თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან მასთან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• როდესაც განაცხადებს წარადგენთ საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, მისამართი ელფოსტადა ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენს მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაციასაშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ ამის შესახებ უნიკალური შეთავაზებები, აქციები და სხვა ღონისძიებები და მომავალი ღონისძიებები.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გასაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტი, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევებიგავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• საჭიროების შემთხვევაში - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში ან/და საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე. სამთავრობო სააგენტოებირუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოებისთვის, სამართალდამცავი ორგანოებისთვის ან სხვა საზოგადოებისთვის. მნიშვნელოვანი შემთხვევები.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუზიარებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

პირველი ხარისხის განტოლებები და განტოლებათა სისტემები

ორი რიცხვი ან რამდენიმე გამოთქმა, რომლებიც დაკავშირებულია ნიშნით "=" ფორმა თანასწორობა. თუ მოცემული რიცხვები ან გამონათქვამები ტოლია ასოების ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, მაშინ ასეთი ტოლობა ეწოდება ვინაობა.

მაგალითად, როდესაც ნათქვამია, რომ ნებისმიერი ამოქმედებს:

ა + 1 = 1 + ა, აქ თანასწორობა არის იდენტობა.

განტოლებაეწოდება თანასწორობის შემცველი უცნობი ნომრებიაღინიშნება ასოებით. ამ ასოებს ე.წ უცნობი. განტოლებაში შეიძლება იყოს ერთზე მეტი უცნობი.

მაგალითად, განტოლებაში 2 X + ზე = 7X- 3 ორი უცნობი: Xდა ზე.

გამონათქვამი განტოლების მარცხენა მხარეს (2 X + ზე) ეწოდება განტოლების მარცხენა მხარეს და გამოსახულებას განტოლების მარჯვენა მხარეს (7 X– 3) ეწოდება მის მარჯვენა მხარეს.

უცნობის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც განტოლება იდენტურად იქცევა, ეწოდება გადაწყვეტილებაან ფესვიგანტოლებები.

მაგალითად, თუ განტოლებაში 3 X+ 7=13 უცნობის ნაცვლად Xჩაანაცვლეთ ნომერი 2, მივიღებთ პირადობას. ამიტომ, ღირებულება X= 2 აკმაყოფილებს მოცემულ განტოლებას და რიცხვი 2 არის მოცემული განტოლების ამონახსნი ან ფესვი.

ორი განტოლება ეწოდება ექვივალენტი(ან ექვივალენტი), თუ პირველი განტოლების ყველა ამონახსნები მეორის ამონახსნებია და პირიქით, მეორე განტოლების ყველა ამონახსნები პირველის ამონახსნებია. რომ ეკვივალენტური განტოლებებიასევე მოიცავს განტოლებებს, რომლებსაც არ აქვთ ამონახსნები.

მაგალითად, განტოლებები 2 X- 5 = 11 და 7 X+ 6 = 62 ექვივალენტურია, რადგან მათ აქვთ იგივე ფესვი X= 8; განტოლებები X + 2 = X+ 5 და 2 X + 7 = 2Xექვივალენტურია, რადგან ორივეს არ აქვს გამოსავალი.

ეკვივალენტური განტოლებების თვისებები

1. განტოლების ორივე მხარეს შეგიძლიათ დაამატოთ ნებისმიერი გამონათქვამი, რომელიც აზრი აქვს ყველას დაშვებული ღირებულებებიუცნობი; მიღებული განტოლება იქნება მოცემულის ექვივალენტი.

მაგალითი. განტოლება 2 X– 1 = 7-ს აქვს ფესვი X= 4. ორივე მხარეს 5-ის მიმატებით მივიღებთ განტოლებას 2-ს X- 1 + 5 = 7 + 5 ან 2 X+ 4 = 12 რომელსაც აქვს იგივე ფესვი X = 4.

2. თუ განტოლების ორივე ნაწილს აქვს ერთი და იგივე წევრი, მაშინ მათი გამოტოვება შეიძლება.

მაგალითი. განტოლება 9 x + 5X = 18 + 5Xაქვს ერთი ფესვი X= 2. გამოტოვება ორივე ნაწილში 5 Xვიღებთ განტოლებას 9 X= 18 რომელსაც აქვს იგივე ფესვი X = 2.

3. განტოლების ნებისმიერი წევრი შეიძლება გადავიდეს განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეზე მისი ნიშნის საპირისპიროდ შეცვლით.

მაგალითი. განტოლება 7 X - 11 = 3 აქვს ერთი ფესვი X= 2. თუ 11-ს გადავიტანთ მარჯვნივ საპირისპირო ნიშანივიღებთ განტოლებას 7 X= 3 + 11 რომელსაც აქვს იგივე გამოსავალი X = 2.

4. განტოლების ორივე ნაწილი შეიძლება გამრავლდეს ნებისმიერი გამოსახულებით (რიცხვით), რომელიც აზრს იძენს და არ არის ნულოვანი უცნობის ყველა დასაშვები მნიშვნელობისთვის, შედეგად მიღებული განტოლება იქნება ამ ერთის ექვივალენტი.

მაგალითი. განტოლება 2 X - 15 = 10 – 3Xაქვს ფესვი X= 5. ორივე მხარის 3-ზე გამრავლებით მივიღებთ განტოლებას 3(2 X - 15) = 3(10 – 3X) ან 6 X – 45 =30 – 9X, რომელსაც აქვს იგივე ფესვი X = 5.

5. განტოლების ყველა წევრის ნიშნები შეიძლება შებრუნებული იყოს (ეს უდრის ორივე ნაწილის (-1)-ზე გამრავლებას).

მაგალითი. განტოლება - 3 x + 7 = - 8 ორივე ნაწილის გამრავლების შემდეგ (-1) მიიღებს 3 ფორმას X - 7 = 8. პირველ და მეორე განტოლებებს აქვთ ერთი ფესვი X = 5.

6. განტოლების ორივე მხარე შეიძლება გაიყოს იმავე რიცხვზე, გარდა ნულისა (ანუ არ არის ნულის ტოლი).

მაგალითი..gif" width="49 height=25" height="25">.gif" width="131" height="28"> ექვივალენტურია ამ ერთის, რადგან მას აქვს იგივე ორი ფესვი: და https:/ /pandia.ru/text/78/105/images/image006_96.gif" width="125" height="48 src="> ორივე ნაწილის 14-ზე გამრავლების შემდეგ ასე გამოიყურება:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image009_71.gif" width="77 height=20" height="20">, სადაც თვითნებური რიცხვები, X- უცნობი, დაუძახა პირველი ხარისხის განტოლება ერთი უცნობით(ან ხაზოვანიგანტოლება ერთი უცნობით).

მაგალითი. 2 X + 3 = 7 – 0,5X ; 0,3X = 0.

პირველი ხარისხის განტოლებას ერთი უცნობით ყოველთვის აქვს ერთი ამონახსნი; წრფივ განტოლებას შეიძლება არ ჰქონდეს ამონახსნები () ან ჰქონდეს ისინი უსასრულო ნაკრები(https://pandia.ru/text/78/105/images/image013_59.gif" width="344 height=48" height="48">.

გამოსავალი. გაამრავლეთ განტოლების ყველა წევრი მნიშვნელების უმცირეს საერთო ჯერადზე, რომელიც არის 12.

https://pandia.ru/text/78/105/images/image015_49.gif" width="183 height=24" height="24">.gif" width="371" height="20 src="> .

ერთ ნაწილში (მარცხნივ) ვაჯგუფებთ უცნობის შემცველ ტერმინებს, ხოლო მეორე ნაწილში (მარჯვნივ) - თავისუფალ ტერმინებს:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image019_34.gif" width="104" height="20">. ორივე ნაწილის (-22-ზე) გაყოფა მივიღებთ X = 7.

პირველი ხარისხის ორი განტოლების სისტემა ორი უცნობით

განტოლებას, როგორიცაა https://pandia.ru/text/78/105/images/image021_34.gif" width="87" height="24 src="> ე.წ. პირველი ხარისხის განტოლება ორი უცნობით xდა ზე. თუ ისინი პოულობენ საერთო ამონახსნებს ორი ან მეტი განტოლებისთვის, მაშინ ამბობენ, რომ ეს განტოლებები ქმნიან სისტემას, ისინი ჩვეულებრივ იწერება ერთმანეთის ქვეშ და გაერთიანებულია, მაგალითად, ხვეული ფრჩხილით.

უცნობთა თითოეული წყვილი, რომელიც ერთდროულად აკმაყოფილებს სისტემის ორივე განტოლებას, ეწოდება სისტემური გადაწყვეტა. გადაჭრით სისტემა- ეს ნიშნავს ამ სისტემის ყველა გადაწყვეტის პოვნას ან იმის ჩვენებას, რომ მას არ გააჩნია. განტოლების ორი სისტემა ე.წ ექვივალენტი (ექვივალენტი), თუ ერთი მათგანის ყველა ამონახსნები მეორის ამონახსნებია და პირიქით, მეორის ყველა ამონახსნები პირველის ამონახსნებია.

მაგალითად, სისტემის გამოსავალი არის რიცხვების წყვილი X= 4 და ზე= 3. ეს რიცხვებიც არის ერთადერთი გამოსავალისისტემები . მაშასადამე, განტოლებათა ეს სისტემები ეკვივალენტურია.

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის გზები

1. გზა ალგებრული დამატება. თუ რომელიმე უცნობის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში ტოლია აბსოლუტური მნიშვნელობით, მაშინ ორივე განტოლების მიმატებით (ან ერთის გამოკლებით), შეგიძლიათ მიიღოთ განტოლება ერთ უცნობისთან. ამ განტოლების ამოხსნით დგინდება ერთი უცნობი, ხოლო სისტემის ერთ-ერთ განტოლებაში მისი ჩანაცვლებით მეორე უცნობი.

მაგალითები: ამოხსენით განტოლებათა სისტემები: 1) .

აქ არის კოეფიციენტები ზეტოლია აბსოლუტური მნიშვნელობით, მაგრამ საპირისპირო ნიშნით. რომ მივიღოთ განტოლება ერთთან უცნობი განტოლებაჩვენ ვამატებთ სისტემებს ტერმინების მიხედვით:

მიღებული ღირებულება X= 4 ჩვენ ვცვლით სისტემის ზოგიერთ განტოლებას, მაგალითად, პირველში და ვიპოვით მნიშვნელობას ზე: .

პასუხი: X = 4; ზე = 3.

2) https://pandia.ru/text/78/105/images/image029_23.gif" width="112" height="57 src=">.gif" width="220" height="87 src=" >

https://pandia.ru/text/78/105/images/image033_21.gif" width="103" height="47 src=">.

2. ჩანაცვლების მეთოდი.სისტემის ნებისმიერი განტოლებიდან ჩვენ გამოვხატავთ ერთ-ერთ უცნობს დანარჩენის მიხედვით, შემდეგ კი ამ უცნობის მნიშვნელობას ვცვლით დარჩენილ განტოლებებს. განვიხილოთ ეს მეთოდი კონკრეტული მაგალითებით:

1) ამოვიხსნათ განტოლებათა სისტემა. მოდით გამოვხატოთ ერთი უცნობი პირველი განტოლებიდან, მაგალითად X: https://pandia.ru/text/78/105/images/image036_18.gif" width="483" height="24 src=">

შემცვლელი ზე= 1 გამოსახულებაში for X, ვიღებთ .

პასუხი: https://pandia.ru/text/78/105/images/image039_18.gif" width="99" height="55 src=">. ამ შემთხვევაში მოსახერხებელია გამოხატვა ზემეორე განტოლებიდან:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image041_16.gif" width="660" height="24">შეცვალეთ მნიშვნელობა X= 5 გამოსახულებაში for ზე, ვიღებთ https://pandia.ru/text/78/105/images/image043_15.gif" width="96" height="24 src=">.

3) მოდით ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა https://pandia.ru/text/78/105/images/image045_12.gif" width="205" height="48">. ამ მნიშვნელობის მეორე განტოლებაში ჩანაცვლებით მივიღებთ განტოლება ერთი უცნობით ზე: https://pandia.ru/text/78/105/images/image049_11.gif" width="128" height="48">

პასუხი: https://pandia.ru/text/78/105/images/image051_12.gif" width="95" height="108 src="> .

მოდით გადავიწეროთ სისტემა შემდეგნაირად: . ჩვენ ვცვლით უცნობებს დაყენებით, ვიღებთ ხაზოვანი სისტემა ..gif" width="11 height=17" height="17"> მეორე განტოლებაში, ვიღებთ განტოლებას ერთი უცნობით:

ღირებულების ჩანაცვლება ვგამოთქმაში ტ, ვიღებთ: https://pandia.ru/text/78/105/images/image060_9.gif" width="92 height=51" height="51"> ვპოულობთ .

პასუხი: https://pandia.ru/text/78/105/images/image062_9.gif" width="120" height="57">, სად არის კოეფიციენტები უცნობისთვის, https://pandia.ru/text/ 78/105/images/image065_10.gif" width="67" height="52 src=">, მაშინ სისტემას აქვს ერთადერთი რამგამოსავალი.

ბ) თუ https://pandia.ru/text/78/105/images/image067_9.gif" width="105" height="52 src=">, მაშინ სისტემას აქვს უსასრულო ნაკრებიგადაწყვეტილებები.

მაგალითი..gif" width="47" height="48 src=">), ამიტომ სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.

მართლაც, .

https://pandia.ru/text/78/105/images/image073_7.gif" width="115" height="48 src=">.

მაგალითი..gif" width="91 height=48" height="48"> ან შემცირების შემდეგ, შესაბამისად სისტემას არ აქვს გადაწყვეტილებები.

მაგალითი..gif" width="116 height=48" height="48"> ან შემოკლების შემდეგ ასე რომ, სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

მოდულის შემცველი განტოლებები

მოდულის შემცველი განტოლებების ამოხსნისას გამოიყენება მოდულის ცნება ნამდვილი რიცხვი. მოდული (აბსოლუტური მნიშვნელობა ) ნამდვილი რიცხვი ათავად ნომერი იწოდება თუ და საპირისპირო ნომერი (– ა), თუ https://pandia.ru/text/78/105/images/image082_7.gif" width="20" height="28">.

ასე რომ, https://pandia.ru/text/78/105/images/image084_8.gif" width="44" height="28 src=">, რადგან ნომერი 3 > 0; , რადგან რიცხვი არის 5< 0, поэтому ; , რადგან (); , იმიტომ რომ.

მოდულის თვისებები:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image093_7.gif" width="72" height="28 src=">

3) https://pandia.ru/text/78/105/images/image095_8.gif" width="123" height="56 src=">

5) https://pandia.ru/text/78/105/images/image097_7.gif" width="73" height="28 src=">.

იმის გათვალისწინებით, რომ მოდულის ქვეშ გამოსახულებას შეუძლია მიიღოს ორი მნიშვნელობა https://pandia.ru/text/78/105/images/image099_8.gif" width="68" height="20 src=">, მაშინ მოცემული განტოლებამცირდება ორი განტოლების ამოხსნამდე: და ან და ..gif" width="52" height="20 src=">. მოდით შევამოწმოთ თითოეული მნიშვნელობის ჩანაცვლებით Xმდგომარეობაში: თუ https://pandia.ru/text/78/105/images/image106_5.gif" width="165" height="28 src=">..gif" width="144" height=" 28 src=">.

პასუხი: https://pandia.ru/text/78/105/images/image104_6.gif" width="49" height="20 src=">.

მაგალითი..gif" width="408" height="55">

პასუხი: https://pandia.ru/text/78/105/images/image111_6.gif" width="41" height="20 src=">.

Example..gif" width="137" height="20"> და . გამოყავით მიღებული მნიშვნელობები Xზე რიცხვითი ღერძიდაყოფა ინტერვალებად:

თუ https://pandia.ru/text/78/105/images/image117_5.gif" width="144" height="24">, რადგან ამ ინტერვალში ორივე გამონათქვამი მოდულის ნიშნის ქვეშაა ნულზე ნაკლებიდა, მოდულის ამოღებით, ჩვენ უნდა შევცვალოთ გამოხატვის ნიშანი საპირისპიროდ. მოდით ამოხსნათ მიღებული განტოლება:

Gif" width="75 height=24" height="24">. სასაზღვრო მნიშვნელობა შეიძლება იყოს შეტანილი როგორც პირველ, ასევე მეორე დიაპაზონში, ისევე როგორც მნიშვნელობა შეიძლება იყოს ჩართული როგორც მეორეში, ასევე მესამეში. მეორე ინტერვალში, ჩვენი განტოლება მიიღებს ფორმას: - ამ გამოთქმას აზრი არ აქვს, ანუ ამ ინტერვალზე ამონახსნების განტოლებას არ აქვს ამონახსნები მოდულის ნიშნის ქვეშ, ჩვენ ვატოლებთ მათ ნულს. ვპოულობთ ყველა გამონათქვამის ფესვებს,

შემდეგი ინტერვალი https://pandia.ru/text/78/105/images/image124_6.gif" width="225" height="20">..gif" width="52" height="20 src="> .gif" width="125" height="25">, სადაც ა, ბ, გარის თვითნებური რიცხვები ( ა≠ 0), და xარის ცვლადი ე.წ კვადრატი. ამ განტოლების გადასაჭრელად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ დისკრიმინანტი D = b 2 – 4აწ. Თუ დ> 0, მაშინ კვადრატულ განტოლებას აქვს ორი ამონახსნი (ფესვები): და .

Თუ დ= 0, კვადრატულ განტოლებას აშკარად აქვს ორი იდენტური გადაწყვეტილებები(ფესვის მრავლობითი).

Თუ დ< 0, квадратное уравнение не имеет ნამდვილი ფესვები.

თუ ერთ-ერთი კოეფიციენტი ბან გ ნული, მაშინ კვადრატული განტოლება შეიძლება ამოიხსნას დისკრიმინანტის გამოთვლის გარეშე:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image131_5.gif" width="28" height="18 src="> x(ნაჯახი+ ბ)=0

2)ნაჯახი 2 + გ = 0 ნაჯახი 2 = – გ; თუ https://pandia.ru/text/78/105/images/image135_3.gif" width="101" height="52">.

არსებობს დამოკიდებულებები კვადრატული განტოლების კოეფიციენტებსა და ფესვებს შორის, რომლებიც ცნობილია როგორც ფორმულები ან ვიეტას თეორემა:

ბისკვერიგანტოლებები არის https://pandia.ru/text/78/105/images/image138_4.gif" width="53" height="29"> ფორმის განტოლებები, შემდეგ თავდაპირველი განტოლებიდან ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას, რომელსაც ჩვენ ვპოულობთ ზე, და მერე Xფორმულის მიხედვით.

მაგალითი. განტოლების ამოხსნა . ჩვენ მივყავართ გამონათქვამები ტოლობის ორივე ნაწილში საერთო მნიშვნელი..gif" width="212" height="29 src=">. ვხსნით მიღებულ კვადრატულ განტოლებას: , ამ განტოლებაში ა= 1, ბ= –2,გ= -15, მაშინ დისკრიმინანტი უდრის: D = b 2 – 4აწ= 64. განტოლების ფესვები: , ..gif" width="130 height=25" height="25">. ვაკეთებთ ჩანაცვლებას. შემდეგ განტოლება ხდება არის კვადრატული განტოლება, სადაც ა= 1, ბ= – 4,გ= 3, მისი დისკრიმინანტი არის: D = b 2 – 4აწ = 16 – 12 = 4.

კვადრატული განტოლების ფესვები ტოლია, შესაბამისად: და .

საწყისი განტოლების ფესვები , , , ..gif" width="78" height="51">, სადაც PN(x) და პმ(x) არის გრადუსების პოლინომები ნდა მშესაბამისად. წილადი ნულია, თუ მრიცხველი არის ნული, ხოლო მნიშვნელი არა, მაგრამ ასეთი მრავალწევრი განტოლება ძირითადად მიიღება მხოლოდ ხანგრძლივი გარდაქმნების, ერთი განტოლებიდან მეორეზე გადასვლის შემდეგ. მაშასადამე, ამოხსნის პროცესში ყოველი განტოლება იცვლება ახლით და ახალს შეიძლება ჰქონდეს ახალი ფესვები. დავაკვირდეთ ფესვებში ამ ცვლილებებს, თავიდან აიცილოთ ფესვების დაკარგვა და შეძლოთ ზედმეტის უარყოფა. სწორი გადაწყვეტილებაგანტოლებები.

Ნათელია, რომ საუკეთესო გზა- ყოველ ჯერზე შეცვალეთ ერთი განტოლება ეკვივალენტით, მაშინ ბოლო განტოლების ფესვები იქნება საწყისის ფესვები. თუმცა, ასეთი სრულყოფილი გზართული განხორციელება პრაქტიკაში. როგორც წესი, განტოლებას ცვლის მისი შედეგი, რომელიც სულაც არ არის მისი ექვივალენტი, მაშინ როცა პირველი განტოლების ყველა ფესვი მეორის ფესვია, ანუ ფესვების დაკარგვა კი არ ხდება, არამედ გარე. შეიძლება გამოჩნდეს (ან შეიძლება არ გამოჩნდეს). იმ შემთხვევაში, როდესაც ტრანსფორმაციის პროცესში ერთხელ მაინც განტოლება შეიცვალა არათანაბარით, გვჭირდება სავალდებულო შემოწმებამიიღო ფესვები.

ასე რომ, თუ გამოსავალი განხორციელდა უცხო ფესვების ეკვივალენტობისა და წყაროების ანალიზის გარეშე, შემოწმება არის სავალდებულო ნაწილიგადაწყვეტილებები. გადამოწმების გარეშე, გამოსავალი არ ჩაითვლება დასრულებულად, თუნდაც უცხო ფესვებიარ გამოჩენილა. როდესაც ისინი გამოჩნდნენ და არ განადგურდნენ, მაშინ ეს გადაწყვეტილება უბრალოდ არასწორია.

აქ მოცემულია მრავალწევრის რამდენიმე თვისება:

მრავალწევრის ფესვიდარეკეთ ღირებულებას x, რომლის მრავალწევრი ნულის ტოლია. n ხარისხის ნებისმიერ მრავალწევრს აქვს ზუსტად ნფესვები. თუ მრავალწევრი განტოლება დაიწერება როგორც , მაშინ , სად x 1, x 2,…, xnარის განტოლების ფესვები.

ნებისმიერ მრავალწევრს აქვს ხარისხიც კირეალური კოეფიციენტებით არის მინიმუმ ერთი რეალური ფესვი და ზოგადად მას ყოველთვის აქვს კენტი რაოდენობის რეალური ფესვები. ლუწი ხარისხის მრავალწევრს შეიძლება არ ჰქონდეს ნამდვილი ფესვები და როცა აქვთ, მათი რიცხვი ლუწია.

მრავალწევრი ნებისმიერ შემთხვევაში შეიძლება დაიშალოს ხაზოვანი ფაქტორებიდა კვადრატული ტრინომები ერთად უარყოფითი დისკრიმინანტი. თუ ვიცით მისი ფესვი x 1, მაშინ PN(x) = (x - x 1) Pn- 1(x).

Თუ PN(x) = 0 არის ლუწი ხარისხის განტოლება, შემდეგ მისი ფაქტორინგის მეთოდის გარდა შეგიძლიათ სცადოთ ცვლადის ცვლილება, რომლის დახმარებითაც განტოლების ხარისხი შემცირდება.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება:

მესამე (კენტი) ხარისხის ეს განტოლება ნიშნავს, რომ შეუძლებელია დამხმარე ცვლადის შემოღება, რომელიც შეამცირებს განტოლების ხარისხს. ის უნდა გადაწყდეს მარცხენა მხარის ფაქტორინგით, რისთვისაც ჯერ ვხსნით ფრჩხილებს, შემდეგ კი ვწერთ სტანდარტული ფორმით.

ჩვენ ვიღებთ: x 3 + 5x – 6 = 0.

ეს არის შემცირებული განტოლება (კოეფიციენტი at უმაღლესი ხარისხი ერთის ტოლი), ამიტომ მის ფესვებს ვეძებთ თავისუფალი ტერმინის ფაქტორებს შორის - 6. ეს არის რიცხვები ±1, ±2, ±3, ±6. ჩანაცვლება x= 1 განტოლებაში, ჩვენ ამას ვხედავთ x= 1 არის მისი ფესვი, ამიტომ მრავალწევრი x 3 + 5x–6 = 0 გაყოფილი ( x- 1) ნარჩენების გარეშე. მოდით გავაკეთოთ ეს დაყოფა:

x 3 + 5x –6 = 0 x- 1

x 3 – x 2 x 2+x + 6

x 2 + 5x- 6

x 2- x

https://pandia.ru/text/78/105/images/image167_4.gif"> 6 x- 6

https://pandia.ru/text/78/105/images/image168_4.gif" width="50"> 6 x- 6

Ამიტომაც x 3 + 5x –6 = 0; (x- 1)(x 2+ x + 6) = 0

პირველი განტოლება იძლევა ფესვს x= 1, რომელიც უკვე შერჩეულია და მეორე განტოლებაში დ< 0, არ აქვს რეალური გადაწყვეტილებები. ვინაიდან ამ განტოლების ODZ, შესაძლებელია არ შემოწმდეს.

მაგალითი..gif" width="52" height="21 src=">. თუ პირველ ფაქტორს გაამრავლებთ მესამეზე, ხოლო მეორეს მეოთხეზე, მაშინ ამ პროდუქტებს ექნებათ იგივე ნაწილები, რომლებიც დამოკიდებულია x: (x 2 + 4x – 5)(x 2 + 4x – = 0.

დაე x 2 + 4x = წ, შემდეგ განტოლებას ვწერთ ფორმით ( წ – 5)(y- 21) – 297 = 0.

ამ კვადრატულ განტოლებას აქვს ამონახსნები: წ 1 = 32, წ 2 = - 6 ..gif" width="140" height="61 src=">; ODZ: x ≠ – 9.

თუ ამ განტოლებას საერთო მნიშვნელამდე შევამცირებთ, მრიცხველში გამოჩნდება მეოთხე ხარისხის მრავალწევრი. ასე რომ, დასაშვებია ცვლადის შეცვლა, რაც შეამცირებს განტოლების ხარისხს. აქედან გამომდინარე, არ არის აუცილებელი ამ განტოლების დაუყოვნებლივ შემცირება საერთო მნიშვნელამდე. აქ ხედავთ, რომ მარცხნივ არის კვადრატების ჯამი. ასე რომ, შეგიძლიათ დაამატოთ იგი სრული მოედანითანხები ან განსხვავებები. ფაქტობრივად, გამოკლეთ და დაამატეთ ორჯერ ამ კვადრატების ფუძეების ნამრავლი: https://pandia.ru/text/78/105/images/image179_3.gif" width="80" height="59 src=">, შემდეგ წ 2 + 18წ– 40 = 0. ვიეტას თეორემის მიხედვით წ 1 = 2; წ 2 = – 20. https://pandia.ru/text/78/105/images/image183_4.gif" width="108 height=32" height="32"> და მეორეში დ< 0. Эти корни удовлетворяют ОДЗ

პასუხი: https://pandia.ru/text/78/105/images/image185_4.gif" width="191 height=51" height="51">.gif" width="73 height=48" height=" 48"> .gif" width="132" height="50 src=">.

ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას ა(წ 2 https://pandia.ru/text/78/105/images/image192_3.gif" width="213" height="31">.

ირაციონალური განტოლებები

ირაციონალურიეწოდება განტოლება, რომელშიც ცვლადი შეიცავს რადიკალის ნიშნის ქვეშ (ფესვი ) ან ამაღლების ნიშნის ქვეშ ფრაქციული ხარისხი()..gif" width="120" height="32"> და აქვთ უცნობის განმარტების იგივე დომენი. პირველი და მეორე განტოლების კვადრატში გამოყვანისას ვიღებთ ერთსა და იმავე განტოლებას . ამ განტოლების ამონახსნები ორივე ირაციონალური განტოლების ამონახსნებია.

1. ჩანაცვლების მეთოდი: სისტემის ნებისმიერი განტოლებიდან გამოვხატავთ ერთ უცნობს მეორის მეშვეობით და ვცვლით სისტემის მეორე განტოლებით.

Დავალება.ამოხსენით განტოლებათა სისტემა:

გამოსავალი.სისტემის პირველი განტოლებიდან გამოვხატავთ ზემეშვეობით Xდა ჩაანაცვლეთ სისტემის მეორე განტოლებაში. მოდით მივიღოთ სისტემა ორიგინალის ექვივალენტი.

ასეთი პირობების შემოტანის შემდეგ სისტემა მიიღებს ფორმას:

მეორე განტოლებიდან ვხვდებით: . ამ მნიშვნელობის ჩანაცვლება განტოლებაში ზე = 2 - 2X, ვიღებთ ზე= 3. მაშასადამე, ამ სისტემის ამონახსნი არის რიცხვების წყვილი.

2. ალგებრული დამატების მეთოდი: ორი განტოლების მიმატებით მიიღეთ განტოლება ერთი ცვლადით.

Დავალება.ამოხსენით სისტემის განტოლება:

გამოსავალი.მეორე განტოლების ორივე მხარე 2-ზე გამრავლებით მივიღებთ სისტემას ორიგინალის ექვივალენტი. ამ სისტემის ორი განტოლების დამატებით მივდივართ სისტემამდე

მსგავსი პირობების შემცირების შემდეგ ეს სისტემა მიიღებს ფორმას: მეორე განტოლებიდან ვხვდებით. ამ მნიშვნელობის ჩანაცვლება განტოლებაში 3 X + 4ზე= 5, ვიღებთ , სადაც . ამრიგად, ამ სისტემის ამონახსნი არის რიცხვების წყვილი.

3. ახალი ცვლადების დანერგვის მეთოდი: ჩვენ ვეძებთ სისტემაში განმეორებით გამონათქვამებს, რომლებსაც აღვნიშნავთ ახალი ცვლადებით, რითაც გავამარტივებთ სისტემის ფორმას.

Დავალება.ამოხსენით განტოლებათა სისტემა:

გამოსავალი.ჩამოვწეროთ ამ სისტემასწინააღმდეგ შემთხვევაში:

დაე x + y = შენ, ჰუ = ვ.შემდეგ ჩვენ ვიღებთ სისტემას

მოვაგვაროთ ჩანაცვლების მეთოდით. სისტემის პირველი განტოლებიდან გამოვხატავთ uმეშვეობით ვდა ჩაანაცვლეთ სისტემის მეორე განტოლებაში. მოდით მივიღოთ სისტემა იმათ.

სისტემის მეორე განტოლებიდან ვხვდებით ვ 1 = 2, ვ 2 = 3.

ამ მნიშვნელობების ჩანაცვლება განტოლებაში u = 5 - ვ, ვიღებთ u 1 = 3,
u 2 = 2. მაშინ გვაქვს ორი სისტემა

პირველი სისტემის ამოხსნისას მივიღებთ რიცხვების ორ წყვილს (1; 2), (2; 1). მეორე სისტემას არ აქვს გამოსავალი.

სავარჯიშოები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის

1. განტოლებათა სისტემების ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით.

მიღებული განტოლებათა სისტემები ფართო აპლიკაციაეკონომიკურ სექტორში მათემატიკური მოდელირება სხვადასხვა პროცესები. მაგალითად, წარმოების მართვისა და დაგეგმვის, ლოგისტიკური მარშრუტების (ტრანსპორტის პრობლემა) ან აღჭურვილობის განთავსების პრობლემების გადაჭრისას.

განტოლების სისტემები გამოიყენება არა მხოლოდ მათემატიკის დარგში, არამედ ფიზიკაში, ქიმიასა და ბიოლოგიაში, პოპულაციის ზომის პოვნის ამოცანების გადაჭრისას.

სისტემა წრფივი განტოლებებიდაასახელეთ ორი ან მეტი განტოლება რამდენიმე ცვლადით, რომლის პოვნაც აუცილებელია საერთო გადაწყვეტილება. რიცხვების ისეთი თანმიმდევრობა, რომლისთვისაც ყველა განტოლება ხდება ჭეშმარიტი თანასწორობა ან ამტკიცებს, რომ მიმდევრობა არ არსებობს.

წრფივი განტოლება

ax+by=c ფორმის განტოლებებს წრფივი ეწოდება. აღნიშვნები x, y არის უცნობი, რომელთა მნიშვნელობა უნდა მოიძებნოს, b, a არის ცვლადების კოეფიციენტები, c არის განტოლების თავისუფალი წევრი.
განტოლების ამოხსნა მისი გრაფიკის გამოსახულებით სწორ ხაზს წააგავს, რომლის ყველა წერტილი მრავალწევრის ამონახსნია.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ტიპები

უმარტივესი არის ხაზოვანი განტოლების სისტემების მაგალითები ორი ცვლადით X და Y.

F1(x, y) = 0 და F2(x, y) = 0, სადაც F1,2 არის ფუნქციები და (x, y) ფუნქციის ცვლადები.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა - ეს ნიშნავს ისეთი მნიშვნელობების პოვნას (x, y), რომლებისთვისაც სისტემა ხდება ნამდვილი თანასწორობა, ან იმის დადგენა, რომ არ არსებობს x და y შესაფერისი მნიშვნელობები.

მნიშვნელობების წყვილს (x, y), დაწერილი როგორც წერტილის კოორდინატები, ეწოდება ამონახსნი წრფივი განტოლებათა სისტემისთვის.

თუ სისტემებს აქვთ ერთი საერთო გამოსავალი ან არ არსებობს გამოსავალი, მათ ექვივალენტი ეწოდება.

წრფივი განტოლებების ჰომოგენური სისტემები არის სისტემები მარჯვენა ნაწილირომელიც ნულის ტოლია. თუ "თანაბრის" ნიშნის შემდეგ მარჯვენა ნაწილს აქვს მნიშვნელობა ან გამოიხატება ფუნქციით, ასეთი სისტემა არ არის ერთგვაროვანი.

ცვლადების რაოდენობა შეიძლება იყოს ორზე ბევრად მეტი, მაშინ უნდა ვისაუბროთ ხაზოვანი განტოლების სისტემის მაგალითზე სამი ან მეტი ცვლადით.

სისტემების წინაშე სკოლის მოსწავლეები ვარაუდობენ, რომ განტოლებების რაოდენობა აუცილებლად უნდა ემთხვეოდეს უცნობთა რაოდენობას, მაგრამ ეს ასე არ არის. სისტემაში განტოლებების რაოდენობა არ არის დამოკიდებული ცვლადებზე, შეიძლება იყოს მათი თვითნებურად დიდი რაოდენობა.

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის მარტივი და რთული მეთოდები

საერთო არ არის ანალიტიკური მეთოდიმსგავსი სისტემების გადაწყვეტილებები, ყველა მეთოდი ეფუძნება რიცხვით ამონახსნებს. სასკოლო მათემატიკის კურსი დეტალურად აღწერს ისეთ მეთოდებს, როგორიცაა პერმუტაცია, ალგებრული შეკრება, ჩანაცვლება, ასევე გრაფიკული და მატრიცული მეთოდი, ამოხსნა გაუსის მეთოდით.

ამოხსნის მეთოდების სწავლების მთავარი ამოცანაა ასწავლოს სისტემის სწორად გაანალიზება და პოვნა ოპტიმალური ალგორითმიგადაწყვეტილებები თითოეული მაგალითისთვის. მთავარია არა თითოეული მეთოდისთვის წესების და მოქმედებების სისტემის დამახსოვრება, არამედ კონკრეტული მეთოდის გამოყენების პრინციპების გაგება.

პროგრამის მე-7 კლასის წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა საშუალო სკოლასაკმაოდ მარტივი და დეტალურად ახსნილი. მათემატიკის ნებისმიერ სახელმძღვანელოში ამ განყოფილებას საკმარისი ყურადღება ეთმობა. წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა გაუსის და კრამერის მეთოდით უფრო დეტალურად არის შესწავლილი უმაღლესი საგანმანათლებლო დაწესებულებების პირველ კურსებში.

სისტემების ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით

ჩანაცვლების მეთოდის მოქმედებები მიზნად ისახავს ერთი ცვლადის მნიშვნელობის გამოხატვას მეორის მეშვეობით. გამოთქმა ჩანაცვლებულია დარჩენილ განტოლებაში, შემდეგ იგი მცირდება ერთ ცვლადის ფორმამდე. მოქმედება მეორდება სისტემაში უცნობის რაოდენობის მიხედვით

მოვიყვანოთ მე-7 კლასის წრფივი განტოლებათა სისტემის მაგალითი ჩანაცვლების მეთოდით:

როგორც მაგალითიდან ჩანს, x ცვლადი გამოისახა F(X) = 7 + Y-ით. შედეგად მიღებული გამოხატულება, რომელიც ჩანაცვლებულია სისტემის მე-2 განტოლებაში X-ის ნაცვლად, დაეხმარა მე-2 განტოლებაში ერთი ცვლადის Y მიღებაში. . გამოსავალი ეს მაგალითიარ იწვევს სირთულეებს და საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ Y მნიშვნელობა. ბოლო ნაბიჯი არის მიღებული მნიშვნელობების შემოწმება.

ყოველთვის არ არის შესაძლებელი წრფივი განტოლებათა სისტემის მაგალითის ამოხსნა ჩანაცვლებით. განტოლებები შეიძლება იყოს რთული და ცვლადის გამოხატვა მეორე უცნობის მიხედვით ზედმეტად რთული იქნება შემდგომი გამოთვლებისთვის. როდესაც სისტემაში 3-ზე მეტი უცნობია, შემცვლელი გადაწყვეტა ასევე არაპრაქტიკულია.

წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებების სისტემის მაგალითის ამოხსნა:

ამოხსნა ალგებრული შეკრების გამოყენებით

სისტემების ამოხსნის შეკრების მეთოდით ძიებისას, ტერმინით შეკრება და განტოლებების გამრავლება სხვადასხვა ნომრები. საბოლოო მიზანი მათემატიკური ოპერაციებიარის განტოლება ერთი ცვლადით.

აპლიკაციებისთვის ამ მეთოდითამას პრაქტიკა და დაკვირვება სჭირდება. ადვილი არ არის წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა შეკრების მეთოდის გამოყენებით ცვლადების 3 ან მეტი რაოდენობით. ალგებრული შეკრება სასარგებლოა, როდესაც განტოლებები შეიცავს წილადებსა და ათობითი რიცხვებს.

ამოხსნის მოქმედების ალგორითმი:

1. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე რომელიმე რიცხვზე. Როგორც შედეგი არითმეტიკული ოპერაციაცვლადის ერთ-ერთი კოეფიციენტი უნდა გახდეს 1-ის ტოლი.
2. დაამატეთ მიღებული გამოხატულება ტერმინით და იპოვნეთ ერთ-ერთი უცნობი.
3. შეცვალეთ მიღებული მნიშვნელობა სისტემის მე-2 განტოლებაში, რათა იპოვოთ დარჩენილი ცვლადი.

ამოხსნის მეთოდი ახალი ცვლადის შემოღებით

შესაძლებელია ახალი ცვლადის შემოღება, თუ სისტემას სჭირდება ამოხსნის პოვნა არაუმეტეს ორი განტოლებისათვის, ასევე უცნობის რაოდენობა უნდა იყოს არაუმეტეს ორი.

მეთოდი გამოიყენება ერთ-ერთი განტოლების გასამარტივებლად ახალი ცვლადის შემოღებით. ახალი განტოლება წყდება შეყვანილი უცნობის მიმართ და მიღებული მნიშვნელობა გამოიყენება თავდაპირველი ცვლადის დასადგენად.

მაგალითი აჩვენებს, რომ ახალი t ცვლადის შემოღებით შესაძლებელი გახდა სისტემის 1-ლი განტოლების სტანდარტამდე შემცირება. კვადრატული ტრინომიალი. თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ მრავალწევრი დისკრიმინანტის მოძიებით.

აუცილებელია დისკრიმინანტის მნიშვნელობის პოვნა ცნობილი ფორმულა: D = b2 - 4*a*c, სადაც D არის სასურველი დისკრიმინანტი, b, a, c არის მრავალწევრის მამრავლები. AT მოცემული მაგალითი a=1, b=16, c=39, შესაბამისად D=100. თუ დისკრიმინანტი ნულზე მეტია, მაშინ არსებობს ორი ამონახსნი: t = -b±√D / 2*a, თუ დისკრიმინანტი ნულზე ნაკლებია, მაშინ არის მხოლოდ ერთი ამონახსნი: x= -b / 2*a.

შედეგად მიღებული სისტემების გამოსავალი ნაპოვნია დამატების მეთოდით.

სისტემების ამოხსნის ვიზუალური მეთოდი

ვარგისია 3 განტოლების სისტემებისთვის. მეთოდი არის აშენება კოორდინატთა ღერძისისტემაში შემავალი თითოეული განტოლების გრაფიკები. მრუდების გადაკვეთის წერტილების კოორდინატები იქნება სისტემის ზოგადი ამოხსნა.

გრაფიკულ მეთოდს აქვს მრავალი ნიუანსი. განვიხილოთ წრფივი განტოლებების სისტემების ვიზუალური გზით ამოხსნის რამდენიმე მაგალითი.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, თითოეული ხაზისთვის აშენდა ორი წერტილი, თვითნებურად აირჩიეს x ცვლადის მნიშვნელობები: 0 და 3. x-ის მნიშვნელობებიდან გამომდინარე, ნაპოვნია y-ის მნიშვნელობები: 3 და 0. წერტილები (0, 3) და (3, 0) კოორდინატებით მონიშნული იყო გრაფიკზე და იყო დაკავშირებული ხაზით.

ნაბიჯები უნდა განმეორდეს მეორე განტოლებისთვის. ხაზების გადაკვეთის წერტილი არის სისტემის ამოხსნა.

AT შემდეგი მაგალითისაჭირო მოძებნა გრაფიკული გადაწყვეტაწრფივი განტოლებათა სისტემები: 0.5x-y+2=0 და 0.5x-y-1=0.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, სისტემას არ აქვს გამოსავალი, რადგან გრაფიკები პარალელურია და არ იკვეთება მთელ სიგრძეზე.

მაგალითებიდან 2 და 3 სისტემები მსგავსია, მაგრამ აგებისას აშკარა ხდება, რომ მათი გადაწყვეტილებები განსხვავებულია. უნდა გვახსოვდეს, რომ ყოველთვის არ არის შესაძლებელი იმის თქმა, აქვს თუ არა სისტემას გამოსავალი, ყოველთვის საჭიროა გრაფიკის აგება.

მატრიცა და მისი ჯიშები

მატრიცები გამოიყენება აბრევიატურაწრფივი განტოლებათა სისტემები. ცხრილს მატრიცა ეწოდება. განსაკუთრებული სახისრიცხვებით სავსე. n*m აქვს n - რიგები და m - სვეტები.

მატრიცა არის კვადრატი, როდესაც სვეტების და რიგების რაოდენობა ტოლია. მატრიცა-ვექტორი არის ერთსვეტიანი მატრიცა მწკრივების უსასრულოდ შესაძლო რაოდენობით. მატრიცა ერთეულებით ერთ-ერთი დიაგონალის გასწვრივ და სხვა ნულოვანი ელემენტებიუწოდებს სინგულარს.

ინვერსიული მატრიცა არის ისეთი მატრიცა, რომლითაც გამრავლებისას ორიგინალი იქცევა ერთეულში, ასეთი მატრიცა არსებობს მხოლოდ თავდაპირველი კვადრატისთვის.

განტოლებათა სისტემის მატრიცად გადაქცევის წესები

განტოლებათა სისტემებთან დაკავშირებით, განტოლებების კოეფიციენტები და თავისუფალი წევრები იწერება მატრიცის რიცხვებად, ერთი განტოლება არის მატრიცის ერთი მწკრივი.

მატრიცის მწკრივს ეწოდება არანულოვანი, თუ მწკრივის ერთი ელემენტი მაინც არ არის ნულის ტოლი. მაშასადამე, თუ რომელიმე განტოლებაში ცვლადების რაოდენობა განსხვავდება, მაშინ აუცილებელია ნულის შეყვანა გამოტოვებული უცნობის ნაცვლად.

მატრიცის სვეტები მკაცრად უნდა შეესაბამებოდეს ცვლადებს. ეს ნიშნავს, რომ x ცვლადის კოეფიციენტები შეიძლება ჩაიწეროს მხოლოდ ერთ სვეტში, მაგალითად პირველი, უცნობი y-ის კოეფიციენტი - მხოლოდ მეორეში.

მატრიცის გამრავლებისას მატრიცის ყველა ელემენტი თანმიმდევრულად მრავლდება რიცხვზე.

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ვარიანტები

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ფორმულა საკმაოდ მარტივია: K -1 = 1 / |K|, სადაც K -1 - ინვერსიული მატრიცა, და |კ| - მატრიცის განმსაზღვრელი. |კ| არ უნდა იყოს ნულის ტოლი, მაშინ სისტემას აქვს გამოსავალი.

განმსაზღვრელი ადვილად გამოითვლება ორი-ორ მატრიცისთვის, საჭიროა მხოლოდ ელემენტების ერთმანეთზე დიაგონალზე გამრავლება. "სამი სამზე" ვარიანტისთვის არის ფორმულა |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა, ან გახსოვდეთ, რომ თქვენ უნდა აიღოთ ერთი ელემენტი თითოეული მწკრივიდან და თითოეული სვეტიდან ისე, რომ ელემენტების სვეტები და მწკრივების ნომრები არ განმეორდეს პროდუქტში.

წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა მატრიცული მეთოდით

ამოხსნის მატრიცული მეთოდი შესაძლებელს ხდის შემცირდეს უხერხული აღნიშვნები სისტემების ამოხსნისას დიდი რაოდენობითცვლადები და განტოლებები.

მაგალითში a nm არის განტოლებების კოეფიციენტები, მატრიცა არის ვექტორი x n არის ცვლადები და b n არის თავისუფალი ტერმინები.

სისტემების ამოხსნა გაუსის მეთოდით

AT უმაღლესი მათემატიკაგაუსის მეთოდი შესწავლილია კრამერის მეთოდთან ერთად, ხოლო სისტემებისთვის ამოხსნის ძიების პროცესს ეწოდება გაუს-კრამერის ამოხსნის მეთოდი. ეს მეთოდები გამოიყენება საპოვნელად სისტემის ცვლადებიბევრი წრფივი განტოლებით.

გაუსის მეთოდი ძალიან ჰგავს ჩანაცვლებისა და ალგებრული დამატების ამონახსნებს, მაგრამ უფრო სისტემატურია. სასკოლო კურსში გაუსის ამონახსნი გამოიყენება 3 და 4 განტოლების სისტემებისთვის. მეთოდის მიზანია სისტემის მიყვანა ინვერსიული ტრაპეციის სახით. გზა ალგებრული გარდაქმნებიდა ჩანაცვლებები არის ერთი ცვლადის მნიშვნელობა სისტემის ერთ-ერთ განტოლებაში. მეორე განტოლება არის გამოხატულება 2 უცნობით და 3 და 4 - შესაბამისად 3 და 4 ცვლადით.

სისტემის აღწერილ ფორმამდე მიყვანის შემდეგ, შემდგომი ამოხსნა მცირდება ცნობილი ცვლადების თანმიმდევრულ ჩანაცვლებამდე სისტემის განტოლებებში.

AT სასკოლო სახელმძღვანელოებიმე-7 კლასისთვის, გაუსის მეთოდით ამოხსნის მაგალითი აღწერილია შემდეგნაირად:

როგორც მაგალითიდან ჩანს, საფეხურზე (3) მიიღეს ორი განტოლება 3x 3 -2x 4 =11 და 3x 3 +2x 4 =7. რომელიმე განტოლების ამოხსნა საშუალებას მოგცემთ გაარკვიოთ ერთ-ერთი ცვლადი x n.

მე-5 თეორემა, რომელიც ნახსენებია ტექსტში, ამბობს, რომ თუ სისტემის ერთ-ერთი განტოლება შეიცვალა ეკვივალენტით, მაშინ მიღებული სისტემაც ორიგინალის ეკვივალენტური იქნება.

გაუსის მეთოდი ძნელად გასაგებია სტუდენტებისთვის უმაღლესი სკოლა, მაგრამ ერთ-ერთი ყველაზე საინტერესო გზებიპროგრამაში ჩარიცხული ბავშვების გამომგონებლობის განვითარება სიღრმისეული შესწავლამათემატიკის და ფიზიკის გაკვეთილებზე.

გამოთვლების ჩაწერის გამარტივებისთვის, ჩვეულებრივ უნდა გააკეთოთ შემდეგი:

განტოლების კოეფიციენტები და თავისუფალი ტერმინები იწერება მატრიცის სახით, სადაც მატრიცის თითოეული მწკრივი შეესაბამება სისტემის ერთ-ერთ განტოლებას. გამოყოფს განტოლების მარცხენა მხარეს მარჯვენა მხრიდან. რომაული ციფრები აღნიშნავს სისტემაში განტოლებების რაოდენობას.

ჯერ წერენ მატრიცას, რომლითაც უნდა იმუშაონ, შემდეგ კი ყველა მოქმედებას, რომელიც შესრულებულია ერთ-ერთი მწკრივით. შედეგად მიღებული მატრიცა იწერება "ისრის" ნიშნის შემდეგ და განაგრძობს საჭიროების შესრულებას ალგებრული მოქმედებებიშედეგის მიღწევამდე.

შედეგად, უნდა მივიღოთ მატრიცა, რომელშიც ერთ-ერთი დიაგონალი არის 1, ხოლო ყველა სხვა კოეფიციენტი ნულის ტოლია, ანუ მატრიცა მცირდება ერთ ფორმამდე. არ უნდა დაგვავიწყდეს გამოთვლების გაკეთება განტოლების ორივე მხარის რიცხვებით.

ეს აღნიშვნა ნაკლებად შრომატევადია და საშუალებას გაძლევთ არ გადაიტანოთ ყურადღება მრავალი უცნობის ჩამოთვლებით.

ნებისმიერი გადაწყვეტის მეთოდის უფასო გამოყენება მოითხოვს ზრუნვას და გარკვეულ გამოცდილებას. ყველა მეთოდი არ გამოიყენება. გადაწყვეტილებების პოვნის ზოგიერთი გზა უფრო სასურველია ადამიანის საქმიანობის კონკრეტულ სფეროში, ზოგი კი არსებობს სწავლის მიზნით.

I. ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებები

1.1. ძირითადი ცნებები და განმარტებები

დიფერენციალური განტოლება არის განტოლება, რომელიც აკავშირებს დამოუკიდებელ ცვლადს x, სასურველი ფუნქცია წდა მისი წარმოებულები ან დიფერენციაციები.

სიმბოლურად დიფერენციალური განტოლებაწერია ასე:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

დიფერენციალურ განტოლებას ეწოდება ჩვეულებრივი, თუ სასურველი ფუნქცია დამოკიდებულია ერთ დამოუკიდებელ ცვლადზე.

დიფერენციალური განტოლების ამოხსნითეწოდება ისეთ ფუნქციას, რომელიც ამ განტოლებას იდენტურად აქცევს.

დიფერენციალური განტოლების რიგიარის უმაღლესი წარმოებულის რიგი ამ განტოლებაში

მაგალითები.

1. განვიხილოთ პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლება

ამ განტოლების ამონახსნი არის ფუნქცია y = 5 ln x. მართლაც, ჩანაცვლებით y"განტოლებაში ვიღებთ - იდენტურობას.

და ეს ნიშნავს, რომ ფუნქცია y = 5 ln x– არის ამ დიფერენციალური განტოლების ამონახსნი.

2. განვიხილოთ მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლება y" - 5y" + 6y = 0. ფუნქცია არის ამ განტოლების ამოხსნა.

ნამდვილად,.

ამ გამონათქვამების განტოლებაში ჩანაცვლებით მივიღებთ: , - იდენტურობას.

და ეს ნიშნავს, რომ ფუნქცია არის ამ დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა.

დიფერენციალური განტოლებების ინტეგრაციაარის დიფერენციალური განტოლებების ამონახსნების ძიების პროცესი.

დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნაფორმის ფუნქცია ეწოდება , რომელიც მოიცავს იმდენ დამოუკიდებელ თვითნებურ მუდმივას, რამდენიც განტოლების წესრიგს.

დიფერენციალური განტოლების ნაწილობრივი ამოხსნაეწოდება გადაწყვეტა, რომელიც მიიღება ზოგადი ამონახსნებიდან თვითნებური მუდმივების სხვადასხვა რიცხვითი მნიშვნელობებისთვის. თვითნებური მუდმივების მნიშვნელობები გვხვდება არგუმენტისა და ფუნქციის გარკვეულ საწყის მნიშვნელობებზე.

დიფერენციალური განტოლების კონკრეტული ამოხსნის გრაფიკი ეწოდება ინტეგრალური მრუდი.

მაგალითები

1. იპოვნეთ პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლების კონკრეტული ამონახსნი

xdx + ydy = 0, თუ წ= 4 საათზე x = 3.

გამოსავალი. განტოლების ორივე მხარის ინტეგრირება, მივიღებთ

კომენტარი. ინტეგრაციის შედეგად მიღებული თვითნებური მუდმივი C შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ნებისმიერი ფორმით, რომელიც მოსახერხებელია შემდგომი გარდაქმნებისთვის. ამ შემთხვევაში, წრის კანონიკური განტოლების გათვალისწინებით, მოსახერხებელია თვითნებური მუდმივი С სახით .

არის დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა.

განტოლების კონკრეტული ამონახსნი, რომელიც აკმაყოფილებს საწყის პირობებს წ = 4 საათზე x = 3 მოიძებნება ზოგადიდან საწყისი პირობების ზოგადი ამონახსნით ჩანაცვლებით: 3 2 + 4 2 = C 2; C=5.

C=5 ზოგადი ამონახსნით ჩანაცვლებით მივიღებთ x2+y2 = 5 2 .

ეს არის დიფერენციალური განტოლების კონკრეტული ამოხსნა, რომელიც მიღებულია ზოგადი ამონახსნით მოცემულ საწყის პირობებში.

2. იპოვეთ დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნები

ამ განტოლების ამონახსნი არის ფორმის ნებისმიერი ფუნქცია, სადაც C არის თვითნებური მუდმივი. მართლაც, განტოლებებში ჩანაცვლებით ვიღებთ: , .

მაშასადამე, ამ დიფერენციალურ განტოლებას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა, რადგან C მუდმივის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის, თანასწორობა განსაზღვრავს სხვადასხვა გადაწყვეტილებებიგანტოლებები.

მაგალითად, პირდაპირი ჩანაცვლებით, შეგიძლიათ შეამოწმოთ, რომ ფუნქციები არის განტოლების ამონახსნები.

პრობლემა, რომელშიც საჭიროა განტოლების კონკრეტული ამოხსნის პოვნა y" = f(x, y)აკმაყოფილებს საწყის მდგომარეობას y(x0) = y0კოშის პრობლემას უწოდებენ.

განტოლების ამოხსნა y" = f(x, y)საწყის პირობის დაკმაყოფილება, y(x0) = y0, ეწოდება კოშის პრობლემის გადაწყვეტას.

კოშის პრობლემის ამოხსნას აქვს მარტივი გეომეტრიული მნიშვნელობა. მართლაც, ამ განმარტებების მიხედვით, კოშის პრობლემის გადაჭრა y" = f(x, y)პირობით y(x0) = y0, ნიშნავს განტოლების ინტეგრალური მრუდის პოვნას y" = f(x, y)რომელიც გადის მოცემული წერტილი M0 (x0,y 0).

II. პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებები

2.1. Ძირითადი ცნებები

პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლება არის ფორმის განტოლება F(x,y,y") = 0.

პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლება მოიცავს პირველ წარმოებულს და არ შეიცავს უმაღლესი რიგის წარმოებულებს.

განტოლება y" = f(x, y)წარმოებულის მიმართ ამოხსნილ პირველი რიგის განტოლებას უწოდებენ.

პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა არის ფორმის ფუნქცია, რომელიც შეიცავს ერთ თვითნებურ მუდმივობას.

მაგალითი.განვიხილოთ პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლება.

ამ განტოლების გამოსავალი არის ფუნქცია.

მართლაც, ამ განტოლებაში მისი მნიშვნელობით ჩანაცვლებით, მივიღებთ

ანუ 3x=3x

მაშასადამე, ფუნქცია არის განტოლების ზოგადი ამოხსნა C ნებისმიერი მუდმივისთვის.

იპოვეთ ამ განტოლების კონკრეტული ამონახსნი, რომელიც აკმაყოფილებს საწყის მდგომარეობას y(1)=1საწყისი პირობების ჩანაცვლება x=1, y=1განტოლების ზოგად ამოხსნაში ვიღებთ საიდან C=0.

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ კონკრეტულ ამონახსანს ზოგადიდან ამ განტოლებაში ჩანაცვლებით მიღებული მნიშვნელობით C=0პირადი გადაწყვეტილებაა.

2.2. დიფერენციალური განტოლებები გამყოფი ცვლადებით

დიფერენციალური განტოლება განცალკევებული ცვლადებით არის ფორმის განტოლება: y"=f(x)g(y)ან დიფერენციალებით, სადაც f(x)და g(y)ეძლევა ფუნქციები.

Მათთვის წ, რისთვისაც , განტოლება y"=f(x)g(y)განტოლების ტოლფასია რომელშიც ცვლადი წარის მხოლოდ მარცხენა მხარეს, ხოლო ცვლადი x არის მხოლოდ მარჯვენა მხარეს. ისინი ამბობენ: "განტოლებაში y"=f(x)g(yცვლადების გამოყოფა.

ტიპის განტოლება ეწოდება განცალკევებული ცვლადი განტოლება.

განტოლების ორივე ნაწილის ინტეგრირების შემდეგ on x, ვიღებთ G(y) = F(x) + Cარის განტოლების ზოგადი ამოხსნა, სადაც G(y)და F(x)არის ზოგიერთი ანტიდერივატი, შესაბამისად, ფუნქციებისა და f(x), Cთვითნებური მუდმივი.

გამყოფი ცვლადებით პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმი

მაგალითი 1

განტოლების ამოხსნა y" = xy

გამოსავალი. ფუნქციის წარმოებული y"შეცვლა

გამოვყოფთ ცვლადებს

მოდით გავაერთიანოთ თანასწორობის ორივე ნაწილი:

მაგალითი 2

2 წ" = 1- 3x 2, თუ y 0 = 3ზე x0 = 1

ეს არის გამოყოფილი ცვლადი განტოლება. მოდით წარმოვადგინოთ იგი დიფერენციალებში. ამისათვის ჩვენ გადავწერთ ამ განტოლებას ფორმაში აქედან

ბოლო თანასწორობის ორივე ნაწილის ინტეგრირება, ჩვენ ვხვდებით

საწყისი მნიშვნელობების ჩანაცვლება x 0 = 1, y 0 = 3იპოვე FROM 9=1-1+C, ე.ი. C = 9.

ამიტომ სასურველი ნაწილობრივი ინტეგრალი იქნება ან

მაგალითი 3

დაწერეთ განტოლება მრუდისთვის, რომელიც გადის წერტილში M(2;-3)და დახრილობის მქონე ტანგენსი

გამოსავალი. პირობის მიხედვით

ეს არის განცალკევებული ცვლადი განტოლება. ცვლადების გაყოფით მივიღებთ:

განტოლების ორივე ნაწილის ინტეგრირება, მივიღებთ:

საწყისი პირობების გამოყენებით, x=2და y=-3იპოვე C:

მაშასადამე, სასურველ განტოლებას აქვს ფორმა

2.3. პირველი რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლებები

პირველი რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლება არის ფორმის განტოლება y" = f(x)y + g(x)

სადაც f(x)და g(x)- ზოგიერთი მოცემული ფუნქცია.

Თუ g(x)=0მაშინ წრფივ დიფერენციალურ განტოლებას ეწოდება ერთგვაროვანი და აქვს ფორმა: y" = f(x)y

თუ მაშინ განტოლება y" = f(x)y + g(x)ჰეტეროგენული ეწოდება.

წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა y" = f(x)yმოცემულია ფორმულით: სად FROMარის თვითნებური მუდმივი.

კერძოდ, თუ C \u003d 0,მაშინ გამოსავალი არის y=0თუ ხაზოვანი ერთგვაროვანი განტოლებაფორმა აქვს y" = კისადაც კარის რაღაც მუდმივი, მაშინ მის ზოგად ამოხსნას აქვს ფორმა: .

წრფივი არაერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა y" = f(x)y + g(x)მოცემულია ფორმულით ,

იმათ. უდრის შესაბამისი წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნისა და ამ განტოლების კონკრეტული ამონახსნის ჯამს.

ფორმის წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებისთვის y" = kx + b,

სადაც კდა ბ- ზოგიერთი რიცხვი და კონკრეტული ამონახსნი იქნება მუდმივი ფუნქცია. ამიტომ, ზოგად გადაწყვეტას აქვს ფორმა.

მაგალითი. განტოლების ამოხსნა y" + 2y +3 = 0

გამოსავალი. ჩვენ წარმოვადგენთ განტოლებას ფორმაში y" = -2y - 3სადაც k=-2, b=-3ზოგადი გამოსავალი მოცემულია ფორმულით.

აქედან გამომდინარე, სადაც C არის თვითნებური მუდმივი.

2.4. პირველი რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნა ბერნულის მეთოდით

პირველი რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნის პოვნა y" = f(x)y + g(x)ამცირებს ორი დიფერენციალური განტოლების ამოხსნას გამოყოფილი ცვლადებით ჩანაცვლების გამოყენებით y=uv, სად uდა ვ- უცნობი ფუნქციები x. ამოხსნის ამ მეთოდს ბერნულის მეთოდს უწოდებენ.

პირველი რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმი

y" = f(x)y + g(x)

1. შეიყვანეთ ჩანაცვლება y=uv.

2. განასხვავეთ ეს თანასწორობა y"=u"v + uv"

3. შემცვლელი წდა y"ამ განტოლებაში: u"v + uv" =f(x)uv + g(x)ან u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. დააჯგუფეთ განტოლების ტერმინები ისე, რომ uამოიღეთ იგი ფრჩხილებიდან:

5. ფრჩხილიდან ნულის ტოლფასი იპოვეთ ფუნქცია

ეს არის განცალკევებული განტოლება:

გაყავით ცვლადები და მიიღეთ:

სად . .

6. ჩაანაცვლეთ მიღებული ღირებულება ვგანტოლებაში (მე-4 პუნქტიდან):

და იპოვეთ ფუნქცია ეს არის განცალკევებული განტოლება:

7. დაწერეთ ზოგადი ამონახსნები ფორმაში: , ე.ი. .

მაგალითი 1

იპოვნეთ განტოლების კონკრეტული ამონახსნი y" = -2y +3 = 0თუ y=1ზე x=0

გამოსავალი. მოვაგვაროთ ჩანაცვლებით y=uv,.y"=u"v + uv"

ჩანაცვლება წდა y"ამ განტოლებაში მივიღებთ

განტოლების მარცხენა მხარეს მეორე და მესამე წევრის დაჯგუფებით ვიღებთ საერთო ფაქტორს u ფრჩხილებიდან

ფრჩხილებში გამოსახულებას ვატოლებთ ნულს და, მიღებული განტოლების ამოხსნის შემდეგ, ვპოულობთ ფუნქციას v = v(x)

მივიღეთ განტოლება გამოყოფილი ცვლადებით. ჩვენ ვაერთიანებთ ამ განტოლების ორივე ნაწილს: იპოვნეთ ფუნქცია ვ:

შეცვალეთ მიღებული მნიშვნელობა ვგანტოლებაში ვიღებთ:

ეს არის გამოყოფილი ცვლადი განტოლება. ჩვენ ვაერთიანებთ განტოლების ორივე ნაწილს: მოდი ვიპოვოთ ფუნქცია u = u(x,c) მოდი ვიპოვოთ ზოგადი გამოსავალი: მოდი ვიპოვოთ განტოლების კონკრეტული ამონახსნი, რომელიც აკმაყოფილებს საწყის პირობებს y=1ზე x=0:

III. უმაღლესი რიგის დიფერენციალური განტოლებები

3.1. ძირითადი ცნებები და განმარტებები

მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლება არის განტოლება, რომელიც შეიცავს წარმოებულებს, რომლებიც არ აღემატება მეორე რიგის. ზოგად შემთხვევაში, მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლება იწერება შემდეგნაირად: F(x,y,y,y") = 0

მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა არის ფორმის ფუნქცია, რომელიც მოიცავს ორ თვითნებურ მუდმივას C1და C2.

მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლების კონკრეტული ამონახსნი არის გამოსავალი, რომელიც მიღებულია ზოგადიდან თვითნებური მუდმივების ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის. C1და C2.

3.2. მეორე რიგის წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტები.

მეორე რიგის წრფივი ჰომოგენური დიფერენციალური განტოლება მუდმივი კოეფიციენტებითფორმის განტოლება ეწოდება y" + py" + qy = 0, სად გვდა ქმუდმივი მნიშვნელობებია.

მუდმივი კოეფიციენტებით მეორე რიგის ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი

1. დაწერეთ დიფერენციალური განტოლება სახით: y" + py" + qy = 0.

2. შეადგინეთ მისი დამახასიათებელი განტოლება, აღნიშნეთ y"მეშვეობით r2, y"მეშვეობით რ, წ 1-ში: r2 + pr + q = 0