აბსოლუტური მნიშვნელობები და მათი კლასიფიკაცია.

აბსოლუტური ღირებულებებიარის შედეგები სტატისტიკური დაკვირვებები. სტატისტიკაში, მათემატიკისგან განსხვავებით, ყველა აბსოლუტურ მნიშვნელობას აქვს განზომილება (გაზომვის ერთეული), ასევე შეიძლება იყოს დადებითი და უარყოფითი.

ერთეულებიაბსოლუტური მნიშვნელობები ასახავს სტატისტიკური პოპულაციის ერთეულების თვისებებს და შეიძლება იყოსმარტივი , რომელიც ასახავს 1 თვისებას (მაგ. ტვირთის მასა იზომება ტონებში) ანკომპლექსი ასახავს რამდენიმე ურთიერთდაკავშირებულ თვისებას (მაგალითად, ტონა კილომეტრი ან კილოვატ-საათი).

ერთეულებიაბსოლუტური მნიშვნელობები შეიძლება იყოს 3 სახეობა:

1. ბუნებრივი - გამოიყენება ერთგვაროვანი თვისებების მქონე რაოდენობების გამოსათვლელად (მაგალითად, ცალი, ტონა, მეტრი და ა.შ.). მათი მინუსი არის ის, რომ ისინი არ იძლევიან არამსგავსი რაოდენობების შეჯამების საშუალებას.
2. პირობითად ნატურალური- გამოიყენება ერთგვაროვანი თვისებების მქონე აბსოლუტურ მნიშვნელობებზე, მაგრამ მათი გამოვლენა სხვადასხვა გზით. Მაგალითად, სრული წონაენერგიის წყაროები (ხის, ტორფის, ქვანახშირინავთობპროდუქტები, ბუნებრივი აირი) იზომება tce-ში - ტონა საცნობარო საწვავი, რადგან მის თითოეულ ტიპს განსხვავებული აქვს კალორიული ღირებულება, და სტანდარტად აღებული იყო 29,3 მჯ/კგ. ანალოგიურად სულჩვენში სასკოლო რვეულები იზომება.შ.ტ. - პირობითი სკოლის რვეულებიზომით 12 ფურცელი. ანალოგიურად, საკონსერვო პროდუქტები იზომება a.c.b. - პირობითი ქილა 1/3 ლიტრი მოცულობით. ანალოგიურად პროდუქტები სარეცხი საშუალებებიმცირდება პირობითი ცხიმის შემცველობამდე 40%.
3. ღირებულება საზომი ერთეულები გამოიხატება რუბლებში ან სხვა ვალუტაში, რაც წარმოადგენს აბსოლუტური მნიშვნელობის საზომს. ისინი შესაძლებელს ხდიან ჰეტეროგენული მნიშვნელობების შეჯამებას, მაგრამ მათი მინუსი ის არის, რომ აუცილებელია ინფლაციის ფაქტორის გათვალისწინება, ამიტომ სტატისტიკა ყოველთვის გადათვლის ხარჯების ღირებულებებს შესადარ ფასებში.

აბსოლუტური მნიშვნელობები შეიძლება იყოს მომენტალური ან ინტერვალური.მომენტალური აბსოლუტური მნიშვნელობები აჩვენებს შესწავლილი ფენომენის ან პროცესის დონეს გარკვეული მომენტიდრო ან თარიღი (მაგალითად, ჯიბეში არსებული თანხის ოდენობა ან ძირითადი საშუალებების ღირებულება თვის პირველ დღეს).ინტერვალი აბსოლუტური მნიშვნელობები არის საბოლოო დაგროვილი შედეგი გარკვეული პერიოდიდროის (ინტერვალი) (მაგალითად, ხელფასი ერთი თვის, კვარტლის ან წლის განმავლობაში). ინტერვალის აბსოლუტური მნიშვნელობები, მომენტებისგან განსხვავებით, იძლევა შემდგომ შეჯამებას.

აბსოლუტური სტატისტიკა აღინიშნება X , და მათი საერთო რაოდენობასტატისტიკურ აგრეგატში -ნ.

მნიშვნელობების რაოდენობა იგივე ღირებულებანიშანი აღინიშნება f და ეწოდება სიხშირე (განმეორება, გაჩენა).

აბსოლუტური თავისთავად სტატისტიკაარ მისცე სრული ხედიშესწავლილი ფენომენის შესახებ, რადგან ისინი არ აჩვენებენ მის დინამიკას, სტრუქტურას, ნაწილებს შორის ურთიერთობას. ამ მიზნებისათვის გამოიყენება შედარებითი სტატისტიკური მნიშვნელობები.

კემეროვო

მემორანდუმი "საშუალო ყოვლისმომცველი სკოლა No 37"

არჩევითი კურსისურვილისამებრ

10-11 კლასის მოსწავლეებისთვის

განტოლებები, უტოლობა და სისტემები,

შედგენილი:

კაპლუნოვა ზოია ნიკოლაევნა

მათემატიკის მასწავლებელი

ახსნა-განმარტება………………………………………..გვერდი 2

საგანმანათლებლო და თემატური გეგმა………………………………...გვ. 6

საკვანძო სიტყვების სია……………………………………….გვერდი 7

ლიტერატურა მასწავლებლისთვის……………………………………..გვერდი 8

ლიტერატურა სტუდენტებისთვის…………………………………გვ.8

განმარტებითი შენიშვნა.

სკოლაში მათემატიკის სწავლების მთავარი ამოცანაა უზრუნველყოს სტუდენტების მიერ მათემატიკური ცოდნისა და უნარ-ჩვევების სისტემის ძლიერი და შეგნებული ათვისება. Ყოველდღიური ცხოვრებისდა შრომითი საქმიანობაყოველ წევრს თანამედროვე საზოგადოებასწავლისთვის საკმარისია დაკავშირებული დისციპლინებიდა განაგრძო განათლება.

ძირითადი ამოცანის ამოხსნასთან ერთად მათემატიკის უფრო ღრმა შესწავლა ითვალისწინებს მოსწავლეებში საგნისადმი მდგრადი ინტერესის ჩამოყალიბებას, მათი გამოვლენას და განვითარებას. მათემატიკური უნარი, ორიენტაცია პროფესიებზე, რომლებიც არსებითად მათემატიკასთან არის დაკავშირებული, უნივერსიტეტებში სწავლისთვის მომზადება.

აქტუალური რჩება მათემატიკის სწავლების დიფერენცირების საკითხი, რაც საშუალებას აძლევს, ერთის მხრივ, უზრუნველყოს საბაზისო მათემატიკური მომზადება, ხოლო მეორე მხრივ, დააკმაყოფილოს ყველას, ვინც დაინტერესებულია საგნით.

პროგრამა ეს კურსი„აბსოლუტური მნიშვნელობის ნიშნის შემცველი განტოლებები, უტოლობა და სისტემები“ გთავაზობთ ისეთი საკითხების შესწავლას, რომლებიც შედის ძირითადი სკოლის მათემატიკის კურსში არა სრულადმაგრამ აუცილებელია შემდგომი შესწავლისთვის.

აბსოლუტური მნიშვნელობის (მოდულის) ცნება ერთ-ერთია ყველაზე მნიშვნელოვანი მახასიათებლებირიცხვები როგორც სფეროში, ასევე რთული რიცხვები. ეს კონცეფცია ფართოდ გამოიყენება არა მხოლოდ სკოლის კურსის სხვადასხვა განყოფილებაში, არამედ კურსებშიც უმაღლესი მათემატიკა, ფიზიკა და ტექნიკური მეცნიერებებისწავლობდა უნივერსიტეტებში. მაგალითად, მიახლოებითი გამოთვლების თეორიაში აბსოლუტური ცნებები და შედარებითი შეცდომებისავარაუდო რიცხვი. მექანიკასა და გეომეტრიაში შესწავლილია ვექტორის ცნებები და მისი სიგრძე (ვექტორული მოდული). მათემატიკური ანალიზისას რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობის კონცეფცია შეიცავს ისეთი ძირითადი ცნებების განმარტებებს, როგორიცაა ლიმიტი, შემოსაზღვრული ფუნქცია და ა.შ. აბსოლუტურ სიდიდეებთან დაკავშირებული პრობლემები ხშირად გვხვდება მათემატიკური ოლიმპიადები, მისაღები გამოცდებიუნივერსიტეტებში და გამოცდაზე.

AT სკოლის სასწავლო გეგმამათემატიკის კურსი არ ითვალისწინებს სტუდენტების მიერ სწავლის მთელი პერიოდის განმავლობაში მიღებული მოდულების, მათი თვისებების შესახებ ცოდნის განზოგადებას და სისტემატიზაციას.

ამრიგად, ამ კურსის „განტოლებები, უტოლობა და აბსოლუტური მნიშვნელობის ნიშნის შემცველი სისტემები“ გამიზნულია გაფართოებისთვის ძირითადი კურსიალგებრა და ანალიზის დასაწყისი და აძლევს სტუდენტებს შესაძლებლობას გაეცნონ მოდულებთან დაკავშირებული ამოცანების შესრულების ძირითად ტექნიკას და მეთოდებს. იღვიძებს კვლევის ინტერესს ამ საკითხების მიმართ, ვითარდება ლოგიკური აზროვნება, ხელს უწყობს გამოცდილების შეძენას ამოცანასთან დაკავშირებით, რომელიც აღემატება სირთულის საჭირო დონეს.

კურსი „განტოლებები, უტოლობა და აბსოლუტური მნიშვნელობის ნიშნის შემცველი სისტემები“ განკუთვნილია სპეციალიზებული ტრენინგიმოსწავლეები 10-11 კლასებში და გათვლილია 34 საათზე (კვირაში 1 საათი).

ამ კურსის სწავლების პროცესში შემოთავაზებულია გამოყენება სხვადასხვა მეთოდებიაღორძინება შემეცნებითი აქტივობასტუდენტებსაც სხვადასხვა ფორმებიმათი ორგანიზება დამოუკიდებელი მუშაობა.

ამ კურსის განმავლობაში სტუდენტები ისწავლიან თეორიული მასალადა შეასრულოს პრაქტიკული ამოცანები. კურსის პროგრამის დაუფლების შედეგია პრეზენტაცია შემოქმედებითი ნამუშევრებიდასკვნით გაკვეთილზე

კურსის შესწავლისას გათვალისწინებულია ტესტის კონტროლი.

კურსის მიზნები:

* განზოგადება და სისტემატიზაცია, ცოდნის გაფართოება და გაღრმავება თემაზე " აბსოლუტური ღირებულება»;

*მოდულით ამოცანების შესრულების პრაქტიკული უნარ-ჩვევების შეძენა;

*შემდეგ დონეზე გადასვლა მათემატიკური სწავლებასტუდენტები.

კურსის მიზნები

* აღჭურვა მოსწავლეები ცოდნის სისტემით თემაზე "აბსოლუტური ღირებულება"

* ჩამოაყალიბონ ამ ცოდნის გამოყენების უნარები სხვადასხვა სირთულის პრობლემების გადაჭრაში;

* მოამზადოს სტუდენტები გამოცდისთვის;

* დამოუკიდებელი მუშაობის, ჯგუფური მუშაობის უნარ-ჩვევების ჩამოყალიბება;

* საცნობარო ლიტერატურასთან მუშაობის უნარ-ჩვევების ჩამოყალიბება;

საგანმანათლებლო მასალის ათვისების დონის მოთხოვნები

კურსის პროგრამის შესწავლის შედეგად სტუდენტები შეძლებენ

იცოდე და გაიგო:

*განმარტებები, ცნებები და ძირითადი ალგორითმები უტოლობათა და სისტემების მოდულით ამოხსნისათვის;

*აბსოლუტური მნიშვნელობის ნიშნის შემცველი ფუნქციების გრაფიკების აგების წესები;

Შეძლებს:

*გამოიყენე განმარტება, აბსოლუტური მნიშვნელობის თვისებები ნამდვილი რიცხვირეალური რიცხვის ამოხსნას კონკრეტული ამოცანების ამოხსნას;

* მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადის შემცველი განტოლებების, უტოლობების, განტოლებათა სისტემების და უტოლობების ამოხსნა;

* დამოუკიდებლად შეძლოს მცირე კვლევების გაკეთება.

1.შესავალი 1სთ.

კურსის მიზნები და ამოცანები. კურსში განხილული კითხვები და მისი სტრუქტურა. ლიტერატურის გაცნობა, შემოქმედებითი ნაწარმოებების თემები.

24 საათი)

აბსოლუტური მნიშვნელობის განსაზღვრა. გეომეტრიული ინტერპრეტაციამოდულის კონცეფციები. ოპერაციები აბსოლუტურ სიდიდეებზე. მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადის შემცველი გამონათქვამების გამარტივება. მოდულის თვისებების გამოყენება პრობლემების გადაჭრისას.

3. აბსოლუტური მნიშვნელობის ნიშნის შემცველი ფუნქციების გრაფიკები.(8 საათი)

ფუნქციის გრაფიკების გამოსახვის წესები და ალგორითმები. განმარტება ფუნქციაც კი. მოდულის ნიშნის შემცველი ფუნქციების გრაფიკების გეომეტრიული გარდაქმნები. ძირითადი შეკვეთა უმარტივესი ფუნქციების მაგალითებზე. განტოლებათა გრაფიკები: y=f|x|; y=f(-|x|); y=|f(x)|; y=|f|x||; |y|=f(x),სადაც f(x)≥0; |y|=|f(x)|

4.აბსოლუტური მნიშვნელობების შემცველი განტოლებები.(10 საათი)

მოდულით განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები. მოდულის გამჟღავნება განმარტებით, ორიგინალური განტოლებიდან ეკვივალენტურ სისტემაზე გადასვლა, განტოლების ორივე ნაწილის კვადრატი, ინტერვალების მეთოდი, გრაფიკული მეთოდიაბსოლუტური მნიშვნელობის თვისებების გამოყენებით. ფორმის განტოლებები: |f(x)|=0; f|x|=o; |f(x)|=g(x); |f(x)|=|გ(x)|;

ცვლადების ცვლილების მეთოდი აბსოლუტური სიდიდეების შემცველი განტოლებების ამოხსნისას. აბსოლუტური სიდიდეების შემცველი განტოლებების ამოხსნის ინტერვალის მეთოდი. ფორმის განტოლებები:|f(x)|±|f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=0; |f(x)|±|)f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=g(x).

მოდულის თანმიმდევრული გამჟღავნების მეთოდი „მოდულის მოდულში“ შემცველი განტოლებების ამოხსნისას. გრაფიკული გადაწყვეტააბსოლუტური სიდიდეების შემცველი განტოლებები.

5. აბსოლუტური მნიშვნელობების შემცველი უტოლობა (10 საათი)

უტოლობა ერთი უცნობით. უტოლობების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები

მოდულით |f(x)|>a. a|f(x)|>g(x) ფორმის უტოლობები; |f(x)|>|g(x)|.

6. დასკვნითი გაკვეთილი (1 საათი)

შემოქმედებითი ნამუშევრების პრეზენტაცია.

ნაწილი III. საგანმანათლებლო და თემატური გეგმა

	სექციების სათაურები და თემები			ივარჯიშე	ჩატარების ფორმა	კონტროლის ფორმა
	შესავალი				ცოდნის აუქციონი	კითხვარი, ჩანაწერები
	რეალური რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა
	რეალური რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა				ლექცია, სემინარი	საცნობარო შეჯამება, პრობლემის გადაჭრა
	მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადის შემცველი გამონათქვამების გამარტივება				სახელოსნო	Პრობლემის გადაჭრა
	განტოლებების გრაფიკები, რომლებიც შეიცავს მოდულის ნიშანს
	გრაფიკების შედგენის წესები და ალგორითმები				სახელოსნო	მემორანდუმი კონსტრუქციების წესებითა და ალგორითმებით
	თანაბარი ფუნქციის განმარტება. გეომეტრიული ნაკვეთის გარდაქმნები				სემინარი - სემინარი	საცნობარო შეჯამება, ამოცანის ამოხსნა
	განტოლებათა გრაფიკები: y=f|x|; y=f(-|x|); y=|f(x)|; y=|f|x||; |y|=f(x),სადაც f(x)≥0; |y|=|f(x)|					შეთქმულების შესრულების შემოწმება
	აბსოლუტური მნიშვნელობების შემცველი განტოლებები
	მოდულით განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები					აბსტრაქტები, ალგორითმები
	ფორმის განტოლებები: |f(x)|=0; f|x|=o; |f(x)|=g(x); |f(x)|=|გ(x)|;				სახელოსნო	გადაჭრილი ამოცანების შემოწმება
	მოდულის ნიშნის შემცველი განტოლებების ამოხსნის ინტერვალების მეთოდი. ფორმის განტოლებები:|f(x)|±|f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=0; |f(x)|±|)f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=g(x).				სახელოსნო	საცნობარო აბსტრაქტი, ამოხსნილი ამოცანების გადამოწმება
	მოდულის თანმიმდევრული გამჟღავნების მეთოდი "მოდულში მოდული" შემცველი განტოლებების ამოხსნისას				სახელოსნო	აბსტრაქტი, მემორანდუმი, შემოწმების დავალებები
	აბსოლუტური სიდიდეების შემცველი განტოლებების გრაფიკული ამოხსნა.				სახელოსნო	სქემის ტესტი
	აბსოლუტური სიდიდეების შემცველი უტოლობა
	უტოლობა ერთი უცნობით. უტოლობების მოდულით ამოხსნის ძირითადი მეთოდები					აბსტრაქტული
	უტოლობების მოდულით ამოხსნის ძირითადი მეთოდები				სახელოსნო	აბსტრაქტი, გადაწყვეტის შემოწმება
	a|f(x)|>g(x) ფორმის უტოლობები; |f(x)|>|g(x)|.				სახელოსნო
	მოდულის ნიშნის შემცველი უტოლობების ამოხსნის ინტერვალების მეთოდი.				სახელოსნო	ტესტის კონტროლი
	დასკვნითი გაკვეთილი				კონფერენცია	რეფერატები

ნაწილი IV. საკვანძო სიტყვების სია.

ალგორითმი, განტოლება, უტოლობა, მოდული, გრაფიკი, კოორდინატთა ღერძები, პარალელური გადაცემა, ცენტრალური და ღერძული სიმეტრიაინტერვალის მეთოდი, კვადრატული ტრინომიალი, მრავალწევრი, მრავალწევრის ფაქტორიზაცია, შემოკლებული გამრავლების ფორმულები, სიმეტრიული განტოლებები, ორმხრივი განტოლებები, აბსოლუტური მნიშვნელობის თვისებები, განსაზღვრების დომენი, დომენი დაშვებული ღირებულებები.

ნაწილი V. ლიტერატურა მასწავლებლისთვის.

1. ბაშმაკოვი მ.ი. განტოლებები და უტოლობა. (ტექსტი) / M.I. ბაშმაკოვ.-მ.: ვზმშ

მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტში 1983.-138წ.

2. Vilenkin N. Ya და სხვები ალგებრა და მათემატიკური ანალიზი მე-11 კლასი. (ტექსტი) / N.Ya.

ვილენკინ-მ.: განმანათლებლობა, 2007.-280 წ.

3. გაიდუკოვი ი.ი. აბსოლუტური ღირებულება. (ტექსტი)/ გაიდუკოვი ი.ი. –მ.: განმანათლებლობა, 1968.-96 გვ.

4. Gelfand I. M. et al. ფუნქციები და გრაფიკები. (ტექსტი) / I. M. Gelfand- M.: MTsNMO,

5. გოლდიჩ ვ.ა. Zlotin S.E.t. 3000 ამოცანები ალგებრაში (ტექსტი) / V.A. გოლდიჩი S.E.-M.:

ექსმო, 2009.-350 წ.

6. კოლესნიკოვა ს.ი. მათემატიკა. ინტენსიური კურსიმომზადება ერთისთვის

სახელმწიფო გამოცდა. (ტექსტი) / Kolesnikova S.I. - M .: Iris-press 2004.-299s.

7. ნიკოლსკაია ი.ლ. არჩევითი კურსიმათემატიკა. (ტექსტი) / ი.ლ. ნიკოლსკაია -

მ.: განმანათლებლობა, 1995.-80-იანი წწ.

8.ოლეხნიკი ს.ნ. და ა.შ. განტოლებები და უტოლობა. არასტანდარტული მეთოდებიგადაწყვეტილებები.

(ტექსტი) / .Olekhnik S.N.-M.: Bustard, 2002.-219გვ.

ნაწილი VI. ლიტერატურა სტუდენტებისთვის

1. გოლდიჩი ვ.ა. Zlotin S.E.t. 3000 ამოცანები ალგებრაში (ტექსტი) / V.A. გოლდიჩი S.E.-M.:

ექსმო, 2009.-350 წ.

2. კოლესნიკოვა ს.ი. მათემატიკა. ერთის მომზადების ინტენსიური კურსი

დოკუმენტი

... ამისთვისარჩევანიერთი ან მეორე საგანი(შიგნით სასწავლო გეგმა, თავი: " არჩევითიკურსები")-ში 10 -11 კლასები... და ასევე შიგნით სისტემა დამატებითი განათლება. ამისთვისამ კატეგორიებს სტუდენტებიშეიმუშავა და განახორციელა ქსელური ტრენინგი კურსებიonყველას...

აქტივობა H 4 51-1 „საშუალო სკოლაში სწავლების მეთოდების დახვეწა საგანზე ორიენტირებული მოდულების შექმნის საფუძველზე სულ მცირე 18 საგანში ინფორმაციული ტექნოლოგიების განვითარების სამეცნიერო და საგანმანათლებლო დანერგვის საფუძველზე.

მოხსენება

... სტუდენტები. AT ამ კვლევასწარმოდგენილი არჩევითიკარგადonმათემატიკა „საწყისები მათემატიკური ანალიზიდა მათი აპლიკაციები" ამისთვის10 - 11 სპეციალიზებული კლასები... დამოკიდებულებები და ურთიერთობები (ფუნქციები, განტოლებები, უთანასწორობებიდა ა.შ.). როგორც წესი, პირველ რიგში განისაზღვრება ...

უცნობის შემცველი უტოლობების ამოხსნისას აბსოლუტური მნიშვნელობის ნიშნით, გამოიყენება იგივე ტექნიკა, რაც უცნობის შემცველი განტოლებების ამოხსნისას აბსოლუტური მნიშვნელობის ნიშნით, კერძოდ: თავდაპირველი უტოლობა მცირდება რამდენიმე უტოლობის ამოხსნით, განხილული. გამონათქვამების მუდმივობის ინტერვალები აბსოლუტური მნიშვნელობის ნიშნების ქვეშ გადიდებულია.

მაგალითი:ამოხსენით უტოლობა

x 2 - 2 + x< 0. (*)

ამოხსნა: განვიხილოთ x 2 - 2 გამოხატვის მუდმივი ნიშნის ინტერვალები, რომელიც არის აბსოლუტური მნიშვნელობის ნიშნის ქვეშ.

1) დავუშვათ, რომ

მაშინ უტოლობა (*) იღებს ფორმას

x 2 + x -2< 0.

ამ უტოლობის ამონახსნების სიმრავლისა და უტოლობის x 2 -2 0 კვეთა არის საწყისი უტოლობის ამონახსნების პირველი ნაკრები (ნახ. 1): x (-2; -].

• 2) დავუშვათ, რომ x 2 - 2
• 2 - x 2 + x

ამ უტოლობის ამონახსნების სიმრავლისა და უტოლობის გადაკვეთა x 2 - 2< 0 дает второе множество решений исходного неравенства (рис. 2): х(-; -1). Объединяя найденные множества решений, окончательно получаем х(-2; -1)

პასუხი: x(-2; -1).

განტოლებისგან განსხვავებით, უტოლობა არ იძლევა პირდაპირ გადამოწმების საშუალებას. თუმცა, უმეტეს შემთხვევაში შესაძლებელია მიღებული შედეგების სისწორის გადამოწმება. გრაფიკულად. მართლაც, ჩვენ ვწერთ მაგალითის უტოლობას ფორმაში

x - 2< -х.

ჩვენ ვაშენებთ ფუნქციებს y 1 =x 2 - 2 და y 2 = -x მარცხნივ და მარჯვენა მხარეგანიხილება უთანასწორობა და იპოვეთ არგუმენტის ის მნიშვნელობები, რომელთათვისაც y 1

ნახ. 3, x-ღერძის დაჩრდილული ტერიტორია შეიცავს სასურველ x მნიშვნელობებს. აბსოლუტური მნიშვნელობის ნიშნის შემცველი უტოლობების ამოხსნა ზოგჯერ შეიძლება მნიშვნელოვნად შემცირდეს x 2 \u003d x 2 ტოლობის გამოყენებით.

სურათი 3

მაგალითი:ამოხსენით უტოლობა

ამოხსნა: თავდაპირველი უტოლობა ყველა x -2-ისთვის უდრის უტოლობას

x - 1 > x + 2. (**)

უტოლობის ორივე მხარის კვადრატში (**), მსგავსი წევრების შემცირების შემდეგ, ვიღებთ უტოლობას

6x< -3, т.е. х < -1/2.

x -2 პირობით განსაზღვრული საწყისი უტოლობის დასაშვები მნიშვნელობების გათვალისწინებით, საბოლოოდ მივიღებთ, რომ უტოლობა (*) დაკმაყოფილებულია ყველა x(-; -2)(-2; -1/2). ).

პასუხი: (-; -2)(-2; -1/2).

მაგალითი:იპოვეთ x უმცირესი მთელი რიცხვი, რომელიც აკმაყოფილებს უტოლობას:

ამოხსნა: ვინაიდან x +1 0 და, პირობით, x +1 0, მაშინ ეს უტოლობა უდრის შემდეგს: 2x + 5 > x +1. ეს უკანასკნელი, თავის მხრივ, უდრის უტოლობათა სისტემის - (2x + 5)< х + 1 < 2х + 5,

• -(2x + 5)
• 2x + 5 > x +1,

უმცირესი რიცხვი x, რომელიც აკმაყოფილებს ამ უტოლობათა სისტემას, არის 0. გაითვალისწინეთ, რომ x -1, წინააღმდეგ შემთხვევაში ამ უტოლობის მარცხენა მხარეს გამოხატვას აზრი არ აქვს.

მაგალითი:ამოხსენით უტოლობა:

პასუხი: [-1; ერთი].

მაგალითი:ამოხსენით უტოლობა

x2 - 3x + 2+ 2x + 1 5.

გადაწყვეტილება. x 2 - 3x + 2 არის უარყოფითი 1-ზე< x < 2 и неотрицателен при остальных х, 2х + 1 меняет знак при х = -Ѕ. Следовательно, нам надо рассмотреть четыре случая.

• 2. - ს? X? 1. გვაქვს უტოლობა x2 - x - 2? 0. მისი ამონახსნი არის -1 ? X? 2. მაშასადამე, მთელი სეგმენტი -S? x? 1 აკმაყოფილებს უთანასწორობას.
• 4. x? 2. უტოლობა იგივეა, რაც მე-2 შემთხვევაში. მხოლოდ x = 2 არის შესაფერისი.

პასუხი: 5 - 41 2 ? X? 2.

მაგალითი:ამოხსენით უტოლობა.

x 3 + x - 3- 5 x 3 - x + 8.

გადაწყვეტილება. ეს უტოლობა არასტანდარტულად გადავჭრათ.

x 3 + x - 3 - 5 x 3 - x + 8,

x 3 + x - 3 - 5 - x 3 + x - 8

x 3 + x - 3 x 3 - x + 13

x 3 + x - 3 - x 3 + x - 3

x 3 + x - 3 x 3 - x + 13,

x 3 + x - 3 - x 3 + x - 13,

x 3 + x - 3 - x 3 + x - 3,

x 3 + x - 3 x 3 - x + 3

ინტერვალური ხსნარი არ არის. განიხილება თუ არა განტოლებები და უტოლობა ორი ან მეტი მოდულით.

აბსოლუტური მნიშვნელობის ნიშნის შემცველი განტოლებები და უტოლობა სკოლის კურსიმათემატიკა როგორც ცალკე თემაარ არის შესწავლილი. პირველად მე-6 კლასში ჩნდება მოდულის ცნება, სადაც მოცემულია რიცხვის მოდულის განმარტება. მაგრამ სახელმძღვანელოებში სხვადასხვა ავტორებიმოცემულია სხვადასხვა თავებში. სახელმძღვანელოებში გ.ვ. დოროფეევის რიცხვის მოდული მოცემულია შედარებით რაციონალური რიცხვიმაგალითად: -6.5 რიცხვის მოდული არის 6.5, რიცხვის -4 მოდული არის 4.

შემდეგ მოცემულია მოდულის წარმოშობის ახსნა და ამის შემდეგ აღნიშვნა |a|.

სახელმძღვანელოში N.Ya. ვილენკინი მოცემულია პოზიტიური და უარყოფითი რიცხვებიცალკე პუნქტად „მოდული“.

რიცხვის მოდულის კონცეფცია შემოღებულია, როგორც მანძილი ამ რიცხვის გამომსახველი წერტილიდან კოორდინატთა ხაზის საწყის წერტილამდე.

შემდეგ ჩამოყალიბებულია რიცხვის მოდულის პოვნის წესი. ახსნილია, რომ რიცხვის მოდული არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, რადგან რიცხვის მოდული არის მანძილი, რომ დადებითი რიცხვისა და ნულის მოდული უდრის თავად რიცხვს, ხოლო საპირისპიროს - საპირისპირო რიცხვს და საპირისპირო რიცხვს. რიცხვებს აქვთ თანაბარი მოდულები |-a|=|a|.

სახელმძღვანელოს მიხედვით Yu.N. მაკარიჩევი, მოდული გვხვდება დამატებით სავარჯიშოებში მე-7 თავში „გრაფიკები“, პუნქტში „ფუნქციები და მათი გრაფიკები“.

მაგალითად: განსაზღვრეთ ფარგლები y=10/(|x|-1)

ხოლო მე-8 კლასში უტოლობების ამოხსნისას ერთი ცვლადით და მათი სისტემებით.

ნიკოლსკის მე-8 კლასის სახელმძღვანელოში ფუნქცია y=|x| და მისი გრაფიკი y= x თუ x≥0

X თუ x≤0

ცხრაწლიანი სკოლის კურსი განიხილავს უმარტივეს განტოლებებს ერთი ცვლადით, რომელიც შეიცავს ცვლადს მოდულის ნიშნით. მათ შორისაა |ax+b|=c ფორმის განტოლებები.

ასეთი განტოლებების ამოხსნისას აუცილებელია განასხვავოთ შემთხვევები:

თუ თან< 0, то уравнение |ах+в|=с не имеет корней.

თუ c = 0, მაშინ განტოლება |ax+b|=c უდრის განტოლებას ax+b=0.

თუ c > 0, მაშინ განტოლება |ax+b|=c უდრის ax+b= -c ან ax+b=c.

გარდა მითითებული ტიპის განტოლებისა, რომლებიც შეიცავს ცვლას მოდულის ნიშნის ქვეშ, მე-8 კლასის მოსწავლეებს ასევე ხვდებიან ფორმის |ax+b|= ax+b ან |ax+b|= -(ax+b) განტოლებები. . მაგალითად, განტოლებები √ x²=x, √x²-4x+4=2-x მცირდება ასეთ განტოლებამდე.

ვინაიდან ტოლობა |m|=m მართალია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ m≥0,

და ტოლობა |m|=-m არის ჭეშმარიტი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ m ≤ 0,

მაშინ განტოლება |ax+b|= ax+b უდრის ax+b≥0 უტოლობას,

და განტოლება |ax+b| = -(ax+b) უდრის ax+b≤0 უტოლობას.

მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადის შემცველი უტოლობებიდან მხოლოდ |ax+b|>b და |ax+b| ფორმის უტოლობები.<в.

როგორც დამატებითი ამოცანები, მოცემულია უფრო რთული ამოცანები, მაგალითად, ორმაგი უთანასწორობა<|ах+в|< m. Это двойное неравенство можно записать в виде системы |ах+в| >რომ

|ax+v|< m и, решив каждое из неравенств системы, найти пересечение множеств их решений с помощью координатной прямой.

უტოლობების ამოხსნის გზები:

1. ამოხსნა ასოცირდება კოორდინატთა ხაზის წერტილებს შორის მანძილის კონცეფციასთან.

2. მოდულის განმარტებაზე დაყრდნობით.

3. ვიზუალურად - გრაფიკული ტექნიკა.

4. სხვა შემთხვევებში, პირველ რიგში, სასარგებლოა იმის დადგენა, თუ რა წერტილებში ქრება მოდულის ნიშნით გამოსახულებები. ეს წერტილები ყოფენ რიცხვით ღერძს ინტერვალებად, რომლის ფარგლებშიც გამონათქვამები ინარჩუნებენ მუდმივ ნიშანს (მუდმივი ნიშნის ინტერვალები). ეს საშუალებას გვაძლევს თავი დავაღწიოთ მოდულის ნიშანს თითოეულ ამ ინტერვალზე და დავამციროთ პრობლემა რამდენიმე განტოლების ამოხსნამდე - თითო ყოველი ინტერვალისთვის. ამ მეთოდს ინტერვალის მეთოდს უწოდებენ.

მუნიციპალური საგანმანათლებლო დაწესებულება

საშუალო სკოლა სოფელ ოშტორმა იუმიაში

შეთანხმებული დამტკიცებულია

UMO-ს შეხვედრაზე ექსპერტის შეხვედრაზე

მათემატიკის მასწავლებელთა კომისია

ოქმი No1 დათარიღებული _________ ოქმი No. __________

UMO-ს ხელმძღვანელი: ექსპერტის თავმჯდომარე

გილიაზევა მ.მ. ჯგუფები:

სადიკოვა ა.რ.
არჩევითი კურსი

"აბსოლუტური მნიშვნელობა (მოდული)"

(პროფესიული სასწავლო კურსი მე-10 კლასის მოსწავლეებისთვის, 34 საათი)

მათემატიკის მასწავლებელი ვასილიევა ვ.ა.

2008 წ
განმარტებითი შენიშვნა

აბსოლუტური მნიშვნელობის ცნება (მოდული) რიცხვის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი მახასიათებელია როგორც რეალური, ისე რთული რიცხვების ველში.

ეს კონცეფცია ფართოდ გამოიყენება არა მხოლოდ სასკოლო მათემატიკის კურსის სხვადასხვა განყოფილებაში, არამედ უნივერსიტეტებში შესწავლილი მათემატიკის, ფიზიკისა და ტექნიკური მეცნიერებების კურსებში. მაგალითად, სავარაუდო გამოთვლების თეორიაში გამოიყენება სავარაუდო რიცხვის აბსოლუტური და ფარდობითი შეცდომების ცნებები. მექანიკასა და გეომეტრიაში შესწავლილია ვექტორის ცნებები და მისი სიგრძე (ვექტორული მოდული). მათემატიკური ანალიზისას რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობის ცნებას შეიცავს ისეთი ძირითადი ცნებების განმარტებები, როგორიცაა ლიმიტი, შემოსაზღვრული ფუნქცია და ა.შ. და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა.

სასკოლო მათემატიკის კურსის პროგრამა არ ითვალისწინებს სტუდენტების მიერ სწავლის მთელი პერიოდის განმავლობაში მიღებული მოდულების, მათი თვისებების შესახებ ცოდნის განზოგადებას და სისტემატიზაციას. ეს გახდის პროგრამას "".

კურსი განკუთვნილია ზოგადსაგანმანათლებლო სკოლების მე-10 კლასების სტუდენტების პროფილური ტრენინგისთვის, რომლებიც დაინტერესებულნი არიან მათემატიკის შესწავლით.

კურსი საშუალებას მისცემს სკოლის მოსწავლეებს სისტემატიზაცია გაუწიონ, გააფართოვონ და გააძლიერონ ცოდნა აბსოლუტურ მნიშვნელობასთან დაკავშირებით, მოემზადონ ამ კონცეფციის გამოყენებით თემების შემდგომი შესწავლისთვის, ისწავლონ სხვადასხვა სირთულის პრობლემების გადაჭრა და ხელი შეუწყონ კომპიუტერული უნარების განვითარებასა და კონსოლიდაციას.

კურსი დაეხმარება მასწავლებელს მაქსიმალურად ხარისხიანად მოამზადოს სტუდენტები მათემატიკური ოლიმპიადებისთვის, გამოცდის ჩაბარებისთვის, უნივერსიტეტებში მისაღები გამოცდებისთვის.

არჩევითი კურსის პროგრამა ითვალისწინებს განსახილველი საკითხების თეორიისა და პრაქტიკის გაცნობას და გათვლილია 34 საათზე.

ამ კურსის შესწავლის პროცესში გათვალისწინებულია სკოლის მოსწავლეების შემეცნებითი აქტივობის გააქტიურების სხვადასხვა მეთოდის გამოყენება, ასევე მათი დამოუკიდებელი მუშაობის ორგანიზების სხვადასხვა ფორმები.

კურსის პროგრამის დაუფლების შედეგია სკოლის მოსწავლეების მიერ შემოქმედებითი ინდივიდუალური და ჯგუფური სამუშაოების პრეზენტაცია დასკვნით გაკვეთილზე.

კურსის მიზნები:განზოგადება და სისტემატიზაცია, ცოდნის გაფართოება და გაღრმავება აბსოლუტური მნიშვნელობის თემაზე, ამოცანების მოდულით შესრულების პრაქტიკული უნარ-ჩვევების შეძენა, სკოლის მოსწავლეთა მათემატიკური მომზადების დონის ამაღლება.

კურსის მიზნები

მოსწავლეთა აღჭურვა ცოდნის სისტემით აბსოლუტური ღირებულების თემაზე;

ამ ცოდნის გამოყენების უნარ-ჩვევების ჩამოყალიბება სხვადასხვა სირთულის სხვადასხვა პრობლემის გადაჭრაში;

დამოუკიდებელი მუშაობის უნარ-ჩვევების ჩამოყალიბება მცირე ჯგუფებში მუშაობა;

საცნობარო ლიტერატურასთან, კომპიუტერთან მუშაობის უნარ-ჩვევების ჩამოყალიბება;

კვლევითი სამუშაოს უნარებისა და შესაძლებლობების ჩამოყალიბება;

ხელი შეუწყოს მოსწავლეთა ალგორითმული აზროვნების განვითარებას;

წვლილი შეიტანეთ შემეცნებითი ინტერესის ჩამოყალიბებაში

მათემატიკა.

საგანმანათლებლო მასალის ათვისების დონის მოთხოვნები

არჩევითი კურსის პროგრამის „აბსოლუტური ღირებულება (მოდული)“ შესწავლის შედეგად სტუდენტები იღებენ შესაძლებლობას იცოდე და გაიგო:

რეალური რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობის განსაზღვრა;

ძირითადი ოპერაციები და აბსოლუტური მნიშვნელობის თვისებები;

აბსოლუტური მნიშვნელობის ნიშნის შემცველი ფუნქციების გრაფიკების აგების წესები;

მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადის შემცველი განტოლებების, უტოლობების, განტოლებათა სისტემების და უტოლობების ამოხსნის ალგორითმები.

Შეძლებს:

გამოიყენოს რეალური რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობის განსაზღვრება, თვისებები კონკრეტული ამოცანების ამოხსნისთვის;

თემატური დაგეგმვა

№	თემის სახელი	საათების რაოდენობა	ოკუპაციის ფორმა	მეთოდოლოგიური მხარდაჭერა	Კონტროლი
	შესავალი	1	ლექცია	პრეზენტაცია
	რეალური რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა ა	4
2	რეალური რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა ა.ძირითადი თეორემები	1	ლექცია	საცნობარო ბარათები
3	ოპერაციები აბსოლუტურ სიდიდეებზე	1		საცნობარო ბარათები
4	მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადის შემცველი გამონათქვამების გამარტივება.	1	სახელოსნო
5	მოდულის თვისებების გამოყენება ოლიმპიადის ამოცანების გადაჭრაში.	1	სახელოსნო	დავალების ბარათები	დამოუკიდებელი ნაი სამუშაო
	ფუნქციების გრაფიკები, ანალიტიკური გამოხატულებარომელიც შეიცავს აბსოლუტური მნიშვნელობის ნიშანს	5
6	ფუნქციების გრაფიკების აგების წესები და ალგორითმები, რომელთა ანალიტიკური გამოხატულება შეიცავს მოდულის ნიშანს	1	ლექცია, სემინარი	საცნობარო ბარათები
7-8	ფუნქციების გრაფიკები y=f |х|, y=f(-|x|), y=|f(x)|, y= |f |х||, |y| =f(x), სადაც f(x) ≥ 0, | y| = |f(x)|	2	სახელოსნო	დავალების ბარათები	დამოუკიდებელი ნაი სამუშაო
9	ზოგიერთი უმარტივესი ფუნქციის გრაფიკები, მოცემული აშკარად და იმპლიციტურად, რომელთა ანალიტიკური გამოხატულება შეიცავს მოდულის ნიშანს	1	სახელოსნო	ინდივიდუალური ბარათები
10	ფუნქციების გრაფიკები, რომელთა ანალიტიკური გამოხატულება შეიცავს აბსოლუტური მნიშვნელობის ნიშანს ოლიმპიადის ამოცანებში.	1	სახელოსნო	პრეტენზია
	აბსოლუტური მნიშვნელობების შემცველი განტოლებები	11
11-13	მოდულით განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები	3	ლექცია	საცნობარო ბარათები
14	ტიპის განტოლებები | f(x)| = ა, ვ\ x\ = ა,სადაც ა რ; |f(x)| = g(x) და f(x)| = | g(x)|.	1	სახელოსნო	დავალების ბარათები	დამოუკიდებელი ნაი სამუშაო
15	აბსოლუტური სიდიდეების შემცველი განტოლებების ამოხსნის ცვლადი ცვლილების მეთოდი	1	სახელოსნო	საცნობარო ბარათები
16-17	აბსოლუტური სიდიდეების შემცველი განტოლებების ამოხსნის ინტერვალის მეთოდი. ფორმის განტოლებები |f 1 (x)| ± |f 2 (x)| ±.. .±|f n (x)| = ა,სადაც აე რ, = =g(x)	2	ლექცია, სემინარი	დავალების ბარათები	დამოუკიდებელი ნაი სამუშაო
18	მოდულის თანმიმდევრული გამჟღავნების მეთოდი "მოდულში მოდული" შემცველი განტოლებების ამოხსნისას	1	ლექცია, სემინარი	საცნობარო ბარათები
19	აბსოლუტური სიდიდეების შემცველი განტოლებების გრაფიკული ამოხსნა.	1	სახელოსნო
20	განტოლებები აბსოლუტური მნიშვნელობების შემცველი პარამეტრებით	1	სახელოსნო
21	გამოცდის ამოხსნილი ამოცანების დაცვა	1	გადაწყვეტილების დაცვა	მაგიდა	გადაწყვეტილების დაცვა
		7
22-23	უტოლობა ერთი უცნობით. უტოლობების მოდულით ამოხსნის ძირითადი მეთოდები	2	ლექცია	საცნობარო ბარათები
24	უტოლობების მოდულით ამოხსნის ძირითადი მეთოდები	1	სემინარი
25	ფორმის უტოლობები |f(x)| >  ≥ ≤ a, სადაც ა რ..	1	სახელოსნო
26-27	ფორმის უტოლობები |f(x)| >  ≥ ≤ g(x), |f(x)| >  ≥ ≤ |g(x)|.	2	სახელოსნო	დავალების ბარათები	დამოუკიდებელი ნაი სამუშაო
28	უტოლობები აბსოლუტური სიდიდეების შემცველი პარამეტრებით	1	სახელოსნო
29-32		4	ლექცია, სემინარი
33		1	სახელოსნო
34	დასკვნითი გაკვეთილი	1		დავალების ბარათები	კონტროლის გაჭრა
	სულ	34

1. შესავალი(1 საათი).

არჩევითი კურსის მიზნები და ამოცანები. კურსში განხილული კითხვები და მისი სტრუქტურა. ლიტერატურის გაცნობა, შემოქმედებითი ნაწარმოებების თემები. მოთხოვნები კურსის მონაწილეებისთვის. აუქციონი "რა ვიცი აბსოლუტური ღირებულების შესახებ."

2. რეალური რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა (4 თ).

რეალური რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა ა.საპირისპირო რიცხვების მოდულები. ცნების გეომეტრიული ინტერპრეტაცია | ა|. ნამდვილ რიცხვთა სასრული რაოდენობის ჯამის მოდული და სხვაობის მოდული. ორი რიცხვის მოდულის სხვაობის მოდული. პროდუქტის მოდული და კოეფიციენტის მოდული. ოპერაციები აბსოლუტურ სიდიდეებზე. მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადის შემცველი გამონათქვამების გამარტივება. მოდულის თვისებების გამოყენება ოლიმპიადის ამოცანების გადაჭრაში.

3. ფუნქციების გრაფიკები, რომელთა ანალიტიკური გამოხატულება შეიცავს აბსოლუტური მნიშვნელობის ნიშანს(5 საათი).

ფუნქციების გრაფიკების აგების წესები და ალგორითმები, რომელთა ანალიტიკური გამოხატულება შეიცავს მოდულის ნიშანს. ფუნქციების გრაფიკები y=f |х|,

y=f (-|x|), y=|f(x)|, y= |f |x||, |y| =f(x), სადაც f(x) ≥ 0, | y| = |f(x)|. ზოგიერთი უმარტივესი ფუნქციის გრაფიკები, რომლებიც განსაზღვრულია აშკარად და იმპლიციტურად, რომელთა ანალიტიკური გამოხატულება შეიცავს მოდულის ნიშანს. ფუნქციების გრაფიკები, რომელთა ანალიტიკური გამოხატულება შეიცავს ოლიმპიადის ამოცანების აბსოლუტური მნიშვნელობის ნიშანს.

4. აბსოლუტური მნიშვნელობების შემცველი განტოლებები (11თ).

მოდულით განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები. მოდულის განსაზღვრებით გამოვლენა, თავდაპირველი განტოლებიდან ეკვივალენტურ სისტემაზე გადასვლა, განტოლების ორივე მხარის კვადრატი, ინტერვალების მეთოდი, გრაფიკული მეთოდი, აბსოლუტური მნიშვნელობის თვისებების გამოყენებით. ტიპის განტოლებები | f(x)| = ა, ვ\ x\ = ა,სადაც ა რ; |f(x)| = g(x) და | f(x)| = | g(x)|. აბსოლუტური სიდიდეების შემცველი განტოლებების ამოხსნის ცვლადი ცვლილების მეთოდი. აბსოლუტური სიდიდეების შემცველი განტოლებების ამოხსნის ინტერვალის მეთოდი. ფორმის განტოლებები |f 1 (x)| ± |f 2 (x)| ±.. .±|f n (x)| = ა,სადაც აე რ, |f 1 (x)| ± |f 2 (x)| ±.. .± |f n (x)| = გ (x). მოდულის თანმიმდევრული გამჟღავნების მეთოდი „მოდულის მოდულში“ შემცველი განტოლებების ამოხსნისას. აბსოლუტური სიდიდეების შემცველი განტოლებების გრაფიკული ამოხსნა. აბსოლუტური მნიშვნელობის თვისებების გამოყენება განტოლებების ამოხსნისას. განტოლებები აბსოლუტური მნიშვნელობების შემცველი პარამეტრებით. გამოცდის ამოხსნილი ამოცანების დაცვა.

5. აბსოლუტური სიდიდეების შემცველი უტოლობა (7 სთ).

უტოლობა ერთი უცნობით. უტოლობების მოდულით ამოხსნის ძირითადი მეთოდები. |f(x)| ფორმის უტოლობები >  ≥ ≤ a, სადაც ა რ.. |f(x)| ფორმის უტოლობები >  ≥ ≤ g(x), |f(x)| >  ≥ ≤ |g(x)|. მოდულის ნიშნის შემცველი უტოლობების ამოხსნის ინტერვალების მეთოდი. უტოლობები აბსოლუტური სიდიდეების შემცველი პარამეტრებით.

6. აბსოლუტური სიდიდეების შემცველი განტოლებათა და უტოლობათა სისტემები(4 საათი).

7. სხვა საკითხები, რომელთა გადაწყვეტაში გამოყენებულია აბსოლუტური მნიშვნელობის ცნება(1 საათი).

8. დასკვნითი გაკვეთილი(1 საათი).

Მოსალოდნელი შედეგები
კურსის დასრულების შემდეგ სტუდენტებმა უნდა:

რეალური რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობის განსაზღვრების, თვისებების გამოყენება კონკრეტული ამოცანების ამოხსნისათვის;

ამოხსენით განტოლებები, უტოლობა, განტოლებათა სისტემები და უტოლობები, რომლებიც შეიცავს ცვლას მოდულის ნიშნით.

ლიტერატურა მასწავლებლისთვის

1. 
   S.I. კოლესნიკოვა "კომპლექსის გადაწყვეტა ამოცანების გამოყენება» 300 დავალება დეტალური გადაწყვეტა. გამომცემლობა მოსკოვის ირისის პრესა 2005 წ.
2. 
   G.A. ვორონინა პრაქტიკული სახელმძღვანელომასწავლებლისთვის "არჩევითი კურსები" გამომცემლობა მოსკოვის ირის პრესა 2006 წ
3. 
   M.I.Skanavi ამოცანათა კრებული მათემატიკაში მ.: ONIKS, 2006 წ.
4. 
   ელექტრონული სახელმძღვანელო "ალგებრა 7 - 11"
5. 
   Olehnik S.N. და ა.შ. განტოლებები და უტოლობა. არასტანდარტული მეთოდები

გადაწყვეტილებები. 10-11 უჯრედი. – M.: Bustard, 1995 წ.

ლიტერატურა სტუდენტებისთვის
1. M.I.Skanavi ამოცანების კრებული მათემატიკაში, მ.: ONIKS, 2006 წ.

2. ა.გ. მორდკოვიჩი. ალგებრა 9. Ღრმა სწავლება. სახელმძღვანელო.