ឯកជនភាពរបស់អ្នកគឺសំខាន់សម្រាប់ពួកយើង។ សម្រាប់ហេតុផលនេះ យើងបានបង្កើតគោលការណ៍ឯកជនភាពដែលពិពណ៌នាអំពីរបៀបដែលយើងប្រើប្រាស់ និងរក្សាទុកព័ត៌មានរបស់អ្នក។ សូមអានគោលការណ៍ឯកជនភាពរបស់យើង ហើយប្រាប់យើងឱ្យដឹង ប្រសិនបើអ្នកមានសំណួរណាមួយ។

ការប្រមូល និងប្រើប្រាស់ព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួន

ព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនសំដៅលើទិន្នន័យដែលអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីកំណត់អត្តសញ្ញាណបុគ្គលជាក់លាក់ ឬទាក់ទងគាត់។

អ្នកអាចនឹងត្រូវបានស្នើសុំឱ្យផ្តល់ព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នកគ្រប់ពេលនៅពេលអ្នកទាក់ទងមកយើង។

ខាងក្រោមនេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃប្រភេទព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនដែលយើងអាចប្រមូលបាន និងរបៀបដែលយើងអាចប្រើប្រាស់ព័ត៌មានទាំងនោះ។

តើព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនអ្វីខ្លះដែលយើងប្រមូលបាន៖

• នៅពេលអ្នកដាក់ពាក្យសុំនៅលើគេហទំព័រ យើងអាចប្រមូលព័ត៌មានផ្សេងៗ រួមទាំងឈ្មោះ លេខទូរស័ព្ទ អាស័យដ្ឋានរបស់អ្នក។ អ៊ីមែលល។

របៀបដែលយើងប្រើព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក៖

• ប្រមូលដោយពួកយើង ព័ត៌មាន​ផ្ទាល់ខ្លួនអនុញ្ញាតឱ្យយើងទាក់ទងអ្នក និងជូនដំណឹងដល់អ្នកអំពី ការផ្តល់ជូនពិសេសការផ្សព្វផ្សាយ និងព្រឹត្តិការណ៍ផ្សេងទៀត និងព្រឹត្តិការណ៍នាពេលខាងមុខ។
• ពីពេលមួយទៅពេលមួយ យើងអាចប្រើព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក ដើម្បីផ្ញើការជូនដំណឹង និងទំនាក់ទំនងសំខាន់ៗដល់អ្នក។
• យើងក៏អាចប្រើព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនសម្រាប់គោលបំណងផ្ទៃក្នុងដូចជា សវនកម្ម ការវិភាគទិន្នន័យ និង ការសិក្សាផ្សេងៗដើម្បីកែលម្អសេវាកម្មដែលយើងផ្តល់ជូន និងផ្តល់ឱ្យអ្នកនូវការណែនាំទាក់ទងនឹងសេវាកម្មរបស់យើង។
• ប្រសិនបើអ្នកបញ្ចូលការចាប់រង្វាន់ ការប្រកួត ឬការលើកទឹកចិត្តស្រដៀងគ្នា យើងអាចប្រើព័ត៌មានដែលអ្នកផ្តល់ដើម្បីគ្រប់គ្រងកម្មវិធីបែបនេះ។

ការបង្ហាញដល់ភាគីទីបី

យើងមិនបង្ហាញព័ត៌មានដែលទទួលបានពីអ្នកទៅភាគីទីបីទេ។

ករណីលើកលែង៖

• បើចាំបាច់ - ស្របតាមច្បាប់ សណ្តាប់ធ្នាប់តុលាការ ក្នុងដំណើរការផ្លូវច្បាប់ និង/ឬផ្អែកលើសំណើសាធារណៈ ឬសំណើពី ភ្នាក់​ងារ​រដ្ឋាភិបាលនៅលើទឹកដីនៃសហព័ន្ធរុស្ស៊ី - បង្ហាញព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក។ យើងក៏អាចបង្ហាញព័ត៌មានអំពីអ្នកផងដែរ ប្រសិនបើយើងកំណត់ថាការបង្ហាញបែបនេះគឺចាំបាច់ ឬសមរម្យសម្រាប់សន្តិសុខ ការអនុវត្តច្បាប់ ឬសាធារណៈផ្សេងទៀត ឱកាសសំខាន់ៗ.
• នៅក្នុងព្រឹត្តិការណ៍នៃការរៀបចំឡើងវិញ ការរួមបញ្ចូលគ្នា ឬការលក់ យើងអាចផ្ទេរព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនដែលយើងប្រមូលទៅកាន់អ្នកស្នងតំណែងភាគីទីបីដែលពាក់ព័ន្ធ។

ការការពារព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួន

យើងមានការប្រុងប្រយ័ត្ន - រួមទាំងរដ្ឋបាល បច្ចេកទេស និងរូបវន្ត - ដើម្បីការពារព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នកពីការបាត់បង់ ការលួច និងការប្រើប្រាស់ខុស ក៏ដូចជាពីការចូលប្រើប្រាស់ ការលាតត្រដាង ការផ្លាស់ប្តូរ និងការបំផ្លិចបំផ្លាញដោយគ្មានការអនុញ្ញាត។

រក្សាភាពឯកជនរបស់អ្នកនៅកម្រិតក្រុមហ៊ុន

ដើម្បីធានាថាព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នកមានសុវត្ថិភាព យើងទាក់ទងការអនុវត្តឯកជនភាព និងសុវត្ថិភាពដល់បុគ្គលិករបស់យើង និងអនុវត្តការអនុវត្តឯកជនភាពយ៉ាងតឹងរ៉ឹង។

សមីការ និងប្រព័ន្ធនៃសមីការនៃសញ្ញាបត្រទីមួយ

លេខពីរ ឬកន្សោមមួយចំនួនដែលភ្ជាប់ដោយសញ្ញា "=" ទម្រង់ សមភាព. ប្រសិនបើលេខ ឬកន្សោមគឺស្មើគ្នាសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃអក្សរ នោះសមភាពបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា អត្តសញ្ញាណ.

ឧទាហរណ៍នៅពេលដែលវាត្រូវបានចែងថាសម្រាប់ណាមួយ។ កត្រឹមត្រូវ៖

ក + 1 = 1 + កនៅទីនេះសមភាពគឺជាអត្តសញ្ញាណមួយ។

សមីការត្រូវបានគេហៅថាសមភាពដែលមាន លេខមិនស្គាល់សម្គាល់ដោយអក្សរ។ អក្សរទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា មិនស្គាល់. វាអាចមានច្រើនជាងមួយមិនស្គាល់នៅក្នុងសមីការ។

ឧទាហរណ៍ក្នុងសមីការ 2 X + នៅ = 7X-មិនស្គាល់អត្តសញ្ញាណចំនួន០៣នាក់៖ Xនិង នៅ.

កន្សោមនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ (២ X + នៅ) ត្រូវបានគេហៅថាផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ ហើយកន្សោមនៅខាងស្តាំនៃសមីការ (7 X៣) ហៅថាខាងស្តាំ។

តម្លៃនៃមិនស្គាល់ដែលសមីការក្លាយជាអត្តសញ្ញាណត្រូវបានគេហៅថា ការសម្រេចចិត្តឬ ឫសសមីការ។

ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ 3 X+ 7=13 ជំនួសឱ្យមិនស្គាល់ Xជំនួសលេខ 2 យើងទទួលបានអត្តសញ្ញាណ។ ដូច្នេះតម្លៃ X= 2 បំពេញសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយលេខ 2 គឺជាដំណោះស្រាយ ឬឫសគល់នៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

សមីការទាំងពីរត្រូវបានគេហៅថា សមមូល(ឬ សមមូល) ប្រសិនបើដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃសមីការទីមួយគឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការទីពីរ និងផ្ទុយមកវិញ ដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃសមីការទីពីរគឺជាដំណោះស្រាយនៃទីមួយ។ ទៅ សមីការសមមូលរួមបញ្ចូលផងដែរនូវសមីការដែលមិនមានដំណោះស្រាយ។

ឧទាហរណ៍ សមីការ ២ X- 5 = 11 និង 7 X+ 6 = 62 គឺសមមូលព្រោះពួកគេមានឫសដូចគ្នា។ X= ៨; សមីការ X + 2 = X+ 5 និង 2 X + 7 = 2Xស្មើ​គ្នា​ព្រោះ​ទាំងពីរ​គ្មាន​ដំណោះស្រាយ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសមីការសមមូល

1. ចំពោះផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ អ្នកអាចបន្ថែមកន្សោមណាមួយដែលសមហេតុផលសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា តម្លៃអនុញ្ញាតមិនស្គាល់; សមីការលទ្ធផលនឹងស្មើនឹងតម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ឧទាហរណ៍។ សមីការ ២ X- 1 = 7 មានឫស X= 4. បន្ថែម 5 ទៅភាគីទាំងពីរយើងទទួលបានសមីការ 2 X- 1 + 5 = 7 + 5 ឬ 2 X+ 4 = 12 ដែលមានឫសដូចគ្នា។ X = 4.

2. ប្រសិនបើផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការមានពាក្យដូចគ្នា នោះពួកគេអាចត្រូវលុបចោល។

ឧទាហរណ៍។ សមីការ ៩ x + 5X = 18 + 5Xមានឫសមួយ។ X= 2. លុបក្នុងផ្នែកទាំងពីរ 5 Xយើងទទួលបានសមីការ 9 X= 18 ដែលមានឫសដូចគ្នា។ X = 2.

3. ពាក្យណាមួយនៃសមីការអាចត្រូវបានផ្ទេរពីផ្នែកមួយនៃសមីការទៅមួយទៀតដោយការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញារបស់វាទៅជាសញ្ញាផ្ទុយ។

ឧទាហរណ៍។ សមីការ ៧ X - 11 = 3 មានឫសមួយ។ X= 2. ប្រសិនបើយើងផ្ទេរ 11 ទៅផ្នែកខាងស្តាំជាមួយ សញ្ញាផ្ទុយយើងទទួលបានសមីការ 7 X= 3 + 11 ដែលមានដំណោះស្រាយដូចគ្នា។ X = 2.

4. ផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការអាចត្រូវបានគុណដោយកន្សោមណាមួយ (ចំនួន) ដែលសមហេតុសមផលនិងមិនមែនជាសូន្យសម្រាប់តម្លៃដែលអាចទទួលយកបានទាំងអស់នៃមិនស្គាល់នោះសមីការលទ្ធផលនឹងស្មើនឹងមួយ។

ឧទាហរណ៍។ សមីការ ២ X - 15 = 10 – 3Xមានឫស X= 5. គុណទាំងសងខាងដោយ 3 យើងទទួលបានសមីការ 3(2 X - 15) = 3(10 – 3X) ឬ ៦ X – 45 =30 – 9Xដែលមានឫសដូចគ្នា។ X = 5.

5. សញ្ញានៃពាក្យទាំងអស់នៃសមីការអាចបញ្ច្រាសបាន (នេះគឺស្មើនឹងការគុណផ្នែកទាំងពីរដោយ (-1))។

ឧទាហរណ៍។ សមីការ - ៣ x + 7 = − 8 បន្ទាប់ពីគុណផ្នែកទាំងពីរដោយ (-1) នឹងយកទម្រង់ 3 X - 7 = 8. សមីការទីមួយ និងទីពីរមានឫសតែមួយ X = 5.

6. ផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការអាចត្រូវបានបែងចែកដោយចំនួនដូចគ្នាក្រៅពីសូន្យ (នោះគឺមិនស្មើនឹងសូន្យ)។

Example..gif" width="49 height=25" height="25">.gif" width="131" height="28">គឺស្មើនឹងវា ព្រោះវាមានឫសពីរដូចគ្នា៖ និង https:/ /pandia.ru/text/78/105/images/image006_96.gif" width="125" height="48 src="> បន្ទាប់ពីគុណផ្នែកទាំងពីរដោយ 14 វានឹងមើលទៅដូចនេះ៖

https://pandia.ru/text/78/105/images/image009_71.gif" width="77 height=20" height="20"> ដែលជាកន្លែងដែលលេខបំពាន X- មិនស្គាល់, ហៅ សមីការដឺក្រេទីមួយជាមួយមិនស្គាល់មួយ។(ឬ លីនេអ៊ែរសមីការជាមួយមិនស្គាល់មួយ) ។

ឧទាហរណ៍។ ២ X + 3 = 7 – 0,5X ; 0,3X = 0.

សមីការដឺក្រេទីមួយជាមួយមិនស្គាល់មួយ តែងតែមានដំណោះស្រាយមួយ សមីការលីនេអ៊ែរអាចមិនមានដំណោះស្រាយ () ឬមានពួកវា សំណុំគ្មានកំណត់(https://pandia.ru/text/78/105/images/image013_59.gif" width="344 height=48" height="48">។

ដំណោះស្រាយ។ គុណពាក្យទាំងអស់ក្នុងសមីការដោយផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃភាគបែងគឺ 12 ។

https://pandia.ru/text/78/105/images/image015_49.gif" width="183 height=24" height="24">.gif" width="371" height="20 src="> .

យើងដាក់ជាក្រុមក្នុងផ្នែកមួយ (ខាងឆ្វេង) ពាក្យដែលមិនស្គាល់ ហើយនៅក្នុងផ្នែកផ្សេងទៀត (ស្តាំ) - លក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ៖

https://pandia.ru/text/78/105/images/image019_34.gif" width="104" height="20">។ បែងចែកផ្នែកទាំងពីរដោយ (-22) យើងទទួលបាន X = 7.

ប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរនៃដឺក្រេទី 1 ដែលមិនស្គាល់ពីរ

សមីការដូចជា https://pandia.ru/text/78/105/images/image021_34.gif" width="87" height="24 src="> ត្រូវបានហៅ សមីការដឺក្រេទីមួយជាមួយចំនួនមិនស្គាល់ xនិង នៅ. ប្រសិនបើពួកគេស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការពីរ ឬច្រើននោះ ពួកគេនិយាយថាសមីការទាំងនេះបង្កើតជាប្រព័ន្ធ ជាធម្មតាពួកគេត្រូវបានសរសេរមួយនៅក្រោមមួយទៀត ហើយរួមបញ្ចូលគ្នាជាមួយតង្កៀបអង្កាញ់ ជាឧទាហរណ៍។

គូនីមួយៗនៃមិនស្គាល់ដែលក្នុងពេលដំណាលគ្នាបំពេញសមីការទាំងពីរនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានគេហៅថា ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធ. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធ- នេះមានន័យថាការស្វែងរកដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធនេះឬបង្ហាញថាវាមិនមានពួកគេ។ ប្រព័ន្ធទាំងពីរនៃសមីការត្រូវបានគេហៅថា សមមូល (សមមូល) ប្រសិនបើដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃមួយក្នុងចំណោមពួកគេគឺជាដំណោះស្រាយរបស់ផ្សេងទៀត ហើយផ្ទុយទៅវិញដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃដំណោះស្រាយផ្សេងទៀតគឺជាដំណោះស្រាយនៃទីមួយ។

ជាឧទាហរណ៍ ដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធគឺជាលេខគូ X= 4 និង នៅ= 3. លេខទាំងនេះក៏មាន ដំណោះស្រាយតែមួយគត់ប្រព័ន្ធ . ដូច្នេះប្រព័ន្ធនៃសមីការទាំងនេះគឺសមមូល។

វិធីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

1. វិធី ការបន្ថែមពិជគណិត. ប្រសិនបើមេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់មួយចំនួននៅក្នុងសមីការទាំងពីរគឺស្មើគ្នានៅក្នុងតម្លៃដាច់ខាត នោះដោយការបន្ថែមសមីការទាំងពីរ (ឬដកមួយចេញពីសមីការផ្សេងទៀត) អ្នកអាចទទួលបានសមីការដោយមិនស្គាល់មួយ។ ដោយការដោះស្រាយសមីការនេះ មិនស្គាល់មួយត្រូវបានកំណត់ ហើយដោយការជំនួសវាទៅក្នុងសមីការមួយនៃប្រព័ន្ធ នោះមិនស្គាល់ទីពីរត្រូវបានរកឃើញ។

ឧទាហរណ៍៖ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖ ១).

នៅទីនេះ មេគុណនៅ នៅគឺស្មើគ្នាក្នុងតម្លៃដាច់ខាត ប៉ុន្តែផ្ទុយគ្នាក្នុងសញ្ញា។ ដើម្បីទទួលបានសមីការជាមួយមួយ។ សមីការមិនស្គាល់យើងបន្ថែមពាក្យប្រព័ន្ធតាមពាក្យ៖

តម្លៃដែលទទួលបាន X= 4 យើងជំនួសទៅក្នុងសមីការមួយចំនួននៃប្រព័ន្ធ ឧទាហរណ៍ ចូលទៅក្នុងទីមួយ ហើយស្វែងរកតម្លៃ នៅ: .

ចម្លើយ៖ X = 4; នៅ = 3.

2) https://pandia.ru/text/78/105/images/image029_23.gif" width="112" height="57 src=">.gif" width="220" height="87 src=" >

https://pandia.ru/text/78/105/images/image033_21.gif" width="103" height="47 src="> ។

2. វិធីសាស្រ្តជំនួស។ពីសមីការនៃប្រព័ន្ធណាមួយ យើងបង្ហាញពីភាពមិនស្គាល់មួយក្នុងលក្ខខណ្ឌដែលនៅសល់ ហើយបន្ទាប់មកយើងជំនួសតម្លៃនៃមិនស្គាល់នេះទៅក្នុងសមីការដែលនៅសល់។ ពិចារណាវិធីសាស្រ្តនេះជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ជាក់លាក់៖

1) ចូរយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញពីការមិនស្គាល់មួយពីសមីការទីមួយ X៖ https://pandia.ru/text/78/105/images/image036_18.gif" width="483" height="24 src=">

ជំនួស នៅ= 1 ទៅក្នុងកន្សោមសម្រាប់ X, យើង​ទទួល​បាន .

ចម្លើយ៖ https://pandia.ru/text/78/105/images/image039_18.gif" width="99" height="55 src=">។ ក្នុងករណីនេះ វាងាយស្រួលបង្ហាញ នៅពីសមីការទីពីរ៖

https://pandia.ru/text/78/105/images/image041_16.gif" width="660" height="24">ជំនួសតម្លៃ X= 5 ចូលទៅក្នុងកន្សោមសម្រាប់ នៅយើងទទួលបាន https://pandia.ru/text/78/105/images/image043_15.gif" width="96" height="24 src="> ។

3) តោះដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ https://pandia.ru/text/78/105/images/image045_12.gif" width="205" height="48">។ ការជំនួសតម្លៃនេះទៅក្នុងសមីការទីពីរ យើងទទួលបាន សមីការជាមួយមិនស្គាល់មួយ។ នៅ: https://pandia.ru/text/78/105/images/image049_11.gif" width="128" height="48">

ចម្លើយ៖ https://pandia.ru/text/78/105/images/image051_12.gif" width="95" height="108 src="> .

ចូរយើងសរសេរប្រព័ន្ធឡើងវិញដូចតទៅ៖ . យើងជំនួសការមិនស្គាល់ដោយការកំណត់ យើងទទួលបាន ប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរ ..gif" width="11 height=17" height="17">ទៅក្នុងសមីការទីពីរ យើងទទួលបានសមីការមួយដែលមានមិនស្គាល់មួយ៖

ការជំនួសតម្លៃ vចូលទៅក្នុងកន្សោមសម្រាប់ tយើងទទួលបាន៖ https://pandia.ru/text/78/105/images/image060_9.gif" width="92 height=51" height="51">យើងរកឃើញ។

ចម្លើយ៖ https://pandia.ru/text/78/105/images/image062_9.gif" width="120" height="57"> ដែលជាមេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់ https://pandia.ru/text/ 78/105/images/image065_10.gif" width="67" height="52 src="> បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមាន រឿង​តែ​មួយ​គត់ដំណោះស្រាយ។

ខ) ប្រសិនបើ https://pandia.ru/text/78/105/images/image067_9.gif" width="105" height="52 src="> នោះប្រព័ន្ធមាន សំណុំគ្មានកំណត់ដំណោះស្រាយ។

ឧទាហរណ៍..gif" width="47" height="48 src=">) ដូច្នេះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

ពិតជា .

https://pandia.ru/text/78/105/images/image073_7.gif" width="115" height="48 src="> ។

ឧទាហរណ៍..gif" width="91 height=48" height="48"> ឬបន្ទាប់ពីកាត់បន្ថយ ដូច្នេះប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ឧទាហរណ៍..gif" width="116 height=48" height="48"> ឬបន្ទាប់ពីកាត់ខ្លី ដូច្នេះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។

សមីការដែលមានម៉ូឌុល

នៅពេលដោះស្រាយសមីការដែលមានម៉ូឌុល គោលគំនិតនៃម៉ូឌុលត្រូវបានប្រើ ចំនួនពិត. ម៉ូឌុល (តម្លៃ​ដាច់ខាត ) ចំនួនពិត កលេខខ្លួនវាត្រូវបានគេហៅថា if និង លេខផ្ទុយ (– ក), ប្រសិនបើ https://pandia.ru/text/78/105/images/image082_7.gif" width="20" height="28">។

ដូច្នេះ https://pandia.ru/text/78/105/images/image084_8.gif" width="44" height="28 src="> ចាប់តាំងពីលេខ 3 > 0; ចាប់តាំងពីលេខគឺ 5< 0, поэтому ; , ព្រោះ (); , ដោយសារតែ .

លក្ខណៈសម្បត្តិម៉ូឌុល៖

១) https://pandia.ru/text/78/105/images/image093_7.gif" width="72" height="28 src=">

៣) https://pandia.ru/text/78/105/images/image095_8.gif" width="123" height="56 src=">

5) https://pandia.ru/text/78/105/images/image097_7.gif" width="73" height="28 src="> ។

ដែលបានផ្តល់ឱ្យថាកន្សោមនៅក្រោមម៉ូឌុលអាចយកតម្លៃពីរ https://pandia.ru/text/78/105/images/image099_8.gif" width="68" height="20 src="> បន្ទាប់មក សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យកាត់បន្ថយការដោះស្រាយសមីការពីរ៖ និង ឬ និង ..gif" width="52" height="20 src=">។ តោះពិនិត្យដោយជំនួសតម្លៃនីមួយៗ Xចូលទៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ៖ ប្រសិនបើ https://pandia.ru/text/78/105/images/image106_5.gif" width="165" height="28 src=">..gif" width="144" height=" 28 src="> ។

ចម្លើយ៖ https://pandia.ru/text/78/105/images/image104_6.gif" width="49" height="20 src="> ។

ឧទាហរណ៍..gif" width="408" height="55">

ចម្លើយ៖ https://pandia.ru/text/78/105/images/image111_6.gif" width="41" height="20 src="> ។

ឧទាហរណ៍..gif" width="137" height="20"> និង . កំណត់តម្លៃលទ្ធផល Xនៅ​លើ អ័ក្សលេខបំបែកវាទៅជាចន្លោះពេល៖

ប្រសិនបើ https://pandia.ru/text/78/105/images/image117_5.gif" width="144" height="24"> ពីព្រោះក្នុងចន្លោះពេលនេះ កន្សោមទាំងពីរស្ថិតនៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុល តិចជាងសូន្យហើយការដកម៉ូឌុលចេញ យើងត្រូវផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃកន្សោមទៅផ្ទុយ តោះដោះស្រាយសមីការលទ្ធផល៖

Gif" width="75 height=24" height="24">។ តម្លៃ​ព្រំដែន​អាច​ត្រូវ​បាន​រួម​បញ្ចូល​ទាំង​វិសាលភាព​ទី​មួយ និង​ទីពីរ ដូច​គ្នា​នឹង​តម្លៃ​អាច​ត្រូវ​បាន​រួម​បញ្ចូល​ទាំង​ទីពីរ និង​ទីបី។ ក្នុង​ចន្លោះ​ពេល​ទីពីរ សមីការរបស់យើងនឹងយកទម្រង់៖ - កន្សោមនេះមិនសមហេតុផលទេ ពោលគឺនៅចន្លោះពេលនេះ សមីការនៃដំណោះស្រាយមិនមានដំណោះស្រាយនៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុលទេ យើងយកវាទៅសូន្យ។ យើងរកឃើញឫសនៃកន្សោមទាំងអស់ ដោយ

គម្លាតបន្ទាប់ https://pandia.ru/text/78/105/images/image124_6.gif" width="225" height="20">..gif" width="52" height="20 src="> .gif" width="125" height="25">ដែល ក, ខ, គគឺជាលេខដែលបំពាន ( ក≠ 0) និង xគឺជាអថេរដែលហៅថា ការ៉េ. ដើម្បីដោះស្រាយសមីការនេះ អ្នកត្រូវគណនាការរើសអើង ឃ = ខ 2 – 4ac. ប្រសិនបើ ក ឃ> 0 បន្ទាប់មក សមីការ​ការ៉េមានដំណោះស្រាយពីរ (ឫស)៖ និង .

ប្រសិនបើ ក ឃ= 0 សមីការ​ការ៉េ​ច្បាស់​ជា​មាន​ពីរ ដំណោះស្រាយដូចគ្នា។(ឫសជាច្រើន) ។

ប្រសិនបើ ក ឃ< 0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

ប្រសិនបើមេគុណមួយក្នុងចំណោមមេគុណ ខឬ គ សូន្យបន្ទាប់មកសមីការ quadratic អាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយមិនចាំបាច់គណនាការរើសអើង៖

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image131_5.gif" width="28" height="18 src="> x(ពូថៅ+ ខ)=0

2)ពូថៅ 2 + គ = 0 ពូថៅ 2 = – គ; ប្រសិនបើ https://pandia.ru/text/78/105/images/image135_3.gif" width="101" height="52">។

មានភាពអាស្រ័យរវាងមេគុណ និងឫសនៃសមីការការ៉េ ដែលត្រូវបានគេស្គាល់ថាជារូបមន្ត ឬទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា៖

Bisquareសមីការគឺជាសមីការនៃទម្រង់ https://pandia.ru/text/78/105/images/image138_4.gif" width="53" height="29">បន្ទាប់មកពីសមីការដើមយើងទទួលបានសមីការបួនជ្រុង ពី ដែលយើងរកឃើញ នៅ, ហើយ​បន្ទាប់​មក Xនេះបើយោងតាមរូបមន្ត។

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ . យើងនាំយកកន្សោមនៅក្នុងផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពទៅ កត្តា​កំណត់​រួម..gif" width="212" height="29 src=">។ យើងដោះស្រាយសមីការការ៉េលទ្ធផល៖ , នៅក្នុងសមីការនេះ។ ក= 1, ខ= –2,គ= -15 នោះអ្នករើសអើងគឺស្មើនឹង៖ ឃ = ខ 2 – 4ac= 64. ឫសសមីការ៖ , ..gif" width="130 height=25" height="25">។ យើងធ្វើការជំនួស។ បន្ទាប់មកសមីការក្លាយជា គឺជាសមីការ quadratic, ដែលជាកន្លែងដែល ក= 1, ខ= – 4,គ= 3, ការរើសអើងរបស់វាគឺ៖ ឃ = ខ 2 – 4ac = 16 – 12 = 4.

ឫសគល់នៃសមីការការ៉េគឺស្មើគ្នា រៀងគ្នា៖ និង .

ឫសគល់នៃសមីការដើម , , , ..gif" width="78" height="51"> ដែល ភី.អិន(x) និង ល្ងាច(x) គឺជាពហុនាមនៃដឺក្រេ ននិង មរៀងៗខ្លួន។ ប្រភាគគឺសូន្យ ប្រសិនបើភាគយកជាសូន្យ ហើយភាគបែងគឺមិនមែនទេ ប៉ុន្តែសមីការពហុនាមបែបនេះត្រូវបានទទួលជាចម្បងតែបន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូររយៈពេលវែង ការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការមួយទៅសមីការមួយទៀត។ ដូច្នេះនៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយ សមីការនីមួយៗត្រូវបានជំនួសដោយសមីការថ្មីមួយចំនួន ហើយសមីការថ្មីអាចមានឫសថ្មី។ ដើម្បីអនុវត្តតាមការផ្លាស់ប្តូរទាំងនេះនៅក្នុងឫស ដើម្បីការពារការបាត់បង់ឫស និងដើម្បីអាចបដិសេធការបន្ថែមគឺជាភារកិច្ច ការសម្រេចចិត្តត្រឹមត្រូវ។សមីការ។

វាច្បាស់ណាស់នោះ។ វិធី​ដែល​ល្អ​បំផុត- រាល់ពេលដែលជំនួសសមីការមួយជាមួយនឹងសមមូលមួយ នោះឫសនៃសមីការចុងក្រោយនឹងជាឫសគល់នៃសមីការដើម។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយដូចជា ផ្លូវល្អឥតខ្ចោះពិបាកអនុវត្តក្នុងការអនុវត្ត។ តាមក្បួនមួយ សមីការត្រូវបានជំនួសដោយលទ្ធផលរបស់វា ដែលមិនចាំបាច់ស្មើនឹងវាទាល់តែសោះ ខណៈពេលដែលឫសទាំងអស់នៃសមីការទីមួយ គឺជាឫសគល់នៃសមីការទីពីរ ពោលគឺការបាត់បង់ឫសមិនកើតឡើងទេ ប៉ុន្តែអ្វីដែលលើសពីសមីការ។ អាចលេចឡើង (ឬមិនលេចឡើង) ។ ក្នុងករណីដែលយ៉ាងហោចណាស់ម្តងក្នុងដំណើរការបំប្លែង សមីការត្រូវបានជំនួសដោយអសមភាពមួយ យើងត្រូវការ ការត្រួតពិនិត្យជាកាតព្វកិច្ចឫសបានទទួល។

ដូច្នេះប្រសិនបើការសម្រេចចិត្តត្រូវបានអនុវត្តដោយគ្មានការវិភាគអំពីសមមូលនិងប្រភពនៃការកើតឡើង ឫសខាងក្រៅ, ពិនិត្យគឺ ផ្នែកកាតព្វកិច្ចដំណោះស្រាយ។ បើគ្មានការផ្ទៀងផ្ទាត់ទេ ដំណោះស្រាយនឹងមិនត្រូវបានចាត់ទុកថាពេញលេញទេ ទោះបីជាឫស extraneous មិនលេចឡើងក៏ដោយ។ នៅពេលដែលពួកគេបានបង្ហាញខ្លួន ហើយមិនត្រូវបានបោះចោល នោះការសម្រេចចិត្តនេះគឺខុសធម្មតា។

នេះគឺជាលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃពហុនាម៖

ឫសគល់នៃពហុធាហៅតម្លៃ xដែលពហុនាមស្មើនឹងសូន្យ។ ពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រ n មានពិតប្រាកដ នឫស។ ប្រសិនបើសមីការពហុនាមត្រូវបានសរសេរជា , បន្ទាប់មក កន្លែងណា x 1, x 2,…, xnគឺជាឫសគល់នៃសមីការ។

ពហុនាមណាមួយមាន សញ្ញាបត្រជាមួយនឹងមេគុណពិតប្រាកដមានយ៉ាងហោចណាស់មួយ។ ឫសពិតប៉ុន្តែជាទូទៅគាត់តែងតែ លេខសេសឫសពិត។ ពហុធានៃដឺក្រេគូប្រហែលជាមិនមានឫសពិតទេ ហើយនៅពេលដែលពួកគេធ្វើ លេខរបស់ពួកគេគឺស្មើ។

ពហុធាក្នុងកាលៈទេសៈណាក៏ដោយអាចត្រូវបានបំបែកទៅជា កត្តាលីនេអ៊ែរនិងត្រីកោណការ៉េជាមួយ ការរើសអើងអវិជ្ជមាន. ប្រសិនបើយើងដឹងពីឫសរបស់វា។ x 1 បន្ទាប់មក ភី.អិន(x) = (x - x 1) Pn- 1(x).

ប្រសិនបើ ក ភី.អិន(x) = 0 គឺជាសមីការនៃដឺក្រេគូ បន្ទាប់មកបន្ថែមលើវិធីសាស្រ្តនៃកត្តាវា អ្នកអាចព្យាយាមណែនាំការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរ ដោយមានជំនួយពីដឺក្រេនៃសមីការនឹងថយចុះ។

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ៖

សមីការនៃសញ្ញាប័ត្រទីបី (សេស) នេះមានន័យថា វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការបង្ហាញអថេរជំនួយដែលនឹងបន្ថយកម្រិតនៃសមីការ។ វាត្រូវតែត្រូវបានដោះស្រាយដោយកត្តាផ្នែកខាងឆ្វេង ដែលយើងបើកតង្កៀបជាមុនសិន ហើយបន្ទាប់មកសរសេរវាជាទម្រង់ស្តង់ដារ។

យើង​ទទួល​បាន: x 3 + 5x – 6 = 0.

នេះគឺជាសមីការកាត់បន្ថយ (មេគុណនៅ សញ្ញាបត្រខ្ពស់បំផុត ស្មើនឹងមួយ។) ដូច្នេះយើងកំពុងស្វែងរកឫសគល់របស់វាក្នុងចំណោមកត្តានៃពាក្យឥតគិតថ្លៃ - 6. ទាំងនេះគឺជាលេខ ±1, ±2, ±3, ±6។ ការជំនួស x= 1 ទៅក្នុងសមីការ យើងឃើញថា x= 1 គឺជាឫសរបស់វា ដូច្នេះពហុនាម x 3 + 5x-6 = 0 ចែកដោយ ( x- 1) គ្មានសំណល់។ ចូរយើងធ្វើការបែងចែកនេះ៖

x 3 + 5x –6 = 0 x- 1

x 3 – x 2 x 2+x + 6

x 2 + 5x- 6

x 2– x

https://pandia.ru/text/78/105/images/image167_4.gif"> ៦ x- 6

https://pandia.ru/text/78/105/images/image168_4.gif" width="50">៦ x- 6

នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល x 3 + 5x –6 = 0; (x- 1)(x 2+ x + 6) = 0

សមីការទីមួយផ្តល់ឫស x= 1 ដែលត្រូវបានជ្រើសរើសរួចហើយ និងនៅក្នុងសមីការទីពីរ ឃ< 0 វាមិនមានដំណោះស្រាយពិតប្រាកដទេ។ ចាប់តាំងពី ODZ នៃសមីការនេះ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការពិនិត្យមើល។

ឧទាហរណ៍..gif" width="52" height="21 src=">។ ប្រសិនបើអ្នកគុណកត្តាទីមួយជាមួយទីបី និងទីពីរជាមួយលេខបួន នោះផលិតផលទាំងនេះនឹងមានផ្នែកដូចគ្នា ដែលអាស្រ័យលើ x: (x 2 + 4x – 5)(x 2 + 4x – = 0.

អនុញ្ញាតឱ្យ x 2 + 4x = yបន្ទាប់មកយើងសរសេរសមីការក្នុងទម្រង់ ( y – 5)(y- 21) – 297 = 0.

សមីការការ៉េនេះមានដំណោះស្រាយ៖ y 1 = 32, y 2 = - 6 ..gif" width="140" height="61 src=">; ODZ៖ x ≠ – 9.

ប្រសិនបើយើងកាត់បន្ថយសមីការនេះទៅជាភាគបែងធម្មតា ពហុធានៃដឺក្រេទីបួននឹងបង្ហាញនៅក្នុងភាគយក។ ដូច្នេះវាត្រូវបានអនុញ្ញាតឱ្យផ្លាស់ប្តូរអថេរដែលនឹងបន្ថយកម្រិតនៃសមីការ។ ដូច្នេះវាមិនចាំបាច់ក្នុងការកាត់បន្ថយសមីការនេះភ្លាមៗទៅជាភាគបែងរួមនោះទេ។ នៅទីនេះអ្នកអាចមើលឃើញថានៅខាងឆ្វេងគឺជាផលបូកនៃការ៉េ។ ដូច្នេះ អ្នកអាចបន្ថែមវាទៅ ការ៉េពេញផលបូកឬភាពខុសគ្នា។ តាមពិត ដក និងបន្ថែមផលគុណនៃមូលដ្ឋាននៃការ៉េទាំងនេះពីរដង៖ https://pandia.ru/text/78/105/images/image179_3.gif" width="80" height="59 src="> បន្ទាប់មក y 2 + 18y– 40 = 0. យោងតាមទ្រឹស្តីបទ Vieta y 1 = 2; y 2 = – 20. https://pandia.ru/text/78/105/images/image183_4.gif" width="108 height=32" height="32"> ហើយនៅក្នុងទីពីរ ឃ< 0. Эти корни удовлетворяют ОДЗ

ចម្លើយ៖ https://pandia.ru/text/78/105/images/image185_4.gif" width="191 height=51" height="51">.gif" width="73 height=48" height=" ៤៨"> .gif" width="132" height="50 src="> ។

យើងទទួលបានសមីការការ៉េ ក(y 2 https://pandia.ru/text/78/105/images/image192_3.gif" width="213" height="31">។

សមីការមិនសមហេតុផល

មិនសមហេតុផលហៅថាសមីការដែលអថេរត្រូវបានផ្ទុកនៅក្រោមសញ្ញានៃរ៉ាឌីកាល់ (ឫស ) ឬនៅក្រោមសញ្ញានៃការកើនឡើងដល់ សញ្ញាបត្រប្រភាគ()..gif" width="120" height="32"> និង មានដែនដូចគ្នានៃនិយមន័យនៃមិនស្គាល់។ ពេល​ធ្វើ​ការ​ការ៉េ​សមីការ​ទីមួយ និង​ទីពីរ យើង​ទទួល​បាន​សមីការ​ដូចគ្នា។ . ដំណោះស្រាយនៃសមីការនេះគឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការមិនសមហេតុផលទាំងពីរ។

I. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា។

១.១. និយមន័យ និងគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាន

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល គឺជាសមីការដែលទាក់ទងនឹងអថេរឯករាជ្យ x, មុខងារដែលចង់បាន yនិងដេរីវេឬឌីផេរ៉ង់ស្យែលរបស់វា។

ជានិមិត្តរូប សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",..,y (n))=0

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេហៅថាធម្មតា ប្រសិនបើមុខងារដែលចង់បានអាស្រ័យលើអថេរឯករាជ្យមួយ។

ដោយការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេហៅថាមុខងារដែលប្រែសមីការនេះទៅជាអត្តសញ្ញាណ។

លំដាប់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺ​ជា​លំដាប់​នៃ​ដេរីវេ​ខ្ពស់​បំផុត​ក្នុង​សមីការ​នេះ។

ឧទាហរណ៍។

1. ពិចារណាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ

ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះគឺអនុគមន៍ y = 5 ln x ។ ជាការពិតដោយការជំនួស y"នៅក្នុងសមីការយើងទទួលបាន - អត្តសញ្ញាណមួយ។

ហើយនេះមានន័យថាអនុគមន៍ y = 5 ln x– គឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនេះ។

2. ពិចារណាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរ y" - 5y" + 6y = 0. មុខងារគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះ។

ពិត។

ការជំនួសកន្សោមទាំងនេះទៅក្នុងសមីការ យើងទទួលបាន៖ , - អត្តសញ្ញាណ។

ហើយនេះមានន័យថាមុខងារគឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនេះ។

ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាដំណើរការនៃការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេហៅថាមុខងារនៃទម្រង់ ដែលរាប់បញ្ចូលទាំងថេរបំពានឯករាជ្យជាច្រើនដូចជាលំដាប់នៃសមីការ។

ដំណោះស្រាយផ្នែកនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយដែលទទួលបានពីដំណោះស្រាយទូទៅសម្រាប់តម្លៃលេខផ្សេងគ្នានៃអថេរបំពាន។ តម្លៃនៃអថេរបំពានត្រូវបានរកឃើញនៅតម្លៃដំបូងជាក់លាក់នៃអាគុយម៉ង់ និងមុខងារ។

ក្រាហ្វនៃដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេហៅថា ខ្សែកោងអាំងតេក្រាល។.

ឧទាហរណ៍

1. ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ

xdx + ydy = 0, ប្រសិនបើ y= 4 នៅ x = 3.

ដំណោះស្រាយ។ ការរួមបញ្ចូលផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការយើងទទួលបាន

មតិយោបល់។ ថេរ C បំពានដែលទទួលបានជាលទ្ធផលនៃការធ្វើសមាហរណកម្មអាចត្រូវបានតំណាងនៅក្នុងទម្រង់ណាមួយដែលងាយស្រួលសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរបន្ថែមទៀត។ ក្នុងករណីនេះដោយគិតគូរពីសមីការ Canonical នៃរង្វង់វាងាយស្រួលក្នុងការតំណាងឱ្យថេរ С នៅក្នុងទម្រង់ .

គឺជាដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង y = 4 នៅ x = 3 ត្រូវបានរកឃើញពីទូទៅដោយជំនួសលក្ខខណ្ឌដំបូងចូលទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

ការជំនួស C=5 ទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ យើងទទួលបាន x2+y2 = 5 2 .

នេះគឺជាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលទទួលបានពីដំណោះស្រាយទូទៅក្រោមលក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

2. ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ដំណោះស្រាយនៃសមីការនេះគឺជាមុខងារណាមួយនៃទម្រង់ ដែល C គឺជាថេរតាមអំពើចិត្ត។ ជាការពិត ការជំនួសសមីការ យើងទទួលបាន៖ , .

ដូច្នេះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនេះមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់ ចាប់តាំងពីសម្រាប់តម្លៃផ្សេងគ្នានៃ C ថេរ សមភាពកំណត់ ដំណោះស្រាយផ្សេងៗសមីការ។

ឧទាហរណ៍ ដោយការជំនួសដោយផ្ទាល់ មនុស្សម្នាក់អាចផ្ទៀងផ្ទាត់ថាមុខងារ គឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការ។

បញ្ហាដែលតម្រូវឱ្យស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការ y" = f(x, y)ការបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង y(x0) = y0ត្រូវបានគេហៅថាបញ្ហា Cauchy ។

ដំណោះស្រាយសមីការ y" = f(x, y)បំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង, y(x0) = y0ត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហា Cauchy ។

ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហា Cauchy មានអត្ថន័យធរណីមាត្រសាមញ្ញ។ ជាការពិតណាស់យោងទៅតាមនិយមន័យទាំងនេះដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា Cauchy y" = f(x, y)តាមលក្ខខណ្ឌ y(x0) = y0មានន័យថាស្វែងរកខ្សែកោងអាំងតេក្រាលនៃសមីការ y" = f(x, y)ដែលឆ្លងកាត់ ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ M0 (x0,y ០).

II. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ

២.១. គំនិតជាមូលដ្ឋាន

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ គឺជាសមីការនៃទម្រង់ F(x,y,y") = 0 ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទី 1 រួមបញ្ចូលដេរីវេទី 1 និងមិនរួមបញ្ចូលនិស្សន្ទវត្ថុលំដាប់ខ្ពស់ជាង។

សមីការ y" = f(x, y)ត្រូវបានគេហៅថាសមីការលំដាប់ទីមួយដែលត្រូវបានដោះស្រាយដោយគោរពទៅនឹងដេរីវេ។

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយគឺជាមុខងារនៃទម្រង់ ដែលផ្ទុកនូវចំនួនថេរតាមអំពើចិត្តមួយ។

ឧទាហរណ៍។ពិចារណាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ។

ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះគឺមុខងារ។

ជាការពិត ការជំនួសនៅក្នុងសមីការនេះជាមួយនឹងតម្លៃរបស់វា យើងទទួលបាន

នោះគឺ 3x=3x

ដូច្នេះមុខងារគឺ ដំណោះស្រាយទូទៅសមីការ​សម្រាប់​ថេរ C.

ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការនេះ ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង y(1)=1ការជំនួសលក្ខខណ្ឌដំបូង x=1, y=1ទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ យើងទទួលបានមកពីណា C=0.

ដូច្នេះ យើងទទួលបានដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយពីទូទៅដោយជំនួសទៅក្នុងសមីការនេះ តម្លៃលទ្ធផល C=0គឺជាការសម្រេចចិត្តឯកជន។

២.២. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយអថេរដែលអាចបំបែកបាន។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយអថេរដែលអាចបំបែកបាន គឺជាសមីការនៃទម្រង់៖ y"=f(x)g(y)ឬតាមរយៈឌីផេរ៉ង់ស្យែល កន្លែងណា f(x)និង g(y)ត្រូវបានផ្តល់មុខងារ។

សម្រាប់អ្នកទាំងនោះ yសម្រាប់ការដែល សមីការ y"=f(x)g(y)គឺស្មើនឹងសមីការ ដែលក្នុងនោះអថេរ yមានវត្តមានតែនៅផ្នែកខាងឆ្វេងប៉ុណ្ណោះ ហើយអថេរ x គឺមានវត្តមានតែនៅផ្នែកខាងស្តាំប៉ុណ្ណោះ។ ពួកគេនិយាយថា "នៅក្នុងសមីការ y"=f(x)g(yការបំបែកអថេរ។

ប្រភេទសមីការ ត្រូវបានគេហៅថាសមីការអថេរដាច់ដោយឡែក។

បន្ទាប់ពីបញ្ចូលផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ នៅលើ x, យើង​ទទួល​បាន G(y) = F(x) + Cគឺជាដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ ដែល G(y)និង F(x)គឺជាអង់ទីករដេរីវេមួយចំនួន រៀងគ្នានៃមុខងារ និង f(x), គថេរដោយបំពាន។

ក្បួនដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយជាមួយអថេរដែលអាចបំបែកបាន។

ឧទាហរណ៍ ១

ដោះស្រាយសមីការ y" = xy

ដំណោះស្រាយ។ ដេរីវេនៃមុខងារមួយ។ y"ជំនួយ​ដោយ

យើងបែងចែកអថេរ

ចូរយើងបញ្ចូលផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាព៖

ឧទាហរណ៍ ២

2yy" = 1- 3x 2, ប្រសិនបើ y 0 = 3នៅ x0 = 1

នេះគឺជាសមីការអថេរដាច់ដោយឡែក។ ចូរយើងតំណាងវានៅក្នុងឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងសរសេរសមីការនេះឡើងវិញក្នុងទម្រង់ ពី​ទីនេះ

ការរួមបញ្ចូលផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពចុងក្រោយយើងរកឃើញ

ការជំនួសតម្លៃដើម x 0 = 1, y 0 = 3ស្វែងរក ពី 9=1-1+គ, i.e. គ = ៩.

ដូច្នេះអាំងតេក្រាលផ្នែកដែលចង់បាននឹងមាន ឬ

ឧទាហរណ៍ ៣

សរសេរសមីការសម្រាប់ខ្សែកោងឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ M(2;-3)និងមានតង់សង់ជាមួយនឹងជម្រាលមួយ។

ដំណោះស្រាយ។ យោងតាមលក្ខខណ្ឌ

នេះគឺជាសមីការអថេរដែលអាចបំបែកបាន។ ការបែងចែកអថេរយើងទទួលបាន៖

ការរួមបញ្ចូលផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ យើងទទួលបាន៖

ដោយប្រើលក្ខខណ្ឌដំបូង, x=2និង y=-៣ស្វែងរក គ:

ដូច្នេះសមីការដែលចង់បានមានទម្រង់

២.៣. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីមួយ

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់ទីមួយ គឺជាសមីការនៃទម្រង់ y" = f(x)y + g(x)

កន្លែងណា f(x)និង g(x)- មុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យមួយចំនួន។

ប្រសិនបើ ក g(x)=0បន្ទាប់មកសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរត្រូវបានគេហៅថា homogeneous ហើយមានទម្រង់៖ y" = f (x) y

ប្រសិនបើបន្ទាប់មកសមីការ y" = f(x)y + g(x)ហៅ​ថា​ខុស​គ្នា

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នាលីនេអ៊ែរ y" = f (x) yផ្តល់ដោយរូបមន្ត៖ កន្លែងណា ពីគឺ​ជា​ថេរ​ដែល​បំពាន។

ជាពិសេសប្រសិនបើ C \u003d 0,បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយគឺ y=0ប្រសិនបើលីនេអ៊ែរ សមីការដូចគ្នា។មានទម្រង់ y" = kyកន្លែងណា kគឺថេរខ្លះ បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយទូទៅរបស់វាមានទម្រង់៖ .

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល inhomogeneous លីនេអ៊ែរ y" = f(x)y + g(x)ផ្តល់ដោយរូបមន្ត ,

ទាំងនោះ។ គឺស្មើនឹងផលបូកនៃដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នាលីនេអ៊ែរដែលត្រូវគ្នា និងដំណោះស្រាយពិសេសនៃសមីការនេះ។

សម្រាប់សមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរនៃទម្រង់ y" = kx + b,

កន្លែងណា kនិង ខ- លេខមួយចំនួន និងដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនឹងជាមុខងារថេរ។ ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅមានទម្រង់។

ឧទាហរណ៍. ដោះស្រាយសមីការ y" + 2y +3 = 0

ដំណោះស្រាយ។ យើងតំណាងឱ្យសមីការក្នុងទម្រង់ y" = −2y − 3កន្លែងណា k=-2, b=-3ដំណោះស្រាយទូទៅត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្ត។

ដូច្នេះ កន្លែងដែល C ជាថេរដែលបំពាន។

២.៤. ដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីមួយដោយវិធីសាស្ត្រ Bernoulli

ការស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់ទីមួយ y" = f(x)y + g(x)កាត់បន្ថយការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលពីរជាមួយអថេរដែលបំបែកដោយការប្រើជំនួស y = យូកន្លែងណា យូនិង v- មុខងារមិនស្គាល់ពី x. វិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយនេះត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្ត្រ Bernoulli ។

ក្បួនដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់ទីមួយ

y" = f(x)y + g(x)

1. បញ្ចូលការជំនួស y = យូ.

2. បែងចែកសមភាពនេះ។ y"=u"v + uv"

3. ជំនួស yនិង y"ទៅក្នុងសមីការនេះ៖ u"v + uv" =f(x)uv + g(x)ឬ u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. ដាក់ជាក្រុមលក្ខខណ្ឌនៃសមីការដូច្នេះ យូយកវាចេញពីតង្កៀប៖

5. ពីតង្កៀប ស្មើវាទៅសូន្យ រកមុខងារ

នេះគឺជាសមីការដែលអាចបំបែកបាន៖

ចែកអថេរ និងទទួលបាន៖

កន្លែងណា . .

6. ជំនួសតម្លៃដែលទទួលបាន vទៅក្នុងសមីការ (ពីធាតុទី ៤)៖

ហើយស្វែងរកមុខងារ នេះជាសមីការដែលអាចបំបែកបាន៖

7. សរសេរដំណោះស្រាយទូទៅក្នុងទម្រង់៖ , i.e. .

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការ y" = -2y +3 = 0ប្រសិនបើ y=1នៅ x=0

ដំណោះស្រាយ។ តោះដោះស្រាយវាជាមួយការជំនួស y=uv,.y"=u"v + uv"

ការជំនួស yនិង y"នៅក្នុងសមីការនេះយើងទទួលបាន

ការដាក់ជាក្រុមពាក្យទីពីរ និងទីបីនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ យើងដកកត្តារួមចេញ យូ ចេញពីតង្កៀប

យើងយកកន្សោមក្នុងតង្កៀបទៅសូន្យ ហើយដោយបានដោះស្រាយសមីការលទ្ធផល យើងរកឃើញមុខងារ v = v(x)

យើងទទួលបានសមីការជាមួយអថេរដាច់ដោយឡែក។ យើងរួមបញ្ចូលផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការនេះ៖ ស្វែងរកមុខងារ v:

ជំនួសតម្លៃលទ្ធផល vនៅក្នុងសមីការយើងទទួលបាន៖

នេះគឺជាសមីការអថេរដាច់ដោយឡែក។ យើងរួមបញ្ចូលផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ៖ ចូរយើងស្វែងរកមុខងារ u = u(x,c) តោះស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅ៖ ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង y=1នៅ x=0:

III. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ខ្ពស់ជាង

៣.១. និយមន័យ និងគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាន

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរ គឺជាសមីការដែលមាននិស្សន្ទវត្ថុមិនខ្ពស់ជាងលំដាប់ទីពីរ។ ក្នុងករណីទូទៅ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរត្រូវបានសរសេរជា៖ F(x,y,y",y") = 0

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរគឺជាមុខងារនៃទម្រង់ ដែលរួមមានចំនួនថេរបំពានពីរ គ១និង គ២.

ដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរគឺជាដំណោះស្រាយដែលទទួលបានពីទូទៅសម្រាប់តម្លៃមួយចំនួននៃថេរតាមអំពើចិត្ត។ គ១និង គ២.

៣.២. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីពីរជាមួយ សមាមាត្រថេរ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីពីរជាមួយនឹងមេគុណថេរត្រូវបានគេហៅថាសមីការនៃទម្រង់ y" + py" + qy = 0កន្លែងណា ទំនិង qគឺជាតម្លៃថេរ។

ក្បួនដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នាលំដាប់ទីពីរជាមួយនឹងមេគុណថេរ

1. សរសេរសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលក្នុងទម្រង់៖ y" + py" + qy = 0.

2. ចងក្រងសមីការលក្ខណៈរបស់វា ដោយបញ្ជាក់ y"តាមរយៈ r2, y"តាមរយៈ r, yក្នុង 1: r2 + pr + q = 0

ប្រព័ន្ធសមីការដែលទទួលបាន កម្មវិធីធំទូលាយក្នុងវិស័យសេដ្ឋកិច្ច គំរូគណិតវិទ្យា ដំណើរការផ្សេងៗ. ឧទាហរណ៍ នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហានៃការគ្រប់គ្រងផលិតកម្ម និងការធ្វើផែនការ ផ្លូវដឹកជញ្ជូន (បញ្ហាដឹកជញ្ជូន) ឬការដាក់ឧបករណ៍។

ប្រព័ន្ធសមីការត្រូវបានប្រើប្រាស់មិនត្រឹមតែក្នុងវិស័យគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងក្នុងរូបវិទ្យា គីមីវិទ្យា និងជីវវិទ្យាផងដែរ នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហានៃការស្វែងរកទំហំប្រជាជន។

ប្រព័ន្ធ សមីការលីនេអ៊ែរដាក់ឈ្មោះសមីការពីរ ឬច្រើនជាមួយអថេរជាច្រើន ដែលវាចាំបាច់ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយរួម។ លំដាប់នៃលេខបែបនេះ ដែលសមីការទាំងអស់ក្លាយជាសមភាពពិត ឬបង្ហាញថាលំដាប់នោះមិនមានទេ។

សមីការលីនេអ៊ែរ

សមីការនៃទម្រង់ ax+by=c ត្រូវបានគេហៅថាលីនេអ៊ែរ។ ការរចនា x, y គឺមិនស្គាល់ តម្លៃដែលត្រូវតែរកឃើញ, b, a គឺជាមេគុណនៃអថេរ, c គឺជាពាក្យសេរីនៃសមីការ។
ការដោះស្រាយសមីការដោយការគូសគំនូសក្រាហ្វរបស់វានឹងមើលទៅដូចជាបន្ទាត់ត្រង់ ចំណុចទាំងអស់គឺជាដំណោះស្រាយនៃពហុធា។

ប្រភេទនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

សាមញ្ញបំផុតគឺជាឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរ X និង Y ។

F1(x,y) = 0 និង F2(x, y) = 0 ដែល F1,2 ជាអនុគមន៍ និង (x, y) គឺជាអថេរអនុគមន៍។

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ - វាមានន័យថាដើម្បីស្វែងរកតម្លៃបែបនេះ (x, y) ដែលប្រព័ន្ធក្លាយជាសមភាពពិត ឬដើម្បីកំណត់ថាមិនមានតម្លៃសមស្របនៃ x និង y

គូនៃតម្លៃ (x, y) ដែលសរសេរជាចំណុចកូអរដោណេត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។

ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយរួមមួយ ឬមិនមានដំណោះស្រាយ នោះគេហៅថាសមមូល។

ប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរ គឺជាប្រព័ន្ធ ផ្នែកខាងស្តាំដែលស្មើនឹងសូន្យ។ ប្រសិនបើផ្នែកខាងស្តាំបន្ទាប់ពីសញ្ញា "ស្មើគ្នា" មានតម្លៃឬត្រូវបានបង្ហាញដោយមុខងារនោះប្រព័ន្ធបែបនេះមិនដូចគ្នាទេ។

ចំនួនអថេរអាចមានច្រើនជាងពីរ បន្ទាប់មកយើងគួរតែនិយាយអំពីឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរបី ឬច្រើនជាងនេះ។

ប្រឈមមុខនឹងប្រព័ន្ធ សិស្សសាលាសន្មតថាចំនួនសមីការត្រូវតែស្របគ្នាជាមួយនឹងចំនួនមិនស្គាល់ ប៉ុន្តែនេះមិនមែនដូច្នោះទេ។ ចំនួនសមីការក្នុងប្រព័ន្ធមិនអាស្រ័យលើអថេរទេ វាអាចមានចំនួនច្រើនតាមអំពើចិត្ត។

វិធីសាស្រ្តសាមញ្ញ និងស្មុគស្មាញសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

មិនមានរឿងធម្មតាទេ។ វិធីសាស្រ្តវិភាគដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធស្រដៀងគ្នា វិធីសាស្រ្តទាំងអស់គឺផ្អែកលើដំណោះស្រាយលេខ។ អេ វគ្គសិក្សាសាលាគណិតវិទ្យា​ពិពណ៌នា​យ៉ាង​លម្អិត​អំពី​វិធីសាស្ត្រ​ដូចជា​ការ​បំប្លែង ការ​បន្ថែម​ពិជគណិត ការ​ជំនួស ព្រម​ទាំង​វិធីសាស្ត្រ​ក្រាហ្វិក និង​ម៉ាទ្រីស ដំណោះស្រាយ​ដោយ​វិធីសាស្ត្រ Gauss។

ភារកិច្ចចម្បងក្នុងការបង្រៀនវិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយគឺបង្រៀនពីរបៀបវិភាគប្រព័ន្ធឱ្យបានត្រឹមត្រូវនិងស្វែងរក ក្បួនដោះស្រាយល្អបំផុតដំណោះស្រាយសម្រាប់ឧទាហរណ៍នីមួយៗ។ រឿងចំបងគឺមិនត្រូវទន្ទេញនូវប្រព័ន្ធនៃច្បាប់ និងសកម្មភាពសម្រាប់វិធីសាស្រ្តនីមួយៗនោះទេ ប៉ុន្តែត្រូវយល់ពីគោលការណ៍នៃការអនុវត្តវិធីសាស្ត្រជាក់លាក់មួយ។

ការដោះស្រាយឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរនៃថ្នាក់ទី 7 នៃកម្មវិធី អនុវិទ្យាល័យសាមញ្ញណាស់ ហើយពន្យល់យ៉ាងលម្អិត។ នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាណាមួយស្តីពីគណិតវិទ្យា ផ្នែកនេះត្រូវបានផ្តល់ការយកចិត្តទុកដាក់គ្រប់គ្រាន់។ ដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្រ្ត Gauss និង Cramer ត្រូវបានសិក្សាលម្អិតបន្ថែមទៀតនៅក្នុងវគ្គសិក្សាដំបូងនៃគ្រឹះស្ថានឧត្តមសិក្សា។

ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយវិធីសាស្រ្តជំនួស

សកម្មភាពនៃវិធីសាស្រ្តជំនួសគឺសំដៅបង្ហាញពីតម្លៃនៃអថេរមួយតាមរយៈទីពីរ។ កន្សោមត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការដែលនៅសល់ បន្ទាប់មកវាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់អថេរតែមួយ។ សកម្មភាពត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតអាស្រ័យលើចំនួនមិនស្គាល់នៅក្នុងប្រព័ន្ធ

ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរនៃថ្នាក់ទី 7 ដោយវិធីជំនួស៖

ដូចដែលអាចមើលឃើញពីឧទាហរណ៍ អថេរ x ត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈ F(X) = 7 + Y ។ កន្សោមលទ្ធផលដែលត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការទី 2 នៃប្រព័ន្ធជំនួស X បានជួយឱ្យទទួលបានអថេរ Y នៅក្នុងសមីការទី 2 . ដំណោះស្រាយ ឧទាហរណ៍នេះ។មិនបង្កឱ្យមានការលំបាក និងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទទួលបានតម្លៃ Y ជំហានចុងក្រោយគឺត្រូវពិនិត្យមើលតម្លៃដែលទទួលបាន។

វាមិនតែងតែអាចធ្វើទៅបានដើម្បីដោះស្រាយឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយការជំនួស។ សមីការអាចមានភាពស្មុគ្រស្មាញ ហើយការបញ្ចេញមតិនៃអថេរនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃការមិនស្គាល់ទីពីរនឹងមានភាពស្មុគ្រស្មាញពេកសម្រាប់ការគណនាបន្ថែមទៀត។ នៅពេលដែលមានការមិនស្គាល់ច្រើនជាង 3 នៅក្នុងប្រព័ន្ធ ដំណោះស្រាយជំនួសក៏មិនអាចអនុវត្តបានដែរ។

ដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរ៖

ដំណោះស្រាយដោយប្រើការបន្ថែមពិជគណិត

នៅពេលស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធដោយវិធីសាស្ត្របន្ថែម ការបូកតាមពាក្យ និងគុណនៃសមីការដោយលេខផ្សេងៗត្រូវបានអនុវត្ត។ គោលដៅចុងក្រោយ ប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាគឺជាសមីការដែលមានអថេរមួយ។

សម្រាប់កម្មវិធី វិធីសាស្រ្តនេះ។វាត្រូវការការអនុវត្ត និងការសង្កេត។ វាមិនងាយស្រួលទេក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្របន្ថែមជាមួយនឹងចំនួនអថេរ 3 ឬច្រើនជាងនេះ។ ការបន្ថែមពិជគណិតមានប្រយោជន៍នៅពេលដែលសមីការមានប្រភាគ និងលេខទសភាគ។

ក្បួនដោះស្រាយសកម្មភាព៖

1. គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយចំនួនមួយចំនួន។ ជា​លទ្ធផល ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធមេគុណមួយក្នុងចំណោមមេគុណនៃអថេរត្រូវតែស្មើនឹង 1 ។
2. បន្ថែម​ពាក្យ​កន្សោម​លទ្ធផល​តាម​ពាក្យ និង​ស្វែងរក​ពាក្យ​មួយ​ដែល​មិនស្គាល់។
3. ជំនួសតម្លៃលទ្ធផលទៅក្នុងសមីការទី 2 នៃប្រព័ន្ធ ដើម្បីស្វែងរកអថេរដែលនៅសល់។

វិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយដោយការណែនាំអថេរថ្មី។

អថេរថ្មីមួយអាចត្រូវបានណែនាំ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធត្រូវការស្វែងរកដំណោះស្រាយសម្រាប់សមីការមិនលើសពីពីរ នោះចំនួននៃមិនស្គាល់ក៏មិនគួរលើសពីពីរដែរ។

វិធីសាស្ត្រនេះត្រូវបានប្រើដើម្បីសម្រួលសមីការមួយដោយណែនាំអថេរថ្មីមួយ។ សមីការថ្មីត្រូវបានដោះស្រាយដោយទាក់ទងទៅនឹងមិនស្គាល់ដែលបានបញ្ចូល ហើយតម្លៃលទ្ធផលត្រូវបានប្រើដើម្បីកំណត់អថេរដើម។

ឧទាហរណ៍បង្ហាញថាដោយការណែនាំអថេរថ្មី t វាអាចកាត់បន្ថយសមីការទី 1 នៃប្រព័ន្ធទៅស្តង់ដារ ត្រីកោណការ៉េ. អ្នកអាចដោះស្រាយពហុនាមដោយស្វែងរកអ្នករើសអើង។

វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកតម្លៃនៃអ្នករើសអើងដោយ រូបមន្តល្បី: D = b2 − 4*a*c ដែល D គឺជាអ្នករើសអើងដែលចង់បាន b, a, c គឺជាមេគុណនៃពហុនាម។ អេ ឧទាហរណ៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ a=1, b=16, c=39, ដូច្នេះ D=100 ។ ប្រសិនបើការរើសអើងធំជាងសូន្យ នោះមានដំណោះស្រាយពីរ៖ t = -b±√D / 2*a ប្រសិនបើការរើសអើងតិចជាងសូន្យ នោះមានដំណោះស្រាយតែមួយប៉ុណ្ណោះ៖ x= -b/2*a ។

ដំណោះស្រាយសម្រាប់ប្រព័ន្ធលទ្ធផលត្រូវបានរកឃើញដោយវិធីសាស្ត្របន្ថែម។

វិធីសាស្រ្តមើលឃើញសម្រាប់ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធ

សាកសមសម្រាប់ប្រព័ន្ធដែលមានសមីការ 3 ។ វិធីសាស្រ្តគឺដើម្បីកសាង អ័ក្សសំរបសំរួលក្រាហ្វនៃសមីការនីមួយៗរួមបញ្ចូលក្នុងប្រព័ន្ធ។ កូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃខ្សែកោងនឹងជាដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធ។

វិធីសាស្រ្តក្រាហ្វិកមានចំនួននៃការ nuances ។ ពិចារណាឧទាហរណ៍ជាច្រើននៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរតាមរបៀបដែលមើលឃើញ។

ដូចដែលអាចមើលឃើញពីឧទាហរណ៍ចំណុចពីរត្រូវបានសាងសង់សម្រាប់បន្ទាត់នីមួយៗតម្លៃនៃអថេរ x ត្រូវបានជ្រើសរើសតាមអំពើចិត្ត: 0 និង 3. ដោយផ្អែកលើតម្លៃនៃ x តម្លៃសម្រាប់ y ​​ត្រូវបានរកឃើញ: 3 និង 0. ចំនុចដែលមានកូអរដោណេ (0, 3) និង (3, 0) ត្រូវបានសម្គាល់នៅលើក្រាហ្វ ហើយភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់មួយ។

ជំហានត្រូវធ្វើម្តងទៀតសម្រាប់សមីការទីពីរ។ ចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់គឺជាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ។

អេ ឧទាហរណ៍បន្ទាប់តម្រូវឱ្យស្វែងរក ដំណោះស្រាយក្រាហ្វិកប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ៖ 0.5x-y+2=0 និង 0.5x-y-1=0 ។

ដូចដែលអាចមើលឃើញពីឧទាហរណ៍ ប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយទេ ពីព្រោះក្រាហ្វគឺស្របគ្នា និងមិនប្រសព្វតាមបណ្តោយប្រវែងទាំងមូលរបស់វា។

ប្រព័ន្ធពីឧទាហរណ៍ទី 2 និងទី 3 គឺស្រដៀងគ្នាប៉ុន្តែនៅពេលសាងសង់វាច្បាស់ថាដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេខុសគ្នា។ វាគួរតែត្រូវបានចងចាំថាវាមិនតែងតែអាចនិយាយបានថាតើប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយឬអត់នោះទេវាតែងតែចាំបាច់ដើម្បីបង្កើតក្រាហ្វ។

ម៉ាទ្រីសនិងពូជរបស់វា។

ម៉ាទ្រីសត្រូវបានប្រើសម្រាប់ អក្សរកាត់ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ តារាងត្រូវបានគេហៅថាម៉ាទ្រីស។ ប្រភេទពិសេសពោរពេញទៅដោយលេខ។ n * m មាន n - ជួរដេក និង m - ជួរឈរ។

ម៉ាទ្រីស​មួយ​គឺ​ការ៉េ​នៅ​ពេល​ចំនួន​ជួរ​ឈរ​និង​ជួរ​ដេក​ស្មើ។ ម៉ាទ្រីស-វ៉ិចទ័រ គឺ​ជា​ម៉ាទ្រីស​ជួរ​ឈរ​តែ​មួយ​ដែល​មាន​ចំនួន​ជួរ​ដេក​ដែល​អាច​ធ្វើ​ទៅ​បាន​គ្មាន​កំណត់។ ម៉ាទ្រីសជាមួយឯកតាតាមអង្កត់ទ្រូងមួយនិងផ្សេងទៀត។ ធាតុសូន្យហៅថាឯកវចនៈ។

ម៉ាទ្រីស​បញ្ច្រាស​គឺ​ជា​ម៉ាទ្រីស​បែប​នេះ ពេល​គុណ​នឹង​មួយ​ដើម​ប្រែ​ទៅ​ជា​ឯកតា​មួយ ម៉ាទ្រីស​បែប​នេះ​មាន​សម្រាប់​តែ​ការ៉េ​ដើម​ប៉ុណ្ណោះ។

ច្បាប់សម្រាប់បំប្លែងប្រព័ន្ធសមីការទៅជាម៉ាទ្រីស

ទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធនៃសមីការ មេគុណ និងសមាជិកសេរីនៃសមីការត្រូវបានសរសេរជាលេខនៃម៉ាទ្រីស សមីការមួយគឺជួរដេកមួយនៃម៉ាទ្រីស។

ជួរ​ម៉ាទ្រីស​ត្រូវ​បាន​ហៅ​ថា​មិន​សូន្យ ប្រសិនបើ​ធាតុ​យ៉ាង​ហោច​ណាស់​មួយ​នៃ​ជួរ​ដេក​មិន​ស្មើ​នឹង​សូន្យ។ ដូច្នេះប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការណាមួយចំនួនអថេរខុសគ្នានោះ ចាំបាច់ត្រូវបញ្ចូលលេខសូន្យជំនួសកន្លែងមិនស្គាល់។

ជួរ​ឈរ​នៃ​ម៉ាទ្រីស​ត្រូវ​តែ​ត្រូវ​គ្នា​យ៉ាង​តឹងរ៉ឹង​ទៅ​នឹង​អថេរ។ នេះមានន័យថាមេគុណនៃអថេរ x អាចត្រូវបានសរសេរក្នុងជួរឈរមួយប៉ុណ្ណោះ ឧទាហរណ៍ ទីមួយ មេគុណនៃ y មិនស្គាល់ - តែនៅក្នុងទីពីរប៉ុណ្ណោះ។

នៅពេលគុណម៉ាទ្រីស ធាតុម៉ាទ្រីសទាំងអស់ត្រូវបានគុណជាបន្តបន្ទាប់ដោយលេខ។

ជម្រើសសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស

រូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺសាមញ្ញណាស់៖ K -1 = 1 / |K| ដែល K -1 - ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស, និង |K| - កត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីស។ |K| មិនត្រូវស្មើនឹងសូន្យទេ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយ។

កត្តាកំណត់ត្រូវបានគណនាយ៉ាងងាយស្រួលសម្រាប់ម៉ាទ្រីសពីរដោយពីរ វាគ្រាន់តែជាការចាំបាច់ដើម្បីគុណធាតុតាមអង្កត់ទ្រូងដោយគ្នាទៅវិញទៅមក។ សម្រាប់ជម្រើស "បីនឹងបី" មានរូបមន្ត |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c ៣ + ក ៣ ខ ២ គ ១ . អ្នក​អាច​ប្រើ​រូបមន្ត ឬ​អ្នក​អាច​ចាំ​ថា​អ្នក​ត្រូវ​យក​ធាតុ​មួយ​ពី​ជួរ​ដេក​នីមួយៗ និង​ជួរ​ឈរ​នីមួយៗ ដើម្បី​កុំ​ឱ្យ​លេខ​ជួរ​ឈរ និង​ជួរ​ដេក​របស់​ធាតុ​មិន​កើតឡើង​ម្តងទៀត​ក្នុង​ផលិតផល។

ដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស

វិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីសនៃការស្វែងរកដំណោះស្រាយធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីកាត់បន្ថយការកត់សម្គាល់ដ៏ស្មុគស្មាញនៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធជាមួយ បរិមាណដ៏ច្រើន។អថេរ និងសមីការ។

ក្នុងឧទាហរណ៍ a nm គឺជាមេគុណនៃសមីការ ម៉ាទ្រីសគឺជាវ៉ិចទ័រ x n គឺជាអថេរ ហើយ b n គឺជាលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ។

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss

អេ គណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាងវិធីសាស្ត្រ Gauss ត្រូវបានសិក្សារួមគ្នាជាមួយវិធីសាស្ត្រ Cramer ហើយដំណើរការនៃការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយ Gauss-Cramer ។ វិធីសាស្រ្តទាំងនេះត្រូវបានប្រើដើម្បីស្វែងរក អថេរប្រព័ន្ធជាមួយនឹងសមីការលីនេអ៊ែរជាច្រើន។

វិធីសាស្ត្រ Gaussian គឺស្រដៀងទៅនឹងការជំនួស និងដំណោះស្រាយបន្ថែមពិជគណិត ប៉ុន្តែមានលក្ខណៈជាប្រព័ន្ធជាង។ នៅក្នុងវគ្គសិក្សារបស់សាលា ដំណោះស្រាយ Gaussian ត្រូវបានប្រើសម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការ 3 និង 4 ។ គោលបំណងនៃវិធីសាស្រ្តគឺដើម្បីនាំយកប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់នៃ trapezoid ដាក់បញ្ច្រាស។ វិធី ការផ្លាស់ប្តូរពិជគណិតហើយការជំនួសគឺជាតម្លៃនៃអថេរមួយនៅក្នុងសមីការមួយនៃប្រព័ន្ធ។ សមីការទីពីរគឺជាកន្សោមដែលមាន 2 មិនស្គាល់ និង 3 និង 4 - ជាមួយអថេរ 3 និង 4 រៀងគ្នា។

បន្ទាប់ពីនាំយកប្រព័ន្ធទៅទម្រង់ដែលបានពិពណ៌នា ដំណោះស្រាយបន្ថែមត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការជំនួសជាបន្តបន្ទាប់នៃអថេរដែលគេស្គាល់ទៅក្នុងសមីការនៃប្រព័ន្ធ។

នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សារបស់សាលាសម្រាប់ថ្នាក់ទី 7 ឧទាហរណ៏នៃដំណោះស្រាយ Gaussian ត្រូវបានពិពណ៌នាដូចខាងក្រោម:

ដូចដែលអាចមើលឃើញពីឧទាហរណ៍នៅជំហាន (3) សមីការពីរត្រូវបានទទួល 3x 3 -2x 4 =11 និង 3x 3 +2x 4 =7 ។ ដំណោះស្រាយនៃសមីការណាមួយនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកអថេរ x n ។

ទ្រឹស្តីបទ 5 ដែលត្រូវបានរៀបរាប់នៅក្នុងអត្ថបទ និយាយថា ប្រសិនបើសមីការមួយនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានជំនួសដោយសមមូលមួយ នោះប្រព័ន្ធលទ្ធផលនឹងស្មើនឹងតម្លៃដើមផងដែរ។

វិធីសាស្ត្រ Gauss គឺពិបាកសម្រាប់សិស្សក្នុងការយល់ វិទ្យាល័យប៉ុន្តែគឺជាផ្នែកមួយនៃច្រើនបំផុត វិធីគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ដើម្បីអភិវឌ្ឍភាពវៃឆ្លាតរបស់កុមារដែលបានចុះឈ្មោះក្នុងកម្មវិធី ការសិក្សាស៊ីជម្រៅនៅក្នុងថ្នាក់គណិតវិទ្យា និងរូបវិទ្យា។

ដើម្បីងាយស្រួលក្នុងការកត់ត្រាការគណនា វាជាទម្លាប់ក្នុងការធ្វើដូចខាងក្រោមៈ

មេគុណសមីការ និងពាក្យឥតគិតថ្លៃត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស ដែលជួរនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីសត្រូវគ្នានឹងសមីការមួយក្នុងចំណោមសមីការនៃប្រព័ន្ធ។ បំបែកផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការពីផ្នែកខាងស្តាំ។ លេខរ៉ូម៉ាំងបង្ហាញពីចំនួនសមីការនៅក្នុងប្រព័ន្ធ។

ដំបូងពួកគេសរសេរម៉ាទ្រីសដែលនឹងដំណើរការបន្ទាប់មកសកម្មភាពទាំងអស់ត្រូវបានអនុវត្តជាមួយជួរដេកមួយ។ ម៉ាទ្រីសលទ្ធផលត្រូវបានសរសេរបន្ទាប់ពីសញ្ញា "ព្រួញ" ហើយបន្តអនុវត្តចាំបាច់ សកម្មភាពពិជគណិតរហូតដល់លទ្ធផលត្រូវបានសម្រេច។

ជាលទ្ធផល ម៉ាទ្រីសមួយគួរតែទទួលបាន ដែលអង្កត់ទ្រូងមួយគឺ 1 ហើយមេគុណផ្សេងទៀតទាំងអស់គឺស្មើនឹងសូន្យ ពោលគឺម៉ាទ្រីសត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់តែមួយ។ យើងមិនត្រូវភ្លេចធ្វើការគណនាជាមួយលេខនៃសមីការទាំងសងខាងនោះទេ។

សញ្ញាណនេះមិនសូវពិបាកទេ ហើយអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកមិនរំខានដោយការរាយបញ្ជីមិនស្គាល់ជាច្រើន។

កម្មវិធីឥតគិតថ្លៃនៃវិធីសាស្រ្តនៃដំណោះស្រាយណាមួយនឹងត្រូវការការថែទាំ និងបទពិសោធន៍ជាក់លាក់។ មិនមែនវិធីសាស្រ្តទាំងអស់ត្រូវបានអនុវត្តទេ។ មធ្យោបាយមួយចំនួនក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយគឺចូលចិត្តជាងនៅក្នុងតំបន់ជាក់លាក់មួយនៃសកម្មភាពរបស់មនុស្ស ខណៈពេលដែលវិធីផ្សេងទៀតមានសម្រាប់គោលបំណងនៃការរៀនសូត្រ។

1. វិធីសាស្រ្តជំនួស៖ ពីសមីការនៃប្រព័ន្ធណាមួយ យើងបង្ហាញមួយមិនស្គាល់តាមរយៈមួយទៀត ហើយជំនួសវាទៅក្នុងសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ។

កិច្ចការមួយ។ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖

ដំណោះស្រាយ។ពីសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធយើងបង្ហាញ នៅតាមរយៈ Xនិងជំនួសសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ។ ចូរយើងទទួលបានប្រព័ន្ធ ស្មើនឹងដើម។

បន្ទាប់ពីនាំយកលក្ខខណ្ឌបែបនេះ ប្រព័ន្ធនឹងយកទម្រង់៖

ពីសមីការទីពីរយើងរកឃើញ: . ការជំនួសតម្លៃនេះទៅក្នុងសមីការ នៅ = 2 - 2X, យើង​ទទួល​បាន នៅ= 3. ដូេចនះ ដំណោះ ស្រាយរបស់ប្រព័ន្ធនេះគឺជាលេខគូ។

2. វិធីសាស្ត្របន្ថែមពិជគណិត៖ ដោយបន្ថែមសមីការពីរ ទទួលបានសមីការដែលមានអថេរមួយ។

កិច្ចការមួយ។ដោះស្រាយសមីការប្រព័ន្ធ៖

ដំណោះស្រាយ។ការគុណភាគីទាំងពីរនៃសមីការទីពីរដោយ 2 យើងទទួលបានប្រព័ន្ធ ស្មើនឹងដើម។ ការបន្ថែមសមីការទាំងពីរនៃប្រព័ន្ធនេះ យើងមកដល់ប្រព័ន្ធ

បន្ទាប់ពីកាត់បន្ថយលក្ខខណ្ឌស្រដៀងគ្នា ប្រព័ន្ធនេះនឹងមានទម្រង់៖ ពីសមីការទីពីរយើងរកឃើញ។ ការជំនួសតម្លៃនេះទៅក្នុងសមីការ 3 X + 4នៅ= 5, យើងទទួលបាន កន្លែងណា។ ដូច្នេះដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនេះគឺជាលេខគូ។

3. វិធីសាស្រ្តណែនាំអថេរថ្មី។៖ យើងកំពុងស្វែងរកកន្សោមដដែលៗមួយចំនួននៅក្នុងប្រព័ន្ធ ដែលយើងនឹងសម្គាល់ដោយអថេរថ្មី ដោយហេតុនេះធ្វើឱ្យទម្រង់នៃប្រព័ន្ធមានភាពសាមញ្ញ។

កិច្ចការមួយ។ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖

ដំណោះស្រាយ។ចូរយើងសរសេរចុះ ប្រព័ន្ធនេះ។បើមិនដូច្នេះទេ៖

អនុញ្ញាតឱ្យ x + y = អ៊ូ = v.បន្ទាប់មកយើងទទួលបានប្រព័ន្ធ

ចូរដោះស្រាយវាដោយវិធីជំនួស។ ពីសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធយើងបង្ហាញ យូតាមរយៈ vនិងជំនួសសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ។ ចូរយើងទទួលបានប្រព័ន្ធ ទាំងនោះ។

ពីសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធយើងរកឃើញ v 1 = 2, v 2 = 3.

ការជំនួសតម្លៃទាំងនេះទៅក្នុងសមីការ យូ = 5 - v, យើង​ទទួល​បាន យូ 1 = 3,
យូ 2 = 2. បន្ទាប់មកយើងមានប្រព័ន្ធពីរ

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធទីមួយ យើងទទួលបានលេខពីរគូ (1; 2), (2; 1) ។ ប្រព័ន្ធទីពីរមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

លំហាត់សម្រាប់ការងារឯករាជ្យ

1. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការដោយប្រើវិធីសាស្រ្តជំនួស។