अब तक, हमने केवल अज्ञात के संबंध में पूर्णांक समीकरणों को हल किया है, यानी ऐसे समीकरण जिनमें हर (यदि कोई हो) में अज्ञात नहीं था।

अक्सर आपको उन समीकरणों को हल करना होता है जिनमें हर में अज्ञात होता है: ऐसे समीकरणों को भिन्नात्मक कहा जाता है।

इस समीकरण को हल करने के लिए, हम इसके दोनों पक्षों को अज्ञात वाले बहुपद से गुणा करते हैं। क्या नया समीकरण दिए गए समीकरण के बराबर होगा? प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए इस समीकरण को हल करें।

इसके दोनों पक्षों को से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

पहली डिग्री के इस समीकरण को हल करने पर, हम पाते हैं:

अत: समीकरण (2) का एक ही मूल है

इसे समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

अतः समीकरण (1) का मूल भी है।

समीकरण (1) का कोई अन्य मूल नहीं है। हमारे उदाहरण में, यह देखा जा सकता है, उदाहरण के लिए, इस तथ्य से कि समीकरण (1) में

कैसे अज्ञात भाजकभागफल 2 से विभाजित लाभांश 1 के बराबर होना चाहिए, अर्थात।

अत: समीकरण (1) और (2) का एक ही मूल है, अत: वे तुल्य हैं।

2. अब हम निम्नलिखित समीकरण को हल करते हैं:

प्रोटोजोआ आम विभाजक: ; समीकरण के सभी पदों को इससे गुणा करें:

कमी के बाद हमें मिलता है:

आइए कोष्ठक का विस्तार करें:

समान पदों को लाना, हमारे पास है:

इस समीकरण को हल करते हुए, हम पाते हैं:

समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

बाईं ओर, हमें ऐसे भाव मिले जिनका कोई मतलब नहीं है।

अतः समीकरण (1) का मूल नहीं है। इसका तात्पर्य है कि समीकरण (1) और समतुल्य नहीं हैं।

इस स्थिति में, हम कहते हैं कि समीकरण (1) ने एक बाह्य मूल प्राप्त कर लिया है।

आइए हम समीकरण (1) के हल की तुलना उन समीकरणों के हल से करें जिन पर हमने पहले विचार किया था (देखें 51)। इस समीकरण को हल करने में, हमें दो ऐसे ऑपरेशन करने थे जो पहले नहीं देखे गए थे: पहला, हमने समीकरण के दोनों पक्षों को एक अज्ञात (सामान्य भाजक) वाले व्यंजक से गुणा किया, और दूसरा, हमने कम किया बीजीय भिन्नअज्ञात युक्त कारकों में।

समीकरण (1) की समीकरण (2) से तुलना करने पर, हम देखते हैं कि समीकरण (2) के लिए मान्य सभी x मान समीकरण (1) के लिए मान्य नहीं हैं।

यह संख्या 1 और 3 है जो समीकरण (1) के लिए अज्ञात के स्वीकार्य मान नहीं हैं, और परिवर्तन के परिणामस्वरूप वे समीकरण (2) के लिए स्वीकार्य हो गए। इनमें से एक संख्या समीकरण (2) का हल निकला, लेकिन निश्चित रूप से यह समीकरण (1) का हल नहीं हो सकता। समीकरण (1) का कोई हल नहीं है।

इस उदाहरण से पता चलता है कि अज्ञात वाले कारक द्वारा समीकरण के दोनों हिस्सों को गुणा करते समय, और बीजीय अंशों को कम करते समय, एक समीकरण प्राप्त किया जा सकता है जो दिए गए एक के बराबर नहीं है, अर्थात्: बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं।

इसलिए हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकालते हैं। हर में एक अज्ञात वाले समीकरण को हल करते समय, परिणामी जड़ों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापन द्वारा जांचा जाना चाहिए। बाहरी जड़ों को त्याग दिया जाना चाहिए।

एक समीकरण एक समानता है जिसमें एक अक्षर होता है जिसका मूल्य पाया जाना है।

समीकरणों में, अज्ञात को आमतौर पर लोअरकेस द्वारा दर्शाया जाता है लैटिन अक्षर. सबसे अधिक इस्तेमाल किए जाने वाले अक्षर "x" [x] और "y" [y] हैं।

समीकरण का मूलउस अक्षर का मान है जिस पर सही समीकरण प्राप्त होता है संख्यात्मक समानता.

प्रश्न हल करें- इसका अर्थ है इसकी सभी जड़ों को खोजना या यह सुनिश्चित करना कि कोई जड़ें नहीं हैं।

समीकरण को हल करने के बाद, हम हमेशा उत्तर के बाद चेक लिखते हैं।

माता-पिता के लिए सूचना

प्रिय माता-पिता, कृपया ध्यान दें कि प्राथमिक स्कूलऔर 5वीं कक्षा में, बच्चे "नकारात्मक संख्या" विषय को नहीं जानते हैं।

इसलिए, उन्हें केवल जोड़, घटाव, गुणा और भाग के गुणों का उपयोग करके समीकरणों को हल करना चाहिए। कक्षा 5 के समीकरणों को हल करने की विधियाँ नीचे दी गई हैं।

संकेतों के परिवर्तन के साथ समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में संख्याओं और अक्षरों को स्थानांतरित करके समीकरणों के समाधान की व्याख्या करने का प्रयास न करें।

आप "अंकगणित के नियम" पाठ में जोड़, घटाव, गुणा और भाग से संबंधित अवधारणाओं पर अपने ज्ञान को ताज़ा कर सकते हैं।

जोड़ और घटाव के समीकरणों को हल करना

अज्ञात को कैसे खोजें
अवधि

अज्ञात को कैसे खोजें
वियोज्य

अज्ञात को कैसे खोजें
वियोजक

ढूँढ़ने के लिए अज्ञात शब्द, ज्ञात पद को योग से घटाना आवश्यक है।

अज्ञात minuend को खोजने के लिए, आपको सबट्रेंड को अंतर में जोड़ना होगा।

अज्ञात सबट्रेंड को खोजने के लिए, मिन्यूएंड से अंतर घटाना आवश्यक है।

एक्स + 9 = 15
एक्स = 15 - 9
एक्स = 6
इंतिहान

एक्स - 14 = 2
एक्स = 14 + 2
एक्स = 16
इंतिहान

16 − 2 = 14
14 = 14

5 - एक्स = 3
एक्स = 5 - 3
एक्स = 2
इंतिहान

गुणा और भाग के समीकरणों को हल करना

अज्ञात को कैसे खोजें
कारक

अज्ञात को कैसे खोजें
लाभांश

अज्ञात को कैसे खोजें
विभक्त

ढूँढ़ने के लिए अज्ञात गुणक, उत्पाद को ज्ञात कारक से विभाजित करना आवश्यक है।

अज्ञात लाभांश को खोजने के लिए, आपको भागफल को भाजक से गुणा करना होगा।

अज्ञात भाजक को खोजने के लिए, भाज्य को भागफल से भाग दें।

वाई 4 = 12
वाई=12:4
वाई = 3
इंतिहान

वाई:7=2
वाई = 2 7
वाई = 14
इंतिहान

8:y=4
वाई=8:4
वाई = 2
इंतिहान

एक समीकरण एक समीकरण होता है जिसमें वह अक्षर होता है जिसका चिन्ह खोजना होता है। समीकरण का हल अक्षर मानों का समुच्चय है जो समीकरण को वास्तविक समानता में बदल देता है:

याद रखें कि हल करने के लिए समीकरणअज्ञात के साथ शब्दों को समानता के एक हिस्से में स्थानांतरित करना आवश्यक है, और संख्यात्मक शर्तों को दूसरे में स्थानांतरित करना, समान लाना और निम्नलिखित समानता प्राप्त करना आवश्यक है:

अंतिम समानता से, हम अज्ञात को नियम द्वारा निर्धारित करते हैं: "कारकों में से एक दूसरे कारक से विभाजित भागफल के बराबर है।"

जैसा परिमेय संख्याए और बी में समान हो सकता है और विभिन्न संकेत, तो अज्ञात का चिन्ह परिमेय संख्याओं को विभाजित करने के नियमों द्वारा निर्धारित किया जाता है।

रैखिक समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया

कोष्ठक खोलकर और दूसरे चरण (गुणा और भाग) की क्रियाओं को निष्पादित करके रैखिक समीकरण को सरल बनाया जाना चाहिए।

अज्ञात को समान चिह्न के एक तरफ और संख्याओं को समान चिह्न के दूसरी तरफ ले जाएं, दी गई समानता के समान हो,

समान चिह्न के बाएँ और दाएँ समान लाएँ, रूप की समानता प्राप्त करें कुल्हाड़ी = बी.

समीकरण की जड़ की गणना करें (अज्ञात खोजें एक्ससमानता से एक्स = बी : ए),

अज्ञात को प्रतिस्थापित करके एक परीक्षण करें दिया गया समीकरण.

यदि हमें संख्यात्मक समानता में एक पहचान मिलती है, तो समीकरण को सही ढंग से हल किया जाता है।

समीकरणों को हल करने के विशेष मामले

1. यदि एक समीकरण 0 के बराबर उत्पाद द्वारा दिया जाता है, फिर इसे हल करने के लिए हम गुणन की संपत्ति का उपयोग करते हैं: "उत्पाद शून्य के बराबर है यदि कारकों में से एक या दोनों कारक शून्य के बराबर हैं।"

27 (एक्स - 3) = 0
27 0 के बराबर नहीं है, इसलिए एक्स - 3 = 0

दूसरे उदाहरण में समीकरण के दो हल हैं, क्योंकि
यह दूसरी डिग्री का समीकरण है:

यदि समीकरण के गुणांक हैं साधारण अंश, पहली बात यह है कि भाजक से छुटकारा पाएं। इसके लिए:

एक आम भाजक खोजें;

परिभाषित करना अतिरिक्त गुणकसमीकरण के प्रत्येक पद के लिए;

भिन्नों और पूर्णांकों के अंशों को अतिरिक्त कारकों से गुणा करें और हर के बिना समीकरण के सभी पदों को लिख लें (सामान्य हर को छोड़ दिया जा सकता है);

अज्ञात के साथ पदों को समीकरण के एक भाग में ले जाएं, और संख्यात्मक शब्दों को समान चिह्न से दूसरे में स्थानांतरित करें, एक समान समानता प्राप्त करें;

समान शर्तें लाओ;

समीकरणों के मूल गुण

समीकरण का कोई भी भाग दिया जा सकता है समान शब्दया खुले कोष्ठक।

समीकरण के किसी भी पद को इसके चिह्न को विपरीत में बदलकर समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित किया जा सकता है।

समीकरण के दोनों पक्षों को 0 को छोड़कर एक ही संख्या से गुणा (विभाजित) किया जा सकता है।

उपरोक्त उदाहरण में, समीकरण को हल करने के लिए इसके सभी गुणों का उपयोग किया गया था।

भिन्न में अज्ञात के साथ समीकरण को कैसे हल करें

कभी-कभी रेखीय समीकरणफॉर्म ले लो जब अनजानएक या अधिक भिन्नों के अंश में प्रकट होता है। जैसे नीचे समीकरण में।

ऐसे मामलों में, ऐसे समीकरणों को दो तरीकों से हल किया जा सकता है।

मैं समाधान का रास्ता
एक समीकरण को एक अनुपात में कम करना

अनुपात विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करते समय, आपको निम्नलिखित चरणों का पालन करना चाहिए:

सभी भिन्नों को एक समान हर में लाएँ और उन्हें बीजीय भिन्नों के रूप में जोड़ें (केवल एक भिन्न बाईं और दाईं ओर रहनी चाहिए);

अनुपात के नियम का उपयोग करके परिणामी समीकरण को हल करें।

तो, हमारे समीकरण पर वापस। बाईं ओर, हमारे पास पहले से ही केवल एक अंश है, इसलिए इसमें किसी परिवर्तन की आवश्यकता नहीं है।

हम साथ काम करेंगे दाईं ओरसमीकरण सरल दाईं ओरसमीकरण ताकि केवल एक अंश बचा हो। ऐसा करने के लिए, बीजीय भिन्न के साथ संख्या जोड़ने के नियमों को याद करें।

अब हम अनुपात के नियम का उपयोग करते हैं और समीकरण को अंत तक हल करते हैं।

समाधान की द्वितीय विधि
भिन्नों के बिना एक रैखिक समीकरण में कमी

ऊपर दिए गए समीकरण पर फिर से विचार करें और इसे दूसरे तरीके से हल करें।

हम देखते हैं कि समीकरण में दो भिन्न हैं "

भिन्नों के साथ समीकरणों को कैसे हल करें। भिन्नों के साथ समीकरणों का घातीय समाधान।

भिन्नों के साथ समीकरणों को हल करनाआइए उदाहरण देखें। उदाहरण सरल और दृष्टांत हैं। उनकी मदद से आप सबसे ज्यादा समझने योग्य तरीके से समझ सकते हैं।
उदाहरण के लिए, आपको एक साधारण समीकरण x/b + c = d को हल करना होगा।

इस प्रकार के समीकरण को रैखिक कहा जाता है, क्योंकि भाजक में केवल संख्याएँ होती हैं।

समीकरण के दोनों पक्षों को b से गुणा करके हल किया जाता है, फिर समीकरण x = b*(d - c) का रूप लेता है, अर्थात। बाईं ओर भिन्न का हर घटाया जाता है।

उदाहरण के लिए, भिन्नात्मक समीकरण को कैसे हल करें:
एक्स/5+4=9
हम दोनों भागों को 5 से गुणा करते हैं।
एक्स+20=45

एक और उदाहरण जहां अज्ञात हर में है:

इस प्रकार के समीकरणों को भिन्नात्मक परिमेय या केवल भिन्नात्मक कहा जाता है।

हम भिन्नों से छुटकारा पाकर एक भिन्नात्मक समीकरण को हल करेंगे, जिसके बाद यह समीकरण अक्सर एक रैखिक या द्विघात समीकरण में बदल जाता है, जिसे सामान्य तरीके से हल किया जाता है। आपको केवल निम्नलिखित बिंदुओं को ध्यान में रखना चाहिए:

• एक चर का मान जो हर को 0 में बदल देता है वह रूट नहीं हो सकता है;
• आप समीकरण को व्यंजक =0 से विभाजित या गुणा नहीं कर सकते।

यहीं से क्षेत्र की अवधारणा काम आती है। अनुमत मान(ODZ) - ये समीकरण की जड़ों के मान हैं जिनके लिए समीकरण समझ में आता है।

इस प्रकार, समीकरण को हल करते हुए, जड़ों को ढूंढना आवश्यक है, और फिर ओडीजेड के अनुपालन के लिए उनकी जांच करें। वे जड़ें जो हमारे डीएचएस के अनुरूप नहीं हैं, उन्हें उत्तर से बाहर रखा गया है।

उदाहरण के लिए, आपको एक भिन्नात्मक समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

उपरोक्त नियम के आधार पर, x = 0 नहीं हो सकता, अर्थात। ओडीजेड इन इस मामले में: x - शून्य के अलावा कोई भी मान।

हम समीकरण के सभी पदों को x . से गुणा करके हर से छुटकारा पाते हैं

और सामान्य समीकरण हल करें

5x - 2x = 1
3x = 1
एक्स = 1/3

आइए समीकरण को और अधिक जटिल हल करें:

ODZ भी यहाँ मौजूद है: x -2।

इस समीकरण को हल करते हुए, हम सब कुछ एक दिशा में स्थानांतरित नहीं करेंगे और भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएंगे। हम समीकरण के दोनों पक्षों को तुरंत एक व्यंजक से गुणा करते हैं जो एक ही बार में सभी हरों को कम कर देगा।

हर को कम करने के लिए, आपको बाईं ओर x + 2 और दाईं ओर 2 से गुणा करना होगा। इसलिए, समीकरण के दोनों पक्षों को 2 (x + 2) से गुणा किया जाना चाहिए:

बिल्कुल यही साधारण गुणनभिन्न, जिनकी चर्चा हम ऊपर कर चुके हैं

हम एक ही समीकरण लिखते हैं, लेकिन थोड़े अलग तरीके से।

बाईं ओर (x + 2) और दाईं ओर 2 से घटाया जाता है। कमी के बाद, हमें सामान्य रैखिक समीकरण मिलता है:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, जो हमारे ODZ . से मेल खाती है

भिन्नों के साथ समीकरणों को हल करनाउतना मुश्किल नहीं जितना यह लग सकता है। इस लेख में हमने इसे उदाहरणों के साथ दिखाया है। अगर आपको कोई कठिनाई हो रही है भिन्नों के साथ समीकरणों को कैसे हल करें, फिर टिप्पणियों में सदस्यता समाप्त करें।

भिन्नों वाले समीकरणों को हल करना ग्रेड 5

भिन्नों के साथ समीकरणों का हल। भिन्नों के साथ समस्याओं को हल करना।

दस्तावेज़ सामग्री देखें
"अंश ग्रेड 5 के साथ समीकरणों को हल करना"

— भिन्नों का योग . के साथ एक ही भाजक.

- समान हर वाले भिन्नों का घटाव।

समान हर के साथ भिन्न जोड़ना।

समान हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए, उनके अंश जोड़ें और हर को वही छोड़ दें।

समान हर वाले भिन्नों का घटाव।

समान हर वाले भिन्नों को घटाने के लिए, सबट्रेंड के अंश को मिन्यूएंड के अंश से घटाएं, और हर को वही छोड़ दें।

समीकरणों को हल करते समय, समीकरणों, जोड़ और घटाव के गुणों को हल करने के लिए नियमों का उपयोग करना आवश्यक है।

गुणों का उपयोग करके समीकरणों को हल करना।

नियमों का उपयोग करके समीकरणों को हल करना।

समीकरण के बाईं ओर का व्यंजक योग है।

पद + पद = योग।

अज्ञात पद ज्ञात करने के लिए, ज्ञात पद को योग से घटाएं।

मिन्यूएंड - सबट्रेंड = अंतर

अज्ञात सबट्रेंड को खोजने के लिए, मिन्यूएंड से अंतर घटाएं।

समीकरण के बाईं ओर का व्यंजक अंतर है।

अज्ञात minuend को खोजने के लिए, आपको सबट्रेंड को अंतर में जोड़ना होगा।

समीकरणों को हल करने के लिए नियमों का उपयोग करना।

समीकरण के बाईं ओर, व्यंजक योग है।

अनुदेश

शायद यहाँ सबसे स्पष्ट बिंदु है, ज़ाहिर है, . संख्यात्मक भिन्नों से कोई खतरा नहीं है ( भिन्नात्मक समीकरण, जहां सभी हर में केवल संख्याएं होती हैं, आम तौर पर रैखिक होंगे), लेकिन यदि हर में एक चर है, तो इसे ध्यान में रखा जाना चाहिए और निर्धारित किया जाना चाहिए। सबसे पहले, यह है कि x, जो हर को 0 में बदल देता है, नहीं हो सकता है, और सामान्य तौर पर इस तथ्य को अलग से पंजीकृत करना आवश्यक है कि x इस संख्या के बराबर नहीं हो सकता है। यहां तक ​​​​कि अगर आप सफल होते हैं कि अंश में प्रतिस्थापित करते समय, सब कुछ पूरी तरह से अभिसरण होता है और शर्तों को पूरा करता है। दूसरे, हम समीकरण के किसी एक या दोनों पक्षों को शून्य के बराबर गुणा नहीं कर सकते।

इसके बाद, इस तरह के समीकरण को इसके सभी पदों को बाईं ओर स्थानांतरित करने के लिए घटाया जाता है ताकि 0 दाईं ओर बना रहे।

सभी पदों को एक सामान्य हर में लाना आवश्यक है, जहाँ आवश्यक हो, अंशों को लुप्त व्यंजकों से गुणा करना।
अगला, हम अंश में लिखे गए सामान्य समीकरण को हल करते हैं। हम सह सकते हैं सामान्य तथ्यकोष्ठक में से, संक्षिप्त गुणन लागू करें, पसंद करें, जड़ों की गणना करें द्विघात समीकरणविभेदक, आदि के माध्यम से

परिणाम कोष्ठक (x-(i-th root)) के उत्पाद के रूप में एक गुणनखंड होना चाहिए। इसमें ऐसे बहुपद भी शामिल हो सकते हैं जिनकी जड़ें नहीं होतीं, उदाहरण के लिए, वर्ग त्रिपदशून्य से कम विवेचक के साथ (जब तक, निश्चित रूप से, केवल समस्या में असली जड़ें, जैसा कि अक्सर होता है)।
पहले से ही अंश में निहित कोष्ठक के स्थान से गुणनखंड और हर बनाना सुनिश्चित करें। यदि हर में (x- (संख्या)) जैसे भाव हैं, तो बेहतर है, जब एक सामान्य हर को कम किया जाए, तो उसमें कोष्ठकों को "हेड-ऑन" से गुणा न करें, बल्कि उन्हें उत्पाद के रूप में छोड़ दें मूल सरल अभिव्यक्तियाँ।
अंश और हर में समान कोष्ठकों को पूर्व-लेखन द्वारा कम किया जा सकता है, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, x पर शर्तें।
उत्तर घुंघराले ब्रेसिज़ में, x मानों के एक सेट के रूप में, या केवल गणना द्वारा लिखा जाता है: x1=..., x2=..., आदि।

स्रोत:

• भिन्नात्मक परिमेय समीकरण

कुछ ऐसा जो भौतिकी, गणित, रसायन विज्ञान में दूर नहीं किया जा सकता है। कम से कम। हम उनके समाधान की मूल बातें सीखते हैं।

अनुदेश

सबसे सामान्य और सरल वर्गीकरण में, इसे उन चरों की संख्या के अनुसार विभाजित किया जा सकता है जिनमें वे शामिल हैं, और डिग्री के अनुसार ये चर खड़े हैं।

समीकरण को उसके सभी मूलों को हल कीजिए या सिद्ध कीजिए कि उनका अस्तित्व नहीं है।

किसी भी समीकरण में अधिकतम P मूल होते हैं, जहां P दिए गए समीकरण का अधिकतम होता है।

लेकिन इनमें से कुछ जड़ें मेल खा सकती हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, समीकरण x ^ 2 + 2 * x + 1 = 0, जहाँ ^ घातांक चिह्न है, व्यंजक (x + 1) के वर्ग में, यानी दो समान कोष्ठकों के गुणनफल में फ़ोल्ड हो जाता है, जिनमें से प्रत्येक हल के रूप में x = - 1 देता है।

यदि समीकरण में केवल एक अज्ञात है, तो इसका मतलब है कि आप इसकी जड़ों (वास्तविक या जटिल) को स्पष्ट रूप से ढूंढ पाएंगे।

ऐसा करने के लिए, आपको सबसे अधिक विभिन्न परिवर्तनों की आवश्यकता होगी: संक्षिप्त गुणन, एक द्विघात समीकरण के विभेदक और जड़ों की गणना करना, शब्दों को एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करना, एक सामान्य हर को कम करना, समीकरण के दोनों भागों को एक ही अभिव्यक्ति से गुणा करना, स्क्वायरिंग, और इसी तरह।

समीकरण की जड़ों को प्रभावित नहीं करने वाले परिवर्तन समान हैं। इनका उपयोग समीकरण को हल करने की प्रक्रिया को सरल बनाने के लिए किया जाता है।

आप पारंपरिक विश्लेषणात्मक के बजाय भी उपयोग कर सकते हैं ग्राफिक विधिऔर अध्ययन करने के बाद इस समीकरण को रूप में लिखिए।

यदि समीकरण में एक से अधिक अज्ञात हैं, तो आप उनमें से केवल एक को दूसरे के रूप में व्यक्त करने में सक्षम होंगे, जिससे समाधान का एक सेट दिखाई देगा। ऐसे, उदाहरण के लिए, ऐसे पैरामीटर वाले समीकरण होते हैं जिनमें एक अज्ञात x और एक पैरामीटर a होता है। निर्णय करना पैरामीट्रिक समीकरण- का मतलब है कि सभी के लिए एक्स को ए के माध्यम से व्यक्त करना, यानी सभी संभावित मामलों पर विचार करना।

यदि समीकरण में अज्ञात के व्युत्पन्न या अंतर हैं (चित्र देखें), बधाई हो, यह है अंतर समीकरण, और यहाँ आप बिना नहीं कर सकते उच्च गणित).

स्रोत:

• पहचान परिवर्तन

के साथ समस्या को हल करने के लिए अंशोंउनके साथ करना सीखना होगा अंकगणितीय आपरेशनस. वे दशमलव हो सकते हैं, लेकिन सबसे अधिक उपयोग किए जाते हैं प्राकृतिक अंशअंश और हर के साथ। तभी आप समाधान की ओर बढ़ सकते हैं। गणित की समस्याओंसाथ भिन्नात्मक मान.

आपको चाहिये होगा

• - कैलकुलेटर;
• - भिन्नों के गुणों का ज्ञान;
• - भिन्नों के साथ काम करने की क्षमता।

अनुदेश

भिन्न एक संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित करने का रिकॉर्ड है। अक्सर यह पूरी तरह से नहीं किया जा सकता है, और इसलिए इस क्रिया को "अधूरा" छोड़ दिया जाता है। वह संख्या जो विभाज्य होती है (अंश चिह्न के ऊपर या पहले होती है) अंश कहलाती है, और दूसरी संख्या (अंश चिह्न के नीचे या बाद में) को हर कहा जाता है। यदि अंश हर से बड़ा है, तो भिन्न को अनुचित भिन्न कहा जाता है, और इसमें से एक पूर्णांक भाग निकाला जा सकता है। यदि अंश हर से कम, तो ऐसे भिन्न को उचित कहा जाता है, और इसका पूरा भाग 0 के बराबर है।

कार्यकई प्रकारों में विभाजित हैं। निर्धारित करें कि कौन सा कार्य है। सबसे आसान विकल्प- भिन्न के रूप में व्यक्त किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करना। इस समस्या को हल करने के लिए, इस संख्या को एक अंश से गुणा करना पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, 8 टन आलू लाए गए। पहले सप्ताह में, उसका 3/4 कुल. कितने आलू बचे हैं? इस समस्या को हल करने के लिए, संख्या 8 को 3/4 से गुणा करें। यह 8 3/4 \u003d 6 t निकलेगा।

यदि आपको किसी संख्या को उसके भाग से ज्ञात करने की आवश्यकता है, तो संख्या के ज्ञात भाग को उस भिन्न के व्युत्क्रम से गुणा करें जो दर्शाता है कि संख्या में इस भाग का कितना अनुपात है। उदाहरण के लिए, विद्यार्थियों की कुल संख्या के 1/3 में से 8। कितने में? चूँकि 8 व्यक्ति वह भाग है जो कुल के 1/3 का प्रतिनिधित्व करता है, तो ज्ञात कीजिए पारस्परिक, जो 3/1 या सिर्फ 3 के बराबर है। फिर कक्षा 8∙3 = 24 छात्रों में छात्रों की संख्या प्राप्त करने के लिए।

जब आपको यह पता लगाने की आवश्यकता हो कि किसी संख्या का कौन-सा भाग एक संख्या से दूसरी संख्या है, तो उस संख्या को भाग दें जो उस भाग का प्रतिनिधित्व करती है जो पूर्ण संख्या है। उदाहरण के लिए, यदि दूरी 300 किमी है और कार ने 200 किमी की यात्रा की है, तो यह कुल यात्रा से कितनी होगी? पथ के भाग को 200 से विभाजित करें पूरा रास्ता 300, भिन्न को कम करने के बाद आपको परिणाम मिलेगा। 200/300=2/3.

किसी संख्या के अज्ञात भिन्न का भाग ज्ञात करने के लिए, जब कोई ज्ञात हो, पूर्णांक को एक पारंपरिक इकाई के रूप में लें, और उसमें से ज्ञात भिन्न को घटाएं। उदाहरण के लिए, यदि पाठ का 4/7 पहले ही बीत चुका है, तो क्या अब भी शेष है? पूरे पाठ को एक पारंपरिक इकाई के रूप में लें और उसमें से 4/7 घटाएं। 1-4/7=7/7-4/7=3/7 प्राप्त करें।

हम बात करना जारी रखते हैं समीकरणों का हल. इस लेख में, हम पर ध्यान दिया जाएगा तर्कसंगत समीकरणऔर निर्णय के सिद्धांत तर्कसंगत समीकरणएक चर के साथ। सबसे पहले, आइए जानें कि किस प्रकार के समीकरणों को परिमेय कहा जाता है, पूर्णांक परिमेय और भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों की परिभाषा दें, और उदाहरण दें। अगला, हम तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम प्राप्त करते हैं, और निश्चित रूप से, समाधानों पर विचार करें विशिष्ट उदाहरणसभी आवश्यक स्पष्टीकरणों के साथ।

पृष्ठ नेविगेशन।

स्पष्ट परिभाषाओं के आधार पर, हम परिमेय समीकरणों के कई उदाहरण देते हैं। उदाहरण के लिए, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , सभी परिमेय समीकरण हैं।

दिखाए गए उदाहरणों से, यह देखा जा सकता है कि तर्कसंगत समीकरण, साथ ही अन्य प्रकार के समीकरण, या तो एक चर के साथ, या दो, तीन, आदि के साथ हो सकते हैं। चर। पर निम्नलिखित पैराग्राफहम एक चर में परिमेय समीकरणों को हल करने के बारे में बात करेंगे। दो चर वाले समीकरणों को हल करनाऔर उन्हें एक लंबी संख्याविशेष ध्यान देने योग्य है।

परिमेय समीकरणों को अज्ञात चरों की संख्या से विभाजित करने के अलावा, उन्हें पूर्णांक और भिन्न में भी विभाजित किया जाता है। आइए हम संबंधित परिभाषाएं दें।

परिभाषा।

परिमेय समीकरण कहलाता है पूरा का पूरा, यदि इसके बाएँ और दाएँ दोनों भाग पूर्णांक परिमेय व्यंजक हैं।

परिभाषा।

यदि परिमेय समीकरण का कम से कम एक भाग भिन्नात्मक व्यंजक है, तो ऐसे समीकरण को कहा जाता है आंशिक रूप से तर्कसंगत(या भिन्नात्मक परिमेय)।

यह स्पष्ट है कि पूर्णांक समीकरणों में एक चर द्वारा विभाजन नहीं होता है; इसके विपरीत, भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों में आवश्यक रूप से एक चर (या हर में एक चर) द्वारा विभाजन होता है। तो 3 x+2=0 और (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0.5संपूर्ण परिमेय समीकरण हैं, उनके दोनों भाग पूर्णांक व्यंजक हैं। A और x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों के उदाहरण हैं।

इस अनुच्छेद को समाप्त करते हुए, आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि इस क्षण तक ज्ञात रैखिक समीकरण और द्विघात समीकरण संपूर्ण परिमेय समीकरण हैं।

संपूर्ण समीकरणों को हल करना

संपूर्ण समीकरणों को हल करने के मुख्य तरीकों में से एक उनके समतुल्य में कमी है बीजीय समीकरण. यह हमेशा समीकरण के निम्नलिखित समकक्ष परिवर्तनों को निष्पादित करके किया जा सकता है:

• सबसे पहले, मूल पूर्णांक समीकरण के दाईं ओर से व्यंजक को बाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है विपरीत चिन्हदाईं ओर शून्य प्राप्त करने के लिए;
• उसके बाद, समीकरण के बाईं ओर, परिणामी मानक दृश्य.

परिणाम है बीजीय समीकरण, जो मूल संपूर्ण समीकरण के बराबर है। तो सबसे साधारण मामलेसंपूर्ण समीकरणों को हल करना रैखिक या द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए कम कर दिया जाता है, और में सामान्य मामला- डिग्री n के बीजीय समीकरण को हल करने के लिए। स्पष्टता के लिए, आइए उदाहरण के समाधान का विश्लेषण करें।

उदाहरण।

पूरे समीकरण की जड़ें खोजें 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

फेसला।

आइए हम इस पूरे समीकरण के हल को एक समतुल्य बीजीय समीकरण के हल तक कम करें। ऐसा करने के लिए, सबसे पहले, हम अभिव्यक्ति को दाईं ओर से बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, परिणामस्वरूप हम समीकरण पर पहुंचते हैं 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. और, दूसरी बात, हम बाईं ओर बने व्यंजक को मानक रूप के बहुपद में आवश्यक कार्य करके रूपांतरित करते हैं: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. इस प्रकार, मूल पूर्णांक समीकरण के हल को द्विघात समीकरण x 2 −5·x−6=0 के हल में घटा दिया जाता है।

इसके विभेदक की गणना करें डी=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, यह धनात्मक है, जिसका अर्थ है कि समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं, जिन्हें हम द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र द्वारा पाते हैं:

के लिए पूरा भरोसाकर दो समीकरण की मिली जड़ों की जाँच करना. सबसे पहले, हम रूट 6 की जांच करते हैं, इसे मूल पूर्णांक समीकरण में चर x के बजाय प्रतिस्थापित करते हैं: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, जो समान है, 63=63 । यह एक मान्य संख्यात्मक समीकरण है, इसलिए x=6 वास्तव में समीकरण का मूल है। अब हम मूल −1 की जांच करते हैं, हमारे पास 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, कहाँ से, 0=0 । x=−1 के लिए, मूल समीकरण भी एक वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल गया, इसलिए, x=−1 भी समीकरण का मूल है।

जवाब:

6 , −1 .

यहां यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि शब्द "एक संपूर्ण समीकरण की शक्ति" एक बीजीय समीकरण के रूप में एक संपूर्ण समीकरण के प्रतिनिधित्व से जुड़ा है। हम इसी परिभाषा देते हैं:

परिभाषा।

पूरे समीकरण की डिग्रीबीजगणितीय समीकरण की घात को इसके समतुल्य कहते हैं।

इस परिभाषा के अनुसार, पिछले उदाहरण के पूरे समीकरण में दूसरी डिग्री है।

इस पर कोई एक के लिए नहीं बल्कि पूरे तर्कसंगत समीकरणों के हल के साथ समाप्त कर सकता है। जैसा कि ज्ञात है, दूसरे से अधिक डिग्री के बीजीय समीकरणों का समाधान महत्वपूर्ण कठिनाइयों से जुड़ा है, और चौथे से अधिक डिग्री के समीकरणों के लिए, ऐसे समीकरण बिल्कुल नहीं हैं। सामान्य सूत्रजड़ें इसलिए, तीसरे, चौथे और अधिक के संपूर्ण समीकरणों को हल करने के लिए उच्च डिग्रीअक्सर समाधान के अन्य तरीकों का सहारा लेना पड़ता है।

ऐसे मामलों में, कभी-कभी के आधार पर संपूर्ण तर्कसंगत समीकरणों को हल करने का दृष्टिकोण गुणनखंडन विधि. उसी समय, निम्नलिखित एल्गोरिथ्म का पालन किया जाता है:

• सबसे पहले वे समीकरण के दाईं ओर शून्य रखना चाहते हैं, इसके लिए वे पूरे समीकरण के दाईं ओर से व्यंजक को बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं;
• फिर, बाईं ओर परिणामी अभिव्यक्ति कई कारकों के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत की जाती है, जो आपको कई सरल समीकरणों के सेट पर जाने की अनुमति देती है।

गुणनखंडन के माध्यम से पूरे समीकरण को हल करने के लिए उपरोक्त एल्गोरिथम के लिए एक उदाहरण का उपयोग करते हुए एक विस्तृत स्पष्टीकरण की आवश्यकता होती है।

उदाहरण।

पूरे समीकरण को हल करें (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) ।

फेसला।

सबसे पहले, हमेशा की तरह, हम समीकरण के दाईं ओर से बाईं ओर अभिव्यक्ति को स्थानांतरित करते हैं, संकेत को बदलना नहीं भूलते हैं, हम प्राप्त करते हैं (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0 । यहां यह बिल्कुल स्पष्ट है कि परिणामी समीकरण के बाईं ओर को मानक रूप के बहुपद में बदलना उचित नहीं है, क्योंकि इससे फॉर्म की चौथी डिग्री का बीजीय समीकरण मिलेगा x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0जिसका समाधान कठिन है।

दूसरी ओर, यह स्पष्ट है कि x 2 −10·x+13 परिणामी समीकरण के बाईं ओर पाया जा सकता है, जिससे इसे एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है। हमारे पास है (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. परिणामी समीकरण मूल संपूर्ण समीकरण के बराबर है, और बदले में, इसे दो द्विघात समीकरणों x 2 −10·x+13=0 और x 2 −2·x−1=0 के एक सेट से बदला जा सकता है। उनकी जड़ें ढूँढना ज्ञात सूत्रविवेचक के माध्यम से जड़ें मुश्किल नहीं हैं, जड़ें बराबर हैं। वे मूल समीकरण के वांछित मूल हैं।

जवाब:

यह संपूर्ण परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए भी उपयोगी है। एक नया चर शुरू करने की विधि. कुछ मामलों में, यह किसी को उन समीकरणों को पास करने की अनुमति देता है जिनकी डिग्री मूल पूर्णांक समीकरण की डिग्री से कम है।

उदाहरण।

एक परिमेय समीकरण के वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

फेसला।

इस पूरे तर्कसंगत समीकरण को बीजीय समीकरण में कम करना, इसे हल्के ढंग से रखना, बहुत अच्छा विचार नहीं है, क्योंकि इस मामले में हमें चौथे डिग्री समीकरण को हल करने की आवश्यकता होगी जिसमें नहीं है तर्कसंगत जड़ें. इसलिए, आपको दूसरे समाधान की तलाश करनी होगी।

यहां यह देखना आसान है कि आप एक नया चर y पेश कर सकते हैं और इसके साथ व्यंजक x 2 +3 x को बदल सकते हैं। ऐसा प्रतिस्थापन हमें संपूर्ण समीकरण (y+1) 2 +10=−2 (y−4) की ओर ले जाता है, जो व्यंजक −2 (y−4) को बाईं ओर स्थानांतरित करने और बाद में बने व्यंजक के रूपांतरण के बाद बनता है। वहाँ, समीकरण y 2 +4 y+3=0 को घटाता है। इस समीकरण y=−1 और y=−3 की जड़ों को खोजना आसान है, उदाहरण के लिए, वे विएटा के प्रमेय के व्युत्क्रम प्रमेय के आधार पर पाए जा सकते हैं।

अब चलिए एक नए चर को शुरू करने की विधि के दूसरे भाग पर चलते हैं, जो कि एक रिवर्स प्रतिस्थापन बनाने के लिए है। रिवर्स प्रतिस्थापन करने के बाद, हमें दो समीकरण x 2 +3 x=−1 और x 2 +3 x=−3 प्राप्त होते हैं, जिन्हें x 2 +3 x+1=0 और x 2 +3 x+3 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। = 0। द्विघात समीकरण के मूल सूत्र के अनुसार हम पहले समीकरण के मूल ज्ञात करते हैं। और दूसरे द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है, क्योंकि इसका विभेदक ऋणात्मक है (D=3 2 −4 3=9−12=−3 )।

जवाब:

सामान्य तौर पर, जब हम उच्च डिग्री के पूर्णांक समीकरणों के साथ काम कर रहे होते हैं, तो हमें हमेशा खोज करने के लिए तैयार रहना चाहिए गैर मानक विधिया उनके समाधान के लिए एक कृत्रिम उपकरण।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों का हल

सबसे पहले, यह समझना उपयोगी होगा कि फॉर्म के भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को कैसे हल किया जाए, जहां p(x) और q(x) परिमेय पूर्णांक व्यंजक हैं। और फिर हम दिखाएंगे कि संकेतित रूप के समीकरणों के समाधान के लिए शेष भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों के समाधान को कैसे कम किया जाए।

समीकरण को हल करने के तरीकों में से एक निम्नलिखित कथन पर आधारित है: संख्यात्मक अंश u/v, जहां v एक गैर-शून्य संख्या है (अन्यथा हम पाएंगे, जो परिभाषित नहीं है), शून्य के बराबर है यदि और केवल यदि इसका अंश शून्य, अर्थात्, यदि और केवल यदि u=0 । इस कथन के आधार पर, समीकरण का हल दो शर्तों p(x)=0 और q(x)≠0 की पूर्ति तक कम हो जाता है।

यह निष्कर्ष निम्नलिखित के अनुरूप है: भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म. फॉर्म के भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए

• संपूर्ण परिमेय समीकरण को हल करें p(x)=0 ;
• और जांचें कि क्या प्रत्येक पाए गए रूट के लिए शर्त q(x)≠0 संतुष्ट है, जबकि
• यदि सत्य है, तो यह मूल मूल समीकरण का मूल है;
• यदि नहीं, तो यह मूल बाह्य है, अर्थात यह मूल समीकरण का मूल नहीं है।

आइए एक भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण को हल करते समय आवाज उठाई गई एल्गोरिदम का उपयोग करने के एक उदाहरण का विश्लेषण करें।

उदाहरण।

समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।

फेसला।

यह रूप का एक भिन्नात्मक परिमेय समीकरण है, जहाँ p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 ।

इस प्रकार के भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथम के अनुसार, हमें सबसे पहले समीकरण 3·x−2=0 को हल करना होगा। यह एक रैखिक समीकरण है जिसका मूल x=2/3 है।

इस रूट की जांच करना बाकी है, यानी यह जांचना कि क्या यह 5·x 2 −2≠0 की शर्त को पूरा करता है। हम व्यंजक 5 x 2 −2 में x के स्थान पर संख्या 2/3 को प्रतिस्थापित करते हैं, हमें प्राप्त होता है। शर्त पूरी हो जाती है, इसलिए x=2/3 मूल समीकरण का मूल है।

जवाब:

2/3 .

एक भिन्नात्मक परिमेय समीकरण का हल कुछ भिन्न स्थिति से प्राप्त किया जा सकता है। यह समीकरण मूल समीकरण के चर x पर संपूर्ण समीकरण p(x)=0 के तुल्य है। यानी आप इसे फॉलो कर सकते हैं भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म :

• समीकरण को हल करें p(x)=0 ;
• ODZ चर x खोजें;
• स्वीकार्य मूल्यों के क्षेत्र से संबंधित जड़ों को लें - वे मूल भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण की वांछित जड़ें हैं।

उदाहरण के लिए, आइए इस एल्गोरिथम का उपयोग करके एक भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

प्रश्न हल करें।

फेसला।

सबसे पहले, हम द्विघात समीकरण x 2 −2·x−11=0 को हल करते हैं। इसकी जड़ों की गणना एक दूसरे गुणांक के लिए मूल सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है, हमारे पास है डी 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, और ।

दूसरे, हम मूल समीकरण के लिए चर x का ODZ ज्ञात करते हैं। इसमें वे सभी संख्याएँ शामिल हैं जिनके लिए x 2 +3 x≠0 , जो वही x (x+3)≠0 है, जहाँ से x≠0 , x≠−3 है।

यह जांचना बाकी है कि क्या पहले चरण में पाई गई जड़ें ODZ में शामिल हैं। बिल्कुल हाँ। इसलिए, मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के दो मूल हैं।

जवाब:

ध्यान दें कि यदि ODZ आसानी से मिल जाता है तो यह दृष्टिकोण पहले वाले की तुलना में अधिक लाभदायक है, और यह विशेष रूप से फायदेमंद है यदि समीकरण p(x)=0 की जड़ें तर्कहीन हैं, उदाहरण के लिए, या तर्कसंगत, लेकिन एक बड़े के साथ अंश और/या हर, उदाहरण के लिए, 127/1101 और -31/59। यह इस तथ्य के कारण है कि ऐसे मामलों में, स्थिति q(x)≠0 की जाँच के लिए महत्वपूर्ण कम्प्यूटेशनल प्रयासों की आवश्यकता होगी, और ODZ से बाहरी जड़ों को बाहर करना आसान है।

अन्य मामलों में, समीकरण को हल करते समय, विशेष रूप से जब समीकरण p(x)=0 की जड़ें पूर्णांक होती हैं, तो उपरोक्त एल्गोरिदम में से पहले का उपयोग करना अधिक फायदेमंद होता है। यही है, यह सलाह दी जाती है कि पूरे समीकरण p(x)=0 की जड़ों को तुरंत खोजें, और फिर जांच करें कि क्या शर्त q(x)≠0 उनके लिए संतुष्ट है, और ODZ नहीं खोजें, और फिर समीकरण को हल करें p(x)=0 इस ODZ पर। यह इस तथ्य के कारण है कि ऐसे मामलों में ओडीजेड खोजने की तुलना में आमतौर पर जांच करना आसान होता है।

निर्धारित बारीकियों को स्पष्ट करने के लिए दो उदाहरणों के समाधान पर विचार करें।

उदाहरण।

समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।

फेसला।

पहले हम पूरे समीकरण के मूल ज्ञात करते हैं (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, भिन्न के अंश का उपयोग करके संकलित किया गया। इस समीकरण का बायाँ भाग एक गुणनफल है, और दायाँ पक्ष शून्य है, इसलिए, गुणनखंडन द्वारा समीकरणों को हल करने की विधि के अनुसार, यह समीकरण चार समीकरणों के समुच्चय 2 x−1=0 , x−6= के बराबर है। 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 । इनमें से तीन समीकरण रैखिक हैं और एक द्विघात है, हम उन्हें हल कर सकते हैं। पहले समीकरण से हम x=1/2, दूसरे से - x=6, तीसरे से - x=7, x=−2, चौथे से - x=−1 पाते हैं।

जड़ों के मिलने से, उन्हें यह देखने के लिए जांचना काफी आसान है कि क्या मूल समीकरण के बाईं ओर के अंश का हर गायब नहीं होता है, और ODZ को निर्धारित करना इतना आसान नहीं है, क्योंकि इसे हल करना होगा पांचवीं डिग्री का बीजगणितीय समीकरण। इसलिए, चलो छोड़ दें ODZ . ढूँढनाजड़ों की जाँच के पक्ष में। ऐसा करने के लिए, हम उन्हें व्यंजक में चर x के स्थान पर बदले में प्रतिस्थापित करते हैं x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, प्रतिस्थापन के बाद प्राप्त करें, और उनकी तुलना शून्य से करें: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 ।

इस प्रकार, 1/2, 6 और -2 मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के वांछित मूल हैं, और 7 और -1 बाह्य मूल हैं।

जवाब:

1/2 , 6 , −2 .

उदाहरण।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।

फेसला।

पहले हम समीकरण के मूल ज्ञात करते हैं (5x2 −7x−1)(x−2)=0. यह समीकरण दो समीकरणों के समूह के बराबर है: वर्ग 5·x 2 −7·x−1=0 और रैखिक x−2=0 । द्विघात समीकरण की जड़ों के सूत्र के अनुसार, हमें दो मूल मिलते हैं, और दूसरे समीकरण से हमें x=2 प्राप्त होता है।

यह जाँचना कि क्या हर x के पाए गए मानों पर गायब नहीं होता है, बल्कि अप्रिय है। और मूल समीकरण में चर x के स्वीकार्य मानों की सीमा निर्धारित करना काफी सरल है। इसलिए, हम ODZ के माध्यम से कार्य करेंगे।

हमारे मामले में, मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के चर x का ODZ सभी संख्याओं से बना होता है, सिवाय उन संख्याओं के जिनके लिए शर्त x 2 +5·x−14=0 संतुष्ट होती है। इस द्विघात समीकरण की जड़ें x=−7 और x=2 हैं, जिससे हम ODZ के बारे में निष्कर्ष निकालते हैं: यह सभी x से बना है जैसे कि ।

यह जांचना बाकी है कि पाए गए मूल और x=2 स्वीकार्य मानों के क्षेत्र से संबंधित हैं या नहीं। जड़ें - संबंधित हैं, इसलिए, वे मूल समीकरण की जड़ें हैं, और x=2 संबंधित नहीं है, इसलिए, यह एक बाहरी मूल है।

जवाब:

उन मामलों पर अलग से ध्यान देना भी उपयोगी होगा जहां एक संख्या अंश के रूप में भिन्नात्मक परिमेय समीकरण में होती है, अर्थात, जब p (x) को किसी संख्या द्वारा दर्शाया जाता है। जिसमें

• यदि यह संख्या शून्य से भिन्न है, तो समीकरण का कोई मूल नहीं है, क्योंकि भिन्न शून्य है यदि और केवल यदि इसका अंश शून्य है;
• यदि यह संख्या शून्य है, तो समीकरण का मूल ODZ से कोई भी संख्या है।

उदाहरण।

फेसला।

चूँकि समीकरण के बाईं ओर भिन्न के अंश में एक गैर-शून्य संख्या होती है, इसलिए किसी भी x के लिए इस भिन्न का मान शून्य के बराबर नहीं हो सकता है। इसलिए, इस समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं।

जवाब:

कोई जड़ नहीं।

उदाहरण।

प्रश्न हल करें।

फेसला।

इस भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के बाईं ओर भिन्न का अंश शून्य है, इसलिए किसी भी x के लिए इस भिन्न का मान शून्य है जिसके लिए यह समझ में आता है। दूसरे शब्दों में, इस समीकरण का हल इस चर के डीपीवी से x का कोई भी मान है।

यह स्वीकार्य मूल्यों की इस सीमा को निर्धारित करने के लिए बनी हुई है। इसमें ऐसे सभी मान x शामिल हैं जिनके लिए x 4 +5 x 3 0। समीकरण x 4 +5 x 3 \u003d 0 के समाधान 0 और −5 हैं, क्योंकि यह समीकरण समीकरण x 3 (x + 5) \u003d 0 के बराबर है, और यह, बदले में, संयोजन के बराबर है दो समीकरणों के x 3 \u003d 0 और x +5=0 , जहां से ये जड़ें दिखाई देती हैं। इसलिए, स्वीकार्य मानों की वांछित श्रेणी x=0 और x=−5 को छोड़कर कोई भी x है।

इस प्रकार, एक भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के अपरिमित रूप से कई हल होते हैं, जो शून्य और ऋण पांच को छोड़कर कोई भी संख्या होती है।

जवाब:

अंत में, यह भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के बारे में बात करने का समय है मनमाना प्रकार. उन्हें r(x)=s(x) के रूप में लिखा जा सकता है, जहां r(x) और s(x) परिमेय व्यंजक हैं, और उनमें से कम से कम एक भिन्नात्मक है। आगे देखते हुए, हम कहते हैं कि उनका समाधान पहले से परिचित रूप के समीकरणों को हल करने के लिए कम हो गया है।

यह ज्ञात है कि समीकरण के एक भाग से दूसरे में विपरीत चिन्ह के साथ एक पद का स्थानांतरण होता है समीकरण के बराबर, इसलिए समीकरण r(x)=s(x) समीकरण r(x)−s(x)=0 के बराबर है।

हम यह भी जानते हैं कि कोई भी समान रूप से इस व्यंजक के बराबर हो सकता है। इस प्रकार, तर्कसंगत अभिव्यक्तिसमीकरण r(x)−s(x)=0 के बाईं ओर, हम हमेशा रूप के एक समान रूप से समान तर्कसंगत अंश में बदल सकते हैं।

इसलिए हम मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण r(x)=s(x) से समीकरण पर जाते हैं, और इसका समाधान, जैसा कि हमने ऊपर पाया, समीकरण p(x)=0 को हल करने के लिए कम करता है।

लेकिन यहां इस तथ्य को ध्यान में रखना आवश्यक है कि r(x)−s(x)=0 को , और फिर p(x)=0 के साथ बदलने पर, चर x के स्वीकार्य मानों की सीमा का विस्तार हो सकता है .

इसलिए, मूल समीकरण r(x)=s(x) और समीकरण p(x)=0 , जिस पर हम आए हैं, समतुल्य नहीं हो सकते हैं, और समीकरण p(x)=0 को हल करके, हम मूल प्राप्त कर सकते हैं वह मूल समीकरण r(x)=s(x) के बाह्य मूल होंगे। उत्तर में बाहरी जड़ों की पहचान करना और शामिल नहीं करना संभव है, या तो जाँच करके, या मूल समीकरण के ODZ से संबंधित होने की जाँच करके।

हम इस जानकारी को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं: भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म r(x)=s(x). भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए r(x)=s(x) , एक अवश्य

• विपरीत चिह्न वाले व्यंजक को दाईं ओर से घुमाकर दाईं ओर शून्य प्राप्त करें।
• समीकरण के बाईं ओर भिन्नों और बहुपदों के साथ क्रियाएँ करें, जिससे यह रूप के परिमेय अंश में परिवर्तित हो जाए।
• समीकरण p(x)=0 को हल करें।
• बाहरी जड़ों को पहचानें और बाहर करें, जो उन्हें मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करके या मूल समीकरण के ODZ से संबंधित होने की जांच करके किया जाता है।

अधिक स्पष्टता के लिए, हम भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने की पूरी श्रृंखला दिखाएंगे:
.

आइए सूचना के दिए गए ब्लॉक को स्पष्ट करने के लिए समाधान के विस्तृत विवरण के साथ कई उदाहरणों के समाधान देखें।

उदाहरण।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करें।

फेसला।

हम अभी-अभी प्राप्त समाधान एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करेंगे। और पहले हम समीकरण के दाईं ओर से बाईं ओर की शर्तों को स्थानांतरित करते हैं, परिणामस्वरूप हम समीकरण को पास करते हैं।

दूसरे चरण में, हमें परिणामी समीकरण के बाईं ओर भिन्नात्मक परिमेय व्यंजक को भिन्न के रूप में बदलने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम परिमेय भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाते हैं और परिणामी व्यंजक को सरल बनाते हैं: . तो हम समीकरण पर आते हैं।

अगले चरण में, हमें समीकरण −2·x−1=0 को हल करना होगा। x=−1/2 ज्ञात कीजिए।

यह जांचना बाकी है कि क्या पाया गया नंबर -1/2 . है विदेशी जड़मूल समीकरण। ऐसा करने के लिए, आप मूल समीकरण के ODZ चर x की जांच कर सकते हैं या ढूंढ सकते हैं। आइए दोनों दृष्टिकोणों को प्रदर्शित करें।

चलो एक चेक से शुरू करते हैं। हम मूल समीकरण में चर x के स्थान पर −1/2 को प्रतिस्थापित करते हैं, हमें प्राप्त होता है, जो समान है, −1=−1। प्रतिस्थापन सही संख्यात्मक समानता देता है, इसलिए, x=−1/2 मूल समीकरण का मूल है।

अब हम दिखाएंगे कि ODZ के माध्यम से एल्गोरिथम का अंतिम चरण कैसे किया जाता है। मूल समीकरण के स्वीकार्य मानों की सीमा −1 और 0 को छोड़कर सभी संख्याओं का समुच्चय है (x=−1 और x=0 के लिए, भिन्नों के हर गायब हो जाते हैं)। पिछले चरण में पाया गया मूल x=−1/2 ODZ से संबंधित है, इसलिए, x=−1/2 मूल समीकरण का मूल है।

जवाब:

−1/2 .

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।

फेसला।

हमें एक भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने की आवश्यकता है, आइए एल्गोरिथम के सभी चरणों को देखें।

सबसे पहले, हम शब्द को दाईं ओर से बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, हमें मिलता है।

दूसरे, हम बाईं ओर बने व्यंजक को रूपांतरित करते हैं: . परिणामस्वरूप, हम समीकरण x=0 पर पहुंचते हैं।

इसकी जड़ स्पष्ट है - यह शून्य है।

चौथे चरण में, यह पता लगाना बाकी है कि मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के लिए पाया गया मूल बाहरी नहीं है। जब इसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो व्यंजक प्राप्त होता है। जाहिर है, इसका कोई मतलब नहीं है, क्योंकि इसमें शून्य से विभाजन होता है। जहाँ से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि 0 एक बाह्य मूल है। इसलिए, मूल समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं।

7, जो समीकरण की ओर जाता है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बाईं ओर के हर में व्यंजक दाईं ओर के बराबर होना चाहिए, अर्थात। अब हम त्रिक के दोनों भागों में से घटाते हैं: . सादृश्य से, कहाँ से, और आगे।

जाँच से पता चलता है कि दोनों पाए गए मूल मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के मूल हैं।

जवाब:

ग्रंथ सूची।

• बीजगणित:पाठयपुस्तक 8 कोशिकाओं के लिए। सामान्य शिक्षा संस्थान / [यू. एन। मकारिचेव, एन। जी। मिंड्युक, के। आई। नेशकोव, एस। बी। सुवोरोवा]; ईडी। एस ए तेल्याकोवस्की। - 16वां संस्करण। - एम।: शिक्षा, 2008। - 271 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-019243-9।
• मोर्दकोविच ए. जी.बीजगणित। 8 वीं कक्षा। दोपहर 2 बजे भाग 1. छात्र की पाठ्यपुस्तक शिक्षण संस्थान/ ए जी मोर्दकोविच। - 11 वां संस्करण।, मिटा दिया गया। - एम .: मेनमोज़िना, 2009. - 215 पी .: बीमार। आईएसबीएन 978-5-346-01155-2।
• बीजगणित:ग्रेड 9: पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थान / [यू. एन। मकारिचेव, एन। जी। मिंड्युक, के। आई। नेशकोव, एस। बी। सुवोरोवा]; ईडी। एस ए तेल्याकोवस्की। - 16वां संस्करण। - एम।: शिक्षा, 2009। - 271 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-021134-5।

भिन्नात्मक समीकरण। ओडीजेड.

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

हम समीकरणों में महारत हासिल करना जारी रखते हैं। हम पहले से ही जानते हैं कि रैखिक और द्विघात समीकरणों के साथ कैसे काम करना है। अंतिम दृश्य रहता है भिन्नात्मक समीकरण. या उन्हें बहुत अधिक ठोस भी कहा जाता है - भिन्नात्मक परिमेय समीकरण. यह बिल्कुल वैसा है।

भिन्नात्मक समीकरण।

जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है, इन समीकरणों में आवश्यक रूप से भिन्न होते हैं। लेकिन केवल भिन्न ही नहीं, बल्कि वे भिन्न जिनमें हर में अज्ञात. कम से कम एक में। उदाहरण के लिए:

मैं आपको याद दिला दूं, यदि केवल हरों में नंबर, ये रैखिक समीकरण हैं।

कैसे तय करें भिन्नात्मक समीकरण? सबसे पहले, अंशों से छुटकारा पाएं! उसके बाद, समीकरण, सबसे अधिक बार, एक रैखिक या द्विघात में बदल जाता है। और फिर हम जानते हैं कि क्या करना है... कुछ मामलों में, यह एक पहचान में बदल सकता है, जैसे 5=5 या गलत व्यंजक, जैसे 7=2। लेकिन ऐसा कम ही होता है। नीचे मैं इसका उल्लेख करूंगा।

लेकिन अंशों से कैसे छुटकारा पाएं !? बहुत आसान। सभी समान परिवर्तनों को लागू करना।

हमें पूरे समीकरण को उसी व्यंजक से गुणा करने की आवश्यकता है। ताकि सभी भाजक घटें! सब कुछ तुरंत आसान हो जाएगा। मैं एक उदाहरण से समझाता हूं। मान लें कि हमें समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

जैसा पढ़ाया जाता है निम्न ग्रेड? हम सब कुछ एक दिशा में स्थानांतरित करते हैं, इसे एक सामान्य भाजक में कम करते हैं, आदि। भूल जाओ कैसे भयानक सपना! जब आप जोड़ते या घटाते हैं तो आप इसे इस प्रकार करते हैं भिन्नात्मक भाव. या असमानताओं के साथ काम करें। और समीकरणों में, हम तुरंत दोनों भागों को एक व्यंजक से गुणा करते हैं जो हमें सभी हरों को कम करने का अवसर देगा (अर्थात, संक्षेप में, एक सामान्य हर द्वारा)। और यह अभिव्यक्ति क्या है?

बाईं ओर, हर को कम करने के लिए, आपको गुणा करना होगा एक्स+2. और दाईं ओर, 2 से गुणा करना आवश्यक है। इसलिए, समीकरण को से गुणा किया जाना चाहिए 2(x+2). हम गुणा करते हैं:

यह भिन्नों का सामान्य गुणन है, लेकिन मैं विस्तार से लिखूंगा:

कृपया ध्यान दें कि मैं अभी तक कोष्ठक नहीं खोल रहा हूँ। (एक्स + 2)! तो, इसकी संपूर्णता में, मैं इसे लिखता हूं:

बाईं ओर, यह पूरी तरह से कम हो गया है (एक्स+2), और दाईं ओर 2. आवश्यकतानुसार! कमी के बाद हमें मिलता है रैखिकसमीकरण:

इस समीकरण को कोई भी हल कर सकता है! एक्स = 2.

आइए एक और उदाहरण हल करें, थोड़ा और जटिल:

अगर हमें याद है कि 3 = 3/1, और 2x = 2x/ 1 लिखा जा सकता है:

और फिर से हम उस चीज़ से छुटकारा पा लेते हैं जो हमें वास्तव में पसंद नहीं है - भिन्नों से।

हम देखते हैं कि हर को x से कम करने के लिए, भिन्न को से गुणा करना आवश्यक है (एक्स - 2). और इकाइयाँ हमारे लिए कोई बाधा नहीं हैं। अच्छा, चलो गुणा करें। सभीबाईं ओर और सबदाईं ओर:

ब्रैकेट फिर से (एक्स - 2)मैं प्रकट नहीं करता। मैं पूरी तरह से ब्रैकेट के साथ काम करता हूं, जैसे कि यह एक नंबर था! ऐसा हमेशा करना चाहिए, नहीं तो कुछ भी कम नहीं होगा।

गहरी संतुष्टि की भावना के साथ, हम काटते हैं (एक्स - 2)और हमें एक रूलर में बिना किसी भिन्न के समीकरण प्राप्त होता है!

और अब हम कोष्ठक खोलते हैं:

हम समान देते हैं, सब कुछ बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

लेकिन इससे पहले, हम अन्य समस्याओं को हल करना सीखेंगे। ब्याज के लिए। वैसे रेक!

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