Sifat-sifat utama logaritma natural, grafik, domain definisi, himpunan nilai, rumus dasar, turunan, integral, pemuaian seri daya dan menyatakan fungsi ln x dalam bilangan kompleks.

Definisi

logaritma natural adalah fungsi y = di x, terbalik dengan eksponen, x \u003d e y , dan yang merupakan logaritma ke basis angka e: ln x = log e x.

Logaritma natural banyak digunakan dalam matematika karena turunannya memiliki bentuk paling sederhana: (ln x)′ = 1/ x.

Berdasarkan definisi, basis logaritma natural adalah bilangan e:
2.718281828459045...;
.

Grafik fungsi y = di x.

Grafik logaritma natural (fungsi y = di x) diperoleh dari plot eksponen gambar cermin relatif terhadap garis lurus y = x .

Logaritma natural didefinisikan pada nilai positif variabel x . Secara monoton meningkat pada domain definisinya.

Sebagai x → 0 limit dari logaritma natural adalah minus tak terhingga ( - ).

Karena x → + , limit dari logaritma natural adalah plus tak terhingga ( + ). Untuk x besar, logaritma meningkat agak lambat. Setiap fungsi daya x a dengan eksponen positif a tumbuh lebih cepat daripada logaritma.

Sifat-sifat logaritma natural

Domain definisi, kumpulan nilai, ekstrem, naik, turun

Logaritma natural adalah fungsi yang naik secara monoton, sehingga tidak memiliki ekstrem. Sifat-sifat utama dari logaritma natural disajikan dalam tabel.

nilai ln x

log 1 = 0

Rumus dasar untuk logaritma natural

Rumus yang timbul dari definisi fungsi invers:

Properti utama logaritma dan konsekuensinya

Rumus pengganti dasar

Setiap logaritma dapat dinyatakan dalam logaritma natural menggunakan rumus perubahan dasar:

Bukti dari rumus-rumus ini disajikan di bagian "Logarithm".

Fungsi terbalik

Kebalikan dari logaritma natural adalah eksponen.

Jika kemudian

Jika kemudian .

Turunan ln x

Turunan dari logaritma natural:
.
Turunan dari logaritma natural dari modulo x:
.
Turunan dari orde ke-n:
.
Turunan rumus > > >

Integral

Integral dihitung dengan integrasi per bagian:
.
Jadi,

Ekspresi dalam bilangan kompleks

Pertimbangkan fungsi dari variabel kompleks z :
.
Mari kita nyatakan variabel kompleks z melalui modul r dan argumen φ :
.
Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, kita peroleh:
.
Atau
.
Argumen tidak didefinisikan secara unik. Jika kita menempatkan
, di mana n adalah bilangan bulat,
maka itu akan menjadi nomor yang sama untuk n yang berbeda.

Oleh karena itu, logaritma natural, sebagai fungsi dari variabel kompleks, bukanlah fungsi bernilai tunggal.

Ekspansi seri daya

Untuk , ekspansi terjadi:

Referensi:
DI. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa Perguruan Tinggi, Lan, 2009.

Seperti yang Anda ketahui, saat mengalikan ekspresi dengan pangkat, eksponennya selalu dijumlahkan (a b * a c = a b + c). Ini hukum matematika diturunkan oleh Archimedes, dan kemudian, pada abad ke-8, matematikawan Virasen membuat tabel indikator bilangan bulat. Merekalah yang bertugas untuk penemuan logaritma lebih lanjut. Contoh penggunaan fungsi ini dapat ditemukan hampir di mana-mana di mana diperlukan untuk menyederhanakan perkalian rumit menjadi penjumlahan sederhana. Jika Anda menghabiskan 10 menit membaca artikel ini, kami akan menjelaskan kepada Anda apa itu logaritma dan bagaimana cara menggunakannya. Bahasa yang sederhana dan mudah diakses.

Definisi dalam matematika

Logaritma adalah ekspresi dari bentuk berikut: log a b=c, yaitu, logaritma dari sembarang bilangan non-negatif(yaitu setiap positif) "b" ke basisnya "a" dianggap pangkat "c", di mana basis "a" harus dinaikkan untuk akhirnya mendapatkan nilai "b". Mari kita analisis logaritma menggunakan contoh, misalkan ada ekspresi log 2 8. Bagaimana menemukan jawabannya? Ini sangat sederhana, Anda perlu menemukan gelar sedemikian rupa sehingga dari 2 ke tingkat yang diperlukan Anda mendapatkan 8. Setelah melakukan beberapa perhitungan dalam pikiran Anda, kami mendapatkan nomor 3! Dan memang benar, karena 2 pangkat 3 memberikan angka 8 dalam jawabannya.

Varietas logaritma

Bagi banyak siswa dan siswa, topik ini tampak rumit dan tidak dapat dipahami, tetapi pada kenyataannya, logaritma tidak begitu menakutkan, yang utama adalah memahami makna umumnya dan mengingat sifat-sifatnya dan beberapa aturannya. Ada tiga jenis tertentu ekspresi logaritma:

1. Logaritma natural ln a, dengan basis adalah bilangan Euler (e = 2,7).
2. Desimal a, dengan basis 10.
3. Logaritma dari setiap nomor b ke basis a>1.

Masing-masing diputuskan dengan cara standar, yang meliputi penyederhanaan, pengurangan, dan pengurangan selanjutnya menjadi satu logaritma menggunakan teorema logaritmik. Menerima nilai yang benar logaritma, Anda harus mengingat propertinya dan urutan tindakan dalam keputusannya.

Aturan dan beberapa batasan

Dalam matematika, ada beberapa aturan-batasan yang diterima sebagai aksioma, yaitu, mereka tidak perlu dibahas dan benar. Misalnya, Anda tidak dapat membagi angka dengan nol, dan juga tidak mungkin untuk mengekstrak akarnya derajat genap dari angka negatif. Logaritma juga memiliki aturannya sendiri, yang dengannya Anda dapat dengan mudah mempelajari cara bekerja bahkan dengan ekspresi logaritma yang panjang dan luas:

• basis "a" harus selalu lebih besar dari nol, dan pada saat yang sama tidak sama dengan 1, jika tidak, ekspresi akan kehilangan artinya, karena "1" dan "0" pada tingkat apa pun selalu sama dengan nilainya;
• jika a > 0, maka a b > 0, ternyata “c” harus lebih besar dari nol.

Bagaimana cara menyelesaikan logaritma?

Misalnya, diberi tugas untuk menemukan jawaban dari persamaan 10 x \u003d 100. Sangat mudah, Anda harus memilih kekuatan seperti itu dengan menaikkan angka sepuluh yang kita dapatkan 100. Ini, tentu saja, adalah 10 2 \u003d 100.

Sekarang mari kita bayangkan ekspresi yang diberikan dalam bentuk logaritma. Kami mendapatkan log 10 100 = 2. Saat memecahkan logaritma, semua tindakan praktis bertemu untuk menemukan sejauh mana basis logaritma harus dimasukkan untuk mendapatkan angka yang diberikan.

Untuk penentuan nilai yang bebas kesalahan gelar tidak diketahui Anda perlu belajar bagaimana bekerja dengan tabel derajat. Ini terlihat seperti ini:

Seperti yang Anda lihat, beberapa eksponen dapat ditebak secara intuitif jika Anda memiliki pola pikir teknis dan pengetahuan tentang tabel perkalian. Namun, untuk nilai besar Anda membutuhkan tabel derajat. Itu dapat digunakan bahkan oleh mereka yang tidak mengerti apa-apa dalam kompleks topik matematika. Kolom kiri berisi angka (basis a), baris angka paling atas adalah nilai pangkat c, di mana angka a dinaikkan. Di persimpangan sel, nilai angka ditentukan, yang merupakan jawabannya (a c = b). Mari kita ambil, misalnya, sel pertama dengan angka 10 dan kuadratkan, kita mendapatkan nilai 100, yang ditunjukkan di persimpangan dua sel kita. Semuanya sangat sederhana dan mudah sehingga bahkan humanis paling sejati pun akan mengerti!

Persamaan dan pertidaksamaan

Ternyata dalam kondisi tertentu, eksponennya adalah logaritma. Oleh karena itu, ekspresi numerik matematika apa pun dapat ditulis sebagai persamaan logaritmik. Misalnya, 3 4 =81 dapat ditulis sebagai logaritma dari 81 ke basis 3, yaitu empat (log 3 81 = 4). Untuk kekuatan negatif aturannya sama: 2 -5 \u003d 1/32 kami menulis dalam bentuk logaritma, kami mendapatkan log 2 (1/32) \u003d -5. Salah satu bagian matematika yang paling menarik adalah topik "logaritma". Kami akan mempertimbangkan contoh dan solusi persamaan sedikit lebih rendah, segera setelah mempelajari sifat-sifatnya. Sekarang mari kita lihat seperti apa ketidaksetaraan dan bagaimana membedakannya dari persamaan.

Sebuah ekspresi dari bentuk berikut diberikan: log 2 (x-1) > 3 - itu adalah pertidaksamaan logaritma, karena nilai "x" yang tidak diketahui berada di bawah tanda logaritma. Dan juga dalam ekspresi dua kuantitas dibandingkan: logaritma dari angka yang diinginkan di basis dua lebih besar dari angka tiga.

Perbedaan paling penting antara persamaan logaritma dan pertidaksamaan adalah bahwa persamaan dengan logaritma (misalnya, logaritma dari 2 x = 9) menyiratkan satu atau lebih spesifik nilai numerik, sedangkan dalam menyelesaikan pertidaksamaan didefinisikan sebagai luas nilai yang diizinkan, dan titik diskontinuitas fungsi ini. Akibatnya, jawabannya bukan himpunan sederhana nomor individu seperti pada jawaban persamaan, dan a seri berkelanjutan atau sekumpulan angka.

Teorema dasar tentang logaritma

Saat menyelesaikan tugas primitif untuk menemukan nilai logaritma, propertinya mungkin tidak diketahui. Namun, ketika menyangkut persamaan atau pertidaksamaan logaritma, pertama-tama, perlu dipahami dan diterapkan dengan jelas semua sifat dasar logaritma. Kita akan berkenalan dengan contoh-contoh persamaan nanti, mari kita analisa dulu masing-masing properti lebih detail.

1. Identitas dasarnya terlihat seperti ini: a logaB =B. Ini hanya berlaku jika a lebih besar dari 0, tidak sama dengan satu, dan B lebih besar dari nol.
2. Logaritma produk dapat direpresentasikan dalam rumus berikut: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Selain itu, prasyarat adalah: d, s 1 dan s 2 > 0; a≠1. Anda dapat memberikan bukti untuk rumus logaritma ini, dengan contoh dan solusi. Misalkan log a s 1 = f 1 dan log a s 2 = f 2 , maka a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Kita peroleh bahwa s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (sifat derajat ), dan selanjutnya menurut definisi: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, yang harus dibuktikan.
3. Logaritma hasil bagi terlihat seperti ini: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema dalam bentuk rumus memperoleh tampilan berikutnya: log a q b n = n/q log a b.

Rumus ini disebut "properti derajat logaritma". Ini menyerupai sifat derajat biasa, dan tidak mengherankan, karena semua matematika bertumpu pada postulat biasa. Mari kita lihat buktinya.

Biarkan log a b \u003d t, ternyata a t \u003d b. Jika Anda menaikkan kedua bagian ke pangkat m: a tn = b n ;

tetapi karena a tn = (a q) nt/q = b n , maka log a q b n = (n*t)/t, maka log a q b n = n/q log a b. Teorema telah terbukti.

Contoh masalah dan ketidaksetaraan

Jenis masalah logaritma yang paling umum adalah contoh persamaan dan pertidaksamaan. Mereka ditemukan di hampir semua buku masalah, dan juga termasuk dalam bagian wajib ujian matematika. Untuk masuk ke universitas atau lulus ujian masuk dalam matematika, Anda perlu tahu bagaimana menyelesaikan masalah seperti itu dengan benar.

Sayangnya, tidak ada rencana atau skema tunggal untuk memecahkan dan menentukan nilai logaritma yang tidak diketahui, bagaimanapun, untuk masing-masing ketidaksetaraan matematika atau persamaan logaritmik dapat diterapkan aturan tertentu. Pertama-tama, Anda harus mencari tahu apakah ekspresi dapat disederhanakan atau direduksi menjadi pandangan umum. Sederhanakan panjang ekspresi logaritmik Anda bisa, jika Anda menggunakan properti mereka dengan benar. Mari kita mengenal mereka segera.

Saat memecahkan persamaan logaritmik, perlu untuk menentukan jenis logaritma yang kita miliki sebelum kita: contoh ekspresi dapat berisi logaritma natural atau desimal.

Berikut adalah contoh ln100, ln1026. Solusinya bermuara pada fakta bahwa Anda perlu menentukan sejauh mana basis 10 akan sama dengan 100 dan 1026, masing-masing. Untuk solusi logaritma natural perlu melamar identitas logaritma atau properti mereka. Mari kita lihat solusinya dengan contoh. masalah logaritma beda tipe.

Cara Menggunakan Rumus Logaritma: Dengan Contoh dan Solusi

Jadi, mari kita lihat contoh penggunaan teorema utama pada logaritma.

1. Properti logaritma produk dapat digunakan dalam tugas-tugas di mana perlu untuk memperluas sangat penting bilangan b menjadi faktor yang lebih sederhana. Misalnya, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Jawabannya adalah 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - seperti yang Anda lihat, dengan menerapkan properti keempat dari derajat logaritma, kami berhasil memecahkan pada pandangan pertama ekspresi yang kompleks dan tidak dapat dipecahkan. Anda hanya perlu memfaktorkan basis dan kemudian mengambil nilai eksponen dari tanda logaritma.

Tugas dari ujian

Logaritma sering ditemukan di tes masuk, terutama banyak masalah logaritmik dalam ujian ( ujian negara untuk semua lulusan SMA). Biasanya tugas-tugas ini hadir tidak hanya di bagian A (yang paling mudah bagian uji ujian), tetapi juga di bagian C (tugas yang paling sulit dan banyak). Ujian ini menyiratkan pengetahuan yang akurat dan sempurna tentang topik "logaritma alami".

Contoh dan solusi masalah diambil dari official GUNAKAN opsi. Mari kita lihat bagaimana tugas-tugas tersebut diselesaikan.

Diberikan log 2 (2x-1) = 4. Solusi:
mari kita tulis ulang ekspresinya, sederhanakan sedikit log 2 (2x-1) = 2 2 , dengan definisi logaritma kita mendapatkan bahwa 2x-1 = 2 4 , oleh karena itu 2x = 17; x = 8.5.

• Semua logaritma sebaiknya direduksi menjadi basis yang sama sehingga penyelesaiannya tidak rumit dan membingungkan.
• Semua ekspresi di bawah tanda logaritma ditunjukkan sebagai positif, oleh karena itu, ketika mengambil eksponen dari eksponen ekspresi, yang berada di bawah tanda logaritma dan sebagai basisnya, ekspresi yang tersisa di bawah logaritma harus positif.

Ekspresi logaritmik, solusi dari contoh. Pada artikel ini, kami akan mempertimbangkan masalah yang berkaitan dengan penyelesaian logaritma. Tugas menimbulkan pertanyaan untuk menemukan nilai ekspresi. Perlu dicatat bahwa konsep logaritma digunakan dalam banyak tugas dan sangat penting untuk memahami artinya. Sedangkan untuk USE, logaritma digunakan saat menyelesaikan persamaan, dalam tugas yang diterapkan, juga dalam tugas-tugas yang berkaitan dengan studi fungsi.

Berikut adalah contoh untuk memahami arti dari logaritma:

Identitas logaritma dasar:

Sifat-sifat logaritma yang harus selalu Anda ingat:

*logaritma hasil kali sama dengan jumlah logaritma faktor.

* * *

* Logaritma hasil bagi (pecahan) sama dengan selisih logaritma faktor-faktornya.

* * *

*Logaritma derajat sama dengan produk eksponen ke logaritma basisnya.

* * *

*Transisi ke pangkalan baru

* * *

Lebih banyak properti:

* * *

Komputasi logaritma berkaitan erat dengan penggunaan sifat-sifat eksponen.

Kami mencantumkan beberapa di antaranya:

esensi properti yang diberikan adalah bahwa ketika memindahkan pembilang ke penyebut dan sebaliknya, tanda eksponen berubah menjadi kebalikannya. Sebagai contoh:

Konsekuensi dari properti ini:

* * *

Saat menaikkan pangkat ke pangkat, basisnya tetap sama, tetapi eksponennya dikalikan.

* * *

Seperti yang Anda lihat, konsep logaritma itu sederhana. Hal utama adalah apa yang dibutuhkan latihan yang baik, yang memberikan keterampilan tertentu. Tentu saja pengetahuan tentang rumus adalah wajib. Jika keterampilan dalam transformasi logaritma dasar tidak terbentuk, maka ketika memecahkan tugas sederhana mudah melakukan kesalahan.

Berlatih, pecahkan contoh paling sederhana dari kursus matematika terlebih dahulu, lalu lanjutkan ke yang lebih kompleks. Di masa depan, saya pasti akan menunjukkan bagaimana logaritma "jelek" diselesaikan, tidak akan ada yang seperti itu di ujian, tetapi mereka menarik, jangan lewatkan!

Itu saja! Semoga sukses untuk Anda!

Hormat kami, Alexander Krutitskikh

P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu situs ini di jejaring sosial.

Jadi, kita memiliki kekuatan dua. Jika Anda mengambil nomor dari garis bawah, maka Anda dapat dengan mudah menemukan kekuatan yang Anda miliki untuk meningkatkan dua untuk mendapatkan nomor ini. Misalnya, untuk mendapatkan 16, Anda perlu menaikkan dua pangkat empat. Dan untuk mendapatkan 64, Anda perlu menaikkan dua pangkat enam. Hal ini dapat dilihat dari tabel.

Dan sekarang - sebenarnya, definisi logaritma:

Logaritma ke basis a dari argumen x adalah pangkat di mana angka a harus dinaikkan untuk mendapatkan angka x .

Notasi: log a x \u003d b, di mana a adalah basis, x adalah argumen, b sebenarnya adalah apa yang sama dengan logaritma.

Misalnya, 2 3 = 8 log 2 8 = 3 (logaritma basis 2 dari 8 adalah tiga karena 2 3 = 8). Mungkin juga log 2 64 = 6 karena 2 6 = 64 .

Operasi mencari logaritma suatu bilangan ke basis tertentu disebut logaritma. Jadi mari kita tambahkan baris baru ke tabel kita:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Sayangnya, tidak semua logaritma dianggap begitu mudah. Misalnya, coba cari log 2 5 . Angka 5 tidak ada dalam tabel, tetapi logika menentukan bahwa logaritma akan terletak di suatu tempat di segmen tersebut. Karena 2 2< 5 < 2 3 , а чем lebih banyak gelar dua, semakin besar jumlahnya.

Angka-angka seperti itu disebut irasional: angka-angka setelah titik desimal dapat ditulis tanpa batas, dan tidak pernah berulang. Jika logaritma ternyata irasional, lebih baik dibiarkan seperti ini: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Penting untuk dipahami bahwa logaritma adalah ekspresi dengan dua variabel (basis dan argumen). Pada awalnya, banyak orang bingung di mana dasarnya dan di mana argumennya. Menghindari kesalahpahaman yang disayangkan langsung saja lihat gambarnya :

Sebelum kita tidak lebih dari definisi logaritma. Ingat: logaritma adalah kekuatan, di mana Anda perlu menaikkan basis untuk mendapatkan argumen. Ini adalah pangkalan yang dinaikkan menjadi kekuatan - dalam gambar itu disorot dengan warna merah. Ternyata alasnya selalu di bawah! Saya memberi tahu aturan yang luar biasa ini kepada murid-murid saya pada pelajaran pertama - dan tidak ada kebingungan.

Kami menemukan definisinya - masih mempelajari cara menghitung logaritma, mis. singkirkan tanda "log". Untuk memulainya, kami mencatat bahwa dua fakta penting mengikuti dari definisi:

1. Argumen dan basis harus selalu lebih besar dari nol. Ini mengikuti dari definisi derajat indikator rasional, yang definisi logaritma dikurangi.
2. Basis harus berbeda dari kesatuan, karena satu unit untuk kekuatan apa pun masih merupakan satu unit. Karena itu, pertanyaan “kepada apa seseorang harus dibangkitkan untuk mendapatkan dua” tidak ada artinya. Tidak ada gelar seperti itu!

Pembatasan seperti itu disebut rentang yang valid(ODZ). Ternyata ODZ logaritmanya seperti ini: log a x = b x > 0 , a > 0 , a 1 .

Perhatikan bahwa tidak ada batasan pada angka b (nilai logaritma) tidak dikenakan. Misalnya, logaritma mungkin negatif: log 2 0,5 \u003d -1, karena 0,5 = 2 1 .

Namun, untuk saat ini kami hanya mempertimbangkan ekspresi numerik, di mana tidak diperlukan untuk mengetahui ODZ dari logaritma. Semua batasan telah diperhitungkan oleh penyusun masalah. Tapi ketika mereka pergi persamaan logaritma dan ketidaksetaraan, persyaratan DHS akan menjadi wajib. Memang, dalam dasar dan argumen bisa ada konstruksi yang sangat kuat yang belum tentu sesuai dengan batasan di atas.

Sekarang pertimbangkan skema umum perhitungan logaritma. Ini terdiri dari tiga langkah:

1. Nyatakan basis a dan argumen x sebagai pangkat dengan kemungkinan basis terkecil lebih besar dari satu. Sepanjang jalan, lebih baik untuk menyingkirkan pecahan desimal;
2. Selesaikan persamaan untuk variabel b: x = a b ;
3. Angka yang dihasilkan b akan menjadi jawabannya.

Itu saja! Jika logaritma ternyata irasional, ini akan terlihat pada langkah pertama. Persyaratan bahwa basis lebih besar dari satu sangat relevan: ini mengurangi kemungkinan kesalahan dan sangat menyederhanakan perhitungan. Mirip dengan desimal: jika Anda segera menerjemahkannya menjadi yang biasa, akan ada lebih sedikit kesalahan.

Mari kita lihat bagaimana skema ini bekerja dengan contoh spesifik:

Tugas. Hitung logaritma: log 5 25

1. Mari kita nyatakan basis dan argumen sebagai pangkat lima: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Mari kita buat dan selesaikan persamaannya:
log 5 25 = b (5 1) b = 5 2 5 b = 5 2 b = 2 ;

2. Menerima jawaban: 2.

Tugas. Hitung logaritma:

Tugas. Hitung logaritma: log 4 64

1. Mari kita nyatakan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Mari kita buat dan selesaikan persamaannya:
   log 4 64 = b (2 2) b = 2 6 2 2b = 2 6 2b = 6 b = 3 ;
3. Menerima jawaban: 3.

Tugas. Hitung logaritma: log 16 1

1. Mari kita nyatakan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Mari kita buat dan selesaikan persamaannya:
   log 16 1 = b (2 4) b = 2 0 2 4b = 2 0 4b = 0 b = 0 ;
3. Menerima tanggapan: 0.

Tugas. Hitung logaritma: log 7 14

1. Mari kita nyatakan basis dan argumen sebagai pangkat tujuh: 7 = 7 1 ; 14 tidak direpresentasikan sebagai pangkat tujuh, karena 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Ini mengikuti dari paragraf sebelumnya bahwa logaritma tidak dipertimbangkan;
3. Jawabannya tidak ada perubahan: log 7 14.

Catatan kecil untuk contoh terakhir. Bagaimana cara memastikan bahwa suatu bilangan bukanlah pangkat eksak dari bilangan lain? Sangat sederhana - cukup kembangkan menjadi faktor utama. Jika paling sedikit ada dua faktor yang berbeda dalam pemuaian, bilangan tersebut bukanlah pangkat eksak.

Tugas. Cari tahu apakah pangkat yang tepat dari bilangan tersebut adalah: 8; 48; 81; 35; empat belas .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - derajat yang tepat, karena hanya ada satu pengganda;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 bukan merupakan pangkat eksak karena ada dua faktor: 3 dan 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - derajat yang tepat;
35 = 7 5 - sekali lagi bukan gelar yang pasti;
14 \u003d 7 2 - sekali lagi bukan gelar yang tepat;

Kami juga mencatat bahwa kami bilangan prima selalu kekuatan yang tepat dari diri mereka sendiri.

logaritma desimal

Beberapa logaritma sangat umum sehingga memiliki nama dan sebutan khusus.

Logaritma desimal dari argumen x adalah logaritma basis 10, mis. kekuatan yang Anda butuhkan untuk menaikkan angka 10 untuk mendapatkan angka x. Sebutan: lg x .

Misalnya, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - dst.

Mulai sekarang, ketika frasa seperti "Temukan lg 0,01" muncul di buku teks, ketahuilah bahwa ini bukan salah ketik. Ini logaritma desimal. Namun, jika Anda tidak terbiasa dengan sebutan seperti itu, Anda selalu dapat menulis ulang:
log x = log 10 x

Segala sesuatu yang benar untuk logaritma biasa juga benar untuk desimal.

logaritma natural

Ada logaritma lain yang memiliki notasi sendiri. Dalam arti tertentu, ini bahkan lebih penting daripada desimal. Ini tentang tentang logaritma natural.

Logaritma natural dari x adalah logaritma basis e, mis. kekuatan yang nomor e harus dinaikkan untuk mendapatkan nomor x. Penunjukan: ln x .

Banyak yang akan bertanya: apa lagi yang nomor e? Ini bilangan irasional, miliknya nilai yang tepat tidak mungkin untuk menemukan dan merekam. Ini hanya angka pertama:
e = 2.718281828459...

Kami tidak akan menyelidiki apa nomor ini dan mengapa itu diperlukan. Ingatlah bahwa e adalah basis dari logaritma natural:
ln x = log e x

Jadi ln e = 1 ; log e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - dst. Di sisi lain, ln 2 adalah bilangan irasional. Secara umum, logaritma natural dari sembarang bilangan rasional irasional. Kecuali, tentu saja, kesatuan: ln 1 = 0.

Untuk logaritma natural, semua aturan yang berlaku untuk logaritma biasa adalah valid.

diturunkan dari definisinya. Dan jadi logaritma dari angka b dengan alasan sebuah didefinisikan sebagai eksponen yang angkanya harus dinaikkan sebuah untuk mendapatkan nomornya b(logaritma hanya ada untuk bilangan positif).

Dari rumusan ini maka perhitungannya x = log a b, setara dengan menyelesaikan persamaan kapak = b. Sebagai contoh, log 2 8 = 3 karena 8 = 2 3 . Rumusan logaritma memungkinkan untuk membenarkan bahwa jika b=a c, maka logaritma dari bilangan tersebut b dengan alasan sebuah sama dengan dengan. Jelas juga bahwa topik logaritma berkaitan erat dengan topik pangkat suatu bilangan.

Dengan logaritma, seperti halnya angka apa pun, Anda dapat melakukan operasi penjumlahan, pengurangan dan mengubah dalam setiap cara yang mungkin. Tetapi mengingat fakta bahwa logaritma bukanlah bilangan biasa, aturan khusus mereka sendiri berlaku di sini, yang disebut sifat dasar.

Penjumlahan dan pengurangan logaritma.

Mari kita ambil dua logaritma alasan yang sama: log x dan log a y. Kemudian hapus dimungkinkan untuk melakukan operasi penambahan dan pengurangan:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + log a x k.

Dari teorema logaritma hasil bagi satu lagi properti logaritma dapat diperoleh. Diketahui bahwa log sebuah 1 = 0, oleh karena itu,

catatan sebuah 1 /b= log sebuah 1 - log a b= -log a b.

Jadi ada persamaan:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritma dari dua bilangan yang saling berlawanan atas dasar yang sama akan berbeda satu sama lain hanya dalam tanda. Jadi:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.