Sejauh ini, kita hanya menyelesaikan persamaan bilangan bulat yang berkaitan dengan yang tidak diketahui, yaitu persamaan yang penyebutnya (jika ada) tidak mengandung yang tidak diketahui.

Seringkali Anda harus menyelesaikan persamaan yang penyebutnya tidak diketahui: persamaan seperti itu disebut pecahan.

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita kalikan kedua ruasnya dengan polinomial yang mengandung yang tidak diketahui. Apakah persamaan baru akan setara dengan yang diberikan? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, mari selesaikan persamaan ini.

Mengalikan kedua ruas dengan , kita peroleh:

Memecahkan persamaan derajat pertama ini, kami menemukan:

Jadi, persamaan (2) memiliki akar tunggal

Substitusikan ke persamaan (1), kita peroleh:

Oleh karena itu, juga merupakan akar dari persamaan (1).

Persamaan (1) tidak memiliki akar lain. Dalam contoh kita, ini dapat dilihat, misalnya, dari fakta bahwa dalam persamaan (1)

bagaimana pembagi yang tidak diketahui harus sama dengan dividen 1 dibagi dengan hasil bagi 2, yaitu

Jadi, persamaan (1) dan (2) memiliki akar tunggal, sehingga keduanya ekuivalen.

2. Sekarang kita selesaikan persamaan berikut:

Protozoa faktor persekutuan: ; kalikan semua suku persamaan dengan itu:

Setelah reduksi kita peroleh:

Mari kita perluas tanda kurung:

Membawa istilah yang sama, kami memiliki:

Memecahkan persamaan ini, kami menemukan:

Substitusi ke persamaan (1), kita peroleh:

Di sisi kiri, kami menerima ekspresi yang tidak masuk akal.

Oleh karena itu, akar persamaan (1) bukan. Ini menyiratkan bahwa persamaan (1) dan tidak setara.

Dalam hal ini, kita katakan bahwa persamaan (1) telah memperoleh akar asing.

Mari kita bandingkan solusi persamaan (1) dengan solusi persamaan yang kita bahas sebelumnya (lihat 51). Dalam menyelesaikan persamaan ini, kami harus melakukan dua operasi yang belum pernah terlihat sebelumnya: pertama, kami mengalikan kedua sisi persamaan dengan ekspresi yang mengandung penyebut yang tidak diketahui (penyebut umum), dan kedua, kami mengurangi pecahan aljabar menjadi faktor yang mengandung yang tidak diketahui.

Membandingkan Persamaan (1) dengan Persamaan (2), kita melihat bahwa tidak semua nilai x yang valid untuk Persamaan (2) berlaku untuk Persamaan (1).

Angka 1 dan 3 bukanlah nilai yang dapat diterima dari yang tidak diketahui untuk persamaan (1), dan sebagai hasil dari transformasi, mereka menjadi dapat diterima untuk persamaan (2). Salah satu dari angka-angka ini ternyata menjadi solusi untuk persamaan (2), tetapi, tentu saja, itu tidak bisa menjadi solusi untuk persamaan (1). Persamaan (1) tidak memiliki solusi.

Contoh ini menunjukkan bahwa ketika mengalikan kedua bagian persamaan dengan faktor yang tidak diketahui, dan ketika mengurangi pecahan aljabar, dapat diperoleh persamaan yang tidak setara dengan yang diberikan, yaitu: akar asing dapat muncul.

Oleh karena itu kami menarik kesimpulan berikut. Saat menyelesaikan persamaan yang berisi penyebut yang tidak diketahui, akar yang dihasilkan harus diperiksa dengan substitusi ke dalam persamaan asli. Akar asing harus dibuang.

Persamaan adalah persamaan yang mengandung huruf yang nilainya akan dicari.

Dalam persamaan, yang tidak diketahui biasanya dilambangkan dengan huruf kecil huruf latin. Huruf yang paling umum digunakan adalah "x" [x] dan "y" [y].

Akar persamaan adalah nilai huruf di mana persamaan yang benar diperoleh persamaan numerik.

selesaikan persamaannya- berarti menemukan semua akarnya atau memastikan tidak ada akarnya.

Setelah menyelesaikan persamaan, kami selalu menuliskan cek setelah jawabannya.

Informasi untuk orang tua

Orang tua yang terhormat, harap dicatat bahwa sekolah dasar dan di kelas 5, anak-anak TIDAK tahu topik "Bilangan Negatif".

Oleh karena itu, mereka harus menyelesaikan persamaan hanya dengan menggunakan sifat-sifat penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Metode untuk memecahkan persamaan untuk kelas 5 diberikan di bawah ini.

Jangan mencoba menjelaskan penyelesaian persamaan dengan memindahkan angka dan huruf dari satu bagian persamaan ke bagian lain dengan perubahan tanda.

Anda dapat menyegarkan kembali pengetahuan Anda tentang konsep-konsep yang berkaitan dengan penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian dalam pelajaran "Hukum aritmatika".

Memecahkan persamaan untuk penambahan dan pengurangan

Bagaimana menemukan yang tidak diketahui
ketentuan

Bagaimana menemukan yang tidak diketahui
Angka yang dikurangi

Bagaimana menemukan yang tidak diketahui
pengurang

Mencari istilah yang tidak diketahui, perlu untuk mengurangi istilah yang diketahui dari jumlah.

Untuk menemukan minuend yang tidak diketahui, Anda perlu menambahkan pengurangan pada selisihnya.

Untuk menemukan pengurangan yang tidak diketahui, perlu untuk mengurangi perbedaan dari minuend.

x + 9 = 15
x = 15 9
x=6
Penyelidikan

x 14 = 2
x = 14 + 2
x=16
Penyelidikan

16 − 2 = 14
14 = 14

5 x = 3
x = 5 3
x=2
Penyelidikan

Memecahkan persamaan untuk perkalian dan pembagian

Bagaimana menemukan yang tidak diketahui
faktor

Bagaimana menemukan yang tidak diketahui
dividen

Bagaimana menemukan yang tidak diketahui
pembagi

Mencari pengganda tidak diketahui, perlu untuk membagi produk dengan faktor yang diketahui.

Untuk menemukan dividen yang tidak diketahui, Anda perlu mengalikan hasil bagi dengan pembagi.

Untuk menemukan pembagi yang tidak diketahui, bagilah dividen dengan hasil bagi.

y 4 = 12
y=12:4
y=3
Penyelidikan

y:7=2
y = 2 7
y=14
Penyelidikan

8:y=4
y=8:4
y=2
Penyelidikan

Persamaan adalah persamaan yang memuat huruf yang dicari tandanya. Solusi persamaan adalah himpunan nilai huruf yang mengubah persamaan menjadi persamaan sejati:

Ingat itu untuk menyelesaikan persamaan perlu untuk mentransfer istilah dengan yang tidak diketahui ke satu bagian dari persamaan, dan istilah numerik ke yang lain, membawa yang serupa dan mendapatkan persamaan berikut:

Dari persamaan terakhir, kita menentukan yang tidak diketahui dengan aturan: "salah satu faktornya sama dengan hasil bagi dibagi dengan faktor kedua."

Sebagai angka rasional a dan b dapat memiliki and yang sama tanda yang berbeda, maka tanda dari yang tidak diketahui ditentukan oleh aturan pembagian bilangan rasional.

Prosedur untuk menyelesaikan persamaan linear

Persamaan linier harus disederhanakan dengan membuka tanda kurung dan melakukan tindakan tahap kedua (perkalian dan pembagian).

Pindahkan yang tidak diketahui ke satu sisi tanda sama dengan, dan angka ke sisi lain dari tanda sama, menjadi identik dengan persamaan yang diberikan,

Bawa seperti ke kiri dan ke kanan tanda sama, dapatkan persamaan bentuk kapak = b.

Hitung akar persamaan (temukan yang tidak diketahui X dari kesetaraan x = b : sebuah),

Lakukan tes dengan mengganti yang tidak diketahui ke dalam persamaan yang diberikan.

Jika kita mendapatkan identitas dalam persamaan numerik, maka persamaan tersebut diselesaikan dengan benar.

Kasus khusus untuk memecahkan persamaan

1. Jika sebuah persamaan diberikan oleh produk yang sama dengan 0, maka untuk menyelesaikannya kita menggunakan properti perkalian: "produk sama dengan nol jika salah satu faktor atau kedua faktor sama dengan nol."

27 (x - 3) = 0
27 tidak sama dengan 0, jadi x - 3 = 0

Contoh kedua memiliki dua solusi untuk persamaan, karena
Ini adalah persamaan derajat kedua:

Jika koefisien persamaan adalah pecahan biasa, hal pertama yang harus dilakukan adalah menyingkirkan penyebutnya. Untuk ini:

Temukan penyebut yang sama;

Mendefinisikan pengganda tambahan untuk setiap suku persamaan;

Kalikan pembilang pecahan dan bilangan bulat dengan faktor tambahan dan tuliskan semua suku persamaan tanpa penyebut (penyebut yang sama dapat dibuang);

Pindahkan suku-suku yang tidak diketahui ke satu bagian persamaan, dan suku-suku numerik ke bagian lain dari tanda sama dengan, untuk memperoleh kesetaraan yang setara;

Bawa seperti anggota;

Sifat dasar persamaan

Setiap bagian dari persamaan dapat diberikan seperti istilah atau kurung buka.

Suku apa pun dari persamaan dapat dipindahkan dari satu bagian persamaan ke bagian lain dengan mengubah tandanya ke bagian yang berlawanan.

Kedua ruas persamaan tersebut dapat dikalikan (dibagi) dengan bilangan yang sama kecuali 0.

Dalam contoh di atas, semua propertinya digunakan untuk menyelesaikan persamaan.

Bagaimana menyelesaikan persamaan dengan yang tidak diketahui dalam pecahan

Kadang-kadang persamaan linear mengambil formulir ketika tidak dikenal muncul dalam pembilang satu atau lebih pecahan. Seperti pada persamaan di bawah ini.

Dalam kasus seperti itu, persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan dua cara.

Saya cara solusi
Mengurangi Persamaan menjadi Proporsi

Saat memecahkan persamaan menggunakan metode proporsi, Anda harus melakukan langkah-langkah berikut:

bawa semua pecahan ke penyebut yang sama dan tambahkan sebagai pecahan aljabar (hanya satu pecahan yang tersisa di ruas kiri dan kanan);

Selesaikan persamaan yang dihasilkan menggunakan aturan proporsi.

Jadi, kembali ke persamaan kita. Di ruas kiri, kita hanya memiliki satu pecahan, jadi tidak diperlukan transformasi di dalamnya.

Kami akan bekerja dengan sisi kanan persamaan. Menyederhanakan sisi kanan persamaan sehingga hanya tersisa satu pecahan. Untuk melakukan ini, ingat aturan untuk menambahkan angka dengan pecahan aljabar.

Sekarang kita menggunakan aturan proporsi dan menyelesaikan persamaan sampai akhir.

II metode solusi
Pengurangan ke persamaan linier tanpa pecahan

Perhatikan kembali persamaan di atas dan selesaikan dengan cara yang berbeda.

Kami melihat bahwa ada dua pecahan dalam persamaan "

Cara menyelesaikan persamaan dengan pecahan. Solusi eksponensial persamaan dengan pecahan.

Menyelesaikan persamaan dengan pecahan mari kita lihat contoh. Contohnya sederhana dan ilustratif. Dengan bantuan mereka, Anda dapat memahami dengan cara yang paling mudah dipahami.
Misalnya, Anda perlu menyelesaikan persamaan sederhana x/b + c = d.

Persamaan jenis ini disebut linier, karena penyebut hanya berisi angka.

Penyelesaian dilakukan dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan b, maka persamaan tersebut berbentuk x = b*(d – c), yaitu. penyebut pecahan di ruas kiri diperkecil.

Misalnya, cara menyelesaikan persamaan pecahan:
x/5+4=9
Kami mengalikan kedua bagian dengan 5. Kami mendapatkan:
x+20=45

Contoh lain di mana yang tidak diketahui ada di penyebut:

Persamaan jenis ini disebut pecahan rasional atau sederhananya pecahan.

Kami akan memecahkan persamaan pecahan dengan menghilangkan pecahan, setelah itu persamaan ini, paling sering, berubah menjadi persamaan linier atau kuadrat, yang diselesaikan dengan cara biasa. Anda hanya harus mempertimbangkan poin-poin berikut:

• nilai variabel yang mengubah penyebut menjadi 0 tidak bisa menjadi akar;
• Anda tidak dapat membagi atau mengalikan persamaan dengan ekspresi =0.

Di sinilah konsep area berperan. nilai yang diizinkan(ODZ) - ini adalah nilai dari akar persamaan yang persamaannya masuk akal.

Dengan demikian, memecahkan persamaan, perlu untuk menemukan akarnya, dan kemudian memeriksanya untuk memenuhi ODZ. Akar yang tidak sesuai dengan DHS kami dikeluarkan dari jawaban.

Misalnya, Anda perlu menyelesaikan persamaan pecahan:

Berdasarkan aturan di atas, x tidak mungkin = 0, yaitu. ODZ di kasus ini: x - nilai apa pun selain nol.

Kami menghilangkan penyebut dengan mengalikan semua suku persamaan dengan x

Dan selesaikan persamaan biasa

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Mari kita selesaikan persamaan yang lebih rumit:

ODZ juga hadir di sini: x -2.

Memecahkan persamaan ini, kami tidak akan mentransfer semuanya dalam satu arah dan membawa pecahan ke penyebut yang sama. Kami segera mengalikan kedua sisi persamaan dengan ekspresi yang akan mengurangi semua penyebut sekaligus.

Untuk mengurangi penyebut, Anda perlu mengalikan ruas kiri dengan x + 2, dan ruas kanan dengan 2. Jadi, kedua ruas persamaan harus dikalikan dengan 2 (x + 2):

Persis ini perkalian biasa pecahan, yang telah kita bahas di atas

Kami menulis persamaan yang sama, tetapi dengan cara yang sedikit berbeda.

Ruas kiri dikurangi (x + 2), dan ruas kanan dikurangi 2. Setelah pengurangan, kita mendapatkan persamaan linier biasa:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, yang sesuai dengan ODZ kami

Menyelesaikan persamaan dengan pecahan tidak sesulit kelihatannya. Dalam artikel ini, kami telah menunjukkannya dengan contoh. Jika Anda mengalami kesulitan dengan cara menyelesaikan persamaan dengan pecahan, lalu berhenti berlangganan di komentar.

Memecahkan persamaan dengan pecahan Grade 5

Penyelesaian persamaan dengan pecahan. Menyelesaikan masalah dengan pecahan.

Lihat konten dokumen
"Menyelesaikan Persamaan dengan Pecahan Kelas 5"

— Penjumlahan pecahan dengan penyebut yang sama.

- Pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama.

Penjumlahan pecahan dengan penyebut yang sama.

Untuk menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang sama, tambahkan pembilangnya dan biarkan penyebutnya sama.

Pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama.

Untuk mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama, kurangi pembilang dari pengurangan dari pembilangnya, dan biarkan penyebutnya sama.

Saat menyelesaikan persamaan, perlu menggunakan aturan untuk menyelesaikan persamaan, sifat-sifat penambahan dan pengurangan.

Menyelesaikan persamaan menggunakan properti.

Menyelesaikan persamaan menggunakan aturan.

Ekspresi di sisi kiri persamaan adalah jumlah.

istilah + istilah = jumlah.

Untuk menemukan suku yang tidak diketahui, kurangi suku yang diketahui dari jumlah.

minuend – pengurangan = selisih

Untuk menemukan pengurangan yang tidak diketahui, kurangi selisihnya dengan minuend.

Ekspresi di sisi kiri persamaan adalah perbedaannya.

Untuk menemukan minuend yang tidak diketahui, Anda perlu menambahkan pengurangan pada selisihnya.

MENGGUNAKAN ATURAN UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN.

Di sisi kiri persamaan, ekspresi adalah jumlah.

Petunjuk

Mungkin poin yang paling jelas di sini adalah, tentu saja, . Pecahan numerik tidak menimbulkan bahaya ( persamaan pecahan, di mana semua penyebut hanya berisi angka, umumnya akan linier), tetapi jika ada variabel dalam penyebut, maka ini harus diperhitungkan dan ditentukan. Pertama, x, yang mengubah penyebut menjadi 0, tidak mungkin, dan secara umum perlu untuk mendaftarkan fakta bahwa x tidak dapat sama dengan angka ini secara terpisah. Bahkan jika Anda berhasil bahwa ketika mensubstitusi ke pembilang, semuanya konvergen dengan sempurna dan memenuhi kondisi. Kedua, kita tidak dapat mengalikan salah satu atau kedua ruas persamaan dengan sama dengan nol.

Setelah ini, persamaan tersebut direduksi menjadi mentransfer semua sukunya ke sisi kiri sehingga 0 tetap di sisi kanan.

Penting untuk membawa semua istilah ke penyebut yang sama, mengalikan, jika perlu, pembilangnya dengan ekspresi yang hilang.
Selanjutnya, kami memecahkan persamaan biasa yang ditulis dalam pembilang. Kita bisa bertahan faktor umum di luar tanda kurung, menerapkan perkalian yang disingkat, memberi suka, menghitung akar persamaan kuadrat melalui diskriminan, dll.

Hasilnya harus berupa faktorisasi dalam bentuk perkalian kurung (x-(i-th root)). Ini juga dapat mencakup polinomial yang tidak memiliki akar, misalnya, trinomial persegi dengan diskriminan kurang dari nol (kecuali, tentu saja, hanya dalam masalah akar asli, seperti yang sering terjadi).
Pastikan untuk memfaktorkan dan penyebut dari letak kurung di sana, yang sudah ada di pembilangnya. Jika penyebut berisi ekspresi seperti (x-(angka)), maka lebih baik, ketika mengurangi ke penyebut yang sama, tidak mengalikan tanda kurung di dalamnya "secara langsung", tetapi membiarkannya dalam bentuk produk dari ekspresi sederhana asli.
Tanda kurung yang sama pada pembilang dan penyebut dapat dikurangi dengan menulis sebelumnya, seperti disebutkan di atas, kondisi pada x.
Jawabannya ditulis dalam kurung kurawal, sebagai kumpulan nilai x, atau cukup dengan enumerasi: x1=..., x2=..., dst.

Sumber:

• Persamaan rasional pecahan

Sesuatu yang tidak bisa dilepaskan dalam fisika, matematika, kimia. Paling sedikit. Kami mempelajari dasar-dasar solusi mereka.

Petunjuk

Dalam klasifikasi yang paling umum dan paling sederhana, dapat dibagi menurut jumlah variabel yang dikandungnya, dan menurut derajat di mana variabel-variabel ini berdiri.

Memecahkan persamaan semua akarnya atau membuktikan bahwa mereka tidak ada.

Setiap persamaan memiliki paling banyak akar P, di mana P adalah maksimum dari persamaan yang diberikan.

Tetapi beberapa dari akar ini mungkin bertepatan. Jadi, misalnya, persamaan x ^ 2 + 2 * x + 1 = 0, di mana ^ adalah ikon eksponensial, dilipat menjadi kuadrat dari ekspresi (x + 1), yaitu, menjadi produk dari dua tanda kurung yang identik, masing-masing memberikan x = - 1 sebagai solusi.

Jika hanya ada satu yang tidak diketahui dalam persamaan, ini berarti Anda akan dapat menemukan akarnya secara eksplisit (nyata atau kompleks).

Untuk melakukan ini, kemungkinan besar Anda memerlukan berbagai transformasi: perkalian disingkat, menghitung diskriminan dan akar persamaan kuadrat, mentransfer suku dari satu bagian ke bagian lain, mengurangi ke penyebut yang sama, mengalikan kedua bagian persamaan dengan ekspresi yang sama, kuadrat, dan sebagainya.

Transformasi yang tidak mempengaruhi akar persamaan adalah identik. Mereka digunakan untuk menyederhanakan proses penyelesaian persamaan.

Anda juga dapat menggunakan alih-alih analitik tradisional metode grafis dan tulis persamaan ini dalam bentuk , setelah melakukan studinya.

Jika ada lebih dari satu yang tidak diketahui dalam persamaan, maka Anda hanya dapat menyatakan salah satunya dalam bentuk yang lain, sehingga menunjukkan serangkaian solusi. Seperti, misalnya, adalah persamaan dengan parameter di mana ada x yang tidak diketahui dan parameter a. Memutuskan persamaan parametrik- berarti semua a menyatakan x melalui a, yaitu, untuk mempertimbangkan semua kasus yang mungkin.

Jika persamaan tersebut mengandung turunan atau diferensial dari yang tidak diketahui (lihat gambar), selamat, ini adalah persamaan diferensial, dan di sini Anda tidak dapat melakukannya tanpa matematika yang lebih tinggi).

Sumber:

• Transformasi identitas

Untuk memecahkan masalah dengan pecahan harus belajar berhubungan dengan mereka operasi aritmatika. Mereka bisa desimal, tetapi paling sering digunakan pecahan alami dengan pembilang dan penyebut. Hanya dengan begitu Anda dapat beralih ke solusi. Soal matematika dengan nilai pecahan.

Anda akan perlu

• - Kalkulator;
• - pengetahuan tentang sifat-sifat pecahan;
• - Kemampuan untuk bekerja dengan pecahan.

Petunjuk

Pecahan adalah catatan membagi satu nomor dengan yang lain. Seringkali ini tidak dapat dilakukan sepenuhnya, dan karena itu tindakan ini dibiarkan “belum selesai. Bilangan yang habis dibagi (di atas atau sebelum tanda pecahan) disebut pembilang, dan bilangan kedua (di bawah atau setelah tanda pecahan) disebut penyebut. Jika pembilangnya lebih besar dari penyebutnya, maka pecahan tersebut disebut pecahan biasa, dan bagian bilangan bulat dapat diekstraksi darinya. Jika pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya, maka pecahan seperti itu disebut wajar, dan seluruh bagian sama dengan 0.

tugas dibagi menjadi beberapa jenis. Tentukan mana yang merupakan tugas. Opsi paling sederhana- menemukan pecahan dari suatu bilangan yang dinyatakan sebagai pecahan. Untuk mengatasi masalah ini, cukup dengan mengalikan angka ini dengan pecahan. Misalnya, 8 ton kentang dibawa masuk. Di minggu pertama, 3/4 darinya total. Berapa banyak kentang yang tersisa? Untuk mengatasi masalah ini, kalikan angka 8 dengan 3/4. Ini akan menjadi 8 3/4 \u003d 6 t.

Jika Anda perlu mencari suatu bilangan dengan bagiannya, kalikan bagian bilangan yang diketahui dengan kebalikan dari pecahan yang menunjukkan berapa proporsi bagian tersebut dalam bilangan tersebut. Misalnya, 8 dari 1/3 jumlah siswa. Berapa banyak di ? Karena 8 orang adalah bagian yang mewakili 1/3 dari jumlah keseluruhan, maka cari timbal-balik, yaitu sama dengan 3/1 atau hanya 3. Maka banyaknya siswa dalam kelas tersebut adalah 8∙3=24 siswa.

Ketika Anda perlu menemukan bagian mana dari suatu angka yang merupakan satu angka dari angka lainnya, bagilah angka yang mewakili bagian tersebut dengan angka yang merupakan bilangan bulat. Misalnya, jika jaraknya 300 km dan mobil telah menempuh 200 km, berapa jarak dari total perjalanan? Bagilah bagian jalan 200 dengan jalur penuh 300, setelah mengurangi pecahan Anda akan mendapatkan hasilnya. 200/300=2/3.

Untuk menemukan bagian dari pecahan yang tidak diketahui dari suatu bilangan, jika ada yang diketahui, ambil bilangan bulat sebagai satuan konvensional, dan kurangi pecahan yang diketahui darinya. Misalnya, jika 4/7 pelajaran sudah berlalu, apakah masih ada yang tersisa? Ambil seluruh pelajaran sebagai unit konvensional dan kurangi 4/7 darinya. Dapatkan 1-4/7=7/7-4/7=3/7.

Kami terus berbicara tentang solusi persamaan. Dalam artikel ini, kami akan fokus pada persamaan rasional dan prinsip keputusan persamaan rasional dengan satu variabel. Pertama, mari kita cari tahu jenis persamaan apa yang disebut rasional, berikan definisi persamaan rasional bilangan bulat dan rasional pecahan, dan berikan contohnya. Selanjutnya, kami memperoleh algoritme untuk menyelesaikan persamaan rasional, dan, tentu saja, mempertimbangkan solusinya contoh karakteristik dengan semua penjelasan yang diperlukan.

Navigasi halaman.

Berdasarkan definisi yang terdengar, kami memberikan beberapa contoh persamaan rasional. Misalnya, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , adalah semua persamaan rasional.

Dari contoh-contoh yang ditunjukkan, dapat dilihat bahwa persamaan rasional, serta persamaan jenis lainnya, dapat berupa satu variabel, atau dengan dua, tiga, dll. variabel. PADA paragraf berikut kita akan berbicara tentang memecahkan persamaan rasional dalam satu variabel. Memecahkan persamaan dengan dua variabel dan mereka jumlah yang besar layak mendapat perhatian khusus.

Selain membagi persamaan rasional dengan jumlah variabel yang tidak diketahui, mereka juga dibagi menjadi bilangan bulat dan pecahan. Mari kita berikan definisi yang sesuai.

Definisi.

Persamaan rasional disebut utuh, jika kedua bagian kiri dan kanannya adalah ekspresi rasional bilangan bulat.

Definisi.

Jika setidaknya salah satu bagian dari persamaan rasional adalah ekspresi pecahan, maka persamaan tersebut disebut rasional fraksional(atau rasional fraksional).

Jelas bahwa persamaan bilangan bulat tidak mengandung pembagian dengan variabel; sebaliknya, persamaan rasional pecahan harus mengandung pembagian oleh variabel (atau variabel dalam penyebut). Jadi 3 x+2=0 dan (x+y) (3 x 2 1)+x=−y+0,5 adalah seluruh persamaan rasional, kedua bagiannya adalah ekspresi bilangan bulat. A dan x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 adalah contoh persamaan rasional pecahan.

Sebagai penutup paragraf ini, mari kita perhatikan fakta bahwa persamaan linier dan persamaan kuadrat yang diketahui saat ini adalah persamaan rasional keseluruhan.

Memecahkan seluruh persamaan

Salah satu pendekatan utama untuk menyelesaikan seluruh persamaan adalah pengurangannya menjadi setara persamaan aljabar. Ini selalu dapat dilakukan dengan melakukan transformasi setara berikut dari persamaan:

• pertama, ekspresi dari sisi kanan persamaan bilangan bulat asli dipindahkan ke sisi kiri dengan tanda berlawanan untuk mendapatkan nol di sisi kanan;
• setelah itu, di sisi kiri persamaan, yang dihasilkan tampilan standar.

Hasilnya adalah persamaan aljabar, yang setara dengan seluruh persamaan asli. Jadi paling banyak kasus sederhana menyelesaikan seluruh persamaan direduksi menjadi menyelesaikan persamaan linier atau kuadrat, dan dalam kasus umum– ke solusi persamaan aljabar derajat n. Untuk kejelasan, mari kita menganalisis solusi dari contoh.

Contoh.

Temukan akar dari seluruh persamaan 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

Keputusan.

Mari kita kurangi solusi seluruh persamaan ini menjadi solusi persamaan aljabar ekivalen. Untuk melakukan ini, pertama, kami mentransfer ekspresi dari sisi kanan ke kiri, sebagai hasilnya kami sampai pada persamaan 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. Dan, kedua, kami mengubah ekspresi yang terbentuk di sisi kiri menjadi polinomial dari bentuk standar dengan melakukan hal yang diperlukan: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 5 x−6. Jadi, solusi persamaan bilangan bulat asli direduksi menjadi solusi persamaan kuadrat x 2 5·x−6=0 .

Hitung diskriminannya D=(−5) 2 4 1 (−6)=25+24=49, itu positif, yang berarti bahwa persamaan tersebut memiliki dua akar real, yang kita temukan dengan rumus akar-akar persamaan kuadrat:

Untuk kepercayaan penuh lakukan memeriksa akar yang ditemukan dari persamaan. Pertama, kami memeriksa akar 6, menggantinya dengan variabel x dalam persamaan bilangan bulat asli: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, yang sama, 63=63 . Ini adalah persamaan numerik yang valid, jadi x=6 memang akar persamaan. Sekarang kita periksa root 1 , kita punya 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, dimana, 0=0 . Untuk x=−1, persamaan asli juga berubah menjadi persamaan numerik sejati, oleh karena itu, x=−1 juga merupakan akar persamaan.

Menjawab:

6 , −1 .

Di sini juga harus dicatat bahwa istilah "kekuatan seluruh persamaan" dikaitkan dengan representasi seluruh persamaan dalam bentuk persamaan aljabar. Kami memberikan definisi yang sesuai:

Definisi.

Derajat seluruh persamaan sebut derajat persamaan aljabar yang setara dengannya.

Menurut definisi ini, seluruh persamaan dari contoh sebelumnya memiliki derajat kedua.

Yang ini bisa menyelesaikan dengan solusi seluruh persamaan rasional, jika bukan untuk satu tapi .... Seperti diketahui, solusi persamaan aljabar dengan derajat yang lebih tinggi dari yang kedua dikaitkan dengan kesulitan yang signifikan, dan untuk persamaan dengan derajat yang lebih tinggi dari yang keempat, tidak ada persamaan seperti itu sama sekali. rumus umum akar. Oleh karena itu, untuk menyelesaikan seluruh persamaan ketiga, keempat, dan lainnya derajat tinggi sering harus menggunakan metode solusi lain.

Dalam kasus seperti itu, terkadang pendekatan untuk menyelesaikan seluruh persamaan rasional didasarkan pada metode faktorisasi. Pada saat yang sama, algoritma berikut diikuti:

• pertama mereka berusaha untuk memiliki nol di sisi kanan persamaan, untuk ini mereka mentransfer ekspresi dari sisi kanan seluruh persamaan ke kiri;
• kemudian, ekspresi yang dihasilkan di sisi kiri disajikan sebagai produk dari beberapa faktor, yang memungkinkan Anda untuk pergi ke serangkaian persamaan yang lebih sederhana.

Algoritma di atas untuk menyelesaikan seluruh persamaan melalui faktorisasi memerlukan penjelasan rinci menggunakan contoh.

Contoh.

Selesaikan seluruh persamaan (x 2 1) (x 2 10 x+13)= 2 x (x 2 10 x+13) .

Keputusan.

Pertama, seperti biasa, kita pindahkan ekspresi dari ruas kanan ke ruas kiri persamaan, jangan lupa ubah tandanya, kita peroleh (x 2 1) (x 2 10 x+13) 2 x (x 2 10 x+13)=0 . Cukup jelas di sini bahwa tidak disarankan untuk mengubah ruas kiri persamaan yang dihasilkan menjadi polinomial bentuk standar, karena ini akan memberikan persamaan aljabar derajat keempat bentuk x 4 12 x 3 +32 x 2 16 x−13=0, yang solusinya sulit.

Di sisi lain, jelas bahwa x 2 10·x+13 dapat ditemukan di sisi kiri persamaan yang dihasilkan, sehingga mewakilinya sebagai produk. Kita punya (x 2 10 x+13) (x 2 2 x−1)=0. Persamaan yang dihasilkan ekuivalen dengan seluruh persamaan semula, dan persamaan tersebut, pada gilirannya, dapat diganti dengan dua persamaan kuadrat x 2 −10·x+13=0 dan x 2 2·x−1=0 . Menemukan akarnya rumus yang diketahui akar melalui diskriminan tidak sulit, akarnya sama. Mereka adalah akar yang diinginkan dari persamaan asli.

Menjawab:

Ini juga berguna untuk menyelesaikan seluruh persamaan rasional. metode untuk memperkenalkan variabel baru. Dalam beberapa kasus, ini memungkinkan seseorang untuk melewati persamaan yang derajatnya lebih rendah dari derajat persamaan bilangan bulat aslinya.

Contoh.

Tentukan akar real dari persamaan rasional (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Keputusan.

Mengurangi seluruh persamaan rasional ini menjadi persamaan aljabar, secara halus, bukanlah ide yang bagus, karena dalam kasus ini kita akan menemukan kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan derajat keempat yang tidak memiliki akar rasional. Karena itu, Anda harus mencari solusi lain.

Sangat mudah untuk melihat di sini bahwa Anda dapat memasukkan variabel baru y dan mengganti ekspresi x 2 +3 x dengannya. Penggantian seperti itu membawa kita ke seluruh persamaan (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , yang, setelah mentransfer ekspresi 2 (y−4) ke sisi kiri dan transformasi selanjutnya dari ekspresi yang terbentuk di sana, direduksi menjadi persamaan y 2 +4 y+3=0 . Akar persamaan ini y=−1 dan y=−3 mudah ditemukan, misalnya, mereka dapat ditemukan berdasarkan teorema kebalikan dari teorema Vieta.

Sekarang mari kita beralih ke bagian kedua dari metode memasukkan variabel baru, yaitu membuat substitusi terbalik. Setelah melakukan substitusi terbalik, kita memperoleh dua persamaan x 2 +3 x=−1 dan x 2 +3 x=−3 , yang dapat ditulis ulang sebagai x 2 +3 x+1=0 dan x 2 +3 x+3 =0 . Menurut rumus akar persamaan kuadrat, kita menemukan akar persamaan pertama. Dan persamaan kuadrat kedua tidak memiliki akar real, karena diskriminannya negatif (D=3 2 4 3=9−12=−3 ).

Menjawab:

Secara umum, ketika kita berhadapan dengan persamaan bilangan bulat derajat tinggi, kita harus selalu siap untuk mencari metode non-standar atau perangkat buatan untuk solusi mereka.

Penyelesaian persamaan rasional fraksional

Pertama, akan berguna untuk memahami bagaimana menyelesaikan persamaan rasional fraksional dari bentuk , di mana p(x) dan q(x) adalah ekspresi bilangan bulat rasional. Dan kemudian kami akan menunjukkan cara mengurangi solusi dari persamaan rasional fraksional yang tersisa menjadi solusi persamaan bentuk yang ditunjukkan.

Salah satu pendekatan untuk menyelesaikan persamaan didasarkan pada pernyataan berikut: pecahan numerik u/v, di mana v adalah bilangan bukan-nol (jika tidak, kita akan menemukan , yang tidak didefinisikan), sama dengan nol jika dan hanya jika pembilangnya nol, yaitu, jika dan hanya jika u=0 . Berdasarkan pernyataan ini, solusi persamaan direduksi menjadi pemenuhan dua kondisi p(x)=0 dan q(x)≠0 .

Kesimpulan ini sesuai dengan yang berikut: algoritma untuk memecahkan persamaan rasional fraksional. Menyelesaikan persamaan rasional pecahan berbentuk

• selesaikan seluruh persamaan rasional p(x)=0 ;
• dan periksa apakah kondisi q(x)≠0 terpenuhi untuk setiap akar yang ditemukan, while
• jika benar, maka akar ini adalah akar dari persamaan awal;
• jika tidak, maka akar ini asing, yaitu, itu bukan akar dari persamaan asli.

Mari kita menganalisis contoh penggunaan algoritme bersuara saat menyelesaikan persamaan rasional pecahan.

Contoh.

Temukan akar persamaan.

Keputusan.

Ini adalah persamaan rasional fraksional dari bentuk , di mana p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 2=0 .

Menurut algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional fraksional semacam ini, pertama-tama kita harus menyelesaikan persamaan 3·x−2=0 . Ini adalah persamaan linier yang akarnya adalah x=2/3 .

Tetap memeriksa akar ini, yaitu, untuk memeriksa apakah memenuhi kondisi 5·x 2 2≠0 . Kami mengganti angka 2/3 alih-alih x ke dalam ekspresi 5 x 2 2, kami mendapatkan . Kondisi terpenuhi, jadi x=2/3 adalah akar dari persamaan awal.

Menjawab:

2/3 .

Solusi persamaan rasional pecahan dapat didekati dari posisi yang sedikit berbeda. Persamaan ini ekuivalen dengan seluruh persamaan p(x)=0 pada variabel x dari persamaan awal. Artinya, Anda bisa mengikuti ini algoritma untuk memecahkan persamaan rasional fraksional :

• selesaikan persamaan p(x)=0 ;
• temukan variabel ODZ x ;
• ambil akar yang termasuk dalam wilayah nilai yang dapat diterima - mereka adalah akar yang diinginkan dari persamaan rasional fraksional asli.

Sebagai contoh, mari kita selesaikan persamaan rasional pecahan menggunakan algoritma ini.

Contoh.

Memecahkan persamaan.

Keputusan.

Pertama, kita selesaikan persamaan kuadrat x 2 2·x−11=0 . Akarnya dapat dihitung menggunakan rumus akar untuk koefisien kedua genap, kita peroleh D 1 =(−1) 2 1 (−11)=12, dan .

Kedua, kami menemukan ODZ dari variabel x untuk persamaan asli. Ini terdiri dari semua angka yang x 2 +3 x≠0 , yang sama dengan x (x+3)≠0 , dari mana x≠0 , x≠−3 .

Tetap memeriksa apakah akar yang ditemukan pada langkah pertama termasuk dalam ODZ. Jelas ya. Oleh karena itu, persamaan rasional fraksional asli memiliki dua akar.

Menjawab:

Perhatikan bahwa pendekatan ini lebih menguntungkan daripada yang pertama jika ODZ mudah ditemukan, dan terutama bermanfaat jika akar persamaan p(x)=0 adalah irasional, misalnya , atau rasional, tetapi dengan pembilang dan/atau penyebut, misalnya 127/1101 dan -31/59 . Hal ini disebabkan fakta bahwa dalam kasus seperti itu, memeriksa kondisi q(x)≠0 akan membutuhkan upaya komputasi yang signifikan, dan lebih mudah untuk mengecualikan akar asing dari ODZ.

Dalam kasus lain, saat menyelesaikan persamaan, terutama jika akar persamaan p(x)=0 adalah bilangan bulat, akan lebih menguntungkan untuk menggunakan yang pertama dari algoritma di atas. Artinya, disarankan untuk segera menemukan akar seluruh persamaan p(x)=0 , dan kemudian memeriksa apakah kondisi q(x)≠0 terpenuhi untuk mereka, dan tidak menemukan ODZ, dan kemudian menyelesaikan persamaan p(x)=0 pada ODZ ini. Hal ini disebabkan fakta bahwa dalam kasus seperti itu biasanya lebih mudah untuk melakukan pemeriksaan daripada menemukan ODZ.

Pertimbangkan solusi dari dua contoh untuk menggambarkan nuansa yang ditentukan.

Contoh.

Temukan akar persamaan.

Keputusan.

Pertama kita cari akar dari seluruh persamaan (2 x−1) (x−6) (x 2 5 x+14) (x+1)=0, disusun menggunakan pembilang pecahan. Ruas kiri persamaan ini adalah produk, dan ruas kanan adalah nol, oleh karena itu, menurut metode penyelesaian persamaan melalui faktorisasi, persamaan ini setara dengan himpunan empat persamaan 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 5 x+ 14=0 , x+1=0 . Tiga dari persamaan ini linier dan satu kuadrat, kita dapat menyelesaikannya. Dari persamaan pertama kita temukan x=1/2, dari persamaan kedua - x=6, dari persamaan ketiga - x=7, x=−2, dari persamaan keempat - x=−1.

Dengan akar yang ditemukan, cukup mudah untuk memeriksanya untuk melihat apakah penyebut pecahan di sisi kiri persamaan asli tidak hilang, dan tidak mudah untuk menentukan ODZ, karena ini harus menyelesaikan sebuah persamaan aljabar derajat kelima. Karena itu, mari kita menyerah menemukan ODZ mendukung memeriksa akar. Untuk melakukan ini, kami menggantinya secara bergantian sebagai ganti variabel x dalam ekspresi x 5 15 x 4 +57 x 3 13 x 2 +26 x+112, diperoleh setelah substitusi, dan bandingkan dengan nol: (1/2) 5 15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 15 6 4 +57 6 3 13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 15 7 4 +57 7 3 13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 15 (−2) 4 +57 (−2) 3 13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 15 (−1) 4 +57 (−1) 3 13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Jadi, 1/2, 6 dan 2 adalah akar-akar yang diinginkan dari persamaan rasional fraksional asli, dan 7 dan 1 adalah akar-akar asing.

Menjawab:

1/2 , 6 , −2 .

Contoh.

Temukan akar-akar persamaan rasional pecahan.

Keputusan.

Pertama kita cari akar persamaan (5x2 7x−1)(x−2)=0. Persamaan ini ekuivalen dengan dua persamaan: kuadrat 5·x 2 7·x−1=0 dan linear x−2=0 . Menurut rumus akar persamaan kuadrat, kita menemukan dua akar, dan dari persamaan kedua kita memiliki x=2.

Memeriksa apakah penyebut tidak hilang pada nilai x yang ditemukan agak tidak menyenangkan. Dan untuk menentukan kisaran nilai yang dapat diterima dari variabel x dalam persamaan aslinya cukup sederhana. Oleh karena itu, kami akan bertindak melalui ODZ.

Dalam kasus kita, ODZ variabel x dari persamaan rasional pecahan asli terdiri dari semua bilangan, kecuali bilangan yang memenuhi syarat x 2 +5·x−14=0. Akar persamaan kuadrat ini adalah x=−7 dan x=2, dari sini kita menyimpulkan tentang ODZ: ODZ terdiri dari semua x sehingga .

Tetap memeriksa apakah akar yang ditemukan dan x=2 termasuk dalam wilayah nilai yang dapat diterima. Akar - milik, oleh karena itu, mereka adalah akar dari persamaan asli, dan x=2 bukan milik, oleh karena itu, itu adalah akar asing.

Menjawab:

Juga akan berguna untuk membahas secara terpisah kasus-kasus di mana persamaan rasional pecahan dari bentuk berisi angka dalam pembilang, yaitu, ketika p (x) diwakili oleh beberapa angka. Di mana

• jika bilangan ini berbeda dengan nol, maka persamaan tersebut tidak memiliki akar, karena pecahan adalah nol jika dan hanya jika pembilangnya nol;
• jika angka ini nol, maka akar persamaannya adalah angka apa pun dari ODZ.

Contoh.

Keputusan.

Karena ada bilangan bukan nol pada pembilang pecahan di sisi kiri persamaan, untuk tidak ada x dapat nilai pecahan ini sama dengan nol. Oleh karena itu, persamaan ini tidak memiliki akar.

Menjawab:

tidak ada akar.

Contoh.

Memecahkan persamaan.

Keputusan.

Pembilang pecahan di ruas kiri persamaan rasional pecahan ini adalah nol, jadi nilai pecahan ini adalah nol untuk setiap x yang masuk akal. Dengan kata lain, solusi persamaan ini adalah sembarang nilai x dari DPV variabel ini.

Tetap menentukan kisaran nilai yang dapat diterima ini. Ini mencakup semua nilai x yang x 4 +5 x 3 0. Solusi dari persamaan x 4 +5 x 3 \u003d 0 adalah 0 dan 5, karena persamaan ini setara dengan persamaan x 3 (x + 5) \u003d 0, dan, pada gilirannya, setara dengan kombinasi dari dua persamaan x 3 \u003d 0 dan x +5=0 , dari mana akar-akar ini terlihat. Oleh karena itu, rentang nilai yang dapat diterima yang diinginkan adalah x , kecuali untuk x=0 dan x=−5 .

Jadi, persamaan rasional fraksional memiliki banyak solusi, yang merupakan bilangan apa pun kecuali nol dan minus lima.

Menjawab:

Akhirnya, saatnya berbicara tentang menyelesaikan persamaan rasional pecahan tipe sewenang-wenang. Mereka dapat ditulis sebagai r(x)=s(x) , di mana r(x) dan s(x) adalah ekspresi rasional, dan setidaknya salah satunya adalah pecahan. Ke depan, kami mengatakan bahwa solusi mereka direduksi menjadi penyelesaian persamaan bentuk yang sudah akrab bagi kami.

Diketahui bahwa pemindahan suku dari satu bagian persamaan ke bagian lain yang berlawanan tanda mengarah ke setara dengan persamaan, sehingga persamaan r(x)=s(x) setara dengan persamaan r(x)−s(x)=0 .

Kita juga tahu bahwa any bisa identik sama dengan ekspresi ini. Dengan demikian, ekspresi rasional di ruas kiri persamaan r(x)−s(x)=0, kita selalu dapat mentransformasikannya menjadi pecahan rasional yang identik sama bentuknya .

Jadi kita beralih dari persamaan rasional pecahan asli r(x)=s(x) ke persamaan , dan solusinya, seperti yang kita temukan di atas, direduksi menjadi penyelesaian persamaan p(x)=0 .

Tetapi di sini perlu untuk mempertimbangkan fakta bahwa ketika mengganti r(x)−s(x)=0 dengan , dan kemudian dengan p(x)=0 , rentang nilai yang diizinkan dari variabel x dapat diperluas .

Oleh karena itu, persamaan asli r(x)=s(x) dan persamaan p(x)=0 , yang kita dapatkan, mungkin tidak setara, dan dengan menyelesaikan persamaan p(x)=0 , kita dapat memperoleh akar yang akan menjadi akar asing dari persamaan asli r(x)=s(x) . Dimungkinkan untuk mengidentifikasi dan tidak memasukkan akar asing dalam jawaban, baik dengan memeriksa, atau dengan memeriksa milik mereka ke ODZ dari persamaan asli.

Kami merangkum informasi ini dalam algoritma untuk memecahkan persamaan rasional pecahan r(x)=s(x). Untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan r(x)=s(x) , kita harus

• Dapatkan nol di sebelah kanan dengan memindahkan ekspresi dari sisi kanan dengan tanda yang berlawanan.
• Lakukan tindakan dengan pecahan dan polinomial di sisi kiri persamaan, sehingga mengubahnya menjadi bentuk pecahan rasional.
• Selesaikan persamaan p(x)=0 .
• Identifikasi dan singkirkan akar-akar asing, yang dilakukan dengan mensubstitusinya ke dalam persamaan asli atau dengan memeriksa kepemilikannya pada ODZ dari persamaan asli.

Untuk kejelasan yang lebih besar, kami akan menunjukkan seluruh rantai penyelesaian persamaan rasional pecahan:
.

Mari kita membahas solusi dari beberapa contoh dengan penjelasan rinci tentang solusi untuk memperjelas blok informasi yang diberikan.

Contoh.

Memecahkan persamaan rasional pecahan.

Keputusan.

Kami akan bertindak sesuai dengan algoritma solusi yang baru saja diperoleh. Dan pertama-tama kita mentransfer istilah dari sisi kanan persamaan ke sisi kiri, sebagai hasilnya kita lolos ke persamaan .

Pada langkah kedua, kita perlu mengubah ekspresi rasional pecahan di ruas kiri persamaan yang dihasilkan ke dalam bentuk pecahan. Untuk melakukan ini, kami melakukan pengurangan pecahan rasional ke penyebut yang sama dan menyederhanakan ekspresi yang dihasilkan: . Jadi kita sampai pada persamaan.

Pada langkah berikutnya, kita perlu menyelesaikan persamaan 2·x−1=0 . Cari x=−1/2 .

Masih untuk memeriksa apakah nomor yang ditemukan adalah 1/2 akar asing persamaan asli. Untuk melakukan ini, Anda dapat memeriksa atau menemukan variabel ODZ x dari persamaan asli. Mari kita tunjukkan kedua pendekatan tersebut.

Mari kita mulai dengan cek. Kami mengganti angka 1/2 alih-alih variabel x ke dalam persamaan asli, kami mendapatkan , yang sama, 1=−1. Substitusi memberikan persamaan numerik yang benar, oleh karena itu, x=−1/2 adalah akar dari persamaan aslinya.

Sekarang kita akan menunjukkan bagaimana langkah terakhir dari algoritma dilakukan melalui ODZ. Rentang nilai yang dapat diterima dari persamaan asli adalah himpunan semua bilangan, kecuali untuk 1 dan 0 (untuk x=−1 dan x=0, penyebut pecahan hilang). Akar x=−1/2 yang ditemukan pada langkah sebelumnya termasuk dalam ODZ, oleh karena itu, x=−1/2 adalah akar dari persamaan aslinya.

Menjawab:

−1/2 .

Mari kita pertimbangkan contoh lain.

Contoh.

Temukan akar persamaan.

Keputusan.

Kita perlu memecahkan persamaan rasional fraksional, mari kita lihat semua langkah algoritmanya.

Pertama, kita pindahkan suku dari ruas kanan ke kiri, kita peroleh .

Kedua, kami mengubah ekspresi yang terbentuk di sisi kiri: . Akibatnya, kita sampai pada persamaan x=0 .

Akarnya jelas - nol.

Pada langkah keempat, masih mencari tahu apakah akar yang ditemukan bukan akar luar untuk persamaan rasional fraksional asli. Ketika disubstitusikan ke persamaan asli, ekspresi diperoleh. Jelas, itu tidak masuk akal, karena mengandung pembagian dengan nol. Dari mana kita menyimpulkan bahwa 0 adalah akar asing. Oleh karena itu, persamaan asli tidak memiliki akar.

7 , yang mengarah ke persamaan . Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa ekspresi penyebut ruas kiri harus sama dengan dari ruas kanan, yaitu . Sekarang kita kurangi dari kedua bagian dari triple: . Dengan analogi, dari mana, dan selanjutnya.

Pemeriksaan menunjukkan bahwa kedua akar yang ditemukan adalah akar dari persamaan rasional pecahan asli.

Menjawab:

Bibliografi.

• Aljabar: buku pelajaran untuk 8 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2008. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8. Pukul 2 siang Bagian 1. Buku siswa institusi pendidikan/ A.G. Mordkovich. - Edisi ke-11, terhapus. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Aljabar: Kelas 9: buku teks. untuk pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2009. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-021134-5.

persamaan pecahan. ODZ.

Perhatian!
Ada tambahan
materi di Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu ..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")

Kami terus menguasai persamaan. Kita sudah tahu bagaimana bekerja dengan persamaan linear dan kuadrat. Tampilan terakhir tetap ada persamaan pecahan. Atau mereka juga disebut jauh lebih solid - persamaan rasional pecahan. Ini sama.

persamaan pecahan.

Sesuai dengan namanya, persamaan ini tentu mengandung pecahan. Tapi bukan hanya pecahan, tapi pecahan yang memiliki tidak diketahui penyebutnya. Setidaknya dalam satu. Sebagai contoh:

Biarkan saya mengingatkan Anda, jika dalam penyebut saja angka, ini adalah persamaan linier.

Bagaimana memutuskan persamaan pecahan? Pertama-tama, singkirkan pecahan! Setelah itu, persamaan, paling sering, berubah menjadi linier atau kuadrat. Dan kemudian kita tahu apa yang harus dilakukan... Dalam beberapa kasus, itu bisa berubah menjadi identitas, seperti 5=5 atau ekspresi yang salah, seperti 7=2. Tapi ini jarang terjadi. Di bawah ini saya akan menyebutkannya.

Tapi bagaimana cara menghilangkan pecahan!? Sangat sederhana. Menerapkan semua transformasi identik yang sama.

Kita perlu mengalikan seluruh persamaan dengan ekspresi yang sama. Sehingga semua penyebut berkurang! Semuanya akan segera menjadi lebih mudah. Saya jelaskan dengan sebuah contoh. Katakanlah kita perlu menyelesaikan persamaan:

seperti yang diajarkan di nilai yang lebih rendah? Kami mentransfer semuanya dalam satu arah, menguranginya menjadi penyebut yang sama, dll. Lupakan bagaimana mimpi yang mengerikan! Ini adalah bagaimana Anda melakukannya ketika Anda menambah atau mengurangi ekspresi pecahan. Atau bekerja dengan ketidaksetaraan. Dan dalam persamaan, kami segera mengalikan kedua bagian dengan ekspresi yang akan memberi kami kesempatan untuk mengurangi semua penyebut (yaitu, pada dasarnya, dengan penyebut yang sama). Dan apa ekspresi ini?

Di sisi kiri, untuk mengurangi penyebut, Anda perlu mengalikan dengan x+2. Dan di sebelah kanan, diperlukan perkalian dengan 2. Jadi, persamaan harus dikalikan dengan 2(x+2). Kami mengalikan:

Ini adalah perkalian pecahan biasa, tetapi saya akan menulis secara rinci:

Harap dicatat bahwa saya belum membuka tanda kurung. (x + 2)! Jadi, secara keseluruhan, saya menulisnya:

Di sisi kiri, itu dikurangi seluruhnya (x+2), dan di sebelah kanan 2. Sesuai kebutuhan! Setelah dikurangi kita dapatkan linier persamaan:

Siapa pun dapat memecahkan persamaan ini! x = 2.

Mari kita selesaikan contoh lain, yang sedikit lebih rumit:

Jika kita ingat bahwa 3 = 3/1, dan 2x = 2x/ 1 dapat ditulis:

Dan sekali lagi kami menyingkirkan apa yang tidak kami sukai - dari pecahan.

Kita melihat bahwa untuk mengurangi penyebut dengan x, pecahan perlu dikalikan dengan (x - 2). Dan unit bukanlah halangan bagi kami. Nah, mari kita perbanyak. Semua sisi kiri dan semua sisi kanan:

Tanda kurung lagi (x - 2) Saya tidak mengungkapkan. Saya bekerja dengan braket secara keseluruhan, seolah-olah itu adalah satu nomor! Ini harus selalu dilakukan, jika tidak, tidak akan ada yang dikurangi.

Dengan perasaan kepuasan yang mendalam, kami memotong (x - 2) dan kita mendapatkan persamaan tanpa pecahan, dalam penggaris!

Dan sekarang kita membuka tanda kurung:

Kami memberikan yang serupa, mentransfer semuanya ke sisi kiri dan mendapatkan:

Tapi sebelum itu, kita akan belajar memecahkan masalah lain. Untuk kepentingan. Omong-omong, garu itu!

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.