Continuăm să vorbim despre rezolvarea ecuatiilor. În acest articol, ne vom concentra asupra ecuații raționaleși principiile deciziei ecuații raționale cu o variabilă. Mai întâi, să ne dăm seama ce fel de ecuații sunt numite raționale, să dăm o definiție a ecuațiilor raționale întregi și a ecuațiilor raționale fracționale și să dăm exemple. În continuare, obținem algoritmi pentru rezolvarea ecuațiilor raționale și, bineînțeles, luăm în considerare soluțiile exemple caracteristice cu toate explicațiile necesare.

Navigare în pagină.

Pe baza definițiilor sunate, dăm câteva exemple de ecuații raționale. De exemplu, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , sunt toate ecuații raționale.

Din exemplele prezentate, se poate observa că ecuațiile raționale, precum și ecuațiile de alte tipuri, pot fi fie cu o variabilă, fie cu două, trei etc. variabile. LA următoarele paragrafe vom vorbi despre rezolvarea ecuațiilor raționale într-o variabilă. Rezolvarea ecuațiilor cu două variabileși ei un numar mare merită o atenție specială.

Pe lângă împărțirea ecuațiilor raționale la numărul de variabile necunoscute, ele sunt, de asemenea, împărțite în întregi și fracționale. Să dăm definițiile corespunzătoare.

Definiție.

Ecuația rațională se numește întreg, dacă ambele părți din stânga și din dreapta sunt expresii raționale întregi.

Definiție.

Dacă cel puțin una dintre părțile unei ecuații raționale este expresie fracționată, atunci această ecuație se numește fracționat rațional(sau rațional fracțional).

Este clar că ecuațiile întregi nu conțin împărțirea printr-o variabilă; dimpotrivă, ecuațiile raționale fracționale conțin în mod necesar împărțirea printr-o variabilă (sau o variabilă în numitor). Deci 3 x+2=0 și (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0,5 sunt ecuații raționale întregi, ambele părți sunt expresii întregi. A și x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 sunt exemple de ecuații raționale fracționale.

Încheind acest paragraf, să acordăm atenție faptului că ecuațiile liniare și ecuațiile pătratice cunoscute până în acest moment sunt ecuații raționale întregi.

Rezolvarea ecuațiilor întregi

Una dintre principalele abordări pentru rezolvarea ecuațiilor întregi este reducerea lor la echivalent ecuații algebrice. Acest lucru se poate realiza întotdeauna prin efectuarea următoarelor transformări echivalente ale ecuației:

• mai întâi, expresia din partea dreaptă a ecuației întregi originale este transferată în partea stângă cu semnul opus pentru a obține zero pe partea dreaptă;
• după aceea, în partea stângă a ecuației, rezultatul vedere standard.

Rezultatul este ecuație algebrică, care este echivalent cu întreaga ecuație originală. Deci în cele mai multe cazuri simple rezolvarea ecuațiilor întregi se reduce la rezolvarea ecuațiilor liniare sau pătratice, iar în caz general– la rezolvarea unei ecuații algebrice de gradul n. Pentru claritate, să analizăm soluția exemplului.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile întregii ecuații 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

Decizie.

Să reducem soluția întregii ecuații la soluția unei ecuații algebrice echivalente. Pentru a face acest lucru, în primul rând, transferăm expresia din partea dreaptă în stânga, ca urmare ajungem la ecuație 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. Și, în al doilea rând, transformăm expresia formată în partea stângă într-un polinom al formei standard făcând ceea ce este necesar: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Astfel, soluția ecuației întregi originale se reduce la soluție ecuație pătratică x 2 −5 x−6=0 .

Calculați discriminantul acestuia D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, este pozitiv, ceea ce înseamnă că ecuația are două rădăcini reale, pe care le găsim prin formula rădăcinilor ecuației pătratice:

Pentru încredere deplină Fă-o verificarea rădăcinilor găsite ale ecuației. În primul rând, verificăm rădăcina 6, înlocuim-o în loc de variabila x din ecuația întregă originală: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, care este același, 63=63 . Asta e corect egalitate numerică, prin urmare, x=6 este într-adevăr rădăcina ecuației. Acum verificăm rădăcina −1 , avem 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, de unde, 0=0 . Pentru x=−1, ecuația originală s-a transformat și într-o egalitate numerică adevărată, prin urmare, x=−1 este și rădăcina ecuației.

Răspuns:

6 , −1 .

Aici trebuie remarcat și faptul că termenul „putere a unei ecuații întregi” este asociat cu reprezentarea unei ecuații întregi sub forma unei ecuații algebrice. Dăm definiția corespunzătoare:

Definiție.

Gradul întregii ecuații numiți gradul unei ecuații algebrice echivalent cu acesta.

Conform acestei definiții, întreaga ecuație din exemplul precedent are gradul doi.

Pe aceasta s-ar putea termina cu rezolvarea unor ecuații raționale întregi, dacă nu pentru una, dar .... După cum se știe, soluția ecuațiilor algebrice de grad mai mare decât al doilea este asociată cu dificultăți semnificative, iar pentru ecuațiile de grad mai mare decât a patra, nu există deloc astfel de ecuații. formule generale rădăcini. Prin urmare, pentru a rezolva ecuații întregi ale a treia, a patra și mai mult grade înalte de multe ori trebuie să recurgă la alte metode de soluţionare.

În astfel de cazuri, uneori abordarea de a rezolva ecuații raționale întregi pe baza metoda factorizării. În același timp, se urmărește următorul algoritm:

• mai întâi ei caută să aibă zero în partea dreaptă a ecuației, pentru aceasta transferă expresia din partea dreaptă a întregii ecuații la stânga;
• apoi, expresia rezultată din partea stângă este prezentată ca un produs al mai multor factori, ceea ce vă permite să mergeți la un set de mai multe ecuații mai simple.

Algoritmul dat pentru rezolvarea întregii ecuații prin factorizare necesită o explicație detaliată cu un exemplu.

Exemplu.

Rezolvați întreaga ecuație (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Decizie.

Mai întâi, ca de obicei, transferăm expresia din partea dreaptă în partea stângă a ecuației, fără a uita să schimbăm semnul, obținem (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Este destul de evident aici că nu este recomandabil să transformați partea stângă a ecuației rezultate într-un polinom de forma standard, deoarece aceasta va da o ecuație algebrică de gradul al patrulea al formei. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, a cărui soluție este dificilă.

Pe de altă parte, este evident că x 2 −10·x+13 poate fi găsit în partea stângă a ecuației rezultate, reprezentând-o astfel ca un produs. Noi avem (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Ecuația rezultată este echivalentă cu întreaga ecuație originală și, la rândul său, poate fi înlocuită cu un set de două ecuații pătratice x 2 −10·x+13=0 și x 2 −2·x−1=0 . Găsindu-și rădăcinile formule cunoscute rădăcini prin discriminant nu este dificil, rădăcinile sunt egale. Ele sunt rădăcinile dorite ale ecuației originale.

Răspuns:

De asemenea, este util pentru rezolvarea ecuațiilor raționale întregi. metoda de introducere a unei noi variabile. În unele cazuri, permite trecerea la ecuații al căror grad este mai mic decât gradul ecuației întregi originale.

Exemplu.

Găsi rădăcini adevărate ecuație rațională (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Decizie.

Reducerea acestei ecuații raționale la o ecuație algebrică nu este, ca să spunem ușor, o idee foarte bună, deoarece în acest caz vom ajunge la necesitatea de a rezolva o ecuație de gradul al patrulea care nu are rădăcini raționale. Prin urmare, va trebui să cauți o altă soluție.

Este ușor de observat aici că puteți introduce o nouă variabilă y și puteți înlocui expresia x 2 +3 x cu ea. O astfel de înlocuire ne conduce la întreaga ecuație (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , care, după transferarea expresiei −2 (y−4) în partea stângă și transformarea ulterioară a expresiei formate acolo, se reduce la ecuația y 2 +4 y+3=0 . Rădăcinile acestei ecuații y=−1 și y=−3 sunt ușor de găsit, de exemplu, ele pot fi găsite pe baza inversului teoremei lui Vieta.

Acum să trecem la a doua parte a metodei de introducere a unei noi variabile, adică la efectuarea unei substituții inverse. După efectuarea substituției inverse, obținem două ecuații x 2 +3 x=−1 și x 2 +3 x=−3 , care pot fi rescrise ca x 2 +3 x+1=0 și x 2 +3 x+3 =0 . După formula rădăcinilor ecuației pătratice, găsim rădăcinile primei ecuații. Și a doua ecuație pătratică nu are rădăcini reale, deoarece discriminantul ei este negativ (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

Răspuns:

În general, atunci când avem de-a face cu ecuații întregi de grade mari, trebuie să fim întotdeauna gata să căutăm metoda non-standard sau un dispozitiv artificial pentru soluția lor.

Rezolvarea ecuațiilor fracționale raționale

În primul rând, va fi util să înțelegem cum să rezolvați ecuații raționale fracționale de forma , unde p(x) și q(x) sunt expresii întregi raționale. Și apoi vom arăta cum să reducem soluția ecuațiilor raționale fracționale rămase la soluția ecuațiilor de forma indicată.

Una dintre abordările de rezolvare a ecuației se bazează pe următoarea afirmație: fracția numerică u/v, unde v este un număr diferit de zero (altfel vom întâlni , care nu este definit), este egală cu zero dacă și numai dacă numărătorul acestuia zero, adică dacă și numai dacă u=0 . În virtutea acestei afirmații, soluția ecuației se reduce la îndeplinirea a două condiții p(x)=0 și q(x)≠0 .

Această concluzie este în concordanță cu următoarele algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale. Pentru a rezolva o ecuație rațională fracțională de forma

• rezolvați întreaga ecuație rațională p(x)=0 ;
• și verificați dacă condiția q(x)≠0 este îndeplinită pentru fiecare rădăcină găsită, în timp ce
• dacă este adevărată, atunci această rădăcină este rădăcina ecuației originale;
• dacă nu, atunci această rădăcină este străină, adică nu este rădăcina ecuației originale.

Să analizăm un exemplu de utilizare a algoritmului vocal atunci când rezolvăm o ecuație rațională fracțională.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile ecuației.

Decizie.

Aceasta este o ecuație fracțională rațională de forma , unde p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 .

Conform algoritmului de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale de acest fel, trebuie mai întâi să rezolvăm ecuația 3·x−2=0 . Aceasta este ecuație liniară, a cărui rădăcină este x=2/3 .

Rămâne să verificăm această rădăcină, adică să verificăm dacă îndeplinește condiția 5·x 2 −2≠0 . Inlocuim numarul 2/3 in loc de x in expresia 5 x 2 −2, obtinem . Condiția este îndeplinită, deci x=2/3 este rădăcina ecuației inițiale.

Răspuns:

2/3 .

Soluția unei ecuații raționale fracționale poate fi abordată dintr-o poziție ușor diferită. Această ecuație este echivalentă cu întreaga ecuație p(x)=0 pe variabila x a ecuației inițiale. Adică poți urmări asta algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale :

• se rezolva ecuatia p(x)=0 ;
• găsiți variabila ODZ x ;
• ia rădăcinile aparținând zonei valori admise, - sunt rădăcinile dorite ale ecuației raționale fracționale originale.

De exemplu, să rezolvăm o ecuație rațională fracțională folosind acest algoritm.

Exemplu.

Rezolvați ecuația.

Decizie.

În primul rând, rezolvăm ecuația pătratică x 2 −2·x−11=0 . Rădăcinile sale pot fi calculate folosind formula rădăcinii pentru un al doilea coeficient chiar, avem D 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, și .

În al doilea rând, găsim ODZ a variabilei x pentru ecuația originală. Este format din toate numerele pentru care x 2 +3 x≠0 , care este același x (x+3)≠0 , de unde x≠0 , x≠−3 .

Rămâne de verificat dacă rădăcinile găsite la primul pas sunt incluse în ODZ. Evident ca da. Prin urmare, ecuația originală rațională fracțională are două rădăcini.

Răspuns:

Rețineți că această abordare este mai profitabilă decât prima dacă ODZ este ușor de găsit și este mai ales benefică dacă rădăcinile ecuației p(x)=0 sunt iraționale, de exemplu, , sau raționale, dar cu o valoare destul de mare. numărător și/sau numitor, de exemplu, 127/1101 și -31/59 . Acest lucru se datorează faptului că, în astfel de cazuri, verificarea condiției q(x)≠0 va necesita eforturi de calcul semnificative și este mai ușor să excludeți rădăcinile străine din ODZ.

În alte cazuri, la rezolvarea ecuației, mai ales când rădăcinile ecuației p(x)=0 sunt numere întregi, este mai avantajos să se folosească primul algoritm de mai sus. Adică, este recomandabil să găsiți imediat rădăcinile întregii ecuații p(x)=0 și apoi să verificați dacă condiția q(x)≠0 este îndeplinită pentru ele și să nu găsiți ODZ și apoi să rezolvați ecuația p(x)=0 pe acest ODZ. Acest lucru se datorează faptului că în astfel de cazuri este de obicei mai ușor să faceți o verificare decât să găsiți ODZ.

Luați în considerare soluția a două exemple pentru a ilustra nuanțele stipulate.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile ecuației.

Decizie.

Mai întâi găsim rădăcinile întregii ecuații (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, compilat folosind numărătorul fracției. Partea stângă a acestei ecuații este un produs, iar partea dreaptă este zero, prin urmare, conform metodei de rezolvare a ecuațiilor prin factorizare, această ecuație este echivalentă cu mulțimea de patru ecuații 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Trei dintre aceste ecuații sunt liniare și una pătratică, le putem rezolva. Din prima ecuație găsim x=1/2, din a doua - x=6, din a treia - x=7, x=−2, din a patra - x=−1.

Cu rădăcinile găsite, este destul de ușor să le verificați pentru a vedea dacă numitorul fracției din partea stângă a ecuației inițiale nu dispare și nu este atât de ușor să determinați ODZ, deoarece aceasta va trebui să rezolve o ecuația algebrică de gradul cinci. Prin urmare, să renunțăm găsirea ODZîn favoarea verificării rădăcinilor. Pentru a face acest lucru, le înlocuim pe rând în loc de variabila x din expresie x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, obținut după înlocuire și comparați-le cu zero: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Astfel, 1/2, 6 și -2 sunt rădăcinile dorite ale ecuației raționale fracționale originale, iar 7 și -1 sunt rădăcini străine.

Răspuns:

1/2 , 6 , −2 .

Exemplu.

Aflați rădăcinile unei ecuații raționale fracționale.

Decizie.

Mai întâi găsim rădăcinile ecuației (5x2 −7x−1)(x−2)=0. Această ecuație este echivalentă cu o mulțime de două ecuații: pătratul 5·x 2 −7·x−1=0 și liniarul x−2=0 . După formula rădăcinilor ecuației pătratice, găsim două rădăcini, iar din a doua ecuație avem x=2.

Verificarea dacă numitorul nu dispare la valorile găsite ale lui x este destul de neplăcută. Și pentru a determina intervalul de valori acceptabile ale variabilei x în ecuația originală este destul de simplu. Prin urmare, vom acționa prin intermediul ODZ.

În cazul nostru, ODZ a variabilei x a ecuației raționale fracționale inițiale este alcătuită din toate numerele, cu excepția celor pentru care condiția x 2 +5·x−14=0 este îndeplinită. Rădăcinile acestei ecuații pătratice sunt x=−7 și x=2, din care concluzionăm despre ODZ: este alcătuit din tot x astfel încât .

Rămâne de verificat dacă rădăcinile găsite și x=2 aparțin regiunii valorilor admisibile. Rădăcinile - aparțin, prin urmare, sunt rădăcinile ecuației originale, iar x=2 nu aparține, prin urmare, este o rădăcină străină.

Răspuns:

De asemenea, va fi util să ne oprim separat asupra cazurilor în care o ecuație rațională fracțională de formă conține un număr la numărător, adică atunci când p (x) este reprezentat de un număr. în care

• dacă acest număr este diferit de zero, atunci ecuația nu are rădăcini, deoarece fracția este zero dacă și numai dacă numărătorul ei este zero;
• dacă acest număr este zero, atunci rădăcina ecuației este orice număr din ODZ.

Exemplu.

Decizie.

Deoarece există un număr diferit de zero în numărătorul fracției din partea stângă a ecuației, pentru nu x valoarea acestei fracții poate fi egală cu zero. Prin urmare, ecuația dată nu are rădăcini.

Răspuns:

fara radacini.

Exemplu.

Rezolvați ecuația.

Decizie.

Numătorul fracției din partea stângă a acestei ecuații raționale fracționale este zero, deci valoarea acestei fracții este zero pentru orice x pentru care are sens. Cu alte cuvinte, soluția acestei ecuații este orice valoare a lui x din DPV a acestei variabile.

Rămâne de determinat acest interval de valori acceptabile. Include toate astfel de valori x pentru care x 4 +5 x 3 ≠0. Soluțiile ecuației x 4 +5 x 3 \u003d 0 sunt 0 și -5, deoarece această ecuație este echivalentă cu ecuația x 3 (x + 5) \u003d 0 și, la rândul său, este echivalentă cu combinația a două ecuații x 3 \u003d 0 și x +5=0 , de unde aceste rădăcini sunt vizibile. Prin urmare, intervalul dorit de valori acceptabile este orice x, cu excepția x=0 și x=−5.

Astfel, o ecuație rațională fracțională are infinit de soluții, care sunt orice numere, cu excepția zero și minus cinci.

Răspuns:

În sfârșit, este timpul să vorbim despre rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale tip arbitrar. Ele pot fi scrise ca r(x)=s(x) , unde r(x) și s(x) sunt expresii raționale și cel puțin una dintre ele este fracțională. Privind în perspectivă, spunem că soluția lor se reduce la rezolvarea ecuațiilor de formă deja familiară nouă.

Se știe că transferul unui termen dintr-o parte a ecuației în alta cu semnul opus duce la echivalent cu ecuația, deci ecuația r(x)=s(x) este echivalentă cu ecuația r(x)−s(x)=0 .

De asemenea, știm că oricare poate fi identic egal cu această expresie. Astfel, putem transforma întotdeauna expresia rațională din partea stângă a ecuației r(x)−s(x)=0 într-o fracție rațională identic egală de forma .

Deci trecem de la ecuația rațională fracțională inițială r(x)=s(x) la ecuația , iar soluția ei, așa cum am aflat mai sus, se reduce la rezolvarea ecuației p(x)=0 .

Dar aici este necesar să se țină seama de faptul că la înlocuirea r(x)−s(x)=0 cu , și apoi cu p(x)=0 , intervalul de valori admisibile ale variabilei x se poate extinde .

Prin urmare, ecuația inițială r(x)=s(x) și ecuația p(x)=0, la care am ajuns, pot să nu fie echivalente, iar rezolvând ecuația p(x)=0, putem obține rădăcini care vor fi rădăcini străine ale ecuației originale r(x)=s(x) . Este posibil să se identifice și să nu includă rădăcini străine în răspuns, fie prin efectuarea unei verificări, fie verificând dacă acestea aparțin ODZ a ecuației inițiale.

Rezum aceste informații în algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale r(x)=s(x). Pentru a rezolva ecuația rațională fracțională r(x)=s(x) , trebuie

• Obțineți zero în dreapta mutând expresia din partea dreaptă cu semnul opus.
• Efectuați acțiuni cu fracții și polinoame din partea stângă a ecuației, transformând-o într-o fracție rațională a formei.
• Rezolvați ecuația p(x)=0 .
• Identificați și excludeți rădăcinile străine, ceea ce se face prin substituirea lor în ecuația originală sau prin verificarea apartenenței lor la ODZ a ecuației originale.

Pentru o mai mare claritate, vom arăta întregul lanț de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale:
.

Să parcurgem soluțiile mai multor exemple cu o explicație detaliată a soluției pentru a clarifica blocul de informații dat.

Exemplu.

Rezolvați o ecuație rațională fracțională.

Decizie.

Vom acționa în conformitate cu algoritmul de soluție tocmai obținut. Și mai întâi transferăm termenii din partea dreaptă a ecuației în partea stângă, ca rezultat trecem la ecuația .

În al doilea pas, trebuie să convertim expresia rațională fracțională din partea stângă a ecuației rezultate în forma unei fracții. Pentru a face acest lucru, efectuăm o distribuție fracții raționale la numitor comun si simplificati expresia rezultata: . Așa că ajungem la ecuație.

În pasul următor, trebuie să rezolvăm ecuația −2·x−1=0 . Aflați x=−1/2 .

Rămâne de verificat dacă numărul găsit -1/2 este o rădăcină străină a ecuației originale. Pentru a face acest lucru, puteți verifica sau găsi variabila ODZ x a ecuației originale. Să demonstrăm ambele abordări.

Să începem cu o verificare. Înlocuim numărul −1/2 în loc de variabila x în ecuația originală, obținem , care este același, −1=−1. Substituția dă egalitatea numerică corectă, prin urmare, x=−1/2 este rădăcina ecuației originale.

Acum vom arăta cum se realizează ultimul pas al algoritmului prin ODZ. Gama de valori admisibile ale ecuației originale este mulțimea tuturor numerelor, cu excepția −1 și 0 (când x=−1 și x=0, numitorii fracțiilor dispar). Rădăcina x=−1/2 găsită la pasul anterior aparține ODZ, prin urmare, x=−1/2 este rădăcina ecuației inițiale.

Răspuns:

−1/2 .

Să luăm în considerare un alt exemplu.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile ecuației.

Decizie.

Trebuie să rezolvăm o ecuație fracțională rațională, să parcurgem toți pașii algoritmului.

Mai întâi, transferăm termenul din partea dreaptă în stânga, obținem .

În al doilea rând, transformăm expresia formată în partea stângă: . Ca rezultat, ajungem la ecuația x=0 .

Rădăcina sa este evidentă - este zero.

La al patrulea pas, rămâne să aflăm dacă rădăcina găsită nu este una exterioară pentru ecuația rațională fracțională inițială. Când este substituită în ecuația originală, se obține expresia. Evident, nu are sens, deoarece conține împărțirea la zero. De unde concluzionăm că 0 este o rădăcină străină. Prin urmare, ecuația originală nu are rădăcini.

7 , ceea ce duce la ecuația . De aici putem concluziona că expresia din numitorul laturii stângi trebuie să fie egală cu din partea dreaptă, adică . Acum scădem din ambele părți ale tripluului: . Prin analogie, de unde și mai departe.

Verificarea arată că ambele rădăcini găsite sunt rădăcinile ecuației raționale fracționale originale.

Răspuns:

Bibliografie.

• Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebră. clasa a 8-a. La 14:00 Partea 1. Manualul elevului institutii de invatamant/ A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebră: Clasa a 9-a: manual. pentru invatamantul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2009. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Până acum, am rezolvat doar ecuații întregi în raport cu necunoscutul, adică ecuații în care numitorii (dacă există) nu conțineau necunoscutul.

Adesea trebuie să rezolvați ecuații care conțin necunoscuta în numitori: astfel de ecuații se numesc fracționale.

Pentru a rezolva această ecuație, înmulțim ambele părți ale acesteia, adică cu un polinom care conține necunoscutul. Va fi noua ecuație echivalentă cu cea dată? Pentru a răspunde la întrebare, să rezolvăm această ecuație.

Înmulțind ambele părți ale acestuia cu , obținem:

Rezolvând această ecuație de gradul întâi, găsim:

Deci, ecuația (2) are o singură rădăcină

Înlocuind-o în ecuația (1), obținem:

Prin urmare, este și rădăcina ecuației (1).

Ecuația (1) nu are alte rădăcini. În exemplul nostru, acest lucru se poate observa, de exemplu, din faptul că în ecuația (1)

Cum divizor necunoscut trebuie să fie egal cu dividendul 1 împărțit la câtul 2, adică.

Deci, ecuațiile (1) și (2) au o singură rădăcină și, prin urmare, sunt echivalente.

2. Acum rezolvăm următoarea ecuație:

Cel mai simplu numitor comun: ; înmulțiți toți termenii ecuației cu ea:

După reducere obținem:

Să extindem parantezele:

Aducând termeni similari, avem:

Rezolvând această ecuație, găsim:

Înlocuind în ecuația (1), obținem:

În partea stângă, am primit expresii care nu au sens.

Prin urmare, rădăcina ecuației (1) nu este. Aceasta implică faptul că ecuațiile (1) și nu sunt echivalente.

În acest caz, spunem că ecuația (1) a dobândit o rădăcină străină.

Să comparăm soluția ecuației (1) cu soluția ecuațiilor pe care le-am considerat mai devreme (vezi § 51). În rezolvarea acestei ecuații, a trebuit să efectuăm două astfel de operații care nu au fost văzute înainte: în primul rând, am înmulțit ambele părți ale ecuației cu o expresie care conține necunoscutul (numitorul comun) și, în al doilea rând, am redus fracțiile algebrice cu factori care conțin necunoscutul .

Comparând ecuația (1) cu ecuația (2), vedem că nu toate valorile x valide pentru ecuația (2) sunt valabile pentru ecuația (1).

Numerele 1 și 3 nu sunt valori admisibile ale necunoscutului pentru ecuația (1), iar ca urmare a transformării au devenit admisibile pentru ecuația (2). Unul dintre aceste numere s-a dovedit a fi o soluție a ecuației (2), dar, desigur, nu poate fi o soluție a ecuației (1). Ecuația (1) nu are soluții.

Acest exemplu arată că atunci când ambele părți ale ecuației sunt înmulțite cu un factor care conține necunoscutul și când fracții algebrice se poate obţine o ecuaţie care nu este echivalentă cu cea dată şi anume: pot apărea rădăcini străine.

Prin urmare, tragem următoarea concluzie. Când se rezolvă o ecuație care conține o necunoscută în numitor, rădăcinile rezultate trebuie verificate prin substituție în ecuația originală. rădăcini străine trebuie aruncat.

Ecuațiile cu fracții în sine nu sunt dificile și foarte interesante. Luați în considerare tipurile de ecuații fracționale și modalitățile de rezolvare a acestora.

Cum se rezolvă ecuații cu fracții - x la numărător

În cazul dat ecuație fracțională, unde necunoscuta este la numărător, soluția nu necesită condiții suplimentare și se rezolvă fără probleme inutile. Forma generală o astfel de ecuație este x/a + b = c, unde x este o necunoscută, a, b și c sunt numere obișnuite.

Aflați x: x/5 + 10 = 70.

Pentru a rezolva ecuația, trebuie să scapi de fracții. Înmulțiți fiecare termen al ecuației cu 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x și 5 se reduce, 10 și 70 se înmulțesc cu 5 și obținem: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Aflați x: x/5 + x/10 = 90.

Acest exemplu este o versiune puțin mai complicată față de primul. Există două soluții aici.

• Opțiunea 1: Scăpați de fracții înmulțind toți termenii ecuației cu un numitor mai mare, adică cu 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
• Opțiunea 2: Adăugați partea stângă a ecuației. x/5 + x/10 = 90. Numitorul comun este 10. Împărțiți 10 la 5, înmulțiți cu x, obținem 2x. 10 împărțit la 10, înmulțit cu x, obținem x: 2x+x/10 = 90. Prin urmare 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Adesea există ecuații fracționale în care sunt x-urile laturi diferite semn egal. Într-o astfel de situație, este necesar să transferați toate fracțiile cu x într-o direcție, iar numerele în alta.

• Aflați x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Mutați 2x/5 la dreapta cu semnul opus: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Reducem 5x/5 și obținem: x = 130.

Cum se rezolvă o ecuație cu fracții - x la numitor

Acest tip de ecuații fracționale necesită scrierea unor condiții suplimentare. Indicarea acestor condiții este o parte obligatorie și integrantă decizia corectă. Dacă nu le atribuiți, riscați, deoarece răspunsul (chiar dacă este corect) poate pur și simplu să nu fie luat în considerare.

Forma generală a ecuațiilor fracționale, unde x este la numitor, este: a/x + b = c, unde x este o necunoscută, a, b, c sunt numere ordinare. Rețineți că x poate să nu fie orice număr. De exemplu, x nu poate fi zero, deoarece nu puteți împărți la 0. Aceasta este ceea ce este condiție suplimentară, pe care trebuie să o precizăm. Aceasta se numește intervalul de valori acceptabile, prescurtat - ODZ.

Aflați x: 15/x + 18 = 21.

Scriem imediat ODZ pentru x: x ≠ 0. Acum că este indicată ODZ, rezolvăm ecuația conform schemei standard, scăpând de fracții. Înmulțim toți termenii ecuației cu x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Adesea există ecuații în care numitorul conține nu numai x, ci și o altă operație cu acesta, cum ar fi adunarea sau scăderea.

Aflați x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Știm deja că numitorul nu poate fi zero, ceea ce înseamnă x-3 ≠ 0. Transferăm -3 la partea dreapta, în timp ce schimbăm semnul „-” în „+” și obținem că x ≠ 3. Este indicat ODZ.

Rezolvați ecuația, înmulțiți totul cu x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Mutați x-urile la dreapta, numerele la stânga: 24 = 3x => x = 8.

Instruire

Poate cel mai evident punct aici este, desigur, . Fracțiile numerice nu prezintă niciun pericol (ecuațiile fracționale, în care numai numerele sunt la toți numitorii, vor fi în general liniare), dar dacă există o variabilă la numitor, atunci aceasta trebuie luată în considerare și prescrisă. În primul rând, este că x, care transformă numitorul la 0, nu poate fi și, în general, este necesar să se înregistreze separat faptul că x nu poate fi egal cu acest număr. Chiar dacă reușiți ca atunci când înlocuiți în numărător, totul converge perfect și îndeplinește condițiile. În al doilea rând, nu putem înmulți una sau ambele părți ale ecuației cu egal cu zero.

După aceasta, o astfel de ecuație se reduce la transferul tuturor termenilor săi în partea stângă, astfel încât 0 să rămână în partea dreaptă.

Este necesar să aducem toți termenii la un numitor comun, înmulțind, acolo unde este necesar, numărătorii cu expresiile lipsă.
În continuare, rezolvăm ecuația uzuală scrisă la numărător. Putem îndura factori comuni din paranteze, aplicați înmulțiri prescurtate, dați altele similare, calculați rădăcinile unei ecuații pătratice prin discriminant etc.

Rezultatul ar trebui să fie o factorizare sub forma unui produs dintre paranteze (x-(i-a rădăcină)). Poate include, de asemenea, polinoame care nu au rădăcini, de exemplu, trinom pătrat cu un discriminant mai mic de zero (cu excepția cazului în care, desigur, există doar rădăcini reale în problemă, așa cum se întâmplă cel mai adesea).
Asigurați-vă că factorizați și numitorul din locația parantezelor de acolo, deja conținute în numărător. Dacă numitorul conține expresii ca (x-(număr)), atunci este mai bine, atunci când reduceți la un numitor comun, să nu înmulțiți parantezele din el „direct”, ci să le lăsați sub forma unui produs de expresiile simple originale.
Aceleași paranteze în numărător și numitor pot fi reduse prin prescrierea, așa cum sa menționat mai sus, a condițiilor de pe x.
Răspunsul se scrie între acolade, ca un set de valori x, sau pur și simplu prin enumerare: x1=..., x2=... etc.

Surse:

• Ecuații raționale fracționale

Ceva de care nu se poate renunța în fizică, matematică, chimie. Cel mai puţin. Învățăm elementele de bază ale soluției lor.

Instruire

În cea mai generală și simplă clasificare, ea poate fi împărțită în funcție de numărul de variabile pe care le conțin și în funcție de gradele în care se află aceste variabile.

Rezolvați ecuația toate rădăcinile ei sau demonstrați că acestea nu există.

Orice ecuație are cel mult P rădăcini, unde P este maximul ecuației date.

Dar unele dintre aceste rădăcini pot coincide. Deci, de exemplu, ecuația x ^ 2 + 2 * x + 1 = 0, unde ^ este pictograma de exponențiere, se pliază în pătratul expresiei (x + 1), adică în produsul a două paranteze identice, fiecare dintre acestea dă x = - 1 ca soluție.

Dacă există o singură necunoscută în ecuație, aceasta înseamnă că veți putea găsi în mod explicit rădăcinile acesteia (reale sau complexe).

Pentru a face acest lucru, cel mai probabil veți avea nevoie de diverse transformări: înmulțire prescurtată, calcularea discriminantului și a rădăcinilor unei ecuații pătratice, transferarea termenilor dintr-o parte în alta, reducerea la un numitor comun, înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu aceeași expresie, pătratul și așa mai departe.

Transformările care nu afectează rădăcinile ecuației sunt identice. Ele sunt folosite pentru a simplifica procesul de rezolvare a unei ecuații.

Puteți utiliza, de asemenea, în locul analiticului tradițional metoda graficași scrieți această ecuație sub forma , după efectuarea studiului ei.

Dacă există mai multe necunoscute în ecuație, atunci veți putea exprima doar una dintre ele în termenii celeilalte, arătând astfel un set de soluții. Astfel, de exemplu, sunt ecuațiile cu parametri în care există un x necunoscut și un parametru a. Decide ecuație parametrică- înseamnă ca toți a să exprime x prin a, adică să ia în considerare toate cazurile posibile.

Dacă ecuația conține derivate sau diferențiale de necunoscute (vezi imaginea), felicitări, aceasta este ecuație diferențială, și aici nu te poți lipsi matematica superioara).

Surse:

• Transformări de identitate

Pentru a rezolva problema cu fractii trebuie să înveți să faci cu ei operatii aritmetice. Ele pot fi zecimale, dar sunt cele mai frecvent utilizate fracții naturale cu numărător și numitor. Abia atunci poți trece la soluții. probleme de matematică cu valori fracționate.

Vei avea nevoie

• - calculator;
• - cunoașterea proprietăților fracțiilor;
• - Capacitate de a lucra cu fracții.

Instruire

O fracție este o înregistrare a împărțirii unui număr la altul. Adesea, acest lucru nu poate fi realizat complet și, prin urmare, această acțiune este lăsată „neterminată. Numărul care este divizibil (este deasupra sau înaintea semnului fracției) se numește numărător, iar al doilea număr (sub sau după semnul fracției) se numește numitor. Dacă numărătorul este mai mare decât numitorul, fracția se numește fracție improprie și din ea poate fi extrasă o parte întreagă. Dacă numărătorul mai mic decât numitorul, atunci o astfel de fracție se numește propriu-zis și ea întreaga parte este egal cu 0.

Sarcini sunt împărțite în mai multe tipuri. Stabiliți care dintre ele este sarcina. Cea mai simplă opțiune- aflarea fractiei dintr-un numar exprimata ca fractie. Pentru a rezolva această problemă, este suficient să înmulțiți acest număr cu o fracție. De exemplu, au fost aduse 8 tone de cartofi. În prima săptămână, 3/4 din ea total. Câți cartofi au mai rămas? Pentru a rezolva această problemă, înmulțiți numărul 8 cu 3/4. Se va dovedi 8 ∙ 3/4 \u003d 6 t.

Dacă trebuie să găsiți un număr după partea sa, înmulțiți partea cunoscută a numărului cu reciproca fracției care arată ce proporție a acestei părți este în număr. De exemplu, 8 din 1/3 din numărul total de studenți. Cati in? Deoarece 8 persoane este partea care reprezintă 1/3 din total, atunci găsiți reciproc, care este egal cu 3/1 sau doar 3. Apoi pentru a obține numărul de elevi din clasa 8∙3=24 de elevi.

Când trebuie să aflați ce parte dintr-un număr este un număr dintr-un altul, împărțiți numărul care reprezintă partea la cel care este numărul întreg. De exemplu, dacă distanța este de 300 km și mașina a parcurs 200 km, cât va fi din totalul călătoriei? Împărțiți porțiunea de drum 200 la calea plină 300, după reducerea fracției vei obține rezultatul. 200/300=2/3.

Pentru a găsi partea fracției necunoscute a unui număr, atunci când există una cunoscută, luați întregul ca unitate convențională și scădeți fracția cunoscută din el. De exemplu, dacă 4/7 din lecție a trecut deja, mai rămâne? Luați întreaga lecție ca o unitate convențională și scădeți 4/7 din ea. Obțineți 1-4/7=7/7-4/7=3/7.

Rezolvarea ecuațiilor cu fracții să ne uităm la exemple. Exemplele sunt simple și ilustrative. Cu ajutorul lor, puteți înțelege în cel mai înțeles mod,.
De exemplu, trebuie să rezolvați o ecuație simplă x/b + c = d.

O ecuație de acest tip se numește liniară, deoarece numitorul conține doar numere.

Rezolvarea se realizează prin înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu b, apoi ecuația ia forma x = b*(d – c), adică. numitorul fracției din partea stângă se reduce.

De exemplu, cum se rezolvă o ecuație fracțională:
x/5+4=9
Înmulțim ambele părți cu 5. Obținem:
x+20=45
x=45-20=25

Un alt exemplu în care necunoscutul este la numitor:

Ecuațiile de acest tip se numesc raționale fracționale sau pur și simplu fracționale.

Am rezolva o ecuație fracțională scăpând de fracții, după care această ecuație, de cele mai multe ori, se transformă într-una liniară sau pătratică, care se rezolvă în mod obișnuit. Trebuie să țineți cont doar de următoarele puncte:

• valoarea unei variabile care transformă numitorul la 0 nu poate fi o rădăcină;
• nu puteți împărți sau înmulți ecuația cu expresia =0.

Aici intră în vigoare un astfel de concept precum zona valorilor permise (ODZ) - acestea sunt valorile rădăcinilor ecuației pentru care ecuația are sens.

Astfel, rezolvând ecuația, este necesar să găsiți rădăcinile și apoi să le verificați pentru conformitatea cu ODZ. Acele rădăcini care nu corespund DHS-ului nostru sunt excluse din răspuns.

De exemplu, trebuie să rezolvați o ecuație fracțională:

Pe baza regulii de mai sus, x nu poate fi = 0, i.e. ODZ în acest caz: x - orice valoare, alta decât zero.

Scăpăm de numitor înmulțind toți termenii ecuației cu x

Și rezolvați ecuația obișnuită

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Răspuns: x = 1/3

Să rezolvăm ecuația mai complicată:

ODZ este prezent și aici: x -2.

Rezolvând această ecuație, nu vom transfera totul într-o singură direcție și vom aduce fracțiile la un numitor comun. Înmulțim imediat ambele părți ale ecuației cu o expresie care va reduce toți numitorii simultan.

Pentru a reduce numitorii, trebuie să înmulțiți partea stângă cu x + 2 și partea dreaptă cu 2. Deci, ambele părți ale ecuației trebuie înmulțite cu 2 (x + 2):

Exact asta înmulțire obișnuită fracții, despre care am discutat deja mai sus

Scriem aceeași ecuație, dar într-un mod ușor diferit.

Partea stângă este redusă cu (x + 2), iar partea dreaptă cu 2. După reducere, obținem ecuația liniară obișnuită:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, care corespunde ODZ-ului nostru

Răspuns: x = 2.

Rezolvarea ecuațiilor cu fracții nu atât de dificil pe cât ar părea. În acest articol, am arătat acest lucru cu exemple. Dacă întâmpinați dificultăți cu cum se rezolvă ecuații cu fracții, apoi dezabonează-te în comentarii.