Definition.
Dies ist ein Sechseck, dessen Basen zwei sind gleiches Quadrat, und die Seitenflächen sind gleiche Rechtecke
Seitenrippe- Das gemeinsame Seite zwei benachbarte Seitenflächen
Prismenhöhe- Das ist ein Schnitt senkrecht zu Basen Prismen
Prisma Diagonale- ein Segment, das zwei Eckpunkte der Basen verbindet, die nicht zu derselben Fläche gehören
Diagonale Ebene ist die Ebene, die durch die Diagonale des Prismas und seine geht Seitenrippen
Diagonalschnitt - die Grenzen des Schnittpunkts des Prismas und der Diagonalebene. Diagonalschnitt des Richtigen viereckiges Prisma ist ein Rechteck
Senkrechtschnitt (Orthogonalschnitt)- Dies ist der Schnittpunkt eines Prismas und einer senkrecht zu seinen Seitenkanten gezeichneten Ebene
Elemente eines regelmäßigen viereckigen Prismas
Die Abbildung zeigt zwei regelmäßige viereckige Prismen, die mit den entsprechenden Buchstaben gekennzeichnet sind:
- Basen ABCD und A 1 B 1 C 1 D 1 sind gleich und parallel zueinander
- Seitenflächen AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C und CC 1 D 1 D, von denen jedes ein Rechteck ist
- Seitenfläche- die Summe der Flächen aller Seitenflächen des Prismas
- Gesamtfläche - die Summe der Flächen aller Basen und Seitenflächen (die Summe der Flächen der Seitenfläche und der Basen)
- Seitenrippen AA 1 , BB 1 , CC 1 und DD 1 .
- Diagonale B 1 D
- Basisdiagonale BD
- Diagonalschnitt BB 1 D 1 D
- Senkrechtschnitt A 2 B 2 C 2 D 2 .
Eigenschaften eines regelmäßigen viereckigen Prismas
- Die Basen sind zwei gleiche Quadrate
- Die Basen sind parallel zueinander
- Die Seiten sind Rechtecke.
- Seitenflächen sind einander gleich
- Seitenflächen sind senkrecht zu den Basen
- Seitliche Rippen sind parallel zueinander und gleich
- Senkrechtschnitt senkrecht zu allen Seitenrippen und parallel zu den Basen
- Ecken senkrechter Schnitt- gerade
- Der Diagonalschnitt eines regelmäßigen viereckigen Prismas ist ein Rechteck
- Senkrechte (Orthogonalschnitt) parallel zu den Basen
Formeln für ein regelmäßiges viereckiges Prisma
Anweisungen zur Lösung von Problemen
Beim Lösen von Problemen zum Thema " regelmäßiges viereckiges Prisma" impliziert, dass:Korrektes Prisma- ein Prisma, an dessen Basis liegt regelmäßiges Vieleck, und die Seitenränder sind senkrecht zu den Basisebenen. Das heißt, ein regelmäßiges viereckiges Prisma enthält an seiner Basis Quadrat. (siehe oben die Eigenschaften eines regelmäßigen viereckigen Prismas) Notiz. Dies ist Teil der Lektion mit Aufgaben in Geometrie (Abschnitt Volumengeometrie - Prisma). Hier sind die Aufgaben, die Schwierigkeiten bei der Lösung verursachen. Wenn Sie ein Problem in Geometrie lösen müssen, das nicht hier ist, schreiben Sie darüber im Forum. Um die Aktion des Extrahierens anzuzeigen Quadratwurzel Das Symbol wird zur Problemlösung verwendet√ .
Eine Aufgabe.
Bei einem regelmäßigen viereckigen Prisma beträgt die Grundfläche 144 cm 2 und die Höhe 14 cm. Ermitteln Sie die Diagonale des Prismas und die Fläche volle Oberfläche.Lösung.
Ein regelmäßiges Viereck ist ein Quadrat.
Dementsprechend wird die Seite der Basis gleich sein
Woher kommt die Diagonale der Basis? rechteckiges Prisma wird gleich sein
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2
Diagonale rechtes Prisma bildet sich mit der Diagonale der Basis und der Höhe des Prismas rechtwinkliges Dreieck. Dementsprechend ist nach dem Satz des Pythagoras die Diagonale eines gegebenen regulären viereckigen Prismas gleich:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm
Antworten: 22 cm
Eine Aufgabe
Finden Sie die Gesamtfläche eines regelmäßigen viereckigen Prismas, wenn seine Diagonale 5 cm und die Diagonale der Seitenfläche 4 cm beträgt.Lösung.
Da die Basis eines regulären viereckigen Prismas ein Quadrat ist, wird die Seite der Basis (als a bezeichnet) durch den Satz des Pythagoras gefunden:
A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5
Die Höhe der Seitenfläche (mit h bezeichnet) ist dann gleich:
H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
Stunde 2 \u003d 3,5
h = √3,5
Die Gesamtfläche ist gleich der Summe aus der seitlichen Fläche und dem Doppelten der Grundfläche
S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.
Antwort: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.
Zu beachten ist, dass die Kombinatorik ein eigenständiger Zweig ist höhere Mathematik(und nicht Teil von terver) und gewichtige Lehrbücher wurden in dieser Disziplin geschrieben, deren Inhalt manchmal nicht einfacher ist als abstrakte Algebra. Uns genügt jedoch ein kleiner Bruchteil. Theoretisches Wissen, und in diesem Artikel werde ich es versuchen zugängliches Formular mit typischen kombinatorischen Aufgaben die Grundlagen des Themas zu analysieren. Und viele von euch werden mir helfen ;-)
Was werden wir machen? BEI engeren Sinne Kombinatorik ist das Zählen verschiedener Kombinationen, die aus einer Menge gemacht werden können diskret Objekte. Unter Objekten werden alle isolierten Objekte oder Lebewesen verstanden - Menschen, Tiere, Pilze, Pflanzen, Insekten usw. Dabei ist es der Kombinatorik völlig egal, dass das Set aus einer Grießplatte, einem Lötkolben und einem Sumpffrosch besteht. Es ist grundsätzlich wichtig, dass diese Objekte aufzählbar sind – es gibt drei davon. (Diskretion) und es ist wichtig, dass keiner von ihnen gleich ist.
Nachdem vieles geklärt ist, nun zu den Kombinationen. Die häufigsten Arten von Kombinationen sind Permutationen von Objekten, ihre Auswahl aus einer Menge (Kombination) und ihre Verteilung (Platzierung). Mal sehen, wie das jetzt passiert:
Permutationen, Kombinationen und Platzierungen ohne Wiederholung
Scheuen Sie sich nicht vor obskuren Begriffen, zumal einige von ihnen wirklich nicht sehr erfolgreich sind. Beginnen wir mit dem Schwanz des Titels – was bedeutet " ohne Wiederholung"? Dies bedeutet, dass im diesen Absatz Es werden Sätze betrachtet, die bestehen aus verschiedene Objekte. Zum Beispiel ... nein, ich biete keinen Brei mit Lötkolben und Frosch an, etwas Leckeres ist besser =) Stellen Sie sich vor, dass ein Apfel, eine Birne und eine Banane auf dem Tisch vor Ihnen materialisieren (falls vorhanden beliebig, die Situation kann simuliert und real sein). Wir legen die Früchte von links nach rechts in der folgenden Reihenfolge an:
Apfel / Birne / Banane
Frage eins: Auf wie viele Arten können sie neu angeordnet werden?
Eine Kombination wurde bereits oben geschrieben und mit dem Rest gibt es keine Probleme:
Apfel / Banane / Birne
Birne / Apfel / Banane
Birne / Banane / Apfel
Banane / Apfel / Birne
Banane / Birne / Apfel
Gesamt: 6 Kombinationen oder 6 Permutationen.
Nun, es war nicht schwer, hier alle möglichen Fälle aufzulisten, aber was ist, wenn es mehr Objekte gibt? Bereits mit vier verschiedenen Früchten wird die Anzahl der Kombinationen deutlich steigen!
Bitte Referenzmaterial öffnen (Handbuch ist einfach zu drucken) und finden Sie in Absatz Nummer 2 die Formel für die Anzahl der Permutationen.
Keine Qual - 3 Objekte können beliebig neu angeordnet werden.
Frage zwei: Auf wie viele Arten kann man a) eine Frucht, b) zwei Früchte, c) drei Früchte, d) mindestens eine Frucht wählen?
Warum wählen? Also haben sie sich im vorigen Absatz Appetit gemacht - um zu essen! =)
a) Eine Frucht kann natürlich auf drei Arten gewählt werden – man nehme entweder einen Apfel, eine Birne oder eine Banane. Die formale Zählung basiert auf Formel für die Anzahl der Kombinationen:
Aufnahme ein dieser Fall ist wie folgt zu verstehen: „Auf wie viele Arten kannst du 1 Frucht aus drei auswählen?“
b) Wir listen alle möglichen Kombinationen zweier Früchte auf:
Apfel und Birne;
Apfel und Banane;
Birne und Banane.
Die Anzahl der Kombinationen lässt sich leicht mit derselben Formel überprüfen:
Ähnlich ist der Eintrag zu verstehen: „Auf wie viele Arten kann man aus drei Früchten 2 auswählen?“.
c) Und schließlich können drei Früchte ausgewählt werden der einzige Weg:
Die Formel für die Anzahl der Kombinationen ergibt übrigens auch für eine leere Probe Sinn:
Auf diese Weise können Sie sich keine einzige Frucht aussuchen - tatsächlich nichts nehmen und das war's.
d) Auf wie viele Arten können Sie gehen mindestens ein Obst? Die Bedingung „mindestens eine“ impliziert, dass wir mit 1 Frucht (beliebig) oder 2 beliebigen Früchten oder allen 3 Früchten zufrieden sind:
Möglichkeiten, wie Sie mindestens eine Frucht auswählen können.
Leser, die sorgfältig studiert haben Einführungsstunde an Wahrscheinlichkeitstheorie schon was rausgefunden. Aber zur Bedeutung des Pluszeichens später.
Für eine Antwort auf nächste Frage Ich brauche zwei Freiwillige ... ... Naja, da keiner will, dann rufe ich den Vorstand an =)
Frage drei: Auf wie viele Arten kann eine Frucht an Dasha und Natasha verteilt werden?
Um zwei Früchte zu verteilen, müssen Sie diese zuerst auswählen. Laut Absatz "be" der vorherigen Frage kann dies auf verschiedene Weise geschehen, ich werde sie noch einmal umschreiben:
Apfel und Birne;
Apfel und Banane;
Birne und Banane.
Aber jetzt wird es doppelt so viele Kombinationen geben. Betrachten Sie zum Beispiel das erste Fruchtpaar:
Sie können Dasha mit einem Apfel und Natasha mit einer Birne behandeln.
oder umgekehrt - Dasha bekommt die Birne und Natasha bekommt den Apfel.
Und eine solche Permutation ist für jedes Fruchtpaar möglich.
Betrachten Sie dasselbe Studentengruppe der zum Tanz ging. Auf wie viele Arten können ein Junge und ein Mädchen gepaart werden?
Möglichkeiten, wie Sie 1 jungen Mann auswählen können;
Möglichkeiten, wie Sie 1 Mädchen auswählen können.
Also ein junger Mann und ein Mädchen kann gewählt werden: 
Wege.
Wenn 1 Objekt aus jedem Satz ausgewählt wird, gilt das folgende Prinzip der Zählkombinationen: „ jeder ein Objekt aus einer Menge kann ein Paar bilden mit jedem Objekt einer anderen Menge.
Das heißt, Oleg kann jedes der 13 Mädchen zum Tanzen einladen, Evgeny kann auch jedes der 13 Mädchen einladen, und andere junge Leute haben eine ähnliche Wahl. Gesamt: mögliche Paare.
Zu beachten ist, dass in dieses Beispiel die "Geschichte" der Paarbildung spielt keine Rolle; Berücksichtigt man jedoch die Eigeninitiative, so muss die Anzahl der Kombinationen verdoppelt werden, da jedes der 13 Mädchen auch jeden Jungen zum Tanzen auffordern kann. Es hängt alles von den Bedingungen einer bestimmten Aufgabe ab!
Ein ähnliches Prinzip gilt für komplexere Kombinationen, zum Beispiel: Auf wie viele Arten können zwei junge Männer ausgewählt werden und zwei Mädchen, die an einem KVN-Sketch mitwirken?
Union Und weist eindeutig darauf hin, dass die Kombinationen multipliziert werden müssen:
Mögliche Künstlergruppen.
Mit anderen Worten, jeder Paar Jungen (45 einzigartige Paare) mithalten können irgendein ein paar Mädchen (78 einzigartige Paare). Und wenn wir die Rollenverteilung zwischen den Beteiligten betrachten, dann ergeben sich noch mehr Kombinationen. ... Ich möchte wirklich, aber ich werde trotzdem davon absehen, um Ihnen keine Abneigung dagegen einzuflößen Studentenleben =).
Die Regel zum Multiplizieren von Kombinationen gilt auch für große Menge Multiplikatoren:
Aufgabe 8
Wie viele dreistellige Zahlen gibt es, die durch 5 teilbar sind?
Lösung: zur Verdeutlichung bezeichnen wir angegebene Nummer drei Sterne: ***
BEI Hunderte Stelle Sie können jede der Zahlen schreiben (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 oder 9). Null ist nicht gut, denn in diesem Fall ist die Zahl nicht mehr dreistellig.
Aber in Zehnerstelle(„in der Mitte“) können Sie eine der 10 Ziffern auswählen: .
Per Bedingung muss die Zahl durch 5 teilbar sein. Die Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 5 oder 0 endet. Somit sind wir in der niederwertigsten Ziffer mit 2 Ziffern zufrieden.
Insgesamt gibt es: dreistellige Zahlen, die durch 5 teilbar sind.
Gleichzeitig wird die Arbeit wie folgt entschlüsselt: „9 Möglichkeiten, wie Sie eine Nummer auswählen können Hunderte Stelle und 10 Möglichkeiten, eine Nummer auszuwählen in Zehnerstelle und 2 Wege hinein Einheit Ziffer»
Oder noch einfacher: jeder von 9 Ziffern bis Hunderte Stelle kombiniert mit jedem von 10 Ziffern Zehnerstelle und mit jedem zweistellig Einheitenziffer».
Antworten: 180
Und jetzt…
Ja, fast hätte ich den versprochenen Kommentar zu Aufgabe Nr. 5 vergessen, in dem Borya, Dima und Volodya auf unterschiedliche Weise jeweils eine Karte ausgeteilt werden können. Multiplizieren hat hier die gleiche Bedeutung: In gewisser Weise können Sie 3 Karten aus dem Stapel extrahieren Und in jedem Beispiel, um sie neu anzuordnen.
Nun die Aufgabe für unabhängige Entscheidung... jetzt fällt mir etwas Interessanteres ein, ... lass es um dieselbe russische Version von Blackjack gehen:
Aufgabe 9
Wie viele Gewinnkombinationen aus 2 Karten gibt es in einem „Punkte“-Spiel?
Für diejenigen, die es nicht wissen: Gewinnkombination 10 + Ass (11 Punkte) = 21 Punkte und betrachten wir die Gewinnkombination aus zwei Assen.
(die Reihenfolge der Karten in einem beliebigen Paar spielt keine Rolle)
Schnelle Lösung und die Antwort am Ende der Lektion.
Übrigens ist es nicht notwendig, ein Beispielprimitiv zu betrachten. Blackjack ist fast das einzige Spiel, für das es einen mathematisch begründeten Algorithmus gibt, mit dem Sie das Casino schlagen können. Wer möchte, findet ganz einfach viele Informationen zur optimalen Strategie und Taktik. Richtig, solche Meister fallen schnell auf die schwarze Liste aller Einrichtungen =)
Es ist an der Zeit, das behandelte Material mit ein paar soliden Aufgaben zu konsolidieren:
Aufgabe 10
Vasya hat 4 Katzen zu Hause.
a) Auf wie viele Arten können die Katzen in den Ecken des Zimmers sitzen?
b) Auf wie viele Arten kann man Katzen frei herumlaufen lassen?
c) Auf wie viele Arten kann Vasya zwei Katzen hochheben (eine links, die andere rechts)?
Wir entscheiden: zunächst sei noch einmal darauf hingewiesen, dass es um das Problem geht anders Gegenstände (auch wenn die Katzen eineiige Zwillinge sind). Das ist sehr wichtiger Zustand!
a) Katzenschweigen. Diese Ausführung unterliegt Alle Katzen auf einmal
+ Ihr Standort ist wichtig, daher gibt es hier Permutationen:
Möglichkeiten, Katzen in den Ecken des Raums zu platzieren.
Ich wiederhole das in Permutationen, nur die Anzahl der verschiedenen Objekte und deren gegenseitiges Einverständnis. Je nach Lust und Laune kann Vasya die Tiere im Halbkreis auf dem Sofa, in einer Reihe auf der Fensterbank usw. - es wird in allen Fällen 24 Permutationen geben Wer will, kann sich vorstellen, dass die Katzen mehrfarbig sind (z. B. weiß, schwarz, rot und gestreift) und alle möglichen Kombinationen auflisten.
b) Auf wie viele Arten kann man Katzen frei herumlaufen lassen?
Es wird angenommen, dass Katzen nur durch die Tür spazieren gehen, während die Frage Gleichgültigkeit bezüglich der Anzahl der Tiere impliziert - 1, 2, 3 oder alle 4 Katzen können spazieren gehen.
Wir berücksichtigen alle möglichen Kombinationen:
Möglichkeiten, wie Sie eine Katze (eine der vier) spazieren gehen lassen können; 
Möglichkeiten, wie Sie zwei Katzen spazieren gehen lassen können (listen Sie die Optionen selbst auf);
Möglichkeiten, drei Katzen spazieren zu lassen (eine der vier sitzt zu Hause);
So können Sie alle Katzen freigeben.
Sie haben wahrscheinlich erraten, dass die erhaltenen Werte summiert werden sollten:
Möglichkeiten, Katzen spazieren zu lassen.
Für Enthusiasten biete ich eine komplizierte Version des Problems an - wenn jede Katze in irgendeiner Stichprobe zufällig nach draußen gehen kann, sowohl durch die Tür als auch durch das Fenster im 10. Stock. Es wird noch mehr Kombinationen geben!
c) Auf wie viele Arten kann Vasya zwei Katzen hochheben?
Die Situation beinhaltet nicht nur die Wahl von 2 Tieren, sondern auch deren Platzierung auf den Händen:
Möglichkeiten, wie Sie 2 Katzen aufnehmen können.
Die zweite Lösung: In gewisser Weise können Sie zwei Katzen auswählen und Wege zu pflanzen jeder ein Paar in der Hand: 
Antworten: a) 24, b) 15, c) 12
Nun, um mein Gewissen zu beruhigen, etwas Konkreteres zur Multiplikation von Kombinationen .... Lass Vasya 5 zusätzliche Katzen haben =) Auf wie viele Arten kannst du 2 Katzen spazieren gehen lassen und 1 Katze?
Das heißt mit jeder Ein paar Katzen können freigelassen werden jeder Katze.
Ein weiteres Knopfakkordeon für eine unabhängige Lösung:
Aufgabe 11
3 Passagiere stiegen in den Aufzug eines 12-stöckigen Gebäudes. Jeder, unabhängig von den anderen, kann in jedem (ab dem 2.) Stock mit der gleichen Wahrscheinlichkeit aussteigen. Auf wie viele Arten:
1) Fahrgäste können auf derselben Etage aussteigen (Ausgangsreihenfolge spielt keine Rolle);
2) zwei Personen können auf einer Etage aussteigen und eine dritte auf einer anderen;
3) Personen können auf verschiedenen Stockwerken aussteigen;
4) Können Fahrgäste den Aufzug verlassen?
Und hier fragen sie oft wieder, ich stelle klar: Wenn 2 oder 3 Personen auf derselben Etage ausgehen, ist die Reihenfolge des Ausstiegs egal. DENKEN, verwenden Sie Formeln und Regeln für Additions-/Multiplikationskombinationen. Bei Schwierigkeiten ist es für die Fahrgäste sinnvoll, Namen und Gründe anzugeben, in welchen Kombinationen sie aus dem Aufzug aussteigen können. Es besteht kein Grund, sich aufzuregen, wenn etwas nicht klappt, Punkt Nummer 2 ist zum Beispiel ziemlich hinterhältig.
Komplette Lösung mit ausführlichen Kommentaren am Ende der Lektion.
Der letzte Absatz ist Kombinationen gewidmet, die meiner Meinung nach ebenfalls recht häufig vorkommen subjektive Einschätzung, etwa 20-30% kombinatorische Probleme:
Permutationen, Kombinationen und Platzierungen mit Wiederholungen
Gelistete Arten Kombinationen sind in Absatz 5 aufgeführt Referenzmaterial Grundformeln der Kombinatorik, einige von ihnen sind jedoch beim ersten Lesen möglicherweise nicht sehr klar. In diesem Fall ist es ratsam, sich zunächst damit vertraut zu machen praktische Beispiele, und verstehen erst dann die allgemeine Formulierung. Gehen:
Permutationen mit Wiederholungen
In Permutationen mit Wiederholungen, wie in "gewöhnlichen" Permutationen, die ganze Reihe von Objekten auf einmal, aber es gibt eine Sache: In dieser Menge wiederholen sich ein oder mehrere Elemente (Objekte). Erfüllen Sie den nächsten Standard:
Aufgabe 12
Wie viele verschiedene Buchstabenkombinationen erhält man, wenn man Karten mit folgenden Buchstaben neu anordnet: K, O, L, O, K, O, L, L, H, I, K?
Lösung: Für den Fall, dass alle Buchstaben unterschiedlich waren, sollte eine triviale Formel angewendet werden. Es ist jedoch ziemlich klar, dass für den vorgeschlagenen Kartensatz einige Manipulationen "leer" funktionieren, also beispielsweise, wenn Sie zwei vertauschen Karten mit den Buchstaben "K in jedem Wort, es wird dasselbe Wort sein. Außerdem können die Karten physisch sehr unterschiedlich sein: Eine kann rund mit einem aufgedruckten Buchstaben „K“ sein, die andere ist quadratisch mit einem gezogenen Buchstaben „K“. Aber nach der Bedeutung des Problems auch solche Karten gleich angesehen, da die Bedingung nach Buchstabenkombinationen fragt.
Alles ist sehr einfach - insgesamt: 11 Karten, einschließlich des Buchstabens:
K - dreimal wiederholt;
O - dreimal wiederholt;
L - zweimal wiederholt;
b - 1 Mal wiederholt;
H - 1 Mal wiederholt;
Und - wiederholt 1 Mal.
Überprüfen Sie: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, was wir überprüfen wollten.
Nach der Formel Anzahl der Permutationen mit Wiederholungen:
verschiedene Buchstabenkombinationen erhalten werden. Mehr als eine halbe Million!
Um schnell einen großen Fakultätswert zu berechnen, ist es bequem zu verwenden Standardfunktion Excel: Wir punkten in jeder Zelle =TATSACHE(11) und klicken Eintreten.
In der Praxis ist es durchaus akzeptabel, nicht zu schreiben allgemeine Formel und lassen außerdem die Einheitsfakultäten weg: 
Vorabkommentare zu wiederholten Briefen sind jedoch erforderlich!
Antworten: 554400
Ein weiteres typisches Beispiel für Permutationen mit Wiederholungen tritt beim Platzierungsproblem auf Schachfiguren die auf Lager zu finden sind fertige Lösungen im entsprechenden pdf. Und für eine unabhängige Lösung habe ich mir eine weniger Schablonenaufgabe ausgedacht:
Aufgabe 13
Alexey treibt Sport und 4 Tage die Woche - Leichtathletik, 2 Tage - Kraftübungen und 1 Tag Ruhe. Auf wie viele Arten kann er seinen wöchentlichen Unterricht planen?
Die Formel funktioniert hier nicht, weil sie sich überschneidende Permutationen berücksichtigt (z. B. wenn Kraftübungen am Mittwoch mit Kraftübungen am Donnerstag vertauscht werden). Und noch einmal - tatsächlich können die gleichen 2 Krafttrainingseinheiten sehr unterschiedlich sein, aber im Kontext der Aufgabe (in Bezug auf den Zeitplan) werden sie als dieselben Elemente betrachtet.
Zweizeilige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.
Kombinationen mit Wiederholungen
Feature Diese Art der Kombination besteht darin, dass die Stichprobe aus mehreren Gruppen gezogen wird, die jeweils aus denselben Objekten bestehen.
Alle haben heute hart gearbeitet, also ist es an der Zeit, sich zu erfrischen:
Aufgabe 14
Die Mensa verkauft Würstchen im Teig, Cheesecakes und Donuts. Auf wie viele Arten können fünf Kuchen gekauft werden?
Lösung: Achten Sie sofort auf das typische Kriterium für Kombinationen mit Wiederholungen - je nach Bedingung nicht eine Menge von Objekten als solche, sondern Verschiedene Arten Gegenstände; Es wird davon ausgegangen, dass mindestens fünf Hot Dogs, fünf Käsekuchen und fünf Donuts im Angebot sind. Die Torten in jeder Gruppe sind natürlich unterschiedlich - denn absolut identische Donuts lassen sich nur am Computer modellieren =) Allerdings physikalische Eigenschaften Kuchen sind im Sinne des Problems nicht wesentlich, und Hot Dogs / Käsekuchen / Donuts werden in ihren Gruppen als gleich angesehen.
Was kann in der Probe sein? Zunächst ist zu beachten, dass die Probe unbedingt enthalten sein wird identische Torten(da wir 5 Stück auswählen und es 3 Typen zur Auswahl gibt). Optionen hier für jeden Geschmack: 5 Hot Dogs, 5 Cheesecakes, 5 Donuts, 3 Hot Dogs + 2 Cheesecakes, 1 Hot Dog + 2 + Cheesecakes + 2 Donuts usw.
Wie bei "normalen" Kombinationen spielt die Reihenfolge der Auswahl und Platzierung der Kuchen in der Probe keine Rolle - sie haben nur 5 Stücke ausgewählt und das war's.
Wir verwenden die Formel 
Anzahl Kombinationen mit Wiederholungen: 
So können Sie 5 Kuchen kaufen.
Antworten: 21
Welche Schlussfolgerung lässt sich aus vielen kombinatorischen Problemen ziehen?
Manchmal ist es am schwierigsten, den Zustand zu verstehen.
Ein ähnliches Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung:
Aufgabe 15
Es ist genug im Portemonnaie große Menge 1-, 2-, 5- und 10-Rubel-Münzen. Auf wie viele Arten können drei Coins aus dem Wallet genommen werden?
Beantworten Sie zur Selbstbeherrschung ein paar einfache Fragen:
1) Können alle Münzen in der Probe unterschiedlich sein?
2) Nennen Sie die „billigste“ und die „teuerste“ Münzkombination.
Lösung und Antworten am Ende der Lektion.
Von meinem persönliche Erfahrung, kann ich sagen, dass Kombinationen mit Wiederholungen der seltenste Gast in der Praxis sind, was nicht gesagt werden kann folgendes Formular Kombinationen:
Platzierungen mit Wiederholungen
Aus einem aus Elementen bestehenden Satz werden Elemente ausgewählt, und die Reihenfolge der Elemente in jeder Probe ist wichtig. Und alles wäre gut, aber ein ziemlich unerwarteter Witz ist, dass wir jedes Objekt des ursprünglichen Sets so oft auswählen können, wie wir möchten. Bildlich gesprochen von „die Menge wird nicht abnehmen“.
Wann passiert es? Typisches Beispiel ist ein Kombinationsschloss mit mehreren Scheiben, aber aufgrund der technologischen Entwicklung ist es relevanter, seinen digitalen Nachkommen zu betrachten:
Aufgabe 16
Wie viele 4-stellige PIN-Codes gibt es?
Lösung: Um das Problem zu lösen, reicht es aus, die Regeln der Kombinatorik zu kennen: Sie können die erste Ziffer des PIN-Codes auf verschiedene Weise auswählen und Möglichkeiten - die zweite Ziffer des PIN-Codes und in ebenso vielerlei Hinsicht - ein Drittel und so viele - der vierte. So kann nach der Regel der Multiplikation von Kombinationen ein vierstelliger PIN-Code zusammengesetzt werden: auf Arten.
Und jetzt mit der Formel. Per Bedingung wird uns ein Zahlensatz angeboten, aus dem Zahlen ausgewählt und platziert werden in einer bestimmten Reihenfolge, während die Zahlen im Beispiel wiederholt werden können (d. h. jede Ziffer des ursprünglichen Satzes kann beliebig oft verwendet werden). Nach der Formel für die Anzahl der Platzierungen mit Wiederholungen: 
Antworten: 10000
Was fällt mir dazu ein ... ... wenn der Automat nach dem dritten die Karte "frisst". misslungener Versuch Eingabe eines PIN-Codes, dann sind die Chancen, ihn zufällig aufzuheben, sehr illusorisch.
Und wer hat gesagt, dass Kombinatorik keinen praktischen Sinn hat? Eine kognitive Aufgabe für alle Leser der Seite:
Aufgabe 17
Entsprechend staatliche Norm, ein Autokennzeichen besteht aus 3 Zahlen und 3 Buchstaben. In diesem Fall ist eine Zahl mit drei Nullen nicht erlaubt, und die Buchstaben werden aus der Menge A, B, E, K, M, H, O, R, C, T, U, X ausgewählt (es werden nur die kyrillischen Buchstaben verwendet, deren Schreibweise mit den lateinischen Buchstaben übereinstimmt).
Wie viele verschiedene Kennzeichen können für eine Region zusammengestellt werden?
Nicht so übrigens, und viel. BEI Hauptregionen Diese Zahl reicht nicht aus, und deshalb gibt es für sie mehrere Codes für die Inschrift RUS.
Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Vergiss nicht, die Regeln der Kombinatorik anzuwenden ;-) …Ich wollte damit prahlen, exklusiv zu sein, aber es stellte sich heraus, dass es nicht exklusiv ist =) Ich habe bei Wikipedia nachgesehen - es gibt Berechnungen, jedoch ohne Kommentare. Obwohl drin bildungs Gründe, wahrscheinlich haben nur wenige Leute es gelöst.
Unser eine spannende Tätigkeit zu Ende, und am Ende möchte ich sagen, dass Sie Ihre Zeit nicht verschwendet haben - aus dem Grund, dass die Kombinatorik-Formeln eine weitere wichtige finden praktischer Nutzen: Sie treffen sich mehrere Aufgaben an Wahrscheinlichkeitstheorie,
und in Aufgaben zur klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit- besonders oft
Ich danke Ihnen allen für Aktive Teilnahme und sehe dich bald!
Lösungen und Antworten:
Aufgabe 2: Lösung: Finden Sie die Anzahl aller möglichen Permutationen von 4 Karten:
Wenn eine Karte mit einer Null an erster Stelle steht, wird die Zahl dreistellig, daher sollten diese Kombinationen ausgeschlossen werden. Lassen Sie die Null an erster Stelle stehen, dann können die restlichen 3 Ziffern in den niederwertigsten Ziffern auf verschiedene Arten neu angeordnet werden.
Notiz
: Weil Es gibt nur wenige Karten, es ist einfach, alle diese Optionen hier aufzulisten:
0579
0597
0759
0795
0957
0975
So können Sie aus dem vorgeschlagenen Set Folgendes machen:
24 - 6 = 18 vierstellige Zahlen
Antworten
: 18
Aufgabe 4: Lösung: 3 Karten können aus 36 Möglichkeiten ausgewählt werden.
Antworten
: 7140
Aufgabe 6: Lösung: 
Wege.
Eine andere Lösung
: Möglichkeiten, zwei Personen aus der Gruppe und und auszuwählen
2) Das „billigste“ Set enthält 3 Rubel-Münzen und das „teuerste“ Set enthält 3 Zehn-Rubel-Münzen.
Aufgabe 17: Lösung: 
Möglichkeiten, wie Sie eine digitale Kombination aus einem Nummernschild erstellen können, während eines davon (000) ausgeschlossen werden sollte:.
Möglichkeiten, aus einer Autonummer eine Buchstabenkombination zu machen.
Nach der Regel der Multiplikation von Kombinationen kann alles zusammengesetzt werden:
Autonummern
(jeder digitale Kombination kombiniert mit jedem Buchstabenkombination).
Antworten
: 1726272
Kombinatorische Probleme
1 . Katja, Mascha und Ira spielen mit einem Ball. Jeder von ihnen muss den Ball einmal in Richtung jedes Freundes werfen. Wie oft soll jedes der Mädchen den Ball werfen? Wie oft wird der Ball geworfen? Bestimmen Sie, wie oft der Ball geworfen wird, wenn das Spiel besucht wird von: vier Kindern; fünf Kinder.
2 . Gegeben sind drei Fassaden und zwei Dächer, die die gleiche Form haben, aber in unterschiedlichen Farben gestrichen sind: Die Fassaden sind gelb, blau und rot, und die Dächer sind blau und rot. Welche Häuser können gebaut werden? Wie viele Kombinationen gibt es?
3 . Dazu drei identische Fassaden des Hauses: blau, gelb und rot – und drei Dächer: blau, gelb und rot. Welche Häuser können gebaut werden? Wie viele Kombinationen gibt es?
4 . Die Designs auf den Flaggen können Kreis, Quadrat, Dreieck oder Stern sein und können grün oder rot gefärbt sein. Wie viele verschiedene Flaggen kann es geben?
5. In der Schulkantine wurden zum Mittagessen Fleisch, Frikadellen und Fisch als zweite Gänge zubereitet. Zum Nachtisch - Eis, Obst und Kuchen. Sie können ein Hauptgericht und ein Dessert wählen. Wie viele existieren Verschiedene Optionen Mittagessen?
6. In der Schulkantine wurden zum Mittagessen Suppe mit Fleisch und vegetarische Suppe als erste Gänge zubereitet, Fleisch, Frikadellen und Fisch als zweite, Eis, Obst und eine Torte als Süßigkeiten. Wie viele verschiedene Möglichkeiten für ein Drei-Gänge-Menü gibt es?
7. Auf wie viele Arten können drei Schüler in einer Reihe auf Stühlen sitzen? Listen Sie alle möglichen Fälle auf.
8 . Auf wie viele Arten können sich vier (fünf) Personen aufstellen?
9 . AUS verschiedene Parteien Drei Pfade steigen den Hügel hinauf und laufen oben zusammen. Erstellen Sie viele Routen, die Sie den Hügel hinauf und hinunter nehmen können. Lösen Sie das gleiche Problem, wenn Sie verschiedene Pfade auf und ab gehen müssen.
10 . Drei Straßen führen von Akulovo nach Rybnitsa und vier Straßen führen von Rybnitsa nach Kitovo. Wie viele Verbindungen gibt es, um von Akulovo nach Kitovo über Rybniza zu reisen?
11 . Eine Silbe heißt offen, wenn sie mit einem Konsonanten beginnt und mit einem Vokal endet. Wie viele offene Zwei-Buchstaben-Silben können mit den Buchstaben „a“, „b“, „c“, „d“, „e“, „i“, „o“ geschrieben werden? Schreiben Sie diese Silben aus.
12. Wie viele verschiedene Blusen- und Rockanzüge kannst du herstellen, wenn du 4 Blusen und 4 Röcke hast?
13. Wenn Petya zur Schule geht, trifft er manchmal einen oder mehrere seiner Freunde: Vasya, Lenya, Tolya. Listen Sie alle möglichen Fälle auf, in denen dies der Fall sein könnte.
14 . Notieren Sie alle möglichen zweistelligen Zahlen mit den Zahlen 7 und 4.
15 . Mischa wollte kaufen: einen Bleistift, ein Lineal, ein Notizbuch und ein Notizbuch. Heute hat er nur zwei gekauft anderes Thema. Was könnte Misha kaufen, vorausgesetzt, der Laden hatte alle Unterrichtsmaterialien, die er brauchte?
16 . Die vier Personen gaben sich die Hand. Wie viele Händedrücke gab es?
17 . Wie viele zweistellige Zahlen gibt es ohne die Ziffer 0?
18 . Schreibe alle möglichen dreistelligen Zahlen auf, die aus den Zahlen 1 und 2 gebildet werden können.
19 . Schreibe alle möglichen geraden dreistelligen Zahlen auf, die aus den Zahlen 1 und 2 bestehen.
20 . Schreibe alle möglichen zweistelligen Zahlen auf, die die Zahlen 2, 8 und 5 verwenden.
21 . Wie viele verschiedene zweistellige Zahlen gibt es, deren Ziffern alle ungerade sind?
22 . Welche dreistelligen Zahlen können mit den Zahlen 3, 7 und 1 geschrieben werden, vorausgesetzt, die Zahl darf nicht die gleichen Ziffern enthalten? Wie viele solcher Nummern?
23 . Wie dreistellige Zahlen kann aus den Zahlen 1, 2, 4, 6 bestehen, wenn keine Zahl mehr als einmal verwendet wird? Wie viele dieser Zahlen werden gerade sein? Wie viele ungerade?
24 . Das Auto hat fünf Sitze. Auf wie viele Arten können fünf Personen in dieses Auto einsteigen, wenn nur zwei von ihnen den Fahrersitz einnehmen können?
25. Es gibt 5 einzelne Schreibtische in der Klasse. Auf wie viele Arten können zwei (drei) neu angekommene Schulkinder darauf Platz nehmen?
26 . Erinnern Sie sich an I. Krylovs Fabel "Quartett":
Der freche Affe, der Esel, die Ziege und der Klumpfuß Mischka fingen an, das Quartett zu spielen. Sie treffen die Bögen, sie reißen, aber es hat keinen Sinn. „Hör auf, Brüder, hör auf! - schreit Affe. - Warte ab! Wie geht die Musik? So sitzt man nicht." Wie viele verschiedene Wege Können diese Musiker versuchen, sich hinzusetzen? Kann es die Qualität ihres Spiels verbessern?
27 . Jungen und Mädchen sitzen in einer Reihe an aufeinanderfolgenden Plätzen, wobei die Jungen auf den ungeraden Plätzen und die Mädchen auf den geraden Plätzen sitzen. Auf wie viele Arten kann dies geschehen, wenn:
a) 3 Jungen und 3 Mädchen sitzen auf 6 Plätzen;
b) 5 Jungen und 5 Mädchen sitzen auf 10 Plätzen?
28 . Zwei Steine müssen auf ein leeres Schachbrett gelegt werden - schwarz und weiß. Wie viele verschiedene Positionen können sie im Vorstand besetzen?
29. Lassen Sie die Autonummer aus zwei Buchstaben gefolgt von zwei Zahlen bestehen, zum Beispiel AB-53. Wie viele verschiedene Zahlen können aus 5 Buchstaben und 6 Zahlen gebildet werden?
30 . Die Fahrzeugnummer besteht aus drei Buchstaben und vier Zahlen. Wie viele verschiedene Nummernschilder(drei Buchstaben werden aus 29 Buchstaben des russischen Alphabets genommen)?
31 . Angenommen, Sie müssten in die Bibliothek, die Sparkasse, die Post gehen und Schuhe zur Reparatur abgeben. Um die kürzeste Route zu wählen, müssen alle möglichen Optionen berücksichtigt werden. Wie viele Wege gibt es, wenn Bibliothek, Sparkasse, Post und Schuhgeschäft weit voneinander entfernt sind?
32. Angenommen, Sie müssten in die Bibliothek, die Sparkasse, die Post gehen und Schuhe zur Reparatur abgeben. Um die kürzeste Route zu wählen, müssen alle möglichen Optionen berücksichtigt werden. Wie viele vernünftige Wege gibt es, wenn Bibliothek und Post nah sind, aber weit entfernt von Sparkasse und Schuhgeschäft, die weit voneinander entfernt sind?
33. Unter den Passagieren im Waggon gab es eine lebhafte Diskussion über die vier Zeitschriften. Es stellte sich heraus, dass jeder zwei Zeitschriften abonniert und jede der möglichen Kombinationen von zwei Zeitschriften von einer Person abonniert wird. Wie viele Personen waren in dieser Gruppe?
34 . Es gibt fünf Würfel, die sich nur farblich voneinander unterscheiden: 2 rote, 1 weiße und 2 schwarze. Es gibt zwei Kästen A und B, wobei A 2 Würfel enthält und B 3. Auf wie viele verschiedene Arten können diese Würfel in den Kästen A und B platziert werden?
35. Um dem Zarenvater verjüngende Äpfel zu bringen, muss Iwan Zarewitsch den einzig wahren Weg zum Zaubergarten finden. Ich habe Ivan Tsarevich an der Gabelung der drei Straßen des alten Raben getroffen und diesen Rat habe ich von ihm gehört:
1) gehe jetzt den richtigen Weg;
2) an nächste Gabel wähle nicht den richtigen Weg;
3) an der dritten Gabelung nicht den linken Weg nehmen.
Eine vorbeifliegende Taube flüsterte Iwan Zarewitsch zu, dass nur ein Rat des Raben richtig sei und dass man die Wege unbedingt in verschiedene Richtungen gehen müsse. Unser Held hat die Aufgabe erledigt und ist in einem magischen Garten gelandet. Welchen Weg hat er genommen?
Ich biete den Lesern von "Habrahabr" eine Übersetzung der Veröffentlichung "100 Prisoners Escape Puzzle" an, die ich auf der Website von DataGenetics gefunden habe. Bitte senden Sie alle Fehler in diesem Artikel in privaten Nachrichten.
Je nach Zustand des Problems befinden sich 100 Gefangene im Gefängnis, von denen jeder eine Personennummer von 1 bis 100 hat. Der Gefängniswärter beschließt, den Gefangenen eine Chance auf Freilassung zu geben, und bietet an, den von ihm erfundenen Test zu bestehen. Gelingt es allen Gefangenen, kommen sie frei, scheitert mindestens einer, sterben alle.
Eine Aufgabe
Der Gefängniswärter geht zu Geheimraum und bereitet 100 Schachteln mit Deckeln vor. Auf jeder Schachtel markiert er Zahlen von 1 bis 100. Dann bringt er 100 Papiertafeln, entsprechend der Anzahl der Gefangenen, und nummeriert diese Tafeln von 1 bis 100. Danach mischt er 100 Tafeln und legt eine Tafel in jede Schachtel, Schließen des Deckels. Die Gefangenen sehen nicht, wie der Gefängniswärter all diese Aktionen ausführt.Der Wettbewerb beginnt, der Gefängniswärter bringt jeden Gefangenen einzeln in den Raum mit den Kisten und sagt den Gefangenen, dass sie eine Kiste finden müssen, die ein Schild mit der Nummer des Gefangenen enthält. Die Gefangenen versuchen, das Schild mit ihrer Nummer zu finden, indem sie die Kisten öffnen. Jeder darf bis zu 50 Kisten öffnen; Wenn jeder der Gefangenen seine Nummer findet, werden die Gefangenen freigelassen. Wenn mindestens einer von ihnen seine Nummer bei 50 Versuchen nicht findet, werden alle Gefangenen sterben.
Damit Gefangene entlassen werden können, müssen ALLE Gefangene den Test erfolgreich bestehen.
Wie groß ist also die Chance, dass die Gefangenen begnadigt werden?
- Nachdem der Gefangene die Kiste geöffnet und das Schild überprüft hat, wird es wieder in die Kiste gelegt und der Deckel wieder geschlossen;
- Die Plätze der Platten können nicht geändert werden;
- Gefangene dürfen einander keine Hinweise hinterlassen oder in irgendeiner Weise miteinander interagieren, sobald der Prozess begonnen hat;
- Die Gefangenen dürfen die Strategie besprechen, bevor der Prozess beginnt.
Was ist die optimale Strategie für Gefangene?
Zusatzfrage:
Wenn ein Freund der Gefangenen (kein Testteilnehmer) den geheimen Raum vor Beginn des Tests betreten kann, untersuchen Sie alle Tabletten in allen Kisten und (optional, aber nicht erforderlich) tauschen Sie zwei Tabletten aus zwei Kisten (in diesem Fall hat der Kamerad nicht die Möglichkeit, die Gefangenen über das Ergebnis seiner Handlungen zu informieren), welche Strategie sollte er dann anwenden, um die Fluchtchancen der Gefangenen zu erhöhen?
Lösung unwahrscheinlich?
Auf den ersten Blick erscheint diese Aufgabe fast aussichtslos. Es scheint, dass die Chance für jeden der Gefangenen, sein Tablet zu finden, mikroskopisch gering ist. Außerdem können die Gefangenen während des Prozesses keine Informationen untereinander austauschen.Die Chancen auf einen Gefangenen stehen 50:50. Es gibt insgesamt 100 Kisten und er kann bis zu 50 Kisten öffnen, um nach seinem Zeichen zu suchen. Wenn er die Kisten willkürlich öffnet und die Hälfte aller Kisten öffnet, findet er sein Tablet in der offenen Hälfte der Kisten, oder sein Tablet bleibt in den geschlossenen 50 Kisten. Seine Erfolgschancen sind ½.
Nehmen wir zwei Gefangene. Wenn beide Kästchen zufällig auswählen, ist die Chance für jedes Kästchen ½ und für zwei ½x½=¼.
(bei zwei Gefangenen wird der Erfolg in einem von vier Fällen sein).
Bei drei Gefangenen beträgt die Wahrscheinlichkeit ½ × ½ × ½ = ⅛.
Für 100 Gefangene sind die Chancen: ½ × ½ × … ½ × ½ (100-mal multiplizieren).
Dies entspricht Pr ≈ 0,000000000000000000000000000008
Es ist also eine sehr kleine Chance. In diesem Szenario werden höchstwahrscheinlich alle Gefangenen tot sein.
Unglaubliche Antwort
Wenn jeder Gefangene die Kisten nach dem Zufallsprinzip öffnet, werden sie den Test wahrscheinlich nicht bestehen. Es gibt eine Strategie, bei der Gefangene erwarten können, dass sie in mehr als 30 % der Fälle erfolgreich sind. Dies ist ein erstaunlich unglaubliches Ergebnis (falls Sie noch nicht davon gehört haben Matheproblem bisher).Mehr als 30 % für alle 100 Gefangenen! Ja, das ist sogar mehr als die Chancen für zwei Gefangene, vorausgesetzt, sie öffnen die Kisten aufs Geratewohl. Aber wie ist das möglich?
Es ist klar, dass die Chancen für jeden Gefangenen nicht höher als 50 % sein können (schließlich gibt es keine Möglichkeit zur Kommunikation zwischen Gefangenen). Vergessen Sie jedoch nicht, dass die Informationen an der Stelle der Platten in den Kartons gespeichert sind. Niemand mischt die Tablets zwischen den Besuchen des Raums durch einzelne Gefangene, also können wir diese Informationen verwenden.
Lösung
Zuerst werde ich Ihnen die Lösung sagen, dann werde ich erklären, warum es funktioniert.Die Strategie ist extrem einfach. Der erste der Gefangenen öffnet die Schachtel mit der Nummer, die auf seiner Kleidung steht. Häftling Nummer 78 öffnet zum Beispiel die Kiste mit der Nummer 78. Wenn er seine Nummer auf dem Schild in der Kiste findet, ist das toll! Wenn nicht, schaut er sich die Nummer auf dem Schild in „seiner“ Kiste an und öffnet dann die nächste Kiste mit dieser Nummer. Nachdem er die zweite Schachtel geöffnet hat, sieht er sich die Nummer der Tafel in dieser Schachtel an und öffnet die dritte Schachtel mit dieser Nummer. Dann übertragen wir diese Strategie einfach auf die restlichen Boxen. Schauen Sie sich zur Verdeutlichung das Bild an:
Irgendwann wird der Gefangene entweder seine Nummer finden oder das Limit von 50 Boxen erreichen. Auf den ersten Blick erscheint dies sinnlos im Vergleich zu einer einfachen zufälligen Auswahl einer Box (und das tut es für einen einzelnen Gefangenen), aber da alle 100 Gefangenen die gleichen Boxen verwenden werden, ist es sinnvoll.
Die Schönheit davon Matheproblem- das Ergebnis nicht nur zu kennen, sondern auch zu verstehen warum Diese Strategie funktioniert.
Warum also funktioniert die Strategie?
Jede Box enthält einen Teller - und dieser Teller ist ein Unikat. Das bedeutet, dass sich das Schild in einem Kästchen mit der gleichen Nummer befindet oder auf ein anderes Kästchen zeigt. Da alle Platten einzigartig sind, gibt es nur eine Platte für jede Box, die darauf zeigt (und nur einen Weg, um zu dieser Box zu gelangen).
Wenn Sie darüber nachdenken, bilden die Kästchen eine geschlossene kreisförmige Kette. Eine Box kann nur Teil einer Kette sein, da es innerhalb der Box nur einen Zeiger auf die nächste gibt und dementsprechend in der vorherigen Box nur einen Zeiger auf diese Box gibt (Programmierer können die Analogie mit verknüpften Listen sehen).
Wenn das Kästchen nicht auf sich selbst zeigt (die Kästchennummer ist gleich der Plattennummer darin), befindet es sich in der Kette. Einige Ketten können aus zwei Boxen bestehen, andere sind länger.
Da alle Gefangenen mit einem Kästchen mit der gleichen Nummer auf ihrer Kleidung beginnen, werden sie per Definition an die Kette gelegt, die ihr Namensschild enthält (es gibt nur ein Typenschild, das auf dieses Kästchen zeigt).
Wenn sie die Kisten entlang dieser Kette im Kreis erkunden, werden sie garantiert irgendwann ihr Zeichen finden.
Bleibt nur die Frage, ob sie ihr Tablet in 50 Zügen finden.
Kettenlänge
Damit alle Gefangenen den Test bestehen, darf die maximale Kettenlänge weniger als 50 Kisten betragen. Wenn die Kette länger als 50 Kisten ist, werden Gefangene mit Nummern aus diesen Ketten den Test nicht bestehen – und alle Gefangenen werden tot sein.Wenn die maximale Länge der längsten Kette weniger als 50 Kisten beträgt, bestehen alle Gefangenen den Test!
Denken Sie eine Sekunde darüber nach. Es stellt sich heraus, dass es in jedem Layout der Platten nur eine Kette geben kann, die länger als 50 Kästchen ist (wir haben nur 100 Kästchen, wenn also eine Kette länger als 50 ist, dann ist der Rest insgesamt kürzer als 50).
Chancen für lange Kettenhände
Sobald Sie sich davon überzeugt haben, dass die maximale Kettenlänge kleiner oder gleich 50 sein muss, um erfolgreich zu sein, und dass es in jedem Satz nur eine lange Kette geben kann, können wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, die Herausforderung zu bestehen:Etwas mehr Mathematik
Was brauchen wir also, um die Wahrscheinlichkeit einer langen Kette herauszufinden?Für eine Kette der Länge l beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die Kästchen außerhalb dieser Kette liegen:
In dieser Zahlensammlung gibt es (l-1)! Möglichkeiten, die Zeichen anzuordnen.
Die restlichen Schilder können lokalisiert werden (100-l)! Wege (vergessen Sie nicht, dass die Länge der Kette 50 nicht überschreitet).
Angesichts dessen die Anzahl der Permutationen, die die Kette enthalten genaue Länge l: (>50)
Es stellt sich heraus, dass es 100(!) Möglichkeiten gibt, die Platten so anzuordnen, dass die Existenzwahrscheinlichkeit einer Kette der Länge l gleich 1/l ist. Dieses Ergebnis hängt übrigens nicht von der Anzahl der Boxen ab.
Wie wir bereits wissen, kann es nur einen Fall geben, in dem es eine Kette mit einer Länge > 50 gibt, daher wird die Erfolgswahrscheinlichkeit nach dieser Formel berechnet:
Ergebnis
31,18 % - die Wahrscheinlichkeit, dass die Länge der längsten Kette kleiner als 50 ist und jeder der Gefangenen in der Lage sein wird, sein Tablet zu finden, angesichts der Grenze von 50 Versuchen.Die Wahrscheinlichkeit, dass alle Gefangenen ihre Nummernschilder finden und den Test bestehen, beträgt 31,18 %.
Unten ist ein Diagramm, das die Wahrscheinlichkeiten (auf der y-Achse) für alle Ketten der Länge l (auf der x-Achse) zeigt. Rot bedeutet alle "Ausfälle" (die hier angegebene Kurve ist nur ein 1/l-Diagramm). Grüne Farbe bedeutet "Erfolg" (die Berechnung ist für diesen Teil des Diagramms etwas komplizierter, da es mehrere Möglichkeiten zur Bestimmung gibt maximale Länge <50). Общая вероятность складывается из зеленых столбцов в 31.18% шанс на спасение.
Harmonische Nummer (dieser Teil des Artikels ist für Geeks)
In der Mathematik ist die n-te harmonische Zahl die Summe der Kehrwerte der ersten n aufeinanderfolgenden Zahlen der natürlichen Reihe.
Berechnen wir die Grenze, wenn wir statt 100a Kisten beliebig viele Kisten haben (nehmen wir an, wir haben insgesamt 2n Kisten).
Die Euler-Mascheroni-Konstante ist eine Konstante, die als Grenze der Differenz zwischen der Teilsumme einer harmonischen Reihe und dem natürlichen Logarithmus einer Zahl definiert ist.
Wenn die Zahl der Gefangenen zunimmt und der Aufseher den Gefangenen erlaubt, die Hälfte aller Kisten zu öffnen, liegt die Chance auf Erlösung bei 30,685 %.
(Wenn Sie eine Entscheidung getroffen haben, bei der die Häftlinge zufällig die Kisten erraten, dann geht die Wahrscheinlichkeit, gerettet zu werden, mit zunehmender Zahl der Häftlinge gegen null!)
Zusatzfrage
Erinnert sich noch jemand an die Zusatzfrage? Was kann unser hilfsbereiter Kamerad tun, um unsere Überlebenschancen zu erhöhen?Jetzt kennen wir die Lösung bereits, also ist die Strategie hier einfach: Er muss alle Schilder studieren und die längste Kette von Kästchen finden. Wenn die längste Kette kleiner als 50 ist, braucht er die Tabletten gar nicht zu wechseln oder sie so zu wechseln, dass die längste Kette nicht länger als 50 wird. Wenn er jedoch eine Kette findet, die länger als 50 Kisten ist, muss er nur den Inhalt von zwei Kisten dieser Kette austauschen, um diese Kette in zwei kürzere Ketten aufzuteilen.
Als Ergebnis dieser Strategie gibt es keine langen Ketten und alle Gefangenen finden garantiert ihr Zeichen und ihre Erlösung. Indem wir also zwei Zeichen vertauschen, reduzieren wir die Heilswahrscheinlichkeit auf 100 %!
2017-2018 Ausbildungsarbeit in Mathematik Klasse 11
Möglichkeit 2 (Basis)
Die Antwort auf jede Aufgabe ist ein letzter Dezimalbruch, eine ganze Zahl oder eine Ziffernfolge. Notieren Sie die Antworten auf die Aufgaben im Antwortfeld im Text der Arbeit und übertragen Sie sie dann auf das Antwortformular Nr. 1 rechts neben der Nummer der entsprechenden Aufgabe. Wenn die Antwort eine Zahlenfolge ist, dann notieren Sie diese Folge auf dem Antwortbogen Nr. 1ohne Leerzeichen, Kommas und andere zusätzliche Zeichen. Schreiben Sie jede Zahl, jedes Minuszeichen und jedes Komma in ein separates Kästchen. Maßeinheiten sind nicht erforderlich.
1
Antworten: _________________.
2 . Finden Sie den Wert des Ausdrucks:
Antworten: _________________.
3 . In der Schule machen Mädchen 51 % aller Schüler aus. Wie viele Mädchen besuchen diese Schule, wenn es 8 Mädchen mehr als Jungen gibt?
Antworten: _________________.
4 . Harmonischer Mittelwert von drei Zahlena , b undMit, wird nach der Formel Finden Sie das harmonische Mittel der Zahlen berechnet
Antworten: _________________.
5. Berechnung:
Antworten: _________________.
6 . Im Männerwohnheim des Instituts können pro Zimmer nicht mehr als drei Personen untergebracht werden. Was ist die kleinste Anzahl an Zimmern, die benötigt wird, um 79 auswärtige Studenten unterzubringen?
Antworten: _________________.
7 .Finde die Wurzel der Gleichung
Antworten: _________________.
8 . Die Wohnung besteht aus zwei Zimmern, einer Küche, einem Flur und einem Badezimmer (siehe Zeichnung). Das erste Zimmer hat 4 m x 4 m, das zweite - 4 m x 3,5 m, die Küche hat Abmessungen von 4 m x 3,5 m, das Badezimmer - 1,5 m x 2 m. Finden Sie die Fläche des Korridors. Geben Sie Ihre Antwort in Quadratmetern an.
Antworten: _________________.
9 . Stellen Sie eine Entsprechung zwischen den Mengen und ihren möglichen Werten her: Wählen Sie für jedes Element der ersten Spalte das entsprechende Element aus der zweiten Spalte aus.
WERT WERTE
A) das Volumen der Kommode 1) 0,75 l
B) das Wasservolumen im Kaspischen Meer 2) 78200 km 3
C) das Volumen des Rjaschenka-Pakets 3) 96 l
D) das Volumen des Eisenbahnwaggons 4) 90 m 3
Geben Sie in der Tabelle unter jedem Buchstaben, der dem Wert entspricht, die Nummer seines möglichen Werts an.
Antworten:
Antworten: _________________.10 . Bei der russischen Spracholympiade sitzen die Teilnehmer in drei Klassenzimmern. In den ersten beiden jeweils 130 Personen, der Rest wird in einen Reservesaal in einem anderen Gebäude gebracht. Bei der Zählung stellte sich heraus, dass es insgesamt 400 Teilnehmer waren. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Teilnehmer die Olympiade im Ersatzraum geschrieben hat.
Antworten: _________________.
11 . Die Abbildung zeigt eine Grafik der Luftdruckwerte in einer bestimmten Stadt für drei Tage. Wochentage und Uhrzeit sind horizontal angegeben, Luftdruckwerte in Millimeter Quecksilbersäule sind vertikal angegeben. Finden Sie den Wert des atmosphärischen Drucks am Mittwoch um 12 Uhr. Geben Sie Ihre Antwort in Millimeter Quecksilbersäule an.
Antworten: ____________.
Antworten: _________________.
13. Eine regelmäßige sechseckige Pyramide mit Kante 1 wurde auf ein regelmäßiges sechseckiges Prisma mit Kante 1 geklebt, so dass die Flächen der Basen zusammenfielen. Wie viele Flächen hat das resultierende Polyeder (unsichtbare Kanten sind in der Abbildung nicht dargestellt)?
Antworten: _________________.
14. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion PunkteEIN, B, C, DundEauf die Achse setzenX vier Intervalle. Ordnen Sie mithilfe des Diagramms jedem Intervall die Charakteristik einer Funktion oder ihrer Ableitung zu.
INTERVALLE DER CHARAKTERISTIK EINER FUNKTION ODER EINER DERIVATE
A) (A; B) 1) die Funktion wechselt das Vorzeichen von „-“ nach „+“
B) (C; C) 2) die Ableitung wechselt das Vorzeichen von "-" nach "+"
B) (C;D) 3) die Ableitung wechselt das Vorzeichen von "+" nach "-"
G) (D; E) 4) die Funktion ist positiv und steigend
Geben Sie in der Tabelle unter jedem Buchstaben die entsprechende Zahl an.
15 . Auf einem Kreis mit MittelpunktÖ Punkte markiert sindABER undBEI damit die Länge des kleineren BogensAB ist 3. Finden Sie die Länge des größeren Bogens.
Antworten: _________________.
16 . Gegeben sind zwei Kästen, die die Form eines regelmäßigen viereckigen Prismas haben. Die erste Box ist viereinhalb Mal niedriger als die zweite, und die zweite ist dreimal schmaler als die erste. Wie viel mal größer ist das Volumen der ersten Kiste als das Volumen der zweiten?
Antworten: _________________.
17. Jede der vier Ungleichungen in der linken Spalte entspricht einer der Lösungen in der rechten Spalte. Stellen Sie eine Entsprechung zwischen Ungleichungen und ihren Lösungen her.
UNGLEICHHEIT DER LÖSUNGEN
ABER)
B)
BEI)
G)
Tragen Sie in die in der Antwort angegebene Tabelle unter jedem Buchstaben die entsprechende Zahl der Lösung ein.
Antworten:
18 . Bei den Olympischen Winterspielen gewann das russische Team mehr Medaillen als das kanadische Team, das kanadische Team mehr als das deutsche Team und das norwegische Team weniger als das kanadische Team.Wählen Sie die Aussagen aus, die unter den gegebenen Bedingungen zutreffen.
1) Von den genannten Teams belegte das kanadische Team den zweiten Platz in der Anzahl der Medaillen.
2) Unter den genannten Teams gibt es drei, die gleich viele Medaillen gewonnen haben.
3) Das deutsche Team gewann mehr Medaillen als das russische Team.
4) Das russische Team gewann mehr Medaillen als jedes der anderen drei Teams.
Geben Sie in Ihrer Antwort die Anzahl der richtigen Aussagen in aufsteigender Reihenfolge an.
Antworten: _________________.
19 . chetydreistellige ZahlABER besteht aus Zahlen 3; vier; acht; 9, einvierdreistellige ZahlBEI - ab den Zahlen 6; 7; acht; 9. Das ist bekanntBEI = 2 ABER. Finde eine ZahlABER. Geben Sie in Ihrer Antwort eine solche Nummer an, mit Ausnahme der Nummer 3489.
Antworten: _________________.
20 . Das Rechteck wird durch zwei gerade Schnitte in vier kleine Rechtecke geteilt. Die Umfänge von drei von ihnen, beginnend oben links und im Uhrzeigersinn, sind 17, 15 und 18. Finden Sie den Umfang des vierten Rechtecks.
1715
?
18
