक्ति निकालते हैं, लेकिन अभी भी दो लघुगणक हैं, और उनमें से प्रत्येक में चर x है।
3. अंत में, हम लॉग के संकेतों को पार करते हैं और क्लासिक प्राप्त करते हैं भिन्नात्मक परिमेय समीकरण.

यह अंतिम चरण में है कि परिभाषा के क्षेत्र का विस्तार किया गया है! जैसे ही हमने एक भिन्नात्मक परिमेय समीकरण पर स्विच किया, लॉग के संकेतों से छुटकारा पाया, x चर के लिए आवश्यकताएं नाटकीय रूप से बदल गईं!

इसलिए, परिभाषा के क्षेत्र को समाधान की शुरुआत में नहीं माना जा सकता है, लेकिन केवल उल्लिखित चरण पर - इससे पहले कि हम सीधे तर्कों की बराबरी करें।

यहीं पर अनुकूलन का अवसर निहित है। एक ओर, हम चाहते हैं कि दोनों तर्क शून्य से अधिक हों। दूसरी ओर, हम आगे इन तर्कों की बराबरी करते हैं। इसलिए, यदि उनमें से कम से कम एक सकारात्मक है, तो दूसरा भी सकारात्मक होगा!

तो यह पता चला है कि दो असमानताओं को एक साथ पूरा करने की आवश्यकता एक अतिशयोक्ति है। इनमें से केवल एक अंश पर विचार करना पर्याप्त है। कौन-सा? वह जो आसान हो। उदाहरण के लिए, आइए सही भिन्न को देखें:

(x − 5)/(2x − 1) > 0

यह विशिष्ट है भिन्नात्मक तर्कसंगत असमानता, हम इसे अंतराल विधि द्वारा हल करते हैं:

संकेत कैसे लगाएं? चलो एक नंबर लेते हैं, जाहिर तौर पर हमारी सभी जड़ों से बड़ा है। उदाहरण के लिए, 1 अरब और हम इसके अंश को प्रतिस्थापित करते हैं। हमें एक धनात्मक संख्या प्राप्त होती है, अर्थात्। मूल x = 5 के दाईं ओर एक धन चिह्न होगा।

फिर संकेत बारी-बारी से आते हैं, क्योंकि कहीं भी बहुलता की जड़ें नहीं हैं। हम उन अंतरालों में रुचि रखते हैं जहाँ फलन धनात्मक होता है। इसलिए x (−∞; −1/2)∪(5; +∞)।

अब आइए उत्तरों को याद रखें: x = 8 और x = 2. कड़ाई से बोलते हुए, ये अभी तक उत्तर नहीं हैं, बल्कि केवल उत्तर के लिए उम्मीदवार हैं। कौन सा संबंधित है निर्दिष्ट सेट? बेशक, x = 8. लेकिन परिभाषा के क्षेत्र के संदर्भ में x = 2 हमें सूट नहीं करता है।

कुल मिलाकर, पहले लघुगणकीय समीकरण का उत्तर x = 8 होगा। अब हमारे पास परिभाषा के क्षेत्र को ध्यान में रखते हुए एक सक्षम, उचित समाधान है।

आइए दूसरे समीकरण पर चलते हैं:

लॉग 5 (x - 9) = लॉग 0.5 4 - लॉग 5 (x - 5) + 3

मैं आपको याद दिलाता हूं कि अगर समीकरण में दशमलव अंश है, तो आपको इससे छुटकारा पाना चाहिए। दूसरे शब्दों में, हम 0.5 को फिर से लिखते हैं साधारण अंश. हम तुरंत देखते हैं कि इस आधार वाले लघुगणक पर आसानी से विचार किया जाता है:

यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण क्षण है! जब हमारे पास आधार और तर्क दोनों में अंश होते हैं, तो हम सूत्र का उपयोग करके इन अंशों के संकेतक निकाल सकते हैं:

हम अपने मूल लघुगणक समीकरण पर लौटते हैं और इसे फिर से लिखते हैं:

लघुगणक 5 (x - 9) = 1 - लघुगणक 5 (x - 5)

हमें एक निर्माण मिला है जो विहित रूप के काफी करीब है। हालाँकि, हम समान चिह्न के दाईं ओर की शर्तों और ऋण चिह्न से भ्रमित हैं। आइए आधार 5 के लघुगणक के रूप में एकता का प्रतिनिधित्व करें:

लघुगणक 5 (x - 9) = लघुगणक 5 5 1 - लघुगणक 5 (x - 5)

लॉगरिदम को दाईं ओर घटाएं (जबकि उनके तर्क विभाजित हैं):

लघुगणक 5 (x - 9) = लघुगणक 5 5/(x - 5)

पूरी तरह से। तो हमें विहित रूप मिला! हम लॉग संकेतों को पार करते हैं और तर्कों की बराबरी करते हैं:

(एक्स - 9)/1 = 5/(एक्स - 5)

यह एक ऐसा अनुपात है जिसे क्रॉस-गुणा द्वारा आसानी से हल किया जाता है:

(एक्स - 9) (एक्स - 5) = 5 1

x 2 - 9x - 5x + 45 = 5

x2 - 14x + 40 = 0

जाहिर है, हमारे पास एक दिया गया द्विघात समीकरण है। इसे Vieta फ़ार्मुलों का उपयोग करके आसानी से हल किया जाता है:

(एक्स - 10) (एक्स - 4) = 0

एक्स 1 = 10

एक्स 2 = 4

हमारी दो जड़ें हैं। लेकिन ये अंतिम उत्तर नहीं हैं, बल्कि केवल उम्मीदवार हैं, क्योंकि लॉगरिदमिक समीकरण को भी डोमेन की जाँच की आवश्यकता होती है।

मैं आपको याद दिलाता हूं: कब मत देखो हर कोईतर्कों की संख्या शून्य से अधिक होगी। यह आवश्यक है कि एक तर्क, या तो x - 9 या 5/(x - 5) शून्य से बड़ा हो। पहले तर्क पर विचार करें:

एक्स -9 > 0

एक्स > 9

जाहिर है, केवल x = 10 ही इस आवश्यकता को पूरा करता है। यह अंतिम उत्तर है। सभी समस्या का समाधान।

दोबारा मुख्य विचारआज का पाठ:

1. जैसे ही चर x कई लघुगणक में प्रकट होता है, समीकरण प्राथमिक होना बंद हो जाता है, और इसके लिए परिभाषा के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है। अन्यथा, आप प्रत्युत्तर में आसानी से अतिरिक्त मूल लिख सकते हैं।
2. यदि असमानता तुरंत नहीं लिखी जाती है, लेकिन ठीक उसी समय जब हम लॉग के संकेतों से छुटकारा पा लेते हैं, तो परिभाषा के क्षेत्र के साथ काम करना बहुत सरल हो सकता है। आखिरकार, जब तर्कों को एक-दूसरे के बराबर किया जाता है, तो यह आवश्यक है कि उनमें से केवल एक शून्य से बड़ा हो।

बेशक, हम खुद चुनते हैं कि किस तर्क से असमानता पैदा करनी है, इसलिए सबसे सरल को चुनना तर्कसंगत है। उदाहरण के लिए, दूसरे समीकरण में, हमने तर्क (x - 9) − . को चुना रैखिक प्रकार्य, आंशिक रूप से तर्कसंगत दूसरे तर्क के विपरीत। सहमत हूँ, असमानता को हल करना x - 9 > 0 5/(x - 5) > 0 की तुलना में बहुत आसान है। हालांकि परिणाम समान है।

यह टिप्पणी ODZ की खोज को बहुत सरल करती है, लेकिन सावधान रहें: आप दो के बजाय एक असमानता का उपयोग केवल तभी कर सकते हैं जब तर्क सटीक हों एक दूसरे के बराबर!

बेशक, अब कोई पूछेगा: क्या अलग होता है? हाँ कभी कभी। उदाहरण के लिए, चरण में ही, जब हम एक चर वाले दो तर्कों को गुणा करते हैं, तो अतिरिक्त जड़ों का खतरा होता है।

अपने लिए जज करें: सबसे पहले यह आवश्यक है कि प्रत्येक तर्क शून्य से बड़ा हो, लेकिन गुणा के बाद यह पर्याप्त है कि उनका उत्पाद शून्य से अधिक हो। परिणामस्वरूप, वह स्थिति जब इनमें से प्रत्येक भिन्न ऋणात्मक होती है, छूट जाती है।

इसलिए, यदि आप जटिल लॉगरिदमिक समीकरणों से निपटना शुरू कर रहे हैं, तो किसी भी स्थिति में चर x वाले लॉगरिदम को गुणा न करें - अक्सर यह अतिरिक्त जड़ों को जन्म देगा। एक अतिरिक्त कदम उठाना बेहतर है, एक शब्द को दूसरी तरफ स्थानांतरित करें, विहित रूप बनाएं।

ठीक है, अगर आप ऐसे लघुगणक को गुणा किए बिना नहीं कर सकते हैं तो क्या करें, हम अगले वीडियो ट्यूटोरियल में चर्चा करेंगे। :)

एक बार फिर समीकरण में शक्तियों के बारे में

आज हम लॉगरिदमिक समीकरणों के बारे में एक फिसलन भरे विषय का विश्लेषण करेंगे, या यों कहें, तर्कों और लघुगणक के आधारों से शक्तियों को हटाना।

मैं यहाँ तक कहूँगा कि हम सम घातों को निकालने की बात करेंगे, क्योंकि सम घातों के साथ ही वास्तविक लघुगणकीय समीकरणों को हल करते समय अधिकांश कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं।

आइए कैननिकल फॉर्म से शुरू करें। मान लीजिए कि हमारे पास एक समीकरण है जैसे log a f (x) = b। इस मामले में, हम संख्या b को सूत्र b = log a a b के अनुसार फिर से लिखते हैं। यह निम्नलिखित निकलता है:

लॉग a f(x) = लॉग a a b

फिर हम तर्कों की बराबरी करते हैं:

एफ (एक्स) = एक बी

अंतिम सूत्र को विहित रूप कहा जाता है। यह उसके लिए है कि वे किसी भी लघुगणकीय समीकरण को कम करने की कोशिश करते हैं, चाहे वह पहली नज़र में कितना भी जटिल और भयानक क्यों न हो।

यहाँ, आइए कोशिश करते हैं। आइए पहले कार्य से शुरू करें:

प्रारंभिक टिप्पणी: जैसा कि मैंने कहा, सभी दशमलवएक लघुगणकीय समीकरण में, इसे सामान्य में अनुवाद करना बेहतर है:

0,5 = 5/10 = 1/2

आइए इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए अपने समीकरण को फिर से लिखें। ध्यान दें कि 1/1000 और 100 दोनों 10 की घात हैं, और फिर हम घातों को जहाँ कहीं से भी ले जाते हैं: तर्कों से और यहाँ तक कि लघुगणक के आधार से भी:

और यहां कई छात्रों के लिए सवाल उठता है: "मॉड्यूल दाईं ओर कहां से आया?" वास्तव में, क्यों न केवल (x - 1) लिखें? बेशक, अब हम (x - 1) लिखेंगे, लेकिन इस तरह के रिकॉर्ड का अधिकार हमें परिभाषा के क्षेत्र का हिसाब देता है। आखिरकार, अन्य लघुगणक में पहले से ही (x - 1) है, और यह व्यंजक शून्य से बड़ा होना चाहिए।

लेकिन जब हम लघुगणक के आधार से वर्ग निकालते हैं, तो हमें मॉड्यूल को आधार पर छोड़ देना चाहिए। मैं समझाता हूँ क्यों।

सच तो यह है कि गणित की दृष्टि से डिग्री लेना जड़ लेने के समान है। विशेष रूप से, जब व्यंजक (x - 1) 2 को चुकता किया जाता है, तो हम अनिवार्य रूप से दूसरी डिग्री का मूल निकाल रहे होते हैं। लेकिन वर्गमूल एक मापांक से ज्यादा कुछ नहीं है। बिल्कुल मापांक, क्योंकि भले ही व्यंजक x - 1 ऋणात्मक हो, जब "माइनस" का वर्ग करना तब भी जलता रहेगा। जड़ का आगे निष्कर्षण हमें एक सकारात्मक संख्या देगा - पहले से ही बिना किसी नुकसान के।

सामान्य तौर पर, आपत्तिजनक गलतियों से बचने के लिए, एक बार और सभी के लिए याद रखें:

किसी भी फ़ंक्शन से एक समान डिग्री की जड़ जो समान शक्ति तक उठाई जाती है, स्वयं फ़ंक्शन के बराबर नहीं होती है, बल्कि इसके मापांक के बराबर होती है:

हम अपने लघुगणकीय समीकरण पर लौटते हैं। मॉड्यूल के बारे में बोलते हुए, मैंने तर्क दिया कि हम इसे दर्द रहित रूप से हटा सकते हैं। यह सच है। अब मैं समझाऊंगा कि क्यों। कड़ाई से बोलते हुए, हमें दो विकल्पों पर विचार करना था:

1. x − 1 > 0 |x − 1| = एक्स - 1
2. एक्स - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

इन विकल्पों में से प्रत्येक को संबोधित करने की आवश्यकता होगी। लेकिन एक पकड़ है: मूल सूत्र में पहले से ही बिना किसी मापांक के फ़ंक्शन (x - 1) शामिल है। और लघुगणक की परिभाषा के क्षेत्र का अनुसरण करते हुए, हमें तुरंत उस x - 1 > 0 को लिखने का अधिकार है।

समाधान प्रक्रिया में हमारे द्वारा किए जाने वाले किसी भी मॉड्यूल और अन्य परिवर्तनों की परवाह किए बिना इस आवश्यकता को पूरा किया जाना चाहिए। इसलिए, दूसरे विकल्प पर विचार करना व्यर्थ है - यह कभी नहीं उठेगा। यदि असमानता की इस शाखा को हल करने पर हमें कुछ संख्याएँ प्राप्त होती हैं, तब भी वे अंतिम उत्तर में शामिल नहीं की जाएँगी।

अब हम वस्तुतः लघुगणकीय समीकरण के विहित रूप से एक कदम दूर हैं। आइए इकाई को इस प्रकार निरूपित करें:

1 = लघुगणक x - 1 (x - 1) 1

इसके अलावा, हम तर्क में कारक −4 का परिचय देते हैं, जो दाईं ओर है:

लघुगणक x - 1 10 −4 = लघुगणक x - 1 (x - 1)

हमारे सामने लघुगणकीय समीकरण का विहित रूप है। लघुगणक के संकेत से छुटकारा पाएं:

10 −4 = x − 1

लेकिन चूंकि आधार एक फलन था (और अभाज्य संख्या नहीं), हमें अतिरिक्त रूप से यह आवश्यकता है कि यह फलन शून्य से बड़ा हो और एक के बराबर न हो। सिस्टम प्राप्त करें:

चूंकि आवश्यकता x − 1 > 0 स्वतः ही संतुष्ट हो जाती है (क्योंकि x − 1 = 10 −4), हमारे सिस्टम से एक असमानता को हटाया जा सकता है। दूसरी शर्त को भी पार किया जा सकता है क्योंकि x - 1 = 0.0001< 1. Итого получаем:

एक्स = 1 + 0.0001 = 1.0001

यह एकमात्र जड़ है जो लॉगरिदम की परिभाषा के क्षेत्र के लिए सभी आवश्यकताओं को स्वचालित रूप से संतुष्ट करती है (हालांकि, हमारी समस्या की स्थितियों में जानबूझकर पूरी की गई सभी आवश्यकताओं को समाप्त कर दिया गया था)।

तो दूसरा समीकरण है:

3 लघुगणक 3 x x = 2 लघुगणक 9 x x 2

यह समीकरण मूल रूप से पिछले वाले से किस प्रकार भिन्न है? पहले से ही कम से कम तथ्य यह है कि लॉगरिदम के आधार - 3x और 9x - नहीं हैं प्राकृतिक डिग्रीएक-दूसरे से। इसलिए, हमने पिछले समाधान में उपयोग किया संक्रमण संभव नहीं है।

चलो कम से कम डिग्री से छुटकारा पाएं। हमारे मामले में, दूसरे तर्क में एकमात्र शक्ति है:

3 लघुगणक 3 x x = 2 ∙ 2 लघुगणक 9 x |x |

हालाँकि, मापांक चिह्न हटाया जा सकता है, क्योंकि चर x भी आधार में है, अर्थात। x > 0 |x| = एक्स. आइए अपने लघुगणक समीकरण को फिर से लिखें:

3 लघुगणक 3 x x = 4 लघुगणक 9 x x

हमें लघुगणक मिले हैं जिनमें तर्क समान हैं, लेकिन अलग आधार. कैसे आगे बढ़ा जाए? यहां कई विकल्प हैं, लेकिन हम उनमें से केवल दो पर विचार करेंगे, जो सबसे तार्किक हैं, और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि अधिकांश छात्रों के लिए ये त्वरित और समझने योग्य तरकीबें हैं।

हमने पहले ही विकल्प पर विचार कर लिया है: किसी में समझ से बाहर की स्थितिसे लघुगणक का अनुवाद करें परिवर्तनीय आधारकुछ स्थायी नींव के लिए। उदाहरण के लिए, एक ड्यूस के लिए। रूपांतरण सूत्र सरल है:

बेशक, एक सामान्य संख्या को एक चर c: 1 c> 0 के रूप में कार्य करना चाहिए। हमारे मामले में, c = 2 होने दें। अब हमारे पास एक साधारण भिन्नात्मक परिमेय समीकरण है। हम बाईं ओर के सभी तत्वों को इकट्ठा करते हैं:

जाहिर है, कारक लॉग 2 x को निकालना बेहतर है, क्योंकि यह पहले और दूसरे दोनों भिन्नों में मौजूद है।

लॉग 2 एक्स = 0;

3 लघुगणक 2 9x = 4 लघुगणक 2 3x

हम प्रत्येक लॉग को दो शब्दों में तोड़ते हैं:

लघुगणक 2 9x = लघुगणक 2 9 + लघुगणक 2 x = 2 लघुगणक 2 3 + लघुगणक 2 x;

लघुगणक 2 3x = लघुगणक 2 3 + लघुगणक 2 x

आइए इन तथ्यों को ध्यान में रखते हुए समानता के दोनों पक्षों को फिर से लिखें:

3 (2 लॉग 2 3 + लॉग 2 x) = 4 (लॉग 2 3 + लॉग 2 x)

6 लघुगणक 2 3 + 3 लघुगणक 2 x = 4 लघुगणक 2 3 + 4 लघुगणक 2 x

2 लघुगणक 2 3 = लघुगणक 2 x

अब यह लघुगणक के संकेत के तहत एक ड्यूस जोड़ना बाकी है (यह एक शक्ति में बदल जाएगा: 3 2 \u003d 9):

लॉग 2 9 = लॉग 2 x

इससे पहले कि हम शास्त्रीय विहित रूप हैं, हम लघुगणक के चिन्ह से छुटकारा पाते हैं और प्राप्त करते हैं:

जैसी कि उम्मीद थी, यह रूट शून्य से बड़ा निकला। यह परिभाषा के क्षेत्र की जाँच करने के लिए बनी हुई है। आइए आधारों को देखें:

लेकिन मूल x = 9 इन आवश्यकताओं को पूरा करता है। इसलिए, यह अंतिम समाधान है।

से निष्कर्ष यह फैसलासरल: लंबी गणनाओं से डरो मत! यह सिर्फ इतना है कि शुरुआत में हमने यादृच्छिक रूप से एक नया आधार चुना - और इसने प्रक्रिया को काफी जटिल बना दिया।

लेकिन फिर सवाल उठता है कि आधार क्या है इष्टतम? मैं इसके बारे में दूसरे तरीके से बात करूंगा।

आइए अपने मूल समीकरण पर वापस जाएं:

3 लघुगणक 3x x = 2 लघुगणक 9x x 2

3 लघुगणक 3x x = 2 2 लघुगणक 9x |x |

x > 0 |x| = एक्स

3 लघुगणक 3 x x = 4 लघुगणक 9 x x

अब थोड़ा विचार करें: कौन सी संख्या या फलन इष्टतम आधार होगा? जाहिर सी बात है सबसे बढ़िया विकल्प c = x होगा - जो पहले से ही तर्कों में है। इस मामले में लॉग सूत्र a b = log c b /log c a बन जाता है:

दूसरे शब्दों में, अभिव्यक्ति बस उलट है। इस मामले में, तर्क और आधार उलट हैं।

यह सूत्र बहुत उपयोगी है और अक्सर जटिल लघुगणकीय समीकरणों को हल करने में उपयोग किया जाता है। हालाँकि, इस सूत्र का उपयोग करते समय, एक बहुत ही गंभीर नुकसान होता है। यदि आधार के बजाय हम चर x को प्रतिस्थापित करते हैं, तो उस पर प्रतिबंध लगाए जाते हैं जो पहले नहीं देखे गए थे:

मूल समीकरण में ऐसा कोई प्रतिबंध नहीं था। इसलिए, हमें अलग से मामले की जांच करनी चाहिए जब x = 1। इस मान को हमारे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

3 लघुगणक 3 1 = 4 लघुगणक 9 1

हमें अधिकार मिलता है संख्यात्मक समानता. अत: x = 1 एक मूल है। हमने समाधान की शुरुआत में पिछली विधि में बिल्कुल वही जड़ पाई।

लेकिन अब, जब हमने अलग से इस पर विचार किया विशेष मामला, हम सुरक्षित रूप से मान लेते हैं कि x 1. तब हमारे लघुगणकीय समीकरण को निम्नलिखित रूप में फिर से लिखा जाएगा:

3 लघुगणक x 9x = 4 लघुगणक x 3x

हम दोनों लघुगणक को पहले की तरह समान सूत्र के अनुसार विस्तारित करते हैं। ध्यान दें कि लघुगणक x x = 1 :

3 (लॉग एक्स 9 + लॉग एक्स एक्स) = 4 (लॉग एक्स 3 + लॉग एक्स एक्स)

3 लघुगणक x 9 + 3 = 4 लघुगणक x 3 + 4

3 लघुगणक x 3 2 - 4 लघुगणक x 3 = 4 - 3

2 लॉग x 3 = 1

यहाँ हम विहित रूप में आते हैं:

लघुगणक x 9 = लघुगणक x x 1

एक्स = 9

हमें दूसरी जड़ मिली। यह x ≠ 1 की आवश्यकता को पूरा करता है। इसलिए, x = 9 के साथ x = 1 अंतिम उत्तर है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, गणना की मात्रा थोड़ी कम हो गई है। लेकिन वास्तविक लॉगरिदमिक समीकरण को हल करते समय, चरणों की संख्या बहुत कम होगी क्योंकि आपको प्रत्येक चरण का इतने विस्तार से वर्णन करने की आवश्यकता नहीं है।

आज के पाठ का मुख्य नियम इस प्रकार है: यदि कार्य में शामिल है सम डिग्री, जिसमें से समान डिग्री की जड़ निकाली जाती है, तो आउटपुट पर हमें एक मॉड्यूल मिलता है। हालाँकि, यदि आप लघुगणक की परिभाषा के क्षेत्र पर ध्यान दें तो इस मॉड्यूल को हटाया जा सकता है।

लेकिन सावधान रहें: इस पाठ के बाद अधिकांश छात्र सोचते हैं कि वे सब कुछ समझते हैं। लेकिन निर्णय लेते समय वास्तविक कार्यवे संपूर्ण तार्किक श्रृंखला को पुन: उत्पन्न नहीं कर सकते। नतीजतन, समीकरण अतिरिक्त जड़ें प्राप्त करता है, और उत्तर गलत है।

बुनियादी गुण.

1. लॉगैक्स + लोगे = लॉग (एक्स वाई);
2. लघुगणक - लघुगणक = लघुगणक (x: y)।

एक ही आधार

लॉग 6 4 + लॉग 6 9.

अब कार्य को थोड़ा जटिल करते हैं।

लघुगणक हल करने के उदाहरण

क्या होगा यदि लघुगणक के आधार या तर्क में कोई डिग्री हो? तब इस डिग्री के घातांक को निम्न नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से निकाला जा सकता है:

बेशक, ये सभी नियम समझ में आते हैं यदि ODZ लघुगणक मनाया जाता है: a > 0, a 1, x >

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

एक नई नींव में संक्रमण

बता दें कि लघुगणक लघुगणक दिया जाता है। फिर किसी भी संख्या c जैसे कि c > 0 और c ≠ 1 के लिए, समानता सत्य है:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

यह सभी देखें:

लघुगणक के मूल गुण

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घातांक 2.718281828…. प्रतिपादक को याद करने के लिए, आप नियम का अध्ययन कर सकते हैं: प्रतिपादक 2.7 है और लियो टॉल्स्टॉय के जन्म के वर्ष का दोगुना है।

लघुगणक के मूल गुण

इस नियम को जानकर आप जानेंगे और सही मूल्यप्रदर्शक, और लियो टॉल्स्टॉय की जन्म तिथि।

लघुगणक के उदाहरण

व्यंजकों का लघुगणक लें

उदाहरण 1
ए)। x=10ac^2 (ए>0, सी>0)।

गुण 3,5 से हम गणना करते हैं

2.

3.

4. कहाँ पे .

उदाहरण 2 x ज्ञात कीजिए यदि

उदाहरण 3. मान लीजिए कि लघुगणक का मान दिया गया है

लॉग (x) की गणना करें यदि

लघुगणक के मूल गुण

लॉगरिदम, किसी भी संख्या की तरह, हर संभव तरीके से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लॉगरिदम वास्तव में नहीं हैं नियमित संख्या, यहाँ नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है बुनियादी गुण.

ये नियम जरूर जान लें- इनके बिना एक भी गंभीर नहीं लघुगणक समस्या. इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - एक दिन में सब कुछ सीखा जा सकता है। तो चलो शुरू करते है।

लघुगणक का जोड़ और घटाव

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: लघुगणक और लघुगणक। फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

1. लॉगैक्स + लोगे = लॉग (एक्स वाई);
2. लघुगणक - लघुगणक = लघुगणक (x: y)।

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल का लघुगणक है। टिप्पणी: महत्वपूर्ण क्षणयहाँ - एक ही आधार. यदि आधार भिन्न हैं, तो ये नियम काम नहीं करते हैं!

ये सूत्र आपको गणना करने में मदद करेंगे लघुगणक व्यंजकतब भी जब इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार नहीं किया जाता है (पाठ "एक लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

चूंकि लघुगणक के आधार समान हैं, इसलिए हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log2 48 - log2 3.

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log3 135 - log3 5.

फिर से, आधार समान हैं, इसलिए हमारे पास है:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल भाव "खराब" लघुगणक से बने होते हैं, जिन्हें अलग से नहीं माना जाता है। लेकिन परिवर्तनों के बाद काफी सामान्य संख्याएँ निकलती हैं। इस तथ्य के आधार पर अनेक परीक्षण पत्र. हाँ, क्या नियंत्रण हैं - समान भावपूरी गंभीरता से (कभी-कभी व्यावहारिक रूप से अपरिवर्तित) परीक्षा में पेश किए जाते हैं।

घातांक को लघुगणक से हटाना

यह देखना आसान है कि अंतिम नियमपहले दो का अनुसरण करता है। लेकिन इसे वैसे भी याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणना की मात्रा को काफी कम कर देगा।

बेशक, ये सभी नियम समझ में आते हैं यदि ओडीजेड लॉगरिदम मनाया जाता है: ए> 0, ए ≠ 1, एक्स> 0. और एक और बात: न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी सभी सूत्रों को लागू करना सीखें, यानी। आप लघुगणक के चिह्न से पहले संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं। यह वही है जो सबसे अधिक बार आवश्यक होता है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log7 496।

आइए पहले सूत्र के अनुसार तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

ध्यान दें कि हर एक लघुगणक है जिसका आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं: 16 = 24; 49 = 72. हमारे पास है:

मुझे लगता है अंतिम उदाहरणस्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए हैं? सब तरह से अंतिम क्षणहम केवल भाजक के साथ काम करते हैं।

लघुगणक के सूत्र। लघुगणक समाधान के उदाहरण हैं।

उन्होंने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को डिग्री के रूप में प्रस्तुत किया और संकेतक निकाले - उन्हें "तीन मंजिला" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश को देखें। अंश और हर की संख्या समान है: log2 7. चूंकि log2 7 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो किया गया था। परिणाम उत्तर है: 2.

एक नई नींव में संक्रमण

लॉगरिदम जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल एक ही आधार के साथ काम करते हैं। क्या होगा यदि आधार अलग हैं? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक शक्तियां नहीं हैं?

एक नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र बचाव के लिए आते हैं। हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करते हैं:

बता दें कि लघुगणक लघुगणक दिया जाता है। फिर किसी भी संख्या c जैसे कि c > 0 और c ≠ 1 के लिए, समानता सत्य है:

विशेष रूप से, यदि हम c = x रखते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:

यह दूसरे सूत्र से इस प्रकार है कि लघुगणक के आधार और तर्क को आपस में बदला जा सकता है, लेकिन पूरी अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में है।

ये सूत्र सामान्य में विरले ही मिलते हैं संख्यात्मक भाव. यह मूल्यांकन करना संभव है कि लॉगरिदमिक समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही वे कितने सुविधाजनक होते हैं।

हालाँकि, ऐसे कार्य हैं जिन्हें एक नई नींव में जाने के अलावा हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर विचार करें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log5 16 log2 25.

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्क सटीक घातांक हैं। आइए संकेतक निकालें: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

अब दूसरा लघुगणक पलटें:

चूंकि उत्पाद कारकों के क्रमपरिवर्तन से नहीं बदलता है, हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक का पता लगाया।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log9 100 lg 3.

पहले लघुगणक का आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं। आइए इसे लिख लें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

अब चलो छुटकारा दशमलव लघुगणक, एक नए आधार पर जाना:

मूल लघुगणकीय पहचान

अक्सर हल करने की प्रक्रिया में किसी दिए गए आधार के लिए एक संख्या को लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या n तर्क में घातांक बन जाती है। संख्या n बिल्कुल कुछ भी हो सकती है, क्योंकि यह केवल लघुगणक का मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक व्याख्यात्मक परिभाषा है। इसे इस तरह कहा जाता है:

वास्तव में, क्या होगा यदि संख्या b को इस हद तक बढ़ा दिया जाए कि इस अंश की संख्या b संख्या a दे दे? यह सही है: यह वही संख्या है a. इस पैराग्राफ को फिर से ध्यान से पढ़ें - बहुत से लोग इसे "लटका" देते हैं।

नए आधार पर जाने के सूत्रों की तरह, मुख्य लघुगणकीय पहचानकभी-कभी यह एकमात्र संभव समाधान होता है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

ध्यान दें कि log25 64 = log5 8 - बस आधार से वर्ग निकाल लिया और लघुगणक का तर्क। शक्तियों को गुणा करने के नियमों को देखते हुए एक ही आधार, हम पाते हैं:

अगर किसी को पता नहीं है, तो यह एकीकृत राज्य परीक्षा से एक वास्तविक कार्य था

लघुगणक इकाई और लघुगणक शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें गुणों को कॉल करना मुश्किल है - बल्कि, ये लॉगरिदम की परिभाषा से परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में पाए जाते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

1. लोगा = 1 है। एक बार और सभी के लिए याद रखें: किसी भी आधार के लिए लघुगणक उस आधार से ही एक के बराबर होता है।
2. लॉगा 1 = 0 है। आधार a कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क एक है - लघुगणक शून्य! क्योंकि a0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

वह सब गुण है। उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास करना सुनिश्चित करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।

यह सभी देखें:

संख्या b का आधार a का लघुगणक व्यंजक को दर्शाता है। लघुगणक की गणना करने का अर्थ है ऐसी घात x () ज्ञात करना जिस पर समानता सत्य हो

लघुगणक के मूल गुण

उपरोक्त गुणों को जानने की आवश्यकता है, क्योंकि उनके आधार पर लगभग सभी समस्याओं और उदाहरणों को लघुगणक के आधार पर हल किया जाता है। शेष विदेशी गुण इन सूत्रों के साथ गणितीय जोड़तोड़ द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं

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योग और लघुगणक (3.4) के अंतर के सूत्रों की गणना करते समय अक्सर सामना किया जाता है। बाकी कुछ जटिल हैं, लेकिन कई कार्यों में वे जटिल अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और उनके मूल्यों की गणना के लिए अनिवार्य हैं।

लघुगणक के सामान्य मामले

कुछ सामान्य लघुगणक वे हैं जिनमें आधार सम भी दस, घातांक या ड्यूस है।
आधार दस लघुगणक को आमतौर पर आधार दस लघुगणक कहा जाता है और इसे केवल lg(x) के रूप में दर्शाया जाता है।

रिकॉर्ड से यह देखा जा सकता है कि मूल बातें रिकॉर्ड में नहीं लिखी गई हैं। उदाहरण के लिए

प्राकृतिक लघुगणक वह लघुगणक है जिसका आधार घातांक (निरूपित ln(x)) है।

घातांक 2.718281828…. प्रतिपादक को याद करने के लिए, आप नियम का अध्ययन कर सकते हैं: प्रतिपादक 2.7 है और लियो टॉल्स्टॉय के जन्म के वर्ष का दोगुना है। इस नियम को जानकर आप घातांक का सही मूल्य और लियो टॉल्स्टॉय की जन्म तिथि दोनों को जान जाएंगे।

और दूसरा महत्वपूर्ण आधार दो लघुगणक है

फ़ंक्शन के लघुगणक का व्युत्पन्न चर द्वारा विभाजित एक के बराबर है

अभिन्न या प्रतिपक्षी लघुगणक निर्भरता द्वारा निर्धारित किया जाता है

उपरोक्त सामग्री आपके लिए लघुगणक और लघुगणक से संबंधित समस्याओं की एक विस्तृत श्रेणी को हल करने के लिए पर्याप्त है। सामग्री को समझने के लिए, मैं केवल कुछ सामान्य उदाहरण दूंगा स्कूल के पाठ्यक्रमऔर विश्वविद्यालय।

लघुगणक के उदाहरण

व्यंजकों का लघुगणक लें

उदाहरण 1
ए)। x=10ac^2 (ए>0, सी>0)।

गुण 3,5 से हम गणना करते हैं

2.
लघुगणक के अंतर गुण से, हमारे पास है

3.
गुण 3.5 का उपयोग करके हम पाते हैं

4. कहाँ पे .

नज़र से जटिल अभिव्यक्तिनियमों की एक श्रृंखला का उपयोग करके फॉर्म को सरल बनाया गया है

लघुगणक मान ढूँढना

उदाहरण 2 x ज्ञात कीजिए यदि

फेसला। गणना के लिए, हम गुण 5 और 13 को अंतिम पद तक लागू करते हैं

रिकॉर्ड में स्थानापन्न करें और शोक करें

चूँकि आधार समान हैं, हम व्यंजकों को समान करते हैं

लघुगणक। प्रथम स्तर।

मान लीजिए लघुगणक का मान दिया गया है

लॉग (x) की गणना करें यदि

हल: पदों के योग से लघुगणक लिखने के लिए चर का लघुगणक लें

यह लघुगणक और उनके गुणों से परिचित होने की शुरुआत है। गणना का अभ्यास करें, अपने व्यावहारिक कौशल को समृद्ध करें - लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने के लिए आपको जल्द ही अर्जित ज्ञान की आवश्यकता होगी। ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी तरीकों का अध्ययन करने के बाद, हम आपके ज्ञान का विस्तार किसी और के लिए कम नहीं करेंगे महत्वपूर्ण विषय- लघुगणक असमानताएँ ...

लघुगणक के मूल गुण

लॉगरिदम, किसी भी संख्या की तरह, हर संभव तरीके से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लॉगरिदम बिल्कुल सामान्य संख्या नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है बुनियादी गुण.

इन नियमों को अवश्य जानना चाहिए - इनके बिना कोई भी गंभीर लघुगणकीय समस्या हल नहीं हो सकती है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - एक दिन में सब कुछ सीखा जा सकता है। तो चलो शुरू करते है।

लघुगणक का जोड़ और घटाव

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: लघुगणक और लघुगणक। फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

1. लॉगैक्स + लोगे = लॉग (एक्स वाई);
2. लघुगणक - लघुगणक = लघुगणक (x: y)।

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल का लघुगणक है। कृपया ध्यान दें: यहाँ मुख्य बिंदु है - एक ही आधार. यदि आधार भिन्न हैं, तो ये नियम काम नहीं करते हैं!

ये सूत्र लघुगणकीय व्यंजक की गणना करने में मदद करेंगे, भले ही इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार न किया गया हो (पाठ "एक लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log6 4 + log6 9.

चूंकि लघुगणक के आधार समान हैं, इसलिए हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log2 48 - log2 3.

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log3 135 - log3 5.

फिर से, आधार समान हैं, इसलिए हमारे पास है:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल भाव "खराब" लघुगणक से बने होते हैं, जिन्हें अलग से नहीं माना जाता है। लेकिन परिवर्तनों के बाद काफी सामान्य संख्याएँ निकलती हैं। कई परीक्षण इस तथ्य पर आधारित हैं। हां, नियंत्रण - पूरी गंभीरता से समान भाव (कभी-कभी - वस्तुतः कोई बदलाव नहीं) परीक्षा में पेश किए जाते हैं।

घातांक को लघुगणक से हटाना

अब कार्य को थोड़ा जटिल करते हैं। क्या होगा यदि लघुगणक के आधार या तर्क में कोई डिग्री हो? तब इस डिग्री के घातांक को निम्न नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से निकाला जा सकता है:

यह देखना आसान है कि अंतिम नियम उनके पहले दो का अनुसरण करता है। लेकिन इसे वैसे भी याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणना की मात्रा को काफी कम कर देगा।

बेशक, ये सभी नियम समझ में आते हैं यदि ओडीजेड लॉगरिदम मनाया जाता है: ए> 0, ए ≠ 1, एक्स> 0. और एक और बात: न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी सभी सूत्रों को लागू करना सीखें, यानी। आप लघुगणक के चिह्न से पहले संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं।

लघुगणक कैसे हल करें

यह वही है जो सबसे अधिक बार आवश्यक होता है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log7 496।

आइए पहले सूत्र के अनुसार तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

ध्यान दें कि हर एक लघुगणक है जिसका आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं: 16 = 24; 49 = 72. हमारे पास है:

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण को स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए हैं? अंतिम क्षण तक, हम केवल हर के साथ काम करते हैं। उन्होंने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को डिग्री के रूप में प्रस्तुत किया और संकेतक निकाले - उन्हें "तीन मंजिला" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश को देखें। अंश और हर की संख्या समान है: log2 7. चूंकि log2 7 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो किया गया था। परिणाम उत्तर है: 2.

एक नई नींव में संक्रमण

लॉगरिदम जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल एक ही आधार के साथ काम करते हैं। क्या होगा यदि आधार अलग हैं? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक शक्तियां नहीं हैं?

एक नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र बचाव के लिए आते हैं। हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करते हैं:

बता दें कि लघुगणक लघुगणक दिया जाता है। फिर किसी भी संख्या c जैसे कि c > 0 और c ≠ 1 के लिए, समानता सत्य है:

विशेष रूप से, यदि हम c = x रखते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:

यह दूसरे सूत्र से इस प्रकार है कि लघुगणक के आधार और तर्क को आपस में बदला जा सकता है, लेकिन पूरी अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में है।

ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। यह मूल्यांकन करना संभव है कि लॉगरिदमिक समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही वे कितने सुविधाजनक होते हैं।

हालाँकि, ऐसे कार्य हैं जिन्हें एक नई नींव में जाने के अलावा हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर विचार करें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log5 16 log2 25.

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्क सटीक घातांक हैं। आइए संकेतक निकालें: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

अब दूसरा लघुगणक पलटें:

चूंकि उत्पाद कारकों के क्रमपरिवर्तन से नहीं बदलता है, हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक का पता लगाया।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log9 100 lg 3.

पहले लघुगणक का आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं। आइए इसे लिख लें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

मूल लघुगणकीय पहचान

अक्सर हल करने की प्रक्रिया में किसी दिए गए आधार के लिए एक संख्या को लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या n तर्क में घातांक बन जाती है। संख्या n बिल्कुल कुछ भी हो सकती है, क्योंकि यह केवल लघुगणक का मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक व्याख्यात्मक परिभाषा है। इसे इस तरह कहा जाता है:

वास्तव में, क्या होगा यदि संख्या b को इस हद तक बढ़ा दिया जाए कि इस अंश की संख्या b संख्या a दे दे? यह सही है: यह वही संख्या है a. इस पैराग्राफ को फिर से ध्यान से पढ़ें - बहुत से लोग इसे "लटका" देते हैं।

नए आधार रूपांतरण फ़ार्मुलों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभव समाधान होता है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

ध्यान दें कि log25 64 = log5 8 - बस आधार से वर्ग निकाल लिया और लघुगणक का तर्क। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को देखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

अगर किसी को पता नहीं है, तो यह एकीकृत राज्य परीक्षा से एक वास्तविक कार्य था

लघुगणक इकाई और लघुगणक शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें गुणों को कॉल करना मुश्किल है - बल्कि, ये लॉगरिदम की परिभाषा से परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में पाए जाते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

1. लोगा = 1 है। एक बार और सभी के लिए याद रखें: किसी भी आधार के लिए लघुगणक उस आधार से ही एक के बराबर होता है।
2. लॉगा 1 = 0 है। आधार a कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क एक है, तो लघुगणक शून्य है! क्योंकि a0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

वह सब गुण है। उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास करना सुनिश्चित करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।

आइए कुछ प्रकार के लघुगणकीय समीकरणों पर विचार करें जिन्हें अक्सर स्कूल में गणित के पाठों में नहीं माना जाता है, लेकिन व्यापक रूप से यूएसई सहित प्रतिस्पर्धी कार्यों की तैयारी में उपयोग किया जाता है।

1. लघुगणक विधि द्वारा हल किए गए समीकरण

आधार और घातांक दोनों में एक चर वाले समीकरणों को हल करते समय, लघुगणक विधि का उपयोग किया जाता है। यदि, इसके अलावा, घातांक में एक लघुगणक होता है, तो समीकरण के दोनों पक्षों को इस लघुगणक के आधार पर लघुगणक किया जाना चाहिए।

उदाहरण 1

समीकरण को हल करें: x लॉग 2 x + 2 = 8.

फेसला।

हम आधार 2 में समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों का लघुगणक लेते हैं

लघुगणक 2 (x लघुगणक 2 x + 2) = लघुगणक 2 8,

(लॉग 2 x + 2) लॉग 2 x = 3।

मान लीजिए लॉग 2 x = t.

तब (टी + 2)टी = 3।

टी 2 + 2 टी - 3 = 0।

डी \u003d 16. टी 1 \u003d 1; टी 2 \u003d -3।

तो लॉग 2 x \u003d 1 और x 1 \u003d 2 या लॉग 2 x \u003d -3 और x 2 \u003d 1/8

उत्तर: 1/8; 2.

2. सजातीय लघुगणक समीकरण।

उदाहरण 2

समीकरण हल करें लॉग 2 3 (x 2 - 3x + 4) - 3log 3 (x + 5) लॉग 3 (x 2 - 3x + 4) - 2log 2 3 (x + 5) = 0

फेसला।

समीकरण डोमेन

(x 2 - 3x + 4 > 0,
(एक्स + 5> 0. → एक्स> -5।

लॉग 3 (x + 5) = 0 x = -4 के लिए। जाँच करके, हम यह निर्धारित करते हैं कि दिया गया मूल्यएक्स नहीं मूल समीकरण का मूल है। इसलिए, हम समीकरण के दोनों पक्षों को लॉग 2 3 (x + 5) से विभाजित कर सकते हैं।

हमें लघुगणक 2 3 (x 2 - 3x + 4) / लघुगणक 2 3 (x + 5) - 3 लघुगणक 3 (x 2 - 3x + 4) / लघुगणक 3 (x + 5) + 2 = 0 प्राप्त होता है।

मान लीजिए लॉग 3 (x 2 - 3x + 4) / log 3 (x + 5) = t. तब t 2 - 3 t + 2 = 0. इस समीकरण के मूल 1 हैं; 2. मूल चर पर लौटने पर, हमें दो समीकरणों का एक सेट प्राप्त होता है

लेकिन लॉगरिदम के अस्तित्व को ध्यान में रखते हुए, केवल (0; 9) के मूल्यों पर विचार किया जाना चाहिए। इसका मतलब है कि बाईं ओर की अभिव्यक्ति लेता है उच्चतम मूल्य 2 x = 1 के लिए। अब फलन y = 2 x-1 + 2 1-x पर विचार करें। यदि हम t \u003d 2 x -1 लेते हैं, तो यह y \u003d t + 1 / t का रूप लेगा, जहाँ t\u003e 0. ऐसी परिस्थितियों में, यह एक अद्वितीय है महत्वपूर्ण बिंदुटी = 1. यह न्यूनतम बिंदु है। वाई विन \u003d 2. और यह x \u003d 1 पर हासिल किया जाता है।

अब यह स्पष्ट है कि माना कार्यों के रेखांकन बिंदु (1; 2) पर केवल एक बार प्रतिच्छेद कर सकते हैं। यह पता चला है कि x \u003d 1 हल किए जा रहे समीकरण की एकमात्र जड़ है।

उत्तर: एक्स = 1।

उदाहरण 5. समीकरण को हल करें लॉग 2 2 x + (x - 1) लॉग 2 x \u003d 6 - 2x

फेसला।

हम तय करेंगे दिया गया समीकरणलॉग 2 x के सापेक्ष। मान लीजिए लॉग 2 x = t. फिर t 2 + (x - 1) t - 6 + 2x \u003d 0।

डी \u003d (x - 1) 2 - 4 (2x - 6) \u003d (x - 5) 2. टी 1 \u003d -2; टी 2 \u003d 3 - एक्स।

हमें समीकरण लॉग 2 x \u003d -2 या लॉग 2 x \u003d 3 - x मिलता है।

पहले समीकरण का मूल x 1 = 1/4 है।

समीकरण का मूल लॉग 2 x \u003d 3 - x चयन द्वारा मिलेगा। यह संख्या 2 है। यह रूट अद्वितीय है, क्योंकि फ़ंक्शन y \u003d लॉग 2 x परिभाषा के पूरे डोमेन में बढ़ रहा है, और फ़ंक्शन y \u003d 3 - x घट रहा है।

जाँच करके यह सुनिश्चित करना आसान है कि दोनों संख्याएँ समीकरण के मूल हैं

उत्तर: 1/4; 2.

साइट, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक आवश्यक है।

बीजगणित ग्रेड 11

विषय: "लघुगणक समीकरणों को हल करने के तरीके"

पाठ मकसद:

शैक्षिक: ज्ञान के गठन के बारे में विभिन्न तरीकेलघुगणक समीकरणों को हल करना, उन्हें प्रत्येक में लागू करने की क्षमता विशिष्ट स्थितिऔर हल करने के लिए कोई भी तरीका चुनें;

विकासशील: एक नई स्थिति में ज्ञान का निरीक्षण करने, तुलना करने, लागू करने, पैटर्न की पहचान करने, सामान्यीकरण करने के कौशल का विकास; आपसी नियंत्रण और आत्म-नियंत्रण के कौशल का गठन;

शैक्षिक: एक जिम्मेदार रवैये की शिक्षा शैक्षिक कार्यपाठ में सामग्री की सावधानीपूर्वक धारणा, रिकॉर्ड रखने की सटीकता।

पाठ प्रकार: नई सामग्री से परिचित होने का पाठ।

"खगोलविद के काम को छोटा करके लघुगणक के आविष्कार ने उनके जीवन को लंबा कर दिया है।"
फ्रांसीसी गणितज्ञऔर खगोलशास्त्री पी.एस. लाप्लास

कक्षाओं के दौरान

I. पाठ का लक्ष्य निर्धारित करना

लॉगरिदम की अध्ययन की गई परिभाषा, लॉगरिदम के गुण और लॉगरिदमिक फ़ंक्शन हमें लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने की अनुमति देंगे। सभी लघुगणक समीकरण, चाहे वे कितने भी जटिल क्यों न हों, का उपयोग करके हल किए जाते हैं एकीकृत एल्गोरिदम. हम आज पाठ में इन एल्गोरिदम पर विचार करेंगे। उनमें से कुछ हैं। यदि आप उनमें महारत हासिल कर लेते हैं, तो आप में से प्रत्येक के लिए लघुगणक के साथ कोई भी समीकरण संभव होगा।

अपनी नोटबुक में पाठ का विषय लिखें: "लघुगणक समीकरणों को हल करने के तरीके।" मैं सभी को सहयोग के लिए आमंत्रित करता हूं।

द्वितीय. अपडेट करना मौलिक ज्ञान

आइए पाठ के विषय का अध्ययन करने के लिए तैयार हो जाएं। आप प्रत्येक कार्य को हल करते हैं और उत्तर लिखते हैं, आप शर्त नहीं लिख सकते। जोड़े में काम।

1) x के किन मूल्यों के लिए फ़ंक्शन समझ में आता है:

(प्रत्येक स्लाइड के लिए उत्तरों की जाँच की जाती है और त्रुटियों को दूर किया जाता है)

2) क्या फ़ंक्शन ग्राफ़ मेल खाते हैं?

3) समानता को लघुगणकीय समानता के रूप में फिर से लिखें:

4) संख्याओं को आधार 2 के साथ लघुगणक के रूप में लिखें:

5) गणना करें:

6) इन समानताओं में लापता तत्वों को पुनर्स्थापित करने या पूरा करने का प्रयास करें।

III. नई सामग्री का परिचय

बयान स्क्रीन पर दिखाया गया है:

"समीकरण वह सुनहरी कुंजी है जो सभी गणितीय तिलों को खोलती है।"
आधुनिक पोलिश गणितज्ञ एस. कोवल

एक लघुगणकीय समीकरण की परिभाषा तैयार करने का प्रयास करें। (एक समीकरण जिसमें लघुगणक के चिह्न के तहत अज्ञात होता है)।

विचार करना सबसे सरल लघुगणक समीकरण:लॉगएएक्स = बी(जहां ए> 0, ए ≠ 1)। जैसा लॉगरिदमिक फ़ंक्शनसेट पर बढ़ रहा है (या घट रहा है) सकारात्मक संख्याऔर सभी वास्तविक मान लेता है, फिर मूल प्रमेय द्वारा यह अनुसरण करता है कि किसी भी बी के लिए, इस समीकरण में, और इसके अलावा, केवल एक समाधान है, और इसके अलावा, एक सकारात्मक है।

लघुगणक की परिभाषा याद रखें। (संख्या x से आधार a का लघुगणक वह घातांक है जिससे संख्या x प्राप्त करने के लिए आधार a को ऊपर उठाया जाना चाहिए)। यह लघुगणक की परिभाषा से तुरंत अनुसरण करता है कि एमेंऐसा समाधान है।

शीर्षक लिखें: लघुगणकीय समीकरणों को हल करने के तरीके

1. लघुगणक की परिभाषा के अनुसार.

इस प्रकार फॉर्म के सरल समीकरण हल किए जाते हैं।

विचार करना संख्या 514 (ए): प्रश्न हल करें

आप इसे कैसे हल करने का प्रस्ताव करते हैं? (लघुगणक की परिभाषा के अनुसार)

फेसला। , इसलिए 2x - 4 = 4; एक्स = 4.

इस कार्य में, 2x - 4 > 0, चूँकि > 0, इसलिए बाहरी जड़ेंप्रकट नहीं हो सकता है, और जाँच करने की कोई आवश्यकता नहीं है। इस कार्य में लिखने के लिए शर्त 2x - 4 > 0 आवश्यक नहीं है।

2. क्षमता(लघुगणक से संक्रमण दी गई अभिव्यक्तिइस अभिव्यक्ति के लिए)।

विचार करना संख्या 519 (जी): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

आपने किस विशेषता पर ध्यान दिया? (आधार समान हैं और दो व्यंजकों के लघुगणक समान हैं)। क्या किया जा सकता है? (शक्तिशाली)।

इस मामले में, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि कोई भी समाधान सभी x के बीच निहित है जिसके लिए लॉगरिदम अभिव्यक्ति सकारात्मक हैं।

समाधान: ओडीजेड:

X2+8>0 अतिरिक्त असमानता

log5(x2+8) = log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)=log5(8x+8)

मूल समीकरण को प्रबल कीजिए

हमें समीकरण मिलता है x2+8= 8x+8

हम इसे हल करते हैं: x2-8x=0

उत्तर: 0; आठ

पर सामान्य दृष्टि से एक समान प्रणाली में संक्रमण:

समीकरण

(सिस्टम में एक अनावश्यक शर्त है - असमानताओं में से एक को अनदेखा किया जा सकता है)।

कक्षा के लिए प्रश्न: आपको इन तीनों में से कौन सा समाधान सबसे ज्यादा पसंद आया? (विधियों की चर्चा)।

आपको किसी भी तरह से निर्णय लेने का अधिकार है।

3. एक नए चर का परिचय.

विचार करना नंबर 520 (जी). .

आपने क्या नोटिस किया? (यह log3x के लिए द्विघात समीकरण है) कोई सुझाव? (नए चर का परिचय दें)

फेसला। ओडीजेड: एक्स> 0।

मान लीजिए, तब समीकरण रूप लेगा:। विभेदक डी > 0. वियत के प्रमेय द्वारा जड़ें:।

आइए प्रतिस्थापन पर लौटते हैं: या ।

सबसे सरल लघुगणकीय समीकरणों को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

उत्तर: 27;

4. समीकरण के दोनों पक्षों का लघुगणक।

प्रश्न हल करें:।

हल: ODZ: x>0, आधार 10 में समीकरण के दोनों पक्षों का लघुगणक लें:

डिग्री के लघुगणक की संपत्ति लागू करें:

(एलजीएक्स + 3) एलजीएक्स = 4

माना lgx = y, तब (y + 3)y = 4

, (डी > 0) वियत प्रमेय के अनुसार जड़ें: y1 = -4 और y2 = 1।

आइए प्रतिस्थापन पर लौटते हैं, हमें मिलता है: lgx = -4,; लॉगएक्स = 1,।

उत्तर: 0.0001; दस।

5. एक आधार में कमी।

संख्या 523 (सी)। प्रश्न हल करें:

समाधान: ओडीजेड: x>0। आइए आधार 3 पर चलते हैं।

6. कार्यात्मक-ग्राफिकल विधि।

№ 509 (डी)।समीकरण को आलेखीय रूप से हल करें: = 3 - x।

आप कैसे हल करने का प्रस्ताव करते हैं? (दो फ़ंक्शन y \u003d log2x और y \u003d 3 - x के ग्राफ़ बनाएं और ग्राफ़ के चौराहे बिंदुओं के एब्सिसा को देखें)।

स्लाइड पर देखें अपना समाधान।

क्या साजिश से बचने का कोई उपाय है . यह इस प्रकार है : यदि कार्यों में से एकवाई = एफ (एक्स) बढ़ता है और अन्यवाई = जी (एक्स) अंतराल X पर घटता है, तो समीकरणएफ (एक्स) = जी (एक्स) अंतराल X . पर अधिक से अधिक एक जड़ होती है.

यदि कोई जड़ है, तो इसका अनुमान लगाया जा सकता है।

हमारे मामले में, फ़ंक्शन x>0 के लिए बढ़ता है, और फ़ंक्शन y \u003d 3 - x x> 0 सहित x के सभी मानों के लिए घटता है, जिसका अर्थ है कि समीकरण में एक से अधिक रूट नहीं हैं। ध्यान दें कि x = 2 के लिए, समीकरण वास्तविक समानता में बदल जाता है, क्योंकि .

« सही उपयोगतरीके सीखे जा सकते हैं
बस उन्हें लागू करना विभिन्न उदाहरण».
गणित के डेनिश इतिहासकार जी. जी. ज़ितेन

मैंवी गृहकार्य

पी। 39 उदाहरण 3 पर विचार करें, नंबर 514 (बी), नंबर 529 (बी), नंबर 520 (बी), नंबर 523 (बी) को हल करें।

V. पाठ को सारांशित करना

पाठ में हमने लघुगणकीय समीकरणों को हल करने की किन विधियों पर विचार किया?

अगले पाठ में, हम और देखेंगे जटिल समीकरण. उन्हें हल करने के लिए, अध्ययन की गई विधियाँ उपयोगी हैं।

आखिरी स्लाइड दिखा रहा है:

"दुनिया में किसी भी चीज़ से बढ़कर क्या है?
स्थान।
सबसे बुद्धिमान क्या है?
समय।
सबसे सुखद क्या है?
आप जो चाहते हैं उसे हासिल करें।"
थेल्स

मैं चाहता हूं कि हर कोई वह हासिल करे जो वह चाहता है। आपके सहयोग और समझ के लिए धन्यवाद।