ថ្ងៃនេះនៅមេរៀនយើងនឹងវិភាគ លំដាប់លំដោយនិង និយមន័យតឹងរឹងនៃដែនកំណត់នៃមុខងារក៏ដូចជារៀនពីរបៀបដោះស្រាយបញ្ហាដែលត្រូវគ្នា។ ទ្រឹស្ដី. អត្ថបទនេះមានគោលបំណងជាចម្បងសម្រាប់និស្សិតឆ្នាំទី 1 នៃវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ និងឯកទេសវិស្វកម្ម ដែលបានចាប់ផ្តើមសិក្សាទ្រឹស្តី ការវិភាគគណិតវិទ្យានិងជួបប្រទះការលំបាកក្នុងការយល់ដឹងផ្នែកនៃគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាងនេះ។ លើសពីនេះទៀតសម្ភារៈគឺពិតជាអាចចូលដំណើរការបានសម្រាប់សិស្សវិទ្យាល័យ។
ក្នុងរយៈពេលជាច្រើនឆ្នាំនៃអត្ថិភាពនៃគេហទំព័រនេះ ខ្ញុំបានទទួលសំបុត្រជាច្រើនដែលមានខ្លឹមសារដូចខាងក្រោម៖ "ខ្ញុំមិនយល់ការវិភាគគណិតវិទ្យាបានល្អទេ តើខ្ញុំគួរធ្វើដូចម្តេច?", "ខ្ញុំមិនយល់អំពីម៉ាតានទេ ខ្ញុំ" ខ្ញុំគិតថាឈប់រៀន»។ល។ ជាការពិត វាគឺជាម៉ាតាន ដែលតែងតែស្គម ក្រុមនិស្សិតបន្ទាប់ពីវគ្គដំបូង។ ហេតុអ្វីបានជារឿងបែបនេះ? ព្រោះប្រធានបទស្មុគស្មាញមិននឹកស្មាន? មិនមែនទាល់តែសោះ! ទ្រឹស្តីនៃការវិភាគគណិតវិទ្យាមិនពិបាកនោះទេព្រោះវាប្លែក. ហើយអ្នកត្រូវទទួលយកនិងស្រឡាញ់នាងថានាងជានរណា =)
ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងករណីដ៏លំបាកបំផុត។ ជាដំបូង និងសំខាន់បំផុត កុំបោះបង់ការសិក្សា។ យល់ឱ្យបានត្រឹមត្រូវ ឈប់ វានឹងមានពេលវេលាជានិច្ច ;-) ជាការពិតណាស់ ប្រសិនបើក្នុងមួយឆ្នាំ ឬពីរឆ្នាំពីជំនាញដែលបានជ្រើសរើស វានឹងធ្វើឱ្យអ្នកឈឺ នោះបាទ - អ្នកគួរតែគិតអំពីវា (ហើយកុំក្តៅខ្លួន!)អំពីការផ្លាស់ប្តូរសកម្មភាព។ ប៉ុន្តែសម្រាប់ពេលនេះវាមានតម្លៃបន្ត។ ហើយសូមភ្លេចឃ្លាថា "ខ្ញុំមិនយល់អ្វីទាំងអស់" - វាមិនកើតឡើងទេដែលអ្នកមិនយល់អ្វីទាំងអស់។
អ្វីដែលត្រូវធ្វើប្រសិនបើទ្រឹស្តីមិនល្អ? ដោយវិធីនេះវាមិនត្រឹមតែអនុវត្តចំពោះការវិភាគគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះទេ។ ប្រសិនបើទ្រឹស្តីមិនល្អ នោះដំបូងអ្នកត្រូវអនុវត្តជាក់ស្តែង។ ក្នុងករណីនេះពីរ គោលបំណងយុទ្ធសាស្ត្រ:
- ទីមួយសមាមាត្រសំខាន់ ចំណេះដឹងទ្រឹស្តីបានកើតឡើងតាមរយៈការអនុវត្ត។ ហើយមនុស្សជាច្រើនបានយល់ពីទ្រឹស្ដីតាមរយៈ... - ត្រូវហើយ! ទេ ទេ អ្នកមិនបានគិតអំពីរឿងនោះទេ។
- ហើយទីពីរ ជំនាញជាក់ស្តែងទំនងជានឹង "លាតត្រដាង" អ្នកក្នុងការប្រឡង បើទោះបីជា ... ប៉ុន្តែសូមកុំឱ្យដូចនោះ! អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺពិតប្រាកដហើយអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺពិតប្រាកដ "បង្កើន" នៅក្នុងគ្រប់គ្រាន់ រយះពេលខ្លី. ការវិភាគគណិតវិទ្យាគឺជាផ្នែកដែលខ្ញុំចូលចិត្តបំផុតនៃគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់ ដូច្នេះហើយខ្ញុំមិនអាចជួយអ្វីបានក្រៅពីផ្តល់ជំនួយដល់អ្នក៖
នៅដើមឆមាសទី 1 ការកំណត់លំដាប់ និងដែនកំណត់មុខងារជាធម្មតាឆ្លងកាត់។ មិនយល់ថាវាជាអ្វី ហើយមិនដឹងថាត្រូវដោះស្រាយយ៉ាងណា? ចាប់ផ្តើមជាមួយអត្ថបទមួយ។ ដែនកំណត់មុខងារដែលក្នុងនោះគំនិតខ្លួនឯងត្រូវបានចាត់ទុកថា "នៅលើម្រាមដៃ" ហើយឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុតត្រូវបានវិភាគ។ បន្ទាប់មកធ្វើការតាមរយៈមេរៀនផ្សេងទៀតលើប្រធានបទ រួមទាំងមេរៀនអំពី នៅក្នុងលំដាប់ដែលខ្ញុំពិតជាបានបង្កើតនិយមន័យយ៉ាងម៉ត់ចត់រួចហើយ។
តើរូបតំណាងអ្វីក្រៅពីសញ្ញាវិសមភាព និងម៉ូឌុល តើអ្នកដឹងទេ?
- ដំបងបញ្ឈរវែងអានដូចនេះ៖ "បែបនោះ", "បែបនោះ", "បែបនោះ" ឬ "បែបនោះ"ក្នុងករណីរបស់យើង ជាក់ស្តែង យើងកំពុងនិយាយអំពីចំនួនមួយ - ដូច្នេះ "បែបនោះ";
- សម្រាប់ទាំងអស់ "en" ធំជាង ;
– សញ្ញាម៉ូឌុលមានន័យថាចម្ងាយ, i.e. សញ្ញាណនេះប្រាប់យើងថាចម្ងាយរវាងតម្លៃគឺតិចជាង epsilon ។
អញ្ចឹងតើវាពិបាកស្លាប់ទេ? =)
បន្ទាប់ពីអនុវត្តបានស្ទាត់ជំនាញហើយ ខ្ញុំកំពុងរង់ចាំអ្នកក្នុងកថាខណ្ឌដូចខាងក្រោម៖
ជាការពិត ចូរយើងគិតបន្តិច - របៀបបង្កើតនិយមន័យយ៉ាងម៉ត់ចត់នៃលំដាប់? ... រឿងដំបូងដែលគិតក្នុងពន្លឺ វគ្គជាក់ស្តែង៖ "ដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយគឺជាចំនួនដែលសមាជិកនៃលំដាប់ខិតជិតគ្មានកំណត់។"
មិនអីទេ តោះសរសេរ បន្តបន្ទាប់ :
វាងាយស្រួលក្នុងការចាប់យកវា។ បន្តបន្ទាប់ ខិតជិតគ្មានកំណត់ទៅ -1 និងពាក្យគូ - ទៅ "ឯកតា" ។
ប្រហែលជាមានដែនកំណត់ពីរ? ប៉ុន្តែហេតុអ្វីបានជាមិនអាចមានចំនួនដប់ ឬម្ភៃនៃវា? វិធីនោះអ្នកអាចទៅឆ្ងាយ។ ក្នុងន័យនេះ វាសមហេតុផលក្នុងការសន្មត់ថា ប្រសិនបើលំដាប់មានដែនកំណត់ នោះវាមានតែមួយ.
ចំណាំ ៖ លំដាប់នេះគ្មានដែនកំណត់ទេ ប៉ុន្តែបន្ទាប់បន្សំពីរអាចត្រូវបានសម្គាល់ពីវា (មើលខាងលើ) ដែលនីមួយៗមានដែនកំណត់រៀងខ្លួន។
ដូច្នេះនិយមន័យខាងលើប្រែថាមិនអាចទទួលយកបាន។ បាទ វាដំណើរការសម្រាប់ករណីដូចជា (ដែលខ្ញុំមិនបានប្រើត្រឹមត្រូវក្នុងការពន្យល់សាមញ្ញនៃឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង)ប៉ុន្តែឥឡូវនេះ យើងត្រូវស្វែងរកនិយមន័យដ៏តឹងរឹងមួយ។
ព្យាយាមពីរ៖ “ដែនកំណត់នៃលំដាប់គឺជាចំនួនដែលសមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់ចូលទៅជិត លើកលែងតែ ប្រហែលជារបស់ពួកគេ ចុងក្រោយបរិមាណ។" នេះគឺកាន់តែខិតទៅជិតការពិត ប៉ុន្តែនៅតែមិនទាន់មានភាពត្រឹមត្រូវទាំងស្រុង។ ដូច្នេះឧទាហរណ៍លំដាប់ ពាក់កណ្តាលនៃសមាជិកមិនជិតសូន្យទាល់តែសោះ - ពួកគេគ្រាន់តែស្មើនឹងវា =) ដោយវិធីនេះ "ពន្លឺភ្លឺ" ជាទូទៅយកតម្លៃថេរពីរ។
ការបង្កើតមិនពិបាកបញ្ជាក់ទេ ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកសំណួរមួយទៀតកើតឡើង៖ របៀបសរសេរនិយមន័យក្នុង សញ្ញាគណិតវិទ្យា? ពិភពវិទ្យាសាស្ត្រតស៊ូនឹងបញ្ហានេះជាយូរមកហើយ រហូតដល់ស្ថានភាពត្រូវបានដោះស្រាយ គ្រូល្បីដែលតាមខ្លឹមសារ បានធ្វើការវិភាគបែបគណិតវិទ្យាបែបបុរាណជាផ្លូវការក្នុងភាពម៉ត់ចត់ទាំងអស់។ Cauchy ផ្តល់ជូនដើម្បីដំណើរការ ជុំវិញ ដែលបានជឿនលឿនទៅលើទ្រឹស្តីយ៉ាងខ្លាំង។
ពិចារណាចំណុចខ្លះនិងរបស់វា។ បំពាន-សង្កាត់៖
តម្លៃនៃ "epsilon" គឺតែងតែវិជ្ជមាន ហើយលើសពីនេះទៅទៀត យើងមានសិទ្ធិជ្រើសរើសវាដោយខ្លួនឯង។. សន្មតថាសង្កាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យមានសំណុំនៃលក្ខខណ្ឌ (មិនចាំបាច់ទាំងអស់)លំដាប់ខ្លះ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសរសេរការពិតថាជាឧទាហរណ៍ពាក្យទីដប់បានធ្លាក់ចូលទៅក្នុងសង្កាត់? សូមឱ្យវាស្ថិតនៅខាងស្តាំរបស់វា។ បន្ទាប់មកចម្ងាយរវាងចំនុច និងគួរតែតិចជាង "epsilon": . ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើ "x ភាគដប់" មានទីតាំងនៅខាងឆ្វេងនៃចំណុច "a" នោះភាពខុសគ្នានឹងអវិជ្ជមានហើយដូច្នេះសញ្ញាត្រូវតែបន្ថែមទៅវា។ ម៉ូឌុល: .
និយមន័យ៖ លេខត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃលំដាប់ប្រសិនបើ សម្រាប់ណាមួយ។ជុំវិញរបស់វា។ (បានជ្រើសរើសជាមុន)មានលេខធម្មជាតិ - បែបនេះ ទាំងអស់។សមាជិកនៃលំដាប់ដែលមានលេខខ្ពស់ជាងនឹងស្ថិតនៅក្នុងសង្កាត់៖
ឬខ្លីជាងនេះ៖ ប្រសិនបើ
ម៉្យាងទៀត មិនថាតម្លៃនៃ "epsilon" តូចប៉ុនណាដែលយើងយកនោះទេ មិនយូរមិនឆាប់ "កន្ទុយគ្មានកំណត់" នៃលំដាប់នឹងពេញលេញនៅក្នុងសង្កាត់នេះ។
ដូច្នេះឧទាហរណ៍ "កន្ទុយគ្មានកំណត់" នៃលំដាប់ ពេញលេញចូលទៅក្នុងសង្កាត់តូចមួយតាមអំពើចិត្តនៃចំណុច។ ដូច្នេះតម្លៃនេះគឺជាដែនកំណត់នៃលំដាប់តាមនិយមន័យ។ ខ្ញុំរំលឹកអ្នកថាលំដាប់, កម្រិតនៃការដែល សូន្យ, បានហៅ គ្មានដែនកំណត់.
វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាសម្រាប់លំដាប់វាមិនអាចនិយាយបានទៀតទេថា "កន្ទុយគ្មានកំណត់ និងមក"- សមាជិកដែលមានលេខសេសតាមពិតស្មើនឹងសូន្យ ហើយ "មិនទៅណាទេ" \u003d) នោះហើយជាមូលហេតុដែលកិរិយាស័ព្ទ "នឹងបញ្ចប់" ត្រូវបានប្រើក្នុងនិយមន័យ។ ហើយពិតណាស់សមាជិកនៃលំដាប់បែបនេះក៏ "មិនទៅណាទេ" ។ ដោយវិធីនេះ ពិនិត្យមើលថាតើចំនួននឹងជាដែនកំណត់របស់វា។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងបង្ហាញថាលំដាប់នេះគ្មានដែនកំណត់។ ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាតំបន់ជុំវិញនៃចំណុច។ វាច្បាស់ណាស់ថាមិនមានលេខបែបនេះទេ បន្ទាប់ពីនោះសមាជិកទាំងអស់នឹងស្ថិតនៅក្នុងសង្កាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ - សមាជិកសេសនឹងតែងតែ "លោត" ទៅ "ដកមួយ" ។ សម្រាប់ហេតុផលស្រដៀងគ្នានេះ វាមិនមានដែនកំណត់នៅចំណុចនោះទេ។
ជួសជុលសម្ភារៈជាមួយការអនុវត្ត៖
ឧទាហរណ៍ ១
បង្ហាញថាដែនកំណត់នៃលំដាប់គឺសូន្យ។ បញ្ជាក់លេខដែលសមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់ត្រូវបានធានាថានឹងស្ថិតនៅក្នុងសង្កាត់តូចមួយតាមអំពើចិត្តនៃចំណុច។
ចំណាំ ៖ សម្រាប់លំដាប់ជាច្រើន លេខធម្មជាតិដែលចង់បានអាស្រ័យលើតម្លៃ - ហេតុដូច្នេះហើយបានកំណត់ចំណាំ ។
ការសម្រេចចិត្ត៖ ពិចារណា បំពាន តើនឹងមានលេខ - ដូចជាសមាជិកទាំងអស់ដែលមានលេខខ្ពស់ជាងនឹងស្ថិតនៅក្នុងសង្កាត់នេះ៖
ដើម្បីបង្ហាញពីអត្ថិភាពនៃចំនួនដែលត្រូវការ យើងបង្ហាញក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ .
ចាប់តាំងពីសម្រាប់តម្លៃណាមួយ "en" បន្ទាប់មកសញ្ញាម៉ូឌុលអាចត្រូវបានយកចេញ:
យើងប្រើសកម្មភាព "សាលា" ជាមួយនឹងវិសមភាពដែលខ្ញុំបានធ្វើម្តងទៀតនៅក្នុងមេរៀន វិសមភាពលីនេអ៊ែរនិង វិសាលភាពមុខងារ. ក្នុងករណីនេះ កាលៈទេសៈសំខាន់មួយគឺថា "epsilon" និង "en" គឺវិជ្ជមាន:
ចាប់តាំងពីនៅខាងឆ្វេងយើងកំពុងនិយាយអំពីលេខធម្មជាតិ ផ្នែកខាងស្តាំក្នុង ករណីទូទៅប្រភាគ បន្ទាប់មកវាត្រូវតែបង្គត់៖
ចំណាំ ៖ ពេលខ្លះឯកតាត្រូវបានបន្ថែមទៅខាងស្ដាំសម្រាប់ការធានារ៉ាប់រងឡើងវិញ ប៉ុន្តែតាមពិត នេះគឺជាការហួសកម្រិត។ បើនិយាយទៅវិញទៅមក បើយើងក៏ធ្វើឲ្យលទ្ធផលខ្សោយដោយការបង្គត់ចូល ផ្នែកតូចជាងបន្ទាប់មកលេខសមរម្យដែលនៅជិតបំផុត ("បី") នឹងនៅតែបំពេញវិសមភាពដើម។
ហើយឥឡូវនេះយើងមើលទៅវិសមភាពហើយចាំថាដំបូងយើងបានពិចារណា បំពាន- អ្នកជិតខាង, i.e. "epsilon" អាចស្មើនឹង នរណាម្នាក់លេខវិជ្ជមាន។
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន: សម្រាប់ទំហំតូចតាមអំពើចិត្ត -neighborhood នៃចំណុច តម្លៃ . ដូច្នេះ លេខគឺជាដែនកំណត់នៃលំដាប់តាមនិយមន័យ។ Q.E.D.
ដោយវិធីនេះពីលទ្ធផល គំរូធម្មជាតិអាចមើលឃើញយ៉ាងច្បាស់៖ អ្នកជិតខាងកាន់តែតូច ចំនួនកាន់តែច្រើនដែលសមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់នឹងស្ថិតនៅក្នុងសង្កាត់នេះ។ ប៉ុន្តែមិនថា "epsilon" តូចប៉ុណ្ណាក៏ដោយ វាតែងតែមាន "កន្ទុយគ្មានកំណត់" នៅខាងក្នុង និងខាងក្រៅ ទោះបីជាវាមានទំហំធំយ៉ាងណាក៏ដោយ។ ចុងក្រោយចំនួនសមាជិក។
តើមានចំណាប់អារម្មណ៍យ៉ាងណាដែរ? =) ខ្ញុំយល់ស្របថាវាចម្លែក។ ប៉ុន្តែតឹងរឹង!សូមអានឡើងវិញ ហើយគិតម្តងទៀត។
ពិចារណាឧទាហរណ៍ស្រដៀងគ្នា ហើយស្គាល់អ្នកដទៃ បច្ចេកទេស:
ឧទាហរណ៍ ២
ការសម្រេចចិត្ត៖ តាមនិយមន័យនៃលំដាប់មួយ វាចាំបាច់ដើម្បីបញ្ជាក់ថា (និយាយខ្លាំងៗ!!!).
ពិចារណា បំពាន- អ្នកជិតខាងនៃចំណុចនិងពិនិត្យ, តើវាមានលេខធម្មជាតិ - ដូចជាសម្រាប់លេខធំទាំងអស់ វិសមភាពខាងក្រោមមាន៖
ដើម្បីបង្ហាញពីអត្ថិភាពនៃបែបនោះ អ្នកត្រូវបង្ហាញ "en" តាមរយៈ "epsilon"។ យើងសម្រួលកន្សោមក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុល៖
ម៉ូឌុលបំផ្លាញសញ្ញាដក៖
ភាគបែងគឺវិជ្ជមានសម្រាប់ "en" ណាមួយ ដូច្នេះដំបងអាចត្រូវបានយកចេញ:
សាប់៖
ឥឡូវនេះយើងត្រូវស្រង់ចេញ ឫសការេប៉ុន្តែការចាប់គឺថាសម្រាប់ epsilons មួយចំនួនផ្នែកខាងស្តាំនឹងមានអវិជ្ជមាន។ ដើម្បីជៀសវាងបញ្ហានេះ។ ចូរយើងពង្រឹងម៉ូឌុលវិសមភាព៖
ហេតុអ្វីបានជានេះអាចត្រូវបានធ្វើ? ប្រសិនបើនិយាយដោយទាក់ទងគ្នា វាប្រែថា នោះលក្ខខណ្ឌនឹងពេញចិត្តកាន់តែខ្លាំង។ ម៉ូឌុលអាច គ្រាន់តែកើនឡើងលេខដែលចង់បាន ហើយនោះក៏ស័ក្តិសមនឹងយើងដែរ! និយាយប្រហែលបើមួយរយសម នោះពីររយធ្វើ! យោងតាមនិយមន័យអ្នកត្រូវបង្ហាញ អត្ថិភាពនៃលេខ(យ៉ាងហោចណាស់ខ្លះ) បន្ទាប់ពីនោះសមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់នឹងស្ថិតនៅក្នុង -neighbourhood ។ និយាយអញ្ចឹង នោះហើយជាមូលហេតុដែលយើងមិនខ្លាចការជុំចុងក្រោយនៃផ្នែកខាងស្តាំឡើង។
ការដកឫស៖
ហើយបង្គត់លទ្ធផល៖
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ដោយសារតែ តម្លៃនៃ "epsilon" ត្រូវបានជ្រើសរើសតាមអំពើចិត្ត បន្ទាប់មកសម្រាប់សង្កាត់តូចតាចណាមួយតាមអំពើចិត្តនៃចំណុចនោះ តម្លៃ ដូចជាវិសមភាព . ដូច្នេះ a-priory ។ Q.E.D.
ខ្ញុំណែនាំ ជាពិសេសយល់ពីការពង្រឹង និងចុះខ្សោយនៃវិសមភាព - ទាំងនេះគឺជាវិធីសាស្រ្តធម្មតា និងសាមញ្ញបំផុតនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ រឿងតែមួយគត់ដែលអ្នកត្រូវការដើម្បីតាមដានភាពត្រឹមត្រូវនៃសកម្មភាពនេះឬនោះ។ ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ វិសមភាព ដោយគ្មានមធ្យោបាយណា បន្ធូរដក, និយាយ, មួយ:
ជាថ្មីម្តងទៀតតាមលក្ខខណ្ឌ៖ ប្រសិនបើលេខសមនឹងគ្នា នោះលេខមុនប្រហែលមិនសមទៀតហើយ។
ឧទាហរណ៍បន្ទាប់សម្រាប់ ការសម្រេចចិត្តឯករាជ្យ:
ឧទាហរណ៍ ៣
ដោយប្រើនិយមន័យនៃលំដាប់មួយ បញ្ជាក់នោះ។
ដំណោះស្រាយរហ័សនិងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។
ប្រសិនបើលំដាប់ អស្ចារ្យគ្មានទីបញ្ចប់បន្ទាប់មកនិយមន័យនៃដែនកំណត់ត្រូវបានបង្កើតតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា៖ ចំណុចត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃលំដាប់ប្រសិនបើសម្រាប់ណាមួយ ធំតាមអំពើចិត្តមានលេខមួយចំនួនដែលសម្រាប់លេខធំទាំងអស់ វិសមភាពនឹងពេញចិត្ត។ លេខត្រូវបានគេហៅថា សង្កាត់នៃចំណុច "បូកគ្មានដែនកំណត់":
នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត, អ្វីក៏ដោយ។ សារៈសំខាន់ដ៏អស្ចារ្យមិនថាមានអ្វីក៏ដោយ "កន្ទុយគ្មានកំណត់" នៃលំដាប់នឹងចាំបាច់ចូលទៅក្នុង - អ្នកជិតខាងនៃចំណុចដោយបន្សល់ទុកតែចំនួនកំណត់នៃពាក្យនៅខាងឆ្វេង។
ឧទាហរណ៍ការងារ៖
និងសញ្ញាណសង្ខេប៖ ប្រសិនបើ
សម្រាប់ករណីនេះ សរសេរនិយមន័យដោយខ្លួនឯង។ កំណែត្រឹមត្រូវគឺនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។
បន្ទាប់ពីអ្នកបាន "ដាក់" ដៃរបស់អ្នក ឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែងហើយស្វែងរកនិយមន័យនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់ អ្នកអាចយោងទៅលើអក្សរសិល្ប៍ស្តីពីការវិភាគគណិតវិទ្យា និង/ឬសៀវភៅកត់ត្រារបស់អ្នកជាមួយនឹងការបង្រៀន។ ខ្ញុំសូមផ្តល់អនុសាសន៍ឱ្យទាញយកភាគទី 1 នៃបូហាន (កាន់តែងាយស្រួល - សម្រាប់សិស្សក្រៅម៉ោង)និង Fikhtenoltz (កាន់តែលម្អិត និងហ្មត់ចត់). ក្នុងចំណោមអ្នកនិពន្ធផ្សេងទៀត ខ្ញុំណែនាំ Piskunov ដែលវគ្គសិក្សាគឺផ្តោតលើសាកលវិទ្យាល័យបច្ចេកទេស។
ព្យាយាមសិក្សាដោយមនសិការនូវទ្រឹស្ដីដែលទាក់ទងនឹងដែនកំណត់នៃលំដាប់ ភស្តុតាង ផលវិបាក។ ដំបូងទ្រឹស្ដីអាចហាក់ដូចជា "ពពក" ប៉ុន្តែនេះគឺជារឿងធម្មតា - វាគ្រាន់តែចំណាយពេលខ្លះដើម្បីស៊ាំ។ ហើយមនុស្សជាច្រើននឹងទទួលបានរសជាតិ!
និយមន័យតឹងរឹងនៃដែនកំណត់នៃមុខងារមួយ។
ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយរឿងដូចគ្នា - របៀបបង្កើត គំនិតនេះ។? និយមន័យពាក្យសំដីនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍មួយត្រូវបានបង្កើតយ៉ាងសាមញ្ញជាងនេះ៖ "ចំនួនគឺជាដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ ប្រសិនបើជាមួយ "x" ទំនោរទៅ (ទាំងឆ្វេង និងស្តាំ), តម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃមុខងារមានទំនោរទៅ» (សូមមើលគំនូរ). អ្វីគ្រប់យ៉ាងហាក់ដូចជាធម្មតា ប៉ុន្តែពាក្យគឺជាពាក្យ អត្ថន័យគឺអត្ថន័យ រូបតំណាងគឺជារូបតំណាង ប៉ុន្តែតឹងរ៉ឹង ការសម្គាល់គណិតវិទ្យាមិនគ្រប់គ្រាន់។ ហើយនៅក្នុងកថាខណ្ឌទីពីរ យើងនឹងស្គាល់វិធីសាស្រ្តពីរក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហានេះ។
អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ត្រូវបានកំណត់នៅលើចន្លោះពេលមួយចំនួន លើកលែងតែ អាចធ្វើទៅបានសម្រាប់ចំណុច។ អេ អក្សរសិល្ប៍អប់រំវាត្រូវបានទទួលយកជាទូទៅថាមុខងារគឺនៅទីនោះ ទេ។កំណត់៖
ជម្រើសនេះគូសបញ្ជាក់ ខ្លឹមសារនៃដែនកំណត់មុខងារ: "x" ជិតស្និទ្ធគ្មានកំណត់វិធីសាស្រ្ត និងតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃមុខងារគឺ ជិតស្និទ្ធគ្មានកំណត់ទៅ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត គោលគំនិតនៃដែនកំណត់មិនបង្កប់ន័យថាជា "វិធីសាស្រ្តពិតប្រាកដ" ចំពោះចំណុចនោះទេ។ មិនចេះចប់ ប្រហាក់ប្រហែល វាមិនមានបញ្ហាថាតើមុខងារត្រូវបានកំណត់នៅចំណុចឬអត់។
និយមន័យដំបូងនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍មួយ មិនគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលនោះទេ ត្រូវបានរៀបចំឡើងដោយប្រើលំដាប់ពីរ។ ទីមួយ គោលគំនិតមានទំនាក់ទំនងគ្នា ហើយទីពីរ ដែនកំណត់នៃមុខងារជាធម្មតាត្រូវបានសិក្សាបន្ទាប់ពីដែនកំណត់នៃលំដាប់។
ពិចារណាពីលំដាប់ ពិន្ទុ (មិននៅលើគំនូរ)ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេលនិង ក្រៅពី, ដែល បញ្ចូលគ្នាទៅ។ បន្ទាប់មកតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃអនុគមន៍ក៏បង្កើតជាលំដាប់លេខផងដែរ សមាជិកដែលស្ថិតនៅលើអ័ក្ស y ។
ដែនកំណត់មុខងារ Heine សម្រាប់ណាមួយ។លំដាប់ពិន្ទុ (ជាកម្មសិទ្ធិនិងខុសគ្នាពី)ដែលបង្រួបបង្រួមដល់ចំណុច លំដាប់នៃតម្លៃមុខងារត្រូវគ្នានឹងទៅ .
Eduard Heine គឺជាគណិតវិទូជនជាតិអាឡឺម៉ង់។ ... ហើយមិនបាច់គិតអីចឹងទេ មានតែខ្ទើយមួយគត់នៅអឺរ៉ុប - នេះគឺជាហ្គេយ-លូសាក់ =)
និយមន័យទីពីរនៃដែនកំណត់ត្រូវបានបង្កើតឡើង ... បាទ បាទ អ្នកនិយាយត្រូវ។ ប៉ុន្តែជាដំបូងសូមក្រឡេកមើលការរចនារបស់វា។ ពិចារណាលើការបំពាន - អ្នកជិតខាងនៃចំណុច (សង្កាត់ "ខ្មៅ"). ផ្អែកលើកថាខណ្ឌមុន សញ្ញាណមានន័យដូចនោះ។ តម្លៃខ្លះមុខងារមានទីតាំងនៅខាងក្នុង "epsilon" - បរិស្ថាន។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរក -neighborhood ដែលត្រូវគ្នាទៅនឹង -neighborhood ដែលបានផ្តល់ឱ្យ (គូរបន្ទាត់ចំនុចខ្មៅពីឆ្វេងទៅស្តាំ ហើយបន្ទាប់មកពីកំពូលទៅបាត). ចំណាំថាតម្លៃត្រូវបានជ្រើសរើស តាមបណ្តោយប្រវែងនៃផ្នែកតូចជាង, ក្នុង ករណីនេះ- តាមបណ្តោយប្រវែងនៃផ្នែកខាងឆ្វេងខ្លីជាង។ លើសពីនេះទៅទៀត " crimson" -neighborhood នៃចំណុចមួយអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយសូម្បីតែនៅក្នុងនិយមន័យដូចខាងក្រោម ការពិតនៃអត្ថិភាពគឺសំខាន់សង្កាត់នេះ។ ហើយស្រដៀងគ្នានេះដែរ ធាតុចូលមានន័យថាតម្លៃខ្លះស្ថិតនៅក្នុងសង្កាត់ "ដីសណ្ត"។
ដែនកំណត់ Cauchy នៃមុខងារមួយ។៖ លេខត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃអនុគមន៍នៅចំណុច if សម្រាប់ណាមួយ។ បានជ្រើសរើសជាមុនសង្កាត់ (តូចតាមអំពើចិត្ត), មាន- ទីតាំងជិតខាង, បែបនោះ។នោះ៖ ជាតម្លៃតែប៉ុណ្ណោះ (កម្មសិទ្ធិ)រួមបញ្ចូលនៅក្នុងតំបន់នេះ: (ព្រួញក្រហម)- ដូច្នេះភ្លាមៗតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃមុខងារត្រូវបានធានាថានឹងចូលទៅក្នុង -neighborhood: (ព្រួញពណ៌ខៀវ).
ខ្ញុំត្រូវតែដាស់តឿនអ្នកថា ដើម្បីអោយមានភាពវៃឆ្លាតជាងនេះ ខ្ញុំបាននិយាយ improvised បន្តិច ដូច្នេះកុំបំពានវា =)
ពាក្យខ្លី៖ ប្រសិនបើ
តើអ្វីទៅជាខ្លឹមសារនៃនិយមន័យ? និយាយតាមន័យធៀប ដោយកាត់បន្ថយ-neighbourhood ដោយគ្មានកំណត់ យើង "អម" តម្លៃនៃមុខងារដល់ដែនកំណត់របស់វា ដោយមិនទុកជម្រើសសម្រាប់ពួកគេក្នុងការចូលទៅជិតកន្លែងផ្សេងនោះទេ។ មិនធម្មតាមែន តែត្រូវម្តងទៀត! ដើម្បីទទួលបានគំនិតត្រឹមត្រូវ សូមអានពាក្យម្តងទៀត។
! ការយកចិត្តទុកដាក់៖ ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការបង្កើតតែប៉ុណ្ណោះ និយមន័យនេះបើតាម Heineឬតែប៉ុណ្ណោះ និយមន័យ Cauchyសូមកុំភ្លេចអំពី សំខាន់យោបល់បឋម៖ msgstr "ពិចារណាមុខងារដែលត្រូវបានកំណត់នៅលើចន្លោះពេលខ្លះ លើកលែងតែចំណុចមួយ". ខ្ញុំបាននិយាយនេះម្តងនៅដើមដំបូង ហើយមិនបាននិយាយម្តងទៀតទេ។
យោងតាមទ្រឹស្តីបទដែលត្រូវគ្នានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា និយមន័យ Heine និង Cauchy គឺសមមូល ប៉ុន្តែបំរែបំរួលទីពីរគឺគេស្គាល់ជាងគេ។ (នៅតែចង់!)ដែលត្រូវបានគេហៅថា "ដែនកំណត់លើអណ្តាត"៖
ឧទាហរណ៍ 4
ដោយប្រើនិយមន័យនៃដែនកំណត់ សូមបញ្ជាក់
ការសម្រេចចិត្ត៖ មុខងារត្រូវបានកំណត់នៅលើបន្ទាត់លេខទាំងមូល លើកលែងតែចំណុច . ដោយប្រើនិយមន័យនៃ យើងបង្ហាញពីអត្ថិភាពនៃដែនកំណត់នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ចំណាំ ៖ ទំហំនៃសង្កាត់ "ដីសណ្ត" អាស្រ័យលើ "epsilon" ដូច្នេះការចាត់តាំង
ពិចារណា បំពាន- អ្នកជិតខាង។ ភារកិច្ចគឺត្រូវប្រើតម្លៃនេះដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើ តើវាមាន- សង្កាត់, បែបនោះ។ដែលមកពីវិសមភាព អនុវត្តតាមវិសមភាព .
សន្មតថាយើងបំលែងវិសមភាពចុងក្រោយ៖
(បំបែកត្រីកោណការ៉េ)
និយមន័យនៃដែនកំណត់កំណត់នៃលំដាប់មួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ លក្ខណៈសម្បត្តិដែលពាក់ព័ន្ធ និងនិយមន័យសមមូលត្រូវបានពិចារណា។ និយមន័យត្រូវបានផ្តល់ឱ្យថាចំណុច a មិនមែនជាដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ។ ឧទាហរណ៍ត្រូវបានពិចារណាដែលអត្ថិភាពនៃដែនកំណត់ត្រូវបានបង្ហាញដោយប្រើនិយមន័យ។
នៅទីនេះយើងពិចារណានិយមន័យនៃដែនកំណត់កំណត់នៃលំដាប់មួយ។ ករណីនៃលំដាប់ដែលបំប្លែងទៅជាភាពគ្មានទីបញ្ចប់ត្រូវបានពិភាក្សានៅលើទំព័រ "និយមន័យនៃលំដាប់ដ៏ធំគ្មានកំណត់" ។
និយមន័យ។
(x n)ប្រសិនបើសម្រាប់ចំនួនវិជ្ជមានណាមួយ ε > 0
មានបែបនេះ លេខធម្មជាតិ N ε អាស្រ័យលើ ε ដូចនេះសម្រាប់លេខធម្មជាតិទាំងអស់ n > N ε វិសមភាព
| x n - a|< ε
.
ដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម:
.
ឬនៅ។
ចូរយើងបំប្លែងវិសមភាព៖
;
;
.
ចន្លោះពេលបើកចំហ (a - ε, a + ε) ត្រូវបានហៅ ε - សង្កាត់នៃចំណុច a.
លំដាប់ដែលមានដែនកំណត់ត្រូវបានគេហៅថា លំដាប់បង្រួបបង្រួម. វាត្រូវបានគេនិយាយផងដែរថាលំដាប់ បញ្ចូលគ្នាទៅ ក. លំដាប់ដែលមិនមានដែនកំណត់ត្រូវបានគេហៅថា ខុសគ្នា.
វាធ្វើតាមនិយមន័យថាប្រសិនបើលំដាប់មានដែនកំណត់ a នោះមិនថា ε - សង្កាត់នៃចំណុចមួយដែលយើងជ្រើសរើសនោះទេ មានតែចំនួនកំណត់នៃធាតុនៃលំដាប់ ឬគ្មានទាំងអស់ (សំណុំទទេ) អាចនៅខាងក្រៅ។ នៃវា។ និង ε - សង្កាត់ណាមួយមាន ចំនួនគ្មានកំណត់ធាតុ។ ជាការពិត ដោយកំណត់លេខជាក់លាក់មួយ ε នោះយើងមានលេខ។ ដូច្នេះធាតុទាំងអស់នៃលំដាប់ដែលមានលេខ តាមនិយមន័យគឺស្ថិតនៅក្នុង ε - សង្កាត់នៃចំនុច a ។ ធាតុដំបូងអាចនៅគ្រប់ទីកន្លែង។ នោះគឺនៅខាងក្រៅ ε - សង្កាត់មិនអាចមានលើសពីធាតុ - នោះគឺចំនួនកំណត់។
យើងក៏កត់សម្គាល់ផងដែរថា ភាពខុសគ្នាមិនត្រូវមានទំនោរឯកតាទៅសូន្យទេ ពោលគឺបន្ថយគ្រប់ពេលវេលា។ វាអាចមានទំនោរទៅសូន្យមិនមែនឯកតាទេ៖ វាអាចកើនឡើង ឬថយចុះ មាន អតិបរមាក្នុងស្រុក. ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ អតិបរមាទាំងនេះ ជាមួយនឹងការកើនឡើង n គួរតែមានទំនោរទៅសូន្យ (ប្រហែលជាមិនមែនជាឯកតាទេ)។
ដោយប្រើនិមិត្តសញ្ញាឡូជីខលនៃអត្ថិភាព និងសកល និយមន័យនៃដែនកំណត់អាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោមៈ
(1)
.
ការកំណត់ថា a មិនមែនជាដែនកំណត់ទេ។
ឥឡូវនេះសូមពិចារណាលើការអះអាងនៃការសន្ទនាដែលថាចំនួន a មិនមែនជាកម្រិតនៃលំដាប់នោះទេ។
លេខ ក មិនមែនជាដែនកំណត់នៃលំដាប់នោះទេ។បើមានបែបនោះសម្រាប់ធម្មជាតិណាក៏មានធម្មជាតិបែបនេះដែរ។ > នអ្វី
.
ចូរយើងសរសេរសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះដោយប្រើនិមិត្តសញ្ញាឡូជីខល។
(2)
.
ការអះអាងនោះ។ លេខ a មិនមែនជាដែនកំណត់នៃលំដាប់នោះទេ។, មានន័យថា
អ្នកអាចជ្រើសរើស ε បែបនេះ - សង្កាត់នៃចំណុច a នៅខាងក្រៅដែលនឹងមានចំនួនធាតុមិនកំណត់នៃលំដាប់។.
ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយ។. សូមឱ្យលំដាប់ដែលមានធាតុរួមមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ
(3)
សង្កាត់ណាមួយនៃចំណុចមួយមានចំនួនធាតុគ្មានកំណត់។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ចំណុចនេះមិនមែនជាដែនកំណត់នៃលំដាប់នោះទេ ដោយសារសង្កាត់ណាមួយនៃចំណុចក៏មានចំនួនធាតុដែលគ្មានកំណត់ផងដែរ។ យក ε - សង្កាត់នៃចំណុចមួយជាមួយ ε = 1
. នេះនឹងជាចន្លោះពេល (-1, +1)
. ធាតុទាំងអស់លើកលែងតែធាតុទីមួយដែលមានសូម្បីតែ n ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេលនេះ។ ប៉ុន្តែធាតុទាំងអស់ដែលមានសេស n គឺនៅក្រៅចន្លោះពេលនេះ ដោយសារពួកវាបំពេញនូវវិសមភាព x n > 2
. ដោយសារចំនួនធាតុសេសគឺគ្មានកំណត់ វានឹងមានចំនួនធាតុដែលគ្មានកំណត់នៅក្រៅសង្កាត់ដែលបានជ្រើសរើស។ ដូច្នេះចំណុចមិនមែនជាដែនកំណត់នៃលំដាប់នោះទេ។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងបង្ហាញវាដោយប្រកាន់ខ្ជាប់យ៉ាងម៉ឺងម៉ាត់នឹងការអះអាង (២)។ ចំនុចមិនមែនជាដែនកំណត់នៃលំដាប់ (3) ទេ ពីព្រោះវាមានដូចនេះ ដូច្នេះសម្រាប់ n ធម្មជាតិណាមួយ វាមានសេស n ដែលវិសមភាព។
.
វាក៏អាចត្រូវបានបង្ហាញថាចំណុចណាមួយ a មិនអាចជាដែនកំណត់នៃលំដាប់នេះទេ។ យើងតែងតែអាចជ្រើសរើស ε - សង្កាត់នៃចំនុច a ដែលមិនមានទាំងចំនុច 0 ឬ ចំនុច 2។ ហើយបន្ទាប់មកវានឹងមានចំនួនធាតុមិនកំណត់នៃលំដាប់នៅខាងក្រៅសង្កាត់ដែលបានជ្រើសរើស។
និយមន័យសមមូល
យើងអាចផ្តល់និយមន័យសមមូលនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ ប្រសិនបើយើងពង្រីកគោលគំនិតនៃ ε - សង្កាត់។ យើងនឹងទទួលបាននិយមន័យសមមូល ប្រសិនបើជំនួសឱ្យ ε-neighbourhood សង្កាត់ណាមួយនៃចំនុច a នឹងបង្ហាញនៅក្នុងវា។
ការកំណត់នៃសង្កាត់នៃចំណុចមួយ
សង្កាត់ ចំណុច កហៅថាណាមួយ។ ចន្លោះពេលបើកដែលមានចំណុចនេះ។ តាមគណិតសាស្រ្ត អ្នកជិតខាងត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម៖ , ដែល ε 1
និង ε 2
គឺជាលេខវិជ្ជមានតាមអំពើចិត្ត។
បន្ទាប់មកនិយមន័យនៃដែនកំណត់នឹងមានដូចខាងក្រោម។
និយមន័យសមមូលនៃដែនកំណត់លំដាប់
លេខ a ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃលំដាប់ប្រសិនបើសម្រាប់សង្កាត់ណាមួយរបស់វាមានលេខធម្មជាតិ N ដែលធាតុទាំងអស់នៃលំដាប់ដែលមានលេខជាកម្មសិទ្ធិរបស់សង្កាត់នេះ។
និយមន័យនេះក៏អាចត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់ពង្រីកផងដែរ។
លេខ a ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃលំដាប់ប្រសិនបើសម្រាប់លេខវិជ្ជមានណាមួយ ហើយមានលេខធម្មជាតិ N អាស្រ័យលើ និងដែលវិសមភាពមានសម្រាប់លេខធម្មជាតិទាំងអស់
.
ភស្តុតាងនៃភាពសមមូលនៃនិយមន័យ
ចូរយើងបង្ហាញថានិយមន័យទាំងពីរខាងលើនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយគឺសមមូល។
សូមឱ្យលេខ a ជាដែនកំណត់នៃលំដាប់តាមនិយមន័យទីមួយ។ នេះមានន័យថាមានអនុគមន៍ ដូច្នេះសម្រាប់ចំនួនវិជ្ជមានណាមួយ ε វិសមភាពខាងក្រោមមាន៖
(4)
នៅ។
ចូរយើងបង្ហាញថាលេខ a គឺជាដែនកំណត់នៃលំដាប់ដោយនិយមន័យទីពីរផងដែរ។ នោះគឺយើងត្រូវបង្ហាញថាមានមុខងារបែបនេះ ដូច្នេះសម្រាប់លេខវិជ្ជមានណាមួយ ε 1
និង ε 2
វិសមភាពខាងក្រោមមាន៖
(5)
នៅ។
សូមឱ្យយើងមានលេខវិជ្ជមានពីរ៖ ε 1
និង ε 2
. ហើយអនុញ្ញាតឱ្យ ε តូចបំផុតក្នុងចំណោមពួកគេ: . បន្ទាប់មក ; ; . យើងប្រើវានៅក្នុង (5):
.
ប៉ុន្តែវិសមភាពនៅតែមាន។ បន្ទាប់មក វិសមភាព (5) ក៏រក្សា។
នោះគឺយើងបានរកឃើញអនុគមន៍មួយដែលវិសមភាព (5) មានសម្រាប់លេខវិជ្ជមានណាមួយ ε 1
និង ε 2
.
ផ្នែកទីមួយត្រូវបានបញ្ជាក់។
ឥឡូវសូមឱ្យលេខ a ជាដែនកំណត់នៃលំដាប់តាមនិយមន័យទីពីរ។ នេះមានន័យថាមានអនុគមន៍ ដូច្នេះសម្រាប់លេខវិជ្ជមានណាមួយ ε 1
និង ε 2
វិសមភាពខាងក្រោមមាន៖
(5)
នៅ។
ចូរយើងបង្ហាញថាលេខ a គឺជាដែនកំណត់នៃលំដាប់ និងតាមនិយមន័យទីមួយ។ សម្រាប់ការនេះអ្នកត្រូវដាក់។ បន្ទាប់មក សម្រាប់ វិសមភាពខាងក្រោមមាន៖
.
នេះត្រូវគ្នាទៅនឹងនិយមន័យដំបូងជាមួយ .
សមមូលនៃនិយមន័យត្រូវបានបង្ហាញ។
ឧទាហរណ៍
នៅទីនេះយើងពិចារណាឧទាហរណ៍ជាច្រើនដែលវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីបង្ហាញថាលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ a គឺជាដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ។ ក្នុងករណីនេះចាំបាច់ត្រូវកំណត់តាមអំពើចិត្ត លេខវិជ្ជមានε និងកំណត់មុខងារ N នៃ ε ដែលវិសមភាពមានសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា។
ឧទាហរណ៍ ១
បញ្ជាក់។
(1)
.
ក្នុងករណីរបស់យើង;
.
.
ចូរយើងប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃវិសមភាព។ បន្ទាប់មក ប្រសិនបើ និង បន្ទាប់មក
.
.
បន្ទាប់មក
នៅ។
នេះមានន័យថាចំនួនគឺជាដែនកំណត់នៃលំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖
.
ឧទាហរណ៍ ២
ដោយប្រើនិយមន័យនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ សូមបញ្ជាក់
.
យើងសរសេរនិយមន័យនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ៖
(1)
.
ក្នុងករណីរបស់យើង ;
.
យើងបញ្ចូលលេខវិជ្ជមាន និង៖
.
ចូរយើងប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃវិសមភាព។ បន្ទាប់មក ប្រសិនបើ និង បន្ទាប់មក
.
នោះគឺសម្រាប់វិជ្ជមានណាមួយ យើងអាចយកចំនួនធម្មជាតិណាមួយធំជាង ឬស្មើនឹង៖
.
បន្ទាប់មក
នៅ។
.
ឧទាហរណ៍ ៣
.
យើងណែនាំសញ្ញាណ .
តោះផ្លាស់ប្តូរភាពខុសគ្នា៖
.
សម្រាប់ធម្មជាតិ n = 1, 2, 3, ...
យើងមាន:
.
យើងសរសេរនិយមន័យនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ៖
(1)
.
យើងបញ្ចូលលេខវិជ្ជមាន និង៖
.
បន្ទាប់មក ប្រសិនបើ និង បន្ទាប់មក
.
នោះគឺសម្រាប់វិជ្ជមានណាមួយ យើងអាចយកចំនួនធម្មជាតិណាមួយធំជាង ឬស្មើនឹង៖
.
ឯណា
នៅ។
នេះមានន័យថាចំនួនគឺជាដែនកំណត់នៃលំដាប់៖
.
ឧទាហរណ៍ 4
ដោយប្រើនិយមន័យនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ សូមបញ្ជាក់
.
យើងសរសេរនិយមន័យនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ៖
(1)
.
ក្នុងករណីរបស់យើង ;
.
យើងបញ្ចូលលេខវិជ្ជមាន និង៖
.
បន្ទាប់មក ប្រសិនបើ និង បន្ទាប់មក
.
នោះគឺសម្រាប់វិជ្ជមានណាមួយ យើងអាចយកចំនួនធម្មជាតិណាមួយធំជាង ឬស្មើនឹង៖
.
បន្ទាប់មក
នៅ។
នេះមានន័យថាចំនួនគឺជាដែនកំណត់នៃលំដាប់៖
.
ឯកសារយោង៖
អិលឌី. Kudryavtsev ។ វគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ លេខ 1. ទីក្រុងម៉ូស្គូ, ឆ្នាំ 2003 ។
សង់ទីម៉ែត។ នីកូលស្គី។ វគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ភាគ 1. ទីក្រុងម៉ូស្គូ ឆ្នាំ 1983 ។
ចំនួនថេរ កបានហៅ ដែនកំណត់ លំដាប់(x n) ប្រសិនបើចំនួនវិជ្ជមានតូចតាមអំពើចិត្តε > 0 មានលេខ N ដែលតម្លៃទាំងអស់។ x នដែល n > N បំពេញវិសមភាព
|x n - a|< ε. (6.1)
សរសេរវាដូចខាងក្រោមៈ ឬ x n →ក.
វិសមភាព (6.1) គឺស្មើនឹងវិសមភាពទ្វេ
a-ε< x n < a + ε, (6.2)
ដែលមានន័យថាចំណុច x នចាប់ផ្តើមពីលេខមួយចំនួន n>N ស្ថិតនៅខាងក្នុងចន្លោះពេល (a-ε, a + ε ), i.e. ធ្លាក់ចូលទៅក្នុងតូចណាមួយ។ε - អ្នកជិតខាងនៃចំណុច ក.
លំដាប់ដែលមានដែនកំណត់ត្រូវបានគេហៅថា ការបញ្ចូលគ្នាបើមិនដូច្នេះទេ - ខុសគ្នា.
គោលគំនិតនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍គឺជាការធ្វើឱ្យទូទៅនៃគំនិតនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ ចាប់តាំងពីដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ x n = f(n) នៃអាគុយម៉ង់ចំនួនគត់។ ន.
អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ f(x) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយអនុញ្ញាតឱ្យ ក - ចំណុចកំណត់ដែននៃនិយមន័យនៃមុខងារនេះ D(f), i.e. ចំណុចបែបនេះ សង្កាត់ណាមួយដែលមានចំណុចនៃសំណុំ D(f) ខុសពី ក. ចំណុច កអាចឬមិនមែនជារបស់សំណុំ D(f)។
និយមន័យ ១.លេខថេរ A ត្រូវបានគេហៅថា ដែនកំណត់ មុខងារ f(x) នៅ x →a if សម្រាប់លំដាប់ណាមួយ (x n) នៃតម្លៃអាគុយម៉ង់ដែលមានទំនោរទៅ ក, លំដាប់ដែលត្រូវគ្នា (f(x n)) មានដែនកំណត់ដូចគ្នា A ។
និយមន័យនេះត្រូវបានគេហៅថា កំណត់ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ យោងទៅតាម Heine,ឬ " នៅក្នុងភាសានៃលំដាប់”.
និយមន័យ ២. លេខថេរ A ត្រូវបានគេហៅថា ដែនកំណត់ មុខងារ f(x) នៅ x →a ប្រសិនបើ ផ្តល់ចំនួនវិជ្ជមានតូចតាមអំពើចិត្ត εមនុស្សម្នាក់អាចរកឃើញ δ បែបនេះ>0 (អាស្រ័យលើε) ដែលសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា xដេកនៅក្នុងε-សង្កាត់នៃលេខមួយ។ ក, i.e. សម្រាប់ xការបំពេញនូវវិសមភាព
0 <
x-a< ε
តម្លៃនៃអនុគមន៍ f(x) នឹងស្ថិតនៅε-សង្កាត់នៃលេខ A, i.e.|f(x)-A|<
ε.
និយមន័យនេះត្រូវបានគេហៅថា កំណត់ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ យោងទៅតាម Cauchy,ឬ “ ជាភាសា ε - δ “.
និយមន័យ 1 និង 2 គឺសមមូល។ ប្រសិនបើអនុគមន៍ f(x) ជា x →មាន ដែនកំណត់ស្មើនឹង A វាត្រូវបានសរសេរជា
. (6.3)
ក្នុងករណីដែលលំដាប់ (f(x n)) កើនឡើង (ឬថយចុះ) ដោយមិនកំណត់សម្រាប់វិធីសាស្រ្តនៃការប៉ាន់ស្មានណាមួយ xដល់ដែនកំណត់របស់អ្នក។ កបន្ទាប់មកយើងនឹងនិយាយថាមុខងារ f(x) មាន ដែនកំណត់គ្មានកំណត់, ហើយសរសេរវាជា៖
អថេរ (ឧ. លំដាប់ ឬមុខងារ) ដែលដែនកំណត់គឺសូន្យត្រូវបានគេហៅថា តូចគ្មានកំណត់។
អថេរដែលកម្រិតស្មើនឹងភាពគ្មានកំណត់ត្រូវបានហៅ ធំគ្មានកំណត់.
ដើម្បីស្វែងរកដែនកំណត់ក្នុងការអនុវត្ត សូមប្រើទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។
ទ្រឹស្តីបទ ១ . ប្រសិនបើមានដែនកំណត់នីមួយៗ
(6.4)
(6.5)
(6.6)
មតិយោបល់. កន្សោមដូចជា 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - គឺមិនកំណត់ ឧទាហរណ៍ សមាមាត្រនៃ infinitesimals ពីរ ឬ infinitesimals បរិមាណដ៏ច្រើន។ហើយដើម្បីស្វែងរកដែនកំណត់នៃប្រភេទនេះត្រូវបានគេហៅថា "ការបង្ហាញភាពមិនច្បាស់លាស់"។
ទ្រឹស្តីបទ ២. (6.7)
ទាំងនោះ។ វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីឆ្លងទៅដែនកំណត់នៅមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេនៅនិទស្សន្តថេរ ជាពិសេស, ;
(6.8)
(6.9)
ទ្រឹស្តីបទ ៣.
(6.10)
(6.11)
កន្លែងណា អ៊ី » 2.7 គឺជាមូលដ្ឋាននៃលោការីតធម្មជាតិ។ រូបមន្ត (6.10) និង (6.11) ត្រូវបានគេហៅថាទីមួយ ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យនិងដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរ។
កូរ៉ូឡារីនៃរូបមន្ត (៦.១១) ក៏ត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងការអនុវត្តផងដែរ៖
(6.12)
(6.13)
(6.14)
ជាពិសេសដែនកំណត់
ប្រសិនបើ x → a និងនៅពេលដំណាលគ្នា x > a បន្ទាប់មកសរសេរ x→ a + 0. ប្រសិនបើជាពិសេស a = 0 នោះជំនួសឱ្យនិមិត្តសញ្ញា 0+0 មួយសរសេរ +0 ។ ដូចគ្នានេះដែរប្រសិនបើ x →a និងក្នុងពេលតែមួយ x a-0។ លេខ និងត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាម។ ដែនកំណត់ត្រឹមត្រូវ។និង ដែនកំណត់ខាងឆ្វេង មុខងារ f(x) នៅចំណុច ក. សម្រាប់ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ f(x) មានជា x →a គឺចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ . មុខងារ f(x) ត្រូវបានគេហៅថា បន្ត នៅចំណុច x 0 ប្រសិនបើដែនកំណត់
. (6.15)
លក្ខខណ្ឌ (6.15) អាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចជា:
,
នោះគឺការឆ្លងកាត់ទៅដែនកំណត់ក្រោមសញ្ញានៃមុខងារគឺអាចធ្វើទៅបានប្រសិនបើវាបន្តនៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ប្រសិនបើសមភាព (6.15) ត្រូវបានរំលោភ នោះយើងនិយាយអញ្ចឹង នៅ x = xo មុខងារ f(x) វាមាន គម្លាត។ពិចារណាមុខងារ y = 1/x ។ ដែននៃមុខងារនេះគឺជាសំណុំ រលើកលែងតែ x = 0 ។ ចំនុច x = 0 គឺជាចំណុចកំណត់នៃសំណុំ D(f) ចាប់តាំងពីនៅក្នុងសង្កាត់ណាមួយរបស់វា ឧ. ចន្លោះពេលបើកណាមួយដែលមានចំណុច 0 មានចំណុចពី D(f) ប៉ុន្តែវាមិនមែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំនេះទេ។ តម្លៃ f(x o)= f(0) មិនត្រូវបានកំណត់ទេ ដូច្នេះមុខងារមានការដាច់នៅចំណុច x o = 0 ។
មុខងារ f(x) ត្រូវបានគេហៅថា បន្តនៅខាងស្តាំនៅចំណុចមួយ។ x o ប្រសិនបើដែនកំណត់
,
និង បន្តនៅខាងឆ្វេងនៅចំណុចមួយ។ x o ប្រសិនបើដែនកំណត់
.
ការបន្តនៃមុខងារនៅចំណុចមួយ។ x oគឺស្មើនឹងការបន្តរបស់វានៅចំណុចនេះទាំងនៅខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេង។
សម្រាប់មុខងារបន្តនៅចំណុចមួយ។ x oជាឧទាហរណ៍ នៅខាងស្តាំ ទីមួយ វាមានដែនកំណត់កំណត់ ហើយទីពីរ ដែនកំណត់នេះស្មើនឹង f(x o)។ ដូច្នេះប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់លក្ខខណ្ឌមួយក្នុងចំណោមលក្ខខណ្ឌទាំងពីរនេះមិនត្រូវបានបំពេញទេនោះមុខងារនឹងមានគម្លាត។
1. ប្រសិនបើដែនកំណត់មាន ហើយមិនស្មើនឹង f(x o) នោះគេនិយាយថា មុខងារ f(x) នៅចំណុច xo មាន ការបំបែកនៃប្រភេទទីមួយ,ឬ លោត.
2. ប្រសិនបើដែនកំណត់គឺ+∞ ឬ -∞ ឬមិនមានទេ បន្ទាប់មកយើងនិយាយថានៅក្នុង ចំណុច x o មុខងារមានការសម្រាក ប្រភេទទីពីរ.
ឧទាហរណ៍ អនុគមន៍ y = ctg x នៅ x→ +0 មានដែនកំណត់ស្មើនឹង +∞ដូច្នេះហើយ នៅចំណុច x=0 វាមានការដាច់នៃប្រភេទទីពីរ។ អនុគមន៍ y = E(x) (ផ្នែកចំនួនគត់នៃ x) នៅចំនុចដែលមានចំនួនគត់ abscissas មានការដាច់នៃប្រភេទទីមួយ ឬលោត។
មុខងារដែលបន្តនៅគ្រប់ចំណុចនៃចន្លោះពេលត្រូវបានហៅ បន្តក្នុង។ មុខងារបន្តត្រូវបានតំណាងដោយខ្សែកោងរឹង។
បញ្ហាជាច្រើនដែលត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការកើនឡើងជាបន្តបន្ទាប់នៃបរិមាណមួយចំនួននាំឱ្យមានដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរ។ ជាឧទាហរណ៍ កិច្ចការទាំងនោះរួមមានៈ ការលូតលាស់នៃវិភាគទានតាមច្បាប់នៃផលប្រយោជន៍រួម កំណើនចំនួនប្រជាជនរបស់ប្រទេស ការពុកផុយនៃសារធាតុវិទ្យុសកម្ម ការកើនឡើងនៃបាក់តេរី។ល។
ពិចារណា ឧទាហរណ៍នៃ Ya. I. Perelmanដែលផ្តល់ការបកស្រាយនៃលេខ អ៊ីនៅក្នុងបញ្ហាផលប្រយោជន៍រួម។ ចំនួន អ៊ីមានដែនកំណត់ . នៅក្នុងធនាគារសន្សំ ប្រាក់ការប្រាក់ត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងដើមទុនថេរជារៀងរាល់ឆ្នាំ។ ប្រសិនបើការតភ្ជាប់ត្រូវបានធ្វើឡើងញឹកញាប់ជាងនេះ នោះដើមទុនកើនឡើងលឿនជាងមុន ដោយសារចំនួនដ៏ច្រើនត្រូវបានចូលរួមនៅក្នុងការបង្កើតការប្រាក់។ ចូរយើងយកទ្រឹស្តីសុទ្ធសាធ និងឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុត។ ឲ្យធនាគារដាក់១០០បាត។ ឯកតា ក្នុងអត្រា 100% ក្នុងមួយឆ្នាំ។ ប្រសិនបើប្រាក់ដែលមានការប្រាក់ត្រូវបានបន្ថែមទៅដើមទុនថេរតែបន្ទាប់ពីមួយឆ្នាំបន្ទាប់មកដោយពេលនេះ 100 den ។ ឯកតា នឹងប្រែទៅជា 200 den ។ ឥឡូវនេះសូមមើលអ្វីដែល 100 den នឹងប្រែទៅជា។ ឯកតា ប្រសិនបើប្រាក់ការប្រាក់ត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងដើមទុនថេររៀងរាល់ប្រាំមួយខែម្តង។ បន្ទាប់ពីពាក់កណ្តាលឆ្នាំ 100 ។ ឯកតា កើនឡើងដល់ 100× 1.5 \u003d 150 ហើយបន្ទាប់ពីប្រាំមួយខែទៀត - នៅ 150× 1.5 \u003d 225 (គ្រឿង) ។ ប្រសិនបើការចូលជាសមាជិកត្រូវបានធ្វើរៀងរាល់ 1/3 នៃឆ្នាំ បន្ទាប់មកបន្ទាប់ពីមួយឆ្នាំ 100 den ។ ឯកតា ប្រែទៅជា 100× (1 +1/3) 3 » ២៣៧ (ឯកតា) ។ យើងនឹងបង្កើនរយៈពេលបន្ថែមប្រាក់ការប្រាក់ដល់ 0.1 ឆ្នាំ 0.01 ឆ្នាំ 0.001 ឆ្នាំ។ល។ បន្ទាប់មកចេញពី 100 den ។ ឯកតា មួយឆ្នាំក្រោយមក៖
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. units),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. units),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. units).
ជាមួយនឹងការកាត់បន្ថយគ្មានដែនកំណត់ក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃការចូលរួមការប្រាក់ ដើមទុនបង្គរមិនកើនឡើងឥតកំណត់នោះទេ ប៉ុន្តែឈានដល់កម្រិតជាក់លាក់មួយស្មើនឹងប្រមាណ 271។ ដើមទុនដែលដាក់ក្នុងអត្រា 100% ក្នុងមួយឆ្នាំមិនអាចកើនឡើងលើសពី 2.71 ដងទេ បើទោះបីជាការប្រាក់បង្គរក៏ដោយ។ បន្ថែមទៅរាជធានីជារៀងរាល់វិនាទីដោយសារតែដែនកំណត់
ឧទាហរណ៍ 3.1 ។ដោយប្រើនិយមន័យនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់លេខ បង្ហាញថាលំដាប់ x n =(n-1)/n មានដែនកំណត់ស្មើនឹង 1 ។
ការសម្រេចចិត្ត។យើងត្រូវតែបញ្ជាក់ថាអ្វីក៏ដោយε > 0 យើងយក ព្រោះវាមានលេខធម្មជាតិ N ដែលសម្រាប់ទាំងអស់ n N វិសមភាព|xn-1|< ε.
យក e > 0. ចាប់តាំងពី ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n បន្ទាប់មកដើម្បីរក N វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដោះស្រាយវិសមភាព 1/n< អ៊ី ដូច្នេះ n>1/e ដូច្នេះ N អាចត្រូវបានយកជាផ្នែកចំនួនគត់នៃ 1/ e , N = E(1/ e ) ដូច្នេះ យើងបានបញ្ជាក់ថាកម្រិតកំណត់។
ឧទាហរណ៍ ៣.2 . ស្វែងរកដែនកំណត់នៃលំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ សមាជិកទូទៅ .
ការសម្រេចចិត្ត។អនុវត្តទ្រឹស្តីបទផលបូកដែនកំណត់ និងស្វែងរកដែនកំណត់នៃពាក្យនីមួយៗ។ សម្រាប់ n→ ∞ ភាគយក និងភាគបែងនៃពាក្យនីមួយៗមានទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ហើយយើងមិនអាចអនុវត្តទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កូតាដោយផ្ទាល់បានទេ។ ដូច្នេះដំបូងយើងផ្លាស់ប្តូរ x នចែកភាគយក និងភាគបែងនៃពាក្យទីមួយដោយ n ២, និងទីពីរ ន. បន្ទាប់មកការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទកម្រិតកូតានិក និងទ្រឹស្តីបទកំណត់ផលបូក យើងរកឃើញ៖
.
ឧទាហរណ៍ 3.3. . ដើម្បីស្វែងរក។
ការសម្រេចចិត្ត។ .
នៅទីនេះយើងបានប្រើទ្រឹស្តីបទកម្រិតដឺក្រេ៖ ដែនកំណត់ដឺក្រេ ស្មើនឹងសញ្ញាបត្រពីដែនកំណត់នៃមូលដ្ឋាន។
ឧទាហរណ៍ ៣.4 . ដើម្បីស្វែងរក ( ).
ការសម្រេចចិត្ត។វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់ភាពខុសគ្នា ដោយសារយើងមានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ ∞-∞ . ចូរយើងបំប្លែងរូបមន្តនៃពាក្យទូទៅ៖
.
ឧទាហរណ៍ ៣.5 . អនុគមន៍ f(x)=2 1/x ។ បង្ហាញថាដែនកំណត់មិនមានទេ។
ការសម្រេចចិត្ត។យើងប្រើនិយមន័យ 1 នៃដែនកំណត់នៃមុខងារក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃលំដាប់មួយ។ យកលំដាប់មួយ ( x n ) បម្លែងទៅជា 0, i.e. ចូរយើងបង្ហាញថាតម្លៃ f(x n)= មានឥរិយាបទខុសគ្នាសម្រាប់លំដាប់ផ្សេងគ្នា។ អនុញ្ញាតឱ្យ x n = 1/n ។ ជាក់ស្តែងបន្ទាប់មកដែនកំណត់ តោះជ្រើសរើសឥឡូវនេះ x នលំដាប់ដែលមានពាក្យសាមញ្ញ x n = -1/n ក៏មានទំនោរទៅសូន្យ។ ដូច្នេះវាគ្មានដែនកំណត់ទេ។
ឧទាហរណ៍ ៣.6 . បង្ហាញថាដែនកំណត់មិនមានទេ។
ការសម្រេចចិត្ត។ទុក x 1 , x 2 ,... , x n , ... ជាលំដាប់ដែល
. តើលំដាប់ (f(x n)) = (sin x n) មានឥរិយាបទសម្រាប់ភាពខុសគ្នា x n → ∞
ប្រសិនបើ x n \u003d p n នោះ sin x n \u003d sin p n = 0 សម្រាប់ទាំងអស់គ្នា ននិងកំណត់ប្រសិនបើ
xn=2 p n + p /2 បន្ទាប់មក sin x n = sin(2 p n + p /2) = sin ទំ /2 = 1 សម្រាប់ទាំងអស់គ្នា នដូច្នេះហើយ ដែនកំណត់។ ដូច្នេះមិនមានទេ។
ធាតុក្រាហ្វិកសម្រាប់គណនាដែនកំណត់លើអ៊ីនធឺណិត
នៅក្នុងប្រអប់ខាងលើ ជំនួសឱ្យ sin(x)/x បញ្ចូលមុខងារដែលអ្នកចង់ស្វែងរកដែនកំណត់។ នៅក្នុងប្រអប់ខាងក្រោម បញ្ចូលលេខដែល x ទំនោរទៅ ហើយចុចប៊ូតុង Calcular ទទួលបានដែនកំណត់ដែលចង់បាន។ ហើយប្រសិនបើនៅក្នុងបង្អួចលទ្ធផលអ្នកចុចលើបង្ហាញជំហាននៅខាងស្តាំ ជ្រុងខាងលើអ្នកនឹងទទួលបានដំណោះស្រាយលម្អិត។
ច្បាប់នៃការបញ្ចូលមុខងារ៖ sqrt(x) - ឫសការ៉េ, cbrt(x) - cube root, exp(x) - exponent, ln(x) - លោការីតធម្មជាតិ, sin(x) - sine, cos(x) - cosine, tan(x) - តង់សង់, cot(x) - cotangent, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangent។ សញ្ញា៖ * គុណ/ចែក ^ និទស្សន្ត ជំនួស ភាពគ្មានទីបញ្ចប់ភាពគ្មានទីបញ្ចប់។ ឧទាហរណ៍៖ មុខងារត្រូវបានបញ្ចូលជា sqrt(tan(x/2))។
ដែនកំណត់ផ្តល់ឱ្យសិស្សទាំងអស់នៃគណិតវិទ្យាមានបញ្ហាច្រើន។ ដើម្បីដោះស្រាយដែនកំណត់ ពេលខ្លះអ្នកត្រូវប្រើល្បិចជាច្រើន ហើយជ្រើសរើសពីដំណោះស្រាយជាច្រើនយ៉ាងពិតប្រាកដ ដែលស័ក្តិសមសម្រាប់ឧទាហរណ៍ជាក់លាក់មួយ។
នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងមិនជួយអ្នកឱ្យយល់ពីដែនកំណត់នៃសមត្ថភាពរបស់អ្នក ឬយល់ពីដែនកំណត់នៃការគ្រប់គ្រងនោះទេ ប៉ុន្តែយើងនឹងព្យាយាមឆ្លើយសំណួរ៖ របៀបយល់ពីដែនកំណត់នៅក្នុង គណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាង? ការយល់ដឹងកើតឡើងជាមួយនឹងបទពិសោធន៍ ដូច្នេះក្នុងពេលតែមួយយើងនឹងផ្តល់ឱ្យពីរបី ឧទាហរណ៍លម្អិតដែនកំណត់ដំណោះស្រាយជាមួយនឹងការពន្យល់។
គំនិតនៃដែនកំណត់ក្នុងគណិតវិទ្យា
សំណួរទីមួយគឺ៖ តើអ្វីជាដែនកំណត់ និងកម្រិតនៃអ្វី? អ្នកអាចនិយាយអំពីដែនកំណត់។ លំដាប់លេខនិងមុខងារ។ យើងចាប់អារម្មណ៍លើគោលគំនិតនៃដែនកំណត់នៃមុខងារមួយ ព្រោះវានៅជាមួយពួកគេដែលសិស្សភាគច្រើនជួបប្រទះ។ ប៉ុន្តែជាដំបូង ច្រើនបំផុត និយមន័យទូទៅដែនកំណត់៖
ចូរនិយាយថាមានខ្លះ អថេរ. ប្រសិនបើតម្លៃនេះនៅក្នុងដំណើរការនៃការផ្លាស់ប្តូរនោះជិតមកដល់ ចំនួនជាក់លាក់ ក បន្ទាប់មក ក គឺជាដែនកំណត់នៃតម្លៃនេះ។
សម្រាប់មុខងារដែលបានកំណត់ក្នុងចន្លោះពេលមួយចំនួន f (x) = y ដែនកំណត់គឺជាចំនួន ក ដែលមុខងារមាននិន្នាការនៅពេល X ទំនោរទៅចំណុចជាក់លាក់មួយ។ ក . ចំណុច ក ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេលដែលមុខងារត្រូវបានកំណត់។
វាស្តាប់ទៅពិបាក ប៉ុន្តែវាត្រូវបានសរសេរយ៉ាងសាមញ្ញ៖
លឹម- ពីភាសាអង់គ្លេស ដែនកំណត់- ដែនកំណត់។
ក៏មានដែរ។ ការពន្យល់ធរណីមាត្រនិយមន័យនៃដែនកំណត់ ប៉ុន្តែនៅទីនេះយើងនឹងមិនចូលទៅក្នុងទ្រឹស្តីទេ ចាប់តាំងពីយើងចាប់អារម្មណ៍លើការអនុវត្តច្រើនជាងផ្នែកទ្រឹស្តីនៃបញ្ហា។ នៅពេលដែលយើងនិយាយនោះ។ X ទំនោរទៅនឹងតម្លៃមួយចំនួន ដែលមានន័យថាអថេរមិនទទួលយកតម្លៃនៃចំនួននោះទេ ប៉ុន្តែខិតជិតវាយ៉ាងជិតស្និទ្ធ។
ចូរនាំមក ឧទាហរណ៍ជាក់លាក់. បញ្ហាប្រឈមគឺស្វែងរកដែនកំណត់។
ដើម្បីដោះស្រាយឧទាហរណ៍នេះ យើងជំនួសតម្លៃ x=3 ចូលទៅក្នុងមុខងារមួយ។ យើងទទួលបាន:
ដោយវិធីនេះប្រសិនបើអ្នកចាប់អារម្មណ៍សូមអានអត្ថបទដាច់ដោយឡែកអំពីប្រធានបទនេះ។
នៅក្នុងឧទាហរណ៍ X អាចមានទំនោរទៅនឹងតម្លៃណាមួយ។ វាអាចជាលេខណាមួយ ឬគ្មានកំណត់។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយនៅពេល X ទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់៖
វាច្បាស់ណាស់ដោយវិចារណញាណ ចំនួនច្រើនទៀតនៅក្នុងភាគបែង តម្លៃតូចជាងនឹងត្រូវបានយកដោយអនុគមន៍។ ដូច្នេះជាមួយនឹងកំណើនគ្មានដែនកំណត់ X អត្ថន័យ 1/x នឹងថយចុះ ហើយចូលទៅជិតសូន្យ។
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ ដើម្បីដោះស្រាយដែនកំណត់ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវការជំនួសតម្លៃដើម្បីព្យាយាមចូលទៅក្នុងមុខងារ។ X . ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនេះគឺជាករណីសាមញ្ញបំផុត។ ជារឿយៗការស្វែងរកដែនកំណត់គឺមិនច្បាស់ទេ។ នៅក្នុងដែនកំណត់ មានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃប្រភេទ 0/0 ឬ infinity/គ្មានកំណត់ . អ្វីដែលត្រូវធ្វើក្នុងករណីបែបនេះ? ប្រើល្បិច!
ភាពមិនច្បាស់លាស់នៅក្នុង
ភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់គ្មានកំណត់/គ្មានកំណត់
សូមឱ្យមានដែនកំណត់៖
ប្រសិនបើយើងព្យាយាមជំនួស infinity ទៅក្នុងអនុគមន៍ នោះយើងទទួលបាន infinity ទាំងនៅក្នុងភាគយក និងនៅក្នុងភាគបែង។ ជាទូទៅវាមានតម្លៃក្នុងការនិយាយថាមានធាតុផ្សំជាក់លាក់នៃសិល្បៈក្នុងការដោះស្រាយភាពមិនច្បាស់លាស់បែបនេះ៖ អ្នកត្រូវកត់សម្គាល់ពីរបៀបដែលអ្នកអាចបំប្លែងមុខងារតាមរបៀបដែលភាពមិនប្រាកដប្រជាត្រូវបានបាត់បង់។ ក្នុងករណីរបស់យើង យើងបែងចែកភាគយក និងភាគបែងដោយ X នៅក្នុងថ្នាក់ជាន់ខ្ពស់។ តើនឹងមានអ្វីកើតឡើង?
តាមឧទាហរណ៍ដែលបានពិចារណាខាងលើ យើងដឹងថាពាក្យដែលមាន x ក្នុងភាគបែងនឹងមានទំនោរទៅសូន្យ។ បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយចំពោះដែនកំណត់គឺ៖
ដើម្បីបង្ហាញភាពមិនច្បាស់លាស់នៃប្រភេទ infinity/គ្មានកំណត់ចែកភាគយក និងភាគបែងដោយ Xដល់កំរិតខ្ពស់បំផុត។
និយាយអញ្ចឹង! សម្រាប់អ្នកអានរបស់យើងឥឡូវនេះមានការបញ្ចុះតម្លៃ 10% នៅលើ
ប្រភេទនៃភាពមិនប្រាកដប្រជាមួយទៀត៖ 0/0
ដូចរាល់ដង ការជំនួសមុខងារតម្លៃ x=-1 ផ្តល់ឱ្យ 0 នៅក្នុងភាគបែង និងភាគបែង។ សូមក្រឡេកមើលឱ្យបានល្អិតល្អន់បន្តិច នោះអ្នកនឹងសម្គាល់ឃើញថានៅក្នុងលេខដែលយើងមាន សមីការការ៉េ. ចូរយើងស្វែងរកឫសហើយសរសេរ៖
តោះកាត់បន្ថយ និងទទួលបាន៖
ដូច្នេះប្រសិនបើអ្នកជួបប្រទះភាពមិនច្បាស់លាស់នៃប្រភេទ 0/0 - ធ្វើកត្តាភាគយក និងភាគបែង។
ដើម្បីធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលសម្រាប់អ្នកក្នុងការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ ខាងក្រោមនេះគឺជាតារាងដែលមានដែនកំណត់នៃមុខងារមួយចំនួន៖
ការគ្រប់គ្រងរបស់ L'Hopital នៅខាងក្នុង
មធ្យោបាយដ៏មានឥទ្ធិពលមួយទៀតដើម្បីលុបបំបាត់ភាពមិនច្បាស់លាស់ទាំងពីរប្រភេទ។ តើអ្វីជាខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្ត?
ប្រសិនបើមានភាពមិនច្បាស់លាស់នៅក្នុងដែនកំណត់ យើងយកដេរីវេនៃភាគយក និងភាគបែងរហូតដល់ភាពមិនច្បាស់លាស់បាត់។
តាមទស្សនៈ ច្បាប់របស់ L'Hopital មើលទៅដូចនេះ៖
ចំណុចសំខាន់ ៖ ដែនកំណត់ ដែលដេរីវេនៃភាគយក និងភាគបែងគឺជំនួសឱ្យភាគយក និងភាគបែង ត្រូវតែមាន។
ហើយឥឡូវនេះឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង៖
មានភាពមិនច្បាស់លាស់ធម្មតា។ 0/0 . យកនិស្សន្ទវត្ថុនៃភាគយក និងភាគបែង៖
Voila, ភាពមិនច្បាស់លាស់ត្រូវបានលុបចោលយ៉ាងឆាប់រហ័សនិងឆើតឆាយ។
យើងសង្ឃឹមថាអ្នកនឹងអាចយកព័ត៌មាននេះទៅប្រើប្រាស់ក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្តែង និងស្វែងរកចម្លើយចំពោះសំណួរ "របៀបដោះស្រាយដែនកំណត់ក្នុងគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់"។ ប្រសិនបើអ្នកត្រូវគណនាដែនកំណត់នៃលំដាប់ ឬដែនកំណត់នៃមុខងារនៅចំណុចមួយ ហើយមិនមានពេលវេលាសម្រាប់ការងារនេះពីពាក្យ "ដាច់ខាត" សូមមើលសម្រាប់ដំណោះស្រាយរហ័ស និងលម្អិត។